Beitr~tge zur Arithmetik kommutativer Integritittsbereiche.

VII. Inseparab le GrundkSrpererw e i t erung . B o m e r k u n g e n zur KSrpertheorie~) .

Von

Wolfgang KruU in Erlangen.

Am Schlul] yon Beitrag VI wurde kurz das Problem der ,,separabeln GrundkSrpererweiterung" behandelt. Es sei N ein ganz abgeschlossener Integrit~tsbereich mit dem UnterkSrper/, ,GnmdkSrper") K, A sei ein sepa- fabler algebraiseher OberkSrper von K. Dann gelten nach Beitrag VI fi~r das Verhalten der ~-Ideale beim ~ e r g a n g zum Oberring ~ - ~ ~ - A neben einigen minder wiehtigen die folgenden drei S~tze.

A. Es ist a �9 ~ ~ 9t ~- a fiir jedes !R-Ideal a. -- B. Ist t e i n zum ~t-Prim- ideal p gehSriges Pr im~dea l , so besitzt z . ~ eine Durehschnit.tsdarstellung

" ~ -~ ~1 ~ ~ ~ . . . . bei der die Prim~rideale ~h, ~e . . . . zu den fiber p liegenden ~-Primidealen ql, q2 . . . . geh6ren. - / ~ . Bei einem beliebigen ~R-Prim- ideaI p ist p �9 ~ stets gleich dem Durchsehnitt der fiber p liegenden ~-Prim-

ideale.

In w 3 yon Beitrag VII wird darfiber hinaus gezeigt:

A. Die Anzahl der fiber p liegend-en ~-Primideale qi hangt (auger vonA) nut yon dem z u p gehSrigen Restklassenk6rper ~ ab, und zwar aueh dann, wenn A fiber K inseparabel ist.

Andererseits wird in w 2 dutch ein etwas komplizie~s, abet i n mehr ats einer Hinsioht bemerkenswertes Beispiel ~) bewiesen~ ~ : : S a t z A nicht hnmer gilt, wenn man aug die Voraussetzung der Separabilit~t von A ver- ziehtet. Damit wircl auch die Allgemeingfiltigkeit yon Satz B ~ehr ~ e l h a f t , und dab Satz F bei inseparabelm A nicht immer richtig sein kann, is~ fast selbstverst~ndlieh. -- Diesen Degativen Feststellungen tr i t t das p0s~iye Ergebnis gegeniiber, dab sich eine umfassende Ktasse K von Ringen bestimmen l~Bt, fiir die die S~tze A und B ohne die Beschr~nkung aug separables A

x) Beitrag VII schlieflt sich in der Fragestellung, in den benutzten Be- zeichnungen usw. eng an Beitrag VI an [Math. Zeitschr. 45 (1939), S. 1--19]. Auf die fibrigen BeitrAge wird nicht zuriickgegriffen.

~) Unter den mannig[achen Folgerungen, die.man aus dem betreffenden Beispiel ziehen kann, ist insbesondere Satz 5 des Textes hervorzuheben, der eine wichtige Erg~nzung der allgemeinen Untersuchungen yon Beitrag v r enthglt.

Mathematisehe Zeit~chrift: 45. 22

320 W. Kr,ll.

allgemein gelten, und bei denen sogar im inseparabeln Fall eine Art Gegen- stfick zu Satz /~ existiert.

Zur Charakterisienmg der Ringklasse K braucht man eine Begriffsbildung, die fiber ihre Bedeutung ffir das Problem der Orundk6rpererweiterung hinaus allgemeines Interesse besitzen dfiffte. Der KSrper R mSge fiber dem Unter- kSrper K ,,transze~ent" heiBen, wenn er kein fiber K echt algebraisohes a) Element enth~lt. Oenfigt R darfiber hinaus der Bedingung, da~ A �9 R fiber A tmnszendent ist ffir jeden algebraischen OberkSrperA yon K, so son R fiber K ,,sSre~ transzendent" genannt werden. Die Definition der Ringklasse K lautet dann kurz: Der Ring ~ gehSrt dann und nur dann zu K, wenn sein Quotienten- k6rper R fiber dem Orundk6rper K nicht nut (wie yon vornherein voraus-

gesetzt) transzendent, sondern sogar streng tra~szendent ist. Unter diesen Umst~nden scheint es wfinschenswert, Kriterien daffir zu

suchen, dab ein fiber, dem UnterkSrper K transzendenter OberkSrper �9 gleichzeitig fiber K streng transzendent ist. Man zeigt dutch einfache kSrper- theoretische ~berlegungen: Ist A ein beliebiger algebraiseher OberkSrper yon K, und bedeutet M den KSrper aller yon K algebraisch abh~ngigen Elemente aus A . ~, so ist fiir M ~= K stets M fiber K ein ,,WurzelkSrper" im Sinne yon Steinitz ~). Daraus folgt leicht, da~ ~ fiber K ]miner streng transzendent sein muB, wenn ~ fiber einem rein t~anszendenten Oberk51Ter 2: ~on K separabel algebraisch ist..Andererseits beweist man unschwierig mit ~Iilfe der Beispiele yon w 2: Der KSrper K hat dana und nur dann die Eigen- schaft, dal} jeder transzendente OberkSrper ~ gleichzeitig auch streng trans- zendent ist, wenn K ,/ast voUkammen" ist, d .h . wena jeder endliche alge- braische OberkSrper A fiber K einfach ist, A = K (~).

Mit diesem Theorem~ist der Anschlu6 an klassische Steinitzsche Unter- suchungen gewonnen ~). Denn schon Steinitz hat gezeigt, da~ einige der wichtigsten Eigenschaften der vollkommenen KSrper allen fast vollkommenen KSrpern zukommen. Das Theorem des Textes liefert eine bemerkenswerte

8) Also kein fiber K algebraisches, nioht zu K geh6riges Element. ~) M heil3t (bei Primzahlcharakteristik p) ,,Wurzelk6rper tiber K", wenn jedes

M-Element ~ tiber K einer Gleichung der Form ~ -- a = 0 (a C K) gentigt. ~) VgL w 14 der groBen Steinitzschen K6rperarbeit [Algebraische Theorie der

K6rper, J. f. Math. 137 (1910), S.-167--308. Neudruek, herausgegeben yon R. Baer und H. Hasse. Leipzig-Berlin, Walter de Gruyter u. Co., 1930]. -- Steinitz hat fiir fast vollkommene K6rper vet allem die folgenden S~tze bewiesen: a) Is~ A ein end- licher aigebraischer OberkSrper des fast vollkommenen K6rpers K, so liegen zwisehen,l und K immer nur endlich viele ZwischenkOrper. b) Der nicht vollkommene K6rper K yon der Charakteristik p ist dann und nut dann fast vollkommen, wenn jeder a]ge- braisehe Oberk6rper,~l veto Grade ~ einfach ist, ,4 = K (~). ~ Die yon Steinitz nieht benutzte Bezeichnung ,,fast vollkommener K6rper" wird yon mir vor allem der Kfirze halber gebraueht, l~attir]ich ist jeder vollkommene K6rper erst recht fast vollkommen.

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integri~tsbereiche. VII. 321

Erg~nzung zu diesen Steinitzsehen Ergebnissen. Dariiber hinaus erweisen sieh die zu seinem Beweis notwendigen ~berlegungen auch dann als brauchbar, wenn es sich um die Behandlung rein algebraischer Fragen handelt. Das zeig~ sich am Schlu~ von w 4 bei der Abgrenzung des Gfiltigkeitsbereiehes einer aus der Theorie der separabeln NormalkSrper wohlbekanntenGradformel. -- Die Untersuchung der inseparabeln Grundk6rpererweiterungen liefert also als l~ebenergebnis neue Einblicke in rein kSrpertheor~tische Zusammenh~nge. Gerade aus diesem Grunde sehien mix eine eingehende Behandlung des ganzen Fragenkomplexes empfehlenswert.

w

Der . s t reng transzendente" Fall.

