BEGLEITHEFT ZUR ERSTEN STAATSPRÜFUNG

IN DIDAKTIK DER MATHEMATIK

SEKUNDARSTUFE I UND II

Mit wichtigen Hinweisen

zur Vorbereitung auf die Examensprüfung

zu Aufbau und Inhalt der Examensaufgabe

zu häufigen Fehlern und Problemen bei der Bearbeitung der Examensaufgabe

zum Vorgehen in der Examensprüfung

Autoren: Andreas Frank, Prof. Dr. Stefan Krauss

Stand: 05.11.2018

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Lehrstuhl Didaktik der Mathematik

0. VORWORT ..................................................................................................................................................... 3

1. ALLGEMEINE INFORMATIONEN ........................................................................................................... 4

2. DIE VORBEREITUNG AUF DIE EXAMENSPRÜFUNG ......................................................................... 5 2.1. DER STOFF – WAS MUSS ICH KÖNNEN? ...................................................................................................... 5 2.2. DIE VERANSTALTUNGEN – WAS SOLLTE ICH BESUCHEN? .......................................................................... 6 2.3. DAS ZEITMANAGEMENT – WANN SOLLTE ICH ANFANGEN? ....................................................................... 7 2.4. DIE MATERIALIEN – WAS KANN ICH NUTZEN? .......................................................................................... 8 2.5. DIE EXAMENSVORBEREITUNGSKURSE – WIE KANN ICH SIE OPTIMAL NUTZEN? ....................................... 10

3. DIE EXAMENSAUFGABE.......................................................................................................................... 12 3.1. AUFBAU UND INHALT IM ALLGEMEINEN ................................................................................................. 12 3.2. DIE AUFGABENSTELLUNG – FORMULIERUNGEN UND IHRE BEDEUTUNG ................................................. 14

3.2.1. Operatoren ................................................................................................................................... 14 3.2.2. Weitere häufige Formulierungen ................................................................................................. 19

3.3. DIE TEILAUFGABEN IM EINZELNEN ......................................................................................................... 23 3.3.1. Fachliche Aufgabe (Teilaufgabe 1) ............................................................................................. 23

A. Inhalte und Erwartungen ........................................................................................................................ 23

B. Exemplarische Aufgabenstellungen ....................................................................................................... 23

C. Häufige Probleme und Fehler ................................................................................................................ 23

D. Tipps für das Examen............................................................................................................................. 29

3.3.2. Fachdidaktische Aufgabe (Teilaufgabe 2) ................................................................................... 30 A. Inhalte und Erwartungen ........................................................................................................................ 30

B. Exemplarische Aufgabenstellungen ....................................................................................................... 30

C. Häufige Probleme und Fehler ................................................................................................................ 31

D. Tipps für das Examen............................................................................................................................. 39

3.3.3. Schriftliche Unterrichtsplanung (Teilaufgabe 3) ......................................................................... 41 A. Inhalte und Erwartungen ........................................................................................................................ 41

B. Exemplarische Aufgabenstellungen ....................................................................................................... 48

C. Häufige Probleme und Fehler ................................................................................................................ 49

D. Tipps für das Examen............................................................................................................................. 67

3.3.4. Weitere fachliche Aufgabe (Teilaufgabe 4 in früheren Prüfungen) ............................................. 70 A. Inhalte und Erwartungen ........................................................................................................................ 70

B. Exemplarische Aufgabenstellungen ....................................................................................................... 70

4. DAS VORGEHEN IN DER EXAMENSPRÜFUNG .................................................................................. 71 4.1. DAS THEMA – WELCHES WÄHLE ICH? ..................................................................................................... 71 4.2. DIE ZEIT – WIE TEILE ICH SIE MIR EIN? .................................................................................................... 71 4.3. DOS UND DON‘TS – WORAUF SOLLTE ICH UNBEDINGT ACHTEN? ............................................................. 72

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0. Vorwort

Liebe Studierende,

im vorliegenden Begleitheft haben wir wichtige Informationen zusammengestellt, die Ihnen die Vor-

bereitung auf das schriftliche Examen in Didaktik der Mathematik erleichtern sollen.

Das Heft beinhaltet neben allgemeinen Informationen zu Art und Inhalt von Examensaufgaben viele

konkrete Hinweise zur Aufgabenbearbeitung von Expert*innen, die seit Jahren mit der Vorbereitung

auf das schriftliche Examen in Didaktik der Mathematik sowie der Korrektur von Examensprüfungs-

arbeiten betraut sind. Verdeutlicht werden diese Hinweise durch konkrete exemplarische Ausarbeitun-

gen und entsprechende Kommentare, anhand derer Sie häufige Fehler und Probleme bei der Bearbei-

tung von Examensaufgaben erkennen können. Damit wollen wir Ihnen helfen, sich möglichst gut für

die Bearbeitung typischer Aufgaben des schriftlichen Examens in Didaktik der Mathematik zu sensibi-

lisieren. Häufig sind auch Verbesserungsvorschläge ergänzt. Dagegen enthält das Heft keine „Muster-

lösungen“ zu den einzelnen Aufgaben, da es im Regelfall mehrere Möglichkeiten gibt, diese angemes-

sen zu bearbeiten, also beispielsweise einen bestimmten mathematischen Inhalt schülergerecht zu er-

klären oder eine gute Unterrichtsstunde zu einem bestimmten mathematischen Thema zu planen. Auch

ist es keine Zusammenfassung aller mathematischen und mathematikdidaktischen Inhalte, die Sie be-

herrschen sollten. Es ist somit nicht als Ersatz, sondern als Ergänzung zu den mathematikdidaktischen

Lehrveranstaltungen gedacht. In Vorlesungen, Übungen und Examensvorbereitungskursen wird daher

vielfach darauf verwiesen werden.

Wir hoffen, Ihnen hiermit eine Orientierungshilfe sowie Unterstützung für die Vorbereitung auf das

schriftliche Examen in Didaktik der Mathematik bieten zu können, und wünschen Ihnen viel Erfolg

bei Ihrer Examensprüfung.

Prof. Dr. Stefan Krauss

(im Namen des Teams der Didaktik der Mathematik)

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1. Allgemeine Informationen

Auch wenn dieses Begleitheft den Titel „… zur Ersten Staatsprüfung“ trägt, ist es ganz sicher hilf-

reich, wenn Sie möglichst frühzeitig darüber informiert sind, was in der schriftlichen Prüfung im

Rahmen der Ersten Staatsprüfung in Didaktik der Mathematik von Ihnen erwartet wird. Dies beein-

flusst möglicherweise, wie Sie Ihre Studienplanung gestalten und wie Sie sich mit den Studieninhalten

auseinandersetzen und lernen.

Daher richten sich die Inhalte dieses Begleitheftes an Sie, wenn Sie Mathematik – egal welchen Se-

mesters – studieren

für ein Lehramt an Mittelschulen (MS) als Didaktikfach (DF) oder Unterrichtsfach (UF),

für ein Lehramt an Realschulen (RS) oder

für ein Lehramt an Gymnasien (GY).

Die Informationen, die in diesem Begleitheft bereitgestellt werden, gelten für alle drei Schulformen

einheitlich. Schulformspezifika bilden die Ausnahme und sind farblich gekennzeichnet.

Mittelschule Realschule Gymnasium

Das Begleitheft enthält in Kapitel 2 zunächst Informationen und Hinweise zur Vorbereitung auf die

Examensprüfung, und zwar zum prüfungsrelevanten Stoff (2.1), zu empfohlenen Lehrveranstaltungen

(2.2), zur zeitlichen Planung der Vorbereitung (2.3), zu den Materialien, die Sie dabei nutzen können

(2.4) sowie zu den Examensvorbereitungskursen (2.5).

Das umfassende Kapitel 3 thematisiert die Examensaufgabe selbst, und zwar zunächst deren Aufbau

und Inhalt im Allgemeinen (3.1), dann Hinweise zu häufigen Formulierungen in der Aufgabenstellung

und deren Bedeutung (3.2) sowie schließlich umfangreiche Ausführungen zu den drei typischen Teil-

aufgaben der Examensaufgabe (3.3). Dabei werden zu jeder dieser drei Teilaufgaben Informationen zu

Inhalten und Erwartungen sowie exemplarische Aufgabenstellungen zur Verdeutlichung gegeben.

Anhand authentischer Ausarbeitungsbeispiele von Examensaufgaben, die mit Kommentaren versehen

sind, wird auf häufige Probleme und Fehler bei deren Bearbeitung eingegangen und es werden ab-

schließend Tipps für das Examen gegeben, wie derartige Fehler vermieden werden können.

Kapitel 4 zum Vorgehen in der Examensprüfung fasst Vorschläge bezüglich der Themenwahl (4.1)

und der Zeiteinteilung (4.2) zusammen.

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2. Die Vorbereitung auf die Examensprüfung

2.1. Der Stoff – Was muss ich können?

Mathematikunterricht gut planen und durchführen zu können setzt voraus, dass Sie den mathemati-

schen Stoff, den Sie zukünftig vermitteln wollen, selbst sicher beherrschen. Der Schulstoff wird zwar

teilweise auch im Rahmen Ihres Fachstudiums aufgegriffen, Sie erwerben dort aber – je nach Schul-

form mehr oder weniger – fachmathematische Kenntnisse auf einem Niveau, welches über das der

Schule (weit) hinausgeht. Eine Wiederholung des gesamten Schulstoffes ist in keiner Studienordnung

vorgesehen – egal für welches Lehramt. Reflektieren Sie daher frühzeitig Ihre Kenntnisse und tragen

Sie selbst Sorge dafür, bestehende Wissenslücken in Bezug auf den Schulstoff im Fach Mathematik zu

schließen.

Um gut auf das schriftliche Examen in Mathematik-Didaktik vorbereitet zu sein, sollten Sie die ma-

thematischen Inhalte, die Sie zukünftig lehren werden, auf drei Ebenen beherrschen, die in der Regel

den drei Teilaufgaben eines Themas in den Examensprüfungen entsprechen (siehe Kap. 3):

1. Auf fachlicher Ebene sind Sie in der Lage, diese Inhalte fachmathematisch korrekt zu erläutern.

2. Auf fachdidaktischer Ebene sind Sie in der Lage, wichtige Aspekte im Zusammenhang mit dem

Unterrichten dieser Inhalte zu erläutern („Stoffdidaktik“). Diese können sich auf das Erklären und

Repräsentieren von mathematischen Inhalten, auf mathematikbezogene Schülerkognitionen sowie

auf das Potential von Mathematikaufgaben beziehen.

3. Auf unterrichtlicher Ebene sind Sie in der Lage, auf Basis fachlicher und fachdidaktischer

Kenntnisse Unterricht zu diesen Inhalten sinnvoll zu planen („Unterrichtsdidaktik“).

Dabei wird vorausgesetzt, dass Sie mit dem Lehrplan für das Fach Mathematik (für Ihre Schulform)

sowie mit den Bildungsstandards Mathematik vertraut sind. Es ist empfehlenswert, sich am neuen

LehrplanPLUS (http://www.lehrplanplus.bayern.de/) zu orientieren, in dem die bundesweiten Bil-

dungsstandards seit dem Schuljahr 2017/2018 implementiert sind (in einer Übergangszeit wird im

Examen der Bezug auf den alten Lehrplan aber genauso akzeptiert). Wichtig ist zum einen, dass Sie

sich einen Überblick über die Fachlehrpläne Mathematik verschaffen: Welche thematischen Einhei-

ten (sog. Lernbereiche) werden in welcher Reihenfolge über die Jahrgangsstufen hinweg unterrichtet?

