Anhang 1. Einige Ergebnisse der elementaren Zahlentheorie

122. Die Zahlen 1, 2, 3,.. heiJ3en natiirliche Zahlen. Zusammen mit den Zahlen 0, -1, -2, -3, ... bilden sie die Menge Z der ganzen Zahlen. Summe a + b, Differenz a - b und Produkt ab zweier ganzer Zahlen a und b sind

a ebenfalls ganze Zahlen. Der Quotient b (der nur definiert ist, falls b =F 0 ist)

a braucht nicht ganz zu sein. Ist dies doch der Fall, also b = q E Z, so nennt

man b einen Teiler von a oder a ein Vielfaches von b (Bezeichnung: b I a).

123. Jede ganze Zahl a (=F 0) hat wenigstens die vier Teiler 1, -1, a und -a. Es gibt ganze Zahlen, die g·enau vier Teiler haben; beispielsweise 2, 3, - 5, -37, 101, 3041977. (Die Zahlen 1, -1 gehoren nicht dazu.) Die positiven unter ihnen heiJ3en Primzahlen. Die Folge der Primzahlen beginnt mit

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37, ...

(Die groJ3te bekannte Primzahl scheint gegenwitrtig 219937 - 1 zu sein.) Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Satz AI. Jede naturliche Zahl ist Produkt von (endlich vielen) Primzahlen. Diese brauchen nicht notwendig verschieden zu sein. Abgesehen von der willkur­lichen Reihenfolge der Faktoren sind die im Produkt auftretenden Primzahlen durch die naturliche Zahl eindeutig bestimmt.

Beispielsweise ist 1001 = 7· 11 . 13,3041777 = 43· 127· 557, 1977 = 3· 659.

FaJ3t man gleiche Primzahlfaktoren zu Potenzen zusammen, so erhitlt man fiir jede natiirliche Zahl a eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige) Darstellung a = p~l ... p~r als Potenzprodukt endlich vieler verschiedener Primzahlen PI' ... , p, mit natiirlichen Zahlen kl' ... , k, als Exponenten. Eine wichtige Eigenschaft von Primzahlen ist die folgende: Sind a, b ganze Zahlen und peine Primzahl mit p I ab, so ist wenigstens einFaktor a oder b durch p teilbar; also:

Aus p I ab und p f a folgt p lb. (1)

Diese Aussage folgt unmittelbar aus Satz A 1. Man kann sie leicht auch aus Satz A2 herleiten: Da (p, a) = 1 sein solI, gibt es ganze Zahlen m und n so, daJ3 1 = pm + an ist (Nr. 124). Hieraus ergibt sich b = pbm + abn. Aus p I ab folgt nun sofort p I b.

Die Eigenschaft (1) kann man nun benutzen, um Satz Al zu beweisen.

160 Anhang 1 [127

124. Eine ganze Zahl t, die zwei ganze Zahlen a und b teilt, heiBt ein gemein­samer Teiler dieser Zahlen. Unter den gemeinsamen Teilern von a und b gibt es genau einen groBten (;S 1). Er heiBt der groBte gemeinsame Teiler von a und b (Bezeichnung: (a, b)). 1st (a, b) = 1, so heiBen a und b teilerfremd. Ihre einzigen gemeinsamen Teiler sind 1 und -1 (die jede ganze Zahl teilen).

Satz A2. 1st (a, b) = d, so gibt es ganzeZahlen m und n so, daft d = am + bn ist.

1st also (a, b) = d, so ist die Gleichung ax + by = d (in den zwei Un­bestimmten x, y) in ganzen Zahlen losbar (namlich x = m, y = n). Eine Gleichung ax + by = emit ganzen Zahlen a, b, c ist dann und nur dann lOsbar, wenn c ein Vielfaches von (a, b) ist. Die Menge aller gemeinsamen Teiler von a und b ist gleich der Menge aller Teiler von (a, b).

125. Eine ganze Zahl 'V, die ein Vielfaches zweier ganzer Zahlen a und b ist, heiBt ein gemeinsames Vielfaches von a und b. Unter den gemeinsamen Viel­fachen von a und b gibt es genau eine kleinste natiirliche Zahl. Diese heiBt das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b (,Bezeichnung: [a, b]).

Satz A3. [a, b] (a, b) = labl • (1m Satz steht rechts der Betrag des Produktes der ganzen (also auch negati­ven) Zahlen, weil [a, b] und (a, b) natiirliche Zahlen sind.)

AIle gemeinsamen Vielfachen von a und b sind Vielfache von [a, b].

.. (n) _ n(n - 1) (n - 2) ... (n - k + 1) _ n! 126. DIe Zahl k - 1.2.3 ... k - (n-k)!k! ( k! = k(k - 1) ... 3 . 2 . 1 Produkt der natiirlichen Zahlen von 1 bis k, O! = 1,

(~ ) = 1) ist als Anzahl der Kombinationen zu je k (ohne Wiederholung) von

n Elementen eine ganze Zahl. 1st n = peine Primzahl und k ~ p - 1, so gilt

(2)

Denn in diesem Fall ist der Nenner N = 1 . 2 . 3 ... k teilerfremd zu p (weil er aus lauter Faktoren zusammengesetzt ist, die kleiner als p, also teilerfremd zu p sind). Der Zahler Z = p(p - 1) ... (p - k + 1) = pM ist ein Vielfaches

von p. Es folgt (~) = p ~. Da N und p teilerfremd sind, ist Nx + py = 1

lOsbar. Dann gilt NMx + pM = M. Aus N I pM folgt somit N I M, so daB

M 0:) N = peine ganze Zahl ist.

127. Es sei m eine natiirliche Zahl. Unter den Vielfachen von m, die nicht groBer als eine gegebene ganze Zahl a sind, gibt es genau ein groBtes VieI-

129] Einige Ergebnisse der elementaren Zablentheorie 161

faches, etwa mq (q E Z). Dann gilt einerseits mq :;:;; a; es gibt also eine ganze Zahl r ~ 0 mit mq + r = a. Andererseits ist m(q + 1) > a; darum muJ3 r < m sein. Es gibt so mit genau eine ganze Zahl r mit

a = mq + r , q ganz, 0 :;:;; r < m . (3)

Die Zabl r heiJ3t der Rest von a modulo m. Der Rest von a modulo mist stets genau eine der Zahlen

0, 1, 2, 3, .. , , m - 1 .

Raben zwei ganze Zahlen a und b denselben Rest modulo m, so heiJ3en a und b restgleich oder kongruent modulo m (Bezeichnung: a == b (mod m)).

Es gilt a == b (mod m) dann und nur dann, wenn m I a-b. (Die Schreibweise "a == b (mod m)" ist von GAUSS eingefiihrt worden.)

128. Die Kongruenz modulo mist eine Aquivalenzrelation zwischen ganzen Zahlen. Sie hat namlich die Eigenschaften der Reflexivitat (a == a (mod m)), Symmetrie (aus a == b (mod m) folgt b == a (mod m)) und Transitivitat (aus a == b (mod m) und b == c (mod m) folgt a == c (mod m)).

