Eric Darrigrand

Florian Mehats

EQUATIONS AUXDERIVEES PARTIELLESELLIPTIQUES

E. Darrigrand

E-mail : eric.darrigrand-lacarrieu@univ-rennes1.fr

F. Mehats

E-mail : florian.mehats@univ-rennes1.fr

IRMAR, Universite de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex.

Version du 19 janvier 2015

EQUATIONS AUXDERIVEES PARTIELLES ELLIPTIQUES

Eric Darrigrand, Florian Mehats

TABLE DES MATIERES

1. INTRODUCTION AUX MODELES FONDAMENTAUX . . . . . . . . . . . . . . 71.1. Les differents types d’equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Equations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Systemes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Etude d’un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. ESPACES DE SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1. Notions de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. L’espace de Sobolev H1(Ω) : premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Traces et formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5. Un resultat de compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. PROBLEMES ELLIPTIQUES LINEAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1. Introduction : Un probleme de minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Solutions faibles pour le probleme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3. Regularite H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4. Autres problemes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5. Approximation variationnelle, introduction a la methode des elements finis . . 59

A. Rappels sur les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.1. Densite de C0

c (Rn) dans L1(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.2. Autres rappels sur les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

B. Formules de Leibniz et de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73B.1. Fonction d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73B.2. Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

C. Mesure superficielle et formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75C.1. La mesure superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75C.2. Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

CHAPITRE 1

INTRODUCTION AUX MODELES FONDAMENTAUX

1.1. Les differents types d’equations aux derivees partielles

Une equation aux derivees partielles (EDP) est une equation dont l’inconnue est unefonction et qui fait intervenir non seulement cette fonction mais aussi ses derivees par-tielles. L’ordre maximal de derivation intervenant dans l’equation est appele ordre del’EDP. Il existe des centaines d’EDP dont l’etude necessite des theories differentes, sou-vent specifiques. On tente neanmoins de classifier les EDP en categories, selon les outilsgeneraux qui permettent de les analyser, ou encore selon leurs proprietes qualitatives etles problemes qu’elles modelisent. En effet, les EDP sont les objets mathematiques quipermettent de modeliser les phenomenes naturels et il ne faut jamais oublier cet aspect.Les EDP que nous rencontrerons dans ce cours seront toujours placees au prealable dansun contexte : physique, mecanique, chimie, biologie, economie, sociologie, ...

On distingue trois grandes categories d’EDP :

(i) Les equations de type elliptique qui interviennent tres souvent dans la modelisationdes phenomenes stationnaires (c’est a dire n’evoluant pas au cours du temps). Leprototype d’equation elliptique est l’equation de Laplace

−∆u = f (1.1)

d’inconnue u(x), x ∈ Ω ⊂ Rn et de donnee f .

(ii) Les equations de type parabolique, qui modelisent souvent l’evolution transitoirede phenomenes irreversibles associes a des processus de diffusion. L’equation de lachaleur en est un prototype :

∂u

∂t−∆u = f (1.2)

d’inconnue u(t, x), x ∈ Ω ⊂ Rn, t ≥ 0 et de donnee f .

(iii) Les equations de type hyperbolique qui modelisent des phenomenes dependant dutemps, de transport ou de propagation d’ondes. On identifie deux prototypes pourcette classe d’EDP :

– L’equation de transport

∂u

∂t+ c

∂u

∂x= 0 (1.3)

d’inconnue u(t, x), x ∈ R, t ≥ 0.– L’equation des ondes

∂2u

∂t2−∆u = f (1.4)

d’inconnue u(t, x), x ∈ Ω ⊂ Rn, t ≥ 0 et de donnee f .

Remarque 1.1. — D’ou vient le nom “elliptique”, “parabolique”, “hyperbolique” ?Placons nous dans le cas particulier des equations de deuxieme ordre dans R2. L’inconnueest la fonction u(x, y), qui satisfait l’equation

a∂2u

∂x2+ b

∂2u

∂x∂y+ c

∂2u

∂y2+ d

∂u

∂x+ e

∂u

∂y+ fu = g (1.5)

Pour simplifier, on suppose les coefficients a, b, ..., g constants.

On dit que (1.5) est elliptique si b2 − 4ac < 0,parabolique si b2 − 4ac = 0,hyperbolique si b2 − 4ac > 0.

Bien sur, et c’est la l’origine du vocabulaire employe, cette definition est calquee sur celledes coniques du plan. En effet, la courbe plane d’equation

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0

est (sauf dans certains cas degeneres) une ellipse si b2−4ac < 0, une parabole si b2−4ac = 0et une hyperbole si b2 − 4ac > 0.

Si l’on effectue un changement de variable non singulier (x, y) −→ (X,Y ) (tel quele Jacobien J = ∂X

∂x∂Y∂y −

∂X∂y

∂Y∂x ne s’annule pas), alors on peut montrer (par un calcul

fastidieux) que l’equation (1.5) devient

A∂2u

∂X2+B

∂2u

∂X∂Y+ C

∂2u

∂Y 2+D

∂u

∂X+ E

∂u

∂Y+ Fu = G

avec notamment A = a

(∂X∂x

)2+ b∂X∂x

∂X∂y + c

(∂X∂y

)2

B = 2a∂X∂x∂Y∂x + b

(∂X∂x

∂Y∂y + ∂X

∂y∂Y∂x

)+ 2c∂X∂y

∂Y∂y

C = a(∂Y∂x

)2+ b∂Y∂x

∂Y∂y + c

(∂Y∂y

)2.

Cette nouvelle EDP est de la meme forme que (1.5) et l’on peut verifier que B2 − 4AC =J2(b2 − 4ac) : l’equation consideree dans les nouvelles variables (X,Y ) est de la memecategorie (elliptique, parabolique, hyperbolique) que dans les anciennes (x, y). En fait, unchangement de variables particulier permet de simplifier la forme de l’equation et de seramener a une forme canonique. Si l’equation est elliptique, on montre que l’on peut choisirle changement de variable (x, y) −→ (X,Y ) de telle sorte que B = 0, A = C 6= 0. On voit

donc apparaıtre∂2u

∂X2+∂2u

∂Y 2, caracteristique de l’equation de Laplace. Si l’equation est

parabolique, on peut s’arranger pour avoir A 6= 0, B = C = D = 0, E = −A. On voit

apparaıtre l’equation de la chaleur∂u

∂Y− ∂2u

∂X2. Si l’equation est hyperbolique, on peut

obtenir B = 0, A = −C 6= 0, d’ou l’equation des ondes avec le terme∂2u

∂X2− ∂2u

∂Y 2.

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Remarque 1.2. — Dans la plupart des situations realistes, les choses sont plus complexeset les modeles font simultanement appel a deux, voire trois, de ces categories. Un bonexemple est le systeme de Navier-Stokes (ecrit en une dimension d’espace ici)

∂ρ

∂t+

∂

∂x(ρu) = 0

∂

∂t(ρu) +

∂

∂x(ρu2) +

∂

∂x(P (ρ))− ν ∂

2u

∂x2= f

Les inconnues du probleme sont ρ, la densite du fluide, et u, la vitesse du fluide.– Si le fluide est stationnaire : equation elliptique.– Si le fluide est homogene a faible nombre de Mach, ρ = cste, ∂

∂x(P (ρ)) = 0. On voit

apparaıtre l’equation parabolique ∂u∂t − ν

∂2u∂x2

.– Si le fluide est parfait (ν = 0) et si l’on consiere une petite variation autour d’un

etat constant ρ = ρ0, u = 0, en linearisant les equations on obtient l’equation del’acoustique :

∂2ρ

∂t2− P ′(ρ0)

∂2ρ

∂x2= 0.

Dans ce cours, nous nous concentrerons sur les modeles elliptiques, avec plusieurs ob-jectifs :

– Identifier des problemes bien poses (au sens de Hadamard), c’est-a-dire qui admettentune unique solution dependant continument des donnees, et mettre en place unemethodologie generale pour prouver ces proprietes. Precisons que dans la tres grandemajorite des cas, on ne dispose pas d’expression analytique de cette solution.

– Exhiber des proprietes qualitatives generiques pour les EDP elliptiques : resultats deregularite, proprietes de monotonie, estimations a priori, . . .

– Preparer la resolution numerique de ces problemes, en construisant une methoded’approximation, la methodes des elements finis, qui se trouvera etre en continuitedirecte de la methode theorique ci-dessus.

En faisant le choix de s’interesser aux problemes elliptiques, nous nous concentronssur une configuration ou nous pourrons introduire un formalisme general qui convientnon seulement a l’analyse theorique mais aussi a l’analyse numerique : la formulationvariationnelle. Ce formalisme constitue une bonne illustration de la demarche desmathematiques appliquees, qui part du probleme physique et va jusqu’a la simulationnumerique en passant par l’analyse mathematique des equations continues et discretesrencontrees.

Dans la suite de ce chapitre d’introduction, nous dressons une liste de modeles.

1.2. Equations elliptiques

1.2.1. Equation de Laplace. — Notre exemple canonique est donc l’equation de La-place. Soit Ω un ouvert borne et regulier (on verra plus loin ce que cela signifie) de Rn, defrontiere Γ. L’inconnue u(x) (x ∈ Ω) satisfait dans Ω l’equation

−∆u = f (1.6)

Une question tres importante est celle des conditions aux limites. La fonction f etantdonnee, (1.6) posee dans Ω n’admet pas une unique solution. Pour avoir une propriete

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d’unicite, il convient d’ajouter des conditions sur u au bord Γ du domaine. Les exemples-types de conditions aux limites qui seront etudies sont :

– u = 0 sur Γ : condition de Dirichlet homogene,

– u = u0 sur Γ : condition de Dirichlet inhomogene,

–∂u

∂n= 0 sur Γ : condition de Neumann homogene,

–∂u

∂n= g sur Γ : condition de Neumann inhomogene, ou ∂u

∂n = gradu · n et n(x) est la

normale sortante en x ∈ Γ,

– u = u0 sur Γ0 et∂u

∂n= g sur Γ1 : condition mixte Dirichlet-Neumann, ou Γ0 ∩Γ1 = ∅

et Γ0 ∪ Γ1 = ΓΓ

x

n(x)Ω

Du point de vue de la modelisation, on rencontre l’equation de Laplace dans lesproblemes suivants :

– En thermique, pour decrire la temperature a l’equilibre dans un corps Ω thermique-ment conducteur : u designe la temperature, f un terme de source de chaleur, lacondition de Dirichlet u = u0 sur Γ0 decrit une temperature imposee sur une par-tie de la frontiere du corps et la condition de Neumann ∂u

∂n = g signifie que le fluxthermique est connu sur Γ1 (g = 0 correspond a une parois isolante).

– En mecanique du solide, pour decrire la position d’equilibre d’une membrane elastique(en dimension n = 2) : u designe le deplacement, f un champs de forces et lesconditions aux limites decrivent un deplacement impose sur Γ0 et une contrainteimposee sur Γ1.

– En mecanique des fluides, u designe la fonction courant ou le potentiel des vitesses.– En electrostatique : u designe le potentiel electrostatique, f la densite de charge ; la

condition de Dirichlet decrit une interface avec un conducteur parfait et la conditionde Neumann designe un champ electrique impose sur Γ1.

1.2.2. Modele plus general. — Un modele plus general consiste a ecrire a la place del’operateur de Laplace ∆, un operateur aux derivees partielles L de type :

Lu = −n∑i=1

n∑j=1

∂

∂xi

(aij(x)

∂u

∂xj

)(1.7)

ou les fonctions aij sont donnees et definies sur Ω. On considere alors le probleme suivant :

Lu = f dans Ω ; u = u0 sur Γ (1.8)

Definition 1.3. — L’operateur aux derivees partielles (1.7) est dit (uniformement) el-liptique dans l’ouvert Ω si, et seulement si, il existe une constante α > 0 telle que

n∑i,j=1

aij(x)ξiξj ≥ αn∑i=1

ξ2i , ∀ξ ∈ Rn

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pour presque tout x ∈ Ω.

Remarque 1.4. — Les problemes physiques modelises par l’equation de Laplace sontdes problemes stationnaires. On peut se demander s’il en est toujours ainsi, ou si cetteequation ne pourrait pas aussi decrire des phenomenes instationnaires. Par exemple, onpourrait considerer le probleme de Cauchy (= probleme avec donnee initiale) suivant :

∂2u

∂t2+∂2u

∂x2= 0 pour x ∈ R, t ≥ 0,

u(x, 0) = u0(x) pour x ∈ R,∂u

∂t(x, 0) = u1(x) pour x ∈ R.

Ces conditions aux limites reviennent aussi a prendre des conditions de Dirichlet et desconditions de Neumann simultanement sur la meme partie de la frontiere. Malheureuse-ment, ce probleme est mal pose au sens de Hadamard. Considerons en effet la donneeinitiale suivante, dependant d’un parametre k ∈ N∗ :

u0,k(x) = 0, u1,k(x) =cos(kx)

k2.

On peut montrer que pour ε > 0 assez petit, ce probleme a une unique solution surR× [0, ε[, donnee par

uk(x, t) =cos(kx)

k3

ekt − e−kt

2.

Pour tout ε > 0, on a limk→+∞ uk(0, ε) = +∞ alors que la donnee initiale tend vers 0uniformement lorsque k → +∞. Ce qui induit l’instabilite... Par ailleurs, en gardant lememe exemple, on peut voir que ce probleme avec

u0(x) = 0, u1(x) =

+∞∑k=1

cos(kx)

k2

n’admet pas de solution, car la serie∑

k=≥1cos(kx)k3

ekt−e−kt

2 diverge pour tout t > 0.

1.3. Systemes elliptiques

1.3.1. Le systeme de Stokes. — Le systeme de Stokes est un probleme modele qui joueun role essentiel dans l’analyse mathematique et numerique des problemes de mecaniquedes fluides incompressibles. Les donnees sont le domaine Ω de bord Γ et une fonction fvectorielle definie sur Ω a valeurs dans Rn qui represente la densite de forces agissant surle fluide.

On cherche deux fonctions : u(x) vectorielle de Ω dans Rn et p(x) scalaire de Ω dans R,verifiant −∆u+∇p = f dans Ω

div u = 0 dans Ωu = 0 sur Γ

(1.9)

ou u(x) designe la vitesse du fluide au point x ∈ Ω, et p(x) designe la pression. La deuxiemeequation de (1.9) traduit l’incompressibilite du fluide.

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1.3.2. Le systeme de l’elasticite lineaire. — Le systeme de l’elasticite lineaire per-met de decrire la position d’equilibre d’un solide elastique homogene et isotrope, lorsquel’on fait l’hypothese que les deplacements par rapport a l’etat naturel sont petits.

On cherche a determiner le champ des deplacements u : Ω→ Rn solution de

−n∑j=1

∂

∂xj(σij(u)) = fi dans Ω, pour 1 ≤ i ≤ n

u = 0 sur Γ0n∑j=1

σij(u)νj = gi dans Γ1

(1.10)

ou ν est la normale unitaire.La premiere equation modelise l’equilibre local sous l’effet des forces exterieures ap-

pliquees ; f = (fi)1≤i≤n est la densite volumique de force dans Ω, Σ = (σij)1≤i,j≤n est letenseur des contraintes elastiques. Ces contraintes sont reliees au tenseur des deformations(εij)1≤i,j≤n defini par

εij(u) =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)pour 1 ≤ i, j ≤ n

par la relation

σij(u) = λ(div u)δij + 2µεij(u) pour 1 ≤ i, j ≤ nou δij est le symbole de Kronecker, et λ et µ sont les coeffcients de Lame du materiau.

Les conditions aux limites expriment le fait que le corps elastique est encastre sur Γ0

tandis que la densite superficielle de forces exercees est donnee sur Γ1.

g ds −→

Γ1

Γ0

f dx

1.4. Etude d’un exemple simple

Afin de soulever les differentes problematiques de ce cours, placons-nous dans un cassimplifie mais instructif, en dimension 1 :

−u′′ = f sur ]0, 1[u(0) = u(1) = 0

(1.11)

Remarque : Il s’agit en realite d’une Equation Differentielle Ordinaire (EDO) dontles conditions aux limites ne sont pas de Cauchy mais de type Dirichlet homogene. Parconsequent, l’existence d’une unique solution ne decoule pas directement du theoreme deCauchy-Lipschitz.

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1.4.1. Resolution explicite. —

Proposition 1.5. — Soit f ∈ C([0, 1]). Alors, (1.11) admet une unique solution u declasse C2([0, 1]) donnee par

u(x) =

∫ 1

0G(x, y)f(y)dy ∀x ∈ [0, 1] (1.12)

ou G s’appelle fonction de Green du probleme et est definie par

G(x, y) =

y(1− x) si 0 ≤ y ≤ xx(1− y) si x ≤ y ≤ 1

Exercice : Verifier que l’on definit bien ainsi une solution de (1.11) et qu’une solu-tion de (1.11) s’exprime necessairement ainsi. Des exercices similaires seront traites en TD.

De cette expression (1.12), nous allons deduire plusieurs proprietes fondamentales dessolutions des problemes elliptiques :

i) La solution depend de maniere continue de la donnee f : la fonction

T : C([0, 1]) −→ C2([0, 1])f 7→ u, la solution de (1.11)

est continue et regularisante. Pour le voir, T etant lineaire d’apres (1.12), il suffit demontrer que

‖Tf‖C2 ≤ c ‖f‖C0 (1.13)

En effet, pour tout (x, y) ∈ [0, 1]2, on a |G(x, y)| ≤ 1, donc on deduit immediatementde (1.12) que max |u| ≤ max |f |. Il s’agit d’un controle dans C0 de la solution par lesdonnees. Combine avec la linearite du probleme, cela confirme l’unicite de la solution.

Ensuite, on ecrit

u(x) =

∫ x

0y(1− x)f(y)dy +

∫ 1

xx(1− y)f(y)dy,

d’ou

u′(x) = x(1− x)f(x)−∫ x

0yf(y)dy − x(1− x)f(x) +

∫ 1

x(1− y)f(y)dy

=

∫ 1

xf(y)dy −

∫ 1

0yf(y)dy

et max |u′| ≤ 2 max |f |. Enfin, en utisant directement l’equation u′′ = −f , on amax |u′′|+ max |u′|+ max |u| ≤ 4 max |f |. On a donc bien montre (1.13).

ii) Principe du maximum faible :

f ≥ 0 =⇒ u ≥ 0

C’est evident avec (1.12) et la positivite de G.

iii) Principe du maximum fort :

f ≥ 0 et f 6≡ 0 =⇒ u > 0 sur ]0, 1[

Ainsi, meme pour un second membre tres localise comme sur la figure ci-dessous, lasolution u est non nulle sur tout l’intervalle ]0, 1[.

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−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−0.5

0

0.5

1

1.5

x

f(x)

fonction avec un petit support

Par linearite, on en deduit que si on modifie localement (ie sur un petit intervalle delongueur ε) le second membre f , la solution est modifiee globalement.

Ces proprietes sont tres generales pour les problemes elliptiques (effet de regularisation,principe du maximum), neanmoins on ne pourra pas exprimer leurs solutionssystematiquement sous une forme simple comme (1.12). Il nous faudra utiliser une methoded’analyse plus generale.

1.4.2. Methode de tir. — On veut resoudre l’equation−u′′ + b(x)u = fu(0) = u(1) = 0

(1.14)

ou b(x) est une fonction donnee, positive ou nulle.Il est plus delicat de proceder comme pour l’equation (1.11) par une formule explicite.

On propose alors ici une alternative. Pour cela, on considere un probleme intermediairedependant d’un parametre ajustable α :

−u′′ + b(x)u = f,u(0) = 0, u′(0) = α.

(1.15)

Il s’agit d’un probleme de Cauchy pour lequel on connaıt des methodes de resolutions etpour lequel on sait qu’il y a existence et unicite de la solution (theorie des EDO, theoremede Cauchy-Lipschitz). Designons uα la solution de (1.15).

Lemme 1.6. — Pour tout β ≥ α, pour tout x ∈ [0, 1], on a uβ(x) ≥ uα(x) + (β − α)x.

Demonstration. — On a u′′β − u′′α = b(uβ − uα),

(uβ − uα)(0) = 0,(uβ − uα)′(0) = β − α ≥ 0.

Comme b ≥ 0, il est facile de voir que uβ − uα et (uβ − uα)′ sont croissantes sur [0,+∞[.Donc (uβ − uα)′(x) ≥ β − α, ce qui donne le resultat en integrant par rapport a x.

Corollaire 1.7. — Il existe un unique α ∈ R tel que uα(1) = 0. Donc (1.14) admet uneunique solution uα ∈ C2([0, 1]).

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Demonstration. — L’application α 7→ uα(1) est continue et strictement croissante.

uα(1) ≥ u0(1) + α si α > 0uα(1) ≤ u0(1) + α si α < 0

ainsi lim±∞ uα(1) = ±∞.

Remarque 1.8. — Cette preuve suggere une methode numerique par algorithme de tir,car on connaıt des methodes (Euler, Runge-Kutta, ...) pour resoudre le probleme de Cau-chy (1.15). Mais la methode est non generalisable aux dimensions superieures !

1.4.3. Vers la formulation variationnelle. — Montrons directement que la solutionde (1.14) est unique si elle existe.

Soient u1 et u2 deux solutions de (1.14) et posons u = u2 − u1. Alors,−u′′ + b(x)u = 0,u(0) = u(1) = 0,

ce qui correspond a (1.14) avec f ≡ 0. Soit v ∈ C1([0, 1]) tel que v(0) = v(1) = 0.Multiplions l’equation par v, puis integrons :∫ 1

0−u′′v dx+

∫ 1

0buv dx = 0

d’ou, par integration par parties,∫ 1

0u′v′ dx+

∫ 1

0buv dx = 0

Si l’on prend v = u, on obtient∫ 1

0(u′)2 dx+

∫ 1

0bu2 dx = 0

Or, b ≥ 0, ce qui entraıne u′ ≡ 0, puis u ≡ u(0) = 0. On a demontre l’unicite de la solution.En reprenant le probleme (1.14), en refaisant la meme manipulation, on obtient que,

pour tout v ∈ C1([0, 1]) tel que v(0) = v(1) = 0, on a∫ 1

0u′v′ dx+

∫ 1

0buv dx =

∫ 1

0fv dx (1.16)

Si on note H = v ∈ C1([0, 1]), v(0) = v(1) = 0, le resultat suivant caracterise la solutionde (1.14) :

Proposition 1.9. — Soit u ∈ H ∩ C2([0, 1]). Alors, u verifie (1.14) si et seulement si

∀v ∈ H , a(u, v) = L(v) (1.17)

ou a(u, v) =

∫ 1

0u′v′ dx+

∫ 1

0buv dx (forme bilineaire),

L(v) =

∫ 1

0fv dx (forme lineaire).