Welche Lerninhalte sind innerhalb dieser Lernbereiche vorgesehen? In welcher Weise durchziehen die

jeweiligen Lerninhalte den Lehrplan (spiralförmig) und werden im Sinne des kumulativen Lernens

immer wieder aufgegriffen und ergänzt, vertieft oder vernetzt? Zum anderen wird die Kenntnis we-

sentlicher Begrifflichkeiten des Fachprofils Mathematik vorausgesetzt, insbesondere der

prozessbezogenen Kompetenzen (= allgemeine mathematische Kompetenzen in den Bildungsstan-

dards) und der Gegenstandsbereiche (= Leitideen in den Bildungsstandards), aber auch das Wissen

http://www.lehrplanplus.bayern.de/

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über zentrale Aspekte zum Selbstverständnis des Faches, zur Zusammenarbeit mit anderen Fächern

und zum Beitrag zu übergreifenden Bildungs- und Erziehungszielen.

Die wesentlichen Kenntnisse im Hinblick auf Ihr schriftliches Examen in Mathematik-Didaktik kön-

nen Sie im Rahmen der Lehrveranstaltungen erwerben, die von der Mathematik-Didaktik angeboten

werden.

2.2. Die Veranstaltungen – Was sollte ich besuchen?

Im Rahmen stoffdidaktischer Veranstaltungen erwerben Sie wesentliche fachliche und fachdidaktische

Kenntnisse zum Schulstoff in Mathematik. Es werden fünf verschiedene Veranstaltungen angeboten,

die von Studierenden aller Schulformen besucht und bei Bestehen der Klausur gleichermaßen abge-

rechnet werden können. Im Optimalfall ist im Hinblick auf das Examen der Besuch folgender Lehr-

veranstaltungen während des Studiums empfohlen:

Für das Lehramt an Realschulen bzw. Mittelschulen vier stoffdidaktische Veranstaltungen

(Vorlesung und Übung zu Didaktik der Zahlbereiche, Didaktik der Algebra, Didaktik der Ge-

ometrie sowie Didaktik der Stochastik und Grundlagen der statistischen Datenanalyse), die al-

le den Schulstoff der Jahrgangsstufen 5 bis 10 behandeln mit Ausnahme der Stochastik-

Vorlesung; hier werden zusätzliche Inhalte für das Anfertigen einer empirischen Arbeit (z. B.

Zulassungsarbeit) behandelt, die aber klar als nicht relevant für das Examen gekennzeichnet

sind.

Für das Lehramt an Gymnasien mit absoluter Priorität die beiden Veranstaltungen Didaktik

der Geometrie und Didaktik der Analysis; im Hinblick auf die zweite Ausbildungsphase (Re-

ferendariat) sind natürlich auch die anderen drei stoffdidaktischen Vorlesungen (Zahlbereiche,

Algebra, Stochastik) empfehlenswert.

Prinzipiell sind in der Examensprüfung Themenstellungen aus allen Bereichen möglich (Didaktik der

Analysis nur gymnasiales Lehramt), es gibt aber schulformspezifische Vereinbarungen wie in Tabelle

1 zu sehen. Für jede der drei Schulformen sind somit die Bereiche für zwei der drei Themen inhaltlich

festgelegt, das dritte Thema kann einen freien Lehrplanbezug (z. B. erneut einer dieser Bereiche oder

Stochastik) haben.

Tabelle 1 Themeninhalte im Examen, getrennt nach Schulform

Thema 1 Thema 2 Thema 3

Mittelschule Geometrie Algebra/Zahlbereiche Freier Lehrplanbezug

Realschule Geometrie Algebra/Zahlbereiche Freier Lehrplanbezug

Gymnasium Geometrie (Kl. 5-10) Analysis, z.T. Algebra (Funktionen ab Kl. 8) Freier Lehrplanbezug

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In ergänzenden unterrichtsdidaktischen Veranstaltungen (Seminare, Praktika mit Begleitveranstaltun-

gen) erwerben Sie Kenntnisse darüber, wie Sie konkreten Unterricht planen und durchführen können –

jeweils anhand exemplarischer Lerninhalte des Schulfaches Mathematik. In die Gestaltung einer Un-

terrichtsstunde gehen dabei Ihre stoffdidaktischen, aber auch Ihre pädagogisch-psychologischen

Kenntnisse ein.

In schulformspezifischen Examensvorbereitungskursen haben Sie am Ende des Studiums die Mög-

lichkeit, exemplarische Examensaufgaben einzuüben (nähere Informationen in Kap. 2.5).

2.3. Das Zeitmanagement – Wann sollte ich anfangen?

Für Ihre zukünftige Tätigkeit als Lehrkraft ist es wichtig, die aus der eigenen Schulzeit bekannten

Inhalte von nun an auch aus einer anderen – der fachdidaktischen – Perspektive zu betrachten: Wie

kann ein mathematischer Lerninhalt in der Schule eingeführt werden? Welche unterrichtlichen Schü-

leraktivitäten sind denkbar? Welche typischen Schülerschwierigkeiten treten auf und wie lassen sich

diese vermeiden? Welche Aufgaben eignen sich besonders gut zur Übung? Derartige Fragen sollten

Sie im Rahmen mathematik-didaktischer Lehrveranstaltungen von Beginn Ihres Studiums an immer

im Hinterkopf haben.

Deshalb ist der regelmäßige Besuch von Vorlesungen und Übungen empfehlenswert, da hier der

Schulstoff aus dieser fachdidaktischen Perspektive behandelt wird: In den vier (fünf ab dem SoSe

2019) stoffdidaktischen Vorlesungen werden die Inhalte und deren Abfolge im Schulcurriculum sowie

Erklärungsmöglichkeiten und typische Schülerkognitionen thematisiert. In den Übungen wird dieser

Stoff vertieft, zudem werden nach Möglichkeit bereits Examensaufgaben vorgestellt. Die Aufgaben-

stellungen im schriftlichen Examen in Mathematik-Didaktik unterscheiden sich ganz deutlich von

typischen Aufgabenstellungen, die Sie sie aus Ihrem Mathematikunterricht kennen, und lassen sich

häufig nicht nach einem bekannten Schema abarbeiten (nähere Informationen in Kap. 3). An diese Art

der Aufgabenstellung und -bearbeitung müssen Sie sich gewöhnen. Ergänzend sollten Sie immer wie-

der recherchieren und sich bewusst machen, wie die jeweiligen schulischen Lerninhalte, um die es in

den Lehrveranstaltungen geht, konkret in Schulbüchern (Ihrer Schulform) eingeführt, erarbeitet oder

eingeübt werden.

Produktives Lernen und gutes Zeitmanagement können individuell sehr unterschiedlich aussehen,

allerdings berichten Studierende, dass es rückblickend sinnvoll war, den Examensvorbereitungskurs

bereits ein Semester vor dem Examenssemester besucht und vor allem aktiv genutzt zu haben (Ausar-

beitung von früheren Examensaufgaben). Häufig liegt im Examenssemester der Fokus auf der Vorbe-

reitung der fachlichen Inhalte in den Fächern, so dass die Vorbereitungszeit für die fachdidaktischen

Inhalte entsprechend kurz ist.

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2.4. Die Materialien – Was kann ich nutzen?

Materialien aus Ihrem Studium

Eine gute Grundlage für das schriftliche Examen schaffen Sie, indem Sie sich mithilfe der Inhalte der

Vorlesungen (inkl. Übungen) und der Examenskurse vorbereiten und für die gymnasiale Oberstufe

zusätzlich die Inhalte des Oberstufenseminars (bis zum WiSe 2018/2019) bzw. der Vorlesung Didak-

tik der Analysis (ab dem SoSe 2019) berücksichtigen.

Frühere Examensaufgaben

Unter dem Link http://staatsexamen.didmath.ewf.uni-erlangen.de/ (Didaktik der Mathematik der Uni-

versität Erlangen-Nürnberg) finden Sie eine Sammlung von Examensaufgaben aus Bayern. Dort sind

die Examensaufgaben ab dem Jahr 1982 für die Lehramtsstudiengänge Mittelschule und Realschule

und für den Lehramtsstudiengang Gymnasium ab dem Jahr 2010 zusammengestellt. Des Weiteren

finden Sie unter dem obigen Link u. a. auch eine Übersicht über (Themen-)Schwerpunkte (z. B. Dezi-

malbrüche, Gleichungen, Modellieren, Proportionalität, Wahrscheinlichkeit, Vielecke) der Prüfungs-

aufgaben.

In den GRIPS-Kursen zu den vier stoffdidaktischen Vorlesungen finden Sie jeweils eine Sammlung

von Examensaufgaben, die nach den Kapiteln des jeweiligen Vorlesungsskriptes geordnet sind:

Examensaufgaben (Sekundarstufe I) – Didaktik der Zahlbereiche (L1)

Examensaufgaben (Sekundarstufe I) – Didaktik der Geometrie (L2&L3)

Examensaufgaben (Sekundarstufe I) – Didaktik der Algebra (L4)

Examensaufgaben (Sekundarstufe I) – Didaktik der Stochastik (L5)

Gymnasium: Im GRIPS-Kurs zur Vorlesung Didaktik der Analysis finden Sie ab dem SoSe 2019 ein

entsprechendes Dokument mit Examensaufgaben zu den Analysis-Inhalten der gymnasialen Oberstu-

fe.

Lehrplan

In der Examensprüfung wird kein explizites Lehrplanwissen abgeprüft, entscheidend ist aber die Lo-

gik des Aufbaus der Lerninhalte. Verschaffen Sie sich einen Überblick über die Inhalte des

LehrplanPLUS (http://www.lehrplanplus.bayern.de/) für das Fach Mathematik, d. h. über Fachprofil,

Grundlegende Kompetenzen (Jahrgangsstufenprofile) und Fachlehrpläne.

In den GRIPS-Kursen zu den vier stoffdidaktischen Vorlesungen (fünf ab dem SoSe 2019) finden Sie

jeweils drei Dokumente mit Übersichten über den LehrplanPLUS:

http://staatsexamen.didmath.ewf.uni-erlangen.de/http://www.lehrplanplus.bayern.de/

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Kurzüberblick LehrplanPLUS (Sekundarstufe): Hierbei handelt es sich um einen Überblick über

alle Leitideen, Gegenstandsbereiche und Lernbereiche der Sekundarstufe, getrennt nach Schul-

form.

Grundlegende Kompetenzen des MU (Sekundarstufe): Hierbei handelt es sich um eine Zusam-

menfassung der im LehrplanPLUS formulierten „Grundlegende Kompetenzen (Jahrgangsstufen-

profile)“ der Sekundarstufe, getrennt nach Schulform. Es existiert je ein Dokument zu Algeb-

ra/Analysis, Geometrie, Stochastik und Zahlbereiche.

Kompetenzen und Lerninhalte des MU (Sekundarstufe): Hierbei handelt es sich um eine aus-

führliche Zusammenstellung aller im LehrplanPLUS unter „Fachlehrpläne“ formulierten Kompe-

tenzen und Lerninhalte der Sekundarstufe, getrennt nach Jahrgangsstufe und Schulform. Es exis-

tiert je ein Dokument zu Algebra/Analysis, Geometrie, Stochastik und Zahlbereiche.

Weitere Informationen zu diesen Dokumenten erhalten Sie in der jeweiligen Vorlesung.

Bildungsstandards

Exemplarische Aufgabenbeispiele, welche die allgemeinen mathematischen Kompetenzen, die Leit-

ideen sowie die Anforderungsbereiche unterschiedlich stark betonen, finden Sie hier:

Blum, W., Drüke-Noe, C., Hartung, R. & Köller, O. (2010). Bildungsstandards Mathematik: kon-

kret. Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen (4. Aufl.).

Berlin: Cornelsen.

KMK (2004). Beschlüsse der Kultusministerkonferenz. Bildungsstandards im Fach Mathematik

für den Mittleren Schulabschluss. Beschluss vom 4.12.2003. Darmstadt: Luchterhand.

http://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2003/2003_12_04-

Bildungsstandards-Mathe-Mittleren-SA.pdf

KMK (2015). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife. Be-

schluss der Kultusministerkonferenz vom 18.10.2012. Köln: Carl Link.

http://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-

Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

Schulbücher

Für konkrete Stundenentwürfe ist es sehr hilfreich, wenn Sie sich regelmäßig mit der Darbietung der

Lerninhalte in Schulbüchern auseinandersetzen.

