Courant· Robbins Was ist Mathematik?

Richard Courant Herbert Robbins

Was ist Mathematik?

Mit 287 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

London Paris Tokyo HongKong Barcelona

Budapest

Das englische Original dieses Buches erschien seit dem Jahre 1941 unter dem Titel

WHAT IS MATHEMATICS?

im Verlage der Oxford University Press, New York, in neun Auflagen. Die vorliegende autorisierte Obersetzung stammt von Dr. Iris Runge

und wurdevon Dr. Arnold Kirsch und Brigitte Rellich bearbeitet

ISBN-13: 978-3-540-99519-7 e-ISBN-13: 978-3-642-88688-1 DOl: 10.1007/978-3-642-88688-1

Sonderauflage fUr Weltbild Verlag GmbH, Augsburg

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1962, 1967, 1992

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Dem Andenken an Franz Rellich gewidmet

Vorwort zur vierten Ausgabe

Richard Courant hatte immer etwas Skrupel wegen des Buchtitels "Was ist Mathe­matik?", fand er ihn doch "ein klein wenig unehrlich". Diese Bedenken wurden, wenn nicht behoben, so doch gemildert durch einen Ratschlag, den ihm Thomas Mann gab, und von dem Courant oft und mit sichtlichem Vergnugen erzahlte*l. Bei einer Abend­gesellschaft in Princeton, Courants altester Sohn Ernst hatte gerade den Doktortitel erworben und Thomas Mann den Grad eines Ehrendoktors erhalten, kam Courant neben dem Dichter zu sitzen. Er lieB sich die Gelegenheit nicht entgehen, den be­ruhmten Autor zu fragen, ob er sein Buch "Was ist Mathematik?" oder doch lieber "Mathematische Untersuchungen grundlegender elementarer Probleme fur das allge­meine Publikum" nennen sollte. Mann entgegnete, zwar konne er Courant nicht raten, aber er wolle ihm von seiner eigenen Erfahrung berichten. Vor einiger Zeit namlich habe seine Lotte in Weimar in einer englischen Dbersetzung bei einem ame­rikanischen Verlag erscheinen sollen. Da sei sein Verleger, Mr. Knopf, zu ihm gekommen und habe gesagt: "Herr Mann, wir sollten uns noch einmal uber den Titel Ihres Buches unterhalten. Meine Frau, die in solchen Dingen ein ausgezeichnetes Gespur hat, meint, wir sollten das Buch The Beloved Returns nennen." Ais der Autor ein gewisses Unbehagen uber diesen Vorschlag auBerte und meinte, schlieBlich tauge Lotte in Weimar ebensogut als deutscher wie als englischer Titel, habe Knopf gesagt: "Herr Mann, Sie haben ja durchaus recht, aber bitte bedenken Sie: Wenn wir Ihr Buch unter dem Titel Lotte in Weimar herausbringen, werden wir vielleicht 10000 Exem­plare absetzen; nennen wir es aber The Beloved Returns, so verkaufen wir 100000 Stuck." "Darauf", so Mann, "habe ich mich entschieden, rur The Beloved Returns" . Courant wahlte den Titel "What is Mathematics?"

Was also ist Mathematik? Courant und Robbins geben eine Antwort, der wohl die meisten Mathematiker zustimmen konnen, namlich, daB man nicht uber Mathematik philosophieren, sondern sich mit ihr beschaftigen soll. Freilich, so Euklid, gibt es keinen bequemen Konigsweg in die Mathematik, und daher kommt es schon darauf an, welchen Fuhrern man folgen will, wenn die Reise in die Mathematik Erkenntnis und Vergnugen bringen soll. Es ist wohltuend, daB die beiden Autoren die Mathematik nicht als Sammlung unzusammenhangender Probleme, als Ratselecke der Naturwis­senschaften darstellen, sondern dem Leser einen Einblick in das innere Geruge der Mathematik und ihre historische Entwicklung gewahren. Zugleich zeigen sie ihm, worin die Starke der Mathematik besteht, namlich in der engen Verbindung von Problemanalyse, Intuition und abstrakt-integrativem Denken. Die Bedeutung des letzteren, von Mathematikern als Axiomatik bezeichnet, kann man gar nicht hoch genug veranschlagen rur die Erfolge der Mathematik. Andererseits lauft die axioma­tische Methode leicht ins Leere, wenn sie nicht mit der Anschauung, der Intuition und

*) Vgl. Constance Reid, Courant, iibersetzt von Jeanette Zehnder-Reitinger, Springer-Verlag 1979, Seite 272.

VIII Vorwon zur vienen Ausgabe

der Einsicht in den organischen inneren Zusammenhang der verschiedenen mathema­tischen Gebiete gepaart ist. In bester Absicht wird zuweilen die axiomatische Methode iiberbetont oder gar als allein selig machender Weg gepriesen, wo es doch auch an­gebracht ware, die Phantasie des Lesers zu stiirken und seine schopferische Kraft anzuregen. So schrieb schon Lagrange 1788 in seiner Analytischen Mathematik: ,.Man findet in diesem Werk keine Figur. Die hier angewandten Methoden erfordern weder Konstruktionen noch geometrische oder mechanische Schliisse. Algebraische Opera­tionen allein geniigen, die auf einem regularen und einformigen Wege ausgefiihrt werden." Ganz ahnlich auBerte sich Dieudonne, einer der Vater von Bourbaki, im Vorwort seiner Grundlagen der modernen Analysis (1960): Axiomatische Methoden seien strikt zu befolgen ohne jedweden Appell an die ,.geometrische Intuition", zu­mindest in den formalen Beweisen, und diese Notwendigkeit habe er dadurch betont, daB absichtlich kein einziges Diagramm in seinem Buch zu finden ware.