1st eine ganze Zahl a gegeben, so kann man aus der Menge aller ganzen Zahlen diejenigen aussondern, die zu a kongruent modulo m sind. Diese bilden eine Teilmenge von Z, die wir mit a mod m bezeichnen. 1st b eine weitere ganze Zahl und gilt b == a (mod m), so gehort b zu a modulo m. Man kann b modulo m bilden. Die Menge b modulo m besteht aus allen ganzen Zablen, die zu b kongruent modulo m sind. Die Mengen a modulo m und b modulo m sind entweder gleich (falls a == b (mod m) ist), oder sie enthalten verschiedene ganze Zahlen (sie sind elementfremd; falls a * b (mod m) ist). Die Mengen a modulo m, b modulo m, ... sind die Aquivalenzklassen beziiglich der Aquivalenzrelation "kongruent modulo m". Sie heiJ3en Restklassen modulo m. Es gibt genau m Restklassen modulo m, namlich 0 modulo m, 1 modulo m, 2 modulo m, ... , (m - 1) modulo m. 1st 0 :;:;; r < m eine ganze Zahl, so besteht die Restklasse r modulo m aus allen ganzen Zahlen der Form qm + r (worin q alle ganzen Zahlen durchlauft). Die Menge Z der ganzen Zahlen ist in m (zueinander elementfremde) Restklassen eingeteilt. AIle Zahlen einer Restklasse sind einander kongruent modulo m. Alle zu einer Rest­klassenzahl modulo m kongruenten Zahlen liegen in derselben Restklasse. Die Restklasse ist mithin durch jede der in ihr enthaltenen ganzen Zahlen gegeben. lrgendeine Zahl einer Restklasse heiJ3t Reprasentant dieser Rest· klasse.

Ein System von m ganzen Zahlen, das aus jeder der m Restklassen modulom genau einen Reprasentanten enthalt, heiJ3t voIles Restsystem modulo m.

Beispielsweise sind die Mengen {O, 1, 2, 3, 4}, {5, 101,37,83, -1}, {O, 1,2, -2, -1} volle Restsysteme modulo 5.

129. Man kann mit Kongruenzen analog wie mit Gleichungen rechnen (was die Addition, Subtraktion und Multiplikation betrifft):

(1) Aus a == b (mod m) und c == d (mod m) folgt a ± c == b ± d (mod m) und ac == bd (mod m). Speziell gilt: Aus a + b == c (mod m) folgt a == b - c

11 Pieper, Gaull

162 Anhang 1 [131

(mod m). Aus a == b (mod m) folgt a ± km == b (mod m) (k = 0, 1,2, ... ). Aus a == b (mod m) folgt an == bn (mod m) (n ;;;;; 1). Aus a == b (mod m) folgt ak == bk (mod m) (k E Z).

Weitere wichtige Eigenschaften der Kongruenzen sind: (II) Es sei f(x) = anxn + an_1Xn-1 + ... + a1x + ao ein Polynom vom

Grade n (an =l= 0) mit ganzen Koeffizienten. Aus a == b (mod m) folgt f(a) ==f(b) (mod m).

(III) Aus a == b (mod m) folgt ak == bk (mod mk).

(IV) Aus a == b (mod m) und a = a't, b = b't, m = m't folgt a' == b' (mod m').

(V) Wenn a == b (mod m), so (a, m) = (b, m).

(VI) Aus ae == be (mod m) und (0, m) = 1 folgt a == b (mod m).

(VII) Aus ae == 0 (mod m) folgt a == 0 (mod (o~m») •

130. 1st n eine ungerade ganze Zahl, so gilt n - 1 == 0 (mod 2) und n Z - 1 == 0 (mod S). Fiir ungerade Zahlen n, n' gilt

nn' - 1 n - 1 n' - 1 (n - 1) (n' - 1) ~-2- - ~2- - -2- = 2 == 0 (mod 2)

und (nn')Z - 1 n Z - 1 n'z - 1 (nZ - 1) (n'Z - 1)

S - ~-S~ - S = S == 0 (mod 2) .

Sind ~, ... , aT< beliebige ungerade Zahlen, so kann man leicht induktiv iiber k beweisen, da13

a1 - 1 + az - 1 + ... + aT< - 1 = ~az ... aT< - 1 (mod 2) 2 2 2 - 2 ,(4)

a~ - 1 a~ - 1 a~ - 1 (~azaa ... aT<)Z - 1 -S- + -S- + ... + -S- == S (mod 2) (5)

gilt

131. Es sei f(x) = anxn + an_lxn- 1 + ... + ~x + ao (an =l= 0) ein Polynom vom Grade n. Eine Kongruenz

f(x) == 0 (mod m) (6)

losen hei13t, aIle ganzen Zahlen amitf(a) == 0 (mod m) zufinden. Nach Nr.I29, (II) sind neben a auch aIle Zahlen a' mit a' == a (mod m) Losungen. Man sieht die ganze Restklasse a modulo m als eine Losung an. Somit ist die Anzahl der Losungen von (6) gleich der Anzahl der Reprasentanten eines vollen Rest­systems modulo m, die diese Kongruenz losen.

Falls an =1= 0 (mod m) ist, hei13t n der Grad der Kongruenz (6). 1st m = peine Primzahl, so gilt: Hat die Kongruenz (6) mehr als n Losun­

gen, so sind aIle Koeffizienten von f(x) durch p teilbar. Eine Kongruenz vom Grade n (worin ja an =1= 0 (mod p) ist) hat somit hochstens n Losungen.

135] Einige Ergebnisse der eleinentaren Zahlentheorie 163

132. Die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Restklassen modulo m kann nach (1) (Nr. 129) reprasentantenweise erkliirt werden:

a modulo m ± b modulo m = (a ± b) modulo m ,

(a modulo m) (b modulo m) = ab modulo m.

Die m Restklassen modulo m bilden einen Ring. (Es sind die iiblichen Rechen­gesetze erfftllt.) Er wird der Restklassenring modulo m genannt und mit Z /mZ bezeichnet.

133. Alle Zahlen einer Restklasse modulo m haben nach (V) (Nr. 129) mit m ein und denselben groBten gemeinsamen Teiler.

Die Restklassen a modulo m mit (a, m) = 1 bestehen aus lauter zu m teilerfremden Zahlen. Sie werden prime Restklassen modulo m genannt. Die Anzahl der primen Restklassen modulo m wird mit tp(m) bezeichnet. (Diese in der Menge der natiirlichen Zahlen erkliirte Funktion tp heiJ3t Eulersche Funk­tion.) Es gilt tp(m1mi ) = tp(~) tp(mi ), falls (ml' m2 ) = 1 ist. Da jede natiirliche Zahl Produkt von verschiedenen Primzahlpotenzen ist, geniigt es, den Wert tp(pk) fiir eine Primzahlpotenz anzugeben:

tp(pk) = pk _ pTe-I = p'!c (1 _ ~) . 134. 1st {~, ai' ... , ap-l} ein Reprasentantensystem der p - 1 primen Rest­klassen modulo p (primes Restsystem modulo p) und ist (b, p) = 1, so bilden auch die p - 1 Zahlen {b~, baz, ... ,bap-d ein primes Restsystem modulo p.

Die Zahlen ba, sind wegen (b, p) = 1 und (at> p) = 1 teilerfremd zu p. Ferner sind sie paarweise inkongruent. Ware namlich bat == ba1 (mod p), so wiirde wegen (b, p) = 1 die Kongruenz a, == a1 (mod p) folgen, entgegen der Voraussetzung.