Es sei ~ ein ganz abgescMossener Integritiitsbereich mit dem ~uotienten- kSrper ~ vonde r Charakteristik/~. K se} ein UnterkSrper yon ~, und zwar sei K ,,algebraisch maximal", el. h. es sell in 9{ und damit auch in R kein fiber K eeht algebraisches Elemen~ vorkommen ~). A sai ein algebraiseher OberkSrper yon K, unter ~ bzw. i~ sell der R i n g A . !~ bzw. der KSrperA �9 verstanden werden.

S a t z I. I s t A , ,Wurze lkSrper" iibe~ K, d . h . geniigt jedes A~Element :r

einer Gleichung ~/ - a = 0 (a ~ K), so liegt iib~,r j edem ~ - P r i m i d e a l p genau

ein ~ - p r i m i d e a i q. - - q besteht aus allen ,and n u t den ~-EIementen 7~, bei denen

~ I ]iir gwfies ] zu p gehSrt.

Zum Beweis hat man nut zu beachten, dab fii~ jedes a c ~ eine Gleichtmg a ~I -- r = 0 (r c !~) gil~.

Sa~z 2. ! s t R iiber K streng transzendent, so gehen f l i t beliebiges A die /olgenden Satze :

~) Z s ist a" ~ ~ ~ = a ]iir jedes !R-Ideal a. - - fl) I s t a = 5: ~ . . . ~ b,

in ~ , so ist a " ~ = (bl " 6 ) f~ . . . r~ (bs ~ ) in ~ . - - ~) I s t t eirt zum !R-Prim- /. .

ideal p geh6r~ges Pr imgrideal , so gilt i n ~ eineGleivhung ~ ~ = OJ r , ~ ~ . . . .

wobei die Pr imgrideale ~1, ~2 . . . . zu den in ~ iibe~ p liegenden Primidealen

~ , q~ . . . . gehSre~.

Es sei zun~chst A = K (~) eine einfache Erweiterung yon K, und es bedeute p (x) -~ x " t a l x "~'-1 + . . . § am das fiber K irreduzible Polynom mit der Nullstelle ~.. Dann ist p(x) wegen der Maximaleigenschaft yon K

6) DaB auch R kein tiber K echt algebraisches Element enthglt, folgt aus d.er Ganz-Abgeschlossenheit yon ~. (Vgl. die entspreehende Folgerung aus dem ,,ttil~s- satz" in w 2.) -- Die M6glichkeit, dab ~ einen echten Oberk6rper T yon K enbhglt, wird nicht ausgesehlossen. Nur muI] T in diesem Falle fiber K transzer.=lent sein.

22 *

322 W. KruH,

aueh fiber R irreduzibeI, und es dud infolgedessen die Elemente 1, ~ . . . . . ~m- 1 nicht nu t fiber K sondern anch fiber ~ linear unabhiingig. Mit Hilfe der Gleichung ~ ---- 1 �9 ~ ~- ~" ~ r~ �9 �9 �9 -~ ~m- 1.91 kann man aber unter diesen UmstAnden die Behauptungen ~), p), ~) genau so beweisen, wie die ent- sprechenden Siitze 7, 8, 10 yon Beitrag VI ~). -- Ist femerA ein beliebiger end- licher algebraischer 0berkSrper yon K, so kann man jedenfaUs eine K6rperkette Ao ~ K, A1 . . . . . Ar ~- A bilden, bei derA~ Ai-1 (~) (/----- 1, . . . . ~) jeweils eine einfache Erwei te~ng von A~_~ darstellt. Setzt man nun ~ = A ~ . R (s = 5~, s = s und beachtet man, daft s fiber R streng transzendent angenommen wurde, so erkennt man mfihelos:/1~ ist in s algebraisch rn~irnal (i -~ 1, . . . , s). Der Grad vonA~ fiberA~._~ ist gleieh dem Grad yon Ri fiber ~ _ ~ . (R~-----~_~ (~) ausnutzen!) Bilden die Elemente ~ . . . . . ~ eine linear unabh~ngige Basis v o n A fiber K, so bilden sis such eine linear unab- hiingige Basis vo~, ~ fiber 91. Mit ~Hilfe dieses letzteren Resultats werden d~nn die Behauptungen ~), ~), ~,) genau so bewiesen, wie im Falle einer ein- fachen Erweitenmgzi ---- K (~). -- Der Fall schliel~lich, da~ A ein unendl~cher algebraisoher OberkSrper yon K ist, kann genau so erledigt werden, wie der entsp~echende Fall in Beitrag VI, w 6 s).

Satz 2 l~d~t sieh insbesondere stets anwenden, wenn 91 einen Polynomring in beliebig vielen Variabeln fiber K darstellt; denn daft in diesem Falle R fiber K streng transzendent ist, ist so gut wie selbstverst~ndlich (vgl. w 4). Aus der Art des Beweises Yon Satz 2 ergibt sich ferner, daft die Behauptungen ~), fl), ~) bei beliebigem 9t und R immer gelten, weun man sich auf e/n/ache Er~oeiteru~en A ~ K (~) beschriinkt. Ist dagegen A ein nicht einfaeher endlicher algebraischer OberkSrper yon K (und R nicht streng transzendent), so kann, wie in w 2 gezeigt werden s011, Satz 2 bei geeigueter Wahl yon 91

falsch werden ~).

v) Beachte insbesondere Beitrsg VI, Anm. sl)! N~ttirlich liegen ftir A = K (~) tiber p nut endlich viele ~-Primideale, es wird also in diesem Falle ~. ~ = 1) x ~ .. . . f~ t)j Durohschnitt yon endZ/ch vie~ Prim~ridealen.

s) VgL den Beweis yon Satz 18 in Beitrsg VI! 9) Zur Frage nach der MSglichkeit einer Versch~rfung yon Satz 2 sei bemerkt:

s) Ist K unvollkommen, ~ -~ K [z] der Polynomring in einer V~riabeln tiber K, und p

bedeutet A = K (~fa) einen Wm~elk0rper ~-ten Grades tiber K, so wird (x p -- a).

(x - ~r~)p. G die ~-te Potenz eines Primidesls, obwohl (x p - - a ) . 9~ in ~ ein Primideal und R ----- K (z) iiber K streng transzendent ist. b) Ist R nicht streng trsns- zendent tiber K, So br~ucht, wie wir in w 2 sehen werden, ~ ---- 9~- A such dsnn nicht ganz sbgeschlossen zu sein, wennA ---- K (~) eine einfache Erweiterung yon K d~rstellt. Dagegen halte iches bei streng trsnszendentem R fox sehr wohl m0glich, dal3 ~ immer ganz sbgeschlossen ist. Abet ieh sehe his jetzt keinen Weg, auf dem diese Vermutung bewiesen werden k6nnte.

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsbereiche. VII. 323

2..�84

Gegenbeispiele.

Es sei K ein K5rper der Charakteristik p, in dem sieh die endlich oder abztthlbar unendlich vielen Elemente ao, sl .... so bestimmen lassen, dab

P f'~ ti~-~/a, (/-~0, I .... ) der K5rper Az= K(to, tl ..... tl) iiber K ~eweils den Grad pi besitzt io). ~o, xl .... seien Unbestimmte fiber K.

