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W. Blaschke, Vorlesungen ~ber Dffferentiulgeometrie und geometrische Grund- lugen yon Einsteins Relalivit~tstheorie, 9. Band- Affine Differentiulgeometrie, bearbeitet yon K. R e i d e m e i s t e r . X -~- 259 Seiten, 40 Fig.uren. Berlin Springer 1923. Orundzahl.

W~ibrend ich im ersten Bande dieser Abhand~ungen den ersten Band meiner Vorlesungen anzeigen konnte tier die einfiihrenden Teile der Differential- geometrie brir~gt and n~ichstens in zweiter Auflage herauskommen soil, kann ich jetzt alas Erscheinen des zweiten Bandes dieser Vorlesungen als unmittelbar bevorstehend ankfindigen. Es wird darin yon ,,affiner Differentialgeometrie" die Rede set,n, also yon solchen Ei~enschaften der Figuren, die bet .,Affi,ni!tiiten", d. h. Projektivit/iten mit Erhaltung des Paral[elismus, invariant sind.

Die ersten zwei Kapitei bringen in behaglicher Breite die ebenen Kurven ,,ira Kleine:: ' und ,,ira Groflen", das dritte ein wenig knapper die gewundenen Linien. Schon in dem einfachsten Fall der ebenen Kurven zeigt s;ch, wie weitgehend analog sich die Affingeometrie zur klassischen Differentialgeometrie ~erleiten liiBt und diese Oegenfiberstellung erweist sich durchg~ngig als eine WfinscheIrute zur Auffindung neuer geometrischer Tatsachen. Wie im ersten , ande wurden auch hier die B e z i e h u n g e n z u r V a r i a t i o n s r e c h - 1 u n g gepflegt und die einfachsten affininvallanttn (gew6hnlichen und isope:i- metrischen) Variationsprobleme meist mit ,etementaren Mitteln behandelt.

Das drit~te Kap;kl bringt die ,,r/iedere", das vierte die ,,allgemeine" F'l~chen- theorie, zum 1,eientere, Verst/indnis zuerst in speziellen, n~imlicil Asymptoten- parametern, dann fiir beli.ebige Parameter. Ffir diesen letzten Zweck wird soweit als r ~ i g die jetzt so berfihmt gewordene T e n s o r r e c h n u n g ent- wickelt. Die Vereinigung dieser Rechnungsart mit der alten Vektorsehreibweite erzeugt eir~en sehr fibersich'tlichen Formelapparat ftir die affine Fl/ichentheorie, dem eine quadratische und eine yon F u b i n i und P i c k eingeffihrte kubische Differentialform zugrunde liegt.

Die beiden letzten Kapitel Dringen Anwendungen: Das seehste wiederum Prohleme aus der Variationsrechnung und damit in Zusammenhang stehende Fl~chen, insbesondere die hfchst bemerkenswerten A f f i n m i n i m a I f 1/i c h e n , Jas achte weitere spezielle Fl/ichen, insbesondere ,,A f f in s p h ii r e n" und S e b i e b f l i i c h e n .

In diese Darstellung emer noch recht jungen und noch gar nieht abgegrasten Theorie habe ich die meisten Ergebnisse der Abhandlungen eingearbeitet, die unter dem gem.einsamen Obertitel ,,Ueber affine Oeometrie" in den Leipziger Beriehten, der mathematischen Zeitschrift und den Hamburger Abhandlungen seit 1916 ersehierten sind. Die vorliegende Darstellung wurde yon Herrn R e i d e m e i s t e r bearbeitet, dem ich auch manche selbst/indige Beitr~i~ insbesondere im drit~en und im letzten Kapitel verdanke. Auch die Herren B e r w a I d und W i n t e r n i t z haben eiriige schfne neue Ergebnisse beigesteuert.

Jedem Kapitel ist eine Samr, i;ung yon Aufgaben, im ganzen etwa hundert beigegeben, darunter auch eine Reihe ungelfster. Diese Oelegenheit babe ieh auch benutzt um den Zusammenhang mit "~erwand~en Oegenst::inden her- zustellen, insbesondere mit verschiedenen Oebieten aus der Lehre yon den k o n v e x e n G e b i l d e n , die seit den Arbeiten yon B r u n n und M i n - k o w s k i die Aufmerksamkeit vieler Geometer angezogen haben und denen in diesem Bande ein breiter Raum gewidmet ist. Ein wenig zu kurz gekommen sind die Beziehungen zur p r o j e J ~ t i v e n F l ~ c h e n t h e o r i e , die mit tier affinen viele Berfihrungspunkte ha~. Indessen sei darauf hingewiesen, dab aer Hauptffrderer dieser Theorie, Herr O. F u b i n i zusammen mit E. C e c h ein Lehrbuch fiber die projektive Differentialgeometrie in Aussicht gestellt hat. Eine kurze-Darstel lung yon seiner Lehre wird F u b i n i auch als Anhar~g zur dritten Auflage yon B ia n c h is Lezioni di geometria differenziare im zweiten Bande bringen. W. Blaschke,

G. H. Hardy, A course of pure matk~.mutics. Third edition. Cambridge, Univer- sity Press. 1921. 445 ~ XII .pp.

Ein ausgezeichnetes Werk, das wir jedem empfehlen mfchten, tier die reine Mathematik lernen oder lehren will. Ueber die Schwierigkeit, die eine logisch einwandfreie und doch einigermaBen anziehende Darstellung dcr Grundzi~ge der Infinitesimalrechnung bietet, braueht man gieh ja nieht z~. verbreiten. Es ~ibt wohl nur einen Weg, dieser Schwierigkeit in wfirdiger Weise zu begegnen, sofern

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man den Unterricht Ifickenlos streng und restlos klar gestalten will - - den gedanklichen Oehalt der trockenen S~itze der Analysis herauszuarbeiten, auch auf die Sch~vierigkeiten selbst einzugehen, die dureh die verwickelte Formu- lierung so mancher Sw und Beweise beseiiigt werden sollen.

