Bearbeitung von Modellierungsaufgaben · Prof. Dr. Gilbert Greefrath Universität zu Köln Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Seminar für Mathematik und ihr Didaktik Bearbeitung

Prof Dr Gilbert Greefrath Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt

Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik

Bearbeitung von

Modellierungsaufgaben mit und ohne Hilfe digitaler Werkzeuge

Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt


Prof Dr Gilbert Greefrath

Uumlbersicht

1 Der Begriff Modellieren

2 Untersuchungen zum Modellieren

3 Konzept fuumlr den Unterricht

4 Modellierungsaufgaben

und digitale Werkzeuge




Eine Modellierungsaufgabe

Was kostet das Verputzen dieses Hauses




Modellbildungskreislauf (nur Vorderseite des Hauses)

Mathematisches

ResultatMathematisches

Modell

Reale

Situation

Reales

Modell

[Blum]

(13 33 30 33)

(11 14 08 14)

1419 266

1153

Klassische

Sachaufgabe

Realitaumlt

Mathematik




Was ist ein Modell

bull Ein Modell ist ein vereinfachendes Bild eines Teils der Welt [Ebenhoumlh]

bull Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung eines Sachverhaltes auf die mathematische Methoden angewandt werden koumlnnenhellip [Zais amp Grund]

bull Ein mathematisches Modell ist jede vollstaumlndige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen die darauf ausgelegt ist einem anderen Gebilde hellip zu entsprechen [Aris]




Modelle des Modellierens

Reale

SituationModell

Realmodell

Mathem Modell

Situationsmodell

KonsequenzenInformationen

SituationsanalyseDaten-

beschaffung

Annahmen

Vernachlaumlssigungen

Interpretation

Uumlberpruumlfung

Modell-

verbesserung

Loumlsung

Mathematische

LoumlsungReale Loumlsung




MathematikRealitaumlt

Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen

Folgerungen im Modell anstellen

Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren

Validieren Folgerungen fuumlr die

Situation anstellen Informationen

ermitteln Transfers versuchen

Bewerten

Verstehen

Planung

Ausfuumlhrung

Kontrolle

Lesen

Orientierung

Analysieren Exploration

Organisation Ziele setzen

Vorgehensweise sichten

Ist-Soll-Vergleich

Ausfuumlhren




Uumlbersicht









Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben

Elefant Glas Bruumlcke

Haus Zimmer Stau




Untersuchung

zum Modellieren

bull Qualitativ

bull Zwei Schuumllerinnen

bull Unterschiedliche Schulformen

bull Unbekannte Aufgaben

bull Ohne weitere Hilfe




Beispiel Kategorie Planung

bull Orientierung im Bild

bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen

bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen

bull Strategie festlegen

bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen

bull Mathematische Formen identifizieren

bull hellip




Beobachtung BBeobachtung A

Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Orientierung

Planung

Datenver-

arbeitung

Kontrolle

Datenbe-

schaffung




Beobachtungsausschnitt

Kontrolle

(Plausibilitaumltsbetrachtung)

bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das

so wenig ist

bull 1637 S2 Gut dann

bull 1638 S1 Ehrlich gesagt

bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das

mal gucken das das koumlnnte doch

hinkommen





Kontrolle

(Kontrolle der Datenbeschaffung)

bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins

bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst

mal das sind zwei drei vier fuumlnf

sechs sieben acht neun zehn elf

zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn

fuffzehn ein Halb ne





Kontrolle

(Kontrolle der Planung)

bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen

bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon

bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf




IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

Kontrolle




Die Vorderseite dieses

Hauses soll auszligen

verputzt werden

Berechne moumlglichst ge-

nau die zu verputzende

Flaumlche

In der Zeichnung ist die

Vorderseite eines Hauses

zu sehen Die weiszligen

Rechtecke stellen die

Fenster dar Sie haben

eine Houmlhe von 130 m

Die grau schraffierten

Flaumlchen sollen verputzt

werden Berechne moumlg-

lichst genau diese Flaumlche



verputzt werden



Flaumlche

Variante 1 Variante 2 Variante 3

Ergaumlnzende Untersuchung

388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7




Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen

(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)

bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)

bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)

bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten

bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)

