333

Anhang

Bilanzstatistik deutscher Banken 1993-2000 .............................................................................. 334

Obersicht Eigenkapitalanforderungen gem. §§ 10, II KWG i.V.m. Grundsatz I BAK ............................................................................................................... 336

Ubersicht der Vorschliige zur Anpassung der Risikogewichte fur Kredite im erweiterten Standardansatz des Basler Ausschusses fur Bankenaufsicht vom Juni 1999 und Januar 2001 (Basel II) ........................................................................................................ 337

Vergleich kreditrisikobehafteter Renditestrukturen von Verbriefungsformen in Abhiingigkeit von rechtlicher Verselbstiindigung und Haftung des Originators ............... 338

Bestimmung von Grenzportfolios ohne risikofreiem Finanztitel ................................................ 339

Bestimmung von Grenzportfolios mit risikofreiem Finanztitel .................................................. 342

Bestimmung von Grenzportfolios ohne risikofreiem Finanztitel und fester Volumensrestriktion eines risikobehafteten Finanztitels .................................. 345

Bestimmung von Grenzportfolios mit risikofreiem Finanztitel und fester Volumensrestriktion des risikofreien Finanztitels ............................................ 351

Bestimmung der Risikopriiferenzfunktion bei unbeschriinkter und beschriinkter Haftung ......... 357

Bestimmung des Investitionsvolumens im Modell von Froot et al. (1993) ................................ 360

Bestimmung der optimalen Portfoliostruktur im Modell von Froot/Stein (1998) ...................... 362

Eigenschaften der Konkurskostenfunktion bei normalverteilten Portfoliorenditen und konstanten Konkurskosten im Konkursfall ................................................................. 368

Voraussetzungen fur ein konstantes systematisches und marginales Investitionsrisiko ............. 371

33-1

Bilanzstatistik deutscher Banken 1993-2000:

Aktiva in Mrd. Euro

Bestand 1993 2000 CAGR

Kasse 14.257 16.060 2% Zentralbankguthaben 38.590 51.003 4% Postqiro 453 0 -100% Liquiditat 53.299 67.063 3%

Schatzwechsel 5.339 4.850 -1% Wechsel 4.728 7.779 7% Schuldverschreibungen 445.253 960.625 12% Aktien u.a. n.verz. Wertpapiere 40.627 210.267 26% Wertpapiere 495.947 1.183.521 13%

Beteiligungen 23.949 37.198 6% Anteile an verb. Unternehmen 21.965 92.887 23% Beteiligungen 45.914 130.085 16%

Interbankverbindlichkeiten 806.004 1.497.307 9%

Kredite an Nichtbanken 1.779.497 2.942.901 7%

T reuhandvermiigen 62.031 84.750 5% Ausgleichsforderungen 38.570 33.070 -2% Sachanlagen 27.188 38.247 5% ubrige Aktivposten 41.879 171.374 22% Sonstige Aktiva 169.669 327.441 10%

Gesamt 3.350.330 6.148.318 9%

Eventualverbindlichkeiten Wechsel 26.810 281 -48% Burgschaften 125.914 218.031 8% unechte Pensionsgeschii.fte 286 789 16% Gesamt 153.011 219.101 5%

Risikoaktiva* 1.940.698 3.242.362 8%

• Kredite an Nichtbanken + 20% Interbankenverb.

QueUe: Bundesbank (200le), S. 6f.

335

Bilanzstatistik deutscher Banken 1993-2000 (Forts.):

Pass iva in Mrd. Euro

Bestand 1993 2000 CAGR

Verbindlichkeiten ggO Banken 826.982 1.769.439 11%

Siehl- und Termineinlagen 896.543 1.541.063 8% Spareinlagen 449.361 585.212 4% 8E.arbriefe 115.178 100.636 -2% Depositen 1.461.081 2.226.911 6%

Verbriefte Verbindl. (Anleihen) 667.022 1.432.138 12% Treuhandverbindlichkeiten 62.031 84.750 5%

Wertberichtigungen 26.590 19.764 -4% ROeksteliungen 32.755 49.358 6%

Naehrangige Verb. (2. Klasse) 24.672 77.406 18% GenuBrechtskapital (1. Klasse) 11.669 30.679 15% Ausgew. Erganzungskapital 36.341 108.085 17%

Fonds fur allgemeine Bankrisiken 52 5.861 97% gezeichneles Kapital 33.221 55.728 8% Rueklaaen 91.507 166.198 9% Kernkapital 124.780 227.787 9%

Sonstige Passiva 112.748 230.086 11%

Gesamt 3.350.330 6.148.318 9%

"Tier-1 Ratio"· 6,43% 7,03% 1% "Tier-2 Ratio"·· 1,87% 3,33% 9% "Total Leverage Ratio" 4,81% 5,46% 2%

• KernkaprtaliRisikoaktiva

•• ausgewiesenes Erganzungskapital/Risikoaktiva

.... (Kernkapital+ausgew. Erganzungskapital)/Risikoaktiva

Quelle: Bundesbank (2001c), S. 8f.

336

Ubersicht Eigenkapitalanforderungen gema8 §§ 10, 11 KWG i.V.m. Grundsatz I BAK:

BuchwerV Nominalwert

Gewichtungs­lakIer

• Bilanzaktiva. insbes. Kre<f~e 1000/.

• Kreditleihe 100,),. • N;cht IWndbare Kred~zusagen SO')'.

• Handelsbezogen e Eventual"arb. < 1 Jahr 20'l'.

• Kimdbare Kredltzu· sagen 0'10

Kernkap~al

EingezaMes Kap~a1 • DHene Aucl<tagen • Einbehaltane Gewinne • Einlagen stiller Gesellschattar • Sonderposten fur allgemeIne

Bankrislken Eigene AklieniGeschMtsant. Entnahmen/Kred~e haltende GesellsChahar Schuldenuberhang hahende GesellsChaher Verlusle inkl. nicht ausgewiesene Immalerielle VenmOgenswer1e M arktunUblich a Kred~e an Ges. mit mehr aIs 250/. Kapitalantail

Kred~­

aquivalent

Adressen­gewicht

• OHentliche Haushalte von DECD·Landern 0,),.

• DECO·Banken 20% • Realkr9dita 50'10 • Kredita von Bausp. 70')'. • PrivaJWirtsChaltl.

Unternehmen und PrivaJpersonen 100%

Erganzungs· kapitall . Klasse

1m ••. I OO'l'. d . Komkltj)rtals)

Vorsorgereserven • Nau bewertungsreserven -+ Kumulative Vorzugsaktien + §6b EStG·Aucklagen • GanuBrechtskapitai

Quelle: Hartmann-WendeIs et aI. (2000), S. 366ff.

Risikogewichtete Akliva

Mindeslquele 8% (Cooke· Ratio)

Erganzungs­kapitat 2. Klass8

1m ... 50'l'. d . KomkopoUIs)

Langerfristige. nacho rangige Verblndlic:hkeitan

• Hattsummenzuschlag bei Kreditgenossenschalten

337

Ubersicht der Vorschliige zur Anpassung der Risikogewichte des Basler Ausschusses mr Bankenaufsicht gemiill Standardverfahren vom Juni 1999 und Januar 2001 (Basel II):

Risikogewichte in Abhangigkeit des Ratings In % des Kred~volumens

Abzug v. hEK"

150%

100%

50%

20%

0%

""'F=-

. -, _. _. -'

--- -, . uu~ • • ~ ••••••

= . -_' -_ _ _ _ _ _ . _ UngaraJete

~,u'."""""""""' " Banken unci Opt.on A; Unternel'1 men Underrating IisrBank

~ ____ -"Option B: •••••••••••••• IndiividveiJes

B~kraMg

AAA 1 + AA ·1 + A - 1+ BBB ·1 + BS -I + B - eee

Oirekter Abzug vom haftenden Eigenkapital •• S&P·Nomenklatur

Bisherige Risikogewichte in Klammern

Quelle: Bundesbank (2001b), S. 20.

