Überblick Verfahren für Ordinaldaten - tu- · PDF filet‐Test für Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten Test parametrische Entsprechung Testmethoden fü Odi ldt Unterschiede

13.05.2009

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methodenlehre ll – Verfahren für ordinalskalierte Daten

• Verfahren zur Analyse ordinalskalierten Daten

Thomas Schäfer | SS 2009 1


U T t h t‐Test für

Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten

Test parametrischeEntsprechung

Testmethoden fü O di ld t

Unterschiede bei unabhängigen Stichproben

U‐Test nach Mann & Whitney

t Test für unabhängige Stichproben

H‐Test nach Kruskal & Wallis

einfaktorielleVarianzanalyse

Unterschiede bei Wilcoxon‐Test

t‐Test für abhängige Stichproben

Thomas Schäfer | SS 2009

für Ordinaldaten abhängigen Stichproben

Stichproben

Friedman‐TestVarianzanalyse mit Mess‐

wiederholung

Zusammenhänge Spearman‘s RhoKendall‘s Tau

Produkt‐Moment‐Korrelation

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Wiederholung Skalenniveaus



• wenn Ordinaldaten vorliegen (z.B. Rangplätze)• wenn die Voraussetzungen für parametrische Testverfahren

deutlich verletzt sind (z B sehr schiefe Verteilungen) und sehr

Nonparametrische Verfahren für Ordinaldaten

deutlich verletzt sind (z.B. sehr schiefe Verteilungen) und sehr kleine und/oder unterschiedlich große Stichproben vorliegen

Beispiel für eine nicht‐normalverteilte Größedie Normalverteilung kann z.B. mit Hilfe des

Kolmogorov‐Smirnov‐Tests geprüft werdenein signifikantes Ergebnis bedeutet hier, dass die

Daten nicht normalverteilt sind


• die Teststärke ist deutlich geringer als bei parametrischen Verfahren!

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Nonparametrische Verfahren für Ordinaldaten



Der Grund für das Ende einer Partnerschaft war/wäre …1 = stimme überhaupt nicht zu

5 = stimme voll und ganz zu1 2 3 4 5

Unterschiedliche WohnorteProbleme mit den Verwandten des Partners

Beispiel für nicht‐normalverteilte Daten

Probleme mit den Verwandten des Partnersein Seitensprungdie Meinung von Freundendas Verhalten des Partners


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• nonparametrisches Verfahren für Vergleich von 2 unabhängigen Stichproben hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz anhand der mittleren Ränge

U‐Test nach Mann und Whitney

Tendenz anhand der mittleren Ränge

• Beispiel: Reaktionszeiten in msec

Sind die Reaktionszeiten beim Medikament größer?

Daten sind eindeutig nicht


normalverteilt

nonparametrisch testen


was sind die mittleren Ränge?


unterscheiden sich diese mittleren Ränge signifikant voneinander?

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• Henry Mann und Donald Whitney (1947)

• kann ein‐ oder zweiseitig testen


• Berechnung von U (Rangplatzüberschreitungen) für jeden Wert in Gruppe 1: wie viele Werte in Gruppe 2 haben größeren Rangplatz?

⇒ Summe der Rangabweichungen = U‐Wert• entsprechend Berechnung von U´ für

Rangplatzunterschreitungen (U´ wird nur benötigt, da für den


gp g ( g ,Signifikanztest immer der kleinere der beiden Werte benutzt werden muss)

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Rangplatzüberschreitungen (für jeden Wert in Gruppe 1 schauen, wie viele Werte in Gruppe 2 einen größeren Rangplatz haben):

oder einfacher:

(T1 = Summe der Rangplätze in


Gruppe 1)

entsprechende Rangplatzunterschreitungen:

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Signifikanzprüfung in kleinen Stichproben:• U‐Verteilung liefert kritischen Wert

d kl i W t U b U‘ i d P üf h


• der kleinereWert von U bzw U‘ wird zur Prüfung herangezogen

• er muss gleich oder kleiner sein als der kritische Wert

Signifikanzprüfung in großen Stichproben• der U‐Wert ist hier annähernd normalverteilt

• daher wird der U‐Wert in einen z‐Wert umgerechnet und dieser geprüft:


Standardfehler: Erwartungswert von U:


U‐VerteilungAlpha einseitig von 5%, zweiseitig von 2%


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• haben zwei Personen den gleichen Wert, erhalten sie auch denselben Rang, d.h. sie teilen sich die beiden entsprechenden Ränge

Problem beim U‐Test: Rangbindungen (Ties)

entsprechenden Ränge

• z.B.: die Ränge 10 und 11 in einer Rangfolge fallen auf zwei Personen, die beide denselben Wert haben sie erhalten beide den Rang 10,5

• damit ist eine „Trennung“ der beiden Gruppen natürlich nicht mehr möglich die Teststärke sinkt!