136. Sind a modulo m und b modulo m zwei prime Restklassen, so ist auch ihr Produkt ab modulo m eine prime Restklasse.

DaB auch jede prime Restklasse eine inverse besitzt, folgt aus dem folgenden

Satz A4. Die Kongruenz ax == 1 (mod m) ist dann und nur dann lOsbar, wenn (a, m) = 1 ist. Die Losung x ist modulo m eindeutig bestimmt (und es ist (x, m) = 1).

Zu jeder primen Restklasse x modulo m gibt es also stets genau eine prime Restklasse x modulo m so, daB

(a modulo m) (x modulo m) = 1 modulo m

ist. Diese wird mit (a modulo m)-l oder einfach a- 1 modulo m bezeichnet. Die primen Restklassen bilden eine multiplikative abelsche Gruppe. Sie wird prime Restklassengruppe modulo m genannt und mit (Z/mZ)* bezeichnet. Da sie tp(m) Elemente besitzt, gilt: Fiir eine prime Restklasse a modulo mist

a'l'(m) modulo m = 1 modulo m.

11·

164 Anhang 1

Anders geschrieben: Satz A5 (EULER). Gilt (a, m) = 1, so ist aIP(m) == 1 (mod m). SpezieIl: Satz A6 (FERMAT). 1st peine Primzahl und (a, p) = 1, so ist

af'-l == 1 (modp) .

[138

(7)

136. Der Restklassenring modulo mist dann und nur dann ein Korper, wenn m = peine Primzahl ist (vgl. Nr. 140).

Die prime Restklassengruppe modulo p ist zyklisch, d. h., es gibt eine prime Restklasse w modulo p so, da.13 wp-l die kleinste Potenz von w mit wp-l == 1 (modp) ist und sich jede prime Restklasse a modulo p eindeutig in der Form wk modulo p (k modulo p - 1) darsteIlen la.l3t, also

1 modulo p, w modulo p, w2 modulo p, ... , wp-2 modulo p

aIle primen Restklassen modulo p sind. Eine solche Zahl w hei.l3t primitive Wurzel modulo p. (Es gibt p(p - 1) primitive Wurzeln modulo p.)

137. Es seien m l , ... , m/c paarweise teilerfremde natiirliche Zahlen, und m = ~ ... m/c sei ihr Produkt.

Satz A 7 CITber simultane Kongruenzen). Es seien Ut, ... , ak gegebene ganze Zahlen. Dann gibt es genau eine Restklasse x modulo m so, dajJ

x == Ut (mod m l ) ,

x == ~ (mod m2 ) ,

x == a/c (mod m/c) ist. (Dabei gilt (x, m) = 1 genau dann, wen,n (ai' ml) = 1 fiir i = 1, ... , kist.)

138. 1st x eine reeIle Zahl, dann bezeichne nach GAUSS [x] die gro.l3te ganze Zahl, die nicht gro.l3er als x ist, also

[x] = Max {m E Z I m ~ x} •

[x] hei.l3t auch der ganze Teil von x, wahrend {x} = x - [x]

der gebrochene Teil von x genannt wird (0 ~ {x} < 1):

x = [x] + {x} • Beispiele. [3] = 3,

{3} = 0, [3, 7] = 3 , [ - 3, 3] = - 4 ;

{3, 7} = 0, 7, {-3, 3} = 0,7. a

Aus (3) folgt fiir die rationale Zahl­m

a r m=q+m mit

r 0:::;;-< 1, -m

undesist[:]=q, {:}= :.

139] Einige Ergebnisse der elementaren Zahlentheorie 165

Beispiele. m] = 2, 77 = 2· 37 + 3 ;

[-tt]= -3, -77=(-3)·37+34.

Einige oft benutzte Eigenschaften des ganzen Teiles von x sind [x + g] = [x] + g fUr ganzes g, (8)

[-x] = -[x] - 1 • (9)

Es bezeichne R(x) fUr reelle x die Differenz von der nachsten ganze Zahl, also

R(x) = {x - [x + -}], falls x E R - -} Z ,1) o , falls x E -} Z .2)

Hiernach ist stets

JR(x)J < -}. Ferner gilt

R(x + 1) = R(x) .

(10)

(ll)

In der Tat, wegen (8) ist [x + -} + 1] = [x + -}] + 1 und folglich (x + 1) - [x + 1 + -}] = - [x + -}]. AuI3erdem gilt

R(x) + R( -x) = 0 , (12)

was aus (9) folgt. In der Tat, es ist [ -x] + [x] = -1, also mit (8) fUr jedes ganze g auch [g - x] + [x] = g - 1. Setzt man x + -} statt x und g = 1, so ergibt sich hieraus [-x + -}] = x -[x + -}], also (12).

139. Einige Literaturhinweise zum Anhang 1. BUCHSTAB, A. A., Zahlentheorie (russ.), Ucpedgiz, Moskau 1960. CHINTSCHIN, A. J., Die Elemente der Zahlentheorie. In: Enzyklopadie der

Elementarmathematik I, 7. Aufl., VEB Deutscher Verlag der Wissen­schaften, Berlin 1974.

HASSE, H., Vorlesungen iiber Zahlentheorie, 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin­Heidelberg-New York 1964.

KOCH, H., und H. PIEPER, Zahlentheorie, VEB Deutscher Verlag der Wissen­schaften, Berlin 1976.

PIEPER, H., Zahlen aus Primzahlen, VEB Deutscher Verlag der Wissen­schaften, Berlin 1974.

WINOGRADOW, I. M., Elemente der Zahlentheorie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin/R. Oldenbourg, Miinchen 1955.

1 1) d. h., x ist eine reelle Zahl (E R), die nicht die Form 2" g (g E Z) hat.

2) d. h., x hat die Form ~ g (g E Z).

Anhang 2. Endliche Korper

140. Sind a und b rationale Zahlen, so sind a + b, a - b, ab und, falls b =J: 0, a

auch b rationale Zahlen.

Restklassen modulo p kann man addieren, subtrahieren und multiplizieren. Produkt und Quotient von primen Restklassen modulo p sind ebenfalls prime Restklassen modulo p. Sind also a modulo p und b modulo p Restklassen modulo p, so sind auch a modulo p + b modulo p = (a + b) modulo p, a modulo p - b modulo p = (a - b) modulo p, (a modulo p) (b modulo p)

a modulo p = (ab) modulo p und, falls b =1= 0 (mod p), auch b d I = x modulo p

mo uo p (x (mod p) ist die Losung der Kongruenz bx == a (mod p )) wieder Restklassen modulop.

Man sagt, daJ3 die Mengen Q der rationalen Zahlen und Fp = ZjpZ der Restklassen modulo p einen Korper bilden.

Ein Korper ist eine Menge K, in der eine Addition und eine Multiplikation definiert ist, so daB K eine additive abelsche Gruppe ist und die von 0 ver­schiedenen Elemente von K eine multiplikative abelsche Gruppe bilden; Addition und Multiplikation sollen dabei distributiv verknupft sein.

Die Operationen Addition und Multiplikation und die additiven und multi­plikativen Rechengesetze sind zu den entsprechenden Operationen und Rechengesetzen im Korper Q ist analog.

Der Korper Q enthalt unendlich viele Elemente. Der Korper Fp besteht nur aus endlich vielen (namlich p) Elementen. Ein Korper, der nur aus endlich vielen Elementen besteht, heiBt endlicher Korper.

