Joachim Berger

Technische Mechanik fur Ingenieure

Band 2: Festigkeitslehre

Aos dem Programm ____________ __

Grondgebiete des Maschinenbaos

Mathematik fiir Ingenieure, Band 1 und 2 von L. Papula

Mathematische Formelsammlung fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler von L. Papula

Ubungen zur Mathematik fiir Ingenieure von L. Papula

Roloff I Matek Maschinenelemente von W. Matek, D. Muhs und H. Witte!

Roloff I Matek Maschinenelemente Aufgabensammlung von W. Matek, D. Muhs und H. Wittel

Roloff I Matek Maschinenelemente Formelsammlung von W. Matek, D. Muhs und H. Wittel

Technische Mechanik ffir Ingenieure Band 1: Statik Band 2: Festigkeitslehre

von J. Berger

Elektrotechnik fiir Maschinenbauer von H. Kramer

Regelungstechnik fiir Maschinenbauer von W. Schneider

Werkstoftkunde und Werkstoffpriifung von W. WeiBbach

Aufgabensammlnng Werkstoftknnde nnd Werkstoffpriifnng von W. WeiBbach, U. Bleyer und M. Bosse

Vieweg __________________ ~

Joachim Berger

Technische Mechanik fiir Ingeoieure Band 2: Festigkeitslehre

Mit 350 Abbildungen und zahlreichen Beispielen

II Vleweg

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Berger, Joachim: Technische Mechanik flir Ingenieure 1 Joachim Berger. -Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg.

(Viewegs Fachbiicher der Technik)

Bd. 2. Festigkeitslehre: mit zahlreichen Beispielen. - 1994 ISBN-13: 978-3-528-04930-0 e-ISBN-13: 978-3-322-89898-2

DOl: 10.1007/978-3-322-89898-2

Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1994

Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International.

Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuHissig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Umschlaggestaltung: Klaus Birk, Wiesbaden Satz: Vieweg, Braunschweig

