HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT II INSTITUT FÜR MATHEMATIK Vorlesung/Seminar Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik (Computerunterstützter Mathematikunterricht) SS 09 Dozent: Doktor Ingmar Lehmann Berlin, den 08.06.2009

Mittenvierecke

Belegarbeit zum Referat

von Emil Groth

Mittenvierecke spielen im aktuellen Lehrplan der Berliner Schulen leider nur eine

Randerscheinung und auch deutschlandweit gehören sie nicht wirklich zu den bedeutendsten

Themen im Mathematikunterricht. Dabei ist es doch ein Thema aus der Geometrie, dass

unglaublich viele Möglichkeiten zum Entdecken und Ausprobieren bietet, vor allem, wenn

man sich mit einer dynamischen Geometriesoftware an die Mittenvierecke heranwagt.

Insofern ist zu hoffen, dass mit dem Einzug von Computern und mathematischer Software

auch die Mittenvierecke eine bedeuterende Stellung bekommen.

Aus den bisher wenigen Zusammenstellungen zu dem Thema lässt sich eine Einordnung des

Themas in die Sekundarstufe I erkennen. Sinn macht es sicherlich, die Mittenvierecke nach

der Einführung aller besonderen Vierecke zu betrachten. Da Themen wie das Haus der

Vierecke in Klasse 8 eine Rolle spielen, lässt sich das hier sicherlich hier gut integrieren. Mit

richtiger Beweisführung wird das Thema auch nur als Stoff für die Begabtenförderung

angegeben, doch je nach Klasse und Aufbau halte ich eine Einbindung in den regulären

Unterricht auch für möglich.

Der folgende Text soll einen kleinen Überblick über die Inhalte zum Thema Mittenviereck

beinhalten, einen methodischen Weg skizzieren und den Umgang mit der dynamischen

Geometriesoftware Geometer’s Sketchpad schulen. Im Anhang befinden sich überdies

Beispiele zu den vorgeschlagenen Konstruktionen, die im Referat als Übungen vorgegeben

wurden.

Das Mittendreieck

Bevor man sich die Inhalte zum Mittenviereck vornimmt, macht es Sinn, sich zunächst mit

den Mittendreiecken auseinander zu setzen, weil deren Kenntnisse zur Beweisführung der

Mittenvierecke benötigt werden. Hierzu bietet sich zunächst eine Übung an, bei der man von

einem Mittendreieck ausgeht und das Dreieck selbst durch Punktspiegelung an den

Seitenmitten erzeugt. Das übt auch gleich noch mal eine Funktion ein, die im Kurs bisher

noch nicht angewendet werden musste, und verdeutlicht gut die Zusammenhänge zwischen

Dreieck und Mittendreieck.

Aufgabe 1:

Konstruiere mit Geometer’s Sketchpad ein (nicht gleichschenkliges) Dreieck ABC. Drehe das

Dreieck ∆ ABC an der Mitte Ma der Seite a um 180°. Benenne den Spiegelpunkt von A mit A’.

Führe selbiges mit den Seitenmitte Mb und Mc durch!

Welche Eigenschaften hat ∆ A’B’C’ im Vergleich zu ∆ ABC? Überprüfe deine Ergebnisse,

indem du die Lage der Punkte A, B und C veränderst!

Kleiner Trick: Wird bei der Drehung (und auch anderen Verschiebungen) nicht nur das

Dreieck markiert sondern auch der Punkt A, nennt das Programm den Punkt automatisch A’.

Folgende Eigenschaften sollten sich ergeben: Das Mittendreieck ist ähnlich zum

Ausgangsdreieck. Die Seiten des Mittendreiecks sind halb so lang wie die des

Ausgangsdreiecks. Die Verbindung zweier Seitenmitten ist parallel zur dritten Seite.

