Curriculum Teil 3 Q1-2 - gymnasiumheepen.de · • variieren Fragestellungen auf dem Hinter-grund einer Lösung (Reflektieren) Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler •

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Schulinterner Lehrplan für die gymnasiale Oberstufe

Mathematik Teil 3 – Qualifikationsphase GK/LK (S. 20 – 41)

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Schulinternes Curriculum der Qualifikationsphase - Gymnasium Heepen [Stand: 03.02.2015]

Analysis Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Wendepunkte, Ganzrationale Funktionen, Steckbriefaufga-ben Zeitbedarf GK/LK ca. 10 DS

Die Schülerinnen und Schüler

• beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphens einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung

• verwenden notwendige Kriterien und Vor-zeichenwechselkriterien sowie weitere hin-reichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten

• bestimmen Parameter einer Funktion mit-hilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)

• beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungs-systeme

• wenden den Gauß-Algorithmus ohne digi-tale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind

Modellieren Die Schülerinnen und Schüler • erfassen und strukturieren zunehmend

komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)

• treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)

• übersetzen zunehmend komplexe Sachsi-tuationen in mathematische Modelle (Ma-thematisieren)

• erarbeiten mithilfe mathematischer Kennt-nisse und Fertigkeiten eine Lösung inner-halb des mathematischen Modells (Mathe-matisieren)

• beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren)

• beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fra-gestellung (Validieren)

• verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren)

• reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen (Validieren)

Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“ Anknüpfend an die Einführungsphase werden in unterschiedli-chen Kontexten (z.B. Fotos von Brücken, Gebäuden, Flugbah-nen) die Parameter der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion angepasst. Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnahme der Steigung führt zu einer geometrischen Deu-tung der zweiten Ableitung einer Funktion als „Krümmung“ des Graphen und zur Betrachtung von Wendepunkten. Als Kontext hierzu können z.B. Trassierungsprobleme gewählt werden. Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Ent-deckung eines weiteren hinreichenden Kriteriums für Extrem-punkte. Anhand einer Funktion mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt. Vor- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden abschließend von den Lernenden kritisch bewertet. Im Zusammenhang mit unterschiedlichen Kontexten werden aus gegebenen Eigenschaften (Punkten, Symmetrieüberle-gungen, Bedingungen an die 1. und 2. Ableitung) Gleichungs-systeme für die Parameter ganzrationaler Funktionen entwic-kelt. Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grund-annahmen der Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im Koordinatensystem, Ausschnitt) selbst zu entschei-den, deren Angemessenheit zu reflektieren und ggf. Verände-rungen vorzunehmen.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler • verwenden verschiedene digitale Werkzeu-

ge zum Lösen von Gleichungen und Glei-chungssystemen und zielgerichteten Variie-ren der Parameter von Funktionen

• nutzen mathematische Hilfsmittel und digita-le Werkzeuge zum Erkunden, Berechnen und Darstellen

Über freie Parameter (aus unterbestimmten Gleichungssyste-men) werden Lösungsscharen erzeugt und deren Elemente hinsichtlich ihrer Eignung für das Modellierungsproblem unter-sucht und beurteilt. An innermathematischen „Steckbriefen“ werden Fragen der Eindeutigkeit der Modellierung und der Einfluss von Parametern auf den Funktionsgraphen unter-sucht.

e-Funktionen, Zeitbedarf GK ca. 3 DS LK ca. 4 DS


• beschreiben die Eigenschaften von Expo-nentialfunktionen und begründen die be-sondere Eigenschaft der natürlichen Ex-ponentialfunktion

• nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Expo-nentialfunktion

• beschränktes Wachstum bilden die Ableitungen weiterer Funktionen: • natürliche Exponentialfunktion • Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis • Natürliche Logarithmusfunktion

Problemlösen Die Schülerinnen und Schüler • erkennen und formulieren einfache und

komplexe mathematische Probleme (Erkun-den)

• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)

• nutzen heuristische Strategien und Prinzipi-en (z. B. systematisches Probieren, Darstel-lungswechsel, Invarianten finden, Zurück-führen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilpro-bleme) (Lösen)

• führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)

• variieren Fragestellungen auf dem Hinter-grund einer Lösung (Reflektieren)

Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler • verwenden verschiedene digitale Werkzeu-

Zu Beginn des Unterrichtsvorhabens empfiehlt sich eine Auf-frischung der bereits in der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen im Bereich Wachstum und Zerfall.