Freilich hat auch die Mathematik ihre Moden, und inzwischen ist der puristische Standpunkt wieder einmal der Einsicht gewichen, daB man das eine tun kann, ohne das andere zu lassen. Die Anziehungskraft von Arnolds Mathematischen Methoden der klassischen M echanik besteht unter anderem darin, daB viele hilfreiche Figuren die Anschauungskraft des Lesers stiitzen und ibm das Verstandnis der abstrakten Be­griffsbildungen erleichtern.

Zum Gliick sind auch Courant und Robbins keine Dogmatiker, sondern zeigen uns die Vielfalt mathematischen Denkens, also die geballte Kraft der axiomatischen Me­thode und die belebende, anregende Wirkung einer gliicklich gewahlten Figur, die das Denken befliigelt und den Beweisgang in die richtige Bahn lenkt. AuBer der Anschau­lichen Geometrie von Hilbert und Cohn-Vossen kenne ich kein fiir einen breiten Leserkreis geschriebenes Buch iiber Mathematik, das dem Geist, dem Charakter und der Schonheit dieser Wissenschaft so gerecht wird wie das vorliegende. Obwohl seit seinem Erscheinen ein halbes Jahrhundert vergangen ist, scheint es mir so frisch, lebendig und aktuell zu sein wie am ersten Tag, was unter anderem auch im Verzicht auf billige Moden und Effekthascherei begriindet sein mag; die schone schlichte Spra­che tut ein iibriges.

Was ist Mathematik? ist fiir Leser jeden Alters und jeder Vorbildung gedacht, sofern sie nur Ausdauer und etwas intellektuelle Fahigkeiten mitbringen. Den Schiiler wird die Fiille und Vielgestalt der beschriebenen mathematischen Probleme reizen und anspornen, seine geistigen Krafte zu erproben. Studenten werden vielleicht zu diesem Buch greifen, wenn sie die Orientierung zu verlieren meinen und sich den Ausgangs­punkt der modernen Mathematik vor Augen fiihren wollen. Hier ist die Einheit mathematischen Denkens in der Vielgestalt seiner Ideen, Methoden und Resultate meisterhaft dargestellt. Gymnasiallehrer finden eine reiche Auswahl an Beispielen aller Schwierigkeitsstufen aus den verschiedensten Gebieten - Zahlentheorie, geometrische Konstruktionen, nichteuklidische und projektive Geometrie, Kegelschnine, Topo­logie, Extremalaufgaben, Infinitesimalrechnung -, mit denen sich der Unterricht be-

Vorwort zur ersten deutschen Ausgabe IX

leben lafh, und fiir Arbeitsgemeinschaften und Leistungskurse gibt es vielfaltige interessante Anregungen. Auch Universitatsdozenten werden mit Gewinn zu dies em Buch greifen, zeigen ihnen doch zwei Meister ihres Faches, wie sich mathematischer Stoff fesselnd und verstandlich darstellen laBt ohne billige Kompromisse hinsichtlich Strenge der Beweisfiihrung. Freilich scheuen sich die Autoren nicht, auch Pseudob~.:.· weise vorzufiihren, wenn diese einen wirklichen Erkenntniswert haben und ein technisch perfekter Beweis nur dem geschulten Mathematiker zuzumuten ware. Bei­spiele solcherart Beweise sind Johann Bernoullis Losung des Brachystochronenpro­blems und die faszinierende Herleitung des Primzahlsatzes aus statistischen Annah­men.

Der Abschnitt tiber Minimalflachen, Seifenhautexperimente, Steinerproblem und isoperimetrische Aufgaben wird jedermann fesseln, den Kenner ebensogut wie den Anfanger. Ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis geniigt, den Leser in erwartungsvolle Spannung zu versetzen. Ich freue mich, daB der Springer-Verlag Was ist Mathematik? wieder aufgelegt hat. Dieses klassische Werk sollte in der Bibliothek jedes Gebildeten stehen, gleich neben Lotte in Weimar.

Bonn, den 11. Mai 1992 S. HILDEBRANDT

Vorwort zur ersten deutschen Ausgabe

In der Zeit seit dem Erscheinen der ersten Auflage von "What is Mathematics" ? im Jahre 1941 ist das allgemeine Interesse an der Mathematik iiberall erheblich gestiegen. Es wird durch den Unterricht in Schulen und Hochschulen meistens nicht recht befriedigt, trotz mancher Bestrebungen zur Unterrichtsreform. Und doch besteht bei vielen Menschen, ungeachtet der Stufe ihrer Ausbildung, der Wunsch nach einem Verstandnis dessen, was die Mathematik als das Produkt einer Jahrtausende alten Tradition und als ein integrierender Bestandteil unserer Kultur bedeutet.

Ausgezeichnete populare Biicher haben dieses Interesse stimuliert. Aber ein wirkliches Verstandnis kann nicht von auGen durch miihelose Lektiire gewonnen werden, sondern nur durch ernst en Kontakt mit dem Inhalt der lebendigen Mathe­matik.

Das vorliegende Werk versucht, den Leser von einem durchaus elementaren Niveau ohne Umwege zu Aussichtspunkten zu fiihren, von denen man einen Ein­blick in die Substanz der neueren Mathematik gewinnt. Es ist insofern elementar, als es keine Vorkenntnisse iiber die gelaufige Schulmathematik hinaus erfordert. Es vermeidet unnotige Komplikationen und die leider so oft geiibte dogmatische Darstellungsform, welche Wurzeln, Motive und Ziele der Mathematik verschleiert. Aber trotz allen Bemiihens, so direkt wie moglich den Kern mathematischer Ent­wicklungen verstandlich zu machen, kann dem Leser nicht jede Anstrengung er­spart bleiben: ein gewisser Grad von intellektueller Reife und Bereitschaft zum eigenen Nachdenken ist erforderlich.

x Vorwort zur zweiten deutschen Ausgabe

Das Buch wendet sich an einen weiten Kreis: an Schiller und Lehrer, an Anfiinger und Gelehrte, an Philosophen und Ingenieure. Es mag vielleicht als Ergiinzung zu FELIX KLEINB klassischem Werke "Elementannathematik vom haheren Standpunkte" betrachtet werden, indem es "hahere Mathematik" von einem elementaren Standpunkte behandelt.

