B~i~der und M~biusbiinder in konvexen Polytopen

Von U. ]3~.TKE, Ch. SCHULZ, J. 1V~. WILLS

E. SPERNER zum 70. Geburtstag gewidmet

1. Einleitung

FOX gesehlossene orientierbaxe zweidimensionale Mannigfaltigkeiten sind Fragen ihrer Realisierung als Zellkomplex und ihrer Einbettung im Rand konvexer PolyCope yon versehiedenen Autoren ([1], [2], [4],. [7], [8], [13] und [14]) untersueht worden. FOX berandete 2-Mannigfaltig- keiten sind diese Fragen bisher kaum behandelt worden (s. [15]), deshalb befa~sen wir uns in der vorliegenden Arbeit damit.

Dabei verstehen wir muter einem Zellkomplex C eine endliehe NIenge konvexer Polytope in einem enl~lidisehen Raum E d so, dab mit F e C aueh alle Seiten yon F zu C gehSren und dab fox F1, F2 e C gilt: F1 • F2 ist entweder leer oder gemeinsame Seite yon F1 und F 2. Einen Zell- komplex C, dessen Tr~germenge set C homSomorph zu einer Mannig- faltigkeit Mi s t , nennen wit eine ReaJisierung yon M. Ist insbesondere C Subkomplex des Randkomplexes eines konvexen Polytops P, so sagen wir, M sei im Rand von P realisierbar oder einbettbar. Falls keine Ver- weehslungen auftreten kSnnen, unterseheiden wir nieht immer zwisehen M, C und set C. Definitionen und Bezeiehnungen sind im wesentliehen aus GRONBAUM [9].

FOx 0-Seiten sagen wit Ecken, fOx 1-Seiten Kanten, fOx 2-Seiten Seiten. Die Ka~ten auf dem topologisehen Rand der 2-Mannigfaltigkeit nennen wir Randkanten, die azaderen Innenkannten.

Da jede 2-Seite eines d-Polytops (d ~ 2) eine Kreisseheibe ist, ist der Probleml~reis hierfox trivial.

Die n~ehsteinfaehen berandeten 2-NIannigfaltigkeiten sind das (orien- tierbare) Band ( = Kreisring) und das MSbiusband, auf die wir uns nun besehr~nken mud fox die wir folgende Fragen stellen: m m ~ B ~

1. Was sind die unteren Sehranken fox die Eekenzahl e----e(C), Seitenzahl 8----s(C), Randkantenzahl r = r ( C ) und Innenkantenzahl i = i(C) der Realisierung C eines Bandes bzw. MSbiusbandes?

250 U. Betke, Ch. Schulz und J. M. Wills

2. Welehe d-Polytope (d ~ 3) enthalten ein Band bzw. MSbiusband in ihrem Randkomplex?

3. Sind die in 1. genannten ,,minimalen" B~nder bzw. MSbiusb~nder im Rand yon d-Polytopen (d _~ 3) realisierbar ?

Zu 1. sei noch bemerkt, dab die Zahlen e, s, i, r wegen der Eulerschen Relation nieht unabh~ngig voneinander sind. Band und MSbiusband haben die Charakteristik Null, also gilt fiir Band und MSbiusband

(1) e ~ - s : r + i .

Trivialerweise gilt fiir Band und MSbiusband aueh

(2) r ~ e, also s ~_ i.

Die gesamte Kantenzahl r ~ i bezeiehnen wir kurz mit k. Die schon anfangs zitierte Arbeit yon TUCKV.R~'~ [15] enthMt ein im E 8 reali- siertes MSbiusband mit r----4, e----7, s----10, i = 13. Wie in Satz 2 gezeigt wird, gibt es ein MSbiusband, bei dem jede der vier Zahlen noch um eins verkleinert werden ka~n. Aus den minimalen Realisierungen ergibt sich als Anwendung ein 3-Diagramm, das nieht isomorph zu einem Schlegel-Diagramm eines 4-Polytops ist (s. auch [5]).

2. Ergebnisse

Es zeigt sich, dab zu jeder Frage die Antwort entweder ffir das Band oder ffir das M6biusband einfach bzw. trivial ist. Die drei Fragen werden vonst~ndig beantwortet durch die folgenden vier S~tze:

Satz 1.

a) F a r Bdnder ist e ~_ 6, s ~ 3, i ~ 3, r ~ 6 und es gibt ein Band mit e ~ - r ~ 6, i ~ s ~ 3 (alas minimale Band).

b) F a r M(~biusbdnder ist e ~_ 5, s ~_ 4, i ~ 4, r ~ 3 und es gibt kein M6biusband, das aUe unteren Schranken annimmt.

