Beitri~ge zur Ari thmet ik kommutat iver !ntegritatsbereiche ~).

III. Z u m D i m e n s i o n s b o g r i f f d e r I d o a l t h e o r i e .

Von

Wo]fgang KruI1 in Erlangen.

Beitrag III ordnet sieh niCnt unmittelbar in das in der Vorbemerkung yon BeRrag I aufgestellte Programm ein: Wit besehr~nken uns keineswegs auf ganz abgesehlossene Integrit~tsbereiehe, es werden nut ganze Ideale betrachtet, und es handelt sich n i c h t u m Teilbarkeitsfragen. Abet die benutzten Beweismethoden tragen gerade an den wichtigseen Stellen einen stark arithmetischen *) Charakter, so dat~ die Aufnahme der Arbeit in die Bei~ragsreihe wohl gereehtfertigt sein diirfte.

Das Endzid der Untersuchung ist eine ein/ache Neubegriindunff und gleiohzeitig m6glichst weitgehende Verallgemeinerung der bekannten ,,Dimensio~s- theorie" der PolynomringeS). Es bedeute ~* bzw. H* den Ring al!er Poiynome bzw. aller formalen (oder, je nach den Umst~nden auch: aller kon- vergenten) Potenzreihen in endlich oder unendlich vielen Variabe!n x.,, x~ . . . . . fiber einem beliebigen KoeffizientenkSrper K; der Oberring ~ yon ~* bzw. H* wird als ,,ganzer algebraiseher" bzw. ,,ganzer analytischer" Funktionenring (fiber K) bezeichnet, wenn 9l, d. h. jedes Element ~ aus ~, yon ~* bzw. H* ganz abh~ngt, also einer Gleichung ~ 4-.p~ ~ - 1 + . . . H-p~ = 0 mit Koeffizienten P~ aus !~* bzw. H* geniigt, tst die Anzahl der Variabeln x~ endlich, e~wa g!eieh n, so schreiben wir 91 den ,,Transzendenzgrad n '* zu~); is t die Anzahl der x, unendlich, so setzen wit den Transzendenz-

l) Vgl. BeiSrag I und Beitrag II, Math. Zeitsehr. ~1 (1936), S. 545--577 bzw. 665--679. VgL ferner meinen ,,Idea|beriehlb" [Idealt.heorie. Ergebnisse d. Mathe- ma~ik u. ihrer Grenzgebie~e Bd. 4, Heft 3 (1935)].

~) Unter S~tzen von~ausgesproehen ,,arithmetisehem" Charakter verstehe ich S~tze, die in den Gedankenl~eis der ,,muitiplikativen", an Dedekind ankniipfenden Richtmng der Idealtheorie und der Bewertungstheorie geh6ren. (~ber den Unter- schied zwisehen ,additiver" und ,,multiplikativer" Idealtheorie, vgl. z. B. die ~Ein- leitung des Idealberichts).

~) Zur Dim~nsionstheorie der Polynom- und Potenzreihenringe vgL Anm. s). ~) Im Mgebraischen (abet nicht im analytischen !) Fall handelt es slch einfach

um den Steinitzschen Transzendenzgrad de~ QuotientenkSrpers yon ~R fiber K. Vgl. Anm. ~7).

746 W. Krull.

grad yon 9{ gleich eo "~). Die ,,Dimension" eines Primideals ~ definieren wir in der in der idealtheorie iiblichen Weise: V wird die Dimension d zu- gesehrieben, wenn mindestens eine (d + 1)-gliedrige, aber keine (d + 2)- gliedrige m i t p beginnende Primoberidealkette p c pj c p~ c . . . existiert; gibt es beliebig lange mit p beginnende Primoberidealketten, so hat man es mit ein~em Primideal von unendlieh grol]er Dimension zu turn -- Der ,Dimension" steilen wir den ,,Dimensionsdefekt" gegeniiber, der in genau entsprechender Weise erkl~irt wird, ~ wobei nur iiberall das Wort , ,Prim- oberideal" dutch das Wort ,,Primunteridea!" zu ersetzen ist. Die Primideale vom Dimensionsdefekt 1, also die ,,unmittelbaren" Primoberideale des Null- ideals werden aueh als ,,minim~le" Ringprimideale bezeichnet 6). Auf Grund dieser Definitionen erh~lt man fiir die Primideale eines ganzen a]gebraischen oder ganzen analytischen Funktionenringes 9{ die folgenden Satze:

Ha t das Primidcal p den endlichen Dimensionsdefekt .a, so hat j e d e s unmittelbare Primober- bzw. l~rimunterideal yon p genau den Dimensions- defekt /~ + 1 bzw. /~ -- 1. I s t a irgend ein nicht zu p gehSriges Element, so ist jedes minimale Primoberideal von p -b (a) unmittelbares Primober- ideal yon p (und damit vom Dimensionsdefekt/~ -~ 1) 7). Bei endlichem Trans- zendenzgrad n besitzt jedes beliebige Primideal p einen endlichen Dimen- sionsdefekt /~ und eine endliche Dimension ~ = n ~ # ; dabei wird die Dimension ~ gleich dem Transzendenzgrad des Restklassenrings ~R/p, also gleich der geometrischen Dimension der zu p gehSrigen Nullstellenmannig- faltigkeit.

Das heiflt aber: Alle Hauptsiitze der Dimensionstheorie der Polynom- tinge in endlieh vielen Variabeln 8).gelten fiir beliebige ganze algebraische

5) ~ ist dabei nicht als Ordnungszahl gedacht, sondern einfach ein Symbol fox ,,unendiieh" ohne Unterscheidung der M~ehtigkeit. Vg]. fibrigens Anm. ~0).

~) Bei der angegebenen Definition der minimalen Ringprimideale ist es wesent- lich, dab wir, wie im folgenden immer, in einem Intexjril~itsbereich arbeiten. Im iibrigen vgl. zu den Definitionen des Textes die ausffihrliche Formulierung in 3 ! - Die Bevorzugung des ,,Dimensionsdefektes" vor der ,,Dimension", die fibrigens dem Standpunkt yon Lasker und Macaulay entspricht -- vgl. dazu insbesondere: F. S. Macaulay, Modern algebra and polynomial ideals, Proc. Cambridge Philos. Soc. (1) Bd. 39 (1934), S. 35 - - , ist notwendig, weun man sich yon der Beschr~n-

k u n g auf endlichen Transzendenzgrad freimachen will. Lasker und Macaulay bezeichnen den Dimensionsdefekt als ,,Rang". Mir kam es auf eine Bezeichuung an, die den engen Zusammenhang mit der Dimension be~ont.

v) ~ber die gro~e Bedeutung, die dieser ,,Hauptidealsatz" im Spezialfall der Polynomringe fOx die algebraische Geometrie besitZt, vgl. z. B.: Van der Waerden, Zur algebra~sehen Geometrie VI. Math. Anna|en 110 (1934), w 2.

s) Die yon vornherein sehr plausible Tatsache, dal~ bei einem Primidea| p im Polynomring ~ die idealthe0retisch festge]egte Dimension mit der geometrischen Dimension der zugeh6rigen Nullst~]lenmannigfaltigkeit iibereinstimmt, wurde wohl

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsbereiche. llI. 747

oder ganze analytische Funktionenringe yon endfichem Transzendenzgrad. Bei den ganzen Funktionenringen veto Transzendenzgrad ~o bleiben aile die S~tze in Giiltigkeit, die allein mit Hilfe des Dimensionsdefektes for- muliert werden kSnnen, vorausgesetzt, dab man ~ieh auf Primideale yon endlichem Dimensionsdefekt beschr~inkt. -- Dagegen kann man leieht dutch Beispiele zeigen, dab fiir die Primideale yon unendlichem Dimensions- defekt, sogar bei endlicher Dimension, i. a. kein zu den oben angefiihrten S~tzen irgendwie iihnliches Theorem mehr gilt. Das gewonnene Ergebnis daft also als absehlieBend bezeiehnet werden.

Fiir die Beweise braucht man aus der Theorie der Polynom- und Potenzreihenringe nur zwei einfache Hilfss~tze, n~mlich A. den wohl- bekannten Satz, da[~ in ~* (//*) jedes Element bis auf Einheitsfaktoren eindeutig als Produkt yon endlich vielen Primelementen dargestellt werden kann, und B. die folgende, bei ~* ~ast selbstverst~ndliche, bei H* leieht auf den ,,Weierstral3schen Vorbereitungssatz" zuriickffihrbare Bemerkung: S~nd (p), (q) zwei Primhauptideale aus ~* (//*)~ so gibt ~es stets einen Polynomring ~ * (Potenzreihenring H*), yon dem die beiden Restklassen- tinge ~*[(p) und ~ * / ( q ) - (//*/(~) und H * / ( q ) ) - ganz abh~ngen; hat dabei ~* (H*), den endlichen Transzendenzgrad n, so besitz~ ~ * (H*) stets den Transzendenzgrad n - 1. -- Dagegen mu~, was besonders her- vorgehoben zu werden verdient, yon der Giiltigkeit des O-Satzes (Noether, ~ehen Teilerkettensatzes) flit die Polynom- und Potenzreihenringe in end- lieh vielen Variabeln nirgends Gebrauch gemaeht werdeu.