ISBN-13: 978-3-528-04930-0

v

Vorwort

1m Gegensatz zur Statik (Band 1), wo man es mit idealisierten, starren Korpern zu tun hat, muB in der Festigkeitslehre die Verformbarkeit der Korper berticksichtigt werden. Dabei geht es im wesentlichen urn die Bestimmung von Spannungen und Verformungen infolge von Zug, Druck, Schub, Biegung und Torsion. Die einzelnen Spannungen werden zu einer (hypothetischen) Vergleichsspannung zusammengefaBt und den im Labor ermittelten Werkstoffdaten gegentiberge­stellt. Auf dieser Basis ist eine sichere und wirtschaftliche Dimensionierung der Bauteile moglich. Die Erfahrungen, die man aus bewlihrten Konstruktionen, aber auch aus Schadensflillen in der Praxis gewonnen hat, lassen sich mit den Formeln der Festigkeitslehre auf geometrisch lihnliche (oder durch modellmliBige Vereinfachung auch auf kompliziertere) Systeme mit gentigender Genauigkeit tibertragen. Ein stlindiger Sollwert-Istwert-Vergleich bei der Planung, der AusfUhrung und dem Betrieb der Maschinen soIl zu einer weitgehenden Optimierung der Bauteile fUhren, die vom Ingenieur durch fortwlihrende Berechungen und Messungen angestrebt wird. Die Gleichungen der Festigkeitslehre mtissen aIle Daten enthalten, die einen EinfluB auf die Spannungen und Verformungen haben konnen und sind somit komplizierter und umfangreicher als die der Statik. MaBgebend sind z.B. die Belastungsarten geometrische und physikalische Bedingungen wie Lage, GroBe und Verteilung der Krlifte, Querschnitts-Abmessungen, Werkstoff­Kennwerte, Temperatur-Einfltisse usw. Daher ist es wichtig, Wege und Mittel zu finden, urn dic komplexen Themen der Festigkeitslehre so einfach und anschaulich wie moglich zu entwickeln, ohne auf die mathematische Strenge bei der Ableitung und auf die Allgemeingtiltigkeit der Losungen (Obertragung auf rliumliche Probleme) zu verzichten. Die Gesetze und Formeln der Statik einschlieBlich der mathematischen Grundlagen des 1. Bandes werden dabei vorausgesetzt. Meist lassen sich die Probleme am besten behandeln und erklliren, wenn man nach folgendem didaktischen Prinzip vorgeht: Yom Bekannten zum Unbekannten, vom Einfachen (Leicht en) zum Komplizierten (Schweren), von der Grobform zur Feinform. Wir wollen es uns dabei zur Aufgabe machen, von einfachen, fast selbstverstlindlichen Grundlagen auszugehen und in kleinen Schritten sukzessive auf die modernen, computerorientierten Rechen­verfahren (Finite Differenzen-Methode, Finite Elemente-Methode, Randelemente-Methode) zuzusteuern. Bei der Behandlung von technischen Problemen muBte man sich frtiher auf stark vereinfachte Rechenmodelle beschrlinken, fUr die eine geschlossene Losung mittels der Infinitesimalrechnung moglich war. Die Formeln treffen jedoch meist nicht exakt auf die realen, vie I komplizierteren Bauteile der Praxis zu. Teilweise lliBt sich mit Hilfe von (oftmals durch aufwendige Versuche) praktisch ermittelten Beiwerten eine bessere Annliherung an die Wirklichkeit erreichen. Mit den modernen Hilfsmitteln der heutigen Rechentechnik kann man bereits in der Konstruk­tionsphase weitgehend auf die tatslichlichen Verhliltnisse eingehen und meist auf komplizierte Experimente verzichten. Die genaue Form der Bauteile wird durch Aufteilung des Systems in viele, einfach zu berechnende, endlich groBe (finite) Elemente berticksichtigt. Dazu ist allerdings die Verarbeitung einer Vielzahl von Daten und Gleichungen erforderlich, die am besten mit der Matrizenrechnung, der mathematischen Sprache des Computers, tibersichtlich formuliert werden. Ein praktisches Problem ist erst dann zufriedenstellend gelost, wenn es sich von einem einfachen Modell auf die komplexe wirkliche technische AusfUhrung erweitern und tibertragen lliBt, wozu die Matrizenrechnung meist unerlliBlich ist.

VI Vorwort

FUr den Ingenieur ist es daher wichtig, sich mit den modemen computerorientierten Rechenmetho­den, insbesondere auch mit der zugehorigen numerischen Mathematik vertraut zu machen und die vielseitigen Moglichkeiten des Computers zu nutzen. Die mathematische Einleitung soll dazu auch als Anregung dienen, die notigen Programme zur Losung von hiiufig vorkommenden Berechnun­gen und Algorithmen aufzustellen wie z.B. die Losung eines linearen Gleichungssystems oder die LOsung einer Gleichung 3. Grades usw. Ziel der 4-blindigen Biicherreihe (Statik, Festigkeitslehre, Dynamik, Aufgaben) ist es mitzuhelfen, einen BrUckenschlag von der konservativen Mechanik zu den modemen, computeruntersttitzten Rechenverfahren herzustellen.

DUsseldorf, im September 1993 Joachim Berger

VII

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Grundlagen fiir die Mechanik

Gl Losung von Iinearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 G1.1 Verketteter Algorithmus von GauB-Banachiewicz . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 G 1.2 Inversions-Verfahren von Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 G 1.3 Inversion einer Dreiecksmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

G2 Losung einer Gleichung 3. Grades 14

Festigkeitslehre

1 Grundlegende Betrachtungen ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1 Zweck und Aufbau einer Festigkeitsberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Einteilung der beanspruchten Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Typische Grundformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Elementare Belastungsarten .......................................... 19