H i l f s s a t z . Der Ring

= K [~o, xl, xs~ ~3 .... ; toXo + tlxl, to~o + ~, toXo § t3x8 .... ]

ist in seinem Quotientenlc6rper R ganz abgeschlossen. Beim Beweis beschr~nl~.en wit uns auf den hinreichend allgemeinen Fall

Sl = K [Xo, xl , ~ ; toXo § t l x l , toXo § t~xs] 11). Mit a (x), b (x) . . . . bzw. (s), b (x), o . . bezeictmen wit Folynome fiber K bzw. fiber A = A3

= K (to, tl, is). -- Wegen (toXo § fizz) ~--- aox~ § a~ (i = I, 2) l~t sich

jedes Element A (x) aus St in der Form b (x)-: �9 ~ ao~ (x). (toZo § ~xx~) ,~ o

�9 (toXo § t~ s) darstellen. HRngt A (x) yon ~ ganz ab, so mu~ A (x) ein Polynom fiber A sein, weil alle 91-Elemente Polynome fiber A sind. Unter diesen Ums~nden ist s zu zeigen: Eine Gleiehung

p--1

(1) r Zo%,A ~) " (fox0 + t~ l )"" (to~o § tsx~) ~ = b (x)- ~ (~),

bei-der nicht alle a e ~ (x) dutch b (x) teilbar sind, ist unmSglich. -- Es mSge b (x} etwa in xs einen positiven Grad m besitzen ~z). Wit dfiffen dann (1) so pr~pariert annehmen, dal~ kein ae~(x) in xs den Grad m er~eicht. (Vor-. herige Gradernied~igung dutch Ausdivision mit b (x)[) Ersetzen wit in (1)

fiberaU x~ dutch xz -- -~r xo, so entsteht "eine ~ Gleiehung'

(2) ao(:~) § al(x) " (~oXo § tsx~) + . . . § a;(x) "(toXo § t~.~s) ~= b'_(x).d(x) �9 ( a i ( ~ ) : ~ 0 , ~ <__ ~ - ~),

, , (~.) bei der ao(X) . . . . at(x), b'(x) Polynome fiber K' = K ~ sind, trod b'(x)

den xx-Grad m hat, wiihrend die xe-Grade der d~(x) alle-hSehstens gleieh

lo) Einen KSrper K der gewtinschten Art kann man einfach dadurch erhalten, dab man zu einem beliebigen K6rper K~ der Charakteristik p eine hinreichende Menge yon Unbestimmten adjdngiert. -- Bei den meisten der folgenden Betrachtungen k6nnte man mit ~o, ~1 auskommem An einigen Stellen abet ist der Fall unendlich vieler ~i yon besonderem Interesse.

1l) DaB man sieh auf den Fall endlich vieler ~ beschr~nken darf, ist ktar. Denn so treten ja in jeder einzelnen Gleiehung immer nur endlich viele ~i auL

12) Fiir x 1 an Stelle yon x~ wfirden die ~berlegungen im wesentlichen diesetben sein. Zum Falle, -dab b (x) Mlein yon xo abh~ngt, vgl. Anm. I5).v

324 W. Krull.

( ~o) fiber K den Grad m - - 1 sindlS). D a A - - - - K( to , t l , t~)---- K to, t~,

ps, K' fiber K den Grad p besitzt , ist der Grad yon A fiber K' gleich p2, die Po tenzp roduk te t~ t~ (0 ~ ~ < p - 1, 0 < a =< p - - 1) sind also fiber K' und dami t auch f iber dem K6rpe r K' (Xo, xl) l inear unabh~ngig. - - Wir lessen nun in (2) beide Seiten als Po lynome in x~ allein auf, und untersuchen

die Anzahl v~ bzw, vr der [inks bzw. rechts auftre~enden fiber K' (Xo, x l ) l i n e a r unabhiingigen Koeffizienten.

vr ist offenbar h f c h s ~ n s gleich der Zahl aller Koeff iz ienten yon d(z) ,

d . h . es ist v~ g t, da d-(x) un te r unseren Vorausse tzungen h6chstens den Grad t - 1 besitzt . Ffir vz beachte m a n : a) Die t % 1 Koeff iz ienten

t ) . t~" tt~ - e " x~ (e ---- 0, 1, . t) yon ( t o x o + t u x 2 ) q sind fiber K ' (xo , z l )

l inear mlabhi~ngig, b) Wie leieht aus e inem bekann ten Dedekind-Mertens-

schen Sagze zu sehen ist, lessen sich die Koeff iz ienten yon ( t o X o § t 2 x 2 ) t

l inear fiber K'(xo, xl) d u m b die Koeff iz ienten yon a't (x) �9 (~oXo + t 2 x 2 ) t dar- t t

stellen14), e) Die Koeff iz ienten yon ao (x) + . . . -t- a t _ 1 (x) . ( toXo + t u x 2 ) t - 1

sind fiber K' (x0, xl) yon den Koeff iz ienten yon a't(x) �9 (~o xo + t2 x~) t

l inear unabhiingig, well sic in to, t~ nur Po tenzp roduk te hSehstens

(t - - 1)-ten Grades enthal ten. - - Aus a), b), e) folgt aber vt > t + 1 > v~, d. h. die rechte und die linke Seite yon (2) kSnnen nich~ gleieh sein. D a m i t ist der Beweis des Hilfssatzes abgeschlossen. Nur der Fall, dell b ( x ) in (1) allein yon Xo, nicht abe t yon Xl und x2 abh~ngt , efforder te eigentlich noch eine kleine Sonderiiberlegung, die aber unbedenkl ich in eine Anmerkung verwiesen werden k a n n 15). _ Aus dem Hilfssa~z ergibt sich insbesondere:

la) Bei (2) kSnnen nieht etwa beide Seiten identiseh verschwinden; denn man f -

kommt ja yon (2) zu (1) zurfick, wenn man x I durch x 1 A- ~.o w0 ersetzt. Wir dfirfen

t > 0 annehmen, da sonst (2) trivialerweise widerspruchsvoll w~re. la) Es sei A =~=0 ein im fibrigen beliebiger Koeffizient d e s x~-Polynoms

a~ (x); B0, . . . , B~ bzw. C1, . . . , G~ seien d i e Koeffizienten der x2,Polynome (~o Xo -4- ~ x.2) t bzw. a~ (x). (~o x0 -{- $~. xe)tx Dana gilt nach dem genannten Hilfs-

satz ein Gleichungssystem A n + ~ �9 B i = ~ gi~ C~ (i =- 0 . . . . , t), bei dem die

9i~ ganzzahlige Formen n-ten Grades in den Koeffizienten yon a' t (x) sind. ~a) Hangt b (x0) nur yon x0 ab, so wird in der nach dem Schema des Textes ge-

bildeten Gleichung (2) offenbar b'(x) ~ b(x). Geht man yon (2) dureh Ausdivision t

mit b (x) zu einer Gleichung 2, ~ a" . = i (x) (~o xo + ~ x~) t b {X)" d" (x ) fiber, bei der

die xo-Grade der a~.' (x) alIe klciner sind als tier-xo-Grad yon b (x), so folgt aus den Oberlegungen des Textes (bei denen nur xe dutch x o zu ersetzen ist), sofort: a~' (x) . . . . = a~' ( x ) = 0. D.h. aber: Die Polynome a~(x) und damit auch die Polynome

bo (x) = ~ a r (x)(~o xo + ~ x~)r (a = 0 . . . . . p - 1) sind alle dureh b (~) tei lbar,

b o (x) = b ( z ) '~a (X) . Behandelt man nun die Gleiehungen bo(x ) = b ( x ) . g a (x)

