Analysis 1SS 2006 WS 2006/07 Dr. R. Busam

Inhaltsverzeichnis0 Einfuhrung/Orientierung (hier nicht enthalten) 13

I Zahlsysteme1 Axiomatische Einfuhrung der reellen Zahlen 1.1 Die K rperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.1.1 Axiome der Addition . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Axiome der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Folgerungen aus den Axiomen der Addition . . . . 1.1.5 Folgerungen aus den Axiomen der Multiplikation . 1.1.6 Folgerungen, in denen zus tzlich (D) benutzt wird a 1.1.7 Ein ausf hrliches Beispiel . . . . . . . . . . . . . u 1.1.8 Beispiel: K rper mit 2 Elementen . . . . . . . . . o 1.2 Die Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Denition (Angeordneter Korper) . . . . . . . . . 1.2.2 Eigenschaften von < und . . . . . . . 1.2.3 Kleine Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 (Fundamental-)Lemma . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Denition (Intervalle) . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Denition (Betrag) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Satz: (Eigenschaften des Betrags) . . . . . . . . . 1.2.9 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.10 Denition (Maximum, Minimum) . . . . . . . . . 1.2.11 Denition (obere und untere Schranke) . . . . . . 1.2.12 Denition (Beschr nktheit) . . . . . . . . . . . . . a 1.3 Vollst ndigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3.1 Satz (Charakterisierung von sup bzw. inf) . . . . 1.3.2 Satz (Existenzsatz f r Quadratwurzeln) . . . . . . u 1.3.3 Satz (Existenzsatz f r kte Wurzeln) . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1313 13 14 14 15 15 17 17 19 20 20 21 21 24 27 27 28 29 30 32 32 34 34 35 35 36 39 40 40 40 40 41 41 42 42 43 43 44 44 44 45 45 45 46 47 47 48 51 55

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Naturliche Zahlen (vollst ndige Induktion) ganze Zahlen, rationale Zahlen a 2.1 Die nat rlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 2.1.1 Denition (Z hlmenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.1.2 Denition und Satz (nat rliche Zahl) . . . . . . . . . . . . . . . u 2.1.3 Satz (Induktionssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Satz (Beweisprinzip der Vollst ndigen Induktion) . . . . . . . . . a 2.1.5 Satz (Peano-Eigenschaften der nat rlichen Zahlen) . . . . . . . . u 2.1.6 Eigenschaften von N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Die Archimedische Anordnung von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Satz (Archimedische Eigenschaft von R) . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Satz (Eudoxos - Archimedes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ganze Zahlen und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Denition (ganze Zahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Denition (rationale Zahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Ubungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Satz (Q liegt dicht in R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Satz (Division mit Rest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Beispiele zum Beweisprinzip der vollst ndigen Induktion . . . . . . . . . a 2.4.1 Denition (Binomialkoefzienten) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Satz (Bernoullische Ungleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Rekursive Denitionen, Summen, Produkte 3.1 Rekursionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Zahlen 4.0 Motivation, historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . 4.1 Komplexe Zahlen (Konstruktion von C) . . . . . . . . . . 4.1.1 Denition und Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Wichtige Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Elementare Eigenschaften von C . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Denition (konjugiert komplexe Zahl) . . . . . . . 4.2.2 Eigenschaften von : C C, z z . . . . . . . 4.2.3 Ein Beispiel zu 4.2.2(g) . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Denition und Satz (Betrag einer komplexen Zahl) 4.2.5 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) . . . . . 4.2.7 Denition (Einheitskreislinie) . . . . . . . . . . . 4.2.8 Denition (Kreisscheibe) . . . . . . . . . . . . . . 4.2.9 Denition (Spiegelung am Einheitskreis) . . . . . 4.2.10 Geometrische Interpretation der Multiplikation . . 4.2.11 Satz (Polarkoordinaten in C = R2 ) . . . . . . . . 4.2.12 Existenzsatz f r n-te Wurzeln . . . . . . . . . . . u

58 60 64 64 66 66 68 69 69 70 70 71 71 72 73 73 73 74 75 76 77 80 82 83 83 84 85 85 86 88 88 89 89 90 90 95

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Vektorr ume mit Skalarprodukt, insbes. die Standardvektorr ume Rn und Cn a a 5.1 Denition und Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Denition (Vektorraum mit Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Denition (Norm, normierter Raum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Denition (Metrik, metrischer Raum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Denition (Maximumsnorm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Denition (Eins-Norm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige nutzliche Ungleichungen

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II Folgen und Reihen7 Folgen (Begriff der Konvergenz, erste Beispiele) 7.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Denition ( -Umgebung) . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Denition (Konvergenz von Folgen) . . . . . . . . 7.5 Hausdorffsche Trennungseigenschaft von R bzw C 7.6 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Sprechweise (fast alle, schlielich alle) . . . . . . . 7.8 Beispiele konvergenter und divergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100. . . . . . . . 100 100 101 103 103 104 104 105 105

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Rechenregel fur konvergente Folgen 8.1 Satz (Monotonie des Grenzwertes) . . . 8.2 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Satz (Sandwich-Lemma) . . . . . . . . 8.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Satz (Permanenzeigenschaften von lim) 8.6 Bemerkungen und Beispiele . . . . . .

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114 114 115 115 115 116 119 122 122 122 122 123 124 130 130 131 134 134 135 136 136 136 137 138 139 141 142 143 144 145 146 147 148 148 149 149 151 153 153 153 154 157 158 158 158 159 160 160 161 162 162 163 163 164

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Konvergenzkriterien 9.1 Divergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Denition (Monotonie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Monotonieprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Denition und Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Beispiele und Bemerkungen zum Monotonie- und zum Intervallschachtelungsprinzip 9.6 Satz: Die Eulersche Zahl e ist irrational. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Satz (Absch tzung f r n!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a u 9.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9 Existenz k-ter Wurzeln (k N, k 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10 Kreismessung nach Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11 Dezimalbruchdarstellung einer reellen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.12 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.13 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.14 Theorem (Bolzano-Weierstra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.15 Denition (Cauchy-Folge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.16 Theorem (Cauchysches Konvergenzprinzip) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.17 Beispiele zum Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.18 Zur Bedeutung des Cauchy-Kriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19 H ufungswerte, lim, lim, uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . a 9.19.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19.2 Satz (Charakterisierung von H ufungswerten) . . . . . . . . . . . . . . . . . a 9.19.3 Satz (Existenz vom lim und lim) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19.5 Satz (-Charakterisierung von lim und lim) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19.7 Sprechweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19.8 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.19.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Reihen 10.1 Der Begriff der Reihe, erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.5 Rechenregeln f r Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 10.2 Konvergenzkriterien f r Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 10.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Leibniz-Kriterium f r alternierende Reihen (G.W.Leibniz, 1705) u 10.2.3 Beispiele zum Leibniz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Cauchysches Konvergenzkriterium f r Reihen . . . . . . . . . u 10.2.5 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.7 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.9 Theorem (Majoranten-Kriterium) . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10.2.11 Satz (Quotientenkriterium: dAlembert, 1768) . . . . . . 10.2.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.13 Satz (Wurzelkriterium: Cauchy, 1821) . . . . . . . . . . 10.2.14 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.15 Satz (Abelsche partielle Summation: N.H.Abel, 1826) . 10.2.16 Satz (Abelsches Konvergenzkriterium) . . . . . . . . . . 10.2.17 Satz (Konvergenzkriterium von Dirichlet) . . . . . . . . 10.2.18 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Exkurs: Die g-al Darstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . 10.3.1 Satz (g-al-Darstellung nat rlicher Zahlen) . . . . . . . . u 10.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Theorem (g-al-Darstellung) . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.7 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Umordnungss tze f r Reihen, Reihenprodukte . . . . . . . . . . a u 10.4.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Satz (Kleiner Umordnungssatz) . . . . . . . . . . . . . 10.4.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.5 Satz (Dirichlet, 1837) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.6 Satz (Riemannscher Umordnungssatz) . . . . . . . . . . 10.4.7 Satz (Produktreihensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.8 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Abbildungen, Abz hlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 10.5.1 Arbeitsdenition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Einfache Beispiele und Bemerkungen: . . . . . . . . . . 10.5.3 Denition (injektiv, surjektiv, bijektiv) . . . . . . . . . . 10.5.4 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.5 Denition (Umkehrabbildung) . . . . . . . . . . . . . . 10.5.6 Ubungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.7 Denition (Gleichm chtigkeit, G.Cantor, 1878) . . . . . a 10.5.8 Satz (Eigenschaften von ) . . . . . . . . . . . . . . 10.5.9 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.11 Denition (Abz hlbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . a 10.5.12 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.16 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.17 Denition (algebraische Zahl) . . . . . . . . . . . . . . 10.5.18 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.19 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.20 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.21 Satz (Siegel-Gelfond) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.22 Denition (strikt kleinere M chtigkeit) . . . . . . . . . a 10.5.23 Satz (von Cantor uber die M chtigkeit der Potenzmenge) a 10.6 Exkurs: Der groe Umordnungssatz (wird sp ater erg nzt) . . . . a