1st K ein Korper und K' eine Teilmenge von K, die bezuglich der in K erklarten Addition und Multiplikation selbst einen Korper bildet, so heiBt K eine Korpererweiterung von K'. Kist ein Vektorraum uber K'. Seine Dimen­sion wird der Grad von K uber K' (Bezeichnung: [K : K']) genannt.

141. Es sei K ein endlicher Korper. 1st a E K, so sind auch die Potenzen a2 , aa, a4 , ••• und a-l, a- 2 , a-a, ... in K enthalten. Da K nur endlich viele Elemente enthalt, sind nicht aIle Potenzen verschieden. 1st k die kleinste naturliche Zahl, fUr die ak = 1 gilt, so sind jedoch die Potenzen 1, a, a2 , ••• ,ak - 1

verschieden. Die Zahl k heiBt Ordnung des Elements a. Es gilt am = an dann und nur dann, wenn m == n (mod k) ist. Hat a die Ordnung k und b die Ordnung lund gilt (k, l) = 1, so ist e = ab ein Element der Ordnung kl. In der Tat, wenn em = 1 ist, folgt 1 = eml = am1bml = ami, also ml == 0 (mod k) und somit m == 0 (mod k). Ahnlich folgt m == 0 (mod l); also insgesamt

142] Endliche Korper 167

m == 0 (mod kl). Da andererseits okl = (ak)l(b1)k = 1 ist, muJ3 somit 0 die Ordnung kl haben.

Es sei n die groJ3te Ordnung, die ein Element von K haben kann. Wir zeigen, daJ3

n=q-l (1) ist (worin q die Anzahl der Elemente von Kist).

Es sei a ein Element der Ordnung n und b =l= 0 irgendein Element von K, dessen Ordnung k sein moge. Dann gilt kin (d. h. also, daJ3 die maximale Ordnung n durch die Ordnung jedes anderen Elements =l= 0 von K teilbar ist).

k In der Tat, ware k kein Teiler von n, so hatte b(n,k) die Ordnung -( k),l)

nk n, und ab(n, k) hatte die Ordnung (n, k) ,2) die groJ3er als n ware, was der Wahl

von n widerspricht. Somit ist jedes Element von K Wurzel der Gleichung xn-l=O.

Da diese Gleichung nicht mehr als n Wurzeln haben kann, folgt hieraus q - 1 ;2; n. Da andererseits n ;2; q - 1 ist (weil K die n Potenzen a, a 2, ••• , an-I, an = 1, die samtlich =l= 0 sind, enthalt), folgt insgesamt (1). Es gibt somit in K ein Element a der Ordnung q - 1.

Die Elemente 1, a, a 2, ••• , aq- 1 sind aIle verschieden und stellen zusammen mit 0 aIle Elemente von K dar.

Jedes Element eines K6rpers mit q Elementen ist Wurzel der Gleichung

xq - x = x(xq- 1 - 1) = 0 • (2)

Dies ist fiir die 0 richtig, wahrend die Elemente =l= 0 sogar der Gleichung ~-l _ 1 = 0

genugen. Die Aussage, daJ3 aq-l = 1 fiir aHe a =l= 0 aus Kist, ist eine Verallgemeine.

rung des Satzes von FERMAT, wonach in Fp stets aP - 1 = 1 fur a =l= 0 aus Fp ist (d. h. aP-1 == 1 (modp) fiir a =1= 0 (modp); Nr. 135).

142. Es sei K ein endlicher Korper. 1st a E K, so sind auch die Summen 2a, 3a, 4a, ••• in K enthalten. Da K nur endlich viele Elemente enthalt, sind nicht aIle diese Summen verschieden. 1st k die kleinste natiirliche Zahl, fiir die ka = 0 ist, dann gilt auch kb = kaa-1b = 0 fiir jedes b E K. Also haben aIle von Null verschiedenen Elemente von K die gleiche additive Ordnung.

k 1) Hat b di~ Ordnungd k, so hat bd die Ordnung (d, k)' In der Tat, es gilt einer·

d (d k) k (d k) seits b ' = b ' = 1, und andererseits folgt aus bdm = (bd)m = 1, daJ3

dm ein Vielfaches vo~ k = (d~ k) (d, k), also m (wegen (d, (d~ k) = 1) ein Vielfaches von (n, (d, kJ ist.

k 2) Es ist namlich (n, k) = 1.

168 Anhang 2 [145

Die Zahl k muB eine Primzahl sein. Ware namlich k = klk2 mit kl < k, k2 < k, so ware k2a =l= 0 und hatte die kleinere Ordnung k l .

Die Primzahl k = p heiBt Charakteristik von K. Hat ein endlicher Korper die Charakteristikp, so ist er ein Erweiterungskorper von Fp. Fp ist der klein­ste Teilkorper von K.

143. Der endliche Korper K habe die Charakteristik p. Es sei KjFp eine Er­weiterung von Gradf. 1st dann~, ... , a, eine Basis des Vektorraumes K iiber F p , so hat jedes Element a E K die eindeutige Darstellung

a = CI~ + ... + c,a, mit Koeffizienten Ci aus Fp. Fiir jeden Koeffizienten sind p Werte moglich. Somit enthalt K genau q = pi Elemente. Die Anzahl der Elemente eines end­lichen Korpers ist eine Potenz der Charakteristik p; der Exponent gibt den Korpergrad an. Wir schreiben auch K = Fq•

Fiir aIle Elemente a E Fq gilt nach (2)

aq - a = O.

K besteht aus den Wurzeln dieser Gleichung. Das Polynom xq - x zerfallt in K in Linearfaktoren:

q x q - x = II (x - /Xi) ,

i=l

worin /Xl' ... , <Xq aIle Korperelemente sind.

144. In einem (endlichen) Korper K der Charakteristik p gilt fiir aIle a, b E K

(a - b)P = aP - bP. (3)

In der Tat, nach der binomischen Formel gilt (a - b)P = .1: (~) ai ( -b)p-i. Fiir 1 ~ i ~ p - 1 ist der Binomialkoeffizient >=0 ~

( p) _ p! = p(p - 1) ... (p - i + 1) i -i!(p-i)! 1·2···i

eine natiirliche durch p teilbare Zahl (Nr. 126). Somit sind aIle Mittelglieder

(~) ai(_b)P-i gleich 0, und es folgt (3).

145. Die Abbildung

(1: a ~ aP

ist ein Automorphismus von KjFp. In der Tat, es gilt (wie (3))

(a + b)P = aP + bP

und auBerdem

(ab)P = aPbP .

147] Endliche Korper 169

Daher ist 11 ein Homomorphismus. Aus (3) folgt auch, dal3 die Abbildung injektiv ist: Aus aP = bP folgt a = b. Da K endlich ist, mul3 11 auch surjektiv sein.

Ein Element a aus K gehort dann und nur dann zu F p' wenn l1(a) = a, also aP = a ist.

