AnalysisIKurzskript - Math: Startseiteszekelyhidi/Analysis_I_files/Zusammenfassung.pdf · Prof. Dr. Laszl´o Sz´ekelyhidi Analysis I, WS 2012 2 Die Arbeitsweise des Mathematikers

Analysis I Kurzskript

25. Januar 2013

Inhaltsverzeichnis

1 Die Sprache der Mathematik 51.1 Mathematische Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Die Arbeitsweise des Mathematikers 62.1 Induktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Deduktiv: die axiomatische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Axiome der reellen Zahlen R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Die naturlichen Zahlen N := {0, 1, 2, 3, . . .} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Folgen, Reihen und Grenzwerte I 73.1 Folgen reeller Zahlen (an)n∈N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Folgen, Reihen und Grenzwerte II 84.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Bestimmte Divergenz / Uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Vollstandigkeit 95.1 Cauchyfolgen und Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Teilfolgen und Haufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Beschrankte Folgen I 106.1 Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 sup / inf und min /max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7 Beschrankte Folgen II 117.1 Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2 lim sup und lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.3 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8 Metrische Raume I 128.1 Metrische Raume (X, d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Konvergenz in metrischen Raumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.3 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

9 Metrische Raume II 139.1 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.2 Vollstandigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

Prof. Dr. Laszlo Szekelyhidi Analysis I, WS 2012

10 Konvergenz auf Rd; Konvergente Reihen I 1410.1 Der euklidische Raum Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410.2 Reihen mit nicht-negativen Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410.3 Absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

11 Konvergente Reihen II 1511.1 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.2 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

12 Potenzreihen und Exponentialfunktion 1612.1 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.2 Reelle Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

13 Potenzreihen und Exponentialfunktion II 1713.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.2 Korper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

14 Komplexe Potenzreihen 1814.1 Korper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.2 Konvergenz in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.3 Komplexe (Potenz)reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

15 Stetigkeit in metrischen Raumen I 1915.1 Allgemeine Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

16 Stetigkeit in metrischen Raumen II 2016.1 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.2 Gleichmaßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

17 Stetigkeit R → R 2117.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.2 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.3 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

18 Elementare Funktionen und Grenzwerte I 2218.1 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.2 Einige Grenzwerte mit exp und log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

19 Elementare Funktionen und Grenzwerte II 2319.1 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.2 Die Zahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

20 Die Funktionen tan, arctan, arcsin und arccos 24

21 Differentialrechnung auf R 2421.1 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

22 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 2522.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

23 Probeklausur 26


24 Mittelwertsatz und Anwendungen 2724.1 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.2 Regel von de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

25 Extrema, Monotonie 2825.1 Kriterium fur Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2825.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

26 Konvexitat 2926.1 Anwendungen von Konvexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

27 Das Riemann’sche Integral 3027.1 Charakterisierung von Riemann-integrierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 30

28 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung 3128.1 Riemann’sche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3128.2 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

29 Integrationsmethoden 3229.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.2 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


Empfohlene Literatur

[F] Otto Forster: Analysis 1

[H] Stefan Hildebrandt: Analysis 1

[K] Konrad Konigsberger: Analysis 1

9. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi


1 Die Sprache der Mathematik

[F] §1

[H] §1.4

[K] §1

1.1 Mathematische Aussagen

tertium non datur

1.2 Aussagenlogik

• Implikation: P ⇒ Q, P (n) ⇒ Q(n)

• Aquivalenz: P ⇔ Q

• Konjuktion: P und Q

• Disjunktion: P oder Q

• Negation: nicht P

Beispiel 1 (Fallunterscheidung).

(x− 1)(x− y) = 0

(y − 3)(x2 − y2 + 1)y = 0

1.3 Beweise

• Direkter Beweis;

• Indirekter Beweis; Beispiel 3|n2 ⇒ 3|n;• Widerspruchsargument; Beispiel

√2 irrational;

• Vollstandige Induktion.

Kontraposition:{

P ⇒ Q}

⇔{

nicht Q⇒ nicht P}

1.4 Vollstandige Induktion

(1) Induktionsanfang: P (n0) fur ein n0 ∈ N;

(2) Induktionsschritt: P (n) ⇒ P (n+ 1).

Beweisprinzip: aus (1) und (2) folgt P (n) fur alle n ≥ n0.

Definition 1 (Summen/Produktzeichen).

0∑

k=1

ak = 0 und

k+1∑

k=1

ak = ak+1 +

k∑

k=1

ak;

0∏

k=1

ak = 1 und

k+1∏

k=1

ak = ak+1 ·k∏

k=1

ak.

Satz 1.∑n

k=1 k = n(n+1)2

Satz 2. Die Anzahl Anordnungen von {1, . . . , n} ist n!

Satz 3 (Bernoulli’sche Ungleichung). Falls x > −1 und n ∈ N, dann (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Satz 4 (geometrische Reihe).∑n

k=0 xk = 1−xn+1

1−x .

Satz 5. Die Anzahl k-elementigen Teilmengen von {1, . . . , n} ist(

nk

)

.

Satz 6 (Binomischer Lehrsatz).

(x+ y)n =

n∑

k=0

(

n

k

)

xkyn−k.




2 Die Arbeitsweise des Mathematikers

2.1 Induktiv

Beispiel 1. Der Kreis besitzt unter allen ebenen Figuren mit gleichem Flacheninhalt den kleinstenUmfang.

Beispiel 2. an = n2 + n+ 41 ist eine Primzahl fur alle n ≤ 39!

Beispiel 3.∑n

k=1(4k2 − 1)−1 = n

2n+1 .

2.2 Deduktiv: die axiomatische Methode

Grundbegriffe werden nicht definiert, sondern durch Axiome beschrieben.

2.3 Axiome der reellen Zahlen R[F] §2-3

• Algebraischen Axiome, Definition eines Korpers;

• Anordnungsaxiome;

• Das Archimedische Axiom (Gegenbsp. Korper der rationalen Funktionen);

• Das Vollstandigkeitsaxiom (siehe Vorlesung 5)

Satz 1. Die Zahl 0 ist eindeutig bestimmt. Die Zahl 1 ist eindeutig bestimmt.

Satz 2. Fur alle x ∈ R ist −x eindeutig bestimmt. Weiterhin gilt −0 = 0. Das Inverse ist eindeutigbestimmt, und es gilt 1−1 = 1.