Das Buch ist in mehr als 10 Jahren intensiver Vorbereitung entstanden. Den zahlreichen Freunden und Helfern, welche in jenen Jahren mitgearbeitet haben, kann ich hier nicht im einzelnen danken. Wahrend der letzten zwei Jahre vor dem Erscheinen des englischen Originals hat Dr. HERBERT ROBBINS, damals Instructor an der New York University, jetzt Professor der mathematischen Statistik an der Columbia University, als Assistent bei der Fertigstellung des Manuskriptes und bei der Drucklegung sehr wesentliche Hilfe geleistet. Wenn auch die Verantwortung fUr den Plan und den Inhalt des Buches bei dem unterzeich­nenden Autor liegt, so 5011 doch der Name von HERBERT ROBBINS auf dem Titel­blatt zum Ausdruck bringen, daB seine Mitarbeit in den letzten Stadien der Vor­bereitung fUr die endgiiltige Form des Originals wesentlich war. Fiir die Uber­setzung ins Deutsche und fur die Bearbeitung des Manuskriptes sowie fur das Korrekturlesen danke ich Frau Dr. IRIS RUNGE, Herm Dr. ARNOLD KIRSCH, Frau BRIGITTE RELLICH, Frau LISELOTTE JANKE und Herm DIETER SCHMITT; dieser hat uberdies das Sachverzeichnis angefertigt.

Die vorliegende deutsche Ausgabe ist dem Andenken meines unersetzlichen Freundes FRANZ RELLICH gewidmet.

Arosa, Februar 1962 RICHARD COURANT

Vorwort zur zweiten deutschen Ausgabe

Die vorliegende Ausgabe unterscheidet sich von der ersten durch einige Kor­rekturen und Ergiinzungen, die ich hauptsachlich meinen Freunden OTTO NEU­GEBAUER in Providence und CARL LUDWIG SIEGEL in Gattingen verdanke.

New Rochelle, N. Y. Oktober 1966 RICHARD COURANT

RatschHige fiir die Leser

Es ist keineswegs notig, daB dieses Buch Seite fUr Seite, Kapitel ffir Kapitel durchstudiert wird. Trotz der systematischen Anordnung sind die einzelnen Ab­schnitte weitgehend unabhangig voneinander. Oft sind die ersten Teile der Kapitel leichter zu verstehen als die darauffolgenden Entwieklungen. Der Leser, der vor allem einen allgemeinen tl'berblick gewinnen will, mag sich mit einer Auswahl des Stoffes begnfigen und viele ins Einzelne gehende Diskussionen auslassen. Ebenso sollte ein ungefibter Leser mit nur geringen Vorkenntnissen sich zunachst auf solche Teile der Darstellung beschranken, die ihm ohne groBe Schwierigkeiten zugiinglich sind und sein Interesse erregen.

AusfUhrungen, welche solche Leser fiberschlagen mogen, sind durch Klein­druck oder durch Sternchen (*) bezeiehnet. Viele der Aufgaben haben keinen Routinecharakter; manche sind schwierig. Wer die Losung nieht leieht findet, braucht sich nieht zu beunruhigen.

Lehrer, die das Buch zur Ergiinzung des Unterrichts an hoheren Schulen be­nutzen wollen, seien auf die Abschnitte fiber geometrische Konstruktionen und fiber Maxima und Minima hingewiesen.

Die Kapitel VI und VIII bilden eine zusammenhangende Einffihrung in die Differential- und Integralrechnung vom Standpunkt des anschaulichen Verstand­nisses; in den Handen eines Lehrers, der erganzende~ Material an Aufgaben und Beispielen heranziehen will, mogen diese Kapitel eine brauchbare Grundlage fUr systematischen Klassenunterrieht geben. - Vielfache Erfahrungen mit dem Original haben gezeigt, daB auch im Hochschulunterricht das Buch nfitzlich sein kann, wenn es sich urn unkonventionelle tl'bersichtskurse oder Kurse fUr die Leh­rerbildung handelt.

Alles in allem ist zu hoffen, daB auch die vorliegende deutsche Ausgabe eine vielfache Anwendungsmoglichkeit bietet.

Inhaltsverzeichnis Vorwort zur vierten Ausgabe

Vorwort zur Deutschen Ausgabe .

Ratschlage fUr die Leser

Was ist Mathematik? . .

. vn . XIV

XI

. XIX

Erstes Kapitel

Die natiirlichen Zahlen Einleitung . . . . . . . . . .

§ 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Gesetze der Arithmetik S. 1 - 2. Darstellung der positiven ganzen Zahlen S. 4 3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen S. 6

§ 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems. Mathematische Induktion . . . . . .. 8 1. Das Prinzip der mathematischen Induktion S. 8 - 2. Die arithmetische Reihe S. 10 - 3. Die geometrische Reihe S. 11 - 4. Die Summe der ersten n Quadrate S. 12 - 5. Eine wichtige Ungleichung S. 13 - 6. Der binomische Satz S. 13 -7. Wei-tere Bemerkungen zur mathematischen Induktion S. 15

Ergiinzung zu Kapitel I. Zahlentheorie . 17

Einleitung . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. Die Primzahlen. . . . . . . . 17 1. Grundtatsachen S. 17 - 2. Die Verteilung der Primzahlen S. 20 - a) Formeln zur Konstruktion von Primzahlen S. 21 - b) Primzahlen in arithmetischen Folgen S. 21 - c) Der Primzahlsatz S. 22 - d) Zwei ungeloste Probleme, die Primzahlen betreffen S. 24

§ 2. Kongruenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Grundbegriffe S. 26 - 2. Der kleine Fermatsche Satz S. 30 - 3. Quadratische Reste S. 31