NatiJrlich sind nut wenige berufen, einen solchen Lehrgang i n die dauernde Form eines Lehrbuches zu gieflen. Und der Verfasser des vorliegeaden Werkes geh6rt sicher zu diesen wenigen. Es wiirde uns zu weir ffihren, auf die Einzelheiten der Darstellung einzugehen. Wir bemerke.n nur, dab auch rein sachlieh das Buch sehr viel neues an sch6nen und nicht immer leichten Uebungsaufgaben bringt, und auch an vielen Details. Wit k6nnen nur wieder- holen, dab jeder, tier ffir feinere Untersuchungen der Analysis lntcresse hat, mit Oewinn in diesem Buch bl~ttern wird.

Wir lassen, um fiber den lnhalt zu orientieren, die Ueberschriften der einzetnen Kapitel folgen: I. R~elle Variabein. II. Funkiionen reeller Variabeln. i11. Komplexe Zahlen. IV. Orenzwerte yon Ftmhtionen einer positiven ganz- zahtigen Variabeln. V. Grenzwerte von Fun ktionen einer stetigen Variable.a. Stetige und unstetige Funktionen. VI. Ableitungen und lntegrale. VII. Weitere S~itze der Differential- und lntegralrechnung. VIii. Konvergenz yon unendlichen Reihen und unendlichen Integralen. IX. Logar~.thmische und Exponential- funldionen reeller Variabein. X. Die allgemeine Theorie der logarithmischen, exponontiellen und Kreisfunk~ionen. A. Ostrowski~.

A. Htwwitz - - R. Courant, FnnMionenlheorie. Berlin 1922. Springer. Xlq-. 399 S., 123 Figuren. Grundzahl geh. 13, geb. 16.

Die Eigenart des vorliegenden Buches bes~eht im wesentlichen in der scharfen Trennung und (3egeniiberstellung von W e i e r s t r a flsehen und R i e m a n n s c h e n ldeeng~ingen. Wenn dies auch den Anfiinger zu einem schwierigjen Doppelstudium zwingt, dem vielleicht nicht jeder Student gewachsen ist, so ist ihm doch hier noeh die leichteste M6glichkeit geboten, sich .in die Qedankenreihen der beiden Richtungen einzuarbeiten, die ihm sonst nut ver- schmolzen dargeboten werden. DaB in den beiden ersten Abschnitten Vor - lesungen von H u r w i t z der Oeffentlichkeit zug/inglich gemacht werden - - der zweite Abschnitt bringt eine sch6ne Darstellung der el liptischen Funk~t;onen, mit allen fiir den Hausgebrauch notwendigen Formeln - - ist besonders zu beg~flen.

Der drifte Absehnitt stammt yon R. C o u r a n t . in ihm wird wohl das erste Mal in einem kehrbueh das Oeb~iude der geometrischen Funktionentheorie bis zu de,, modernsten Problem~ellungen geschlossen aufgeffihrt. In einem Punkt war der Verfasser v[elleich~ dem Ri e m a n nsehen Oedanken zu tren, im Beweis yon C a u e h y s Integralsatz. Hier w~re wohl der einfaehere und weitertragende Beweis yon (3 o u r s a t angebraeh~er gewesen. Daffir wird. der Leser aber reichliehst enl6cb~digt dureh die seh6ne und konsequente Dureh- ffihrung der Existenzbeweise mit Hi l fe des Variati0nsprinzips, die zum Teil neue Beweis.mittel des Verfassers enth~lt.

Dem Stude~en der h6heren Semester wird aas Buch sieher g.ute Di~nste lenten:. Ar~in.

G. Scheffers, Lehrbueh der Darst, llenden Geometrie. Erster Band, 2. durch- gesehene Aufl. 1922. t3.Z. 14, im Nov. 1922.

Wesentliche Aenderungen gegen~ber der ersten Auflage sind nicht vorge- nommen worden; dab schon jetzt eine zweite Aufla~e n6tig wurde, spricht genug fiir die Vorziige des Werks. R. Furch.

H. IAJschner, Tasehenbuch [fir Prakfische Geometrie. Verlag W a l t e r de Ouyter, 1922.

Das handliche Biiehlein enth/ilt die wiehtigsten FOrmeln der Praktischen Oeometrie ohne ihre Ableitung. Haupts~chlich yore Gesichtspunkt des Oeo- meters una des Bauingenieurs will der Verfasser Konstanten und Oenauigkeits- angaben zusammenstellen, Leits~itze fiir die Praxis der geod~itischen lnstrumente und Liter.aturhinweise geben. R. Fureh.

J. Winternitz, Relalioitiitstheorie und Erkenntnislenr~. Berlin und Leipzig, B. O. Teubner, 1923, VlII-~-230 Seiten.

in 11 Kapiteln findet man bier die Probleme amgereiht, die in den [etzten Jahren oft genug zu philosophiseh-physikalischen Auseinandersetzungen fiber die

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Relativit/itstheorie geffihrt haben. Nach einleitenden Bemerkungen fiber die Prinzipien d r r Naturerkenntnis wird die Relativit/it yon Raum und Zeit, die galileische Mechanik, die spezielle und die al[gemeine Theorie E i n s t e i n's entwickelt. Der Schlufl ist den Philosophenschulen in ihrem 3treit um die Relativit~itstheorie gewidmet.

Der Autor hat sich fiber alles das seine Oedanken gemacht, aber wenig neue~ Oedanken; viel~ Einstellungen werden gesehiLdert, aber sie beleben sich uuter seinen H~inden nicht zu eindringliehen M6glichkeiten, und die Einweqdmlgen diirften weder pr~izis noch fief genug sein, um als fruchtbare Kritik zu gelten.