Satz 3. Die Gleichung a + x = b hat eine eindeutig bestimmte Losung, namlich x = b − a. DieGleichung ax = b hat eine eindeutig bestimmte Losung, namlich x = a−1b.

Satz 4. x · 0 = 0 fur alle x ∈ R.

Satz 5. xy = 0 genau dann wenn x = 0 oder y = 0.

Satz 6. 1 > 0

Beispiel 4. R, Q, Z, C

2.4 Die naturlichen Zahlen N := {0, 1, 2, 3, . . .}Definition 1. Eine Teilmenge eines Korpers heißt induktiv, falls 0 ∈M und (a ∈M ⇒ a+1 ∈M).

N ist die kleinste induktive Teilmenge von R.

Definition 2.

|x| ={

x x ≥ 0

−x x < 0

Satz 7. (a) Fur alle x ∈ R gilt: |x| ≥ 0 und |x| = 0 genau dann wenn x = 0. (b) |xy| = |x||y|, (c)|x+ y| ≤ |x|+ |y|.




3 Folgen, Reihen und Grenzwerte I

[F] §4

3.1 Folgen reeller Zahlen (an)n∈N

Definition 1. Eine Folge (an)n∈N heißt konvergent falls es ein a ∈ R gibt, so dass folgendeBedingung gilt: fur alle ε > 0 existiert ein N ∈ N so dass

|an − a| < ε fur alle n ≥ N .

Negation der Bedingung in obiger Definition: Es existiert ein ε > 0 so dass fur alle N ∈ N

existiert n ≥ N mit |an − a| ≥ ε.

Notation: abgeschlossene [a, b] und offene ]a, b[ Intervalle.

Definition 2. beschrankte Folgen

Satz 1. Jede konvergente Folge ist beschrankt.

Beispiel 1.

• konstante Folge an = a; an → a,

• an = 1n ; an → 0,

• an = (−1)n; nicht konvergent,

• an = nn+1 ; an → 1,

• an = n2n ; an → 0,

• Fibonacci Zahlen, f0 = 0, f1 = 1, fn+2 = fn + fn+1 fur n ≥ 0.

• unendliche Kettenbruche; a0 = 0, an+1 = 1 + 11+an

.

Satz 2. Das Limes einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.

Satz 3 (Regeln und Operationen mit Folgen).

(i) aus an → a und bn → b folgt an + bn → a+ b;

(ii) aus an → a und bn → b folgt anbn → ab;

(iii) aus an → a und bn → b folgt λan + µbn → λa+ µb;

(iv) aus an → a und bn → b mit b 6= 0 folgt an

bn→ a

b ;

(v) aus an → a folgt |an| → |a|;

(vi) aus an → a, bn → b und an ≤ bn folgt a ≤ b;




4 Folgen, Reihen und Grenzwerte II

[F] §4

[H] §1.9 4.1 Folgen

Satz 1 (Regeln und Operationen mit Folgen).

(i) aus an → a und bn → b folgt an + bn → a+ b;

(ii) aus an → a und bn → b folgt anbn → ab;

(iii) aus an → a und bn → b folgt λan + µbn → λa+ µb;

(iv) aus an → a und bn → b mit b 6= 0 folgt an

bn→ a

b ;

(v) aus an → a folgt |an| → |a|;

(vi) aus an → a, bn → b und an ≤ bn folgt a ≤ b;

Satz 2 (Quetschlemma). Aus an → a, bn → a und an ≤ cn ≤ bn folgt cn → a.

Beispiel 1. • 2n2+13n2+n+1 → 2

3 ;

• 1 + 12+ 1

2+ 12+...

=√2;

• 1 + 11+ 1

1+ 11+...

= 12 (√5 + 1);

• c > 0, a0 = 1 und an+1 = 12 (an + c

an).

4.2 Unendliche Reihen

Definition 1. Eine unendliche Reihe ist definiert als Grenzwert der Partialsummen:

∞∑

k=0

ak = limn→∞

n∑

k=0

ak.

Beispiel 2. Die geometrische Reihe. Sei |x| < 1. Dann

∞∑

k=0

xk =1

1− x.

4.3 Bestimmte Divergenz / Uneigentliche Konvergenz

Definition 2. Bestimmt divergente Folgen (gegen ∞ oder −∞).

Satz 3. Reziprokes einer positiven (oder negativen) Nullfolge = bestimmt divergente Folge.




5 Vollstandigkeit

5.1 Cauchyfolgen und Vollstandigkeit

[F] §5 Definition 1. Cauchyfolgen.

Satz 1. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.

Das Vollstandigkeitsaxiom: In R ist jede Cauchyfolge konvergent.

[H] §8 Beispiel 1 (Dezimalbruche, p-adische Bruche).

∞∑

n=0

anp−n, p, an ∈ N, p ≥ 2, 0 ≤ an < p.

Satz 2. Sei p ∈ N, p ≥ 2.

(i) Jeder p-adischer Bruch stellt eine Cauchyfolge dar.

(ii) Jede reelle Zahl lasst sich in einem p-adischen Bruch entwickeln.

Definition 2. Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (In)n∈N von Intervallen in R so dass

In+1 ⊂ In fur alle n ∈ N, und limn→∞

|In| = 0.

Satz 3 (Intervallschachtelungsprinzip). Zu jeder Intervallschachtelung (In)n existiert genau einereelle Zahl im Durchschnitt

⋂

n In.

Beispiel 2.

1 +1

2 + 12+ 1

2+...

=√2

Satz 4. Q liegt dicht in R. d.h. zu jedem x ∈ R und jedem ε > 0 existiert q ∈ Q mit |x− q| < ε.

5.2 Teilfolgen und Haufungspunkte

[F] §5

[H] §1.11Definition 3.

(i) Teilfolgen

(ii) Haufungspunkte

Beispiel 3.

• an = (−1)n;

• falls an → a, dann ist a der einzige Haufungspunkt von (an)n∈N;

• die rationalen Zahlen Q als eine Folge; Cantor’sches Diagonalverfahren.




6 Beschrankte Folgen I

[F] §5

[H] §1.8 6.1 Satz von Bolzano-Weierstraß

Satz 1 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungspunkt.

Korollar 1. Eine beschrankte Folge konvergiert dann und genau dann, wenn sie genau einenHaufungspunkt besitzt.

6.2 sup / inf und min /max

[F] §9 Definition 1. Supremum und Infimum einer Folge.

