Aufgaben zu den gebrochenrationalen Funktionen

1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen in der

größtmöglichen Definitionsmenge . (Abitur 2009 AII) 1.1 Geben Sie die Definitionsmenge D an und bestimmen Sie die Art und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f. 1.2 Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f und berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von f. 1.3 Zeichnen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse und geeigneter, zusätzlich berechneter Funktionswerte den Graphen von f für -5 ≤ x ≤ 5 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm 1.4 Ermitteln Sie diejenigen Geraden aus dem Geradenbüschel gm mit der Funktionsgleichung , die mit dem Graphen von f4 genau einen Punkt gemeinsam haben.

2.0 Gegeben sind die reellen Funktionen in der größtmöglichen

Definitionsmenge . (Abitur 2012 AII)

2.1 Bestimmen Sie Gleichungen aller Asymptoten von G und geben Sie die Nullstellen von f an. 2.2 Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von G.

2.3 Zeigen Sie, dass die Gerade h mit der Gleichung Tangente an

den Graphen G ist, und berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes P. (Teilergebnis: P(-4/-3)) 2.4 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion f mit seinen Asymptoten und der Tangente aus 2.3 für -6 ≤ x ≤ 6 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm

f(x)= 8x

x2 + 4D⊆!

gm(x)=m⋅xmitm∈!

f(x)= x2 −5x2x− 4

Df=! \ 2{ }

y = 712

x− 23mitx∈!

3.0 Gegeben sind die reellen Funktionen in der

Definitionsmenge . (Abitur 2013 AII)

3.1 Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen G1,25 und stellen Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen G an der Stelle x = -2 auf. 3.2 Untersuchen Sie das Steigungs- und Krümmungsverhalten des Graphen G. 3.3 Geben Sie die Nullstellen von f an und zeichnen Sie für -4 ≤ x ≤ 2 den Graphen G mit seinen Asymptoten und der Tangente t in ein kartesisches Koordinatensystem (Maßstab: 1 LE = 1 cm).

4.0 Gegeben sind die reellen Funktionen in der jeweils

größtmöglichen Definitionsmenge . (Abitur 2014 AII)

4.1 Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für und in der Nähe

der Definitionslücken von f. Geben Sie auch die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von f an. 4.2 Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f und ermitteln Sie damit Art und Lage der Extrempunkte des Graphen von f. Runden Sie dabei die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

(mögliches Teilergebnis: )

4.3 Geben Sie die Nullstellen von f an und zeichnen Sie mit Hilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse und geeigneter, zusätzlich berechneter Funktionswerte den Graphen der Funktion f mit seinen Asymptoten für -5 ≤ x ≤ 10 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm

5.0 Gegeben sind die reellen Funktionen mit der jeweils maximalen

Definitionsmenge . (Abitur 2015 AII)

5.1 Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen von f. Geben Sie auch die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f an. 5.2 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen von f sowie sämtliche Asymptoten für -2 ≤ x ≤ 6 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm.

f(x)= 1,25x2 +2x−1x+1

D=! \ −1{ }

f(x)= f3(x)= x2 −9

x2 −2xD

f=! \ 0;2{ }

x →∞

f´(x)= −2x2 +18x−18

x2 −2x( )2

f : x!x2 −2x+1

x−2D

f=! \ 2{ }

6.0 Gegeben ist die reelle Funktion in ihrer maximalen

Definitionsmenge . Der Graph der Funktion wird mit Gf bezeichnet. (Abitur 2017 AI) 6.1 Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie Art und Gleichung der Asymptote von Gf an. 6.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit seiner Asymptote. 6.3 Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von Gf.

(Mögliches Teilergebnis: )

6.4 Geben Sie die Nullstelle von f sowie deren Vielfachheit an und zeichnen Sie unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von f sowie dessen Asymptote für in ein kartesisches Koordinatensystem. Berücksichtigen Sie dabei, dass der Graph von f den Hochpunkt H(-2/8) besitzt, ein Nachweis ist nicht erforderlich. Maßstab: 1 LE = 1 cm.