[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen

fuumlr die Forschung

bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten

bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen

bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden

bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern




Schlussfolgerungen

fuumlr den Unterricht

bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf

unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr

alle Schulformen geeignet

bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf

die im Unterricht reagiert werden muss

z B durch thematisieren von Orientierungsphasen

Diskussion von Vereinfachungen

bull Moumlglicher Weg

Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden




Modellieren ist individuell




Uumlbersicht









Kompetenz Modellieren

Teilkompetenz Validieren

Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die

im mathematischen Modell gewonnenen

Loumlsungen an der Realsituation

Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite

realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m

Konzept fuumlr den Unterricht




Teilkompetenzen Indikatoren

Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und

unwichtige Informationen einer Realsituation

Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen

in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur

Diagramm Funktion)

Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem

mathematischen Modell

Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell

gewonnenen Informationen an der Realsituation

Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-

matische Modelle fuumlr eine Realsituation

Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das

verwendete mathematische Modell

Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem

mathematischen Modell eine passende Realsituation zu

bzw finden zu einem mathematischen Modell eine

passende Realsituation




Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm

Diskutiere die Angaben auf der

Tafel vor dem Wasserturm auf

Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h

Anna und Paul haben den

Wasserbehaumllter im Wasser-

turm unterschiedlich model-

liert Anna bdquoMein Modell ist

besser denn meine Zahlen

passen besser als Paulsldquo

Uumlberpruumlfe und nimm Stel-

lung

Annas ModellPauls Modell

Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja




Modellierungsaufgabe

Loumlschwasserbehaumllter

Bestimme geeignete Maszlige eines

Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den

Hubschraubertransport




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

1 Bestimme die ungefaumlhren

Abmessungen dieses

Loumlschwasserbehaumllters

2 Gib mindestens zwei Wege

an wie du uumlberpruumlfen kannst ob

dein Ergebnis korrekt ist

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien

beginnen haumlufig mit

vielen Kilometern

Stau in Deutschland

Im letzten Jahr waren

es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau

Modellierungsaufgabe Stau




Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen

Katja und Toni wollen berechnen wie viele

Menschen sich vermutlich in einem Stau der

Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich

uumlberlegt welche Informationen wichtig sein

koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten

Informationen erstellt Fuumlr welche dieser

Informationen wuumlrdest du dich entscheiden

Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland

- Abstand zum naumlchsten Pkw

- Anzahl der Fahrspuren

- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers

- Anzahl der Mitfahrer

- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum

ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele


Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus

dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige

benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen

uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =

Vergleiche die beiden

Rechnungen und bewerte

sie




Uumlbersicht









Modellieren mit

Computereinsatzbull Beispielproblem

Zwei Autos fahren auf zwei

sich kreuzenden Straszligen

mit unterschiedlichen

Geschwindigkeiten

aufeinander zu Ein Auto

faumlhrt 60 kmh das andere

50 kmh Wird ein Unfall

geschehen




Modellieren

mit Dynamischer Geometrie




Modellieren

mit Computeralgebrasystem




Modellieren

mit Tabellenkalkulation




Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht

Computereinsatz und Realitaumltsbezug

Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung




Finde eine Funktion fuumlr die gilt

bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben

Das Problem

Welche Kompetenzen

uumlberpruumlft diese Aufgabe

3

1

( ) 0f x dx

mit CAS Werkzeugkompetenzen

ohne CAS inhaltliche Kompetenzen

Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()

[Greefrath Leuders Pallack 2008]




Einsatz im Unterricht

Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig

bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten

bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen

bull Einzug in die Richtlinien





Einsatz in Pruumlfungen

Mathematische Kompetenzen die mit

digitalen Werkzeugen erworben wurden

kann man auch ohne Werkzeuge messen

bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht

bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung

eingeschraumlnkt Explorierenhellip





Unterrichtsentwicklung

Der Einsatz digitaler Werkzeuge im

Unterricht als Voraussetzung fuumlr die

Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein

bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den

Unterricht

bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb

Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden

offensichtlich sein





Anwendungssituationen

Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)

bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger

bull authentische Anwendungen schwieriger

bull nur Teilschritte des Modellierens

bull bloszlige Einkleidungen vermeiden

bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung





Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)