15

La forme (1.17) est ce que l’on appelle une formulation variationnelle.

Plus generalement, un probleme variationnel s’ecrit :Trouver u ∈ H tel que∀v ∈ H, a(u, v) = L(v),

(1.18)

ou H est un espace de Hilbert. Le theoreme de Lax-Milgram, que l’on verra plus tard,permet de montrer l’existence et l’unicite de la solution u de (1.18), sous certaines hy-potheses.

Cependant, l’ecriture (1.17) proposee ici n’est pas tout a fait sous la bonne forme :– On a du faire l’hypothese que u ∈ H ∩ C2. Si on a seulement u ∈ H, on ne peut

revenir a (1.14) (l’integration par parties n’est pas licite). Il faudra alors trouver unespace adapte permettant une integration par partie au sens “faible”. Cela se faitgrace a la theorie des distributions.

– La norme naturelle associee au probleme variationnel est

‖u‖ =

∫ 1

0(u′)2 dx+

∫ 1

0u2 dx.

Mais H muni de cette norme n’est pas un espace de Hilbert : il n’est pas complet. Enfait, l’espace le mieux adapte a cette methode est le complete de H vis a vis de cettenorme. Il s’agit de l’espace de Sobolev H1(0, 1).

1.4.4. Approximation variationnelle. — La formulation variationnelle offre un avan-tage remarquable : elle peut etre approchee de maniere controlee et efficace par unprobleme en dimension finie. Supposons que (1.18) caracterise bien la solution de (1.14).L’espace H etant de dimension infinie, nous considerons un sous-espace V ⊂ H de dimen-sion finie, et le probleme

Trouver u ∈ V tel que∀v ∈ V , a(u, v) = L(v).

(1.19)

Proposition 1.10. — Etant donnees b ∈ L∞(0, 1) et f ∈ L2(0, 1), le probleme (1.19)admet une solution unique.

Demonstration. — Soit (ψi)1≤i≤n une base de V . On cherche alors u sous la forme u =∑ni=1 uiψi. Ainsi, (1.19) est equivalent a : ∀i = 1, · · · , n,

∑j aij ui = Fi avec aij =

a(ψj , ψi) et Fi = L(ψi).Soit alors, A = (aij)1≤i,j≤n et F = (Fi)1≤i≤n. On cherche donc a resoudre le systeme

lineaire AU = F . L’unicite de la solution de (1.19) equivaut alors a A inversible. Supposonsavoir deux solutions u1 et u2 de (1.19). En prenant v = u2− u1, on obtient par difference,a(u2−u1, u2−u1) = 0. Toujours en utilisant l’hypothese b ≥ 0, on en deduit que (u2−u1)′ ≡0, puis que u2 ≡ u1.

Pour simplifier, on suppose maintenant que b ≡ 1. Etablissons une caracterisation de udans ce cas. On rappelle la norme

‖u‖H1 =

∫ 1

0(u′)2 dx+

∫ 1

0u2 dx = a(u, u).

Proposition 1.11. — On a ‖u− u‖H1 = min ‖u− v‖H1 , v ∈ V .

16

Demonstration. — Comme V ⊂ H, on a :

∀w ∈ V, a(u,w) = L(w) = a(u, w) et donc a(u− u, w) = 0

Ainsi (prendre w = v − u) : ‖u− u‖2H1 = a(u− u, u− v) ∀v ∈ V .D’ou, par Cauchy-Schwarz,

‖u− u‖2H1 ≤ ‖u− u‖H1 ‖u− v‖H1 ∀v ∈ V.

Remarque 1.12. — Ce resultat elementaire est a la base de l’approximation variation-nelle. Il suffit en effet que V soit une approximation de H ”suffisamment bonne” pourqu’alors, automatiquement, u approche bien u (sachant que u se calcule par la resolutiond’un simple systeme lineaire). Les elements finis ne sont rien d’autre qu’une methode deconstruction de tels espaces V , bases sur l’interpolation polynomiale.

Par exemple, les elements dits P1, en dimension 1, consiste a prendre pour V l’espacedes fonctions affines par morceaux associees a une subdivision de [0, 1].

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f(x)

fonction P1 par morceaux

Si l’on note Π1h(u) l’element de V qui interpole u aux points de la subdivision, on peut

montrer que∥∥u−Π1

h(u)∥∥H1 ≤ h ‖u′′‖L2 , ce qui donnera ‖u− u‖H1 ≤ h ‖u′′‖L2 . Ici h

designe le pas maximal de la subdivision.

1.4.5. Conclusion. — Pour resoudre une EDP elliptique par formulation variationnelle,on a donc generalement besoin de :

– Definir des espaces adaptes a cette methode : utilisation d’espaces de distributions,les espaces de Sobolev.

– Prendre le soin d’ecrire et d’etudier les formulations variationnelles.– Minimum de connaissance sur les espaces de Hilbert que l’on utilise.– Resultats generaux d’approximation pour l’interpolation.– Resultats sur les equations elliptiques (regularite de la solution, ...)

17

CHAPITRE 2

ESPACES DE SOBOLEV

2.1. Notions de distributions

On ne donne ici que quelques elements de theorie des distributions. Pour ceux quisouhaitent aller plus loin, on conseillera la lecture de [1, 7, 8].

2.1.1. Definitions. —

Definition 2.1 (Espace de fonctions-test). — Soit Ω un ouvert de RN . On noteD(Ω) l’ensemble des fonctions C∞ sur RN dont le support est un compact K contenudans Ω (c’est a dire nulles hors de K). On note D(Ω) l’ensemble des restrictions a Ω desfonctions de D(RN ).

Exemple. — On sait que la fonction

θ1(x) =

e−1/x si x > 0,0 si x ≤ 0,

est de classe C∞(R). Donc la fonction θ(x) = θ1(1−|x|2) pour x ∈ RN appartient a D(RN ).

Famille regularisante. — Pour tout ε > 0, on pose

θε(x) =θ(x/ε)∫

RN θ(y/ε)dy.

−2 −1 0 1 2−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

!(x)

fonction regularisante !

−2 −1 0 1 2

0

0.5

1

1.5

2

x

! "(x

)

fonction regularisante !" ; " = 0.5

Cette fonction verifie les proprietes suivantes :– Support : Supp (θε) = B(0, ε).– Positivite : θε(x) ≥ 0 ∀x ∈ RN .– Integrale :

∫RN θε(x)dx = 1.

– C’est une fonction-test sur RN : θε ∈ D(RN ).

L’interet de cette fonction θε reside dans le lemme suivant, qui sera demontre en TD al’aide de l’Annexe A.

Lemme 2.2. — i) Soit f ∈ C(RN ). Alors f ∗ θε ∈ C∞(RN ). Si de plus le support de fest compact, alors f ∗ θε converge uniformement vers f sur RN et f ∗ θε ∈ D(RN ).

ii) Soit f ∈ Lp(RN ) , 1 ≤ p ≤ +∞. Alors f ∗ θε ∈ C∞(RN ) et si p < +∞ alors f ∗ θεconverge vers f dans Lp(RN ).

Notation. — Soit α = (α1, α2, · · · , αN ) ∈ RN un multi-entier. On note :

∂αϕ =∂|α|ϕ

∂α1x1 ∂

α2x2 · · · ∂

αNxN

avec |α| = α1 + α2 + · · ·+ αN .

Definition 2.3 (Distributions). — On dit que u est une distribution sur Ω si u est uneforme lineaire sur D(Ω)

u : ϕ ∈ D(Ω) 7→ 〈u, ϕ〉qui verifie la propriete de continuite suivante : Pour tout K compact de Ω, il existe unentier k et une constante CK tels que

∀ϕ ∈ D(Ω) avec Supp (ϕ) ⊂ K, |〈u, ϕ〉| ≤ CK max|α|≤k

‖∂αϕ‖L∞(Ω)

.

On note D′(Ω) l’espace des distributions sur Ω.

Remarque 2.4. — Lorsque, dans cette definition, l’entier k peut etre choisi independantde K, on dit que la distribution est d’ordre fini. La plus petite valeur de k possible estappelee l’ordre de u.

2.1.2. Exemples importants. —

2.1.2.1. Les fonctions localement integrables dans Ω. — Soit

f ∈ L1loc (Ω) = f |K ∈ L

1(K) , ∀K compact ⊂ Ω.Alors, la forme lineaire

ϕ 7→∫

Ωfϕ dx

definit une distribution d’ordre 0, encore notee f par abus. La propriete de continuite estverifiee avec k = 0 et CK =

∫K |f(x)| dx.

Remarque 2.5. — L’identification de f avec la distribution definie ci-dessus n’est pos-sible que grace au lemme suivant.

Lemme 2.6. — Soient f, g ∈ L1loc (Ω). Alors

∀ϕ ∈ D(Ω),

∫Ωfϕdx =

∫Ωgϕdx ⇐⇒ f = g presque partout dans Ω.

20

Demonstration. — Par linearite, on est amene a montrer

∀ϕ ∈ D(Ω),

∫Ωfϕdx = 0 ⇐⇒ f = 0 presque partout dans Ω.

D’autre part, seul le sens⇒ est a demontrer (l’autre etant evident). Soit ϕ ∈ D(Ω). Posons

hε(x) =

∫Ωf(y)ϕ(y)θε(x− y)dy.

Comme ϕ(·)θε(x− ·) ∈ D(Ω), on a hε ≡ 0, d’apres l’hypothese sur f . Prolongeons fϕ par0 hors de Ω : on a alors fϕ ∈ L1(RN ) et hε = (fϕ) ∗ θε = 0 → fϕ dans L1(RN ). Doncfϕ = 0. La fonction ϕ etant arbitraire, on a bien f = 0 p.p. dans Ω.

2.1.2.2. La masse de Dirac. — Soit a ∈ Ω. La forme lineaire

δa : ϕ 7→ 〈δa, ϕ〉 = ϕ(a)

definit une distribution d’ordre 0, appelee masse de Dirac au point a.

Remarque 2.7. — Quand reconnaıt-on une fonction dans une distribution ?

Soit u ∈ D′(Ω). On suppose qu’il existe c > 0 telle que

∀ϕ ∈ D(Ω) |〈u, ϕ〉| ≤ c ‖ϕ‖L2 .

Alors, par densite de D(Ω) dans L2(Ω) (Lemme 2.2), u se prolonge de facon unique enune forme lineaire continue sur L2(Ω). Par le theoreme de representation de Riesz, on dirameme que u ∈ L2(Ω). Plus generalement, soit u ∈ D′(Ω) telle que

∀ϕ ∈ D(Ω) |〈u, ϕ〉| ≤ c ‖ϕ‖Lp , (1 < p < +∞)

Alors u est identifiable avec une fonction de Lp′(Ω), ou 1

p′ = 1− 1p .

2.1.3. Convergence dans D′(Ω). —

Definition 2.8. — On dit qu’une suite de distributions un converge au sens des distri-butions vers u ∈ D′(Ω) ssi

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈un, ϕ〉 −→ 〈u, ϕ〉 dans R .

On notera dans ce cas un u.

Remarque 2.9. — A l’aide du theoreme de Banach-Steinhaus (voir par exemple [1]), onpeut demontrer le resultat suivant. Soit un est une suite de distributions telle que, pourtout ϕ ∈ D(Ω), la suite numerique 〈un, ϕ〉 vers une limite. Alors, si l’on note 〈u, ϕ〉 cettelimite, u appartient a D′(Ω).

On a les resultats suivants (dont les demonstrations sont laissees en exercice) :

Lemme 2.10. — a) Si fn → f dans L1(Ω) alors fn f dans D′(Ω).

b) On a θε δ0 dans D′(Ω) lorsque ε→ 0.

21

2.1.4. Derivation des distributions. —

Definition 2.11. — Soit u ∈ D′(Ω). Pour 1 ≤ i ≤ N , on note ∂u∂xi

la distribution definiepar

∀ϕ ∈ D(Ω),

⟨∂u

∂xi, ϕ

⟩= −

⟨u,∂ϕ

∂xi

⟩.

Pour u ∈ D′(Ω), on note

∇u =

(∂u

∂x1,∂u

∂x2, · · · , ∂u

∂xN

)∈ D′(Ω)N .

De meme, si α est un multi-entier, on note ∂αu la distribution

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈∂αu, ϕ〉 = (−1)|α| 〈u, ∂αϕ〉 .

Remarque 2.12. — Si f ∈ C1(Ω), on a, de facon classique et par simple integration parparties sur un segment, ϕ etant nulle au voisinage de ∂Ω,∫

Ω

∂f

∂xiϕ dx = −

∫Ωf∂ϕ

∂xidx

La derivee de f au sens des distributions est donc la derivee usuelle.

Remarque 2.13. — La derivation est une operation continue sur D′(Ω) : il est facile devoir que si un u dans D′(Ω), alors ∀α multi-entier, ∂αun ∂αu dans D′(Ω).

Exemple. — Derivee de la fonction de Heaviside H.La fonction de Heaviside est definie comme suit : H(x) = 1 pour x > 0 et H(x) = 0 sinon.Alors, la derivee de H est la masse de Dirac en 0. En effet, pour ϕ ∈ D(Ω), on a

〈H ′, ϕ〉 = −〈H,ϕ′〉 = −∫RHϕ′ dx = −

∫ +∞

0ϕ′ dx = ϕ(0).

2.2. L’espace de Sobolev H1(Ω) : premieres proprietes

Dans cette section, Ω est un ouvert de RN , sans propriete particuliere de regularite.

2.2.1. Definition et structure. —

Definition 2.14. — Soit Ω un ouvert de RN . On dit que u ∈ H1(Ω) si u ∈ L2(Ω) etsi, pour tout i ∈ 1, . . . , n, la distribution ∂u

∂xiappartient aussi a L2(Ω) (ou, de facon

equivalente, si la distribution ∇u appartient a L2(Ω)N .)

On considere sur cet espace le produit scalaire

(u, v)H1 =

∫Ωuv dx+

N∑i=1

∫Ω

∂u

∂xi

∂v

∂xidx =

∫Ωuv dx+

∫Ω∇u · ∇v dx

et la norme induite

‖u‖H1 =

(‖u‖2L2 +

N∑i=1

∥∥∥∥ ∂u∂xi∥∥∥∥2

L2

)1/2

=(‖u‖2L2 + ‖∇u‖2L2

)1/2.

Theoreme 2.15. — L’espace H1(Ω) muni de ce produit scalaire est un espace de Hilbertseparable.

22

Demonstration. — Montrons tout d’abord que H1(Ω) est complet. Soit un une suite deCauchy pour la norme ‖·‖H1 . Alors, un et toutes les fonctions ∂un

∂xi(pour i = 1, · · · , n)

forment des suites de Cauchy pour la norme ‖·‖L2 .Par consequent, il existe u ∈ L2 et des fonctions gi ∈ L2 telles que un → u dans L2 et

∂un∂xi→ gi dans L2 pour tout i.

Par continuite de l’injection canonique L2 → D′(Ω), on a un u dans D′(Ω) et∂un∂xi

gi dans D′(Ω) pour tout i.

Enfin, par continuite de la derivation dans D′(Ω), pour tout i on a gi = ∂u∂xi

ce qui

conduit a un → u dans H1(Ω). Cela demontre que l’espace H1(Ω) est complet.Montrons que H1(Ω) est separable c’est-a-dire qu’il admet une partie denombrable

dense. On va s’appuyer sur les deux resultats suivants :(i) Le produit de deux espaces separables est separable.(ii) Si E est un espace de Hilbert et F est un sous-espace ferme de E, la separabilite

de E entraıne celle de F (utiliser la projection sur F ).On introduit alors l’espace L2(Ω)N+1 muni de la structure hilbertienne produit, et l’ap-plication

T : u 7→(v,

∂v

∂x1, · · · , ∂v

∂xN

)de H1(Ω) dans L2(Ω)N+1. Cette application est une isometrie, de sorte que H1(Ω) s’iden-tifie a un sous-espace ferme de L2(Ω)N+1. Or l’espace L2(Ω) etant separable, L2(Ω)N+1

l’est aussi, en vertu de la propriete (i) ci-dessus. Par la propriete (ii), H1(Ω) est doncseparable.

Generalisations. — On definit plus generalement les familles d’espaces suivants :– Les espaces Hm(Ω), definis pour m ∈ N par

Hm(Ω) =u ∈ L2(Ω) : ∀α multi-entier tel que |α| ≤ m, ∂αu ∈ L2(Ω)

.

Munis du produit scalaire

(u, v)Hm =∑|α|≤m

∫Ω∂αu∂αvdx

et de la norme

‖u‖Hm =

∑|α|≤m

‖∂αu‖2L2

1/2

,

ce sont des espaces de Hilbert.– Les espaces Wm,p(Ω), definis pour m ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, par

Wm,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω) : ∀α multi-entier tel que |α| ≤ m, ∂αu ∈ Lp(Ω) .Munis de la norme

‖u‖Wm,p =∑|α|≤m

‖∂αu‖Lp , pour p < +∞

et‖u‖Wm,∞ = max

|α|≤m‖∂αu‖L∞ ,

ce sont des espaces de Banach. Dans le cas p = 2, les normes ‖·‖Wm,2 et ‖·‖Hm sontequivalentes.

23

– Dans le cas Ω = RN , on definit les espaces Hs(RN ) avec s ∈ R+, par

Hs(RN ) =u ∈ L2(RN ) : (1 + |ξ|2)s/2u ∈ L2(RN )

, (2.1)

ou u est la transformee de Fourier de u, notee aussi F(u) par la suite. On rappelleque l’operateur

L1(RN ) ∩ L2(RN )→ L∞(RN ) ∩ L2(RN )

u(x) 7→ u(ξ) =1

(2π)N/2

∫RN

e−ix·ξu(x) dx

se prolonge par continuite en une isometrie sur L2(RN ). On rappelle aussi que latransformee de Fourier inverse est definie par

F−1(u)(x) =1

(2π)N/2

∫RN

eix·ξu(ξ) dξ.

Proposition 2.16. — Lorsque s est entier, cette derniere definition est equivalente acelle donnee au-dessus pour Hm(RN ), et les normes sont equivalentes.

Demonstration. — On ne va faire la preuve que dans le cas m = 1. Notons

H =u ∈ L2(RN ) : (1 + |ξ|2)1/2u ∈ L2(RN )

et montrons que H = H1(RN ), avec ‖u‖H1 = ‖(1 + |ξ|2)1/2u‖L2 . Tout d’abord, on peutvoir facilement, par une integration par parties, que pour tout ϕ ∈ D(RN ) et 1 ≤ j ≤ N ,on a

∂xjϕ = iξjϕ et F−1(iξjϕ) = ∂xjF−1(ϕ),

toutes ces fonctions etant (au moins) dans L2(RN ).Montrons que H ⊂ H1(RN ). Pour tout u ∈ H et ϕ ∈ D(RN ), on a

(iξj u, ϕ)L2 = −∫RN

u iξjϕdξ = −∫RN

u ∂xjϕdξ = −∫RN

u ∂xjϕdx = 〈∂xju, ϕ〉,

donc, par Cauchy-Schwarz, |〈∂xju, ϕ〉| ≤ ‖ξj u‖L2‖ϕ‖L2 , ce qui suffit a identifier ∂xju avec

une fonction de L2(RN ), avec de plus ‖∂xju‖L2 ≤ ‖ξju‖L2 . On a donc u ∈ H1(RN ) et

‖u‖H1 ≤ ‖(1 + |ξ|2)1/2u‖L2 .Montrons maintenant l’inclusion inverse : H1(RN ) ⊂ H. Pour tout u ∈ H1(RN ) et

ϕ ∈ D(RN ), la fonction ξ 7→ ξjϕ(ξ) appartient aussi a D(RN ) et on a

〈iξj u, ϕ〉 = 〈iu, ξjϕ〉 = −(u, iξjϕ)L2 = −(u, ∂xjF−1(ϕ))L2 .

Or u et F−1(ϕ) etant toutes les deux dans H1(RN ), en utilisant le resultat de den-site ci-dessous (Theoreme 2.17), on demontre que l’integation par partie suivante estvalide : (u, ∂xjF−1(ϕ))L2 = (∂xju,F−1(ϕ))L2 . Ainsi, par Cauchy-Schwarz, |〈ξj u, ϕ〉| ≤‖∂xju‖L2‖ϕ‖L2 et donc, comme ci-dessus, ξj u s’identifie avec une fonction L2 telle que

‖ξj u‖L2 ≤ ‖∂xju‖L2 . On obtient ainsi que u ∈ H avec ‖u‖H1 ≥ ‖(1 + |ξ|2)1/2u‖L2 .

24

2.2.2. Un premier resultat de densite. — Travailler sur les fonctions L2(Ω) et leursderivees au sens des distributions est souvent delicat. Pour beaucoup de preuves, il estcommode de se ramener aux fonctions regulieres et de passer ensuite a la limite. Dans lecas ou Ω = RN , nous avons le resultat de densite souhaite, mais, comme on le verra plusloin lors de la presentation de la notion de “trace sur le bord”, lorsque Ω est un ouvertquelconque de RN , different de RN , D(Ω) n’est pas dense dans H1(Ω).

Theoreme 2.17. — Soit u ∈ H1(RN ). Alors il existe une suite un ∈ D(RN ) telle queun → u dans H1(RN ).

Demonstration. — La demonstration de ce resultat se fait en deux etapes.

Etape 1 : troncature.

Montrons que l’espace suivant est dense dans H1(RN ) :

H1c =

u ∈ H1(RN ) : Supp (u) est compact

.

Soit χ ∈ D(RN ) satisfaisant

χ(x) =

1 pour |x| ≤ 1,0 pour |x| ≥ 2.

Pour n ∈ N∗, posons un(x) = χ(x/n)u(x). Alors on a bien un ∈ H1c et un → u dans

H1(RN ). En effet, de la relation

∂(un − u)

∂xi= (χ(x/n)− 1)

∂u

∂xi(x) +

1

n

∂χ

∂xi(x/n)u(x)

on deduit ∥∥∥∥∂(un − u)

∂xi

∥∥∥∥L2

≤∥∥∥∥(χ(x/n)− 1)

∂u

∂xi(x)

∥∥∥∥L2

+c

n‖u‖L2 .

Le premier terme tend vers 0 par convergence dominee, le second terme tend aussi vers 0.

Etape 2 : convolution.

La seconde etape utilise une technique de regularisation par convolution, avec le lemmesuivant qui est demontre plus loin.

