445 Band 11, Heft fi DeZenlber 1931 P 6 1 y a . Bemepkung zur Interpolation u. Naherungstheorie d. Balkenbiegung

Bemerkung zur Interpolation und zur Naherungstheorie der Balkenbiegung.

Von G. Pdlya in Zurich.

ergleichen wir miteinander zwei verschiedene Gleichgewichtslagen eines an beiden Enden V eingespannten, homogenen, schwach gebogenen Balkens. In der ersten Gleichgewichts. lage ist der Balken innerhalb der Auflager unbelastet, also hbchstens durch die Eigen- spannungsmomente verbogen, in der zweiten tragt er irgendwie verteilte Lasten. U m v o n d e r e r s t e n i n d i e z w e i t e L a g e z u g e l a n g e n , m u b s i c h d e r B a l k e n s e i n e r g n n z e n L a n g e n a c h s e n k e n , d. h. j e d e r s e i n e r P u n k t e m u h s i c h dabe i ab - w a r t s b e w e g en. Diesen Satz will ich aus der in der Technik gebrauchlichen B e r n o u l 1 i - E u l e r schen Naherungstheorie der Balkenbiegung herleiten. Selbst wenn man das Resultat ohne weiteres als plausibel ansieht, ist es nicht selbstverstandlich, dah dessen Herleitung aus der besagten Theorie gelingt, denn diese ist ja blob eine Naherungstheorie ; das Gelingen der Herleitung ist m. E. als eine Art q u a l i t a t i v e B e s t a t i g u n g d e r T h e o r i e zu bewerten.

Der Beweis des ausgesprochenen Satzes ergibt sich besonders einfach aus einer ge- laufigen Interpolationsformel von Her m i t e l). Die H e r m i t e sche Interpolationsformel ist sehr allgemein, sie umfabt u. a. die Tay lo r sche Formel und die L a g r a n g e s c h e Inter- polationsformel, beide mit dem Restglied ; immerhin genugt sie nicht zur ahnlichen Behand- lung analoger Fragen aus der Balkentheorie. Eine noch allgemeinere Interpolationsformel wurde von B i r k h o f f aufgestellt z , ; sie ist aber mit einer gewissen Schwierigkeit behaftet, indem vor ihrer Anwendung festgestellt werden muP, ob die Interpolation ,normal" ist oder nicht. Ich werde diese Schwierigkeit in Nr. 1 in einem Fall, der fur alle analogen Anwem dungen auf die Balkentheorie geniigt, beheben, und dann in Fir. 2 den eingangs ausge- sprochenen Satz beweisen und iiberhaupt den Zusammenhang zwischen der Interpolations- aufgabe und der Balkentheorie erlautern.

1. Eine Interpolationsformel. Ich betraclite im folgenden ein Intervall mit den End- punkten a und b , a < b ; ich werde es rnit [ a , b] oder rnit ( a , b) bezeichnen, je nachdem es als abgeschlossen oder offen, d. h. mit oder ohne Einschluh der Endpunkte aufgefaht wird (In der Anwendung wird sich der Balken diesem Intervall entlang erstrecken.)

Ich betrachte ferner eine in [a , b] n-ma1 differenzierbare reelle Funktion (z), die in den Endpunkten a und b den folgenden n Bedingungen unterworfen ist:

q,(h2\ (u) = A , , . . . . . . . . . (1). i @ * f (u) = A , , cp(ka) (a) = A ,

@ E l f (6) = B, , ~ ( 1 2 ) (6) = B, , . . . y(W (h) = Bp Die Anzahl der Bedingungen ist, wie gesagt,

* + p = r z und die ganzen Zahlen k , , . . . , ka , Z, , . . . , lp sollen den Ungleichungen

O ~ k , < k , < . . . < k a 5 n - l , O ~ l , < l , < . . . <ZpSn--l

genugen. Wenn die vorgegebenen Konstanten A , , . . ., A , , B,, . . ., Bp siimtlich als Null angenommen werden, entsteht aus (1) das ,,homogene" Gleichungssystem

. . . . . . . . (2).

Wir wollen die Anzahl derjenigen unter den Zalilen k, , . . . , k , , l , , . . . , l g , die = p 1 p(k l ) (a)=O, y(")(a)=O, . . , ' p ( k d ( a ) = O

~('1) (b ) = 0 , q~(Z2) (b ) = 0 , . . . p7(W ( b ) = 0

ausfallen, mit +tap bezeiclinen ( p ganx, O g p 5 n - I ) . unter den rz Bedingungen (1) auf q ( p ) (x).

