Vol. XXIII, 1972 337

Baer-Unterebenen 4-dimensionaler Ebenen

I~I~-HOLD BAI:R in Dankbarkeit und Verehrung zum 70. Geburtstag

Von

HELMUT SALZMAI~

Unter einer Baer-Unterebene einer projektiven Ebene ~ versteht man eine maximale Unterebene ~ yon ~ mit der Eigenschaft, da$ jeder Punkt yon ~ auf einer Geraden yon ~ liegt und dual jede Gerade von ~ durch einen Punkt yon geht. Die Bedeutung dieser Unterstrukturen wurde yon Baer vor 25 Jahren erstmals deutlich gemacht [1]. Jede Involution yon ~ l~13t entweder eine ganze Gerade oder eine Baer-Unterebene punktweise lest. Endliche projektive Ebenen, in denen jedes Viereck yon genau einer solchen Baer-Involution festgelassen wird, sind desarguessch [7]. Hier soll ein/~hnliches Ergebnis fiir lokal kompakte 4-dimensionale topologische projektive Ebenen hergeleitet werden, das sind Ebenen, die zur projektiven Ebene fiber dem K6rper C der komplexen Zahlen hom6omorph sind, und in denen Ver- binden und Schneiden stetige Operationen sind; N/~heres in [14--16], siehe auch [3; 5; 20; 18]. Es ist eine offene Frage, ob in einer nicht-desarguesschen 4-dimensiona- len Ebene ~ wie in ~ jedes Viereck in einer Baer-Unterebene liegt, oder ob ~ fiber- haupt Baer-Unterebenen enthalten mu$. Jedoch ist jede abgeschlossene echte Unterebene yon ~ eine Baer-Unterebene. Nun gilt folgender

Satz. Wird jedes Dreieck einer lokal kompakten 4-dimensionalen a//inen Ebene (also in der zugeh6rigen ,pro]ektiven Ebene ~ ]edes Viereck mit zwei uneigentlichen Ecken) yon einer stetigen 7Baer-Involution /est gelassen, so ist die Ebene desarguessch.

Dem Beweis werden einige allgemeinere Betrachtungen fiber Baer-Unterebenen und Kollineationsgruppen 4-dimensionaler Ebenen vorausgeschickt. Dabei bedeute

----(P, ~) stets eine lokal kompakte 4-dimensionale projektive Ebene mit der Punktmenge P und der Geradenmenge ~; ~ w sei die durch Auszeichnung der Ge- raden W entstehende affine Ebene. Ist A eine Gruppe yon Kollineationen yon und L eine Gerade, so bezeichne AlL] ---- {~ e zJ ; / \zez ~ ---- x} die Untergruppe der Kollineationen mit der Achse L.

1. Jede abgeschlossene echte Unterebene von ~ ist eine Baer-Unterebene.

Beweis . In [14, 3.1] wurde gezeigt, daI3 eine echte abgeschlossene Unterebene ~ (B, ~) hom6omorph zur reellen projektiven Ebene und maximal in ~ ist; die

Punktmenge /~ ist also ebenso wie die Geradenmenge ~ eine nicht orientierbare Archiv der Mathemauk XXIII 22

338 H . S A L Z M A N N A I ~ C H . M A T H .

Fl~ehe vom Gesehleeht 1. I s t nun z ~ P \ B ein nicht zu ~ gehSrender Ptmkt, so ist

= ( z ~ x w z): B - > ~ z

eine stetige Abbildung yon B in das zur 2-Sphs homSomorphe Bfischel der dureh z gehenden Geraden yon ~ . Da B nieht homSomorph in eine 2-Sphere eingebettet werden kann, ist ~ nicht injektiv. Es gibt also zwei versehiedene Punkte x, y e B mit x w'z ~- y w z, und z liegt auf der zu ~ gehSrenden Verbindungsgeraden x w y. Aus Dualit~tsgriinden schneidet auch jede Gerade L e o die Punktmenge B. Man sieht fibrigens leicht ein, dab L n B ffir L ~ ~ stetig yon L abh~Lngt.

2. Eine Kollineation fl . 1, die eine abgesehlossene Unterebene ~ elementweise /est ld[3t, ist eine stetige Baer-Involution, sie ist durch ~ eindeutig bestimmt [14, 3.2].