Der Zusatz in b) wird verseh~rft dureh

Satz 2. F a r M6biusbdnder gilt:

a) Is t e -~ 5, so i s t s ~_ 5, i ~ 5, r ~ 5 und es gibt ein MSbiusband mit e = s ~ - i = r - - - - 5 ( T y p A ) .

b) I s t s ~- 4, 8o ist e ~ 6, i ~_ 4, r ~ 6 und es gibt ein M6biusband mit s : i - ~ 4 , e - - - - r ~ - 6 ( T y p B).

B~nder und MSbiusb~nder in konvexen Polytopen 251

e) Ist i ~ 4, so ist e ~ 6, s ~ 4, r ~_ 6 und es gibt ein M6biusband mit i =s~- - 4, e - ~ r : 6 (Typ B).

d) Ist r -~ 3, so ist e ~_ 6, s ~ 8, i __~ 12 und es gibt ein M6biusband mit r ---- 3, e : 6, s = 9, i : 12 (Typ C) und ein M6biusband mit r -~ 3, e = 7 , s = 8 , i----12 (TypD) .

Die vier MSbiusb~nder Typ A bis D sind schon im E 3 realisierbar.

B e m e r k u n g e n . Aus (1) folgt mit i _~ 12, dab fiir r : 3 nieht zu- gleieh e : 6 und s = 8 sein kann.

Aus Satz 2 folgt ffir ]c ---- i -b r = e ~ s: k ~ 10. Welter folgt, dab Typ A, C und D nur je eine der in Satz 1 b) angegebenen unteren Sehrank- ken annehmen, Typ B jedoeh zwei. Der Fall r ~- 3 ist insofern von Inter- esse, als ein einziges Dreieck geniigt, um das MSbiusband zur projek- riven Ebene zu erg~nzen, was im E 8 natiirlich nieht ohne Selbstdureh- dringung geht.

Satz 3.

a) Jede# d-Polytop, d ~ 4 entMilt ein M6biusband.

b) Jedes d-Polytop, d ~_ 3 mit minde#ten8 6 Ecken, aufler den 3-Pyra- miden enthdlt ein Band.

B e m e r k u n g . DaB 3-Polytope kein MSbiusband enthalten, ist trivial. Die in b) ausgesehlossenen Polytope mit weniger als 6 Ecken sind im E 8 das Simplex, Doppelsimplex, Pyramide mit Viereek als Basis sowie im E 4 das Simplex.

Satz 4.

a) Das minimale Band ist im Rand eines 3-Polytops realisierbar.

b) Die minimalen M6biusbdnder yore Typ A und C sind im Rand elnes 4- Polytops realisierbar.

c) MSbiusbdnder der Ldnge 4 (das hei]3t, mit s ---- 4) sind nicht im Rand eines d-Polytops realisierbar. Insbesondere ist das M6biusband yore Typ B und damit das aus Typ B konstruierte M6biusband vom Typ D nicht im Rand eine# d-Polytop# realisierbar.

3. Beispiele

1. ])as minimale Band ist realisierbar als ~Iantelfl~che des 3-Prismas fiber dem Dreieck.

2. Als Beispiele reaUsierbarer MSbiusb~nder w~hlen wir die Typen A bis D.

2 5 2

Typ A:

U. Betke, Ch. Schulz und J. M. Wills

b d a

a c e b

realisierbax im Schlegeldiagra~m des 4-Simplex, (z.B. a, b, c, d als Ecken eines regul~ren Tetraeders und e als dessen Mittelpunkt).

Typ B:

b d I a

a c e

realisierbax z. B. durch a = (0, 2, 0), b = (0, 1, 1), c ---- (0, 0, 0), d----(0,0,1), e = (1, 0, 0 ) , / = ( 2 , o, 1)

TypC:

!

b

realisierbar im Schlegeldiagramm des zyklischen 4-Polytops C (6, 4) mit 6 Ecken, wobei die Ecken yon C (6, 4) in der Reihenfolge b, a, d, c, e , / auf der Momentkurve liegen.

Realisierbar auch Ms Erweiterung yon Typ A, indem ftir I ein belie- biger Pmikt gew~hlt wird, yon dem aus 4 der 5 Randkanten yon Typ A

sichtbar sind. Die 3 Randkanten sind die Strecken ar ~/, ]a.