Anders gesagt, es beziehen sich rnp Es ist mp = O oder 1 oder 2 , und

un,+m,+m,+. . . + i l ~ ~ - ~ = n .

Es werde noch zur Abkiirzung M, + ml + . . . + wz,, = AT,)

gesetzt; hiernach ist = n . Ferner sei definitorisch = 0 gesetzt. Es gilt dann all- gemein fur p =0, 1, 2, . . . n - 1

M p = M p - , + m , .

1) Oeuvres, Ed. 11, S . 432 bis.443. 2 ) Transactions of the. American Math . SOP. Bd. 7 (1806) 5. 107 bis 136.

Ztschr f angew 446 P 6 1 y a , Bemerkuiig zur Interpolation u. NIherungstheorie d. Balkenbiegung Math. In> Meoh.

I. W e n n d i e g a n z e n Z a h l e n k , , . . , k,, l , , , . ., Zp d e r R e d i n g u n g

M , , z l , M , 2 2 , . . . M p Z p + l , . . LU,l-22+?-l . , , , . (3)

g e n t i g e n , u n d d i e F u n k t i o n q ( x ) d i e B e d i n g u n g e n (2) e r f u l l t , s o v c r s c h w i n - d e t j e d e d e r F u n k t i o n e i i

ql(x), q ' ( x ) , fp"(.r), . . . fp'n-l) (4 i n m i n d c s t e n s c inen i P u n k t e d e s a b g e s c h l o s s e n e n I i i t e r v a l l e s [a, 61.

Leichter als die Beliauptung des Satzes I ist die folgende vollstAndigere Behauptung x u beweisen: @")(a) v e r s c h w i n d e t i n m i n d e s t e n s MP-,--p v e r s c h i e d e n e n P u n k t e n d e s o f f e n e n I n t e r v a l l e s (a , b) f u r p = 0 , 1, 2, . . . n-1. Diese Beliauptung ist ftir p = 0, gemiik der Definition von M - , , nichtssagenderweise richtig. 1st sie fur ein bestimmtcs p , 0 5 p 5 n - 1, richtig, so lint p)(p) (a), gem% (2), im Intervalle [a, b] mindestens

(MP-l-P)+mP=MP-P verscliiedene Nullstellen, und diese Zahl ist, gemah (3), mindestens 1; somit entlialt die jctzige Bchauptung die des Satzes I. 1st aber die jetzige Behauptung fur ein bestimmtes p richtig, so folgt aus dem R o 11 e sclien Satze, dah g / ( p +I) (x) = (p(p) (x))' IiEjcl~stens um Eins weniger verschiedene Nullstellen in (a, b) besitzt, a19 q ( p ) (2) in [a, 61, dafi es also mindestens

(Mo - p ) - 1 = 3fp - ( p + 1)

verscliiedene Nullstellen im offenen Intervalle (a, b) besitzt. Hiermit ist Satz I durch voll- stilndige Induktion bewiesen.

I*. W e n i i d i e g a n z e n Z a h l e n k , , . . ., k a , Z,, . . ., Zp d e r Bec l ingung (3) g e - n i igen , u n d d i e F u n k t i o n p)(x) a u h e r (2) n o c h d i e w e i t e r e B e d i n g u n g e r f u l l t , daB s ie i n e i n e m P u n k t e d e s o f f e n e n I n t e r v a l l c s (a, b ) v e r s c h w i n d e t , s o v e r - s c h w i n d e t a u c h pfn)(x) in m i n d e s t e n s e i n e m P u n k t e von ( a , b) .

( x ) v e r s c h w i n d e t i n m i n d e s t e n s M P - , - - y + l v c r s c h i e d e n e n P u n k t e n v o n (a, b) f ii r p = 0, 1, 2, . . . n . Diese Behauptung besagt fur p = 0 nur, was in der Voraussetzung direkt gefordert wurde; setzen wir sie als schon bewiesen voraus fur ein bestimmtes p p 5 n - 1. Dann hat, gemah (2), y @ ) (x) ini abgesclilossenen [a, b] mindestens

Austatt Satz 1" sei sofort die folgende vollstandigere Behauptnng bewiesen :

(Mp- I -JJ + 1) + my = Mp - P + 1

verschiedene Nullstellen, und folglich hat cy(p f 1) (z), gemlib deni R o 11 e sclien Satze, mindestens

Jl, - P verschiedene Nullstelleii in (a, b) .