Lemme 2.18. — Soit u ∈ H1(RN ) et θ ∈ L1(RN ). Alors θ ∗ u ∈ H1(RN ) et on a, pouri = 1, · · · , N ,

∂

∂xi(θ ∗ u) = θ ∗ ∂u

∂xi. (2.2)

Avec l’etape precedente, il suffit maintenant de montrer que, pour tout u ∈ H1c (RN ),

il existe une suite un ∈ D(RN ) telle que un → u dans H1(RN ). Pour n ∈ N∗, on poseun = θ1/n∗u, ou θ1/n designe la famille regularisante definie au debut du chapitre. Puisqueu et θ1/n sont a supports compacts, un est aussi a support compact. De plus, comme

u ∈ L2(RN ) et θ ∈ C∞(RN ), on a un ∈ C∞(RN ), donc un ∈ D(RN ).D’apres le Lemme 2.2, on a un → u dans L2(RN ). Par ailleurs, le Lemme 2.18 donne

que ∂un∂xi

= ∂u∂xi∗ θ1/n, donc le meme Lemme 2.2 entraıne que ∂un

∂xi→ ∂u

∂xidans L2(RN ). On

a donc bien un → u dans H1(RN ).

25

Preuve du lemme. — On utilise les resultats classiques sur la convolution dans les espacesde Lebesgue. Comme u ∈ L2(RN ) et θ ∈ L1(RN ), on a deja θ ∗ u ∈ L2(RN ). Soit ϕ ∈D(RN ). Nous allons montrer l’identite suivante :∫

(θ ∗ u)∂ϕ

∂xidx = −

∫ (θ ∗ ∂u

∂xi

)ϕdx (2.3)

qui entraıne directement (2.2), puis ∂∂xi

(θ ∗ u) ∈ L2(RN ).

Pour montrer (2.3), traitons tout d’abord le cas particuler ou θ est a support compact.En notant θ(x) = θ(−x), on a∫

(θ ∗ u)∂ϕ

∂xidx =

∫∫θ(x− y)u(y)

∂ϕ

∂xi(x) dxdy =

∫u

(θ ∗ ∂ϕ

∂xi

)dx

=

∫u∂

∂xi

(θ ∗ ϕ

)dx = −

∫∂u

∂xi

(θ ∗ ϕ

)dx = −

∫ (θ ∗ ∂u

∂xi

)ϕdx.

On a bien demontre (2.3). Notons qu’on a utilise ici que θ ∗ϕ est bien une fonction-test, cequi decoule notamment du fait que θ est a support compact. Si maintenant θ n’est pas asupport compact, on introduit une suite θn ∈ C0

c (RN ) telle que θn → θ dans L1(RN ) (voirAnnexe A). L’identite (2.3) est valable pour θn, autrement dit, on a∫

(θn ∗ u)∂ϕ

∂xidx = −

∫ (θn ∗

∂u

∂xi

)ϕdx. (2.4)

Ensuite, en utilisant la Proposition A.7 et u ∈ H1(RN ), on obtient que θn ∗ u → θ ∗ u etque θn ∗ ∂u

∂xi→ θ ∗ ∂u

∂xidans L2(RN ) donc, en passant a la limite dans (2.4), on obtient

bien (2.3).

Corollaire 2.19. — Soit Ω ⊂ RN , un ouvert. Soit u ∈ H1(Ω) tel que Suppu ⊂ ω, ou ωest un ouvert tel que ω ⊂ Ω et ω est compact. Alors le prolongement u de u par zero horsde Ω appartient a H1(RN ) et il existe une suite de fonctions un ∈ D(Ω) telle que un → udans H1(Ω).

Demonstration. — D’apres les proprietes de ω, on peut trouver une fonction θ ∈ D(Ω)telle que θ = 1 sur ω. Montrons d’abord que u ∈ H1(RN ). Il est clair que u ∈ L2(RN ),examinons son gradient. Pour ϕ ∈ D(RN ), on a

〈∇u, ϕ〉 = −〈u,∇ϕ〉 = −∫ωu∇ϕdx = −

∫ωuθ∇ϕdx = −

∫Ωu∇(θϕ)dx = 〈∇u, θϕ〉

car θϕ|Ω ∈ D(Ω). Donc, on a l’estimation

|〈∇u, ϕ〉| ≤ |〈∇u, θϕ〉| ≤∣∣∣∣∫

Ω∇uθϕdx

∣∣∣∣ ≤ ‖∇u‖L2‖θϕ‖L2 ≤ ‖∇u‖L2‖ϕ‖L2 ,

qui suffit a deduire que ∇u ∈ L2(RN ), donc que u ∈ H1(RN ).Ainsi, on peut appliquer le Theoreme 2.17 a cette fonction u : il existe une suite vn ∈

D(RN ) telle que vn → u dans H1(RN ). Posons un = θvn|Ω. On a bien un ∈ D(Ω) et ilest facile de verifier que ∇un = θ∇vn|Ω + vn∇θ|Ω, ce qui entraıne immediatement queun → θu|Ω = u dans L2(Ω) et que ∇un → θ∇u|Ω + u∇θ|Ω = ∇u dans L2(Ω). Autrementdit, on a un → u dans H1(Ω).

26

2.2.3. L’espace H10 (Ω) et son dual. —

Definition 2.20. — On appelle H10 (Ω) le complete de D(Ω) dans H1(Ω).

Remarque 2.21. — Par densite de D(RN ) dans H1(RN ) (Theoreme 2.17), on a l’iden-tification H1

0 (RN ) = H1(RN ). Mais, en general, on n’a pas H10 (Ω) = H1(Ω).

Le theoreme suivant aura une importance pratique lorsque nous aborderons la resolutiondes EDP elliptiques avec condition de Dirichlet.

Theoreme 2.22 (Inegalite de Poincare). — Si Ω est borne, alors il existe uneconstante CΩ > 0 telle que

∀u ∈ H10 (Ω), ‖u‖L2 ≤ CΩ ‖∇u‖L2 . (2.5)

Par consequent, la semi-norme u 7→ ‖∇u‖L2 est une norme sur H10 (Ω), equivalente a la

norme H1(Ω), et que l’on notera ‖u‖H10.

Demonstration. — Il suffit de raisonner avec des fonctions regulieres. En effet, par densitede D(Ω) dans H1

0 (Ω), l’inegalite (2.5) est equivalente a

∀u ∈ D(Ω), ‖u‖L2 ≤ CΩ ‖∇u‖L2 .

Soit maintenant u ∈ D(Ω). On note u le prolongement de u par 0 hors de Ω. Puisque ledomaine Ω est borne, il est compris dans une bande : il existe a < b tels que

Ω ⊂x ∈ RN : a ≤ xN ≤ b

.

En posant x = (x′, xN ), c’est-a-dire x′ = (x1, . . . , xN−1), on a

u(x) = u(x′, xN ) =

∫ xN

a

∂u

∂xN(x′, y)dy.

Par l’inegalite de Cauchy-Schwarz, on en deduit

|u(x)|2 ≤ (xN − a)

∫ xN

a

∣∣∣∣ ∂u∂xN (x′, y)

∣∣∣∣2 dy ≤ (xN − a)

∫ +∞

−∞

∣∣∣∣ ∂u∂xN (x′, y)

∣∣∣∣2 dypuis, en integrant par rapport a x′,∫

RN−1

∣∣u(x′, xN )∣∣2 dx′ ≤ (xN − a)

∫RN

∣∣∣∣ ∂u∂xN∣∣∣∣2 dy.

Il reste a integrer par rapport a xN :∫RN

|u(x)|2 dx =

∫RN

|u(x)|2 dx =

∫ b

a

∫RN−1

∣∣u(x′, xN )∣∣2 dx′dxN

≤ 1

2(b− a)2

∫RN

∣∣∣∣ ∂u∂xN∣∣∣∣2 dy

≤ 1

2(b− a)2

∫RN

|∇u|2 dy =1

2(b− a)2

∫RN

|∇u|2 dy.

On a donc l’inegalite demandee, avec CΩ =√

22 (b−a). La preuve d’equivalence des normes

‖u‖H10

et ‖u‖H1 sur H10 (Ω) est immediate.

27

Remarque 2.23. — La demonstration precedente montre que l’inegalite est vraie desque Ω est borne selon une direction. Par ailleurs, l’inegalite de Poincare (2.5) permet demontrer que si Ω est borne et non vide, alors l’inclusion H1

0 (Ω) ⊂ H1(Ω) est stricte. Eneffet considerons la fonction constante u ≡ 1. Cette fonction est clairement dans H1(Ω),

mais ne peut pas appartenir a H10 (Ω), car sinon (2.5) entraınerait alors |Ω|1/2 = ‖u‖L2 = 0.

Pour terminer cette section, on identifie le dual de H10 (Ω).

Theoreme 2.24. — Le dual de H10 (Ω) s’identifie a un sous-espace de D′(Ω). On le note

H−1(Ω). De plus, on a

H−1(Ω) =

u ∈ D′(Ω) : u = f0 +

N∑i=1

∂fi∂xi

, f0 ∈ L2(Ω), fi ∈ L2(Ω), 1 ≤ i ≤ N

. (2.6)

Demonstration. — Une forme lineaire continue sur H10 (Ω) s’identifie a une distribution de

la facon suivante. Par la Definition 2.20, il est necessaire et suffisant de definir cette formelineaire sur D(Ω) pour qu’elle soit bien definie. Soit u ∈ H−1(Ω), on note 〈u, v〉H−1,H1

0son

action sur une fonction v ∈ H10 (Ω). Pour tout ϕ ∈ D(Ω), on pose naturellement

〈u, ϕ〉 = 〈u, ϕ〉H−1,H10.

On verifie facilement que cela definit une distribution d’ordre au plus 1.Notons provisoirement H l’espace de droite dans (2.6) et montrons d’abord que

H−1(Ω) ⊃ H. Soit ϕ ∈ D(Ω) et u = f0 +∑N

i=1∂fi∂xi

. Alors

〈u, ϕ〉 = 〈f0, ϕ〉 −N∑i=1

⟨fi,

∂ϕ

∂xi

⟩et donc par Cauchy-Schwarz,

|〈u, ϕ〉| ≤

(N∑i=0

‖fi‖2L2

)1/2

‖ϕ‖H1 .

Par densite, u se prolonge donc en une forme lineaire continue sur H10 (Ω). Notons que l’on

aura donc, pour tout v ∈ H10 (Ω),

〈u, v〉H−1,H10

=

∫Ωf0v dx−

N∑i=1

∫Ωfi∂v

∂xidx.

Cette formule ne depend bien entendu par du choix des fonction fi (qui ne sont pasuniques). On peut poser

‖u‖H−1 = infu=f0+

∑ ∂fi∂xi

(N∑i=0

‖fi‖2L2

)1/2

.

Montrons maintenant que H−1(Ω) ⊂ H. Soit u ∈ H−1(Ω), on notera 〈u, v〉H−1,H10

l’action de u sur un element v ∈ H10 (Ω). On utilise pour cela le theoreme de representation

de Riesz sur (L2(Ω))N+1.

28

Etape 1. On definit une forme lineaire continue sur un sous-espace vectoriel de (L2)N+1.

Soit G =(v, ∂v∂x1 , · · · ,

∂v∂xN

): v ∈ H1

0 (Ω)⊂ (L2(Ω))N+1. L’application

T : G → R(v, ∂v∂x1 , · · · ,

∂v∂xN

)7→ 〈u, v〉H−1,H1

0

est une forme lineaire continue sur G.Etape 2. Prolongement par le theoreme de Hahn-Banach (Corollaire I-2 de [2]). La

forme lineaire T se prolonge en g, forme lineaire continue sur (L2(Ω))N+1.Etape 3. Par le theoreme de representation de Riesz, il existe (f0, f1, · · · , fN ) ∈ (L2)N+1

tels que, ∀(w0, w1, · · · , wN ) ∈ (L2)N+1, on ait

g(w0, w1, · · · , wN ) =N∑i=0

∫fiwidx,

donc en particulier,

∀v ∈ H10 (Ω), 〈u, v〉H−1,H1

0= T

(v, ∂v∂x1 , · · · ,

∂v∂xN

)= g

(v, ∂v∂x1 , · · · ,

∂v∂xN

)=

∫f0vdx+

N∑i=1

∫fi∂v

∂xidx

= 〈f0, v〉+

N∑i=1

⟨fi,

∂v

∂xi

⟩= 〈f0, v〉 −

N∑i=1

⟨∂fi∂xi

, v

⟩.

On a bien u = f0 −N∑i=1

∂fi∂xi

au sens des distributions, donc u ∈ H.

Remarque 2.25. — On peut faire un commentaire sur la terminologie H−1. Commenous l’avons vu, sur RN , les espaces de Sobolev d’exposant s ≥ 0 peuvent etre definis parla transformee de Fourier. En fait, la definition (2.1) s’etend pour les exposants negatifs enutilisant la transformee de Fourier des distributions temperees. L’espace des distributionstemperees S ′(RN ) est le dual de l’espace S(RN ), fonctions C∞ a decroissance rapide a l’in-fini, voir par exemple [1]. On a alors la caracterisation equivalente suivante de H−1(RN ) :

H−1(RN ) =u ∈ S ′(RN ) : (1 + |ξ|2)−1/2u ∈ L2(RN )

qui generalise bien (2.1).

2.3. Prolongements

Dans de nombreuses situations, il peut etre utile de savoir prolonger une fonction deH1(Ω) en une fonction de H1(RN ). Ceci va necessiter des hypotheses de regularite sur ledomaine Ω.

29

Afin de definir ce qu’est un ouvert regulier, introduisons quelques notations. Pour toutx ∈ RN , on note x = (x′, xN ) ou x′ = (x1, x2, . . . , xN−1) ∈ RN−1, puis

RN+ =x = (x′, xN ) : xN > 0

, RN− =

x = (x′, xN ) : xN < 0

Q =

x = (x′, xN ) : |x′| < 1 et |xN | < 1

, ou |x′| =

(N−1∑i=1

x2i

)1/2

Q+ = Q ∩ RN+ , Q− = Q ∩ RN− , Q0 =x = (x′, xN ) : |x′| < 1 et xN = 0

.

Definition 2.26. — Un ouvert Ω de RN est dit de classe C1 si pour tout x ∈ ∂Ω il existeun voisinage U de x dans RN et une application φ : Q→ U bijective telle que

φ ∈ C1(Q), φ−1 ∈ C1(U), φ(Q+) = U ∩ Ω, φ(Q0) = U ∩ ∂Ω.

Le theoreme principal de cette section est le suivant.

Theoreme 2.27. — Soit Ω un ouvert de classe C1, de frontiere bornee (ou bien Ω = RN+ ).Alors il existe un operateur de prolongement lineaire et continu

P : H1(Ω)→ H1(RN )

c’est-a-dire tel que Pu|Ω = u et ‖Pu‖H1(RN ) ≤ C‖u‖H1(Ω).

Avant de demontrer ce theoreme, on va enoncer deux lemmes utiles.

Lemme 2.28. — Soit u ∈ H1(Q+). On definit la fonction suivante, prolongee parreflexion :

u∗(x′, xN ) =

u(x′, xN ) si xN > 0u(x′,−xN ) si xN < 0.

Alors on a u∗ ∈ H1(Q) et ‖u∗‖H1(Q) ≤√

2‖u‖H1(Q+).

Demonstration. — Il est deja clair que u∗ ∈ L2(Q) avec ‖u∗‖L2(Q) ≤√

2‖u‖L2(Q+). On vaalors demontrer les proprietes suivantes, qui permettent de deduire directement le resultatsouhaite :

∂u∗

∂xi=

(∂u

∂xi

)∗si 1 ≤ i ≤ N − 1, (2.7)

∂u∗

∂xN=

∂u

∂xN(x′, xN ) si xN > 0

− ∂u

∂xN(x′,−xN ) si xN < 0.

(2.8)

On utilisera la suite ηk de fonctions de C∞(R) definie par ηk(t) = η(kt) pour t ∈ R etk ∈ N∗, ou η est une fonction fixee, de classe C∞, telle que η(t) = 0 si t < 1/2 et η(t) = 1si t > 1.

Preuve de (2.7). Soit ϕ ∈ D(Q). En posant

ψ(x′, xN ) = ϕ(x′, xN ) + ϕ(x′,−xN ),

on peut voir que, pour 1 ≤ i ≤ N − 1, on a⟨∂u∗

∂xi, ϕ

⟩= −

∫Qu∗∂ϕ

∂xidx = −

∫Q+

u∂ψ

∂xidx. (2.9)

30

La fonction ψ n’appartient a priori pas a D(Q+), en revanche on a ηk(xN )ψ(x′, xN ) ∈D(Q+), ce qui permet d’ecrire∫

Q+

∂u

∂xiηkψ dx =

⟨∂u

∂xi, ηkψ

⟩= −

⟨u,∂(ηkψ)

∂xi

⟩= −

∫Q+

uηk∂ψ

∂xidx

car ηk ne depend pas de la variable xi. Par convergence dominee, on peut passer a la limitedans les deux integrales de cette serie d’identites, lorsque k → +∞, ce qui donne

−∫Q+

u∂ψ

∂xidx =

∫Q+

∂u

∂xiψ dx =

∫Q+

∂u

∂xiϕdx+

∫Q+

∂u

∂xi(x′, xN )ϕ(x′,−xN ) dx

=

∫Q+

∂u

∂xiϕdx+

∫Q−

∂u

∂xi(x′,−xN )ϕ(x′, xN ) dx

=

∫Q

(∂u

∂xi

)∗ϕdx =

⟨(∂u

∂xi

)∗, ϕ

⟩.

En inserant cette egalite dans (2.9), on obtient bien (2.7).

Preuve de (2.8). On notera v(x′, xN ) la fonction definie par le membre de droite de (2.8).Soit ϕ ∈ D(Q). En posant cette fois

χ(x′, xN ) = ϕ(x′, xN )− ϕ(x′,−xN ),

on obtient ⟨∂u∗

∂xN, ϕ

⟩= −

∫Qu∗

∂ϕ

∂xNdx = −

∫Q+

u∂χ

∂xNdx. (2.10)

On doit maintenant faire attention au fait que

∂(ηkχ)

∂xN= ηk

∂χ

∂xN+ kη′(kxN )χ,

de sorte que, comme on a aussi ηkχ ∈ D(Q+),∫Q+

∂u

∂xNηkχdx = −

∫Q+

uηk∂χ

∂xNdx−

∫Q+

ukη′(kxN )χdx. (2.11)

La derniere integrale tend vers 0 lorsque k → +∞. Pour le montrer, on remarque toutd’abord que la fonction χ(x′, xN ) s’annule pour xN = 0 donc, cette fonction etant reguliere,il existe une constante M > 0 telle que |χ(x′, xN )| ≤ M |xN |. Par consequent, on a lamajoration∣∣∣∣∫

Q+

ukη′(kxN )χdx

∣∣∣∣ ≤ ‖η′‖L∞M ∫Q+

|u|kxN10≤kxN≤1 dx ≤ C∫Q+

|u|10≤kxN≤1 dx,

ce qui permet de conclure par convergence dominee.Par consequent, en passant a la limite dans (2.11) (toujours par convergence dominee),

on obtient comme ci-dessus

−∫Q+

u∂χ

∂xNdx =

∫Q+

∂u

∂xNχdx =

∫Q+

∂u

∂xNϕdx−

∫Q+

∂u

∂xN(x′, xN )ϕ(x′,−xN ) dx

=

∫Q+

∂u

∂xNϕdx−

∫Q−

∂u

∂xN(x′,−xN )ϕ(x′, xN ) dx

= 〈v, ϕ〉 .

Avec (2.10), on obtient bien ∂u∗

∂xN= v.

31

Le lemma suivant de partitions de l’unite est suppose connu et sera aussi utilise dans lapreuve du Theoreme 2.27. Il est donne ici sans preuve.

Lemme 2.29 (Partitions de l’unite). — Soit Γ un compact de RN et O1, O2, . . . , Ondes ouverts tels que Γ ⊂ ∪ni=1Oi. Alors il existe des fonctions θ0, θ1, θ2, . . . , θn de classeC∞(RN ) telles que

(i) Pour i = 0, 1, . . . , n, on a 0 ≤ θi ≤ 1 etk∑i=0

θi = 1 sur RN .

(ii) Pour i = 1, . . . , n, le support de θi est compact et inclus dans Oi.

(iii) Le support de θ0 est inclus dans RN \ Γ.

Demonstration du Theoreme 2.27. — Remarquons tout d’abord que la demonstration duLemme 2.28 fonctionne aussi si l’on remplace Q+ par RN+ , ce qui permet directement

de demontrer le Theoreme 2.27 dans le cas Ω = RN+ . Considerons maintenant le cas d’unouvert Ω de frontiere bornee. Comme ∂Ω est compacte et de classe C1, il existe des ouverts(Oi)1≤i≤n de RN tels que ∂Ω ⊂ ∪ni=1Oi et il existe des applications φi : Q→ Oi bijectivestelles que

φi ∈ C1(Q), φ−1i ∈ C

1(Oi), φi(Q+) = Oi ∩ Ω, φi(Q0) = Oi ∩ ∂Ω.

On peut alors appliquer le Lemme 2.29 a Γ = ∂Ω, qui donne les fonctions θ0, θ1, θ2, . . . ,θn.

Soit maintenant u ∈ H1(Ω). On deduit du point (i) du Lemme 2.29 que

u =

n∑i=0

ui ou ui = θiu.

On va prolonger separement chacune des fonctions ui a RN .

Prolongement de u0. Pour la fonction u0, le prolongement se fait simplement en posant

u0(x) =

u0(x) si x ∈ Ω0 si x ∈ RN \ Ω.

On a θ0 ∈ C∞(RN ) ∩W 1,∞(RN ). Pour cette derniere propriete, on rappelle en effet quel’on a 0 ≤ θ0 ≤ 1 et ∇θ0 = −

∑ni=1∇θi (et chacune de ces fonction est reguliere, a support

compact). De plus, on a Supp θ0 ⊂ RN \ ∂Ω.Soit ϕ ∈ D(RN ). Pour j = 1, . . . , N , on a∫RN

u0∂ϕ

∂xjdx =

∫Ωθ0u

∂ϕ

∂xjdx =

∫Ωu

(∂(θ0ϕ)

∂xj− ∂θ0

∂xjϕ

)dx

= −∫

Ω

(∂u

∂xjθ0ϕ+ u

∂θ0

∂xjϕ

)= −

∫RN

(∂u

∂xjθ0ϕ+ u

∂θ0

∂xjϕ

).