1.3 Voraussetzungen und Annahmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Elastizitatstheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Definition der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Bezeichnung der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Bedeutung der Indizes ............................................... 23 2.2.2 Vorzeichen-Festlegung............................................... 23

2.3 Spannungstensor.......................................................... 24 2.4 Zusammenfassung der Spannungen zu SchnittgroBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Gleichgewichtsbedingungen des Kontinuums. .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Gleichheit zugeordneter Schubspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Verformung eines belasteten Korpers ............................................ 30 3.1 Langenanderungen durch Normalspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Winkelanderungen durch Schubspannungen ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Langen- und Winkelverformungen .......................................... 35

4 Zusammenhang zwischen Spannung und Verformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1 Prinzip von Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Formanderungen durch einachsige Normalspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Werkstoffverhalten und Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.2 Verformungen von Stabsystemen . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2.1 Zugstab mit Beriicksichtigung des Eigengewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.2.2 Unsymmetrischer Zweistabeverband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.2.3 Verformung eines Fachwerks ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2.4 Symmetrischer Zweistabeverband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4.2.5 Symmetrischer Dreistabeverband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.2.6 Druckbelasteter Betonklotz mit Eisenarmierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.2.7 Druckstab (Saule) gleicher Festigkeit ........................... 53 4.2.2.8 Warmespannungen durch unterschiedliche Warmedehnungen . . . . . . 54 4.2.2.9 Zwischen den Gelenkpunkten belasteter Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

VIII Inhaltsverzeichnis

4.2.3 Schrauben-Flansch-Verbindung....................................... 57 4.3 Formiinderung durch Schubspannungen . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4 Formiinderungen beim allgemeinen Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4.1 Liingeniinderungen durch Normalspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4.2 Winkeliinderungen durch Schubspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4.3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen in Matrizenform. 70 4.4.4 Volumendehnung (kubische Dilatation) ................................ 71

5 Dauerfestigkeit und Kerbwirkung .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . . . . . . . . .. .. . . 73 5.1 Lastfiille und Werkstoffestigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Einfliisse auf die Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.1 Kerbwirkung........................................................ 77 5.2.1.1 Statische Beanspruchung ...... , ...................... , . . . .... . 79 5.2.1.2 Schwingende Beanspruchung .................................. 82

5.2.2 StoBwirkung........................................................ 83

6 Abhiingigkeit der Spannungen von der Schnittrichtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.1 Einachsiger Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Zweiachsiger (ebener) Spannungszustand .................................... 87

6.2.1 Drehung des Koordinatensystems. . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2.2 Vorzeichenregelfiir Schubspannungen ................................. 90

6.2.2.1 Allgemeine Vorzeichenregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 90 6.2.2.2 Spezielle Vorzeichenregel fUr den Mohrschen Spannungskreis . . . . . . 91

6.2.3 Spannungs-Extremwerte (Hauptspannungen) ........................... 91 6.2.3.1 Hauptnormalspannungen...................................... 91 6.2.3.2 Hauptschubspannungen....................................... 93

6.2.4 Spannungsbestimmung mittels Hauptnormalspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2.5 Mohrscher Spannungskreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2.5.1 Formale Relationen .......................................... 96 6.2.5.2 Beweis der Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3 Dreiachsiger (raumlicher) Spannungszustand ................................. 99 6.3.1 Geometrische Zusammenhiinge ....................................... 99 6.3.2 Kraftegleichgewicht am Tetraederelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100 6.3.3 Hauptnormalspannungen............................................. 101 6.3.4 Spannungen in einer beliebigen Schnittebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103 6.3.5 Bestimmung der Hauptnormalspannungen durch Extremwertbildung . . . . . .. 105 6.3.6 Hauptschubspannungen.............................................. 109 6.3.7 Zeichnerische Bestimmung von raumlichen Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110

7 Verzerrungszustand............................................................ 112 7.1 Ebener Verzerrungszustand ................................................ 112

