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A u f l S s u n g z a h l e n t h e o r e t i s c h e r K n o t e n in G a l o i s e r w e i t e r u n g e n y o n Q

Von

HANS OFOLKA

1. Sei K/k eine endliehe GMoiserweiterung algebraiseher Zahlk6rper. Wie in [6], [7] gezeigt wurde, existiert eine K umfassende endliche Galoiserweiterung L yon k mit den folgenden Eigensehaften : (1) Ein Element a in der multiplikativen Gruppe k* yon k, welches lokal iiberall Norm in L i s t , ist globale Norm in K. (2) Die Galois- gruppe G (L/K) ist im Zentrum der Galoisgruppe G (L/k) enthalten. Ein solches L heiBt eine A u]16sung des Knotens

{a e k* ] a ist lokal fiberall Norm in K} 2/F = Yd" (K/k) = {a e k* I a ist globale Norm in K}

In der vorliegenden Note soll in dem Fall k ~- Q eine spezielle Aufl6sung yon S konstruiert werden.

2. Sei K/k eine endliehe Galoiserweiterung end_lieher Erweiterungen yon Q oder Q~, deren Galoisgruppe G trivial auf der multiplikativen Gruppe C* yon C operiere. Sei H2(G, C*) die zweite Kohomologiegruppe yon G in bezug auf den trivialen G-Modul C*. Wie in [9], w 6 (oder aueh in [5], w 5; [6]; [7], w 2) gezeigt wird, existiert zu jeder Untere~uppe A ~ H2 (G, C*) eine K umfassende endliche Galoiserweiterung L yon k, so dab die Galois~uppe G (L/K) im Zentrum der Galoisgruppe/~ = G (L/k) enthalten ist und A unter der Inflationsabbildung inf :H2(G, C * ) - ~ H 2 ( E , C*) trivial wird. Ein solcher K6rper Z heil]t eine Au]lSsung yon A. In [7], w 2, wird ein Weg aufgezeigt, wie man -- wenigstens prinzipiell - - ein solehes L konstruieren kann: Zu jeder Kohomologieklasse yon zentralen Faktorensystemen ~ e H2(G, C*) ws man eine projektive I)arstellung T : G - ~ PGL(n, C) und lifter sie zu einer linearen Darstellung D ~ D(T) der Weilgruppe W (K/k). Die Einsehriinkung yon D (T) auf CK (= Idelldassengruppe yon K ira Globalen bzw. multiplikative Gruppe K* yon K im Lokalen) liefert einen linearen Charakter Z endlicher Ordnung yon CK und damit eine Normengruppe Ker Z ~ CK. Sei L x der zu Ker Z gehSrige abelsche Oberk6rper yon K. Die Gruppe C~ -~ <{xZ/x] x e CK, a e G}) ist in Ker Z enthalten. G (Lz/K) ist dann im Zentrum yon G (Lz/k) enthalten und ~ ~drd unter der Inflations- abbildung inf: H2(G, C * ) - 7 H2(G(Lx/k), C*) trivial. / ) 1/~Bt sich als lineare Dar- stellung yon G(Lx/k ) auffassen. Ist T (ira projektiven Sinne) s zur projek- tiven Darstellung T' yon G, so ist D(T) (ira gew6hnliehen Sinne) ~quivalent zu

(D D (T') mit einem linearen Charakter ~ yon G (per Inflation aufgefaBt als Charak-

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ter yon W (K/k) ab oder G (Lx/k)ab). Deshalb l iefern/) (~/') und D (T') auf C/~ denselben Charakter Z, d.h. g hBngt nicht yon der _~qnivalenzklasse yon T a b . Sei nun d eine minimale Menge yon _~quivalenzklassen projektiver Darstellungen zu A <= H 2 (G, C*)

und ~ eine -- ebenfalls minimal gew~hlte -- •enge yon Liftungen zu Elementen aus d . Schliel~lieh sei X ( d ) d i e Menge der linearen Charaktere yon CK, die dutch