Satz 2. Jede nach oben beschrankte Folge besitzt ein Supremum.

Definition 2. Maximum und Minimum einer Folge.

Beispiel 1.

an =1

n, n ≥ 1, an =

n

n+ 1, n ≥ 0, an =

2n

n2, n ≥ 1.

Definition 3. Sup/Inf und Max/Min einer Teilmenge M ⊂ R.

Beispiel 2.[a, b] und ]a, b[




7 Beschrankte Folgen II

7.1 Monotone Folgen

[F] §5

[H] §1.10Definition 1.

• monoton wachsend/fallend;

• streng monoton wachsend/fallend.

Satz 1. Jede beschrankte monotone Folge reeller Zahlen ist konvergent.

Beispiel 1. • Intervallschachtelungen;

• e = limn→∞(

1 + 1n

)n.

7.2 lim sup und lim inf

[F] §9

[H] §1.11Definition 2. Limsup und liminf einer Folge.

Lemma 1. Sei (an) beschrankt. Dann

lim inf an ≤ lim sup an.

Gleichheit besteht dann und genau dann wenn die Folge konvergent ist. In diesem Fall giltlim inf an = lim an = lim sup an.

Lemma 2. Sei (an)n∈N beschrankt. Dann

lim supn→∞

an = limn→∞

(

sup{ak : k ≥ n})

lim infn→∞

an = limn→∞

(

inf{ak : k ≥ n})

Beispiel 2. Sei (an)n∈N die Folge

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, . . . .

Die Menge der Haufungspunkte von bn = an

n+anist das Intervall [1/3, 1/2].

7.3 Vollstandigkeit

Bolzano-Weierstraß⇔Vollstandigkeitsaxiom⇔ Intervallschachtelungsprinzip

Satz 2. Der Satz von Bolzano-Weierstraß impliziert das Vollstandigkeitsaxiom




8 Metrische Raume I[H] §1.14

8.1 Metrische Raume (X, d)

Definition 1. Metrik d : X ×X → R: fur alle x, y, z ∈ X gilt

(i) d(x, y) = d(y, x);

(ii) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 genau dann wenn x = y;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Beispiel 1. R mit d(x, y) = |x− y|.

(Diskrete Metrik): Beliebige Menge X mit d(x, y) =

{

1 x 6= y

0 x = y

Beispiel 2.

Rd ={

x = (x(1), x(2), . . . , x(d)) : x(i) ∈ R fur i = 1, . . . , d}

mit

|x− y| =(

d∑

i=1

(x(i) − y(i))2)1/2

, |x− y|max = maxi=1,...,d

|x(i) − y(i)|, |x− y|1 =d∑

i=1

|x(i) − y(i)|

Lemma 1. In Rd gilt

(a)d∑

i=1

xiyi ≤ |x||y| (Cauchy-Schwarz Ungleichung);

(b) |x+ y| ≤ |x|+ |y| (Dreiecksungleichung).

8.2 Konvergenz in metrischen Raumen

Definition 2. Konvergenz in (X, d): xn → x falls d(xn, x) → 0.

Lemma 2. Eindeutigkeit des Limes

8.3 Offene und abgeschlossene Mengen

[H] §16 Definition 3. • Offene Kugel Br(x) := {y ∈ X : d(x, y) < r};• A ⊂ X ist offen, falls fur alle x ∈ A ein r > 0 existiert so dass Br(x) ⊂ A;

• A ⊂ X ist abgeschlossen, falls fur alle konvergente Folgen (xn)n ⊂ A mit xn → x gilt: x ∈ A.

Satz 1. Eine Menge A ⊂ X ist genau dann offen, wenn das Komplement X \A abgeschlossen ist.

Folgende Definition wird in Aufgabe 21 benotigt, in der Vorlesung war jedoch keine Zeit mehr:

Definition 4. Sei A ⊂ X .

• Das Innere A◦ := {x ∈ A : es existiert ε > 0 so dass Bε(x) ⊂ A};• Der Abschluss A := {x ∈ X : es existiert (xn)n ⊂ A mit xn → x};• Der Rand ∂A := {x ∈ X : fur alle ε > 0 gilt Bε(x) ∩ A 6= ∅ und Bε(x) \A 6= ∅}.

2. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi



9 Metrische Raume II[H] §1.16

9.1 Offene und abgeschlossene Mengen

Definition 1. Sei A ⊂ X .

• Das Innere A◦ := {x ∈ A : es existiert ε > 0 so dass Bε(x) ⊂ A};

• Der Abschluss A := {x ∈ X : es existiert (xn)n ⊂ A mit xn → x};

• Der Rand ∂A := {x ∈ X : fur alle ε > 0 gilt Bε(x) ∩ A 6= ∅ und Bε(x) \A 6= ∅}.

Lemma 1. • Der Durchschnitt endlich vieler offenen Mengen ist offen;

• Die Vereinigung beliebig vieler offenen Mengen ist offen;

• Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen;

• Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Lemma 2. Sei A ⊂ X . A◦ ist offen und A ist abgeschlossen.

Definition 2. Eine Teilmenge B ⊂ A ist dicht in A falls A ⊂ B.

Beispiel 1. • In Rd: Br(x) = {y : |x− y| ≤ r}; ∂Br(x) = {y : |x− y| = 1};

• In R: Q = R, Q◦ = ∅, ∂Q = R;

• Fur die diskrete Metrik: B1(x) = {x}; jede Teilmenge ist offen und abgeschlossen.

9.2 Vollstandigkeit und Kompaktheit

Definition 3. Cauchyfolgen

Lemma 3. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.

Lemma 4. Jede Cauchyfolge, die eine konvergente Teilfolge besitzt, ist selbst konvergent.

Definition 4. Beschrankte Mengen. (Folgen-)kompakte Mengen.

Lemma 5. Jede Cauchyfolge ist beschrankt.

Definition 5. Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollstandig, falls jede Cauchyfolge konvergiert.




10 Konvergenz auf Rd; Konvergente Reihen I

10.1 Der euklidische Raum Rd

[H] §1.16

Satz 1. Charakterisierung der Konvergenz auf Rd: Konvergent komponentenweise.

Definition 1. Wurfelschachtelungen.

Lemma 1 (Wurfelschachtelungsprinzip). Jede Wurfelschachtelung in Rd erfasst genau einenPunkt im Durchschnitt.

