Bemerkung zu dor Arbeit yon H. Bohnko:

,,Die Kanten singul~er Mannigfaltigkoiten~). ''

Von HELLMUTH KNESER in Greifswald.

tAus einem Brief an Herrn H. BEHNKE.)

Beim Lesen Ihrer Arbeit fiber die Kanten singularer Mannigfaltig- keiten tier analytischen Funktionen yon zwei Veranderliehen 1) fiel mir

auf, daf die Voraussetzung, die ,,Scharfe" der Kante sei kleiner als ~---,

entbehrlich sein mug. Man tiberzeugt sich namlich leicht davon, daft einer solchen Kante, gerade wenn sie nieht ,analytische Stellung" hat, keine gegenfiber linearen Transformationen der beiden komplexen Ver- anderliehen invariante Gr6fe yon der Art der ,,Schaffe" z,kommt, daft also allgemein der Satz gelten muf: Eine einspringende singuli~re Kante ist analytisch. Genauer formuliert:

Es seien w = u~- iv und z komplexe Veranderliche; die Funktion S(w) ~ S~ (u, v) ~- iS~ (u, v) habe stetige erste und zweite partielle Ab- leitungen nach u und v, und es sei S(0) ~ 0. Die Funktion f ( w , z)

sei regular ftir Iwldr, i z l<s , lampl.(z--S(w) l < r -~ <: r < ~ , aber

singular fiir z-~-S(w). Dann ist S e i n e analytische Funktion yon w. Bei naherer Uberlegung finde ich daffir die folgende Beweis-

anordnung, die natih'lich v o n d e r Ihrigen nicht wesentlich verschieden, aber vielleicht etwas einfacher ist.

Da der Punkt w-----z ~ 0 nicht ausgezeicbnet ist, gentigt es, die Gfiltigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

a~ a& as, a& o, ~ - - - - - o (I) au Ov O.v Ou

bei w = 0 nachzuweisen.

Wahlt man ~ ~ 0 so, dag ftir I w I< ~ die Ungleichung IS(w) I< s . -~ sin y

gilt, so hat der Regulariti~tsradius der F u n k t i o n f ( w , z + 3 ) i n bezug

auf die Veranderliche z (d. h. der gr6gte Radius I~(Wo) derart, daf

f w,z~- regular ist ftir w ~ w o , Izl.<R(wo) denWert - ~ ,

') Abh. a. d. Math. Sere. d. Hamb. Un. 4, S. 347--365 (1926).

152 H. Kneser.

solange [w[ -~ ~ ist. operationen naeh u und v:

2 2

so ist naeh HaaToos ~)

zl~ log S(w)-- 3 ~ O,

2{A, log(S(w)- -3)+A, log(S(w)--3)}

Bezeichnen & und & die bekannten Differential-

"42 ~ -= 9~uu + ~w,

a, ~(w) } 8 - - - - - 8 2

=L{ a~s(w) alS(w) + a~(w) 2 S(w) .~ 8 ( w ) - - S ( w ) - - - -

= 91 ~10. S(w) 9t & S(w) < 0 s ( S ( w ) _ _ ~ ) 2 : " s (w) 3

Fiir w = O, S(w)---~ 0 wird daraus

3 91&S-- 9 3 9 9 - - T V ~ '~ s - s & s~ - - ~ 'l~ ~l + 7 '~l & - <- o.

Wendet man dies an auf die Funkt ion f(w, z--aw) bzw. f(w, z--aiw) mit reellem a, so ist S durch S+ aw bzw. S+ aiw zu ersetzen, $1 und S~ durch Slq-au und S~+av bzw. Sl--av unit S~-ffau. Das gibt

bzw.

3 &81__ , i131+ &S~ s s ~ - Ou ~v ==

- - 3-- & s ' ,J~ s l + 'II & + - - F ~ O v + - G E l = < o .

Da diese Ungleichungen fib' jedes reelle a gelten, mfissen die Koeffizi- enten yon a gleich Null sein, d. h. fiir w = 0 gelten die Gleichungen (1).

~) Math. Ann. 62, S. 1--88 (1906).

G r e i f s w a l d , 26. Mai 1926.