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165 166 167 168 169 169 170 170 171 171 172 172 173 175 177 178 179 179 180 181 182 184 184 187 189 190 190 192 195 196 197 198 199 199 199 200 201 201 203 204 204 204 205 205 205 206 206 207 207 208

III Stetigkeit, Grenzwerte bei Funktionen

209

11 Der Begriff der Stetigkeit 11.1 Denition (Folgenstetigkeit) . . . . . . . . . . 11.1.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Weitere Beispiele und Bemerkungen . . 11.2 - - Charakterisierung der Stetigkeit . . . . . 11.2.1 Theorem (Aquivalenzsatz f r Stetigkeit) u 11.2.2 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . 11.2.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . 12 Rechenregeln fur stetige Funktionen 12.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . 12.4 Bemerkung . . . . . . . . . . .

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209 209 210 211 213 213 214 218 219 219 220 220 220 221 221 221 222 222 222 223 225 225 226 227 228 228 228 228 228 229 229 230 230 230 230 231 231 232 232 232 233 235 235 235 235 235 236 236 236 237 237 238

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13 Abbildungseigenschaften stetiger Funktionen 13.1 Eine einfache Abbildungseigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Stetige reellwertige Funktionen auf Intervallen: Der Nullstellensatz von Bolzano und Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Satz (Nullstellensatz von Bolzano, B.Bolzano (1817)) . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.4 Korollar (Zwischenwertsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.7 Satz (Fixpunktsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen, der Satz vom Maximum und Minimum . . 13.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.5 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.7 Denition (kompakt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.9 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.10 Lemma (Bolzano-Weierstrass-Charakterisierung von kompakt) . . . . . . . 13.3.11 Fundamentallemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.12 Theorem (K.Weierstra, 1861) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.13 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.14 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.15 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.16 Eine kleine Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Stetige Fortsetzbarkeit. Grenzwerte bei Funktionen 14.1 Stetige Fortsetzbarkeit. Grenzwerte (bei Funktionen) . 14.1.1 (H ufungspunkt): . . . . . . . . . . . . . . . . a 14.1.2 Bemerkungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3 (-Charakterisierung von H ufungspunkten) . . a 14.1.4 Beachte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.5 Fortsetzungsproblem . . . . . . . . . . . . . . 14.1.6 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.7 Denition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.8 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.9 Satz ( -Charakterisierung des Grenzwertes)

. . . . . . der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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14.1.10 Satz (Folgenkriterium fur Grenzwerte): . . . . . . . . 14.1.11 Cauchy-Kriterium f r Grenzwerte . . . . . . . . . . . u 14.1.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Denition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.4 Satz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.5 Beweis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Weitere Schreib- und Sprechweisen bei Grenzwerten . . . . . 14.3.1 Die Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Bemerkung: (Bei K nigsberger Reduktionslemma) . o 14.3.3 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.4 Uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5 Satz vom Wachstum (der reellen Exponentialfunktion): 14.3.6 Satz vom Wachstum (des nat rlichen Logarithmus): . u

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15 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, gleichm ige Kovergenz, a Potenzreihen 248 15.1 Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 16 Die elementaren Funktionen 250

IV Grundlagen der Integral- und Differentialrechnung18 Grundlagen der Integralrechnung 18.1 Das Integral f r Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 18.1.1 Denition (Treppenfunktion, Zerlegung) . . . . . . . . . . . . . 18.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.3 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.5 Satz und Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.6 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.7 Satz (Eigenschaften von T (M ) und I : M R) . . . . . . . . . 18.1.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Das Integral f r Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 18.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Denition und Satz (Integral einer Regelfunktion) . . . . . . . . . 18.2.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.7 Satz (Eigenschaften des Regelintegrals) . . . . . . . . . . . . . . 18.2.8 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.9 Satz (Stabilit tssatz, Vertauschungssatz) . . . . . . . . . . . . . . a 18.2.10 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.11 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.13 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.14 Satz (Berechnung von Integralen mit der Riemannschen Summe) 18.2.15 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.16 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.18 Charakterisierung von Regelfunktionen durch innere Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 251 252 252 253 253 254 255 255 257 258 258 259 259 260 261 261 262 263 263 265 265 267 267 267 270 271 271 275 276 277

18.2.19 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . 18.2.20 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.21 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.22 Satz: Intervalladditivit t des Regelintegrals . . a 18.2.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.24 Theorem (Mittelwertsatz der Integralrechnung) 18.2.25 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . 18.2.26 Lemma ( Verschwindungslemma) . . . . . .

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19 Grundlagen der Differentialrechnung 19.1 Der Begriff der Ableitung, erste Beispiele differenzierbaren Funktionen 19.1.1 Denition: Begriff der Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . 19.1.2 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.3 Physikalische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.4 Ableitung komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . 19.1.5 Erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.6 Feststellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.7 Theorem (Aquivalentssatz f r Differenzierbarkeit) . . . . . . . u 19.1.8 Feststellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.9 Geometrische Interpretation des Differenzials . . . . . . . . . . 19.1.10 Denition (h here Ableitungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . o 19.1.11 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.12 Abschreckende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Die Technik des Differenzierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Satz (algebraische Regeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Satz (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.4 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.5 Theorem (Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion) . . . . . . . 19.2.6 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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20 Lokale Extrema, Mittelwerts tze, Anwendungen a 20.1 Lokale Extrema, der MWSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.1 Denition (lokale und globale Extrema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.3 Fermat, 1638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.5 Satz (von Rolle, Michael Rolle (1652-1719)) . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.6 Geometrische Veranschaulichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.7 Bemerkungen zu den Voraussetzungen des Satzes von Rolle . . . . . . . . 20.1.8 Theorem (MWSD, Lagrange (1797) (J.L.Lagrange, 1736-1813)) . . . . . . 20.1.9 Geometrische Veranschaulichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.10 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.11 Schrankensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.12 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.13 Satz (Charakterisierung konstanter Funktionen und von Stammfunktionen) 20.1.14 Folgerung (Charakterisierung von exp durch eine Differentialgleichung) . . 20.1.15 Monotoniekriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.16 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.17 Satz (hinreichende Kriterien f r lokale Extrema) . . . . . . . . . . . . . . u 20.1.18 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.19 Beispiele f r Extremwertaufgaben (wird nachgetragen) . . . . . . . . . . . u 20.1.20 Konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.1.21 Denition (konvexe und konkave Funktion) 20.1.22 Geometrische Interpretation der Konvexit t a 20.1.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.24 Satz (Youngsche Ungleichung) . . . . . . . 20.1.25 Beispiel (Wendepunkte) . . . . . . . . . . 20.1.26 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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21 Zusammenhang zwischen Integral- und Differenzialrechnung: Der Hauptsatz und seine Anwendungen 315 21.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 21.1.1 Theorem (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, 1. Version) . . . . . . . 316 21.1.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 21.1.3 Theorem (2.Version des Hauptsatzes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 21.1.4 Theorem (algebraische Form des Hauptsatzes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 21.1.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 21.1.6 Eine kleine Liste von Stammfunktionen (Grundintegralen) . . . . . . . . . . . . . . 323 21.1.7 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 21.2 Integrationstechniken, erste Anwendungen des Hauptsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 21.2.1 Satz (Partielle Integration oder Produktintegration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 21.2.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 21.2.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 21.2.4 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 21.2.5 Die Wallische Produktformel f r (John Wallis, Arithmetica Inniforum, 1666) . . 328 u 2 21.2.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 21.2.7 Satz (Substitutionsregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 21.2.8 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 21.2.9 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 21.3 Partialbruchzerlegung und die Integration der rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . 336 21.4 Vertr glichkeit der Differentiation mit Grenzprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 a 21.4.1 Satz (Vertauschbarkeit von Differentiation mit Grenzprozessen) . . . . . . . . . . . 337 21.4.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 21.4.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 21.4.4 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 21.5 Taylorsche Formel, Taylor-Reihen, Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 21.5.1 Satz und Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 21.5.2 Satz (Taylorsche Formel mit Integralrestglied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 21.5.3 Satz (Lagrangesche Form des Restgliedes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 21.5.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 21.5.5 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 21.5.6 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 21.5.7 Satz (hinreichendes Kriterium f r lokale Extrema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 u 21.5.8 Satz (qualitative Form der Taylorschen Formel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 21.5.9 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 21.5.10 Denition (Taylor-Reihe von f C (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 21.5.11 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 21.5.12 Eindeutigkeitssatz (Identit tssatz) f r Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 a u 21.5.13 Satz (Hinreichnende Bedingung f r die Darstellbarkeit einer C -Funktion durch u ihre Taylor-Reihe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 21.5.14 Weitere Beispiele f r Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 u 21.5.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 21.5.16 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 21.5.17 Satz (Abelscher Grenzwertsatz, N.H.Abel, 1826) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 21.5.18 Satz (N.H. Abel, 1826) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 21.5.19 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 21.5.20 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 21.5.21 Beispiele und Bemerkungen zur Binomialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