B e m e r k u n g . Konjugiert man den stetigen Automorphismus L = (c ~-~ ~) yon C mit irgendeinem Automorphismus ~ ~: L, 1, so erh~lt man eine unstetige Involution yon C, und e ~ induziert in ~ eine unstetige Baer-Involution [10], siehe aueh [2]. Daher gibt es in <d auch nicht abgesehlossene Baer-Unterebenen.

3. I m Gegensatz zu einer Spiegelung kehrt eine stetige Baer-Involzttion au/ einer und da~nit au] ]eder Fixgeraden die Orientierung um [14, 3.3].

4. Zwei stetige Baer-Involutionen ~., fl 8ind vertauschbar, wenn etwa ~ die Fixunter- ebene ~ yon fl invariant liiflt; q.fl ist dann eine Spiegelung.

Naeh [13, 2.4] indnziert c< n~imlich eine Spiegelung in ~ . Daher haben ,< and/~ eine gemeinsame Fixgerade L, und ~fl erhs die Orientierung yon L.

5. Ist L eine Fixgerade der stetigen Baer-Involution fl, so bilden die Fixpunlcte yon fl au] JL eine Jordankurve.

Da /5 durch einen Automorphismus eines geeigneten zu ~ gehSrigen Tern~r- k6rpers induziert wird, ergibt sich der Beweis aus [14].

In [16, w167 2, 3] wurde bewiesen, dal3 die volle Koll ineat ions~uppe ff~ in der kom- pakt-offenen Topologie eine nicht notwendig separable Lie-Gruppe einer Dimension =< 16 ist; in der Ta t hat die Zusammenhangskomponente y o n / ' ~ einen Index ~ 2 ~ . Die Frage, ob die offene Untergruppe 27-----Aut(~) der stetigen Kollineationen separabel ist, blieb dort often. Hier ~4rd nun ein Beweis ftir eine positive Antwort skizziert:

6. Die Automorphismengruppe _,F yon ~ ist eine Lie-Gruppe mit abziihlbarer Basis.

Nazh [16, 2.1] 1s sieh die Topologie yon X dureh die Supremumsmetr ik d be- schreiben. Es gentigt also, die Separabilit~t der vollen HomSomorphismengruppe r yon ~ beziiglich d zu zeigen. Seien ~ e ~b und 5 ---- /c-1 ]ce N gegeben. Dalm existiert e = n - l , n e N , so daI3 aus d ( x , y ) < e stets d(xcp, yq~ ) < ~ folgt. Zu ~ werden Punkte c l , . . . , cm ~ ~ gew~hlt, deren s-Umgebungen den Raum ~ fiberdecken. Ferner sei A eine abz~hlbare iiberall dichte Teilmenge yon ~ . Da ~ eine Mannig-

T - Cr faltigkeit ist, l~$t sieh F durch eine 5-u erschmbun= in einen I-Iom6omorphismus fiberftihren mit c~u ~- ai e A fiir i < m. Aus d(x, y) < ~ folgt darm d(xu, YU) < 3 6 .

Vol. XXIII, 1 9 7 2 Baer-Unterebenen 4-dimensionaler Ebenen -339

Zu jedem ~, e, al . . . . , am(~) werde nun yon den Funk~ionen, die auf die eben be- sehriebene Art erhalten werden k6nnen, eine ausgew~ihlt. Die abz/~hlbare Menge dieser Funktionen ist dieht in q~; derm mit c~ V = at (i < m) best/~tigt man leieht, dab stets d(xq~, x~o) < 5 ~ grit.

Als Folgerung erh/~lt man unmittelbar

7. Jede iiberabziihlbare Menge von Kollineationen in • erzeugt eine Lie-Gruppe positiver Dimension.

B e w e i s des S a t z e s . (a) Die stetige Baer-Involution fl der affinen Ebene ~ w l~13t zugleich mit der uneigentlichen Geraden W und dem eigentlichen FLxdreieck (a, b, c) auch die Elemente

u - ~ a b c ~ W , v . ~ a c n W , e : b v ~ e u , Z = a e trod w ~ Z n W

lest. Da fl keine Spiegelung ist, gibt es einen Punkt i e L mit is ~: i. Naeh Voraus- setzung existiert dann eine eindeutig bestimmte stetige Baer-Involution :r mi t den Fixpunkten u, v, i und is. Wegen 4 ist :eft eine Spiegelung, die L und u, v ~ L lest 1/~13t, die also die Achse W und ein Zentrum auf L hat.

