Bemerkung zu dem Aufsafz von f i n . Ferd. Schleicher iiber die elastische Formanderung krummer Sttibe.

Von R. v. MIS= in Berlln.

ie schbnen Ergebnisse, die Hr. S e h 1 e i oh er in dem voranstehenden Aufsat~ erzielt, lassen sich - dies sei mir gestattet, hier hiuzuzufiigen - in einfachster Weise D ableiten, wenn man die Symbol& der Motorrechung benntrt, die ich kiirzlich in

dieser Zeitschrift. eniwickelt babe’). Ja die beiden HauptsELtse in 4 nnd 8 der Schleioher- schen Arbeit k6nnen fast upmittelbar aus den Formeln im vierten Abschnitt meiner Ans- fiihrnngen iiber. d i e .Anwendungen der Motorreobnunga 9 abgelesen werden 3.

In meiner Arbeit wird gezeigt: Die relative Verechiebung u der beiden Enden ebes geraden Stabes von der Lhge 1, als Motor aufgefafit (die Parallelversohiebung und Drehung gemeintism betraehtet), driickt sich dnrch die $tabhaft @, die an den Stabenden angreift (wobei wieder Besultante uad Moment ale Einae betraohtet werden),

Darin bedeutet K eine Matrix oder motorische Dyade, deren Sehema bei passender Wahl des Bezngssystems nur in der Hauptdiagonale nicht verschwindende Glieder enthfllt, nnd =war wenn .TI, JII die befden HanpttrOgheitsmornente dee Qnerschnittes, E dfe ElastizitEtteeahl, G JuI den Torsionswiderstand bezeiohnet -

so 111s: l l = K . O , . . . . . . . . * . (1).

1

i 1 J I

\ o

0

1

B JII

0

0

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 1 G J i i ~

0 13 0 -

la 0 0 - 12 E J I

~

12 E J3I

0 0 0

. . . (a).

1

E F .- I

Sol1 die Theorie anf krnmme Sttibe angewendet werden, so m d man das Bogendifferential d.9 an Stelle von 1 setsen. Es fallen dann die Glieder in der vierten nnd fhl ten Zeile, da sie von htiherer Ordnung sind, fort. Hebt man nun ds herans nnd bezeiohnet mit K die Matrix

0

0 0 0 0

0 0 0 E JII

0

0 0 1 0 -

Q JIII 0 0 0 0 0 0 0 0

E P 0 0 0

so ist an Stelle von (1) zu schrenen:

u = K Q d u . . . . . , . * . . (1’). /” Diem Formel enthtllt bereits das vollstandige Resnltat von b. Sohleicher fiir einfach und doppelt gekriimmte Stetbe.

I) Dieae Zeitschrift 4, 1924, 8. 155 bia 181 und 183 bis 213. 3 A. a. O., 8. 201. a) Da8 Yannskript voii Hrn. S c h l e i o h e r wkr vor dem Erscheinen meiner Arbelten be! der

Scbriftleitung ehgelmgt.

;MtiIler.Breslau, Zur Berechnung dor Knicklast dos Rahmenstabes 487 _ _ _ - - ~ - B8ft 6

Hineiohtfich dee Beangasystems, fiir das (2) gilt, ist nur eu sagen, dafl der Anfangspwkt der Kctordinaten mit dern j eweils betraohteten, bei der Integration varlablen Pankt der Stabxnittellinfe, die 3.Acbse mit der Btabriahtung, die 1- und 2-Achse mit den Hauptriohtnngen des Qnerschnittes zursammenfallen miissen. Bei der Integration mu% daher beriicksichtigt werden, dafl dar Koordinatensyetem verbderlich ist, so bald man fflr K die einfaehe Form (2’) aufmchterhUt, stat6 anf ein festes System zu transtcrmieren.