Im Anschluss werden die Eigenschaften einer allgemeinen Exponentialfunktion zusammengestellt. Der GTR unterstützt dabei die Klärung der Bedeutung der verschiedenen Parame-ter und die Veränderungen durch Transformationen. Die Eulersche Zahl kann z.B. über das Problem der stetigen Verzinsung. eingeführt werden. Der Grenzübergang wird dabei zunächst durch den GTR unterstützt. Da der Rechner dabei numerisch an seine Grenzen stößt, wird aber auch eine Aus-einandersetzung mit dem Grenzwertbegriff motiviert. Die Frage nach der Ableitung einer allgemeinen Exponential-funktion an einer Stelle führt zu einer vertiefenden Betrachtung des Übergangs von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate. In einem Tabellenkalkulationsblatt wird für immer kleinere h das Verhalten des Differenzenquotienten beobachtet. Umgekehrt wird zu einem gegebenen Ableitungswert die zu-gehörige Stelle gesucht. Abschließend wird noch die Basis variiert. Dabei ergibt sich automatisch, dass für die Eulersche Zahl als Basis Funktion

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen ge zum zielgerichteten Variieren der Para-meter von Funktionen und grafischen Mes-sen von Steigungen

• entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese ge-zielt aus

• nutzen mathematische Hilfsmittel und digita-le Werkzeuge zum Erkunden und Recher-chieren, Berechnen und Darstellen

und Ableitungsfunktion übereinstimmen. Umkehrprobleme im Zusammenhang mit der natürlichen Ex-ponentialfunktion werden genutzt, um den natürlichen Loga-rithmus zu definieren und damit auch alle Exponentialfunktio-nen auf die Basis e zurückzuführen. Mit Hilfe der schon be-kannten Kettenregel können dann auch allgemeine Exponenti-alfunktionen abgeleitet werden. Eine Vermutung zur Ableitung der natürlichen Logarithmus-funktion wird graphisch geometrisch mit einem DGS als Ortskurve gewonnen.

Ableitungsregeln Zeitbedarf GK ca. 3 DS LK ca. 3 DS

Die Schülerinnen und Schüler • bilden die Ableitungen weiterer Funktionen

(Potenzfunktionen mit rationalen Exponen-ten)

• führen Eigenschaften von zusammenge-setzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Be-standteile zurück

• wenden die Produkt-, Quotienten- und Ket-tenregel zum Ableiten von Funktionen an

Argumentieren Die Schülerinnen und Schüler • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze

und sachlogische Argumente für Begrün-dungen (Begründen)

• überprüfen, in wie weit Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen)

Ketten- und Produktregel werden mit Hilfe des Grenzwertes des Differentialquotienten hergeleitet. Die Quotientenregel als Sonderfall der Produktregel wird hergeleitet. Alle Ableitungsregeln, auch im Sachzusammenhang, wer-den angewendet.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Funktionen-scharen Zeitbedarf GK ca. 5 DS LK ca. 10 DS

Die Schülerinnen und Schüler • untersuchen die Eigenschaften von ganz-

rationalen Funktionen in Abhängigkeit von einem Parameter

• untersuchen Funktionen des Typs f(x)=p(x)·e ax+b wobei p(x) ein Polynom höchstens zweiten Grades ist

• verwenden notwendige Kriterien und Vor-zeichenwechselkriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten

• beschreiben die Eigenschaften von Funk-tionenscharen anhand einer verketteten e-Funktion

• interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext

Argumentieren Die Schülerinnen und Schüler • nutzen mathematische Regel bzw. Sätze


• überprüfen, in wie weit Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen)

Alle Ableitungsregeln, auch im Sachzusammenhang, wer-den angewendet. Ortskurven der Extrem- und Wendestellen werden aufge-stellt.