On a utilise ici le fait que θ0ϕ|Ω ∈ D(Ω). Il s’en suit l’identification

∂u0

∂xj=

∂u

∂xjθ0 + u

∂θ0

∂xj,

et donc on a u0 ∈ H1(RN ) avec ‖u0‖H1(RN ) ≤ C‖u‖H1(Ω).

32

Prolongement de ui, 1 ≤ i ≤ n. On transporte d’abord u depuis Oi ∩ Ω vers Q+ grace ala fonction φi. Posons

vi(y) = u(φi(y)) pour y ∈ Q+.

Par changement de variable regulier, on preserve l’appartenance a H1 (admispour l’instant, voir [2], Proposition IX.6, a enoncer et demontrer a la fin de la

sous-section 2.2.2), donc vi ∈ H1(Q+). On utilise ensuite le Lemme 2.28 pour definirsur Q le prolongement de vi par reflexion, note v∗i ∈ H1(Q). On revient ensuite sur Oi enposant

wi(x) = v∗i (φ−1i (x)) pour y ∈ Ui.

On a alors wi ∈ H1(Oi), wi = u sur Oi ∩Ω et ‖wi‖H1(Oi) ≤ C‖u‖H1(Oi∩Ω). Enfin, on pose

ui(x) =

θi(x)wi(x) si x ∈ Oi0 si x ∈ RN \Oi.

On a bien ui ∈ H1(RN ) (proceder comme ci-dessus pour u0) et ‖ui‖H1(RN ) ≤C‖u‖H1(Oi∩Ω).

Conclusion. En posant Pu =∑n

i=0 ui, on a bien toutes les proprietes souhaitees.

Corollaire 2.30. — On suppose Ω de classe C1. Soit u ∈ H1(Ω). Alors il existe une suiteun ∈ D(RN ) telle que un|Ω → u dans H1(Ω). Autrement dit, l’espace D(Ω) est dense dansH1(Ω).

Demonstration. — Supposons tout d’abord ∂Ω bornee. D’apres le Theoreme 2.27, unefonction u ∈ H1(Ω) peut etre prolongee en une fonction Pu ∈ H1(RN ). Ensuite, d’apresle theoreme de densite 2.17, il existe une suite un ∈ D(RN ) qui converge vers Pu dansH1(RN ). Il est alors immediat de verifier que un|Ω → u dans H1(Ω).

Lorsque ∂Ω n’est pas bornee, on raisonne par troncatures en considerant les intersectionsde Ω avec des grandes boules. Cette partie de la preuve est laissee en exercice.

2.4. Traces et formule de Green

On va montrer qu’a toute fonction u ∈ H1(Ω), on peut associer naturellement unefonction u ∈ L2(∂Ω), qui est la “trace de u sur le bord”. Comme ci-dessus, le cas dudemi-espace RN+ va nous servir de modele.

2.4.1. Le cas de la dimension 1. — Le cas de la dimension 1 d’espace peut etre traiteseparement. En effet, on va montrer que les fonctions de H1(]a, b[) ont un representantcontinu sur [a, b], ce qui permet de parler de facon univoque des valeurs au bord u(a) etu(b).

Lemme 2.31. — Soient a < b. L’espace H1(]a, b[) s’injecte de facon continue dans

C0,1/2([a, b]), l’espace des fonctions 1/2-Holderiennes sur [a, b].

Demonstration. — Soit u ∈ H1(]a, b[). On veut montrer qu’il existe u ∈ C0,1/2([a, b]),choisi de facon continue par rapport a u, tel que u = u presque partout dans ]a, b[. Pourx ∈ [a, b], on pose

u(x) =

∫ x

au′(t)dt.

33

La fonction u est bien definie pour tout x ∈ [a, b] car u′ ∈ L1(]a, b[). En fait, on peut voir

que u appartient a C0,1/2([a, b]), par une simple inegalite de Cauchy-Schwarz : en effet,pour tout x, y ∈ [a, b], on a

|u(x)− u(y)| =∣∣∣∣∫ x

yu′(t)dt

∣∣∣∣ ≤√|x− y| ∥∥u′∥∥L2 . (2.12)

Calculons maintenant la derivee de u au sens des distributions. Pour ϕ ∈ D(]a, b[),

〈u′, ϕ〉 = −〈u, ϕ′〉 = −∫ b

au(x)ϕ′(x)dx = −

∫ b

adxϕ′(x)

∫ x

au′(t)dt

Fubini= −

∫ b

adt u′(t)

∫ b

tϕ′(x)dx

=

∫ b

au′(t)ϕ(t)dt car ϕ(b) = 0

= 〈u′, ϕ〉

donc u′ = u′ dans D′(Ω). Ainsi, u − u est une constante λ ∈ R. Posons u = u + λ ∈C0,1/2([a, b]). On a bien u = u presque partout sur ]a, b[.

Il reste a montrer la continuite de l’injection H1(]a, b[→ C0,1/2([a, b]). Rappelons que lanorme sur cet espace s’ecrit

‖u‖C0,1/2 = max[a,b]|u|+ sup

x 6=y

|u(x)− u(y)||x− y|1/2

.

D’apres (2.12), on a deja

supx 6=y

|u(x)− u(y)||x− y|1/2

≤ ‖u′‖L1 ≤ ‖u‖H1 .

Pour l’autre terme, on ecrit

max[a,b]|u| ≤ max

[a,b]|u|+ |λ| ≤ ‖u′‖L2 + |λ| (par Cauchy-Schwarz).

Mais on a aussi

|λ| = |u(x)− u(x)| =∫ 1

0|u(x)− u(x)|dx ≤ ‖u‖L2 + ‖u′‖L2

ce qui donne finalement

max[a,b]|u| ≤ ‖u‖L2 + 2‖u′‖L2 ≤

√5‖u‖H1 .

La preuve du lemme est terminee.

Remarque 2.32. — En dimension N > 1, le lemme ci-dessus est faux. Les fonctions H1

peuvent admettre des singularites, mais celles-ci doivent etre localisees sur des varietes dedimension au plus N − 2. Par exemple, on peut montrer (voir TD) que la fonction definiesur Ω = B(0, 1

2) ⊂ R2 par u(x, y) = (− ln |x|)α avec 0 < α < 12 appartient a H1(Ω).

34

2.4.2. Un theoreme de trace. — Tout va reposer sur un calcul tres simple.

Lemme 2.33. — Pour tout v ∈ D(RN+ ), on a l’inegalite

‖v(·, 0)‖L2(RN−1) ≤ ‖v‖H1(RN+ ). (2.13)

Demonstration. — Soit v ∈ D(RN+ ). On a, pour tout x′ ∈ RN−1,∣∣v(x′, 0)∣∣2 = −

∫ +∞

0

∂

∂xN(∣∣v(x′, xN )

∣∣2)dxN = −2

∫ +∞

0v(x′, xN )

∂v

∂xN(x′, xN )dxN

≤∫ +∞

0

(∣∣v(x′, xN )∣∣2 +

∣∣∣∣ ∂v∂xN(x′, xN )

∣∣∣∣2)dxN

ou l’on a utilise l’inegalite de Cauchy-Schwarz et 2ab ≤ a2 + b2. En integrant par rapporta x′, on obtient ∫

RN−1

∣∣v(x′, 0)∣∣2 dx′ ≤ ∫

RN+

(|v(x)|2 +

∣∣∣∣ ∂v∂xN(x)

∣∣∣∣2)dx

d’ou (2.13).

Sachant que D(RN+ ) est dense dans H1(RN+ ) (Corollaire 2.30), et que D(RN−1) est dense

dans L2(RN−1), l’application v 7→ v(·, 0) de D(RN+ ) sur D(RN−1) se prolonge par continuite

en une application lineaire continue de H1(RN+ ) sur L2(RN−1). De plus, (2.13) est vraiepour ce prolongement. Ce procede, applique a un ouvert Ω ce classe C1, va nous permettrede definir l’application trace.

Theoreme 2.34. — Soit Ω ⊂ RN un ouvert de classe C1 et de frontiere bornee (ou

Ω = RN+ ). Alors l’application γ0 : v 7→ γ0v = v|∂Ω de D(Ω) dans C0(∂Ω) se prolonge parcontinuite en une application lineaire continue de H1(Ω) dans L2(∂Ω), encore notee γ0 etappelee application trace.

Demonstration. — Le cas Ω = RN+ venant d’etre demontre, traitons de cas Ω de classe C1

et de frontiere bornee. Par prolongement par continuite, ce resultat se deduit de la densitede D(Ω) dans H1(Ω) (Corollaire 2.30) et de l’inegalite suivante : il existe une constanteC > 0 telle que, pour tout v ∈ D(Ω), on a

‖γ0v‖L2(∂Ω) ≤ ‖v‖H1(Ω). (2.14)

Pour demontrer cette inegalite, on utilise une partition de l’unite telle que definie dansle Lemme 2.29 pour Γ = ∂Ω, couplee a des fonctions φi definies comme au debut de lapreuve du Theoreme 2.27 ci-dessus. Pour v ∈ D(Ω), on pose

wi = (θiv) φi.

D’apres le Lemme 2.33 et en utilisant la regularite des fonctions θi et φi, on obtient

‖wi(·, 0)‖L2(RN−1) ≤ ‖wi‖H1(RN+ ) ≤ Ci‖v‖H1(Ω).

Pour conclure a (2.14), il suffit de se convaincre de l’equivalence des normes suivantes :

‖v‖L2(∂Ω) =

(∫∂Ω|v(x)|2dσ

)1/2

et

(n∑i=1

‖(θiv) φi‖2L2(RN−1

)1/2

35

qui resulte encore des proprietes de la partition de l’unite et des regularites des fonctionsbijectives φi.

2.4.3. Applications du theoreme de trace. — La premiere application du theoremede trace est une generalisation de la formule de Green (integration par parties) sur H1(Ω).

Theoreme 2.35. — Soit Ω ⊂ RN , de classe C1 et de frontiere bornee. Alors, ∀u, v ∈H1(Ω), on a ∫

Ω

∂u

∂xivdx = −

∫Ωu∂v

∂xidx+

∫∂Ωγ0u γ0v nidσ 1 ≤ i ≤ N

ou ni designe la ieme composante du vecteur normal sortant n(x) au point x ∈ ∂Ω.

Demonstration. — Ce theoreme resulte de la meme formule dans le cas ou u, v ∈ C1(Ω)et Ω de classe C1, voir la Proposition C.5 dans l’annexe C, couplee avec la densite de D(Ω)dans H1(Ω) (Corollaire 2.30) et la continuite de l’application trace γ0.

Remarque 2.36. — Par commodite, on omettra souvent le “γ0” dans cette expression :∫Ω

∂u

∂xivdx = −

∫Ωu∂v

∂xidx+

∫∂Ωuv nidσ

Corollaire 2.37. — Soit Ω ⊂ RN , de classe C1 et de frontiere bornee. Pour u ∈ L2(RN ),on note u = u1 + u2, avec u1 = u|Ω et u1 = u|RN\Ω. On a alors

u ∈ H1(RN )⇐⇒

u1 ∈ H1(Ω)u2 ∈ H1(RN \ Ω)γ0u1 = γ0u2.

Demonstration. — (=⇒) Pour tout u ∈ H1(RN ) et Ω ⊂ RN , on a toujours u1 = u|Ω ∈H1(Ω). En effet, pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a l’identite

〈∇u1, ϕ〉 = −〈u1,∇ϕ〉 = −∫

Ωu1∇ϕdx = −

∫RN

u∇ϕdx =

∫RN

∇uϕdx,

(on a utilise le fait que le prolongement de ϕ par 0 hors de Ω est une fonction-test D(RN ))qui entraıne l’estimation

|〈∇u1, ϕ〉| ≤∣∣∣∣∫

RN

∇uϕdx∣∣∣∣ ≤ ‖∇u‖L2(RN )‖ϕ‖L2(Ω),

puis que ∇u1 ∈ L2(Ω) avec ∇u1 = ∇u|Ω.Cette remarque entraıne que si u ∈ H1(RN ), alors u1 ∈ H1(Ω) et u2 ∈ H1(RN \ Ω).

Montrons la troisieme propriete. Par densite de D(RN ) dans H1(RN ), on peut trouver unesuite ϕn ∈ D(RN ) telle que ϕn → u dans H1(RN ). Par definition de γ0, on a

γ0(ϕn|Ω) = ϕn|∂Ω = γ0(ϕn|RN\Ω). (2.15)

Par ailleurs, on a ϕn|Ω → u|Ω = u1 dans H1(Ω) et ϕn|RN\Ω → u|RN\Ω = u2 dans H1(RN \Ω) (cela decoule encore de la remarque ci-dessus). Donc, par continuite de l’applicationtrace, on peut passer a la limite dans (2.15), ce qui donne γ0u1 = γ0u2.

(⇐=) Pour ϕ ∈ D(RN ) et i ∈ 1, . . . , N, on a

〈∂iu, ϕ〉 = −∫RN

u∂iϕdx = −∫

Ωu1∂iϕdx−

∫RN\Ω

u2∂iϕdx.

36

Or, la formule de Green donne∫Ωu1∂iϕdx = −

∫Ω∂iu1ϕdx+

∫∂Ωγ0u1γ0ϕnidσ,

ou n est le vecteur normal unitaire sortant de Ω. De meme, on a∫RN\Ω

u2∂iϕdx = −∫RN\Ω

∂iu2ϕdx−∫∂Ωγ0u2ϕnidσ

(noter que −n est le vecteur normal unitaire sortant de RN \ Ω). Comme par hypothese,γ0u1 = γ0u2, on a donc

〈∂iu, ϕ〉 =

∫Ω∂iu1ϕdx+

∫RN\Ω

∂iu2ϕdx.

Ainsi la fonction de L2(RN ) definie par ∂iu1 sur Ω et par ∂iu2 sur RNΩ s’identifie presquepartout a ∂iu. Cela montre bien que u ∈ H1(Ω).

Une autre application interessante du theoreme de trace est une caracterisation plusintuitive de l’espace H1

0 (Ω) defini par la Definition 2.20.

Theoreme 2.38. — Soit Ω ⊂ RN un ouvert de classe C1 et de frontiere bornee (ouΩ = RN+ ). Pour tout u ∈ H1(Ω), les assertions suivantes sont equivalentes :

(i) u ∈ H10 (Ω).

(ii) La fonction u(x) =

u(x) si x ∈ Ω0 si x ∈ RN \ Ω

appartient a H1(RN ).(iii) γ0u = 0.

Demonstration. — (i) ⇒ (iii). On a H10 (Ω) ⊂ Ker γ0. En effet, soit u ∈ H1

0 (Ω) et soitϕn une suite de fonctions de D(Ω) telle que ϕn → u dans H1(Ω). Par continuite del’application trace, on a γ0ϕn → γ0u dans L2(∂Ω). Mais, comme les fonctions ϕn sont asupport compact dans Ω, on a γ0ϕn = 0. Donc γ0u = 0 presque partout sur ∂Ω.

(iii) ⇒ (ii). Il suffit d’appliquer le Corollaire 2.37 a la fonction u. En effet, on a u|Ω =u ∈ H1(Ω), u|RN\Ω = 0 ∈ H1(RN \ Ω) et γ0u = γ00 = 0, donc u ∈ H1(RN ).

(ii) ⇒ (i). C’est la partie la plus compliquee de cette preuve. En raisonnant encore parpartitions de l’unite, on peut voir qu’encore une fois, il suffit de montrer le resultat pourΩ = RN+ . Considerons donc une fonction u ∈ H1(RN+ ) telle que son prolongement u par 0

hors de RN+ appartient a H1(RN ). On va montrer que u est la limite d’une suite de fonctions

de D(R+N ). Il faut combiner trois techniques : troncature, translation et regularisation par

convolution.

Troncature. Soit χ ∈ D(RN ) une fonction de troncature, telle que χ(x) = 1 si |x| ≤ 1 etχ(x) = 0 si |x| ≥ 2. Pour M ∈ N∗, on pose uM (x) = χ(x/M)u(x). Il est immediat de voirque uM → u dans H1(RN ) lorsque M → +∞.

Translation. Pour tout h > 0, on note τhu la fonction translatee definie par

τhuM (x′, xN ) = uM (x′, xN − h).

On a facilement que ∂iτhuM = τh∂iu

M , donc la fonction τhuM appartient a H1(RN ). On

verifie en outre que τhuM → uM dans H1(RN ) lorsque h → 0 (pour montrer ce resultat

pour la norme L2, il convient d’ approcher la fonction L2 par une fonction C0c , ensuite il

est facile d’en deduire l’analogue pour la norme H1).

37

Regularisation. Le support de la fonction τhuM est compact et est inclus dans (x′, xn) :

xN ≥ h : il est donc inclus dans un certain ouvert ω tel que ω ⊂ RN+ et ω est compact.

D’apres le Corollaire 2.19, il existe une suite ϕn ∈ D(RN+ ) qui converge vers τhuM dans

H1(RN+ ) (c’est l’etape de regularisation par convolution). En faisant tendre M → +∞,

h→ 0 et n→ +∞, par extraction diagonale on construit une suite de fonctions de D(RN+ )

qui converge vers u dans H1(RN+ ).

2.5. Un resultat de compacite

Le but de cette section est de demontrer le theoreme de compacite suivant.

Theoreme 2.39 (de Rellich). — Soit Ω un ouvert borne de RN , de classe C1. Alorsl’injection canonique de H1(Ω) dans L2(Ω) est compacte.

Rappelons que, si X et Y sont deux espaces de Banach, une application lineaire A :X → Y est dite compacte si pour toute suite un ∈ X bornee, il existe une sous-suite uϕ(n)

telle que Auϕ(n) converge dans Y . Le theoreme precedent signifie donc que, si Ω est borne

et de classe C1, alors de toute suite bornee dans H1(Ω), on peut extraire une sous-suitequi converge dans L2(Ω).

Demonstration. — Considerons une suite un bornee dans H1(Ω) et notons vn = Pun sonprolongement dans H1(RN ) selon l’operateur de prolongement defini dans le Theoreme2.27. Alors vn est une suite bornee de H1(RN ). De plus, comme Ω est borne, quitte amultiplier vn par une fonction de troncature reguliere, a support compact et valant 1 surΩ, on peut sans perte de generalite supposer que les fonctions vn ont toutes leur supportinclus dans un meme compact K ⊂ RN .

Un resultat classique d’analyse fonctionnelle dit que tout ensemble borne d’un espace deHilbert (qui est donc reflexif) est faiblement relativement compact. Ainsi, en considerantl’espace de Hilbert L2(RN ), la suite vn etant bornee dans L2(RN ), on peut extraire unesous-suite de vn (encore notee vn) qui converge vers v ∈ L2(RN ) pour la topologie faibleL2(RN ). Notons que le support de v est aussi inclus dans K. En effet, pour toute fonctionϕ ∈ D(RN \K), on a∫

RN\Kv(x)ϕ(x)dx =

∫RN

v(x)ϕ(x)dx = limn→+∞

∫RN

vn(x)ϕ(x)dx = 0,

ce qui entraıne que v|RN\K est nulle presque partout (par le Lemme 2.6). Dans la suite, on

note wn = vn− v. La suite wn est une suite de fonctions bornees dans H1(RN ), a supportdans K, et convergeant vers 0 faiblement dans L2(RN ).

On va maintenant utiliser la caracterisation de H1(RN ) par la transformee de Fourier.

On rappelle en effet que u ∈ H1(RN ) si, et seulement si, u ∈ L2(RN ) et (1 + |ξ|2)1/2u ∈L2(RN ), et alors

‖u‖H1 = ‖(1 + |ξ|2)1/2u‖L2 .

38

Par le theoreme de Plancherel, on a

‖wn‖2L2 =

∫RN

|wn(ξ)|2 dξ

≤∫|ξ|≤M

|wn(ξ)|2 dξ +1

1 +M2

∫|ξ|≥M

(1 + |ξ|2) |wn(ξ)|2 dξ

≤∫|ξ|≤M

|wn(ξ)|2 dξ +1

1 +M2supn‖wn‖2H1 . (2.16)

Demontrons que, pour tout M > 0, la premiere integrale converge vers 0 lorsque n→ +∞.Soit ξ ∈ RN . Comme le support de wn est inclus dans K, on a

wn(ξ) = (2π)−N/2∫RN

e−ix·ξwn(x)1K(x)dx,

ou 1K designe la fonction indicatrice de K. Comme K est borne, la fonction x 7→e−ix·ξ 1K(x) est clairement une fonction de L2(RN ), donc la convergence faible L2 dewn vers 0 entraıne que

∀ξ ∈ RN , limn→+∞

wn(ξ) = 0.

De plus, par Cauchy-Schwarz, on a la majoration uniforme suivante

|wn(ξ)| ≤ (2π)−N/2∫RN

|wn(x)|1K(x)dx ≤ (2π)−N/2|K|1/2 supn‖wn‖L2 .

On peut donc appliquer le theoreme de convergence dominee, pour montrer que, pour toutM > 0,

limn→+∞

∫|ξ|≤M

|wn(ξ)|2 dξ = 0.

Il ne reste plus qu’a conclure. Pour tout ε > 0, on commence a choisir M tel que1

1+M2 supn ‖wn‖2H1 < ε2

2 . Ensuite, il existe n0 tel que, pour tout n ≥ n0, on a∫|ξ|≤M |wn(ξ)|2 dξ < ε2

2 . En inserant ces inegalites dans (2.16), on obtient ‖wn‖L2 ≤ ε.

ON vient de demontrer que la sous-suite vn converge vers v pour la topologie forte deL2(RN ). La restriction un = vn|Ω converge donc vers v|Ω dans L2(Ω).

Ce theoreme joue un role important dans la theorie spectrale des operateurs elliptiques.On peut aussi lui trouver une application interessante pour obtenir des inegalites de typePoincare par des demonstrations par l’absurde. On renvoie pour cela a un exercice vu enTD.

39

CHAPITRE 3

PROBLEMES ELLIPTIQUES LINEAIRES

3.1. Introduction : Un probleme de minimisation

Dans de nombreuses situations, la resolution d’une EDP elliptique peut etre associeea la recherche d’un equilibre en terme d’energie. Par exemple, lorsque l’EDP regit unprobleme d’elasticite, il peut s’agir de trouver la solution qui minimise les efforts subitspar une membrane elastique sous contraintes.

On se propose de regarder le probleme modele suivant. On cherche a minimiser lafonctionnelle

J(u) =1

2

∫Ω|∇u(x)|2 dx−

∫Ωf(x)u(x)dx

ou u ∈ H10 (Ω) et Ω est un domaine borne de classe C1.