Satz 2. Jede beschrankte Folge in Rd besitzt eine konvergente Teilfolge.

Korollar 1. (a) Rd ist vollstandig; (b) Eine Teilmenge A ⊂ Rd ist genau dann kompakt, wennsie beschrankt und abgeschlossen ist.

10.2 Reihen mit nicht-negativen Gliedern

[F] §7

[H] §1.12Satz 3. Eine Reihe

∞∑

n=1an mit an ≥ 0 ist entweder konvergent oder bestimmt gegen ∞ divergent.

Satz 4. Majorantenkriterium.

Beispiel 1.∞∑

n=1

1n = ∞ und

∞∑

n=1

1n2 <∞.

10.3 Absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien

Definition 2. absolute Konvergenz.

Satz 5. Cauchys Konvergenzkriterium.

Korollar 2. Wenn∞∑

n=1an konvergiert, dann ist (an)n eine Nullfolge.




11 Konvergente Reihen II

[F] §7

[H] §1.1611.1 Konvergenzkriterien

Definition 1. Absolute Konvergenz.

Satz 1. Leibniz’ Konvergenzkriterium fur alternierende Reihen.

Beispiel 1. Alternierende harmonische Reihe: 1− 12 + 1

3 − 14 + 1

5 − . . .

Satz 2 (Quotientenkriterium). lim supn→∞ |an+1

an| < 1.

Beispiel 2.∑

1n divergiert,

∑

1n2 konvergiert.

Satz 3. Cauchy’s Verdichtungskriterium.

Beispiel 3.2n∑

k=1

1

k≥ n

2.

Beispiel 4. Falls α > 1, dann

2n∑

k=1

1

kα≤

n∑

k=1

qk−1 mit q = 2−α+1.

11.2 Umordnung von Reihen

[H] §1.19

Definition 2. Die Reihe∑∞

n=0 bn ist eine Umordnung der Reihe∑∞

n=0 an, wenn es eine bijektiveAbbildung σ : N → N gibt so dass bn = aσ(n) fur alle n.

Definition 3. Bijektive Abbildungen.

Beispiel 5. Umordungen der alternierenden harmonischen Reihe 1− 12 + 1

3 − 14 + 1

5 − . . .




12 Potenzreihen und Exponentialfunktion

12.1 Umordnung von Reihen

[H] §1.19

Satz 1 (Umordnungssatz von Dirichlet).

Satz 2 (Umordnungssatz von Riemann). Ohne Beweis.

12.2 Reelle Potenzreihen[F] §8

[H] §1.20 Lemma 1. Falls |x| < |y| und die Reihe∑

anyn konvergiert, dann konvergiert die Reihe

∑

anxn

absolut.

Definition 1 (Konvergenzradius).

R = sup{

x ∈ R :∑

anxn konvergent

}

.

Satz 3. Sei∑∞

n=0 anxn eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R.

(i) Falls R = ∞, dann konvergiert die Potenzreihe fur alle x ∈ R;

(ii) Falls R = 0, dann divergiert die Potenzreihe fur alle x ∈ R \ {0};

(iii) Falls 0 < R < ∞, dann konvergiert die Potenzreihe absolut fur alle |x| < R und divergiertfur alle |x| > R.

12.3 Die Exponentialfunktion

[F] §8 Definition 2. Fur x ∈ R:

exp(x) =

∞∑

n=0

xn

n!.

Konvergenzradius der Exponentialreihe ist R = ∞.




13 Potenzreihen und Exponentialfunktion II

13.1 Exponentialfunktion

[F] §8

[K] §8.1 Lemma 1 (Fundamentallemma fur die Exponentialfunktion).

limn→∞

(

1 +1

n

)n

= exp(1).

Varianten:

• limn→∞(

1 + xn

)n= exp(x);

• limn→∞(

1 + xn

n

)n= exp(x) falls xn → x.

Satz 1. (i) exp(x+ y) = exp(x)exp(y) fur alle x, y ∈ R;

(ii) exp(−x) = 1exp(x) fur alle x ∈ R;

(iii) exp(x) ≥ 1 + x und exp(x) > 0 fur alle x ∈ R;

(iv) exp(nx) = exp(x)n fur n ∈ N, x ∈ R;

(v) exp(1/n) = e1/n fur n ∈ N, n 6= 0.

13.2 Korper der komplexen Zahlen

[F] §13

[H] §1.17Satz 2. C ist ein Korper.




14 Komplexe Potenzreihen

14.1 Korper der komplexen Zahlen

[F] §13

[H] §1.17 Beispiel 1. • Aus z2 = w2 folgt z = ±w;

• Aus z3 = 1 folgt z ∈ {1,− 12 + i

√32 ,− 1

2 −√32 }

Definition 1. Komplexe Konjugierte z, Reeller und imaginarer Teil Re z und Im z.

Beispiel 2. Re z = 12 (z + z), Im z = 1

2i (z − z), |z| = |z|, zw = zw.

Satz 1. (i) |z| ≥ 0 und |z| = 0 genau dann wenn z = 0;

(ii) |zw| = |z||w|;(iii) |z + w| ≤ |z|+ |w|.

Satz 2. C mit der Metrik d(z, w) := |z − w| ist ein metrischer Raum.

14.2 Konvergenz in C

Definition 2. cn → c falls |cn − c| → 0.

Satz 3. cn → c genau dann wenn Re cn → Re c und Im cn → Im c.

Korollar 1. C ist vollstandig.

Korollar 2. cn → c genau dann wenn cn → c.

14.3 Komplexe (Potenz)reihen

Beispiel 3.

(a)

∞∑

n=1

(

1 + i

2− i

)n

, (b)

∞∑

n=1

in

n, (c)

∞∑

n=1

(

1− i

1 + i

)n

.

Definition 3. Konvergenzradius der Potenzreihe∑∞

n=0 cnzn ist

R = sup{|z| : z ∈ C und∑

cnzn konvergent}.

Satz 4. (i) Falls R = ∞, dann konvergiert die Potenzreihe fur alle z ∈ C;

(ii) Falls R = 0, dann divergiert die Potenzreihe fur alle z ∈ C \ {0};(iii) Falls 0 < R < ∞, dann konvergiert die Potenzreihe absolut fur alle |z| < R und divergiert

fur alle |z| > R.

Definition 4. exp(z) =∑∞

n=0zn

n! .