B~nder und MSbiusb~nder in konvexen Polytopen 253

Typ D: b I c ~ ~ a

realisierbar aus Typ B dureh Hinzunahme yon g = (1, ~, 1). Die 3 Rand- kanten sind ac, cg, ga.

4. Beweise

Beweis zu Satz 1:

a) ftir B/~nder. s > 3 ist trivial, also auch i > 3. Da der Rand des Bandes aus zwei Kreisen besteht, fiir die jeweils mindestens drei Rand- kanten benStigt werden, folgt r > 6, also auch e > 6. Das in Abschnitt 3 erk]~rte minimale Band nimmt alle unteren Schranken an.

b) fiir MSbiusb~nder. r ~ 3 ist trivial. Wir zeigen indirekt 8 ~ 4. Sei 8 ~ 3. Dann schneiden sich die drei zugehSrigen Tr~gerebenen paar- weise in drei Geraden g~. Diese g~ spannen entweder einen Doppelkegel oder einen Zylinder auf. Einerseits sind deren Mantelfl~chen orientiert, andererseits miissen sie das MSbiusband enthalten. Widerspruch, also s ~ 4 und damit i ~ 4 .

Wir zeigen e _~ 5 indirekt: Sei e ~ 4. Die vier Ecken k6nnen nicht in einer Ebene liegen. Da jede Seite mindestens drei Ecken hat, und s _~ 4 ist, spannen je drei Ecken eine Seite auf. Man erh~lt also ein Tetraeder und kein MSbiusband. Damit ist e ~ 5.

Wie aus den in Abschnitt 3 angegebenen Beispielen folgt, werden alle unteren Schranken angenommen. Wegen (1) kSnnen nicht aUe unteren Schranken zugleich angenommen werden.

Beweis zu Satz 2:

Wir zeigen bier nur die Ungleichungen. Die Beispiele minimaler MSbiusb~nder finden sich im dritten Abschnitt.

a) Sei C eine Realisierung des MSbiusbandes mit e ----5. Dann sind alle Seiten yon C Dreiecke, da eine berandete 2-Mannigfaltigkeit mit

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5 Ecken, die eine 4- oder 5-eckige Seite enth~lt, nur eine Kreisscheibe sein kann. Da eine Innenkante in genau zwei Seiten liegt, eine Rand- kante in genau einer, folgt hieraus:

(,) 3 s ---- 2 i ~ r ~ 2 k - - r .

Wir nehmen nun an, dab s = 4 ist. Nach der Euler-Formel folgt k ~- 9, womit sich aus (.) r ---- 6 ergibt - - im Widerspruch zu r ~ e. Also gilt s ~ 5, und damit i ~ 5. Aus (.) und der Euler-Formel folgt weiterhin r ---- 1 5 - ]~. Da k durch die Anzahl (~) ---- 10 der Kanten des vollst~n- digen Graphen mit 5 Ecken nach oben beschrt~nkt ist, erhalten wir hieraus r ~ 5.

b) Sei nun C ein MSbiusband mit s ~ 4. Aus dem unter a) Bewiesenen folgt e ~ 6. Wegen s ~ i gilt i ~ 4. Es bleibt r ~ 6 zu beweisen. I-Iierzu zeigen wir r ---- e. Angenommen r ~ e, d. h. es gibt eine Ecke x, die im Inneren yon C liegt, x liegt damit in mindestens drei Seiten F1, F~ und 11s yon C. Da die Seiten, die x enthalten, eine Kreisscheibe bilden, liegt x in genau diesen drei Seiten. Die Menge K' der Strahlen, die yon x ausgehen und einen Punkt aus conv{Fl,112,113}\{x} enthalten, ist ein konvexer Kegel. Der yon K' aufgespannte Unterraum ,4 ~ a I l K ' ist 3-dimensional. Sei nun 114 die vierte Seite yon G. Da 114 mit zwei der tibrigen Seiten jeweils eine Kante gemeinsam haben muB, ist H -~ alt114 eine Ebene in A. H teflt A in zwei abgesehlossene Halbrt~ume, und es sei H + derjenige davon, der x entht~lt. Dann ist K ---- K' c~ H + e i n 3-

d i m e n s i o n a l e s konvexes nicht notwendig besehr~nktes Polyeder, in dessen orientiertem Rand kein MSbiusband liegen kann. Eine Ecke x im In- neren yon C gibt es also nicht, es gilt r = e und damit r ~ 6.

c) Fiir ein MSbiusband mit i ~ 4 gilt wegen Satz 1 und Satz 2a) e ~ 6 und s ~ 4. Mit der Euler-l~ormel folgt hieraus r ~ 6.