11. D i e I n t e r p o l a t i o n s a u f g a b e , e i n P o l y n o m p)(z) vom H b c h s t g r a d e n-1 z u f i n d e n , d a s deli rc G l e i c h u n g e n (1) b e i v o r g e g e b e n e n r e c h t e n S e i t e n A , , ..., Aa, B,, . . . , Bp g e n u g t , ist lo i sbar , u n d z w a r n u r a u f e i n e A r t l b s b a r , w e n n d i e g a n z e n Z a h l e n Ic,, . . ., La, Z,, . . ., Zp d i e B e d i n g u n g (3) e r f u l l e n . W e n n h in- g e g e n (3) n ic l i t e r f i i l l t ist, s o h a t d i e s e I n t e r p o l a t i o n s a u f g a b e e n t w e d e r k e i n e L b s u n g o d e r u n e n d l i c h v i e l e Lbsungen .

Man kbnnte Satz I" kurz daliin zusammenfassen, dah das ,,normale" Verhalten der Interpolationsaufgabe an die Bedingung (3) gebunden ist

Die Redingungen (1) bilden ein System von n linearen Gleichungen fur die zu bc. stirnmenden n Koeffizientcn des Polynoms q (s). Unter allen Gleichungssystemen, die aus (1) clurch Variieren der rechten Seiten A , , . . ., Aa, B,, . . ., Bp hervorgehen, ist in bezug auf eindeutige Lbsbarkeit das homogene System (2) ,,tonangebendu. Daher diirfen wir den Satz I1 in folgender tiquivalenten Form aussprechen : F ti r d i e Ex i s t e n z ei n e s n i c 11 t i d e n t i s c 11 v e r s c h w i n d e n d e n P o l y n o m s cp (a) v o m H b c h s t g r a d n - 1 , d a s d e n G l e i c h u n g e n (2) g e n u g t , ist d i e Nichterfiillung d e r B e d i n g u n g (3) n o t w e n d i g u n d h i n r e i c h e n d .

Hierniit ist Satz 1" bewiesen 7).

Fur eine in [a, b ] (etwa) aualytische, nicht ideutisch veischwindende Funktion y (x) hiitte die in diescm Fall giiltige geuauere Fassung des R o 1 1 e scheii Satzes die Existeuz miiideslens einer N u 1 1 6 t e 1 1 e u n g e r a d e r 0 r d - n u n g fur +) (x) ergeben.

4) B i r k h of f gebrrtucht a. a. 0.2) dss Wort , ,nor~nal'~ in eiuenl verwandteii aber verschiedcimi Sinlie; vgl. iiisbesondere 8. 113 bis 114.

447

a) Wenn die Bedingung (3) nicht erfullt ist, so gibt es ein p , 0 (=p 5 rt - 2 , so dab

Band 11, Heft G Dezember 1931 p 6 1 y a , Bemerkung zur Interpolation‘ u. Naherungstheorie d. Balkenbiegung

JfLJ < P + 1 ist. Man walile 47 (5) als ein Polynom p-ten Grades; dann sind diejenigen Gleichungen des Systems (2), in welchen @ + I ) (z), p(p++2) (x), . . . vorkommen, ohne weiteres befriedigt. Es bleiben noch diejenigen zu befriedigen, in deneii p (z), p’ (x), . . . p?(p) (x) vorkommen. Illre Anzahl ist

W h o + m, + . . . + = XI, < p + 1

und sie enthalten linear und homogen p + 1 verfiigbare Koeffizienten von p (x). Sie k8nnen dalier durch ein nicht identisch verschwiiidendes p (2) befriedigt werden, was zuerst zu zeigen war.

bl Wenn die Bedingung (3) durch die Zahlcn k, . . . . . ka , a , , . . . . Zp und das Gleichungs- system (2) durch das Polynom

y l ( z ) = C , + C , R : + c , X 2 + . . . +c ,_ ,z” - ‘

erfullt ist, so hat, gemah Satz I, p‘n-1’ (x) = (n - l)! C?,-,

( p - 2 ’ (2) = (n - 2)! crL-2 .

mindestens eine Nullstelle in [u, b ] ; somit ist c H p 1 = 0 und

Diese Funktion sol1 aber, wieder gemah Satz I, mindestens einmal in [a, b] verscliwinden; soniit ist c w - 2 = 0. So weiterfahrend findet man, dnS p (2) identisch verschwindet, w. z. b. w.