(b) Naeh einer Bemerkung yon R. Baer [12, p. 213] ist das Produkt zweier Spiege- lungen mit verschiedenen Zentren und derselben Achse stets eine Translation mit dieser Achse. Da die Gerade L in (a) beliebig gewi~hlt werden kann, ist die Gruppe T der Translationen mit der Aehse W fiberabz~hlbar, und wegen 7 grit dim T ~ 0.

(c) Mit den Bezeiehungen yon (a) gibt es aueh einen Punkt ] e W mit ~z :~ ] und eine stetige Baer-Involution ~ mit dem Fixviereek (a, e, ~, ]~). Wie oben ist darm fly eine Spiegehmg, und fl~ l~13t die Elemente a, e und W lest, hat also die Aehse L u n d ein Zentrum z e W.

(d) Angenommen, jede der gem~13 (e) gebildeten Spiegelungen Init der Achse L h~tte das Zentrum v. Da eine Spiegelung yon ~ nach [16, 4.8] dttrch Zentrum und Aehse eindeutig best immt ist, w~re dann Y die einzige yon fl versehiedene stetige Baer-Involution yon ~ w mit den Fixpunkten a und e, die mit fl vertauschbar ist. I s t also x~ ~: x e W und ~ die stetige Baer-Involution mit den Fixpunkten a, e, x und xZ, so w~re ~ ~- ~ und xV ~ x; es bliebe also im ~ iderspruch zu 5 jeder Punkt yon W unter fl oder unter ~ lest.

(e) Da v in (d) ein beliebiger Punkt yon W ist, gibt es also zu jeder Geraden L und jedem Punkt v ~ W \ L eine Spiegelung mit der Achse L un4 einem Zentrum z ~: v. Daher existieren zu mindestens zwei verschiedenen Zentren auf W Spiegelungen mit der Achse L, und nach der in (b) gemachten Bemerkung ~ b t es auch eine Trans- lation T :~ 1 mit der Aehse L und dem Zentrum w ---- Z c~ W (Scherung).

(f) Bezeichnet O die kleinste abgesehlossene Untergruppe yon Z~ , die alle stetigen Baer-Involutionen yon ~ w enthi~lt, so ~ b t es demnach in O zu jeder Achse L yon ~ w eine nieht-identische Schertmg. Ffir jede solche Scherung ~ mit dem Zentrum w und ffir jedes x e W konvergieren nach dem ebenen Translationssatz [6; 19] die x ~ gegen w. t t ieraus 1/~13t sich nun folgern, da l30 transit iv auf W operiert.

(g) Die yon O auf IV induzierte Gruppe O/O[w] ist wegen (f) und 6 eine fiberabz~hl- bare separable Lie-Gruppe; ihre Zusammenhangskomponente if2 hat daher positive Dimension. Nach [8] hat ,(2 auf W eine abgesehlossene Balm B. Da wegen [9, Th. IV 3]

22*

340 H. SALZMANN ARCH. MATH.

jede 2-dimensionale Bahn often ist, genfigt es zu zeigen, dab d i m B > 1 sein mul~. Nun l/~$t jede Scherung in 6~ die Gruppe f) invar iant and permut ier t daher die Bahnen yon f2. G/~be es eine nulldimensionale Bahn yon f2, so w/ire sie einpunktig, und nach (f) mfiSten sich die F ixpunkte yon f2 tiberall in W h~ufen, was unm6glich ist.

(h) Sei nun d i m B ---- 1. Dann ist B eine Jo rdankurve [8]. I s t C eine der beiden zusammenhSngenden Komponen ten yon W\ B and w eine nichtidentische Scherung aus 6) mi t Zent rum w e C, so gilt B r c C; wegen B '" --> w ist n//mlich B ~ -*- B , and ~Z

verschiedene ~ - B a h n e n sind disjunkt. Ebenso folgt aber B~-~c C. Dieser Wider- spruch beweist die Transitivit/~t yon .Q auf W.

