Bericht zur Prfifung im September 1997 fiber Pensionsversicherungsmathematik (Spezialwissen)

Edgar Neuburger (Miinchen)

In der Zeit vom 22. bis 24. September 1997 ffihrte der Berichterstatter zusammen mit Herrn Dipl.-Math. Hartmut Engbroks ein Grundlagenseminar der DGVM fiber Pensionsversicherungs- mathematik durch, das vom IVS-Institut der Versicherungsmathematischen Sachverst~indigen for Altersversorgung anerkannt wird. Im AnschluB an dieses Seminar bestand die M6glichkeit, vor dem IVS-Institut als Teil der Gesamtpriifung dieses Fachgebiet prfifen zu lassen, Die erfolgreiche Teil- nahme an dieser Teilprfifung stellt eine Prfifung im Sinne vonw 4 Abs. 1 Buchst. b der Satzung der DGVM bzw. im Sinne vonw 4 Abs. 1 Buchst. b der Satzung der DAV dar und bot daher den Teilnehmern die M6glichkeit, eine der Aufnahmebedingungen ffir die Mitgliedschaft in der DGVM bzw. in der DAV zu erffillen. 15 yon 17 Teilnehmern haben die Priifung mit Erfolg bestanden. Den erfolgreichen Teilnehmern wird ihre Priifungsurkunde anl~i61ich der Mitgliederversammlung der DGVM bzw. der DAV am 30. April 1998 in Ulm fiberreicht werden. Die Prfifung bestand aus einer dreistfindigen Klausur, in der vier Aufgaben zu 16sen waren. Aufga- ben und Musterl6sungen 1 und 2 stammen von Herrn Hartmut Engbroks, Aufgaben und Muster- 16sungen 3 und 4 vom Berichterstatter. Insgesamt mul3ten mindestens 48 Punkte von 120 mfglichen Punkten erreicht werden. In Aufgabe 1 wurden maximal 18 Punkte, in Aufgabe 2 maximal 30 Punkte, in Aufgabe 3 maximal 40 Punkte und in Aufgabe 4 maximal 30 Punkte erreicht.

Aufgabe 1 (20 Punkte)

Geben Sie, ausgehend yon der allgemeinen Formel ffir Barwerte, jeweils eine Formel ffir folgende Verpflichtungen gegeniiber einem am Bewertungsstichtag (31.12.) x-j/ihrigen Rentner an:

1. Zahlung eines Weihnachtsgeldes WR an den Rentner jeweils zum 1.12. eines jeden Jahres, solange der Rentner den Zahlungstermin erlebt.

2. Zahlung eines Weihnachtsgeldes WW nach Tod des Rentners an seine Witwe jeweils zum 1.12. eines jeden Jahres, solange die Witwe den Zahlungstermin jeweils erlebt.

Li~sung:

Die allgemeine Formel fiir den Barwert einer Pensionsverpflichtung gegenfiber einem x-j~ihrigen Berechtigten (B 0 lautet:

B~ = ~ v kkpx' kf'x k > 0

mit h

kLx = kL(x O) + E kL(x i) qx+.-(i) i = l

und

~L~~ Erwartungswert der Leistungen, die durch Erreichen des Alters x + k in der Hauptgesamtheit im Intervall Ix + k, x + k + 1[ verursacht werden, diskontiert auf den Zeitpunkt x + k. Erwartungswert der Leistungen, die durch das Ausscheiden im Intervall [x + k, x + k + 1[ wegen der Ursache i (1 < i < h) ausgel6st werden, diskontiert auf den Zeitpunkt x + k.

Fiir einen Rentnerbestand gilt: h = 1, q~l) = qx ffir alle x. Dann gilt ffir 1.:

11

kL~ ~ = v i i ' WR" ~Px+k ffir alle k und

kL~ 1) = 0 fiir alle k.

421

und f/Jr 2.: kL~ ) = 0 fiir alle k und

kL(x 1) ----- h,+�89 - - " 5,s ,,~ vT~ 12 "]'~ "py(x)+Tf "l-~2PY{x)+fi' k=l~'~ vkll~'~PY(x)+k 'V T~ WW.