111. Es s e i d i e B e d i n g u n g (3) e r f i i l l t . Zu e i n e r g e g e b e n r n , i n [ a , 61 r t -ma1 d i f f e r e n z i e r b a r e n , r e e l l e n F u n k t i o n f ( x ) b e s t i m m e m a n d a s P o l g n o m B ( x ) vom H o c h s t g r a d a-1, d a s d e n n. B e d i n g n n g e n

H(”1) ( a ) = f ‘ ” ) ( a ) , H ( k 2 ) (a ) = f ( k 2 ) (a), . . . . H ( k a ) (a ) = p a ) (a )

H ( h ) ( b ) =f ‘U ( b ) , H ( b ) ( b ) = f ( M (b ) , . . ,, H ( W (b) = f ( W (b )

g e n i i g t , f e r n e r d a s P o l y n o m n - t e n G r a d e s

init d e m h o c l i s t e n K o e f f i z i e n t e n l /n. ! , d a s d e n B e d i n g u n g e n

. . . . . . . . . . . . . (5)

gen i ig t . F e r n e r k a n n m a n zu j e d e m P u n k t z a u s ( a , a) e i n e n P u n k t E e b e n f a l l s a u s ( a , b) f i n d e n , s o daf3

g i l t .

herigen Untersuchung. Wenn

1 ““1, (a) = N(k?) (a) = = “ka) ( a ) = 0

N(h1 (a)= N(Z2) (b )= . . . = N(W ( b ) = O

D a n n i s t N ( s ) von k o n s t a n t e m V o r z e i c l i e n i n ( a , b).

f (z)= H ( x ) + N ( x ) f ” b ’ ( g . . . . . . . . . . . . . . . (6)

Formel (6) ist eine Interpolationsformel mit Restglied ; sie bildet das Hauptziel der bis-

- 1 1 2 . , = Y k z l = , . . - “ n - l = 1 , a = n , p = o , k,=O, k , = 1 , . . . k % = t ~ - l

ist (die Z gibt es dann gar nicht), so geht (6) in die Tay lo r sche Formel mit Restglied iiber. H (x) ist eine I,iisung der homogenen linearen Diff erentialgleichung

an3 z n = O . . . . . .

N (x) eine der nicht-homogenen Gleichung

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

(daher die Bezeicltnungen). - Zum Beweise von Satz I11 beinerke man:

1'6 1 y a , Bemerkung zur Interpolation &. Naherungstheorie d. Balkenbiegung Ztschr. Math. uud f .angew. ~ ~ ~ h . 448

a) H ( x ) ist gemak Satz I1 eindeutig durch die Bedingungen (4) bestimmt.

b) Wird

gesetzt, so ergibt (5) ziir Bestimmung des Polynoms q~ (2) vom Hochstgrade 12 - 1 ein System von

c) N ( x ) hat keine Nullstellen in (a, b) . Hatte es nanilich eine, so wurde es aus Satz I" folgen, dalj

in einem Punktc von (a, b) verschwindet, was offenbar nicht der Fall ist.

C so bestimmen, dab

Gleichungen von der Form (l), welches q ( x ) , gemab Satz 11, cindeutig bestinimt.

""' (x) = 1

d) Es sei xu ein Punkt von (a, 6) . Dann kann man, da ja N(xo)*O ist, eine Konstante

. . . . . . . . . . . . . . . f ( . ro)=H(x, ) f C N ( x , ) * (9)

(p (z) = f (z ) - H ( s ) - C N ( & )

gilt. Die Funktion

erfullt, wegen (4) und (j), die Bedingungen (2) und hat des weiteren, gemiiiti (Y), im Punkte xo von (a, b) eine Nullstelle. Satz I" ergibt die Existenz eines Punktes [ von ( a , a), so dak

. . . . . . . . . . . . . . . . . p"l' (t) = f'"' (6) - c = 0 (10) ist; zur Berechnung von p'"'(x) beaclite man, dak H ( z ) die G1. (7) und N ( s ) (8) be- friedigt. Wird der der GI. (10) entnommene Wert von C in (9) eingesetzt, so ergibt sich die herzuleitende Formel (6) fur x=x,, wobei x, in ( a , b) willkurlich gew2lilt werden darf.