7.0 Gegeben ist die reelle Funktion in ihrer maximalen Definitionsmenge

. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. (Abitur 2018 AII)

7.1 Untersuchen Sie f auf Nullstellen und bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten von Gf. 7.2 Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von Gf und ermitteln Sie damit die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von Gf.

(Mögliches Teilergebnis: )

7.3 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen Gf sowie seine Asymptoten in Farbe für -4 ≤ x ≤ 4 in ein kartesisches Koordinatensystem ein.

f : x!(x−2)2

1+0,25⋅x2

Df=!

f´(x)= x2 − 4(1+0,25x2)2

−6 ≤ x ≤6

f : x!12⋅ x

2 + x+1x+1

Df=! \ −1{ }

f´(x)= 2x2 + 4x(2x+2)2

8.0 Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen Gf von f.

8.1 Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von Gf an und zeigen Sie rechnerisch, dass Gf seine schräge Asymptote nicht schneidet. Übertragen Sie die Abbildung 1 in Ihr Heft und zeichnen Sie die Asymptoten ein. Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von Gf. 8.2 Die Abbildung legt die Vermutung nahe, dass Gf bezüglich des Schnittpunkts P(-1/-1) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von Gf kann die

Funktion g mit betrachtet werden, deren Graph aus Gf durch Verschiebung

um 1 in positive x-Richtung und um 1 in positive y-Richtung hervorgeht. Weisen Sie die Punktsymmetrie von Gf nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

f : x!12x− 1

2+ 8x+1

! \ −1{ }

g(x)= 12x+ 8

x

8.3.0 Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts S von Dose und Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm. Die bisher betrachtete Funktion f gibt für 0 ≤ x ≤ 15 die Höhe von S über dem Dosenboden in Zentimeter an. Dabei ist x die Füllhöhe in Zentimeter (siehe Abbildung 2).

8.3.1 Berechnen Sie f(0) und f(15). Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang. 8.3.2 Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunktes während des Füllvorgangs. Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass x-Koordinate und y-Koordinate des Tiefpunkts von Gf übereinstimmen. 8.3.3 Für welche Füllhöhen x liegt der Schwerpunkt S höchstens 5 cm hoch ? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 1 und anschließend durch Rechnung.

9.0 Gegeben ist die Funktion f mit . Die Abbildung zeigt einen Teil des

Graphen Gf von f.

9.1 Zeigen Sie, dass für die Definitionsmenge gilt und dass Gf symmetrisch

bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von f sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von Gf an. 9.2 Weisen Sie nach, dass die Steigung von Gf in jedem Punkt des Graphen negativ ist. 9.3 Übertragen Sie die Abbildung in Ihr Heft und skizzieren Sie den darin fehlenden Teil von Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. 9.4.0 Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge 10 km zuerst flussabwärts und unmittelbar anschließend flussaufwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag Der Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich das Boot bei dieser Motorleistung auf einem stehenden Gewässer bewegen würde. Im Folgenden soll modellhaft davon ausgegangen werden, dass die Eigengeschwindigkeit des Boots während der Fahrt konstant ist und das Wasser im Fluss mit der konstanten Geschwindigkeit 5 km/h fließt. Die für das Wendemanöver erforderliche Zeit wird vernachlässigt. Die Gesamtfahrzeit in Stunden, die das Boot für Hinfahrt und Rückfahrt insgesamt

benötigt, wird im Modell für x > 5 durch die Gleichung angeben.

Dabei ist x die Eigengeschwindigkeit des Boots in km/h. 9.4.1 Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von 10 km/h und für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von 20 km/h jeweils die Gesamtfahrzeit in Minuten.

x!20x

x2 −25

Df=! \ −5;5{ }

t(x)= 10x+5

+ 10x−5

9.4.2 Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms t(x) die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden angibt. 9.4.3 Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass t(x) für 0 < x < 5 nicht als Gesamtfahrzeit Interpretiert werden kann. 9.4.4 Zeigen Sie, dass die Terme f(x) und t(x) äquivalent sind. 9.4.5 Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit von vier Stunden.