Satz 5. (i) exp(z + w) = exp(z)exp(w) fur alle z, w ∈ C;

(ii) exp(−z) = 1exp(z) fur alle z ∈ C;

(iii) exp(z) 6= 0 fur alle z ∈ C;

(iv) exp(z) = exp(z) fur alle z ∈ C.

Beispiel 4. |eix| = 1 fur alle x ∈ R.

Definition 5. cos(x) = Re (eix) und sin(x) = Im (eix).




15 Stetigkeit in metrischen Raumen I

15.1 Allgemeine Definitionen und Eigenschaften

[F] §10

[H] §2.1-2.3

[K] §7.1

Im Folgenden betrachten wir metrische Raume (X, dX) und (Y, dY ) und Funktionen

f : D → Y,

wobei D ⊂ X eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f). Falls Y = R, heißt die Funktionreellwertig. Falls Y = C, heißt die Funktion komplexwertig. Falls Y = Rd, d > 1, heißt die Funktionvektorwertig.

Definition 1. Die Funktion f ist stetig im Punkt x0 ∈ D wenn

∀ (xn)n∈N ⊂ D mit limn→∞

xn = x0 gilt : limn→∞

f(xn) = f(x0).

Die Funktion f ist stetig in D wenn sie in jedem Punkt x ∈ D stetig ist.

Beispiel 1. Konstante Funktion und Identitat stetig, Charakteristische Funktion einer MengeA ⊂ X stetig in x ∈ X \ ∂A.

Lemma 1 (Summe, Produkt und Quotient). Falls f, g reellwertig und stetig, dann f + g und fgstetig. Falls zusatzlich g(x0) 6= 0, dann f/g stetig im Punkt x0.

Lemma 2 (Vektorwertige Funktionen). Eine vektorwertige Funktion f = (f1, . . . , fd) ist genaudann im x0 ∈ D stetig, wenn jede Komponente fi, i = 1 . . . d stetig im x0 ist. Falls f, g vektorwer-tige, stetige Funktionen sind, ist auch f + g stetig. Falls h reellwertig und stetig ist, ist auch fhstetig.

Lemma 3 (Die Abstandsfunktion). Sei x0 ∈ X . Die Funktion f : X → R definiert durch

f(x) = d(x, x0)

ist stetig. Insbesondere ist die Funktion f(x) = |x|, f : R → R stetig.

Sei f : D ⊂ X → Y eine Funktion und A ⊂ D eine Teilmenge vom Definitionsbereich D. DasBild von A unter f ist die Teilmenge von Y definiert durch

f(A) := {f(x) : x ∈ A}.[H] §2.4 Lemma 4 (Verknupfung). Seien (X, dX), (Y, dY ), (Z, dZ) metrische Raume. Sei f : D ⊂ X → Y

stetig im Punkt x0 und g : f(D) → Z stetig im Punkt f(x0). Dann ist die Verknupfung g ◦ f :D → Z definiert durch g ◦ f(x) = g(f(x)) stetig im x0.

[F] §11 Satz 1 (ε-δ Kriterium). Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann stetig im Punkt x0, wenn

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D mit dX(x, x0) < δ : dY (f(x), f(x0)) < ε.




16 Stetigkeit in metrischen Raumen II

Im Folgenden betrachten wir metrische Raume (X, dX) und (Y, dY ) und Funktionen

f : D → Y,

wobei D ⊂ X eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f). Sei B ⊂ Y eine Teilmenge. DasUrbild von B unter f ist die Teilmenge von X definiert durch

f−1(B) := {x ∈ D : f(x) ∈ B}.

Satz 1. Eine Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann stetig in D, wenn

∀U ⊂ Y offen : f−1(U) offen .

Beispiel 1. Sei f : X → R stetig und c ∈ R. Dann ist

f−1(]−∞, c[) = {x ∈ X : f(x) < c}

offen. Die Nullstellenmenge f−1(0) = {x ∈ X : f(x) = 0} ist abgeschlossen.

16.1 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen

Erinnerung (aus Vorlesung 9): eine Teilmenge K ⊂ X heißt kompakt, wenn jede Folge (xn)n∈N inK eine konvergente Teilfolge besitzt.

In Rd sind die kompakte Mengen genau die beschrankte und abgeschlossene Mengen. Darausfolgt:

[F] §11

[H] §2.6Satz 2. Sei K ⊂ R kompakt und nichtleer. Dann besitzt K Minimum und Maximum. D.h. esexistieren xm, xM ∈ K so dass fur alle x ∈ K gilt:

xm ≤ x ≤ xM .

Satz 3. Sei K ⊂ X kompakt und f : K → Y stetig. Dann ist die Bildmenge f(K) ⊂ Y kompakt.

Korollar 1. Sei K ⊂ X kompakt und f : K → R stetig. Dann besitzt f Minimum und Maximumauf K. D.h. es existieren xm, xM ∈ K so dass fur alle x ∈ K gilt:

f(xm) ≤ f(x) ≤ f(xM ).

16.2 Gleichmaßige Stetigkeit

[F] §11

[H] §2.8Definition 1. Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist gleichmaßig stetig auf D, wenn:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x, y ∈ D mit dX(x, y) < δ : dY (f(x), f(y)) < ε.

Beispiel 2. Die Funktion f(x) = 1x ist stetig aber nicht gleichmaßig stetig auf ]0, 1[.

Satz 4. Die Funktion f : D ⊂ X → Y ist genau dann gleichmaßig stetig auf D, wenn fur alleFolgen (xn)n∈N, (yn)n∈N ⊂ D mit lim

n→∞dX(xn, yn) = 0 gilt:

limn→∞

dY(

f(xn), f(yn))

= 0.

Satz 5. Falls K ⊂ X kompakt und f : K → Y stetig, dann ist f gleichmaßig stetig auf K.




17 Stetigkeit R → R

Im Folgenden betrachten wir Funktionen

f : D → R,

wobei D ⊂ R eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f).