21.6 Iterationsverfahren zur Berechnung von Fixpunkten und Nullstellen (Newton-Verfahren) . . 21.6.1 Einf hrung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 21.6.2 Theorem: Fixpunktsatz f r kontrahierende Abbildungen, Kontraktionssatz (Spezialu fall des allgemeinen Banachschen Fixpunktsatzes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.4 Ein Beispiel: N herungsweise Berechnung von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2 21.6.5 Theorem (Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung) . . . . . . . . . . . . . . 21.6.6 Bemerkungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.7 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.8 Arger mit dem Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Uneigentliche Integrale, -Funktion, Stirlingsche Formel (wird nachgetragen) . . . . . . . . 21.8 Fourier-Reihen: Eine Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8.1 Grundbegriffe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8.2 Denition: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8.3 Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.9 Eulersche Summenformel und Bernoullische Polynome (wird nachgetragen) . . . . . . . . . 21.10Interpolation und elementare Aspekte der numerischen Integration (wird nachgetragen) . . . 21.11Einige elementar integrierbare Differentialgleichungen (wird nachgetragen) . . . . . . . . .

359 359 362 364 365 367 369 370 371 372 372 373 373 373 382 382 382

V Ausbau der Integral- und Differentialrechnungist noch in Bearbeitung und enth lt u.a.: a Uneigentliche Integrale, Funktion, Stirlingsche Formel Eulersche Summenformel und Bernoullische Polynome Interpolation und elementare Aspekte der numerischen Integration Einige elementar integrierbare Differentialgleichungen Einige geometrische Anwendungen: insb. Kurven und ihre L ngen a (wird nachgetragen) 383

VI Metrische R ume und ihre Topologie a22 Der Begriff des metrischen Raums, Beispiele, topologische Grundbegriffe 22.1 Denition (Metrik, metrischer Raum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.1 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Denition (offene und abgeschlossene Kugel, rUmgebung, Sph re) . a 22.2.1 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Denition (Umgebung, offen, abgeschlossen) . . . . . . . . . . . . . . 22.3.1 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Feststellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Theorem (Grundeigenschaften offener Mengen) . . . . . . . . . . . . . 22.5.1 Theorem (Grundeigenschaften abgeschlossener Mengen) . . . . 22.6 De Morganschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7 Feststellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8 Denition (Topologie, topologischer Raum) . . . . . . . . . . . . . . . 22.9 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9.1 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.10Denition (Besondere Punkte in einem metrischen Raum) . . . . . . . 22.11Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.11.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen R umen a 23.1 Denition (Folgen-Konvergenz in einem metrischen Raum) 23.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Denition (Cauchy-Folge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

384. . . . . . . . . . . . . . . . . 385 385 385 389 389 391 392 394 394 395 396 396 397 397 399 401 401 402 404 404 404 406 407

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23.4 Satz (konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen) . . . . . . . . . . . . . . 23.5 Denition (vollst ndiger metrische Raum, Banach-Raum, Hilbert-Raum) a 23.6 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.6.1 Theorem (allg. Banachscher Fixpunktsatz) . . . . . . . . . . . . 23.6.2 Ubungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.6.3 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.7 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.7.1 Satz (Aquivalenzsatz f r Stetigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . u 23.7.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.7.3 Theorem (Charakterisierung der globalen Stetigkeit) . . . . . . . 23.7.4 Beispiele zur Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.8 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.8.1 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.10Stetigkeit linearer Abbildungen, die Operatornorm . . . . . . . . . . . . 23.10.1 Aquivalenzsatz f r Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 23.10.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.10.3 Denition (Abbildungsnorm oder Operatornorm) . . . . . . . . . 23.10.4 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.10.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.11Exkurs: Die Matrix-Exponential-Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . 23.11.1 Theorem (Denition zu exp(A) f r A Knn ) . . . . . . . . . . u 23.11.2 Bemerkungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Kompaktheit 24.1 Denition (Uberdeckung) . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Denition ((Uberdeckungs-) Kompakt) . . . . . . . . 24.3 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . 24.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.6 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7 Satz (von Bolzano-Weierstra) . . . . . . . . . . . . 24.8 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.10Theorem (allgemeines Intervallschachtelungsprinzip) 24.11Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.12Satz (Spezialfall des Satzes von Heine-Borel) . . . . 24.13Theorem (Heine-Borel f r Kn ) . . . . . . . . . . . . u 24.14Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.15Theorem (K.Weierstra, 1861) . . . . . . . . . . . . 24.16Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.17Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.18Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.19Satz (Aquivalenzsatz f r Normen) . . . . . . . . . . u 24.19.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.19.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.20Denition (gleichm ige Stetigkeit) . . . . . . . . . a 24.21Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.21.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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407 408 408 413 414 415 417 417 419 421 423 427 428 430 430 431 432 432 433 437 437 438 439 441 443 443 443 446 447 447 448 448 449 449 450 451 452 453 453 454 454 455 456 456 457 458 458 459

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VII Differentialrechnung in mehreren Variablen

461

25 Differenzierbarkeitsbegriffe 25.1 Denition ((totale) Differenzierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.2 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Differenzierbarkeit und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3 Partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.2 Denition (partielle Differenzierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.3 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.4 Satz (Zusammenhang zwischen totaler und partieller Differenzierbarkeit) . . . . . . 25.3.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.6 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4 Das Hauptkriterium f r Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 25.4.1 Theorem (Hauptkriterium fur Differenzierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4.2 Bemerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.5 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.6 Denition (Stetige Differenzierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.6.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.6.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.7 Exkurs: Zusammenhang zwischen (total) reeller Differenzierbarkeit in R2 und komplexer Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.7.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.7.2 Satz (Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit) . . . . . 25.7.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.7.4 Einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Differentiationsregeln 26.1 Satz (algebraische Regeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Theorem (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Denition (Richtungsableitung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.2 Anwendung: Orthogonalit t von Gradient und Niveaumenge a 27 Mittelwerts tze, Schrankens tze a a 27.1 Satz (MWS f r reellwertige Funktionen) . . . . . . . . . . u 27.2 Folgerung (Charakterisierung konstanter Funktionen) . . . 27.2.1 Eine kleine Anwendung . . . . . . . . . . . . . . 27.3 Satz ( ber die Integraldarstellung des Funktionszuwachses) u 27.4 Folgerung (Schrankensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5 Satz (MWS f r vektorwertige Funktionen) . . . . . . . . . u 27.6 Satz (Schrankensatz f r Vektorwertige Funktionen) . . . . u

464 464 465 466 467 468 468 469 469 471 471 472 474 474 475 476 476 477 477 478 478 479 480 480 482 482 483 486 487 490 492 492 492 493 494 494 495 496 497 497 498 499 500 502 502 503 503 505 506 507 508