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integritatsbereiclie. VII. 325

Der QuotientenkSrper R van ~ ist Zdber K transzendent. In der Tat, jedes fiber K algebraische Element aus ~ mu~, well yon 91

ganz abh~ngig, zu !}t gehSren. Da$ abet in ~ kein fiber K echt atgebraisclles Element auftritt, folgt aus der Tatsache, daf~ der Restklassenk6rper A yon nach dem Primideal p =- (xo, xt, x~ . . . . ; ~oXo + ~1xl, ~oxo + ~2x~ . . . . ) zu K isomorph ist. -- Bilden wir zu R den KSrper ~ = A o " R = ~ (~o), so enth~ilt E die siimthchen Elemente $o, ~1, ~2 . . . . . und damit einen eehten algebraisehen'Oberk6rper yon Ao, der sogar under Umstiinden fiber Ao einen unendlich hohen Grad besitzt, niimlich dana, wenn die ~ in abzi~hibar unen& licher Anzahl vorhanden sin& Damit ist gezeigt:

S a t z 3. JEs gibt K6rper?aare K, ~, bei denen ~ iiber K transzendent, abex nivht streng transzendent ist. Es kann sogar vorkommen, daft ]iir einen geeigneten endlichen algebraischen Oberk6r?e~, Ao yon K in .40" Rein unendlic]ter algebraischer OberkSrper yon Ao enthal~n ist.

Wit wenden uns nun wieder zum Problem der inseparabeln GrundkSrper- erweiterung. Bei den folgenden drei S~itzen haben K, 91, R, to, ~1, ~2, �9 �9 �9 dieselbe Bedeutung wie im Hilfssatz.

S a t z 4. Die inseparable Crrundk6ryererweiterung [iihrt mitunter yon einem ganz abgeschlossenen Ausgangsrinq zu einem nicht ganz abgeschlossenen Oberring.

In der Tat, bilden wit zu 91 den Oberring ~ = Ao' 91 = 91 (to), so ist nicht ganz abgeschlossen , Well d ie yon ~ ganz abh~ngigen Elemente

~I, ~2, . . zwar dem QuotiemenkSrper ~ = R (~o), abet nicht dem Ringe selbst angehSren.

S a t z 5. Die Behauptungen a) und fl) van Satz 2 gelten nicht mehr al~emein, wenn man die Voraussetzung, ~ solle i~er K stren9 transzendent sein, /aUen liiflt.

In der Tat bilden wit zu !}l mit Hilfe des KSrpersA = K (~o, $~, ~ , . . . ) den Ring ~ = A . 9 t = A [Xo, x~, xe . . . . ], s o wird fiir das 91-Ideal a = (Xo, xx, x~ , . . ,) offenbar (xo, $~, x~ . . . . ; ~eoZo + ~lx~, ~oXo + ~ x ~ , . . . )

= a" ~ ~ 91 = p ein echtes Oberideal yon a. Setz~ man ferner etwa

= (Xo, x~, ~oXo+ ~ z ~ ) . ~ ~_.b~." ~ ='(~oXo + ~Y,1)" ~, Ih" ~ , " ,~" = (~oXo -t- ~x~) �9 ~, w~hrend (bt ~ I ~ ) . ~ sieher yon (~oXo + ~ x ~ ) . verschieden ist, well in bl ~ b~. nut solehe Polynome vorkommen, bei denen alle wirklieh auftretenden PoteImprodukte in den Variabeln x~ mindestena den Grad 2 besitzen. -- An dem Beispiel zu Satz 5 verdieng der Umstand besonders herv0rgehoben zu werden, dal] der Ring ~ = A [x0, zx, . .] ganz abgesehlossen ist. Die Siitze 4 und 5 siad also voneinander unabhi~ngig.

= 0 , . , . , p - - 1) genau so wie zuerst die Gleichung (1)' (wobei nur ~o zo �9 ~1 x i an S ~ l l e yon ~o xo ~- ~2 x2 tritt) , so ergibt sich unmittelbar die Teilbarkei~ aUer a e o (~) durch b (x). - - Bei nur zwei Elementen ~o, ~1 sind 4ie auf x o bezliglichen Sonder- fiberlegungen fiberflfissig, d a dann x o in keiner Weise vor x 1 ausgezeiohnet iBt.

326 w. Kr~.

Der R i ~ ~ k a ~ iiber ~ ~ M o d ~ s i s yon linear unabl~figen E/em~t~m be~zen. Denn die Existenz einer derartigen Modulbasis wfirde die Gleichung a" ~ f~ 91 = a fiir jedes 91-Ideal a nach sich ziehen. Beaehtet man weiter, daft jedes ~-Element einem der Ringe ~ = ~ (~o, ~1 . . . . , ~ ) (i = 0, 1 . . . . ) angeh~r~, w~hrend andererseits offenbar ~+1 niemals in ~t enthalten ist, so erkennt man mfihelos:

Im FaUe u~mtlidt vieler ~ besitzt ~ ff~r ~ kd/ne Modulbasis yon endlidt viele~ (linear ~t~abhil~ti~en oder li~a~, abl~mfigen ) Elemente~.

Dieses Ergebnis ist deshalb bemerkenswert, weil der Quotientenk8rper s ---- ~o (~o) yon ~ einen endlichen algebraisehen Oberk6rper yon ~ darstellt. Andererseits ist es nieht besonders iiberraschend, weil F. K. Schmidt schon vor einiger Zeit einen iihnliehen, aber vie1 tieferliegenden ~iehtendliehkeits- satz bewiesen hat ~r -- Zu wesentlieh neuen Erkenntnissen dagegen ffihren die folgenden Betraehtungen: Es sei ~ ein beliebiger, ganz abgesehlossener Integrit~tsbereieh mit dem Quotientenk~rper ~, ~ sei ein ganz abh~ingiger Oberring yon 91, dessen Quotientenk~irper ~ tiber ~ einen endliChen Grad n besitzt, q~ . . . . . q~ seien die fiber einem bestimmten ~-Primideal p liegenden ~-Primideale, unter ~ bzw. ~* m~ge der Grad bzw. der reduzierte Grad yon q~ fiber ~ verstanden werden ~7). Dann gilt nach Beitrag VI immer die Ungleichung ~* + . . . + ~* _--< n, und aus n* + . . . + n~* = ~ folgt ~* = ~ (i = 1 , . . . , s), ~ + . . . -t- ~ = ~. Ist ferner z .B. ~ ein Bewertungsring irgendweleher Art ~s), so weill man, dab m beliebige ~-Elemente ~x . . . . . . a~ stets fiber 91 linear unabh~ngig sein mfissen, wenn die zugeh~rigen Restklassen ~ , . . . , ~ , aus ~/(p �9 ~) tiber ~ /p linear unabh~ngig sind, und daraus folgt sofort die Ungleichung ~ A- . . + ~ < ~ fiir jedes ~.

