474 w. Voigl. VIII. Best%mmzozg der ~lust%c%tittsconstantelz

von B e r y l l und Bergkrys ta l l ; von W. V o i g t ,

(Aus h'r. 3 des Jahrgangs 1886 der Gott. Nachr. auszugsweise niitgetheilt vom Hrn. Verf.)

(Ilierzu Taf. IY PIg. 14-1a.) - _ - .

E i n 1 c i t u n g.

Die Beobachtungen, welche ich im Folgenden mittheile, zerfallen in drei Theile: die Bestimmung der Dimensionen der benutzten Krystallstiibchen, die Messung ihrer Biegun- gen und die ihrer Drillungen bei bekannter mechanischer Einwirkung.

Die Dicken und Breiten wurden mittelst eines Spharo- meters beobachtet , welches analog den gewohnlichen von H e r m a n n und P f i s t e r in Bern gefertigten construirt war, mit dem einzigen Unterschied, dass an Stelle der Wasserwage, deren Ausschlag die erfolgte Beruhrung des Messungsobjectes anzeigt, ein Hebel angebracht war, der in einem bestimmten Augenblicke die Schliessung eines Telephons unterbrach. So war es moglich, ohne eine feste Aufstellung zu arbeiten und die Beobachtung sehr wenig anstrengend zu machen.

Theoretisch wird die Messung mit dem Spharometer von dem Drucke abhangig, mit welchem der obere bewegliche Theil des Sphilrometers auf dem Messungsobject in dem Augenblicke lastet, wo die Wasserwage oder das Telephon das Signal gibt; denn jener auf die tiusserst kleine BerUh- rungsstelle concentrirte Druck erzeugt daselbst eine Vertie- fung, welche je nach der Elasticitit der gedruckten Substanz eine verschiedene Grosse besitzt und einen Fehler der Mes- sung verursacht, wenn die Elasticitat der Substanz sich von derjenigen des stahlernen Tellers des Spharometers unter- scheidet.

Es wurde durch besondere Beobachtungen constatirt, dass der hierdurch entstehende Fehler innerhalb der Grenze der Beobachtungsfehler blieb.

Bei den Messungen der Dimensionen wurden die Kry- stallstabchen liings eines auf dein Tischchen des Sphlrometers

Elasticitat von Beryl2 und Bergkrystall. 475

befestigten, in Millimeter getheilten Lineals hingeschoben, um die Messungen in constanten Entfernungen von den Kanten und in gleich weit voneinander abstehenden (n + 1)- Punlrten vorzunehmen. Bei den Dickemessungen wurden zwei Beobachtungsreihen bei feststehendem Lineal niichst der Mittellinie des Stilbchens angestellt und zwischen ihnen das Stabchen um die Langsrichtung gedreht. Das Mittel Bus bsiden gibt dann sehr nahe die Dicken in der Mittellinie selbst; zwei andere Reihen von Messungen wurden in 11, der Breite Abstand von den Seitenkanten gemacht.

Das Mittel der vier auf einen Querschnitt beziiglichen Messungen ist als mittlere Dicke des Querschnittes selbst betrachtet. Diese Zahlen stellen sich sehr genau durch die Formel dar: t1) es ist daher angenommen, dass dies das wahre Gesetz der Dicke ist, und die Berechnung demgemass angestellt.

Die Theorie ergibt, dass dann bei den Biegungsbeobach- tungen eine mittlere Dicke (D) in Rechnung zu ziehen ist, gegeben durch:

D = Do + D,z + Ds"2;

hingegen bei der Drillung der arithmetische Mittelwerth aller Messungen.

Die Beobachtungen der Breiten sind auf den Mitten der Schmalseiten angestellt in zwei entgegengesetzten Lagen der Stabchen. Bei den Bergkrystallstilbchen variirten die Breiten theilweise erheblich; sie sind daher fiir diese ebenfalls nach der Formel: (3) B = I3, + B,z + B2x2 berechnet wie die Dicken. Bei den Biegungen ist dann die in Rechnung zu ziehende Breite (B) gegeben durch:

bei der Drillung wiederum durch den Mittelwerth. Die Biegungen der Stlbchen habe ich mittelst eines

neuen Apparates beobachtet , der hauptsiichlich construirt

476 w. voigt. wurde, um das sehr anstrengende Messen von Grossen, die nur wenige Hundertelmillimeter betrugen , mit dem Mikro- metermikroskop zu umgehen, und um Beobachtungen bei wechselnder Temperatur anstellen zu konnen. I)

Das StBbchen liegt, wie gewohnlich, auf zwei Schneiden; die Belastung greift auf einem kleinen Stahlcylinder an, der quer iiber die Mitte des Stabchens hinweggelegt wird; durch ein doppeltes Gelenk wird vermieden, dass die Belastung ein Drehungsmoment um die Thgsaxe des Stabchens ausiibt.

Etwa 10 cm iiber dem Stibchen befinden sich zwei sehr leicht gearbei tete, parallele, horizontale Stahlaxen, die sich zwischen Spitzen drehen und je eine kleine Rolle und einen Planspiegel tragen, Ein ganz feiner Platindraht ist mit seiner Mitte in eine fiache Rinne des eben erwahnten Stahlcylinders gelegt, sodass er fast genau auf dem Stabchen aufliegt, und schlingt sich mit seinen beiden Enden um jene RGllchen; kleine Gewichte von circa 8 g an beiden Enden spannen ihn straff. Bei einer Biegung des Stiibchens senkt sich also der kleine Stahlcylinder, der Platindraht wird herabgezogen, die Rollchen drehen sich ein wenig; diese Drehung wird an den Spiegeln mit Fernrohr und Scala abgelesen und gibt das Naass der erfolgten Biegung.

Beide Spiegel drehen sich in e n t g e g e n g e s e t z t e r Rich- tung ; dadurch wird jede Verschiebung oder Erschiitterung des ganzen Apparates oder des Fernrohres mit Scda unschad- lich, wenn man die Summe der an beiden Spiegeln beobach- teten Drehungen der Rechnung zu Qrunde legt.

Die Reibung der Spiegelaxen in den Spitzen ist schr gering und constant, da stets derselbe Druck auf sie ausgeiibt wird. Man kann sie fast vollstandig zum Verschwinden bringen, wenn man bei jeder Ablesung den ganaen Apparat durch leise Schlage an den ihn tragenden Wandtisch er-

1) Den sinnreichen Apparat von Koch (Wied. Ann. 5. p. 261. 1878) habe ich deshalb nicht benutzt, weil ich es zuin Theil mit so grossen Biegungen zu thun hatte, dass die Beobachtung nuf bequemere Weise inoglich war, und weil fur die Messung der Drillungen die Einrichtung zur Ablesung mit Fernrohr und Scala einmal getroffen und sogleich z u benutzen war.

Elasticitat von Beryl1 und Berghrystall. 47 7

schuttert; indess habe ich es praktischer gefunden, die Rei- bung dadurch zu eliminiren , dass ich , unter moglichster Vermeidung von Erschiitterungen, bei der Belastung zuntichst den gewiinschten Werth etwas iiberschritt und die definitive Stellung durch Entlastung erreichte, also die Einstellung bei Belastung und Entlastung von hoheren Zahlen her vornahm. Die Differenz beider Ablesungen ist von der Reibung frei, wenn diese als constant an beiden Stellen angesehen werden kann. Hierfiir ergab sich die Priifung dadurch, dass man eine beliebige Einstellung erst von grosseren, dann von klei- neren Zahlen aus vornahm; die dann stattfindende Differenz i3t direct die Wirkung der Reibung. Sie wechselte von Tag zu Tag etwas an Grosse, vielleicht infolge der Schwankungen der Temperatur, hielt sich aber wahrend einer Beobachtungs- reihe merklich constant.

Die Temperatur wirkt auf die Ablesung an dem Appa- rate nicht, wenn sie nur in der Zeit von Belastung bis Ent- lastung constant bleibt.