7.1.1 Spannungen beim ebenen Verzerrungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112 7.1.2 Verzerrungen eines Flachenelementes in einer gedrehten Lage. . . . . . . . . . . .. 112 7.1.3 Mohrscher Verzerrungskreis (Verformungskreis) ........................ 116 7.1.4 Hauptdehnungs-Richtungen .......................................... 116 7.1.5 Flachenanderung eines gedehnten Elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117 7.1.6 Experimentelle Spannungsermittlung mit DehnungsmeBstreifen ........... 121 7.1.7 Zusammenhang zwischen Gleitmodul, Elastizitatsmodul und Querdrehung .. 126

7.2 Raumlicher Verzerrungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 127

8 F1iichenmomente.............................................................. 128 8.1 Flachenmomente erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128 8.2 FHichenmomente zweiter Ordnung ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128

8.2.1 Definitionen........................................................ 129

Inhaltsverzeichnis IX

8.2.2 Abhlingigkeit der Flachenmomente von der Lage des Koordinaten-Systems 133 8.2.2.1 Parallel-Verschiebung des Koordinaten-Systems. . . . . . . . . . . . . . . . .. 133 8.2.2.2. Drehung des Koordinaten-Systems in der Querschnittsebene

urn den Schwerpunkt ......................................... 138 8.2.3 Grafische Bestimmung von Flachenmomenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142

8.2.3.1 Mohrscher Tragheitskreis ..................................... 142 8.2.3.2 Tragheitskreis von Mohr-Land. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143

9 Beanspruchung durch Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146 9.1 Zug und Druck ........................................................... 146 9.2 Behalter unter Oberdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147

9.2.1 Dilnnwandiges Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147 9.2.1.1 Resultierende Druckkraft auf eine Gehausehalfte. . . . . . . . . . . . . . . .. 147 9.2.1.2 Spannungen im Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 148

9.2.2 Dilnnwandige Hohlkugel. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 149 9.3 Flachenpressung.......................................................... 149

9.3.1 Ebene Berilhrungsflachen ............................................ 150 9.3.2 Gekrilmmte Berilhrungsflachen ....................................... 152

9.3.2.1 Zylinder gegen Zylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153 9.3.2.2 Kugel gegen Kugel ........................................... 154

9.4 Abscher-Beanspruchung................................................... 154

10 Spannungen bei der einachsigen Biegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156 10.1 Definitionen.............................................................. 156 10.2 Voraussetzungen.. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156 10.3 Spannungs-Verteilung ilber den Balkenquerschnitt ............................ 158 10.4 Trager gleicher Biegebeanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 162

10.4.1 Eingespannter Trager mit Rechteckquerschnitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163 10.4.2 Eingespannter Trager mit Kreisquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 164

11 Verformungen bei der einachsigen Biegung ....................................... 166 11.1 Differentialgleichung der elastischen Linie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 166 11.2 Zusammenhang zwischen Belastung, SchnittgroBen und Verformungen . . . . . . . . . .. 170 11.3 Bestimmung von SchnittgroBen und Verformungen mit der Klammerfunktion . . . .. 171 11.4 Verformungen statisch bestimmt gelagerter Balken (einzelne Grundlastfalle). . . . .. 172

11.4.1 Gelenkig gelagerter Trager mit konstanter Streckenlast ........... . . . . . .. 172 11.4.2 Eingespannter Trager mit Einzellast bzw. Einzelmoment . . . . . . . . . . . . . . . .. 173 11.4.3 Gelenkig gelagerter Trager mit auBermittiger Einzelkraft . . . . . . . . . . . . . . . .. 175 11.4.4 Gelenktrager mit auBermittigem Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181 11.4.5 Zusammenfassung der wichtigsten Grundlastfalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186

