Vol. XXV, 1974 303

Bewegungs~iquivariante, additive und stetige Transformationen konvexer Bereiche

Yon

ROLF SCHNEIDER

Die Menge ~4 der konvexen Kdrper (nichtleere, kompakte, konvexe Punktmengen) des d-dimensionalen euklidisehen Raumes E ~ (d > 2) wird eine topologisehe Halb- gruppe, wenn sie wie fiblieh mit der Minkowskischen Addition und der durch die Hausdorff-Metrik induzierten Topologie versehen wird. Einen Endomorphismus dieser topologischen Halbgruppe, der fiberdies ~quivariant ist beziiglieh der auf ~ operierenden BewegungsgTuppe des E e, wollen wir kurz als einen Endomorphismus yon ~ bezeichnen; das ist also eine Abbildung T: ~ -+ ~ , die den folgenden Be- dingungen genfig~:

(1) T(K1-4 -K2) - - - - T K l q - TK2 /iir K1, K 2 e ~ ~,

(2) T ist stetig,

(3) T b -~ b T /iir jede Bewegung b des E ~.

Einige Aussagen fiber die Endomorphisrnen yon ~ sind in [8] zusammengestellt. Insbesondere linden sich dort reichhaltige Klassen niehttrivialer Beispiele sowie zu- s~tzliche Bedingungen, die geeignet sind, aus der Vielfalt der Endomorphismen die trivialen auszusondern. Im folgenden wollen wir nur den Fall d = 2 betrachten. Uber die Endomorphismen yon ~2 1/~13t sich vermSge einer Integraldarstellung yore Fal- tungstyp ein vollst/tndiger Uberbliek gewirmen; dureh den ~achweis der Existenz dieser Darstellung wird eine in [8] offengebliebene Frage beantwortet.

2qaheliegende Beispiele ffir Endomorphismen yon ~2 erh/~lt man in der folgenden Weise. Wir bezeichnen mit SO (2) die Gruppe der (eigentliehen) Drehungen des E 2 (mit dem Ursprung als Fixpunkt). Durch s (K) sei der Steinerpunkt des konvexen KSrpers K bezeiehnet. Sind nun dl . . . . . dr e SO (2) Drehungen und 21 . . . . . 2r positive reelle Zahlen, so ~Srd dureh

(4) T K = 2 1 d l [ K - - s(K)] q- --- ~- ~rdr[K - - s(K)] -]- s (K) , K e ~2 ,

offenbar ein Endomorphismus T yon ~2 definiert (ffir K e ~2 und t e E 2 ist dabei K -}- t ----- {x q- t [ x e K} gesetzt). Die Dreh/~quivarianz beruht dabei auf der Kommu- tativit/it yon SO (2), so dal3 diese Art yon Endomorphismen ffir die Dimension 2 typiseh ist. Wesentlich ist ferner, dal3 die Steinerpunktabbildung s : ~2 _> E2 eben- falls die Eigenschaften (1), (2), (3) (mit s anstelle yon T) hat. Die zweimalige Ver-

304 R. SCHNEIDt~K AI~CH. MATH.

schiebung um -- s (K) bzw. s (K) in der Definition (4) bewirkt im Endeffekt die Trans- lations~quivarianz der Abbildung T. Von der ,,endlichen Drehmittelung" (4) kann man verallgemeinernd zu ,,kontinuierlichen Drehmittelungen" iibergehen, d.h. zu Abbildungen, die sich unter Verwendung der Stiitzfunktion durch (6) beschreiben lassen. Der unten nachzuweisende Satz 1 zeigt, dal3 hiermit bereits der allgemeinste Fall erfaBt ist.

Im folgenden sei eine orthonormierte Basis el, e2 des E 2 lest gew~hlt. Wir setzen

u(q~)-= (cosq~)el ~-(sinq~)e2, ~ e [ 0 , 2 ~ ) ;

und fiir K e ~2 sei

h(K;q~)=Max{ (x ,u (q~)} [xeK} , ~ d [ 0 , 2 = ) ,

wo (,> das Skalarprodukt im E 2 bezeiehnet. Die Funktion h(K; .) ist also die auf die Einheitsvektoren eingeschr~nkte Stiitzfunktion yon K, aufgefaBt als Funktion des Winkels, den der jeweilige Einheitsvektor mit el bildet. Im folgenden wird die Be- zeichnung ,,Stiitzfunktion" immer in diesem Sinne verwendet, soweit nichts anderes gesagt ist. Bei Benutzung der Stiitzfunktion l~Bt sich der Steinerpunkt darsteUen dutch die Formel

