Embed Size (px)
Citation preview
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Verbindung von Arithmetik und
Geometrie - Chance für einen
kindorientierten Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Wer kennt es nicht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Schulanfänger ...
Wer kennt es nicht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Schulanfänger ...
• Kinder in Klasse 4, nach 3 Jahren
Mathematikunterricht ...
Wer kennt es nicht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kernthese:
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kernthese:
Mathematische Bildung muss aus der
Kindperspektive aufgebaut sein
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kernthese:
Mathematische Bildung muss aus der
Kindperspektive aufgebaut sein
und dabei die Fachsystematik im Auge
behalten.
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
• Ist das so selbstverständlich?
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
• Ist das so selbstverständlich?
• einige Materialien sind Realsatire ...
• Komm mit ins Zahlenland
• Klopfen, Klingeln, Knoten fühlen
• Mit Reimen lernen
• ...
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
• Ist das so selbstverständlich?
• einige Materialien sind Realsatire ...
• Komm mit ins Zahlenland
• Klopfen, Klingeln, Knoten fühlen
• Mit Reimen lernen
• ...
• sinnfreie Leerbücher
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin
• Rechenschwache Kinder fallen
nicht vom Himmel ...
• es gibt ein Problem der Passung ...
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Lernen von Mathematik ist
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion
Lernen von Mathematik ist
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion
• sozialer Prozess aus der Sache heraus
Lernen von Mathematik ist
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion
• sozialer Prozess aus der Sache heraus
• Prozess, der einer gezielten, geleiteten
Auseinandersetzung bedarf
Lernen von Mathematik ist
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Grundvorstellungen sichern
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Vorstellung zu Zahlen
Grundvorstellungen sichern
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Vorstellung zu Zahlen
Vorstellungen zu Operationen
Grundvorstellungen sichern
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Vorstellung zu Zahlen
Vorstellungen zu Operationen
Größenvorstellungen
Grundvorstellungen sichern
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Vorstellung zu Zahlen
Vorstellungen zu Operationen
Größenvorstellungen
Geometrische Vorstellungen
Grundvorstellungen sichern
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Vorstellung zu Zahlen
Vorstellungen zu Operationen
Größenvorstellungen
Geometrische Vorstellungen
. . . Was heißt das konkret?
Grundvorstellungen sichern
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
aktive eigene Sinnkonstruktion . . .
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Verstehen ermöglichen - einsehen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
25 • 36
Verstehen ermöglichen - einsehen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
25 • 36
100 • 9 = 900
Verstehen ermöglichen - einsehen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
25 • 36
100 • 9 = 900
• Ist es die Lehrerin, die hier einen !Trick“
zeigt, ihn ERLAUBT?
oder
• Kann das Kind sehen warum das stimmt?
Verstehen ermöglichen - einsehen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
3 • 8
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
6 • 4
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
6 • 4
„Halb so hoch ist doppelt so breit.“
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
2
1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
3
2
1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zeichnen nach Regeln
1. Immer „in Fahrtrichtung“
rechts abbiegen
1. Zahlenfolge wiederholen
2. Zeichnen, bis der Startpunkt
erreicht ist, oder klar ist ...1
2
3
4
5
3
2
1
1 - 2 - 3 - 4 - 5
Beispiel: Spirolaterale
aus: MATHEMATIKUS
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Zunächst eine Zeichenübung
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Zunächst eine Zeichenübung
• Welche arithmetischen Fragen kann
man aufwerfen?
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Zunächst eine Zeichenübung
• Welche arithmetischen Fragen kann
man aufwerfen?
• Was kann man vermuten?
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Zunächst eine Zeichenübung
• Welche arithmetischen Fragen kann
man aufwerfen?
• Was kann man vermuten?
• Wie kann man diese Vermutungen
begründen?
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Kann man Gegebenes und Gesuchtes
vertauschen?
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Kann man Gegebenes und Gesuchtes
vertauschen?
• Kann man funktionale Abhängigkeiten
untersuchen?
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung
• Kann man Gegebenes und Gesuchtes
vertauschen?
• Kann man funktionale Abhängigkeiten
untersuchen?
Probieren und notieren Sie ...
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Beispiel: Muster am Zehnerkreis
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Abermals: Aufgabe gelöst
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Abermals: Aufgabe gelöst
• realisierbare Ziele?
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Abermals: Aufgabe gelöst
• realisierbare Ziele?
• Mögliche Weiterführungen?
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Abermals: Aufgabe gelöst
• realisierbare Ziele?
• Mögliche Weiterführungen?
• Möglichkeiten zu differenzierendem
Arbeiten?
Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)
• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)
• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...
• Wie sieht das Muster aus, wenn nicht
addiert, sondern multipliziert wird?
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)
• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...