d) Sei C eine Realisierung des MSbiusbandes mit r----3. Die drei Ecken auf dem Rand von C bezeichnen wir mit x, y und z. Sei weiter 11 eine Seite yon C, deren Durchschnitt mit dem Rand yon Cn ich t leer ist. Da 11 konvex ist, besteht 2' (~ bd set C entweder aus einer der drei Ecken x, y, z oder aus einer der drei Kanten [x, y], [y, z], [x, z]. Der Durchschnitt yon s t (x , C) mit dem Rand yon C besteht demnach aus den beiden Kanten [x, y] und [x, z] und den Eeken x, y, z. s t (x , C) ist also eine Kreisscheibe, deren Durchsehnitt mit dem Rand des MSbius- bandes C ein Weg ist. Hieraus folgt, da~ der Komplex

C' = ast(x, C)

ebenfalls eine Realisierung des l~ISbiusbandes ist.

B~nder und MSbiusb~nder in konvexen Poly$open 255

Es gilt e(C') : e (C) - - 1, k(C') : ]c(C) - - v und s(C') = s ( C ) - - v + 1, wobei v die Valenz der Eeke x (bezfiglieh C) bezeiehnet. Mit Satz 1 folgt hieraus e(C) _~ 6. Wit zeigen nun die Ungleiehung s(C) __~ 8. Sei also s(C) ~ 8. Wegen Satz 1 und der obigen Gleiehung fiir s(C') daft dann die Valenz yon keiner der drei Ecken x, y, z im Rand yon C grSBer als 4 sein. Wegen der Konvexit~t der Seiten yon C betr~gt die Valenz yon x, y, z jeweils mindestens 3. Eine dieser drei Eeken, etwa x, habe die VMenz 3.

/

\

Wenn F~ und F~ die beiden Seiten yon C sind, die x en~hal~en, dann bflden wir den Komplex

C" ---- (C \ {F~, F2, [x, y], [x, z], [x, 5], x})U {F~, F; , [y, 5], [z, 5]}

mit F~ ---- cony (vert F i \ {x}), i ---- 1, 2.

Ansehaulieh gesproehen sehneiden wir die beiden Dreieeke cony (x, y, 5) und cony (x, z, ~) yon C a b . C" ist wiederum eine Realisierung des MSbiusbandes mit

e(C")- - - -e(C)- - l , r ( C " ) : r ( C ) = 3 , s ( C " ) ~ s ( C ) , k ( C " ) ~ k ( C ) - - l .

Wit kSnnen also o. E. annehmen, dal3 keine der Ecken im Rand yon C 3-valent ist, d. h. x, y, z sind jeweils 4-valent, und wegen der Existenz des Subkomplexes C' yon C und Satz 1 bleibt der Fall s ( C ) ~ 7 zu betraehten.

Seien F 1 , . . . , F e die Seiten yon C, deren Durchsehnitt mit dem Rand nieht leer ist. F 1 , . . . , F 6 sind wegen der Konvexit~t der Seiten yon C paaxweise verschieden.

Es ist ast(x, C) ein MSbiusband mit s ---- 4. Ist F1 n F 4 ---- O, so hat F4 nur die Kante [y, z] mit dem Rand yon ast(x, c) gemeinsam, d. h.

256 u. Betke, Ch. Schulz und J. M. Wills

ast(x, c) \ (F~} ist ein MSbiusband mit s : 3, was nieht mSglieh ist. Also ist F1 n F4 ~ r und analog F~ C~ F5 ~= ~, Fa c~ F 6 ~= ~.

Wenn F1 und F 3 eine Kante gemeins~m haben, so bflden F1, F~, F , einen Tefl eines 3-dimensionalen Kegel- oder Zylindermantels, liegen

�9 '~y F~ z/F5

also in einem gemeinsa~nen 3-dimensionalen Unterraum U. Wegen F~ n $'5 ~= r gilt fiir die Kegelspitze 8 : s ~ F1 c~ F 2 n F3, da sonst keine Mannigfaltigkeit vorliegt. Also bfldet F 1 W F~ w F8 ein Band.