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28 H here partielle Ableitungen, der Vertauschungssatz von H.A.Schwarz o 28.1 Denition (r-mal partiell differenzierbar) . . . . . . . . . . . . . . . 28.2 Satz (Vertauschungssatz von H.A.Schwarz) . . . . . . . . . . . . . . 28.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Taylor-Formel, lokale Extrema 29.1 Satz (Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung) 29.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.3.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . 29.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.5 Beispiele und Bemerkungen . . . . . . . . 29.6 Sylvesterscher Tr gheitssatz . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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29.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 29.8 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 29.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 Arbeitsmaterialien zur Vorlesung Analysis 3 514

I. ZahlsystemeDie ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk (Leopold Kronecker, 1886). Die Zahlen sind freie Schopfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Ver schiedenheit der Dinge leichter und scharfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst im Stand gesetzt, unsere Vorstellung von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen. (Richard Dedekind (1888) in Was sind und was sollen die Zahlen? Dieses erste Kapitel handelt von Zahlsystemen. Zahlen stellen eine wichtige Grundlage der ge samten Mathematik, speziell aber der Analysis dar. Man kann den von Dedekind und Kronecker ausgedruckten Standpunkt einnehmen und etwa die reellen Zahlen, ausgehend von den naturli chen Zahlen uber die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen konstruieren. Doch stellt sich gleich die Frage: Was ist eine naturliche Zahl? . Man kann nach dem Vorbild von Peano und Dedekind (1888) die naturlichen Zahlen mittels eines Axiomensystems (sog. Peano-Axiome) cha rakterisieren und aus diesen Grundannahmen alle Aussagen uber das Rechnen mit naturlichen Zahlen, so wie man es von der Schule gewohnt ist, ableiten. Mit relativ einfachen algebraischen Mitteln, lassen sich aus den naturlichen Zahlen dann die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen konstruieren. Der Ubergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen, erfordert jedoch kompliziertere Begriffsbildungen aus der Analysis bzw. Algebra. Wir werden deshalb nicht so vorgehen, sondern den Standpunkt einnehmen, dass jede(r) intuitiv wei, was reelle Zahlen sind. Was aber ist eine reelle Zahl? Wie die Diskussion in der Vorlesung uber diese Frage ergeben hat, ist die Antwort hierauf gar nicht so einfach.

1 Axiomatische Einfuhrung der reellen Zahlen Um eine tragfahige Basis fur den Aufbau der Analysis zu schaffen, xieren wir den Begriff der reellen Zahl, indem wir Axiome f r die reellen Zahlen angeben: Grundeigenschaften, die wir als wahr u betrachten und nicht weiter hinterfragen, aus denen sich aber alle weiteren Aussagen uber reelle Zahlen auf rein logischem Weg ableiten lassen. Diese Axiome sind I. die Korperaxiome (1.1) II. die Anordnungsaxiome (1.2) III. (ein) Vollstandigkeitsaxiom (1.3) (GA): Wir nehmen also an, dass eine Menge R gibt R heit Menge der reellen Zahlen , die den obigen Axiomen genugt. Was das im einzelnen bedeutet, wird im Folgenden erklart. Statt a ist eine reelle Zahl, schreiben wir a R (Sprechweise: a ist Element von R).

1.1

Die K rperaxiome o

Hier werden solche Grundeigenschaften aufgelistet, die zur Begrundung des Rechnens, d. h. der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, ausreichen. In den Axiomen kommen

nur Addition und Multiplikation vor, Subtraktion und Division werden aus diesen abgeleitet.

1.1.1

Axiome der Addition

Wir nehmen folgendes an: Je zwei reellen Zahlen a, b ist genau eine weitere reelle Zahl a + b ihre Summe, zugeordnet und diese Addition genannte Zuordnung genugt den folgenden Bedingungen: (A1 ) Fur alle a, b R gilt a+b=b+a (A2 ) Fur alle a, b, c R gilt (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativitat bezuglich der Addition) (A3 ) Es gibt ein spezielles (eindeutig bestimmtes) Element 0 R, genannt Null(element), so dass fur alle a R gilt a+0=a (Existenz eines neutralen Elements bezuglich der Addition). (A4 ) Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine reelle Zahl (a) (genannt Negatives von a) mit der Eigenschaft a + (a) = 0 (Existenz eines Negativen). (Kommutativitat bezuglich der Addition)

1.1.2

Axiome der Multiplikation

Wir nehmen weiter an: Je zwei Zahlen a, b R ist genau eine weitere reelle Zahl a b, ihr Produkt, zugeordnet und diese Multiplikation genannte Zuordnung erfullt folgende Bedingung (M1 ) Fur alle a, b R gilt ab=ba (M2 ) Fur alle a, b, c R gilt (a b) c = a (b c) (Assoziativitat bzgl. der Multiplikation) (M3 ) Es gibt ein spezielles, (eindeutig bestimmtes,) von 0 verschiedenes Element 1 R, genannt Eins(element), so dass fur alle a R gilt a1=a (Existenz eines neutralen Elements bzgl. der Multiplikation) (M4 ) Zu jedem a R, a = 0, existiert eine weitere reelle Zahl a1 (genannt Inverses von a), so dass gilt a a1 = 1 (Existenz eines Inversen) (Kommutativitat bzgl.. der Multiplikation)

Ferner soll folgendes Axiom uber die Verbindung von Addition und Multiplikation erfullt sein:

(D) Fur alle a, b, c R gilt a (b + c) = (a b) + (a c) (Distributivgesetz)

1.1.3

Bemerkung

Die Axiome besagen, dass die reellen Zahlen R mit den Verknupfungen der Addition und Multipli kation einen K rper bilden, o wenn man darunter eine Menge K versteht, in welcher je zwei Elementen eine Summe a + b und ein Produkt a b so zugeordnet sind, dass fur die Elemente von K die (A1 ) bis (A4 ), M1 bis (M4 ) und (D) entsprechenden Regeln gelten. Wir werden noch zahlreiche Beispiele weiterer Korper kennen lernen. Der Korperbegriff wird auch in der Vorlesung uber Lineare Algebra 1 ausfuhrlich behandelt. Aus dem Schulunterricht gelau ge Rechenregeln, wie

(a)(b) = ab, speziell (1)(1) = 1 oder (a b)(a + b) = a2 b2 lassen sich aus den obigen Axiomen einfach ableiten. Zur Vereinfachung der Schreibweise treffen wir zunachst die folgenden Vereinbarungen: (a) Statt a b schreiben wir meistens einfach ab. (b) Wir vereinbaren die Vorfahrtsregel Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Dann schreibt sich z. B. das Distributivgesetz einfacher a(b + c) = ab + ac Wir ziehen einige Folgerungen aus den Axiomen, wobei wir zunachst nur die Axiome der Addition benutzen.

1.1.4

Folgerungen aus den Axiomen der Addition

(a) Die Summe der Zahlen a, b, c R ist unabhangig von Klammerung und Reihenfolge der Summanden. Man schreibt daher einfach a + b + c. (b) Das Element Null in (A3) ist eindeutig bestimmt. (c) Das Negative zu a in (A4) ist eindeutig bestimmt. (d) Fur je zwei Zahlen a, b R hat die Gleichung a+x=b genau eine Losung x in R namlich x = b + (a) (e) Fur alle a, b R gilt (Vorzeichenregel) (a) = a und Beweis: (a) Wiederholte Anwendung von (A1) und (A2). (a + b) = a b

(b) Es gelte sowohl () a + 0 = a fur alle a R und auch () a + 0 = a fur alle a R. Zu zeigen ist: 0 = 0 . Setzt man in () a = 0 , so folgt setzt man in ()a = 0 so folgt

0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 .