Die Auswerthung seiner Angaben geschah direct dadurch, dass zwei recht grosse Biegungen bei moglichst gleichen Umstilnden an demselben Apparate erst mit dem Mikro- inetermikroskop , dann mit Fernrolir und Scala bestimmt wurden.

Die Biegungen q sind im Folgenden in Millimetern (p) der Beobachtungsscala angegeben und bei jeder Reihe be- merkt (da dieselben unter verschiedenen UmsUnden beob- achtet sind) , welcher Bruchtheil eines Millimeters dieser Grosse entspricht.

Die direct beobachteten Biegungen sind noch mit einem Fehler behaftet, der von der Eindriickung der messingenen Lagerschneiden durch die Belastung herrilhrt. Da die Ein- richtung des Apparates sehr dicke Stabe aufzulegen nicht gestattete, bei welchen die Biegung unmerklich gewesen ware, und die Beobachtung jenen Fehler fast rein ergeben hatte, so habe ich einmal dasselbe Stllbchen in sehr verschiedenen Langen beobachtet und durch die Combination den Pehler bestimmt, ferner aber auch durch einen kleinen Hiilfsapparat die Belastung nicht auf die Mitte des Stabchens, sondern

478 w. VoiiJt.

direct auf seine unterstutzten Enden wirken lassen und da- durch die Eindriickung der Lager rein erhalten. Hierbei ergab sich , dass keine merkliche Zusammendruckung der ganzea Unterlage, sondern nur eine Eindrtickung des direct unter den Stabchen liegenden Theiles der Schneide stattfand. Diese oft wiederholten Beobachtungen ergaben keine sehr gute Uebereinstimmung, sondern wichen bis zu 1 p der Scala voneinander ab, was wahrscheinlich in der Unregelmassigkeit der Lztgerschneiden, sowie der Oberfllche der Stiibchen seinen Grund hat.

Der jeder Beobachtung entsprechende Werth der Ein- driickung, der rnit der Substanz der Stabchen und fiager- schneiden, mit der Breite der Stabchen und der Grosse der Belastung variirte, ist in den folgenden Tafeln unter 7’ ange- geben und von der direct beobachteten Biegung r in Abzug zu bringen.

Die Durchdrtickung der Lagerschneiden halte ich fur eine der unangenehmsten Fehlerquellen bei den Biegungs- beobachtungen an sehr kurzen Stiibchen und kenne kein Mittel, sie rnit voller Zuverlassigkeit zu eliminiren, d% man nicht sicher sein kann, ob sie auf dasselbe Stibchen nicht j e nach dem verschiedenen Auflegen verschieden wirken kann.

Die Drillungen wurden mittelst des an anderer Stelle beschriebenen l) Torsionsapparates beobachtet. Hier war die Reibung in den Axen grosser, mit der Belastung und auch mit der Stellung der Rollen variabel; es war also nicht an- gangig, in derselben einfachen Weise, wie bei den Biegungen zu verfahren, sondern es musste das complicirtere, friiher beschriebene Verfahren zur Elimination angewandt werden, darin bestehend, dass die Stellung wiihrend der Belastung durch das Mittel aus zwei Einstellungen bestimmt wurde, die ein Ma1 von grasseren, das andere Ma1 um ebenso vie1 von kleineren Belastungen her erreicht wurden. Die Stellung im entlasteten Zustande wurde durch die Ablesung nur bis auf einen constanten Fehler, die hier, als am selben Ort und bei derselben Belastung, constante Reibung, bestimmt und dieser __ - -

I) W. Voigt, Pogg. Ann. Ergbd. 7. p. 185. 1875. 2) W. Voigt , 1. c. p. 189.

Elmticitlit von Beryll und Bergkrystall. 479

unbekannte Fehler durch die Combination mehrerer Beob- achtungen mit verschiedenen Belastungen eliminirt. Als kleinste Belastung wurde die je nach Umstanden passend beschwerte Wagschale benntzt; ihr Gewicht G ist gleichfalls als unbekannt beibehalten, da es bei der Elimination des genannten Fehlers von selbst heraushllt. Die einer Be- lastung P entsprechende Drehung, gemessen durch die Dif- ferenz der Bewegungen der um L voneinander entfernt auf dem Stilbchen befestigten Spiegel ist nach angebrachter Re- duction von der Tangente auf den Bogen unter GP angegeben; p ist die an dem beweglichen Spiegel beobachtete Gr6sse der Reibung, d. h. dio Differenz der von oben und von unten erhaltenen Einstellung. Die Scala befand sich in zwei Pe- rioden um A=5163, resp. 5176 mm von den Spiegeln ehtfernt; ihre Angaben mussten corrigirt werden, da die Vergleichung m i t dem Normalmeter die Scala als beim Aufkleben zwar gleichmiissig, aber bedeutend gedehnt erwies. 1~ der Scala fand sich um: 0,00374 mm zu lang.

Die mittlere Liinge des Hebelarmes, an welchem die drillende Kraft wirkte, betrug:

36,79 mm. Bei allen Beobachtungen hat mir Hr. Dr. H e n n i g viel-

fache Hulfe geleistet.

I. B e r y l l .

1. Formeln far das hexagonale System.

Was die Berechnung der Elasticitatsconstanten aus den Beobachtungen betrifft , so definiren wir dieselben fur das hexagonale System unter der Voraussetzung, dasa die Z- Coordinatenaxe in die krystallographische Hauptaxe, die X- in eine Nebenaxe fall$ durch die Formeln:

-Lx7z = ~ 1 1 ' ~ s + clzyy + ~ 1 3 ~ 2 ,

- J'y = c12xa + Cllyy + c l s z z ,

- 2, = C 1 3 2 , + C,$yy + c33%.)

- Y, = ~ 4 4 ~ 2 2

- za = c44zsv

- x, = - 2 X Y *

Bezeichnet man mit:

480 W. Voiyt.

I '12 '13 l

S = ' O 0 0 c44 0 0 I

2 i

I '1'2 '11 '13 I I

I '18 '13 '$8

(6) 1 0 0 0 0 c'4 0 I

1 0 0 0 0 0 c 5 c . %

die Determinante des Systems Coefficienten Chk und mit $,,k

den Coefficienten des h. Elementes der h. Reihe dieser Deter- minante (oder umgekehrt), so gelten die Relationen :

sammtliche Is;, flir die h s k und h + hZ5 verschwinden mit Ausnahme von

In diesen Grossen gibt sich der Coefficient der linearen Dilatation E in einer durch die Richtungscosinus a, p , y gegen dies Coordinatensystem gegebenen Richtung durch die Formel:

derselbe ist also rings um die krystallographische Hauptaxe constant.

Von dem reciproken Werthe 1 /E = E, den man gewbhn- lich den Elasticitatscoefficienten nennt, hangt dann die Bie- gung eines rechtwinkligen Prismas von der Lange L, Breite B, Dicke D nach der Formel ab:

81, = s,,, 81, = s23, 8 4 4 = s,,, Sf38 = 2 (%- S1J;

(7) SI.: = sll (1 - Y ' ) ~ + S3,y4 + (S4, + 2S,,)y2(1 - 7,);

1st das Stabchen nach den Gesetzen (1) und (3) von der prismatischen Form abweichend, so sind hier die Werthe (0) und (B) nach (2) und (4) einzusetzen.

Die Drillung eines rechteckigen Prismas hangt aicht durch einen einzigen Coefficienten mit den Elasticitatscon- stanten zusammen. Dieselben iiben ihren grossten Einfluss auf jene indessen durch einen constanten Factor, den man 81s Coefficienten der Drillung T bezeichnen kann, welcher wie- der durch die Relation 1 IT= T mit dem gewohnlichen Tor- sionscoefficienten zusammenhangt.