Die hiermit bewiesene Formel (6) kreuzt sich mit der H e r m i t eschen in dem Spezial- fall, in welchem

k , = 0 , k ,=1, . . ., k a = u - l , Z i = O , 7 , = l , . . ., 2 p z p - l

ausfallt. Sie pafit in den Rahrnen der noch allgemeineren Bi rkhoffschen Formel; es ist der B i r k h o f f schen Arbeit gegenuber nicht nur die Herleitung, sondern vor allem die Auf- klarung der Rolle der Bedingung (3) neu. (Vgl. a. a. 0.)

2. Anwendung auf die Balkenbiegung. Die Differentialgleichung fur die Gleichgewichts- lage des lioinogenen Balkens schreibe ich in der Form

dP y m=y(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y bedeutet die vertikale Verschiebung des zur Abszisse x gehorigen Punktes, wobei Abwarts- verschiebungen positiv gerechnet sind; q (x) ist der Belastung pro Langeneinheit proportional. Wir nehmen eine nach abwarts wirkende Last, also

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . q ( z ) > O . (12) an. diese Falle gehoren bzw. zu den Gleichungen

Wichtige besondere Falle sind der unbelastete und der gleichniai6ig belastete Balken,

. . . . (7').

d4 ?j 1 . ' & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dx'-

(7'), (8') sind Spezialfiille von (i'), (8) fur n = 4 . Somit werden die Resultate der Nr. 1 an- wendbar; Satz I1 kann uns uber die zulassigen Randbedingungen, Satz I11 iiber den yuali- tativen Verlauf Aufschluk geben, wie es sofort ausgefiihrt werden soll.

Physikalische Aufgaben fuhren meistens zur Bestimmung einer Partikularlosung von (11) durch die Angabe von je zwei der folgenden 4 Grijken: Verschiebung, Richtung, Moment und Querkraft fur jeden der beiden Endpunkte. Wenn die Endpunkte bei den Abszissen a und b liegen und die gesuchte Partikularlosung mit y = f (2) bezeichnet wird, so werden also insgesamt 4 von den folgenden 8 Groken

f ( 4 , f ' ( n ) , f " (a> , f " ' (a ) , f ( b ) , f ' ( b ) , f " W , f " ' ( b ) . * * . . (13)

4-29 Band 11, Heft G Dezelnber 1931

vorgegeben. Uai die Sachlage von der matliematisclien Seite her zu iiberblicken, betrachten wir allgemeiner solclie Randbedingungen, die in der Vorgabe von i r g e n d w e 1 c li e n 4 unter den in (13) aufgezahltcn 8 Grofien bestehen und frzgen wir : W el c h e R a n d b c d i n g u n g en s i c h e r n d i e E x i s t e n z e i n e r e i n d e u t i g b e s t i m m t e n L o s u n g ?

Die allgemeine Losung von (11) entstelit aus einer speziellen Losung von (11) durcli Hinzufiigen der allgemeinen Losung von (7'), d. h. eines beliebigen Polynonis q(a) vom Hochst- grad 3; die Randbedingung ergibt fur V(X) ein System von 4 Gleichungen von der Gestalt (1). Die gestellte Frage ist also durch den Spezialfall ~ = 4 des Satzes I1 schon vollstandig be- antwortet: W e n n d i e A u s w a l i l d e r 4 v o r z u g e b e n d e n G r 8 b e n a u s (13) d i e B e - d i n g u n g (3) e r f i i l l t , s o e x i s t i e r t e i n e u n d n u r e i n e L o s u n g , w e n n s i e a b e r d i e s e B e d i n g u n g (3) n i c h t e r f i i l l t , s o g i b t e s e n t w e d e r k e i n e L i i sung o d e r u n e n d 1 i c h v i e 1 e L o s u n g e n. Wenn wir z. B. einen an beiden Enden eingeklemmten Balken betrachten, SO gehen wir die 1 Groken f ( a ) , f ' ( a ) , f ( b ) , f ' ( b ) vor und wir kbnnen die Existenz einer eindeutig bestiminten Losung aus physikalisclien Griinden verstehen. Wir kiinnen aus Satz I1 die Existenz und die Eindeutigkeit der Losung beweisen durch clie Verifikation der Bedingungen (3): Es ist jetzt, rnit den Bezeichnungen der Kr. 1,