• Wie sieht das Muster aus, wenn nicht
addiert, sondern multipliziert wird?
... Anlass zum Erkunden von Strukturen,
zu arithmetischen Betrachtungen
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen
• Welche Sterne berührenim Zehnerkreis jede Zahl?
• Wie ist das im 12er Kreis?
• Gibt es einen Kreis, beidem alle Sterne jede Zahlberühren?
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
ENAKTIVE EBENE
IKONISCHE EBENE
VERBAL-SYMB.
Ebene
NONV.-SYMB.
EbeneHier erst mal Terme, statt „fertige“Gleichungen
Ebenen des Lernens nach BRUNER
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Paul hat gesagt, dass dazu die Aufgabe 3 • 2 passt. Wie er das wohl gemeint?
Laura: „Drei mal 2 ist sechs“
I.: „kannst Du es mir zeigen?“
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Laura: „Da hinten sind 3“ (malt die drei an)
„Und hier sind 2. Drei mal 2 ist 6“(malt vorn zwei Würfel an)
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
I.: „Kannst Du mir hier drei mal zwei legen?“
Laura: „Ja, drei mal 2 ist 6“(legt mit Würfeln)
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)
I.: Was hast Du jetzt gelegt?
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“
Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)
I.: Was hast Du jetzt gelegt?
Laura: „Das Mal“
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
20 : 2 = ____
Schreibe dazu einen passenden Text.
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
20 : 2 = ____
Schreibe dazu einen passenden Text.
20 Autos stehen auf dem Parkplatz.2 Autos fahren weg. Wie viele Autos sind noch da? (Dividiere!)
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
20 : 2 = ____
Schreibe dazu einen passenden Text.
20 Autos stehen auf dem Parkplatz.2 Autos fahren weg. Wie viele Autos sind noch da? (Dividiere!)
„Eigentlich muss ich minus rechnen, Es wird ja weniger. Aber Du wolltestdoch, dass ich teile.“
aktive eigene Sinnkonstruktion
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Unterricht wird nicht dadurch anschaulich,
dass genau die in den Sachverhalten
benutzten Dinge vorhanden sind.
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder
• grundlegende Erfahrungen besitzen,
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder
• grundlegende Erfahrungen besitzen,
• prinzipielle Mittel und Methoden des
Veranschaulichens kennen und
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder
• grundlegende Erfahrungen besitzen,
• prinzipielle Mittel und Methoden des
Veranschaulichens kennen und
• diese und ihre produktive Phantasie
nutzen. (vgl. rosa Elefant)
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
...WÜRFEL !
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
...WÜRFEL !
die Bausteine der Raumgeometrie
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Räumliche Objekte und Prozesse
veranschaulichen
• Zahlen,
• Zahlbeziehungen und
• Operationen
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Räumliche Objekte und Prozesse
veranschaulichen
• Zahlen,
• Zahlbeziehungen und
• Operationen
Dabei permanent: Entwicklung des
räumlichen Vorstellungsvermögens
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
als Repräsentanten von Zahlen
1. Vorstellen von Objekten
4 8 9
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
1. Vorstellen von Objekten
4 8 9 4 + 6 6 + 3
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)
1. Vorstellen von Objekten
2. Vorstellen von Prozessen
4 8 9 4 + 6 6 + 3
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)
1. Vorstellen von Objekten
2. Vorstellen von Prozessen
4 8 9 4 + 6 6 + 3
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von
Rechenoperationen (statisch)
als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)
1. Vorstellen von Objekten
2. Vorstellen von Prozessen
4 8 9 4 + 6 6 + 3
7 + 2
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
• So nutzen wir den Zahlenstrahl
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
• So nutzen wir den Zahlenstrahl
• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl(„Rechenstrich“)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem
• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl
• So nutzen wir den Zahlenstrahl
• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl(„Rechenstrich“)
• Konstruktion, Medium zum Austauschund zur Diagnose
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
4 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
40 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
40 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
40 8
0 4 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Gleichgültig, wie groß die Einheit ist:4 ist immer die Mitte zwischen 0 und 8
40 8
0 4 8
Anschauung im Mathematikunterricht
aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
+ 30
27 + 38
+ 8
27 47 55
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
+ 30
27 + 38
+ 8
27 47 55
+ 30
27 + 38
+ 8
27 57 55
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
+ 30
27 + 38
+ 8
27 57 65
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
+ 30
27 + 38
+ 8
27 57 65
27 + _ = 65
27 65
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
+ 30
27 + 38
+ 8
27 57 65
27 + _ = 65
27 65
20 – _ = 50
20
Zahlenstrahl und „Rechenstrich“
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Hier spielt die VeranschaulichungZahlenstrahl ihre Mächtigkeit aus:
- gebrochene Zahlen (ZV, OV)- ganze Zahlen (ZV, OV)- Proportionale Beziehungen,
Konsequenz für die Kooperation GS - Sek.