(5) s(K) 1 ~.n = - S h(K; ~) u(~) d~ , K e ~2. ~ 0

Ein Borelmal] der Form

B ~-> f (a, u (~)> dF (B c [0, 2 ~) Borelmenge) n

mit einem konstanten Vektor a e E 2 wollen wir fiir die Zwecke dieser Arbeit als ein lineares. Marl bezeichnen. Nun l~I3t sich unser Hauptergebnis folgendermaBen for- mulieren.

Satz 1. Zu ]edem Endomorphismus T yon ~2 existiert ein positives Borelmafl ~ au/ [0, 2 g) mit

2~ (6) h(TK; ~) =- Sh(K -- s(K); ~ ~- v2) d~(yJ) ~- @(K), u(~)>, ~ e [0, 2=) ,

0

]i2r alle K e ~2. Das Marl ~, ist dutch T bis au/ ein lineares Marl eindeutig bestimmt.

Umgekehrt ist natiirlieh klar, dab jedes positive Mal3 v vermSge (6) einen Endo- morphismus T liefert: Wegen v ~ 0 stellt die rechte Seite der Gleiehung (6) stets eine Stiitzfunktion dar, defmiert also einen eindeutig bestimmten konvexen KSrper T K e ~2. Additivit~t (im Sinne yon (1)) und Stetigkeit der dadurch erkl~rten Ab- bildung T ergeben sich aus bekannten Eigensehaften der Stiitzfunktion und des Steinerpunktes, und die Bewegungs~quivarianz ist unmittelbar nachpriifbar.

Beim Beweis yon Satz 1 haben wir einen Darstellungssatz ftir gewisse reellwertige Funktionale konvexer Bereiche zu benutzen, der sich als Korollar eines Ergebnisses yon Hadwiger [4] er~bt. Hierzu sei an den Begriff der Ober]liichenmafle konvexer K51]~er erinnert, wie sie yon Aleksandrov [1] und Fenchel-Jessen [3] (vgl. a. Buse- mann [2]) eingefiihrt worden sind. Im hier betrachteten Fall d ---- 2 gibt es nur ein

Vol. XXV, 1 9 7 4 Transformationen konvexer Bereiche 305

solches Mal3. Wir kSnnen das Oberflachenmal3 des konvexen Bereiches K e ~2 als ein (positives) Borelmal3 auf [0, 2 ~) auffassen; es sei mit/z (K; .) bezeichnet. Das Y[aB F (K; -) hat die folgende geometrische Bedeutung. FOX eine Borelmenge B c [0, 2z) ist/~(K; B) die Bogenlange der Menge aller Randpunkte yon K, in denen u(~) mit einem ~ e B als aul3erer Normalenvektor auftritt. FOx konvexe Bereiche K mit zweimal stetig differenzierbarer Stiitzfunktion ist #(K; -) das unbestimmte Integral des Kriimmungsradius yon aK, aufgefa~t als Funktion der Normalenrichtung. FOx solche K gilt also

2~t 2~t

(7) Sg(~v) dF(K; ~v) - - - - Sg(~o) [h(K; ~v) ~- h" (K; ~v)] d~v 0 0

fiir jede stetige, periodische Funktion g (unter periodischen Funktionen sind hier und im folgenden stets solehe mit der Periode 2~ verstanden). Die Abbildung F yon ~2 in die additive Gruppe der Borelmal3e auf [0, 2~) hat die Eigenschaft

# ( K I ~ - K 2 ; ' ) - - - - F ( K 1 ; ' ) + F(K2; . ) , K1, K 2 e ~ 2.

Allgemein woUen wir eine Abbildung A yon ~2 in eine Menge, auf der eine Addition ~- erkl~rt ist, im MinkowJcischen Sinne additiv nennen, wenn

A (Kz + K2) ---- A K z + AK 2 fOx alle Kz, K2 e ~ gilt.