Diejenige Randkomponente des Bandes, die x und y nieht enth~lt, hat mludestens drei Kanten, und wegen $'1 n F~c~$'s = x und F~ n 2' 3 n 2' 4 : y liegen miudestens zwei Kanten davon in F 5 oder F T . GehSren mindestens zwei der Kanten zu Fs, so liegt F8 ebenfalls in U, und damit auch F4, Fe und $'~. Die von x, y, z aufgespannte 2-Ebene refit U in zwei Halbr~ume H+ und H_. Mit elementaven ~-berlegungen erkennt man, dab 2 ' 1 , . . . , F~ aUe in einem dieser zwei Halbr~ume, z.B. in H+, liegen. Dies fiihrt zu einem Widersprueh, da dann F 1 , . . . , F T dureh Hinzunahme des yon x, y, z aufgespannten Dreieeks ohne Selbst- durehdringung zur projektiven Ebene im R 8 gesehlossen werden kSnnen.

Es mSgen also mindestens zwei Kanten des obigen Kegel- oder Zy- lindemantels zu F7 gehSren. Dann liegt F~ in demselben U wie ~1, F2, F3. Hat _~ keine Kante mit F~, i = 4, 5, 6 gemeinsam, so folgt F~ n Fs : O im Widersprueh zu F~ (~ F5 ~= 0. Also hat F~ wenigstens eine gemeinsame Kante mit F4 oder $'5 oder $'6. Weiter haben mindestens zwei der Seiten F1, F2, Fa eine Kante mit F 4 oder _F 6 oder Fe gemeinsam, die nieht in der Abbfldung angegeben ist. 0. E. kSnnen wir annehmen, daB Fs eine Kante mit $'5 oder Fe gemeinsam hat. Hat $'3 eine Kante mit 2' 3 ge- meinsam, so folgt leieht, daB alle $'~ in U liegen. Dasselbe gilt, falls $'~

B/~nder und MSbiusb~nder in konvexen Polytopen 257

mit F4 oder Fe eine Kante gemeinsam hat. Es bleibt der Fall, dal3 F3 und F 5 und zugleich F~ und F5 eine Kante gemeinsam haben. Dann liegt aber F 5 in U, und es folgt wieder, dab alle F~ in U liegen. Daraus folgt wie vorher fiber die durehdringungsfreie projektive Ebene ein Wider-

spruch.

Wir kSnnen ]etzt annehmen, dal3 weder Fz und F3, noch F3 und F~, noch F~ und F1 eine gemeinsame Kante haben.

Ist jetzt n die Eckenzahl yon F~, so folgt f'tir die Eckenzahl yon C: e > n A- 3. Mit s = 7 folgt aus e + s = k direkt k > n -b 10. Das heiBt, die Seiten F 1 , . . . , Fe mfissen auBer den 9 in der Abbfldung angegebenen Kanten mindestens noeh eine weitere gemeinsame Kante haben, o .E . zwisehen F z und F4. Daraus folgt, dab F z und F 4 in einem gemeinsamen R a liegen und sttkzessive mit elementaren ~)berlegungen, alas Fz . . . . , F~ in diesem R 3 liegen. Dies ffihrt wie vorher zum Widersprueh. Damit ist s(C) > 8 vollst~ndig bewiesen.

Wir miissen nun noeh i(C) > 12 beweisen. Wegen der beiden bereits bewiesenen Ungleiehungen und tier Euler-Formel bleibt zu zeigen, da$ es kein MSbiusband C mit r (C) = 3, e (C) = 6, 8 (C) = 8 und k (C) = 14 gibt. Wir nehmen also an, dal~ ein soleher Komplex C existiert. Wit kSnnen wiederum voraussetzen, da$ alle drei Eeken x, y, z im Rand yon C 4-valent sind. Wie anfangs gezeigt, enthalt C einen Subkomplex C' mit e(C') = 5, s(C') = 5 und k(C') = 10, der ebenfalls eine l~eali- sierung des MSbiusbandes ist.

Wir zeigen nun, daft C' isomorph zum MSbiusband vom Typ A ist. Wegen e(C') = 5 sind die Seiten yon C' samtlieh Dreieeke (vgl. Beweis- teil a)). Aus der im Teil a) bewiesenen Ungleiehung r(C') ~ 5 folgt, dab

alle 5 Eeken auf dem Rand yon C' Uegen. Schneider man C' l~ngs einer Innenkante [a, b] auf, so erhalt man eine

Darstellung yon C' als ein dureh Sehnen in Dreieeke untertefites 7-Eek, bei dem zwei Kanten identifiziert werden:

C

',, l/ ", b

d 17 Hbg. Math. Abh., Bd, XLIV

258 U. Betke, Ch. Schulz und J. M. Wills

Aus e(C') = 5, k(C') = 10 und der Tatsache, dab keine Doppelkanten auftreten, ergibt sich, dab das 1-Skelett yon C' vollst~ndig ist. Die Seh- nen, die das 7-Eck in Dreiecke unterteilen, sind damit eindeutig be- stimmt. C' ist also das MSbiusband yore Typ A. Alle Ecken im Rand yon C' haben deshalb die Valenz 4 (beziiglich C'). Im Rand yon C gibt es darum mindestens zwei Ecken der Valenz 5 (beziiglieh C) im Wider- spruch dazu, daB alle drei Ecken im Rand yon C 4-valent sind.