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Einführung Integralrechnung Zeitbedarf GK ca. 10 DS LK ca. 15 DS


• interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe

• deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext (Wirkung)

• skizzieren zu einer gegebenen Randfunk-tion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion

Kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler • erfassen, strukturieren und formalisieren

Informationen aus mathematikhaltigen Tex-ten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren)

• formulieren eigene Überlegungen und be-schreiben eigene Lösungswege (Produzie-ren)

• wählen begründet eine geeignete Darstel-lungsform aus (Produzieren)

• wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren)

• dokumentieren Arbeitsschritte nachvollzieh-bar (Produzieren)

• erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)

Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungs-raten. Deshalb werden hier Kontexte, die schon dort genutzt werden, wieder aufgegriffen (Geschwindigkeit - Weg, Zufluss-rate von Wasser – Wassermenge). Daneben wird die Kon-struktion einer Größe (z.B. physikalische Arbeit) erforderlich, bei der es sich nicht um die Rekonstruktion eines Bestandes handelt. Außer der Schachtelung durch Ober- und Untersummen sollen die Schülerinnen und Schüler eigenständig weitere unter-schiedliche Strategien zur möglichst genauen näherungswei-sen Berechnung des Bestands entwickeln und vergleichen. Die entstehenden Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert. Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Gra-phen einer Flächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu ei-nem vorgegebenen Randfunktionsgraphen skizzieren. .

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Integralrechnung Zeitbedarf GK ca. 8 DS LK ca. 12 DS

Die Schülerinnen und Schüler • erläutern und vollziehen an geeigneten

Beispielen den Übergang von der Pro-duktsumme zum Integral auf der Grundla-ge eines propädeutischen Grenzwertbe-griffs

• erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion

• nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion: x à 1/x

• nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen

• begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs

• bestimmen Stammfunktionen ganzrationa-ler Funktionen

• ermitteln den Gesamtbestand oder Ge-samteffekt einer Größe aus der Ände-rungsrate oder der Randfunktion

• bestimmen Flächeninhalte mithilfe von be-stimmten Integralen

• bestimmen Flächeninhalte und Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen, mit Hilfe von be-stimmten und uneigentlichen Integralen

Argumentieren

Die Schülerinnen und Schüler • stellen Vermutungen auf (Vermuten) • unterstützen Vermutungen beispielgebun-

den (Vermuten) • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fach-

begriffen und unter Berücksichtigung der lo-gischen Struktur (Vermuten)

• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)

• verknüpfen Argumente zu Argumentations-ketten (Begründen)

• erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise (Begründen)

• überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen)


ge zum Messen von Flächeninhalten zwi-schen Funktionsgraph und Abszisse und Ermitteln des Wertes eines bestimmten In-tegrals

Schülerinnen und Schüler sollen hier selbst entdecken, dass die Integralfunktion Ja eine Stammfunktion der Randfunktion ist. Dazu wird das im vorhergehenden Unterrichtsvorhaben entwickelte numerische Näherungsverfahren zur Rekonstrukti-on einer Größe aus der Änderungsrate auf eine kontextfrei durch einen Term gegebene Funktion angewendet und zur Konstruktion der Integralfunktion genutzt (Verallgemeinerung). In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen Verfahren ein alternativer Lösungsweg zur Be-rechnung von Produktsummen zur Verfügung. Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auch Intervalladditivität und Linearität (bei der Berech-nung von Flächen zwischen Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Volumina wird stark auf Analogien zur Flächenberechnung verwiesen. (Gedanklich wird mit einem „Eierschneider“ der Rotationskörper in berechenbare Zylinder zerlegt, analog den Rechtecken oder Trapezen bei der Flä-chenberechnung. Auch die jeweiligen Summenformeln weisen Entsprechungen auf.) Mit der Mittelwertberechnung kann bei entsprechend zur Ver-fügung stehender Zeit (über den Kernlehrplan hinausgehend) noch eine weitere wichtige Grundvorstellung des Integrals erarbeitet werden.

