Ztschr. f . angew. 426 Vortrgge (der Hauptversammlung in Bad Elster Math. und Mech.

9. Beitrag zur Beruhrung gewolbter Oberflachen beim ebenen Formanderungszustand').

Von C. Weber in Dresden.

Fur ein System, bestehend aus zwei prismatischen Korpern niit zwischenliegender Walze, ist die Zusammendruckung zu finden, und zwar der Unterschied gegeniiber der Zusanimen- driickung des Systemes ohne Zwischenwalze.

Druckt auf die Halbebene y 2 0 eine Walze rnit der Kraft P, so erhalt man (H. H e r t z ) eine Druckstrecke 2 a mit elliptischer Druckverteilung. Der Spannungszustand ist gegeben durch

niit

In der Druckstrecke erhalt man infolge der Verschiebungen die Krumniung des Randes 1 2 p ( l - P ) - .~ - - @ E a '

Es wird ( r -Walzenlialbmesser).

Fur die Walze wird der Spannungszustand gefunden durch Uberlagerung der drei Spannungszustande

1. Halbebene y 2 - r mit elliptisch verteilter Druckkraft P,

2. Halbebene y 5 r ,, 1, 11 1, p, P nr 4. Gleichmafiige allseitige Zugbelastung - .

Man erhalt hieraus die Zusanimendruckung 4 P l - v 2 ( - __ In 4ar __ - - ;)* x E

Fur den prismatiscben Kiirper von der Breite b erhalt man eiiie Naherungsl6sung, indem man die Halbebene im Abstnnde b periodisch durch Druckkrafte P belastet, dann eine der Einzelkrafte durch eine auf die Druckstrecke elliptisch verteilte Kraft ersetzt und einen Streifen von der Breite b so herausschneidet, dak diese Kraft in die Mitte kommt. Dieser Streifen hat nur eine geringfiigige Seitenspannung. Die Zusammendriickung wird fur den Streifen (cntsprechend fur einen prismatischen Korper des Systemes)

Die Losung wird noch verbessert, indem durch weitere Uberlagerungen die seitliche Spannung des Streifens aufgelioben wird. Zur Berechnung der Verbesserung ist eine allmahliche Naherung des Spannungszustandes eines Rechteckes bei symmetriseher Belastung erst allgemein durchgefuhrt, dann fur das gegebene System spezialisiert. Die Liisung fur den Unterschied der Zusammendriickung des gegebenen Systemes und eines Systemes ohne Zwischenwalze wird

4 P l - V ' b E 231, 9

d=-- n E

10. Beitrage zur Statik und Dynamik der Rechteckplatte. Von Harry Schmidt in Kathen.

i. Vor einiger Zeit habe ich2) die Durchbiegung einer vierseitig frei aufliegenden Rechteckplatte unter den1 Einflufi einer gleichformigen Lastverteilung mit rechteckig berandeter Angriffsfl%che berechnet. Es bereitet nun keinerlei prinzipielle Schwierigkeiten, auf Grund

1) Ausfiihrliche Arheit in einer spateren N r . dieser Zeitschrift. 2) H. S c h m i d t , Ztschr. f . Phys. 68, 423, 1931. Wegen de r Ubertragnng auf eingespannte Pletten vgl. eine in

dieser Zeitschrift erscheiriende Arbeit.

427 Band 11, Heft ti Dezeinber 1941

des gleiclien Verfalirens aucli den Fall einer beliebig geradlinig begrenzten Lastangriffsflache zu erledigen. Jede solche Flaclie lafit sich namlicli zunachst in Dreiecksgebiete zerlegen, deren jedes wiederum seinerseits als algebraisclie Summe von drei Sektorflaclien aufgefakt werden kann, d. h. von solchen F15chenl die von zwei von einem Punkt ausgehenden Halbgeraden berandet sind (vgl. Abb. 1, in der die Summe der beiden Sektorflachen I und I1 nach Sub traktion der Sektorflikche III in die sclirafficrt gezeichnete Dreiecksflache ubergeht). Man

Vortra,ge der Hsuptversanimlung in Bad Elster

Abb. 1. Abb. 2.

uberzeugt sicli leicht davon, dab die Kesclirankung auf den in Abb. 2 dargestellten Soiiderfall mit spitzem Winkel w ausreichend ist, um alle in Frage kommenden Moglichkeiten zu erfasscn. Die Durchbiegung n, (2. y) hat alsdann der Differentialgleicliung

niit

zu genugen, wobei N die Riegungssteifigkeit der Platte und p o den auf die Fliiclieneinheit bezogenen Betrag der in der Sektorflache B angreifenden Belastung bedeuten. Wegen der bekannten, fur jedes (I, > 0 bestehenden Relation

oder

mit A = tg (0 so daE3 auf Grund des linenren Superpositionsprinzips

wird, unter bc (x, 9 ; x , 5) die den Randbedingungen

genugende Losung der Differentialgleichung

Ztsohr. f . angew. 428 Vortriige fder Hauptversammlung 'in Bald EZster Math. und Meoh.

verstanden. Die Konstruktion dieser Funktion ZG (x, y; z, 5') ist muhelos moglich*), und (4) lakt sich dann auf Grund einer fruher ') bewiesenen Verallgemeinerung von (2) explizite auswerten. Die Rechriung fuhrt zur Unterscheidung der beiden in Abb. 3 und 4 dargestellten Fiille

P A ( a - x o ) + y o ~ b und A ( a - x , ) + y , ~ b ; setzen wir w(x,y)=$-- W(x,y), so wird in1 ersten Fall

Wn(" (x, y) + W, (5, y) fur 0 5 y 5 yo,

W0"'(x,y) fur A ( a - x,) +yo 5 y 5 b , W,"' (x , 9) + W, (2, g) fur yo 5 y 5 A (a - t,) + yo,

hingegen im zweiten Fa11

Abb. 3. Abb. 4.

Hierin bedeuten

sowie

und

(z). ( b - y ) .&0f(a!~b).Bin(rr,~y)-?y.8in[n,,(b-g)] + $,U 3 Bin2(u/'b)

wobei a!r = E!! gilt und folgende Abkiirzungen benutzt wurden: a

+ (g - yo) Bin [alr (y yo)] + (-- I)@ . A (y - yo) sin ( u p x,) . &of [ up (9 - yo)] ; 3, Vgl. hierzu die in der vorhergehenden FuDnote zitierte Arbeit. 4, H. S c h 1x1 i d t , Ztschr. f . Phys. 39, 4i4, 19%.