Dieser Coefficient der Drillung ist in den obigen Grossen bestimmt durch die Relation:

Elasticitat von Beryl2 und Berykrystall. 481

(9) S T = s,, + ( 2(sl 1-% )-s,,) + 4 ( 8, + S3,-s4,-2 4,) Y a Y~ ', worin y , y l , ya, resp. die Cosinus der Winkel bezeichnen, welche die Drillungsaxe, die griissere und die kleinere Quer- dimension mit der krystallographischen Hauptaxe bilden; T ist also wie E rings um die Hauptaxe constant.

Sind diese sammtlichen drei Richtungen krystallogra- phische Symmetrieaxen, d. (h. Normale zu Symmetrieebenen, BO bestimmt sich der Drillungswinkel t, der bei der Wirkung eines Drehungsmomentes N auftritt, aus der Formel:

Hierin ist T der Werth, welcher aus T wird durch Vertauschung von y1 und y z , il eine complicirte E'unction des Argumentes Dl B . V v F ' , welche indess fur Werthe desselben, die nicht ubersteigen, merklich constant gleich 3,361 ist.

1st der gedrillte Kiirper nicht streng prismatisch, so hat man an Stelle von D und B in der vorstehenden Formel (10) einfach das arithmetische Mittel der Dicken und Breiten auf dem beobachteten Langenstiick einzufiihren.

Die im Folgenden beobachteten Sthbchen sind folgender massen gegen die Krystallaxen orientirt.

Die mit ( O O ) bezeichnete Gattung fallt rnit der Langs- richtung in die krystallographische Hauptaxe. Die Lage der Querrichtungen ist hier ohne Einfluss. Es entspricht dieser Gattung der Werth: (11) S E , = S33, ST, = S4,%.

Die mit (45O) bezeichnete Gattung liegt mit der Langs- richtung um 45O gegen die Hauptaxe geneigt, die kleinere Querdimension fallt in den Hauptschnitt. Demgemass ist:

Die rnit (90,) bezeichneten Stabchen liegen mit der Langsrichtung normal zur Hauptaxe; je nachdem die Be- zeichnung A oder B zugefiigt ist, liegt die kleinere oder die grossere Querdimension parallel der Hauptaxe. Es gilt dann fur A und B:

(12) SE,, = t cs,, + 8 3 , + 8 4 4 + 2 4 3 , .

Ann. d. Phye. u. Chem. N. F. EXXI. 51

402 w. voat.

SE,, = 8 1 , , (13) { fiir A : ST,, = 2(S11 - S,,),

Die Beobachtung der Drillung an der Gattung (goo) B gibt also keinen anderen Coefficienten, als die der Gattung (0 O), indessen geniigen auch die anderen fiinf Bestimmungen zur Berechnung aller Constanten. c ~ , deren Anzahl ja hoch- stens ftinf ist und sich, wenn die Voraussetzung zutrit€t, dass die Moleciile nach allen Richtungen hin in gleicher Weise aufeinander einwirken, gar auf drei reducirt.

In dem letzteren Falle gelten niimlich nach Pois80nt8 Rechnung l) .die Relationen :

C13 = CO4,

fiir B: ST’,,= S4&.

C12 = %-=!?= d. h. cll = 3c, , . (14) 2 Zur Berechnung der allgemeinsten fihf Elasticitits-

cq4 aus den fiinf Determinanten- constanten cI1, c12, c13, verhaltnissen:

hat man die folgenden fiinf Qleichungen:

1 e) c . ~ ~ s44 = 1. Aus Gleichung c) und d) folgt:

a) ~ 1 1 * ~ 1 1 + c l a s 1 2 + ‘13’13 = 1t b, c, 2c13s13 + ‘33’33 =

ClaSll + C11s12f c13s13 = O,

d) ~ 1 2 ( s 1 1 + $12) + ‘33‘13 = O! (15)

. - - . - __ 1) Ich bin fruher der Meinung gewesen und habe mich in meiner

ersten Arbeit iiber Krystallelasticitht demgembs ausgesprochen (Pogg. Ann. Ergbd. 7. p. 3. 1875), dass diese und tihnliche Relationen Folgen der a l l g e m e i n s t e n Theorie seien, welch Poisson fiir die Elmticittit von Krystallen gegeben hat. Auch die von Hm. 0. E. M e y e r besorgto Ausgabe der Vorlesungen dea Hm. Geh. Rath F. E. Neumann iiber Elasticitiit begiinstigt diese Auffassung - wie ich erfahren habe, g e g e n die Absicht des Herawgebers. Indessen hat Poisson in seiner letzten, unvollendeten Arbeit (MBm. de l’Ac. 18. p. 3. 1842) von der Hypothese ausgehend, daas die Molecule nach verschiedenen Richtungen mit ver- schiedener S thke wirken, allgemeinere Formeln, wennschon nicht fiir alle Krystallsysteme, entwickelt , welche jene Relationen zwischen den Elasticittitscorntanten nicht ergeben.

Elasticitat von Beryl1 und Berykrystall. 483

811 + 312 *, c33 = 83s (Sll + S12) - 2SIS

- 81s

c13 = 838(811 + 512) - 2818' ' das erstere in a) und b) gesetzt, gestattet zu be- stimmen :

s 1 1 4 9 - fils2 , (811 - 812) (SQS (611 + SIP) - 2S1s2)

S1a2 - S12S-38

(811 - s12) (S85(Sll + SI2) - 2S1s2)

c11 =

CI2 = - - (16)

1

endlich gibt c) direct: 1

c1.4 = - 841

Dabei ist nach Obigem:

sll 9 S1B=E90 -l 'r90 9 s13 = 2 E4, -4 + EO+'rO),

(17) { s~~ = KO, sq4 = To. Diese Determinantenverhaltnisse shk bestimmen nicht nur

Dehnung und Drillung, sondern auch andere elastische De- formation in vie1 einfacherer Weise als die eigentlichen Elasticitiitsconstanten.

Setzt man ein beliebiges Stuck eines hexagonalen Kry- stalles einem allseitig gleichen Drucke p aus, so nehmen die Dilatationen parallel den Hauptaxen xz, y,, t, und die Aende- rungen der Winkel zwischen den Axen yz, zx, xy die folgen- den Werthe an:

(18) 2 x = - p(s1, + 512 + s13) = Y,,

y, = zx = xy = 0. { ZZ = - p ( 2 S 1 3 + ss3),

Die Coefficienten von p in den Formeln fur xX, y, und z, wird h a n als Compressionscoefficienten bei allseitigem Druck normal und parallel zur Hauptaxe besonders bezeichnen konnen; wir setzen: (19) A90 = ~ 1 1 + 812 + s13, A, = 2s13 + 833.

Der Coefficient der cubischen Compression ist dann: (20)

Zwei Ebenen, deren Normalen die Richtungscosinus 4, pl, y1 und a2, p2, y2 gegen die Hauptaxen haben und mit- einander den Winkel x einschliessen , erleiden bei allseitig

M = A o + 2Ago = sy3 + 2(s,, + q,) + 4s13.

31 *

484 w. voigt. gleichem Drucke p eine Aenderung dieses Winkels S x , die gegeben ist durch:

(21) * s inX= -P ('13 + '33- '11 - '12) ( 2 Y , Y2-(ylaf 72') cOsX)' Sie hangt also nur von dem einen Coefficienten:

War der Winkel y ein rechter, so folgt einfacher:

6% ist dann also = 0, wenn eine der beiden Mormalen senk- recht zur Hauptaxe liegt, ein Maximum findet statt, wenn beide 45O mit der Hauptaxe einschliessen; dies Maximum ist = -pB.

Liisst man auf einen mit seiner Axe der Hauptaxe des Krystalls parallel gelegton Cylinder von beliebigem Quer- schnitt auf die GrundflBchen den normalen Druck p,, auf die Mantelflache den normalen (constanten) Druck p1 wirken, so erhlllt man:

I3 = sl9 + s33 - sll - sla ab.