Einschri~nkung der Elemente yon ~7 auf C/~ entsteht. Die Normengruppe CI Ker Z liefert eine AuflSsung L~7 yon A, eine sogenaunte Fundamentalau/16sung

xex (..~) yon A (da sie fiber die Weilgruppe konstruiert wurde). L~ ist gleieh dem Kompo-

situm der Lz, Z e X ( ~ ) (in einem festgew~hlten algebraischen Abschlul~ /c yon k gebildet). Im allgemeinen existieren zu einer festen Kohomolo~eklasse ~ e H 2 (G, C*) mehrere •quivalenzklassen projektiver Darstellungen. Ist D(T) eine Liftung der projektiven Darstel/ung T yon G, so aueh Y ~ ) D ( T ) ffir jeden stetigen linearen Charakter y yon W(K/k) ab. GehSrt zu D(T) der lineare Charakter Z yon CK, so gehSrt flZ (fl = 7/C~:) in diesem Sinne zu Y Q D(T). Die Konstruktion einer Funda- mentalauflSsung yon A <= H2(G, C*) h~ngt also einerseits yon der Auswahl der Menge ~r der J~quivalenzklassen projektiver Darstellungen yon G zu A und zum

~nderen yon der Auswahl der Menge ~7 der Lifmngen der Elemente aus d a b , insbesondere also yon dem Bild der Restriktionsabbildung

Res : Home (W(K/k), C*) -+ Home(C~/C~, C*)

(Home bezeichnet hier stetige Homomorphismen). Ist G abelsch, so existiert zu jeder Kohomologieklasse ~ ~ H 2 (G, C*) genau eine Aquiva]enzklasse yon irreduziblen pro- jektiven Darstellungen yon G, vgl. [2] (lineare Darstellungen sind im projektiven Sinne i~quivalent, werm sie sich bis auf gewShnliche Aquivalenz nur um einen linearen Charakter unterseheiden). Ist daher T irgendeine projektive Darstellung yon G und sind D1, D2 zwei irreduzible Bestandteile einer Liftung D yon T, so exis~iert ein linearer Charakter 2 yon G, so dal3 D1 (ira gewShnlichen Sinne) s zu ~ C) D2 ist. Die Einschr~nkungen yon D1 und De auf CK liefern daher denselben Charakter Z yon CK. Deshalb kSnnen wir im abelschen Fall bei der Konstruktion einer Funda- mentalauflSsung ohne Einschr~nkung der Allgemeinheit die gew~hlte projektive Darstellung als irreduzibel voraussetzen. Bei abelschem G i s t auBerdem die Kom- mutatorgruppe W(K/k)" yon W(K/k) in CK enthalten, so dal3 also in diesem Fall die Freiheit bei der Konstruktion einer FundamentalauflSsung in der Gruppe CK/W (K/k)' liegt.

3. Sei K/k eine endliehe Galoiserweiterung algebraischer Zahlk6rper mit Galois- gruppe G and sei 2"F = Jd (K/k) der Kern der Lokalisierungsabbildung

H 2 (G, C*) --> X H 2 (Gv, C*),

Gv seien dabei die verschiedenen Zerlegungsgruppen in G. Wie in [1], S. 198, gezeig~ wurde, ist der Knoten JC yon K/k (vgl. Absehnitt 1) isomorph zu 5/P und aus [7], w 2, geht hervor, dab eine FundamentalauflSsung yon a%f eine AuflSsung des Knotens or eine sogenannte FundamentalauflSsung yon ~ ' , liefert.

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4. Sei K/Q eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe G. Eine proj ektive Darstellung yon G und ihre Liftung fassen wir, wenn nStig, per Inflation als Dar- stellungen der absoluten Galoisgruppe yon Q auf. Mit | bezeiehnen wir die Zer- legungsgruppe einer Fortsetzung ~ yon p auf den algebraisehen Absehlu• Q yon Q und mit ~ bezeiehnen wir die entspreehende Tr~gheitsgruppe in @~. Aus [9], w 6, entnehmen wir den folgenden Satz (der dort Tare zugesehrieben wird).

(4.1) Satz. Sei ~l' eine ~ro]ektive Darstellung yon | und ]iir ]ede Primzah119 8el D~ eine Li]tung yon T /~p . Sei D ~ / ~ ]iir ]ast alle ~ trivial. Dann existiert eine eindeutige Li/tung D von T, so daft . D / ~ = .D~/~ ]iir alle p.

