2. anger. Math. Yeoh. Bd. 82 Nr. 8/9 AngJSept. 1962 Kleine Mitteilungen .

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(Die Integrationskonstante c kann Null gesetzt werden da die Differentialgleichung die !bans formation z + c = 5 zuliiBt; dies bedeutet physikalisch, daD der Ruhelage der Nullausachlag zugeordnet wird.) Die formale Analogie darf jedoch nicht iibersehen laasen, daB es sich bei z(i) und y(f) natiirlich um ver- schiedenartige Schwingungsabliiufe handelt. Die Differentialgleichung (3) ist aber bequemer zu dis- kutieren als die entsprechende (4), was nicht immer ausgenutzt wird. In dem von L i B n a r d graphisch behandelten Spezialfall(3) tritt bei unserer Konstruk- tion noch die Vereinfachung ein, daB die Koordinaten der Punkte Xpi. auf der Triigergeraden durch x = y,, , y = - x a u nmittelbar gegeben sind. 1st in (4) z. B. Q(y) = - as+3Bays, so liegt die bekannte v a n d e r P olsche Gleichung vor.

Durch j i e dargelegten Verfahren kann man einer- seits einen raschen tfberblick iiber die moglichen Schwingungstypen erzielen, , andererseits aber auch genauer diejenigen Schwingungen konstruieren, fur die man sich im besonderen ipteressiert.

Gottinge?. M.anf r e d S c h ii f e r.

Dor Energletransport in stremenden Medien Jede Stromung eines fliissigen oder gasformigen

Mediums ist mit einem Energietransport verbunden. In der Elektrodpamik hat sich seit langem zur Dar- stellung des Energietransportes im elektromagneti- schenFeld der P o y n t,i n gschevektor eingzbiirgert. In der Stromungslehre fehlt, soweit dem Verfasser bekannt ist, ein analoger Vektor. Nur fur den Sonder- fall der reibungsfreien Fliissigkeit mit konservativen, zeitunabhiingigen Massenkriiften wurde ein solcher Vektor hergeleitet 1).

Es sol1 im fol enden, zuniichst f i i r reibungsfreie, inkompressible f&imungen, ein Energietransport- vektor G nach einer Methcde hergeleitet werden, die eine Erweiterung auf beliebige Strtimungen eines ziihen und kompressibeln Mediums zuliiBt.

1st do der Vektor ekes beliebigen, raumfesten Fliichenelementes, so soll :

d E = G * d o d 6 a) . . . . (l),

die im Zeitelement dt durch die Fliiche du trens- portierte Energie der Stromung bedeuten. Damit ist auch die Bedeutung des Energietransportvektors fest- gelegt.

Wir wollen uns im folgenden grundsiitzlich auf die mechanischen Energieformen beechranken. Es mind dies die Bewegungsenergie der stromenden Flussigkeit und die potentielle Energie der Massenkriifte. Dam tritt noch die mechanische Arbeit, die beim Durch- tritt durch du in der Zeit dt von der durchstromenden Fliissigkeit nach auhn geleistet wird3).

Es ist demnach, wenn t, der Vektor der Stromungs- geschwindigkeit, e die Masaendichte, p der statische Druck und U das auf die Masseneinheit bezogene (zeitunabhiingige) Potential der Messenkritfte be- deutet :

1) Vg1. CI. 8 c h a e I e r , EInfUhrun$ In dle theoretisahe Phyiik, Berlln und Lelprfg 1929, I. Bd., 8. 796 if .

*) Der Pnnkt bedeutet dam rLaIare Produkt. ') Elne strenge Rerleitung des Energietransportvektors

far den sllgemelnen Fall der ziihen, kornpresslbeln Fltlsslg- keit aun den 9 t o k e B - N a v 1 e r schen Olelchung so11 81s Er- ganzung dieses Aufsatzes folgen.

Durch Vergleich mit G1. (1) folgt daraus:

Bei der reibungsfreien, inkompressibeln StrBmung het also der Energietransprtvektor dieselbe Richtung wie der Geschwindigkeite- oder der Impulsrektor und man erhiilt ihn, wenn man den auf die Volumseinheit bezogenen Impulsvektor mit dem Betrag der Gesamt- energie pro Masseneinheit multipliziert.