Lösungen 1.1

1.2

f(x) = 8xx2 + 4

       D = !    

f´(x) = 8 ⋅(x2 + 4)− 8x ⋅2x(x2 + 4)2

= −8x2 + 32(x2 + 4)2

⇒ −8x2 + 32(x2 + 4)2

= 0 ⇒−8x2 + 32 = 0 ⇒ x1 = −2 x2 = 2

Skizze von f´: Nenner immer positivSkizze von (−8x2 + 32) :

⇒ TP(−2 / −2)     HP(2 / 2)

f´(x)= −8x2 +32(x2 + 4)2

f´´(x)= −16x ⋅(x2 + 4)2 − (−8x2 +32)⋅2(x2 + 4)⋅2x(x2 + 4)4

=

= −16x ⋅(x2 + 4)− (−8x2 +32)⋅2⋅2x(x2 + 4)3

= −16x3 −64x+32x3 −128x(x2 + 4)3

= 16x3 −192x(x2 + 4)3

f´´(x)= 0⇒16x3 −192x = 0⇒16x(x−12)= 0

⇒ x1= 0x

2= − 12x

3= 12

Skizzevonf´´:Nennerimmerpositiv

Skizzevon(16x3 −192x):

⇒Gfistlinksgekrümmtin[- 12;0]sowiein[ 12;∞[

⇒Gfistrechtsgekrümmtin]-∞;- 12]sowiein[0; 12]

⇒WPbeix1= 0,x

2= − 12undx

3= 12

⇒WP1(0 /0),WP

2(− 12 /− 3)undWP

3( 12 / 3)

1.3 X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f(x) -1,38 -1,6 -1,85 -2 -1,6 0 1,6 2 1,85 1,6 1,38

1.4

2.1

2.2

f4´(0)= 2

m=2istSteigungderWendetangente,d.h.istmaximaleSteigungvonf4

⇒ fürm≥2undm≤0hatgmmitf

4genaueinenPunktgemeinsam

(x2 −5x):(2x− 4)= 12x− 3

2+ −62x− 4

⇒A1: y = 1

2x− 3

2(schiefeAsymptote) A

2: x = 2 (senkrechteAsymptote)

Nullstellen:x ⋅(x−5)= 0 ⇒ x1= 0 x

2= 5

f´(x)= x2 − 4x+102⋅(x−2)2

Df´=! \ 2{ }

f´(x)= 0 ⇒ x2 − 4x+10= 0 ⇒ x1/2

= 4± 16− 402

⇒keineExtremstelle

Skizzevonf´: Nennerimmerpositiv

Skizzevon(x2 − 4x+10):

⇒Gfsmsin −∞;2⎤⎦ ⎡⎣ sowiein 2;∞⎤⎦ ⎡⎣

2.3

2.4

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) -4,1 -3,6 -2,4 -1,75 -1 -1 0 2 - -3 -1 0 0,75

3.1

x2 −5x2x− 4

= 712

x− 23

⇒ x2 −5x = 712

x− 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅(2x− 4)

⇒ x2 −5x = 76x2 − 11

3x+ 8

3⇒ 1

6x2 + 4

3x+ 8

3= 0

⇒ x1/2

=− 43± 16

9− 4⋅1

6⋅83

2⋅16

=− 43± 16

9− 169

2⋅16

= −4(doppelt)

f´(−4)= (−4)2 − 4⋅(−4)+102⋅(−4−2)2

= 4272

= 712

f(−4)= −3

⇒−3= 712

⋅(−4)+ t ⇒ t = −23

⇒ t : y = 712

x− 23

f(x)= 1,25x2 +2x−1x+1

1) x = −1senkrechteAsymptotewegenPolstelle1.Ordnung

2)(1,25x2 +2x−1):(x+1)=1,25x+0,75+ −1,75x+1

⇒ y =1,25x+0,75schiefeAsymptote(Restgliedgehtgegen0für x →∞)