Aufgabenbausteine

Symmetrie

Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber

Symmetrie von Funktionen Welche

Symmetrien gibt es Wie findet man sie

heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von

Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen





Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine

mit Anwendungscharakter

a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in

dem die Integralrechnung verwendet

werden kann (in 10-15 Zeilen)

bull Reflexion von Mathematik im Alltag

bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben

bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz

Zentralabitur)





b)

i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum

ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort


[Idee J Weitendorf]




bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an

bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren

bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen

bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)

bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen





Verschiedene CAS-Systeme

in zentralen Abiturpruumlfungen

bull Handhabung

bull Rechentechnische Moumlglichkeiten

bull Rechengeschwindigkeit

bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten




Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt

Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn

[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]




x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g

Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen

der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b

beschreiben Bestimmen Sie a und b





ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

behoben)

Derive 6

Voyage 200

nach laumlngerer

Rechenzeit

entsprechend




Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht

vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)

bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen

bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden

bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht

bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen




Ruumlckblick und Ausblick

bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit

anderen Kompetenzen zusammen (z B

Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)

bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen

Modellieren unterstuumltzen

bull Bedeutung des Computers beim Modellieren

nicht unterschaumltzen

bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-

anteile im Unterricht etablieren




Mathematik ist spannend und nuumltzlich




wwwgreefrathde




Uumlbersicht















Mathematisches


Modell

Reale

Situation

Reales

Modell

[Blum]

(13 33 30 33)

(11 14 08 14)

1419 266

1153

Klassische

Sachaufgabe

Realitaumlt

Mathematik




Was ist ein Modell








Reale

SituationModell

Realmodell

Mathem Modell

Situationsmodell



beschaffung

Annahmen


Interpretation

Uumlberpruumlfung

Modell-

verbesserung

Loumlsung

Mathematische






Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Verstehen

Planung

Ausfuumlhrung

Kontrolle

Lesen

Orientierung




Ist-Soll-Vergleich

Ausfuumlhren




Uumlbersicht











Haus Zimmer Stau




Untersuchung

zum Modellieren

bull Qualitativ















bull hellip





Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Orientierung

Planung

Datenver-

arbeitung

Kontrolle

Datenbe-

schaffung





Kontrolle



so wenig ist





hinkommen





Kontrolle












Kontrolle








IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

Kontrolle






verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

behoben)

Derive 6

Voyage 200

nach laumlngerer

Rechenzeit

entsprechend






























wwwgreefrathde










Mathematisches


Modell

Reale

Situation

Reales

Modell

[Blum]

(13 33 30 33)

(11 14 08 14)

1419 266

1153

Klassische

Sachaufgabe

Realitaumlt

Mathematik




Was ist ein Modell








Reale

SituationModell

Realmodell

Mathem Modell

Situationsmodell



beschaffung

Annahmen


Interpretation

Uumlberpruumlfung

Modell-

verbesserung

Loumlsung

Mathematische






Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Verstehen

Planung

Ausfuumlhrung

Kontrolle

Lesen

Orientierung




Ist-Soll-Vergleich

Ausfuumlhren




Uumlbersicht











Haus Zimmer Stau




Untersuchung

zum Modellieren

bull Qualitativ















bull hellip





Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Orientierung

Planung

Datenver-

arbeitung

Kontrolle

Datenbe-

schaffung





Kontrolle



so wenig ist





hinkommen





Kontrolle












Kontrolle








IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

Kontrolle






verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

behoben)

Derive 6

Voyage 200

nach laumlngerer

Rechenzeit

entsprechend






























wwwgreefrathde





Mathematisches


Modell

Reale

Situation

Reales

Modell

[Blum]

(13 33 30 33)

(11 14 08 14)