(22) 6% = - p2Ry1y2.

xl: = - (Pl (s11 + '12) + P o 4 = YY 9

z, = - (PI 2 81 3 + Po s33) 7

yy = z, = xy = 0. (23) [

(24) { E r w k m t man einen hexagonalen Krystall gleichformig

um 9 Grade, so gilt:

xz = + '(ql ('11 + '12) + 90'13) = YY7 ' 2 = + '(91 2s lS + qOS33), y - 2 = x y = o . Y - z

Hierin geben die qo und q1 das Maass der Warme- abstossung parallel und senkrecht der Hauptaxe. Kennt man die Grosee der thermischen lineiiren Dilatation parallel und senkrecht zur Hauptaxe a, und a,, und sind die slK durch Elasticitatsbeobachtungen bestimmt, so folgen BUS:

(25) = 91 2s13 + q0'33 7 al = ql('11 + '1%) + qOs13 die Werthe qo und q1 fiir die betreffende Substanz. FBnden sich dieselben einander gleich, so wurde die Wtirmeabstossung nach allen Bichtungen die gleiche und die durch eine gleich- formige Abkuhlung hervorgebrachte Deformation der durch einen allseitig gleichen Druck erzeugten vollstilndig gleich sein.

Elasticitat von Beryl1 und Beykrystnll. 485

2. Beobachtungen am Beryll.

Das Beobachtungsmaterial lieferte ein prachtvolles slulen- formiges Fragment eines grossen Krystalles aus dem Ural, welches parallel der Hauptaxe circa 50 mm, parallel den Nebenaxen circa 20 mm mass. Ich verdanke dasselbe meinem verehrten Collegen Prof. C. K l e i n und benutze die Gelegen- heit, um ihm fur die grossartige Liberalitat, mit welcher er dies dem Mineralogen hochst werthvolle Stiick der physi- kalischen Untersuchung geopfert hat, den allerwbrmsten Dank auszusprechen.

Der Beryll ist ein so besonders gunstiges, j a unvergleich- liches Object fur Elasticititsbeobachtungen, weil er nur in holoiidrischen Formen und nie verzwillingt beobachtet ist, also mit Sicherheit a19 Reprasentant des einfachen hexago- nalen Systems hingestellt werden kann.

Das schone Krystallfragment, welches ich benutzen durfte, war von fast regelmassig sechsseitigem Querschnitt, auf den Flachen wie gewohnlich parallel der Hauptaxe gestreift. Dieser Streifung enhprachen im Innern zahlreiche rohrenartige mehr oder weniger feine Langsspalten, welche bei der Zerlegung des Krystalls in Stabchen sorgfiltig vermieden werden muss- ten. Um dies leichter zu konnen, wurden soviel a19 moglich die Breitseiten der Stabchen parallel der Hauptaxe gelegt; offenbar war dadurch die Moglichkeit vergrossert, storungs- freie Praparate zu erzielen. Wie itus dem Vorstehenden sich ergibt , war indessen zur Bestimmung a l l e r Constanten die Beobachtung der Drillung von Staben, deren Liings- und Breitenrichtungen senkrecht zur Hauptaxe lagen (Gattung 90" A), nicht zu umgehen; diese Gattung zeigte demgemlss die zahlreichsten kleinen , die Stabchen ganz durchsetzenden Spriinge, und eine ziemliche Anzahl ist bei der Herstellung, bei der Einspannung und schliesslich noch bei der Drillung bei massigen Belastungen zerbrochen. Die erst bei den Be- obachtungen gesprungenen ergaben unverhaltnissmassig kleine Werthe der Torsionsconstanten T (d. h. geringen Widerstand gegen die Torsion) und durften, da offenbar eben jene Spriinge die Ursache der Abweichung waren, von der Schlussberech-

486 W. Jroigt.

nung ausgeschlossen werden. Bei dieser unangenehmen Eigen- schaft jener Gattung Stabchen mussten schliesslich alle sprung- freien kurzen Stiickchen ausgenutzt werden, und durch einige Vorsicht sind noch bei Langen von nur etwa 10mm gute und sichere Resultate erreicht worden, wenn gleich natiirlich den ungiinstigeren Umstanden entsprechend der wahrschein- liche Fehler der Endresultate hier grosser ist, als bei den iibrigen Gattungen.

Da die klar ausgepragte Krystallform des Berylls die Bestimmung der Orientirung der Stabchen noch weiter durch- zufuhren gestattete, als nach ihrem optischen Verhalten allein moglich gewesen wiire, so habe ich die giinst,ige Gelegenheit benutzt, um ausser der Bestimmung der Constanten auch nooh eine andere Aufgabe zu losen.

Die Theorie ergibt, wie ich schon fruher gezeigt babel), das Resultat, dass bei holoedrischen hexagonalen Krystallen Rich- tungen, die durch Drehung um die Hauptaxe zur Deckung gebracht werden konnen, elastisch gleichwerthig sind. Dieses mit dem mineralogischen Verhalten des Systems in so eigen- thtimlichem Widerspruch stehende Resultat konnte am Beryl1 gepruft werden. Die zunachst fiir die Biegungsbeobachtungen bestimmten Stabchen normal zur Hauptaxe, welche, wie oben ausgefiihrt , ihre Breitenseiten parallel der Hauptaxe hatten, sind zum Theil so geschnitten, dass die Langsrichtung in eine krystallographische Nebenaxe (Gattung 90° B I) fAllt, zum Theil so, dass sie den Winkel zwischen zweien halbirt (Gattung 90 O B 11). Die hiermit angestellten Beobachtungen sind unten mitgetheilt.

Ferner ergibt die Theorie das Resultat, dass die Torsions- coefficienten der beiden Gattungen 90° B I und I1 nicht nur untereinander, sondern auch mit dem an der Oattung O o erhaltenen iibereinstimmen sollen ; auch dieser Punkt liess sich durch die Beobachtung priifen.

I m Folgenden sind nur die letzten Beobachtungsresultate mitgetheilt ; hinsichtlich des Details der Messungen muss auf die Originalbeobachtungstafeln verwiesen werden. Die Be-

1) W. V o i g t , Wied. Ann. 1G. p. 408, 421 u. 427. 1882.

-

Elasticitat von Beryl1 uad Bergkrystall. 487

zeichnung ist im wesentlichen in der Einleitung erklirt ; hier sei nur wiederholt, dass L, B, D die in Formel (8) und (10) einzusetzende Lange, Breite und Dicke des Stibchens be- zeichnen. Die Einheiten von L sind Millimeter, die von B und D 1 /992,7 mm, von 11 0,000 249 mm. P ist die Belastung in Grammen, 9. die Beobachtungstemperatur in Celsius-Graden ; A bezeichnet bei den Drillungsbeobachtungen den Abstand zwischen Spiegeln und Beobachtungsscala; E ist der Deh- nungscoefficient nach Formel (7). T der Drillungscoefficient nach (9); E = 1/E und T= 1 / T ; die Einheiten sind Gramm und Millimeter.

Bi e gu n gen. Oo Nr. 1. L=34,4, B=4036, D=516,0, P = 6 0 , 4=16,5, '1'=3,0.

'I = 201,'L E = 21 670,000. h'r. 2. L=34,4, B=4026,5 D=516,8, P = 6 0 , 4 = 1 7 , 9'=3,0.

E = 21 710 000. Nr. 3. L = 34,4, B=4033, D = 511,6, P = 6 0 , 4 = 16,1, 7'=3,0.

E = 21 820 000. Nr. 4. L = 34,03, B = 3910, D = 526,3, P= 60, 4= 18, t]'=2,4.

E = 21 680 000. Mr. 5. L=34,03, B=3960, D=513,4, P = 6 0 , a= 19, I ) ' = 2,4.

E = 21 470 000. Gesammtmittel E, = 21 660 000, E, = 4,619, 10W8.