t : y =mx+ tm= f´(−2)= 3 f

1,25(−2)= 0

⇒0= 3(−2)+ t ⇒ t = 6⇒ t : y = 3x+6

3.2

3.3 Nullstellen:

f´(x)= 1,25x2 +2,5x+3(x+1)2

(sieheTeilergebnis)

f´(x)= 0 ⇒1,25x2 +2,5x+3⇒ x1/2

= −2,5± 6,25−152,5

⇒keineExtremstellen,weilD< 0Skizzevonf´: Nennerimmerpositiv

Skizzevon(1,25x2 +2,5x+3):

⇒G sms in −∞;−1⎤⎦ ⎡⎣ sowiein −1;∞⎤⎦ ⎡⎣

f´´(x)= (2,5x+2,5)(x+1)2 − (1,25x2 +2,5x+3)⋅2(x+1)⋅1(x+1)4

=

= (2,5x+2,5)(x+1)− (1,25x2 +2,5x+3)⋅2(x+1)3

= −3,5(x+1)3

Skizzevonf´´: Zählerimmernegativ

Skizzevon(x+1)3 :

⇒Glinksgekrümmtin −∞;−1⎤⎦ ⎡⎣ Grechtsgekrümmtin −1;∞⎤⎦ ⎡⎣

f(x)= 0 ⇒1,25x2 +2x−1= 0 ⇒ x1= 0,4 x

2= −2

4.1

4.2

f(x)= x2 −9x2 −2x

Df=! \ 0;2{ }

limx→±∞

x2 −9x2 −2x

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=1 (ZählergradgleichNennergrad)

limx→

<0

x2 −9x2 −2x

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟existiertnichtf(x)→−∞ für x→

<

0

limx→

>0

x2 −9x2 −2x

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟existiertnichtf(x)→ +∞ für x→

>

0

limx→

<2

x2 −9x2 −2x

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟existiertnichtf(x)→ +∞ für x→

<

2

limx→

>2

x2 −9x2 −2x

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟existiertnichtf(x)→−∞ für x→

>

2

Asymptoten: 1) x = 0 2) x = 2 3) y =1

f´(x)= 2x ⋅(x2 −2x)− (x2 −9)⋅(2x−2)(x2 −2x)2

= 2x3 − 4x2 −2x3 +2x2 +18x−18(x2 −2x)2

=

= −2x2 +18x−18(x2 −2x)2

f´(x)= 0 ⇒−2x2 +18x−18= 0 ⇒ x1≈1,15 x

2≈ 7,85

Skizze von f´: Nennerimmerpositiv

SkizzeZähler:

⇒Gfsmf in −∞;0⎤⎦ ⎡⎣ sowie in 0;1,15⎤⎦ ⎤⎦ sowie in 7,85;∞⎡⎣ ⎡⎣

Gfsms in 1,15;2⎡⎣ ⎡⎣ sowie in 2;7,85⎤⎦ ⎤⎦

⇒ x1=1,15 TIP ⇒ TIP(1,15/7,85) x

2= 7,85HOP ⇒HOP(7,85/1,15)

4.3

5.1

5.2

f(x)= 0 ⇒ x2 −9= 0 ⇒ x1= −3 x

2= 3

(x2 −2x+1):(x−2)= x+ 1x−2

⇒ y =1 schiefe Asymptote

x = 2 senkrechteAsymptotewegenPolstelle1.Ordnung

HOP(1/0)TIP(3/4)