Bei Schülern macht es sicherlich Sinn, erste Aussagen zu sammeln und dann auch noch mal

ein Mittendreieck aus dem gegebenen Dreieck zu konstruieren. Ordentliche Begründungen

bzw. Beweise sollten ebenfalls nicht ausgespart werden. Auch würde es Sinn machen, noch

Aussagen über die Flächeninhalt des Mittendreiecks zu treffen, der sich als Viertel des

Ausgangsdreiecks schnell feststellen lässt. Hier kann man dann auch noch Spielereien

anstellen und beispielsweise den Flächeninhalt des fünften Mittendreiecks bestimmen lassen,

was dann aber auch ohne Computer leicht zu bewerkstelligen ist.

Der Vollständigkeit halber führe ich hier noch den Beweis, dass die Verbindung zweier

Seitenmitten (auch Mittellinie genannt) parallel zu dritten Seite verläuft.

Beweis: 1

Voraussetzung: ba MM , und cM sind die Seitenmitten des Dreiecks ∆ ABC.

Behauptung: cb MM ist parallel zu a

Beweis: Aus der Voraussetzung folgt, dass das Verhältnis AB

AM

AC

AM cb = gilt. Nach

Umkehrung des 1. Strahlensatzes muss demnach die Behauptung gelten.

qed

Analog geht der Beweis für die anderen Seiten. Damit kann man nun auch noch diverse

Winkelsätze an geschnittenen Parallelen anwenden und die Ähnlichkeit beweisen.

An dieser Stelle sollte noch eine schöne Funktion erwähnt werden, die zur Übersichtlichkeit

beiträgt. Man kann Flächen farblich hervorheben, indem man einfach die Punkte, die die

Fläche begrenzen, in der richtigen Reihenfolge, also reihum (!) markiert und dann auf

Construct/Interior geht. Die Farbe lässt sich durch einen Doppelklick ändern.

Mit dieser Einführung über Dreiecke kann man nun den Bogen zu den Vierecken schlagen,

bei denen man als Schüler möglicherweise auch ähnliche Zusammenhänge vermutet bzw.

intrinsisch motiviert untersuchen möchte.

Das Mittenviereck

Aufgabe 2:

Zeichne mit Geometer’s Sketchpad ein Viereck ABCD. Konstruiere die Seitenmitten E, F, G

und H des Vierecks und zeichne das Mittenviereck EFGH ein! Was stellst du fest?

Verändere zur Überprüfung deiner Vermutungen die Form des Ausgangsvierecks und miss

mit Hilfe des Computers auch Seitenlängen und Winkel des Mittenvierecks.

Ein Tipp: Wenn man die Vierecksseiten reihum (!) alle markiert, dann lassen sich mit einem

Klick auf Construct/Midpoints sofort alle Mittelpunkte bestimmen. Klickt man danach auch

noch auf Construct/Segments, wird sofort das Mittenviereck konstruiert.

Ziemlich schnell sollte man erkennen, dass das Mittenviereck immer ein Parallelogramm ist.

Das lässt sich mit Sketchpad zum einen durch Ziehen an den Ecken verdeutlichen, man kann

hier aber auch schön die Animation benutzen. Dazu sollte man beispielsweise zunächst vier

Kreise mit unterschiedlichen Radien zeichnen, die sich nicht schneiden. Dann wählt man auf

jedem Kreis einen Punkt und nutzt diesen als Eckpunkt für das Ausgangsviereck. Man

konstruiert nun das Mittenviereck und kann über den Befehl Display/Animate die Eckpunkte

auf den Kreisen laufen lassen. Für schnelle und eifrige Schüler könnte man nun über die

Funktion Display/Trace sogar noch verfolgen lassen, welche Fläche das Mittenviereck in

seiner Veränderung durch die Eckpunkte insgesamt vereinnahmt, was eine weitere schöne

Spielerei zum Thema darstellt.

Wenn man zudem ganz sicher gehen will, dass es auch wirklich ein Parallelogramm ist, kann

man sich zwei Hilfsstrecken zeichnen, die zwei sich gegenüberliegende Seiten des

Mittenvierecks miteinander verbinden. Diese lässt man nun beide messen und man wird

erkennen, dass beide Abstände immer gleich sein werden. Ebenso kann man die beiden als

parallel vermuteten Strecken jeweils markieren und über den Befehl Measure/Slope die

Steigung angeben lassen.