Formelsammlung

Häufig sind bei Teilaufgabe 1 Inhalte (wie die Formulierung eines mathematischen Satzes) verlangt,

die Sie einer Formelsammlung entnehmen können. Zu jedem Prüfungstermin finden Sie eine Auflis-

tung der zugelassenen Hilfsmittel je Schulform und Fach sowie weitere allgemeine Prüfungshinweise

http://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2003/2003_12_04-Bildungsstandards-Mathe-Mittleren-SA.pdfhttp://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2003/2003_12_04-Bildungsstandards-Mathe-Mittleren-SA.pdfhttp://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdfhttp://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

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auf dem „Merkblatt für Prüfungsteilnehmer“, das als pdf-Datei auf den Internetseiten des Bayerischen

Staatsministeriums für Unterricht und Kultus zum Download bereit steht unter

https://www.km.bayern.de/ministerium/termine/1-staatspruefung-anmeldung-pruefungen.html

2.5. Die Examensvorbereitungskurse – Wie kann ich sie optimal nutzen?

Voraussetzungen für den Kurs:

Als Grundlage sind Sie mit den Inhalten der vier (fünf ab dem SoSe 2019) stoffdidaktischen

Vorlesungen bzw. des Oberstufenseminars (Gymnasium; bis WiSe 2018/2019) vertraut, und

zwar schulformspezifisch wie in Tabelle 2 zu sehen.

Tabelle 2 Inhaltliche Grundlage für den Besuch des Examenskurses, getrennt nach Schulform

inhaltliche Grundlage

Mittelschule Geometrie Algebra mindestens ein weiterer Bereich

Realschule Geometrie Algebra mindestens ein weiterer Bereich

Gymnasium Geometrie Analysis mindestens ein weiterer Bereich

Sie haben sich einen Überblick über die einzelnen Themenkomplexe des Schulcurriculums

verschafft (Lehrplanübersicht). Konkret bedeutet dies, dass Sie im Wesentlichen mit der zeit-

lichen Abfolge der Themen im Lehrplan Ihrer Schulform vertraut sind.

Sie sind mit dem prinzipiellen Aufbau von Examensaufgaben vertraut und haben sich einen

Überblick darüber verschafft, welche Anforderungen im Rahmen der schriftlichen Examens-

prüfung in Didaktik der Mathematik gestellt werden können (Inhalte dieses Heftes).

Ferner empfiehlt es sich, die Übungen zu den Vorlesungen besucht zu haben, da darin immer

wieder konkrete Examensaufgaben thematisiert und besprochen werden.

Beteiligung am Kurs:

Nutzen Sie den Examenskurs aktiv, um ein besseres Gefühl zu bekommen, was genau in wel-

chem Umfang im Examen von Ihnen verlangt wird.

Vor allem sollten Sie …

▫ … (mindestens) eine von der Kursleitung ausgewählte frühere Examensaufgabe ausarbeiten

und Ihre Lösung dann dem Seminar zur Diskussion vorstellen.

▫ … sich mit den von Ihren Kommiliton*innen ausgearbeiteten Lösungsvorschlägen kon-

zentriert beschäftigen und im Kurs darüber diskutieren.

Bearbeiten Sie zur individuellen Vorbereitung weitere Examensaufgaben. Nach Rücksprache

mit der Kursleitung besteht evtl. auch die Möglichkeit zur Korrektur und Nachbesprechung

dieser Ausarbeitungen.

https://www.km.bayern.de/ministerium/termine/1-staatspruefung-anmeldung-pruefungen.html

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Äußern Sie zu Beginn des Examenskurses „Wunschthemen“, die Sie gerne im Verlauf des

Semesters anhand konkreter Examensaufgaben genauer erarbeiten möchten.

Außerhalb des Kurses:

Generell ist es sinnvoll, sich zur Vorbereitung außerhalb des Kurses in Lerngruppen zu arran-

gieren, da Sie viele Inhalte durch Diskussionen mit Kommiliton*innen differenzierter betrach-

ten und somit tiefgründiger verstehen können.

Weitere (schulformspezifische) Hinweise erhalten Sie im jeweiligen Examensvorbereitungskurs.

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Examensaufgabe

Thema 1 Teilaufgabe 1 Teilaufgabe 2 Teilaufgabe 3

Thema 2 Teilaufgabe 1 Teilaufgabe 2 Teilaufgabe 3

Thema 3 Teilaufgabe 1 Teilaufgabe 2 Teilaufgabe 3

3. Die Examensaufgabe

Die Erläuterungen, Beispiele und Hinweise in diesem Kapitel resultieren aus einer Analyse der The-

menstellungen der Examensaufgaben seit dem Jahre 1990 mit starkem Fokus auf Aufgabenstellungen

seit dem Jahre 2010, so dass die Erläuterungen vor dem Hintergrund der Bildungsstandards und des

LehrplanPLUS aktuell sind. Dennoch erheben diese Informationen keinen Anspruch auf Vollständig-

keit und Ausschließlichkeit, sondern sind als Orientierungshilfe bei der Vorbereitung auf das schriftli-

che Examen in Didaktik der Mathematik zu sehen.

3.1. Aufbau und Inhalt im Allgemeinen

Für alle drei Schulformen beinhaltet die schriftliche Prüfung im Rahmen der Ersten Staatsprüfung in

Mathematik jeweils eine „Aufgabe aus der Fachdidaktik“ (im Folgenden kurz Examensaufgabe), für

die eine Bearbeitungszeit von drei Stunden vorgesehen ist (vgl. LPO I). Dabei werden Ihnen wie in

Abbildung 1 zu sehen drei Themen zur Wahl gestellt, von denen Sie ein Thema bearbeiten.

In der Regel sind diese Themen einem der Bereiche Algebra, Geometrie, Stochastik, Zahlbereiche

oder Analysis (nur LA GY) zuzuordnen. Es ist aber auch möglich, dass sich diese Bereiche innerhalb

eines Themas überschneiden. Außerdem dürfen Sie sich nicht darauf verlassen, dass die drei Themen

aus drei verschiedenen Bereichen stammen.

Um den Prüflingen eine Hilfe anzubieten, haben sich die bayerischen Mathematikdidaktiker*innen

dahingehend verständigt, dass jedes der drei Themen prinzipiell aus drei Teilaufgaben besteht. Dies

gilt für jede Schulform. Inhaltlich sind diese Teilaufgaben üblicherweise wie folgt (Tabelle 3) aufge-

baut:

Abbildung 1 Aufbau der Examensaufgabe (schulformübergreifend)

13

Tabelle 3 Aufbau und inhaltliche Gestaltung eines Themas im Examen (schulformübergreifend)

Mittelschule Realschule Gymnasium Te

ilauf

gabe

1 Fachliche Aufgabe

Die erste Teilaufgabe beinhaltet im Regelfall eine fachmathematisch orientierte Problemstel-

lung und verlangt die Analyse eines mathematischen Inhalts auf fachlicher Ebene (meist noch

ohne Rücksicht auf die schulische Situation).

Teila

ufga

be 2

Fachdidaktische Aufgabe

Die zweite Teilaufgabe beinhaltet im Regelfall eine stoffdidaktisch orientierte Problemstel-

lung und verlangt die Auseinandersetzung mit Unterrichtsoptionen zu einem mathematischen

Inhalt auf fachdidaktischer Ebene sowie häufig die Begründung dieser Optionen.

Teila

ufga

be 3

Schriftliche Unterrichtsplanung

Im Rahmen der dritten Teilaufgabe ist im Regelfall eine schriftliche Unterrichtsplanung

verlangt. Häufig soll eine Unterrichtseinheit, in selteneren Fällen eine Unterrichtssequenz

entwickelt werden. Falls nicht näher spezifiziert, werden die folgende Bestandteile einer

schriftlichen Unterrichtsplanung erwartet: Sachanalyse, Lernvoraussetzungen, Lernziele,

didaktisch-methodische Analyse mit Beschreibung und Begründung der wesentlichen unter-

richtlichen Schritte und ggf. Verlaufsplan.

Oftmals kann auch verlangt sein, dass spezielle, konkret genannte Bestandteile einer schrift-

lichen Unterrichtsplanung (z.B. die Konzeption von Aufgaben oder die Analyse von Schü-

lerschwierigkeiten) ausgearbeitet werden sollen, dann aber ausführlicher.

Bei allen Teilaufgaben ist es möglich, dass neben Kenntnissen zu speziellen Themen aus den Berei-

chen Algebra, Geometrie, Stochastik und Zahlbereiche (alle Schulformen) sowie Analysis (nur LA

GY) auch ein allgemeines Überblickswissen zum Schulfach Mathematik benötigt wird, sowohl auf

fachlicher als auch auf fachdidaktischer Ebene. Gelegentlich soll bei Teilaufgabe 1 oder 2 ein Über-

blick über einen Themenstrang (d. h. über die fachlichen Kenntnisse und Fähigkeiten der Schü-

ler*innen zu einem bestimmten Lerninhalt bis zu einer bestimmten Jahrgangsstufe) gegeben werden,

wofür eine Übersicht über den aktuell gültigen Lehrplan (Fachprofil, Jahrgangsstufenprofile, Fach-

lehrpläne) zu den einzelnen Themenkomplexen des Schulcurriculums unabdingbar ist. Häufig sollen

bei den Teilaufgaben 2 und 3 Aspekte der Bildungsstandards (Leitideen oder allgemeine mathemati-

sche Kompetenzen) oder spezielle Unterrichtsmedien (z. B. Dynamische Geometrie Software) in be-

sonderem Maße berücksichtigt werden.

Nähere Informationen zu den einzelnen Teilaufgaben finden Sie in Kapitel 3.3.

14

3.2. Die Aufgabenstellung – Formulierungen und ihre Bedeutung

In diesem Kapitel werden Bedeutung und Erwartungen von Formulierungen geklärt, die häufig in den

Aufgabenstellungen der Examensaufgabe verwendet werden.

3.2.1. Operatoren

Einen wichtigen Hinweis über den Erwartungshorizont einer Aufgabe gibt der Operator, mit dem der

Arbeitsauftrag beginnt. Operatoren, die häufig in Aufgabenstellungen verwendet werden, sind in Ta-

belle 4 zusammengestellt. Zusätzlich ist die Seitenzahl angegeben, auf der Sie nachfolgend jeweils

eine kurze Erläuterung und exemplarische Aufgabenstellungen zu diesen Operatoren finden.

Tabelle 4 Übersicht über häufig verwendete Operatoren

Operator Seite Operator Seite Operator Seite

angeben 18 diskutieren 16 herleiten 18

aufzeigen 15 entwerfen 16 konzipieren 18

ausarbeiten 16 entwickeln 16 nennen 18

begründen 14 erklären 17 schildern 15

beschreiben 15 erläutern 17 skizzieren 15, 16

beweisen 15 erörtern 16 Überblick geben 15

darstellen 15, 17 erstellen 16 zeigen 15

definieren 16 formulieren 17

Anzumerken ist, dass einige dieser Operatoren synonym verwendet werden und demzufolge gleichbe-

deutend sind. Es gibt bei manchen Operatoren aber auch Bedeutungsunterschiede je nach Kontext.

begründen

Bei „Begründen Sie …“ sind alle Mittel des anschaulichen und plausiblen Schließens (z. B. pädagogi-

sche, psychologische, soziologische, schulartspezifische, methodische, entwicklungspsychologische,

lernplantechnische, klassenbedingte, fachliche, fächerübergreifende, motivationale und lernbedingte

Argumente) zugelassen. Dies gilt auch für eine Aufgabenstellung im fachmathematischen Kontext (im

Gegensatz zu „Beweisen Sie …“, siehe dort). Die engere Auswahl der argumentativen Mittel ist im

Sinne einer zielgerichteten Argumentation streng auf die Themenstellung zu beziehen.