:7 = 200,4

p = 205,l

7 = 189,4

'1 = 202,3

Wahrscheinlicher Fehler f 40000, f 0,0085.

45' E'r. 1. L = 30,4, B = 3912, D=536,2, P= 60, 4 = 16,5, '1'=!3,0. 71 = 153,3 E = 1 7 700 000.

h'r; 2. L = 30,4, B = 3920, D = 524,5, P= 60, 8 = 18, ?'=3,0. q = 160,3 E = 18 020 000.

Nr. 3. L = 30,4, B = 3926,4 D - 511,5, P= 60, 8 = 18, 7'=3,0. 7 = 171,4 E = 18 130 000.

Nr.4. L=30,03, B=3958, D==525,1, P = 6 0 , 4=18, 7'=2,4. E = 18 010 000. 71 = 153,6

Gesammtmittel E4s = 17 960 000, E,, = 6,668. Wahrscheinlicher Fehler 3~ 62000, *0,019.

9O0BI. Nr.1. L=22,35, B=4067,7, D=462,0, P=60, 8=19 , '1'=3,0. 7 = 72,9 E = 23 300 000.

Nr.2. L = 18,4, B=4076, D=457,1, P=70, 4=17,2, ~ ' = 3 , 4 . E = 22 860 000. 'I = 52,2

Wegen der Belastung mit 70 g ist 7' urn 0,4 vergrossert.

488 w. voigt. 90OBII.Nr.1. L=22,4, B==3897, D=450,5, P=60, 8=21,5, q’=3,0.

7 = 87,3 ( E = 21 890 000.)

Nr.2. L=22,4, B=3901, D=460,4, P = 6 0 , 4=21,5, q’=3,0. E’ = 23 210 000.

Nr.3. L=20,4, B=3895, D=468,7, P = 6 0 , 4=21,8, 7’=3,0. E = 23 100 000.

7 = 77,4

q = 60,2

Das Stibchen 90° B Nr. 1 war von der Seite her ein- gesprungen; man bemerkt, wie dadurch der Werth von E herabgedriickt ist. Die beziigliche Beobachtung ist dem- gemass von der Berechnung auszuschliessen.

Die iibrigen Resultate zeigen die vollstandigste Ueber- einstimmung der Dehnungscoefficienten E fur die Gattungen 90° B I und 11. Entsinnt man sich dessen, dass die erste parallel einer krystallographischen Nebenaxe, die letztere normal dam (also in der Halbirungslinie des Winkels zweier Nebenaxen) liegt , so erweisen die vorstehenden Beobach- tungen die Unterschiedslosiglreit dieser Richtungen in elasti- scher Hinsicht und bestatigen das beziigliche oben ausge- sprochene Resultat der Theorie.

Man erhalt fur alle Stabchen der Gattung 90° B die Werthe :

Qesammtmittel Ego = 23 120 000, E,, = 4,326. Wahrscheinlicher Fehler * 66000 *0,012.

Nach diesem Zahlenwerth besitzt Beryl1 in der Richtung normal zur Hnuptaxe den grijssten bisher beobachteten Elasti- citatscoefficienten, tibertrifft darin nicht unerheblich den Stahl, welcher bisher mit E = 21 000 000 in erster Linie stand.

D ri l l un g en. 0” Nr. 1. L = 24,32, B= 4044,3, D = 516,2, A = 5163, 4= 18,5.

T = 6 671 000. u,,,= 78,6

Oo Sr. 2. 1; = 27,53, B =4040, D = 517,0, A = 5163, Y = 16,5. T = 6 707 000.

OD Nr. 3. L = 28,0, B = 4044, D = 513,4, A = 5163, 4 = l?,?. T = 6 710 000.

Oo Nr. 4. I, = 30,08, B = 3910, D = 527,0, A = 5163, Y = 18,O. T = 6 608 000.

ul0= 88,3

’ ulo= 91,55

u16= 91,55

Elasticitat von BeTyll und Ber:gkrystall. 489

Oo Sr. 5. L = 29,80, B = 3960, D = 514,3, A = 5163, 4= 17,8. T = 6 632 000.

Gesommtmittel To = 6 666 000, To = 16,000.10- 8. ulo= 100,35

Wahrscheinlicher Fehler * 14000 f 0,036. 90° A. Nr. 1. L = 16,94, B = 3907, D = 680,8, A = 5163, 3 = 19.

ul0 = 19,32 T = 8 960 000.

Da dieses Stibchen das beste dieser gefahrlichen Gat- tung war, ist es noch einmal mit anderer Belastung und in anderer Lange beobachtet worden.

L = 16,30, 3 = 18,5. u16 = 27,85 To,, = 8 980 000.

Die vollkommene Uebereinstimmung dieses Werthes mit dem vorhergehenden weist darauf hin, dass die Unsicherheit der Resultate nicht in den elastischen Beobachtungen , son- dern in den Dimensionenbestimmungen und der Ungleichheit des Materials begriindet ist. 90° A. Nr. 2. L = 12,54, B = 3950, D = 675,2, A = 5163, 4 = 18,s.

ul0 = 14,92 T = 8 700 000. 90' A. Nr. 3. L = 16,16, B = 3954, D = 679,8, A = 5163, 8 = 16.

ul,, = 19,50 (zerbrochen!) (T= 8 400 000)'). 90' A. Nr. 4. L = 10,36, B = 3917, D = 695,O A = 5163, a= 18.

u16 = 16,98 T = 8 810 000.

ul0 = 17,45 (zerbroclien!) (T = 8 280 000) 1).

T = 8 710 000.

90' A. Nr. 5. L = 14,0, B = 3908, D = 678,8, A = 5163, 8 = 19.

90° A. Nr. 6. L = 11,20, B = 3902, D = 687,4, A = 5163, Y = 18. u16 = 19,25

Gesammtmittel T = 8 850 000, Too = 11,325. Wahrscheinlicher Fehler rt40000, f 0,052.

SOo BI . Nr.2. L = 14,9, B = 4077, D = 457,2 A = 5163, B = t7,5. ug = 40,3O. Te6'= 6 706 000.

goo BII. Nr.4. L = 10,85, 13 = 3898, D = 473,4 d = 5163, 4 = 18. 010 = 45,7 To0'=6 770 000.

Wie oben erwahnt, sol1 die Gattung B I und I1 den gleichen Torsionscoefficienten ergeben, wie die Gattung 00. Die Beobachtung bestatigt dies auf das Vollkommenste, Man konnte also mit Stabchen senlrrecht zur Axe allein diese

1) Von der Berechnung aua dein oben erorterten Grunde ausge- - .. -

schlossen.

490 w. Voigt. zwei TorsionscoEfficienten bestimmen. Vorstehende letzte Beobachtungen sind bei der folgenden Berechnung nicht beriicksichtigt, sie wiirden den Mittelwerth To nur um einige Tausendtheile vergrossern, also die Resultate nur unmerklich alteriren.

3. R e s u l t a t e .

Aus den oben gefundenen Werthen: E, = 4,619.10-8 (& o,oog), E,, = 5,568.10-8 (h o,oig),

'r, = 15,000. 10-8 (f 0,036)~ 'r,, = ii,32tifio-8 (f 0,052),

Ego = 4.325. lo-' (& 0,012) folgen nach den Formeln (17) p. 483 sogleich die Determi- nantenverhaltnisse S,,, / S = shk, namlich: s11 = 4,325. lo-', s]?, = - 1,338. lo-', s13 = - 0,836. lo-',

(* 0,012) (* 0,029) ( f 0,043) sg3 = 4,619. low8, s , ~ ~ = 15,000. lo-'.

(& 0,009) (+ 0,036) Dabei ist der wahrscheinliche Fehler jeder Zahl gleich

der Wurzel aus der Summe der Quadrate der wahrschein- lichen Fehler ihrer Theile nach den Formeln (17) gesetzt.