5. Wir behalten die Bezeiehnungen aus Absehnitt 4 bei. Zum Kern der Lokalisie- rungsabbildung Jt ~ ~ H2(G, C*) konstruieren wir jetzt eine spezielle Fundamental- auflSsung. Sei dazu T : G -~ PGL (n, C) eine projektive Darstellung mit Kohomologie- klasse ~ e J~. Sei T' : G --> GL (n, C) ein Sehnitt zu T m i t der Eigenschaft T' (x) T ' (y) = t(x, y) T' (xy) fiir alle x, y e G. Ffir jede Primzahl p ist die Einsehr~nkung von T' auf Gp = | bis auf Konjugation yon der Form ~p ~) Dp mit einer Funk- tion ~p : Gp --> C* und einer linearen Darstellung Dp yon Gp. ~Nach (3.1) existiert genau eine Liftung D yon T mit der Eigenschaft D/~p = Dp/~p. Sei Z der zur Ein- sehr~nkung yon D auf CK gehSrige Charakter yon CK. Mit X = X ( ~ ) bezeichnen wir die Menge aller auf diese Weise entstehenden Charaktere yon CK (X sei nattir- lich -- wie fiblieh -- so klein wie m6glich gew~hlt). Die zur Normen~o-ruppe .~, Ker Z

Z~X"

geh6rige abelsehe Erweiterung L x / K ist nach Konstruktion an den endlichen Stellen unverzweigt und liefert eine Fundamentalaufl6sung yon J/- ~ Jt ~. Daraus folgt ins- besondere, dal~ L x : K die engere Klassenzahl yon K teilt und andererseits yon der Kardinalit~t Z des K_notens YC geteilt wird (exakte Sequenz yon Hochschild-Serre). Wir halten lest

(5.1) Satz. Es gibt eine Fundamentalau/16sung .Lx de8 Knotens X der Galoiser- weiterung K/Q, die iiber K an den endlichen Stellen unverzweigt ist. Insbesondere wird der K6rpergrad .Lx : K yon der Kardinalitiit ~ des Knotens geteilt und teilt seinerseits die engere Klassenzahl yon K.

Beispiele zeigen, dal~ im allgemeinen g = L x : K nieht richtig ist, vgl. [8], S. 229 und auch [7], w 3.

6. Der Artinsehe Fiihrer einer Darstellung einer Galoisgruppe ist bereits durch die Einschr~nkung dieser Darstellung auf alle Trs festgelegt, vgl. [10], VI, w 2. Aufgrund yon (4.1) l'~Bt sieh daher der Artinsehe Fiihrer/(T) einer pro]el~tiven Darstellung T der absoluten Galoisgruppe | yon Q wie folgt definieren, vgl. [9], w 6. Es sei

/(T) :=r-[ p ~(~),

wobei c(~o) fiir jede Primzahl p die kleinste natiirliche Zahl bezeichnet, so dab T/| eine Liftung mit dem lokalen Artinsehen Ffihrer pe(~) besitzt. Der Ftihrer einer jeden Liftung yon T ist ein Vielfaches y o n / ( T ) .

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Wir wollen fiir eine abelsche Erweiterung K/Q den Ffihrer einer irreduziblen projektiven Darstellung T yon G mit Kohomologieklasse ~ e JF bestimmen. Dazu benStigen wir einige Tatsachen fiber projektive Darstellungen abelscher Gruppen.

7. In diesem Absehrdtt sei G eine beliebige endliehe abelsche Gruppe. Sei weiterhin ~ H 2 ( G , C *) und H = H ( ~ ) der Kern der zum Faktorensystem t : G x G - > C * (nut yon der Klasse yon t abh/~ngigen) symplektisehen Paarung co~:G X G - ~ C*, cot(x, y) :~- t(x, y)/t(y, x), vgl. [11], 2.2. Sei T : G--> PGL(n, C) irreduzibel und