Es sei jetzt aber wieder 91 der ganz abgeschlossene In~egrit~tsbereich des Hilfssatzes, und es bedeute ~ = ~ (~o, $~ . . . . ) wieder den Ring aller yon 9t ganz abh/ingigen Elemente aus s = g ($o). Setzen wit dann P = (~o, Z~, ~ , . . .~ ~oZo + ~ , ~o~o + ~ . . . . ) in 9t, so ist q = p �9 -- (zo, ~ , z~., . . . ) " ~ das einzige fiber ~ liegende $-Primideal, und es ist 91/p zum Ktirper K, dagegen ~ /q zum Ktirper K (~o, ~t, ~ . . . . ) isomorph.

le) Zur Erhaltung der Kettens~tze der Idealtheorie be i betiebigen endlich~n K6rpererwei~rungen, Math. Zeitschr. 41 (1936), S. 443--450. Dort wird gezeigt:

braucht fiber ~ nicht e inmal dann eine endliche Modulbasis zu besitzen, wenn und ~ diskre~ Bewertungsringe sind, und ~ den Ring aller yon ~ ganz abh~ngige~ Elemente aus einem end|ichen algehraisehe'n 0berk6rper ~ des Quotientenk6rpers yon ~ darstell t . (NatfirIich entsteht ~ aus ~R im Schmidtschen Falle-nicht dutch inseparable Grundk6rpererweiterung.')

17) Zur Definition des Grades imd des reduzierten Grades eines ~-Primideals fiber 9~ vgl. Bei t rag VI, w 2!

is) Also ein beliebiger In~grit~tsbereich, in dem yon zwei E|ementen ~, fl stets mindestens eines dureh das andere teilbar ist.

Beitr&ge zur Arithmetik kommutativer Integritgtabereiche. VII. 327

Der Relativgtad yon q fiber ~ ist also in jedem Falle grSfler als der Relativ- grad ~ yon ~ fiber ~, ja er kann sogar (hal Falh unendlich vieler ~) unendlich ~ f l werden. Wi~ haben also:

8a~z 5. Is~ ~ el , ~a~z ab~nej~er O ~ r i ~ des ga~z ab~esddoss~ I~te~tiitsbereichs ~, so gib$ es ~iir die Grade der ~-PrimideaIe iiber 9t i~n a~emeinen auch dann keine Schra~ke, wen~ der Quotientenld~rper ~ yon iiber dem Quotientenk~ryer R yon ~ einen endliehen Grad besitzt.

S~t~ 5 zeigt, da~ die in Beitrag VI abgeleitete Ungleichung n* + . . . + n,* ~ n nieh~ wesen~lieh vemch~rft werden kann ~). Ffir fast noch wieh~iger halte ~ch die Fes~stellung, dal~ man -- yon Spezial~llen abgeschen -- nich~ ~us der l~nearen Unabh~ngigkeit gewisser Restklassen aus ~ / ( p . ~ ) fiber ~{]p auf die 1Lneare Unabhgngigkeit geeigneter Repr~sentanten fiber sehlie~en daft.

w

Der Restkla~senring ~ /p und die Zerlegung yon ~ �9 ~0) .

Wit wenden uns zu einer ~nderen mit der GrundkSrl~rerweiterung zus~,mmenh~ngenden Frage, ffir die gleichfalls die Beispiele yon w 2 wichtig sind. Es sei wie bisher K dn raaxima] aIgebraischer Unterkf~Ter des ganz abgeschlossenen Ringes ~,A sei dn algebraiseher Oberk6rper von K, ~ = A. ~{o Es sol] die Anzahl der fiber einem res in ~R-PrimideM p tiegenden ~-Prim- ideale bestimmt werden, und es sell untersucht werden, unter welchen Be- dingungeu (bei inseparabelm A) die hofierten Prims yon p - alh Primideale sind. Dabei dfiffen und wolhn wit voraussetzen, dab das

Primideal p in ~ maximal ist, dab also der Restklassenring ~{/p = A einen KSrpe~ darstellt, den wit als OberkSrper yon A auffassen~X).

Es sei nun zungehst A = K (~) ein einfacher algebraischer Oberk6rper yon K, und es sei p ($) das fiber K irreduzible Polynom rMt der Nullstelle ~.

xg) Als ,,unwesentliche", aber hnmerhin bemerkenswerte Verse~ffung sei er- wghnt: Is~ p die Charakteristik des Quotient~nk6rpers K yon ~/p, und versteht man unt~r dem ,Exponenten" e~ yon qi den ~xponenten des QuotientenkSrpers A~ yon ~/q~ fiber K (vgl. 2e)), so gilt die leicht mit den Hilfsmitteln yon BeiVragVt beweisbare

Ungleichung n~. p q + . . . + n * . pe8 ~ n .

20} Satz 6 und Satz 7 yon w 3 aind auch dann yon In~eresse, wenn K die Charak- teris~ik 0 besitz~!

2a) Wg~e p nicht in ~ maximal, so k6nnte man yon dem Ringpa~r ~, ~ zu ~I~' ~P = A . ~ p iibergehen, wobei ~p den z~ p gehSrigen Primidealquotientenring

bedeutet. Dann ist p . ~ p i n ~p maximal, und es ent6prechen die iiber p �9 ~p!iegenden

~p-Primideale bzw. die isolierten Primgrkomponenten yon p �9 ~p umkehrbar eindeu~g

den fiber p liegenden ~-Primidealen bzw. den isolierten Prim~rkomponenten yon p �9 ~

328 W. Krull.

Dann ist offenbar ~/(p - ~) isomorph zum Restklassenbereich A [x]/(p (x))

des Polynomringes A [x] nach dem Hauptideal (p (x)), und daraus folg~ sofort:

Rs sei p (x) = Pl (x) "1 " �9 �9 �9 "P8 (x) r8 die Prim/aktorzerle~ng des Polynoms

Y (x) iiber A. Dann sind q, ~- (p + (p, (x))) �9 ~ (i ~- 1 , . . . , s) die samtlichen

iiber p liegenden ~-Primideale. Der K6rper Xi = ~/q~ entsteht aus X dutch Adjunktion einer NullsteUe yon pi(x). Die zu q~ geh6rige isolierte Primar- komponente yon p �9 ~ ist dann und nut dann yon Oi verschieden, wenn r~ > 1 ist.

Um mit Hilfe dieser fast selbstverstandlichen Bemerkungen z u einem einfaehen Anzahlsatz zu kommen, beachten wir zunachst:

S a t z 6. Es sei A* der gr6flte iiber K separable Unterl~per yon A, und es wurde ~* ~- ~R .A* yesetzt. Dann entspreehen die iiber p liegenden ~ 'Prim- iateale umkehrbar eindeutig den iiber p liegenden ~*-Primi~alen.

Satz 6 ist eine trivlale Folgerung aus Satz 1, da A fiber A* einen Wurzel- kSrper darstellt. Man braueht also bei dem Anzahlproblem nut separable OberkSrper A yon K zu betrachten. Darfiber hinaus beschr~inken wir uns der Einfaehheit halber auf den Fall, daft A = N ein Normalk6rper fiber K

i~. Wit k6nnen dann yon ,,dem Durchschnitt A yon A und A" reden, da dieser Durchschnitt,~edenfalls bis auf Isomorphie eindeutig b'estimmt is t 2~), und es ergibt sieh:

S a t z 7. I s t A ~ N ein iiber g separabler NormalkSrper, so ist die Anzahl der iiber p liegenden ~-Primideale stets gleich dem Relativgrad des Durehschnitts

A yon A und X i~er K. �9 Beim Beweis un~terseheiden wit drei Fiille: a) Es sei A und damit auch A

fiber K endlich. Dann ist A = K (~) ein einfacher OberkSrper yon K, und das fiber K irreduzible Polynom p (x) mit der l~ullstelle ~ zerf/iflt naeh tfivialen

k6rpertheoretisehen Uberlegungen fiber A genau in s irreduzible Faktoren gIeichen Grades, falls S den Relativgrad yon A fiber K bedeutet. Fertig! -- b) Es sei A fiber K unendlieh, wiihrend A fiber K einen endlichen Grad s besitzt. Ist dann As irgendein endlicher, in A enthaltener NormalkSrper fiber K, so liegen naeh a) fiber p in ~ = A~ �9 ~R genau s oder weniger als s