Dabei ist ber~icksichtigt, dab im Todesjahr des Mannes in den F~illen, in denen der Tod vor dem I. 12. des J ahres eintritt (Wahrscheinlichkeit II/12) ein Weihnachtsgeld fiir die Witwe f'~illig wird. Die mittlere Zeit zwischen dem Tod des Mannes und dem I. 12. betr~igt fiir diese F~ille 5,5 Monate.

Aufgabe 2 (30 Punkte)

Die Versorgungsordnung einer Firma sieht die Zahlung yon Alters-, Invaliden- und Witwen-/ Witwerrenten vor. Die H6he der Renten betr~igt fiir jedes von h6chstens 30 vollen Dienstjahren 0,5% des rentenf'~ihigen Einkommens. Auf die Renten nach der Versorgungsordnung werden Ren- ten aus einer Pensionskasse angerechnet. Die Pensionskasse zahlt keine Hinterbliebenenrenten. Alle Renten werden monatlich vorsehiissig gezahlt. Ein Anw~irter auf Leistungen der Versorgungsordnung wurde am 1.5. 1957 geboren und trat am 15.9. 1979 in die Dienste der Firma ein. Sein rentenf'ahiges Einkommen am Bewertungsstichtag bel~iuft sich auf monatlich 5000 DM. Die Anwartschaft auf Alters- und Invalidenrente aus der Pensionskasse betr/igt monatlich 500 DM.

I. Geben Sie in der Terminologie der Richttafeln eine Formel fiir den Teilwert der Verpflichtung aus der Versorgungsordnung zum 31.12. 1997 an. Dabei soil als Altersgrenze die Vollendung des 65. Lebensjahres unterstellt werden. Werten Sie die Formel unter Verwendung der beigefiigten Tabellenwerte aus.

2. Bestimmen Sie den Teilwert gem/iB 1. ohne Beriicksichtigung der Anrechnung der Rente aus der Pensionskasse.

3. Bestimmen Sie den Teilwert fiir eine Versorgungsanwartschaft in H6he der Pensionskassenrente. 4. Vergleichen Sie den Teilwert gem/iB 1. mit der Differenz der Teilwerte gem/iB 2. und 3. und

diskutieren Sie das Ergebnis.

L6sung :

Das versicherungstechnische Alter am Stichtag (31�9 12. 1997) des am 1.5. 1957 geborenen Berech- tigten betr~igt 41 Jahre. Das Finanzierungsbeginnalter im Sinne vonw 6a EStG ist das steuerlich vorgeschriebene Mindestalter 30, da das versicherungstechnische Alter am Beginn des Wirtschafts- jahres (22 Jahre) niedriger ist. Der Leistungsverlauf wird nach der Riickrechnungsmethode, ausgehend von erreichbaren 42 vollen Dienstjahren im Alter 65, mit einem Beginnalter von 6 5 - 42 = 23 Jahren bestimmt. Durch die Anrechnung der Pensionskassenrente in H6he von 500 DM mtl. oder 20 x 0,5% x 5000 DM beginnt die verbleibende Betriebsrentenanwartschaft am 21. Dienstjahr mit einem Monatswert von 0,5% x 5000 DM = 25 DM und steigt um diesen Betrag bis zum 30. Dienstjahr im Alter 53 ein- schlieBlich an. Die Witwenrentenanwartschaft betr~igt f/Jr jedes Jahr vom Alter 23 bis 53 einschlieB- lich monatlich 25 DM. Damit ergibt sich fiir die gesuchten Teilwerte folgendes:

zu 1.: Barwert der Leistungen im Alter 41 :

�9 D ~ D~4 D~4 ] [ ~ 4 4 . (12)~,iA . 25 -- r 25 + Ct2)a~] - 17" 25 + ~12~,~. 25 -- ~ 1 2 ) ~ . 25 12 LD,~ 9 44 D~.I DI 1

F7235,65 �9 48,268 �9 25 + 1,293 �9 17 - 25 3591,95 = 12.L8755, 58 55,887- 25 8755,5~

21,166.25 3591,95 1 + 8755,5~" 16,509.25 ._1

= 18827.