Legende:

- • - ASS (1 00%',

-- Unterehmenl Nicht·OECO· Lander (1 00%)

- - - OECD· Banken (20%)

···· · ···· OECD· Lander (0%)

Rating"

338

Vergleich kreditrisikobehafteter Renditestrukturen von Verbriefungsformen in Abhiin­gigkeit von rechtlicher Verselbstiindigung und Haftung des Originators:

U) ... 0 -C\l ,5 Cl ''::: 0 iii CII

" Cl C :s iI:: C\l :I:

Rechtliche Verselbstandigung der Aktiva (Bankruptcy Remoteness)

Bilanzielle Aur.,erbilanzielle Verbriefung Verbriefung

Asset-backed Bonds Recourse Asset-backed Securities

PO AB8 PORABS Zahlungs-{'+FABB • ';;0=1 _f+FRABS ' i'p""'+i'R«.o?FRABS garantie = 1+Min[rp5t'l:'+fRt'C,o-rKK;rABsJ,iiJo=o - 1 + FpSt>c + rRf'(.'.a. YpSd' + rRrc.O < FlUBS /\ dio :: 0

Synthetic Asset-backed Securities True-sale Asset-backed Securities

POTSABS POSABS Haftungs-{ POWBS. ausschlur., -f +rTSABS '

FpS« + rCE ,"2: rTSABS wa =1 - 1 +PpSft: +rc£> Fp5.!c + rCE < rTSABS = Min [rLQ +rRe"o -rKK ; POTSABS J. ';;0 =0

Legende: PO efTektiver Pay-otT ;r KreditpoJ1foliorendite lOo Solvenzzustanddes Sponsors

'Rh:,O Recovery-Value des Sponsors

'KK Konkurskosten des Sponsors

Nominalverzinsung 'eE Credit Enhancement

'LQ Liquiditat im SPY

Quelle: Abschnitte 2.3.3.1-2.3.3.4. in Teil II,

339

Bestimmung von Grenzportfolios obne risikofreiem Finanztitel: 778

Gegeben sei ein Anfangsbudget b, welches auf N risikobehaftete Finanztitel derart aufgeteilt

werden solI, daB sich am Periodenende flir einen gegebenen Erwartungswert des Portfolioge­

winns eine minimale Varianz und somit ein Grenzportfolio ergibt. Es existieren keine Restrik­

tionen hinsichtlich einzelner Position und das Shorten von Positionen ist in beliebigem Umfang

moglich. Der gesuchte Positionsvektor x p ist somit die Uisung des folgenden Gleichungs­

systems:

Min

s.t.

I T -x LX 2

mit L als positiv-definiter N x N Rendite-Kovarianz-Matrix riskanter Finanztitel,

E als N xl Vektor ihrer erwarteten Renditen,

(A.l)

f.l pals erwartetem, absolutem Portfoliogewinn, flir den die Varianz zu minimieren ist,

1 als N x I Vektor mit ausschlieBlich I als Elementen.

Die Lagrange-Form dieses Optimierungsproblems lautet:

(A.2)

Da die Kovarianz-Matrix L positiv-definit ist, ergeben sich als hinreichende und notwendige

Bedingungen flir ein Maximum aus den ersten partiellen Ableitungen:

dL --=Lxp-AE-yl=O, dX

dL r -=f./p -xpE=O, dA

dL r--=b - xp I =0. dY

Aus (A.3a) folgt flir x p :

(A.3a)

(A.3b)

(A.3c)

xp = AL-1E + YL-1l (AA)

-T und daraus wiederum durch Premultiplikation mit ET bzw. lund Beachtung von (A.3b) so-

wie (A.3c):

778 Vgl. Merton (1972). S. 1851ff .. HuangILitzenberger (1988). S. 63ff.

3.;0

-T -T -T-I Xp = Al [E + yl [-II = b.

Aus (A.5a) und (A.5b) berechnen sich;' und y zu:

_B_b_-_A.!...f.1.!...p y= D

(A.5a)

(A.5b)

(A.6a)

(A.6b)

mit A = t [-I E, B = ET[-l E, C = t [-11. D = BC - A2 , wobei B, C > 0, da [ positiv definit

und D > 0, da (AE - Bi/ E -1 (AE - Bi) = B(BC - A 2) = BD > O. Einsetzen in (AA) liefert als

Losung fur x p :

Xp = Cf.1p - Ab [-IE +_B_b_-_A.!,..f.1.!...p [-11 D D

= ~[ B([-11)- A (E-IE)] + ~ [ C(E-IE)- A ([-11)] (A.7)

= gb+hf.1p, g,h= const.

Demnach ist die Menge aller Grenzportfolien eine lineare Funktion tiber den erwarteten Portfo­

liogewinn f.1p und das Anfangsbudget b.

Ftir b = I gilt:

(A.S)

Dies beschreibt die auf die GroBe I nonnierten Grenzportfolios, so daB der Vektor x prozentua­

Ie Portfolioanteile ausdruckt und der erwanete Portfoliogewinn f.1 p der Portfoliorendite

f.1 p I b = f.1 p entspricht. gist in diesem Fall das Grenzportfolio bei einer erwarteten Portfolio­

rendite von f.1p = O. Die Menge aller Grenzportfolien in der J.l-cr-Ebene berechnen sich fUr die­

sen Fall aus der Definition der Varianz der Portfoliorendite:

(A.9a)

f.1p =1±~~( a~ - ~ l (A.9b)

Dies entspricht einer Hyperbel mit (.J1iC, AIC) als Mittelpunkt bzw. Minimum-Varianz­

Portfolio und A I C ± .J D I Cap als Asymptoten:

3-11

Linie der Grenzportfolien ohne risikofreien Finanztitel*

o4---------~----~~~------------------~

et 0.. 1 als nonnaJislIB'rtem Fat.

Ais besonderer Fall ergibt sich schlieBlich noch fUr b = 0:

xp = h}1p. (A.ID)

Dies beschreibt den Fall eines Portfolios ohne Anfangswert, bei dem sich die Portfolioanteile zu

Null addieren. In diesem Fall sind die Positionswerte risikobehafteter Finanztitel der Grenz­

portfolien ein Vielfaches des erwarteten Portfoliogewinns.

3-12

Bestimmung von Grenzportfolios mit risikofreiem Finanztitel: 779

Gegeben sei ein Anfangsbudget b, welches auf N risikobehaftete Finanztitel und einen risiko­

freien Finanztitel derart aufgeteilt werden solI, daB sich tiber eine Periode flir einen gegebenen

Erwartungswert des Portfoliogewinns eine minimrue Varianz und somit ein Grenzportfolio er­

gibt. Es existieren keine Restriktionen hinsichtlich einzelner Positionen un das Shorten von Po­

sitionen ist in beliebigem Umfang moglich. Der gesuchte Positionsvektor xp ist somit die LO­

sung des folgenden Gleichungssystems:

sJ.

mit r. rus positiv-definiter N x N Rendite-Kovarianz-Matrix riskanter Finanztitel,

E als N x I Vektor ihrer erwarteten Renditen,

(All)

/1 p rus erwartetem, absolutem Portfoliogewinn, flir den die Varianz zu minimieren ist,

I rus N x 1 Vektor mit ausschlieBlich I rus Elementen.

Die Lagrange-Form dieses Optimierungsproblems lautet:

(AI2)

Da die Kovarianz-Matrix positiv-definit ist, ergeben sich die hinreichenden und notwendigen

Bedingungen flir ein Minimum aus den ersten partiellen Ableitungen:

(A. 13a)

(A13b)

mit P = (E -irf) rus Vektor der erwarteten Risikoprlimien gegeniiber dem risikofreiem Fi­

nanztiteI. Aus (Al3a) folgt fur x p:

Xp = ii.r.-1p.

Auflosen von (Al3b) nach x~P und Einsetzen von xp in (AI4) ergibt:

ii. = /1p -brf = /1p -brf pTr.-lp H

779 Vgl. Menon (1972). S. 1863ff .• Huang/LilZenberger (1988). S. 76ff.

(AI4)

(AIS)

3-13

mit H = prr.- I p > 0, da [ positiv-definit. Einsetzen in (A.14) liefert als U:isung flir xp:

(A. 16)

Demnach ist die Menge aller Grenzportfolien wie im Fall ohne risikofreien Finanztitel eine li­

neare Funktion liber den erwarteten Portfoliogewinn Jip und das Anfangsbudget b.

Flir b = I gilt:

(A. 17)

In dies em Fall entspricht wiederum aufgrund der Normierung des Portfoliovolumens der Port­

foliogewinn der Portfoliorendite Ji p I b = Ji p. Die Positionswerte aller risikobehafteter Finanz­

titel der Grenzportfolien sind dann ein Vielfaches der Risikopramie gegenliber dem risikofreien

Finanztitel.