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Modellieren Im Sachzusam-menhang Zeitbedarf GK ca. 3 DS LK ca. 5 DS


• verwenden Exponentialfunktionen zur Be-schreibung von Wachstums- und Zerfalls-vorgängen und vergleichen die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum

• bestimmen Integrale mithilfe von gegebe-nen oder Nachschlagewerken entnomme-nen Stammfunktionen

• ermitteln den Gesamtbestand oder Ge-samteffekt einer Größe aus der Ände-rungsrate oder der Randfunktion




• erarbeiten mithilfe mathematischer Kennt-nisse und Fertigkeiten eine Lösung inner-halb des mathematischen Modells (Mathematisieren)

• ordnen einem mathematischen Modell ver-schiedene passende Sachsituationen zu (Mathematisieren)





An mindestens einem Beispiel wird ein beschränktes Wach-stum untersucht. An Beispielen von Prozessen, bei denen das Wachstum erst zu- und dann wieder abnimmt (Medikamente, Fieber, Pflan-zen), wird eine Modellierung durch Produkte von ganzrationa-len Funktionen und Exponentialfunktionen einschließlich deren Verhalten für betragsgroße Argumente erarbeitet. Weitere Kontexte bieten Anlass zu komplexen Modellierungen mit Funktionen anderer Funktionenklassen, insbesondere un-ter Berücksichtigung von Parametern, für die Einschränkungen des Definitionsbereiches oder Fallunterscheidungen vorge-nommen werden müssen.

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Extremwert-probleme Zeitbedarf GK ca. 4 DS LK ca. 6 DS


• führen Extremalprobleme durch Kombina-tion mit Nebenbedingungen auf Funktio-nen einer Variablen zurück und lösen die-se

• verwenden notwendige Kriterien und hin-reichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten










Problemlösen Die Schülerinnen und Schüler • finden und stellen Fragen zu einer gegebe-

nen Problemsituation (Erkunden)

Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“ An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z. B. „Glasscheibe“ oder verschiedene Varianten des „Hüh-nerhofs“). Ein Verpackungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter dem Aspekt der Modellvalidierung/Modellkritik und Modellva-riation untersucht. Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen geeigneter Kontexte (z. B. Besucherströme in ei-nen Freizeitpark) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktion verliehen.

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• wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, Tabelle …) aus, um die Situation zu erfas-sen (Erkunden)

• nutzen heuristische Strategien und Prinzipi-en (z. B. systematisches Probieren, Darstel-lungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterschei-dungen, Verallgemeinern …) (Lösen)

• setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen)

• berücksichtigen einschränkende Bedingun-gen (Lösen)

• vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsam-keiten (Reflektieren)

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Stochastik und Matrizen

Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Stochastische Modelle, Zufallsgrößen, Wahrschein-lichkeitsvertei-lungen und ihre Kenngrößen Zeitbedarf GK ca. 3 DS LK ca. 3 DS


• untersuchen Lage- und Streumaße von Stich-proben

• erläutern den Begriff der Zufallsgröße an ge-eigneten Beispielen

• bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen

Modellieren Die Schülerinnen und Schüler • treffen Annahmen und nehmen begründet

Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)



Anhand verschiedener Glücksspiele wird zunächst der Begriff der Zufallsgröße und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsver-teilung (als Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu den mög-lichen Werten, die die Zufallsgröße annimmt) zur Beschrei-bung von Zufallsexperimenten eingeführt. Analog zur Betrachtung des Mittelwertes bei empirischen Häu-figkeitsverteilungen wird der Erwartungswert einer Zufallsgrö-ße definiert. Über eingängige Beispiele von Verteilungen mit gleichem Mit-telwert, aber unterschiedlicher Streuung, wird die Definition der Standardabweichung als mittlere quadratische Abweichung im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen motiviert; über gezielte Veränderungen der Verteilung wird ein Gefühl für die Auswirkung auf deren Kenngrößen entwickelt. Anschließend werden diese Größen zum Vergleich von Wahr-scheinlichkeitsverteilungen und zu einfachen Risikoabschät-zungen genutzt.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Bernoulli-Experimente und -Verteilungen Zeitbedarf GK ca. 3 DS LK ca. 5 DS


• verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente

• erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomi-alkoeffizienten und berechnen damit Wahr-scheinlichkeiten

Modellieren Die Schülerinnen und Schüler • treffen Annahmen und nehmen begründet

Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)



Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler • nutzen grafikfähige Taschenrechner und