Satz 2. Zu jedem translationsinvarianten, stetigen, im Minkowskischen Sinne acldi- tiven .Funktional / : ~9. __> R existiert eine stetige, loeriodische Funktion g:R--> R derart, daft

2:z

(8) / (K) = ]g(v2) dF(K; ~p) /iir a l l e g e ~2 0

gilt. Dabei ist g(~v) bis au I einen Summanden der ~orm aeos~-J-bsin~v (a, b konstant) eindeutig bestimmt.

Dal3 umgekehrt bei gegebener stetiger Funktion g dureh (8) ein translations- invariantes, stetiges, im Minkowskisehen Sirme additives Funktional i definiert wird, folgt aus bekannten Eigenschaften der Abbildung/z; neben der Additivit/it ist hier die Translationsinvarianz und die schwache Stetigkeit maBgeblieh. Zur weiteren Erl~ut~rung des Satzes sei ferner auf die allgemeingtiltigen Relationen

2~ 2zt

(9) ]cos~vd/~(K; ~v) ---- ]siny~dF(K; v?)----0 0 0

hingewiesen.

Beweis yon Satz 2. Als ein im Minkowskischen Sinne additives Funktional hat / insbesondere die Eigensehaft der gewShnlichen Additivit~t,

] (Kz u K~) + / (K1 c~ K~) - - - - ] (Kz) -[- 1 (K~), falls Kz, K~, Kz w K~ e ~ ,

denn bekanntlieh grit

K~ w K~ + K1 n K~ = Kz + K~,

wenn neben Kz und K2 auch K~ w K2 konvex ist. Das translationsinvariante, additive Archiv der Mathematik XXV ~ 0

306 R. SCHNEIDER ARCH. MATH.

und stetige Funktional f l~13t sieh nach einem Satz yon Hadwiger [4] darstellen in der Form

2~ (10) / ( g ) - ~ r [ g ( y J ) d / ~ ( g ; y ~ ) ~ y F ( K ), K e ~ 2,

0

wobei ~ und 7 zwei nicht yon K abh~ngende Konstanten bedeuten und g : t t --> R eine ebenfalls nur yon f abh~ngige, stetige, periodisehe Funktion ist. Durch F (K) ist der Fls yon K bezeichnet. ])as mittlere Integral ist yon Hadwiger in einer anderen Form angegeben worden, insofern als nicht In te~a t ion bezfiglich des Mal3es/~(K;-), sondern eine Integration fiber den Rand yon K unter Verwendung des Bogenl&ngenmaBes zur Anwendung gelangte. Indessen ist die Gleichwertigkeit beider Ausdrficke leicht einzusehen, etwa zun~chst ftir konvexe Bereiche mit zweimal stetig differenzierbarer Stfitzfunktion, und dann durch ein Approximationsargument allgemein. Im fibrigen kann die Argumentation, durch die in [4] die Gtiltigkeit der Darstellung (10) yore Spezialfall der Polygone auf den allgemeinen Fall ausgedehnt wurde, bet Verwendung des Ma~es/~ aueh unmittelbar durch eine gel~ufige Schtul~- weise (Fenchel-Jessen [3], S. 12) ersetzt werden.

Das durch (10) dargestellte Funktional / ist nur dana im Minkowskisehen Sinne additiv, wenn ~ ~- y ~ 0 ist. Die Frage der Eindeutigkeit der Funktion g i s t bereits bet Hadwiger [4] gekl~rt; Satz 2 ist also bewiesen.

Bemerkung. Man kSnnte versucht seth, die Existenz einer Integraldarstellung ver- trauterer Gestalt anstelle yon (8) zu vermuten: Ein auf ~2 erkl~rtes stetigesFunktional l ~ t sich auffassen als ein stetiges Funktional auf der Menge ~ der Stfitzfunktionen, also auf einem abgesehlossenen Kegel innerhalb des l~aumes C(S 1) der stetigen, periodischen Funktionen yon t t nach It (wobei C(S 1) mit der Maximum-Norm ver- sehen set). Da die abgesehlossene lineare Hfille yon .~ ganz C (S 1) ist, liegt der Versuch nahe, das Funktional / zu einem stetigen, linearen Funktional auf C (S z) fortzusetzen, wonach dann der Rieszsche Darstellungssatz eine Integraldarstellung