Durch Einsetzung dieser Werthe ergibt sich der allge- meine Werth des Dehnungs- oder Biegungscoefficienten in einer Richtung, die den Winkel cp gegen die Hauptaxe macht, nach Formel (9):

E, = 4,325, sin4? + 4,619 ,cos4q + 13,328.sin2rp. cos2rp. Ein Maximum oder Minimum hat dieser CoEfficient fur

Richtungen 6, die erflillen : - f?? = 0 = 2 sin (p cos 6 (8,650sin2y - 9,238 cos2 &

dcp + 13,328 (cos $ - sin2 G)), -

d. h. fur (p = 0, cp = 90, uod ein 90, fiir welches gilt:

tg2cp = 4,090 d. h. fiir @ = 43O 5' ca. 4,678

Die zugehorigen Werthe Bind:

Die fiir 11, aufgestellte Formel gestattet auch, zu beur- theilen, wie gross der Einfluss einer nicht vollstandig rich-

E, = 4,619, E,, = 5,573, Ego = 4,325.

Elasticitat von Beryll und Bergkrystall. 40 1

tigen Orientirung auf den Werth des beobachteten E ist. Man erkennt, dass fur die Gattungen (OO) und (goo) der Ein- fluss mit a l l e r S t r e n g e nur zweiter Ordnung wird (also bei Fehlern, welche innerhalb 2 O bleiben, etwa 1 I1000 betrllgt) bei der Gattung (45O) aber tiusserst nahe zu, da diese Rich- tung fast genau mit derjenigen des Maximums fiir E iiber- einstimmt. Hr. H e n n i g hat an einer grosseren Zahl von Beryllstabchen die Orientirung aus der Schwingungsebene des durch die Schmal- und Breitseiten hindurchgegangenen Lichtes bestimmt und die Abweichungen von der gefor- derten Richtung stets kleiner als 2O, meist unter 1/20 liegend gefunden:

Die als Coefficient der Drillung bezeichnete Function lautet fiir Beryll:

T, = 15,000 - 3,675 COS' y2 - 17,536. COS' rp , COS' 'pl.

Hierin bezeichnen rp, y l , y z die Winkel der Langs-, Breiten- und Dickenrichtung gegen die Hauptaxe. Dieser Coefficient bestimmt ganz nllein die Abhingigkeit der Drillung von der Orientirung, wenn die Dicke des Prismas sehr klein gegen seine Breite ist. Insofern ist seine Discussion ebenfalls von Interesse.

Liisst man die Breitseite des Stabchens im Hauptschnitt liegen, so ist y2 = i n zu setzen rpl= an + y , also:

T ,, = 18,OO - 17,536 sin2cp cos2y. ( 9 2 = 7 )

Man erhalt dann ein Minimum T=10,616 fur rp=45O. Liegt die Schmalseite im Hauptschnitt, so ist: y2 = In + y , y1 = an, also :

T I = 15,OO - 3,675 sina y . (Q1z-i.)

Hier liegt das Minimum T = 11,325 bei 'p = 4.. Auch der Fehler des Drillungscoefficienten, der durch

fehlerhafte Orientirung der Stabchen entsteht, ist hiernach zweiter Ordnung.

Die obigen Werthe der Determinantenverhaltnisse S1,k

bestimmen nach dem frtiher Gesagten die Grossen jeder Ar t

492 w. Vo'gl.

von elastischer Deformation bei gegebenen Kraften auf sehr einfache Weise.

Bei allseitig gleichem Druck p findet eine Compression parallel der Hauptaxe statt, welche nach Pormel (18) gegeben ist durch:

normal dazu: 2s = - P A , ,

5% = y y = - p & o ,

A, = 2 ~ 1 , + ~ 3 3 ,

As,= 81, + s12 + $1,;

dazu eine cubische Compression :

Nach den obigen Werthen ist: 6 = - ~(4, + 2ASJ = - pM.

A, = 2,947.10-8, A,, = 2,154. lo-', M = 7,255.10-8.

M ist das Maass der cubischen Compressibilitat; fur Wasser findet sich dasselbe in unseren Einheiten (Gramm und Qundratmillimeter) rund 5.10-O; der Werth fiir Beryll ist hiervon nur der 70. Theil.

Die Winkelanderung, die zwei Ebenen innerhalb des Krystalles durch allseitig gleichen Druck erleiden , ist nach (21) gemessen dnrch die Constante:

B = 833 + ~ 1 s - ~ 1 1 - Sla;

ihr Werth ist fur Beryll B = 0,796. Misst man den Druck in Atmospharen, so wird (B) = 8,22. Bildeten die Ebenen urspriinglich einen rechten Winkel, so ist die bei einem Drucke von 100 Atmospharen unter giinstigen Um- standen eintretende Winkelanderung 4 2 2 . lO-O, d. h. immer noch nicht zwei Bogensecunden. Es ergibt sich hieraus, dass Beobachtungen dieser Winkelanderung , um eine Gleichung fur die Elasticitatsconstanten zu erhalten, bei Beryll fast nnmoglich waren und somit auch bei anderen Substanzen desselben Systems nicht sehr aussichtsvoll sind.

Die thermischen linearen Ausdehnungscoefficienten (pro lo C.) des Berylls (Smaragd) sind nach F izeau :

a, = - 1,06. lo-', a1 = + 1:37 . lo-'.

Setzt man diese Werthe mit denen der Shk in die Glei- chungen (25) ein, so erhalt man:

Elasticitat von Beryll und Berghrystall. 493

- 1,06 = - q1 .0,0167 + qo 0,0462, + 1,37 = q1 .0,0299 - go 0,00836,

und hieraus : go = - 7,10, q1 = Jr 43,9.

Dies Resultat, welches parallel der Axe keine Warme- a b s t o s s u n g , sondern eine Warmeanziehung ergibt, ist im hohen Grade uberraschend und folgt keineswegs mit Noth- wendigkeit aus der parallel der Axe stattfindenden Zusam- menziehung bei einer Erwilrmung, denn bei anderen Werthen der Elasticitatsconstanten wurde das Entgegengesetzte ein- treten konnen.

Schliesslich sind noch nach den Formeln (16) die Elasti- citiitsconstanten des Berylls wirklich zu berechnen; die Rech- nung ergibt: cll = 0,2746. lo+’, cla = 0,0980. lo+’, c13 = 0,0674.

cQ3 = 0,2409. lW’, L ‘ . , ~ = 0,0666. 10-t’.

Diese Werthe zeigen, dass diejenigen Relationen, welche aus der P o isson’schen Theorie sich unter der Voraussetzung ergeben, dass die Molecularwirkung nach allen Richtungen die gleiche ist, fur Beryll nahezu erfullt sind. Es ist c13 so genau = cj4, dass man eine strenge Gleichheit annehmen kann; statt cll = 3 . c12 findet sich cll = 2,8. cI2, also immerhin eine bemerkenswerthe Annaherung an das theoretische Ver- hhltniss. Man darf demnach den Schluss ziehen, dass bei Beryll die Polaritat der Moleciile nur s c h w a c h ist, und man eine bedeutende Annaherung an die Wirklichkeit erhalt, wenn man sie vollig ignorirt.