Aber als. Darstellung f~r den gebildeten Laien verdient das Buch wegen seiner gleicttm~il]igen physikalisch-mathematischen und philosophisehen I)urch- bfldung Beachtung und nachdr/ickliche Empfehlung. K. Reidemeister.

S. Valentiner, Vtktoranalysis, Sammlung O6schen, 3. umg. Auilage 1923, Orundzahl 1,1.

Im ersten, die RechnunKsregeln entwickelnden Tell sind unwesentliche Dinge, wie die Division von Vektoren, und einige wenig belehrende Beisp;ele ausgeschieden worden. Beim ,zvceiten, den Anwendungen gewidmeten Tell, sei aut die reizvolte Zusammenfassung der Theorie des N e w t o nschen Potentials hingewiesen, sie weicht nut unerheblich yon der frfiheren Fassung ab. Bei der Anwendung auf die Elektrizit~itslehre wird in einem eingesehobenen Abschnitt auf die Erwei terungins V ierdimensionale hi,agewiesen. Der.dri.tte, die linearen Vektorfunktionen, Dyaden, Tensoren behandelnde Teil bringt in ver~indeter Anordnung den Stoff der frftheren Auflagen. R. Furch.

L. $chlesinger, Ein?iihrung in die Theorie der gew~hntiehen DiRerentialgleiehungtn an[ /unktionentheoretiseher Grundlagr Dritte neubearbeitete Auflage. Berlin und Leipzig 1922, Vereinigung wissenschaftlicher ~/erleger. V I I i + 3 2 6 S.

W o n dem urspriinglichen Text ist nur knapp die Hiilfte im wesenttichen unveriindert in die Neubearbeitung fibergegangen . . . . AIIes andere wurde vollst/indig neu bearbeitet und dem derzeitigen Stande der Forschung angepaflt. Die in tier ers~en Auflage allzu knapp gehattene Einleitung, die das Oebiet der reellen Ver/inderlichen behandelt, wurde vervollstiindigt und zu einem besonderen Kapitel gestaltet, die Theorie der linearen Differentialgleichungen wurde dureh A nwendurrg ~les Matrizenkalkiils vereinfacht und bis zu.den aus dieser Theorie entspringenden Differentialgleichungen beliebig hoher Ordnung mit festen kri- tisehen Punkten fortgefiihrt, um den Leser bis zu den gegenw/irtig im Vorder- grund des lnteresses stehenden Problemen hinzuleiten".

Ein Buch, aus dem der reifere Student auch Anregung zum selbstSndigen Forschen sCh6pfeu diirfte. Artin.

Sahtmn-Fiedler, Analytische Geometrie des Ranmes. Unter Mitwirkung yon Dr. A. B r i l l neu herausgegeben von Dr. K o m m e r e l l ; Erster Teil, die Elemente und. die Theorie der Fl~ichen zweiter Ordnung. 5 . Aufl. 48 Figuren, eine Figurenta.fel yon Modellen, 612 Seiten. Vertag 1~. (3. Teubner, Grund- zahl geheftet 8,70.

Die Analytische Oeometrie von S a i m o n - F i e d 1 e r , deren Vorzii~e .bin. I/inglich bekannt sind, hat unter Mitwirkung yon A. v. B r i i I durch K. ~ o 'rn- m e r e l l .eine Bearbeitung erfahren, welche dem Buch zu neuerlicher weiter Verbreitung verhelfen wird. Gewisse M/ingel der friiheren Fassung konnten darin gefunden werden, dab eine Ueberfiille des Stoffs geboten und in einer Ausfiihrliehkeil; dagestellt war, IdaB der Studierende sieh bedriickt fiihlen mochfe; die Uebersichtlichkeit lieB manches zu wfinschen tibrig. Das Wesentliche trat fiir den mit dem Stoff nietrt vertrauten Leser weriiger hervor, als dies gerade bei dem grot~en Umfang notwendig w a r . - Die erfreuliche Heranziehung der Ergebnisse ~.md Hilfsmit~el neuerer Forschung muflte die Schwierigkeit einer Abhilfe noch steigern. DaB diese Herauziehung nicht unterblieb und daft trotz- dem die piidagogisehe Kraft des Buches um ein g a n z wesentliehes erh6ht worden ist, muff als ein groBes Verdienst betrachtet werden. Qerade hier wird der EinftuB B r i ! I's deutlich, unter welchen sich der Herausgeber ersichtlieh gestellt hat. - - Da von dem friiheren Stoff aufler der Betonung des Projektiven kaum etwas preisgegeben wurde (woriiber man geteilter Meinung s-'in mag), handelt es sich bier nur um die Angabe yon einigem, das rieu hinzukam. Der Herausgeber hat die Theorie der quadratischen Formen zur iibersichtlichen

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Gestaltung der Theorie der FI/ichen 2= O. herangezogen, er hat eigene Ergeb- nisse zur Vereinfachung der Fokaluntersuchungen weitgehend ausgenutzt, einen Abschnitt fiber die W e i e r s t r a fl'sche F'lementarteilertheorie und einen fiber die C a y I e y - K I e i n'sche Maflbestimmung eingeffihrt.

Vielc den Text belastende Hinweise wurden ausgesondert und zu ausffihrlich durchgerechneten Beispielen verarbeitet. Manche m6gen in dieser Aus|fihr- lichkeit etwas zuviel des Guten erblicken. Die Gruppierung des Stoifs ist in Richtuno auf die Lebendigkeit und ge~enseiii,~e Verankerung er[reulieh ~er- iindert worden. Das rein /iul3erliche Bild, welches die neuere Darstellung z~, wilrdigen begonnen hat, ist aueh in diesem Bueh ein anziehendes gewordev.

R. Fureh.

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen, herausgegeben yon dem Norwegischen mathematischen Verein durch F. E n g e I und P. H e e g a a r d. 3. Ban'c]. Ab- handlungen zur Theorie der Differentialgleiehungen, erste Abteilung heraus- gegeben von F. E n g e 1. Leipzig und Kristiania 1922. XV1-[-789 Seiten.