§ 3. Pythagoreische Zahlen und groJ3er Fermatscher Satz

§ 4. Der euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Die allgemeine Theorie S. 34 - 2. Anwendung alj.f den Fundamentalsatz der Arithmetik S.38 - 3. EULER. tp-Funktion. Nochmals kleiner Fermatscher Satz S. 39 - 4. Kettenbriiche. Diophantische Gleichungen S. 40

Zweites Kapitel

Das Zahlensystem der Mathematik Einleitung

§ 1. Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Messen und Ziihlen S. 42 - 2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen. Prinzip der Verallgemeinerung S. 44 - 3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen S. 46

26

32

34

42

42

§ 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff . . . 47 1. Einleitung S. 47 - 2. Unendliche Dezimalbriiche S. 49 - 3. Grenzwerte. Unend­liche geometrische Reihen S. 51- 4. Rationale Zahlen und periodische Dezimal­briiche S. 54 - 5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervall­schachtelungen S. 55 - 6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte S. 57

XIV Inhaltsverzeichnis

§ 3. Bemerkungen tiber analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . 58 1. Das Grundprinzip S. 58 - 2. Gleichungen von Geraden und Kurven S. 59

§ 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen. . . . . . . . . . . . . . 62 1. Grundbegriffe S. 62 - 2. Die Abzahlbarkeit der rationalen Zahlen und die Nicht­abzahlbarkeit des Kontinuums S. 63 - 3. CANTORS "Kardinalzahlen" S. 67 4. Die indirekte Beweismethode S. 68 - 5. Die Paradoxien des Unendlichen S. 69 6. Die Grundlagen der Mathematik S. 70

§ 5. Komplexe ZahJen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1. Der Ursprung der komplexen Zahlen S. 71 - 2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen S. 74 - 3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln S. 78 4. Der Fundamentalsatz der Algebra S. 80

§ 6. Algebraische und transzendente Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1. Definition und Existenz S. 82 - Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter ZahJen S. 83

Erganzung zu Kapitel II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra). . . . . . . . . . . . 86

1. Allgemeine Theorie S. 86 - 2. Anwendung auf die mathematische Logik S. 89 3. Eine Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 91

Zahlkorper. .

Einleitung . .

Drittes Kapitel

Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlklirper

93

93

I. Tell. Unmoglichkeitsbeweise und Algebra 95

§ 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen 95 1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln S. 95 - 2. RegelmaBige Vielecke S. 97 - 3. Das Problem des Apollonius S. 99

§ 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkorper ............. . . . . . 101 1. Allgemeine Theorie S. 101 - 2. AIle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch S.106

§ 3. Die Unlosbarkeit der drei griechischen Probleme . . . . . . . . . . . . . . 107 1. Verdoppelung des Wtirfels S. 107 - 2. Ein Satz tiber kubische Gleichungen S. 108 - 3. Winkeldreiteilung S. 109 - 4. Das regelmaBige Siebeneck S. 111 5. Bemerkungen zum Problem der Quadratur des Kreises S. 112

II. Tell. Verschiedene Konstruktionsmethoden. . 112

§ 4. Geometrische Abblldungen. Die Inversion . . . . . . . . . . . . . .. 112 1. Allgemeine Bemerkungen S. 112 - 2. Eigenschaften der Inversion S. 113 3. Geometrische Konstruktion inverser Punkte S. 115 - 4. Halbierung einer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktes mit dem Zirkel allein S. 116

§ 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln. Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 1. Eine klassische Konstruktion zur Verdoppelung des Wtirfels S.117 - Be­schrankung auf die Benutzung des Zirkels allein S. 117 - 3. Das Zeichnen mit mechanischen Gerliten. Mechanische Kurven. Zykloiden. S.121 - 4. Gelenk­mechanismen. PEAUCELLIERS und HARTS Inversoren. S. 123

§ 6. Weiteres iiber die Inversion und ihre Anwendungen . . . . . . . . 125 1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen S. 125 - 2. Anwendung auf das Problem des ApOLLONIUS S. 127 - 3. Mehrfache Reflexionen S. 128

Viertes Kapite1

Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

§ 1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen S. 130 - 2. Projektive Transformationen S. 131

Inhaltsverzeichnis xv

§ 2. Grundlegende Begriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 1. Die Gruppe der projektiven Transformationen S. 132 - 2. Der Satz von DESAR­GUES S. 134

§ 3. Das Doppelverhliltnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 1. Definition und Beweis der Invarianz s. 135 - 2. Anwendung auf das vollstandige Vierseit S. 139

§ 4. Parallelitat und Unendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 1. Unendlich ferne Punkte als "uneigentliche Punkte" S. 140 - 2.'Uneigentliche Elemente und Projektion S. 143 - 3. Doppelverhaltnisse mit unendlich fernen Elementen S. 144

§ 5. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 1. Vorbereitende Bemerkungen S. 144 - 2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene S. 145 - 3. Der Pascalsche Satz S. 146 - 4. Der Satz von BRIANCHON S. 147 5. Das Dualitatsprinzip S. 147

§ 6. Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 1. Einleitende Bemerkungen S. 148 - 2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualitat S. 149

§ 7. Aufgaben tiber Konstruktionen mit dem Lineal allein. . . . . . . . . . . . 152 § 8. Kegelschnitte und Flachen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 153

1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte S. 153 - 2. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte S. 156 - 3. Kegelschnitte als Htillkurven S. 158 4. Pascals und Brianchons allgemeine Satze ftir Kegelschnitte S. 161 - 5. Das Hyperboloid S. 162

§ 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1. Die axiomatische Methode S. 163 - 2. Hyperbolische nichteuklidische Geo­metrie S. 166 - 3. Geometrie und Wirklichkeit S. 170 - 4. PoincartSs Modell S. 171 5. Elliptische oder Riemannsche Geometrie S. 172