Primideale, je nachdem ob der Durchsehnitt yon A~ mit A gleich A oder

2~) Dabei handelt es sich nieht um Isomorphie schlechtweg, sondern urn ,,Iso- morphie tiber K", also um eine Isomorphie, bei der die Elemente yon K sieh selbst zugeordnet werden. - - Zum Beweis bedenke man: Es sei A* bzw. A* tier zu A bzw. geh6rige algebraisch abgeschlosseneKSrper, B* sei der K6rper aller tiber K algebraisehen Elemente aus A*. Um )T und A in Beziehung zu setzen, hat man A* tiber K isomorph auf B*abzubilden. Zwei verschiedene derartige Abbildungen h~ngen 4ureh einen Automorphismus yon A* tiber K zusammen. Bei je4em Automorphismus yon A* tiber K wir4 der NormMk6rper A auf sieh selbst abgebildet.

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsbereiche. VII. 329

gleich einem echten UnterkSrper yon A wird. Daraus folgt sofort, dal] in fiber p genau s verschiedene Primideale liegen mfissen. (L~gen n~mlich iu ~ fiber p mehr als s PrimideaM so miil~te das gleiche auch in einem g6eigneten Ringe ~ der Fall sein.) -- c) Es seienA und A beide unendlieh. Dann kann man zu beliebig groBem 2~ T stets einen endlichen in A enthaltenen fiber K

normaten KSrper At so bestimmen, dab der Durchsehnitt von At mit mindestens den Grad N besitzt, und dab dementsprechend in ~-----At" fiber p mindestens N versehiedene Primideale liegen. Die Anzahl der in selb~t fiber p liegenden Primideale mul~ daher unendiich groB sein. -- Aus Satz 6 folgt insbesondere, wenn wir mi t A* den zu K gehSrigen algebraiseh abge-

sehlossenen. KSrper, mit A % den KSrper aller fiber K separabeln Elemente

aus ,4 bezeiehnen:

Die Anzahl der in ~I = A*" ~ iiber p liegenden Primideale ist gleich

dem Grad yon ,4" iiber K ~). Satz 6 kann noch leieht dutch die Bemerkung erg~nzt werden, dab ffir jedes fiber p liegende ~-Primideal q der Restklassen- tcSrper ~/q zu dem (wegen der Normalitiitsvoraussetzung bis auf Isomorphie

eindeutig bestimmten) Produlct A . A der Kiirper A und A isomor,ph ist. Wit gehen auf diese ziemlich selbstverst~ndliche Sache hier niCht n~her ein, und wenden uns zu der Frage, wann bei geeigneter Wahl vonA unter den isolierten Prim~rkomponenten yon p . ~ echte Prim~rideale vorkommen kSnnen.

Es sei M der grSitte fiber K algebraisehe UnterkSrper vonA ~. Dann ergibt sieh zuniichst fast unmittelbar:

Sa tz 8. Ist M iiber K inseparabel, so laflt sich A stets so bestimmen, daft �9 ]iir mindestens ein iiber p liegendes ~-Primideal q~ die zugehSrige isolierte

Primarkomponente yon p . ~ yon qi verschieden aus/gllt. Auch wenn -M iiber K separabel ist, l~nn unter Umst~nden A in der angegebenen Weise bestimmt i t T e r ~ e ~ .

Beweis. a) Es sei ~ ein fiber K inseparables Element aus M, und es sei

A ----- K (~) so gewahlt, dab $ und ~ fiber K Nullstellen desselben irreduziblen Polynoms p (x) sind. Dann muB p - ~ nach den Bemerkungen yore _4_ufang

des Paragraphen eine eehte isolierte Prim~rkomponente besitzen, weil fiber X

yon p (x) der Lineaffaktor (x -- ~)P abgespalten werden kann.

~a) Aus diesem K r i t e r i u m ergib t s ieh z. B.: I s t ~ = K [a~ . . . . , an] ein endIicher In teg r i t~ t sbe re ich tiber K, so ]iegen in ~ ~ A �9 ~ iiber jedem ~ - P r i m i d e a l p immer

n u r endlich viele ~ -Pr imidea le . - - Sind die a i tiber K a lgebraisch unabh~ngig , so ist

dieser Satz allerdings selbstverst~ndlich, da dann ~ bzw. ~ einfach den Polynomring in n Variabeln fiber K bzw. A darstellt, und da infolgedessen nicht nur fiir ~, sondern auch fiir ~ immer die. Maximalbedingung (tier ,,Teilerkettensa~z") gilt.

330 W. Krul].

b) Es sei K ---- K~ (u, v) eine zweifach transzendente Erweitelmng eines beliebigen KSrpers K~ der Charakteristik •, 9i ----- K [x,y, z] bedeute den Polynomring in drei Unbestimmten fiber K, und es werde (z~ - (uxP + vyP))

- - - p gesetzt. Damn enth~lt der Quotientenk6rper A des Restldassen- tinges ~/p~4) naeb w 2kein tiber K ecbt algebraisches, also insbesondere aneh

P_ P_ kein fiber K inseparables E]ement. Oleichwohl wird (z - (~u~ +~/vy))t,

----- p �9 ~ = q~ ffir A ---- K (],9, ~v). - Das positive Gegensttiek zu Sa tz8 ist:

S a t z 9. lst M ~er K se~arabel, und ist gleiehzeitif/ A iiber M st~,eng't~a~- zendent, so sind bei beliebiger Wahl yogi A die isolierten PrimarloTm~o~enten yon p . ~ imrner 9leith den iiber p liegenden ~-Primidealen.

Wit zerlegen den Beweis in mehrere Schrittei a) Ist die zu dem Q-Prim- ideal q gehSrige isolierte Primiirkomponente yon p - ~ nicht gleicb q, so gibt es in q ein Element z mit der Eigenscbaft, daft aus ~ �9 ~ c p �9 ~ stets ~ c q folgt. W~hlen wit nun den fiber K endlichen UnterkSrperA~ vonA so, daft bereits in ~ ----- Ae �9 ~ und damit auch in q~ ----- q f~ ~ enthalten ist, so folgt in ~ aus ~ �9 Q c p �9 ~ , stets Q c q~, und es mul3 infolgedessen die zu q, gehSrige isolierte Prim~irkomponente yon p - ~ ein echtes Prim~irideal sein. Wit dfirfen uns daher weiterhin auf den Fall beschr~ken, dal~ A = A~ fiber

K endlich ist.

b) In dem fiber K endlichen K6rper .4 kSnnen wit ~ so bestimmen, dal~ K1 ~ K (~) fiber K separabel ist, w~hrend . / l fiber K einen WurzelkSrper darstellt. In ~1 = KI" ~K wird p - 9 ~ : p~ ~ . . . r : ps nach Beitrag VI, Satz 9 Durchschnit t von endlich vieten Primidealen, und wegen der Maximal- eigenschaft yon p, die beim Beweis ja vorausgesetzt werden d~ff, ist sogar p �9 ~ -~ p~ . . . . �9 p~ und damit p �9 ~ : (p~ �9 ~) - , . . �9 (p~o ~). Unter diesen

Umst~nden brauchen wit blo~ zu zeigen, das ffir i -~ 1, . . . . s das Ideal p~. ~ in ~ Primideal ist.

c) 2~)~ Wit betrachtenetwa das Primideal p ~ und setzenA~ ~- 9t~/p ~, w~hrend

unter M~ der KSrper aUer fiber K~ algebraischen Elemente aus A~ verstanden

werden soll../1~ ist fiber M~ streng transzendent, weilA fiber M- es ist. Bedeutet femer p (x) d.as fiber K irreduzible, separable Polynom m i t der Nullstelle ~

~) Der Quotientenk6rper, tier gebi]det werden mull, weil p nicht in ~ maxima! ist, ist natiir!ich zu ~p/(p . ~p) isomorph [vgl. ~)!].