Damit ist aueh die Ungleichung i ( C ) ~ 12 gezeigt und der Beweis yon Satz 2 abgesehlossen.

B e w e i s zu S a t z 3.

a) Wie sehon in Absehnitt 3 gezeigt, enth~lt das 4-Simplex ein MSbius- band, n~mlieh T y p A . Bekanntlieh (s. [9], Satz 11.1.2) enth~lt jedes 2-Skelett eines 4-Polytops eine Verfeinerung des 2-Skeletts des 4-Sim- plex. Also enthi~lt jedes 4-Polytop ein MSbiusband im Rand. Dasselbe folgt sofort fiir beliebige d-Polytope, d _~ 4.

b) Wir unterteflen den Beweis in die F~ille d ---- 3, d = 4 und d ~ 5. Im Fall d = 3 gentigt es zu zeigen, dab jedes 3-PolyCop P mit min- destens 6 Eeken (auBer den Pyramiden) zwei disjunkte Seiten enth~lt. (3-Pyramiden enthalten keine 2 disjunkten Seiten und damit kein Band.)

Wir bemerken noeh, dab die einzigen 3-Polytope mit weniger als 6 Ecken das Simplex, die Pyramide mit dem Viereek als Basis sowie das Doppelsimplex sind. Wir unterseheiden jetzt zwei F~lle:

1. P enthalte mindestens eine Seite S mit mirtdestens 4 Ecken. Die Kanten yon S seien in einem Umlaufsinn mit a, b, c, dl, �9 �9 d. , n ~ 1 bezeiehnet. Die zugeh5rigen an S angrenzenden Seiten seien A, B, C, D 1 , . . . , D. . Ist A r C ---- O, sind wir fertig. Andernfalls sei p e A n C. Da a und c nieht benaehbarte Kanten sind, ist 1~ ~ S; und p e B impli- ziert, dab B Dreieek ist. Wir bflden jetzt B (~ D~, i ---- 1 , . . . , n. Gibt es ein i mit B n D~ ----- O, sind wir fertig. Andernfalls ist B r D~ : A n C = p ffir jedes i und damit P eine Pyramide.

2. P enthalt nur Dreieeke. Sind alle Eeken 3-valent, so haben wir ein Simplex. Sei also e eine Ecke, in der mindestens vier Dreieeke A, B, C, D 1 , . . . , D. , n _~ 1 angrenzen. Die zu e disjunkten Kanten von A, B , . . . , seien a, b , . . . , und die an diesen Kanten angrenzenden Dreiecke seien A, B , . . . Die A, B , . . . haben hSchstens Kanten mit den A, B , . . . gemeinsam. Insbesondere hat A auBer mit A hSchstens noch mit B oder D , eine Kante gemeinsam, und mit h6ehstens zwei der Seiten C, D 1 , . . . , D,_~ einen Punkt. Ist also n _~ 3, sind wir fertig. Ist n = 2 und A ( ~ C ~ r A n D ~ , so ist notwendig. A n C n D ~ : p ein

B~nder und MSbiusb~nder in konvexen Polytopen 259

Punkt. Weiter ist ,4 ~ B u n d / ] n D2 : r Ist n : 1 und .4 n C ~ ~, so ist o. E. A n B ---- b. Ist A n C 4 0, so folgt notwendig C n D~ ~- dl, und das Polytop ist das Doppelsimplex. Also muB A n C----0 oder A n C ---- r sein.

Damit kommen wir zu den 4-Polytopen. Das ein~ige 4-Polytop mit weniger als 6 Ecken ist das 4-Simplex. Naeh den Betraehtungen tiber 3-Polytope genfigt es, sieh auf 4-PolyCope zu besehr~nken, deren 3-Seiten Pyramiden oder das Doppelsimplex sind. Wir unterseheiden 3 F/~lle:

1. ])as Polytop enth/~lt eine 2-Seite B m i t n ~ 4 Kanten a, b, o, dl, �9 �9 d~-3. Die Seite B ist Sehnitt zweier 3-Seiten K1, K2. Also gibt es 2-Seiten B 1 C K1 und B2 C Ks mit a ---- B (~ B1 u n d o = B (~ B2. Weiter ist B l r ~ B z - - - - B l r ~ B ~ n K l n K s = B l n B 2 n B - - - - a n o = r ist relbd (K1 u K~) \ (B1 o B2) ein Band.