17.1 Grenzwerte von Funktionen[F] §10

[H] §2.3

[K] §7.7-7.8

Definition 1. Sei a ∈ D. Man definiert

limx→a

f(x) = c, falls ∀ (xn)n∈N ⊂ D mit limn→∞

xn = a gilt: limn→∞

f(xn) = c;

limx→∞

f(x) = c, falls ∀ (xn)n∈N ⊂ D mit limn→∞

xn = ∞ gilt: limn→∞

f(xn) = c;

limxցa

f(x) = c, falls ∀ (xn)n∈N ⊂ D mit

{

xn > a,

limn→∞

xn = agilt: lim

n→∞f(xn) = c;

limxրa


{

xn < a,

limn→∞

xn = agilt: lim

n→∞f(xn) = c;

limx→ax 6=a


{

xn 6= a,

limn→∞

xn = agilt: lim

n→∞f(xn) = c.

Beispiel 1.limx→0

expx = 1, limxր0

χ]∞,0](x) = 1, limxց0

χ]∞,0](x) = 0.

Definition 2. f : D ⊂ R → R ist stetig im Punkt a ∈ D falls limx→a

f(x) = f(a).

Beispiel 2. exp : R → R ist stetig.

17.2 Zwischenwertsatz[F] §11

[H] §2.5

[K] §7.4

Satz 1 (Zwischenwertsatz). Sei f : [a, b] → R stetig, a < b und y ∈ R mit f(a) ≤ y ≤ f(b). Dannexistiert x ∈ [a, b] mit f(x) = y.

Korollar 1. Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R stetig. Dann ist f(I) auch ein Intervall.

17.3 Monotone Funktionen

Definition 3. Monotone/Streng monotone Funktionen.

Lemma 1. Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → R streng monoton. Dann ist f : I → f(I) bijektiv,d.h. zu jedem y ∈ f(I) existiert genau ein x ∈ I mit f(x) = y.

Satz 2 (Umkehrfunktion, allgemeine metrische Raume). Sei f : K ⊂ X → Y stetig und bijektiv.Dann ist f−1 : Y → K stetig.

[F] §11

[H] §2.5Satz 3 (Umkehrfunktion, R → R). Sei f : [a, b] → [c, d] stetig und bijektiv. Dann ist f−1 : [c, d] →[a, b] stetig.

4. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi



18 Elementare Funktionen und Grenzwerte I

18.1 Exponentialfunktion und Logarithmus

[F] §12-13

[H] §3.4

[K] §8.2-8.4

Lemma 1. (i) Die (komplexe) Exponentialfunktion (Vorlesung 14) exp : C → C ist stetig.(ii) Die (reelle) Exponentialfunktion (Vorlesug 12) exp : R → R ist streng monoton wachsend.

Beispiel 1.limx→∞

exp(x) = ∞, limx→−∞

exp(x) = 0.

Definition 1. Der naturliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von exp : R →]0,∞[, also

log :]0,∞[→ R, log = exp−1 .

Beispiel 2. log :]0,∞[→ R ist stetig, streng monoton wachsend und log(1) = 0.

Lemma 2 (Funktionalgleichung fur log). Fur alle x, y > 0 gilt

log(xy) = log(x) + log(y).

Insbesondere log 1x = − logx.

Definition 2. Die Exponentialfunktion zu Basis a > 0 ist definiert als

expa : R → R, expa(x) = exp(

x log(a))

.

Lemma 3. expa : R → R ist stetig und es gilt

(i) expa(x+ y) = expa(x) expa(y),

(ii) expa(n) = an fur n ∈ N,

(iii) expa(pq ) =

q√ap fur p ∈ Z, q ∈ N mit q ≥ 2.

Beispiel 3. Fur alle a > 0 gilt limn→∞

n√a = 1.

18.2 Einige Grenzwerte mit exp und log

[F] §12 Beispiel 4. Sei k ∈ N.

limx→∞

ex

xk= ∞, lim

x→∞xke−x = 0, lim

xց0xke

1x = ∞.

Beispiel 5. Die Funktion f : R → R, f(x) =

{

e−1x x > 0

0 x ≤ 0ist stetig.

Beispiel 6.limx→∞

log x = ∞, limxց0

log x = −∞.

Beispiel 7. Sei α > 0.

limxց0

xα = 0, limxց0

x−α = ∞, limx→∞

log x

xα= 0, lim

xց0xα log x = 0.

Beispiel 8.

limx→0x 6=0

ex − 1

x= 1.




19 Elementare Funktionen und Grenzwerte II

19.1 Trigonometrische Funktionen

[F] §14

[H] §3.5

[K] §8.6

Definition 1 (vgl. Vorlesung 14).

cosx = Re(eix), sinx = Im(eix)

Euler’sche Identitat: eix = cosx+ i sinx.

Satz 1. (i) cosx = 12 (e

ix + e−ix), sinx = 12i(e

ix − e−ix)(ii) cos(−x) = cosx, sin(−x) = − sinx(iii) cos2(x) + sin2(x) = 1.

Notation: cos2(x) = (cosx)2, sin2(x) = (sinx)2

Satz 2. cos, sin : R → R sind stetig.

Satz 3 (Additionstheorem). (i) cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y(ii) sin(x+ y) = sinx cos y − sin y cosx.

Satz 4 (Potenzreihen). cosx =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)! , sinx =∞∑

k=0

(−1)k x2k+1

(2k+1)! .

Beispiel 1. limx→0x 6=0

sin xx = 1.

19.2 Die Zahl π[F] §14

[K] §8.7Satz 5. Die Funktion cos hat genau eine Nullstelle im Intervall [0, 2]

Definition 2. Die (eindeutige) Nullstelle von cos im Intervall [0, 2] wird mit π2 bezeichnet.

Satz 6. eiπ2 = i, eiπ = −1, ei

3π2 = −i, e2iπ = 1.

Korollar 1 (Nullstellen von sin und cos). (i) sinx = 0 genau dann, wenn x = kπ fur ein k ∈ Z;

(ii) cosx = 0 genau dann, wenn x = π2 + kπ fur ein k ∈ Z.

Korollar 2. eix = 1 genau dann, wenn x = 2kπ fur ein k ∈ Z.

Korollar 3. Sei n ≥ 2. Die Gleichung zn = 1 hat genau n komplexe Losungen ei2πkn , k =

0, 1, . . . , n− 1.

Satz 7. Umfang des Einheitskreises in der Ebene = 2π.




20 Die Funktionen tan, arctan, arcsin und arccos

Definition 1. tan : R \ {π2 + kπ : k ∈ Z} → R

Satz 1. (i) cos : [0, π] → [−1, 1] streng monoton fallend und surjektiv;(ii) sin : [−π

2 ,π2 ] → [−1, 1] streng monoton wachsend und surjektiv;

(iii) tan :]− π2 ,

π2 [→ R streng monoton wachsend und surjektiv.