E s ist von Interesse, zu untersuchen, wie sich die Werthe der Constanten ergeben, wenn man diese Poisson’sche Re- lationen als streng gultig ansieht. Die demgemass geander- ten Werthe s und c seien durch den oberen Index ‘ unter- schieden. Die Bedingungen :

Cll’ = 3 . cl;, c13‘ = c4gl

drucken sich in den Grossen sh; aus:

0 = s ~ ~ ’ (sI1’ + sy12’) + ‘13’ (S.~; - 2s13’), 0 = 4S13‘2 - (Sll’ + 3s1,’) SQ3’,

494 w. Voigt. oder auch, indem man aus beiden durch Elimination von sl l f eine neue bildet:

Bezeichnet man dann die direct durch die Beobachtung bestimmten Werthe wie bisher mit S h k , so erhiilt man zur Bestimmung der drei Unbekannten s , ~ ' , s lS f , s33' die fiinf Gleichungen:

Dieselben sind durch Einfuhrung der Niiherungswerthe :

$2 + '121 '1; = '13 + '131 '33'= '33 + linear zu machen und lauten dam:

0 = S12, 0 = 0 = SS3. Die AuflSsung ergibt nach der Methode der kleinsten Quad- rate:

und hiernach, sowie nach den Formeln (26), die folgenden Werthe der S h i :

8,, = + 0,092, S13 = - 0,025, = - 0,017,

~,,'=4,382, s,;= - 1,246, slB'= - 0,86 1 , s,~'= + 16,042.

Stellt man hierzu die direct beobachteten Werthe, ferner ihre wahrscheinlichen Fehler d h k und die Abweichungen s h i - Shk = & k , so erhillt man das System:

s~~'= + 4,602,

sll = 4,325, s12 = - 1,338, s13 = + 0,836, s , ~ = + 4,619, s~~ = + 15,OO; A,, = f 0,029, A,, = f 0,043, A,, = & 0,009, A,, = f 0,036; a12 = + 0,092, a13 = - 0,025 ,

A,, = f 0,012,

a,, = + 0,057, a,, = - 0,017, S,, =: + 0,042.

Elasticitat von Beryl1 und Berykystall. 496

Dasselbe zeigt, dass die Abweichungen 6 zweimal e rhebl ich den wahrscheinlichen Fehler tiberschreiten, namentlich ist d,, sehr bedeutend. Daher ist es als u n w a h r s c h e i n l i c h zu bezeichnen, dass die Beryllmolecule s t r eng keine Polaritat besitzen; - ein Resultat, das j a an sich plausibel ist, da ohne Polaritit der Process des Aufbaues eines Krystalles nicht wohl zu erklaren ist.

Immerhin ist die nahe Uebereinstimmung mit den theo- retischen Resultaten dieser Annahme so merkwiirdig, dass es lohnt, auch die Werthe der Constanten c u t zu bestimmen, wie sie sich aus diesen s h i nach (16) ergeben. Man erhiilt: cll ' = 0,2666.10+', c3; = 0,2422. c,~" = 0,0665.10+8,

= fell' = 0,0889 . c , ~ ' = c4[ = 0,06651 . Dagegen fanden sich ohne Voraussetzung der Poisson'-

schen Resultate die Werthe: cll = 0,2746.10+8, cgY = 0,2409 . c4* = 0,0666.

c12 = 0,0980.10+e, c13 = 0,0674. Diese Zusammenstellung zeigt die grosse Empfindlichkeit

der Constanten Chk gegeniiber den Aenderungen der Grossen S h k )

welche ihre Bestimmung aus Beobachtungen iiberhaupt unsicher macht. Indess ist dies fur die Anwendungen ohne Belang, da fiir diese stets die genauer zu bestimmenden shk benutzt werden, auch beurtheilt sich die Giiltigkeit der Relationen (14) ebenso gut an diesen, wie an den eigentlichen Elasticitiits- constanten.

11. B e r g k r y s t a 11. 1. F o r m e l n fur das rhomboadrirrcbe System.

Wir definiren die Elasticititsconstanten chk fiir das rhom- boedrische System durch die folgenden Formeln, bei welchen vorausgesetzt ist, dass die 2- Axe die krystallographische Hauptaxe, die YZEbene die krystallographische Symmetrie- ebene der Form ist; die + Y-Axe trete aus einer der Rhom- boGderfliichen +R aus, welche urn die 3-2-Axe herum liegen:

- x Z = c ] 1 xZ f cl$ y y 3- c 1 3 z Z + ' 1 4 ? / Z , - = '14 (zZ -!/Y) 3- ' 44 ! /%,

-q = C ~ ~ x 2 + c ~ ~ ~ Y + C ~ 3 Z 2 + C ~ ~ ~ 2 , -zZ =c44zZ +clJ"v, -xy-c11--19 x y f c 1 4 Z a . -z = c]g 22 f c , 3 y y + c33z2,

496 W . Voigt.

Dabei sei wieder gesetzt die Determinante dieser Coeffi- cienten :

, c11 c12 CIS '14 0 0 'IZ 'I1 c I S - c 1 4 I

1 '18 '13 '38

c14Ac14 '44

(28) ' = I : : %: c 1 4 2 1 c11- C l S

I und hierin der Coefficient des h. Elementes der K . Columne (oder umgekehrt) gleich s h k .

Es gelten dann die Relationen: q 1 = s22, s 1 3 = s 2 3 1 s M = s 5 6 I %3=2('1rS12)1

s,, = - LYt4 = bS,,; ausser den hierin enthaltenen s h k ist nur noch SS3 von Null verschieden; wir behalten als voneinander unabhangig bei:

'Ill '12, '187 '14, '331 '44'

I n diesen Grossen gibt sich der Coefficient der linearen Dilatation E in einer durch die Richtungscosinus u, ,dl 7 gegen die Coordinatenaxen bestimmten Richtung durch:

SE = $1,(l - y2)' + '33y4 + ('kd + '18)y2(' -7') + 2 s,,pY(3E12 - p). (29) \

Durch dies E oder das reciproke E = 11E bestimmt sich die Biegung eines rechteckigen Prismas von den Dimen- sionen L , B , 1) durch die Wirkung einer in der Mitte an- greifenden Belastung P nach der bekannten Formel:

Hinsichtlich der Drillung liegen beim rhomboedrischen System die Verhaltnisse complicirter, als bei dem hexago- nalen, weil es hier keinerlei Orientirungen der Prismen gibt, bei welchen alle drei Kanten in die Richtungen von krystallo- graphischen Symmetrieaxen. fallen. Es kommen also hier die allgemeinen Formeln zur Anwendung, die ich fiir die Drillung eines rechteckigen Prismas aus beliebiger krystallinischer Substanz entwickelt habe. l)

Nach denselben gibt sich der Drillungswinkel z eines 1) W. Voigt , Wied. Ann. 29. p. 604. 1886.

Elasticitlit von Beryl1 iind Ber&?/stall. 497

Prismas von der LSlnge L , der grasseren Querdimension B, der kleineren D, durch ein Drehungsmoment N durch die Formel:

Hierin ist T der Drillungs-, E der Dehnungscoefficient, welcher schon durch Formel (29) definirt ist; GJ‘ und 8” sind zwei ahnliche Punctionen der Richtungscosinus a, 8. y, a ] , pl, y l , u2, P2, y 2 , welche die Lagen von L, B nnd D gegen die Krystallaxen bestimmen. Es gilt niimlich:

(32)

Die Grosse f ist eine Function des Verhaltnisses BjD, welche bei Werthen desselben, welche 3 ubersteigen, als merklich constant angesehen und demnach durch Combination von Beobachtungen eliminirt werden kann.

Die Orientirungen der Prismen, far welche @‘= O”= 0 ist sind fur die Beobachtung am geeignetsten, einmal weil sie nach der Theorie eine Drillung ohne Biegung gestatten, was in technischer Hinsicht erwunscht ist, andererseits, weil fiir sie die obige Formel sich sehr einfach auf

(33) r = - - -- ’ lVLT - -- - - - reducirt.

Diese ganz allgemeinen Pormeln (29) und (33) sollen nun fur die speciellen Orientirungen der verschiedenen fur die Beobachtung geeigneten Prismen angewandt werden.

Fallt die Langsrichtung in die krystallographische Haupt- Aiin. d. Phys. u. Chem. N. F. XXXI. 32

498 W. Vuigt.

axe - Gattung ( O O ) - so wird y = 1, y1 = y z = ac = p = 0 sein, daher: (34) SEo = S,,, ST, = S44, S@,'= 0, S @ / = 0.