Die Orte aller Grenzportfolien in der Il-cr-Ebene bestimmen sich aus der Definition der Varianz

der Portfoliorendite:

(A.18a)

(A.18b)

Dies entspricht zwei Halbgeraden mit (O,rf) als Schnittpunkt mit der Il-Achse und einer Stei­

gung von ±.fii, von denen flir rf < A I C der obere bzw. flir r f > A I C der untere Hyperbe­

last aus (A. 9b) in x p = xr tangiert. Flir die obere Halbgerade mit .fii als Steigung gilt

JH=~prr.-lp=~+rc(~-rf ) (A.19)

aufgrund von R = (£ - rf 1) mit A, C, D aus (A.6a) und (A.6b). Die Steigung ist somit propor­

tional zum Abstand zwischen dem Erwartungswert des Minimum-V arianz-Portfolio

Ji,IfV = A I C der Hyperbel aus (A.9b) und dem risikofreien Zins rf' Die Portfolioanteile des

Tangentialportfolios lassen sich aus def Budgetfestriktion b = 1 sowie (A.14) herleiten:

Xr = A(Xr )[-1 p

1 A(Xr )=---

A-Crt

[-IR xr =---=

A-Crt

/\ r-

xr I = I

(A.20a)

unter Beriieksiehtigung der Tatsaehe, daB 11 .'.II' = A / C als Erwartungswert und 0 .'.If' = I / C als

Standardabweichung des Minimum-Varianz-Portfolios der Hyperbel aus (A.9b). Erwartungs­

wert I1r und Standardabweichung 0 r des Tangentialportfolio sind somit:

(A20b)

(A20e)

Linie der Grenzportfolien mit risikofreien Finanztitel*

lip

o~----~~--~----~~~--------------------~ (]MV .1/..JC (]p(x,.~xJ"

~

Fi.ir den besonderen Fall b = 0 gilt sehliel3lich noeh:

(A21)

In diesem Fall sind wiederum alle Positionswerte risikobehafteter Finanztitel der Grenzportfo­

lien ein Vielfaehes des erwarteten Portfoliogewinns,

345

Bestimmung der Grenzportfolios ohne risikofreiem Finanztitel und fester Volumens­restriktion eines risikobehafteten Finanztitels:

Gegeben sei ein Anfangsbudget von b = 1, welches auf N risikobehaftete Finanztitel derart auf­

geteilt werden solI, daB sich iiber eine Peri ode fUr einen gegebenen Erwartungswert der Portfo­

liorendite eine minimale Varianz und somit ein Grenzportfolio ergibt. Dabei existiert fUr den

ersten Finanztitel eine feste Positionsrestriktion von Xl = x~. Die iibrigen Positionen X 2 ••. X N

kiinnen weiterhin frei gewiihlt werden, insbesondere ist fUr diese auch das "Shorten" in beliebi­

gem Umfang miiglich. Der gesuchte Positionsvektor X 2N ist somit die Liisung des folgenden

Gleichungssystems:

s.t.

mit a} als Varianz der Rendite des restriktierten, risikobehafteten Finanztitels,

el als dessen erwarteter Rendite,

(A.22)

L I•2N als (N -I) xl Vektor der Rendite-Kovarianzen zwischen restriktierten und

unrestriktierten, risikobehafteten Finanztiteln,

L als positiv-definiter (N -I) x (N - I) Rendite-Kovarianz-Matrix derselben,

E als (N - I) xl Vektor ihrer erwarteten Renditen,

JJP als erwarteter Portfoliorendite, fUr den die Varianz zu minimieren ist,

I als (N -I) xl Vektor mit ausschliel3lich 1 als Elementen.

Die Lagrange-Form dieses Optimierungsproblems lautet:

Da aile Renditen nicht kolinear sind, ist die Kovarianz-Matrix aus (A.22) bzw. (A.23) positiv­

definit. Es folgt aus den ersten partiellen Ableitungen als notwendige und hinreichende Bedin­

gungen fur ein Maximum:

(A.24a)

(A.24b)

3-16

ill 'r -ilr = 1- XI - X2N I = O. (A.24c)

Aus (A.24a) berechnet sich xu,:

'",-I '" 1 ,<,-I E ",-I-I X2N = -XI "-1.2.11'"-2.11' + 11.""'1.2.11' 2N + r "-I.2N (A.25)

·r und daraus wiederum durch Premultiplikation mit Eiv bzw. 1 und Beachtung von (A.24b)

sowie (A.24c):

(A.26a)

(A.26b)

Aus (A.26a) und (A.26b) folgt:

A = ,upC'-A'-x; (A'(F'-I) - C'(G'-e l » D' '

(A.27a)

B'-A',up - x; (A'(G'-e l ) - B'(F'-I» r= D' (A.27b)

-T T -T -mit A'= I L2.~E2N' B'= E2Nr,2~E2N' C.'r= I L2,~1, D'= B'C'- A.2 wobei eben so wie flir

(A.6a) und (A.6b) B', C', D'> 0 und F'= I L;lvLI.2N' G'= EJNL;~r,1.2N'

Fund G' sind genau dann ungleich null, wenn wie flir die Ubrigen Finanztitel bereits ange­

nommen, auch der fixierte Finanztitel nicht kolinear zu den Finanztiteln ist, so daB die erweiter­

te Kovarianz-Matrix in (A.22) positiv definit ist. In diesem Fall sind die Bedingungen (A.24a)

bis (A.24c) gleichzeitig hinreichend und notwendige Bedingungen fUr ein Minimum.

Einsetzen in (A.25) liefert als LOsungsvektor fUr X2N :

_ ,upC'-A'-x;(A'(F'-I)-C'(G'-el » r,-I E X ZN - D' 2.11' 2.11'

B'-A',up-x;(A'(G'-e,)-B'(F'-I»L-Il_ 'L-I L + D' 2.11' XI 2.11' 1.2.11' (A.28)

= g+h,up +kx;, g,h,k=const.

Der Uisungsvektor X 2N ist dernzufolge wiederum eine line are Funktion tiber die erwartete

Portfoliorendite und zusatzlich tiber das vorgegebene Volumen x; rus Restriktion. FUr x; = 0

ist (A.28) dabei identisch zu (A.7) bzw. (A.8), da dies genau dem Optimierungsproblem mit N­

I Finanztiteln ohne Portfoliorestriktionen entspricht.

Zur Bestimmung der Orte der Grenzportfolios in der Jl-cr-Ebene, laBt sich die Eigenschaft der

ersten Restriktion tiber den Erwartungswert ,u p verwenden. Demzufolge gilt:

3~7

2 • ..l.=.!.dO"p =,upC-A-x1(A(F-I)-C(G-e1»

2 dJ1p D

2 _ 2JJ1pC-A'-X; (A'(F'-l) - C(G'-e1» d O"p- D J1p (A.29)

C' 2 A'+x; (A'(F'-l) - C(G'-e1» = D' J1 p - 2 D' J1 p + Cinl.·

Zur ntiheren Bestimmung von (A.2S) ist zunachst beriicksichtigen, daB fur den Erwartungswert

,uMV Grenzportfolio mit der rninimalen Varianz gilt:

..l. = ,u.I//,C-A'-x; (A'(F'-l) - C(G'-e1 » 0 D

Einsetzen von (A.30) in (A.29) ergibt zunachst fur die Integrationskonstante:

2 C 2 _?C' 2 0".1/1' = D',uw, - D,J1,1/1' +Cint.

und somit fur O"~ bzw. ,up:

(A.30)

(A.3l)

(A.32a)

(A.32b)

Durch Einsetzen von (A.30) in (A.28) erhaIt man fur die Positionswerte x 2N,,'dV des Minimum­

Varianz-Portfolios:

da ..l.(J1.'dV) = 0 und somit ftir dessen Varianz:

= X?0"12 + 2x; (y F '- x; K ')+ (YC'- 2x; yF'+ X;2 K ')

= X?(0"12_K)+YCV.

= X?(0"12_K)+{I+x;(F'-l)t

(A.33)

(A.34)

3"8

Das globaie Maximum folgt aus Nullsetzen der Ableitung von a~ in (A.32a) nach x::

dO' p da~{T' C' ( ) dJ-L}{T' -.- = --'.- - 2---; J-Lp - /1.w --.- = ° ax, ax, D ax,

x: (0',2 - H) + (F'-1)2)+ (F '-I) = ~:(J-LP - ~: +x; L)L'

• C'jD'(/1p-A'/C)L'-(F'-I) x, = a~ -H'+(F'-1)2 _L,z

(A.35)

mit L'=(A'jC'(F'-l)+(e, -G'». Entsprechend der Losung des allgemeinen Optimierungs­

problems mit N riskanten Finanztiteln ohne Restriktionen gemiiB (A8) ist x; ebenfails eine li­

neare Funktion iiber /1 p. Fiir den Fall, daB x, = x; Losung des globalen Optimierungspro-

blems ist, sind die optimaien Portfolien identisch.