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Lege mit Würfeln Rechtecke aus.
Bei welchen Zahlen gibt es viele Möglichkeiten?
Bei welchen Zahlen kannst du Quadrate legen?
Bei welchen Zahlen werden es nur „Schlangen“?
Anschauung im Mathematikunterricht
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Summe zweier ungerader Zahlen ist
stets gerade.
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Summe von drei aufeinanderfolgendenZahlen ist immer durch 3 teilbar.
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Summe von drei aufeinanderfolgendenZahlen ist immer durch 3 teilbar.
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Die Summe von vier aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Die Summe von vier aufeinanderfolgenden
Zahlen ist ...
Ausgehend von Handlungen können die
Kinder selbst herausfinden, was hier
und bei anderen Zahlen gilt.
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Saufz;-)Summen aufeinanderfolgender Zahlen
Gesetzmäßigkeiten - von der Arithmetik aus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Welche Zahlen sind keine SAUFZ?
Gesetzmäßigkeiten - von der Arithmetik aus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Warum kann man bei Produkten mit
mehreren Faktoren die Faktoren in
beliebiger Reihenfolge multiplizieren?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Warum kann man bei Produkten mit
mehreren Faktoren die Faktoren in
beliebiger Reihenfolge multiplizieren?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Warum kann man bei Produkten mit
mehreren Faktoren die Faktoren in
beliebiger Reihenfolge multiplizieren?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?
Wie viele sind es bei 100 Quadraten?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?
Wie viele sind es bei 100 Quadraten?
1 + 2
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?
Wie viele sind es bei 100 Quadraten?
1 + 2
1 + 2 + 3
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Wie viele Quadrate sind in jeder Figur zu
sehen?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Wie viele Quadrate sind in jeder Figur zu
sehen?
Wie viele sind es im Hunderterquadrat?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Wie viele Schnittpunkte entstehenhöchstens bei2 Geraden3 Geraden4 Geraden5 Geraden100 Geraden
Wer sieht die Regelmäßigkeit?
Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Als Planungs- und Strukturierungshilfe:
• Ein Raster, in das Formen der Auseinandersetzung
mit Mathematik eingeordnet werden können.
• Arten von Aufgaben, die bestimmte Kompetenzen
entwickeln helfen und ein geeignetes Arbeiten mit
ihnen.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• AB I „Reproduzieren“
Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und
das Ausführen von Routinetätigkeiten.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• AB I „Reproduzieren“
Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und
das Ausführen von Routinetätigkeiten.
• AB II „Zusammenhänge herstellen“
Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen
und Nutzen von Zusammenhängen.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
• AB I „Reproduzieren“
Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und
das Ausführen von Routinetätigkeiten.
• AB II „Zusammenhänge herstellen“
Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen
und Nutzen von Zusammenhängen.
• AB III „Verallgemeinern und Reflektieren“
Das Lösen der Aufgabe erfordert komplexe
Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von
Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
• Bedeutung der kleinen Würfel
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
• Bedeutung der kleinen Würfel
• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
• Bedeutung der kleinen Würfel
• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …
• Sind alle Felder gefüllt?
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
• Bedeutung der kleinen Würfel
• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …
• Sind alle Felder gefüllt?
• Bedeutung des Arbeitens mit Aufgaben.
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Anmerkung zu Muster und Strukturen
„A pattern describes a problem which occurs over and
over in our environment, and then describes the core of
the solution to that problem.”
Christopher Alexander (1977)
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Bildungsstandards der KMK
• Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich
in der Auseinandersetzung mit Mathematik und auf die
gleiche Weise werden sie erworben
• Die angestrebten Formen der Nutzung von
Mathematik müssen daher auch regelmäßig genutzte
Formen des Mathematiklernens sein.
Kompetenzen laut Bildungsstandards
Also: Geeignetes Arbeiten mit passenden Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
AUFGABEN
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
AUFGABEN
sind Aufforderungen zum Handeln
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
AUFGABEN
sind Aufforderungen zum Handeln
• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
AUFGABEN
sind Aufforderungen zum Handeln
• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder
• als unbewältigbar erkennen kann.
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
AUFGABEN
sind Aufforderungen zum Handeln
• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder
• als unbewältigbar erkennen kann.
Was für ein konkretes Kind eine Aufgabe ist, hängt also
von diesem Kind ab, ist eine Frage der Passung!