~5) Die folgenden Betrachtungen gestalten sich etwas umst~ndlich, well wit die Bildung yon A auf die Bildung yon endlich vielen einfachen K~rpererweiterungen zuriickffihren miissen. Wir mfissen so zwischen ~ und ~ endlich viele Ringe 9l~, 9~ . . . . einschalten, die nicht ganz abgeschlossen zu sein brauchen, und yon denen sogar mehrere denselben Quotientenk~rper besitzen kSnnen. (M~n beachte, da~ fiber das Verh~ltnis. yon ~t zu K nichts vorausgesetzt wurde.)

Beitr&ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsbBreicbe. VII. 381

so entsteht A1 aus R und damit (wegen der strengen Transzendenz yon

fiber M) auch M--~ aus M dutch Adjlmirtion einer geeigneten NullsteUe ~ yon

p(z), und es muB daher M1 tiber Kx separabel sein, well M tiber K sepambel angenommen wurde. -- Da K1 in ~1 algebraisch maximal und A ein Wurzel- k0rper tiber K1 ist, gibt es in A sicher ein nieht zu K1 geh5riges Element

P_ = Va (a c K1). Wit setzen K2 = Kx (a), ! ~ = K~" 9tl. Dann ist jedenfalls

Pl" ~ in ~2 Primideal, well das tiber K1 irreduzible Polynom xv -- a = x~ -- ~

wegen der Separabilitiit yon M--1 iiber K1 auch tiber,41 irreduzibel ist, Da ferner a

die einzige Nullstelle yon x~ -- a ist, kSanen wir geradezu ~ / ( P l " 912) = z~

= ,41 (~) setzen, and aus der strengen Transzendenz yon A1 tiber M1 folgt,

alas zt~ tiber dem tiber K~ separabeln UnterkSrper M2 = M~ (cr streng trans- zendent ist. Schliei~lich sieht man miihelos, dab der KSrper K2 in ~ maximal ist. Enthielte ni~mlieh ~12 einen echten OberkSrper K'~ yon K2, so miiBte

dieser jedenfalls tiber K2 inseparabel und in M~ als UnterkSrper enthalten sein.

Das ist abet wegen der Separabiliti~t yon M2 fiber K2 ausgeschlossen. d) Ist K~ = A, !}l~ = ~ so sind wir am Ziel. Im anderen Falle gibt

p es in A ein nicht zu K2 gehSriges Element fl = ]/b (b c K2), wir~ kSnnen K3 = K2 (fl) setzen und die unter c) ausftihrlich dargestellten Sehliisse wieder- holen. Nach endlich vielen Schritten ergibt sieh so schlie$1ieh, daft p~. Primideal sein mut l Nur ein Punkt scheint auf den ersten Blick Schwierig- keiten zu machen: ~ war ganz abgeschlossen, und es war x ~ - ~ nieht nut tiber K~, sondern auch tiber ~ und dem zugehSrigen Quotientenk6rper g~ irreduzibel. Da wir keine Voraussetzungen fiber das Verhifltnis v o n g zu K gemaeht haben, kSnnen wir rdeht behaupten, dat] ~ ganz abgesehlossen and x ~ - fl~ iiber 9~2 irreduzibel sein muB. Aber das schadet niehts; denn weder die Ganz-Abgesehlossenheit yon !}t~ noch die Irreduzibilitiit yon x2 -- fl~ fiber ~x wurde beim Obergang yon ~ zu ~ ausgenutzt.

Die Verkntipfung des nunmehr voU bewiesenen Satzes 9 mat Satz 2 yon w 1 liefert:

S a t z 10. Ist nicht nut A iiber -M, sonder~ auch R iiber K streng trans-

zendent, und ist M iiber K separabel, so ist ~ �9 ~ bei beliebiger Wahl vo~ A stets gleich dem Durchschnitt der iiber p liegenden ~-Primideale q~, q~ . . . . .

In der Tat, nach Satz 2 muB p �9 ~ = th ~ t)u ~ .... sein, falls ~ jeweils die zu dem Primideal q~ gehSrige isolierte Prim~irkomponente yon p . bedeutet, und nach Satz 9 wird ~)t = q~ fiir jedes i. -- Satz 10 kann als eine Erg~inzung des ftir separable GrundkSrpererweiterungen geltenden Satzes 9 yon Beitrag VI-angesehen werden. Bei einem maximalen Primideal p is t die Voraussetzung der strengen Transzendenz von R tiber K sicher entbehrlich,

332 W. Krull.

weil in diesem Falle p �9 ~ immer gleich dem Durehsehnitt seiner isolierten Prim/~rkomponenten ist. Bei nichtmaximalem p sehe ich keine MSglichkeit, den Rfiekgriff auf Satz 2 zu vermeiden, ohne dab ich abet bis jetzt dutch ein Beispiel zeigen kSnnte, da~ Satz 10 bei nieht streng transzendentem R unter Umst~.nden falseh wird.

w

K~rpertheoretische Betraehtungen. Im folgenden bedeutet R einen KSrper der Charakteristik p, der fiber

dem UnterkSrper K transzendent ist. Unter A verstehen wir einen alge- braisehen OberkSrper yon K, unter M den KSrper aller fiber K algebraischen Elemente aus s = A . R . Ist M ein echter OberkSrper yon A, so ist auch Me ----- M r~ (R -A~) ein echter OberkSrper vonA~ ffir einen geeigneten fiber K endlichen UnterkSrper A~ von A. Unter diesen Umst~nden dfirfen wir bei den Beweisen der folgenden S~tze ohne Einschr/inkung der Allgemeinheit durchweg stillsehweigend voraussetzen,_daB der bevrachtete KSrperA fiber K endlieh algebraisch ist. Die Bezeiehnungen,,reduzierter Gr~d" und ,,Exponent" eines KSrpers haben bei uns dieselbe Bedeutung wie bei Steinitz 26).

Satz 11. Die K6rper A und M haben iiber K denselben reduzierten Grad und denselben Exponenten 37).

Es sei n~imfieh gx bzw: g.~ bzw. gz (e~. bzw_. % bz TM. ez)der reduzierte Grad (Exponent) yon A fiber K bzw: M fiber K bzw, s fiber R. Dann is t g~ ~ g~, e, ~ e~ wegen M 2 - 4 und gz ~ g~, ez ~ ex wegen s = A �9 R. Andererseits gibt es naeh Steinitz in M stets ein Element ~" mit der Eigensehaft, da$ bereits der KSrper K (~) fiber K den reduzierten Grad 9~ und den Exponenten e, besitzt. Das fiberiK irreduzible Polynom mit der Nullstelle ~ mu~ wegen der Tranazendenz yon-R auch fiber R irreduzibel sein, und es ist infolgedessen g ~ g~, ' e ~ %. Im ganzen ergibt sich somit g~ = g~ = g~, e~ : e~ : e~.