11.5 Kombinierte Balkensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186 11.5.1 Gelenkig gelagerter Balken mit Seilhalterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186 11.5.2 Eingespannter Trager mit unterschiedlicher Biegesteifigkeit .............. 189 11.5.3 WinkelfOrmiger Balken mit Dreieckslast . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 193 11.5.4 Gerbertrager mit elastischer Stiltze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195 11.5.5 Eingespannter Gerbertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 198

11.6 Oberlagerung von Verformungen ............................................ 200 11.7 Mohrsche Analogie ........................................................ 206

11.7.1 Analogien zwischen der Biegelinie und der Biegemomentenlinie .......... 206 11.7.2 Flachen- und Schwerpunktsbestimmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 207 11.7.3 Anwendungen ...................................................... 209 11.7.4 Verformungen von Balken mit veranderlicher Biegesteifigkeit ............ 214 11.7.5 Grafische Losung ................................................... 217

Inhaltsverzeichnis X

12 Statisch unbestimmte Balkensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 220 12.1 Allgemeines Losungsschema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 220

12.1.1 Geometrische Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 221 12.1.1.1 Durchbiegungs-Kompatibilitiit................................ 221 12.1.1.2 Winkel-Kompatibilitiit....................................... 222

12.1.2 Integrations-Methode ............................................... 223 12.1.2.1 Gebietsweise Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223 12.1.2.2 Geschlossene Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 224

12.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226

13 Zweiachsige (schiefe) Biegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 238 13.1 Spannungen und Verformungen bezogen auf allgemeine Achsen. . . . . . . . . . . . . . . .. 238 13.2 Spannungen und Verformungen im Hauptachsen-System . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 241

13.2.1 Zerlegung des Biegemomentenvektors in die Richtung der Hauptachsen. . .. 243 13.2.2 Projektion des Biegemomentenvektors auf die Spannungs-Nullinie ........ 245

13.3 Durchbiegung bei der schiefen Biegung ...................................... 246 13.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 260

14 Biegung durch exzentrische Liingskraft

14.1 Allgemeiner einachsiger Normalspannungs-Zustand .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269 14.2 Querschnittskern .......................................................... 268

15 Biegung von Balken besonderer Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 273 15.1 Biegung stark gekriimmter Balken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 273

15.1.1 Vorbetrachtungen................................................... 273 15.1.2 Spannungsformeln ............................................ . . . . .. 275

15.2 Biegung von breiten Balken (mit behinderter Querkontraktion) . . . . . . . . . . . . . . . .. 284

16 Inhomogene Balken und Stiibe ............................................ . . . . .. 287 16.1 Beanspruchung durch Biegung ............................................ " 287 16.2 Beanspruchung durch Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 292

17 Schubspannungen durch Querkriifte bei der Biegung ............................... 295 17.1 Schubspannungs-Verteilung ................................................ 296 17.2 Berechnung von Schubspannungen .......................................... 297

17.2.1 Rechteckquerschnitt ................................................. 298 17.2.2 Kreisquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 300 17.2.3 Diinnwandiges Kreisrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 301 17.2.4 Profiltriiger ........................................................ 304

17.2.4.1 Unsymmetrische Profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 304 17.2.4.2 Symmetrische Profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 313

17.3 Schubspannungen in zusammengesetzten Profiltriigern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 313 17.3.1 Genieteter Trager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314 17.3.2 GeschweiBterTrager ................................................ 316

17.4 Schubverformung . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 318

18 Verdrehbeanspruchung (Torsion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 324 18.1 Verhalten der Querschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 324

18.1.1 Rotationssymmetrische Querschnitte ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 324 18.1.2 Nicht-rotationssymmetrische Querschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 325

18.2 Kreiszylindrischer Torsionsstab ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 325 18.3 Torsion von nicht-kreisfOrmigen Vollquerschnitten ............................ 342

18.3.1 Membran-Analogie von Prandtl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 348 18.3.2 Stromungsgleichnis von Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 350