Von der lange geplanten Ausgabe der Werke L i e s , die zuletzt noch durch den Krieg hinausgeschoben wurde, liegt tier erste Band vor. DaB es doch noch gelungen ist, dieses grol~e Werk in Gang zu brirtgen, daran hat das Hauptverdienst F. E n g e l , L i e s Schiller und erster Mi~arbeiter und die finanzielle Unterstiltzung yon L i e s Vaterland. Es sind 6 B~inde geplant . I und I! sollen die .Abhandlungen fiber Geometrie enthal',en, II1 und IV die fiber Differentialgleichungen, V und VI die fiber Transformatronsgruppen. Der vor- liegende Band 111 enth~lt Abhandlungen aus den Jahren 1872--1883 mit etwa 200 Sciten yon E n g e l stamme~ader Anmerkungen. Dabei sind die in norwe- gischer Spraehe erschienenen Schriften vom Herausgeber ins Deutscile iiber- tragen und dadurch zum ersten mal einem weiteren Kreis zug[iuglich, in den Anmerkungen hat es der Herausgeber u. a. unternommen auseinanderzusetzen, wie L i e urspriinglich zu seinen Ergebnissen fiber partielle Differenzialgleichungen erster Ordnung "und ilber das P f a f f s c h e Problem gekommen sein mag. In den Vordergrund treten durchweg die Beziehungen zur Theorie der Beriihrtmgs- transformationen und die mannigfachsten geometrischen Anwendungen.

Man wird wenig Oesamtausgaben linden, die auch in phi!ologischer Hinsicht so hervorragend sind, wie die vorliegende. Jeder Verehrer yon L i e s SchBpfunge~ wird dem Herausgeber dankbar sein ffir die rasflose und so erfolgreiche' Arbeit, die er hier dem Lebenswerk seines Lehrers gewidmet hat. W. Blasehke:

E. MOiler: Vorlesungen iiber Darsiellende Geometrie. I. Band: Die linearen Abbildungen. Bearbeitet yon E. K r u p p a. Lei'pzig und Wien 1923. XI-+- 292 Seiten. Qrundzaht 17,50.

Dcr Verfasser pflegt neben seinem ffir die HSrer der teehnisehen Hochschule Wien bestimmten Jahreskurse einen Zyklus yon Sondervorlesunlzen iiber Dar- stellende Geometrie zu halten, der in erster Linie fiir die Kandidaten des hfheren Lehramts besiimmt is1. Hier wird der erste Tell dieser Sondervorlesungen der Oeffentlichkeit iibergeben in der Bearbei~ung eines ehemaligen Sehiilers und jetzigen Kollegen des Verfassers. Man darf erwarten, dab diese Verfffent!ichung eine belebende Wirktm~ auf den in M o n g e s Bahnen etwas erstarrten Wissens- zweig ausfiben wird.

Der erste Teil ist tier Zentralprojekti0n gewidmet. Die Abbildung einer Oeraden auf Spur- und Fluchtpunkt der Bildebene stellt einen r Zu- sammenhang her zwischen der riiumlichen Linien~'eometrie und der ebenen Geometric geordr~eter Pun.ktpaare. Die r~.umlichen ~r werden als Beziehungen zum absoluten Kegelschnitt gedeutet und durch die Abtlildun~ dieses Kegelschnitts ergibt sich eine einheitliche LSsung der Mai]aufgaben.

Der zweite Tell handelt yon drei linearen, aus Zentralprojektionen zusammen- gesetzten Abbildungsverfahren, die die iiblicher~ Abbildungen der lgarstellenden Geometrie als Sonderf~ille umfassen. Proiiziert man z. B. den Raum aus zwei festen Zentren auf zwei feste Ebenen und dann diese Ebenen wiederum zentral auf die ,,Bil.deberre", so erh~lt man das ,,Zweibi[derprinzip", in dem das iibliche Auf- und GrundrilSverfahren als Sonderfall enthalten ist. Aehnlich wird die Perspektive und die Axonometrie verallgemeinert behandelt.

Der letzte Tell hat die Ueberschrift ,,besondere Abbildungen". Zuerst werden die verschiedenen s'~eziellen linearen Methode.n einheitlich als Sonderf~lle der allgemeinen besprochen. Dann wird zum ersten real in einem Lghl"hnch die

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,,kinematische Abbikiung" yon J. O r f i n w a I d und dem Referenten in sehr hfibscher Weise behandelt. Bildet man, wie friiher erw]hnt, zuerst die Oeraden des Raumes auf Spur- und Fluchtpunkt airier Bildebene ab und dreht man dann hinterher jades solche Punktepaare um seinen Mittelpunkt in der Bildebene durch einen rechten Winkel, so entspricht wieder airier Geraden G ein geordnetes Punktpaar (gl gr) der Bildebene. Wie man leieht best~tifft, entspricht so der Oesamtheit yon Oeraden G durch einen festen Punkt eine kongruente Abbildung (Bewegun:g) ( g t ) -" (g,~' in der Biidebene.. Zum SchluB wird L i e s Oeraden-Kugel Abbildung in einer aus Realitiitsgr/inden etwas ver- ~inderten Form besprochen.

Ich m6chte die Hoffnung ausdrficken, daft diese sch6nen Vorlesungen in die H/inde jedes Fachmanns kommen m6gen, dam die ansehaulichen Methoden der Oeometrie am Herzen liegen und der die Darstellende Oeometrie als Wissen- schaft und nicht nur als Handwerk pflegen will. W. Biaschke.

H. S. Carslaw, Introduction tq the Theory of Fourier's Series and Integrals, second edition (80' XI!--[-323 S.), London 1921 (Preis 30 s.). lntroducffon to ihe Mathematical 3heory of the Conduction of Heat in ~olids, second editior (8 ~ XII + 2 6 8 S.), London 1921, Macmillan and Co. (Preis 30 s.).