146. Es sei a ein Element der Ordnung n (an = 1) in einem Korper Fq mit q = pI Elementen. 1st m die multiplikative Ordnung der Primzahl p modulo n (also m die kleinste positive Zahl, fiir die pm == 1 (mod n) ist), so sind die m Elemente a, aP, aP', ... ,aPm-' verschieden und aPm = a. In der Tat gilt aPi = aPk genau dann, wenn p~ == pk (mod n), also pi-k == 1 (mod n), d. h. wenn i == k (mod m) ist. Wir zeigen nun: Die Koeffizienten des Polynoms

m-l

f(x) = II (x - aP1)

i=O

(vom Grade m) sind aus Fp. Das Polynomf(x) ist irreduzibel in Fp. Wegen aPm = a = aP° ist

m-l m-l m [f(x)]P = II (x - aP~)P = II (xP - aPI+') = II (xP - aP;)

;=0 i=O i=l

m-l = II (xP - a pl ) = f(xP) •

;=0

m m m Setzen wir f(x) = 2: a/x', so ist [f(x)]P = 2: afx;P und f(xP) = 2: aix;P. Ein

;=0 i=O ;=0 Vergleich der Koeffizienten in [j(x)]P =f(xP)ergibt af = ai fur alle i = 0, ... , m, d. h. ai E Fp. Ware f(x) reduzibel, so ware f(x) = g(x) hex) mit gewissen normierten (der Koeffizient der hochsten x-Potenz ist 1) Polynomen g(x) und hex) (von einem Grade (9= 0), der echt kleiner als mist). Aus f(a) = 0 folgt g(a) = 0 oder heal = o. Es sei etwa g(a) = O. Hieraus folgt (wie oben) g(aP) = 0, g(aP') = 0, ... , g(apm-') = O. Das Polynom g(x) vom Grade < m hatte m Null­stellen, was ein Widerspruch ist.

1st p(x) ein Polynom mit Koeffizienten aus Fp mit pea) = 0, so ist p(x) durch f(x) teilbar (weil auch p(aP1) = 0 ist). f(x) heil3t Minimalpolynom von a. Es hat den Grad m. Die Zahl m heil3t auch Grad von a.

147. Es sei a ein Element vom Grade m in einem endlichen Korper K. Die Polynome in a (vom Grade ~ m - 1)

m-l g(a) = 2: Uiai

i=O (4)

mit Koeffizienten Ui aus F p bilden einen endlichen Korper L mit pm Elementen. (Es ist ein Teilkorper von K.)

a) Sind gl(X) und g2(X) verschiedene Polynome vom Grade ~ m - 1 mit Koeffizienten aus Fp, so sind gl(a) und g2(a) verschiedene Elemente von K.

12 Piever, GauB

170 Anhang 2 [149

Ware gl(a) = g2(a), so ware a Nullstelle des Polynoms gl(X) - g2(X), obwohl der Grad von gl(X) - g2(X) kleiner als mist.

b) Die Summe und Differenz zweier Polynome der Form (4) hat offenbar wieder die Form (4).

c) Sind gl(X) und g2(X) zwei Polynome vom Grade ~ m - 1 (mit Koeffi­zienten aus Fp), so gibt es Polynome q(x) und r(x) mit

gl(X) g2(X) = f(x) q(x) + r(x)

(darin istf(x) das Minimalpolynom (Nr. 146) von a, und der Grad von r(x) ist ~ m - 1). Es folgt

gl(a) g2(a) = r(a) ,

d. h., das Produkt zweier Polynome der Form (4) ist ebenfalls ein Polynom der Form (4).

d) Da das Minimalpolynom f(x) von a irreduzibel vom Grade mist, ist es zu jedem Polynom g(x) vom Grade ~ m - 1 teilerfremd. Daher gibt es Poly­nome h(x), k(x) mit

h(x) f(x) + k(x) g(x) = 1 ,

1 woraus k(a) g(a) = 1 und k(a) = -( ) folgt. Schreibt man wie in c) k(x)

g a 1 = f(x) q(x) + r(x), so ist k(a) = r(a). Also ist -(a)' wieder ein Ausdruck der Form (4). g

148. Man kann zeigen, daJ3 man jeden endlichen Korper auf die in Nr. 147 beschriebene Art erhalten kann.

Zu jeder Primzahlpotenz q = pm (m > 0) gibt es wirklich einen, aber nur einen Korper mit genau q Elementen.

1st ein irreduzibles Polynom f(x) = xm + am_lXm-1 + ... + ao (ai E Fp) gegeben, so hat f(x) im Korper Fpm mit pm Elementen eine Nullstelle IX, und aIle Nullstellen vonf(x) haben die Form IXpl.

Hieraus folgt: 1st f(x) irgendein (nicht notwendig irreduzibles) Polynom mit Koeffizienten aus F p' so existiert eine Erweiterung von F p, in der ein irreduzibler Faktor von f(x) und damit f(x) eine Nullstelle besitzt.

Es ergibt sich sofort die Existenz eines Korpers, in dem f(x) sich in lauter Linearfaktoren zerlegen laJ3t.

149. Die Resultante zweier Polynome f(x) = aoxn + a1xn- 1 + '" + an und g(x) = boxm + b1xm - 1 + ... + bm ist die auf S. 171 dargestellte Determinante von der Ordnung n + m (n > 0, m > 0), wobei an den leeren Stellen nur Nullen stehen sollen. (Wir bezeichnen sie mit R(j, g).) Die Koeffizienten ai, bt (i = 1, ... ,n; j = 1, ... ,m) seien Elemente eines endlichen Korpers K/Fp •

Wir setzen ao =t= 0 und bo =t= 0 voraus. Dann haben die Polynome f(x) und g(x) mit Koeffizienten aus K genau dann eine gemeinsame Nullstelle, wenn ihre Resultante R(f, g) verschwindet.

150] Endliche Korper 171

a o llt as as a, ... a" }._. ao llt a2 as ... an-I a" a o llt as ... an-2 an-I a"

ao llt as .. · an-I a" bo bl b2 ... bm

!~,.-bo bl b2 ... bm-l bm

bo bl ... bm -2 bm-l bm

bo bl b2 bm

J bo b1 b2 ... bm

Als Diskriminante D(j) eines Polynoms f(rr;) vom Grade n (mit p .r n) be­zeichnen wir (bis auf einen konstanten Faktor) die Resultante R(j,f') dieses Polynoms und seiner Ableitung, namlich

11,(,,-1) 1 D(j) = (-1) 2 - R(j,!,) •

ao .

Fiir die Diskriminante eines Polynoms

f(rr;) = ao(rr; - ~) ... (rr; - (X,,)

(n ;;;;; 1, ao =l= 0) gilt die Produktdarstellung

D(j) = a~"-2 II «(XI: - (XZ)2 • (5) 1;>;1:<1;>;11,

Fiir die Diskriminante zweier nichtkonstanter Polynome f(rr;) und g(rr;) gilt der Multiplikationssatz

D(jg) = D(j) D(g) R(f, g)2 • (6)

Fiir ein quadratisches Polynom f(rr;) = rr;2 + arr; + b = (rr; - (Xl) (rr; - (XI)

(~ + (X2 = -a, ~(X2 = b) mit Koeffizienten z. B. aus Fp ist D(j) = «(Xl - (XI)2

a 1 V-= «(Xl + "'2)2 - 4(XI(Xa = aD - 4b. Wegen (Xl,S = - "2 ±"2 D(f) liegen (Xl' (X2

dann und nur dann in F p , wenn D(j) ein Quadrat in Kist.