Die Menge der Grenzportfolien in der J.!-cr-Ebene ist somit wiederum eine Hyperbel mit Mittel­

punkt (O,/1MV) und Asymptoten J-LMJ' ±.J D'I CO' p, die die Linie aller Grenzportfolien als um­

schlieBende Funktion aufgrund der Linearitat der Funktionen (A8) und (A.28) bei ungleicher

Steigung aufgrund der Nicht-Kolinearitat der Renditen in genau in einem Punkt

(ap(x, = x;), /1p(x, = x;» tangiert:

Linie der Grenzportfolien ohne risikofreiem Finanztitel bei Volumensrestriktion eines risikobehafteten Finanztitels

Grenzportfolien ohne Restriktion rur x,

Grenzportlolien ___ =:::::::::::~_:-::_:-::_:-::_:-:_:_-:_-:_-:_:_ m~ ReSlriktion X,= x, '

- - -----Grenzportfolien m~ Restriktion x,~ x, "

a 4-------~~~~--~--------------------------~

3-19

Die Steigung der Hyperbelasymptoten (± .J D' I C') des eingeschrtinkten Optimierungsproblems

als maximale Hyperbelsteigung ist unabhangig von der konkreten Restriktion, da sowohl C' als

auch D· unabhangig von x; sind. Weiterhin muB die Steigung der Hyperbelasymptoten des

beschrtinkten Optimierungsproblems geringer sein als die des globalen Problems (±.J DIe)

aus (A.9b), da ansonsten die Linie globaler Grenzportfolien flir den Fall, daB die Tangente mit

dem Minimum-Varianz-Portfolio der globalen Hyperbel zusammenfallen wiirde, keine um­

schlieBende Funktion mehr sein konnte.

Betrachtet man die Tangentialportfolios an die globale Hyperbel, so muB mit steigendem Er­

wartungswert der Tangentialportfoliorendite der Erwartungswert f.l..w des Minimum-Varianz­

Portfolios der zugehorigen eingeschrankten Hyperbel zunehmen:

f.l.p(x1 = x;) > j.ip(x1 = x; ')

f.l.ur·(x;) > f.l.,I,W(X; '). (A.36a)

Beriicksichtigt man zusatzlich, ob das Tangentialportfolio auf dem oberen bzw. unteren Hyper­

belast liegt, muB entsprechend die Varianz ol,(v des Minimum-Varianz-Portfolios mit steigen­

der erwarteter Rendite des Tangentialportfolios steigen bzw. fallen:

/\

(A.36b)

Definiert man als Funktion t.j.ip(ap ) die Differenz zwischen den Erwartungswerten zweier

Grenzportfoliolinien mit unterschiedlichen Restriktionen x; > x;' in Abhangigkeit des Risikos:

so folgt aus der Ableitung eine steigende Differenz mit steigendem Risiko:

a p ]>0 ~(a~ - a~(x;))

(A.38)

350

Unterstellt man dariiber hinaus, daB fUr die L6sung des unbeschriinkten Problems gilt

dx l / df../ p > 0, wobei dx l / df../ p = canst. gemiiB (A.8), und somit fUr einen zunehmenden Er­

wartungswert der Portfoliorendite der Portfolioanteil XI erh6ht wird, so lassen sich Riickschliis­

se auf das folgende Optimierungsproblem mit nicht-strenger Nebenbedingung ziehen:

sl. xlel + XrN E2N = f../p T -

XI +x2N l=1

XI ::;x~.

(A.39)

Fiir f../p ::; f../p(xi = x;) stimmt die Linie der Grenzportfolios ohne Restriktion bis zum Tangenti­

alpunkt mit dem Problem mit strikter Nebenbedingung (ap(x] = x;), f../p(x] = x;)) iiberein, da

die Restriktion nicht bindend ist. Fiir f../p > f../p(x] = x~) hingegen ist sie bindend und die

Grenzportfolios liegen auf der Hyperbel als L6sung des Problems mit strikter Nebenbedingung,

da in diesem Fall der Tangentialpunkt f../P(XI = x;) > f../p(xi = x;) und aufgrund der positiven

Steigung gemiiB (A.38) auch aile anderen Punkte dieser Hyperbel eine h6here erwartete Rendite

gegeniiber allen anderen eingeschriinkten Hyperbeln mit x; > x;' haben.

351

Bestimmung von Grenzportfolios mit risikofreiem Finanztitel und fester Volumens­restriktion des risikofreien Finanztitels:

Gegeben sei ein Anfangsbudget von b = I, welches auf N risikobehaftete Finanztitel und einen

risikofreien Finanztitel derart aufgeteilt werden soli, daB sich fiir einen gegebenen Erwartungs­

wert der Portfoliorendite eine minimale Varianz und somit ein Grenzportfolio ergibt. Dabei

existiert fiir den risikofreien Finanztitel eine feste Positionsrestriktion von x j = x;. Die Posi­

tionen risikobehafteter Finanztitel konnen frei gewtihlt werden, insbesondere ist fUr diese das

"Shorten" in beliebigem Umfang moglich. Der gesuchte Positionsvektor x p ist somit die Lo­

sung des folgenden Gleichungssystems:

s1.

Min x

1 T -x LX 2

• r xjrj+x E=J.1p

mit L als positiv-definiter N x N Rendite-Kovarianz-Matrix riskanter Finanztitel,

E als N xl Vektor ihrer erwarteten Renditen,

(A.40)

J.1p als erwartetem, absolutem Portfoliogewinn, fUr den die Varianz zu minimieren ist,

1 als N xl Vektor mit ausschlieBlich 1 als Elementen.

Die Lagrange-Form dieses Optimierungsproblems lautet:

(A.41)

Da die Kovarianz-Matrix positiv-definit ist, ergeben sich die hinreichenden und notwendigen

Bedingungen fUr ein Minimum aus den ersten partiellen Ableitungen:

aL -ax =Lx-,.tE-yl=O,

aL . r d..1. =J.1p-xjrj-x £=0,

aL • r--=I-xj -x 1=0. ay

(A.42a)

(A.42b)

(A.42c)

352

Aus (A.42a) folgt flir x P :

Xp = ,U:-1 E + r1:- li (A.43) ·T

und daraus wiederum durch Premultiplikation mit ET bzw. 1 und Beachtung von (A.42b)

sowie (A.42c):

-T -T -T -1- • 1 xp=A.l 1:E+rl 1: l=l-xf.

Aus (A.44a) und (A.44b) berechnen sich A. und}' zu:

..1.= C J.1.p -A D

• Crr-A xf - D--,

B-AJ.1.p • B-Arf r= D xf--D-

(A.44a)

(A.44b)

(A.45a)

(A.45b)

-T -T -mit A = 1 1:-1 E, B = ET1:-1 E, C = 1 1:-11, D = BC - A2 , wobei analog zu (A.6a) und (A.6b)

B, C, D > o. Einsetzen in (A.43) ergibt als LOsung flir x p :

_(CJ.1.p-A • Crf-A) -I (B-Af.1.p • B-Arr \y-I-xp - D x f --D- 1: E + D x f D - r 1

(C II A B-A" -) (Crf-A B-Arr -) = ,...p;; 1:-IE+ D""P1:-11 -x; D 1:-IE+--D--1:-11 (A.46)

= g +hJ.1.p + kx;, g,h,k = canst.

Der Losungsvektor x P ist demzufolge wiederum eine lineare Funktion Uber die erwartete Port­

foliorendite und zudem Uber das vorgegebene Volumen x; als Restriktion. FUr x; = 0 ist

(A.46) dabei wiederum identisch zu (A.7) bzw. (A.S), da dies genau dem Optimierungsproblem

mit N risikobehafteten Finanztiteln ohne risikofreiem Finanztitel und Restriktionen entspricht.

Zur Bestimmung der Linie der Grenzportfolios in dec !l-a-Ebene liiBt sich wiederum die Eigen­

schaft der ersten Restriktion Uber den Erwartungswert f.1. p verwenden. Demzufolge gilt:

(A.47)

353

Zur Lbsung von (A.47) ist wiederum zu beriicksichtigen, daB ftir den Erwartungswert flMV des

Grenzportfolios mit der minimalen Varianz gilt:

A=fl\fvC-A-x~(Crf -A) 0

D

Durch Einsetzen von (A.48) in (A.47) errechnet sich die Integrationskonstante:

und somit wiederum (j~ bzw. flp:

(A.48)

(A.49)

(A.50a)

(A.50b)

Einsetzen von (A.48) in (A.43) unter Beriicksichtigung von A = 0 ergibt fUr die Positionswerte

Xw des Minimum-V arianz-Portfolios

(A.51)

und somit fUr dessen Varianz:

(j~. = X~vL.x.Mr (1- Xf' )2 -T T -

= ---I L-1 n:-11 C2

(A.52)

1 • , = C(l--'j)"·

35-1

Die Orte moglicher Minimum-Varianz-Portfolios in der Il-cr-Ebene in Abhangigkeit der Portfo­

liorestriktion ertnitteln sich durch Auflosen von (A.48) nach x j und Einsetzen in (A.52):

(A. 53)

Daraus folgt, daB die Menge aller Minimum-Varianz-Portfolien eine lineare Funktion in der 11-

cr-Ebene bildet, die die Il-Achse flir x j = I in r I schneidet und flir x j = 0 identisch mit dem

Zentrum (.JliC, A I C) der Hyperbel aus (A. 9b) ist, die die Losungsmenge aller Grenzportfo­

lien des globalen Optimierungsproblems mit N risikobehafteten Finanztiteln ohne risikofreien

Finanztitel darstellt. Fiir den allgemein anzunehmenden Fall, daB r I < A I C ist, so daB sich ei­

ne Tangente an den oberen Hyperbelast aus (A.9b) ergibt, ist die Steigung der Funktion aus

(A.53) aufgrund von rl - A I C < 0 dabei positiv.