1' 6 1 y a , Beirierkung zur Interpolation u. Nal~e~.u~igstheorie d. Balkenbiegung

a=/3=2 , Ic, = 7, = 0 , k , = 1, = 1, m , = m , = 2 , w2=in8=O, Mo=2, M I = M , = M 3 = 4

und die Bedingung (3) ist erfiillt, da ja 2 2 1 , 4 2 2 , 4 2 3 .

Die Existenz und die Eindeutigkeit der Losung wurde sich iibrigens in diesem Falle auch aus der Untersuchung von H e r m i t e a. a. 0. ergeben. Satz I1 fuhrt aber in allen analogen Fallen zur Entscheidung, und man stellt mit Leichtigkeit folgendes fest: Randbedingungen

von der betrachteten Art gibt es offenbar =70; von diesen liaben nur 42 die Eigenschaft,

eine eindeutig bestimmte Losung sichern zu kbnnen, und diese Eigenschaft ergibt sich nur in 5 Fallen unmittelbar aus dem Ergebnis von H e r m i t e ').

Urn nun ein Beispiel zum Satz 111 zu haben, kehren wir zur eingangs gestellten Frage iiber die zwei Gleichgewichtslagen des an beiden Enden eingeklemmten Balkens zuriick. Die Gleichgewichtslage des unbelasteten Balkens wird durch eine Losung der homogenen GI. (?'), also durch ein Polynom 3. Grades H ( x ) gegeben, die des belasteten Balkens durcli eine Losung y = f ( z ) von ( l i ) , und die gleiche Einklemmung an den beiden Enden wird durch die Gleicliungen

ausgedriickt, die also einen Spezialfall der in Satz I11 auftretenden GI. (4) bilden. Das da. selbst auftretende Polynom N ( z ) ist jetzt, wie es sic11 leicht aus dem gegenwartigen Spezial- fall des Systems (5) ergibt, von der Gestalt

("1

H ( a ) = f ( a ) , H ' ( c c ) = f ' ( a ) , H(D)=f(b), , H ' ( b ) = f ' ( b )

(x - a)' (II: - 6)2 21 N ( x ) = 7

und mit Beachtung hiervon und der Differentialgleichung (11) lakt sic11 (6) so schreiben:

Hieraus ist auf Grund von (12) evident, dah die Verschiebung f (z ) im belasteten Fall grofier ist als die Verschiebung H ( x ) im unbelasteten Fall, w. z. b. w. ').

Wenn man an Stelle der Einklemmung der beiden Enden den homogenen Balken unter anderen Randbedingungen behandelt, so kommt man zu einem analogen qualitativen Ergebnis durch eine analoge Verwendung des Satzes 111, wobei insbesondere dessen auf N ( x ) bezug licher Teil in Wirkung tritt. Die entsprechenden Fragen uber den inhomogenen Balken be- n8tigen eine Erweiterung der Untersuchung der Nr. 1 bzw. deren Vereinigung mit einer an anderer Stelle durchgefuhrten Untersuchung 7. Ahnliche Fragen uber die Platteiibiegung usm. legen die Ausdelinung auf lineare partielle Differentialgleichungen nalie ; in formaler Hinsicht ist der Weg ja klar, aber es bestehen wohl noch sehr betrachtliche sachliche Schwierigkeiten.

165 5 ) Die Zahlen 70, 42, 5 reduzieren sich anf 38, 22, 3, wenn solche Falle, die durch Vertauschung der beiden

6) Der Beweis E B t sich unter Beachtung der an Satz 1' angehangten Anmerkung 3) auch unter der Bedingurig

7) G. P 6 l y a . Transactions of the American Math. SOC. Bd. 24 (1922) S. 312 bis 324; wie beide Untersrlrhungen zu Vgl. noch D. V . W i d d e r , daselbst,

Balkenendeli iueinander iibergehen, nicht unterschieden werden.

Q ( x ) g 0 , q ( x ) zb 0 erbringen.

vereinigen sind, geht am der Parallelisierung des Gedankenganges hervor. Bd. 26 (1924) 8. 385 bis 394.