150. Einige Literaturhinweise zum Anhang 2. ARTIN, E., Galoissche Theorie, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig

1959. BERLEKAMP, E. R., Algebraic coding theory, McGraw-Hill, New York u. a .

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12·

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Anmerkung. DasMathematische Tagebuch [18] von GAUSS liegt nun auch in deutscher Ubersetzung vor. (Mit einer historischen Einfiihrung von Kurt-R. BIERMANN. Mit Anmerkungen von H. WUSSING.) Akademische Verlagsge­sellschaft Geest & Portig, Leipzig 1976.

Mathematikerverzeich n is

E. ARTIN (1898-1962). Schiller von HERGLOTZ (1881-1953) in Leipzig. Wirkte in Hamburg und Princeton. Arbeiten zur Algebra, Topologie und Zahlen­theorie (Klassenkorpertheorie).

P. BACHMANN (1837 -1920). Schiller von DmICHLET und KUMMER. Wirkte in Breslau, Miinster und Weimar. Arbeiten zur Zahlentheorie.

A. CAUCHY (1789-1857). Schiiler von LAGRANGE. Wirkte an der Ecole Poly­technique und an der Sorbonne in Paris. Arbeiten zur Analysis und Funk­tionentheorie, aber auch Beitrage zur Zahlentheorie, Algebra, Geometrie und Mechanik.

R. DEDEKIND (1831-1916). Promotion bei GAUSS. Wirkte vor aHem in Braunschweig. In den Arbeiten zur Algebra und Zahlentheorie nimmt die Theorie der algebraischen Zahlen eine zentrale SteHung ein. Beitrage auch zur Mengentheorie.

P. G. L. DmICHLET (1805-1859). Lehrer in Paris. Professor in Berlin. Nach dem Tode von GAUSS dessen N achfolger in Gottingen. Er war der "erste verstandige Leser der Disquisitiones Arithmeticae, die er immer bei sich trug, wieder und wieder studierte und durch vereinfachte DarsteHung in wei ten Kreisen wirksam machte" (F. KLEIN). Arbeiten zur Zahlentheorie (Dirichlet­sche Reihen, Nachweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen in einer arithmetischen Zahlenfolge, in der das erste Element und die Differenz teiler­fremde ganze Zahlen sind). Beitrage zur Potentialtheorie, Analysis, Algebra, Mechanik.

G. EISENSTEIN (1823-1852). Wirkte in Berlin. Arbeiten zur Algebra und Funktionentheorie. Seine Beitrage zur Zahlentheorie betreffen kubische und biquadratische Reziprozitatsgesetze.

L. EULER (1707 -1783). Schiller von JOHANN BERNOULLI (1667 -1748). Wirkte an der Petersburger Akademie und der Koniglichen Akademie der Wissen­schaften zu Berlin. Er entdeckte das Quadratische Reziprozitatsgesetz. Be­schaftigte sich auch mit Kettenbriichen. Arbeiten zur Analysis, Variations­rechnung, Hydrodynamik u. a.

P. DE FERMAT (1601-1655). Parlamentsrat in Toulouse. Beitrage u. a. zur Analysis und Zahlentheorie (Diophantische Gleichungen).

G. FROBENIUS (1849-1917). Schiller von KUMMER, KRONECKER und WEIER­STRASS. Professor in Ziirich und Berlin. Mitglied der PreuJ3ischen Akademie der Wissenschaften. Arbeiten zur Algebra und Analysis. Beitrage zur Zahlen-

176 Mathematikerverzeichnis

theorie (er hat "immer wieder an dem Jungbrunnen der Arithmetik Erholung gesucht").

C. F. GAUSS (1777-1855). " Es ist jedem Anfanger der Geometrie bekannt, dal3 verschiedene ordentliche Vielecke, namentlich das Dreieck, Fiinfeck, Fiinfzehneck, und die, welche durch wiederholte Verdoppelung der Seitenzahl eines derselben entstehen, sich geometrisch konstruieren lassen. So weit war man schon zu Euklids Zeit, und es scheint, man habe sich seitdem allgemein iiberredet, dal3 das Gebiet der Elementargeometrie sich nicht weiter erstrecke: wenigstens kenne ich keinen gegliickten Versuch, ihre Grenzen auf dieser Seite zu erweitern. Desto mehr, diinkt mich, verdient die Entdeckung Auf­merksamkeit, dal3 aul3er jenen ordentlichen Vielecken noch eine Menge ande­rer, z. B. das Siebzehneck, einer geometrischen Konstruktion fahig ist. Diese Entdeckung ist eigentlich nur ein Corollarium einer noch nicht ganz voll­endeten TheOl'ie von grol3erem Umfange, und sie solI, sobald diese ihre Voll­endung erhalten hat, dem Publikum vorgelegt werden. C. F. Gaul3, a. Braun­schweig. Stud. der Mathematik zu Gottingen." (Gaul3-Werke X/I, S. 3.)

Diese Ankiindigung der Entdeckung der geometrischen Konstruierbarkeit des regelmal3igen Siebzehnecks im "Intelligenzblatt der allgemeinenLitteratur­zeitung" (Nr. 66, 1. Juni 1796, S.554) ist die erste Veroffentlichung von GAUSS. "Diese Entdeckung, welche er bis zum Ende seines Lebens sehr hoch schatzte, ist es vornehmlich gewesen, welche seinem Leben eine bestimmte Richtung gegeben hat, denn von jenem Tage an war er fest entschlossen nur der Mathematik sein Leben zu widmen." (Vgl. [41], S. 16.)

Seine mathematische Arbeit galt zunachst vorwiegend der Zahlentheorie. "Wer eine Darstellung alles dessen unternimmt, was die mathematischen Wissenschaften Gaul3 verdanken, mul3 fiiglich seine zahlentheoretischen Ar­beiten an erster Stelle in Betracht ziehen. Nicht so sehr aus dem Grunde, wei! die Disquisitiones arithmeticae, sein grol3tes und zwar nicht dem Erscheinen, aber der Entstehung nach erstes Werk, der Zahlentheorie gewidmet sind, al.s vielmehr deswegen, weil in der Tat in dem Kranze von Gaul3' epochemachen­den wissenschaftlichen Leistungen seine Entdeckungen im Gebiete der Zahlentheorie die grol3artigsten und in ihrer Wirkung auf die weitere Ent­wicklung der Mathematik am bedeutendsten gewesen sind; von jenem monu­mentalen Jugendwerke an datieren wir erst die Wissenschaft der hoheren Arithmetik." (Vgl. [2].)

In den "Disquisitiones arithmeticae" legt GAUSS cine Theorie der linearen und quadratischen Kongruenzen dar, gibt zwei Beweise des quadratischen Reziprozitatsgesetzes. Der erste benutzt die Methode der vollstandigen In­duktion, del' zweite beruht auf der von ihm entwickelten Theorie der quadrati­schen Formen. Das Werk enthalt ferner Untersuchungen iiber die Kreis­teilung, die den Satz iiber die Konstruierbarkeit des regelmal3igen Siebzehn­ecks verallgemeinern.

GAUSS promovierte 1799 mit dem ersten vollstandigen Beweis ft.r den Fundamentalsatz der Algebra. In den nachsten Jahren wandte GAUSS sich der Astronomie zu. Von 1807 bis zu seinem Tode lebte er als Professor der Astronomie und Direktor der Sternwarte in Gottingen.