E s gilt also fur die Torsion die einfachere Formel (33); die sie enthaltende (nahe constante) Function f muss durch die Beobachtung bestimmt werden. Die Lage der Quer- dimensionen kann einzig auf ihren Werth influiren, im ubri- gen ist sie gleichgultig.

Liegt die Langsrichtung in der Symmetrieebene 1-2 in1 ersten oder dritten Quadranten, und schliesst sie mit der Haupt- axe den Winkel 45O ein, und fAllt die griissere Querdimension (B) in die X-(Symmetrie-)Axe, so sol1 die Gattung Prismen mit (+ 45O) bezeichnet werden. Hier ist y = 13 = 1 /l&, * y z = F IS, = l/Vii, u l = l , a=ac2=p1=jll=0, also:

(35) S E + 4 5 = $ (sll f s33 f s,, + CS13 - slJ)),

S(9'= 0 , S@"= * (S,, - s,, + S,,), 1 S ' 1 ' 4 4 5 = d ( S , & 4 + a ( S , 1 - 8 1 2 ) + 4Si.g). Dass 63" von Null verschieden ist, lasst die Formel fur

die Torsion unbequem cornplicirt sein; man wird diese Gat- tung Prismen daher nicht gern zu Drillungsbeobachtungen benutzen.

Die Gattung (- 45O) unterscheidet sich von der vorigen nur dadurch, dass die Langsrichtung im zweiten Quadrant liegt, y = - p = l / V 2 ist. Hier gilt:

SE-45 = 4 (q, + Is,, + S,, + 2 ( b y l , +'S,*)) (3G) { S T -45 = 4 (SG4 + 2 (S,, - SI2; - 4 8,J.

Liegt die Langsrichtung des Prismas normal zur Haupt- axe, d. h. in der Ebene der Nebenaxen, 80 hat man y = 0. also fiir die Gattung (goo):

wie auch immer die Orientirung im iibrigen sei. Dies Re- sultat ist analog dem bei hexagonalen Krystallen gefundenen. Ferner ist unter der gleichen Voraussetzung:

S'lgo = S1,y1,4(3u2- p),

(37) 8 Ego = S,, ,

IW,, = S4, + (2(S,,- SI2) - S,,) yZZ + 4 s;4[p~1 (3aac,-PP1) - p2 u2j , SO9:= S14y,/3(3a2- p2).

Unterscheiden wir wie beim Beryl1 zwei Gattungen (90OA)

Elasticiliit von Beryl1 und Beryhrystall. 499

und (90° B) jenachdem die kleinere oder grossere Querdimen- sion in die Haiiptaxe fallt, d. h. y 2 oder y1 = 1 ist, so erhalt man fur die Gattung (90OA):

liingegen fur die Gattung (900 B): (35) s'l,o,= 2(811-810,), 8 8 9 6 ~ = O , $@,;~=h'l,/3(3n~-P')

(39) S ' r ! H B = 8 A z & 1 h ' @ & B = $1,P(3C4'-P2): 804B=0. Es sind hiernach fur die beiden Gattungen die Torsions-

coefficienten rings um die Hauptaxe her constant, nicht aber die gleichen Bedingungen entsprechenden Torsionswinkel, denn in Formel (31) variiren die 0' und 0" mit cc und $, aucli istf wechselnd. Da aber diese Ausdriicke in Gleichung (31) sammtlich in Potenzen von D I B multiplicirt auftreten, so ist eine starke Abhhgigkeit der Torsion yon der Lage der Prismenaxe in der Ebene der Xebenaxen nicht zu er- warten; besonders findet dies statt bei der Gattung (90° A), da fur diese W = 0 ist, welches nach Formel (31) in das grosste variable Glied multiplicirt ist.

Die Orientirung der Prismenaxe normal zu der krystallo- graphischen Symmetrieebene hat die besondere Wichtigkeit, daas ftir sie die bisher als unbekannt benutzte Function j ' sich theoretisch bestimmen lasst.

Wir haben als die Guttung (90O.A) oben diejenige he- zeichnet, fur welche die Langsrichtung und die Breitenrich- tung normal zur Hauptaxe steht; wir wollen die Benennung (90" A I ) specie11 fur Stabchen normal zur Symmetrieebene einfuhren, wenn fur sie :

= p1 = j r 2 = 1 , & = yl = 0 ist. Fur diese Gattung gibt die Theoriel) neben:

Die Gattung (9OOBI) ist analog gegeben durch: a = p 2 =yl = 1, PI = y:! = 0;

_ _ _ _ 1) 1. c p. 616. Dort ist in Formel (331 einzufiihren:

S5,'= P(S,, - s,,,, s,4'= s,,, s,5'= 2 4 , . 32 *

500 W. Voigt.

fiir sie gibt sich analog’):

Sind nun aus den Beobachtungen nach den vorstehen den Formeln die sechs unabhkngigen Determinantenverhalt- nisse : \

S’JS = S l l , S,,:S = S12, Sl3/S = S13,

S14iS = S 1 4 ) s33;s = SS3, s4,js = sg4 berechnet, so bestimmen sich aus ihnen die sechs Elasti- citatsconstanten :

‘111 5 2 , c139 c141 c339 c44

durch die folgenden Gleichungen:

Aus c) und d) folgt:

I ats e) und f ) :

Unter diesen Constanten bestehen nach der Po is s on’- schen Theorie, wenn vorausgesetzt wird, dass die Molecule

1) ibid. I11 Formel (35) zu setzen: Sss’= s,,, s,;= 2(Sll - S,,), &‘ = 2S14.

Elasticitat von Beryl1 und Berghrystall. 501

der Substanz keine Polaritat besitzen, dieselben heiden Re- lationen, die fur das hexagonale System gelten, namlich : (44) cI3=cqj, cI1 = 3c1,.

Bus den Verhdtnissen Shk bestimmt sich wiederum die Deformation eines rhomboedrischen Krystalles bei anderen als den oben vorausgesetzten Umstanden.

1st ein beliebig gestaltetes Stuck einem allseitig gleichen Druck ausgesetzt, so folgt genau, wie fur das hexagonale System gefunden : (45) { 52 = - p (‘11 f ‘12 f ‘13) = ?/Y9 ‘2 = - p (2s,3 + ‘33)r

y. = zz = zy = 0. Die Compressionscoefficienten parallel und normal zur

Hauptaxe werden daher auch:

(46) { der cubische Compressionscoefficient:

Ebenso fdg t fiir die Aenderung des Winkels x zwischen zwei Ebenen, deren Normale durch die Richtungscosinus al, PI, y1 und a2, PZ, yz gegen die Krystallaxen bestimmt sind, dieselbe Formel:

mit dem charakteristischen Coefficienten:

A, = 2s,, + s 3 3 , A,, = s11 + s12 + ‘13,

M = 833 + 2 (‘11 + 812) + 4 s 1 3 -

(47) ‘XsinX= - ~ ( ‘ 1 3 + s 3 3 - 8 ~ 1 - s 1 ~ ) ( 2 ~ ~ ~ ~ - ( ~ 1 2 f ~ ~ 2 ) C 0 s ~ )

= ‘13 + ’33 - ’11 - ‘12. Auch bei einseitigem Druck auf die Basis oder Mantel-

flilche verhalt sich ein Cylinder aus einem rhomboedrischen Krystall einem hexagonalen gleich, falls seine Axe in die krystallographische Hauptaxe fallt, nicht hingegen bei ande- rer Orientirung. Man kann daher fiir rhomboedrische Kry- stalle aus den thermischen Ausdehnungscoefficienten a, und al parallel und normal zur Hauptaxe ebenfalls die Grosse der Warmeabstossung, gemessen durch go und q l , bestimmen wie fur hexagonale durch die Formeln: (48) = 912s13 + 90533 , .al = !?I (‘11 f ‘12) + qOs13’

(Fortsetzung im iiiichsten Heft.)