1419 266

1153

Klassische

Sachaufgabe

Realitaumlt

Mathematik




Was ist ein Modell








Reale

SituationModell

Realmodell

Mathem Modell

Situationsmodell



beschaffung

Annahmen


Interpretation

Uumlberpruumlfung

Modell-

verbesserung

Loumlsung

Mathematische






Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Verstehen

Planung

Ausfuumlhrung

Kontrolle

Lesen

Orientierung




Ist-Soll-Vergleich

Ausfuumlhren




Uumlbersicht











Haus Zimmer Stau




Untersuchung

zum Modellieren

bull Qualitativ















bull hellip





Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Orientierung

Planung

Datenver-

arbeitung

Kontrolle

Datenbe-

schaffung





Kontrolle



so wenig ist





hinkommen





Kontrolle












Kontrolle








IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

Kontrolle






verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

behoben)

Derive 6

Voyage 200

nach laumlngerer

Rechenzeit

entsprechend






























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Was ist ein Modell








Reale

SituationModell

Realmodell

Mathem Modell

Situationsmodell



beschaffung

Annahmen


Interpretation

Uumlberpruumlfung

Modell-

verbesserung

Loumlsung

Mathematische






Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

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Bewerten

Verstehen

Planung

Ausfuumlhrung

Kontrolle

Lesen

Orientierung




Ist-Soll-Vergleich

Ausfuumlhren




Uumlbersicht











Haus Zimmer Stau




Untersuchung

zum Modellieren

bull Qualitativ















bull hellip





Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Orientierung

Planung

Datenver-

arbeitung

Kontrolle

Datenbe-

schaffung





Kontrolle



so wenig ist





hinkommen





Kontrolle












Kontrolle








IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

Kontrolle






verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

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(812) 189

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g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






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(im neuesten

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Reale

SituationModell

Realmodell

Mathem Modell

Situationsmodell



beschaffung

Annahmen


Interpretation

Uumlberpruumlfung

Modell-

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Loumlsung

Mathematische






Reale

Situation

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Reales

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Mathematisches

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Ausfuumlhrung

Kontrolle

Lesen

Orientierung




Ist-Soll-Vergleich

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Uumlbersicht











Haus Zimmer Stau




Untersuchung

zum Modellieren

bull Qualitativ















bull hellip





Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

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Reales

Modell

Mathematisches

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Reales

Resultat

Mathematisches

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V

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Uumlbersicht

III

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Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

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Mathematisches

Resultat


Reale

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Reales

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Mathematisches

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Reales

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Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

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Flaumlche













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Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

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Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

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Punkte auf den

Geraden

Minimum der

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Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

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problem

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loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






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Reale

Situation

Situations-

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Reales

Modell

Mathematisches

Modell

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Resultat

Mathematisches

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Verstehen

Planung

Ausfuumlhrung

Kontrolle

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Orientierung




Ist-Soll-Vergleich

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Uumlbersicht











Haus Zimmer Stau




Untersuchung

zum Modellieren

bull Qualitativ















bull hellip





Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

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Reales

Resultat

Mathematisches

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Kontrolle












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IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

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Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

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Reales

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Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

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Flaumlche













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Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

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Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

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bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

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ClassPad

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Derive 6

Voyage 200

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Rechenzeit

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Uumlbersicht











Haus Zimmer Stau




Untersuchung

zum Modellieren

bull Qualitativ















bull hellip





Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

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Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Orientierung

Planung

Datenver-

arbeitung

Kontrolle

Datenbe-

schaffung





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so wenig ist





hinkommen





Kontrolle












Kontrolle








IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

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verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

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Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

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Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

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Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

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uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





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Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

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Computer-

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Punkte auf den

Geraden

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Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

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problem

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Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

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Idee

Symmetrie

()






























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Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

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(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


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Haus Zimmer Stau




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Reale

Situation

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Reales

Modell

Mathematisches

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Wahrnehmen

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Kontrolle

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IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

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Planung Implizit

Lokal

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3

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lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

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Vereinfachen

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ja

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1 2

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Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