Das globale Maximum errechnet sich aus der Ableitung von a~ in (A.50a) nach x j:

aa2 aa 2 C aJ.1. --p =~-2-(J.1. -J.1. )~=O a • a • D P .wv a' XI XI XI

(I-;j) = ~[(J.1.P -~ Irl -~ )-xj(rj -~ J] (A. 54)

x' _Z-%(J.1.p-~rrl-~) I - ~ _ C (r I _.:! Y .

CDC /

Entsprechend der Losung des allgemeinen Optimierungsproblems mit N riskanten und einem

risikofreien Finanztitel ohne Restriktionen in (A.21) ist x j eine lineare Funktion iiber J.1. P , wo­

bei x j mit steigendem Portfolioerwartungswert rallt, soweit r I < A I C. Die Linie der Grenz­

portfolien ist in diesem Fall die Gerade aus (A.18b).

Die Linie der Grenzportfolien in der Il-cr-Ebene ist somit wiederum eine Hyperbel mit

J.1.l>fV ±.JDICa.wv als Asymptoten, die die Linie aller Grenzportfolien als umschlieBende

Funktion aufgrund der Linearitat der Funktionen in (A.17) und (A.46) bei ungleicher Steigung

in genau dem Punkt tangiert, in dem x I = 1-LJ X j = x j Losung des globalen Optimie­

rungsproblems ist:

355

linie der Grenzportfolien mit risikofreiem Finanztitel mit Volumensrestriktion

NC ..

"

O'p(x,= "1') O'p(x,= "1')

...........

1/.JC

... -"'--

Grenzportiolien ohne ReSlriklion fur X,

Grenzportiolien m ~ ReSlriktio n x," <0

Grenzportiolien mit Restriktion X, "=0

..... -_ ... ---- linie der Minimum· Varianz·Portiolien

(O'w(x,). Ilw("1»

Gemiil3 (A.54) entfemt sich die Tangente an die Effizienzlinie des globalen Optimierungspro­

blems in der Il-cr-Ebene vom Schnittpunkt mit der Il-Achse mit abnehmendem x; fUr

rr < A Ie. Gleichzeitig steigen gemiil3 (A.48) und (A.53) der Erwartungswert und die Stan­

dardabweichung des zugehorigen Minimum-Varianz-Portfolios an, d.h.,

x; < x; , => f-Jp(xr = x;) > f-Jp(xr = x; ) /\

=> /\

ap(xr = x;) > ap(xr = x;)

aMV(x~) > aMV(x;).

(A.55)

Definiert man als Funktion /':,.f-Jp(ap) die Differenz zwischen den Erwartungswerten zweier

Grenzportfolien mit unterschiedlichen Restriktionen x; < x ~ , bei gleichem Risiko

so ergibt sich aus der Ableitung eine steigende Differenz mit steigendem Risiko:

d/':,.f-Jp(ap) (D[ a p

dap =VC ~(a~-a~v(x;)) (A.57)

da aMV(x;»aMV(x;') gemiil3(A.55).

356

Hieraus lassen sich Riickschliisse auf das folgende Optimierungsproblem mit nicht-strenger

Nebenbedingung ziehen:

51.

Min x.x,

Xlrl +xT E = J.1p

T­xI+xl=1

x~'?' XI ? x~.

Es lassen sich drei Abschnitte fUr die Linie der Grenzportfolios unterscheiden:

(A. 58)

I. Fiir J.1p < J.1p(x I = x~) stimmt die Linie der Grenzportfolios ohne Restriktion bis zum Tan­

gentialpunkt (a p(x I = x~), J.1p(x I = x~) mit dem Problem bei strikter Nebenbedingung

X j = x ~' iiberein, da erstens der Tangentialpunkt Losung des globalen Optimierungspro­

blems somit einen hoheren Erwartungswert aufweist, als die Losung des Optimierungspro­

blems mit jeder strengeren Restriktion x ~ "< x ~ " und da zweitens aufgrund von (A.57) mit

fallendem Risiko der positive Abstand der erwarteten Renditen weiter ansteigt.

2. Fiir J.1p(x I = x~) 'S, J.1P 'S, J.1p(x I = x~) hingegen ist die Restriktion nicht bindend und die

Grenzportfolios liegen auf der Halbgeraden des globalen Optimierungsproblems ohne Ne­

benbedingung als umschlieBende Funktion.

3. Fiir J.1P > J.1p(x I = x~) schlieBlich gilt in umgekehrter Argumentation zu 1., daB ab dem

Tangentialpunkt (ap(xj =x~), J.1p(xl =x~» die Linie der Grenzportfolios wiederum der

mit Lasung des Optimierungsproblems mit strenger Nebenbedingung x j = x ~ iiberein­

stimmt, da erstens der Tangentialpunkt Losung des globalen Optimierungsproblems somit

einen hoheren Erwartungswert aufweist, als die Losung des Optimierungsproblems mit jeder

strengeren Restriktion x ~"> x ~, und da zweitens aufgrund von (A.57) mit zunehmenden Ri­

siko der positive Abstand der erwarteten Renditen weiter ansteigt.

357

Bestimmung der Risikopraferenzfunktion bei unbeschrankter und beschrankter Haftung:

Ein Wirtschaftssubjekt maximiere den Erwartungsnutzen iiber ein normalverteiltes Endverm6-

gen WI - N(Jiw; (J w) mit kumulierter Verteilungsfunktion F(W1 ). Als Nutzenfunktion

U (WI) sei eine Exponentialfunktion mit konstanter absoluter Risikoaversion r A > 0 ange­

nommen:

(A.59)

Der Erwartungsnutzen ist dann

(A.60)

Es gilt nun flir die charakteristische Funktion einer normalverteilten Zufallsvariablen x mit

Erwartungswert Jix und Standardabweichung (J x:

"'f il dF( -) oof il I -~ i-:;x r d-e x = e r::;-e x (Jx" 21!

. I (i-!1xJ2 I 00 xl----= --- f e 2 rJx di

(JxJi; _00

1(_ 2)2122 1 ct) - X-(j.J +tcr -/I t+-[ a-f 2 x x ,-x 2 x = ___ e2rJx eli

(JxJi; _00

(A.61 )

da der Ausdruck in Klammem das Integral iiber die Dichtefunktion einer normalverteilten Zu­

fallsvariablen mit Erwartungswert Ji x + t(J; und Standardabweichung (Jx darstellt und daher 1

istJ80 Es gilt somit ftir den Erwartungsnutzen:

(A.62)

780 Vgl. Freund (1992), S. 237f.

358

Da WI prinzipiell beliebige groBe und kleine Werte annehmen kann, laBt sich (A.62) als Risi­

kopraferenzfunktion bei unbeschrankter Haftung interpretieren,781 Aufgrund der Monotonie

von U(.) gilt oE(U(WI » / Of.1w > 0 und oE(U(W,» / oO'~ < O. Die Isonutzenlinien in der Il-O'­

Ebene sind somit streng konvex tiber O'w'

Unterstellt man altemativ, daB WI zwar weiterhin normalverteilt ist, jedoch aufgrund einer Haf­

tungsbeschrankung keine negativen Werte annehmen kann, und nimmt gleichzeitig C = 1 an, so

daB

(A.63)

dann entpricht der Erwartungsnutzen dem folgenden Integral tiber die positiven Werte von WI bzw. U(WI ):

E(U(WI »)= fU(W, )dF(WI ). (A.64) o

Substituiert man WI =J.lw +O'w5 mit 5 - N(O;!}, dann laBt sich der Erwartungsnutzen auch

als Integral tiber 5 ausdriicken:

"" E(U(Wj})= f U(f.1w +O'wi)dFN(i)

_f.lw

I'w

ow f U(J.lw -O'wi)dFN(i)

(A.65)

mit FN (5) als kumulierter Standardnormalverteilungsfunktion. Da U(f.1w - O'w5} > 0

'v' i < f.1w /0' w und gleichzeitig dF N (5) > 0 aufgrund der Monotonie der Verteilungsfunktion,

folgt:

(A.66)

Auch bei beschriinkter Haftung ist aufgrund der Normalverteilungsannahme der Erwartungs­

nutzen ausschlieBlich von den ersten zwei Momenten der Verteilungsfunktion von WI ab­

hangig. Ftir die Abhangigkeit von f.1w gilt wie im Fall der unbeschrankten Haftung:

(A.67)

781 Vgl. Rochet (1992), S. 1157. Das Interpretationsproblem flir negative Vermogenswerte W, soli hier nicht n.her disku­

tiert werden. Die Annahme normalverteilter Renditen mit der Moglichkeit beliebig negativer Rendite" entspricht einem der wesentlichen Probleme im CAPM. Vgl. Ingersoll (1987), S, I03f.