(vgl. L. Wygotski)
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Als Tätigkeit des Lehrers
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
• Anordnung der Aufgaben
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
• Anordnung der Aufgaben
• Stellen der Aufgaben im Unterricht
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
• Anordnung der Aufgaben
• Stellen der Aufgaben im Unterricht
• Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der
Aufgabenbearbeitung
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Als Tätigkeit des Lehrers
• Auswahl der Aufgaben
• Anordnung der Aufgaben
• Stellen der Aufgaben im Unterricht
• Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der
Aufgabenbearbeitung
• Organisation der Rückbesinnung
! auf das Ergebnis
! auf den Lösungsweg
Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Eine Vielzahl wesensverschiedener Angebote ist
• unter realen Bedingungen kaum praktikabel,
• für leistungsschwächere Kinder eher frustrierend,
• Leistungsunterschiede zementierend.
Heterogenität der Leistungsniveaus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Heterogenität der Leistungsniveaus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
Heterogenität der Leistungsniveaus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
Heterogenität der Leistungsniveaus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
• die erst einmal allen offen stehen,
Heterogenität der Leistungsniveaus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
• die erst einmal allen offen stehen,
• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster
Form - arbeiten können,
Heterogenität der Leistungsniveaus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
• die erst einmal allen offen stehen,
• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster
Form - arbeiten können,
• in die Kinder während der Arbeit unterschiedlich
tief eindringen können,
Heterogenität der Leistungsniveaus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,
• deren Wesen alle Kinder erfassen können,
• die erst einmal allen offen stehen,
• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster
Form - arbeiten können,
• in die Kinder während der Arbeit unterschiedlich
tief eindringen können,
• die von der Lehrerin rasch durch Variation
erschwert oder vereinfacht werden können
Heterogenität der Leistungsniveaus
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Beispiel 1: Rechentreppen
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Beispiel 1: Rechentreppen
5 + 2 = 7
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Beispiel 1: Rechentreppen
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Beispiel 1: Rechentreppen
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
7 + 9 = 16
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Beispiel 1: Rechentreppen
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
7 + 9 = 16
Wie kann damit gearbeitet werden?
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Entdeckungen an Rechentreppen
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
5‘ + 2 = 7‘
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
5‘ + 2 = 7‘
2 + 7‘ = 9‘
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
5‘ + 2 = 7‘
2 + 7‘ = 9‘
7‘ + 9‘ = 16‘‘
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Entdeckungen an Rechentreppen
Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...
5‘ + 2 = 7‘
2 + 7‘ = 9‘
7‘ + 9‘ = 16‘‘
Funktionale Abhängigkeiten erfassen, beschreiben
und begründen.
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
__ + __ = __
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = 100
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = 100
Wer findet hier eine, mehrere, alle Lösungen?
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = 100
Wer findet hier eine, mehrere, alle Lösungen?
Diese Fragen kann die Lehrerin ohne Extrakopie o.ä.
bei Bedarf aufwerfen.
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = x
Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = x
Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
a + b = a + b
b + a + b = a + 2b
a + b + a + 2b = 2a + 3b
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?
__ + __ = __
__ + __ = __
__ + __ = x
Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
a + b = a + b
b + a + b = a + 2b
a + b + a + 2b = 2a + 3b
Besser: Inhaltlich überlegen …
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Deutlich wird:
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Deutlich wird:
• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Deutlich wird:
• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.
• Es gibt nur Aufgaben mit Potenzen und
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Deutlich wird:
• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.
• Es gibt nur Aufgaben mit Potenzen und
• ein geeignetes Arbeiten mit diesen Aufgaben.
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Nicht alle Kinder kommen bei der Arbeit an
Rechentreppen zu funktionalen Betrachtungen . . .
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
geeignetes Arbeiten mit Aufgaben
Nicht alle Kinder kommen bei der Arbeit an
Rechentreppen zu funktionalen Betrachtungen . . .
Also: Funktionale Betrachtungen beim Arbeiten
an weiteren Aufgabenformaten aufgreifen.
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
ResultatLösung
6 • 8 = 48
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "
ResultatLösung
6 • 8 = 48
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "
ResultatLösung
6 • 8 = 48
• Fähigkeiten
• Verfahrensk.
• Gewohnheiten
• Einstellungen
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "
ResultatLösung
6 • 8 = 48
• Fähigkeiten
• Verfahrensk.
• Gewohnheiten
• Einstellungen
• Kenntnisse
der GAG
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8
ProzessLösungsweg
5 • 8 + 8
D (3 • 8)
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "
ResultatLösung
6 • 8 = 48
• Fähigkeiten
• Verfahrensk.
• Gewohnheiten
• Einstellungen
• Kenntnisse
der GAG
„Inneres Bild“ vom Mathematikunterricht
Korrespondenz: Standards und Lernen
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
ENAKTIVE EBENE
IKONISCHE EBENE
VERBAL-SYMB.
Ebene
NONV.-SYMB.
EbeneHier erst mal Terme, statt „fertige“Gleichungen
Ebenen des Lernens nach BRUNER
Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www.mathematikus.de
E - I - S- verstehen- anwenden
