05.08.2005

Aufgabe 1

[m]

Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch eine Gleichstreckenlastauf dem Stab sowie durch zwei Einzellasten in den Knoten 3 und 4 belastet wird.

Es gilt für die Stäbe , und : EI = 10.000,00 [kNm2],EA ,GA ,

und für Stab : EA ,GA .

a) Bestimmen Sie Auflagerkräfte und Schnittgrößen N, Q und M infolge der gegebenen Belastung. Geben Sie alle lokalen Extremstellen an und stellenSie die Verläufe in der Anlage zu Aufgabe 1 grafisch dar.

b) Berechnen Sie die horizontale Verschiebung des Knotens 2.

1

2

3

4

6,00

12,00

6,0

02

,00

5

8,0

0

6,0

0 k

N/m

50,00 kN10,00 kN

05.08.2005

Anlage zu Aufgabe 1

N [kN]

Q [kN]

M [kNm]

H1 V1

H5

V5 M5

05.08.2005

Aufgabe 2

xz

2,0

0

1 2

3 4

5

“1“

2,0

0

[m]4,003,00 2,00

Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch eine Stützensenkung desAuflagers am Knoten 5 um 5Z = 0,20 m belastet wird.

Es gilt für alle Stäbe: EA ,GA ,

und für die Stäbe , , : EI = 1000,00 [kNm²].

a) Berechnen Sie die Normalkraft im Stab infolge der Stützensenkung.

b) Berechnen Sie in den Knoten 1 bis 4 die Ordinaten der Einflusslinie für die Normalkraft im Stab infolge einer über die Stäbe bis wandernden Einheitslast.

c) Stellen Sie die Einflusslinie unter Angabe der Knotenwerte qualitativ grafisch dar. Die Stützensenkung ist dabei nicht zu berücksichtigen.

5z = 0,20 m

1,00

EL N5 [kN]

··· ···

05.08.2005

Aufgabe 3

Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch konstante Teilstrecken-lasten auf den Stäben und sowie durch eine ungleichmäßige Erwärmung derStäbe und belastet wird.

Es gilt für alle Stäbe: EI = 1,00 ·105 [kNm2],EA ,

T = 1,20 ·10-5 [K-1],h = 0,25 [m].

Belastungswerte: p = 300,00 [kN/m], to = -15,00 [°C],tu = +20,00 [°C].

Berechnen Sie mit Hilfe der Dreimomentengleichung nach Clapeyron dieStützmomente in den Knoten 1 bis 5.

[m]

p

1

23

4

5

1,00 2,00

5,0

0

p/2

t u t o t o t u

xz

2,001,00 1,00 1,00

05.08.2005

Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch eine global wirkendeStreckenlast auf dem Stab und durch eine Stützensenkung 3Z im Knoten 3belastet wird.

Es gilt für sämtliche Stäbe: EI = 2,00 ·104 [kNm²],EA = 8,00 ·105 [kN].

a) Berechnen Sie die Knotenverformungen des Knotens 2.

b) Berechnen Sie die lokalen Stabendkräfte und geben Sie das betragsmäßig größte Moment im Stab an.

c) Bestimmen Sie alle Auflagerkräfte nach den oben angegeben Vorzeichen-definintionen.

Aufgabe 4

[m]5,00

3,0

0

1

2 3

4,00

3Z = 0,10 m

30,00 kN/m

V2

V1

V3

H1

H3

M3

M1

xz

05.08.2005

Aufgabe 5

Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch eine Gleichstreckenlast aufden Stäben und belastet wird.

Es gilt für die Stäbe - : EI = 1,00 ·105 [kNm2],EA ,

und für die Stäbe und : EI = 2,00 ·105 [kNm2],EA .

a) Berechnen Sie mit dem Verfahren von Kani den Momenten- und Querkraftverlauf des Stabes . Es sind 3 Iterationsschritte durchzuführen. Geben Sie alle Momentenanteile an. Berechnen Sie nur diejenigen Stabendmomente, die für die Bestimmung des Momentenverlaufs im Stab notwendig sind.

b) Geben Sie mit Hilfe des in Aufgabenteil a) berechneten Momentenverlaufs die Biegelinie des Stabes an. Bestimmen Sie die vertikale Verschiebung in der Mitte von Stab .