zuerst yon E. Noether abstrakt formuliert und bewiesen. (Eliminationstheorie und all- gemeine Idealtheorie. Math. Annalen 9~) (.1923), S. 223--261. -- Einen sehr einfaehen Beweis lieferte dann die Nullstellentheorie van der Waerdens. (Zur Nullstellentheorie der Polynomideale. Math. AnnalAn 96 (1926), S. 183--208. Vg]. aueh: Moderne Algebra, ~d. II, w 90). -- Fiir den Satz, da~ in ~ ~'ede~ unmittelbare Primoberideal eines p-dimensionalen Primideats p genau die Dimension / ~ - 1 besitzt, und vet a]lem ~fir den noeh welter gehenden ,,Hauptidealsatz", sind meines Wissens bis ]etzt nur zwei Beweise gegeben worden: Der eine stammt yon van tier Waerden [Zur alge- braisehen Geometrie I. Math. Annalen |08 (1933), S. 120], und verwende~ die van der Waerdensche Multiplizit~tstheorie der endliehen algebralschen Gleiehungs. systeme. Der andere, rein idealtheoretische Bewels wurde yon mir in Nr. 17 des Ideal- berieh~s skizziert. ~ Im Tex~ ist die Beweisanoi~lnung ~hnlieh wie im Idealberieht. Der wesentliohe Unterschied y o n d e n bisherigen Beweisen ]leEr darin, da[5 jede unn6tige Endliehkeitsvoraussetzung, insbesondere ]eder offene oder versehleierte Riiekgrif~ auf derL ,,O-Satz" (den Noetherschen ,,Teilerkettensatz") vermieden wird. Was die Pot~nzreihenr~nge angeht, so finder sieh in der bisherigen Literatur nur der Beweis, dab ebenso Wle bei den Polynomringen die Dimension eines beliebigen Primideals stets der Dimension der zugeh6rigen Nullstellenmannigfaltigkeit gleich ist. Vg|. hierzu: W. Riiekert, Zum Eliminationsproblem der Po~enzreihenideale. Math. Annalen 10~' (1932), S. 2597281. -- Die Rfickertschen ~berlegungen sind nullstellentheo- retischer Art und wesen~lieh umstrmdlieher als die Be~rachtungen des Textes.

74~ W. Kru}l.

B~i der Auswertung der Hilfssgtze A. und B. muff man an einer Stelle (und zwar bei der Untersuchung yon p-t-(a)), die Theorie der endlichen diskreten Hauptordnungen heranziehen. Im iibrigen hat man immer wieder vier ~fl]gemeine und einfache Primidealsgtze 9) anzuwenden, die im ersten Te~!e des Beitrags abgeleitet werden und auch auBerhalb des Zusammen- hanges mi~ der Dimensionstheorie selbsti~ndige Bedeutung besitzen.

Es sei ~ ein beliebiger Integritgtsbereich, ~ ein ganz abh~ngiger Oberring yon ~. Dann beweist man zuniichst, dutch leichte Rechnungen ohne jede einschriinkende Voraussetzung fiber ~ und ~: 1. Zu jedem Primideal p aus ~ gibt es in ~ mindestens ein ,,darfiberliegendes" Prim- ideal ~, das der Durchschnittsgleiehung ~ (~ 9~ = ~ geniigt. 2. Zwei ver- schiedene Primideale aus ~, die fiber demselben Primideal aus !R liegen, sind stets gegenseitig prim. 3. Ist p in 9t Primoberideal des Primideals q, so existiert in ~ zu jedem fiber q liegenden Primideal ~ mindestens ein fiber p liegendes Primoberideal #.

Dagegen stSSt man auf iiberrasehende Schwierigkeiten, wenn man versucht, den letz~en Satz umzukehren, also die folgende Behauptung zu beweisen: 4. Ist p in ~ Primoberideal von q, so existiert in ~ zu jedem fiber p liegendem Primideal ~5 mindestens ein fiber q liegendes Primunter- ideal ~. Oder, was trotz des ganz anderen Wortlautes auf dasselbe her- auskommt: Ist q ein beliebiges Primideal aus ~, so liegen alle minimalen Prlmoberideale des Erweiterungsideals q. ~ fiber q. -- Es zeigt slob, dab dieser vierte Satz nut bei ganz abgeschlossenem Ausgangsring ~ allgemein gilt'~ und auch unter dieser einschrKnkenden Voraussetzung erfordert der Beweis etwas mehr als eine einf'ache Rechnung. Am besten zieht man die Galoissche Theorie heran und stfitzt sich auf Uberlegungen, wie sie in Khnlicher Weise i~n der Theorie tier algebraischen Erweiterungen bewerteter KSrper aufSreten. Andererseits ist unter den vier PHmidealsgtzen der letzte weitaus der wichtigste. In erster Linie auf ibm beruht die selb- st~indige Bedeutung der ganzen Sa$zgruppe. Seine Branchbarkeit auf rein arithmetischem Gebiet wird sich be i der Untersuchung der unend- lichen algebraischen Erweiterungen endlicher diskreter Hauptordnungen im folgenden Beitrag zeigen.

1. Die drei ersten Primidealsittze.

Es seien 9l und ~ Integrit~tsbereiehe mit den Quo~ientenkSrpern und ~, und zwar sei ~ ein 9anz abh~ngiger Oberring yon 9L Weitere

9) Die vier Primideals~tze sind (unter Beschrgnkung auf ganz ~bgeschlossene Integritgtsbereiche) bereits in Nr. 48 des Idealberichts angegeben, und der in Nr. 2 des Textes ausgefiihrte Beweis des vierten und wichtigsten Primidealsatzes ist dort schon skizziert.

10) Vg]. hierzu die Kleindruckbemerkung Idealbericht 49!

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsb~rei~he. ~[L~. 7/~9

Voraussetzungen werden zun~ehst nieht gemacht; insbesondere d ~ f e n und ~ sowohi gleich als auch verschieden sein, und es braucht -- anders ~ls in den beiden ersten Beitr~igen m weder 9l noch ~ ganz abgeschlossen zu sein. Von einem Primideal ~ aus ~ sagen wit, es .,,liege i~er &m Pri~ideal p aus 91", wenn ~ der Durchsehnittsgleiehung ~ ~ 91 = ~ geniigt. -- Das Zie] der ersten l~ummer i s t der Beweis der folgenden drei S~tze:

S a t e 1. Zu jedem P~imidteal p aus 91 9ibt es i~ ~ stets mindestens ein dari)~ber liegendes Primideal ~.

S a t e 2. Zwei Primideale ~ u~d ~ aus ~, die iiber demsdben Primideal p aus 91 liegen, sind stets a~enseitig prim.

S a t e 3. Ist in 91 dias Primideal ~ Oberideal des Primidr~Is q, so gi~bt es in ~ zu je&m iiber q lieqenden Primideal ~ ste~" mindestens ein iiber p liegendes Primoberideal ~.

Es sei 9t~ der zu p gehSrige Primidealquotientenring ~), und es werde p~ ----- p . 91~, ~ ~ . 91~ gesetzt. Dann ist p~ das einzige maximate Prim- ideal aus 91~, es wird p = p~ ~ 91, und es entspreehen die s~mtlichen P~imideale yon 91~ eindeutig umkehrbar den Primunteridealen yon p in 91. (Ist q~, q ein zusammengeh6riges Primidealpaar, so wird q~ = q-91,, q ~ q~ ~ 9t). In genau derselben Weise lassen sich die s~mtliehen Prim- ideale a, us ~ eindeutig umkehrbar den fiber p liegenden Primidealen aus

zuordnen. Sehlie]lich sieht man sofort, dab ~l ein ganz abh~ngiger Oberring yon 91, ist, und da ] aus ~ ~-91~ [ a , . . . . ~]~*) ste~s ~ = 91~ [~ , . . . . a.] folgt.

Auf Grund dieser Bemerkungen diirfen wir weiterhin bei den Bewei~en durehweg stillschweigend 91 ----- 91~, p = p , ~ -~ ~ voraussetzen. W i t zeigen zunachst, da~ Sa~z 1 riehtig ist, wenn ~ ----- 91 [~] aus 91 dutch Adjunk- tion eines einzigen Elementes ~ entsteht. Dabei haben wit uns nut zu fiber- zeugen, dal~ unmSglich p . ~ -~ ~ werden kann. Is t n~mlieh p . ~ =~ ~ , so besitzt p. ~ in ~ mindestens ein Primoberideal ~5 ~a), und aus p __: (~5 ~ ~)

9t folgt unter der Voraussetzung p = p~ stets p ~ 15 ~ 91.

a (a und b in ~, b nieh~ in p). ~) ~x bes~eht aus der Menge aller Quotienten ~-

Vgl. etwa Beitrag I, S. 551. ~) ~ :-- ~ [~ . . . . . ~n] sol] bedeuten, dal] ~ aus allen Polynomen i n ~ , ...~ %

mit Koeffizienten aus ~R besteht. Dabei brauehen die ~ iiber ~ nicht algebralsch unabh~ngig zu sein. - - Dagegen wird sparer in 4., wenn wit yon oinem Polynomring

= K [a~, aa . . . . ] reden, a]gebraisehe Unabh~,ngigkeit der a t fiber K vorausgesetzt. ~s) Aus einfachen Wohlordnungsschlfissen folgt n~m]ich ,die Existenz mindes~ens

eines maximalen Oberideals ~ yon ~, das die 1 nieht enth~lt. ~ is~ dann ein maximates Primideal, das (auger dem in diesem Bei~rag nieh~ under die Ideale mit- gereehneten ~e~mtring ~) kein eehtes Oberideal besitz~. Vgl. hierzu Krull, Ideal- theorie in Ringem, ohne Endiichkeitsbedingung. Ma~h. Annalen 101 (1929), S. ~25 --744.