422

Barwert der Leistungen im Alter 30:

l- " D ~ , 1 1 2 ) ~ . (12)a~ ~ . . _ D 4 , . ( 1 2 ) ~ . 25 - �9 25 + �9 6 25 + ( 1 2 ) ~ 25 1 2 ' D ~ o D~o

.[7235,65 3591,95 48 ,26 8 -2 5+0 ,779 .6 .25 = 12 5 5 , 8 8 7 . 2 5 - 17149,-------9" L ~

3591,95 .16,509.251 + 18,829"25 - 17149,-------9

= 10055.

Daraus ergibt sich einTeilwert von a 11,857

18827 - 10055. a41'2-~I= 18827 - 1 0 0 5 5 . - - = 10507. a~o.3-~ 14,329

Zu 2.:

Barwert der Leistungen im Alter 41 :

12" I ( ' 2 ) a~ 17" 25 + ~12)g~. 25 _ D~tD~'" ( t 2 ) ~ . 25

+ ( t2)a]] .17.25 + (t2)a]~'25 _ D ~ , . ( 1 2 )~ . 25 / D] :

I 3591,95 48,268.25 = 1 2 ' 2,941 "17"25+54,911"25 8755,58

3591,95 16,509' 25] + 1,293"17-25 + 21,166-25 8755,58

= 36444.

Barwert der Leistungen im Alter 30:

' (12)aaiA 25-- D~4 �9 ( 1 2 ) ~ . 25 12' II2)a~" 6" 25 + ~3o ' D~ ~

+ (t2)a~ - 6" 25 + ( t 2 ) ~ . 25 - D~, . (12)g~. 25 / D~o

3591,95 .48,268.25 = 1 2 . 1 ,644 .6 .25+45 ,471"25 17149,~

3591,95 + 0,779-6"25 + 18,829-25 - - -

17149,9 = 19581.

Daraus ergibt sich ein Teilwert von

36444 - 19581 �9

Zu 3.: Barwert der Leistungen im Alter 41 :

11,857 = 20241.

14,329

12- 500" (12)a~i~ = 12' 500.2,941 = 17646.

Barwert der Leistungen im Alter 30: 12 �9 500 �9 (12)a~ = 12 - 500.1,644 = 9864.

Daraus ergibt sich ein Teilwert von 11,857

17 646 - 9864 9484. 14,329

.16,509.25]

D~* . ( 1 2 ) ~ . 25] D~o J

423

Zu 4.:

Die Teilwertdifferenz 2. abzgl. 3. betr/igt 2 0 2 4 1 - 9 4 8 4 = 10757 und ist damit gr6Ber als der Teilwert gem~i$1, in H6he von 10507. Die Differenz der Teilwerte fiir die Gesamtleistung einerseits und der anrechenbaren Rente aus der Pensionskasse andererseits ist daher nicht identisch mit dem Teilwert der Differenzleistung. Der Teilwert ist also in diesem Sinne nicht additiv. Ursache ist im vorliegenden Fall, dag bei Ansatz der Differenz der Teilwerte in der Zeit vor dem Alter 44 implizit negative Rentenanwartschaften bewer- tet werden, w/ihrend bei Bewertung der verbleibenden Differenzleistung negative Rentenanwart- schaften ausgenullt werden. Darfiber hinaus wirkt sich der sogenannte Wartezeiteffekt aus, der darauf zurfickzuffihren ist, dab die Teilwertpr~imie auch yon den hier unterschiedlichen fiktiven Leistungsverl/iufen beeinfluBt wird, die die Zeit vor dem Bewertungsstichtag betreffen. So ergeben sich bei der Differenzbetrachtung im Vergleich zur Bewertung der Differenzleistung ein nahezu identischer Barwert am Stichtag (36444 - 17 646 = 18 798 im Vergleich zu 18 827), jedoch deutlich unterschiedliche Barwerte im Alter 30 (19 581 - 9864 = 9717 im Vergleich zu 10 055). Dies fi~hrt bei der Differenzbetrachtung zu einem geringeren Pr/imienabzug und damit zu einem h6heren Teilwert.