Die gefundenen Zusammenhänge gelten sogar, wenn sich das Viereck überschlägt, was sich

mit dem Programm ebenfalls schnell darstellen lässt. Das ist aber alles als Beweis noch nicht

ausreichend und muss noch besprochen werden. Über die Zusammenhänge im Dreieck ist

dieser aber schnell auch von den Schülern zu finden.

Beweis 2:

Voraussetzung: cba MMM ,, und dM sind Seitenmitten des Vierecks ABCD.

Behauptung: Viereck dcba MMMM ist ein Parallelogramm d.h. ba MM ist parallel zu

dc MM und cb MM , ist parallel zu da MM , .

Beweis: ba MM ist Mittenlinie im Dreieck ABC. Daraus folgt: ba MM ist parallel zu AC .

Zudem ist dc MM Mittenlinie im Dreieck ACD. Daraus folgt: dc MM ist parallel zu AC .

Also gilt: ba MM ist parallel zu AC ist parallel zu dc MM und somit ist ba MM parallel zu

dc MM .

qed

Analog erfolgt der Beweis, dass cb MM , parallel zu da MM , ist.

Da es ganz spezielle Parallelogramme gibt, ist es nun auch eine Überlegung wert, wie das

Mittenviereck aussieht, wenn man ein besonderes Viereck vorzuliegen hat, oder welche

Bedingungen erfüllt sein müssen, wenn man ein ganz spezielles Mittenviereck haben möchte.

Dazu kann man sich zunächst erstmal veranschaulichen, wie das Mittenviereck für ein

Rechteck aussieht.

Aufgabe 3:

Zeichne in ein Rechteck das Mittenviereck ein und begründe den folgenden Satz: Wenn man

in ein Rechteck das Mittenviereck einzeichnet, dann ist es ein Rhombus.

Gilt davon auch der Kehrsatz?

Aufgabe 4:

Zeichne einen Rhombus mit der Seitenlänge 5 cm, deren Form sich verändern lässt, und

konstruiere nun ein Viereck so, dass der Rhombus das Mittenviereck ist. Probiere aus, wie

sich das Viereck verändern könnte, das Mittenviereck aber ein Rhombus bleibt. Welche

Bedingung(en) muss das Ausgangsviereck erfüllen?

Die zweite Aufgabe erfordert relativ viel Arbeit mit Sketchpad. Schon die Konstruktion des

veränderbaren Rhombus’ erfordert einige Überlegungen. Unter Umständen bietet sich hier ein

fragend-entwickelnder Unterricht mit den Schülern an, oder man gibt bei der

Aufgabenstellung einige Arbeitsschritte vor. Dies kann auch teilweise als Lückentext

geschehen. Dies hängt alles von verschiedenen Faktoren ab (Klassenstärke, Qualität, Zeit, …)

und muss individuell entschieden werden.

Die Konstruktion des Rhombus’ erfolgt über Hilfskreise, bei denen der Radius als Parameter

vorher festgelegt wird (Graph/New Parameter). Will man sogar die Seitelänge verändern

können, konstruiert man sich zunächst eine Gerade, misst diese und verschiebt einen Punkt

so, dass man auf 5 cm kommt. Nun konstruiert man sich einen Kreis mit dieser Länge, und

legt zwei Punkt fest, die man mit dem Mittelpunkt verbindet. Nun zeichnet man um diese

beiden Punkte auf dem Kreis jeweils wieder einen Kreis mit gleichem Radius (5 cm) und

erhält so zwei Berührungspunkte. Der eine ist mein erster Mittelpunkt, der zweite ist mein

vierter Punkt für den Rhombus. Die Punkte werden nun zu einem Rhombus miteinander

verbunden. Die Eckpunkte nennt man E, F, G, und H.

Als nächstes nimmt man sich eine beliebige Strecke AB , bei der beispielsweise F der

Mittelpunkt ist. Dazu sollte man zunächst die Strecke AF zeichnen und diese dann um 180°

um den Punkt F drehen. Von den Eckpunkten A und B zeichnet man nun die Strecken

AE und BG und dreht die wiederum um die Eckpunkte des Rhombus’. Bei Drehen sollte man

immer die Punkte mit markieren, weil man dann später an jeder Stelle beliebig ziehen kann.