: G --> GL (n, C) ein Schnitt zu T mit der Eigenschaft T (x) T (y) = t (x, y) T (xy). Unter Benutzung des Schursehen Lemmas zeigt man, dab H mit dem Kern yon T, also mit der Gruppe {x e G[ IP(x) ---- c(x) �9 Id e C* �9 Id} iibereinstimmt. Sei U eine Untergruppe yon G, so dab t /U ~ ~o~ mit einer Funktion ~: U - + C*. Sei ~v die Spur yon IP (d.h. ~v (x) ---- Spur (T (x)) fiir alle x e G). Die Einsehr~nkung yon ~v auf U ist, wie man leicht nachrechnet, yon der Form

(7.1) ~(u) = e .~ (u ) - ~co(~,u),

wobei co : G x U -> C* die durch co(x, u) :-~ t(x, ~)/t(u, x) definierte Paarung be- zeichnet, ~ ein Vertretersystem der Nebenklassen yon G modulo M ~ Linkskern yon co durchl/~uft und e eine natiirliche Zahl, die sogenannte Zerlegungszahl yon ~v in U, bezeiehnet. Der Reehtskern yon co stimmt mit der Gruppe H n U fiberein. VermSge der Abbildung G ~ x --->co(x, ) e Hom(U/U (~ H, C*) ist demnach G/M zu Horn(U/U (h H, C*) isomorph. In der unter (7.1) auftretenden Summe kommen also U : U (h H verschiedene Charaktere yon U vor, die yon U/U (h H inflatiert sind, d.h. die Summe ist gleich rv, wobei ru die Inflation des regul~ren Charakters yon U/U (h H ist, d.h. rv = I n d e n t ( i ) , wobei 1 der Einscharakter yon U n H ist. Die in (7.1) auftretende Zerlegungszahl 1/~Bt sieh mit dem folgenden Lemma bereeh- nen.

Lemma. Der Grad yon T ist gleich (G : H)I/2.

Daraus ergibt sich e = (G : H)I/2/(U : U r H), also mit (7.1)

(7.2) ~v/U= (G:H)I/2/(U: U A H ) . ~ . I n d ~ , ~ H ( 1 ) .

Bewe i s des L e m m a s . Der Grad yon T ist gleich dem Grad einer T inflatierenden treuen projektiven Darseellung yon G/H, uncl dieser wiederum ist gleich der Quadrat- w~arzel aus der Dimension der zentraleinfachen Algebra, die frei durch Symbole Ux, x ~ G/H, erzeugt wird, die den l~elationen uxuy -= cot(x, y)UyUx geniigen. Diese Dimension ist gleich G : H (vgl. aueh [11], S. 175).

8. Sei nun K/Q eine endliehe abetsche Erweiterung mit Galoisgruppe G. Sei e •F und -- in den Bezeichnungen yon Abschnitt 7 -- sei K ([) der zu H gehSrige

Zwischenk6rper zwischen K und (~. Sei T : G --> PGL (n, C) eine irreduzible projek- rive Darstellung yon G, sei ~v die Spur eines Schnittes IP zu T (6T = t) und sei U ---- Gp eine Zerlegungsgruppe in G. Dann ist nach (7.2)

%v/G~ -~ rn; . o~ . IndZ~, (i)

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mit H~ - - G~ (~ H und m p = (K(i) : Q)I/2/(Kp(~): Qp) : g~([)/(K([): Q)1/2 wobei gp die Zerlegungszahl yon T in K(~) bezeichnet. Insbesondere i s t /~p : m p I n d ~ ( 1 ) eine Lif tung yon T/Gp. :Nach (4.1) existiert genau eine Lif tung D yon T m i t der Eigensch~ft D/~p----R~/~p. Unter Ausnutzung grundlegender Eigenschaften des Art inschen Fiihrers (vgl. [10], VI, w 2- -3) berechnet man

/ (D) -~ ~ /(D/G~) = I- I / (Rio) - - ~ /(IndHq~ (1)) m~ ~o la

= ( I-'I- ,rlg.(~) \

hierbei bezeiehnet dF die Diskriminante eines K6rpers F in bezug auf Qio bzw. Q. Man erkennt unschwer ] (T) = / ( D ) . Also

Literaturverzeiehnis

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Eingegangen am26.11.1979

Anschrift des Autors:

Hans Opolka Mathematisches Institut l~oxeler StraBe 64 D-4400 Mfinster