2:z (11) ](g) = ]h(K;y~)d~(vJ), K e ~ ~ ,

0

mit einem yon K unabh~ngigen endlichen (signierten) Borelmal~ ~ erg~be. Eine solehe Darstellung ist jedoch nieht in jedem Falle mSglich, da ein in der Form (11) darstell- bares Funktional gleichm~i~ig stetig ist. Es gibt aber translationsinvariante, stetige und im iV[inkowskischen Sinne additive Funktionale ] : ~2 _> R, die nicht gleich- m ~ i g stetig sind; ffir sie existiert also auch keine Fortsetzung der geschilderten Art. Ein Beispiel wird gegeben dureh die Vorsehrift

2~

f(g) = f (1-- Vt sin~0 ]) d/~(K; ~), K e ~ 2 . o

Das hierdurch erkl~rte Funktional / ist nieht gleiehm~Big stetig: Set 5 ~> 0 eine reelle Zahl, o.B.d.A. (5 <: 1/4. Set K1 die Streeke mit den Endpunkten q- aeu, wobei a -1 ~- 16 ~ ist. Dann ist das MaB #(K1; ") in den Punkten 0 und ~ konzentriert, und zwar wird jedem dieser Punkte der Wert 2a zugewiesen. Die Strecke K2 gehe aus K1 dutch Drehung um den Winkel :r hervor; dabei set asin=r ----- 5. Dann haben K1

Vol. XXu 1 9 7 4 Transformationen konvexer Bereiche 307

und K2 im Sinne der Hausdor i f -Metr ik den Abs tand ~, und es gilt

/ ( K 1 ) - / ( g 2 ) = 4 a - - 4 a ( 1 - - ~ / ~ ) - - - - 1 .

B e w e i s y o n S a t z 1. Es sei T ein Endomorph i smus yon ~ . Mit einem zun~chst fes tzuhal tenden T E [0, 2 ~) erkl~ren wir eine A b b i l d u n g / r : ~2 _> R durch

/r (K) ---- h (T K - - s (K) ; ~ ) , K e ~2 �9

Stet igkei t und Minkowskische Addi t iv i t~t des Steinerpunktes , der Abbi ldung T und der Stf i tzfunkt ion bedingen entsprechende Eigenschaf ten des F u n k t i o n a l s / ~ ; ferner ist /r offenbar t rans ta t ions invar iant . Nach Satz 2 gibt es eine stetige, periodische F unk t i on gr mi t

(12) h ( T K - - s ( K ) ; q ~ ) = S g r K e ~ 2 �9

In teg ra t ionen sind hier und im folgenden stets fiber das In te rva l l [0, 2 7r) zu erstrecken. Wegen (9) kann dabei g~ so gew~hlt werden, da$

(13) ~ gr (~v) cos ~p dv 2 = ~ g~ (~v) sin ~v dyJ = 0

ist. Bei dieser Normierungsforderung ist die Funk t ion gr nach Satz 2 eindeutig be- s t immt .

Eine derart ige Darste l lung (12) ~ b t es ffir jedes ~ e [0, 2 g). Bezeichnet a e S O (2) die Drehung u m den Winkel a, so ergibt sich aus der Dreh~quivar ianz der Abbi ldung T und der S te inerpunktabbi ldung

h ( T a K - - s ( a K ) ; ~) = j'gr d / ~ ( K ; ~ - - :r = f gr -~ cr d / ~ ( K ; ~v) =

= h (a ( T K - - s (K ) ) ; ~ ) = h ( T K - - s ( K ) ; cp - - cr = f g r (y~) dl~ ( K ; y~).

Wegen der eindeutigen Bes t immthe i t der normier ten Funk t i on gr f o l ~ gr (~v) = = gr (~v + ~), m i t g = go also gr (y~) ----- g (~v - - ~) ffir ~, ~v e [0, 2 g). D a m i t sehreibt sioh (12) in der F o r m

(14) h ( T K - - s ( K ) ; q ~ ) = S g ( ~ v - - ~) d # ( K ; ~ ) , @ e [0, 2~) , K e ~ 2 .

Zwisehenbemerkung. Die Gleichung (14) liefert bereits eine In tegra ldars te l lung der Endomorph i smen yon ~2. Aus verschiedenen Grfinden ist aber die zu beweisende Gleichung (6) vorzuziehen. Z u m Beispiel ist bei der Dars te l lung (14) nieht e inmal auf den ersten Blick zu sehen, welche ~unk t ion g dem tr iv ia ls ten Endomorphismus , n~mlieh der Ident i t~ t , zugeordnet ist. Es ist dies die du tch

1 1 1 g (Y~) ---- - - 2--~- ~ sin ~ ~ ~- sin ~ - - ~ cos ~ , v; e [0, 2 ~ ) ,

(und periodische ~or tse tzung) erkl~rte Funkt ion . Man best~t igt das (f'fir hinreiehend g la t t be rande te konvexe Bereiehe, was ausreichend ist) un te r Beach tung yon (7) dureh partielle IntegTation.