Der Energietransport durch eine eschlossene Fliiche ist gegeben durch: 6 * do dt. f o soll nach

F a u b n weisen. Bezieht man ihn auf die Volums- und Zeiteinheit und schnart die Fliiche auf einen Punkt zusammen, 60 erhlllt man:

J B do dt F Ii'm P d i - = p - G .

v-0

Man erhiilt also die Divergenz des Energietransport- vektors.

AUE der E u l e r s c h e n Gleichung der Hydro- dynamik in Verbindung mit der L a m blschen Um- formung des substantiellen Differentialquotienten folgt aber:

Aus G1. (2) folgt ferner:

Da aber e = const. vorausgesetzt wird, ist ~ - ( e b ) = O . . . . . (3a).

Es folgt somit aus GI. (3):

Nun ist aber:

Daher gilt: [ t 'x (vxb) ] . eb = O .

Die aus dem raumfesten Volumselement pro Zeit- und Volumseinheit sustretende Energie entspricht E ~ E O der Verminderung der auf die Volumseinheit be- zogenen Bewegungsenergie in .per Zeiteinheit. Die potentielle Energie kann keine Anderung erfahren, ds dae Potential als zeitunabhiingi vorausgesetzt wurde.

natiirlich nicht. Geht man zu zahen Fliissigkeiten uber und nimmt

zuniichst noch e = const an, dann lautet bekanntlicb der Spannungstensor p, der dem S t o k e E -N a v i e r- when Aneatz zu Grunde liegt :

Bei stationiirer Stromung an f ert sich die Energie

p = -81, +q(v, 0 + v) (6).

3 bedeutet den Einheitstensor, der Beistnch sol1 dss dyadieche Rodukt andeuten, q. ist die dynamieohe Ziihigkeit. Die Arbeit, die beim h c h s e t z e n dee Flffchenelementee du in der Zeit dt nach auhn ge- leistet w i d , iet dann:

Aus ( 6 ) ergibt sich aber: dA = - (p . d ~ ) . t , d t . . . . (0).

d A = p b .do di - [q (p, b + b, v)]. do at.

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Wegen der Symmetrie der Dyade v, b + b, v gilt nun: (p, b + b, v) * d o b dt = (p, b + b, p) * b - d o dt

und daher:

d A = [ p b -q(p, b + b, v) * b,I.dOdt (b). Die mechdsche Energie dE, die durch die Flllche da wiihrend dt transportiert wird, ist demnach:

d E = zlbl '+eU. b . d o d t + d A . . (7),

wenn wieder ein zeitmbhiingigee Potential der Meesenkriifte vorsusgesetzt wird.

( e 1 Ane (6a) und (7) folgt:

d E = [(e '+- I!' + U ) e a - ' ~ ( p , a + a , p ) . b ] . d o d t

und deher nmh G1. (1):

Der Energietranaportvektor hat nun im allgemeinen nicht mehr die Richtung der Stromlinientangente, sondern schlieBtunit ihr einen von Null verschiedenen Winkel ein.

Bildet man wieder die Divergenz von 6, 80 erhalt man fur 7 = conet

Nun lautet die S t o k e 8 - N a v i e r ache Glei. chung in Vektorform:

mit

v = - 'I . . . . . . . (10s). e

Fiihrt man Gl. (10) in (9) ein, 80 erhiilt man:

Man kann nun folgende Umformung auefiihren: * - (r, o+ 0, v)I= (v, U ) * * ( V , p+ b, v)+ 0 * V'b,

wobei die Beziehung p - b = 0 beachtet werden mu0 (. - bedeutet das do peltskalere Produkt der beiden Dyaden). Daher fofgt :

p . G = - - - .- - - ? ( ~ , b ) . . ( p , b + b , v ) ( l l ) . : ("'2"'') zum Verlust an Bewegungeenergie tritt nun noch die Energiediaaiption pro Rsum- und Zeiteinheit vom Betrag:

Man Uberze

Energiediseipation iibereinstimmt 4).

9 (v, a) * . (v, 0 + 0, - sioh leicht, daB diem Formel mit den

in den Lehr "$ iichern angegebenen Formeln f i i r die

6) Vgl. H. L a m b . Lehrbuch dor Hydrodynamlk, Lelpzig und Bexlln 1931, 8. 66411.

Betrechten wir z. B. die P o i a e u i 11 esche Strd. mung in einem zylindriachen Rohr ohne Maaeenkmft, 80 gilt fiir die Qeschwindigkeiteverteilung, wenn z in Richtung der Robrechae gelegt wird, bekanntlich:

f? a+ ut = - (u'- f') . . . . . . (12). 4 v

Hierist 3+ daa konetante Gefiille, g die Fallbeechleuni- gung, a = Rohrdurchmeaeer, r = Abetand von der Rohrachee. Sind ez und e, die Einheiteuektoren in Richtung von z und in Richtung dee Aufpunktradiue, so gilt nach G1.(8):

Fiihrt man die We& aue 01. (12) ein, 80 erbiilt man:

Em beeteht also nicht nur eine Energiestrbmung in Richtung der Fliiesigkeitsstrbmung, eondern auch eine radial nach euBen gerichtete Komponente den Energie- traneportvektors. Die60 Radialkomponente besitzt ein Maximum fiir 7 = -. Im Gebiet O < r < - strbmt demnach radial nach a u h n mehr Energie ab ale von innen zustrbmt, im Qebiet a > r > --st ee

umgekebrt. Die Zone a> r > wird also stiindig

von der energiereicheren Zone 0 < r < -= geepist.

a U

F fl U

fi

U fl

1'3 Bei reibungefreien, kompreesibeln Strbmungen wird

der Ener ietreneportvektor nach wie vor durch Ql. (2) dargeeteit, da die Kom meaibilitfit weder die durch dae Fliichenelement hindkhtretende potentielle und kinetiache Energie, nocb die debei nech anBen leietete Arbeit iindert. Die Divergenz von G, die % Energieabnahme einee raumfeeten Volumeelementas bezogen auf die Volume. und Zeiteiaheit miBt, nimmt hier allerdinge eine andere Form an. Bei veriinder- licher Dichte k a ~ man echreiben:

Ferner gilt die allgemeine Kontinuitategleichung :

An Stelle von 01. (3) tritt somit:

Ifan erhilt sodenn:

Mif Hilfe der Gleichungen (14) und (16) 1BBt eich d i em Auadruck umformen zu:

z. angar. ma. mwn. 288 Kleine Mitteilungen Bd. 82 Nr. 8/9 AugJ8ept. 1952

Die Energieabnahme eetzt sich also zuasmmen eua der Abnahme der kinetiechen und potentiellen Energie und der Abnahme zufolge der Folumsdilation. Die letztere bleibt euch in stationhem Zustand beatehen, de hierhei eine thermodynamische Umsetzun etett- findet, bei der sich die mechanieche Energie d e r t .

Gegt sin kompreeaiblee und ziihee Medium vor, so tritt zum Spannungetensor G1. (5) noch ein Glied, des von der Kompreseibilit&t berriihrt :

P = -3 P + v ( v , p + 0, V ) --13(~ * P)

2

(17).

Naoh der S t o k e B when Annahme iet A c 7. Da dieee Annahme problematiach ist, wollen wir sie im folgenden nicht einfuhren. Fur G ergibt sich nun folgender Ausdruck:

+ 1 0 (V * 0 ) J Auch hier iet & wieder gegen die Stromlinien geneigt.

Nech der allgemeinen Gleichung von S t o k e s - N a v i e r , die euch die Kompressibilitiit beriick- sichtigt, gilt etatt G1. (10):

Mit Benutzung von GL(l4) und (16) ktinnen wir damus wider die Divergenz von G ermittelp. Es ergibt eich:

- 7 (v, 0 ) * * (v, 0 + 0, v) J + A (c * 0)s

Aubr den in Q1. (16) aufscheinenden Gliedern erhPlt mnn noch den der Eziergiedisei ation durch Reibung enteprechenden Term nach &. (11), und ein von der Kompreeeion herriihrendes dissipative8 Glied .

Wien. a. H e i n r i c h .

Zur Baurtellung empirlrcher Funktlonen. Wenn man die Vereinbarkeit einer empirischen

Kurve mit einer theoretischen Kurve beurteilen will, bedient man s b h ewtihnlich der Pearsonschen XUfethode. Da der Jusdruck eine Summenbildung der Quadrate der Abweichun en iwischen der empi- rischen und der theoretischenkurve darstellt, hat die Methode Miingel, die recht sttirend wirkenl. Einmal ist die 8-Methode unempfindlich gegen das Vor- zeichen dler Unterschiede zwischen den beiden Kurven. Znm anderea gestattet eie keine Priifung auf reine ZufallsmiiBigkeit der Unterschiede. In einem Fall, in dem zwischen der ernpirischen und der theoretischen Kurve rein zufallsmiibige Unterschiede auftreten, liefert eie denselben Vbereinatimmun sgrad wie in einem Fall mit systematisch sich verancfernden Unter- echieden, sofern der Ausdruck in beiden Fbllen den- selben numerischen Wert l i e fk . AuDerdem ist die

1, vgl Mittmann 0 Erbblologische Fragen in mathematischer B ehandlung. Waltdr de' Oruyter, Berlin 1940, Kap. 111, Abschn. A1 by, 8.148.

f-Methode euch nur fiir empiriache Kurven geachaf- fen, die ah Hiiufigkeitaverteilugen angmehen werden k6nnen. Die folgenden Betrachtungen m6gen dazu beitragen, die aufgezeigte Liicke schlieBen zu helfen.

Haben wir irgendeinen Vorgaag, etwa einen natnr- wissenschaftlichen oder wirtschaftlichen Vor ang, nach einem fortlaufenden Argument wie z.B. nac% der Zeit beobaclitet und einen,,!Crend"ausfindig gemacht, dann wollen wir fragen. ob die Unterschiede zwischen dem "rend und dem empirisch beobachteten Ablauf rejne Zufallsschwankungen sind oder eine nicht zu vernachliissi ende systematische Komponente ent- halten. Wir itinnen die Frage auch anders stellen und danach fragen, wie klein eine kiinstliche Klassenein- teilung des Beobachtungs-Argument-Abschnitts ge- wiihlt werden darf, damit die Unterschiede zwischen Trend und empirischem Ablauf noch als Zufalls- abweichungen angesehen werden diirfen. Der Trend selbst soll uns dabei nicht mehr interessieren, sondern nur noch die Unterschiede zwischen empirischer Funktion und Trend, die wir ale Zufallsvariable y betrachten wollen.

Zufallsveriable mi t ganzzahligem Argu- ment. Wir gehen zuniichst von einer Zufallsvariableny aus, die nacb einem ganzzahligen Argument i beob- achtet sein mtige. Die aufeinander folgenden Beob- achtungen eeien yl, y,, y,, . .I., y ~ . Der Erwartungs- wert des einzelnen y;, den wir mi$ E ( y i ) bezeichnen wollen, soll sich systematisch mit i verindern dtirfen. Die in yi enthaltene Zufallskomponente sei eine Zu- fallsvariable zi, die unabhiingig von i sein mtige. Der Erwartungswert E(yi) und die reine Zufallsvariable 3: j sollen sich additiv zusammensetzen, so daB

yi = E(Yi) + z i

Das einzelne z i mlige sich aus unendlich vielen Teil- variablen additiv zusammensetzen, so daB die zi-ver- teilung eine Ga u D verteilung (Normalverteilung) ist. Die Teilvariablen und mit ihnen die zi seien unab- hangig voneinander. Es soll ein Kriterium entwickelt werden, das zu priifen gestattet, ob die Beobachtuqs- aerie der y i noch mit der Hypothese miner Zufalls- mhdigkeit vereinbar ist. FallsreineZufallsrniiBigkeit herrscht, whe E(yi ) = 0

fur alle i, und alle Rohkorrelationen zwischen den y i wiiren gleich Null: R(yi ,y j )=O fiir i+j. Falls hin- gegen keine reine ZufallsmlBjgkeit herrscht, wiiren nicht alle Rohkorrelationen R(yi , yj) gleich Null. Nach den gemachten Voraussetzungen sind alle R(yi,yitrn) bei gleichem m einander leich. DielRoh.

durch ihre empiriscfen Reprtisentanten korrelationen R(yi, <+m) sind pra P; tisch natiirlich

zu ersetzen. Es dreht sich dann praktisch darum, die Frage zu entecheiden, ob die zm samtlich mit dem Wert Null vereinbar sind oder nicht.

Unter den oben gemachten Voraussetzungen sind wegen

R ( z ~ * zj , Z ~ S z l ) = R(z i , zk) . R b j , ZZ) + R(zi, 22) * R(zh z/c)

alle R(Z,,,, 2%) fi ir m +n gleich Null, und das Streu- ungsquadrat von Zm ist

Da die Zrn, ebenso wie die Z i , einer Gadverteilung folgen, wird die Wahrscheinlichkeit daftir, daB die normierten Variablen

ZS ZN-I A,& -,..., ~

GU ~ s ) ' u(za) ~ ( Z N - I )