Definition 2. arcsin, arccos : [−1, 1] → R, arctan : R → R

Satz 2 (Polarkoordinaten). Zu jeder komplexen Zahl z ∈ C existiert r ≥ 0 und θ ∈ [−π, π] sodass z = reiθ.

21 Differentialrechnung auf R

[F] §15

[H] §3.1

[K] §9.1


f : D ⊂ R → C.

21.1 Differenzierbare Funktionen

Definition 3. Die Funktion f ist im Punkt a ∈ D differenzierbar, falls der Grenzwert

f ′(a) = limx→ax 6=a

f(x)− f(a)

x− a

existiert.

Beispiel 1. Sei n ∈ N, n ≥ 1 und c ∈ C.

d

dxxn = nxn−1,

d

dxecx = cecx,

d

dxlog x =

1

x,

d

dxsinx = cosx,

d

dxcosx = − sinx.

Satz 3. f ist genau dann differenzierbar in a ∈ D, wenn es eine Funktion ϕ : D → C existiert sodass

(i) ϕ ist stetig im Punkt a;

(ii) f(x)− f(a) = (x − a)ϕ(x) fur alle x ∈ D.

In diesem Fall f ′(a) = ϕ(a).

Korollar 1. Ist f : D ⊂ R → C im Punkt a ∈ D differenzierbar, so ist sie auch stetig.

Beispiel 2. x 7→ |x| nicht differenzierbar im Punkt x = 0.




22 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen


f : D ⊂ R → C.

Satz 1 (Lineare Approximation). f ist genau dann in a ∈ D differenzierbar, wenn es eine lineareFunktion L : R → C existiert, so dass

limh→0

f(a+ h)− f(a)− L(h)

h= 0.

In diesem Fall gilt: L(h) = f ′(a)h.

22.1 Ableitungsregeln

[F] §15

[K] §8.1

[K] §9.2

Satz 2 (Algebraische Regeln).

(i) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x);

(ii) (Produktregel) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x);

(iii) (Quotientenregel)(

fg

)′(x) = f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)

g2(x) .

Satz 3 (Kettenregel).(g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x).

Satz 4 (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei g die Umkehrfunktion von f . Dann

g′(x) =1

f ′(g(x)).

22.2 Extrema[F] §16

[K] §9.3Im Folgenden betrachten wir Funktionen

f : D ⊂ R → R.

Definition 1. Extrema = lokales Maximum/Minimum einer Funktion.

Satz 5. Sei x ein lokales Maximum/Minimum von f und f differenzierbar im Punkt x. Dannf ′(x) = 0.




23 Probeklausur

4. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi



24 Mittelwertsatz und Anwendungen

24.1 Mittelwertsatz

Satz 1 (Satz von Rolle). Sei f : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzierbar, mit f(a) = f(b).Dann existiert ξ ∈]a, b[ so dass f ′(ξ) = 0.

Satz 2 (Mittelwertsatz). Sei f : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzierbar. Dann existiert einξ ∈]a, b[ so dass

f(b)− f(a)

b− a= f ′(ξ).

Korollar 1. f ′(x) = 0 fur alle x ∈]a, b[ =⇒ f ist konstant.

24.2 Regel von de l’Hopital

Satz 3 (Verallgemeinertes Mittelwertsatz). Seien f, g : [a, b] → R stetig und in ]a, b[ differenzier-bar. Dann existiert ein ξ ∈]a, b[ so dass

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(ξ)

g′(ξ).

Satz 4 (l’Hopital’sche Regeln). Seien f, g :]a, b[→ R differenzierbar und g′(x) 6= 0 fur alle x ∈]a, b[.In jedem der beiden Situationen

(a) f(x) → 0 und g(x) → 0 mit xց a;

(b) f(x) → ∞ und g(x) → ∞ mit xց a

gilt: Existiert limxցa

f ′(x)g′(x) , so existiert auch lim

xցa

f(x)g(x) und

limxցa

f(x)

g(x)= lim

xցa

f ′(x)

g′(x).

Beispiel 1.

limxց0

(x log x) = limxց0

log x

1/x

l’Hopital

= limxց0

1/x

−1/x2= 0.

Beispiel 2.

limxց0

(

1

sinx− 1

x

)

= limxց0

(

x− sinx

x sinx

)

l’Hopital

= limxց0

1− cosx

x cos x+ sinx

l’Hopital

= limxց0

sinx

2 cosx− x sinx= 0 .

Eine bessere Losung ist die Potenzreihe fur sinx zu nutzen:

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ . . . ,

so dass, mit

F (x) =1

3!− x2

5!− x4

7!+ . . .

folgt x−sin xx sin x = x3F (x)

x2−x4F (x) =xF (x)

1−x2F (x) . Da F (0) = 1/6, erhalten wir limցx−sin xx sin x = 0.




25 Extrema, Monotonie

25.1 Kriterium fur Extrema

Satz 1. Sei f :]a, b[→ R differenzierbar und f ′(x0) = 0. Dann hat f in x0 ein

• lokales Minimum, falls ∃ ε > 0 so dass f ′ ≤ 0 in ]x0 − ε, x0[ und f′ ≤ 0 in ]x0 − ε, x0[;

• lokales Maximum, falls ∃ ε > 0 so dass f ′ ≥ 0 in ]x0 − ε, x0[ und f′ ≥ 0 in ]x0 − ε, x0[;

25.2 Monotonie

Satz 2 (Monotoniekriteria). Ist f : D → R differenzierbar, so gilt

• f ′ > 0 in D ⇒ f ist streng monoton wachsend,

• f ′ < 0 in D ⇒ f ist streng monoton fallend,

• f ′ ≥ 0 in D ⇔ f ist monoton wachsend,

• f ′ ≤ 0 in D ⇔ f ist monoton fallend.

Beispiel 1. x 7→ (1 + 1x )

x ist streng monoton wachsend.

Satz 3. Sei f : D → R differenzierbar und in x0 zweimal differenzierbar, mit

f ′(x0) = 0, f ′′(x0) > 0.

Dann ist x0 ein strenges lokales Maximum.




26 Konvexitat[F] §16

[K] §9.7-9.8 Definition 1. f : [a, b] → R ist konvex, falls fur alle x, y ∈ [a, b] und alle 0 < λ < 1 gilt:

f(

λx + (1− λ)y)

≤ λf(x) + (1− λ)f(y).

f ist konkav falls −f konvex ist.