Interpretation physique : On cherche, parmi un ensemble d’etats possibles, celui quicorrespond a la plus petite energie. Exemple : si l’on considere l’equilibre d’une membraneelastique, on recherche la position en laquelle la membrane subira le moins d’efforts, detensions internes.

Lemme 3.1. — Soit f ∈ L2(Ω). Alors J admet un unique minimiseur u ∈ H10 (Ω).

Demonstration. — Montrons d’abord que inf J > −∞. Cela decoule de l’inegalite dePoincare : il existe une constante CΩ telle que, pour tout u ∈ H1

0 , ‖u‖L2 ≤ CΩ ‖∇u‖L2 ,donc

J(u) ≥ 1

2‖∇u‖2L2 − ‖f‖L2 ‖u‖L2 (Cauchy-Schwarz)

≥ 1

2‖∇u‖2L2 − CΩ ‖f‖L2 ‖∇u‖L2 .

Or la fonction t 7→ g(t) = 12 t

2 − CΩ ‖f‖L2 t est minoree car

g(t) =1

2(t− CΩ ‖f‖L2)2 − 1

2C2

Ω ‖f‖2L2 ≥ −

1

2C2

Ω ‖f‖2L2

Ainsi J(u) ≥ −12C

2Ω ‖f‖

2L2 , ce qui donne que j = inf J > −∞.

Montrons que l’infimum est atteint. Par definition de l’infimum, il existe une suiteun ∈ H1

0 (Ω) telle que j ≤ J(un) < j + 1n . Montrons que cette suite est de Cauchy dans

H1(Ω). Pour cela, on remarque que, pour tout (v, w) ∈ (H10 (Ω))2, on a

J(v) + J(w)− 2J

(v + w

2

)=

1

2

∫Ω

(|∇v|2 + |∇w|2 − 2

∣∣∣∣∇(v + w

2

)∣∣∣∣2)dx

=1

2

∫Ω|∇(v − w)|2 dx

≥ 1

2(1 + C2

Ω)−1 ‖v − w‖2H1

avec l’inegalite de Poincare. Par consequent, en notant C ′Ω = 12(1 + C2

Ω)−1, on a

C ′Ω ‖un − up‖2H1 ≤ J(un) + J(up)− 2J

(un + up

2

)≤ J(un) + J(up)− 2j

≤ 1

n+

1

p.

La suite (un)n est donc de Cauchy dans H1(Ω) qui est complet. Donc il existe u ∈ H1(Ω)tel que un −→ u dans H1(Ω).

Or, H10 (Ω) est ferme dans H1(Ω) (par definition, car c’est l’adherence de l’ensemble des

fonctions-test) donc u ∈ H10 (Ω). Par ailleurs, il est facile de voir que J est continue sur

H1(Ω), ce qui entraıne J(u) = limn→∞ J(un) = j. On conclut donc que u = minv∈H10J(v).

Il reste a montrer l’unicite du minimiseur. Soient v et w deux minimiseurs de J surH1

0 (Ω). On a

C ′Ω ‖v − w‖2H1 ≤ J(v) + J(w)− 2J

(v + w

2

)= 2j − 2J

(v + w

2

)≤ 0,

donc v = w.

En realite, ce qui nous interesse surtout ici c’est le point de vue differentiel.

Lemme 3.2. — La fonctionnelle J est de classe C1 sur H1 et sa differentielle est donneepar

dJu(v) =

∫Ω∇u · ∇v −

∫Ωfv.

Demonstration. —

J(u+ v)− J(u) =

∫Ω∇u · ∇vdx+

1

2

∫Ω|∇v|2 dx−

∫Ωfvdx

La continuite de J est evidente :

|J(u+ v)− J(u)| ≤ ‖∇u‖L2 ‖∇v‖L2 +1

2‖∇v‖2L2 + ‖f‖L2 ‖v‖L2 = O(‖v‖H1).

La differentiabilite est aussi evidente. En posant

Lu(v) =

∫Ω∇u · ∇vdx−

∫Ωfvdx,

alors Lu est clairement continue sur H1 et on a

|J(u+ v)− J(u)− Lu(v)| ≤ 1

2‖v‖2H1 = o(‖v‖H1)

42

Enfin, le caractere C1 decoule de |Lu(v)− Lu(v)| ≤ ‖∇(u− u)‖L2 ‖∇v‖L2 , qui entraıne

‖Lu − Lu‖ ≤ ‖∇(u− u)‖L2 .

Corollaire 3.3. — Le minimiseur u de J sur H10 (Ω) satisfait :

u ∈ H10 (Ω) et ∀v ∈ H1

0 (Ω)

∫Ω∇u · ∇vdx =

∫Ωfvdx (3.1)

ou encore −∆u = f au sens des distributions,u = 0 sur ∂Ω,

u ∈ H1(Ω).(3.2)

Demonstration. — L’equation (3.1) decoule directement de dJu = 0, que l’on verifie ainsi.Pour t ∈ R et pour v ∈ H1

0 , on a

dJu(v) = limt→0

J(u+ tv)− J(u)

t

avec J(u+ tv) ≥ J(u), doncJ(u+ tv)− J(u)

t≤ 0 si t < 0,

J(u+ tv)− J(u)

t≥ 0 si t > 0,

ce qui donne, en passant a la limite, a la fois dJu(v) ≤ 0 et dJu(v) ≥ 0.Prenons v ∈ D(Ω) dans (3.1) (noter que D(Ω) ⊂ H1

0 (Ω)) :

N∑i=1

∫Ω

∂u

∂xi

∂v

∂xidx =

∫Ωfvdx

mN∑i=1

⟨∂u

∂xi,∂v

∂xi

⟩= 〈f, v〉

m⟨−

N∑i=1

∂2u

∂x2i

, v

⟩= 〈f, v〉,

d’ou −∆u = f dans D′(Ω). Les autres proprietes de (3.2) proviennent de u ∈ H10 (Ω).

Bilan. A partir d’un probleme de minimisation, on a resolu (c.a.d. trouve une solutiona) une EDP elliptique (l’equation de Laplace), au sens des distributions. Cela signifie quela solution n’etant que dans H1(Ω) a priori, on ne peut definir son Laplacien que dansD′(Ω).

On a aussi, ainsi, trouve une formulation intermediaire (3.1). Tout ceci nous fournit lesidees directrices de ce chapitre. On va resoudre les problemes elliptiques au sens desdistributions (on parle de solutions faibles) en se ramenant non pas a un probleme deminimisation (ce n’est pas toujours possible), mais a une formulation du type (3.1) appeleeformulation variationnelle.

43

Remarque 3.4. — On a vu que J admet un unique minimiseur. On verra plus loin que(3.1) et (3.2) admettent une unique solution. A ce stade du developpement, ceci n’est pasencore demontre.

3.2. Solutions faibles pour le probleme de Dirichlet

3.2.1. L’equation de Laplace. — On s’interesse a l’EDP suivante :−∆u = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω.(3.3)

Definition 3.5. — Une fonction u est dite solution faible de (3.3) si u ∈ H10 (Ω) et si

−∆u = f au sens des distributions.

Remarque 3.6. — A priori, pour cette definition, on n’a besoin que des hypotheses sui-vantes : Ω ouvert, et f ∈ D′(Ω). On va neanmoins supposer des hypotheses plus fortes,permettant d’utiliser la notion de traces pour interpreter la condition aux limites, et per-mettant aussi d’utiliser l’inegalite de Poincare. Nous supposerons toujours Ω borne, declasse C1.

Remarque 3.7. — Rappelons que le dual de H10 (Ω), appele H−1(Ω), a ete identifie, lors

du Theoreme 2.24, a un sous-espace de distributions et que l’on a l’identification (2.6) dansce theoreme. Par consequent, le Laplacien d’une fonction H1(Ω) appartient a H−1(Ω) etil est donc clair que nous ferons les hypotheses minimales sur f suivantes : f ∈ H−1(Ω).

Quelques petits calculs. Soit u une solution faible de (3.3) et ϕ ∈ D(Ω), alors on asuccessivement

〈−∆u, ϕ〉 = 〈f, ϕ〉 = 〈f, ϕ〉H−1,H10⟨

−N∑i=1

∂2u

∂x2i

, ϕ

⟩= 〈f, ϕ〉H−1,H1

0

N∑i=1

⟨∂u

∂xi,∂ϕ

∂xi

⟩= 〈f, ϕ〉H−1,H1

0

N∑i=1

∫Ω

∂u

∂xi

∂ϕ

∂xidx = 〈f, ϕ〉H−1,H1

0∫Ω∇u · ∇ϕdx = 〈f, ϕ〉H−1,H1

0.

Soit v ∈ H10 et ϕn une suite de D(Ω) convergeant vers v. En passant a la limite dans

l’egalite ci-dessus, on obtientu ∈ H1

0

∀v ∈ H10

∫Ω∇u · ∇v dx = 〈f, v〉H−1,H1

0.

(3.4)

On passe ainsi de l’EDP (3.2) a ce probleme intermediaire. Le point interessant est qu’ona en fait l’equivalence entre les deux problemes.

Lemme 3.8. — Soit Ω borne, de classe C1 et f ∈ H−1(Ω). Une fonction u est solutionfaible de (3.3) si, et seulement si, elle verifie (3.4).

44

Definition 3.9. — Une formulation variationnelle est la donnee– d’un espace de Hilbert V– d’une forme bilineaire continue a(·, ·) sur V × V– d’une forme lineaire continue `(·) sur V

et consiste a rechercher une solution du problemeu ∈ V∀v ∈ V a(u, v) = `(v).

(3.5)

Application ici. La formulation (3.4) est appelee formulation variationnelle du problemede Dirichlet pour le Laplacien (3.3). Elle rentre bien dans le cadre de la Definition 3.9,ou l’on a : V = H1

0 (Ω), a(u, v) =∫

Ω∇u · ∇vdx et `(v) = 〈f, v〉H−1,H10. On verifie sans

difficulte la continuite de a : par Cauchy-Schwarz,

|a(u, v)| ≤ ‖∇u‖L2 ‖∇v‖L2 ≤ ‖u‖H1 ‖v‖H1 .

La continuite de ` est codee dans l’information f ∈ H−1(Ω).

Le point fort de cette approche repose sur la possilibite d’utiliser le theoreme de Lax-Milgram :

Theoreme 3.10 (Lax-Milgram). — On se donne une formulation variationnelle selonla Definition 3.9. On suppose que la forme bilineaire a est coercive, c’est a dire :

∃α > 0 : ∀u ∈ V, a(u, u) ≥ α ‖u‖2V .

Alors le probleme (3.5) admet une unique solution u.De plus, si a est symetrique, alors u est l’unique minimiseur de J(v) = 1

2a(v, v)− `(v)sur V .

Demonstration. — On applique tout d’abord par deux fois le theoreme de representationde Riesz. Pour tout v ∈ V fixe, w 7→ a(v, w) est une forme lineaire continue sur V . Ilexiste donc un unique A(v) ∈ V tel que ∀w, a(v, w) = (A(v), w). De la bilinearite de a,on deduit la linearite de A. Et, en prenant w = A(v), on a

‖A(v)‖2 = a(v,A(v)) ≤M ‖v‖ ‖A(v)‖ ,

d’ou

‖A(v)‖ ≤M ‖v‖ ,c’est-a-dire, A est continue. De meme, il existe u0 ∈ V tel que ∀w ∈ V , `(w) = (u0, w).

Il s’agit alors de trouver u tel que : ∀w a(u,w) = `(w), ce qui se reecrit

A(u) = u0.

On va utiliser le theoreme du point fixe de Banach :

Soit X un espace de Banach etT : X ×X strictement contractante,

alors T admet un unique point fixe.

Soit T (v) = v − λ(A(v) − u0) avec λ > 0 a fixer. Si T admet un point fixe alors ce pointfixe verifie le resultat attendu pour u : A(u) = u0.

45

On cherche donc une valeur de λ telle que T soit strictement contractante. On calcule

‖T (v)− T (w)‖2 = ‖v − w − λA(v − w)‖2

= ‖v − w‖2 − 2λ(A(v − w), v − w) + λ2 ‖A(v − w)‖2

≤ ‖v − w‖2 − 2λa(v − w, v − w) + λ2M2 ‖v − w‖2

≤ (1− 2λα+ λ2M2) ‖v − w‖2 .

Il suffit alors de trouver λ tel que 1 − 2λα + λ2M2 < 1, ce qui est verifie des lors queλ < 2α

M2 . Prenons par exemple λ = αM2 et alors T est contractante.

Pour traiter le cas ou a est symetrique, il suffit de reprendre point par point lademonstration du premier lemme du chapitre (en exercice).

Remarque 3.11. — Dans le theoreme de Lax-Milgram, on obtient en plus une estimationa priori sur la solution. En effet, dans

∀v ∈ V, a(u, v) = `(v),

il suffit de prendre v = u et on obtient a(u, u) = `(u). Ainsi, en utilisant la coercivite dela forme bilineaire a,

α ‖u‖2 ≤ a(u, u) = `(u) ≤ ‖`‖V ′ ‖u‖

d’ou ‖u‖ ≤ ‖`‖V ′α .

Theoreme 3.12. — Soit f ∈ H−1(Ω), ou Ω est un ouvert borne de classe C1. Alors (3.3)admet une unique solution faible u. De plus, il existe une constante c, ne dependant quede Ω, telle que

‖u‖H1 ≤ c ‖f‖H−1 .

Demonstration. — D’apres le Lemme 3.8 (et les proprietes de continuite de a et f), ilsuffit de montrer que la formulation variationnelle (3.4). Pour appliquer le theoreme deLax-Milgram, il suffit de verifier la coercivite de la forme bilineaire . La coercivite de a severifie grace a l’inegalite de Poincare :

a(u, u) =

∫Ω∇u · ∇udx = ‖∇u‖2L2 ≥ CΩ ‖u‖2H1 .

3.2.2. Problemes elliptiques d’ordre 2. — On s’interesse maintenant au problemeelliptique d’ordre 2 general introduit au debut du cours :

−N∑i=1

N∑j=1

∂

∂xi

(aij(x)

∂u

∂xj

)+

N∑i=1

bi(x)∂u

∂xi+ a0(x)u = f(x) sur Ω, (3.6)

avec condition aux limite de Dirichlet homogene sur ∂Ω

u = 0 sur ∂Ω. (3.7)

Les hypotheses sont les suivantes.– Sur le domaine : Ω borne, de classe C1.– Sur les donnees : aij , bi, a0 de classe L∞(Ω) ; f ∈ H−1(Ω).

46

– Sur l’operateur : uniforme ellipticite, il existe une constante c0 > 0 telle que

Pour presque tout x ∈ Ω, ∀ξ ∈ RN ,N∑

i,j=1

aij(x)ξiξj ≥ c0 |ξ|2 .

Lemme 3.13. — Les deux assertions suivantes sont equivalentes :(i) u ∈ H1(Ω) satisfait (3.6) au sens des distributions et (3.7) au sens des traces.(ii) u satisfait la formulation variationnelle suivante :

u ∈ H10 (Ω)

∀v ∈ H10 (Ω) a(u, v) = 〈f, v〉H−1,H1

0

(3.8)

ou

a(u, v) =N∑i=1

N∑j=1

∫Ωaij(x)

∂u

∂xj

∂v

∂xidx+

N∑i=1

∫Ωbi(x)

∂u

∂xivdx+

∫Ωa0(x)uvdx.

Une fonction u satisfaisant ces proprietes est dite solution faible de (3.6), (3.7).

Demonstration. — Simple generalisation de ce qui a ete fait pour le Laplacien, laissee enexercice.

Il convient desormais de s’interesser a l’utilisation du theoreme de Lax-Milgram, et plusprecisement a la coercivite de a. On a

a(u, u) =

N∑i=1

N∑j=1

∫Ωaij(x)

∂u

∂xj

∂u

∂xidx+

N∑i=1

∫Ωbi(x)

∂u

∂xiudx+

∫Ωa0(x)u2dx

unif. ellipticite≥ c0 ‖∇u‖2L2 +

N∑i=1

∫Ωbi(x)

∂u

∂xiudx+

∫Ωa0(x)u2dx

Ineg. Poincare≥ c0

1 + C2Ω

‖u‖2H1 + 2 termes d’ordres inferieurs.

Il y a donc deux situations :(i) Les cas favorables ou les termes d’ordres inferieurs sont positifs :

– Par exemple, si pour tout i, on a bi = 0 p.p. et a0 ≥ 0 p.p. sur Ω.– Ou encore, plus generalement, si div bi ≤ 0 au sens des distributions et a0(x) ≥ 0

p.p. sur Ω. En effet, pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a

N∑i=1

∫Ωbi∂ϕ

∂xiϕdx =

N∑i=1

⟨bi,

∂

∂xi

(ϕ2

2

)⟩= −

⟨div b,

ϕ2

2

⟩≥ 0,

cette propriete de signe reste donc vraie, par densite, pour∑N

i=1

∫Ω bi

∂u∂xiu dx, avec

u ∈ H10 (Ω).

(ii) Les cas defavorables ou les termes d’ordres inferieurs n’ont pas de signe a priori.Dans ce cas, le probleme (3.6), (3.7) peut avoir plusieurs solutions faibles ou n’enavoir aucune. Voici deux contre-exemples, en dimension un :

– Pour le probleme −u′′ − π2u = 0 sur ]0, 1[,u(0) = u(1) = 0,

l’ensemble des solutions est α sinπx , α ∈ R.

47

– Pour le probleme −u′′ − π2u = 1 sur ]0, 1[,u(0) = u(1) = 0,

il n’y a pas de solution faible. En effet, une solution u verifierait la formulationvariationnelle, donc, pour tout v ∈ H1

0 (0, 1),∫ 1

0u′(x)v′(x)dx− π2

∫ 1

0u(x)v(x)dx =

∫ 1

0v(x)dx.

Prenons v(x) = sin(πx). En remarquant que v ∈ H2(0, 1), la formule de Greendonne∫ 1

0u′(x)v′(x)dx = −

∫ 1

0u(x)v′′(x)dx+ u(1)v′(1)− u(0)v′(0)

= π2

∫ 1

0u(x)v(x)dx.

Donc, on devrait avoir∫ 1

0 sin(πx)dx = 0, alors que cette integrale vaut 2/π.

Theoreme 3.14. — Sous les hypotheses ci-dessus :(i) Si, de plus, div bi ≤ 0 au sens des distributions et a0 ≥ 0 p.p. sur Ω, alors (3.6),

(3.7) admet une unique solution faible.(ii) Sinon, il existe ε0 ≥ 0 tel que, des que ‖b‖L∞ + ‖a0‖L∞ ≤ ε0, le probleme (3.6),

(3.7) admet une unique solution faible.

Demonstration. — Avec l’analyse precedente, il suffit dans chaque cas de montrer la coer-civite de la forme bilineaire. Dans le cas (i), on a deja vu que, pour tout u ∈ H1

0 (Ω), ona

a(u, u) ≥ c1 ‖u‖2H1 avec c1 =c0

1 + C2Ω

.

Dans le cas (ii), on utilise l’inegalite de Cauchy-Schwarz :

a(u, u) ≥ c1 ‖u‖2H1 +∑i

∫Ωbi∂u

∂xiu+

∫Ωa0u

2

≥ c1 ‖u‖2H1 − ‖b‖L∞‖∇u‖L2‖u‖L2 − ‖a0‖L∞‖u‖2L2

≥ (c1 − 2ε0) ‖u‖2H1

donc ε0 = c14 convient.

3.3. Regularite H2

Dans cette section nous nous interessons a la regularite de la solution selon la regularitede la donnee f . Soit u solution de (3.3) ou de (3.6), (3.7).

– Si f ∈ H−1(Ω) mais f 6∈ L2(Ω), on ne peut pas esperer u ∈ H2(Ω).– En revanche, si f ∈ L2(Ω), en dimension 1, on recupere directement u ∈ H2(Ω). En

effet : u′′ = ∆u ∈ L2(Ω).– En dimension superieure, le resultat reste vrai mais plus complique a etablir. En

effet, l’information disponible est seulement qu’une combinaison lineaire de certainesderivees secondes est dans L2, et on veut en deduire que toutes les derivees secondessont dans L2. C’est le caractere elliptique du probleme qui effectue ce transfert deregularite.

48

Theoreme 3.15 (Regularite H2 pour le Laplacien). — Soit u solution faible de(3.3) et Ω borne, de classe C2. Si f ∈ L2(Ω) alors u ∈ H2(Ω), et il existe une constantec > 0, ne dependant que de Ω, telle que ‖u‖H2 ≤ c ‖f‖L2.

Demonstration. — Supposons avoir montre que u ∈ H2(Ω). Alors l’existence de laconstante c provient du theoreme de l’application ouverte de Banach. En effet, l’appli-cation

H2(Ω) ∩H10 (Ω) 7−→ L2(Ω)

u −→ −∆u

est un operateur lineaire continu et bijectif, son inverse l’est donc aussi. Il reste a montrerla regularite. Cela se fait en deux etapes :

(i) Regularite interieure : ∀χ ∈ D(Ω), uχ ∈ H2(Ω).(ii) Regularite au voisinage du bord : u ∈ H2(Ω).

Mais avant de traiter le cas Ω regulier quelconque, on va traiter deux cas particuliers quis’avereront utiles.

Etape 1 : Ω = RN .

On cherche a montrer que(u ∈ H1(RN ) et ∆u ∈ L2(RN )

)=⇒ u ∈ H2(RN ).

Commencons par une preuve non rigoureuse mais intuitive. Soit u ∈ H1(RN ) et −∆u =f ∈ L2(RN ). Alors on a

∀v ∈ H1(RN ),

∫RN

∇u · ∇vdx =

∫RN

fvdx.

Imaginons que l’on puisse prendre v = ∂2u∂x2i

, pour i ∈ 1, . . . , N. Il vient alors∫RN

∇u · ∇(∂2u

∂x2i

)dx =

∫RN

f∂2u

∂x2i

dx.

Par integration par partie, on obtient la relation∥∥∥∥∂2u

∂x2i

∥∥∥∥2

L2

≤∫RN

∣∣∣∣∇ ∂u

∂xi

∣∣∣∣2 dx ≤ ‖f‖L2

∥∥∥∥∂2u

∂x2i

∥∥∥∥L2

. (3.9)

D’ou ∥∥∥∥∂2u

∂x2i

∥∥∥∥L2

≤ ‖f‖L2 .