RS 2002/II, 1 1. Begründen Sie die „drei binomischen Formeln“ und geben Sie verschiedene Möglichkeiten zur Veranschaulichung an!

MS 2018/I, 1 DF 2. Beschreiben Sie Aufgabenstellungen, die das Verständnis zur direkten und indirekten Proportionalität fördern, und begründen Sie Ihre Auswahl!

MS 2014/II, 3 UF 3. In einer Unterrichtseinheit sollen bei einem mehrstufigen Laplace-Experiment Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden. Begründen Sie unterricht-liche Schritte unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!

15

beschreiben, aufzeigen, darstellen, schildern, skizzieren, Überblick geben

Bei „Beschreiben Sie …“, „Zeigen Sie … auf“, „Stellen Sie … dar“, „Schildern Sie …“, „Skizzieren Sie

…“ oder „Geben Sie einen Überblick …“ im Kontext fachlicher oder fachdidaktischer Aufgabenstel-

lungen ist verlangt, alle wesentlichen Aspekte des Sachverhalts (mathematischer Inhaltsbereich, didak-

tisches Konzept, Themenbereich im Lehrplan etc.) in Bezug auf die Themenstellung übersichtlich

(sinnvolle Gliederung/Aufbau/Reihenfolge) anzugeben.

Dabei ist der Sachverhalt zunächst hinsichtlich seiner Inhalte zu analysieren. Die Ergebnisse der Ana-

lyse sind dann zu ordnen und sinnvoll zu gliedern. Die Beschreibung selbst ist schließlich in übersicht-

licher und strukturierter sowie textlich gut verständlicher Form – in fachsprachlicher Weise – vorzu-

nehmen. Eine bloße Aufzählung von Schlagworten genügt nicht. Meistens sind erläuternde und/oder

begründende Beispiele zu ergänzen, sofern die Aufgabenstellung nicht ohnehin dazu auffordert.

GY 2016/I, 3 1. Skizzieren Sie zwei didaktische Konzepte zur Erarbeitung des Bereichs der Bruchzahlen! Erläutern Sie Stärken und Schwächen der Konzepte für den Ma-thematikunterricht!

MS 2015/II, 2 DF 1. Stellen Sie die Zahlbereichserweiterung in der Haupt- bzw. Mittelschule dar! Gehen Sie dabei auf die Lösbarkeit von Gleichungen ein!!

GY 2016/I, 1 2. Geben Sie einen Überblick, bei welchen Themengebieten Grenzwertprozesse im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I eine Rolle spielen!

RS 2012/I, 3 2. a) Zeigen Sie Möglichkeiten auf, die binomischen Formeln in der Realschule herzuleiten! Diskutieren Sie dabei auch die Verwendung geometrischer Veran-schaulichungen!

RS 2016/II, 1 3. In einer Unterrichtseinheit soll die flexible Nutzung von Verfahren zur al-gebraischen Lösung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten gefördert werden. Schildern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte und begründen Sie diese unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!

MS 2014/I, 3 UF 3. Beschreiben Sie wesentliche Lernschritte und Schüleraktivitäten bei der Herleitung der Formel für die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels!

beweisen, zeigen

„Beweisen Sie …“ oder „Zeigen Sie …“ verlangt im fachmathematischen Zusammenhang (meist ein

mathematischer Satz) die exakte Durchführung eines mathematischen Beweises mit Hilfe des euklidi-

schen Beweisschemas. Die einzelnen Beweisschritte sind klar darzulegen. Dabei ist ausschließlich auf

bereits bewiesene Sätze Bezug zu nehmen sowie auf Folgerichtigkeit und logische Nachvollziehbar-

keit zu achten.

RS 2013/I, 3 1. Formulieren und beweisen Sie die Sätze der Satzgruppe des Pythagoras!

MS 2014/II, 2 DF 4. Zeigen Sie: Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist genauso groß wie das Produkt aus dem größten gemeinsamen Teiler und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen!

16

definieren

In Bezug auf einen mathematischen Begriff verlangt „Definieren Sie …“ eine mathematisch einwand-

freie Definition des Begriffs selbst, d. h. eine klare Abgrenzung von anderen Begriffen.

RS 2013/II, 3 1. Definieren Sie die für den Unterricht in der Realschule relevanten Vierecks-typen und erläutern Sie eine Klassifikation nach Symmetrieeigenschaften!

RS 2011/I, 1 1. Definieren Sie die Begriffe Kreis, Kreissektor, Kreissegment, Tangente, Sekante und Sehne!

diskutieren, erörtern

Wenn „Diskutieren Sie …“ oder „Erörtern Sie …“ eine Aufgabenstellung einleiten, sind Begriffe,

Lehrsätze, Verfahren oder Maßnahmen zu untersuchen und meist hinsichtlich ihrer Gemeinsamkeiten

und Unterschiede, Vor- und Nachteile bezüglich einer in der Themenstellung vorgegebenen Verwen-

dung zu beschreiben.

GY 2010/I, 1 2. Erörtern Sie inner- und außermathematische Situationen, die im Analysisun-terricht auf Extremwertaufgaben führen können, unter didaktischen Gesichts-punkten.

MS 2017/I, 3 DF 3. Diskutieren Sie zwei wesentlich verschiedene Vorgehensweisen im Unter-richt, Strategien für die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen zu erar-beiten!

entwickeln, entwerfen, erstellen, ausarbeiten, skizzieren

Im Falle von „Entwickeln Sie …“, „Entwerfen Sie …“, „Erstellen Sie …“, „Arbeiten Sie … aus“ oder

„Skizzieren Sie …“ sind im Zusammenhang mit einer schriftlichen Unterrichtsplanung (Unterrichts-

einheit oder -sequenz) deren wesentliche Bestandteile verlangt sowie insbesondere eine Beschreibung

und Begründung der geplanten unterrichtlichen Verlaufsschritte (Näheres zum Erwartungshorizont s.

Kapitel 3.3.3). Es ist darzulegen, wie ein Lernprozess zu einem speziellen Begriffsaufbau, zur Ver-

mittlung eines Lehrsatzes, zur Darstellung eines Verfahrens, zur Bearbeitung bestimmter Aufgaben

etc. zu organisieren ist. Dabei sind die einzelnen unterrichtlichen Schritte (math. Inhalt; Lehreraktivität

mit wichtigen Impulsen, Anregungen und Handlungsanweisungen; Schüleraktivität; Ziel; ggf. Metho-

de und Medien) so detailliert anzugeben, dass der Lernprozess für einen Außenstehenden nachzuvoll-

ziehen ist.

GY 2018/I, 3 3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung des "SsW-Satzes" (Kongruenzsatz für Dreiecke)!

MS 2013/II, 2 DF 3. Erstellen Sie eine Unterrichtssequenz zum Thema "Drehsymmetrie"!

RS 2011/I, 3 3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in der eine Modellierungsaufgabe bearbeitet wird!

17

erläutern, erklären

„Erläutern Sie …“ oder „Erklären Sie …“ verlangt im Kontext…

a) …fachmathematischer Begriffe eine mathematisch einwandfreie Definition des Begriffs; darüber

hinaus sind der Begriffsinhalt zu verdeutlichen und der Begriffsumfang abzustecken sowie Be-

ziehungen zu Ober-, Unter- und Nachbarbegriffen aufzuzeigen (Skizzen, Figuren, Beispiele etc.).

b) …fachmathematischer Sätze, Zusammenhänge, Verfahren etc. eine über das Formulieren bzw.

Angeben hinausgehende Verdeutlichung dieser Sätze, Zusammenhänge, Verfahren etc. mittels

geeigneter Beispiele, Skizzen, Veranschaulichungen, usw., jedoch keine Beweise.

c) …fachdidaktischer Aufgabenstellungen eine über das Nennen bzw. Angeben hinausgehende Ver-

deutlichung von unterrichtsbezogenen Sachverhalten anhand geeigneter Beispiele, Aufgaben, Be-

gründungen, Situationen, Bewertungen (Vor- und Nachteile), usw.

GY 2018/I, 1

(zu a)

1. Erläutern Sie die Begriffe "Exponentialfunktion" und "Logarithmusfunkti-on"! Berücksichtigen Sie dabei auch Inhalte auf dem Niveau der Sekundarstufe II!

MS 2017/II, 1 DF

(zu b)

1. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen quadratischen Funktionen und quadratischen Gleichungen!

MS 2013/I, 2 UF

(zu c)

2. Erklären Sie, welche Bedeutung lineare Funktionen im Mathematikunter-richt der Haupt- bzw. Mittelschule haben können!

RS 2018/I, 2

(zu c)

3. Erläutern Sie zwei verschiedene Wege, die Division von gewöhnlichen Brü-chen (Bruch durch Bruch) als Operation einzuführen! Gehen Sie darauf ein, wie bei dem jeweiligen Vorgehen verständlich wird, dass der Quotient größer als der Dividend sein kann!

formulieren, darstellen

„Formulieren Sie …“ oder „Stellen Sie … dar“ verlangt die vollständige sprachliche und (wenn mög-

lich) symbolische Darlegung eines Sachverhaltes unter Verwendung korrekter mathematischer Fach-

sprache in Anlehnung an die Fachliteratur. Dies kann auf fachlicher Ebene (mathematischer Satz, Zu-

sammenhang, Verfahren etc.) oder auf fachdidaktischer Ebene (Lernziele, Schülerschwierigkeiten,

Arbeitsaufträge, Aufgaben etc.) gefordert sein.

MS 2016/II, 1 DF 1. Formulieren Sie die Sätze der Satzgruppe des Pythagoras in Worten! Bewei-sen Sie den Höhensatz und seine Umkehrung!

RS 2017/I, 2 1. Stellen Sie die Gleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion auf ver-schiedene Arten dar! Erläutern Sie dabei die Bedeutung der verwendeten Pa-rameter und zeigen Sie anhand von Beispielen, wie man die verschiedenen Darstellungen ineinander überführen kann!

GY 2014/I, 3 2. Formulieren Sie eine Aufgabe zum Inhaltsbereich "Satz des Thales" (mit Lösungsskizze), bei der mindestens eine allgemeine mathematische Kompe-tenz im Sinne der Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss ange-sprochen wird! Begründen Sie diesen Zusammenhang zwischen der Aufgabe und den Bildungsstandards!

18

MS 2018/I, 1 UF 3. Ziel einer Unterrichtseinheit ist es, die Multiplikation ganzer Zahlen zu erar-beiten. Formulieren Sie Lernziele, beschreiben Sie wesentliche unterrichtliche Schritte, formulieren Sie zentrale Arbeitsaufträge und begründen Sie das ge-wählte Vorgehen aus fachdidaktischer Sicht!

herleiten

„Leiten Sie … her“ verlangt das Folgern eines mathematischen Sachverhalts (Satz, Formel etc.) aus

grundlegenden Sachverhalten. Dabei sind sowohl die Voraussetzungen anzugeben, als auch die ein-

zelnen Schritte nachvollziehbar zu erläutern und zu begründen. Beweise sind zwar zulässig, jedoch

nicht zwingend notwendig.

RS 2017/II, 2 1. Leiten Sie die Volumenformel für die Kugel auf der Grundlage geeigneter Vergleichskörper her! Gehen Sie dabei auch auf den Satz des Cavalieri ein!

konzipieren

Bei „Konzipieren Sie …“ im Kontext fachdidaktischer Aufgabenstellungen ist das Planen/Entwerfen/

Entwickeln von unterrichtsrelevanten Inhalten verlangt, wobei hierbei vor allem auf sinnvolle Gliede-

rung/Aufbau/Reihenfolge zu achten ist, die in den weiteren Ausführungen auch erläutert und begrün-

det werden muss.

