Results in Mathematics Vol. 12 (1987)

0378- 6218/87/020191-16$1.50+0.20/0 (c) 1987 Birkhauser Verlag, Basel

Bewertungsringe von SchiefkBrpern,

Resuitate und offene Probleme

Martin SchrBder

Einleitung

Aus den folgenden Themenkreisen werden einige Ergebnisse und offe-

ne Probleme aufgezeigt . ~ Die allgemeinen Bewertungsringe vom

Rang 1. Theoretlsch slnd hlervon drei Klassen mBglich; w~hrend man

Beispiele zu den ersten beiden Klassen A und B kennt, 1st bis-

her eln offenes Problem, ob die Xlasse C nicht leer ist.

(Elne von N.I. Dubrovin angegebene Xonstruktion eines Beispiels

1st unvollst~ndig.) ~ FUr einen beliebigen nicht trivial bewerte­

ten Schiefk6rper (X,B) wird die durch den Bewertungsring B auf

X erzeugte Topologie TB betrachtet, die hier [im Gegensatz zu

X. Mathiak] definiert ist als grBbste Rlng- Topologie auf X bei

der B (und damit aIle Links- und Rechtsideale) offen ist. Das

ergibt immer elne elndeutig vorhandene Schiefkorpertopologie, -

sie ist aber nlcht immer elne V-Topologie. Offen ist das Problem ,

ob TB stets von Xofinal-Charakter ist.

§ , . Grundiagen

Sei K eln SchlefkBrper. Ein Bewertungsring von K ist ein Teil-

ring B mit vxEX* (xEB v x- 'EB) . Bekanntlich kann man nur im

FaIle der Invarianz von B (Vz€X* zBz -, = B) die durch B auf K

gegebene Bewertungsstruktur durch eine Schilllng- Bewertung

192 Schroder

v: K* 4 r ,r linear geordnete Wertegruppe, beschreiben. -

FUr die grundlegenden E1genschaften von Bewertungsringen verweisen

wir auf [M2]. Wichtig fUr das folgende sind:

Die Bewertungsringe von K entsprechen bijektlv ihren zugeh~ri-

gen Bewertungsidealen p - sowohl eln Bewertungsring B als

auch ein Bewertungsideal p beschreibt jewells elne "Bewertung"

von K. Die trivia Ie Bewertung von Kist durch B = K , P = 0

gegeben. Die ganzen (die gebrochenen) Rechts- bzw. Linksideale

eines Bewertungsringes B von K sind die Tellmengen I von B

(von K) mit Vb€B I·b c I bzw. vb€B b . 1 c I (Additivitat

von I folgt). Abstrakt ist ein allgemeiner Bewertungsring B ein

nuliteilerfreier Kettenring (mit 1), d.h. sowohl die Rechts-

ideale als auch die Linksideale bllden elnen jeweils per InkIu-

sion linear geordneten Verband Vr bzw. VI wobei wir aus

technischen GrUnden das Nuliideal nicht zu Vr bzw. VI rechnen.

FUr nichttriviales B haben Vr und VI kein kleinstes Element.

Ais linear geordnete Mengen ohne klelnstes Element haben Vr und

VI dann je einen bestimmten Koinitialit~tstypus; als wlchtige In­

varianten eines nichttrivialen Bewertungsringes B bezeichnen

wlr im folgenden mit Koin ----r bzw. den Koinitialitatstypus

von Vr bzw. VI' (Zum Begriff des Koinitialitatstypus (dual

zum Konfinalitatstypus) einer linear geordneten Menge ohne klein­

stes Element vergleiche man [H) : dieser ist stets eine eindeutig

bestimmte regulare Anfangsordinalzahl.) - Von den Bewertungsringen

B,B 1 in K heiSt B1 gr~ber als B, wenn B, = B gilt (ent­

sprechend P1 = p fUr die Bewertuogsideale), Dabei bilden die

Vergr~berungen einer festen Bewertung stets eine Kette. Wir sagen

Schroder 193

B hat Rang 1 , wenn B als echte Vergr6berung nur die triviale

Bewertung hat . Dies ist aquivalent dazu, daB unter den Idealen von

B auBer dem Bewertungsideal p nur noch 0 vollprim ist.

§ 2. Rang 1 - Bewertungsringe

In der Gesamtheit der Bewertungsringe vom Rang 1 sind theoretisch

drei Klassen m6glich, wie wir im folgenden sehen.

~l~ll~=~: B ist invariant (mit Rang 1).

Diese B sind bekanntlich durch Schilling-Bewertungen

vB: X* ... r auf eine (angeordnete) Untergruppe r von (IR,+, :ii )

darstellbar. Eine wichtige spezielle Teilklasse von A bilden

die diskreten Bewertungsringe B vom Rang 1. DafUr beweist man

relativ leicht die Xquivalenz

B ist vom Rang 1 mit p2 * P

.. B ist invariant mit Wertegruppe ~ ~ .

Zur Xlassifizierung der Ubrigen Bewertungsringe vom Rang 1 ben6-

tigt man

Lemma 2.1

Sei B ein beliebiger Bewertungsring von X und I ein (zwei­

seitiges) Ideal von B. Dann ist n In ein Vollprimideal von nElN

B.

(Vgl. [M2], p. 96.)

Daraus folgt direkt:

194 SehrCider

Lemma 2.2

B habe Rang 1. FUr jedes Ideal I von B mit liP gilt

n In z 0 • n€lN

Zur Kennzeichnung der nicht invarianten B vom Rang 1 hat man

den folgenden

Satz 2 . 3

B habe Rang 1. Dann gilt:

B 1st nicht invariant __ pl: p und unter den zweiseiti-

gen Idealen I von B mit liP existiert ein maximales

Y (e1n "direkter Vorg.!inger" von p) •

Beweis:

"." folgt aus der Beschreibung der invarianten Rang 1 - Bewer-

tungen als Schilling- Bewertungen mit einer Wertegruppe

r .: (lR, +)

Sei B

stiert

nicht invariant, p Bewertungsideal von B • Dann exi­-,

z€K· mit zpz i P ; somlt exlstiert x€p' {O} mit

-'1 S i -I •• -zxz p. e u I Wegen der linearen Ordnung der Menge

der zweiseitigen

xiII . - Und es

Denn sonat wAre

Wegen letzterem

I<oB xU

Ideale folgt

existiert kein

I .. B und

Ideal I

-I i p (wegen x€P ,

mit I i I 'f P

x€! , au.6erdem n In - 0 nach Lemma 2.2. n€l.

existierten n1€:N , n2€:N mit n, -,

und I c z P n,

I c 8z (lineare Ordnung der Menge der gebrochenen Rechts- bzw.

Linksideale)

Schroder 195

-1 z x z €p

Widerspruch! []

Falls fUr das in Satz 2.3 beschriebene Ideal I speziell 1=0

gilt, erhalten wir die

~!~~~~=~: B ist fast einfach (nearly simple), d.h. B enth~lt

auBer 0 und dem Bewertungsideal p keine anderen echten

zweiseitigen Ideale.

Die ersten konkreten Beispiele von fast einfachen Bewertungsrin­

gen sind von N.I. Dubrovin [01) und unabh~ngig von K. Mathiak

(Ml] konstruiert worden.

In dies en Beispielen von fast einfachen Bewertungsringen haben

die Verb~nde Vr und VI der Rechts- bzw. Linksideale (ohne 0)

- als linear geordnete Mengen ohne kleinstes Element - den

Koinitialit~tstyp Koinr = Koin l = Wo (abz~hlbar). Inzwischen

sind Beispiele bekannt, [52), von solchen fast einfachen Bewer-

tungsringen, wo Koin r = Koin l = wQ

ein bellebig vorgegebener

Koinitlalitatstyp, also eine beliebig vorgegebene regul~re An-

fangsordinalzahl wQ

ist. - Ob aber bei allen fast einfachen Be­

wertungsringen die Koinitialit~tstypen Koln r und Koin l immer

gleich sind, ist bisher ein offenes Problem.

Nach Satz 2. 3 bleibt als letztes die

196 Schroder

~.~~~~=~: In B mit Rang(B) = existiert ein zweiseitiges Ideal

- 2 I • P mit o ~ liP als direkter Vorganger von p .

Wie man wegen der I1nearen Ordnung der Menge der zweiseitigen

Ideale von B sleht, 1st das Ideal 1 prim, jedoch wegen

Rang (B) = 1 nicht vollprim.

Bisher 1st nun immer noeh ein offenes Problem, ob diese Klasse C

nicht leer 1st. Elne Konstruktion von N.l. Dubrovin [02] 2U einem

Beispiel der Classe C 1st unvollstandig. Dubrovin benutzt ein

sehr allgemelnes Konstruktionsprinzip fUr Bewertungsringe, das er

in [02] angibt. Jedoch hat der dart gefUhrte Beweis eine LUcke.

Ein exakter Beweis zu dies em allgemeinen Konstruktionsprinzip von

Dubrovin 1st hisher ein offenes Problem.

§ 3. Bewertungstopoloqie

Sei B ein be1iebiger nichttrivia1er Bewertungsring von K mit

8ewertungsidea1 p (8 nicht notwendig vom Rang 1). Wir wollen

dazu eine Topo1ogie T8 auf K de£inieren, die wenigstens stets

eine Ringtopo10gie sein soll und in der 8 und damit auch a11e

Links- und Rechtsidea1e offen sind.

8emerkung: Die im fo1genden beschriebene Topo1ogie T8 unterschei­

det sich im a11gemeinen von der von K. Mathiak in [M21, Chapt. 2,

definierten Bewertungstopo10gie, da die 1etztere nicht irnmer eine

Ringtopo1ogie ist, wahrend die obige stets eine Schiefk~rper­

topologie von Kist (Satz 3 .1). Desha1b sind auch die Beweise

mancher Aussagen, die in beiden Systemen analog lauten, hier neu

auszufUhren.

Schr oder 197

Aufgrund des nachfolgenden Satzes definieren wir

Te := gr Obste Ringtopologie au f X , in de r B offen ist.

Zur Berechtigung dieser Defini t ion zeigen wir den

Satz 3. 1

D1e Topol og1e Ta ex1st1ert e1ndeut1g, und s1e 1st schon stets

e1ne hausdorff'sche Sch1efk6rpertopologie von K • Eine umgebungs ­

bas1s der Null bezUglich Ta wird gegeben durch

U P" {aBb I a,b€B ..... {O}} •

Bewe1s:

FUr jede Ringtopologie auf K , in der B offen ist, ist II ein

Teilsystem der offenen Umgebungen der Null . Also ist unser Satz

bewiesen, wenn wir zeigen, daB das angegebene "sparsame" Mengen­

system D schon aIle die folgenden Axiome 1. b1s 6. erfUll t

(dabe1 sol I en U, U" .. . , V aus obigem D sein):

2 . n{u I UED} = CO}

3.

4.

YU 3V

YU 3V

v-v c: U

V ' V c: U

Sa. YxEX* YU 3V

Sb. YxEK* YU 3V

xV c: U

Vx c: U

6. YU 3V (1+V)-l c: 1+U

198 Schroder

Zu beachten 1st stets, daB dabei B als nichttrivial vorausge-

setzt wird, also 8 .. K , p*,O •

Zu 1.

Sel "1 • atBb i , 1 • , " . Wir setzen

r' falls a,' e a,. a :'" a, .. a,' " a, • falls

..

wobei die lineare Ordnung der Rechtsideale bzw. der Linksideale

beachtet wird.

_ a,b€S ..... {O} und as = atB '" Bb == Bbt fUr i:;: 1,2 •

fUr i = 1,2 .

Zu 2.

Zunachst 1st OEU fUr aIle UEU klar. - Sei x€K*

3U€U xfu.

1. Fall: Es gilt xfB

Dann gilt xfU;= B = '·8·1

2. Fall: xES.

zu zeigen:

Dann gilt xfU:= x8p mit p€p'{O} (denn wegen Sp c p folgt

l¢ep und x = x·, ¢xBp) .

Zu 3. und 4.

Zu U:::: aShEU setze V:= U .

3. 1st klar, da B Untergruppe von (K,+) 1st;

4. folgt wegen V-V = a(BhaB)b c a.e _b = U

Schroder

Zu Sa.

• Sei U = aBb , xEK

- 1

{

X a z:= 1

falls

"

- zEB ..... {O} -1 zB c: x aB. und

FUr V:= zBbEll wird xV = x·zB· b c: x.x- 1aBob = U .

Zu Sb.: ahnlieh.

Zu 6.

Sei U - aBb€ll (a,b€B ..... {O}) .

Wir set zen V:= apBb mit einem pEp-...{O} und zeigen

-1 (l+V) -1 :: U = aBb wie folgt:

Sei vEV, a l so v = apxb mit xEB . Es folgt vEp und

( Hv )-'EB

- 1 (Hv) -1 =

folgt

Unter Benutzung

-1 - v+v(Hv) v

der Identit.\it

-, -1 (Hv) - 1 = a[ - px+pxb( l +v) apxlb

EaBb. c

AuS der Definition der Topologie TB ergibt sieh leieht

Satz 3.2

1. B und aIle konjugierten Bewertungsringe

- 1 zBz , zEK· , erzeugen dieselbe Topologle .

2. B und aIle nlehttrivlalen grBberen Bewertungsrlnge

B, ~ B erzeugen dieselbe Topologle auf K . D

199

200 Schroder

Elne wlchtlge Klasse von (nichttrivialen) Bewertungsringen B von

K wird durch die folgende Eigenschaft (*) beschrieben:

(*) :-

d.h. der Durchschnitt der - per Inklusion linear

geordneten - Menge der von Null verschiedenen zwei-

seitigen Ideale von B 1st das Nullideal.

Alle invarianten Bewertungsringe erfUllen C*) , auch aIle sub-

invarianten, d.h. die Vergr~berungen von invarianten Bewertungs-

ringen. Von den Rang 1 - Bewertungsringen erfUllen genau dte fast

einfachen nicht (*)

Wie man leicht zeigen kann , gilt fUr B genau dann "nicht (*)",

wenn zu B ein gr8berer Bewertungsring B, = B existiert, wel­

cher fast einfach 1st.

Satz 3.3

Erfiliit der (nichttriviale) Bewertungsring B von K die Eigen­

schaft (*) , so bildet das System J = {I 10 * 1 <l B} der zwei ­

seitigen Ideale 1 * 0 eine Umgebungsbasis von 0 bezUglich TB

Beweis:

Zu zeigen: Zu jeder Standardumgebung aBb€U (a,b€B' {O}) exi-

stiert ein I, 1 <2 B mit 0 * 1 c: aBb . -

Wegen ('J existieren zu a und b solche

a¢11 * 0 und b¢12 * O. ~ 11 = aD und 12 c: Db

( lineare Ordnung der Menge der Rechts - bzw. Linksideale).

mit

Schroder 201

Damit ist 1:= 1 112 ein zweiseitiges Ideal von B mit I * a ,

und es gilt I = 1 10 1 2 ~ aS oSb = aSb 0

Q

Die Eigenschaft (*) ist in folgender Hinsicht von Bedeutung.

Eine hausdorff ' sche Ring-Topologie auf einem schiefk~rper K (mit

einer umgebungsbasis U(O) von 0) heiSt nach I. Kaplansky eine

V- Topologie

: _ FUr jede Umgebung U€U(O) ist M = {x- 1 €K* 1 x~u ) eine

(im Sinne der Topologie) beschr~nkte Menge, d . h. es gilt

VUEU(O) 3V ' ,V"€ U(O) : V"M c:: U ,., M.V" cU .

(vgl. [KD], [M2].)

Es gilt: Jede V-Topologie auf Kist lokal beschr~nkt, d.h. es

existiert mindestens eine Umgebung Uo€U(O)

schrankte Menge (im Sinne der Topologie) ist.

Satz 3.4

welche eine be-

Sei a Bewertungsring, p * a zugehBriges aewertungsideal einer

nichttrivialen Bewertung von K und Ta die davon erzeugte To­

pologie auf K . ~quivalent sind :

(i) TS ist V- Topologie

(ii) Ta ist lokal beschr~nkte Topologie

(iii) a erfUllt die Eigenschaft (* ) .

Beweis :

(i) ~ (ii) ist klar .

202 Schroder

(ii) .. (iii)

Eine Umgebung U = aSbEU (a,bEB'{O}) sei (links-) beschrankt, es

gelte also

(I) uBv-U c x8y • -

FUr beliebiges cEB'{O} 1st die Existenz eines I mit

o • I <l B und C,I zu zeigen.

Wlr wahlen ein pEp'{O} . Speziell fUr y:= pcb und x:=

folgt aus (1) die Existenz von u,vEB'{O} , so daB

uBv· aBb == Bpcb

uBvaB c Bpe

uvaB c Bpe ..

B·uvaB = a.Bpe = Bpe ..

I := BuvaB 1st ein zweiseitiges Ideal von B mit I * 0 und

I c Bpe ; dafUr gilt C~I

(denn eEl .. 3b,EB : c = b,pc .. 1 b,pEp , Widerspruchl).

(iii) .. (i)

Sei U = aBhEll eine belieblge Umgebung. Zu zeigen 1st:

Zu jedem U,EU existieren V',V"EU , so daB

(2) V'· { x-'EK· I x¢u} = U,

und

(3) {x-lEX· I x¢U}'V" c:: U,

gelten.

Wegen (ili) existieren nach Satz 3.3 zweiseitige Ideale 1,1, 1n

Schr oder 203

B mit 0' 1 c " und o • I, c ", . Wir w.!l.hlen a,c ... 0 mit

an , en,

- Ba } eB } aB

c I c " , Be c I, c ", .

Wegen Ba c U gilt

{x-'EK* 1 x(:u} == {x- 'EK* 1 x(:Ba l = {x-'EK* I xa-' (:Bl '"

{x-'e:K* 1 ax- 'e:p} = a-' "...{Ol , also sieher {x- 'EK* I xtul c a- ' B .

FUr die umgebung

V ' := cBaEU

ergibt sieh nun

also (2) wie verlangt.

Xhnlich ergibt sieh fUr v n : = aBeEU die Beziehung -,

Ba -aBc = Be = U, , also (3). o

Eine wichtige Klasse von uniformen Topologien bilden die mit

Kofinal-Charakter (vgl. [HM]). Diese sind dadureh ausgezeiehnet,

daB jedes Element eine (per Inklusion) linear geordnete Umgebungs-

basis hat . Die wichtigste Eigensehaft einer uniformen Topologie

mit Kofinal-Charakter liegt darin , daB man in ihr Grenzprozesse

statt dureh allgemeine Cauehyfil ter schon durch K- Cauchyfolgen

(K eine Limesordinalzahl) beschreiben kann : das sind cauchyfolgen

(X\l ) \I<K ' die mit Ordinalzahlen \I < K indiziert sind. (Bei den

gewBhnlichen cauchyfolgen ist K '" Wo . ) Wegen Satz 3 .3 erzeugen

204 Schroder

zum Beispiel aIle Bewertungsringe B, fUr die (*) gilt, eine

Topologie Ta mit Rofinal-Charakter. Aber auch fUr aIle hisher

bekannten Belspiele von fast elnfachen Bewertungsringen B 1st

Te von Kofinal-Charakter. Wie man zeigen kann, gilt ganz a11ge­

me!n der

Satz 3.5

Te hat genau dann Rofinal-Charakter, wenn Koinr : Kainl

in 8

gilt. c

Offen 1st zur Zeit das Problem, ob Koinr

: Koinl

1n jedem

(nichttrlv .) Bewertungsring B gilt.

Erwahnt sei dazu nur noeh:

Wenn das von N.l. Dubrovin 1n [02) angegebene Konstruktionsprinzip

fUr Bewertungsrlnge in voller Allgemeinheit gilt - was bisher nicht

exakt bewlesen 1st -, so kann man, wie in [51] gezelgt, zu jedem

beliebig vorgegebenen Paar (wa ,wa ) von regularen Anfangsordi­, 2

nalzahlen einen Bewertungsring B mit

Koinr = w ", konstruieren.

§ 4. Bemerkung

Koin1

~ w ",

Sei B nichttrivialer Bewertungsring von K. Die von

K. Mathiak in [M1) und [M2], Chapter 2.6, zu B auf K einge-

fUhrte Topologie ist mittels der t-Umgebungen, tEW· , einer zu

B geh5rigen Mathiak-Bewertung I I : K 4 W (vql. [M2], § 2),

mit der linear geordneten wertemenge W definiert und hat als

Schroder

Umqebunqsbasis der Null das System {aB I aES ..... {O}} von Reehts­

idealen - ist aber i.a . keine Rinqtopoloqie auf K. Eine zu S

qehoriqe Mathiak-Bewertunq 1' 1 ist eine "Reehtsbewertunq" von

K [d.h. fUr a,b,eEK qilt au6er den Axiomen 1. lal = 0w-'

a: ° und 2. l a+b l ~ Max(!a l , lb l ) fUr die Multiplikation:

3. lal 'I bl ~ Ical' Icb l (vql. [M2], p . 5)].

Oiese stellt nur eine der moqliehen aquivalenten Beschreibunqen

der durch B auf K qeqebenen Bewertunqsstruktur dar. Sie ist

unsymmetrisch: Zu B laBt sieh neben der Mathiak-Bewertunq

("Reehtsbewertunq" weqen 3.) als andere 1:I.quivalente Darstellunq

der durch S auf K qeqebenen Bewertunqsstruktur ganz analog

aueh eine "Linksbewertung" I ' l l von K definieren [an Stelle

von 3. gilt jetzt: lal , ' Ibl , ~ lac l , 'I bc l , fUr a.b.c€K]

205

und dazu entspreehend analog eine Topologie auf K (nLinkstopolo­

gie"), diese hat dann das System {Ba I aEB ..... {O}} von Linksidealen

als Umgebungsbasis der Null. Die Mathiak' sehe "Reehtstopologie"

und diese zugehorige "Linkstopologie" sind im allgemeinen keine

Ringtopologien, sie sind aueh im allgemeinen voneinander ver­

schieden, was die Unsymmetrie dieser Betri££e unterstreicht.

Wie man zeigen kann, gilt der folgende Zusammenhang mit der von

uns definierten Schie£korpertopologie TB :

Satz 4.1

Die zu B gehorige Mathiak' sche "Reehtstopologie" stimmt mit

T B Uberein

-. B erfUllt die Eigenschaft (.)

206 Schroder

_ Die zu B geh8rige Mathiak 1 sche "Rechtstopologie" und die

zugehorige "Linkstopologie" auf K stimmen Uberein. C

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Martin Schrader Mathernatisches Institut der Unlversitat MUnster EinstelnstraBe 62 0-4400 MUnster (west- Germany)

elngegangen am 24 . 3.87