Mathematikerverzeichnis 177

In seiner Antrittsvorlesung sagte er: "Die glucklichen groBen Geister, die die Astronomie ebenso wie die anderen schonen Teile der Mathematik ge­schaffen und erweitert haben, wurden gewiB nicht durch die Aussicht des kiinftigen N utzens angefeuert: sie suchten die Wahrheit um ihrer selbst willen und fanden in dem Gelingen ihrer Anstrengungen allein schon ihren Lohn und ihr Gluck_" (GauB-Werke XII, 192_)

E. KXHLER ([37], S. 9) erinnert "daran, daB GauB mehr Zeit und Arbeit der Astronomie als der Mathematik gewidmet hat, daB er als Direktor der Gottin­ger Sternwarte und als Leiter der Hannoverschen Gradmessung geduldig Sterne und Kirchtiirme vermessen hat .... , daB er aus seinen in der Geodasie gewonnenen Erfahrungen die langst als abgeschlossen angesehene Differential­geometrie zu neuem Leben erweckte. Wir sehen ihn mit Wilhelm Weber der Telegraphen erfinden, und der Name "GauB", den das Forschungsschiff einer groBen deutschen erdmagnetischen Antarktis-Expedition trug, zeigt uns, was der Name "GauB" der Geophysik bedeutet".

Tiefliegende Ergebnisse erzielte GAUSS nach Zahlentheorie und Astronomie auch in den Gebieten Analysis, Funktionentheorie, Geometrie, Geodasie und Physik. Die Hauptwerke erscheinen 1801 (Zahlentheorie), 1809 (Astronomie), 1827 (Differentialgeometrie), 1838 (Erdmagnetismus), 1839 (Potentialtheorie), 1843 (Geodasie). Viele mathematische Entdeckungen hat GAUSS nie publiziert. Man weiB davon nur aus dem Tagebuch aus den J ahren 1796 bis 1814 (das erst 1901 von F. KLEIN veroffentlicht wurde) und aus seinen Briefen. Nach seinem Tode wurde GAUSS als "Fiirst der Mathematiker" gefeiert.

"Die Erinnerung an GauB wachzuhalten, ist uberflussig; seinen Namen wird man so lange kennen, wie man Mathematik treibt_ Das Genie von GauB war eines der groBten in der Geschichte der Mathematik. Er war nicht nur unter den Mathematikern seiner Zeit, die vorwiegend forschten, also mathematische Probleme lOsten .und neue Methoden erfanden, der bedeutendste, sondern in ihm vereinigte sich in idealer Weise der Typ des Forschers mit dem Typ des ordnenden Mathematikers, der heutzutage immer haufiger in Reinkultur auf­tritt und der wegen der ins kaum noch zu Ubersehende anwachsenden Fulle von Problemen, Resultaten und Methoden eine ebenso wichtige und schwierige Aufgabe wie der reine Entdeeker und Erfinder zu bewaltigen hat. In den GauBschen Arbeiten manifestiert sich diese Personalunion darin, daB GauB ganz konkrete Probleme behandelt, dies aber in einer Weise tut, daB man dahinter die allgemeinen Prinzipien aufleuchten sieht, und daB er da, wo er von seinen Resultaten auf Grund ihrer Schonheit vermutet, daB sie nur Spezialfalle einer allgemeineren GesetzmaBigkeit sind, eine ganze Reihe wesentlich verschiedener Methoden zur Losung der betreffenden Probleme in der Hoffnung sucht, auf einem dieser Wege zu neuen tieferliegenden Resul­taten von befriedigender Allgemeinheit zu kommen." ([37], Vorwort.)

H. HASSE (geb. 1898). Schuler von HENSEL. Em. Professor in Hamburg. Arbeiten zur Zahlentheorie (Quadratische Formen, Klassenkorpertheorie u.a.).

K. HENSEL (1861-1941). Schiller von KRONECKER. Professor in Marburg. Arbeiten zur Zahlentheorie (Schopfung der p-adischen Zahlen, Theorie der algebraischen Zahlkorper) und Funktionentheorie.

178 Mathematikerverzeichnis

D.HILBERT (1862-1943). Schiller von LINDEMANN (1852-1939) in Konigs­berg. Professor in Gottingen. Arbeiten zu Algebra, Zahlentheorie (Theorie der algebraischen Zahlkorper, Losung des Waringschen Problems), Geometrie, mathematische Logik, mathematische Physik, Analysis.

C. G. J. JACOBI (1804-1851). Wirkte in Konigsberg und Berlin. Arbeiten zur Analysis, Mechanik, Zahlentheorie, Funktionentheorie.

J. KONIG (1849-1913). Wirkte in Budapest. Arbeiten zur Mengentheorie, Algebra, Analysis und Zahlentheorie.

E. E. KUMMER (1810-1893). Wirkte in Breslau und Berlin. Mitglied. der Akademie in Berlin. Seine zahlentheoretischen Untersuchungen gelten den algebraischen Zahlkorpern. (Er ist Schopfer der idealen Zahlen.) Beitrage zur Analysis, Algebra und Geometrie.

L. KRONECKER (1823-1891). Schiller von DIRICHLET und KUMMER. Mitglied der Akademie in Berlin. Arbeiten zur Algebra, Zahlentheorie (Theorie der quadratischen Reste, arithmetische Theorie der algebraischen Formen, kom­plexe Multiplikation), Funktionentheorie.

J. L. LAGRANGE (1736-1813). Schon mit jungen Jahren Professor in Turin. Spater Berufung an die Preu.l3ische Akademie der Wissenschaften als Nach­folger EULERS. Ab 1797 Professor an der Ecole Poly technique in Paris. Arbeiten zur Analysis und Mechanik. Beitrage zur Zahlentheorie: Existenz­beweis fiir die Losung der diophantischen Gleichung x2 - py2 = 1, quadrati­sche Formen, Kettenbriiche.

H. LEBESGUE (1875-1941). Wirkte in Rennes, Poitiers und am College de France in Paris. Arbeiten vor aHem zur Theorie der reellen Funktionen.

A.-M. LEGENDRE (1752-1833). Professor an der Ecole Normale in Paris. 1798 el'schien sein Lehrbuch iiber die Zahlentheorie. Hierin gibt er eine Naherungs­formel fiir die Anzahl der Primzahlen bis zur natiirlichen Zahl n an:

n In n _ 1,08366· Er behandelt das quadratische Reziprozitatsgesetz ver-

mittels einer eigenen Symbolik (Legendre-Symbol). Arbeiten iiber elliptische Integrale, iiber Kugelfunktionen und Differentialgleichungen, sowie zur Geo­metrie.

J. LIOUVILLE (1809-1882). Wirkte an der Ecole Polytechnique und am College de France in Paris. Arbeiten zur Funktionentheorie, Differential­geometrie, Analysis, Statistik. Die Beitrage zur Zahlentheorie betreffen die Theorie der diophantischen Approximationen (Liouvillesche transzendente Zahlen).

H. REICHARDT (geb. 1908). SchUler von SCHUR und HASSE. Em. Professor an der Humboldt-Universitat zu Berlin. Mitglied der Akademie der Wissenschaf­ten der DDR. Arbeiten zur Differentialgeometrie. Beitrage zur Zahlentheorie: Galoissche Theorie der p-Erweiterungen, diophantische Gleichungen (z. B. x' - 17 = 2y2), Idealklassen.