Satz 12. Ist M =~ A, so ist M Wurzelk6rper iiber A, und der Exponent yon M iiber A ist h&hstens gleich dem Exponenten Yon A ~iiber K e~_).

Satz 12 folgt unmittelbar aus Satz 11. W~ren, n~mlich die angegebenen Bedingungen nicht erffillt, so kSnnte M nicht gleichzeitig denselben redu- zierten Grad und idenselben Exponenten fiber K besitzen wie A . Satz 12 zeigt-insbesondere, dab iIhmer A = M sein mu~, wenn A einen separabeln OberkSrper von K darstellt. -- Die bisher besproehenen S~tze sind nut dana

~) Der reduzierte Grad Yon A fiber K ist gleich dem Grad des grSBten fiber K separabeln UnterkSrpers yon A. Der Exponent yon A fiber K ist die kleinste nieht- negative ganze Zahl e, fiir die die p~-ten Potenzen aller A-Elemente fiber K separabel sin&

~v) Vgl. demgegeniiber Satz 3 vo/l w 2!

Bei$r~ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsbereiche. VII. 333

,ion Interesse, wenn R fiber K nicht streng transzendent ist. Wir fragen jetzt umgekehrt nach Bedingungen, unter denen R fiber K streng transzendent ausf~ltt.

Satz 13. Der KSrper K hat da~. und ~u~ damn die Eigenscha/t , da# jeder transzendente OberkSrper R gleichzeitig streng transzendent ist, wenn K [ast voUkommen ~st, wenn also jeder endlich alge~aische Oberk6rper A yon K eine eintache Erweiteru~,9 darstellt, A = K (~).

a) Dal] R bei fast vollkommenem K stets streng transzendent ist, folgt aus Sa~z ]0 und der Tatsache, dal~ bei einer einfachen ErweiterungA = K (~) der Gesamtgrad [A : K] fiber K gleieh g- pe ist, falls g den reduzierten Grad; e den Exponenten fiber K bedeute$.

b) Ist K nicht fast vollkommen, so gibt es nach Steinitz 2s) stets fiber K einen nicht einfachen OberkSrper A yon der Form A = K (~, U), wobei ~, ~] die p-ten Wurzela aus zwei geeigneten K-Elementen u, v sind. Setzt man nun R ~ K (x, y, ~x + ~y), wobei x, y Unbestimmte bedeuten, so ist R nach w '~ fiber K transzendent, w~hrend K (~)" R = ~ das fiber K (~) = A eeht algebraisehe Element ~ enthKlt. -- Fragen wit bei einem n/cht fast voll- konunenen KSrper K nach Bedingungen, uater denen ein lest vorgegebener KSrper R fiber K streng transzendent ist, so ergibt sich leicht:

Sa tz 14. Der KSrper 5{ ist 8icher iiber K st~eng transzendent, wenn iiber einem ~'ein transzes Oberk&'pcr fs volt K separabet atgebraisch ist.

l~fir R = 2: ist die Behauptung klar; denn es stellt in diesem Falle R bzw. A �9 R = s einfach den KSrper aller Polynomquotienten in einer geeigneten Variabelnmenge fiber K bzw. A dar. Es sei nun ~ irgendein fiberA algebraisches Element yon R-A; p (x) sei das fiber A irreduzible Polynom mit der Null- stelle ~. Dann ist p (x) wegen der Transzendenz yon % ,A fiber A aueh fiber % :A irreduzibel, und es mull daher $ fiberA separabe] seln, weil R .A wegen der Separabilit~t yon ~ fiber % sieher fiber % .A separabel ist. Aus Satz 12 fblgt nun sofort ~ cA , es enth~lt also tats/ichlieh ~ .A kein fiber A echt algebraisches Element.

Uber Satz 1'4 hinaus zu notwendigen und hinreichenden Bedingungen ffir die strenge Transzendenz yon R fiber K vorzudringen, di~xfte keine ganz einfache Aufgabe sein. Wir gehen bier auf diese Frage nieht n~her ein, und wenden uns zum Schlu~ einem anderen, rein algebraischen Problem zu, bei dem/ihnlich wie bei Satz 12 die fast vollkommenen KSrper in den Vorder- grund treten.

Bekanntlieh gilt der folgende, ffir die Galoissche Theorie grundlegende Satz: Ist N ein endlieher NormalkSrper, A ein beliebiger endlicher alge- braischer OberkSrper yon K, und bezeiehnet A den Durchschnitt yon A

2s) Vgl. den in Anm. ~) unter b) angefi]hrten Satz!

334 W. Krull, Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsbereiche. VII.

und N, so ist die Gruppe yon N .A fiber A stets isomorph zur Oruppe yon N fiber A. -- Ist N fiber K separabel, so folgt aus diesem Gruppensatz sofort die Gradformel [(N -A) :A] = [N : A]. Lassen wit dagegen die Voraussetzung der Separabilitiit yon N fallen, so ergibt sich:

S a t z 15. Die G.radformd [(N .A)!:A] ----- [N : A] g~t (bee norma/em N und belie]~em A) alkjemein, wenn K fast voUkoramen ist. Ist dagezjen diese Voraussetzung nieht erfalIt, 8o kann unter Umstanden [(N "A):A] < [N: A] ,nm'den.

Offenbar daft man sich beim Beweis auf den Fall A = K beschr~nken. Ist dann N = K (~)iiber K einfach, so folgt die Gradformel unmittelbar

�9 aus der Tatsache, dal~ das fiber K irreduzible Polynom mit der Nullstelle ~ aueh tiber/1 irreduzibel bleiben mul3 ~). -- Es se i andererseits Kp irgendein KSrper der Cbarakteristik p > 2 so), und es bedeute K ----- K~ (u, v, re) eine dreifacbe, rein transzendente Erweiterung yon Kp. )~hnlich wie in w 2 werde

p p = ~%, ~ = Vv, N = K (~, 7) gesetzt. Unter A werde der K~irper K (@}

verstanden0 wobei 0 eine Nullstelle des folgenden, fiber K irreduzibeln Poly- noms q (x) bedeute t :

= + = +

N ist ein nicht einfaeher NormaloberkSrper yon K yore Grade ps, wiiJarend A" N = K (~,r/, 0) = A (~) und damit [(A. N):A] = p wird. (Man beachte:

pq-I �9 v- w P = (0 -- ~)P + 1.) Wiire femer A = A c~ N = K' q: K, so hiitte man

wegen [N : K] = p2, [A : K] = 2 p, [/1 : K] = [A : K']. [K' : K] jedenfalls [K' : K] = p, und es mRfite q (~) fiber K' die p-te Potenz eines quadratischen Polynoms werden, d. h. es miifiten die Koeffizienten yon xs -- 2 ~z h- (E s -- re. Wz) in K' liegen. Das ist aber wegen K (2 ~, ~s _ w- ~}") = K (~, t/) = N aus- geschlossen. -- Wir haben also: A = K, [ (A �9 N) :A] = p < [N : A] = p2.

sg) Vgl. hierzu: O. Haupt, Einfiihrung in die Algebra (Leipzig, Akad. Verlagsges., 1929) Bd. I I ; 19, 5. Dort wird die Bedeutung der Gradformel far die AuflSsungs- theorie der algebraischen Gleichungen ausfiihrlich untersucht.

so) Auch fiir den Fall der Charakteristik 2 kann leicht ein entsprechendes Beispiel konstruiert werden. Nur die Tatsache, dab man an Stelle der im Text auftretenden Quadratwurzeln dritte Wurzeln benutzen muB, bedeutet eine kleine Rechnungs- erschwerung.

(Eingegangen am 21. September 1938.)