MS 2016/I, 3 UF 3. Konzipieren Sie eine Folge von Aufgaben zum Thema "Ordnen und Verglei-chen von Bruchzahlen"! Erläutern Sie ihre unterrichtliche Verwendung und gehen Sie dabei auch auf Schülerschwierigkeiten ein!

GY 2010/II, 2 3. Konzipieren Sie ein Projekt im Mathematikunterricht, in dem die Schüler den Nutzen der Trigonometrie bei Vermessungsproblemen in der Umwelt ken-nen lernen.

nennen, angeben

Sowohl in Bezug auf fachliche (Sätze, Zusammenhänge, Verfahren etc.) als auch auf fachdidaktische

(Lernvoraussetzungen, Lernziele etc.) Aspekte meint „Nennen Sie …“ oder „Geben Sie … (an)“ eine

möglichst vollständige Aufzählung von Eigenschaften, Kriterien, Voraussetzungen, Zielen etc. in lis-

tenhafter Darstellung. Meistens ist durch die Aufgabenstellung eine zusätzliche Beschreibung oder

Erläuterung dieser Aspekte verlangt.

RS 2010/I, 3 1. Geben Sie wesentliche Schülerschwierigkeiten beim Übergang von den na-türlichen Zahlen zu den Bruchzahlen an und erläutern Sie diese an Beispielen!

GY 2015/II, 2 3. Nennen Sie Lernvoraussetzungen und Lernziele einer Unterrichtseinheit zu Anwendungen des Höhensatzes! Schildern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte und begründen Sie diese unter mathematikdidaktischen Gesichtspunk-ten!

19

3.2.2. Weitere häufige Formulierungen

Neben den Operatoren gibt es weitere Formulierungen in Aufgabenstellungen, die häufig verwendet

werden und für die eine Klärung sinnvoll erscheint. Dies sind zum einen Hinweise zu Umfang und

Inhalt der geforderten Aspekte, wenn die Aufgabenstellung dies offen lässt. Zum anderen sind dies

Anmerkungen dazu, was in Aufgabenstellungen unter wesentlichen unterrichtlichen Schritten zu ver-

stehen ist und wie fachdidaktische Gesichtspunkte besonders fokussiert werden können.

zwei, drei, usw.; einige, mehrere; verschiedene, unterschiedliche

Falls die Aufgabenstellung eine bestimmte Anzahl (zwei, drei, usw.) von Aspekten verlangt, ist der

Umfang der Bearbeitung klar. Häufig ist aber eine unbestimmte Anzahl (meistens als implizite Plu-

ralangabe, selten explizit in Form von einige oder mehrere) von Aspekten verlangt. In diesem Fall

sollte auf mindestens drei Aspekte eingegangen werden.

Insbesondere wenn explizit unterschiedliche oder verschiedene Aspekte in der Aufgabenstellung ver-

langt werden, sollten diese sich substantiell unterscheiden und eine gewisse Bandbreite abdecken.

Aber auch sonst sollten die Aspekte den Sachverhalt der Aufgabenstellung inhaltlich möglichst voll-

ständig repräsentieren und Doppelungen vermeiden.

MS 2017/II, 2 UF 1. Erläutern Sie verschiedene Aspekte von ganzen Zahlen!

RS 2017/II, 3 2. Beschreiben Sie unterrichtliche Methoden zur näherungsweisen Lösung der Gleichung x³ = 2!

RS 2014/I, 1 2. Diskutieren Sie unterschiedliche Möglichkeiten, negative Zahlen im Unter-richt einzuführen!

GY 2017/II, 3 2. Erläutern Sie an drei Beispielen Möglichkeiten eines didaktisch sinnvollen Computereinsatzes im Stochastikunterricht.

wesentliche bzw. wichtige unterrichtliche Schritte

Die Frage, was unter wesentlichen unterrichtlichen Schritten zu verstehen ist, lässt sich nur in Bezug

auf eine zu entwickelnde Unterrichtseinheit mit einem konkreten Stundenthema sinnvoll beantworten.

Die nachfolgenden Gliederungspunkte können Ihnen aber bei der Bearbeitung einer Aufgabe mit die-

ser Formulierung behilflich sein:

Geben Sie Lernziele (Inhalts- und Verhaltenskomponente) und Lernvoraussetzungen an, falls diese

nicht ohnehin explizit verlangt sind!

Achten Sie auf die Schilderung eines gelungenen Einstiegs in das Stundenthema (Motivation), ggf.

auch mit Alternativen!

Erläutern Sie erwartete typische Schülerschwierigkeiten, zentrale Verständnishürden im Stunden-

ablauf und Konsequenzen für die Stundenplanung! Geben Sie entsprechende präventive bzw. inter-

ventive Maßnahmen von Lehrkraftseite an (stark schematisches Vorgehen, Merksätze, Verdeutli-

chung durch konkrete Beispiele etc.)!

20

Skizzieren Sie grob, wie die Lerninhalte erarbeitet werden. Schildern Sie dabei die gedanklichen

Teilschritte, denen die Schüler folgen müssen.

Wichtig: Erläutern und begründen Sie dabei unbedingt Ihre inhaltlich-didaktischen Entscheidun-

gen! Weniger wichtig sind methodische Entscheidungen.

Wählen Sie geeignete Inhalte zur Sicherung, Übung bzw. Anwendung aus, geben Sie diese konkret

an und begründen Sie Ihre Wahl!

Wichtig: Sind im Rahmen einer derartigen Aufgabenstellung Aspekte explizit verlangt, die in dieser

Auflistung fehlen (z. B. eine Sachanalyse), berücksichtigen Sie diese unbedingt!

MS 2012/II, 3 UF 3. In einer Unterrichtseinheit soll die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssys-tems behandelt werden! Begründen Sie wichtige unterrichtliche Schritte unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!

RS 2016/I, 2 3. In einer Unterrichtseinheit soll der Satz über den Schwerpunkt eines Drei-eckes erarbeitet werden. Formulieren Sie eine Sachanalyse und erläutern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!

GY 2017/I, 1 3. In einer Unterrichtseinheit soll der Zusammenhang zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises erarbeitet werden. Nennen Sie Lernvoraussetzungen und Ziele! Begründen Sie wesentliche unterrichtliche Schritte unter fachdidakti-schen Gesichtspunkten!

GY 2016/I, 2 3. In einer Unterrichtseinheit sollen Zusammenhänge zwischen den Graphen einer Funktion, ihrer Ableitungsfunktion und einer Stammfunktion behandelt werden. Wählen Sie dazu ein geeignetes Beispiel und erläutern Sie wesentliche unterrichtliche Schritte unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!

unter fachdidaktischen (didaktischen, mathematikdidaktischen) Gesichtspunkten bzw. aus

fachdidaktischer Sicht

Die Frage, was man unter fachdidaktischen Gesichtspunkten versteht, lässt sich auf abstrakter Ebene

ohne Bezug zu einer konkreten Aufgabenstellung schwer eindeutig beantworten. Daher müssen auch

die hier vorgestellten Punkte immer im Kontext der Aufgabenstellung gesehen und nicht alle auf ein-

mal berücksichtigt werden. Die hier aufgeführten, thematisch gegliederten Zusammenstellungen ent-

halten aber wesentliche Elemente eines (fach)didaktisch gut geplanten Unterrichts und können Ihnen

als Orientierung dienen, wenn von Ihnen Erläuterungen aus fachdidaktischer Sicht verlangt sind zu

folgenden unterrichtlichen Aspekten:

a) Aufbau und Inhalt von unterrichtlichen Phasen einer oder mehrerer Stunden

b) Phasen des Erarbeitens von Lerninhalten innerhalb einer Stunde

c) Herleitungen, Zugänge, Verfahren als wesentliche Lerninhalte in Phasen des Erarbeitens

d) Phasen des Übens anhand von Aufgaben innerhalb einer Stunde

Im Folgenden werden diese vier Aspekte a) bis d) näher erläutert.

21

a) Sollen Sie Aufbau und Inhalt von unterrichtlichen Phasen einer oder mehrere Stunden aus fach-

didaktischer Sicht erläutern und begründen, können Sie sich an folgenden Punkten orientieren:

Achten Sie auf einen klar erkennbaren „roten Faden“, der sich durch alle Phasen zieht!

Orientieren Sie sich an den Lehrplänen und ordnen Sie die Inhalte in die passende Jahrgangs- bzw.

Altersstufe ein!

Orientieren Sie sich in Ihren Ausarbeitungen an den vorher definierten Lernzielen! Dadurch errei-

chen Sie eine klare Fokussierung und Strukturierung.

Orientieren Sie sich an den Bildungsstandards (v. a. allgemeine mathematische Kompetenzen)!

Nehmen Sie Bezug auf Alltagserfahrungen und fachliches Vorwissen (Lernvoraussetzungen) der

Schüler!

Formulieren Sie eine klare Leitfrage für die Stunde! Achten Sie dabei genau auf die Themenstel-

lung! Berücksichtigen Sie alle explizit genannten Aspekte ausreichend! Vorsicht vor Themaverfeh-

lung!!!

Erzeugen Sie zu Beginn der Stunde einen kognitiven Konflikt, den Sie im Laufe der Stunde auflö-

sen (problemlösende Herangehensweise)!

Trennen Sie die Unterrichtsphasen klar voneinander ab und schildern Sie diese unter Berücksichti-

gung eines sinnvollen Stundenaufbaus (z.B. Motivation, Erarbeitung, Sicherung, Vertiefung)!

Begründen Sie die geplanten Lernaktivitäten unter Berücksichtigung der (Fein-)Ziele und des

Kompetenzerwerbs!

Setzen Sie Methoden sinnvoll – und nicht zum Selbstzweck – ein (Unterrichtskonzept, Sozialfor-

men, Materialien, „neue Medien“)!

Geben Sie die zentralen Erkenntnisse, die die Schüler erlangen sollen, explizit an, indem Sie kon-

krete Merksätze, Handlungsschemata etc. formulieren!

Geben Sie an, wie Sie die Schüler kognitiv und metakognitiv aktivieren!

Integrieren Sie (wo möglich) Sinn stiftende Aspekte für den Lerninhalt in Ihre Planung!

b) Falls Sie Phasen des Erarbeitens von Lerninhalten aus fachdidaktischer Sicht erläutern und

begründen sollen, können Sie sich an folgenden Punkten orientieren:

Elementarisieren Sie den Lerngegenstand: Identifizieren Sie einen zentralen Kern als Grundlage für

weitere Zusammenhänge, angepasst an den Entwicklungsstand der Schüler! Erläutern und begrün-

den Sie ausgehend hiervon Ihr weiteres Vorgehen!

Stellen Sie die dabei relevanten, gedanklichen Teilschritte klar dar!

Bauen Sie die einzelnen Teilschritte sinnvoll in einer inhaltlich-logischen Struktur auf!

GY 2017/I, 3 3. In einer Unterrichtsstunde sollen Eigenschaften von gleichschenkligen Drei-ecken erarbeitet und begründet werden. Geben Sie Lernvoraussetzungen an und nennen Sie Lernziele! Beschreiben Sie einen Stundenverlauf und begründen Sie diesen unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!

22

Erläutern Sie, wie Sie mit Schülerschwierigkeiten und typischen Fehlern umgehen!

c) Inhalt einer Erarbeitungsphase sind häufig die Herleitung eines mathematischen Zusammenhangs,

ein bestimmter Zugang zu einem mathematischen Thema oder ein bestimmtes mathematisches

Verfahren. Sollen Sie Herleitungen, Zugänge, Verfahren aus fachdidaktischer Sicht erläutern

und bewerten, können Sie sich an folgenden Punkten orientieren:

Stellen Sie die Frage nach der Allgemeingültigkeit des Sachverhalts, Zusammenhangs etc.!

Geben Sie das benötigte Vorwissen der Schüler an!

Geben Sie mögliche Schülerschwierigkeiten an, z.B. beim Verständnis der Strategie oder des Prin-

zips, hinsichtlich der algebraischen Komplexität, bezüglich der Art der Darstellung (formal vs. an-

schaulich)!