Aufgabe 3 (40 Punkte)

Im folgenden wird davon ausgegangen, dag die Zahlungen von Renten mit ,,deterministischer F/illigkeit" erfolgen, d.h. also z. B. bei monatlich vorschiissiger Zahlungsweise, dal3 bei Eintritt eines Versorgungsfalles innerhalb eines Monats die 1. Zahlung zum Beginn des ngchsten Monats erfolgt, wie im Formelwerk der ,,Richttafeln" von Heubeck vorgesehen.

1. Drficken Sie a~ ~ durch -~o a x aus. (t) (t) a (t) a 1 2. Driicken Sie ~ durch a, aus ( a x: bis zur Altersgrenze laufende Aktivenrente, 7 - vorschfissig

zahlbar).

3. Bekanntlich gilt V x und t p - p

( t )__ x (t) a 1 x - l ~ ( 0 a i x a x - ~ ( a ,+~ 1,

sowie analog fiir die nachschiissigen Rentenbarwerte

i a a -(t) Ix -- Ix ,o i "x = 1 (<~ + ")a~'iA) + - - " a ~ .

Zeigen Sie, dab hieraus folgt: (t)a~i = (t)axai ,

4. Zeigen Sie, dab dieses Ergebnis unter Benutzung des fiblichen Ansatzes ffir (t)a~i b z w . (t)a~ti sowie des Ansatzes

�9 1 . h . ) O)a', +�89 = -~ (l"ai, + ~~ + , ) -

ZH Olaix + �89 =COai +�89

1 fiihrt, und stellen Sie hieraus sowie auf der Basis des Richttafel-Ansatzes h (t) = - - die Gr613e

2 t (t)aix+ �89 mit Hilfe v o n (t)ai x und t~ 1 dar.

5. Zeigen Sie, dab mittels des Ansatzes

h(t) = 1 _ k( t )

2 ffir beliebige t folgt:

(t)a~x+ �89 _ i �9 i �9 - a , + � 8 9 1 8 9 a ,+ �89

und damit It~a~i yon t unabh~ngig ist.

424

L6sung: 1

1. t/(t) = a (t) - - - - t

1 1 2. (t)a~x = (t)aa - - - - + - - Vn nPxa .

t t 1 1

3. Wegen (t) a~) ax = - - - und dami t (')ai~ = t~ - . gilt t t

1 (t)a~x + (t)axaiA = (t)axa .q- (t)axaiA _ - - .

t Wegen O~iA = . )~ i + V" .p~ a~ ~ und ~0a~iA = (tla~i + v" .p~ a~ ~ folgt:

t 0 ~ i = (t)~iA _ V ~ nP,~ a(- 0

= (~ - l'~a~ + ('la~i + v* .p~ a(~ ~ - 1 _ v ~ .P~ al~) t

1 1 1 1 . . . . t t v" riP: + 't'a~, i + t vn "p: + v~ riP: a~ t' - t - v" .p : a~. t'

= (t)aai .

4. Der iibliche Ansa tz lautet : n - 1 t

(t)axai = E Vk kP~ v ~ ( t ) a i x + k + t k = 0 "f

mit (t)oi I - - I ( ( t )~i ..t. (t)~i "~ - - h( t )

Setzt m a n ana log . - x 1 .

~t,~i = E vk kP~ v~(tla'x+k+�89 k = 0

d a n n folgt, da die beiden Gle ichungen fiir alle x gelten, zun~chst

und hieraus ( t )a i i _-- J" t ( t ) a i _-I-. ( t )ai ~ _ h (t)

(t)a'+~=~ ~ " ~+~ 2 ~ ~ ~+lJ

=l (l+ a,ai +l+,t,ai+l'~_h,, 2 \ t t ]

1 t " + ! h (t) = "~ (I ~ai~ + (~ + 1) t -

1 und hieraus mi t h t~ = - :

2 t �9 1 ( t t )a_+t t )a i+l) + i 1

(t)alx +~ = 2 - 2--t- "