U m yon (14) zur Darste l lung (6) zu gelangen, w~hlen wir fiir n = 1, 2 . . . . eine unendlich oft differenzierbare, periodisehe Funk t ion kn : R--> R mi t den Eigensehaf ten

kn > 0, kn(y~) = 0 ffir ( l /n) ~ y~ ~ 2 ~ - - (l /n), ~kn(~p) dy~ ~- 1 ,

20*

3 0 8 R. SCHNZIDBI~ ARCH. MATH.

und setzen .[ g(~ -- ~) Ion (-- q)) dcf -~ gn (r162 ,

f h ( T K -- s(K); ~) Ir (~r -- cp) dq~ = / n ( K ; :r

]:)ann sind gn und In(K; ") beliebig oft differenzierbar, und die Folgen (gn) und (In(K; ")) konvergieren gleichm~i3ig gegen g bzw. h ( T K -- 8(K); .). Aus (14) folgt

(15) / n ( K ; c f ) = Sgn(V2--q~)d#(K;~f), K e ~ 2 ,

und daraus ergibt sich

(16) / n ( K ; q ~ ) : Sh(K;cf+yJ)[gn(yJ)+g~'(v2)Jdy~, K e ~ 2 .

man folgert dies zun~chst fiir konvexe Bereiche K mit zweimal stetig differenzier- barer Sttitzfunktion aus (15) unter Beachtung yon (7) dutch partielle Integration; das allgemeine Resultat folgt dann dutch Approximation.

Wegen der Voraussetzung kn ~ 0 ist die Funktion ]n(K; ") eine Stiitzflmktion, es gilt also

/n(K;cf) zr] 'n ' (K;q~)~O, ~ e [0, 2z ) , K e ~ .

Differentiation in (15) ergibt daher insbesondere

(17) ~[gn(YJ) +g'n'(~P)]dl~(K;Y)) ~ 0 f'tir alle K ~ 2.

I-Iieraus folgt die Existenz zweier Konstanten an, bn mit

(18) gn(~) ~ g'n'(v2) -F- ancosyJ -~ bnsin~p ~ 0 ftir alle ~p e [0, 2~) . H

Zum Beweis w~hlen wir eine Konstante c > 0 derart, dab die Funktion gn + gn ~- c eine Stiitzfunktion ist; das ist m6glich, da gn + g~" zweimal stetig differenzierbar ist. Sei L e ~2 der konvexe Bereich mit h(L; .) -~ gn + g'n' ~ c; sei r der Inkreisradius yon L und t e E 2 ein Vektor derart, dab L -~ t den Kreis Kr mit Radius r u n d Mittel- punkt im Nullpunkt des E 2 enth~lt. Wegen der Gr6Bteigenschaft yon Kr gibt es Punkte xl . . . . , xj e aKr n a (L ~ t), deren konvexe Hiille den Nullpunkt im relativen Inneren enth~lt; dabei kann ~ ---- 2 oder ?" ---- 3 gew~hlt werden. Sei K eine Strecke bzw. ein Dreieck mit xl . . . . . x i als ~uBeren 57ormalenvektoren. Dann gilt

r 5d t t (g ; y~) = ~h(L; v2)dtt(g; ~f) -=

= ] [gn (~P) + gn'(Y ~) + c] d#(K; y~) ~ c Sdf~(K; y~)

nach (17), also r ~ c und daher

9n (Y~) -]- g~'(v2) A- c z~ (t, u(~v)> ---- h(L + t; y~) > r > c,

woraus m i t t = an e~ -~- bn e~ die Behauptung (18) folgt. Die Konstanten an und bn sind dutch eine yon n unabh~ngige Konstante beschr~nkt:

Sei K die Strecke mit den Endpunkten 0 trod 2e~. Es gilt

/ n (K;~ ) = ~h(K;q~-v?)[gn(y~)+g'~'(v2)]d~ nach (16)

-- ]h (K; ~ ~ y~) [an cos ~p ~ bn sin y~] dy~ wegen (18) und h ~ 0

--~ ~ ( - - a n COS q~ -]- bn sin ~) wegen (5) und s (K) ---- e~.