6.1

6.2

6.3

limx→±∞

x2 − 4x+ 41+0,25x2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 10,25

= 4 (Zählergrad=Nennergrad)

y = 4 waagrechte Asymptote

(x2 − 4x+ 4):(0,25x2 +1)= 4+ −4x0,25x2 +1

Schnittpunktmit Asymptote:−4x

0,25x2 +1= 0 ⇒−4x = 0 ⇒ x = 0 ⇒SP(0 / 4)

f´(x)= (2x− 4)(1+0,25x2)− (x2 − 4x+ 4)⋅0,5x

1+0,25x2( )2=

= 2x+0,5x3 − 4− x2 −0,5x3 +2x2 −2x

1+0,25x2( )2= x2 − 4

1+0,25x2( )2

f´´(x)=2x ⋅ 1+0,25x2( )2 − (x2 − 4)⋅2 1+0,25x2( )⋅0,5x

1+0,25x2( )4=

=2x ⋅ 1+0,25x2( )− (x2 − 4)⋅2⋅0,5x

1+0,25x2( )3=

= 2x+0,5x3 − x3 + 4x

1+0,25x2( )3= −0,5x3 +6x

1+0,25x2( )3f´´(x)= 0 ⇒−0,5x3 +6x = 0 ⇒−0,5x(x2 −12)= 0

⇒ x1= 0 x2 −12= 0 ⇒ x

2= − 12 x

3= 12

Skizze von f´´:Nennerimmerpositiv

Skizzevon −0,5x3 +6x( ):

⇒Gflinksgekrümmtin −∞;− 12⎤

⎦⎤⎦ sowie in 0; 12⎡

⎣⎤⎦

Gfrechtsgekrümmtin − 12;0⎡

⎣⎤⎦ sowie in 12;∞⎡

⎣⎡⎣

6.4

7.1

7.2

f(x)= 0 ⇒ (x−2)2 = 0 ⇒ x = 2 (doppelt)

Nullstellen:

f(x)= 0 ⇒ x2 + x+1= 0 ⇒ x1/2

= −1± 1− 42

⇒ fhatkeineNullstellen

Asymptoten:

1) x = 0 wegenPolstelle1.Ordnung

2)(x2 + x+1):(x+1)= x+ 1x+1

⇒ y = 12x schiefe Asymptote

f´(x)= 12⋅ (2x+1)(x+1)− (x

2 + x+1)⋅1(x+1)2

= 12⋅2x

2 +3x+1− x2 − x−1(x+1)2

= 12⋅ x

2 +2x(x+1)2

f´(x)= 0 ⇒ x2 +2x = 0 ⇒ x(x+2)= 0 ⇒ x1= 0 x

2= −2

Skizze von f´:12undNennerimmerpositiv

Skizzevon(x2 +2x):

⇒Gfist sms in −∞;−2⎤⎦ ⎤⎦ sowie in 0;∞⎡⎣ ⎡⎣ G

fist smf in −2;−1⎡⎣ ⎡⎣ sowie in −1;0⎤⎦ ⎤⎦

⇒ x1= 0 TIP TIP(0 /0,5) x

2= −2 HOP HOP(−2/−1,5)

7.3

8.1

8.2

Asymptoten: x = −1 y = 12x− 1

2Schnittpunktmit schräger Asymptote:

12x− 1

2+ 8x+1

= 12x− 1

2⇒ 8

x+1= 0 ⇒8= 0 (f)

GfunddieschrägeAsymptoteschneidensichnicht.

f´(x)= 12+ 0⋅(x+1)−8⋅1

(x+1)2= 12− 8

(x+1)2

12− 8

(x+1)2= 0 ⇒ 1

2= 8

(x+1)2⇒ (x+1)2 =16 ⇒ x+1= ±4

⇒ x1= 3 x

2= −5

VZU von f´:

⇒ x1= 3 TIP TIP(3/3) x

2= −5 HOP HOP(−5/−5)

g(−x)= 12(−x)+ 8

−x= −1

2x− 8

x= −g(x)

⇒GgistpunktsymmetrischzumUrsprung

⇒GfistpunktsymmetrischzuP(-1/-1)