Mathematikerverzeichnis 179

1. R. SAFAREVIC (geb. 1923). Professor in Moskau. Korr. Mitglied der Akademie der Wissenschaften der UdSSR. Arbeiten zur Zahlentheorie und algebraischen Geometrie.

1. SCHUR (1875-1941). Von 1916 bis 1938 Professor in Berlin. Mitglied der PreuJ3ischen Akademie der Wissenschaften. Beitrage zur Gruppentheorie, zur Zahlentheorie, zur Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten und zur Theorie der algebraischen Gleichungen.

T. TAKAGI (1875-1960). Studierte bei FROBENIUS und HILBERT. Professor an der Universitat Tokyo. Arbeiten zur Zahlentheorie (Klassenkorpertheorie).

J. TATE (geb. 1925). Schuler von ARTIN. Professor in Princeton. Arbeiten zur Zahlentheorie und zur algebraischen Geometrie.

E. 1. ZOLOTAREV (1847 -1878). Schuler von A. N. KORKIN (1837 -1908) und P. L. CEBYSEV (1821-1894) in Petersburg. Arbeiten zur Zahlentheorie.

Verzeichnis der benutzten Symbole

Die Ziffern bezeichnen die Nummer, in der das Zeichen erklart ist.

N Menge der natiirlichen Zahlen Z Menge der ganzen Zahlen Q Menge der rationalen Zahlen R Menge der rellen Zahlen C Menge der komplexen Zahlen aRp 3,28 aNp 3,28

(;) 6,32

(:) 36

(:L 70

alb 122 a-rb 122 (a, b) 125 [a, b] 125

(~) 126

a == b(modm) 127 [x] 138 {x} 138 R(x) 138 Fp, Fq 140

Namenverzeichnis

Die Ziffern bezeichnen die Nummer, in der der Name vorkommt; M Mathe­matikerverzeichnis; V Vorwort; G Geleitwort; D Dbersicht.

ABEL, N. H. 5 ARTIN, E. G, 5, M

BACHMANN, P. V, 5, M

BERNOULLI, J. M

BREWER, B. W. D, 109

CAUCHY, A. 5, D, 102, M

CEBYSEV, P. L. M

DEDEKIND, R. 5, M

DmICHLET, P. G. L. 4, 6, D, 27, 32, 39, 44, 102, M

EISENSTEIN, G. V, 5, 6, D, 67, M

EUKLID 3 EULER, L. 3, 4, V, 50, 58, 135, M

FERMAT, P. DE V, 5, 135, M

FROBENIUS, G. 6, D, 79, M

FOURIER, J. 90

GAUSS, C. F. G, V, 2-6, D, 27, 32, 39,44,51,79,92,102-104,109

HASSE, H. 5, M HENSEL, K. 5, 6, D, M

"HERGLOTZ, G. M

HILBERT, D. 5, M

JACOBI, C. G. J. 5, 6, D, 32, 36, M

KAHLER, E. M

KLEIN, F. V, M

KONIG, J. 6, D, 43, 44, M KORKIN, A. N. M

KUMMER, E. E. 5, M

KRONECKER, L. 4-6, D, 32, 43, 44, 61, 70, 109, M

LAGRANGE, J. L. V, 5, M

LAPLACE, P. S. V LEBESGUE, H. 5, D, 102, 109, M

LEGENDRE, A.-M. V, 4-6, D, 32, 33, M

LINDEMANN, F. V. M

LIOUVILLE, J. 5, M

MmIMANOFF, D. 6, D MOIVRE, A. DE 89

NETTO, E. 1, 4, 6

PELLET, A. D, 109

REICHARDT, H. V, D, 81, 91, M

RIEGER, G. J. 5, V RIE~IANN, B. 5

SAFAREVIC, 1. R. 5, M

SARTORIUS V. WALTERSHAUSEN, W. V SCHOLZ, A. 58 SCHUR, 1. D, 96, M

STICKELBERGER, L. 117, 120 SWAN, R. G. 6, D

TAKAGI, T. 5, M

TATE, J. 5, M

VANDER~1ONDE, A. T. 90

WEBER, W. M

WEIERSTRASS, K. M

ZELLER, CH. D, 61 ZOLOTAREV, E. 1. 5, D, 83, M

Sachverzeichnis

Die Ziffern bezeichnen die Nummer, in der der Begriff vorkommt.

Charakteristik 142

Diskriminante 14,9

Einheitswurzeln 89, 103 EISENSTEINS Irreduzibilitatskrite-

rium 104 Erganzungssatz, erster 33 -, zweiter 33,53 Eulersche Funktion 133 -s Kriterium 19,50 Existenzsatz, Gau.Bscher 6, 27

Fermatscher Satz 7, 135, 141 Fourierentwicklung 90 Fundamentaltheorem 4 Funktion, zahlentheoretische 88

Ganze Zahlen 3 -r Teil einer Zahl 138 Gau.Bsche Summe 92, 107 -r Existenzsatz 6, 27 -s Lemma 51, 52, 76 GauB-Symbol 76 gebrochener Teil einer Zahl 138 gerade Permutation 82 Gitterpunkt 67 Grad einer Karpererweiterung 140 graBter gemeinsamer Teiler 124

Ralbsystem 75

Inversion 82 irreduzibel 104, 146 Irreduzibilitat 104

Jacobi·Symbol 36, 41, 75

Kleinstes gemeinsames Vielfaches 125 Kombination 126 kongruent 127 Kongruenz 128-131 -; Lasung 131, 135 -en, simultane 48, 137 Karper 136, 140 Karpererweiterung 140 Kreisteilung 103 Kreisteilungsgleichung 103, 104. K·Symbol 70

Lagrangesche Resolvente 103 Legendre-Symbol 32 Lasung einer Kongruenz 131, 135

Minimalpolynom 146 Minimalrest modulo p 51 Multiplikationssatz fUr Diskriminan-

ten 149

Natiirliche Zahlen 122 Nichtrest, quadratischer 3,8

Ordnung 146

Permutation 82 -, zyklische 82 Primelement 3 prime Restklasse 133, 135 -s Restsystem modulo p 134 Primitivwurzel 23, 25, 136 Primzahl 3, 123

Quadratischer Nichtrest 3,8 - Rest 3,8

quadratisches Reziprozitatsgesetz 3, 4, 6, 26, 32, 108

Quadratzahl 3, 8

Regelma£iges n-Eck 103 Reprasentant 128 Rest, quadratischer 3, 8 - von a modulo m 3,127 restgleich 127 Restklasse 127 -, prime 133, 135 Restklassenring 136 Restsystem 128, 134 Resultante 149 Reziprozitatsgesetz, quadratisches 3,

4, 6, 26, 32, 108

Satz von EULER 135 - - FERMAT 7, 135, 141 - - MOIVRE 89 - - STICKELBERGER 117

Sachverzeichnis

simultane Kongruenzen 48, 137

Teller 3, 122 -, groBter gemeinsamer 124 Transposition 82

Ungerade Permutation 82

183

Vandermondesche Determinante 103 Vielfaches 3, 122 -, kleinstes gemeinsames 125 volles Restsystem modulo m 128 Vorzeichen einer Permutation 82

Zahl; ganzer Teil 138 -; gebrochener Teil 138 -en, ganze 3 -en natiirliche 122 zahlentheoretische Funktion 88 zyklische Permutation 82 zweiter Erganzullgssatz 33, 53