Gehen Sie auf die methodische Umsetzung ein!

Diskutieren Sie die Übertragbarkeit auf weitere unterrichtliche Situationen!

Begründen Sie, inwiefern das Verständnis von Zusammenhängen in der Mathematik gefördert

wird!

Diskutieren Sie das Potential zur Kompetenzorientierung!

Heben Sie Aspekte des Alltagsbezugs hervor!

d) Falls Sie Phasen des Übens anhand von Aufgaben aus fachdidaktischer Sicht erläutern und be-

gründen sollen, können Sie sich an folgenden Punkten orientieren:

Geben Sie konkrete Aufgabenstellungen an, evtl. ergänzt um kurze Lösungsskizzen!

Begründen Sie, warum Sie diese konkreten Aufgaben gewählt haben!

Geben Sie mögliche Alternativen an!

Berücksichtigen Sie auch die „neue Aufgabenkultur“ (prozessbezogene Kompetenzen)!

Integrieren Sie ggf. Möglichkeiten der Differenzierung!

MS 2012/II,3 UF 3. In einer Unterrichtseinheit soll die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssys-tems behandelt werden! Begründen Sie wichtige unterrichtliche Schritte unter fachdidaktischen Gesichtspunkten!

GY 2012/I, 1 2. Beschreiben Sie zwei verschiedene Möglichkeiten zur Herleitung der Flächen-inhaltsformel eines Dreiecks! Diskutieren Sie dabei unter didaktischen Gesichts-punkten Vor- und Nachteile der Zugänge!

GY 2016/I, 3 3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zum "Kürzen und Erweitern von ge-wöhnlichen Brüchen"! Formulieren Sie geeignete Aufgabenstellungen für diese Unterrichtseinheit und begründen Sie Ihre Wahl unter fachdidaktischen Ge-sichtspunkten!

23

3.3. Die Teilaufgaben im Einzelnen

In diesem Kapitel werden der Reihe nach die Teilaufgaben 1, 2 und 3 näher erläutert. Dabei werden

zunächst typische Inhalte und Erwartungen (Abschnitt A.) beschrieben und um exemplarische Aufga-

benstellungen (Abschnitt B.) ergänzt. Anschließend werden anhand authentischer Ausarbeitungsbei-

spiele häufige Probleme und Fehler (Abschnitt C.) erläutert. Hierbei ist die Ausarbeitung durch

eine eigene Schriftart in blauer Farbe gekennzeichnet, Korrekturhinweise in roter Farbe sind an

entsprechender Stelle oder am Ende ergänzt. Abschließend sind Tipps für das Examen (Abschnitt D.)

zusammengestellt, die sich vor allem aus den vorher aufgezeigten Problemen und Fehlern ableiten.

3.3.1. Fachliche Aufgabe (Teilaufgabe 1)

A. Inhalte und Erwartungen

Die erste Teilaufgabe besteht im Regelfall aus einer fachlichen Analyse und beinhaltet eine fachma-

thematisch orientierte Problemstellung.

Das kann die Definition und Erläuterung zentraler mathematischer Begriffe, die Formulierung oder

Erläuterung eines mathematischen Satzes, Zusammenhangs, Verfahrens etc. sein.

B. Exemplarische Aufgabenstellungen

MS 2017/I, 2 UF 1. Definieren Sie den Begriff "Teiler einer natürlichen Zahl" und erläutern Sie Eigenschaften der Teilerrelation!

GY 2017/II, 1 1. Formulieren und beweisen Sie den Kosinussatz.

MS 2015/II, 2 DF 1. Stellen Sie die Zahlbereichserweiterung in der Haupt- bzw. Mittelschule dar! Gehen Sie dabei auf die Lösbarkeit von Gleichungen ein!

RS 2015/II,3 1. Beschreiben Sie ein mathematisches Verfahren zur näherungsweisen Be-stimmung der Kreiszahl π!

GY 2016/II, 3 1. Erläutern Sie die Leitidee „Funktionaler Zusammenhang“ gemäß den Bil-dungsstandards!

C. Häufige Probleme und Fehler

Bei der Bearbeitung von Teilaufgabe 1 stellen die folgenden fünf Fehlertypen a) bis e) die häufigsten Probleme dar. Sie werden anschließend anhand konkreter Ausarbeitungen verdeutlicht.

a) Themaverfehlung: Die Inhalte sind falsch gewählt.

Die Aufgabenstellung wird inhaltlich fehlinterpretiert und die Ausführungen haben (mehr oder weni-

ger) nichts mit dem zu tun, was gefordert ist. Die Themaverfehlung wird im Regelfall als ungenügen-

de Leistung bewertet.

24

Dies ist beispielsweise der Fall, wenn bei einer fachmathematisch orientierten Problemstellung Ideen

ausgeführt werden, wie man die Inhalte in der Schule umsetzen könnte. Hierbei handelt es sich um

didaktische Überlegungen, welche bei einer fachlichen Teilaufgabe nicht enthalten sein sollten.

b) Es fehlen zentrale Aspekte.

In den Ausführungen werden wesentliche Aspekte nicht berücksichtigt, obwohl diese im Kontext der

Aufgabenbearbeitung zwingend notwendig oder sogar explizit in der Aufgabenstellung verlangt sind.

c) Die Ausführungen sind lückenhaft oder ungenau bzw. sie sind scheinbar uferlos.

Ein fehlendes Überblickswissen über die Schulmathematik führt häufig dazu, dass (nur) die Stoffin-

halte, die selbst in der Schule gelernt wurden, ins Gedächtnis zurückgerufen werden. Allerdings rei-

chen diese Kenntnisse im Regelfall nicht aus, um eine fachliche Aufgabe angemessen zu bearbeiten.

Es wird zwar oft eine große Bandbreite der geforderten Aspekte (Definitionen, Eigenschaften etc.)

genannt, jedoch werden diese nur lückenhaft oder zu ungenau beschrieben und erläutert.

Gelegentlich ist im Gegensatz dazu eine Uferlosigkeit an Ausführungen der Grund dafür, dass die

Bearbeitung der Teilaufgabe über einen Zeitrahmen hinausgeht, welcher bei der Bearbeitung der ande-

ren Aufgaben oft fehlt.

d) Die Ausführungen weisen fachliche Mängel auf.

Vor allem bei fachmathematisch, in Folge dessen aber auch bei fachdidaktisch orientierten Aufgaben-

stellungen werden fachliche Mängel zum einen dadurch deutlich, dass die Ausführungen fachinhalt-

lich falsch sind oder die fachliche Tiefe bzw. fachliches Wissen fehlen, wenn beispielsweise Objekte

des Zweidimensionalen mit Objekten des Dreidimensionalen verwechselt werden. Zum anderen sind

Ausführungen fachsprachlich falsch, wenn beispielsweise Begriffe fachmathematisch nicht präzise

definiert werden.

e) Die Ausführungen sind umgangssprachlich.

Neben klaren fachlichen Fehlern (siehe d) ist die Verwendung von Umgangssprache ein häufiger

Mangel. Werden die fachmathematischen Ausführungen umgangssprachlich und damit fachlich nicht

korrekt formuliert, wird dies beanstandet, weil in diesem Fall davon ausgegangen werden muss, dass

auch im Mathematikunterricht unsauber mit Begriffen etc. umgegangen würde, was wiederum zu Feh-

lern bei Schülern führt, die man eigentlich vermeiden will.

25

Anhand der folgenden exemplarischen Ausarbeitungen sollen häufige Fehler bei Teilaufgabe 1 ver-

deutlicht werden.

Ausarbeitungsbeispiel 1 (MS 2018/I, 1 DF):

1. Erläutern Sie den Begriff der linearen Funktion! Gehen Sie dabei auch auf die Bedeutung der Variablen und Parameter ein!

In der Schreibweise f(x) = mx + t gibt der Parameter m den Steigungsfaktor der

Funktion an und der Parameter t den y-Achsenabschnitt, sprich die Verschiebung des

Graphen an der y-Achse.

Als zentraler Aspekt der Aufgabenstellung fehlt die genaue Erläuterung der Parameter m und t. Es ist

nicht ausreichend, nur von Steigungsfaktor und y-Achsenabschnitt zu sprechen, sondern hier ist das

genaue Verhalten des Funktionsgraphen in Abhängigkeit von m und t zu klären (Fallunterscheidungen

für m>0, m=0, m0, t=0, t

26

mit den Flächeninhalten a2 bzw. b2 vier Dreiecke (Kongruenz zu

obigen Dreiecken) mit dem Flächeninhalt 4⦁ 12

ab hinzu, so entsteht

das große Quadrat mit den Seitenlängen a + b und dem Flä-

cheninhalt (a + b)2.

Also links: (a + b)2 = c2 + 4⦁ 12

ab

rechts: (a + b)2 = a2 + b2 + 4⦁ 12

ab

Addititvität von A

Gleichsetzen der Terme:

c2 + 4⦁ 12

ab = a2 + b2 + 4⦁ 12

ab

c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab |−2ab

c2 = a2 + b2

Algebraische Be-trachtung nicht wich-tig!

Fachlicher Mangel: Ergänzungsgleichheit im Detail nicht ge-nutzt!

Die Beweisführung beginnt zwar mit einer korrekten Skizze, leitet den Satz aber dann im Detail nicht

über Ergänzungsgleichheit, sondern über die Additivität des Flächeninhalts her. Außerdem gibt es eine

kleine Lücke in der Argumentation (lückenhaft und fachliche Mängel).

Die Formulierung des Satzes und die zweite Beweisvariante wurden hier weggelassen.

Ausarbeitungsbeispiel 3 (RS 2018/I, 1):

1. Erläutern Sie unterschiedliche Möglichkeiten, die Formel für das Volumen von geraden und schiefen Kreiszylindern herzuleiten!

Um in der Schule neue Inhalte zu erschließen, versucht man oft, auf

bereits bekanntem Wissen aufzubauen. Bereits in der 5. Klasse ler-

nen die Schüler Würfel und Quader kennen und bestimmen das

Volumen durch „Flächenmessen“ (unklar!). Später wird die Formel

für diese Berechnung eingeführt und die Schüler erkennen, dass

das Volumen durch 𝑉 = 𝑎⦁𝑏⦁ℎ (Bezug) bzw. das Produkt aus

Grundfläche mal Höhe berechnet werden kann.

Themaverfehlung: Teilaufgabe 1 ist fachmathematisch und nicht fachdi-daktisch zu be-antworten

27

Dieser Übertrag auf den Kreiszylinder und zusammen mit der Ein-

führung des Gesetzes von Cavalieri kann dann auf die Volumen-

formel des geraden und schiefen Kreiszylinders geschlossen werden.

Satzbau?

Das Gesetz von Cavalieri besagt, dass zwei Körper inhaltsgleich

sind, genau dann wenn folgende Aussagen gelten.

I. Ihre beiden Grundflächen haben den gleichen Flächeninhalt und

befinden sich in einer (eindeutig wäre in der gleichen oder in einer ge-

meinsamen)Ebene

II. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und befinden sich in einer

(gemeinsamen) Ebene

III. Jede Parallelebene schneidet inhaltsgleiche Flächenstücke aus dem

Körper heraus.

Mit diesem Gesetz kann man nun das Volumen eines Quaders mit

dem eines Kreiszylinders betrachten (Was ist damit gemeint? Verglei-

chen? Herleiten?) und Parallelen (Hier ist unklar, ob der Begriff im Sinne

von Gemeinsamkeiten oder als mathematischer Fachbegriff verwendet wird)

ziehen.

Da zu diesem Zeitpunkt die Schüler bereits die Flächenberechnung

des Kreises können (Inwiefern können die Schüler die Flächenberechnung

des Kreises? Kennen sie die Formel? Können sie die Formel anwenden?),

kann hieraus (Woraus genau?) das Volumen eines geraden Kreiszy-

linders berechnet werden.