750 W. Krull.

= -~ -b . . . + a, 0 eine Gleichung Es sei nun A (~) ~'~ + a~ ~'~ = niedrigsten Grades, durch die ~ yon ~R ganz abhiingt. Dann l~Bt sioh jedes Element Y aus ~ als Polynom hSehstens ( n - D-ten Grades in fiber ~R .darst~llen, 7 == o~ ~'~- ~ + . . . + e,; geh6rt insbesondere ~, zu p. 6 , so kann man die Darstellung stets so wiihlen, dab alle Koeffizienten o~ in p liegen. Is t also p . ~ = ~ , d . h . 1 Element von p - 6 , so muB eine Oleichung Q(~) = p l ~ ' - l + . . . + p , , _ l ~ d - p ~ = O mit P l - ~ ' . - - p,~- 1 ~ 0 (p), p,, ~- 1 ~ 0 (p) gelten. Da p = Pl das einzige maximale Primideal von !R ~ - - ~ ist, also alle Nichteiaheiten yon ~ umfaBt, ist p~ in !}l Einheit, die Koeffizienten von

A (x) -- a~. T~ I- Q (x) =~ x (x ~-~1 ~ b, x ~ - 2 % . . . _]_ b~_ ~) : x. B (x),

(b~ = a , - ~ . ~ , ~ . p ~ ( i - - 1 . . . . . ~ - 1 ) ) ,

liegen also alle in ~ . Aus A ( a ) = Q ( ~ ) - - 0 und der Nullteileffreiheit y o n ' 6 folgt abet B (~) ~ 0 und damit ein Widersprueh gegen die Mini- maleigenseha[t der Gleichuug A (~) ~-- O. Die Annahme p- ~ -~ ~ war also falsch, Satz 1 gilt sicher fiir 6 = ~ [~].

Es sei jetzt 6 b e l i e b i g . Ist p. 6 ==~ , s o gilt "eine Gleichung lV~ Pla~ ~ . . - ~ - T ~ . , bei der a~ . . . . . ~ zu 6 und p~, . . . , p~ zu p ge- hSren, und es wircl p . 6 ' - - 6 ' fiir 6 ' ----- 9~ [a, . . . . . . a~]. Die Gleichung p - ~ ' --~ ~ ' ist abet unmSglieh, denn es gibt in ~" mindestens ein tiber p liegendes Primideal 13', wie man sofort erkennt, wenn man die Ringkette 60, ~ , . . . . 6~ (~o = ~R, ~ -~ ~ ' , ~ ---- 6~_~ [~,.] (i = 1 . . . . , n)) bildet, und n-real den fOx einfaehe Erweiterungen bereits bewiesenen Satz 1 an- wendet. Es ist also stets p. 6 g= ~ , und daraus folgt nach einer oben bereits ausgefiihrten Oberlegung unmittelbar die Allgomeingiiltigkeit yon Satz 1.

Aus Satz 1 ergibt sich, dab ~ stets mindestens soviel Primideale enth~It wie ~ , und daf~ insbesondere ~ stets gleiehzeitig mit ~ ein echter

Integrit~tsbereich (also kein KSrper) ist. ~Andererseits mu~ nach einem elementaren algebraisehen Satz jeder yon einem K6rper ganz abh~ngige In~grit~itsbereich selbst ein KSrper sein. Aus diesen Bemerkungen schlie~t man miihelos:

~in iiber ~lem Primideal p aus ~R liegendes Primideal ~ aus ~ ist

dann und ~,ur cIann in ~ maximal, wenn p in ~ maximal ist.

Man hat nar zu beaehten, dafi ~,/t5 als ganz abh~n~ger Oberring yon ~ /p aufgdal~t werden kann, und daft ein maximales Primideal dadurch ausgezeichnet ist, da$ sein Restklassenring einen KSrper darstellt. - - Das letzte Ergebnis zeigt insbesondere, dal~ zwei versehiedene Primideale aus ~ , die fiber demselben maximalen Primideal aus !R liegen, stets gegen- seitig prim sein mfissen. ~ Es sei ferner in ~ nur ein einziges maximales

Be~tr~ge zur Arlthmetik kommutativer Integrit~tsbereiche. III . 751

Primideal p vorhanden, q sei ein Primunterideal yon p, ~ ein fiber q

liegendes Primideal aus ~ . Dann gibt es naeh einem bekannten Sate stets ein in ~ maximales Primoberideal ~ yon ~3), und da gleichzeitig

mit ~ in ~ aueb 15 ~ ~ in 91" m a x i m a l sein muB, wird unter unseren Voraussetzungen ~5 ~ 9 l - ~ p, es existiert also sieher in ~ ein fiber liegendes Primoberideal 'von ~. Die S~tze 2 und 3 gelten demnach ffir

-----~ ~-91p und damit nach unseren frfiheren grunds~tzlichen ~ b e r - legungen allgemein. - - S a t e 2 l~iBt sich offenbar auch so ausspreehen:

Liegt ~ iiber p~ so liegt jedes echte Primoberideal (Primunterideal) van ~ iiber einem echten Primoberideal (Primunterideal) q yon p.

I n dieser Fassung wird der Satz regetm~l~ig yon uns benutzt werden. - - Das, fiberraschenderweise negative, Gegenstfiek zu Sate 3 lautet:

S a t e 4. Ist q in 91 Primunterideal des Primideals p, so gibt es nicht imrner i~ ~ zu jedem iiber p liegenden Primideal ~ ein iiber q [iegendes Primunterideal ~1o).

Zum ]~eweise von Satz 4 geniigt die Angabe eines Beispie]s. Es sei ~o der Ring alle.r Polynome in den Variabeln x, y, z fiber einem beliebigen KSrper. u : - ~ sei eine best immte Nu]lste]le des f iber ~o irreduzibeln. Polynoms u* ~- z u - - x y, und es bedeute ~ das Element x. ~, das offenbar der G]eichung V ~ ~ x z ~ -- x~y = 0 genfig~. ScMie/]lich werde ~ - - 91o [~7],

: 91o[~] ~ - ~ [ ~ ] gesetzt. - - Mail erkennt dann l e i ch~ ) : "

In ~R bzw. ~ sind die Ideale q~ = (y, ~/), q~ = (y, ~ ~ xz), p = (x, y, ~)

lich Primideale; dabei liegea ~5~ und 15~ beide tiber p, ,w~hrend ~ tiber q~, ~ f iber q~ liegt. - - Schliel]lieh zeigt man mfihelos~'), dal~ aul~er ~ (~.~) kein

einziges Primideal aus ~ mi t 91 gerade den Dnrehsehnitt q~(q~) besitzt. Das he is t aber: Man erh~lt ein Beispiet Zu Satz 4, wenn man q ~- q~, p -~ p, ~ = .5~ (oder auch ~ -~ q~, p = p, ~ = t5~) setzt.

2. Der vierte Primidealsatz.

Der negative Satz 4 bedeutet ffir die Theorie der gaaz abh~n~gigen Erweiterungen eines Integrit~tsbereiehes einen unerwarteten und sehr

1~) Die Verifikationen sind ganz einfach. Z.B.: 91 ~---910 [~] ist isomorph zt~m Restklassenring .~/(p) des Polynomrings ~ == 9t 0 [u] nach dem Primelement p'--~ u~-[-zu--xy . ~Daraus folg t abet sofort, dal3 z. B. i t ~ (Y, ~) in ~ Prim- ideal sein mu~, weil offenbar (y, u) in ~ ein PrimoberideaI yon (p) ist. Atd die gleiche Weise erkennt man den Primidealebaraktvr ~ller tibrigen in Betracht kom- menden Ideate. - - Ferner ergibt sich z. B. aus ~ ~ ~R - ~ q l ~- {y ,x . ~) unmittel- bar, dab in ~ das Primideal ~ das Primideal ql ~--- (Y, ~) enthalten mul3, well x z.war in 91, abet nicht in ~ ~ --- ql vorkommt; aus ~ q l , q ~ 9 1 -~-- qlr-~91 ~-- (y, x. $) folgt abet ~ ~ - q l nach Satz 2.

752 W. Kren.

sehmerzlichen SchSnheitsfebler. Es ist daher sehr wichtig, daft das Bild 'ein anderes wird, wenn man yon einem 9ans abgesohlossenen Integrit~te- bereich ~ ausgeht.

Es sei also yon jetzt ab 9~ ganz abgeschlossen, und es bedeute ztmiichst s einen endliehen Normalk6rper fiber dem QuotientenkSper yon 9t, ~ den Ring aIlex yon 91 ganz abMingigen Elemente aus R. Zwei Mengen M und M' aus ~ sollen ,,kon]ugiert" heil]en, wenn ein Automor- phismus 0 yon s fiber R existiert, der M in M' fiberfiihrt, M' = 0 X M. Sind insbesondere M und M' Ringe bzw. Prlmideale, so spreohen wit yon konjugierten Ringen bzw. Primidealen. ~ ist offenbsr nut zu sieh selbst konjugiert, 0 x ~ = ~ fiir beliebiges 0. Dementsprechend fiihrt jeder Automorphismus 0 jedes Primideal ~ aus ~ wieder in ein Primideal ~' = 0 x ~ aus ~ fiber. Zwei derart konjugierte Primideale ~ und ~' liegen oflenbar stets fiber demselben Primidea! p aus 91. Es gilt abet auch umgekehrt, und das ist das wesentiiche:

S a t z 5. Zwei Primideale ~ u~d ~' aus ~, die iiber demselben Prim- bieal p aus 91 liegen, sind stets konjwiert~~).

Wie in 1. dfirfen wit uns beim Beweise auf die Betrachtung des Falles ~- -~ ~p besehrt~nken, wit d i i r fen also voraussetzen, daft p das einzige maximale Primideal yon 91 darstell t~). E s sei nun ~ = Px ein bestimmtes fiber .p liegendes Primide~l aus ~ , und es seien ~ . . . . . ~, seine Konjugierten (die ja wegen der Endliehkeit yon s fiber R sicher nur in endlicher Anzahl vorhanden sind); ~ (i ~- 1, . . . . s) bedeute den

Primidealquotie ntenring ~5~.