Anhang. Geometrie in mehr als drei Dimensionen ................. 174 1. Einleitung S. 174 - 2. Die analytische Definition S. 174 - 3. Die geometrische oder kombinatorische Definition S. 176

Einleitung . . . . . . . . . . . § 1. Die Eulersche Polyederformel

Ftinftes Kapitel Topologie

180 181

§ 2. Topologische Eigenschaften von Figuren. . 184 1. Topologische Ei~enschaften S. 184 - 2. Zusammenhang S. 185

§ 3. Andere Beispiele topologischer Satze. . • . . . . . . . . . . 186 1. Der Jordansche Kurvensatz S. 186 - 2. Das Vierfarbenproblem S. 188 - 3. Der Begrlff der Dimension S. 189 - 4. Ein Fixpunktsatz S. 192 - 5. Knoten S. 195

§ 4. Topologische Klassifikation der Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1. Das Geschlecht einer Flache S. 195 - 2. Die Eulersche Charakteristik einer Flache S. 197 - 3. Einseitige Flachen S. 198

Anhang ................................... 200 1. Der Ftinffarbensatz S. 200 - 2. Der Jordansche Kurvensatz fUr Polyg~ne S. 202 3. Der Fundamentalsatz der Algebra S. 204

Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

§ 1. Variable und Funktion ......................... 208 1. Definitionen und Beispiele S. 208 - 2. Das Bogenma6 eines Winkels S.211 3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen S. 212 - 4. Zusam­mengesetzte Funktionen S. 214 - 5. Stetigkeit S. 215 - 6. Funktionen von mehreren Veranderlichen S. 217 -7. Funktionen und Transformationen S. 219

XVI Inhaltsverzeichnis

§ 2. Grenzwerte ..................•......•.... 220 1. Der Grenzwert einer Folge a. S. 220 - 2. Monotone Folgen S. 224 - 3. Die Euler­sche Zahl, S. 226 - 4. Die Zahl " S. 227 - 5. Kettenbriiche S. 229

§ 3. Grenzwerte bei stetiger Annii.herung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 1. Einleitung. Allgemeine Definition S.231 - 2. Bemerkungen zum Begriff des

sin x Grenzwertes S.232 - 3. Der Grenzwert von --- S.234 - 4. Grenzwerte fUr

x x-+-oo S. 235

§ 4. Genaue Definition der Stetigkeit . . . .. .............. 236 § 5. Zwei grundlegende SlI.tze fiber stetige Funktionen ............. 237

1. Der Satz von BOLZANO S. 237 - 2. Beweis des Bolzanoschen Satzes S. 238 - 3. Der Satz von WEIERSTRASS fiber Extremwerte S. 239 - 4. Ein Satz fiber Zahlenfolgen. Kompakte Mengen S. 240

§ 6. Einige Anwendungen des Satzes von BOLZANO ............... 241 1. Geometrische Anwendungen S. 241 - 2. Anwendung auf ein mechanisches Pro­blem S. 243

Erganzung zu Kapitel VI. Weitere Beispiele ffir Grenzwerte und Stetigkeit. . . . . . 245 § 1. Beispiele von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

1. Allgemeine Bemerkungen S. 245 - 2. Der Grenzwert von q" S. 245 - 3. Der Grenz-•

wert von Vp S. 246 - 4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen S. 247 - 5. Grenzwerte durch Iteration S. 248

§ 2. Ein Beispiel ffir Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Siebentes Kapitel Maxima und Minima

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Probleme aus der elementaren Geometrie. . . . .

1. Die maximale Flache eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten S. 252 - 2. Der Satz des Heron. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen S. 252 - 3. Anwendun­gen auf Probleme fUr Dreiecke S. 253 - 4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel. Entsprechende Extremaleigenschaften S. 254 - 5. Extreme Abstii.nde von einer gegebenen Kurve S. 256

§ 2. Ein aligemeines Prinzip bei Extremalproblemen 1. Das Prinzip S. 258 - 2. Beispiele S. 259

251 252

258

§ 3. Stationll.re Punkte und Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 260 1. Extremwerte und stationare Punkte S. 260 - 2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabeln. Sattelpunkte S. 261 - 3. Minimaxpunkte und To­pologie S. 262 - 4. Der Abstand eines Punktes von einer FllI.che S. 263

§ 4. Das Schwarzsche Dreiecksproblem. • . . . . . . . . . . . • . . • • . • . 264 1. Der Schwarzsche Spiegelungsbeweis S. 264 - 2. Ein zweiter Beweis S. 265 3. Stumpfwinklige Dreiecke S. 267 - 4. Dreiecke aus Lichtstrahlen S. 267 - 5. Be­merkungen fiber Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung S. 268

§ 5. Das Steinersche Problem ...........••...•••...•• 269 1. Das Problem und seine LOsung S. 269 - 2. Diskussion der beiden Alternativen S. 270 - 3. Ein komplementil.res Problem S. 272 - 4. Bemerkungen und Obungen S. 272 - 5. Veraligemeinerung auf das StraBennetz-Problem S. 273

§ 6. Extrema und Ungleichungen ....•......•....•...... 274 1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver GroDen S. 274 2. Veraligemeinerung auf n Variablen S.275 - 3. Die Methode der kleinsten Quadrate S. 276

§ 7. Die Existenz eines ExtremuIns. Das Dirichletsche Prinzip . . • . • • • • . . 277 1. Allgemeine Bemerkungen S. 277 - 2. Beispiele S. 279 - 3. Elementare Extremal­probleme S. 280 - 4. Schwierigkeiten bei kompllzierteren Problemen S. 282

§ 8. Das isoperimetrische Problem ...............•..... • 283

Inhaltsverzeichnis XVII

§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen. Zusammenhang zwischen dem Steiner­schen Problem und dem isoperimetrischen Problem . . . . . . . . . . . . . 285

§ 10. Die Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 1. Einleitung S. 288 - 2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik S. 289 - 3. BERNOULLIS Behandlung des Problems der Brachystochrone S.290 - 4. Geodatische Linien auf einer Kugel. Geodatische Linien und Maxi­Minima S. 291

§ 11. Experimentelle Losungen von Minimumproblemen. Seifenhautexperimente. . . 292 1. Einflihrung S. 292 - 2. Seifenhautexperimente S. 293 - 3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem S .. 294 - 4. Experimentelle Losungen anderer mathemati­scher Probleme S. 297

Achtes Kapitel

Die Infinitesimalrechnung Einleitung . . . . . . . . .