Tabellenkalkulationen • verwenden verschiedene digitale Werkzeu-

ge zum Generieren von Zufallszahlen, Be-rechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen und dem Erstellen der Histogramme von Binomialver-teilungen

Der Schwerpunkt bei der Betrachtung von Binomialverteilun-gen soll auf der Modellierung stochastischer Situationen lie-gen. Dabei werden zunächst Bernoulliketten in realen Kontex-ten oder in Spielsituationen betrachtet. Durch Vergleich mit dem „Ziehen ohne Zurücklegen“ wird ge-klärt, dass die Anwendung des Modells ‚Bernoullikette’ eine bestimmte Realsituation voraussetzt, d. h. dass die Treffer von Stufe zu Stufe unabhängig voneinander mit konstanter Wahr-scheinlichkeit erfolgen. Zur formalen Herleitung der Binomialverteilung und der Bino-mialkoeffizienten bieten sich das Galtonbrett bzw. seine Simu-lation und die Betrachtung von Multiple-Choice-Tests an. Die anschließende Vertiefung erfolgt in unterschiedlichen Sachkontexten. Auch Beispiele der Modellumkehrung werden betrachtet („Von der Verteilung zur Realsituation“). Hinweis: Der Einsatz des GTR zur Berechnung singulärer so-wie kumulierter Wahrscheinlichkeiten ermöglicht den Verzicht auf stochastische Tabellen.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Untersuchung charakteristi-scher Größen Von Binomial-verteilungen: Zeitbedarf GK ca. 3 DS LK ca. 4 DS


• beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre gra-phische Darstellung

• bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von (binomialverteil-ten) Zufallsgrößen und treffen damit progno-stische Aussagen

• nutzen die σ-Regeln für prognostische Aus-sagen

• nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenn-größen zur Lösung von Problemstellungen

Problemlösen Die Schülerinnen und Schüler • analysieren und strukturieren die

Problemsituation (Erkunden) • wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze,

Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden)

• erkennen Muster und Beziehungen (Erkun-den)


• nutzen heuristische Strategien und Prinzipi-en (z. B. Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Verallgemeinern) (Lösen)

• interpretieren Ergebnisse auf dem Hinter-grund der Fragestellung (Reflektieren)

Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler nutzen grafikfähi-ge Taschenrechner und Tabellenkalkulationen zum

- Variieren der Parameter von Binomi-alverteilungen

- Erstellen der Histogramme von Binomialverteilungen

- Berechnen der Kennzahlen von Bi-nomialverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung)

- Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen

Eine Visualisierung der Verteilung sowie des Einflusses von Stichprobenumfang n und Trefferwahrscheinlichkeit p erfolgt durch die graphische Darstellung der Verteilung als Histo-gramm unter Nutzung des GTR. Während sich die Berechnung des Erwartungswertes er-schließt, kann die Formel für die Standardabweichung induktiv entdeckt werden: In einer Tabellenkalkulation wird bei festem n und p für jedes k die quadratische Abweichung vom Erwartungswert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert. Die Varianz als Summe dieser Werte wird zusammen mit dem Erwartungswert in einer weiteren Tabelle notiert. Durch systematisches Variie-ren von n und p entdecken die Lernenden die funktionale Ab-hängigkeit der Varianz von diesen Parametern und die Formel

. Das Konzept der -Umgebungen wird durch experimentelle Daten abgeleitet. Es wird benutzt, um Prognoseintervalle an-zugeben, den notwendigen Stichprobenumfang für eine vor-gegebene Genauigkeit zu bestimmen und um das - Gesetz der großen Zahlen zu präzisieren.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Glockenkurve Zeitbedarf LK ca. 7 DS


• unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgrö-ßen und deuten die Verteilungsfunktion als In-tegralfunktion

• untersuchen stochastische Situationen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen

• beschreiben den Einfluss der Parameter µ und σ auf die Normalverteilung und die gra-phische Darstellung ihrer Dichtefunktion (Gaußsche Glockenkurve)

Modellieren Die Schülerinnen und Schüler • erfassen und strukturieren komplexe Sach-

situationen mit Blick auf eine konkrete Fra-gestellung (Strukturieren)