In der Tat, ist ~ beliebig aus ~ ~ . . . ~ ~ , so gibt es in ~ jeden- falls ein y, das zu keinem der Primideale ~ gehSrt, u n d ~iir das ~ . ~ ein Element aus ~ wird:7). Aus Isomorphiegriinden miissen dann auch die Konjugierten y~ . . . . ,7'~ yon ~ -----~ durchweg Elemente aus ~ sein, die in keinem einzigen ~ liegen. Fiir hinreiehend grol~es r wird dann c = (?~- . . . �9 y~)" ein nicht in p vorkommendes Element aus ~ ~ ~ ----- 9~,

1~) Zum Konjugiertensatz Idealbericht 48! 16) M~n beachte: 61 = ~ �9 911 ist der ]~ing aller yon ~1 = ~p ganz ab-

h~ngigen Elementen aus 8; sind 15 und ~' zwei fiber p liegende Primideale aus G. so liegen l~1 ~ P" 61 und ~ ~ ~ '-61 fiber dem in 9~ 1 maximalen Primideal Pl --=- P '~1, und aus 15'1 ~ • 151 folgt 0 • ~ - ~ 0 • (Plt-~6) ~- 1 5 ' ~ wegen

17) Wegen ~ c ~i gibt es sicher in ~ ein nieht zu ~ gehOriges ~t, ffir alas ~ . ~ ~ wird, ferner existiert stets eln in ]-/15k, aber nJeht in 15~ liegendes 6~

k=i=l (i ~ ] . . . . . s). Man setZe ~, ~ 716i ~- - . - -]- ~s~8 ! "-- Nach genau der gleiehen Methode ist sparer das zu ~, abet zu keinem ~ gehSrige Element ~ zu konstruieren.

Beitr~ge zur Arithmetik kommutstiver Integrit~tsberelche. III. 753

also eine Einheit aus 91 und damit er~t recht eiae Einheit aus ~. Aus ~. c c ~ folgt daher sofort ~ c ~.

G~be es nun in ~ auller 151, . . . , P8 nooh ein weiteres fiber p liegendes und damit nach Satz 2 notwendig maximales Primideal ~, so g~be es auch eine Nichteinheit ~, die zwar zu ~, abet zu keinem ~ geh6rte17), uncl das ist unmSglich, da ~ - i in ~1 ~ . - . ~ ~8 = ~ liegen miiBte.

Wit lassen jetzt die einschr~nkenden Voraussetzungen fiber ~ und seinen QuotientenkSrper ~ fallen und zeigen allgemein:

Sa t z 6. Ist im ganz abgescMossenen Ringe 91 das Primideal q Unter- ideal des Primideals p, so gibt es in ~ zu jedem iiber p liegend.en Prim- ideaZ ~ im~ner ei~ iiber q liege~es Primunterideal ~.

Beim Beweise, bei dem wit natfirlich wieder annehmeh dfirfen, da~ p das einzige maximale Primideal von ~ ist, erledigen w i t zun~chst zwei Spezialf~lle:

a) E s s e i (wie bei Satz 5) ~ endlicher NormalkSrper fiber ~ und der Ring aller yon 91 ganz abh~ngigen Elemente aus 9. Dana w~hlen wir in ~ irgend, ein fiber q liegendes Primideal ~' und dazu ein fiber p liegendes Primoberidea] t5' (vgl. S~tz 1 and Satz 3). Naeh Satz 5 sind

und ~' konjugiert - - 15 -=vq• ~ ' - - , und in Gestalt yon ~-----~• erh~lt man ein fiber q liegendes Primunterideal yon 15.

b) ~s) Essei s der zu R gehSrige algebraiseh abgeschlossene KSrper, ~ der Ring aller yon 9t ganz abh~ingigen Elemente aus s Dann bilden wit nach Steinitz eine wohlgeordnete KSrperkette g = ~0, ~ . . . . , R~ . . . . , g , ----- X~, bei der ~ stets im Niehtlimesfall eine endliche normale Erweiterung yon ~ , - 1 , im Liraesfalle dagegen den VereinigungskSrper aller ~ (a < r) dar-

stellt~ Setzen wit welter: q = %, p = p ~ , 9 1 = Co; ~ = ~ , , ~ = p . ;

p~ = ~5 ~ R~, ~ - ~ @ ~ ~ , so brauchen wit zum Beweise yon Satz 6 nach dem Schema der transfiniten Induktion nut zu zeigen:

Angenommen, es sei fiir jedes a < v ein Primunterideal q~ yon p, in ~ , so festgeleg% da$ % r~ R.~ = % wird fiir betiebiges O < a. Dann kann man aueh in ~ ein Primunterideal q~ yon p~ linden, das fiir jedes a < v der Oleiehung q~ ~ R~ = qo genfig~.

Ist nun v Nichtlimeszahl, also R~ endliehe normale Erweiterung yon ~r so wird die Existenz des gesuchten q~ durch das Ergebnis yon s) gew~ihrleistet. Ist aber ~ Limeszahl, so hat man q~ einfach gleich der Vereinigungsmenge aller q, (a < r) zu setzen.

~s) Der unter b)durchgefiihrte transfinite Induktionsschlu~ is$ natiirlich iiber- flfissig, wenn man sich auf endliche algebraisehe Oberk6rper yon ~ besehrankt. In c} is$ dann unter s einfach ein endl~cher den K6rper ~ umfassender Normalk6rper iiber R zu verstehen.

754 W. Krull.

c) Im allgemeinsten Falle sei R* der ~zu 9 (und damit auch zu R) gehSrige algebraisch abgeschlossene KSrper, ~* der Ring aller yon (und damit auch yon 3 ) ganz abhRngigen Elemente aus R*. Nach Satz 1 gibt es in ~* ein fiber ~ und dami~ auch fiber p liegendes Primideal ~*, und nach b) besitzt ~* ein fiber q liegendes Primunterideal ~*. Unter diesen Umst~nden wird abet ~ --~ ~* ~ ~ ein fiber q ]iegendes Primunter- ideal v o n ~').

3. Anwendnngen; Dimension und Dimensionsdefekt.

Unter einer Primoberidealkette oder kurz ,,Primidealkette" Pl, P~ . . . . , P,~ im Integrit~itsbereich 3 verstehen wit eine Folge von Primidealen, bei der P~+x jewei]s ein eehtes 0berideal yon p, darstellt (i ---- 1, . . :, ~n -- 1). Dem Primideal p wird die ,,Dimension" bzw. der ,,Dimensionsde]ekt" #

zugeschrieben, w e n n keine mit ~ beginnende bzw. endigende Primideal- kette in 3 mehr als /~ + 1, mindestens eine derartige Ket te aber genau # + 1 versehiedene Glieder besitzt. Gibt es beliebig lange Primideal- ketten mit dem Anfangs- bzw. Endglied p, so setzen wit die Dimension bzw. den Dimensionsdefekt von p gleich ~o~). Die Primideale veto Dimensionsdefekt 1, also diejenigen Primideale, die auger (0) kein echtes Primunterideal besitzen, heil~en ,,minimale" Primideale von 3. Ist p ein Primoberidea] des Primideals q mit der Eigensehaft, dab p/q in 9~/q minimal !st, dab also zwischen q und p kein weiteres Primideal ein- geschoben werden kann, so bezeichnen wi t p a l s , ,unmittelbares" Prim- oberideal yon q and entspreehend q als , ,unmittelbares" Primunterid.eal yon V.

Es sei jetzt wieder ~ ein ganz abh~ingiger 0bet t ing von 3 ; es sollen die Zusammenh~inge untersucht werden, die zwischen den Dimensionen der Primideale yon 3 und ~ bestehen. Zun~chst ergibt sich unmittelbar aus Satz 2:

Ist ~ , P2, . . . , P~ eine Primidealkette in ~, so bilden die , ,unter" den ~, liegenden Primideale p~ ~ ~5, ~ ~ (i --~ 1 . . . . . m) eine Primideal- kette in 3 . Ha t ~ in ~ die Dimension (den Dimensionsdefekt).u, so ist die Dimension (der Dimensionsdefekt) yon p ---- ~ ~ 3 in ~ mindestens gleich/~.

xg) Auf Grund yon 2. kann man leicht einen tieferen Einblick in die Art der Ko~struktion des am Schlusse yon 1. angegebenen Gegenbeispiels gewinnen. ~0 und ~ sind deft ganz abgeschlossen, undes ist der Quotientenk6rper ~ yon normal veto Grade 2 fiber dem QuotientenkSrper ~ yon ~0- Die Primideale p(O) ~___ (x, y) und q(o} ~___ (y) in ~o sind so gew~hlt, dal3 fiber ihnen in ~ je zwei (untereinander konjugierte) Primideale Pl und ~ bzw. qa undq2 liegen, wobei ql nut in ~1, q~ nut in P2 enthalten ist. ~ Die M6gliehkeit der Konstruktion des Beispiels zu Satz 4 beruht nun einfach ~uf dem Umstand, daft man einen nicht g~nz abgeschlossenen Zwischenring 9~ zwischen ~0 und ~ so einschieben kann, da6 zwar qa ~ ~ ~= q~ ~ ~, abet Px ~ ~ ~ P~ f'~ 91 wird.

Beitr~ge zur Arithmetik kommutatlver Integrit~tsbereiche, II!~ 755

Aus Satz 3 bzw. Satz 6 folgt dariiber hinaus:

Sa tz 7. Ist Pl . . . . , Pm eine Primidealkette aus 31, ~1 ein iiber ~ liegendes P~imideal aus ~ , so gibt es in ~ stets mindestens eine Prim- idealkette Pl, :" ", P,~, bei der ]iir jedes i jeweils ~ iiber Pi liegt.

Hat p in 3t die Dimension #, so hat auch jedes iiber ~ tiegende Prim: ideal ~ in ~ die Dimension #.

Satz 8. Ist p~, . . . , Pm eine Primideallce~te aus dem ganz abgeseh~wsse~en Ring 9~, ~ ein iiber p~ liegendes Primideal aus ~, so gibt es in ~ stets dne Primidealkette ~),, . . . , ~,~, bei der ]iir jedes i jeweits f)i iiber p~ ~iegt.

Hat p im ganz abgesehlossenen Ringe 31 den Dimensio~sde]e~ #, so hat auch tides i~er p liegende Primideal ~ in ~ den DimensionSde~e~ tt, und es ist insbesondere ~ dann and nut dann in ~ minimal, wenn p -~ ~ ~ 3t in 3t minimal ist.