359

da U(O) = 0, aU(f.1w - awlf) / af.1w > 0 und dFN (i) / dlf > O. Fiir die Ableitung nach a w gilt

entsprechend:

f.1w U( f.1w Jf (f.1W J <7fW au dF (-) - <7fW au dF (-) --2 f.1w - a w - N - + -- N [; - -- N [; a w a w a w _00 aaw _00 aaw

(A.68)

mit au - -r (" -<7 if) --=-YA[;e' rw w

aaw

Urn die Abhiingigkeit von a w niiher zu untersuchen, seien die Grenzwerte der Ableitung nach

a w betrachtet. Fiir a w -+ 0 ergibt sich:

lim O'w-rO

PW

lim O'w~O

<7J ~FN(e) -00 aaw

s: 0 + aU(E(e» aaw

lim o'W~o

Pw

<7J au dFN(e) _pw aaw

<7w

(A.69)

da au / aa w quasi-konkav iiber das zweite Integrationsintervall [- f.1w / a w; f.1w / a w] ist, so

daB fUr das zweite Integral fUr konkave f(.) Jensens Ungleichung gilt und somit

E(f(i» s: f(E(i» ,782 Demnach niihert sich der Grenzwert von der negativen Seite an Null.

Des weiteren folgt fUr a w -+ 00 :

lim oW-)oC(l

o

PW

<7w f -YAe e-rA (PW-<7wi)dFN (e)

- f - I' (-rA(PW-<7Wi») dF (-) 0 YA [; 1m e N [; > , ow --+00

-00

(A. 70)

da 0 < e -r,(pw-<7wc) s: 1 'it If s: f.1w / a w. GemiiB (A.69) und (A.70) wechselt aE(UUf\»)/ aa w

mindestens einmal das Vorzeichen, so daB die Isonutzenlinien in der !!-cr-Ebene anders als im

Fall der unbeschriinkten Haftung nicht ausschlieBlich konvex iiber a w sein konnen. Wiihrend

sich bei hinreichend kleinen Risiken gemiiB (A.69) C.p. ein abnehmender marginaler Nutzen mit

steigendem Risiko ergibt, muB dieser bei ausreichend groBen Risiken gemiiB (A.70) c.p. zu­

nehmen.

782 Zu Jensens Ungleichung vgl. z.B. Mas-Colell et al. (1995). S. 185f., 930f.

360

Bestimmung des Investitionsvolumens im Modell von Froot et al. (1993):

Froot, Scharfstein und Stein folgend783 sei angenommen, daB ein Unternehmen die Moglichkeit

besitze, in ein teilbares Investitionsprojekt mit variablern Volumen J zu investieren, welches ei­

nen barwertigen Bruttoertrag F (I) erzielt, der tiber das Investitionsvolumen steigt, jedoch mit

sinkendem Grenzertrag, d.h. dF / dJ = F/ > 0 und d 2 F / dJ 2 = FI/ < O. Zur Finanzierung der

Investition stehen sowohl internes Kapital w, als auch externes Kapital e zur Verfugung, wobei

die Aufnahme von emit konvex steigenden, barwertigen Kosten C(e) tiber das Kapitalvolu­

men verbunden ist, d.h., dC / de = Ce > 0 und d 2C / de 2 = Cee < 0 J8-l In Abhangigkeit des in­

ternen Kapitalvolumens w optimiert das Unternehmen seinen Wert pew) durch Losung des

folgenden Optimierungsproblerns:

sl.

Pew) = max FU) - J -C(e) /

J =w+e. (A.71)

Ftir ein gegebenes w ergibt sich als Bedingung fUr ein optimales Investitionsvolumen J' aus

der ersten Ableitung:

dP = dFU') -1- dC(l' - w) =0 dJ dJ dJ (A. 72)

~ F/U")=I+CeU" -w),

da dC / dJ = C e (de / dJ) = C e aufgrund von de / dJ = I. Bei ausreichend vorhandenern internen

Kapital w wird das Unternehrnen demzufolge bis zu einem barwertigen Grenzertrag von

F/ (I") = 1 investieren. Falls eine externe Finanzierung erforderlich ist, wird hingegen nur mit

einern geringeren Kapitalvolurnen jedoch bei hoherern Grenzertrag investiert und es kommt

vergleichsweise zu einer Unterinvestition.

Aus der zweiten Ableitung folgt direkt aufgrund der Annahmen FI/ < 0 und C ee > 0, daB es

sich urn ein Maximum handelt:

(A.73)

783 Zum folgenden vg1. Froot et a1. (1993). S. 163-lf.

78-l Letzteres begrtinden Froot et a1. (1993). S. 1636ff. tiber konvex ansteigende. erwartete (Monitoring-)Kosten fur Fremdka­pita! in einem Costly·State-Verification-Modell in Anlehnung an Townsend (1979) und Gale/Hellwig (1985). Dann ist e konkret als Fremdkapital zu interpretieren. auf dessen spezifische Konkursfahigkeit zuruckgegriffen wird.

361

Der EinfluB von w auf das optimale Investitionsvolumen I' ergibt sich aus der impliziten Ab­

leitung von (A.72) nach w:

dFr (1') dl' = dCe (1' - w) (dl' -IJ dI' dw dI' dw

r, ,ldl' , tFrr (1 ) - Cee (l - w) r.-- = -Cee (l - w)

dw

dl' I

dw 1- FrrU')

CeeU' - w)

(A.74)

Da aber Frr < 0 < Cee ' gilt - Frr / Cee > 0 und somit folgt aus (A.74), daB 0 < dI' / dw < I.

Hiermit laBt sich die Form von pew) naher bestimmen. Fur die erste Ableitung gilt

dP dF dl' dl' dC dl' dC -=--------+-dw dl' dw dw dl' dw dw

=[d~ _l]dl' _ dC[dI' -1]>0. dI dw de dw

(A.7S)

Der erste Ausdruck gibt die marginale Vertinderung des Nettoertrags an. Dieser ist positiv, da

einerseits mit steigendem w das optimale Investitionsvolumen aufgrund dI' / dw > 0 zunimmt

und da andererseits gemliB (A.72) der marginale Nettoertrag (dF / dl' -I) immer positiv ist.

Der zweite Ausdruck berticksichtigt die marginale Vertinderung der extemen Finanzierungskos­

ten und ist positiv, da annahmegemliB - dC / de < 0 und gemaB (A.74) (dl' I dw -1) < o. Der

Wert der Investition steigt mit zunehmendem intemem Kapital und der Umfang der Unterin­

vestition nimmt abo FUr die zweite Ableitung gilt schlieBlich:

d2~ =d2~(dl'J2 +[d~ _1]d2~ _d 2C[dl' _1]2 _dC[d 21: -1] dw" dI - dw dl dw' de 2 dw de dw"

= d 2 F (dl' J2 _ d 2C [dl' _1]2 dl'2 dw del dw

(A.76)

= d 2 F (d/')2 < 0 dI'2 dw

unter Berticksichtigung von (A.72), (A.74) und Frr <0. Aufgrund des abnehmenden Grenzer­

trags der Investition fallt SOlnit der marginate Wert der Investition bei zunehmendem intemem

Kapital.

362

Bestimmung der optimalen Portfoliostruktur im Modell von FrootlStein (1998):

Gegeben sei ein Bankportfolio bestehend aus N nicht kolinearen Geschtiftspositionen, die sich

jeweils aus R?N unabhlingigen Risikofaktoren zusammensetzen, die am Kapitalmarkt gehedgt

werden kennen.785 1st X der 1 x N Positionsvektor der Geschaftspositionen und H der 1 x R

Vektor der Hedgepositionen, so ist der stochastische Pay-off des Portfolios z :

z(X,H)= LXJ[I1J + LYijt';]- Lh,(I1; +&,) J ' ,

mit 11 J als erwarteter Rendite der Finanztitel,

Y if als Gewichtungen der Risikofaktoren,

l; - N (0; 0 (l;» als stochastischer Pay-off der Risikofaktoren und

11; als erwarteter Rendite der Hedge-Positionen.