5. Mi t h (t)= 1 k (0 folgt wegen 7 -

! ~Oai ~ = ai + ~ o mi t 1~ ~t) = 1 - k ") - - "

t

t ! 1 { ) a i i - - i i ~(t) 1 _----(a,,+a.,+t)+ + - - - ' ~ + k (~ �9 § 2 t

1 1 1 1 - k ~~ - - - + _-- + k ~~

t t 2 1 1 ~ _ _ i i

2 (a~ + ax+l) + - 2 i

(*)

425

1 1 1 da bei j~hrl icher Zahlungsweise h ~t) = ~ und dami t - - - h ~ = - - .

t 2 i i 1 folgt weiter: Wegen a x = a x -

It)atx+ �89 = a i 1 x + i

1 1

= - + ax+l) 2 2 (aix i - - -

= aix+• wegen httl =--1 ffir t = 1 2

1 1 = - - + ax + 1 - k~t)) - ~ + 2 (aix - k t t ) i k~t)

_ h O) 1

= ~- (( ')ai x -4- ~"aix + 1) - h~

- - ( t )a ix +�89 ,

woraus nach dem fiblichen Ansa tz (vgl. oben GI. (*)) folgt:

(t)aaxi ~ ai a, V t .

Aufgabe 4 (30 Punkte)

Ein U n t e r n e h m e n erw/igt die Einf i ihrung einer betr iebl ichen Pensionszusage und liiBt sich von Ihnen die voraussicht l iche Entwicklung der Ri ickstel lungen bei unterschiedl ichen Versorgungszusagen ausrechnen. G e b e n Sie fiir die folgenden baus te inar t igen Zusagen die Fo rme ln ffir die Anwar t - schaf tsbarwer te fiir Akt ive an, wobei Sie von folgender Bezeichnungsweise ausgehen k6nnen : Versicherungstechnisches Al ter des Berecht igten zum Stichtag: x; Altersgrenze: z; n = z - x ; Anzah l der (maBgebenden) Diens t jahre wiihrend der Akt ivenzei t : m = 0, 1 . . . . . n. Die unterj / ihr- liche Zahlungsweise b rauch t n icht explizit angegeben zu werden, auch b rauch t das Abzugsgl ied h O)

n den Richt tafe ln nicht explizit angegeben zu werden.

Betreffend den Berechtlgten selbst:

I. A n Leis tungen sind vorgesehen

- eine lebensliinglich laufende j i ihrl iche Rente ab Erre ichen der Altersgrenze als Akt iver in H 6 h e Y o n R n b z w .

- ab Ausscheiden nach vorzeit iger Invalidit i i t nach m < n Diens t jahren in H 6 h e von R m.

2. A n Leis tungen sind vorgesehen

- eine lebensl/inglich laufende j/ ihrliche Rente ab Erre ichen der Altersgrenze als Akt iver in H 6 h e von R . bzw.

- ab Ausscheiden nach vorzeit iger Invalidit i i t nach m < n Diens t jahren - in H 6 h e yon R~ ) bis zur Altersgrenze, - in H6he von R ~ ) ab Erre iehen der Altersgrenze (als Inval idenrentner) .

Betreffend den Ehega t ten (kollektive Methode! ) :

3. A n Leis tungen sind vorgesehen eine lebensl/inglich laufende j/ ihrliche Ehega t tenren te

- nach Tod des Berecht igten als Akt iver nach m Diens t jahren in H 6 h e von R ~ ~, - nach Tod als Inva l idenren tner bei Ausscheiden wegen Invalidit / i t naeh m Diens t jahren in H 6 h e

von R ~ " und ~aAw - nach Tod nach Erre ichen der Altersgrenze als Akt iver in H6he von . . . ,

wobei m = 0, 1 . . . . , n die Anzah l der Diens t jahre des Berecht igten bis zum Ausscheiden aus dem U n t e r n e h m e n durch Tod, Invalidit / i t oder Erre ichen der Altersgrenze darstell t .