Vol. XXV, 1 9 7 4 Transiormationen konvexer Bereiche 309

Wegen l imfn(K; q~) = h ( T K -- s (K) ; ~) gibt es also eine Kons tan te c > 0 mi t n - - ~ o o

- - an cos (p -j- bn sin ~ < c fiir ~ e [0, 2 ~), n ---- 1, 2 . . . . .

Daraus folgt l an I <= c, I bn I < c. J e t z t kSnnen wit o.B.d.A, anne]amen, dal~ an--->a, bn --> b ftir n --> r162 gilt. Aus (16) folgt dann

h ( T K -- s(K); ~v) ~- Sh(K; q~ ~ ~) [a cos ~ ~- b sin ~v] dv 2 =

= lim {In(K; q~) q- f h (K; ~ q- ~o) [an eos~ q- bnsiny)]dv2} ~--

- - lim f h (K; ~ + ~v) [gn (~p) + gn" (YO + an cos ~ -~- bn sin ~9] d~o ~ . - ) - o o

fiir alle K e ~2. Aus der Exis tenz des letzten Limes fiir alle K e ~2 folgt wegen (18) nach einer bekannten Schlul~weise (Fenchel-gessen [3], S. 9) die Exis tenz eines posit iven BorelmaBes ~ auf [0, 2~) mi t

lim f[(~p) [gn (~o) q- gn'(~v) q- an cos~fl -~- bn sin ~o] dy) = f/(~fl) d~(yJ) n - - ~ o o

fiir jede stetige, periodisehe F u n k t i o n / . Insbesondere gilt also

(19) h ( T K -- s(K); ~) =

= fh (K; ~ q- ~) dr(~) -- Sh(K; q~ q-~) [acos~o q- bs in~] dw und

(20) Scos~odr(yJ) = ~ a , Ssin~od~(w) = g b .

Unte r Benutzung yon (5) und (20) bereehnet man

~h(K; cf -~ yJ) [a eos~v A- b sin~] d~ =

= ~(s(K), au(q~) -+- bu*(q~)~ (mit u*(~9) ---- - - (sin~) el ~- (cos~o) e2)

---- f (s (g) , u (~ A- ~o)) dr (v2) -= f h ({s (K)} ; ~ q- v2) dr (~v).

Dami t 1/tl~t sich (19) in der Fo rm

h ( T K - - s (K) ; ~) = f h ( K - - s (K) ; ~ + ~0) d~(~o)

schreiben, was mit (6) gleichwertig ist. Es bleibt zu zeigen, dal~ v durch den Endomorphismus T bis auf ein lineares Mat~

eindeutig bes t immt ist. Is t ~ ein zweites Mal~ mit

h (TK; ~) = f h (K - - s (K); ~ ~- ~v) d~ (~) ~- <s (K), u (~ ) ) , ~ e [0, 2 ~ ) ,

ftir alle K e ~2, so gilt

Sh(K -- s ( g ) ; ~v) d ( r - - ~) (~) = 0

ftir alle K e ~ 2 woraus

f / ( ~ ) d(~ - - ; ) (W) = 0

f'fir jede stetige, periodische Funk t ion ] mi t

]/(y~) cos~o d~o = ]](~o) sin~o d~o = 0

310 R. SCHNBIDBR ARCH. MATH.

fol~. Fiir die Differenz ~ des MaBes v -- ~ und eines geeigneten linearen MaBes gilt dann

S](~) d~(~) = 0

fiir jede stetige, periodische Funk t ion / . Daraus folgt ~ ---- 0, also die Behauptung. Satz 1 ist damit bewiesen.

Bemerkung. Wenn das Mai~ v dttrch Addition eines geeigneten linearen Mal3es normiert wird zu einem Mal3 ~ mit der Eigenschaft

~cos~p d~(yJ) -~ 1, ] s i nF d~(yJ) = 0,

so laBt sich die Darstellung (6) kiirzer sehreiben in der Form

h ( T K ; of) = ~ h ( K ; cf + yJ) d~(yJ).

Das normierte MaB ~ ist eindeutig bestimmt, jedoch im allgemeinen nicht mehr positiv.