§ 1. Das Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Der Flacheninhalt als Grenzwert S. 303 - 2. Das Integral S. 304 - 3. Allgemeine Bemerkungen zum Integralbegriff. Endgiiltige Definition S. 307 - 4. Beispiele. In­tegration von x" S. 308 - 5. Regeln der Integralrechnung S. 312

§ 2. Die Ableitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Die Ableitung als Steigung S. 315 - 2. Die Ableitung als Grenzwert S.316 3. Beispiele S. 317 - 4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen S. 320 5. Differentiation und Stetigkeit S. 320 - 6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung S. 321 -7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung S. 323 - 8. Maxima und Minima S. 324

§ 3. Die Technik des Differenzierens. . . . . . . . . . . .

§ 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das "Unendlich Kleine"

§ 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung 1. Der Fundamentalsatz S. 331 - 2. Erste Anwendungen. Integration von x', cosx, sinx, arc tanx S. 334 - 3. Die Leibnizsche Formel flir :n S. 336

302

303

315

324

329

331

§ 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmus. . . . . . . . . . . . . . . 337 1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl e S. 337 - 2. Die Exponentialfunktion S. 339 - 3. Differentiationsformeln fiir e"', a"', x' S.341 4. Explizite Ausdriicke fiir e, e'" und lnx als Limites S. 342 - 5. Unendliche Reihen flir den Logarithmus. Numerische Berechnung S. 344

§ 7. Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 1. Definition S. 346 - 2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. Radio­aktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins S. 346 - 3. Weitere Beispiele. Ein­fachste Schwingungen S. 349 - 4. NEWTONS Grundgesetz der Dynamik S. 351

Erganzung zu Kapitel VIII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

§ 1. Grundsatzliche Fragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 1. Differenzierbarkeit S. 353 - 2. Das Integral S. 355 - 3. Andere Anwendungen des Integralbegriffes. Arbeit. Lange S. 355

§ 2. GroBenordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x S. 358 - 2. Die GroBenordnung von In (n!) S. 360

§ 3. Unendliche Reihen und Produkte .................... 361 1. Unendliche Reihen von Funktionen S. 361 - 2. Die Eulersche Formel cos x + i sinx= el '" S.365 - 3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt flir den Sinus S. 367

§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden. . . . . . . . . . . 369

XVIII Inhaltsverzeichnis

Anhang

Erganzungen, Probleme und Obungsaufgaben

Arithmetik und Algebra

Analytische Geometrle .

Geometrische Konstruktionen

Projektive und nichteuklidische Geometrie

Topologie

Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit.

Maxima und Minima

Infinitesimalrechnung

Integrationstechnik .

Hinweise auf weiterfiihrende Literatur .

Namen- und Sachverzeichnis ..

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Was ist Mathematik? Die Mathematik ist tief im menschlichen Denken verankert. Betrachtender

Verstand, unternehmender Wille, asthetisches Gefiihl finden in ihr den reinsten Ausdruck. Sie vereint Logik und Anschauung, Analyse und Konstruktion, Indivi­dualitat der Erscheinungen und Abstraktion der Formen. Wenn auch Mode oder Tradition den einen oder anderen Gesichtspunkt betonen mogen, so beruht doch auf dem Zusammenspiel dieser Antithesen und dem Streben nach Synthese die Vitalitat und der letzte Wert der mathematischen Wissenschaft.

Zweifellos ist die Entwicklung der Mathematik in allen ihren Zweigen ur­spriinglich von praktischen Bediirfnissen und von Beobachtungen realer Dinge angeregt worden, selbst wenn dieser Zusammenhang im Unterricht und in der spezialisierten Forschung vergessen wird. Aber einmal begonnen unter dem Druck notwendiger Anwendungen, gewinnt eine mathematische Entwicklung ihren eigenen Schwung, der meistens weit iiber die Grenzen unmittelbarer Niitzlichkeit hinausfiihrt. Dieser Dbergang von der angewandten zur theoretischen Wissen­schaft zeigt sich in der antiken Entwicklung ebenso wie in vielen Beitragen von Ingenieuren und Physikern zur modernen Mathematik.

Die Geschichte der Mathematik beginnt im Orient, wo urn 2000 v. Chr. die Babylonier ein reiches Material sammelten, das wir heute in die elementare Al­gebra einordnen wiirden. J edoch als Wissenschaft im modernen Sinne tritt die Mathematik erst spater auf griechischem Boden im 5. und 4. Jahrhundert v. Chr. hervor. Kontakte zwischen dem Orient und Griechenland, die zur Zeit des persi­schen Reiches begannen und in der Zeit nach ALEXANDER einen Hohepunkt erreichten, machten die Griechen mehr und mehr mit den Leistungen der babylo­nischen Mathematik und Astronomie vertraut. Bald wurde die Mathematik Gegenstand der philosophischen Diskussionen in den intellektuellen Kreisen der griechischen Stadtstaaten. Griechische Denker erkannten die groBen Schwierig­keiten in den Begriffen der Stetigkeit, der Bewegung, des Unendlichen und in dem Problem der Messung beliebiger GroBen mittels gegebener Einheiten. Diese Schwierigkeiten wurden in bewundernswerter Weise gelost. Das Ergebnis war EUDOXUS' Theorie des geometrischen Kontinuums, eine Leistung, die erst mehr als 2000 Jahre spater in der modernen Theorie der Irrationalzahlen ihresgleichen fand. Die deduktiv-axiomatische Richtung in der Mathematik entstand zur Zeit des EUDOXUS und kristallisierte sich spater in EUKLIDS "Elementen".