Der zentrale As-pekt, nämlich wie die Herleitung fachlich erfolgt, fehlt

Um weiter mit dem Gesetz von Cavalieri zu arbeiten, kann mit die-

sem auch auf das Volumen des schiefen Kreiszylinders eingegan-

gen werden. Mit einem Stapel aus runden „Bierfilzchen“ kann das

Prinzip von Cavalieri den Schülern gut verdeutlicht werden. Sie

sehen anhand dieses „Modells“, dass hierbei aus jeder Ebene der in-

haltsgleiche Bierdeckel herausgeschnitten wird, selbst, wenn man sie

nicht mehr senkrecht, sondern schief hinstellt (unklar formuliert; bes-

ser durch Skizze verdeutlichen). Hierbei ist jedoch zu verdeutlichen, dass

Themaverfehlung: Methodische, aber keine fachlichen Ausführungen

28

es sich bei der Höhe nicht mehr um die Linie s entlang des Zylin-

ders (umgangssprachlich: Ausdrucksweise sehr

unfachlich; welche Höhe?) handelt, sondern um

den senkrechten Abstand von Grund- und

Deckfläche.

Bei dieser Einführung über die Parallelen zum Quader (unklar) und

dem Gesetz von Cavalieri ist es für Schüler hilfreich dies immer an-

hand von Modellen vorzuzeigen und ihnen zu „beweisen“, weil sie

somit leichter zeichnerisch Vorstellungen entwickeln und den Inhalt

nachvollziehen können.

Themaverfehlung: Didaktische, aber keine fachlichen Ausführungen

Ein weiterer Zugang (Themaverfehlung: Darum geht es keineswegs) zu

diesem Thema wäre, den Inhalt eines Kreiszylinders anhand von

Hohlkörpern herzuleiten. Man untersucht, wie viele Liter Wasser in

einen Zylinder (gerade und schief) hineinzuschütten sind und

versucht dann durch Abmessen der Höhe und des Radius der Bo-

denfläche eine Beziehung herzustellen.

Das wäre fachlich zu erläutern

Mit diesem Verfahren können die Schüler im Unterricht selbst aktiv

werden und die Kompetenz des Problemlösens wird gefördert.

Außerdem kann auch hier mit gleich hohen schiefen und geraden

Kreiszylindern ein Zusammenhang hergestellt werden und auf

das Prinzip von Cavalieri eingegangen werden.

Wiederholung

Das Thema der Teilaufgabe ist verfehlt. Die Ausführungen beziehen sich ausschließlich auf didakti-

sche und methodische Aspekte. Die fachliche Herleitung und Angabe der Formel für das Volumen

von geraden und schiefen Kreiszylindern fehlt.

Die vorhandenen fachlichen Andeutungen sind lückenhaft und weder klar noch in geeigneter Fach-sprache formuliert.

29

D. Tipps für das Examen

Lesen Sie die Aufgabenstellung genau durch! Markieren Sie sich alle Wörter, die zur Beantwor-

tung eine wichtige Rolle spielen, und gehen Sie genau auf diese ein! So vermeiden Sie, dass sie

das Thema verfehlen oder zentrale Aspekte vergessen.

Teilaufgabe 1 kann häufig knapp, aber dennoch fachlich korrekt und vollständig beantwortet

werden. Vermeiden Sie daher uferlose Ausführungen zu nicht verlangten Inhalten! Dadurch

bleibt Ihnen ausreichend Zeit für die Bearbeitung der Teilaufgaben 2 und 3. (zur Zeiteiteilung

siehe 4.2).

Verwenden Sie fachmathematische Begriffe, Sätze etc., die Sie aus Ihrem Studium kennen und

die über das Schulniveau hinausgehen, falls die Aufgabenstellung dies verlangt! Hierbei können

aber auch sauber formulierte Schuldefinitionen ausreichen. Die Schüler(innen) und der Unterricht

sind bei der Bearbeitung dieser Aufgabe i. d. R. noch nicht zu berücksichtigen.

Unterscheiden Sie bei der Erklärung von Fachbegriffen unbedingt zwischen der Definition und

Eigenschaften! Definieren Sie Begriffe mithilfe der Formulierungen „heißt“ oder „nennt man“.

Verwenden Sie dagegen „ist“, um Eigenschaften anzugeben!

Achten Sie darauf, bei der Verwendung von Fachbegriffen genau und fachlich präzise zu sein und

keine wesentlichen Aspekte zu wegzulassen!

Wählen Sie zur Verdeutlichung von Begriffen oder Sachverhalten möglichst aussagekräftige Bei-

spiele, die sich insbesondere bei unterschiedliche oder verschiedene substantiell unterscheiden,

und ergänzen Sie ggf. Gegenbeispiele zur Kontrastierung! Beachten Sie dabei, dass Beispiele

zwar wichtig sind, dass sie aber weder einen Begriff noch einen Sachverhalt ausreichend definie-

ren oder erklären! Hier werden zusätzlich eventuelle Folgerungen, Beziehungen zu anderen Be-

griffen (Ober-, Unterbegriffe), Eigenschaften, Skizzen, Veranschaulichungen, Verallgemeinerun-

gen oder Spezialfälle verlangt.

Gehen Sie auf mindestens drei Aspekte ein, wenn in der Aufgabenstellung keine bestimmte An-

zahl verlangt ist!

Verwenden Sie korrekte Fachsprache und vermeiden Sie Umgangssprache! Üben Sie möglichst

häufig den Umgang mit dieser Fachsprache und orientieren Sie sich beispielsweise an den Formu-

lierungen in anerkannter Fachliteratur!

30

3.3.2. Fachdidaktische Aufgabe (Teilaufgabe 2)

A. Inhalte und Erwartungen

Die zweite Teilaufgabe verlangt im Regelfall die Auseinandersetzung mit Unterrichtsoptionen fachdi-

daktischer Art (und häufig auch deren Begründungen) und beinhaltet eine fachdidaktisch orientierte

Problemstellung.

Die fachdidaktischen Inhalte, um die es in der Aufgabenstellung gehen kann, sind vielfältig, aber im-

mer in Bezug auf mathematische Inhalte. Dies kann die Frage nach unterrichtlichen Aktivitäten zu

einem bestimmten Thema, nach Möglichkeiten der unterrichtlichen Behandlung eines bestimmten

Begriffs oder Verfahrens, nach Zugängen zu einem bestimmten Thema, nach Schülerschwierigkeiten

bei einem bestimmten Verfahren etc. sein. Gelegentlich sollen bei dieser Aufgabe auch Bestandteile

der schriftlichen Unterrichtsplanung (z. B. Lernziele), Aspekte der Bildungsstandards oder des Lehr-

plans (Fachprofil, Jahrgangsstufenprofile, Fachlehrpläne) berücksichtigt werden.

Bei derartigen Aufgabenstellungen ist also Ihr fachdidaktisches Repertoire gefragt. Oft wird in Teil-

aufgabe 3 dann eine Auswahl dieser Optionen in der konkreten Stunde umgesetzt.

B. Exemplarische Aufgabenstellungen

MS 2017/II, 3 UF 2. Beschreiben Sie Möglichkeiten zur Behandlung funktionaler Zusammenhän-ge in der Mittelschule! Formulieren Sie Ziele, die dabei jeweils angestrebt wer-den!

MS 2017/I, 1 DF 2. Beschreiben Sie Schüleraktivitäten zur Erschließung von geometrischen Eigenschaften der geraden quadratischen Pyramide!

MS 2017/I, 3 DF 2. Beschreiben Sie anhand geeigneter Beispiele zwei verschiedene typische Fehler im Bereich der Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen! Disku-tieren Sie Ursachen und unterrichtliche Gegenmaßnahmen!“

RS 2015/II, 2 2. Erläutern Sie Lernziele zum Themenbereich "Erstellen von Diagrammen und Arbeiten mit Diagrammen"!

RS 2015/I, 3 2. Beschreiben Sie die Entwicklung des Themenstrangs "Funktion" in der Real-schule aus fachdidaktischer Sicht!

RS 2014/I, 2 2. Erläutern Sie den mathematikdidaktischen Begriff "Modellieren"!

GY 2017/II, 2 2. Beschreiben Sie die Leitidee "Messen" im Sinne der Bildungsstandards an-hand des Größenbereiches "Flächeninhalte". Gehen Sie dabei auch auf die Wei-terführung in der Sekundarstufe II ein.

GY 2017/II, 3 2. Erläutern Sie an drei Beispielen Möglichkeiten eines didaktisch sinnvollen Computereinsatzes im Stochastikunterricht.

GY 2016/II, 2 2. Erläutern Sie an Beispielen, inwiefern die Nutzung digitaler Medien einen fachdidaktischen Mehrwert im Mathematikunterricht bieten kann!

GY 2014/II, 1 2. Entwerfen Sie eine Aufgabe, die eine Anwendung einer Exponentialfunktion aufzeigt (mit Lösungsskizze)! Erläutern Sie dabei auch Lernziele, die mit dieser Aufgabe verfolgt werden können!

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C. Häufige Probleme und Fehler

Bei der Bearbeitung von Teilaufgabe 2 treten dieselben Fehlertypen a) bis e) auf, die auch bei Teilauf-gabe 1 häufig zu beanstanden sind.

a) Themaverfehlung: Die Inhalte sind falsch gewählt.

Die Aufgabenstellung wird inhaltlich fehlinterpretiert und die Ausführungen haben (mehr oder weni-

ger) nichts mit dem zu tun, was gefordert ist. Die Themaverfehlung wird im Regelfall als ungenügen-

de Leistung bewertet.

Dies ist beispielsweise der Fall, wenn eine fachdidaktisch orientierte Problemstellung zu sehr oder

ausschließlich aus methodischer Sicht beantwortet wird.

b) Es fehlen zentrale Aspekte.

In den Ausführungen werden wesentliche Aspekte nicht berücksichtigt, obwohl diese im Kontext der

Aufgabenbearbeitung zwingend notwendig oder sogar explizit in der Aufgabenstellung verlangt sind.

c) Die Ausführungen sind lückenhaft oder ungenau bzw. sie sind scheinbar uferlos.

Ein fehlendes Überblickswissen über die Schulmathematik führt häufig dazu, dass (nur) die Stoffin-

halte, die selbst in der Schule gelernt wurden, ins Gedächtnis zurückgerufen werden. Allerdings rei-

chen diese Kenntnisse im Regelfall nicht aus, um eine fachdidaktische Aufgabe angemessen zu bear-

beiten. Es wird zwar oft eine große Bandbreite der geforderten Aspekte (Grundvorstellungen, Schüler-

aktivitäten, Schülerfehler etc.) genannt, jedoch werden diese nur lückenhaft oder zu ungenau beschrie-

ben und erläutert.

Gelegentlich ist im Gegensatz dazu eine Uferlosigkeit an Ausführungen der Grund dafür, dass die

Bearbeitung der Teilaufgabe über einen Zeitrahmen hinausgeht, welcher bei der Bearbeitung der ande-

ren Aufgaben oft fehlt.

d) Die Ausführungen weisen fachliche Mängel auf.

Auch bei fachdidaktisch orientierten Aufgabenstellungen werden fachliche Mängel zum einen dadurch

deutlich, dass die Ausführungen fachinhaltlich falsch sind oder die fachliche Tiefe bzw. fachliches

Wissen fehlen, zum anderen dadurch, dass die Ausführungen fachsprachlich falsch sind.

e) Die Ausführungen sind umgangssprachlich.

Neben klaren fachlichen Fehlern (siehe d) ist die Verwendung von Umgangssprache auch bei fachdi-

daktischen Aufgabenstellungen ein häufiger Mangel. Werden die fachdidaktischen Ausführungen

umgangssprachlich und damit fachlich nicht korrekt formuliert, wird dies beanstandet, weil in diesem

32

Fall davon ausgegangen werden muss, dass auch im Mathematikunterricht unsauber mit Begriffen etc.

umgegangen würde, was wiederum zu Fehlern bei Schülern führt, die man eigentlich vermeiden will.