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3 18000 2 =



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Uumlbersicht









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Realitaumlt

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Autos stoszligen

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Dynamische

Geometrie

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Loumlsung

Mathematisches

Problem

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Das Problem

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3

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x

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zum Modellieren

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Reale

Situation

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IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

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Lokal

Vielfache

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Situations-

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Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

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Kontrolle






verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

behoben)

Derive 6

Voyage 200

nach laumlngerer

Rechenzeit

entsprechend






























wwwgreefrathde











bull hellip





Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Mathematisches

Resultat

Interpretieren

Konsequenzen ziehen


Daten

verarbeiten

Deduzieren

Mathematisieren

Modell entwerfen

Vereinfachen

Evtl Daten

beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




Bewerten

Orientierung

Planung

Datenver-

arbeitung

Kontrolle

Datenbe-

schaffung





Kontrolle



so wenig ist





hinkommen





Kontrolle












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IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

Kontrolle






verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

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Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

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Punkte auf den

Geraden

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Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

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Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

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g

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ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

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Derive 6

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Planungsphasen





Reale

Situation

Situations-

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Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

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Mathematisches

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Deduzieren

Mathematisieren

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Vereinfachen

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beschaffen

Verstehen

Wahrnehmen

Analysieren




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Orientierung

Planung

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Kontrolle



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Kontrolle












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IV

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Global

Uumlbersicht

III

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Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

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beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

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Mathematisches

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Reale

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Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

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Reales

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Verstehen

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Planung

Kontrolle

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verputzt werden



Flaumlche













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Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























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Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



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Diagnoseaufgabe zum

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3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

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Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

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- Jahreszeit

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Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





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Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

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schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

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Verschieben nicht


Computer-

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Punkte auf den

Geraden

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Reales

Problem

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Loumlsung

Mathematisches

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Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

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Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

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g

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ClassPad

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Derive 6

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Rechenzeit

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Reale

Situation

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Reales

Modell

Mathematisches

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Reales

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Kontrolle



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IV

V

Global

Uumlbersicht

III

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Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

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Mathematisches

Resultat


Reale

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Reales

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Mathematisches

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Reales

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Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

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verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















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Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




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3

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660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


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V = rsup2 h

2 3

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44 855 dm

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Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

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Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


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Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

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Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

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Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





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Begruumlnde

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- Tageszeit

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3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




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Modellieren





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Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

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nicht zusammen

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Dynamische

Geometrie

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Schnittpunkt

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Verschieben nicht


Computer-

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Geraden

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Reales

Problem

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Loumlsung

Mathematisches

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Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

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Rechner-

loumlsung






Das Problem

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3

1

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Idee

Symmetrie

()






























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bull Handhabung













x

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g

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Derive 6

Voyage 200

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Rechenzeit

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Kontrolle



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Kontrolle












Kontrolle








IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

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Lokal

Vielfache

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beschaffung

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Schaumltzen

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Messen

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Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

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Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

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verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




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3

3

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660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

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520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

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Eigenproduktion

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ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

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Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

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Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

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Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

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(0) 3

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g

g


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ClassPad

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Softwareupdate

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Derive 6

Voyage 200

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Rechenzeit

entsprechend






























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Kontrolle












Kontrolle








IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

Lokal

Vielfache

Daten-

beschaffung

Schwerpunkt

Schaumltzen

Schwerpunkt

Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

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verputzt werden



Flaumlche













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Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

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3

3

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Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

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520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

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Validieren ja

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ja

Offen ja

Authentisch ja

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Diagnoseaufgabe zum

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Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

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Validieren 2

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Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

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3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




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Realitaumlt

Kreuzungs-

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Geraden

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Dynamische

Geometrie

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Computer-

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Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

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loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

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Idee

Symmetrie

()






























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Zentralabitur)





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x

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g

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Kontrolle








IV

V

Global

Uumlbersicht

III

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IExplizit

IIReal

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Schaumltzen

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Mathematisches

Resultat


Reale

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Schlussfolgerungen









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ja

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Die Sommerferien


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Stau in Deutschland


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insgesamt 180 km

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Diagnoseaufgabe zum

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Begruumlnde

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3 18000 4 =

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sie




Uumlbersicht









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Geschwindigkeiten




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Kreuzungs-

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Dynamische

Geometrie

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Mathematisches

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Das Problem

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3

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Idee

Symmetrie

()






