(A.77)

Bestimmt sich der Gegenwartswert V der Endvermegensposition w = z (X, H) + k bei

k = canst. tiber die lineare Bewertungsformel des CAPM aus (IIl.43):

( _) E(P(w»)-ACav(P(w);rl/) V P(w) = ,

1+ rJ (A.78)

so liiBt sich tiber die partiellen Ableitungen av I ah; und av I ax J die optimale Portfoliostruktur

determinieren. Zunachst sei av I ah; fur die optimal en Hedgepositionen bestimmt:

785 Vgl. generell zurn folgenden FrootiStein (1998a). S. 62ff .• 78ff.

363

= _I [E( d~ )[E[ dZ J- ACOV( dZ ;i\/ J~ 1 + rJ dw dh, dh, J

( d 2P)[C (dZ_) 1 E(dZJC ( __ )] +E dv,,2 ov dh,;Z - /1. dh, ov z;r,\f (A.79)

-El ~~ )ACOV(Z;F\/ )COV[ z; ::, J] unter Beriicksichtigung von dW / dZ = I, iterativer Anwendung der Fonnel der Kovarianz

Cov(X', y) = E(X' y) - E(X')EcY) sowie Cov(g(x); y)= E(g'(x) !:'ov(x; y) fUr nonnaIverteilte

x, y als Satz von Stein,786 Aus (A. 77) folgt zudem

(A.80)

(A.81)

so daB

EU: )=-(fL' +E,), (A.82)

C ( dE - 1 C (- - ) ov iih;r\/ [=- ov £,;r\/ ' , )

(A.83)

(A. 84)

unter Beriicksichtigung der stochastischen Unabhangigkeit der RisikofaktorenJ87 Einsetzen in

(A. 79) ergibt:

dV = _I_[E( d~)[ A.COV(E;;~\f )- fL, ] dh; l+rJ dw

+E( :~ J[fL, ACOV(z;~\f )+( h; - ~XJYij )a2 (E;)]

-E( ::~ )A.COV(Z;~\/ >( h, - ~XjYij )a2 (E;) ]

786 V gl. Stein (1973). 787 Aus Ubersichtlichkeitsgrtinden sei auf die Einfuhrung eines neuen Summenindex fur i im Gegensatz zu i als spezifischem

Index der zu optimierenden Hedge-Position hi verzichtet.

36';

= 1 L/ [ E( ~)[ ACov(i,;Fv)- P, ] + E( :: JPi ACov(Z;F\1)

+( hi - ~XJYij Ja l «() [E( ~ J-E( ~:~ JACOV(Z;~\1 )]]

bzw. in Matrixnotation fUr den Gradienten VV(H):

mit M H als R x 1 Vektor der erwarteten Renditen PI der Hedgepositionen,

Yals R x N Matrix der Gewichtungsfaktoren Yij der Risikofaktoren,

eM als Rxl Vektor der Kovarianzen Cov(li;rM ),

(A.8Sa)

(A8Sb)

L als R x R Diagonalmatrix der Varianzen der (unabhangigen) Risikofaktoren a 2 (Ei ).

Aus V V(H) = 0 folgt als notwendige Bedingung fUr ein Optimum:

L(rr -H)= [MH -ACM ]-GACov(z(X,H);F~f )MH E(d3P1dW3 ) _ _

G- E(dPldW) ACov(=(X,H);r\1)

(A86)

E(d 2 PldW 2 ) G= >0

E(dPldW) mit (A.87)

als lokalem, absoluten RisikoaversionsmaB der Bank. Aufiosen nach H ergibt:

(A88)

Aus (A.86) und (A.88) folgt aufgrund der Abhangigkeiten z = Z(X, H) und G = G(w(X, H)

keine eindeutige Losung fUr H. Diese Hillt sich nur unter zwei zusatzlichen, alternativen Vor­

aussetzungen bestimmen:

1. Unter der Annahme, daB sich die Renditen der Hedge-Instrumente in einem effizienten Ka­

pitalmarkt nach der in (A.78) zugrundegelegten Bewertungsformel des CAPM aus (IIIA3)

365

bestimmen, gilt M H = ACW 788, und (A.86) reduziert sich ZU

(A.89)

Als eindeutige L6sung ergibt sich in diesem Fall ein vollstandiges Hedging H=YX, so daB

z(x,h) = canst. und somit Cov (l(X, H);~", )= 0 und sich (A.89) zu 0=0 unabhangig von

G(w(X, H» reduziert. Aus (A.78) ist aufgrund von d Z P / dw z < 0 aueh sofort ersiehtlieh,

daB es sich urn ein Maximum handeln muG. Die Kosten des Hedgings aller Risikofaktoren

E, betragen dabei H T M H = AX T Y T C w ,789 Sind nicht aIle Risikofaktoren hedge bar, d.h ..

wird nur tiber einen Vntervektor H Sub zu Heine L6sung gesucht, ist es weiterhin optimal,

aIle transferierbaren Risikofaktoren vollsttindig tiber die verftigbaren Hedging-Instrumente

abzusichem, soweit der Hedging Markt weiterhin effizient und der Marktrisikofaktor abge­

siehert werden kann und somit Cov (z (X, H S"b); rw )= 0 m6glich bleibt,790

2. Vnter der direkten Annahme, daB die Risikoaversion der Bank G(w(X, H»= canst. und

gleichzeitig die Hedge-Positionen keinen EinfluG auf die Kovarianz mit dem Marktrisiko­

faktor haben, d.h., Cov(z(X,H);rw)=const. unabhangig von H. In diesem Fall stellt

(A.88) eine eindeutige L6sung dar, da wiederum aufgrund von d 2 P / dw 2 < 0 in (A.78) ein

Maximum foIgt. Beides liillt sich als Niiherung rechtfertigen, wenn der EinfluG der hedge­

baren Risikofaktoren auf das Portfoliorisiko gering ist, womit wiederum besehrtinkte

Hedgem6glichkeiten unterstellt werden.

av / ax) flir die optimaIen Geschdfispositionen bereehnet sich anaIog zu aV / ah, in (A.79):

av _ 1 [E(dP)[A az J AC (az._ JJ ax, - I+rJ dW l ax) - 0\ ax, ,rolf

E( d2P Ic (az -J 1E( az Jc (- - )] + dW2 oVlax);Z -/I, lax) ov z;r.<t

-E( ~ )ACOV(z;Fv )cov( z; :: JJ Wiederum aus (A.77) folgt:

788 Dies ergibt sich aus (A.78) bzw. (I1IA3). indem ein Gegenwartswert von Null eingesetzt wird.

789 Vgl. Froot/Stein (1998.). S. 65. Gleichung (7).

790 Vgl. Froot/Stein (1998.). S. 63f.. S. 78f.. Propositionen lund 2.

(A.90)

366

(A.9l)

so daB

E( :~ ]=Pi' (A.92)

COV( :: ;~\{ )= ~YijCov(Ei;r\{). (A.93)

COY [:~;z J=COV[ ~[ ~XiYij -hi !i;~YA l= ~Yij [ ~XjYij -hi lcr2(E/) (A.94)

wiederum unter Beriicksichtigung der stochastischen Unabhlingigkeit der einzelnen Risiko­

faktoren.791 Einsetzen in (A.90) unter zusatzlicher Beachtung von (A.8l) ergibt analog zu

(A.85a) und (A.85b):

aav = _l_[E(d~ Ip } - I>ijAcov(Ei;~\{)] 'Xj I+r/ dW /

+E( ~ l[~Yij( ~XjYii -hi )cr2(E/) l-PjACOV(Z;~\f)] (A.95a)

-E( ~ }cov{Z;rM { ~Yij ( ~XjYij - ~ )cr\E/) lJ bzw. in Matrixschreibweise fi.ir den Gradienten VV(X):

VV(X) = _l_[E(d~ )[MF _AyT CM ] l+r/ dW

+ E( ~~ } yTE(JX - H)- ACov(Z;rM )M FJ (A. 95b)

-E( ~ }cov(z;rM )yTE(JX -H)l mit M F rus N x 1 Vektor der erwarteten Renditen P j der Geschaftspositionen. Aus

V V (X) = 0 folgt wiederum als notwendige Bedingung f1ir ein Optimum:

791 Es sei auch bier auf die Einfiihrung eines neuen Summenindex rur j im Gegensatz zu j als spezifischem Index der zu op­timierenden Position Xl verzichtet.

367

(A.96)

und somit durch Auflbsen nach X analog zu (A.88):

(A.97)

mit Q = yTry aIs Nx N Kovarianz-Matrix der Geschiiftspositionen. (A.96) und (A.97) sind

grundsiitzlich identisch zu (A.86) und (A.88). Es besteht ledigJich die Unterschiede, daB fUr die

Geschaftspositionen anstelle von r und C v die mit Y gewichteten stochastischen Eigenschaf­

ten der Positionen Q und yT C lf relevant sind und daB aufgrund von (A.77) Y und H unter­

schiedliche Vorzeichen besitzen. Auch (A.96) und (A.97) stell en aufgrund der Abhangigkeiten

von z = z(X, H) und G = G(w(X, H») keine allgemeine U:isung dar, sondem es bedarf der­

selben zusiitzlichen Annahmen wie fUr (A.86) und (A.88), d.h., entweder M F = AyT C v auf­

grund eines effizienten Marktes fUr Geschaftspositionen oder G(w(X,H»)=const. und

Cov(z(X,H);rv )= canst. , aufgrund anzunehmender Unkorreliertheit der Risikofaktoren mit

dem Marktrisikofaktor. Letzteres liiBt sich auch tiber die Existenz eines vollkommenen

Hedging-Marktes begriinden, auf dem das Marktrisiko grundsiitzlich abgesichert wird und so­

mit COy (z (X, H); rv )= 0,792 In diesem Fall li:iJ3t sich aus (A.97) wiederum eine vollstandige

Lbsung unabhangig von G ableiten.