En revenant a l’etape intermediaire (3.9), il vient donc, pour tout i ∈ 1, . . . , N,∑j

∥∥∥∥ ∂2u

∂xi∂xj

∥∥∥∥2

L2

≤ ‖f‖2L2

et u ∈ H2(Ω). Cependant, cette demonstration n’est pas rigoureuse, car ∂2u∂x2i

n’est a priori

pas une fonction-test admissible. Pour permettre un tel raisonnement, il nous faut passer

par des fonctions de H1(RN ) qui approcheront ∂2u∂x2i

, les quotients differentiels.

Lemme 3.16. — Soit Ω = RN ou Ω = RN+ et ei le i-eme vecteur de la base canonique.

Si Ω = RN+ , on suppose de plus que i ≤ N − 1. Pour tout u ∈ L1loc(Ω) et h ∈ R∗, on pose

τhu(x) = u(x+ hei) p.p., et Dhu =τhu− u

h.

49

(i) Si u ∈ H1(Ω), alors pour tout h ∈ R∗, on a

‖Dhu‖L2(V ) ≤∥∥∥∥ ∂u∂xi

∥∥∥∥L2(Ω)

.

(ii) Soit u ∈ L2(Ω). Supposons qu’il existe C1 independante de h telle que

∀h ∈ R∗, ‖Dhu‖L2 ≤ C1.

Alors on a ∂u∂xi∈ L2(Ω) et ∥∥∥∥ ∂u∂xi

∥∥∥∥L2

≤ C1. (3.10)

Demonstration. — Commencons par remarquer que l’on a l’integration par partiesdiscrete, pour tout u, v ∈ L2(Ω),∫

ΩuD−hv dx = −

∫ΩDhuv dx.

Preuve de (i). On raisonne par densite et on prouve l’inegalite pour u ∈ D(Ω). On a alors,pour h 6= 0,

Dhu(x) =u(x+ hei)− u(x)

h=

∫ 1

0

∂u

∂xi(x+ thei)dt,

donc, par Cauchy-Schwarz et Fubini,∫Ω

(Dhu(x))2dx ≤∫

Ω

(∫ 1

0

∂u

∂xi(x+ thei)dt

)2

dx

≤∫

Ω

∫ 1

0

(∂u

∂xi(x+ thei)

)2

dtdx

=

∫ 1

0

∫Ω

(∂u

∂xi(x+ thei)

)2

dxdt =

∫Ω

(∂u

∂xi(x)

)2

dx.

Preuve de (ii). Soit ϕ ∈ D(Ω). Par integration par parties discrete, on a∣∣∣∣∫Ωu(x)Dhϕ(x)dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ΩD−hu(x)ϕ(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ‖D−hu‖L2‖ϕ‖L2 ≤ C1‖ϕ‖L2 .

En passant a la limite h→ 0, cela donne donc, pour tout ϕ ∈ D(Ω),∣∣∣∣⟨ ∂u

∂xi, ϕ

⟩∣∣∣∣ =

∣∣∣∣⟨u, ∂ϕ∂xi⟩∣∣∣∣ ≤ C1‖ϕ‖L2 .

La distribution ∂u∂xi

se prolonge donc par continuite en une forme lineaire continue sur

L2 et par le theoreme de representation de Riesz sur L2, ∂u∂xi

s’identifie elle-meme a une

fonction de L2 (voir la Remarque 2.7) et on a l’estimation (3.10).

On effectue maintenant la preuve rigoureuse de la regularite H2, en utilisant la techniquedes translations de Nirenberg. Soit i ∈ 1, . . . , N et h ∈ R∗, on prend alors v = D−hDhu ∈H1(RN ), (combinaison lineaire de fonctions appartenant a H1(RN )). On a donc∫

RN

∇u · ∇ (D−hDhu) dx =

∫RN

fD−hDhudx

50

et, par integration par partie discrete (noter que les operateurs ∇ et Dh commutent),

‖Dh∇u‖2L2 = ‖∇Dhu‖2L2 =

∫RN

∇(Dhu) · ∇(Dhu)dx ≤ ‖f‖L2 ‖D−hDhu‖L2

En utilisant le Lemme 3.16 (i), il vient alors

‖Dh∇u‖2L2 ≤ ‖f‖L2 ‖∇Dhu‖L2 = ‖f‖L2 ‖Dh∇u‖L2

d’ou ‖Dh∇u‖L2 ≤ ‖f‖L2 et, en utilisant le Lemme 3.16 (ii), on obtient donc que ∂∂xi

(∇u) ∈L2(Ω). Il s’en suit que u ∈ H2(RN ).

Etape 2 : Ω = RN+ .

On peut reproduire la preuve ci-dessus, a condition de ne prendre que des translationstangentielles, donc i ∈ 1, . . . , N − 1. On obtient donc

∀i ∈ 1, . . . , N − 1, ∀j ∈ 1, . . . , N, ∂2u

∂xixj∈ L2(Ω).

Pour traiter la derniere derivee seconde, on utilise simplement l’equation :

∂2u

∂x2N

= ∆u−N−1∑i=1

∂2u

∂x2i

= −f −N−1∑i=1

∂2u

∂x2i

∈ L2(Ω).

Etape 3 : Ω borne, de classe C2.

On ne va faire qu’esquisser cette preuve, pour la details on pourra se referer a [2]. Onutilise des partitions de l’unite et on ecrit u =

∑ni=0 θiu. Comme θ0 ∈ D(Ω), on a

−∆(θ0u) = θ0f − 2∇θ0 · ∇u− u∆θ0 ∈ L2(RN ),

en identifiant θ0u et son prolongement par zero sur RN . Donc l’Etape 1 nous donne queθ0u ∈ H2(RN ).

Le traitement des autres termes θiu, 1 ≤ i ≤ n est plus delicat. Il faut utiliser uneapplication φi : Q→ Oi bijective telle que

φi ∈ C2(Q), φ−1i ∈ C

2(Oi), φi(Q+) = Oi ∩ Ω, φi(Q0) = Oi ∩ ∂Ω

et considerer la fonction vi = (θiu) φi. Ensuite, l’equation de Laplace −∆(θiu) = fi ∈L2(O1) se transporte sur Q+ en une equation elliptique du second ordre. Il faut doncadapter la technique des translations de Nirenberg dans le cas RN+ a cette equation ellip-tique, ce qui est possible des lors que les coefficients de cette equation sont dans C1 (onfait une integration par parties dans la preuve...). On montre ainsi que vi ∈ H2(Q+), puison revient a θiu grace a φ−1

i .

Quelques generalisations.– Operateur uniformement elliptique d’ordre 2. Si u ∈ H1

0 (Ω) verifie

∀v ∈ H10 (Ω),

N∑i=1

N∑j=1

∫Ωaij(x)

∂u

∂xj

∂v

∂xidx =

∫Ωfv dx, (3.11)

avec f ∈ L2(Ω) et aij ∈ C1(Ω), alors u ∈ H2(Ω).

51

– Regularite superieure : si Ω est de classe Ck+1 et si les fonctions aij sont de classe

Ck(Ω), alors la solution de (3.11) satisfait

f ∈ Hk−1(Ω) =⇒ u ∈ Hk+1(Ω).

– Espaces Lp : si Ω est de classe C2 et si les fonctions aij sont de classe C1(Ω), alors

f ∈ Lp(Ω) , 1 < p < +∞ =⇒ u ∈W 2,p(Ω)

Le resultat est faux pour p = 1 ou p = +∞.

3.4. Autres problemes aux limites

3.4.1. Condition de Dirichlet non homogene. — Dans cette section, on garde unoperateur uniformement elliptique :

Lu = −N∑i=1

N∑j=1

∂

∂xi

(aij

∂u

∂xj

)+ a0u

en considerant, pour simplifier un peu, que nous n’avons pas de terme d’ordre 1, et quel’on a a0 ≥ 0 presque partout. Les hypotheses sont toujours :

– Domaine Ω borne, de classe C1.– Donnees aij , a0 de classe L∞(Ω) ; f ∈ H−1(Ω).– Operateur L uniformement elliptique.

Definition 3.17. — Soit Ω un ouvert de classe C1, de frontiere bornee. On note

H1/2(∂Ω) = v ∈ L2(∂Ω) : ∃V ∈ H1(Ω) tel que v = γ0V

l’image de H1(Ω) par l’application trace γ0. Muni de la norme

‖v‖ = inf‖V ‖H1 ou V ∈ H1(Ω) est tel que γ0V = v,

c’est un espace de Banach.

Theoreme 3.18. — Sous les hypotheses ci-dessus, on suppose de plus que g ∈ H1/2(∂Ω).Alors il existe un unique solution faible u ∈ H1(Ω) de

Lu = f (Ω)u = g (∂Ω)

(3.12)

Demonstration. — On definit une solution faible de (3.12) par : u ∈ H1(Ω) etLu = f au sens des distributionsγ0u = g.

La propriete d’unicite de la solution decoule du theoreme d’unicite de la solution duprobleme de Dirichlet homogene. Pour ce qui est de l’existence, on se ramene au problemede Dirichlet homogene en introduisant une fonction G appelee relevement de g : SoitG ∈ H1(Ω) tel que γ0G = g. La fonction G n’est bien entendu pas unique et existe bien

par definition de H1/2(∂Ω). De plus, comme on a la caracterisation

H−1(Ω) =

v ∈ D′(Ω) : ∃f0, f1, · · · , fN ∈ L2(Ω), v = f0 +

N∑i=1

∂fi∂xi

,

52

il est clair que, comme les coefficients aij et a0 sont dans L∞, on a LG ∈ H−1(Ω). Enposant alors u = u−G, on aura que u est solution faible de (3.12) si, et seulement si

Lu = f − LG au sens des distributionsγ0u = 0,

c’est-a-dire si u est solution faible d’un probleme elliptique avec conditions de Dirichlethomogene. Le Theoreme 3.14 (i) nous dit donc qu’il existe un unique tel u.

Remarque 3.19. — Supposons que Ω est de classe C2 et que aij ∈ C1(Ω). Si de plus

f ∈ L2(Ω) et g ∈ H3/2(∂Ω) = γ0G, G ∈ H2(Ω), alors on peut choisir un relevement deg tel que LG ∈ L2(Ω) et on aura donc u ∈ H2(Ω) par le theoreme de regularite elliptique,d’ou l’on deduit que u ∈ H2(Ω).

3.4.2. Le probleme de Neumann pour le Laplacien. — On souhaite maintenantimposer des conditions aux limites sur les derivees de u (comme il est naturel de le faireen dimension 1). Quelques remarques preliminaires s’imposent.

Remarque 3.20. — Remplacer “u = 0 sur ∂Ω” par “∇u = 0 sur ∂Ω” n’est pas une ideeconvenable en dimension superieure a 1. En effet, remplacer une condition scalaire par unecondition vectorielle revient a imposer N conditions aux limites au lieu d’une seule. Lacondition la plus naturelle issue des problemes modelises porte sur la derivee normale deu. Pour x ∈ ∂Ω, la derivee normale a u au point x est

∂u

∂n(x) = ∇u · n(x) =

N∑i=1

∂u

∂xini(x),

ou n(x) designe le vecteur normal a ∂Ω au point x, unitaire et dirige vers l’exterieur.Remarquons que n(x) est une fonction vectorielle continue sur le bord, de module 1.Ainsi, si∇xu ∈ L2(∂Ω), on aura ∂u

∂n comme produit d’une fonction L2 par une fonction L∞.

∂Ω

nΩ

La condition aux limites dite de Neumann homogene s’ecrit :

∂u

∂n= 0 sur ∂Ω

et correspond physiquement a un “flux nul de u a travers ∂Ω”.

Remarque 3.21. — Malheureusement, lorsque u ∈ H1(Ω), sa derivee normale sur ∂Ωn’a pas necessairement de sens alors que c’est bien le cas pour u ∈ H2(Ω) selon la theoriedes traces. Il ne sera donc pas possible de definir une solution faible de

−∆u = f (Ω)

∂u

∂n= 0 (∂Ω)

(3.13)

avec u ∈ H1(Ω), ou la premiere equation −∆u = f serait prise au sens des distributionset ou ∂u

∂n = 0 serait prise au sens des traces.

53

L’idee consistant a changer d’espace fonctionnel et a remplacer H1(Ω) par H2(Ω) nousamenerait a considerer un espace trop restrictif et ne fonctionne pas. On y reviendra plusloin.Solution : on va supposer d’abord u ∈ H2(Ω), definir une formulation variationnelle enelargissant ensuite l’espace a H1(Ω). La solution faible du probleme sera definie commeetant la solution de la formulation variationnelle.

Remarque 3.22. — Il est impossible que le probleme (3.13) admette une unique solution.En effet, si u est solution alors u+c est aussi solution, quelle que soit la constante c ∈ R. Onva alors s’interesser au probleme suivant, qui aura une meilleure propriete de coercivite :

−∆u+ u = f (Ω)

∂u

∂n= 0 (∂Ω).

(3.14)

Le cas sans terme d’ordre 0 est aborde en TD.

Quelques petits calculs. Soit u solution du probleme (3.14), ou l’on suppose u ∈ H2(Ω),ce qui entraıne donc que l’on doit s’etre donne une fonction f ∈ L2(Ω). On multiplie lapremiere equation par une fonction-test v ∈ H1(Ω), et l’on utilise la formule de Greensuivante. Pour tout u ∈ H2(Ω) et v ∈ H1(Ω), on a∫

Ω−∆u vdx =

∫Ω∇u · ∇vdx−

∫∂Ω

∂u

∂nvdσ

Ainsi, si u est solution du probleme, puisque ∂u∂n = 0, on obtient

∀v ∈ H1(Ω),

∫Ω∇u · ∇v dx+

∫Ωuv dx =

∫Ωfv dx

A ce stade, on cherche u ∈ H2(Ω) et la fonction-test se trouve dans H1(Ω). Or, il nous estindispensable que l’espace de la solution et celui des fonctions de base soient identiques,en vue de l’utilisation du theoreme Lax-Milgram, et aussi en vue de la discretisationqui suivra. On peut alors envisager de prendre la fonction test dans H2(Ω). Mais onimagine bien que cela risque d’etre inadapte dans la mesure ou le probleme initial amenaitnaturellement a considerer des fonctions-tests H1 seulement. Regardons ce qu’il se passeeffectivement dans le cas d’un tel choix. Chercher u ∈ H2(Ω) tel que

∀v ∈ H2(Ω),

∫Ω∇u · ∇v dx+

∫Ωuv dx =

∫Ωfv dx.

L’existence et l’unicite d’une solution pour ce probleme seraient liees a la coercivite dela forme bilineaire impliquee. Et cela reviendrait a dire qu’il existe une constante α > 0telle que : ∀u ∈ H2(Ω), ‖u‖2H1 ≥ α ‖u‖2H2 . Cela se traduirait par une equivalence des

normes ‖·‖H1 et ‖·‖H2 sur H2(Ω), ce qui induirait H2(Ω) = H1(Ω). En effet, D(Ω) est

dense dans (H1(Ω), ‖·‖H1) et alors aussi dans (H2(Ω), ‖·‖H1) puisque D(Ω) est densedans (H2(Ω), ‖·‖H2) et que l’on considere qu’il y a equivalence des deux normes dansH2(Ω). De fait, H1(Ω) = H2(Ω). On remarquera la difference avec le cas (H1

0 , H1).

On est en fait dans une impasse avec un tel choix : l’espace qui convient aux problemeselliptiques d’ordre 2 est effectivement H1(Ω).

54

Definition 3.23 (Solutions fortes, solutions faibles). —Une fonction u ∈ H2(Ω) qui verifie −∆u+ u = f au sens L2(Ω) et ∂u

∂n = 0 sur ∂Ω au sensdes traces est dite solution forte de (3.14). La formulation variationnelle de (3.14) s’ecrit u ∈ H1(Ω)

∀v ∈ H1(Ω),

∫Ω∇u · ∇v dx+

∫Ωuv dx =

∫Ωfv dx.

(3.15)

Une fonction u satisfaisant (3.15) est dite solution faible de (3.14).

Theoreme 3.24. — Soit Ω borne, de classe C1 et f ∈ L2(Ω). Alors (3.14) admet uneunique solution faible u. De plus, si Ω est de classe C2, alors cette solution faible est enfait l’unique solution forte du probleme.

Demonstration. — Pour la premiere partie du theoreme, on utilise le theoreme de Lax-Milgram, avec l’espace de Hilbert V = H1(Ω), la forme bilineaire

a(u, v) =

∫Ω∇u · ∇vdx+

∫Ωu vdx

qui est le produit scalaire sur H1(Ω), donc clairement continue et coercive, et la formelineaire continue

v 7→∫

Ωf vdx.

Demontrons maintenant la seconde partie du theoreme. Tout d’abord, les calculs ci-dessus montrent que toute solution forte du probleme est solution faible. Remontons lescalculs dans l’autre sens. Soit u satisfaisant (3.15). En prenant v ∈ D(Ω), on obtientfacilement −∆u+u = f au sens des distributions. Si l’on suppose de plus que u ∈ H2(Ω),alors en appliquant la formule de Green, on obtient, quel que soit v ∈ H1(Ω),∫

∂Ω

∂u

∂nv dσ =

∫Ω∇u · ∇v dx+

∫Ω

∆u vdx =

∫Ω∇u · ∇v dx+

∫Ω

(u− f) vdx = 0.

Si l’on sait que H1/2(Ω), l’ensemble des traces des fonctions H1(Ω), est dense dans L2(Ω),alors on peut en deduire que ∂u

∂n = 0 en tant que fonction L2(∂Ω) : u est solution forte duprobleme.

Ce resultat de densite se montre de la facon suivante. Tout d’abord, remarquons quele cas Ω = RN+ , dont le bord est RN−1 × 0 est tres simple. On sait deja que l’ensemble

des fonctions C1c (RN−1) est dense dans L2(RN−1). Comme il est clair que tout fonction

ϕ(x′) ∈ C1c (RN−1) est trace d’une fonction Φ ∈ H1(RN+ ) (prendre Φ(x′, xN ) = ϕ(x′)χ(xN )

ou χ est une fonction C1c (R+) telle que χ(0) = 1), on en conclut que H1/2(RN−1×0) est

dense dans L2(RN−1 × 0). On en deduit le meme resultat dans le cas Ω borne de classeC1 en utilisant l’argument habituel de partitions de l’unites pour se ramener a RN+ .

Il reste a montrer que toute solution faible est dans H2(Ω). En fait, un examen dela preuve de la regularite H2 pour le probleme de Dirichlet (donc pour la formulationvariationnelle (3.15) avec H1(Ω)) montre que l’on peut remplacer partout H1

0 (Ω) parH1(Ω) dans cette preuve (les seules integrations par parties sont tangentielles au bord).Sous reserve donc que Ω est de classe C2 (ce qui etait utilise dans cette demonstration),et comme on a pris soin des le debut de choisir f ∈ L2(Ω), on en deduit donc par cetargument que u ∈ H2(Ω), donc que la solution faible est l’unique solution forte.

55

Conclusion. La demarche de resolution du probleme de Neumann homogene est donc lasuivante.

– On definit la formulation variationnelle sur H1(Ω) en supposant la solution u ∈ H2(Ω)(donc en partant d’une solution forte) pour permettre les calculs.

– Sur H1(Ω), la formulation variationnelle est bien posee. Toute la difficulte vient deson interpretation.

– La solution faible u satisfait l’equation au sens des distributions et, des qu’elle estdans H2(Ω), elle satisfait la condition aux limites au sens des traces.

– En fait, des que Ω est assez regulier, on dispose d’un theoreme de regularite H2 quinous dit que la solution est une solution forte. La boucle est bouclee...

Remarque 3.25. — Considerons les deux problemes variationnels : u ∈ H10 (Ω)

∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω∇u · ∇v dx+

∫Ωuv dx =

∫Ωfv dx

(3.16)

et u ∈ H1(Ω)

∀v ∈ H1(Ω),

∫Ω∇u · ∇v dx+

∫Ωuv dx =

∫Ωfv dx

(3.17)

Dans le premier cas, on a vu que u est la solution faible du probleme de Dirichlet, tandisque dans le deuxieme cas il s’agit de la solution du probleme de Neumann.

– La condition de Dirichlet est presente dans la definition de l’espace fonctionnelH10 (Ω) :

On dit que c’est une condition essentielle.– La condition de Neumann est presente implicitement dans la formulation variation-

nelle. On dit que c’est une condition naturelle.

3.4.3. Le probleme de Neumann pour L elliptique. — On s’interesse ici a nouveaua un operateur de la forme

Lu = −N∑i=1

N∑j=1

∂

∂xi

(aij

∂u

∂xj

)+ a0u.

On ebauche seulement la theorie. La question principale que l’on veut aborder ici est :quelle condition naturelle est associee a la formulation variationnelle suivante ?

u ∈ H1(Ω)∀v ∈ H1(Ω) a(u, v) = `(v)

(3.18)

ou l’on a repris les formes bilineaires et lineaires suivante :a(u, v) =

N∑i=1

N∑j=1

∫Ωaij

∂u

∂xj

∂v

∂xidx+

∫Ωa0u vdx,

`(v) =

∫Ωf vdx.

Remarque 3.26. — S’il existe α > 0 tel que a0 ≥ α presque partout, alors le probleme(3.18) est bien pose.

Une fonction satisfaisant (3.18) est solution faible d’un probleme restant a preciser.Cherchons le probleme aux derivees partielles associe a (3.18). En considerant v ∈ D(Ω)

56

dans (3.18), on etablit que Lu = f dans D′(Ω). Considerons maintenant v ∈ H1(Ω) etu ∈ H2(Ω). Alors, en utilisant la formule de Green, on obtient

∀v ∈ H1(Ω),

∫∂Ω

N∑i=1

N∑j=1

aij∂u

∂xjnjvdσ = 0

donc la condition aux limites

∂u

∂na:=

N∑i=1

N∑j=1

aij∂u

∂xjnj = 0.

Sous la condition que Ω est de classe C2 et si f ∈ L2(Ω), alors on a un resultat de regulariteH2 pour u, ce qui donne un sens a cette condition au bord. On dit que ∂u

∂naest la derivee

conormale associee a l’operateur −∑N

i,j∂∂xi

(aij

∂∂xj

).

3.4.4. Conclusion, demarche generale. — Il existe de nombreuses conditions auxlimites possibles, que nous n’etudierons pas dans ce cours. Voici quelques exemples :

– Condition de Neumann non homogene : ∂u∂n = g sur ∂Ω. La formule de Green et la

prise en compte de la condition aux limites engendrent la formulation variationnellesuivante : ∫

Ω∇u · ∇vdx+

∫Ωu vdx =

∫Ωf vdx+

∫∂Ωg vdσ.