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x

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IV

V

Global

Uumlbersicht

III

Multiple

Kontrolle

IExplizit

IIReal

Planung Implizit

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Vielfache

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Schaumltzen

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Messen

Schwerpunkt

Alltagswissen




Mathematisches

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Reales

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Mathematisches

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Reales

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Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

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verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









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aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

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3

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V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

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Teilkompetenzen

Vereinfachen

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ja

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Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

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vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

behoben)

Derive 6

Voyage 200

nach laumlngerer

Rechenzeit

entsprechend






























wwwgreefrathde




Mathematisches

Resultat


Reale

Situation

Situations-

modell

Reales

Modell

Mathematisches

Modell

Reales

Resultat

Verstehen

Ausfuumlhrung

Planung

Kontrolle

Planung

Kontrolle






verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

behoben)

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Rechenzeit

entsprechend






























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verputzt werden



Flaumlche













verputzt werden



Flaumlche













[Petermoumlller]




Schlussfolgerungen









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Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

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- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


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Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





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Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

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schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

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Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

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Punkte auf den

Geraden

Minimum der

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Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

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(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


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( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






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[Petermoumlller]




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Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

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Realisieren

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Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

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- Bundesland



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- Alter des Fahrers


- Tageszeit

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Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





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Realitaumlt

Kreuzungs-

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Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

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schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

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Verschieben nicht


Computer-

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Punkte auf den

Geraden

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Reales

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Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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offensichtlich sein

















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Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

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g

g


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Schlussfolgerungen









Schlussfolgerungen


















Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

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Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

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- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

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- Tageszeit

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- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




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Realitaumlt

Kreuzungs-

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Autos stoszligen

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schneidenden

Geraden

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Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

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Verschieben nicht


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Geraden

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Reales

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Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

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Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

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loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

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Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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Symmetrie


















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bull Handhabung













x

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g

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Uumlbersicht

























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Modellierungs-

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Wasserturm



Norderney




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3

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660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


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V = rsup2 h

2 3

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520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

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Realisieren

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Eigenproduktion

foumlrdernd

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Authentisch ja

valide ja












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Validieren


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Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

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Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


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Wochenende

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Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

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Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

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schneidenden

Geraden

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Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

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Verschieben nicht


Computer-

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Geraden

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Reales

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Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

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( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

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(0) 3

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bx bxg x a e e

g

g


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Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

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88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

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1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

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Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

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Verschieben nicht


Computer-

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Geraden

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Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

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Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





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x

189

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g

g


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Uumlbersicht

























Diagramm Funktion)
















Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

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3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

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44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












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Vereinfachen

Mathematisieren 1

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Validieren 2

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Kriterien

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foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

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valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


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Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

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Diagnoseaufgabe zum

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Begruumlnde

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- Bundesland



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g

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3

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Begruumlnde

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Geraden

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Dynamische

Geometrie

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Mathematisches

Problem

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3

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x

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aufgabe

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3

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V = asup2 h








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V = rsup2 h

2 3

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Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

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Kriterien

Eigenproduktion

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ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












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Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

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Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

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Begruumlnde

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schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






ClassPad

(im neuesten

Softwareupdate

behoben)

Derive 6

Voyage 200

nach laumlngerer

Rechenzeit

entsprechend






























wwwgreefrathde




Modellierungs-

aufgabe

Wasserturm



Norderney




Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

3

88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

sich beim

Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

Entfernung der

Punkte auf den

Geraden

Minimum der

Entfernung positiv

Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






ClassPad

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Voyage 200

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entsprechend






























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Diagnoseaufgabe zum

Validieren

3

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88 88 855 dm

660000 dm

Quader

V = asup2 h








lung


Zylinder

V = rsup2 h

2 3

3

44 855 dm

520000 dm

Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren

Rechnen

Validieren ja

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

ja

Offen ja

Authentisch ja

valide ja












Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

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schneidenden

Geraden

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Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

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Geraden

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Problem

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Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

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Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

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( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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offensichtlich sein

















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Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