• bei zu vielen Ties: Korrekturverfahren anwenden

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Rechenbeispiel

Der Grund für das Ende einer Partnerschaft war/wäre …1 = stimme überhaupt nicht zu

5 = stimme voll und ganz zu1 2 3 4 5

Unterschiedliche WohnorteProbleme mit den Verwandten des Partnersein Seitensprungdie Meinung von Freundendas Verhalten des Partners

Frauen Männer

2 2

5 5


5 3

5 4

5 1

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• nonparametrisches Verfahren zum Vergleich der zentralen Tendenz bei abhängigen Stichproben

h ff b l

Wilcoxon Test (Vorzeichenrangtest)

• verwendet die Vorzeichen der aus den Differenzen gebildeten Rangwerte, um zu entscheiden, ab sich ein Unterschied zwischen den zwei Treatments ergibt

• (nicht zu verwechseln mit dem Vorzeichentest – dem nonparametrischen Test für Anteile)



• Beispiel:

• Vorgehen:


1. Differenzen bilden2. Rangplätze für die

absoluten Differenzen vergeben

3. Differenzen von 0 bleiben unberücksichtigt

4. Summe der Rangplätze der positi en Differen en


positiven Differenzen bilden

5. Summe der Rangplätze der negativen Differenzen bilden (Ties bei den Personen 1, 4 und 6 – sie haben alle eine

Differenz von 2 bekommen daher alle den Rang 3 zugewiesen [Mittelwert der Ränge 2, 3, 4])

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Summe der Rangplätze der negativen Differenzen:

Summe der Rangplätze der positiven Differenzen:


• laut Nullhypothese sollten T‐ und T+ gleich groß sein• zur Prüfung auf Signifikanz wird auch hier der kleinere der beiden

Werte herangezogen• dieser sollte kleiner oder gleich dem kritischen Wert für T sein


T‐Verteilung

Die Stichprobengröße in unserem Beispiel beträgtunserem Beispiel beträgt n = 8, da die Person mit der Differenz von 0 nicht berücksichtigt wird!


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• zum Vergleich der zentralen Tendenz anhand der mittleren Ränge aus drei oder mehr unabhängigen Stichproben

H‐Test nach Kruskal und Wallis

Tj = Rangsummen pro Stichprobe j



• zum Vergleich der zentralen Tendenz, wenn eine Stichprobe in k Bedingungen getestet wird

Friedman‐Test (Rangvarianzanalyse)

• die Testgröße ist annähernd Chi Quadrat verteilt mit k 1

Tj = Rangsummen pro Spalte für die k Bedingungenk = Anzahl der Messzeitpunkte


• die Testgröße ist annähernd Chi‐Quadrat verteilt mit k‐1 Freiheitsgraden

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• zur Prüfung von Korrelationen bei ordinalen Daten

• die Daten müssen als Ränge vorliegen

Rangkorrelation nach Spearman

• wenn das nicht der Fall ist, müssen die Werte jeder der beiden Stichproben in eine eigene Rangreihe gebracht werden

• Prüfgröße: Spearman‘s Rho ρ

• die Prüfgröße ist t‐verteilt und kann damit wie die normale Korrelation geprüft werden

• Problem: Spearman‘s Rho setzt gleiche Intervalle zwischen


Problem: Spearman s Rho setzt gleiche Intervalle zwischen aufeinander folgenden Rangwerten voraus!

schwierig zu prüfen

besser: Kendall‘s Tau verwenden

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• Anwendung wie Spearman‘s Rho, allerdings ohne die Voraussetzung gleicher Rangintervalle

l h “ k l

Rangkorrelation nach Kendall

• also eine „echte“ Rangkorrelation

• Prüfgröße: Kendall‘s Tau τ

• die Prüfgröße ist z‐verteilt


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• testen beide den monotonen Zusammenhang zwischen zwei Variablen

b h b l b hb k k

Sperman‘s Rho und Kendall‘s Tau im Vergleich

• sind aber nicht beliebig austauschbar und können stark voneinander abweichen

• Spearman‘s Rho entspricht der Produkt‐Moment‐Korrelation

• da hier die Differenzen von Rängen eingehen, muss gerechtfertigt sein, dass Rangdifferenzen tatsächlich gleich inhaltliche Differenzen abbilden


• Kendall‘s Tau basiert nur auf der Anzahl von Größer‐/Kleiner‐Relationen

• verwendet also rein ordinale Informationen

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Rangkorrelation


auch bei nicht‐linearen Zusammenhängen bietet sich eine Rangkorrelation an (solange die Monotonie‐Bedingung erfüllt ist)

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• Problem bei nonparametrischen Verfahren für Ordinaldaten: Effektgrößen sind schwer oder gar nicht bestimmbar

• damit sind auch keine Aussagen über die Power möglich

Effektgrößen und Power

damit sind auch keine Aussagen über die Power möglich• eine „grobe“ Abhilfe: Powerbestimmung wie bei

korrespondierendem parametrischen Testals grobe Annäherungführt meist zu einer Überschätzung der Powerkann nur angewendet werden, wenn der jeweilige Test als Alternative zu einem parametrischen Test gemacht wurde (also nicht bei echten Rangdaten)


nicht bei echten Rangdaten)• für eine grobe Abschätzung der Effektgrößen: den p‐Wert des

nonparametrischen Tests in den Testwert (z.B. den t‐Wert) des entsprechenden parametrischen Verfahrens zurückrechnen (z.B. mit einem Programm) und anschließend für diesen die Effektgröße bestimmen

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Zusammenfassender Überblick der Testverfahren


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