– Condition mixte Dirichlet-Neumann. Si on decompose ∂Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = ∅,alors on pose u = g1 sur ΓD

∂u

∂n= g2 sur ΓN

∂Ω

ΓD

ΓN

Ω

– Condition de Fourier-Robin : ∂u∂n + αu = 0 (etudiee en TD).

– Condition oblique : ∂u∂n + β ∂u∂τ = 0 ou ∂u

∂τ est une derivee tangentielle au bord.– etc ...

Dans tous les cas, on applique la meme demarche :– On commence par etablir la formulation variationnelle du probleme. On supposeu ∈ H2(Ω), on multiplie l’equation par v ∈ H1(Ω), on applique la formule de Greenet, en utilisant les conditions aux limites, on obtient un espace V (en general inclusdans H1(Ω)), une forme bilineaire a continue sur V , une forme lineaire ` continue surV , ...

– On definit une solution faible du probleme comme solution de la formulation va-riationnelle, dont on determine, si possible, l’existence et l’unicite par le theoreme deLax-Milgram.

57

– On cherche ensuite a revenir au probleme initial. Souvent l’equation elliptique est vraieau sens des distributions mais les conditions aux limites ne sont obtenues que formel-lement, c’est-a-dire sous reserve d’une regularite H2 de la solution u du problemevariationnel.

– Parfois, on a un theoreme de regularite H2 qui permet de montrer que la solutionfaible est solution forte, mais il peut etre difficile a obtenir (ou faux). Generiquement,une solution forte est telle que tous les termes de l’EDP sont definis presque partout,et telle que la condition de bord est definie au sens des traces.

58

3.5. Approximation variationnelle, introduction a la methode des elementsfinis

3.5.1. Approximation interne d’un probleme variationnel. — Soit (V, a, `) uneformulation variationnelle telle que les hypotheses du theoreme de Lax-Milgram sontverifiees. Alors, il existe une unique solution u au probleme :

u ∈ V∀v ∈ V, a(u, v) = `(v).

(FV )

Soit Vh un sous-espace de dimension finie de V . L’approximation interne de (FV ) sur Vhconsiste a considerer :

uh ∈ Vh∀vh ∈ Vh, a(uh, vh) = `(vh).

(FVh)

Lemme 3.27. — Si a est continue et coercive sur V et si ` est continue, alors (FV ) et(FVh) admettent chacune une unique solution. De plus, (FVh) equivaut a la resolutiond’un systeme lineaire AhUh = Bh ou Ah est inversible.

Demonstration. — Le resultat d’existence et unicite se montre directement par letheoreme de Lax-Milgram.

Pour ecrire l’equivalence avec le systeme lineaire, on introduit une base (ϕi)i=1,...,N de

Vh. On ecrit, uh =∑N

j=1 ujϕj , on exploite la linearite de (FVh) et on ecrit la relation de

(FVh) pour la base de Vh. On obtient ainsi le systeme lineaire souhaite, avec

(Ah)ij = a(ϕj , ϕi), (Uh)i = ui, (Bh)i = `(ϕi).

De la coercivite de a, on deduit le caractere defini-positivif de Ah.

Il est par suite essentiel de comparer les solutions u et uh de (FV ) et (FVh). Dans la pra-tique, la construction de l’espace Vh est basee sur un procede de discretisation du domaineΩ. Et l’indice h correspond a un parametre mesurant la finesse de cette discretisation. Ilest alors naturel de s’interesser a la convergence de uh vers u ou de Vh vers V lorsque htend vers 0.

Lemme 3.28 (Lemme de Cea). — On suppose les hypotheses du lemme precedent sa-tisfaites. Alors on a

‖u− uh‖V ≤M

αinf

vh∈Vh‖u− vh‖V

ou M est la constante de continuite de a et α sa constante de coercivite.

Demonstration. — Soit wh ∈ Vh ⊂ V , alors

a(u,wh) = `(wh) = a(uh, wh).

Ainsi, ∀wh ∈ Vh, a(u− uh, wh) = 0.Et donc, pour tout vh ∈ Vh, on a

α ‖u− uh‖2V ≤ a(u− uh, u− uh) = a(u− uh, u− vh) ≤M ‖u− uh‖V ‖u− vh‖Vcar wh = uh − vh ∈ Vh.

Conclusion :Pour approcher le probleme (FV ), il s’agit alors de trouver un sous-espace Vh qui per-mette de :

– rendre petite la quantite infvh∈Vh ‖u− vh‖V .

59

– obtenir facilement une base de Vh et calculer aisement Ah et Bh.

3.5.2. La methode des elements finis. — On considere maintenant une formulationvariationnelle (V, a, `) associee a un probleme elliptique avec conditions aux limites, posesur un domaine Ω. On va construire un sous-espace Vh de dimension finie de l’espaceV ⊂ H1(Ω).

Ce travail s’effectue en trois etapes :– Construction d’un maillage, une approximation/discretisation de Ω.– Construction d’une famille libre de fonctions definies sur les elements de la

discretisation.– Consideration de l’espace vectoriel engendre par cette famille libre de fonctions.

Pour commencer, on introduit donc une discretisation du domaine Ω : on considereun maillage de Ω. On appelle maillage, une famille Th d’elements T simples (segments en1D ; triangles ou quadrangles en 2D ; tetraedres, hexaedres, prismes en 3D ; ...) verifiantles proprietes suivantes :

Ωhnotation

=⋃T∈Th

T est une approximation de Ω,

∀T1, T2 ∈ Th,

ou bien T1 ∩ T2 = T1 = T2,ou bien T1 ∩ T2 = ∅,ou bien T1 ∩ T2 = un sommet commun,ou bien T1 ∩ T2 = une arete commune si dimension ≥ 2,ou bien T1 ∩ T2 = une face commune si dimension ≥ 3.

Le parametre h est generalement defini comme egal a maxT∈Th diam(T ). Ce parametrecaracterise la finesse du maillage. Plus h est petit, plus Ωh est proche de Ω.

Plutot que de construire un espace Vh et d’en chercher une base, on construit une famillelibre de fonctions dont on considerera l’espace qu’elles engendrent. On peut effectivementconstruire des fonctions polynomiales (donc simples a manipuler), et a supports localisesa quelques elements du maillage Th. De telles fonctions sont directement definies a partirdes elements T de Th. L’aspect localise des supports engendrera une matrice Ah creusefacilitant la resolution numerique.

Le choix le plus simple pour de telles fonctions consisterait a prendre des fonctionsconstantes par morceaux. Une fonction de base ϕi de cet espace vaudrait 1 sur un elementTi de Th et vaudrait 0 sur tout autre element de Th. Ce choix simple ne permet cependantpas de resoudre tout probleme variationnel issu d’une EDP elliptique et est generalementinsuffisant pour les EDP elliptiques d’ordre 2.

Par la suite, nous regardons en detail le cas des elements finis de Lagrange P1 endimension 1. Considerons le probleme

−u′′ + a0u = f Ω =]0, 1[

u(0) = 0, u(1) = 0.

ou a0 ∈ L∞(0, 1), a0 ≥ 0 presque partout sur ]0, 1[ et f ∈ H−1(0, 1).

60

On sait que ce probleme est bien pose et admet une unique solution faible satisfaisantla formulation variationnelle (FV) suivante :

V = H10 (0, 1),

a(u, v) =

∫ 1

0u′v′dx+

∫ 1

0a0uvdx,

`(v) = 〈f, v〉H−1,H10.

Introduisons un maillage (une subdivision) uniforme de [0, 1]. Soit N ∈ N∗, h = 1N+1

et xj = jh pour j = 0, ..., N + 1. Notons enfin T+j l’element [xj , xj+1], et T−j l’element

[xj−1, xj ], pour j = 0, ..., N + 1 avec la convention x−1 = −h et xN+2 = (N + 2)h.Il s’agit ensuite de definir l’espace Vh. Pour cela, considerons l’espace

Wh = v ∈ C([0, 1]) : v|Tj ∈ P1 pour j = 0, ..., N

Ensuite, on pose Vh = V ∩Wh = H10 ∩Wh = v ∈Wh : v(0) = v(1) = 0.

Lemme 3.29 (Base de Wh). — L’espace Wh est un s.e.v. de dimension N + 2 deH1

0 (0, 1) et Vh est un s.e.v. de dimension N de H10 (0, 1).

Une base de Wh est constituee des N + 2 fonctions-chapeaux definies par :

Pour 0 ≤ j ≤ N + 1, ϕj(x) =

x− xj−1

hsi x ∈ T−j = [xj−1, xj ],

xj+1 − xh

si x ∈ T+j = [xj , xj+1],

0 si x 6∈ T−j ∪ T+j = [xj−1, xj+1].

Enfin, une base de Vh est constituee des N fonctions (ϕj)j=1,...,N .

2h

0

1

xj−1 xj+1

ϕj

xj

Demonstration. — On montre facilement que l’on definit ainsi une famille libre. On peutaussi verifier que toute fonction de Wh s’exprime de maniere unique par ses valeurs auxpoints (xj)j=0,...,N+1. Soit v ∈Wh, alors on a

v =N+1∑i=0

v(xi)ϕi

Et toute fonction de Vh l’est par ses valeurs aux points (xj)j=1,...,N .

Par suite, il s’agit de calculer la matrice Ah et le second membre Bh du systeme lineairecorrespondant a l’approximation variationnelle :

(Ah)ij = a(ϕj , ϕi)

et(Bh)i = 〈f, ϕi〉H−1,H1 .

61

Dans le cas particulier ou a0 = 0, on retrouve en fait la matrice relative a la methode desdifferences finies (le verifier en exercice) :

(Ah)ij =

0 si |i− j| > 1,

−1/h si j = i+ 1 ou j = i− 1,

2/h si j = i.

De maniere generale, le calcul de ces objets repose sur des methodes d’integrationnumerique : methode des trapezes, formule de quadrature de Gauss, ... Nous reviendronsplus tard sur les techniques utilisees pour le calcul de Ah et Bh par l’introduction desmatrices et second-membres elementaires.

Enfin, la resolution du systeme lineaire se fait par des methodes appropriees. Ici, onse trouve dans le cas d’une matrice creuse, on choisit alors generalement des methodesdirectes qui prennent en compte la structure creuse et le profil particulier de la matrice(methode de Cholesky) mais rien n’interdit l’utilisation de methodes iteratives ou demethodes du gradient comme le gradient conjugue. Les methodes iteratives peuvent avoirrecours a un preconditionnement.

Nous allons desormais nous interesser aux proprietes de convergence de la methodenumerique.

3.5.2.1. Convergence et estimation d’erreur. —

Definition 3.30. — Soit v ∈ H1(0, 1). On pose

Πhv(x) =N+1∑j=0

v(xj)ϕj(x).

Il s’agit de l’interpolee P1 de v sur le maillage Th (i.e. sur l’espace Wh).

Lemme 3.31. — Il existe une constante c independante de h telle que

‖Πhv‖H1 ≤ c ‖v‖H1

Demonstration. — Pour x ∈]xj , xj+1[, on a

(Πhv)′(x) =v(xj+1)− v(xj)

h.

Ainsi ∫ xj+1

xj

[(Πhv)′(x)]2dx =(v(xj+1)− v(xj))

2

h=

1

h

(∫ xj+1

xj

v′(x)dx

)2

≤∫ xj+1

xj

(v′(x))2dx par Cauchy-Schwarz.

Il en decoule ‖(Πhv)′‖L2 ≤ ‖v′‖L2 . D’autre part, on a

‖Πhv‖L2 ≤ max[0,1] |Πhv|≤ max[0,1] |v| par definition de v≤ c ‖v‖H1 .

62

Lemme 3.32. — a) Il existe une constante c > 0 independante de h telle que

∀v ∈ H1(0, 1), ‖v −Πhv‖L2(0,1) ≤ ch∥∥v′∥∥

L2(Ω).

b) D’autre part, il existe une constante c > 0 independante de h telle que

∀v ∈ H2(0, 1), ‖v −Πhv‖L2(0,1) ≤ ch2 ‖v′′‖L2(Ω)

‖v′ − (Πhv)′‖L2(0,1) ≤ ch ‖v′′‖L2(Ω) .

c) ∀v ∈ H1(0, 1), limh→0

∥∥v′ − (Πhv)′∥∥L2(0,1)

= 0.

Demonstration. — Preuve du point a). On raisonne sur C∞([0, 1]), qui est dense dansH1(0, 1). Soit x ∈ [xj , xj+1]. Par definition de Πhv, on a

v(x)−Πhv(x) = v(x)−(v(xj) +

v(xj+1)− v(xj)

h(x− xj)

)=

∫ x

xj

v′(t)dt− x− xjh

∫ xj+1

xj

v′(t)dt.

Ainsi, puisque 0 ≤ x−xjh ≤ 1,

|v(x)− (Πhv)(x)| ≤ 2

∫ xj+1

xj

∣∣v′(t)∣∣ dtet donc par Cauchy-Schwarz :

(v −Πhv)2(x) ≤ 4h

∫ xj+1

xj

(v′(t))2dt,

ce qui conduit a (du fait que h = xj+1 − xj) :∫ xj+1

xj

(v −Πhv)2(x)dx ≤ 4h2

∫ xj+1

xj

(v′(t))2dt

d’ou le premier resultat en sommant sur j.

Preuve du point b). On raisonne a nouveau avec v ∈ C∞([0, 1]), par densite de cet espacedans H2(0, 1). Soit x ∈]xj , xj+1[. Par la formule des accroissements finis, en reprenant lapremiere relation de la demonstration du a),

v(x)−Πhv(x) = (x− xj)v′(xj + θx)− (x− xj)v′(xj + θj)

ou 0 ≤ θx ≤ x− xj et 0 ≤ θj ≤ h. Donc

|v(x)−Πhv(x)| ≤ (x− xj)∫ xj+1

xj

∣∣v′′(t)∣∣ dt|v(x)−Πhv(x)|2 ≤ (x− xj)2h

∫ xj+1

xj

∣∣v′′(t)∣∣2 dt (Cauchy-Schwarz)

et alors ∫ xj+1

xj

|v(x)−Πhv(x)|2 dx ≤ h4

3

∫ xj+1

xj

∣∣v′′(t)∣∣2 dtcar

∫ xj+1

xj(x− xj)2dx = h3/3. On obtient ainsi le premier resultat en sommant sur j.

63

Pour la majoration de ‖v′ −Πhv′‖L2 on procede de meme : sur ]xj , xj+1[

v′(x)− (Πhv)′(x) = v′(x)− v(xj+1)− v(xj)

h= v′(x)− v′(xj + θj)

|v′(x)− (Πhv)′(x)| ≤∫ xj+1

xj

∣∣v′′(t)∣∣ dt|v′(x)− (Πhv)′(x)|2 ≤ h

∫ xj+1

xj

∣∣v′′(t)∣∣2 dt (Cauchy-Schwarz)

s.∫ xj+1

xj|v′(x)− (Πhv)′(x)|2 dx ≤ h2

∫ xj+1

xj|v′′(t)|2 dt

On conclut en sommant sur j.

Preuve du point c). Soit ε > 0 fixe et v ∈ H1(0, 1). On peut trouver ϕ ∈ C∞([0, 1]) tel que‖v − ϕ‖H1 ≤ ε

3 et donc tel que∥∥v′ − ϕ′∥∥L2 ≤

ε

3et

∥∥(Πhv)′ − (Πhϕ)′∥∥L2 ≤

ε

3

notamment en considerant le lemme precedent. En utilisant b), il vient enfin l’existencede h tel que ∥∥ϕ′ − (Πhϕ)′

∥∥L2 ≤

ε

3.

Lemme 3.33. — Soit v ∈ H1(0, 1) alors

limh→0‖v −Πhv‖H1(0,1) = 0

et si de plus v ∈ H2(0, 1) alors il existe c > 0 independante de h telle que

‖v −Πhv‖H1(0,1) ≤ ch∥∥v′′∥∥

L2(Ω).

Demonstration. — Cela decoule des deux lemmes precedents. En effet, on travaille a hpetit (destine a tendre vers 0), et donc h2 ≤ h.

Theoreme 3.34. — Soit f ∈ H−1(0, 1) et u ∈ H10 (0, 1), uh ∈ Vh les solutions de (FV )

et (FVh). On a alors

limh→0‖u− uh‖H1(0,1) = 0

Si de plus f ∈ L2(Ω) alors u ∈ H2(Ω) et on a les estimations

‖u− uh‖H1(0,1) ≤ ch ‖f‖L2(Ω) , (3.19)

‖u− uh‖L2(0,1) ≤ ch2 ‖f‖L2(Ω) . (3.20)

Demonstration. — D’apres le lemme de Cea, on a ‖u− uh‖H1(0,1) ≤ ‖u−Πhu‖H1(0,1). Les

estimations en norme H1 decoulent alors de la proposition precedente et du controle dev′′ par f dans L2 d’apres les resultats de regularite lorsque f ∈ L2. Montrons maintenantl’estimation (3.20) : en norme L2, la convergence est d’ordre 2. Cette preuve repose surun argument de dualite : on a en effet

‖u− uh‖L2 = supg∈L2, g 6=0

∫ 10 g(u− uh) dx

‖g‖L2

. (3.21)

64

Pour tout g ∈ L2(0, 1), on definit φg ∈ H2(0, 1) comme etant la solution de la formulationvariationnelle

φg ∈ H10 (0, 1)

∀v ∈ H10 (0, 1), a(v, φg) =

∫ 10 gv dx.

On a donc ‖φg‖H2 ≤ ‖g‖L2 et aussi, comme u− uh ∈ H10 (0, 1),

a(u− uh, φg) =

∫ 1

0g(u− uh) dx.

Comme Πhφg ∈ Vh, on a a(u− uh,Πhφg) = 0, donc∫ 1

0g(u− uh) dx = a(u− uh, φg −Πhφg)

≤ C‖u− uh‖H1‖φg −Πhφg‖H1

≤ Ch2‖f‖L2‖φg‖H2 ≤ Ch2‖f‖L2‖g‖L2 ,

ou on a utilise (3.19) et le Lemme 3.33 applique a φh ∈ H2(0, 1). En inserant cette inegalitedans (3.21), on obtient (3.20).

3.5.2.2. Calcul de la matrice et du second-membre du systeme. — La prise en comptedu caractere creux de la matrice se fait par la consideration d’objets intermediaires : lesmatrices elementaires et les second-membres elementaires :

(Ah)ij =∑

T∈Th/T⊂Suppϕi∩Suppϕj

(∫Tϕ′jϕ

′i +

∫Ta0ϕjϕi

)Dans le cas P1,

∫T ϕ′jϕ′i est non nulle des lors que xi et xj sont des sommets de T . Notons

Xα, α = 1, 2 les sommets de T . La donnee de∫T ϕ′jϕ′i, pour i, j tels que xi, xj sont des

sommets de T equivaut a la donnee de(∫

T ϕ′αϕ′β

)α,β=1,2

ou la correspondance est etablie

par le choix de (α, β) tels que xi = Xβ, xj = Xα.En toute rigueur, la donnee d’un maillage est :(i) Une liste de points (les points xi, i = 0, ..., N + 1 ici).(ii) La definition des T ∈ Th par la donnee de leurs sommets, dans un ordre predefini

(indispensable pour la definition de la normale notamment dans le cas de problemessurfaciques).

Cette deuxieme information donne une table de correspondance entre la numerotationlocale des sommets des T ∈ Th (Xα) et la numerotation globale de ces sommets en tantque points du maillage de la liste donnee en (i) (xi).

Cette correspondance fait le lien entre les quantites∫T ϕ′jϕ′i pour i, j = 1, ..., N et

T ∈ Th, et les quantites∫T ϕ′αϕ′β pour α, β = 1, 2 et T ∈ Th.

L’objet suivant est appele matrice elementaire relative a T :(∫Tϕ′αϕ

′β

)α,β=1,2

Il en va de meme avec la quantite∫T a0ϕjϕi associee a un element de la matrice

elementaire donnee par(∫T a0ϕαϕβ

)α,β=1,2

, ainsi que pour∫T fϕi associe a un element

du second-membre elementaire donne par(∫T fϕβ

)β=1,2

.

Un algorithme elements-finis s’ecrit alors :

65

? Calcul des matrices / second-membres elementaires :Pour tout T ∈ Th

Pour tout α = 1, 2calcul de bT (α) =

∫T fϕα

Pour tout β = 1, 2calcul de mT (α, β) =

∫T ϕ′αϕ′β +

∫T a0ϕαϕβ

? Assemblage de la matrice Ah et du second-membre Bh :Initialisation de Bh a 0.Pour tout T ∈ Th

Pour tout β = 1, 2i = numero global du sommet β de T .(Bh)i ←− (Bh)i + bT (β)Pour tout α = 1, 2

j = numero global du sommet α de T .Si (Ah)ij a deja ete rencontre alors

(Ah)ij ←− (Ah)ij +mT (α, β)Sinon

Initialisation de (Ah)ij a mT (α, β).

Remarque 3.35. — De maniere generale, on peut remarquer les points suivants.? Le stockage de (Ah)ij prend en consideration son caractere creux, ainsi que la

resolution du systeme.? Ici, (α, β) parcourent les sommets des T ∈ Th. De maniere plus generale, ils parcourent

les nœuds du maillage qui sont effectivement les sommets dans le cas P1, mais le centrede gravite des T ∈ Th dans le cas P0, et bien plus dans le cas P2 ou les fonctions debase de Vh ne sont plus seulement supportees par les sommets mais aussi par lesmilieux des aretes des elements de Th.

? Ici, le calcul de∫ 1

0 ϕ′jϕ′i ne presente aucune difficulte mais il n’en va pas de meme en

general (approximation P2, dimension superieure, ...) d’ou cette strategie qui s’averealors bien pratique.

3.5.2.3. Calcul des matrices et second-membres elementaires. — Le calcul de(∫T ϕαϕβ

)αβ

, pour tout T ∈ Th se fait numeriquement par le biais d’un element de

reference. Soit T un element de reference :? [0, 1] ici, en 1D.? [(0, 0), (1, 0), (0, 1)] en 2D – triangles.? [(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)] en 2D – quadrangles.

Alors, pour T ∈ Th il existe une unique application affine FT qui transforme T en T et :∫Tϕαϕβ =

∫T

(ϕα FT ) (ϕβ FT ) JFT

Ainsi, le calcul de toutes les matrices elementaires s’effectue par la consideration d’uneunique formule de quadrature definie sur l’element de reference.

Il en va de meme avec les second-membres elementaires.