Bemerkung. Anhand der Darstellung (6) ergibt sich nun naehtr~glieh, da$ jeder Endomorphismus yon ~2 gleiehm~$ig stetig ist. Wii$te man das vorher, so wiirde die Bemerkung nach dem Beweis yon Satz 2 einen kiirzeren Beweis yon Satz 1 erm6glichen (vgl. a. Meyer [7] Ftir eine entspreehende SehluSweise beim Naehweis einer Kenn- zeichnung des Steinerpunktes). Der vorstehende, verhitttnism~Big komplizierte Be- weis ist gerade deshalb erforderlieh, weft die gleichm~Bige Stetigkeit nicht yon vorn- herein vorausgesetzt werden soUte.

Bemerkung. Die Menge der Endomorphismen yon ~2 sei mit % bezeiehnet. Es liegt nahe, auf ~: eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren zu erkls durch die Festsetzungen

( T I + T z ) K = T 1 K + T 2 K - - s ( K ) , K e ~ . ~ ,

(~ T) K = ~ T K + (1 - - 2) s (K) , K e ~ z ,

fiir T, T1, T2 e ~, 2 >_-- 0. Einen Endomorphismus T e % wird man d&nn unzerlegbar oder extrem nennen, wenn aus T ---- T1 -[- T2 mit T1, T2 ~ ~ folgt, dab T~ ----- 2i T mit 2~ ~ 0 ist (i = 1, 2). Ist der Endomorphismus T vermSge (6) dargestellt, so erweist sieh T genau dann als extrem, wenn das MaB v in einem Punkt konzentriert ist. Dies ist aquivalent damit, dub die Abbildung T yon der Form

T.K = a [K - - s (K)] -t- s (K), K ~ ~2,

is~, wo a : Eu--->E ~ eine den Nullpunkt festlassende J~hnliehkeit bezeichnet. Die ex- tremen Endomorphismen yon ~2 sind also genau diejenigen Abbildungen, die jeden konvexen Bereich unter Festhaltung seines Steinerpunktes um einen festen Winkel drehen und mit einem festen Faktor streeken (dies sind naeh [8] (1.9) genau die surjektiven Endomorphismen yon ~2). Wir sehen aber keine M6glichkeit, diese Tat- saehe ohne u yon Satz 1 direkt nachzuweisen, so dab aueh der naheliegende Versuch, die Existenz der Darstellung (6) etwa (nach den erforderlichen Vorbereitun- gen) mit Hilfe des Satzes yon Krein-Milman oder verwandter Methoden herzuleiten, au f Schwierigkeiten stSBt.

Vol. XXV, 1 9 7 4 Transformationen konvexer Bereiche 31t

Abschlietend soll aus Satz 1 eine Kennzeichnung gewisser spezieller Endomor- phismen hergeleitet werden. Die Aussonderung trivialer Endomorphismen yon ~ durch geeignete zus/itzliehe Bedin~oxmgen war das Hauptziel der Arbeit [8]. Der dort bewiesene Satz (1.8) (b) l~ t t sich im zweidimensionalen Fall folgendermaten verall- gemeinern.

Satz 3. Sei I ' ein Endomorphismus yon ~2. Wird unter T ein Polygon (mit mehr als einem Punkt) als Bild angenommen, so ist T eine endliche Drehmittelung, also yon der t~' O?'Ti%

TK---- ) . l d l [ K - - s(K)] ~- --- 27 ),rdr[K - - s(K)] 27 s (K) , K e ~ 2,

mit ;r . . . . . )~r > O, dl . . . . . dreSO(2).

B ew e is. Wir diirfen annehmen, d a t das Bild eines gewissen konvexen Bereiches K mit s (K) ---- 0 ein Polygon P ist. Nach (6) gilt also

(21) h(P; qv) ----- ~h(K; q~ 27 yJ) d~(~), ~v e [0, 2 ~ ) .

Es ist jetzt zweckm~tig, die Stiitzfunktion eines konvexen Bereiches L e ~2 als positiv homogene Funktion auf E 2 aufzufassen; wir schreiben

H ( L ; v) : ]i vii h(L; ~) f'tir v e E2\{0}, wobei v/] I v]l -~ u(q~).