(i) Da also die Gruppe 6) transit iv auf W operiert, and da 6) wegen (b) Trans- ]ationen mit der Achse W enth/ilt, fo]gt nach [16, 4.4], dab # w ehae Translations- ebene ist, and dal3 die transit ive Translat ionsgruppe T in 6) liegt. Sonst w/ire n/~mlieh ftir jedes Zent rum z e W die Translat ionsgruppe T[zl eindimensional, and man er- hielte einen HomSomorphismus yon der Menge der einparametrigen Untergruppen yon T auf W, vgl. [16, 4.5].

(j) Nach [4, Satz 3] ist eine Translationsebene mit einer auf der nneigentlichen Geraden transi t iven Kollineationsgruppe desarguessch. Man kann aueh so sehliel3en: Da ~ nieht /~quivalent zu S03(R) sein kalm, en tn immt man etwa aus [11], dal~ dim.Q ~ 6 ist. Es folgt d imO >= 10, nnd die Behauptung des Satzes ergibt sich aus [17].

Literaturverzeichnis

[1] R. BAER, Projectivities with fixed points on eve~" line of the plane. Bull. Amer. Math. Soc. 52, 273--286 (1946).

[2] 1%. B.~ER, Die Automorphismengruppe eines algebraisch abgesehlossenen KSrpers der Cha- rakteristik 0. Math. Z. 117, 7--17 (1970).

[3] D. BETTEN, :Nicht-desarguessche 4-dimensionale Ebenen. _Arch. Math. 21, 100--102 (1970). [4] D. BETTEN. 4-dimensionale Translationsebenen. Erscheint in Math. Z. [5] S. BREITSl'I~ECHER, Einzigkeit der recllen and der komplexen projektiven Ebene. Math. Z.

99, 429--432 (1967). [6] L. E. J. BROUWER, Beweis des ebenen Translationssatzes. Math. Ann. 72, 37--54 (1912). [7] J. COF~AN, On Baer involutions of finite projective planes. Canad. J. Math. 22, 878--880

(1970). [8] H.R. HALDEI~, T3ber Bahnen lokal kompakter Gruppen auf Fls Erscheint in Geo-

metriae dedieata. [9] W. Hvl~EWlCZ and H. WALI2VlAI~', Dimension theory. Princeton 1948.

[10] H. KESTEL~.~N, Automorphisms of the field of complex numbers. Proc. London Math. Soc. (2) 53, 1--12 (1951).

[11] G. D. MOSTOW, The extensibility of local Lie groups of transformations and groups on surfaces. Ann. of Math. 52, 606--636 (1950).

[12] G. P~CKERT, Projektive Ebenen. Berlin-G5ttingen-Heidelberg 1955. [13] H. S.~z~t.~NN, Kompakte zweidimensionale projektive Ebenen. Math. _Ann. 145, 401--428

(1962). [14] H. SALZMANI~, Kompakte vierdimensionale Ebenen..Arch. Math. 20, 551--555 (1969). [15] H. S.~LZ~IAX~, Homomorphismen komplexer Tern~rkSrper. Math. Z. 112, 23--25 (1969). [16] H. SALZM_a:g-~, Kollineationsgruppen kompakter, vier-dimensionaler Ebenen. Math. Z. 117,

112--124 (1970). [17] H. SALZ~IA~'~, Kollineationsgruppen kompakter 4-dimensionaler Ebenen. II. Math. Z. 121,

104--110 (1971).

Vol. XXIII, 1 9 7 2 Baer-Unterebenen 4-dimensionaler Ebenen 341

[18] H. SALZMAI~I~, tIomogene 4-dimensionale affine Ebenen. Math. Ann. 196, 320--322 (1972). [19] E. SPXR~ER, t3ber die fixpunktfreicn Abbildungen dcr Ebene. Abh. Math. Sem. Univ.

Hamburg 10, 1--48 (1934). [20] K. STI~.tl~IB.~CH, Vierdimensionale affine Ebenen. Arch. Math. 23, 342--345 (1972).

Eingegangen am 10. 11. 1971

Aaschrift des Autors: Helmut Salzmann D-74 Tiibingen Hausserstr. 150