Wenn auch die theoretische und axiomatische Einstellung der griechischen Mathematik eines ihrer wichtigen Kennzeichen bleibt und bis heute einen ungeheu­ren EinfluB ausgeiibt hat, so kann doch nicht stark genug betont werden, daB die Anwendungen und der Kontakt mit der physikalischen Wirklichkeit in der antiken Mathematik durchaus eine ebenso wichtige Rolle spielten und daB auch in der Antike haufig eine weniger strenge Darstellung als die euklidische vorgezogen wurde.

xx Was ist Mathematik?

Die friihe Einsicht in die Schwierigkeiten, die mit "inkommensurablen" GroBen zusammenhangen, mag die Griechen davon abgeschreckt haben, die Kunst des Zahlenrechnens weiterzufilhren, obwohl sie im Orient schon weit entwickelt war. Statt dessen bahnten sich die Griechen den Weg durch das Gestrlipp der reinen axiomatischen Geometrie. So begann einer der merkwiirdigen Umwege der Wissenschaftsgeschichte, und vielleicht wurde eine groBe Gelegenheit verpaBt. Das hohe Ansehen der geometrischen Tradition der Griechen verzogerte fast 2000 Jahre lang die unvermeidliche Weiterentwicklung des Zahlbegriffs und der algebraischen Methoden, welche heute die Grundlage der Wissenschaft bilden.

Nach einer langen Periode der Stagnation und langsamen Vorbereitung begann im 17. Jahrhundert eine Revolution in den mathematischen Wissenschaften mit der analytischen Geometrie und der Infinitesimalrechnung. In einer wahren Orgie der Produktivitat eroberten die Pioniere der neuen Mathematik eine faszinierende Welt mathematischer Reichtiimer. Die griechische Geometrie spielte weiter eine Wichtige Rolle; aber das griechische Ideal der axiomati­schen Kristallisation und strengen systematischen Deduktion verblaBte im 17. und 18. Jahrhundert. Logisch zwingende Beweise, scharfe Definitionen, klare Axiome erschienen den Pionieren der neuen Mathematik unwesentlich. Intuitives Gefilhl filr Zusammenhange und eine fast blinde 'Oberzeugung von der ilbermenschlichen Kraft der neu erfundenen formalen Methoden, mit einer Bei­mischung von beinahe mystischem Vertrauen in das logisch nicht faBbare "unend­lich Kleine" gaben den AnstoB zu neuen Eroberungen. Jedoch allmahlich wurde die Ekstase des Fortschritts durch einen neu erwachenden Sinn der Selbst­kritik abgelost. 1m 19. Jahrhundert wurde das lange verdrangte Bedilrfnis nach Sicherung der Ergebnisse und nach Klarheit unabweisbar, als sich nach der franzosischen Revolution die Basis des wissenschaftlichen Lebens ungeheuer verbreiterte und die Beherrschung der neuen Methoden nicht einer kleinen Elite

Ivon Gelehrten mit sicherem mathematischen Instinkt vorbehalten bleiben konnte. Man wurde also gezwungen, die Grundlagen der neuen Mathematik zu revidieren und zu klaren; insbesondere war es notig, die Differential- und Integral­rechnung und ihren Grenzbegriff einem viel groBeren Kreise von Lemenden zuganglich zu machen. So wurde das 19. Jahrhundert nicht nur eine Periode neuer Fortschritte, sondem es war zugleich gekennzeichnet durch die erfolgreiche Besinnung auf das klassische Ideal der Prazision und der strengen Beweise. In dieser Hinsicht ilbertraf es sogar das Vorbild der griechischen Wissenscbaft.

Mit der Zeit schlug das Pendel nach der Seite der reinen Logik und Abstrak­tion aus, und zwar so weit, daB eine gefahrliche Trennung der "reinen" Mathe­matik von lebenswichtigen Anwendungsgebieten entstand. Vielleicht war eine solche Entfremdung zwischen den Mathematikem und anderen Wissenschaftlem in den Zeiten kritischer Revision unvermeidllch. Aber es scheint, und es ist jeden­falls zu hoffen, daB diese Periode der Isolation beendet ist. Die wiedergewonnene innere Starke und die ungeheure Vereinfachung, die durch das tiefere Verstlindnis erreicht wurden, machen es heute m5glich, die mathematische Theorie zu be­herrschen, ohne die Anwendungen zu vemachlassigen. Eine neue organische Einheit von reiner und angewandter Wissenschaft und einen Ausgleich zwischen abstrak­ter Allgemeinheit und den farbigen, konkreten Erscheinungen zu schaffen, ist vielleicht die wichtigste Aufgabe filr die nachste Zukunft.

Was ist Mathematik? XXI

Eine philosophische Definition der Mathematik ist hier nieht angebracht. Nur auf einige Punkte soIl hingewiesen werden. Die Betonung des deduktiv­axiomatischen Charakters der Mathematik birgt eine groBe Gefahr. AIlerdings entzieht sieh das Element der konstruktiven Erfindung, der schopferischen Intuition einer einfachen philosophischen Formulierung; dennoch bleibt es der Kern jeder mathematischen Leistung, selbst auf den abstraktesten Gebieten. Wenn die kristallisierte, deduktive Form das letzte Ziel ist, so sind Intuition und Konstruktion die treibenden Krafte. Der Lebensnerv der ma­thematischen Wissenschaft ist bedroht durch die Behauptung, Mathematik sei niehts anderes als ein System von Schlussen aus Definitionen und Annahmen, die zwar in sieh widerspruchsfrei sein mussen, sonst aber von der Willkur des Mathematikers geschaffen werden. Ware das wahr, dann wurde die Mathematik keinen intelligenten Menschen anziehen. Sie ware eine Spielerei mit Defini­tionen, Regeln und SyIlogismen ohne Ziel und Sinn. Die VorsteIlung, daB der Verstand sinnvoIle Systeme von Postulaten frei erschaffen konnte, ist eine trugerische Halbwahrheit. Nur aus der Verantwortung gegen das organische Ganze, nur aus innerer Notwendigkeit heraus kann der freie Geist Ergebnisse von wissenschaftlichem Wert hervorbringen.