30,00 kN/m

25

,00

10,00

34

21

[m]12,00 20,00 20,00

10,00

5

xz

05.08.2005

Aufgabe 6

Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das auf dem Stab durch einewandernde Einheitslast belastet wird.

Es gilt für die Stäbe und : EI = 1,00 ·104 [kNm2],EA ,

für die Stäbe und : EA 1,50 ·104 [kN],

und für den Stab : EA .

a) Berechnen Sie mit dem Weggrößenverfahren die Einflusslinie des Stabes für die Normalkraft im Stab .

b) Werten Sie die in der Aufgabenstellung a) berechnete Einflusslinie mit der Resultierenden des unten angegebenen Lastenzuges aus.

[m]

4

12

3

4,5

0

4,006,00

··· ···

“1”

3,00

p = 12,00 [kN/m]

xz

05.08.2005

8,0

0

6,00 [m]

Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk. Für Aufgabenteil a) ist nur das ausden Stäben - bestehende Fachwerk zu verwenden.

Es gilt für die Stäbe - : EA ,

und für die Stäbe und : EA = 10.000,00 [kN].

a) Berechnen Sie für das aus den Stäben - bestehende Fachwerk denkritischen Lastfaktor.

b) Geben Sie, für das aus den Stäben - und den n-angependeltenRahmen bestehende statische System, das charakteristische Polynomzur Bestimmung des kritischen Lastfaktors in Abhängigkeit von der Anzahl n der angependelten Rahmen an. Eine Berechnung der Nullstellen (bzw. des kritischen Lastfaktors) ist nicht durchzuführen.

Es gilt für alle Stäbe der angependelten Rahmen EA .

1

23

4

5

8,0

0

Aufgabe 7

6

7

6,00 6,00

50,00 kN 50,00 kN 50,00 kN

50,00 kN100,00 kN

1. Rahmen n-ter Rahmen

xz

05.08.2005

Aufgabe 8

2,00

1

2

[m]

3

M

4

2,00

3,0

02

,00

R(t)

r (t)

R(t) [kN]

t [s]0 0,20

R0

Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk aus masselosen Stäben, das am Knoten 4 mit einer Einzelmasse M belegt ist.

Es gilt für die Stäbe und : EA = 8,00 ·103 [kN],

für den Stab : EI = 2,00 ·104 [kNm2],EA ,

und für die Masse: M = 3,50 [t].

a) Idealisieren Sie das System als Einmassenschwinger und berechnen Sie die Eigenfrequenz des Systems.

b) Berechnen Sie die maximale Auslenkung des Knotens 4 infolge in der Anlage zu Aufgabe 8 gegebenen Fußpunktbeschleunigung r(t) durch numerische Aus-wertung des Duhamel-Integrals zu den Zeitpunkten t1-4 {0,05; 0,10; 0,15; 0,20} [s]. Verwenden Sie eine Zeitschrittweite von 0,05 [s].

c) Für welchen Wert von R0 für die unten gegebene Belastung R(t) am Knoten 4 wird eine Auslenkung von r4x,max = 0,006 [m] nicht überschritten? Verwenden Sie dafür die in der Anlage zu Aufgabe 8 gegebenen Antwortspektren.

xz

05.08.2005

Zeitlicher Verlauf der Fußpunktbeschleunigung (x-Richtung):

Anlage zu Aufgabe 8

0,10 0,15t [s]

r [m/s2]

0,05

1,5

3,0

7,0

2,0

1,0

1,0

05.08.2005

Aufgabe 9

Gegeben ist der dargestellte ungedämpfte Durchlaufträger aus masselosen Stäben.Die beiden Kragarme sind in den Knoten 1 und 4 mit den Einzelmassen M1 bzw. M2

belegt.