Anhand der folgenden exemplarischen Ausarbeitungen sollen häufige Fehler bei Teilaufgabe 2 ver-

deutlicht werden.

Ausarbeitungsbeispiel 4 (MS 2018/I, 3):

2. Beschreiben Sie unterrichtliche Aktivitäten zur Erfassung und Aufbereitung statistischer Da-ten!

Es gibt viele Möglichkeiten für unterrichtliche Aktivitäten zur Erfas-

sung und Aufbereitung statistischer Daten. Dies ist im Übrigen den

Lernbereichen „L1: Messen“ und „L5: Daten und Zufall“ zuzurechnen.

Eine Möglichkeit wäre es zum Beispiel im Rahmen des fächerübergrei-

fenden Unterrichts mit dem Fach PCB zu kooperieren und Beispiels-

weise eine Vogelzählung durchzuführen. Die SuS teilen die Vögel in

bestimmte Kategorien bzw. Vogelarten ein und halten die Anzahl

per Strichen auf einer Urliste (fachlicher Mangel) fest. Daraus lässt sich

dann mit den vorhergehenden Beispielen oder Definitionen die

verschiedenen Häufigkeiten (➝Tabellen daraus erstellen) feststellen.

Strichliste: Rabe Amsel ||| ||

Urliste: Rabe Amsel Rabe

Um vielleicht auch das Erstellen von Fragebögen und Tests zu trainie-

ren, könnten auch solche erstellt werden. Die SuS legen hierzu ver-

schiedene Fragen fest, mit denen sie Merkmale und deren Ausprägung

feststellen wollen. Es ist dabei wichtig darauf hinzuweisen, dass man

z.B. schon allein durch die Anzahl von Antwortmöglichkeiten zu ei-

nem Merkmal Tendenzen beeinflussen kann. So tendiert man, wenn

man unschlüssig ist, eher zur Mitte der Antwortmöglichkeiten. Gibt

es nun aber eine gerade Anzahl von Möglichkeiten, ist man dadurch

schon eher gezwungen sich für eine Seite zu entscheiden.

Weiterhin ist es wichtig, dass die SuS den Test exklusiv, exakt und

exhaustiv gestalten. Sie sollten also in einer Frage nicht mehrere

Merkmale abfragen und vermischen und die Merkmale erschöpfend,

Zentrale As-pekte fehlen: Starker Fokus liegt auf der psychometrisch korrekten Kon-struktion von Fragebögen. Andere Aspek-te wären unter-richtlich von größerer Be-deutung.

33

also komplett abfragen.

Hierzu könnte es auch sinnvoll sein, wenn der Fragebogen nicht nur

geschlossene, sondern auch auf offenen Fragen gestützt wird. So

könnte in einem Fragebogen nach Hobbys auch ein Feld für weitere

beliebte Hobbys angeboten werden.

Fragebogen über Schülerda-ten?

Durch Trainings, wie man einen Fragebogen erstellt, können die SuS

in Zukunft auch beurteilen, ob die Ergebnisse anderer Tests überhaupt

aussagekräftig sind.

Die SuS können die Tests dann zum Beispiel mit dem Programm

SPSS auswerten (kostenpflichtige Software, die vermutlich an keiner Schule

vorhanden ist. Excel?) und ihre Ergebnisse vor der Klasse vorstellen.

Auch die Bewertung von Statistiken (hier wären wir eher im Bereich „Da-

ten interpretieren“) wie Balkendiagrammen oder dergleichen, könnten

im Unterricht analysiert werden. Hier könnte man vergleichen, ob Di-

agramm und die zugrunde liegende Datenerhebung zusammenpassen

könnten, oder nicht. Hier würde vor allem Wert auf eine kritische Be-

trachtung vorgegebener Ergebnisse gelegt.

Eher: Selbst Daten in Form von Diagram-men darstellen

Zentrale Aspekte fehlen: Begriffe wie Datendarstellung (Diagramm, Tabelle, Lageparameter)

34

Ausarbeitungsbeispiel 5 (GY 2018/I, 2):

2. Beschreiben Sie die allgemeine mathematische Kompetenz "Mathematisch argumentieren" im Sinne der Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss! Illustrieren Sie Ihre Be-schreibung anhand von drei Beispielen aus dem Bereich der Geometrie!

Die allgemeine mathematische Kompetenz „mathematisch argumen-

tieren“ (K1) ist eine der sechs genannten Kompetenzen im Sinne der

Bildungsstandards. Neben den fünf Leitideen und den drei Anforde-

rungsbereichen sind die Bildungsstandards grob gesagt das Grund-

gerüst auf welchem der Lehrplan basiert. (Strukturell bestehen die Bil-

dungsstandards aus Leitideen, Anforderungsbereichen und Kompetenzen, sie

sind also nicht auf die gleiche Ebene mit Leitideen und Anforderungsbereichen

zu setzen. Außerdem besteht der LehrplanPLUS aus Inhalten, die lediglich an-

hand der Leitideen und Kompetenzen strukturiert wurden.)

„Mathematisch argumentieren“ heißt mithilfe von Formeln, Rechen-

regeln, Umformungen etc. gegebene Probleme zu lösen (Nein, das ist

K2). Solche Probleme können rein mathematisch sein (z.B. berechnen

der Hypotenusenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck mithilfe des

Satzes von Pythagoras bei gegebenen Kathetenlängen), oder aber auch

außermathematisch (kann ein Schrank (quaderförmig) mit gegebe-

nen Seitenlängen in einem Raum mit bestimmter Höhe im Liegen

zusammengebaut, und anschließend erst aufgestellt werden? (Hier

muss mithilfe des Satzes v. Pythagoras die Länge der Diagonale der

Seitenwand berechnet werden)).

Argumentieren ist eine abgeschwächte Form von Beweisen. (Nein, eher eine

Ausweitung, denn der Fachbegriff „Mathematisch argumentieren“ im Sinne der

Bildungsstandards umfasst verschiedene Formen des Begründens wie anschau-

liches Begründen, aber auch formales Beweisen. Mathematisch Argumentieren

ist also ein Oberbegriff des Beweisens.) Strikte technische, hoch formale Be-

weise, wie sie an der Hochschule geführt werden, sind in der Schule selten bis

nie zu sehen (sind aber auch ein Bestandteil) (außer vielleicht Beweis des HDI

in der Oberstufe) Jedoch sollen Schüler lernen, gewisse Dinge (umgangs-

Themaverfeh-lung

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sprachlich) mithilfe logisch aufeinander aufbauender Teilschritte zu

widerlegen oder zu zeigen.

Die Darstellung ist in weiten Teilen vage gehalten und fokussiert meist vor allem andere Kompetenzen als K1. Dadurch geht sie stellenweise am Thema vorbei (Themaverfehlung).

Zentrale Aspekte der Beschreibung von K1, wie z.B. der Bezug zu den Anforderungsniveaus, oder verschiedene Komponenten des Argumentierens, werden nicht oder falsch berücksichtigt (zentrale Aspekte fehlen).

Die nachfolgenden illustrativen Ausführungen der Arbeit, die in der Aufgabenstellung verlangt sind, wurden an dieser Stelle weggelassen.

36

Ausarbeitungsbeispiel 6 (RS 2018/I, 1):

2. Erläutern Sie an konkreten Beispielen Möglichkeiten, wie im Mathematikunterricht der Real-schule das räumliche Vorstellungsvermögen gefördert werden kann!

Im Mathematikunterricht nimmt die Geometrie eine zentrale Rolle

ein. Dabei ist es ein wichtiger Teilbereich das räumliche Vorstel-

lungsvermögen zu fördern.

Ein wichtiges Hilfsmittel stellen dabei Modelle dar. Anhand dieser

können die Schüler Eigenschaften von Körpern selbst entdecken

und nachvollziehen.

lückenhaft: genauer!

Zum Beispiel mit dem Modell eines Würfels können die Schüler die

Kongruenzen aller Seiten, Winkel etc. leicht (Bei wertenden Adjekti-

ven eine Begründung mit anführen!) nachvollziehen (Wie?). Auch mit

Hohlkörpern kann gut (Warum? Begründung!) gearbeitet werden, um

zum Beispiel gleiches Volumen oder Zerlegungsgleichheiten für

Schüler greifbarer zu machen. Hierbei lässt sich z.B. die Volumen-

gleichheit von Zylinder und Quader leicht beweisen (Wie ist das zu

verstehen? Das fördert nicht das räumliche Vorstellungsvermögen.).

Es wird zwar ange-geben, welches Ziel erreicht werden soll, jedoch fehlt der zent-rale Aspekt wie es geschehen soll. Wel-che Möglichkeiten gibt es, das Ziel zu erreichen?

Ein weiteres Hilfsmittel in der Schule (Aufgabe: Förderung der räumli-

chen Vorstellung) ist das Arbeiten und Basteln mit Flächennetzen.

Zum Bespiel in der 5. Klasse kann so der Einstieg in die 3-

dimensionale Geometrie erleichtert werden. Mit dem Basteln eines

Würfels (Wie wird der Würfel gebastelt?) erlangen die Schüler eine

konkrete Vorstellung, wie sich die Flächen zusammensetzen (Aus-

druck unfachlich) und können hieraus Parallelen und Unterschiede

verschiedener Körper (Quader vs. Würfel (schlechtes Beispiel) erken-

nen (Wird das durch das Basteln eines Würfels erreicht? Es ist nur das Ziel

und nicht der konkrete Weg angegeben).

lückenhaft: Über-gang 2-dimensionale zu 3-dimensionaler Sichtweise

37

Ein weiterer wichtiger Baustein ist das Aufzeigen von mathemati-

schen (geometrischen) Körpern und ihren Bezug zum Alltag. Zum

Beispiel bei der Einführung in den Kreiszylinder (Ausdrucksweise)

können sich die Schüler leichter in die Thematik hineinversetzen,

wenn man beispielsweise ein Bild der New Yorker Skyline (Das ist

kein geeignetes Beispiel, um auf Kreiszylinder in der Umwelt einzugehen)

über den Tageslichtprojektor zeigt, um so den Schülern aufzuzei-

gen, wo im Alltag konkret derartige Körper (Welche Arten von Kör-

pern?) vorkommen.

Zusammenhang un-klar. Wie wird dabei das räumliche Vor-stellungsvermögen gefördert?

Ein weiteres Hilfsmittel stellen im Zeitalter der Technisierung dy-

namische Geometriesoftwaren, wie zum Beispiel Geogebra dar. Mit

Hilfe dieser Software können die Schüler komplexe Körper konstru-

ieren und nachvollziehen (In welchem Sinne?). Dieses Programm

rechnet Winkel und Strecken automatisch aus (fachlicher Mangel:

Man kann lediglich Streckenlängen und Maße von Winkeln ausrechnen)

und lassen somit einen schnellen Transfer von den Werten auf die

geometrische Figur zu. Mittlerweile sind diese Programme so weiter-

entwickelt, dass man mit Hilfe von 3D Brillen die Figuren (Welche

Figuren?) sogar ins „räumliche“ projezieren lässt. Dies erleichtert den

Schülern zum Beispiel bei der Vorstellung von komplexen Figuren

(Körpern?) Eigenschaften nachzuvollziehen (Welche Eigenschaften

lassen sich konkret verdeutlichen?).

Satzbau! Förderung des räum-lichen Vorstellungs-vermögens unklar!

Außerdem ist der Unterricht mit dieser Software extrem motivie-

rend; aufgrund der Abwechslung zum normalen Klassenunterricht

und fördert die Leistungsbereitschaft bei den Schülern.

Thema

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Eine weitere Maßnahme zum räumlichen Vorstellung ist (umgangs-

sprachlich: Ausdruck), die Schüler auf einen Exkurs zum Beispiel in

die Natur oder auch auf einen Stadtplatz zu bringen, wobei diese

erkunden sol