Beitriige zur Arithmetik kommutativer J[ntegritittsbereiche.

Eine E r g ~ n z u n g y o n Beitrag III ~).

Von

Wolfgang Krull in Erlangen.

HIa.

Satz !6 yon BeRrag I I I lautete: Ist p ein Primideal yon end]ichem Dimensionsdefekt/~, a ein nicht zu p gehSriges Element aus dem g. alg. ocler g. anal. Funktionenring ~, so haben alle minimalen Primoberideale yon ~ § (a) in 9{ den Dimensionsdefekt ~ -~ 1. -- Dieser Satz l~it3t sich verallgemeinern zu

S a t z 16". Es sei p ein Primideal yon endlizhem Dimensionsdefekt /~ ans dem g. alg. oder g: anal. Funktionenring !R.- Dann hat bei beliebiger Wahl de,r a~ jedes rainimale Primoberideal q yon p ~ (al, . .~ am) einen endlichen Dimensionsde]ekt ~, "~ l~ ~- m.

In de~ Tat, die Behauptung ist riehtig fiir m = 1 (Satz 16!). Beim Beweise fiir m ~ 1 daft daher ihre Richtigkeit fiir m - 1 vorausgesetzt werden. Wegen (p -~ (a t . . . . , am_ ~)) ~ q enth~lt nun q mindestens eL'l minimales Primoberideal p' yon O + (al . . . . , a,~_t), und wegen p ~ - ( a l , . . . , a ~ ) ~__cp'+ (a~) ist q minimales Primoberideal yon p ' § (a~). Nach Indulaions- voraussetzung besitzt p' einen endliehen Dimensionsdefekt #' ~ # § m -- 1, und dutch Anwendung des urspriinglichen Satzes 16 ergibt sieh sofort: Ent- weder es ist p' = p' + (am) -- q, dann hat q den Dimensionsdefekt v ---- #~; oder es ist p ' c p' ~- (a~), dann ha~ q den Dimensionsdefe~ v ---- # '~- 1. In jedem Falle wird also v < : / l + m.

Fiir einen FunlCdonenring vom endliehen Transzendenzgrad n, in dem bei jedem Ptimideal die Summe von Dimension und Dimensionsdefekt ghich ~ ist, kann man Satz 16 auch folgendemal3en anssprechen:

Hat das Primideal p die Dimension 2, so haben alle minimalen Primober- ideale yon p ~- (at, . . . . am) mindestens die Dimension ~ -- i~.

Es sei noeh besonders betont, dal~ Satz 16" natiirlich aueh fiir p = (0), d . h . # = 0 b z w . 2 = n g i l t .

1) Vgl. Math. Zeitschr. ~2 (1937), S. 745--766.

(Eingegangen am 8. Dezembsr 1937.)

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