792 V gl. FroorJStem (1998.). S. 64f .• 79f.

368

Eigenschaften der Konkurskostenfunktion bei normalverteilten Portfoliorenditen und konstanten Konkurskosten im Konkursfall:

Gegeben ist eine Bank, deren Investitions- bzw. Kreditportfolio mit normiertem Volumen von I

eine normalverteilter Rendite rp - N(J.1.p;ap) besitzt. Der Konkurs der Bank tritt ein, wenn

die erwirtschaftete Rendite des Kreditportfolios und das verfugbare Eigenkapital I nicht fur die

Zinslast des Fremdkapitals rD ausreichen, d.h. rp +1 < rD(l-I) ¢::} rp < rD -/(l + rD)' Sind im AKK

Konkursfall bezogen auf den Unternehmenswert die Kosten ku konstant, so berechnen sich

die erwarteten Konkurskosten t:k,;K aus (ill.90) zu: 'D-/0+,o )-,tlp

- 'D-/ (1+'D) .i:KK_E(K1)_ f kAKKdF(-)_ OI\.u ---- u rp-

UO (A.98)

=k/Y FN (rD-/(t;:D)-J.1.P )

mit F(.) als kumulierter Normalverteilungsfunktion der Portfoliorendite, £ = (rp - J.1.p) / a p als

standardnormalverteilter Zufallsvariablen mit kumulierter Verteilungsfunktion F.v (.). Flir die

partiellen Ableitungen der erwarteten Konkurskosten nach der Eigenkapitalquote gilt:

(A99)

(A. tOO)

mit fv(e) > 0 als Dichtefunktion der Standardnormalverteilung und f~(£) ~ 0, £ 5 0 als Ab­

leitung der Dichtefunktion. GemliB (AIOO) fallen die erwarteten Konkurskosten demnach un­

terproportional mit steigender Eigenkapitalquote, wenn die Fremdkapitalzinsen niedriger als die

erwartete Portfoliorendite sind.

Flir die partiellen Ableitungen nach dem Portfoliorisiko a p gilt:

(AlOI)

369

a210;K =2(Po-/(I+PO)-j.1P)VKI (po -/(l+rD )-j.1p) , 3 U N

aO'p O'p O'p

(PO -/(l+PD )-j.1p)2 'KK . (PO -/(l+PD )-j.1p)< ..o...::._--47'--'-'-ku Iv = 0

O'p O'p >

2/v + Iv = 0 (PD -/(I+PD )-j.1p) (PO -/(I+Po )-j.1p) . (PD -/(l+Po )-j.1p)<

O'p O'p O'p >

rO -/(l+rD )-j.1p ~-J2 O'p >

1 ~ ..fi O' p + rO - j.1p . < l+rO

(A.102)

(A.IOI) liegt wiederum die Annahme eines Uberschusses der erwarteten Portfoliorendite tiber

den Fremdkapitalzins PD - j.1p zugrunde. Unterstellt man fUr (A.102), daB dieser UberschuB

Po - j.1p im Verhiiltnis zum Portfoliorisiko O' p ebenso wie der Faktor 1 + ro vemachHissigbar

ist, steigen die erwarteten Konkurskosten unterproportional bis zu Konkurswahrscheinlichkeit

von ca. 7,865%793, bei einer hiiheren Konkurswahrscheinlichkeit tiberproportional zum Portfo­

liorisiko.

Ftir a1 tJeJK / al dO' p schlieBIich gilt:

a2f,JK =~ktKlv(ro-I(l+po)-j.1p) al aO' p O'p O' p

+ Po -1(l+;o)-j.1p kif I~(PO -/(l+ro)-j.1p)~ 0 O'p O'p >

Iv (Po -/(l+ro)-j.1p)+ Po -/(1+ro )- j.1p I~ ('''0 -/(l+ro)-j.1p)~ 0 O'p O'p O'p >

PD -I(l+rD )-j.1p ~-1 O'p >

1 ~ O'p +ro -j.1p. < l+rD

(A. 103)

793 V gl. bspw. die Tabelle zu den Werten der kumulierten Standardnormalverteilung bei Freund (1992). S. 624.

370

Wiederum unter Vernachlassigung von PD - /J-p gegenUber a p sowie 1+ PD sinken demnach

die (negativen) marginalen Konkursten aMUKK / at mit steigendem Risiko bis zu einer Kon­

kurswahrscheinlichkeit von ca. 15,866%794, ab der sie wiederum ansteigen.

(A.102) und (A.103) sind Anforderungen an die Konvexittit der Dichtefunktion Iv (.), deren

genannte Eigenschaften sich unhand der zugehorigen Funktionsgraphen von a" k!JK / aa~ und

a2 k!JK / at da p zeigen lassen:

2f(E) .. ~f' (,:oj

0'1 !

/ C.O .

0.41 0.2

-5 -4 -1

794 V gl. nochmals Freund (1992). S. 624.

-5

Ott /J

/0.2 / 0.1

-4~1 [I -0.1

371

Voraussetzungen fUr konstante systematische und marginale Investitionsrisiken:

Gesucht sind die Voraussetzungen, damit sich im Rahmen der Steuerung von Investitions- bzw.

Kreditportfolien annehmen laJ3t, daB zusatzliche Investitionen weder das systematische noch

das Gesamtinvestitionsrisiko verandem und sich somit bei gleichbleibender Eigenkapitalquote

ein konstantes, systematisches Eigenkapitalrisiko und konstante Eigenkapitalkosten rechtferti­

gen lassen. Bezeichnet a den Anteil des vorhandenen Portfolios mit systematischem Risiko fJp

und Rendite rp und (I-a) den Anteil der zusatzlichen Investition bzw. des zusatzlichen Kredites

am neuen Portfolio mit systematischem Risiko fJi und Rendite F;, so miissen folgende zwei

Bedingungen fUr das systematische und das Gesamtportfoliorisiko erftillt sein:

a fJp + (1- a)fJi = fJp

1\ 0' (a rp + (1- a)F; ) = 0' (rp ). (A. 104)

Diese Bedingungen lassen sich ntiherungsweise als erftillt ansehen, wenn a sehr klein gegen­

iiber dem Portfolio ist, so daB sich im Grenzfall keine Auswirkungen auf das systematische und

Gesamtportfoliorisiko ergeben795, z.B. wenn das Investitionsportfolio sowohl yom Volumen als

auch yom systematischen Risiko das Marktportfolio reprasentiert,796

Fiir beliebige a folgt hingegen unter Beriicksichtigung der Definition des systematischen Risi­

kos aus (1lI.35):

Cov(F;;~\f ) = Cov (rp; r", )

1\ (l-a)20'2(F;)+2a(l-a)Cov(F;;rp )+a2O'2(rp) = 0'2 (i'p)

(A. 105)

~ O'(F;) P (F;; i'", ) = O'(rp) p (rp; ~\f )

1\ (1- a)2 0'2 (F;) + 2a(1- a)O'(F; )O'(rp)p (F;; rp ) = (1- a 2 )0'2 (i'p).

Die erste Bedingung ist insbesondere dann erftiIlt, wenn p (F;; r\f ) = p (rp; r\f ) = 0, d.h. weder

das Portfolio- noch das Investitionsrisiko mit dem Marktrisiko korreliert sind. In diesem Fall

ergibt sich die gesuchte Konstanz der Eigenkapitalkosten aber bereits aus der Tatsache, daB

kein systematisches Risiko iibemommen wird und daher unabhangig von der Eigenkapitalquote

keine Risikoprtimie seitens der Eigenkapitalgeber verlangt wird. 797 Ansonsten laJ3t sich die er­

ste Bedingung in die zweite einfUgen:

795 V gl. FrootiStein (I 998a), S. 65f. 796 Vgl. James et aI. (1996). S. 87. Amsfeld (1998). S. 183f. 797 V gl. FrootiStein (l998a). S. 75f.

372

(A. 106)

Die verbleibende Bedingung ist ftir beliebige a nun noch genau dann erftillt, wenn

(A.lO?)

d.h., wenn das Portfolio- und Investitionsrisiko pecfekt korreliert und somit additiv sind, so da/3

sie eine einheitliche Korrelation mit dem Marktportfolio aufweisen.

373

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Der Deutsche Universitats-Verlag Ein Unternehmen der Fachveriagsgruppe BerteismannSpringer

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