Es sei ferner ~ in ~ Primoberideal des Primideals ~, und es werde O ---- P r~ 31, ~ = ~ r~ 31 gesetzt. Dann ergibt sich sofort aus Satz 2: Ist p unmittelbares Primoberideal yon q, so mut~ notwendig auch ~ un- mittelbares Primoberideal yon ~ sein. -- Ebeaso einfach zeigt man d~ch

~bergang zu 3l/q, p/q; ~]~, ~5/~ und Anwendung des letzten Teiles yen Satz 8: Ist 31/q ganz abgeschlossen, oder h~ngt ~wenigstens 31/q yon e~uem ganz abgeschlossenen Ringe ganz ab, so kann ~5 nut dann unmitVelbares Primoberideal yon ~ sein, wenn p unmittelbares Primoberideai yon q ist. - - Es w~re sehr erfreulich, wenn in dem letzteren Satz die fiber 31 gemaehte u dutch die einfachere Forderung ersetzt werden kSnnte, dal~ 31 selbst ganz abgeschlossen sein solt. Indessen ist in dieser: Hinsicht mit den Siitzen 1 bis 8 allein nichts zu machen, and es sche~n~ aueh ~ zum mindesten auf den ersten Bliek ~ nicht mSglich zu sein, darch Vertiefung der zum Beweise yon Satz 5 benutzten gruppentheore- tischen (Jberlegun~en zu der gewiinsehten Versch~irfung zu gelangen. Wit stehen also hier vor einer vorerst noch offenen Frage.

Die folgenden Betraehtungen fiihren zu einer praktisch gut brauch- baren Umformung des grundlegenden Satzes 6. Das Primideal p sell wie tiblich ,,minimales Primoberideal yon a ''~~ hei~en, wean zwar p selbst, abet kein echtes PrimunterideaI yon p das Ideal a enthiilt. Dann gilt:

Sa tz 9. Ist a ein bdiebiqes Ideal aus dem ~anz abgeschlossenen Rinye 31, ~ ein ganz abhdngiger Oberring yon 31, so ist die Menge der minimaIen P~'iraoberideale yon a. ~ identiseh mit der Menge aller derjenigen PrimideaIe aus ~, die iiber den minimalen Primoberideaten yon ~ ~iegen.

~o) Der Begriff des ,,minimalen Prlmoberideats" muI] natfirlieh streng yon dem des 0,unmitte|baren Pr~moberideals" unterechieden werden.~

756 W. Krull.

In der Tat, dal] ~) minimales Primoberideal yon a. 6 sein mu~, wenn ~5 ~ 9~-~ p minimales Primoberidea] yon a ~st, ergibt sich aus Satz 2, und Satz 6 zeigt, da6 ~ kein minimales Primoberideal yon a. 6 sein kann, wenn p ein niehtminimales Primoberideal yon a ist. - - Um- gekehrt fo]gt aus Satz 9 fast unmit telbar Satz 6; man hat nur a zu einem Primideal p aus 9~ zu spezialisieren mid die wohlbekannte Tat-

sache zu beachten, da~ jedes be]iebige Primoberideal yon p . 6 min- destens ein minimales Primoberideal enthilt~l).

Die Gleichwertigkeit der S~tze 6 und 9 bildet die Grundlage eines zweiten, allerdings nicht ganz aUgemeinen Bewe~ses yon Satz 6, d e r sich im Kerne bereits bei Schmeidler findet2S), und auf den wir bier seines elementaren Charakters wegen kurz eingehen wollen. - - Es sei

= 2: ~,x~ 1) (p~ c p, r~ ') c 6)

ein Element aus p . 6 , und es seien ~s . . . . , ~ die Relativkonjugierten yon ~ - = ~i fiber dem QuotientenkSrper ~ des ganz abgeschlossenen

~ - , (~) Ausgangsringes 9~. Dann ist ~ ~-~P~7~" (v = 2, . . . , n)i wobei 7~")

jeweils zu y~) konjugiert ist, und infolgedessen ebenso wie 7~ ~ yon 9~ ganz abh~ingt. Auf Grund dieser Bemerkung fiberlegt man sich leicht:

Es 'sei /~ ein Element aus 6 , zu dem ein nicht im Primideal p ent- haltenes Element a aus 9~ so best immt werden ]:ann, dal~ a . ~ ~ cr c p. 6 wird. Dann liegen in t ier Gleichung niedrigsten Grades

/~,, + q~fl--~ + . . . + q , = o ,

der fl fiber R genfigt, die K0effizien~en q~ alle in p , es ist also fl~ c p . 6 , und es mull infolgedessen fl in jedem minimalen Primoberideal yon p. 6 enthalten sein. - - Angenommen nun, es bes~il~e p . 6 nur endlich viele minimale Primoberideale ~5~ . . . . , ~Ss, und es sei etwa ~ ~ = q ein

~) Vgl. Idealbericht 3:, sowie die in Anm. ~) zitierte Arbeit. '~2) t?ber Verzweigungspunkte bei algebraischen Funktionen mehrerer Ver-

~nderlicher. J . f . Math. 167 (1931), S. 248--263. (Siehe insbesondere S. 249 f.). - - Schmeidler betraehtet den Spezialfall, da6 ~ einen Polynomring mit KSrper- koeffizienten, ~ den Ring aUer yon ~ ganz abh~ngigen Elemente aus einer end- lichen algebraischen Erweiterung ~ yon ~ darstellt. Aul]erdem beschrankt er sich (unn#tigerweise) aus ,,transformierSe" Ideale, um die Theorie der ,,Elementartefler- form" heranziehen zu kSnnen. ~ Im iibrigen spricht Schmeidler yon der ,,Un- gemischtheit" des Ideals p. ~. Naeh dem iibliehen Sprachgebraueh w~re darunter zu verstehen, dab p �9 ~ eine Primarkomponentenzerlegung p �9 ~ --~ qi ~'~ �9 .- r-~ ~ besiSzt, bei der die zu den Primiridealen ~i gehSrigen Primideale 15~ alle fiber p liegen und damit minimale Primoberideale yon p - ~ sind. Abet diese scharfere Behauptung wird dutch die Sehmeidlerschen Oberlegungen nicht-bewiesen, und "ich sehe selbst bei den speziellen yon Schmeidler betrachteten Ringen keinen Weg, auf dem man den Beweis mit Aussicht auf Erfolg in Angriff nehmen kSnnte.

Beitr~ge zur Arithme~ik kommutativer Integrit~sbereiche. I I I . 757

eehtes Primoberideal von p. Bedeutet dann b ein zu q abet nicht zu p, y ein zu P2 ~ . . . ~ 15, aber nicht zu ~ gehSriges Element, so mu~ (b-~)r = a" fl wegen b.~ c= ~51 ~ . . . ~ ~5 8 fiir hinreichend groBes r in p. liegen~l), w~hrend a = b " nieht in p und fl =: v ~ nicht in P1 enthalten ist. -- Die Annahme ~5~ ~ ~ 0 = p fiihrt somit zu einem Widerspruch, d. h. aber:

Unsere ~berlegungen zeigen die Richtigkeit wm Satz 9 und damit die yon Satz 6 ]iir ein beliebiges Primideal p a u s dem ganz abge~chlossenen Ringe ?R unter der Voraussetzuny, daft in dem ganz abhangigen Oberring das Erweiterungsideal p. ~ nut endlich viele verschiedene minima~e Prim- oberideale besitzt.

Die Endlichkeitsvoraussetzung ist notwendig, um die Existenz eines Elementes y zu siehern, das in allen minimalen Primoberidealen yon p. | mit Ausnahme eines einzigen enthalten is~ ~). Sie ist sieher erfiill~, wenn ftir ~ der O-Satz gilt, also z. B. dann, wenn ~R den Ring aller Po!ynome in endlieh vielen Variabeln mit KSrperkoeffizienten, ~ einen endlichen algebraischen OberkSrper yon ~ darstellt. In solchen F~illen ist vielleicht der auf Satz 9 gegrtindete zweite Beweis yon Satz 6 deshalb empfehlens- wert~ well bei ibm die explizite Heranziehung der Galoisschen ~heorie vermieden wird. Im iibrigen mSchte ieh persSnlieh dem ersten, in 2. dargestellten Beweis nieht nut wegen seiner Allgemeingiiltigkeit den Vor- zug geben, sondern auch deshalb, well der ,,Kon]ugiertensatz:', auf dem er au[baut, unbeding~ schon an sich Beaehtung verdient.

4. Ringe aus ganzen algebraisehen oder ganzen analytischen Funktionen.

Es sei K ein beliebiger KSrper, yon dem wit nur voraussetzen, dai~ er unendlich viele Elemente '~z) enth~lt. ?~*-~ K[Xl, X 2, . . . ] bzw. H*-----K{x 1, x 2 . . . . } sei der Ring aller Polynome bzw. aller formalen Potenzreihen tiber K in endlich oder abz~ihlbar unendlieh vieIen Variabeln x~, ~ . . . . . Die Beschrhnkung auf das hSchstens Abz~ihlbare dient nu~ zur Vereinfachung der Bezeichnung, im iibrigen k~nn man sich miihelos von ihr frei maehen. Dagegen bedeutet es eine wesentliche Voraussetzung, wenn wir ausdriiekllch erkl~iren, dab nicht nut in ~ , sondern auch i n / / * jedes einzelne Element immer nur endlich viele Variable wirklich enthalten soll. Ste]lt K einen KSrper aus reellen oder komplexen Zahlen dar, so kann man f t i r / / * auch den Ring aller konvergenten Potenzreihen in xl, x 2 , . . , w~hlen, ohne dafl sieh an den folgenden Betrachtungen

23) Nachtr~glich kann man sich yon dieser Einschr~nkung, die zun~chst der beiden folgenden I-Iilfss~tze wegen gemach$ werden muI3~ wleder befreien. Sieho den SchluB der Nummer!