2. Eine 3-Seite sei das Doppelsimplex D mit Eeken a, b, c, d, e. Dabei seien a, b, o die Basiseeken. An D grenze eine 3-Seite K. K f~ D ist ein Dreieek, unter dessen Eeken genau eine der Eeken d oder e ist. 0. E. habe es die Ecken a, b, d. K hat mindestens eine Seite S1 mit a ~ S 1. Ist S~ das Dreieck mit Eeken a ,c ,e , so ist S i n S 2 = 0 und relbd (D ~J K) \ ($1 u $2) ist das Band.

3. AIle 3-Seiten sind Simplizes. Man w/~hlt zwei benaehbarte 3-Sim- plizes A, B mit den Ecken a, b, c, d und b, c, d, e. Gibt es unter den 3- Simplizes, die mit A oder B eine 2-Seite gemeinsam haben, keines, das eine weitere Ecke / enth/~lt, so miissen A und B 3-Seiten des 4-Simplex sein. Also gibt es ein 3-Simplex C mit Eeken o, d, e,/ ,

Ist D~ das Dreieek mit den Eeken a, b, c; D2 das Dreieek mit den Eeken d, e,/ , so ist D 1 f~ Dg. --~ ~i und relbd (A u B u C) \ (D1 u D2) das Band.

Zum SehluB der Fall d ~ 5. Naeh dem schon erw/~hnten Satz 11.1.2 aus [9] fiber Verfeinerung yon Komplexen genfigt es zu zeigen, dab das 5-Simplex ein Band enth~lt. Die Ecken des 5-Simplex seien a, b, c, d, e,/ . Elementare kombinatorisehe ~berlegungen zeigen, dab die 6 Dreieeke abe, bef, b/c, c/d, acd, ade ein Band bilden.

B e w e i s zu S a t z 4.

a) und b) sind sehon in Absehnitt 3 bei der Angabe der entspreehenden Beispiele bewiesen worden.

c) Wir machen die Widerspruehsannahme, dab die 4 Seiten S1, . . . ,$4 eines Polytops P ein YI5biusband bflden. 0. E. sei

S~ (~ Si+ 1 ~ K~ mod 4

mit gewissen Kanten K~.

17'

260 U. Betke, Ch. Schulz und J. M. Wills

Man sieht sofort, dai~ alle S~ in einer 4-Ebene liegen mtissen, so dai] wir uns auf 4-Polytope im E 4 beschr~nken kSnnen. Da sich kein MSbius- band in ein konvexes 3-Polytop einbetten l~Bt, kSnnen nicht alle S, in einer Hyperebene liegen. Weiter kSnnen auch nicht drei Seiten, etwa $1, $2, S a in einer Hyperebene liegen; denn dann w~re a/ / (S 1 w $2 w $8) n a//S4 eine Gerade, also $1 (~ $4 : Sa (~ S~ und die S~ bilden keine Mannigfaltigkeit.

Sei jetzt

])ann ist

H, = a]](S~ u S~+~) mod 4.

H~ n Hi+ 1 n Hi+2 = a//Kt+l mod 4.

Denn es gilt H~ ~ H~. fiir i ~ ], da 3 Seiten hie in einer Hyperebene liegen. Damit ist H~ n H~+ 1 ----aHSt+~. Aus dem gleichen Grund gilt a//S,+l r H~+2 und damit wegen a//Ki+l C Ht+~ und a//Ki+l C a//S,+l af f S~+l ~ Hi+s : a/f Ki+x.

Fiir den Durchsclmitt der a//K~ ergeben sich daraus folgende MSglich- keiten:

4 4 1. ~fl=i a//K~ ---- ~N H~ ---- p, die 4 Geraden schneiden sich in einem

Punkt p.

2. Alle a / /K , sind disjunkt und parallel.

3. AUe a / /K , fallen zusammen.

Im letzten Fall sieht man sofort, dab die S, keine Mannigfaltigkeit bilden.

Im ersten gilt p r P, da sonst p e S~, i = 1 , . . . , 4 und damit u S~ eine Kreisscheibe w~re. Man kann daher durch eine zul~ssige projektive Transformation, die P wieder in ein konvexes Polytop und das MSbius- band wieder in ein MSbiusband iiberFtibxt, diesen Fall in Fall 2 tiber- ftihren.