Satz 1. Sei f :]a, b[→ R zweimal differenzierbar. Dann

f ist konvex in ]a, b[ ⇔ f ′′(x) ≥ 0 fur alle x ∈]a, b[.

26.1 Anwendungen von Konvexitat

Lemma 1 (Geometrische/arithmetische Mittel). Sei x, y > 0 und 0 < λ < 1. Dann gilt

xλy1−λ ≤ λx + (1− λ)y.

Definition 2 (p-Norm). Sei p ≥ 1 und z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn. Die p-Norm von z ist

‖z‖p :=(

n∑

k=1

|zk|p)1/p

.

Satz 2 (Holder’sche Ungleichung). Sei p, q > 1 so dass 1p + 1

q = 1. Dann gilt

n∑

k=1

|zkwk| ≤ ‖z‖p‖w‖q

fur alle z, w ∈ Cn.

Satz 3. Sei p ≥ 1. Dann gilt‖z + w‖p ≤ ‖z‖p + ‖w‖p

fur alle z, w ∈ Cn.




27 Das Riemann’sche Integral

Definition 1. φ : [a, b] → R ist eine Treppenfunktion, φ ∈ T [a, b], falls eine Unterteilung a =x0 < x1 < · · · < xn = b existiert so dass φ ist konstant (= ck) auf jedem offenem Teilintervall]xk, xk+1[.

Lemma 1. T [a, b] ist ein Vektorraum.

Definition 2 (Integral fur Treppenfunktionen).

ˆ b

a

φ(x) dx =

n−1∑

k=0

ck(xk+1 − xk).

Satz 1. Das Integral auf T [a, b] ist linear und monoton. Letzteres heißt

φ ≤ ψ ⇒ˆ b

a

φ(x) dx ≤ˆ b

a

ψ(x) dx.

Definition 3. Sei f : [a, b] → R beschrankt. Das Ober-/Unterintegral ist definiert als

ˆ ∗b

a

f(x) dx = inf

{

ˆ b

a

ψ(x) dx : φ ∈ T [a, b], ψ ≥ f

}

,

ˆ b

∗af(x) dx = sup

{

ˆ b

a

φ(x) dx : ψ ∈ T [a, b], φ ≤ f

}

.

f ist Riemann-integrierbar, f ∈ R[a, b] falls´ ∗ba f(x) dx =

´ b

a∗ f(x) dx. In diesem Fall

ˆ b

a

f(x) dx :=

ˆ ∗b

a

f(x) dx.

27.1 Charakterisierung von Riemann-integrierbaren Funktionen

Satz 2 (Einschliessung zwischen Treppenfunktionen). f ∈ R[a, b] genau dann, wenn fur alle ε > 0

es existiert φ, ψ ∈ T [a, b] so dass φ ≤ f ≤ ψ und´ b

a (ψ − φ)(x) dx ≤ ε.

Satz 3. Jede stetige Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.

Satz 4. Jede monotone Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.

Satz 5. R[a, b] ist ein Vektorraum und das Riemann Integral ist linear und monoton auf R[a, b].




28 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

28.1 Riemann’sche Summen

Definition 1. Eine Zerlegung Z = (xk)k=0...n des Intervalls [a, b] ist eine streng monotone Folgea = x0 < x1 < · · · < xn = b, mit Feinheit ∆(Z) = maxk(xk − xk−1). Fur beliebige Stutzstellenξk ∈ [xk−1, xk] und stetige Funktionen f : [a, b] → R definieren wir die Riemann’sche Summe

S(f, Z) =

n∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1).

Die Ober-/Untersummen sind definiert als

S∗(f, Z) =n∑

k=1

max[xk−1,xk]

f (xk − xk−1), S∗(f, Z) =n∑

k=1

max[xk−1,xk]

f (xk − xk−1),

so dass S∗(f, Z) ≤ S(f, Z) ≤ S∗(f, Z).

Satz 1. Sei f : [a, b] → R stetig. Dann

lim∆(Z)→0

n∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1) =

ˆ b

a

f(x) dx.

Beispiel 1.ˆ a

0

x dx =a2

2,

ˆ a

1

1

xdx = log a, a > 1.

Beispiel 2.

limn→∞

n∑

k=1

1

n+ k= log(2).

Beispiel 3.∞∑

k=1

(−1)k+1 1

k= log(2).

28.2 Das unbestimmte Integral

Satz 2. Sei f : [a, b] → R stetig und setze

F (x) :=

ˆ x

a

f(t) dt x ∈ [a, b].

Dann ist F differenzierbar in ]a, b[ und ddxF (x) = f(x).

Definition 2 (Stammfunktion). Eine differenzierbare Funktion F :]a, b[→ R heißt Stammfunktionvon f falls d

dxF (x) = f(x).

Satz 3. Wenn F,G beide Stammfunktionen von f sind, dann F −G =konstant.

Satz 4 (Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei f : [a, b] → R stetig und Feine Stammfunktion von f . Dann gilt

ˆ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).




29 Integrationsmethoden

29.1 Stammfunktionen

(i)

ˆ

xs dx =xs+1

s+ 1, s 6= −1, (ii)

ˆ

1

xdx = log x

(iii)

ˆ

sinx dx = − cosx, (iv)

ˆ

cosx dx = sinx

(v)

ˆ

ex dx = ex, (vi)

ˆ

1√1− x2

dx = arcsinx

(vii)

ˆ

1

1 + x2dx = arctanx, (viii)

ˆ

1

(cos x)2dx = tanx

29.2 Substitutionsregel

Satz 5. Sei f : D → R stetig und φ : [a, b] → R stetig differenzierbar mit φ([a, b]) ⊂ D. Dann gilt

ˆ b

a

f(φ(t))φ′(t) dt =

ˆ φ(b)

φ(a)

f(x) dx.

Beispiel 4.ˆ 1

−1

√

1− x2 dx =π

2.

29.3 Partielle Integration

Satz 6. Seien f, g : [a, b] → R stetig differenzierbar. Dann

ˆ b

a

f(x)g′(x) dx = [f(x)g(x)]ba −ˆ b

a

f ′(x)g(x) dx.

29.4 Uneigentliche Integrale

Definition 3. 1.

2.

3.

Beispiel 5.



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