Mathematische Zeitscbrift. 42. 49

758

etwas ~indert. -- Aus der Theorie der Polynom- und Potenzreihenringe

brauchenwir ffir das Folgende nut zwei einfache, wohlbekannte Tatsachen:

H i l f s s a t z I~). Bs seien p(x) und q(x) zwei yon 0 verschiedene Nicht- einheiten aus ?~* bzw. l-I*. Dann kann man stets eine umkehrbare lineare homogene Variablentransformation

xt = y~; x~ = y~+ ~.y~ (i = 2, . . . , N); x~ = yk (k ~ N)

mit KoeHizienten hi aus K und zwei Einheiten d und e aus ?~* bzw. 11" so bestimmen, daft

d . p = y~ ~-A' a (y )y~- ' + . . . + A'r(y),

e .q = y~ + B'~ (y) ~ - ~ + . . . + B'~(y)

wird, wobei die A[(y) und B'k (y) yon y~ unabh~ngi 9 sin& In der Tat, zun~iehst ist unmittelbar klar, daft dutch hinreiehend

groi]e W a h l yon N und geeignete Bestimmung der Transformations- koeffizienten ~ stets erreieht werden kann, dal~ T (x) ~ ~. ~ + p' (y), q (x) = e. y~ + q' (y) wird, wobei ~ und e yon 0 verschiedene Elemente aus K sind, und alle in p' bzw. q' wirklich auftretenden Potenzprodukte im Polynomfall hSchstens, im PotenzreihenfaU mindestens den Grad r bzw. s besitzen. Bei den Polynomen braucht man dann nur noch d ~ ~-~, e ~ - e -~ zu setzen; bei den Potenzreihen dagegen folgt die Existenz der Einheiten d und e aus dem beriihmten ,,Weierstral~schen Vorbereitungssatz".

H i l f s s a t z 2. In ?~* und 11" l~flt sich jedes Element bis au[ Einheits[aktoren eindeutig als ProduIct yon endlich vielen Primelementen darstellen.

Fiir ~* ist der Hilfssatz trivial. Der Beweis ffir 11" kann im Falle ~ndlich vieler Variabler mit Hi]re des WeierstraBschen Vorbereitungs- satzes dutch einen einfaehen Indul~ionsschlufl auf den Beweis fiir ~* zuriickgefiihr~ werden ss). Aus der Riehtigkeit des Hilfssatzes fiir endlich viele Variable folgt aber sofort seine Richtigkeit fiir beliebig viele Variable, da nach einer ausdriicklich gemachten Voraussetzung in 11" ebenso wie in ~* }edes einze|ne Element immer nut yon endlich vielen Variablen wirk]ieh abhiingt. -- Aus Hi]fssatz 2 folgt insbesondere die wichtige Tatsache, da~ ?~* und II* ganz abgesehlossen sind.

Wir wollen jetzt den Ring 9~ als ,,ganzen a~ebraischen" (abgekiirzt ,,y. alg.") bzw. als ,,ganzen analytisehen" (abgekiirzt ,,g. anal.") Funk- tionenring (fiber K) bezeichnen, wenn in 9~ ein zu ~* bzw. / /* iso-

sl) Hilfssatz 1 ist im wesentlicheu ein Spezialfall des ,,Normierungshilfssatzes", r~uf den die Beweisskizze ~ in Nr. 17 des Idealberichts aufgebaut ist!

s~) Zur genauen Ausfiihrung des Beweises vgl. z. B. die Anm. s) zitierte Riickertsche Arbeit oder Osgood, Lehrbuch tier Funktionentheorie, Bd. 2!

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integritgt~bereiche. III. 759

morpher [Interring ~) bzw. /7 existiert, yon dem !}t ganz abhgngt~) .

Besitzt ~ = K [a 1, . . . , a~] bzw. / / = K {a 1 . . . . , a~} endlich vide, und zwar n, unabhgngige Erzeugende fiber K, so sagen wir, !R babe den ,,Transzendenzf/rad" n. Is t die Anzah] der Erzeugenden bei ~ bzw. T/ unendlich groin, so schreiben wi t ~R den Transzendenzgrad co zu 5~. Dabei soU keineswegs yon vornherein behauptet werden, dai~ der Transzendenz- grad yon ~R unabhgngig v o n d e r speziellen Wahl des Unterrings ~ bzw. T/ dutch !R allein eindeutig bestimmt ist. Die Eindeutigkei~ des Trans- zendenzgrades wird sich aber im Laufe der Untersuehung yon selbst er- geben ~7). _ Im folgenden beschr~nken wir uns bei den Beweisen immer auf die Behandlung des algebraischen Falles; um die Beweise ffir den analytischen Fall zu erhalten, ha t man einfach star t , ,Polynomring ~ " bzw. ,,g. a |g." iiberall , ,Potenzre ihenr ing/ /" bzw. ,,g. anaL." zu schreiben.

S a t z 10. Jedes Primideal p ~ (0) aus dem g. aIg. oder y. anal. Funktionenring ~ enth~lt' mindestens ein in !}t minimales Primideal u. Fiir jedes in ~ minimale Primideal u wird auch der Restklassenring ~ [ u ein g. alg. bzw. g. anal. Fun~iQnen.ring, und zwar besitzt ~ l u einen um 1 kIeineren Transzendenzgrad als ~ , - - ( m - 1 --- oJ !).

Fiir einen Polynomring ~ = ~ ergibt sich aus Hil~satz 2 sofort, daft ]edes Primideal p t ( 0 ) m i n d e s t e n s ein Primhauptideal (p)=~ (0) enth~lt, und da[~ alle yon (0) verschiedenen Primhauptidea|e in ~ mini- mal sin& Auf Grund von Hiffssatz 1 erkennt man welter, daft auch die zweite Behauptung yon Satz 10 fiir einen Polynomring ~ = ~ richtig ist as). _ Bedeutet schliel]lich p ~= (0) ein Primideal aus einem beliebigen .g. alg. FunkCionenring ~, und ist ~ ein Polynomring, yon dem ~ gan~

abhangt, so mug p ' = p ~ ~ naeh dem bereits Bewiesenen mindestens ein in !~ minimales Primunterideal u' enthalten, und nach Satz 6 gibt ~ es wegen der Ganz-Abgeschlossenheit yon ~ in ~ mindestens ein in p

',6) Die Definition des Textes sieht etwas umst~ndlich aus, man kann sie aber kaum einfacher fassen, wenn man fiir elnen g. alg. oder g. anal Funktionenring eine invariante Charakterisierung gewinnen will, die keine spezielle Darstellung yon ~ einseitig auszeichnet. - - Gegenfiber den Betrachtungen yon Beitrag II, 5., die sieh auf ganze algebraische Funktionenringe fiber einem Koeffizientenring be- zogen, sei hervorgehoben, dab es sieh im Text aussehlie~lich um Funktionenringe fiber einem K6rper (ngmlieh fiber K) handett.

~) Bel einem g. alg. Funktionenring ist aUerdings die Invarianz des Trans- zendenzgrades selbstverstgndlich, da es sich einfach um den Steinitzschen Trans- zendenzgrad des Quotientenk6rpers ~ yon ~ fiber K handelt. Im analytisehen Fall aber liegen die Dinge anders, da dort der Steinitzsebe Transzendenzgrad yon iiber K stets unendlich grol3 is~.

as) Dabei braucht man Hilfssatz 1 nur ffir ein Einzelpolynom p und nieht ffir ein Polynompaar p, q!

49*

760 W. KruU.

enthaltenes, fiber u' liegendes Primideal u, das nach Sa~z 8 seinerseits in 9~ minimal ist. Damit ist der erste Tell der Behauptung yon Satz 10

f i i r einen beliebigen ~ bewiesen; der zweite Teil folgt sofort aus den fiir die Polynomringe gewonnenen Ergebnissen und der Bemerkung, da~ ~ l u als ganz abhiiagiger Oberring yon ~ I u' aufgefal~t werden kann. -- Satz 10 bildet die Grundlage fiir den Beweis yon:

S a t z 11 . Gibt es in dem g. al 9. oder g. anal. Funktionenring ~ zu dem Primideal p eine /~-gliedrige Kette ~ -~ Pl, P~ . . . . , p,~ = u, bei der u in ~ minimal und /iir i -~ 2 . . . . /~ jeweils p~ ein unmittelbares Primunter- ideal yon P~- i ist, so besitzt p den Dimensionsdefekt /~, und es hat jedes unmittelbare PrimunterideaI q yon p genau den Dimensionsdefekt /~ - - 1.

S a t z 12. Besitzt das Primideal p in dem g. alg. oder 9. anal. Funktionenring ~ einen endlichen Dimensionsde]ekt /~, so ist stets auch ~ /p ein g. a~. bzw. g. anal. Funktionenring, und zwar hat ~[p einen um /~ Einheiten kleineren Transze~ienzgrad als ~, - - (w - - ~ = w!) 29).