• übersetzen komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)




Problemlösen Die Schülerinnen und Schüler • erkennen Muster und Beziehungen (Erkun-

den) • entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege

(Lösen) • wählen Werkzeuge aus, die den Lösungs-

weg unterstützen (Lösen)

Mit einer Tabellenkalkulation können die Augensummen von zwei, drei, vier… Würfeln simuliert werden, wobei in der grafi-schen Darstellung die Glockenform zunehmend deutlicher wird. Ergebnisse von Schulleistungstests oder Intelligenztests wer-den erst vergleichbar, wenn man sie hinsichtlich Mittelwert und Streuung normiert, was ein Anlass dafür ist, mit den Parame-tern µ und σ zu experimentieren. Auch Untersuchungen zu Mess- und Schätzfehlern bieten einen anschaulichen, ggf. handlungsorientierten Zugang. Da auf dem GTR die Normalverteilung einprogrammiert ist, spielt die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (Satz von de Moivre-Laplace) für die Anwen-dungsbeispiele im Unterricht eine untergeordnete Rolle. Den-noch sollte bei genügender Zeit deren Herleitung als Vertie-fung der Integralrechnung im Leistungskurs thematisiert wer-den, da der Übergang von der diskreten zur stetigen Vertei-lung in Analogie zur Approximation von Flächen durch Pro-duktsummen nachvollzogen werden kann. Die Visualisierung erfolgt mithilfe des GTR. Theoretisch ist von Interesse, dass es sich bei der Gaußschen Glockenkurve um den Graphen einer Randfunktion handelt, zu deren Stammfunktion (Gaußsche Integralfunktion) kein Term angegeben werden kann.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler • verwenden verschiedene digitale Werkzeu-

ge zum Generieren von Zufallszahlen, Vari-ieren der Parameter von Wahrscheinlich-keitsverteilungen und Berechnen von Wahr-scheinlichkeiten bei normalverteilten Zufalls- größen

• nutzen digitale Hilfsmittel und digitale Werk-zeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen und reflektieren und begründen die Möglichkeiten und Gren-zen dieser Werkzeuge

Testen von Hypothesen Zeitbedarf LK ca. 8 DS


• interpretieren Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse

• beschreiben und beurteilen Fehler 1. und 2. Art






Zentral ist das Verständnis der Idee des Hypothesentests, d. h. mit Hilfe eines mathematischen Instrumentariums einzu-schätzen, ob Beobachtungen auf den Zufall zurückzuführen sind oder nicht. Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit von Fehlent-scheidungen möglichst klein zu halten. Die Logik des Tests soll dabei an datengestützten gesell-schaftlich relevanten Fragestellungen, z. B. Häufungen von Krankheitsfällen in bestimmten Regionen oder alltäglichen empirischen Phänomenen (z. B. Umfrageergebnisse) entwic-kelt werden, sie können abschließend z.B. in einem ‚Testturm’ visualisiert werden. Im Rahmen eines realitätsnahen Kontextes werden folgende Fragen diskutiert:

• Welche Hypothesen werden aufgestellt? Wer formu-liert diese mit welcher Interessenlage?

• Welche Fehlentscheidungen treten beim Testen auf?

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler • erfassen, strukturieren und formalisieren

Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellun-gen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren)


• führen Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbei (Diskutieren)

Welche Konsequenzen haben sie? Durch Untersuchung und Variation gegebener Entscheidungs-regeln werden die Bedeutung des Signifikanzniveaus und der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Fehlentscheidungen 1. und 2. Art zur Beurteilung des Testverfahrens erarbeitet.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Stochastische Matrizen Zeitbedarf GK ca. 6 DS LK ca. 8 DS


• beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen

• verwenden die Matrizenmultiplikation zur Un-tersuchung stochastischer Prozesse (Vorher-sage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände)

Die Schülerinnen und Schüler • erfassen und strukturieren zunehmend





Argumentieren Die Schülerinnen und Schüler • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fach-

begriffen und unter Berücksichtigung der lo-gischen Struktur (Vermuten)

• nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begrün-dungen (Begründen)

• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)