Diese beiden Biicher bilden zusammen die zweite Auflage des wohlbekannten, 1906 in einem Band erschienenen Carslawschen Werkes i~ber Fouriersche Reihen und integrale und die mathematische Theorie def, W.:irme. Die seit iener Zeit eingetretene Vermehrun'g des Stoffes wurde yon dem Verfasser bei der Neu- bearbeitung in weitem Marie berficksichtigt. In der jetzigen Auflage sind die beiden Biicher durehaus auch unabh::ingig voneinander brauchbar, wean auch natrirlich im zweiten neben anderer Literatur vor allem das erste der beiden zitiert wird. Das Buch fiber die Fourierschen Reihen en~h.~ilt noah welt mehr als sein Titel angibt, n~imlich zunfichst eine Theorie der reellen Funktionen und der unendliehen Reihen, allerdings immer auf das eigentliche Thema vorbereiten. Als lntegra! ist das Riemann-Darbouxsehe zugrunde gelegt, w~ihrend auf die Lebesguescheu Begriffsbildungen nicht eingegangen wird. Demgem~ifl beschr~inkt sich tier Verfasser aueh a u f ,,ordinary functions", n~imlieh solche vernfinftigv Funktionen, di~ aus endlich vielen mon'otonen Stricken bestehen. Nach der Dirichletschen Theorie der Fourierschen Reihen wird auch die Fej~rsche Summationsmethode vorgeffihrt, lnteressant ist eine zweite Ableitung der Dirichletsch.en Resultate und zwar aus dam FeiErschea Satze und einem Ha~e);~hnenis~,TaUocb~rian n the~tre~'l~daSe;S~hia~ed~e a~i~umreetnisehersehMitn~ b~az~thet i

fiber die Oibbsehe Erscheinung und das fiber '.tie in ~eturschen L~hrbfiehern so selten behandelten Fourierschen lntegrale erw~ihnensw~rt. - - Oas Bueh tiber die W/irmeleitung" gibl eine Darstellung wohl so ziemlicb aller bisher bekannter und vohl auch einiger neuer Spezialf/iUe der linearen, zwei- und dreidimensionalen Jrobleme. An die Behandluag fast jeden FaUes werden Erhrterungen iiber die

ex~erimentelle Bestimmung der Leiff~ihigkeit angeschlossen und die neuere ph~'sikalisehe Literatur hier ausfiihrlich besprochen. Die beiden letzten Kapitel, das eine fiber die Verwendung des Cauchyseben Integralsatzes, das andere riber Integralgleichungen sind in dieser Auflage neu hinzugekommen, lm .q'anzen ist die Verbindung yon mathematischer Strenge und Eleganz und physikalischer Anschaulichkeit iiberall erfreulich. Beide Biicber zeiehnen sieb aus dutch Uebersichtliehkeit der Disposition, Sorgfalt der Auswahl zahlreieher Beispiele und O~iindlichkeit der Literalurangaben, und sie bedeuten rinen wertvollen Zuwachs tier matbema~iseh-physikalischen Lehrbuehliteratur. H. Rademacher.

Luigi Bie.nchi, Lezioni sulla Teoria dei numeri algebriei, Pisa 1023, Enrico SpoerrL Vl + 641 S.

Bianchi, der zu der kleinen Zahl italieniseher MathematlKer geh~rt, welche selbst fiber h/~here Arithmetil.: gearbeitet haben, gibt in dam vorliegenden Bach eine frir Anf/tnger berechnete Darstellung der Orundlagen der Idealtheorie, nach Umfang und Methode ungefiihr dam Teil I yon Hilberts Zahibericht ent- sprechend, jedoch abgesehen yon den Tatsachen, die sich erst dutch die Relafiv- krrper-Begriffe formulieren lassen. Vorangeschickt ist als erstes Kapitel ein~ Einfiihrung in die Oedankenwelt Mi~kowskis. - - Die allgemeinr Thcorie wird an einigen speziellen quadratisehen Krrpern erl~iutert, aueh die Kreisteilungs-

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k6rper werden discutiert und ihr Zusammenhang mit Dirichlets Satz yon der arithmetischen Progression wird gezeigt. Von den Reziprozit~itsgesetzen wird natiirlich nur das quadratische in Betracht gezogen and z. B. ftir den K6rper K (V-~l) nach Dirichlet bewiesen, dutch Zur/Jckffihrung auf das Legendre'sche Reziprozit/iisgesetz, welches als bekannt vorausgesetzt wird. Leider J<ommt de- Begriff tier Differente des K6rpers, der letzten Endes doch mindestens s.o wichtig wie tier der Diskriminante ist, in dem Bach garnicht zur Besprec'm~lg.

Die Darstellung ist sehr breit und bequem lesbar, und das Buch wird sicherlich seinen Zweck erffllen, unter den italienischen S1udenten das Interr ffr Arithmetik zu beleben. E. Hecke. Erich Hecke, Vorlesungen iiber die Thr der atgebraischen Zahlen. Leipzig