Trotz der Gefahr der einseitigen Dbertreibung hat die Axiomatik zu einem tieferen Verstandnis der mathematischen Tatsachen und ihrer Zusammenhange und zu einer klareren Einsieht in das Wesen mathematischer Begriffe gefuhrt. Hieraus hat sich eine Auffassung entwickelt, we1che uber die Mathematik hinaus fur moderne Wissenschaft typisch ist.

We1chen philosophischen Standpunkt wir auch immer einnehmen mogen, fur die wissenschaftliche Beobachtung erschOpft sieh ein Gegenstand in der Gesamtheit seiner moglichen Beziehungen zum beobachtenden SUbjekt oder Instrument. Freilich, bloBe Beobachtung stellt noch keine Erkenntnis oder Ein­sieht dar; sie muB eingeordnet und gedeutet werden durch Beziehung auf ein zugrundeliegendes Etwas, ein "Ding an sieh", das selbst nieht Gegenstand direkter Beobachtung sein kann, sondern zur Metaphysik gehOrt. Aber fur die wissen­schaftliche Methode ist es wichtig, aIle metaphysischen Elemente auszuschalten und die beobachtbaren Tatsachen als die einzige QueIle aller VorsteIlungen und Konstruktionen zu betrachten. Dieser Verzieht auf das Ziel, das "Ding an sieh" zu verstehen, die "letzte Wahrheit" zu erkennen, das innerste Wesen der Welt zu entschleiern, mag fur naive Enthusiasten bitter sein; aber gerade er hat sieh als eine der fruchtbarsten Wendungen im modernen Denken erwiesen.

Entscheidende Erfolge in der Physik verdanken wir dem Festhalten an dem Prinzip der Ausschaltung des Metaphysischen. EINSTEIN reduzierte die Idee der Gleichzeitigkeit an verschiedenen Orten auf beobachtbare Erscheinungen; so wurde der naive Glaube an einen absoluten Sinn dieser VorsteIlung als metaphysisches Vorurteil erkannt und der Schlussel zur Relativitatstheorie gefunden. NIELS BOHR und seine Schiller gingen der Tatsache auf den Grund, daB jede physikalische Beobachtung von einer Einwirkung des beobachtenden Instruments auf das beobachtete Objekt begleitet sein muB; so wurde z. B. klar, daB die gleichzeitige schade Bestimmung von art und Geschwindigkeit eines Tei1chens physikalisch unmoglich ist. Die weitreichenden Konsequenzen dieser Entdeckung sind heute jedem Wissenschaftler geIaufig. 1m 19. Jahrhundert herrschte die Auffassnng,

XXII Was ist Mathematik?

daB mechanische Krafte und Bewegungen der Teilchen im Raum etwas "Wirk­liches" waren. Das Phanomen der Warme wurde befriedigend auf dieser Basis verstanden, und man setzte sich das Ziel, auch Elektrizitat, Licht und Magnetis­mus auf mechanische Erscheinungen zurUckzufiihren und so zu "erklaren". Zu diesem Zweck wurde der "Ather" als ein hypothetisches Medium erfunden, welcher zu noch nicht ganz erklarbaren, mechanischen Bewegungen fahig sein sollte. Langsam erkannte man, daB der Ather unbeobachtbar ist und zur Metaphysik gehOrt, nicht aber zur Physik. Mit Erleichterung und zugleich Enttauschung wurde schlieBlich die mechanische Erklarung des Lichtes und der Elektrizitat und mit ihnen der Ather aufgegeben.

Eine ahnliche Lage, vielleicht noch starker ausgepragt, bestand in der Mathe­matik. Durch die J ahrhunderte hatten die Mathematiker ihre Objekte, z. B. Zahlen, Punkte usw., a1s "Dinge an sich" betrachtet. Da diese Objekte aber den Versuchen, sie angemessen zu definieren, von jeher getrotzt haben, dammerte es den Mathe­matikem des 19. Jahrhunderts allmahlich, daB die Frage nach der Bedeutung dieser Objekte a1s "wirkliche Dinge" fUr die Mathematik keinen Sinn hat-wenn sie iiberhaupt einen hat. Die einzigen sinnvollen Aussagen iiber sie beziehen sich nicht auf die dingliche Realitat; sie betreffen nur die gegenseitigen Beziehungen zwischen undefinierten Objekten und die Regeln, die die Operationen mit ihnen beherrschen. Was Punkte, Linien, Zahlen "wirklich" sind, kann und braucht in der mathematischen Wissenschaft nicht erortert zu werden. Worauf es an­kommt und was "nachpriifbaren" Tatsachen entspricht, ist Struktur und Bezie­hung, etwa, daB zwei Punkte eine Gerade bestimmen, daB aus Zahlen nach gewissen Regeln andere Zahlen gebildet werden, usw. Eine klare Einsicht in die Notwendigkeit, die elementaren mathematischen Begriffe ihrer Dinglichkeit zu entkleiden, ist eines der fruchtbarsten Ergebnisse der modemen EntWicklung der Axiomatik.

Gliicklicherweise vergessen schopferische Menschen ihre dogmatischen Vor­urteile, sobald diese die konstruktive Leistung behindem. In jedem Fall, fiir Gelehrte und Laien gleichermaBen, kann nicht Philosophie, sondem nur das Studium der mathematischen Substanz die Antwort auf die Frage geben: Was ist Mathematik ?