Der Auftrag an Schülerinnen und Schüler, einen stochasti-schen Prozess graphisch darzustellen, führt in der Regel zur Erstellung eines Baumdiagramms, dessen erste Stufe den Ausgangszustand beschreibt. Im Zusammenhang mit der In-terpretation der Pfadregeln als Gleichungssystem können sie daraus die Matrix-Vektor-Darstellung des Prozesses entwic-keln. Untersuchungen in unterschiedlichen realen Kontexten führen zur Entwicklung von Begriffen zur Beschreibung von Eigen-schaften stochastischer Prozesse (Potenzen der Übergangs-matrix, Grenzmatrix, stabile Verteilung, absorbierender Zu-stand). Eine nicht obligatorische Vertiefungsmöglichkeit besteht darin, Ausgangszustände über ein entsprechendes Gleichungssy-stem zu ermitteln und zu erfahren, dass der GTR als Hilfsmittel dazu die inverse Matrix bereitstellt.

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Analytische Geometrie und lineare Algebra


Geraden im Raum Zeitbedarf GK ca. 4 DS LK ca. 4 DS


• stellen Geraden in Parameterform dar • interpretieren den Parameter von Geraden-

gleichungen im Sachkontext • untersuchen Lagebeziehungen zwischen Ge-

raden • beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lö-

sungsverfahren für lineare Gleichungssyste-me und wenden ihn ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Un-bekannten an

• interpretieren die Lösungsmenge von LGS







Werkzeuge nutzen

• Die Schülerinnen und Schüler verwen-den verschiedene (digitale) Werkzeuge und geometrische Modelle zum grafi-schen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden und zum Darstellen von Objekten im Raum

Lineare Bewegungen werden z. B. im Kontext von Flugbahnen (Kondensstreifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Ge-schwindigkeitsvektor beschrieben und können dynamisch mit DGS dargestellt. Dabei sollten Modellierungsfragen (reale Ge-schwindigkeiten, Größe der Flugobjekte, Flugebenen) einbe-zogen werden. Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geometri-sche Frage aufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist. Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwi-schen unterschiedlichen Parametrisierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Durch Einschränkung des Definiti-onsbereichs werden Strahlen und Strecken einbezogen. Punktproben sowie die Berechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen erlauben die Darstellung in räumlichen Ko-ordinatensystemen. Solche Darstellungen sollten geübt wer-den. Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Gebäu-den in Parallel- und Zentralprojektion auf eine der Grundebe-nen berechnet und zeichnerisch dargestellt werden.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Skalarprodukt Zeitbedarf GK ca. 3 DS LK ca. 5 DS


• deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es

• untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenbe-rechnung)

• bestimmen Abstände zwischen Punkten und Geraden

Problemlösen Die Schülerinnen und Schüler • erkennen und formulieren einfache und

komplexe mathematische Probleme (Erkun-den)

• analysieren und strukturieren die Problemsi-tuation (Erkunden)



Das Skalarprodukt wird zunächst als Indikator für Orthogonali-tät aus einer Anwendung des Satzes von Pythagoras entwic-kelt. Durch eine Zerlegung in parallele und orthogonale Kom-ponenten wird der geometrische Aspekt der Projektion betont. Dies wird zur Einführung des Winkels über den Kosinus ge-nutzt. Anknüpfend an das Thema der Einführungsphase werden Eigenschaften von Dreiecken und Vierecken auch mithilfe des Skalarproduktes untersucht. Dabei bieten sich vorrangig Pro-blemlöseaufgaben (z. B. Nachweis von Viereckstypen) an. In Anwendungskontexten (z. B. Sicherheits-abstand von Flug-zeugen) wird entdeckt, wie der Abstand eines Punktes von einer Geraden u. a. über die Bestimmung eines Lotfußpunktes ermittelt werden kann. Hierbei werden unterschiedliche Lösungswege zugelassen und verglichen. Eine Vernetzung mit Verfahren der Analysis zur Abstandsminimierung bietet sich an.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Ebenen im Raum Zeitbedarf GK ca. 8 DS LK ca. 14 DS


• stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar

• stellen Ebenen in Parameter- und in Koordi-natenform dar

• stellen Ebenen in Normalenform dar und nut-zen diese zur Orientierung im Raum

• bestimmen Abstände zwischen Punkten, Ge-raden und Ebenen

• bestimmen Lagebeziehungen zwischen Ge-raden /Ebene und Ebene/Ebene

• beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lö-sungsverfahren für lineare Gleichungssyste-me undwenden den ihn ohne digitale Werk-zeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an

• interpretieren die Lösungsmenge von LGS • berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie

Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext

Argumentieren Die Schülerinnen und Schüler • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze



Kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler • erläutern mathematische Begriffe in theore-

tischen und in Sachzusammenhängen (Re-zipieren)


• wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren)

Die unterschiedlichen Darstellungsformen dieser Ebenenglei-chung und ihre jeweilige geometrische Deutung (Koordinaten-form, Achsenabschnittsform, Hesse-Normalenform als Sonder-formen der Normalenform) können in einem Gruppenpuzzle gegenübergestellt, verglichen und in Beziehung gesetzt wer-den. Die Achsenabschnittsform (Spurpunkte) erleichtert es, Ebenen zeichnerisch darzustellen. Ein Wechsel zwischen Koordinatenform und Parameterform der Ebene ist über die drei Achsenabschnitte möglich. Alter-nativ wird ein Normalenvektor mit Hilfe eines Gleichungssy-stems bestimmt. Die Berechnung des Abstandes zweier Flugbahnen kann für den Vergleich unterschiedlicher Lösungsvarianten genutzt werden. Dabei wird unterschieden, ob die Lotfußpunkte der kürzesten Verbindungsstrecke mitberechnet werden oder nachträglich aus dem Abstand bestimmt werden müssen.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Untersuchun-gen geometri-scher Problem-situationen im Sachzusam-menhang Zeitbedarf GK ca. 2 DS LK ca. 3 DS

s. Geraden und Ebenen im Raum und Skalarprodukt


komplexe Sachsituationen (Strukturieren) • übersetzen zunehmend komplexe Sachsi-

tuationen in mathematische Modelle (Ma-thematisieren)




Problemlösen Die Schülerinnen und Schüler • wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze,

Tabelle) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden)


• nutzen heuristische Strategien und Prinzipi-en (z. B. Analogiebetrachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probie-ren oder Ausschließen, Darstellungswech-sel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückfüh-

Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten vielfältige Anlässe für offen angelegte geometrische Untersu-chungen und können auf reale Objekte bezogen werden. Win-kel zwischen einer Geraden und einer Ebene erlauben Rück-schlüsse auf ihre Lagebeziehung. Bei der Durchführung der Lösungswege können die Schülerin-nen und Schüler auf das entlastende Werkzeug des GTR zu-rückgreifen, jedoch steht dieser Teil der Lösung hier eher im Hintergrund und soll sogar bei aufwändigeren Problemen be-wusst ausgeklammert werden. Bei Beweisaufgaben sollen die Schülerinnen und Schüler Formalisierungen in Vektorschreibweise rezipieren und ggf. selbst vornehmen. Dabei spielt auch die Entdeckung einer Gesetzmäßigkeit eine Rolle. Geeignete Beispiele bieten der Satz von Varignon oder der Sehnen-(Tangenten-)satz von Euklid. Die erworbenen Kompetenzen im Problemlösen sollen auch in Aufgaben zum Einsatz kommen, die einen Kontextbezug ent-halten, so dass dieses Unterrichtsvorhaben auch unmittelbar zur Abiturvorbereitung überleitet bzw. zum Zweck der Abitur-vorbereitung noch einmal wiederaufgenommen werden soll.

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Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen ren auf Bekanntes, Zerlegen in Teilproble-me, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Verallgemeinern) (Lö-sen)

• führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)


• beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektie-ren)

• analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern (Reflektieren)

• variieren Fragestellungen auf dem Hinter-grund einer Lösung (Reflektieren)


ge zum Lösen von Gleichungen und Glei-chungssystemen und Durchführen von Ope-rationen mit Vektoren und Matrizen

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Curriculum Teil 3 Q1-2 - gymnasiumheepen.de · • variieren Fragestellungen auf dem Hinter-grund einer Lösung (Reflektieren) Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler •