Alessandro Blasi: Sul la pas segg ia t a a ease t r a u n a pa re t e a s so rben t e ed u n a r i f l e t t e n t e (S. 51--58).

Dieser Artikel betrifft eigentlieh die Anwendung der Wahrscheinliehkeitstheorie auf die Physik: Die wahrseheinliehkeitstheoretisehe Beschreibung des Bewegungsvorgangs yon Molekiilen zwi- sehen einer reflektierenden und einer absorbierenden Wand.

Fabrlzlo Caccla]esta: Sui conee t t i di p r e f e r i b i l i t s e di u t i l i t ~ ne l l a t eor ia del r i schio (S. 59--70).

Der Nutzen im Rahmen der Risikotheorie wird dargestellt als die barizen~risehe Abszisse in einem geeignet gew~hlten barizentrisehen Koordinatensystem.

Marlo Di Lazzaro: Una app l i eaz ione del la t eor ia dei gioehi ad un p rob l ema di m a n u t e n z i o n e di un s i s t ema o p e r a t i v e (S. 71--91).

Ludovico Piccinato: Sul concer to di quas i a m m i s s i b i l i t s per un~ regola di dec i s ione (S. 93-- 109).

Die Abhandlung besehKftigt sich mit der mathematischen Entseheidungstheorie; der Begriff der quasi-ZulKssigkeit einer Entseheidung wird erNiutert, wofiir der Verfasser ein neues Kriterium entwickelt.

Gabriella Del Grosso e Fabrizio Fabi: Process i s t ab i l i c o n d i z i o n a t i e u n a lore appl i - eazione (S. 111--123).

Die Abhandlung betrifft die Wahrseheinlichkeitstheorie und beseh~ftigt sich mit den bedingten stabilen stochastischen Prozessen und ihren Anwendungen.

Adriano Peroue: Sul cMcolo degli oner i di un rondo pens ione quando sia s t a b i l i t o un mass ima le r e t r i b u t i v e p e n s i o n a b i l e (S. 125--131).

Ffir den Fall einer Dynamik eines Pensionsfonds leitet der Verfasser die Barwerte der Leistungen unter allgemeinen Annahmen fiber die VeNinderungsraten ab, wobei er den Anfangsbestand und die Neuzug~nge getrennt behandelt. F fir die Erneuerung wird die geometrische Progression ange- nonamen, was zu bekannten Ausdrfieken mit dem Barwert der ewigen Rente fiihrt. Die nicht n~her besprochenen drei Artikel beseh~ftigen sich, wie dies in der Zeitsehrift iiblieh ist, mit den Problemen und Fragestellungen der Operations Research, hier mit quasi-LSsungen und LSsungen unter Nebenbedingungen bei linearen Gleichungssystemen, mit dem Maximierungs- prinzip yon Pontryagin und mit der Anwendung der Spieltheorie auf die Kontrollen von Be- triebssystemen.

Nikolaus Miiller (Miinehen)

Buehbespreehungen

Karl F. Beikler/Leo Schwarz: E f f e k t i v z i n s t a b e l l e n fiir l~aten- und F e s t d a r l e h e n , Verlag Dipl.-Kfm. Karl F. Beikler, 8000 Mfinchen 19, Lachnerstral3e 43, 1975, Loseblatt- sammlung DIN A 5 in Ringmappe, Preis 1,50 DM je Doppelseite, Staffelpreise bei Mengen- abnahme.

,,Seit Mitre des vorigen Jahrhunderts sind in der gesamten Weltliteratur kaum 10 namhafte Zinseszinstabellen grSBeren Umfanges herausgebraeht worden. Die meisten davon haben mehrere Auflagen erzielt und vielen Generationen wertvolle Dienste geleistet. Die einzelnen Auflagen dieser Tabellenwerke waren dem Verwendungsbereieh entsprechend stets relativ klein und haben selten mehr als tausend Exemplare erreieht." So heil3t es im Vorwort zu den in Wien 1958 erschienenen ,,Tabellen der dekursiven Zinseszinsrechnung". Das hier anzuzeigende Tabellenwerk von Beikler/ Schwarz hat alle Anssicht, in die Sammlung dieser seltenen Publikationen eingereiht zu werden.

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Die Verfasser legen Effektivzinstabellen ffir Raten- und Festdarlehen vor. Die Zinszahlung ist in allen FEllen jEhrlich, halbjEhrlich und viertelj/~hrlich unterstellt. Die Lineartilgung bei den Raten- darlehen ist grundsEtzlich in gleichhohen Jahresraten zum Jahresende angenommen. Zns~tzlich werden die Effektivzinss~tze ffir den Fall nachgewiesen, dab sowohl die Zinszahlungen als auch die Tilgungsraten halbj/ihrlich zu leisten sind. Schlielllich sind bei den Ratendarlehen auch Freijahre in die Untersuchung einbezogen, und zwar fiir die genannten vier F/ille der Zins- und Tilgungsmodalit~ten 2, 3, 4 und 5 vorgeschaltete Freijahre bei Kursen zwischen 87 und 100~ . Das im Loseblattsystem erscheinende Tabellenwerk ist nach Laufzeiten geordnet. Vorgesehen sind Tilgungszeiten bei den Ratendarlehen, zu denen die erw/ihnten Freijahre gegebenenfalls noch hinzukommen, bzw. Laufzeiten bei den Festdarlehen yon 1 bis 20 Jahren, yon denen die Tabellen fiir Ib is 10 Jab_re zur Zeit geliefert werden kSnnen. Die Nominalzins~tze erstrecken sich bei einer Abstufung y o n 1/4 ZU 1/40/O gegenwErtig yon 7,00 bis 10,5~ und werden somit dem in den letzten Jahren fiberwiegend zu beobachtenden Zinsniveau weitgehend gerecht. Eine Erweiterung auf niedrigere und hShere l~ominalzinss/itze ist ohne weiteres mSglich und yon den Verfassern ge- plant. Die Kurse sind eng und individuell abgestuft, so im Falle der Laufzeit yon nut 1 Jahr wie folgt: 100; 99,95; 99,90; 99,875; 99,85 usw. bis herunter zu 96,05~ . Bei IEngerer Laufzeit sind Kurse bis zu 80% berficksiehtigt, dann allerdings mit etwas grobmaschigerer Abstuftmg, beispielsweise im Falle yon 10 Jahren folgendermaBen: 100; 99,75; 99,50; usw . . . . his 95; 94,5; 94 usw . . . . bis 86; 85 usw . . . . bis 80o/0 . Die EffektivzinssEtze sind jeweils auf drei giiltige Stellen nach dem Komma finanzmathematisch zutreffend hergeleitet.

Das Tabellenwerk yon Beikler/Sehwarz is~ eindeu~ig auf die praktisehen Bedfirfnisse bei Investitionskrediten der gewerblichen Wirtschaft, Kommunaldarlehen und anderen Grogkrediten ausgerichtet. Das geht schon daraus hervor, dab die Ratendarlehen mit ihren linear fallenden Zins- und Tilgungszahlungen dominieren. Der bei Wohnungsbaudarlehen (L Hypotheken und Bauspardarlehen) sowie Konsumentenkrediten vorherrschende Typ des AnnuitEtendarlehens (mit gleichbleibenden Zins- ul~d Tilgungsraten, d.h. progressiver Tilgung, bei der die ersparten Zinsen der Tilgung zuwachsen) ist nicht erfagt; abgesehen davon, dab bei den erwEhnten GroB- krediten die Annuit/itendarlehen nur selten vorkommen, verlieren die Effektivzinssatztabellen bei 1Enger laufenden AnnuitEtendarlehen im Zeichen der Absehnittsfinanzierung mehr und mehr ihre Giiltigkeit, da der Darlehensnehmer bei einer nur auf 5 oder 10 Jahre garantierten ZinshShe gewErtig sein mu0, nach Ablauf dieser Festschreibungszeit mit einem abweichenden Zinssatz oder einem neuerlichen Ab- oder Aufgeld, d.h. mit einer ffir die gesamte Darlehenszeit sich verEndern- den Effektiwerzinsung konfrontiert zu werden. Angesichts der Mannigfaltigkeit denkbarer Variationen in den Konditionen waren die Verfasser, wie andere aueh, zu Kompromissen gezwungen. Sie sind der Versuchtmg einer Perfektionierung nicht erlegen, die nur zu einem vSllig unhandlichen und unfibersichtlichen Tabellenwerk h~itte ffihren kSnnen. Die getroffene Auswahl ist geschiekt, ermSglicht ein sehnelles Hineinfinden in die Systematik der Tabellen, vermeidet weitgehend l~stige Interpolationen und erlaubt ein rasches Auffinden der gesuchten Werte. Ffir denjenigen, der im Umgang mit derartigen Tabellen nicht sehr gefibt ist, were es wiinschenswert, in mehreren Beispielen die Anwendung demonstriert zu erhalten. MSglicherweise empfiehlt es sich auch, bei kurzen Laufzeiten die EffektivzinssEtze fiir 1,5; 2,5 nsw. Jahre mitzuteilen. Der Mathematiker schlieBlieh vermiBt die Angabe des den Be- rechnungen zugrunde liegenden Formelapparates. Doch kSnnte all diesen Anregungen auf ein- fache Weise durch die Beiftigung entsprechender B1Etter Rechnung getragen werden. Oem Interessenten soleher Effektivzinstabellen kann die VerSffentliehung, die im Selbstverlag des Mitverfassers Dipl.-Kfm. Karl F. Beikler erscheint, uneingesehr~nkt empfohlen werden. I~Iierzu geh6ren auch die Versieherungsunternehmen, die Schuldscheindarlehen der 0ffentlichen Hand und der Privatwirtschaft im groBen Umfange zeiehnen. Die Einzeltabellen des Loseblatt- werks (Format DIN A 5) kSnnen aueh gesondert bezogen werden. Hans Laux (Ludwigsburg)

G.~qchorn: Mengen u n d Algebra i sche S t r u k t u r e n -- G r u n d l a g e n der m o d e r n e n M a t h e m a t i k ffir N a t u r w i s s e n s c h a f t u n d Techn ik an Hoeh- u n d Fachhoch- schulen. R. Oldenbourg Verlag, Mfinchen 1976, 192 Seiten, DM 19,80.

G. Schorns Buch ,,Mengen und Algebraische Strukturen -- Grundlagen der modernen Mathe- matik fiir Naturwissenschaft und Technik an Hoch- und Fachhochschulen" ist in zwei Hauptteile

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mit den Titeln ,,Mengenlehre" und ,,Algebraisehe Strukturen" gegliedert. Der erste Teil behandelt in ausffihrlicher Weise die Grundoperationen der l~Iengenlehre (Bildung yon Vereinigung, Durch- sctmitt, Differenzen, Komplementen etc.); daneben werden die natfirlichen Zahlen und deren Verknfipfungen mit mengentheoretischen Methoden (Begriff der endlichen Kardinalzahl) ein- geffihrt. Im zweiten Tell werden die abstrakten Begriffe wie ,,Menge", ,,Vcrknfipfung" und ,,Relation" anhand ,,konkreter" algebraischer Strukturen weiter vertieft. Dabei werden unter anderem Gruppen, Ringe, KSrper und Verb~nde betrachtet. Der Verfasser hat sich bemfiht -- und dies ist ihm meines Erachtens gut gelungen --, den Stoff durch Beispiele (teilweise auch praxisorientierte Beispiele) verst~ndlicher zu gestaltcn. Die Dar- stellung ist durehweg elementar und setzt im Prinzip keine Vorkenntnissc voraus, obwohl solche wenigstens zum Verstgndnis mancher eingestreuter Beispiele wfinsehenswert sind. Im fibrigen kann der Verfasser unter diesen Voraussetzungen natfirlich kaum tiefer liegende Ergebnisse be- weiscn, so daft diese entweder nur angedeutet werden oder gar keine Erwghnung finden. ,,Es ist das Anliegcn dieses Buches, die Grundkenntnisse zum Verst~ndnis der modernen Mathe- matik zu vermitteln, dabei logisch aufbauend vorzugehen, die interdisziplin~ren Zusammen- h~nge aufzuzeigen und gewissermal3en eine Zusammenschau zu geben und einen fibergeordneten Standpunkt cinzunehmen" (G. Schorn, S. 7--8). Nun ist ja der Gelehrtenstreit fiber die didak- tischen Inhalte der ,,Grundlagen der Mathematik", soviel ich weifl, noch nicht entschieden. Vom Standpunkt der Verfechter der,,Neuen Mathematik", die heute auch schon Einzug in die Grund- schulen genommen hat, ist G. Schorns Stoffauswahl sicher zu begrfiflen, wobei ich selbst freilich das Pr~dikat ,,Grundlagen der Mathematik" ffir etwas zu anspruchsvoll halte. Unabhgngig hiervon bietet jedoch ffir den Praktiker, der sich mit Mengenlehre und algebraisehen Strukturen vertraut machen mSchte, dieses Buch einen soliden und gut lesbaren 13berblick.

R. yon Chossy (Mfinchen)

I . I . Gihman, A. V. Skorohod: The Theory of S tochas t i c Processes. Bde. I, I I (1974, 1975). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. 441 S., I)M 112,--.

Das von den sowjetischen Autoren Gihman und Skorohod dreib~ndig geplante Werk fiber stochastische Prozesse, yon dem nun die ersten beiden B~nde in englischer l~bersetzung vorliegen, dfirfte nach seiner Fertigstellung wohl alle bisher erschienenen Darstellungen dieses so wichtigen nnd umfangreichen Teilgebietes der Wahrscheinlichkeitstheorie an Ausffihrlichkeit fibertreffen. Dieses Werk ist sicher eine Fundgrube ffir alle Mathematiker und Naturwissenschaftler, die in ihrer Arbeit h~ufig mit stochastischen Prozessen zu tun haben. Zum Verst~ndnis sind gute Kenntnisse aus der Ma6- und Integrationstheorie, der Wahrscheinliehkeitstheorie und der Funktionalanalysis notwendig. Band I (570 S.) beginnt mit einem Kapitel, in dem die wichtigsten Grundbegriffe der Wahr- scheinlichkeitstheorie knapp zusammengestellt sind. In Kapitel I I werden Folgen von Zufalls- variablen studiert. Es sind dort die wichtigsten S~tze fiber Martingale, Markovsche Ketten und Irrfahrten im n-dimensionalen euklidischen Raum zu finden. Kapitel I I I bringt eine erste Einffihrung in die Theorie der stochastischen Prozesse. Die fiir das Studium stochastischer Prozesse fundamentalen Begriffe wie Separabilit~t, Meflbarkeit und stochastische Stetigkeit werden vorgestellt und diskutiert. Kapitel IV handelt vonder Spektraldarstellung der Autokorrelationsfunktion eines schwach station~ren stochastischen Prozesses, yon stochastischen Maflcn und Integralen, yon der Integral- darstellung eines stochastischen Prozesses mit IIilfe eines stochastischen orthogonalen MaBes und informiert fiber Methoden zur Vorhersage und Filterung yon station~ren Prozessen. In Kapitel V werdcn Wahrscheinlichkeitsmafle auf metrischen und linearen RKumen unter- sucht. Kapitel VI enth~lt S~tze fiber die schwache Konvergenz solcher Wahrscheinlichkeitsmafle, mit deren IIilfe dann Grenzwerts~tze fiir stochastische Prozesse abgeleitet werden. Kapitel VII beschi~ftigt sich mit der Absolutstetigkeit yon Wahrscheinlichkeitsmaflen, die yon einem stoehastischen ProzeB auf einen geeigneten Funktionenraum induziert werden. In Kapitel VIII werden mel3bare Funktionale und Opcratoren auf I-Iilbertriiumen studicrt.

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In Band I I (439 S.) werden ausschlieBlich Markovsche Prozesse behandelt. Zun~chst wird eine an die Arbeit so hervorragender Spezialisten wie Dynkin, Juschkewitsch, Btumenthal, Getoor u.a. ankniipfende Darstellung der allgemeinen Theorie der Markovsehen Prozesse gegeben; an- schlieBend werden die wichtigsten Klassen yon Markovschen Prozessen vorgestellt. Kapitel I bringt die grundlegenden Definitionen und S~tze fiber Markovsche Prozesse. In Kapitel I I werden zeitlich homogene Markovsche Prozesse untersucht. Kapitel I I I ist dem Studium Markovscher Sprungprozesse und Semimarkovseher Prozesse ge- widmet. Kapitel IV handelt yon Markovschen Prozessen mit unabh/~ngigen Zuw/ichsen, f'tir deren Zu- standsraum teilweise ein separabler Banachraum zugelassen wird. In Kapitel V werden die auf zahlreiche Probleme der Physik und Bev51kerungsmathematik an- wendbaren Verzweigungsprozesse diskutiert. Die wichtigste Klasse der Diffusionsprozesse ist in Band I I nicht zu finden. Sie soll zusammen mit der Theorie der stochastischen Differentialgleiehungen in den geplanten dritten Band dieses Werkes fiber stochastisehe Prozesse aufgenommen werden. K. Pilzweger (Mfinchen)

F1. de Eylder und Chr. Jau~nain: , ,Expos6 m o d e r n e de la t h 6 o r i e m a t h 6 m a t i q u e des o p 6 r a t i o n s v i a g ~ r e s " , Band 1, 502 S., broschiert, 1976, ersehienen und zu beziehen bei Office des Assureurs de Belgique, rue Marie-Th6r~se 25, B-1040 Briissel, zum Preis von 1.675 belg. Franken, also von rd. 115,-- DM.

Das vorliegende Buch ,,Modeme Lebensversicherungsmathematik" stellt eine Systematisierung nnd Erweiterung mehrerer EinzelverSffentlichungen (z.B. in den ,,Bliittern", X I I S. 79ff.) und Bficher der beiden Verfasser dar, die in den vergangenen Jahren vom Rezensenten in dieser Zeit- schrift (s. X I S. 306--307, 475) teilweise besprochen wurden. Vorweg hervorzuheben ist die auBer- ordentlieh moderne Darstellung, die z.B. die extrem logische Ableitung der Versicherungswerte sowie die Benutzung der Graphen beinhaltet. Im Vordergrund steht der Begriff des ,,capitemps", der den symbolisehen noch unbestimmten Ausdruck der Kapitalbetr/ige Ck f~llig zu bestimmten Zeitpunkten Tk darstellt:

S Q00 = 5 (Ck, Tk).

k=R

Dieser Terminus wird hier nicht fibersetzt, da er von den Verfassern neu gepr~gt wurde und sieh schlecht iibertragen l~13t. Durch den Operator A fiihrt man die entsprechenden Diskontie- rungsfaktoren und die Produktbildung unter dem Summenzeichen ein und erh~lt so den ,,aktu- ellen Wer t" des capitemps:

S QO = A(Q0O) = y Ok" v ~ .

k=R

t~berlagert man dem aktuellen Wert eine -- wie die Verfasser sagen -- Indikatrix Ix (eine Art Sehablone wiirde ich sagen), die den unter dem Summenzeichen noch unbestimmten Kapitalien Ck die erforderliehen wahrscheinlichkeitstheoretischen Werte ffir die Realisierung der Variablen X zuordnet, so gelangt man dutch die Anwendung dieses ,,Operators E " zum herk5mmlichen Barwert, yon den Verfassern als ,,Preis des capitemps" bezeichnet:

Dies ist der deterministisehe 15rwartungswert, der Mittelwert des aktuellen Wertes. Bei reinen fmanzteehnisehen Operationen koinzidieren die Begriffe des aktuellen Werts und des Preises des eapi~mps trod der aleatorisehe eapitemps degeneriert zum gewStmlichen ,,Zeit"-capitemps. ])as Beispiel fiir die sofort beginnende lebensl~nglich vorschfissig zahlbare Leibrente m6ge die obigen Begriffe illustrieren. Aus dem capitemps

x i~ ~176 = ~ (1, k)

k=0

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wird sein aktueller Wert o o

KO= ~V k.Ix>k k=O

und schlielllich der konventionelte Barwert

~ix = ~ V k �9 kpx �9 k=O

Die etwas sehwerfs dafiir aber streng logisch aufgebaute Methode wird angewandt auf die Ermittlung und Darstellung yon herkSmmlichen, reeht seltenen und seltensten Barwerten in Renten- und Kapitalform. Die diskontinuierliehe Methode wird bevorzugt, es werden jedoch alle Betrachtungen auch auf die kontinuierliehe Methode ausgedehnt. Erfreulieh ist, dab die Verfasser die Graphendarstellung verwenden, dies sogar bei Vorg~ngen auf ein Leben. Ferner ist bemerkens- wert, dab die Streuung des Kapitals untersueht und formelm~llig angegeben wird. Besonders gute Dienste leistet der Formalismus der Verfasser bei Betrachtung von Versicherungen auf mehrere Leben, die wirklich extrem detailliert in verschiedensten Varianten betrachtet werden. Dabei erweist sich die yon de Vylder entwiekelte Methode des Status-t~bergangs (s. ,,B1/i%er" XI, S. 475) in Verbindung mit der Graphendarstellung als vorteilhaft. Detailliert mid zweckmiliig sind die AbsOmitte fiber das Lexis-Sehema, die Selektion, die Ausgleichung der Sterbetafeln. Die letzten beiden Kapitel dieses ersten Bandes sind gewidmet den Netto-Darstellungen der Versicherungsvertrs auf ein oder mehrere Leben, die als ein Paar der eapitemps definiert werden. Aus dieser Auffassung der Jkquivalenz gelangen die Verfasser auch zu der Thieleschen Differentialgleichung, mit ~Iilfe der ,,bedingten capitemps" zu der prospektiven und retrospek- riven Darstellung des Deekungskapitals etc. Damit schtiel~t der erste Band. Die Bruttoformeln sowie weitere Kapitel der klassischen Versicherungsmathematik sind offenbar dem zweiten Band vorbehalten. Willkommen sind die den ttauptausffihrungen vorangestellten Formeln nnd Darstellungen der Interpolation, Summation, partiellen Integration, partiellen Summation und der Differenzen- reehnung. Ein umfangreiehes Sachverzeichnis ermSglicht mfihelos das Auffinden der einzelnen Begriffe im reeht voluminSsen Werk. Leider ist die Literatur etwas knapp angegeben, n~mlieh nur 9 Werke betgiseher Verfasser. Das Bnch kann wKrmstens allen denjenigen empfohlen werden, die eine s moderne Dar- stellung der ihnen bekannten Versicherungsmathematik wiinschen und diese auch durch neuere Gedankenginge etwas vertiefen mSchten. Selbstverstindlich ist das Bueh auch ffir Studierende bestens geeigaet, hier allerdings nur dann, wenn franzSsiseh in ausreichendem Mal3e beherrscht wird. Auch die Praktiker, die z.B. einen reeht ausgefallenen Barwert ffir mehrere Leben suchen, kSnnen das Buch gut verwenden. Auf den zweiten Band daft man gespannt sein.

Nikolaus Mtiller (Mfinehen)

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