1923. Akad. Verlagsgesellschaft. V l i l + 260 S. Orundzahl: geh. 9.--, geb. 11.--. Aus dem Vorwort: Das Bach setzt sich zum Ziel, den Leser, ohne z-lh!ea-

theoretische Kenmnisse vorauszusetzea, in das Verst~ndnis der~ Fragen einzu- ffihren, wel.che gegenw/irtig den Oipfel der Theorie der algebraischen Zahl- kfrper bilden. Die ersten sieben Kapitel enthalfen sachlich nichts Neues; es werden abet yon vornherein iiberall die Ausdrucksweise und die Methoden d~r Oruppentheorie benulzt und hierzu im I1. Kapitel die nftigen S~itze fiber Abelsche Gruppen entwickelt. Das letzte, VIII. Kapitel bringt ehlen neuen Beweis des quadratischen Reziprozit/itsgesetzes in beliebigen algebraischen Zahlkfrpern, tier, mit Thetafunkfiofien operierencl, wesentlich kiirzer als die bisher bekannten Beweise ist. Wenn diese Methode aueh nicht verall.~e- meinerungsf~hig ist, so hat ~ie doch den Vorzug, dem Anf~inger sehr rasch ei~:en Ueberblick fiber die neuartigen Begriffe zu geben, welche bei Potenzresten in algebra[schen Zahlkfrpern auftreten, und ihm yon hier aus auch die h6heren Reziprozit~itsgesetze leichter zug/inglich eu machen. Mit dem Naehweis der Existenz der KlassenkOrper,vom Retativgrade 2, die sich hier als eine Folge des des Reziprozit~tsgesetzes ergibt, schlieBt das Bach ab. W. Birkemeiet, Ueber den Bildungswert der Mnthematik. (Wissenschaft und

Hypothese XXV, B. C.r. Teubner, Leipzig and Berlin 1923, VI,+ 188 S.). Das hier vorliegende Buch ,,will nicht unmitlelbar'in den Streit der Tag,~'s-

meinungen eivg~eifen", die neuerdings z. B. in den Vorschl~gen fiber die Reform des Unterrichts und des mathematischen ~m besonderen ihren lebhaften Ausdl,lck finden. Es sucht vielmehr .aus den ve/schiedenen Wzr: tungen, die der Maethematik im gegenw/irtigen Kulturleben voll Philo- sophen, P~dagogen, Kfnsflern, Technikerrl, Naturwissenschaftlern und Mathe- matikern selbst erteilt worden sind, die wesentlichen, und treffenden hervorzu- heben mid so durch gegenseitige Abwfigung mannigfaeher Betrachlungsweisen zur Klfirung der Begriffe und "Probleme zu fiihren, - - wobei man [eider manch- real ~tach tier Vorftih-rungreeht weit auseinandergehender Meinungen die eige.nt- liche Entscheidung des Verfassers vermiflt. Erfreulich ist nach Ablelmung des Empirismus, tier d u t c h die krassen Millschen Aeugerungen. betegt wird, and des Formalismm, als dessen Leitwort der Verfasser wiederholt Hilberts para- doxen Ausspruch ,,Ira Anfang war das" Zeichen" anffihrt, die klare Betonm~g und deutllche Charakterisierung der Mathematik als einer ,,Wesenswissensehaft nach Oegenstand und Methode". Die Darlegungen tiber die Orundlagen yon Arithmetik~und Oeometrie kfnnen allerdings wohl katim als endgiiltig angesehen werden, in erstem Oebiet weg, en der etwas voreiligen Ablehnung der Frege- Russellschen logischen Redtiktion der Zahl, im andern wegen einer fiicht einmal konsequent d urchgeftihrten Hvposiasierung des Euklidischen Raumes: ,,Auch das Parallelenaxiom kann nieht ,,abgelfsP' werden; d e r Raum is t -e inzig sehlechthin. Es kann also keinen R a u m geben, in dem das Euklidische. Postula; nicht gilP' (S. 68), Dagegen: ;,Die sogenanmen Nichteuklidischen Oeometrien stell, en solche Systeme in sich vfllig widerspruchsfreier Aussagen dar; abet es sind damit nictrt verschi[dene R~iume gewonnen, sondern nut verschiedene Bestimmungsarten eines and desselben Raumes" (S. 72). - - Auf Grund dieser Ausftihrungen tiber das We:sen der mathematischen Erkenntnis weist nun der Verfasser.den Bildungswert der Mathematik auf. Der formale besteht nicht nut in tier ,,Enffaltung der mathematischen Grundakte", sondern auch in der ,,Stiirkung tier theorefisehen Oeisteshaltung, d. h. der Eniwicklung der produk- liven Oeisteskraft im Selbsffinden yon Problemen und Lfsungen, i~ der Erziehung zu geistiger Ztlcht und der Weckvng des Ethos der Wahrheit", ,,vie zusammen- fassend aufgez~ihlt wird. Die f/Jr viele Berufe unentbehrliche maleriale mathe-

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matische Bildung ist dem Bewufttsein des Oegenwartsmenschen vertrauter und wird daher kfirzer behandelt. Wenn es auch nii:ht in der Absicht des Verfassers Iag, eine Didaktik des matheraaitschen Unterrichts zu schreiben, so linden sieh doch einleuchtende Auseinandersetzungen fiber deh mathematischen Schul- und Hochschulunterricht in dem Buohe. Auch hier ist erfreulieh, dab der Verfasser die Unterrichtsnorrnen nicht aus den Anwendungsm6glichkeiten, sondern aus dem Eigenwert der Matherna~,ik sch6pft. Aus dem Buch spricht in alien Teilen eine groBe Liebe und Begeisterung ffir die mathematische WissenschaR, die vor allem in einem SchluBabschnitt fiber den /isthetisehen Bildungswert der Ma.the- matik aufleuchten und in den enthusiasrnierten Worten Spengters fiber die Mathematik a ls Kunsl ihren Ausdru.ck linden. H. Rademacher. Nurnerische Int~ratt'on yon F. A. Will.ers. Sammlung Gfschen. Orundzahl 1,1.

Der erste Abschni.tt bringt die lnterpolationsforrneln und die Methoden der tabellerischen Differentiation und Integration. Ein weiterer kurzer Abschnitt behandelt die Forrneln yon Newton, Gauss trod Tschebyscheff, die ,.~ew6hnlich im engeren Sinne als mechanische oder numerische lntegrationsforrneln bezeichnet ,#erden. Dann [olgen die beiden umfangreicheten Ha~up~abschnit~e, deren erster die ~nathemalisehe Analyse empirisch gewonnener Daten behandelt, und zwar die Darstellung yon Versuchsergebni:ssen in Form yon Potynornen, die praktisehen Methoden der Fourieranatyse und endlich die Annfiherung yon Abklinguhgs- und fihnlichen Kurven dutch Exponentialfunk'tionen, eme Darstellung, die hier zum ersten rnal eingehender behandelt wird. Der letzte AbsclmitL der sich mit der angen~iherten Integration gew6hnlicher und partieller Differentialgleichungen befaft, besteht aus zwei Teilen, deren erster die Anfangswertprobleme, deren zweit.er die brauchbarsten Methoden zur Lfsung der f/Jr die Praxis so wichtigen Randwertprobteme behandelt.

E. /~iadelung, Die muthenmfischen Hilfsmiltel des Physikers. X11~'247 S. Berlin, J. Springer, 1922.

Manchem Mathematiker rnag dies Buch, desse0 Tiiel sehon in so unan- genehrner Weise av. die Anwendbarkeit der Mathematik erinnert, sehr iiber[liissi~ erscheinen. Er kanfl daraus h6chstens entnehmen, w.etche Oebiete vor einem Miflbrauch dureh die Physiker bisher verschont g.ebliebeal, s[nd, u n d e r wird m~ Befriedigung feststelleu k6nneri, dafl doch nut einem ~:erh/iltnism~iBig kleinen Tell seiner Wissenschaft eine Entweihung durch physikalische Anwendung zuge- stoBen ist, wenn er das nachfolgend aufgef/ihrte Inhaltsverzeiehnis liest: At~etara~ Funktionen, Reihen, Differential- und Iniegralrechnung, Differential- ~h)-iehungen, gineare Integral_~leiehur~ge~, Variationsreehnung, Transforrna~ion~n. ~"ektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mech.anik, Elektrizit~itslehre, Rela'-' tivi't~'ts~heorie, Thermodynamik. Irn Oegensatz dazu wird es den Physikern nieht unangenehm sein, dab sie bier ihr rnathemafisches Rfis~zeug einigerrnallen vo!!- st~ndig, wohlgeordnet und durch die Beseitigung des /ibeffIfis.~i~en Beiwe?ks der Eeweise kurz und iJbersichtlich zusamrnengestelk finden. Das Bed/JHn,.s nach einem solchen Bueh war unstreitbar, vorhanden; das beweM schoa die Tatsache, :dab es aus ether Zusamrnenstellung des Verfassers ffir den ei~ener~

r I ~ " " * O - " ( ieb.auca hervorgegangen ist. Be~ der Beurtm,un~ emes solcnen Buches real3 ma~ bedenken, daft sicl: der Grad seiner Brauchbarkeit erst bet I~ngerer Benu'~zun �9 mcher g " feststellen l~igt. Manches, was beim ers'fen Btick wie eine b6se Kir~derkrankheit aussieht, kann sich im Lauf der Zeit als besonder-~ Vorteil erweisen. Fin solcher Punkt is~., urn ein Beispiel zn hearten, die Eih- teilung in rein mathema~ische und physikalische Kapitel, die zur Fol~'e tint, dab manches auseinanderoerissen ist, was man in unrnitteibarer Nachbarscha't verrnu~e~.; sc finde, ~ man z. B die Maxwe!lsehen Oleichungen im Abschn-tr Elektrizit/iMehre, eine Ausxi-ahl ihrer partikularen L6sungen dagegen im Absehni'ct Differentialgleichungen. Unbedingt ether Vermebrung bedfirftig sind sieher d:,e Tabellen am Schlufl; hier hat dem Verfasser das experirnentelle Aualogon, da~ Buch yon Kohtratlsch, offenbar zu weitgehend als Beispiel g.edient, tm Ciege::- satz zu dieser schwachen Stelte und einigen, zurn Olfick nut vereinzelte~' Druckfehlern ist es bet dem oben erw~hnten' und manchern a'ndern fraglichen Punkt sehr scbwer zu sagen, ob und wie man .es h/itte bess.er machen k6n,ne.-... Das vorliegende Buch muflte unbedingt gesehrieben werden; man schuldct dem Verfassec nieht nur Dank, dab er sieh dieser Mfihe unterzogen hat, sondern. man kann ihn aueh be~liickwiinsehen, daft "diese Mflhe n.ieht erfolglo.~ go- blieben ist. R..Minkewski.

120 Buchbesprechunger,.

Lichtenstein, Astronomie und Mathemathik in ihrer Weehselwirkuns Grund- zahi: Oeh. 6.--. S. Hirzel, Leipzig 1923.

Die ersten beiden Kapiltel (Bewegtmg der Himmelsk6rper, (Jestalt und Entwicklung tier Himmelsk6rper) enthaiten ohne mathematische Ent~vicklunge~ eine ausge.zeichnete Uebersicht fiber die wichtigsten Ergebnisse und Probleme tier St~rungs~heorie und der Theorie der Figur der Himmelsk6rper; ieihvetse hit dabei auch die geschichtliche Entwicklung dargestellt. Neben den klassi- sehen Arbeiien yon L a g r a n g e , L a p l a c e , M a c l a . u r i n , C l a i r a u t und J a c o b i sind auch die neuerenUntersuchtmgen v.on P o i n c a r ~, L i a p o u n o f f und dem Verfasser selbst besonfers berficksich~igt. Auch auf die schwierigen Stabilit-~tsfrag~en tier Theorie der Gestalt der Himmelskfrper wird genauer ein- gegangen. Ferner enth~i|t das zweite Kapitel auch eine Besprechun~- yon Probiemen vollkommen inkoh/irenter gravitierender Medien, insbesondere auch M a x w e l l s berfihm~er Arbeit fiber den Saturnring, in der die Stabilit~it eirver Konfiguration ~antersueht wird, bei der sich Satelliten g}eicher Masse in den Ecken eines regul/iren Polygons trod der Saturn in dessen Mittelptmkt befindetL Es folgt ein kurzer Hinwei~ auf Fragen der Sltllardynamik und der CJezeiten- theorie. Im .dritten Kapitel (Mathematische Probleme in der Theorie der Figm tier I-linm~lskfrper) linden sich r matbematische Entwicklungen fiber ~ez ie | le P r o b l e m , die zugleich einen Eindmck yon den besonderen mathe- matiscben Methoden des Verfassers geben.