Sta t t (21) k5nnen wir dann schreiben

(22) H ( P ; v ) = ]H(K;avv )dv ( y j ) , v e E 2 ,

worin a v e SO (2) die Drehung um den Winkel yJ bezeiehnet. Die/~ul]eren Normaleneinheitsvektoren des Polygons P seien in zykliseher Reihen-

folge mit Ul . . . . . u i bezeichnet; wir setzen noeh uj+l ---- ul . Es sei Ci die positive Hiille yon u~ und ui+l (i ----- 1 . . . . . ]), falls P keine Strecke ist; ist P eine Strecke, so seien C1, C2 die beiden abgesehlossenen Halbebenen~ die yon der durch ul , u2 aufgespann- ten Geraden begrenzt werden. In jedem der Kegel Cl ist die Stiitzfunktion H (P; .) linear; wegen (22) gilt also

] [H(K; awvl ) 27 H(K; a~v2) -- H ( K ; a~vl + awv2)] d~(y~) = 0

f'tir al]e vl, v2 e Ci. Da der Integrand wegen der :Konvexits yon K nicht negativ ist, folgt wegen v > 0 die Gleichung

H (K; a w l 27 a~pv~) ~- H (K; a w l ) -4- H (K; a~v2)

ftir alle V aus dem Tr/tger des Mates v. :Fiir jedes derartige y~ gilt also

H (K; wl 27 w2) -~ H (K; wl) 27 H (K; w2) fiir alle wl, w2 e a v C~

(i----1 . . . . . ]). Insbesondere ist K daher ebenfalls ein Polygon; seine Normalen- vektoren sind enthalten in der Menge {awul . . . . , avu~}. Da K mehr als einen Punkt enthalten muG, besitzt K wenigstens einen Normalenvektor, etwa a~u~. I s t q9 ein weiterer Punkt aus dem Tr/~ger yon ~, so ist jeder Kegel ar ein Linearit/~tsgebiet der Stiitzfunktion H (K; -), sein Inneres kann also nicht den Vektor a~u~ enthalten.

312 R. SCHNBIDEK AI~CH. MATH.

Somit ist a v u 1 = a v u ~ :['fir ein geeignetes k e {2 . . . . . ]}. Hieraus ergibt sich, dab der Tr~ger yon ~, endlich ist, woraus die Behauptung yon Satz 3 folgt.

Es sei noch erwahnt , dal~ Inzinger [5] (vgl. a. [6]) spezielle Endomorphismen yon ~2 untersuch$ hat, die sich in geometrischer Weise durch eine Evolventoidenbfldung beschreiben lassen. Die Darstellung (6) gestat te t den lqachweis, da~ die meisten der yon Inzinger im Spezialfall festgestellten Eigenschaften i iberhaupt allen geeignet normierten Endomorphismen yon ~2 oder doch zumindest genau angebbaren, um- fangreichen Klassen soleher Endomorphismen zukommen.

Literaturverzeichnis

[1] A. D. AnEI~SA~D~OV, Zur Theorie der gemischten Volumina von konvexen KSrpern. I. (russisch). Mat. Sb. N.S. 2, 947--972 (1937).

[2] H. BusE~lr~, Convex surfaces. New York 1958. [3] W. F~NCt~L und B. JESSE,, Mengenfunktionen und konvexe KSrper. Danske Vid. Selsk.

l~Iat.-l~s. Medd. 16, 3 (1938). [4] H. HADWIGER, Translationsinvariante, additive und stetige Eibereichfunktionale. Publ.

Math. Debrecen 2, 81--94 (1951). [5] R. I~Zr~G~R, t}ber eine tineare Transformation in den Mengen der konvexen und der stiitz-

baren Bereiche einer Ebene. Monatsh. Math. 53, 227--250 (1949). [6] R. I~ZI~G~R, Stiitzbare Bereiche, trigonometrische Polynome und Defizite hSherer Ordnung.

Monatsh. Math. 53, 302--323 (1949). [7] W. J. MEv:m~, Characterization of the Steiner point. Pacific J. Math. 35, 717--725 (1970). [8] R. SC~IDER, Equivariant endomorphisms of the space of convex bodies. Trans. Amer.

Math. Soe. (ira Druck).

Anschrift des Autors: Rolf Schneider Fachbereich Mathematik Technische Universit~t Berlin 1 Berlin 12 Stral3e des 17. Juni 135

Eingegangen am l0. 7. 1973