Hat man die Konstruktion fertig, ist es bei Schülern sicherlich notwendig, einen weiteren Tipp

zu geben, damit die Aufmerksamkeit auf die Diagonalen des Ausgangsdreiecks gelegt wird.

Auf folgendes Ergebnis sollten die Schüler nun kommen: Wenn in einem Viereck die

Diagonalen gleichlang sind, dann ist das dazugehörige Mittenviereck ein Rhombus. Eine Seite

des Rhombus’ ist halb so lang wie die Diagonale.

Beweis 3:

Voraussetzung: cba MMM ,, und dM sind Seitenmitten des Vierecks ABCD. BDAC =

Behauptung: addccbba MMMMMMMM ===

Beweis: ba MM ist parallel zu AC (siehe Beweis 2) und es gilt ba MM = 2

1AC (2.

Strahlensatz). Analog gilt auch, dass cb MM parallel zu BD ist und cb MM = 2

1BD gilt.

Da aber BDAC = nach Voraussetzung gilt, muss auch ba MM = cb MM gelten. Da

cba MMM ,, und dM zudem ein Parallelogramm ist (Beweis 2), gilt die Behauptung.

qed

Den Abschnitt kann man mit einer kleinen Anwendungsaufgabe abschließen.

Aufgabe 5:

Konstruiere zwei verschiedene Vierecke ABCD mit a = 6 cm, b = 3,5 cm und � β = 80°, so

dass das zugehörige Mittenviereck einen Rhombus ergibt.

Als elegante Lösung bietet sich hier erneut an, die Distanzen über Kreise zu realisieren.

Zunächst legt man zwei Parameter fest, die die Längen von a und b haben. Dann legt man

einen Punkt B fest und konstruiert mit diesem Mittelpunkt beide Kreise. Auf dem größeren

Kreis legt man den Punkt A fest. Nun muss man den Winkel festsetzen. Hierzu markiert man

den Punkt B und geht auf Transform/Mark Center. Nun markiert man nur Punkt A und geht

auf Transform/Rotate und legt den Winkel fest. Da die Rotation in mathematisch positiver

Richtung erfolgt, muss man unter Umständen einen negativen Winkel angeben, um die

gewünschte Ausrichtung des Vierecks zu behalten. Nun lässt sich über den Hilfspunkt A’ nun

Punkt C des Vierecks auf dem kleineren Kreis festlegen. Nun kann man eine Diagonale AC

zeichnen und mit der gleichen Länge einen Kreis um Punkt B ziehen. Ein beliebiger Punkt auf

dem erhaltenen Kreisbogen, der zwischen A und C liegt, kann nun als Punkt D festgelegt

werden. Zur Kontrolle kann man nun alle Seiten des Vierecks markieren, die Mittelpunkte

festlegen lassen und die Segmente konstruieren. Punkt D lässt nun verschieben, um das zweite

Viereck zu erhalten.

Neben dem Rhombus ist auch das Rechteck noch ein spezielles Parallelogramm. Die Frage

stellt sich nun, wann ein Rechteck ein Mittenviereck ist.

Aufgabe 6:

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Mittenviereck ein Rechteck ist? Probiere

deine Vermutungen aus!

Da die Schüler inzwischen viel Vorerfahrung besitzen, kann man diese Aufgabe sehr offen

gestalten und die Schüler selbst probieren lassen. Wer sich an die Beweisidee zum

Parallelogramm erinnert, sollte hier schnell auf eine Idee kommen. Die Herangehensweise

kann aber auch genauso wie bei dem Rhombus zum Erfolg führen. Auf jeden Fall bieten sich

einige Möglichkeiten, mit ein paar Funktionen des Programm Geometer’s Sketchpad etwas zu

probieren und die Anwendungen zu festigen.

Als Ergebnis sollte man folgenden Satz erhalten: Wenn in einem Viereck die Diagonalen

senkrecht aufeinander stehen, dann ist das zugehörige Mittenviereck ein Rechteck.