Satz I1 und Sat-z 12 sind sicher richtig, wean ~ -~ 1 ist, wenn es sich also um minimale Ringprimideale handelt. Daraus folgt, dab man nach d e n Grunds~tzen des Induktionssehlusses die Giiltigkeit yon Satz 11 und Satz 12 fiir ~ = p lu in ~ - ~ 9~lu voraussetzen daft; denn es ist

naeh Satz 10 selbst ein g. alg. Funktionenring, und es ist in der Ket te ~ - Pl, P ~ : V ~ I u , . . . , ~_1-- - - P , - l t u sicher ~ _ 1 minimales Ringprimideal, wfi,hrend ffir i --= 2 . . . . # - 1 jeweils p~ ein unmittelbares Primunterideal yon ~ _ 1 darstell~. Damit is~ wegen (~!u)l(olu)= ~1~ bereits Satz 12 ffir p bewiesen. Da ferner jedes beliebige yon (0) verschiedene Primunterideal yon p mindest, ens ein in ~ minimales Primunterideal m eath~lt, braucht man, wie mfihelos einzusehen, zum vollen Beweise yon Satz 11 nur no eh zu zeigen:

Fiir jedes in p enthaltene mininmle Ringprimideal m hat ~ = p t m in = ~1 m genau denselben Dimensionsde/ekt wie ~ in ~ (d. h. also den

Dimensionsdefekt , u - 1). E s sei ~ = K [a~, a~, a~ . . . . ] ein Polynomring, yon dem ~ ganz ab-

h~ngt; dann sind m" ~ ~ ~ m und u ' - ~ ~ ~ u minimale Primideale yon ~ und damit Primhauptideale, m' = (T), u' = (q). Aus Hilfssatz 1 folgt weiter, da$ man die a~ u n d p und q so gew~hlt annehmen daft, da~

. . g

wird, wobei die A'~(a) und B~ (a) yon a~ unabhangig sind. Unter dieser Annahme ist abet ffir s = K [a~, a~, . . . ] sicher ~ r', m ~- s ~ u = (0), und es ]assen sich ~ und ~ beide als ganz abh~ngige Oberringe des

99) Natiirlich kann der Transzendenzgrad yon ~RIp nicht negativ werden. Wirder gleich 0, so ist 3~lp ein algebraischer OberkSrper yon K!

Beitr~ge zur Arithmetik kommut~tiver ~n~egri~sbereiche~ I I L 7 6~

Polynomrings f~ auffassen, wobei insbesondere ff r~ ~ = ~ r~ ~ = p r~ wird. Bezeiehnet nun / ~ - 1 bzw. v bzw. ~ den Dimensionsdefekt yon ~5 bzw. ~ bzw. p r~ f~, so folgt dutch zwe~nalige An~endung yon Satz 8 sofort 2 : l ~ - ! , ;t = v , d .h . / z - - l = ~ . ~

Aus den S~tzen 10, 11, 12 sehlieBt man welter: S a t z 13. I st der Dimensionsde]ekt ~ yon p endlich und ~einer aZs

der Transzendenzgrad yon ~, so besitzt p stets ~tnmittelbare Primoberideale, und zwar hat jedes unmitteIbare Primoberideal den Dimensionsde]ekt # + 1.

Andererseits zei~ Satz 1!, dab bei endlichem Transzendenzgrad n kein Primideal eiaen Dimensionsdefek~ # ~ n besitzen kann, und dab die Primideale vom Dimensionsdefekt/~. im Ring maximal sein mfissen. -- Aus dieser Bemerkung und den fibrigen S~tzen ergibt sich ffir Funk~ionem ringe yon endlichem Transzendenzgrad ohne Schwierigkeit:

Sa tz 14. In einem g. alg. oder g. anai. Funktionenring 9t yore end- ~iehen Transzendenr~rad n hat jedes Primideal p eine endliche Dimension v und einen endtichen Dimensionsde[ekt /~. Dabei ist die Dimension v gleich dem Transzendenzg.rad des Restklassenr 911 P, wghrend [iir die Sumn~e yon Dimension und Dimensionsde[el~t stets die G~eichung # - b v = n gilt.

Aus Sa~z 14 ergibt sich insbesondere die Eindeutigkeit des Transzendenz- grades im Falle seiner Endlichkei~. DaB ein g. alg. oder g. anal. Fun~tionen: ring yore Transzendenzgrad m fiieht gle!ehzeitig endliehen Transzendenz- grad besitzen kann, folgt einfach aus der Tatsache, dab 'in einem derartigen Ring naeh Satz 13 immer Primideale yon beliebig groBem endlichen Dimensionsdefekt vork0mmen miissen~).

Besel~nkt man sieh von vornherein auf Funktionen~inge yon end- lichem Transzendenzgrad, so l~Bt sieh des Beweis der S~ze 11 bis 14 Wesentlieh vereinfachen. Man muB nut die Dimension sta$~ des Dimensions- defektes in den Vordergrund stellen und vom Transzendenzgrad n auf den Transzendenzgrad n -~ 1 schlieBen. Dann ergeben sich a l l e Be- hauptungen der S~tze 11 bis 14 miihelos dutch Restklassenbildung nach dem in Sa~z 11 auftretenden minimalen Ringprimideal u und einen an- schlieBenden einfachen Induktionsschlu~. D e r etwas miihsame Vergleich der Primideale ~ und ~, der oben den Kernpunkt des Beweises yon Satz ! 1

3o) L~Bt man, was ja bei unseren Untersuchungen stat thaft ist, die iKSglichkeit zu, dab die bei der Bildung des Ringes ~* bzw. H* benutzte Variabolnmenge eine beliebige M~chtigkei~ ~ besitzt, so Ueg~ es nahe, den Transzendenzgrad eines g. alg. bzw. g. ana l Funktionenrings im Fall der Une~dlichkeit einfach gleich dem be- trvffvnden ~ Zu setzen. Die Invarianz ist dann Wieder im algebraischen Fal l trivial, im analytiscllen ist sie sehr plausibel, aber noch nicht bewiesen. - - Fiir die Unter- suchungen des Textes hat die Unterscheidung verschiedener M~chtigkeiten bel un- endliohem Transzendenzgrad keine Bedeutung.

762 W. Krull.

darstellte, f~illt weg, und man braucht dementsprechend den Hilfssatz 1 nut flit den Fall eines einzelnen Elementes p. -- Bei Funktionenringen yon unendfichem Transzendenzgrad dagegen diirfte die oben gew~hlte Beweissnordnung die denkbar einfachste sein.

Wit zeigen weiter: Sa tz 15. Die erste H~ilfte van 8atz ! 0, sowie die S~itze 11, 13, 14

geIt~n auch dann, wenn der Grundk~rper K nut endlizh vide Elemente entt~ilt. Es sei "~ ein Pol:~momring, v0n dem der g. alg. Funktionenring 91

ganz abhiing~, ~* sei derjenige Polynomring, tier aus ~ dadurch entsteht, daft man an Stelle yon K den kleinsten K umfassenden algebraisch ab- geschlossenen KSrper K* als GrundkSrper w~hlt; schlieBlich werde 91" = ~* .91 gesetzt. Dann gelten flit 9t* "die S~tze 10 bis 14, es ist 91" ein ganz abh~ingiger Oberring yon 91, und man kann auf die drei Ringe ~, 91, 91" die S~itze yon 1.~3. anwenden. Unter Beriicksichtigung der Ganz-Abgeschlossenheit yon ~ iiberzeugt man sich auf diese Weise miihelos yon der Richtigkeit yon Satz 15.

5. Der Hauptidealsatz.

Sa tz 16. Ist in einem g. alg. oder g. anal. Funktionenring 9t das Primideal p minimales Primoberideal eines Hauptideals (a)=~ (0), so ist stets p in ~ minimal.

Es sei ~ ein Polynomring, yon dem ~ ganz abh~ngt. Wir nehmen zun~chst an, es sei der Quotientenkfrper ~ yon 91 ein endlicher alge- bralscher OberkSrper des Quotientenkfrpers R yon ~, und es umfasse alle yon ~ ganz abh~ingigen Elemente aus s Dann Iolgt aus der Giiltigkeit des Hilfssatzes 2 flit ~ sofort, dug ~ im Sinne der Bewertungs- theorie eine ,,endliche diskrete Hauptordnung" darstelltSX). Unt~r diesen Umst~nden ist abet (a) Durchschnitt yon end]ich vielen Prim~iridealen ql . . . . . q~, die zu in 91 minima|en Primidealen p~, . . . , p~ gehSren, und es ist selbstverstiindlich, dal] jedes Primoberideal ~on (a)mindestens eines der Primideale p~ enthalten muff.

Es sei nun 91 ein beliebiger ganz abh~ingiger Oberring von $. Wit setzen ~ ~ ~ [a] und bezeichnen mit ~ bzw. 9~ den zu ~: bzw. ~ g e- hSrigen ganz abgeschlossenen Ring. Wegen 91 ~ ~: ist sicher auch ~ ~ ~:. Nach Satz 1 gibt es ferner zu dem zu untersuchenden Primideal p aus 91 in ~ mindestens ein dariiber]iegendes Primideal ~, und aus der Tatsache,

al) Zum Begriff der endlichen diskreten Hauptordnung vgL Idealbericht Nr. 36, 43. Vgl. ferner: Krull, t~ber die Zerlegung der Hauptideale in allgemeinen Ringen (Math. Annalen 105 (1931), S. 1~14), wo die im Text ben6tigten idealtheoretischen Zusammenh~nge breit dargelegt sind.

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsbereiche. I I I . 7~3

daI~ p minimales Primoberideal yon (a) = a . ~3~) ist, folgt in Anbetracht yon Satz 2 sofort, dal~ ~ minimales Primobericleal yon a. ~ sein mug. Schlie$1ich erweist sieh ~5' -~ ~ ~ ~ auf "Grund yon Satz 6 als minimales Primoberideal yon a. ~:. ~ Unter diesen Umst~nden rout abet ~ in minimal sein, weil ~: zu den im ersten Teil des Beweises betrachteten Ringen geh6rt. Es ist also nach S a t z 8 auch ~5 ~ = ( ~ r , ~ ) ~ = (15 ~ 9!) ~ ~ = p ~ ~ in ~, und damit, wie bewiesen werden sollte, aueh p in ~ minimal. ~ Dutch Yerkniipfung yon Satz 15, 12 und 13 ergibt sich weiter:

S a t z 17. Ist p d n PrimideaI yon endlichem Dimensionsde]ekt Et, a ein nicht zu p geh6riges Element aus diem 9. alg. oder 9. anal. Funktionen- rino ~ , so haben alle minimalen Primoberideale yon p - ~ (a) ~n ~ den Dimensionsde~ek~ /x + 1 ~).

Damit sind alle Haupts~tze der Dimensionstheorie der Folynomringe fiir beliebige Primideale yon endlichem Dimensionsdefekt in beliebige*n g. alg. oder g. anal. Funktionenringen bewiesen.