Es gilt für die Stäbe - : EI = 10.000,00 [kNm2], EA ,

und für die Massen: M1 = 2,00 [t],M2 = 1,00 [t].

a) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen des Systems. Das System ist dabei mit4 Freiheitsgraden zu idealisieren und für die Berechnung der Eigenfrequenzen auf 2 Freiheitsgrade zu kondensieren (siehe Anlage zu Aufgabe 9).

b) Geben Sie für eine Anfangsauslenkung von r4z,o = 0,10 [m] zum Zeitpunkt

to = 0,00 [s] die Gleichung für die Knotenverschiebung r4z(t) des Mehrmassen-

schwingers an. Verwenden Sie für die Bestimmung der Lösung das kondensierte System und berücksichtigen Sie nur die Anteile aus der 1. Eigenform. Alle nicht angegebenen Anfangsverformungen und -geschwindigkeiten sind zum Zeitpunkt t0 = 0,00 [s] gleich Null.

4,00

1 2

[m]6,00

4M1

8,00

3 M2

xz

05.08.2005

Kondensation des Eigenwertproblems (vgl. Kap. 7.2 Matrizenmethoden der Statik undDynamik, Teil 2):

Anlage zu Aufgabe 9

000

0

2

1112

2221

1211

r

rM

KK

KK

Berechnen Sie unter Ausnutzung der Struktur der Massenmatrix:

21122KKT

01112

1211 rMTKK

Kondensiertes Eigenwertproblem:

05.08.2005

Aufgabe 10

Gegeben ist die dargestellte Stütze der Länge L, die mittig am Stützenkopf durcheine Einzelkraft F belastet wird. Das Eigengewicht ist zu vernachlässigen.

Es gilt:E = 30.000,00 MN/m²,

Ansatzfunktion:w(s) = c·(s3 – s2)

a) Überprüfen Sie, ob die Ansatzfunktion die wesentlichen Randbedingungen erfüllt.

b) Berechnen Sie mit dem Verfahren von Ritz die kritische Last des Systems.

F

[m]

0,300,05

0,7

5·L

0,3

0FX

0,0

50

,05

0,05

x,s0

,25

·L

05.08.2005

Aufgabe 11

Gegeben ist das dargestellte isoparametrische Scheibenelement mit einem Zwischen-knoten auf dem Rand 2-3, das durch Eigengewicht (negative y-Richtung) belastet

wird.

Es gilt: = konst.t = konst.

Ansatzfunktionen:h1 = 1 – r – sh2 = r (1 – 2s)h3 = s (1 – 2r)h4 = 4rs

Determinante:det J =

a) Überprüfen Sie, ob die Ansatzfunktionen die Eigenschaft von Formfunktionen erfüllen.

b) Berechnen Sie die Determinante der Jakobimatrix.

c) Berechnen Sie mit det J = 4 (1 + r + s) die Komponenten des Ersatzknoten-lastvektors am Knoten 1.

(0,00 | 1,00) 3

2 (1,00 | 0,00)

4 (0,50 | 0,50)

4 (1,50 | 1,50)

2 (2,00 | 0,00)1 (0,00 | 0,00)

3 (0,00 | 2,00)

x

y s

r

Einheitskoordinaten

1 (0,00 | 0,00)

4

1

4

1

4

1

4

1 i

ii

i

ii

i

ii

i

ii r

hy

s

hx

s

hy

r

hx

05.08.2005

Aufgabe 12

Gegeben ist das dargestellte ebene Tragwerk, das aus 2 Dreieckscheiben mitlinearem Verschiebungsansatz und 2 Fachwerkstäben besteht. Das Tragwerk istdurch 2 konstante Steckenlasten p belastet.

Es gilt für die Elemente und : E = 2,00 ·105 [kN/m2],t = 0,25 [m],= 0,30 [-],

für die Elemente und : E = 2,10 ·105 [kN/m2],A = 0,15 [m2],

und für die Last p = 500,00 [kN/m].

a) Berechnen Sie die Knotenverformungen des Tragwerks.

b) Berechnen Sie die Vergleichspannung im Scheibenelement und die Normalkraft des Fachwerkstabes .

x

y

[m]

5

1 3

4

3,0

0

3,00

p

2

3,00

p