Da die Lektfire der Originalabhandlungen des Verfassers ein sehr ein- gehendes Studium erfordert und deshalb im aUgemeinen wohi nur de~ engeren Fachgenossen mfglich ist, wird das Erscheinen dieses Buches yon vielen Mathe- matikem, Astronomen und Phvsikern mit Freude begriiflt werden.

W. P~uli jr.

Die philosophisehen Grundlog#n dtr Wahrscheinlichksitsrr yon E, Gzuber, B. O. Teubner, Leipzig. Geh. Orundzahl 10, geb. 10,60.

Nach dem Erscheinen yon A. Me in o ng ' s groBzfigigem Werk ,,Ueber Mfglichkeit und WahrscheinlichkeiP' und K. M a r b e's ,,Die Gleichf6rmigkeit

f f l " " in tier Welt wtrd hler yon mathematischer Seite versucht eine Darstellung tend Kritik der philosophischen Cirundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu geben.

If,. We|tz~nbfck, Invariantentheorie, (in deutscber Sprache), P. P. Nordloff, Groifmgen, 1923, 40,3 S.

Ein zeitlgem~iBes Lehrbuch der lnvariantentheorie existierte nicht. Das vor- liegendr Bue~t, von einem Autor, tier niche nur die ~lte~ Invariantensymbolik in einem wichtigen Punkte erginzte (Komplexsymbole), sondern sich a~ach in fruchtbatwter W e r e mit den neuen differential-geometrischen Problemen be- schlftigte, ist mit Freuden zu begrfiBen.

Eine F~llr yon Material ist in geschicktester Weise ausgew~ihlt trod vtr- arbeitet, darmrt~r sehr viel was sich his jetzt nur m~hsam aus den Originalarbeiben hemussch~ilen liefl.

Die ersten acht Abschnitte etrthalten die ei~n~liche Invarianten/beorie der pmjektiven Oruppe. Es wird die Aronhold-Clebsch-Weizenbfcksche Symbolik ver- wendet trod in erfreulicbem C.~-.gensatze zu manchen fitteren Lehrbiichern wtrd sttqs s)mbolisch gerechnet. Ftmdamentals~/ze trod EndlichkeitssMze werden ein- gehend erfrtert , wiihpend auch die Reihenemtwicklungen, in einem allerdings kleinerea Abschnitt, Erw~ihnung linden.

Die folgenden vier Abschnifte behamdeln die affinen und orthopenalen lnvarianten, die Bewegung~nvarianten und einiges fiber Veklor- trod Tensor- algebra.

Die Differtntialinvariafften bi4den den Gegens~and des dreizehnten Ab- schnfl'tes. Es ist wiederum recht erfreulich, dab der Autor hier vollstindig sach~em~B die ~ilte~ Symbolik verl.~lit trod zum Ricci-Kalkfil fibergehL Dieser 57 Seiten z~blende Absehnil"t bringt viele$ von dem Atlerneuesten, es werden s ~ a r hfbere Uebertragung'en berficksic]~igt, und der Reduktionssatz wird ffir

r allgemeine F~lle autgesteltt. Der letz'te Abschnitt, der eine Erfrterung der Integralinvarianten bringt,,

wird dem Physiker am meis*en in/eressieren. Die verallgemeinerten Maxwellschen Gleichungen and die Einsteinschen Gra~tation~ieichun~en findert hier syste- matisch ihren Plaiz.

Buchbespreclrtm~n. | l |

F..inige kleine kritische. Bemerkungen,, . werden in eiver emgekeadccen" Be- sprechung im ,,Niew Archlef Platz linden. Zusammenfassenc[: sin cturchaus empfehlensweries Buch ! Ham:buxg, August 1 9 2 3 . Schoutet~. G, Prasad, Mathematische Forsehung in den letzten 20 dahren. Oruadzahl geb.

0,8. Walter de Oruyter & Co., 1923. Eine Reds vor der mathema~ischen Oeaellschaft Benares. 1. Integralgleiehun-

germ. 2. Die Orundlagen der mathem~tischen Physik. 3. Verallgemeinertmg des Begriffs 6er konvergcmten Reihen. 4. Entwiekhmg der Relativitlitsprinzips.

Ferner sind eingelaufen die Werke (Sp~tere Bespreehtmg vorbehalten) L. Bleberlmch, Dtffersntialgleichungen. Ortmdzahl: gebeftet 10, gelmnden 11,5.

J. Sprirrger 1923. Ilk Weyl, Raum, Zeit, Mat, de. 5. umgearbeitete Auflage, Orundzahh geh. 10,--.

J. Springer 1923. Weber-Weilstein-Epstein, Enzyklopiidie der Elementarmathematik, Band !, 4. Auf-

lags. B O. Teubner, Leipzig. Kreisevolventen und ganzr algebraische Funktionen von H. Onnen sin. Mathem

physik. Bibliothek. B. O. Teubner, Leipzig. Orundzahl 0.70. Ausgleichsrechnungen nach der Me&ode dsr kleinsten Quadrate von V. Hopp~lch.

Teubners technische Leiff[iden Band 18. B. O. Teubner, Leipzig. Orundzah| 1.50 kartoniert.

BegriHsbildung yon K. B6hm. O. Braunsche Hofimchdrtw.kerei~ und Verlag, Karls- ruhe i. Baden.

Aeroaynamik yon R. Fachs und L. Hopf. R. C. Schmidt 8r Co., Berlin 1922. Mit 285 Abbildungen.