6. Primideale yon unendlichem Dimensionsdefekt.

Man wird fragen, ob nicht (bei Transzendenzgrad to) wenigstens ein Teil der in 4. und 5. gewonnenen Ergebnisse in geeigneter Fassung uuf die Primideale yon unendlichem Dimensionsdefekt ausgedehnt werden kann. Wit zeigen durch Angabe geeigneter Gegenbeispiele, dab die Antwort viill~ 9 verneinend lautet; dabei stiitzen�9 wit uns auf die Theorie der allgemeinen BewertungsringeS3). -- E s seien 21, 2., . . . . ; ~h, ~ . . . . Unbestimmte, die Buchstaben g und h solhn ganze rationale Zahlen bedeuten. Wit be- traehten nun die Gruppe/~ aller Linearformen yon der Gestalt

g, ~v~ + g~ 2,= + . . . + g, ~, + ~1 ~.,,~ + h~ ~.U~ § + h~ ~ ,

and fiihren in F eine lineare Ordnung ein dutch die Festsetzung: Das Gruppene!ement ? soll ,,grSl~er" heil~en als das Gruppenelement ~ ' (7 > 6) - - , wenn bei tier Darstelhng yon 7 - ~ dureh die $, und ~ das in der festgelegten Reihenf01ge erste Glied einen positiven Koeffizienten besitzt. Diejenigen Elemente aus / ' , die grSfler sind als das Gruppen: einheitselement 0, warden wie iiblich als positiv bezeichnet. Unter A ver-

a2) Wit schreibena �9 ~ , a . ~ , . . . . um auf kiirzeste Weise anzudeuten, in welchem Ring das Hauptideat (a) jeweils betrachtet wird.

8s) Zu den Einzelheiten der foigenden Betraehtungen (Aufbau spezieller Wert- gruppen, bewertete K f r p e r yon Pseudopolynomquotienten usw.)~ vgl. Krutl, All. gemeine Bewertungstheorie, Journ. f. Math. 167 (1931), S. 160--196. (Siehe ins- besondere w 1 u n d w 5.)

764 W. Krun.

stehen wir die Untergruppe aller derjenigen Elenmnte, die Linear[ormen in den ~ allein darstel len. . - Es sei jetzt, welter K ein beliebiger KSrper, u eine Variable. Bilden wit dann formell die ,Potenzen" uy(~ c / ' ) mad setzen wir insbesondere u ~ gleich dem EinheitseIement 1 aus K, so kSnnen wit mit den ,,Pseudopolynomen"

p (u) --= al u n -k a~ u v2 -b ~ . . -k at u ~t

Iormell genau so rechnen,, wie mit gewShnlichen Polynomen, bei denen die Exponenten ganze Zahlen sin& Den Ring aller Pseudopolynome be- zeiehnen wit mit ~, mater ~ bzw. ~ Verstehen wi~ das Primideal aller der Pseudopolynome p(u) , bei denen der ,,Anfangsexponent" Yl positiv ist bzw. nicht zu A gehSrt, Offenbar ist ~ D O. Wit behaupten jetzt:

besitzt in ~ kein unmittelbares Primunterideal, und es Iiegt au~er-

dem zwisehen p und ~ kein unmittelbares Primoberideal yon P.

Zum Beweise geniigt es offenbar zu zeig_en: In dem dutch das Prim- ideal fi definierten Primidealquotientenring ~ ----- ~11) besitzt das Prim- ideal ~ = ~. ~ weder ein unmittelbares Primunter- noeh ein unmittel- bares Primoberideal. Die Untersuehtmg yon ~ gestaltet sich aber sehr dnfaeh; da ~ ein Bewertungsring mit de r Wertgruppe F i s t . -- In der Ta% ~edes Element r (u) aus dem QuotientenkSrper R yon ~ besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung

= + . - . + - ,

bo "~ bl u 01 -]-. . . -~ b~ u Jm

( 7 - ~ 0 , ao.b o ~ O; 0 ~ 7 ~ ~ . . . <7,~, 0 < ( ~ , < . . . "~ (},,,). Ordnen wit jedem r (u) den zugeh6rigen Exponenten ~ als ,,Wert"

zu, so entsteht eine Bewertung B yon R mit der Wertgruppe/~, u n d e s umfaBt ~ gerade alle und nur die KSrperelemente, die in B einen nieht- negativen Weft besitzen, wRhrend ein Element aus v~ offenbar dann und nut dann zu ~ gehSrt, wenn sein Weft nicht in A liegt. Es sei nun irgendein eehtes Primunterideal yon ~. Dann muff es mindestens ein $, geben mit der Eigensehaft, dab ~ kein Element yore Werte ~, enth~It, und die Gesamtheit aller der KSrperelemente r(u), bei denen der Wer~ yon r(u) n ftir hinreichend grofles n griifler wird als ~ , bildet ein echtes Zwischenprimideal zwischen ~ und ~. -- Ist andererseits ~ ein echtes Primoberideal yon ~, so gibt es in ~ .fiir geeignetes p ein Element, dessen Wert hiichstens gleich ~7~ ist, und die Menge aller der r (u), bei denen der Wert vcm r(u) ~ fiir hinreichend grol~es n fiber ~ + z hinausw~ehst, s~ellt ein echtes Zwischenprimideal zwischen ~ und ~ dar. -- ~ mad ~ be- sitzen also tatsiichlieh die gewtinschten Eigenschaften.

Beitr~ge zur Arithmetik kommutativer Integrit~tsbereiche. !It. 765

Wit beachten' nun; aal~ die Gruppe F offenbar nut aus abz~hibar unendlich vielen Elementen besteh~. Es seien 71, Y,, ~.~ . . . . die s~mt~ lichen positiven Elemente yon T in irgendeiner Abz~htung. Ordnet man dann ffir i = 11 2 . . . . tier Potenz u r~ ieweils eine neue Variable ~ zu, so entsteht eine homomorphe Abbfldung des Pseudopolynomringes ~ auf den Polynomring ~ = K[x 1, x v . . . ] , und zw~r so, d a b ~ zu ~Ir iso- morph wird, wobei ~ ein geeignetes Primideat aus ~ bedeutet. Sind ferner p und q diejenigen Primideale aus ~ , die bei dem konstruierten Homomorphismus den Primidealen ~ und ~ aus ~ entsprechen, s o ist r c p c q, und es liegt offenbar zwischen ~ und p bzw. zwi~chen p und q kein unmittelbares Primunter- bzw. Primoberideal yon p. -- Damit ist gezeigt:

Sa t z 18. In jedem Polynomring ~3 = K [x~, x2~ . . . ] vom Transzendenz- grad o~ lassen sich drei Primideale ~ c p_ c q so bestimmen, daft es zwischen

und p kein unmittelbares Primunterideal, zwischen p und q kein un.

mittelbares Primoberideal yon p gibt. Ffir das in Satz 18 auftretende Primideal p gilt sicher kein zu

Satz 11 oder 13 ~hn]iehes Theorem. Aus Satz 10 fo/gt ferner, dal~ ~ t P kein g. alg. Funktionenring sein kann. Ist sehliel31ich a ein nicht zu p gehSriges Element aus q, so besitz~ p + (a) sicher ein minimales Prim- oberideal, das kein unmittelbares Primoberideal yon p ist; es ist also auch eine sinngem~i6e 0bertragung yon Satz 17 auf Primideale yon un- endlichem Dimeasionsdefekt ausgesehlossen.

Man kSnnte nun h6ehstens noeh vermuten; daft wenigstens fiber d ie Primideale yon endlicher Dimension auch bei den Funktionenringen yore Transzendenzgrad w genauere Aussagen mSglich sind. Indessen lassen sich sogar in diesem Falle file in Betracht kommenden Yermutungen dutch Gegenbeispiele yon vornherein widerlegen. Zun~chst ist es leieh% mit Hilfe der zum Beweise yon Satz 18 benutzten Methoden in einem beliebigen Polynomring yore Transzendenzgrad ~ ein nutldimensiona.les Primideal p und ein Primunterideal q yon p so zu konstruieren, dab zwischen p mad q kein unmittelbares Primunterideal yon ~ liegt. Man kann aber sogar, wenigstens bei abz~hlbarem GrundkSrper K, ohne allzu gro~e Schwierigkeit im Polynomring ~ = K [x~, x~ . . . . ] z. B. die Existenz eines zweidimensionalen Primideals p mit nulldimensionalem unmittetbarem Primoberideal q nachweisen. Man mul~ zu diesem Zwecke nut nicht yon einem einzigen Bewertungsring, soadern von dem Durehsehnitt zweier ge- eigneter Bewertungsringe ausgehen. Allerdings gestaltet sich auf diese Weise die Durchfiihrung der Konstruktion im einzelnen etwas umsti~ndlich, wenigstens dana, wenn man sieh nieht damit begdiigen will, e i n ein- seh]~igiges Beispiel" ohne n~here Erkl~irung seiner Entstehung ei~fach bin-

~766 W. Krull, Beitrage zur Arithmetik kommutativer Integrit&tebereiche. IH.

zuschreiben. Wit beschr~nken uns daher bier hinsichtlich der endlich- dimensionalen Primideale auf die bereits gemaehten allgemeinen An- deutungen und fassen im tibrigen das Gesamtcrgebnis der letzten ~ber- legungen kurz so zusammen:

Satz 19. Die Beschr~nkunq au] Primideale son endlichem Dimensi~ts- defekt ist flit die Entwiekluny einer Dimensionstheorie im Sinne der S~lze 11 bis 13 unbedingt notwendig, lViir PdmideaIe yon unendlichem Dimensionsdefekt gilt im aUgemeinen, sogar be~: endlicher Dimension, kein Theorem, das als Ferallgemeinerung der Satze 11 bis 13 (oder auch des Satzes 17) aufgefa,6t werden ldinnte.

(Eingegangen am 16. Februar 1937.)