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x

189

8123

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bx bxg x a e e

g

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Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




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Modellieren





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Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

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nicht zusammen

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Dynamische

Geometrie

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Geraden

Minimum der

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Reales

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Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

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problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



offensichtlich sein

















Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















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x

189

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g

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Diagnoseaufgabe zum

Validieren


Abmessungen dieses





Teilkompetenzen

Vereinfachen

Mathematisieren 1

Rechnen 1

Validieren 2

Realisieren

Kriterien

Eigenproduktion

foumlrdernd

1 2

Offen 1 2

Authentisch 1 2

valide 2




Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

befanden sich dann

vermutlich im Stau





Diagnoseaufgabe zum

Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

- Baustellen

- Ferienzeit




Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




Modellieren





Modellieren





Modellieren





Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

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nicht zusammen

Mathematik

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Geraden

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Dynamische

Geometrie

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Geraden

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Loumlsung

Mathematisches

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Loumlsung

Digitale

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loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

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Idee

Symmetrie

()






























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offensichtlich sein

















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Symmetrie


















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[Idee J Weitendorf]















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x

189

8123

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Die Sommerferien


vielen Kilometern

Stau in Deutschland


es an einem

Wochenende

insgesamt 180 km

Wie viele Menschen

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vermutlich im Stau





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Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

- Art des Fahrzeugs

- Benzinverbrauch

- Bundesland



- Wochentag

- Jahreszeit

- Alter des Fahrers


- Tageszeit

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Diagnoseaufgabe zum






uumlberlegt

3 18000 4 =

3 18000 2 =



sie




Uumlbersicht









Modellieren mit





Geschwindigkeiten




geschehen




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Realitaumlt

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Geometrie

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Loumlsung

Mathematisches

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Das Problem

Welche Kompetenzen


3

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Symmetrie

()






























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x

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Vereinfachen








Begruumlnde

- Fahrzeuglaumlnge

- Wetter

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- Benzinverbrauch

- Bundesland



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3 18000 2 =



sie




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Loumlsung

Mathematisches

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Das Problem

Welche Kompetenzen


3

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()






























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3 18000 4 =

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Realitaumlt

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Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

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Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

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problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

( ) 0f x dx



Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























Unterricht



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Symmetrie


















Zentralabitur)





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[Idee J Weitendorf]















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x

189

8123

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(0) 3

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bx bxg x a e e

g

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Uumlbersicht









Modellieren mit





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geschehen




Modellieren





Modellieren





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Realitaumlt

Kreuzungs-

problem

Autos stoszligen

nicht zusammen

Mathematik

Punkte auf 2 sich

schneidenden

Geraden

Abstand der

Punkte ist positiv

Dynamische

Geometrie

Punkt verschiebt

Schnittpunkt

Kreis-Gerade

Punkte beruumlhren

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Verschieben nicht


Computer-

algebrasystem

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Punkte auf den

Geraden

Minimum der

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Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

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loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

1

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()






























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[Idee J Weitendorf]















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x

189

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g

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Geschwindigkeiten




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Realitaumlt

Kreuzungs-

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nicht zusammen

Mathematik

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Dynamische

Geometrie

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Geraden

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Reales

Problem

Aufgaben-

Loumlsung

Mathematisches

Problem

Mathematische

Loumlsung

Digitale

Medien

Rechner-

problem

Rechner-

loumlsung






Das Problem

Welche Kompetenzen


3

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Begruumlnde

Idee

Symmetrie

()






























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Symmetrie


















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b)




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Mathematik

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Loumlsung

Mathematisches

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Geraden

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Mathematisches

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Digitale

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Das Problem

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3

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x

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nach laumlngerer

Rechenzeit

entsprechend






























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Aufgabenbausteine

Symmetrie


















Zentralabitur)





b)




[Idee J Weitendorf]















bull Handhabung













x

189

8123

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g


der Funktion g mit

( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b






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Bearbeitung von Modellierungsaufgaben · Prof. Dr. Gilbert Greefrath Universität zu Köln Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Seminar für Mathematik und ihr Didaktik Bearbeitung