Im Fall 2 sieht man jedoch sofort, dab wS~ einen Kreisring bfldet.

5. Ein nichtrealisierbares Diagramm

Als Anwendung yon Satz 4 wollen wir das MSbiusband vom Typ B in ein 3-Diagramm (vgl. [9]) einbetten und so ein Beispiel ffir ein I)ia- gramm konstruieren, das nicht zum Schlegel-Diagramm eines Polytops isomorph ist (vgl. [5], [11], [12]. Hierzu w~hlen wir eine Realisierung

B/~nder und MSbiusb~nder in konvexen Polytopen 261

dieses MSbiusbandes im E a mit der Eigensehaft, dab a , . . . , e die Ecken- menge des folgenden 3-Polytops Q bilden:

C a

d f b

Die Seiten cony {a, b, c, d}, cony (c, d, e, 1} und conv (a, e, 1} liegen auf dem Rand yon Q, wahrend die vierte Seite cony {a, b, e} dutch sein Inneres verl/~uft. Wir w/~hlen einen Punk~ g im Inneren yon Q \ cony {a, b, e, 1}, yon dem aus man die 2-Polytope cony {a, b, c, d}, cony {c, d, e,l}, cony {a, c, e}, eonv (b, d, 1}, cony {b, e, 1} und cony {a, b, e} sehen kann. Die Pyramiden Q I , . . . , Qe mit Spitze g fiber diesen seehs Polytopen bilden zusammen mit dem Tetraeder Q~ = cony (a, b, e, 1} eine Auf- teilung yon Q in 3-Polytope.

Wir wahlen nun noeh einen Punkt h augerhalb yon Q, yon dem aus man alle 2-Seiten yon Q bis auf cony {a, c, e} sehen kann. Die Pyramiden mit Spitze h fiber diesen ffinf 2-Seiten bezeiehnen wir mit Qs, �9 �9 QI~. J Q 1 , . . . , Q12 bflden zusammen mit ihren Eeken, Kanten und 2-Seiten einen Komplex C. Zusammen mit D = cony {a, c, e, h} ist C ein 3-Dia- gramm M. Da C das MSbiusband yore Typ B als Subkomplex enthalt, ist M wegen Satz 4 nieht zum Schlegel-Diagramm eines 4-Polytops iso- morph.

M i s t ahnlieh dem Beispiel yon B~m~ETTE (vgl. [5]). Naeh einem tIin- weis yon P. KLEI~SCm~DT l~l~t sich ~ der Beweis ffir die Niehtrealisier- barkeit yon M aueh naeh der in [5] verwandten Methode ftihren.

6. AbsehlieBende Bemerkungen

Das MSbiusband vom Typ A enthMt das 0-Skelett und das 1-Skelett des 4-Simplex. AuBerdem zerf~llt das 2-Skelett des 4-Simplex genau in zwei MSbiusb/~nder yore Typ A.

262 U. Betke, Ch. Sehulz und J. M. Wills, B~nder und MSbiusb~nder usw.

Es stellen sich also die folgenden weitefft ihrenden Fragen: Welche Polytope enthal ten ein MSbiusband, das ihr 0-Skelett bzw. ihr 1-Skelett enth~lt ? Welche Polytope haben ein 2-Skelett, das sich in MSbiusb~nder zerlegen l~i~t ?

Da durch Satz 1 und 4 die Frage nach der unteren Schranke ffir die L~nge yon B~ndern und MSbiusb~ndern gekliirt ist, stellt sich auBerdem die Frage, ob es nattirliche Zahlen cl, cs so gibt, dab in jedem 4-Polytop (bzw. d-Polytop, d _~ 4) auBer dem 4-Simplex ein Band der L~nge 11 ~ cl und ein NI6biusband der L~nge l~ ~ c2 liegt.

Literatur

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[5] D. BAm~-r~.• Diagrams and Schlegel Diagrams, Combinatorial Structures and their Applications, Gordon and Breach, New York, pp. 1--4 [p. 1137, p. 1156, p. 1182].

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[12] P. MA_~, Spheres with few vertices J. Comb. Theory (A) 18 (1972) 346--352. [13] J. REAY, Can neighbourly polyhedra be realized geometrically? To appear. [14] CH. SCmYLZ, Mannigfaltigkeiten mit Zellzerlegung im Randkomplex eines

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Eingegangen am 13. 5. 1975