Inhaltsverzeichnis XI

18.4 Dilnnwandige Hohlquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352 18.4.1 Geschlossene Querschnitte veranderlicher Dicke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352 18.4.2 Offene Querschnitte konstanter Dicke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 355

18.5 Zusammenfassung ......................................................... 360

19 Formindemngsarbeit .......................................................... 362 19.1 Formanderungsarbeit infolge von Normalspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 363

19.1.1 Beanspruchung durch Zug und Druck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 363 19.1.2 Beanspruchung durch Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 365

19.2 Formanderung infolge von Schubspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 366 19.2.1 Beanspruchung durch Querkraft .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 366 19.2.2 Beanspruchung durch Torsion ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 367

19.3 Zusammengesetzte Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 368 19.4 Formanderung eines beliebig belasteten Bauteils ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 368

20 Festigkeitshypothesen.......................................................... 370 20.1 Normalspannungs-Hypothese (von Rankine, Lame) ............................ 371 20.2 Schubspannungs-Hypothese (nach Coulomb, Saint Venant, Guest, Tresca) . . . . . . .. 371 20.3 Dehnungs-Hypothese (nach Bach). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 372 20.4 Gestaltanderungsenergie-Hypothese (nach Huber, von Mises, Henky). . . . . . . . . . .. 372

21 bis 24 Energiemethoden ....................................................... 374

21 Prinzip der virtuellen Arbeit .................................................... 374 21.1 Arbeitssatz der Elastostatik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 374 21.2 Beispiele fUr die Auswertung der Integrale ................................... 379 21.3 Verformung eines Balkens infolge von Temperaturanderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 388 21.4 Balken mit veranderlicher Biegesteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 389 21.5 Statisch unbestimmte Systeme .............................................. 391

22 Einflu8zahlen................................................................. 402 22.1 Verschiebungs-EinfluBzahlen .................. " ........................... 402 22.2 Maxwell-Bettische Relationen .............................................. 403 22.3 Kraft-EinfluBzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 413

23 Verfahren von Castigliano ......................... " ........................... 418 23.1 Erster Satz von Castigliano ................. , ............................... 418 23.2 Zweiter Satz von Castigliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 419 23.3 Satz von Engesser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 420 23.4 Satz von Menabrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 423 23.5 Richtlinien und Vereinfachungen fUr die Anwendung .......................... 424

23.5.1 Verformungen an Stellen ohne Belastung .............................. 424 23.5.2 Auswertung der Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 424 23.5.3 Anwendung auf statisch bestimmte Systeme ............................ 426

23.5.3.1 Formulierung der Auflagerkrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 426 23.5.3.2 Benennung von eingepragten Kraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 427 23.5.3.3 EinfUhrung einer Hilfskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 428

23.5.4 Anwendung auf statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 429 23.5.4.1 Berechnung der statisch Unbestimmten ........................ 429 23.5.4.2 Bestimmung von Verformungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 430

23.6 Weitere Beispiele .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 431

24 Ritzsches Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 444

XII Inhaltsverzeichnis

2S Knickung..................................................................... 449 25.1 Knicken als Stabilitatsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 449 25.2 Eulersche Knickfalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 454 25.3 Knicken im elastischen Bereich ............................................. 464 25.4 Knicksicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 465 25.5 Knicken im plastischen Bereich ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 465 25.6 Biegeknicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 469 25.7 Allgemeine Knickgleichung ................................................. 472 25.8 Rayleigh-Quotient ........................................................ 475

26 Achsensymmetrischer Spannungszustand ......................................... 481 26.1 Spannungs- und Deformationsgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 481 26.2 Zylinder und Rohr mit gleichmaBiger Axialbelastung .......................... 484 26.3 Dickwandiges Rohr unter Oberdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 485 26.4 Rotierende Scheibe ...................................................... " 488

Weiterfiihrende Literatur ...................................................... . . .. 494

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 495