Nach (A1) ist aber 0 + 0 = 0 + 0, daher 0 = 0 . (c) Es sei sowohl a + (a) = 0, als auch a + a = 0 . Zu zeigen ist: a = a . Nun ist a = a + 0 = a + (a + a ) = a + a + a = a + (a) + a = a + a + (a)

= a + 0 = a (d) In der Tat ist x := b + (a) eine Losung der Gleichung a+x=b wie man durch Einsetzen bestatigt: a + b + (a) = a + (a) + b = 0 + b = b + 0 = b . Ist umgekehrt x R eine Losung von a + x = b, so folgt wie oben x = x + 0 = x + a + (a) = a + x + (a) = b + (a). Statt b + (a) schreiben wir einfach b a und nennen diese Zahl die Differenz (von b und a). Damit ist auch die Subtraktion von reellen Zahlen deniert. Man beachte, dass das Minus Zeichen jetzt in zweierlei Bedeutung verwendet wird, einmal bedeutet a die zu a ne gative Zahl, in b a := (b + (a)) bedeutet das eine Rechenoperation, namlich die Subtraktion.

(e) Nach Denition des Negativen ist (a) + ((a)) = 0 . Andererseits ist auch (a) + a = 0 Wegen der Eindeutigkeit des Negativen ist daher (a) = a .

Die zweite Behauptung beweist man etwa so: (a + b) und (a) + (b) sind Losungen der Gleichung (a + b) + x = 0. Wegen der eindeutigen Losbarkeit dieser Gleichung muss (a + b) = (a) + (b) gelten. Vollig analoge Folgerungen kann man nun aus den Axiomen der Multiplikation ziehen, wir fassen uns kurz:

1.1.5

Folgerungen aus den Axiomen der Multiplikation

(a) Das Produkt der Zahlen a, b, c R ist unabhangig von der Klammerung und Reihenfolge der Faktoren, wir schreiben einfach abc . (b) Es gibt in R genau ein Einselement, das Einselement. (c) Zu jedem a R, a = 0, gibt es genau ein Inverses a1 R, das Inverse von a. (d) Fur je zwei reelle zahlen a, b mit a = 0 hat die Gleichung ax = bb genau eine Losung x R, namlich x = a1 b. Statt a1 b schreibt man auch b/a oder a und nennt eine solche Zahl Quotient (oder auch Bruch). Damit ist auch die Division durch reelle Zahlen = 0 deniert (als Umkehrung der Multiplikation).

(e) Fur alle a R, a = 0 gilt (a1 )1 = a und (ab)1 = b1 a1 = a1 b1 , falls a = 0 und b = 0 gilt. (Vgl. 1.1.6.(b)) Beweis: Man schliet wie im Beweis von 1.1.4, indem man + durch ersetzt. Mit Hilfe des Distributivgesetzes ergeben sich weitere Folgerungen.

1.1.6

Folgerungen, in denen zus tzlich (D) benutzt wird a

(a) Fur alle a R gilt a 0 = 0. (b) Fur alle a, b R gilt: ab = 0 genau dann, wenn a = 0 oder b = 0. (c) Fur alle a, b R gilt (d) Fur alle a, b R gilt (a)(b) = ab, speziell (1)(1) = 1 . e) Regeln der Bruchrechnung: Fur alle a, b, c, d R, b = 0, d = 0 gilt (a)b = a(b) = (ab) . (die Vorzeichenregel) (Nullteilersatz)

() () () ()

a b a b a ba b c d

= c d

c d c d

genau dann, wenn ad = bc. Speziell gilt fur alle x = 0 : =adbc bd .

ax bx

= a. b

=ad bc

ac bd .

=

(falls auch c = 0).

Beweis: (a) Aus 0 + 0 = 0 folgt nach (D) a 0 + a 0 = a(0 + 0) = a 0 . Wegen der eindeutigen Losbarkeit der Gleichung (bzgl. y). a0+y =a0 muss a 0 = 0 sein. (b) Ist b = 0, dann gilt nach (a) a 0 = 0. Genauso gilt naturlich 0 b = 0. Sei umgekehrt a b = 0. Dann ist zu zeigen: a = 0 oder b = 0. Ist b = 0, dann braucht nichts bewiesen werden. Ist aber b = 0, dann existiert b1 , und es folgt 0 = a b1 = (a b)b1 = a(b b1 ) = a 1 = a . Beachte: Fur die 2 2-Matrizen A := AB = Frage: Was ist BA? (c) Wir beweisen z. B. a(b) = (ab). Es ist b + (b) = 0 und daher. ab + a(b) = a(b + (b)) = a 0 = 0. a(b) lost also die Gleichung ab + x = 0. Andererseits ist nach Def. ab + ((ab)) = 0, daher ist a(b) = (ab) = ab. (d) Es ist (a)(b) = (a(b)) = ((ab)) = ab Speziell gilt also (1)(1) = 1. Ubung: Versuchen Sie die letzte Gleichung direkt zu beweisen, indem Sie von 1 + (1) = 0 ausgehen. (e) Bei den Regeln der Bruchrechnung beweisen wir exemplarisch () und (): Fur reelle Zahlen a, b, c, d mit b = 0 und d = 0 gilt: a c = b d genau dann, wenn gilt: ad = bc . nach (c) nach (c) nach 1.1.4(e) . 0 0 0 0 0 0 0 1 und B := 0 0 1 0 gilt

(AB ist das Matrizenprodukt) .

Die Richtung () in () : Wir multiplizieren die linke Gleichung mit bd und erhalten: (ab1 )(bd) = (cd1 )(bd) a(b1

oder oder also

b)d = c(d a1d = c1b

1

d)b

ad = cb = bc . Es folgt also ad = bc, die rechte Gleichung. Die Richtung () in () : Ist jetzt ad = bc, dann folgt durch Division dieser Gleichung durch bd(= 0): bc ad = bd bd a c = . b d oder

Folgerung: Fur jedes x R mit x = 0 ist deshalb auch: ax a = b bx (Erweitern und Kurzen)

() : Es ist ( dabei wird die obige Folgerung verwendet ) c ad cb ad bc ad + bc a + = + = + = . b d bd db bd bd bd (Beachte: Aus b = 0 und d = 0 folgt bd = 0.) ad + bc Ubung: Geben Sie einen etwas anderen Beweis, indem Sie benutzen, dass die einbd deutig bestimmte Losung der Gleichung bd x = ad + bc ist.

1.1.7

Ein ausfuhrliches Beispiel

Fur alle a, b R gilt die binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Beweis: Zunachst ist 2 := 1 + 1 und fur x R ist x2 := xx. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a(a + b) + b(a + b) = (aa + ab) + (ba + bb) = ((aa + ab) + ba) + bb = (aa + (ab + ab)) + bb = (aa + (ab 1 + ab 1)) + bb = (aa + ab(1 + 1)) + bb = aa + (1 + 1)ab + bb = a2 + 2ab + b2 nach Def. nach (D) nach (A1 ) nach (D) nach (A2 ) nach (A2 ) und (M1 ) nach (M3 ) nach (M3 ) und (D) nach (M1 ) nach Def.

Wenn bis jetzt auch nur Altbekanntes - wie z. B. die Vorzeichenregeln, die binomische Formel (im Spezialfall) o der die Regeln der Bruchrechnung herausgekommen sind, hat die axiomatische Methode den Vorteil, dass die aus den Korperaxiomen abgeleiteten Regeln fur alle K rper gelten. o Davon gibt es - wie schon bemerkt - sehr viele, z.B. bilden die rationalen Zahlen oder die komple xen Zahlen Korper bzgl. der jeweils dort denierten Operationen Addition und Multiplikation. Einen skurrilen Korper erhalt man in folgendem

1.1.8

Beispiel: K rper mit 2 Elementen o

Nach Def. muss ein Korper mindestens zwei Elemente enthalten (wegen 1 = 0). Sei K = { eine Menge mit = 0, 1} 0 1. Wir denieren eine Addition und Multiplikation durch folgende Tabellen: + 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1

Die Korperaxiome sind leicht nachzuprufen, K ist tatsachlich ein Korper, in dem += 1 1 0 gilt. In der Algebra zeigt man, dass es zu jeder Primzahl p einen Korper mit p Elementen gibt, allgemeiner gibt es zu jeder Primzahlpotenz pn , n eine naturliche Zahl, einen Korper mit pn Ele menten. Also gibt es z. B. Korper mit 4, 8, 9, 16, 65536 oder auch 65537 Elementen, oder auch mit 213 466 917 1 Elementen. Der Korper K = { ist der kleinste Korper, den man sich vorstellen 0, 1} kann. In der Literatur wird er auch haug mit F2 oder Z/2Z bezeichnet. Dass auch in R die Gleichung 1+1=0 gilt, konnen wir also bisher nicht ausschlieen. Aus den Anordnungsaxiomen wird sich jedoch ergeben, dass R die Gleichung 1+1=0 nicht erfullt sein kann.

1.2

Die Anordnungsaxiome

Die Anordnungsaxiome, welchen wir uns nun zuwenden wollen, stellen die Grundlage fur das Rechnen mit Ungleichungen, fur Absch tzungen und auch fur die elementare Fehlerrechnung dar. Una gleichungen sind in der Analysis (mindestens) so wichtig, wie Gleichungen in der Algebra. Wir nehmen folgendes an: In R ist eine Teilmenge P , genannt die positiven Zahlen - ausgezeichnet, so dass folgende Eigenschaften gelten: (AnO1 ) : Fur jede reelle Zahl a gilt genau eine der folgenden Aussagen: a P, a = 0 oder (a) P (AnO2 ) : Fur beliebige a, b P gilt a + b P . (AnO3 ) : Fur beliebige a, b P gilt ab P .

Sprechweise: Statt a P sagen wir auch a ist positiv und verwenden dafur die Abkurzung a > 0. Ist a P , dann heit a negativ, Abkurzung a < 0. Eine reelle Zahl ist also entweder positiv oder negativ oder gleich Null. Durch Auszeichnung der positiven reellen Zahlen kann man auch zwei reelle Zahlen der Groe nach vergleichen. Man deniert fur a, b R aa ba : baP . .[ a < b oder a = b] Sprechweise: a kleiner b und b groer a, bzw. a kleinergleich b und b groergleich a. Die Beziehungen a < b bzw. a b nennt man auch Ungleichungen, in manchen Zusammenhangen auch Absch tzungen a 1.2.1Denition (Angeordneter K rper) o Die reellen Zahlen R bilden einen (an)geordneten K rper, wenn man darunter einen Korper K o versteht, in welchem ein Positivitatsbereich P so ausgezeichnet ist, dass die Grundeigenschaft (AnO1 ), (AnO2 ) und (AnO3 ) gelten. Die rationalen Zahlen bilden auch einen angeordneten Korper.1.2.2Eigenschaften von < und a < b oder a = b oder a > b(a) Trichotomiegesetz: Fur je zwei reelle Zahlen a, b gilt genau eine der Aussagen: (b) Transitivit t: Fur beliebige a, b, c R gilt: a Aus a < b und b < c folgt a < c (c) Vertr glichkeit mit der Addition: Fur beliebige a, b, c, d R gilt: Aus a a bc. (d) Aus 0 a < b und 0 c < d folgt 0 ac < bd. Kurz: Ungleichungen zwischen nicht negativen Zahlen, darf man multiplizieren.43.532.521.510.50.511.52 x2.533.54Abbildung 1: Graph der Funktion f :]0, []0, [, f (x) = 1/x. (e) Spiegelungseigenschaft: Fur a, b R gilt: a < b genau dann, wenn a > b Aus a b und b a folgt a = b. (g) Fur jede a R mit a = 0 ist a2 > 0, insbesondere ist 1 = 12 > 0 und 1 < 0, also auch 1 = x2 fur alle x R. (h) Fur a R gilt: Es ist a > 0 gleich bedeutend mit a1 > 0. (i) Fur a, b R mit 0 < a < b folgt a1 > b1(f) Vergleichbarkeit: Fur a, b R gilt: Hieraus folgt z.B. dass die Funktion aus der Abbildung 1 f :P R streng monoton fallt. 1 x xBemerkung: Veranschaulicht man sich die Menge R der reellen Zahlen als die Punkte auf einer Geraden, auf der zwei verschiedene Punkte 0 und 1 als Wahl vom Ursprung (Nullpunkt) und Maeinheit markiert sind und zwar so, dass 1 rechts von 0 liegt, dann liegen die positiven Zahlen rechts vom Nullpunkt, die negativen links davon. Von zwei Zahlen ist diejenige groer, die weiter rechts liegt. Addition einer Zahl bedeutet eine Verschiebung (Translation). Der Ubergang von a zu a bedeutet eine Spiegelung am Nullpunkt, wobei die Rollen von rechts und links vertauscht werden.Gelegentlich werden wir auch Ungleichungen verketten. Stattb ra r0 1 a rb ra < b und b < c, schreiben wir kurz a < b < c, z. B. 0 < 1 < 2.Dabei sollte man jedoch immer nur gleichsinnige Ungleichungen verketten. Beweis von 1.2.2 (a) Man muss nur die Denition einsetzen: a < b bedeutet a = b bedeutet a > b bedeutet baP ba=0 a b = (b a) P Nach (AnO1 ) tritt fur jede reelle Zahl x genau eine dieser Falle ein. (b) Aus a < b, d. h. b a P und b < c, d. h. c b P folgt nach (AnO2 ) (c b) + (b a) P , das heit aber (c a) P und das bedeutet a < c. (c) Wir behandeln zunachst den Fall c < d. Dann besagen die Voraussetzungen (b a) P und (d c) P , dann gilt nach (AnO2 ) (b a) + (d c) P . Es ist aber (b a) + (d c) = b + d (a + c), also a+c 0, dann ist zu zeigen, dass aus a < b folgt: ac < bc oder bc ac P . Nach Voraussetzung ist aber a < b, d.h. b a P , und nach (AnO2 ) folgt fur c > 0 auch (b a)c P . (b a)c ist aber nach dem Distributivgesetz bc ac, also gilt bc ac P , d.h. ac < bc. Der Beweis im Fall c < 0 (dann ist c > 0) verlauft vollig analog. (e) Aus a < b folgt durch Addition von ba nach 1.2.1 (c) ba+a < ba+b, also b < a. (f) Zu zeigen: Aus a b und b a folgt a = b. a b bedeutet: a = b oder a < b. b a bedeutet: b = a oder b < a. Wegen der Trichotomie konnen a < b und b < a nicht gleichzeitig gelten, also muss a = b gelten. (g) Ist a > 0, so ist auch a2 > 0 nach (AnO3 ). Ist a < 0, so ist (a) > 0, also (a)(a) > 0. Es ist aber (a)(a) = (a(a)) = ((aa)) = aa = a2 . Der endliche Korper F2 aus Beispiel 1.1.8 lasst sich nicht anordnen. Wegen = musste die Alternative < oder < gelten. 1 0 0 1 1 0 Durch Addition von zur linken Ungleichung folgt = < = also ein Widerspruch, 1 1 0+ 1 1+ 1 0, da nicht gleichzeitig < und < gelten kann. 0 1 1 0 Vollig analog schliet man, falls < sein sollte. Auch der Korper C der komplexen Zahlen 1 0 lasst sich nicht anordnen, weil es eine komplexe Zahl i gibt, fur die i2 = 1 gilt. Erst jetzt sieht man, dass R mehr Zahlen als nur die Zahlen 0 und 1 enthalt: Deniert man 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, . . . so folgt jetzt 0 < 1, 1 < 1 + 1 = 2, 1 + 1 < 2 + 1 = 3, also 2 < 3 etc. R enthalt also mindestens alle Zahlen, die man durch sukzessive Addition von 1 aus Null (bzw. 1) erhalt. (h) Ist a > 0, dann ist a1 = 0, da a a1 = 1 = 0 ist (Nullteilersatz). Ware a1 =1 a< 0, dann folgt mit (d) aa1 = 1 < 0 ,das steht aber im Widerspruch zu 1.2.2(8). Also folgt aus a > 0 auch a1 = sondere ist 0 < 1 < 1. Die Umkehrung gilt naturlich auch: 2 Aus a1 > 0 folgt a > 0. Man verwendet den gleichen Schluss wie eben und beachtet (a1 )1 = a. (i) Man zeigt etwas allgemeiner: Unter der Voraussetzung ab > 0 gilt: a < b genau dann, wenn Es ist1 b 1 < a.1 a> 0. Insbe-1 1 ba = . a b ab : Ist nun a < b, dann ist b a > 0 und auch gilt (ab)1 > 0, also ist die rechte Seite positiv, das heit 1 1 1 1 > 0 oder < . a b b a : Ist die linke Seite positiv, dann muss wegen ab > 0 auch b a > 0 gelten, d.h. es ist a < b.1.2.3Kleine Anwendungen a+b 0 gilt, muss sie speziell also auch := a gelten und damit 2 2a a oder a 0 im Widerspruch zur Annahme a > 0. Mit Hilfe der Anordnung der reellen Zahlen lassen sich wichtige Teilmengen von R denieren, die Intervalle. Die meisten (reellen) Funktionen, die wir betrachten werden, haben Intervalle als Denitionsbereich, oder die Denitionsbereiche setzen sich aus Intervallen in einfacher Weise zusammen. Angaben wie 3, 14 < < 3, 15 oder 1, 414 < 2 < 1, 415 bedeuten, dass im Intervall zwischen 3, 14 und 3, 15 bzw. dass 2 im Intervall zwischen 1, 414 und 1, 415 liegt.1.2.5Denition (Intervalle)Jede der in der folgenden Liste aufgefuhrte Teilmenge von R heit Intervall. 1. Abgeschlossene (sogar kompakte) Intervalle (a) Fur a, b R mit a < b sei [a, b] := {x R ; a x b} . (b) Fur a = b sei [a, a] := {a} . 2. Offene Intervalle(a) ]a, b[= {x R ; a < x < b} (a < b) (b) Im Fall a = b ist ]a, a[:= , wir fassen die leere Menge also auch als Intervall auf. 3. Halboffene Intervalle (a) [a, b[= {x R ; a x < b}(b) ]a, b] = {x R ; a < x b} 4. Abgeschlossene Halbstrahlen (a) [a, [= {x R ; x a}(b) ] , b] = {x R ; x b} 5. Offene Halbstrahlen (a) ]a, [= {x R ; x > a}(b) ] , b[= {x R ; x < b}6. Die Zahlengerade ] , [:= R. Mit der leeren Menge , den einpunktigen Intervallen {a} und ganz R gibt es also genau 11 Intervalltypen. Die Bezeichnungen abgeschlossenes, kompaktes, offenes, . . . , Intervall sind im Augenblick nur Namen. In den Fallen 1., 2. und 3. heit := b a die L nge des jeweiligen Intervalls. a Der Unterschied zwischen dem abgeschlossenen Intervall [a, b] und dem offenen Intervall ]a, b[ besteht offensichtlich darin, dass im ersten Fall die beiden Randpunkte a und b zum Intervall gehoren, im zweiten Fall aber nicht zum Intervall gerechnet werden. Auf diese Begriffsbildungen kommen wir spater ausfuhrlich zuruck. Fur unsere spateren Kover genzbetrachtungen wichtiges Intervall erhalt man so: Ist a R und R, > 0, dann heit das offene Intervall ]a , a + [ auch -Umgebung von a. Bezeichnung: U (a) :=]a , a + [ Veranschaulichung: a ] a a+ [ Mit Hilfe der Anordnung von R konnen wir einen wichtigen Begriff der Analysis einfuhren, den Betrag. Gleichzeitig erhalten wir ein Beispiel fur eine wichtige Funktion (die stetig ist, aber im Null punkt nicht differenzierbar ist).1.2.6Denition (Betrag) a, falls a > 0 0, falls a = 0 a, falls a < 0Ist a R so heit die Zahl |a| = der Betrag von a. Ordnet man jeder reellen Zahl x ihren Betrag |x| zu erhalt man eine Funktion: ||: R x R, |x| ,deren Graph die bekannte Gestalt aus der Abbildung 3 hat. Der Betrag ignoriert das Vorzeichen (Signum) einer reellen Zahl, das man formal durch 1, falls 0, falls sign (a) = 1 falls denieren kann. Offenbar gilt |a| = a sign(a)a>0 a=0 a 0: |x| < ist gleichbedeutend mit < x < . 1.2.8Satz: (Eigenschaften des Betrags)Fur a, b R gilt (a) |a| 0 und [ |a| = 0 a = 0 ] . (b) |a b| = |a| |b| (Multiplikativit t), speziell | a| = |a| , a (b) |a| a = , falls b = 0 . b |b|(c) |a b| |a| + |b| (Dreiecksungleichung) , (d) |a| |b| |a b| (Dreiecksungleichung f r Absch tzungen nach unten). u aBeweis: (a) folgt unmittelbar aus der Denition (b) Wegen |ab| 0 und |a| |b| 0 gilt stets |ab| = ab = |a| |b|. Man kann den Beweis auch durch Fallunterscheidungen fuhren, man hat dann vier Falle zu unterscheiden (siehe Vorlesung). (b) folgt wegen a b = a aus der Multiplikativitat (b). b Man kann den Beweis auch durch Fallunterscheidungen fuhren, man hat dann vier Falle zu unterscheiden (siehe Vorlesung).(c) Aus |b| b |b| folgt (nach 1.2.2(c)) |a| a |a| und|a + b| |a| + |b|.(|a| + |b| a + b |a| + |b| und damit nach Hilfssatz 1.2.7 Ersetzt man b durch b in |a + b| |a| + |b|, so erhalt man |a b| |a| + | b| = |a| + |b|. (d) Mit (c) folgt: |a| |b| |a b|. |a| = |(a b) + b| |a b| + |b|, daherVertauscht man die Rollen von a und b, so folgt|b| |a| |b a| = |a b|, daher |a| |b| |a b|. Ersetzt man b durch b, so folgt auch |a| |b| = |a| | b| |a (b)| = |a + b|.Bemerkungen: Deniert man als Abstand von a, b R die Zahl d(a, b) := |a b|, dann besagt (d), dass der Abstand von a und b mindestens so gro ist, wie der Abstand ihrer Betrage. Auch in hoheren Dimensionen, schon in R2 , besagt die Dreiecksungleichung, dass zwei Seiten eines Dreiecks zusammen immer mindestens so lang sind wie die dritte Seite. C r @r @@@ B @@@@ @@ @@ @@ @@ @ rAd(A, C) d(A, B) + d(B, C)In der Dimension eins, degeneriert das Dreieck zu drei Punkten auf der Zahlengeraden die Aussage der Dreiecksungleichungen bleiben dennoch richtig, wir werden sie z. B. im nachsten Kapitel (Folgen und Reihen) dauernd verwenden. Ein Korper K zusammen mit einer Abbildung | | : K R mit den folgenden Eigenschaften: (a) |a| 0 fur alle a K und |a| = 0 genau dann, wenn a = 0 ist, (b) |a b| = |a| |b| fur alle a, b K, (c) |a + b| |a| + |b| fur alle a, b K, heit bewerteter Korper. R ist also ein bewerteter Korper. Wir werden sehen, dass der Korper der komplexen Zahlen kein angeordneter Korper aber ein bewerteter Korper ist. Ferner gibt es fur jede Primzahl p eine Bewertung | |p fur den Korper der rationalen Zahlen Q: pu a bp:= pua, b Z, a = 0, b = 0 , u Z , a, b nicht teilbar durch p, |0|p := 0 . Zeigen Sie als Ubung: (a) Fur alle a R gilt |a| = | a|, indem Sie die Denition des Betrags verwenden und nicht auf die Multiplikativitat und a = (1)a zuruckgreifen. (b) Fur alle a R gilt |a| 0 und |a|2 = a2 . Zeigen Sie, dass diese Eigenschaften den Betrag charakterisieren, d.h. ist x R, x 0 und x2 = a2 , dann ist x = |a|. Verwenden Sie diese Charakterisierung, um die Multiplikativitat |a b| = |a| |b| anders zu beweisen.Fur das in 1.2.3(d) behandelte Beispiel gilt also fur den relativen Fehler mit |x| 1 10 .y0 y y1 100fur alle x R Als weiteres Beispiel behandeln wir die folgende1.2.9AufgabeZu bestimmen ist die Menge M := x R ; x = 0, 5 +x 0 mit der Eigenschaft x s0 fur alle x M . Dann ware auch s0 eine obere Schranke von M und wegen s0 < s0 eine kleinere obere Schranke als s0 . Widerspruch. Zum Beweis der Umkehrung ( die Bedingung sei als erfullt ) betrachten wir neben s0 eine weitere obere Schranke s von M . Ware nun s < s0 , dann gibt es nach Voraussetzung (zu := s0 s > 0) ein x M Mir s < x. Das widerspricht der Voraussetzung, dasss obere Schranke von M ist. Daher ist s0 s fur jede obere Schranke s von M . s0 ist also das Supremum von M . Wir werden sehen, dass das Vollstandigkeitsaxiom (V) die rationalen Zahlen von den reellen Zahlen unterscheidet. Die rationalen Zahlen, die Standardbezeichnung ist Q, bilden ebenfalls einen angeordneten Korper, in welchem die Gleichung r2 = 2 jedoch keine Losung hat, d.h. es gibt keine rationale r mit r2 = 2. Schlagwort: 2 ist irrational. Wir zeigen als Anwendung des Vollstandigkeitsaxioms, dass es zu jeder nicht negativen reellen Zahl a eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl x gibt, fur die x2 = a gilt. 1.3.2 Satz (Existenzsatz fur Quadratwurzeln)Zu jeder reellen Zahl a mit a 0 existiert eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl x mit x2 = a. x heit die Quadratwurzel aus a und wird mit a bezeichnet. Beweis: 1. Fall: a = 0. Obwohl man den Fall a = 0 im Folgenden mitbehandeln konnte, behandeln wir ihn vorab. Die Gleichung x2 = 0 hat nach der Nullteilerregel nur die Losung x = 0. Wir setzen daher 0=0. 2. Fall: a > 0. (a) Existenz: Wir betrachten die folgende Menge M := { y R ; y 0; y 2 a } . Erinnerung: y 2 := yy. Wegen 02 = 0 < a ist 0 M , also M = . Offensichtlich ist a + 1 eine obere Schranke von M , denn ist y > a + 1, so ist y 2 > (a + 1)2 = a2 + 2a + 1 > a. Ist also y M , dann ist y a + 1. M besitzt also nach dem Vollstandigkeitsaxiom (V) ein Supremum: x := sup M . Behauptung: x > 0 und x2 = a. Wegen 0 M ist 0 x. Offensichtlich ist y0 := min{1, a} M , daher 0 < y0 x, also x > 0.Wir zeigen x2 = a, indem wir die Annahmen x2 < a und x2 > a jeweils zu einem Widerspruch fuhren. Nach dem Trichotomiegesetz muss also x2 = a gelten. Ware x2 > a, dann ist auch s := x x2 a 0eine obere Schranke von M mit s < x, denn es gilt: s2 = x x2 a 2x2= x2 2xx2 a + 2xx2 a 2x>02x2 a > x2 2x 2x = x2 (x2 a) =a. Es folgt dann fur jedes y M : und hieraus (wegen y 0 und s > 0) y 2 a < s2 y 0 und (x + )2 = x2 + 2x + 2 = x + (2x + 1) x2 + (2x + 1) = x2 + (a x2 ) =a, also ist auch x + M , und x + > x. a x2 2x + 1 x2 + 2x + 2a x2 }. 2x + 1(wegen 1) Damit ware x nicht obere Schranke von M . Also ist auch x2 < a unmoglich. Daher bleibt nur x2 = a. (b) Eindeutigkeit: Ware fur eine positive Zahl x1 auch x2 = a, so folgt: 1 (x x1 )(x + x1 ) = x2 x2 = a a = 0 , 121.510.5012 x34Abbildung 5: Graph der Funktion f : R0 R0 , f (x) = Wegen x + x1 > x > 0 folgt aus der Nullteilerregel x x1 = 0, also x = x1 . x.Die Schreibweisea fur die Zahl x ist also gerechtfertigt. Ubung: Man zeige, dass fur alle a, b R, a 0, b 0 gilt: ab= a b. Ferner beweise man die MonotonieEigenschaft: Aus 0 a < b folgt 0 a< b. Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl ihre Quadratwurzel zu, so erhalt man eine Funktion (Abbildung 5) : R+ := {x R; x 0} R x x . Man beachte: Es gilt x2 = |x| (und nicht etwa x) fur alle x R. Bemerkung: a ist eine Losung der Gleichung x2 = a. Aber ihr Negatives a ist auch Losungen der Gleichung x2 = a. Man konnte jeder nicht negativen reellen Zahl a auch die negative Zahl a zuordnen und erhalt dadurch ebenfalls eine Funktion (der sog. Nebenzweig der Quadrat wurzel, Abbildung 6), die meistens in der reellen Analysis unterschlagen wird. a und a sind also Losungen der Gleichung x2 = a, die verschieden sind, wenn a > 0 ist, und nur im Fall a = 0 zusammenfallen. Bemerkung: Es gibt ein vollig analogen Existenzsatz fur kte Wurzeln, k eine naturliche Zahl k 2: 1 0x 234-0.5-1-1.5-2 Abbildung 6: Graph der Funktion f : R0 R0 , f (x) = x. 1.3.3 Satz (Existenzsatz fur kte Wurzeln)Zu jeder nicht negativen reellen Zahl a und zu jeder naturlichen Zahl k 2 gibt es genau eine nicht negative reelle Zahl x, fur die xk = a gilt. x heit die kte Wurzel aus a und wird mit k a oder a1/k bezeichnet. Man kann den Beweis in volliger Analogie zum Beweis des letzten Satzes fuhren, wir verzichten aber hier darauf, weil wir die Existenz der kten Wurzeln auf verschiedene andere Weisen beweisen werden. Schlussbemerkung: Durch die Korperaxiome, die Anordnungsaxiome und den Vollstandigkeitsaxiom (V) ist das System der reellen Zahlen eindeutig bis auf Isometrie festgelegt. Ohne diesen Begriff zu prazisieren, sei angemerkt, dass wir z.B. spater zeigen werden, dass sich jede reelle Zahl mit Hilfe der in den Axiomen auftretenden Zahlen 0 und 1 eindeutig als Dualbruch darstellen lasst. 2 Naturliche Zahlen (vollst ndige Induktion) ganze Zahlen, rationale a Zahlen In einem beliebigen Korper K gibt es zumindest die Elemente 0 und 1. Um weitere Zahlen zu de nieren, liegt es nahe, einfach sukzessive die 1 zu addieren, also 2 := 1+1, 3 := 2 = 2+1, 4 := 3+1, usw. und die so erhaltenen Zahlen als nat rliche Zahlen in K zu bezeichnen. Das Beispiel F2 des u endlichen Korpers mit zwei Elementen zeigt jedoch, dass dieses Verfahren nicht unseren Vorstellungen entspricht, den in F ist 2 := 1 + 1 = 0. Auf Grund der Anordnungsaxiomen in R konnen jedoch in dem angeordneten Korper R (das Glei che gilt fur jeden angeordneten Korper K) solche Pathologien nicht auftreten. Wir skizzieren im folgenden, wie man die naturlichen Zahlen (Standardbezeichnung ist N) als Teil menge von R denieren kann (R denken wir uns auf Grund der Grundannahme (GA) und der Korper- und Anordnungsaxiome gegeben. Als Nebenprodukt erhalten wir das Beweisprinzip der vollstandigen Induktion. Dieses ist ein beweisbarer Satz und kein Axiom (wie etwa im Buch von Forster oder bei Konigsberger). Unsere Vorstellung von den naturlichen Zahlen ist, dass man einen Anfang des Z hlens hat, namlich 1, und wenn wir irgendeine noch so groe naturliche Zahl, sagen a wir N konstruiert haben, gibt es noch eine groere, z.B. (N + 1). Die naturlichen Zahlen werden groer und groer, die Menge der naturlichen Zahlen hat sicher kein Maximum. Aber sind die naturlichen Zahlen vielleicht doch durch eine reelle Zahl nach oben beschrankt? Relativ klar ist auch, dass es unendlich viele naturliche Zahlen gibt. Aber was heit das genau? Auch das werden wir (aber erst spater) prazisieren.2.1 Die naturlichen ZahlenDie folgende Denition der naturlichen Zahlen mag auf den ersten Blick merkwurdig erscheinen, hat aber den Vorteil exakt zu sein, weil die Unbestimmtheit und das zeitliche Moment, die im Begriff der sukzessiven Addition enthalten sind, vermieden werden. 2.1.1Denition (Z hlmenge) aEine Teilmenge Z R heit Z hlmenge (induktiv oder Nachfolgemenge) falls gilt a (a) 1 Z (b) Fur alle x Z ist auch stets (x + 1) Z. R s