8.3.1

8.3.2 Wird in die leere Dose kontinuierlich Flüssigkeit geschüttet, so ist der Schwerpunkt zu Beginn 7,5 cm über dem Dosenboden und sinkt dann auf einen Tiefstwert von 3 cm. Anschließend steigt die Höhe des Schwerpunkts bis der wert 7,5 cm erreicht wird. Der Tiefpunkt (3/3) gibt an, dass der niedrigste Schwerpunkt der mit Flüssigkeit gefüllten Dose bei einer Füllhöhe von 3 cm liegt. Für diesen Fall stimmen Füllhöhe und Schwerpunkthöhe überein. 8.3.3

f(0)= 7,5 f(15)= 7,5EineleereundeinevollständiggefüllteDosebesitzenbeideden

SchwerpunktSgenauinderMittederGesamthöhederDosebei7,5cm.

MithilfedesGraphenlässtsichdieLösungfürdieUngleichungablesen:

f(x)≤ 5 ⇒ x∈ 0,5;9,5⎡⎣ ⎤⎦Rechnung:

12x− 1

2+ 8x+1

≤ 5 ⇒ x+ 16x+1

≤11 ⇒ x(x+1)+16 ≤11(x+1)

⇒ x2 −10x+5≤ 0

⇒ x2 −10x+5= 0 ⇒ x1= 5+2 5 x

2= 5−2 5

Skizze von (x2 −10x+5):

⇒ f(x)≤ 5 für x∈ 5−2 5;5+2 5⎡⎣

⎤⎦

9.1

9.2

9.3

9.4.1

Defintionsmenge: x2 −25= 0 ⇒ x2 = 25 ⇒ x1= −5 x

2= 5

⇒Df=! \ −5;5{ }

f(−x)= 20(−x)(−x)2 −25

= −20xx2 −25

= −f(x)

⇒GfpunktsymmetrischzumUrsprung;

Nullstelle:20x

x2 −25= 0 ⇒20x = 0 ⇒ x = 0

Asymptoten: x = −5 x = 5 y = 0

f´(x)= 20(x2 −25)−20x ⋅2x(x2 −25)2

= −20x2 −500(x2 −25)2

−20x2 −500(x2 −25)2

= 0 ⇒−20x2 −500= 0 ⇒ x2 = −25 (f)

Nenner immer positiv; Zähler immer negativ ⇒ f´ immer negativ

t(10)= 1010+5

+ 1010−5

= 223h ⇒160Minuten

t(20)= 1020+5

+ 1020−5

=1 115

h ⇒64Minuten

9.4.2 Für Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit gilt:

Bei der Fahrt flussabwärts addieren sich die Eigengeschwindigkeit x des Boots und die Fließgeschwindigkeit des Flusses: x + 5 Bei der Fahrt flussaufwärts subtrahieren sich die Eigengeschwindigkeit x des Boots und die Fließgeschwindigkeit des Flusses: x – 5 Der Weg beträgt bei der Fahrt sowohl flussaufwärts als auch flussabwärts jeweils 10 km.

Für die Gesamtzeit ergibt sich deshalb:

9.4.3 Für 0 < x < 5 kann die beschriebene Fahrt nicht stattfinden, da die Eigengeschwindigkeit des Boots dann kleiner als die Fließgeschwindigkeit des Flusses wäre. Somit wäre eine Fahrt flussaufwärts unmöglich.

9.4.4

9.4.5

v = st

⇒ t = sv

t = 10x+5

+ 10x−5

10x+5

+ 10x−5

= 10(x−5)+10(x+5)(x+5)(x−5)

= 10x−50+10x+50x2 −25

= 20x

x2 −25

20xx2 − 25

= 4 ⇒ 20x = 4(x2 − 25)

⇒ 4x2 − 20x −100 = 0 ⇒ x1 = 8,09 (x2 = −3,09)∉DDie Gesamtfahrzeit des Boots von vier Stunden wird bei einer Eigengeschwindigkeit von 8,09 km/h erreicht.