Beweis 4:

Voraussetzung: cba MMM ,, und dM sind Seitenmitten des Vierecks ABCD. BDAC ⊥

Behauptung: Viereck dcba MMMM ist ein Rechteck, also gilt:

addccbba MMMMMMMM ⊥⊥⊥

Beweis: ba MM ist parallel zu AC (siehe Beweis 2). Analog gilt auch, dass cb MM parallel

zu BD ist.

Da BDAC ⊥ nach Voraussetzung gilt, muss auch ba MM ⊥ cb MM gelten. Da cba MMM ,,

und dM zudem ein Parallelogramm ist (Beweis 2), gilt die Behauptung.

qed

Dieses Thema lässt sich auch wieder mit einer Anwendungsaufgabe abschließen.

Aufgabe 7:

Konstruiere ein Viereck ABCD mit a = 9 cm, d = 6,5 cm und α = 75°, so dass sich als

Mittenviereck a) ein Rechteck b) ein Quadrat ergibt!

Hier können ebenfalls nochmals die erworbenen Kenntnisse mit dem Programm geübt

werden. Ähnlich wie in Aufgabe 5 können zunächst die Punkte A, B und D des Vierecks

festgelegt werden. Danach kann man die Diagonale BD einzeichnen und eine Senkrechte von

Punkt A konstruieren. Auf dieser Senkrechten muss Punkt C liegen, damit es ein Rechteck ist.

Konstruiert man nun um den Punkt a noch einen Kreis mit dem Radius der Strecke von BD ,

gibt es einen Schnittpunkt zwischen der Senkrechten und dem Kreis. Legt man dorthin seinen

Punkt C, ist das Mittenviereck ein Quadrat, weil dort die Bedingungen für Rechteck und

Rhombus als Mittenviereck erfüllt sind.

Doch auch damit ist man noch lange nicht am Ende des Themengebietes angekommen.

Zahlreiche weitere Fragen kann man sich stellen. Wie sieht das Mittenviereck beim Trapez

oder beim gleichschenkligen Trapez aus? Was lässt sich über die Fläche des Mittenvierecks

aussagen? Gibt es andere Vierecke, zum Beispiel diejenigen, die sich durch Teilung der

Seiten im Verhältnis 2:1 ergeben, über die man allgemeine Aussagen treffen kann. Wie lässt

sich dieser Inhalt auch auf Körper übertragen, bei denen man sowohl die Mitten der Kanten

als auch die Mitten der Flächen als neue Ecken nehmen könnte? Hier lässt sich eine wahre

Entdeckungsreise vollführen, die den Zeitrahmen ohne Probleme sprengt. Schüler finden

sicher noch viele weitere Ideen, die sich untersuchen lassen. Vorreiter und Namensgeber der

Mittenvierecke, die auch Seitenmittenvierecke oder Varignon-Parallelogramme genannt

werden, ist Pierre de Varignon, der zum Beispiel auch noch diesen Zusammenhang gefunden

hat: Im Viereck schneiden sich die zwei Mittellinien und die Verbindungsstrecke der

Diagonalenmitten in einem Punkt, und dieser ist der Mittelpunkt der drei Strecken.

Die Möglichkeiten sind also unerschöpflich und fördern die mathematische Entdeckungslust

bei Schülern jeden Alters. Selbst in der Oberstufe kann man mit Fragestellungen über das

Sehnen- oder Tangentenviereck noch weitere Aufgaben im entsprechenden

Schwierigkeitsgrad zu diesem Thema finden. Es ist also mehr als nur eine Überlegung wert,

dieses Themengebiet in den Unterricht einfließen zu lassen.

Literatur:

http://www.dynamicgeometry.com/ am02.06.2009 um 10:17 Uhr

http://www.lehrer-online.de/mittendreieck-

mittenviereck.php?sid=68000500832898350320236463646710 am 31.05.2009 um 12:44 Uhr

Lehrplan Mathematik der Berliner Schulen Sekundarstufe 1 von der Senatsverwaltung Berlin

Anhang

1. Beispiel zu Aufgabe 2

2. Beispiel zu Aufgabe 4

3. Beispiel Aufgabe 5

4. Beispiel Aufgabe 7