F d t man nnr die Wirkung der Momente ins Auge. die in AnechluB an drts Vorhergehende mit %z, %I, ?TJZIII beeeichnet mien, so liefert die erste Vektorkomponente von (1’) die Drehkomponente der Verriichng

+ = + -) % IZX ds . . . . . , . (3) E J I EJII G J m

in Uebereinetimmung mit (15b) der Schleicherschen Arbeit. Stellt man den amlogen Ausdruck fiir die zweite Vektorkomponmte von a ad, so erhglt man eudohst Null, da die drei Resnltant$omponenten, die an Stelle der treten, vernachlilssigt werden eollen. Man mnfl aber j e t a t beachten, da6 der Berugspankt (fiir die Bildung dee Momenta von a) vom ladenden Stabelement ds naeh dem Srabpunkt a versehoben wnrde, desaen Trans- lation eben berechnet werden SOU. Es kommt daher noch der - allein iibrigbleibende - Auedruek hinzn, der von dieser Koordinatenvemohirbnng herriihrt:

wobei t’ den Vektor vom betrachteten Endpunkt nach dem Element ds bezeicbnet. Die G1. (3), (4) bilden die nnmittelbare formelm&8fge Faesung das Schleicherschen Eaufisatzes.

Zieht man auch die Wirkung der Re5ultmtkitLfte in Beiraoht, so Wt ein kleiner Unterschied deahalb anf, weil in (2) und (2’) die Sohnbwirknng der Querkrlifte nicht beriicksiohtfgt iet. Diem Vernachlilssigung, die der tiblichen Anflaesnng entspricht, wonach die Schnbwirkong gepenuber der Biegung versohwindeod klein sei, ksnn natib- lich anch ohne weiteres im Rahmen yon (2) odrr (2’) beseirgt werden, indem man den Gliedern der vierten nnd fiinften Zeile in der Hauptdiagonale den Ausdrnck Z/GF in (2), bww. l / G F in (2‘) hinzngefiigt.

Diese Andentagen magen viel4ioht gedgnet seln, die Anwendbarkeit der neuen Reohnungsweise eur Anschanung zn bringen. 391a

Zur Berehnung der Knicklast des Rahmenstabes. von ‘H. MOUER-BRESLAU in Berlin.

n dem wichtigen Aufsatz BUeber die StabilitPtsprobleme der -Elastizit&ts- theoriea von v. Mideel) steht auf Seite 416 i m iPnschluB an die Mittailung VOII Formeln iiir die Knicklast eines Babmenbalkens der Sate: BVon dem Muller-

Breslaurohen Resultat, das auf dem Wege uber eine Reihe mehr oder weniger will- B-iirllcher Annahmen gewonnen wird, weioht das unsere einigermden aba.

Hierzu bemerke ich, daB die von mir abgeleitete einfache Knlcktormel doht Nr -men tragwerke (wie Stookwerkrahmen, Vierendelbalken . . .) bestimmt ist, sondern nur fiir den aus zwei parallelen, durch Bindebleche verbnndenen Qnrtutlgen beatehenden* im Eisenban vie1 verwendeten Rahmen 8 tab.

Die Entwickbg der Bormel geht vbn einer etrengeren UnteFSnCh~g dee exrentrisch gedriickten Rahmenstsbes aus. Es kam darauf an, durlrh PnlPssigs Verein- fachungen den Ansabes das probeweise Auflaeen tranrzendenter Oleichungen zu v0r- meiden und eine einfaehe ond doch zuverllssige Formel far die Knioklast im *lastisohen Berel che . rn erhalten, die mr Berechnnng der Tragfehigkeit sohlanker fihmenrt#be in ilbnlioher Weiae benntzt werden kmn, wie die fur schlanke einteilige &&be giiltige Euler-Formel. An einigen Beiepielen werden im Folgenden die Ergebnisse dieser Rechnung mit denen der v. Mi s e s schen Formeln verglichen.

1. ver&ldch der FormeIn. Es bereichne I die Stablilnge, die Fcldweite, n die Anzahl der Felder, h den Abstand der Schwerachsen der Qurtquerschnitte, h’ den

I

I) Diem Zettaebrift 1923, 8. 406 bis 432.