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4. An Leistungen sind vorgesehen eine lebensl~inglich laufende j/ihrliche Ehegattenrente

- nach Tod des Berechtigten als Aktiver nach m Dienstjahren in H6he von R~ w, - nach Tod als Invalidenrentner nach Ausscheiden wegen Invalidit~it nach m Dienstjahren und

Tod als Invalidenrentner vor Erreichen der Altersgrenze in H6he von ~aiw(1) ~ m - nach Tod als Invalidenrentner nach Ausscheiden wegen Invalidit~it nach m Dienstjahren und

Tod des Invaliden nach Erreichen der Altersgrenze in H6he von R~ w~2), und - nach Tod nach Erreichen der Altersgrenze als Aktiver in H6he von R~ AW.

5. An Leistungen sind vorgesehen eine lebensl/inglich laufende j/ihrliche Ehegattenrente

- nach Tod des Berechtigten als Aktiver nach m Dienstjahren - bis zum Erreichen des Alters des hinterbliebenen Ehegatten von z Jahren in H6he von R~ w(1), - ab Erreichen des Alters des hinterbliebenen Ehegatten von z Jahren in H6he yon R~ aw(2),

- nach Tod als Invalidenrentner nach Ausscheiden wegen Invalidit/it nach m Dienstjahren und Tod als Invalidenrentner vor Erreichen der Altersgrenze - bis zum Erreichen des Alters des hinterbliebenen Ehegatten von z Jahren in H6he yon R~ wll), - ab Erreichen des Alters des hinterbliebenen Ehegatten von z Jahren in H6he von R~ w(2),

- nach Tod als Invalidenrentner nach Ausscheiden wegen Invalidit/it nach m Dienstjahren und Tod als Invalidenrentner nach Erreichen der Altersgrenze in H6he von R~ w~2), und

- nach Tod nach Erreichen der Altersgrenze als Aktiver in H6he von R~ Aw.

Diese Aufgabe gilt als vollst/indig gel6st, wenn vier der fiinf Teilaufgaben gel6st sind.

L6sung: n - 1 1

1. B~ = Y~ v k kP~ i~+k v~ Rk ai~+k+�89 + V" .pax Rn a~. k = 0

n - 1 t

2. B. = Y~ vk kP,''l~+k V~ " [R~ 1~ a~x+k+~,.-k-~[' ' + Rtk z) .-k-�89189 + vn ,~P~ R. a~ k = 0

n - 1

mit aix~ = ~'~ V k kpix k = O

und i i i = v n i ,ax = ax - ax,-q nPx a , . n - 1 i n - 1 i

3. B~ = ~ k , aa = a a w V n R a A w aw V kP~qx+kh~+k+~V R k ayes+k)+�89 Z k ." ' i,, v k P x l ~ + k V ~ R ~ , ' w a X + k + � 8 9 . P ~ - - , - - z " k : O k = 0

n - 1 1 4 . B ~ = Y'. , , k n a . a a 1 ~ aaw * kVx ~Ix+k hx+k+~ V R k ay(x+k)+ ~

k=O

n - 1 t

.~_ ~ k a x+k+].n_k_il + n_k_�89189 + V" n ~ R "Aw v kPx ix+k v~' [ R ~ , iw<x) a i w 1 ~ R~t iwl2) " ,,-~ -- , az w k = O

n - 1 1

mit aix~-q = ~ . V k k p i x q x + k h x + k + � 8 9 a y ( x + k ) + ~ k = O

iw _ iw iw _ V n i w und n a x - - a x - - a ~ - n P x a z -

n - I 1 5 . Bx= 32 k k P x . . . . h , , , ~ . [ D a a w ( 1 ) . . . . -4- R [ aw(2) ,a 1 ]

k : 0 V ~ l x + k L t x + k + ' ~ * t ' ' k ~ Y ( x + k ) + ~ , z - y ( x + k ) - ~ l z - y ( x + k ) - ] y ( x + k ) + ] j

n - 1 l ~'~ k a " - " n a aAw w + v kP~ l~+kV ~ B ~ k + � 8 9 ,p~R. a~

k = 0 n - |

mit B~ 52 k i " = V kPx q'x+k hx+k+-~ k = O

�9 I ' l ~ a i w ( l ) ~ l R ~ iw(2) [.*~k a y ( x + k ) + ~ , z - y ( x + k ) - � 8 9 "~" z - y ( x + k ) - � 8 9 "Jr- Vn r~i ]~a iw(2) o w nlax X~k ~ z '

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