3.5.2.4. La dimension superieure. — La dimension superieure requiert la considerationdu fait que Ωh = ∪T∈Th est en general different de Ω. En effet, si, en 2D par exemple, Ωest courbe et Ωh constitue de triangles droits, alors Ωh 6= Ω. Evidemment, Ωh → Ω quand

66

h → 0, mais convient de prendre cette approximation en consideration dans l’estimationde l’erreur elements-finis.

On peut aussi choisir des elements T ∈ Th courbes, par exemple des triangles dontles bords sont P2 et definis par les sommets du triangle ainsi que les “milieux” des seg-ments courbes. En general mais pas de maniere systematique, il convient de choisir lememe espace Pk pour la construction de Ωh et la definition de Vh. Dans ce cas, on parled’elements-finis isoparametrique et les fonctions de base de Vh sont portees par les nœudsdefinissant Ωh.

67

ANNEXE A

RAPPELS SUR LES ESPACES Lp

Cette annexe, ainsi que l’Annexe B reprennent les notes [4] de F. Nier.

A.1. Densite de C0c (Rn) dans L1(Rn)

Tout ce dont on a besoin ici est la propriete suivante de la mesure de Lebesgue : pourtout ensemble borelien E de Rn

|E| = supK ⊂ E

K compact

|K| = infE ⊂ Ω

Ω ouvert

|Ω| ,

ou on a note

|E| = mesure de E =

∫1E(x)dx.

Remarque A.1. — On rappelle que la tribu borelienne sur un espace topologique est lafamille de parties stable par union denombrable et passage au complementaire engendreepar les ouverts. Une mesure etant fixee (ici la mesure de Lebesgue dx), on complete cettetribu en rajoutant tous les ensembles de mesure nulle. Par abus de langage, on appelle iciborelien un element de la tribu borelienne completee pour la mesure de Lebesgue.

La demonstration qui se fait en trois etapes est rappelee ci-dessous.

Demonstration. — a) Une fonction caracteristique de compact peut etre approchee dansL1(Rn) par une suite de fonctions continues. Soit K un compact de Rn, on prend

f ε(x) =

1− d(x,K)

ε si d(x,K) < ε0 sinon.

On note Ωε = x ∈ Rn, d(x,K) < ε et on a pour tout ε > 0,

1K(x) ≤ f ε(x) ≤ 1Ωε(x).

On en deduit

‖1K − f ε(x)‖L1 =

∫Rn

(f ε(x)− 1K(x)) dx

≤∫Rn

(1Ωε(x)− 1K(x)) dx = |Ωε| − |K| ε→0→ 0,

puisque |K| = infK ⊂ Ω

Ω ouvert

|Ω| = infε>0|Ωε|.

b) La fonction caracteristique d’un borelien peut etre approchee dans L1(Rn) par unefamille de fonctions caracteristiques de compact. On ecrit tout simplement pour unborelien E : |E| = sup

K ∈ EK compact

|K| . Pour K ⊂ E, la norme ‖1E − 1K‖L1 n’est autre

que |E| − |K| qui est arbitrairement petit.En consequence, une fonction caracteristique de borelien peut etre approchee dansL1(Rn) par une suite de fonctions continues. Par linearite, il en est de meme de

toute combinaison lineaire finie, i.e. toute fonction etagee∑N

k=1 λk1Ek(x) peut etre

approchee dans L1(Rn) par une suite de fonctions continues.

c) Toute fonction f ∈ L1(Rn, dx) est limite d’une suite de fonctions etagees. En fait,on fixe un representant (toujours note f) qui est une fonction mesurable integrable.En ecrivant f = f+ − f−, on se ramene au cas f ≥ 0. On prend alors

sn(x) =n2n∑i=1

i− 1

2n1f−1([ i−1

2n, i2n

[)(x) + n 1f−1([n,+∞])(x).

On a alors 0 ≤ sn(x) ≤ f(x) et sn(x) → f(x) presque partout. Le theoreme de

Lebesgue (convergence dominee) donne alors ‖f − sn‖L1n→∞→ 0.

A.2. Autres rappels sur les espaces Lp

Definition A.2. — Pour 1 ≤ p ≤ +∞,

a) Lp(Rn, dx) designe l’espace des fonctions mesurables f telles que :

si p < +∞ :

∫Rn

|f(x)|p dx < +∞ ; si p = +∞ : ∃Cf > 0, |f(x)| ≤ Cf .

b) Lp(Rn, dx) est le quotient de Lp(Rn, dx) par la relation d’equivalence (f ∼ g) ⇔(f(x) = g(x) p.p.). Il est muni de la norme

p < +∞ : ‖f‖p =

(∫Rn

|f(x)|p dx)1/p

; p = +∞ : ‖f‖∞ = Sup ess |f(x)| .

Remarque A.3. — a) Lp(Rn, dx) est un espace de Banach, ce qui signifie que ‖ ‖p est

bien une norme (elle verifie l’inegalite triangulaire ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p (inegalite

de Minkowski) et ‖f‖p ne s’annule que si le vecteur f est nul) et que Lp(Rn, dx)avec cette norme est complet. Par le theoreme de densite precedent, c’est d’ailleursle complete de C0

c (Rn).

b) Necessite de passer au quotient : ‖ ‖p ne definit pas une norme sur Lp(Rn). En effet

la fonction qui vaut 1 sur Q∩ [0, 1] aurait une norme nulle. Dans Lp(Rn), on n’a plusce probleme puisque une telle fonction s’identifie au vecteur nul.

On rappelle sans demonstration l’inegalite de Holder et les proprietes liees.

Proposition A.4. — a) Si f ∈ Lp(Rn, dx) et g ∈ Lq(Rn, dx) avec 1 ≤ p ≤ +∞,1 ≤ q ≤ +∞, 1

p + 1q = 1, alors∣∣∣∣∫

Rn

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ‖f‖p ‖g‖q .70

b) Pour 1 ≤ p < +∞, le dual topologique de Lp(Rn) s’identifie a Lp∗(Rn) avec 1

p + 1p∗ =

1. (Faux pour p = +∞.)

c) Si pour i = 1, . . . , N on a fi ∈ Lpi(Rn, dx) avec 1r = 1

p1+ · · · + 1

pN≤ 1, alors le

produit f1 . . . fN appartient a Lr(Rn, dx) avec

‖f1 . . . fN‖r ≤NΠi=1‖fi‖pi .

Le resultat suivant est utile. L’argument de sa demonstration est similaire a celui utilisepour montrer la completude de Lp(Rn, dx).

Proposition A.5. — Si p < +∞, de toute suite convergeant vers u dans Lp(Rn, dx) onpeut extraire une sous-suite qui converge presque partout vers u.

Demonstration. — Puisque la suite (un)n∈N converge vers u dans Lp(Rn, dx) si et seule-ment si ‖|un − u|p‖1 → 0 il suffit de le demontrer pour p = 1. Pour p = 1, on peut extraire

une sous-suite (unk)k∈N telle que

∥∥unk+1− unk

∥∥p≤ 1

2k. En choisissant pour chaque k un

representant de unk, on peut dire que la fonction

∑k∈N

∣∣unk+1− unk

∣∣ (x) est une fonctionmesurable positive d’integrale ≤ 2 (Lemme de Fatou). On en deduit que pour presque toutx ∈ Rn la suite

unk(x) = un0(x) +

k−1∑i=0

uni+1(x)− uni(x)

converge absolument. Notons v(x) cette limite ponctuelle (p.p.), en posant v(x) = 0 pourl’ensemble de mesure nulle ou la serie ne converge pas. Le lemme de Fatou donne alors∫

Rn

|v(x)− unk(x)| dx ≤

+∞∑i=k

∫Rn

∣∣unk+1(x)− unk

(x)∣∣ dx ≤ +∞∑

i=k

1

2i=

1

2k−1.

En consequence v est egalement limite de (unk)k∈N dans L1(Rn) et s’identifie donc a u.

En conclusion, la sous-suite (unk)k∈N converge presque partout vers u(x).

Remarque A.6. — Il est important de noter que la convergence presque partout n’estvraie qu’en extrayant une sous-suite. On pourra s’en convaincre en considerant la suite undefinie de la facon suivante : On prend l’unique l ∈ N tel que l(l+1)

2 ≤ n < (l+1)(l+2)2 et on

pose un(x) = 1[ nl+1− l

2,n+1l+1− l

2 ](x).

On termine ce paragraphe par les inegalites pour le produit de convolution

f ∗ g(x) =

∫Rn

f(x− y)g(y) dy.

Proposition A.7. — a) Pour f, g ∈ L1(Rn, dx), on a f ∗ g ∈ L1(Rn, dx) avec

‖f ∗ g‖1 ≤ ‖f‖1 ‖g‖1 .

b) Si f ∈ Lp(Rn, dx) et g ∈ Lq(Rn, dx) avec 1p + 1

q − 1 = 1r alors on a f ∗ g ∈ Lr(Rn, dx)

avec

‖f ∗ g‖r ≤ ‖f‖p ‖g‖q(

1

p+

1

q− 1 =

1

r

).

71

Demonstration. — On rappelle brievement la demonstration de a). Apres avoir pris desrepresentants, on verifie avec le changement de variables u = x− y, v = y que l’integralepositive ∫ ∫

|f(x− y)g(y)| dxdy =

∫ ∫|f(u)| |g(v)| dudv

vaut ‖f‖1 ‖g‖1 qui est fini. Le theoreme de Fubini dit alors deux choses : l’integrale

f ∗ g(x) =

∫Rn

f(x− y)g(y) dy

est definie pour presque tout x ∈ Rn et on a l’inegalite

‖f ∗ g‖1 ≤ ‖f‖1 ‖g‖1 .

Pour le b), il est commode de raisonner par dualite. Il suffit de montrer que pour toutr ∈ [1,∞], on a

I =

∫ ∫Rn

|f(x)g(x− y)h(x)| dxdy ≤ ‖f‖p‖g‖q‖h‖r∗ .

En effet, si r = 1, en prenant h ≡ 1, on obtient directement que ‖f ∗ g‖1 ≤ I ≤ ‖f‖p‖g‖q,et si r > 1, on utilise que le dual de Lr

∗est Lr. Reecrivons cette integrale double ainsi :

I =∫ ∫

α(x, y)β(x, y)γ(x, y) dxdy, avec

α(x, y) = |f(x)|p/r|g(x− y)|q/r,

β(x, y) = |g(x− y)|q/p∗ |h(y)|r∗/p∗ ,

γ(x, y) = |f(x)|p/q∗ |h(y)|r∗/q∗ .

En remarquant que 1/p∗ + 1/q∗ + 1/r = 1, on applique l’inegalite de Holder pour obtenir|I| ≤ ‖α‖r‖β‖p∗‖γ‖q∗ , ce qui donne le resultat souhaite.

72

ANNEXE B

FORMULES DE LEIBNIZ ET DE TAYLOR

On rappelle ici les formules de Leibniz et de Taylor avec reste integral, ecrites a l’ordrequelconque ici pour des fonctions f et g supposees de classe C∞. Pour les retrouver, leplus simple est de commencer par le cas a une variable.

B.1. Fonction d’une variable

Formule de Leibniz α ∈ N :

∂αx (fg) =∑β≤α

α!

(α− β)!β!∂βxf∂

α−βx g =

∑α1+α2=α

α!

α1!α2!∂α

1

x f∂α2

x g.

Formule de Taylor avec reste integral m ∈ N : Elle s’obtient par integration par parties

utilisant (1− t)k =(

(1−t)k+1

k+1

)′:

f(1) = f(0) +

∫ 1

0f ′(t) dt = f(0) + f ′(0) +

∫ 1

0(1− t)f ′′(t) dt

=∑k≤m

1

k!f (k)(0) + (m+ 1)

∫ 1

0(1− t)m 1

(m+ 1)!f (m+1)(t) dt.

B.2. Fonctions de plusieurs variables

On rappelle les notations pour les multi-indices α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn avec x =(x1, . . . , xn) ∈ Rn :

α! = α1!α2! . . . αn!, xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn , |α| = α1 + α2 + · · ·+ αn.

Formule de Leibnitz α ∈ Nn :

∂αx (fg) =∑

α1+α2=α

α!

α1!α2!

(∂α

1

x f)(

∂α2

x g), α1 = (α1

1, . . . , α1n), α2 = (α2

1, . . . , α2n).

Demonstration. — On ecrit ∂αx (fg) = ∂α1x1 . . . ∂

αnxn (fg) et on applique la formule de Leibnitz

en dimension 1 a chaque ∂αixi .

On verifie facilement par recurrence la generalisation

∂αx (f1f2 . . . fk) =∑

α1+···+αk=α

α!

α1!α2! . . . αk!(∂α

1

x1 f1)(∂α2

x2 f2) . . . (∂αk

x fk).

Formule de Taylor avec reste integral m ∈ N, a = (a1, . . . , an) ∈ Rn et b = (b1, . . . , bn) ∈ Rn :

f(b) =∑|α|≤m

(b− a)α

α!∂αx f (a+ t(b− a))+(m+1)

∫ 1

0(1− t)m

∑|α|=m+1

(b− a)α

α!∂αx f (a+ t(b− a)) dt.

Demonstration. — On applique la formule en dimension 1 a la fonction ϕ(t) =f (a+ t(b− a)) puis on calcule :

dϕ

dt(t) =

([n∑i=1

(bi − ai)∂xi

]f

)(a+ t(b− a)) ,

dkϕ

dtk(t) =

[ n∑i=1

(bi − ai)∂xi

]kf

(a+ t(b− a)) .

Les operateurs differentiels (bi − ai)∂xi commutent. On peut donc utiliser la formule dumultinome (X1 +X2 + · · ·+Xn)k = k!

∑|α|=k

1α!X

α, valable dans tout anneau commutatif

(Le coefficient k!α! s’obtient en calculant la derivee α-ieme par rapport a X de chaque cote,

ou bien par recurrence). On obtient

1

k!

dkϕ

dtk(t) =

∑|α|=k

(b− a)α

α!∂αx f (a+ t(b− a)) .

74

ANNEXE C

MESURE SUPERFICIELLE ET FORMULE DE GREEN

Cette annexe reprend des elements de [3].

C.1. La mesure superficielle

Soit ω un ouvert de RN−1 et F : ω → RN de classe C1. On dit que F est un plongementsi F et F ′ sont injectives (F ′ injective signifie que pour tout x ∈ ω la matrice F ′(x) est derang N − 1). Alors F ′(x)∗F ′(x) est une matrice carree d’ordre N − 1, definie positive etd’elements generiques ∂iF (x) · ∂jF (x).

Definition C.1. — On note S = F (x) : x ∈ ω. Si u est une fonction continue de Sdans R, a support compact, on pose∫

Su(σ)dσ =

∫ωu(F (x))det

(F ′(x)∗F ′(x)

)1/2dx.

La mesure dσ est appelee mesure superficielle sur S.

Proposition C.2. — La mesure superficielle est independante du plongement F .

Demonstration. — Soit Ω un ouvert de RN−1 et G : Ω → RN un autre plongement telque S = G(Ω). Alors h = F−1 G est un C1-diffeomorphisme de Ω sur ω. Soit u continue

a support compact de S dans R. On note dσ la mesure superficielle definie a l’aide de G :∫Su(σ)dσ =

∫Ωu(G(y))det

(G′(y)∗G′(y)

)1/2dy.

On a G = F h et G′(y) = F ′(h(y))h′(y), donc∫Su(σ)dσ =

∫Ωu(F h(y))det

(F ′(h(y))∗F ′(h(y))

)1/2 ∣∣deth′(y)∣∣ dy (C.1)

=

∫ωu(F (x))det

(F ′(x)∗F ′(x)

)1/2dx =

∫Su(σ)dσ, (C.2)

par la formule du changement de variable dans une integrale.

Tres souvent, on sera amene a integrer une fonction sur le bord d’un ouvert Ω ⊂ RN .Dans ce cas, le bord sera defini localement par un plongement et la mesure superficielleaura une definition locale.

Definition C.3 (Regularite du domaine). — Soit Ω un ouvert de RN , ∂Ω safrontiere. L’ouvert Ω est dit de classe Ck pour k ≥ 1 si, pour tout point σ0 ∈ ∂Ω,on peut trouver un voisinage ouvert ω0 de σ0, une boule B(0, r) ⊂ RN , une bijectionΦ : B(0, r)→ ω0 et une application continue ϕ : B(0, r) ∩

(RN−1 × 0

)→ R tels que

(i) Φ(0) = σ0 et les fonctions Φ, Φ−1 et ϕ sont de classe Ck.(ii) Ω ∩ ω0 = Φ

(B(0, r) ∩

(RN−1 × R+

))et ∂Ω ∩ ω0 = Φ

(B(0, r) ∩

(RN−1 × 0

)).

(iii) Il existe une matrice de rotation R0 et b0 ∈ RN tels que

Ω ∩ ω0 ⊂ R0

(y′, yN ) ∈ RN−1 × R : yN ≥ ϕ(y′)

+ b0,

∂Ω ∩ ω0 ⊂ R0

(y′, yN ) ∈ RN−1 × R : yN = ϕ(y′)

+ b0.

Remarque C.4. — On remplace parfois Ck par Lipschitzien dans cette definition. Parailleurs, si Ω est de classe C1 au voisinage de σ0 = Φ(0) alors l’application F (y′) =R0 (y′, ϕ(y′)) + b0, definie sur B(0, r) ∩

(RN−1 × 0

), est un plongement. Avec ces nota-

tions, la normale exterieure a ∂Ω en un point σ = R0(y, ϕ(y)) + b0 ∈ ∂Ω ∩ ω0 est donneepar

n(σ) = R0(∇ϕ(y),−1)√1 + |∇ϕ(y)|2 Ω

~n

(elle ne depend pas des choix de Φ et ϕ).

C.2. Integration par parties

Proposition C.5 (Formule d’integration par parties ou formule de Green)Soit Ω un ouvert de classe C1 et u ∈ C1

c (RN ,R). Alors, pour tout i ∈ 1, . . . , N, on a∫Ω∂iu(x)dx =

∫∂Ωu(σ)ni(σ)dσ.

Demonstration. — Cette demonstration se fait en trois etapes.

a) On suppose d’abord que

Ω =

(x′, xN ) : xN > ϕ(x′), ∂Ω =

(x′, xN ) : xN = ϕ(x′)

ou ϕ : RN−1 → R est de classe C1.Si 1 ≤ i ≤ N − 1, on pose

g(x′, xN ) =

∫ xN

−∞∂iu(x′, s)ds, f(x′, xN ) =

∫ xN

−∞u(x′, s)ds.

Alors, on a∫Ω∂iu(x)dx =

∫RN−1

∫ +∞

ϕ(x′)∂iu(x′, xN )dxNdx

′ = −∫RN−1

g(x′, ϕ(x′))dx′.

Par ailleurs, si on note h(x′) = f(x′, ϕ(x′)), comme i < N on a

∂ih(x′) = g(x′, ϕ(x′)) + u(x′, ϕ(x′))∂iϕ(x′)

et comme h est a support compact (car u est a support compact, ce qui entraınequ’il existe λ > 0 tel que, pour tout |x′| ≥ λ, g(x′) = 0 et f(x′) = 0), on a∫

RN−1

∂ih(x′)dx′ = 0

76

donc

−∫RN−1

g(x′, ϕ(x′))dx′ =

∫RN−1

u(x′, ϕ(x′))∂iϕ(x′)dx′ (C.3)

=

∫RN−1

u(x′, ϕ(x′))ni(x′, ϕ(x′))

√1 + |∇ϕ(x′)|2dx′ (C.4)

=

∫∂Ωu(σ)ni(σ)dσ. (C.5)

On a ici utilise le plongement F (x′) = (x′, ϕ(x′)) et on peut calculer que

det(F ′(x)∗F ′(x)

)= 1 + |∇ϕ|2

(Pour cela, soit A la matrice de termes ∂iϕ∂jϕ. Voir que F ′∗F ′ = I + A et que lesvaleurs propres de A sont (0, 0, . . . , |∇ϕ|2) car A est la projection orthogonale sur∇ϕ, a une constante pres).

Si i = N , on a∫Ω∂Nu(x)dx =

∫RN−1

∫ +∞

ϕ(x)∂Nu(x′, xN )dxNdx

′ (C.6)

= −∫RN−1

u(x′, ϕ(x′))dx′ (C.7)

=

∫∂Ωu(σ)nN (σ)dσ, car nN (σ) = − 1√

1 + |∇ϕ|2. (C.8)

b) On suppose que Ω est du type precedent apres rotation et translation : Ω = RΩ0 + b,ou b ∈ RN , R est une matrice de rotation et Ω0 est comme a l’etape a. Le resultatque l’on souhaite montrer est equivalent a celui-ci : pour toute fonction vectorielleu ∈ C1

c (RN ,RN ), on a∫Ω

divu(x)dx =

∫∂Ωu(σ) · n(σ)dσ.

Soient y = R∗(x− b) ∈ Ω0 et v(y) = u(Ry + b). Alors on a Du(x) = Dv(y)R∗. Or

divu(x) = tr (Du(x)) = tr (Dv(y)R∗) = tr (R∗Dv(y)) = tr (D(R∗v(y))),

ce qui entraıne, en utilisant l’etape a,∫Ω

divu(x)dx =

∫Ω0

tr (D(R∗v(y)))dy =N∑i=1

∫Ω0

∂i(R∗v(y)))dy (C.9)

=N∑i=1

∫∂Ω0

(R∗v(y))i (n0)i(σ0)dσ0 =

∫∂Ω0

(R∗v(y)) · n0(σ0)dσ0(C.10)

=

∫∂Ω0

u(Ry + b) · (Rn0(σ0)) dσ0 =

∫∂Ωu(σ) · n(σ)dσ. (C.11)

c) Cas general. En chaque point σ ∈ ∂Ω, on peut trouver un ouvert ω0,σ et des fonctionsΦσ, ϕσ remplissant les conditions de la Definition C.3. On peut alors recouvrir ∂Ω∩

77

Supp u (qui est compact) par un nombre fini d’ouverts ωk := ωσk , pour 1 ≤ k ≤ K.On considere ensuite une partition de l’unite (ψk)0≤k≤K avec

Supp ψk ⊂⊂ ωk,K∑k=0

ψk(x) ≡ 1, ω0 ⊂ Ω,(Ω ∩ Supp u

)⊂

K⋃k=0

ωk.

Alors, on a ∫Ω∂iu(x)dx =

K∑k=0

∫ωk

∂i (u(x)ψk(x)) dx

et deux cas se presentent. Si 1 ≤ i ≤ K alors on utilise l’etape b :∫ωk

∂i (u(x)ψk(x)) dx =

∫∂Ωu(σ)ψk(σ)ni(σ)dσ

et si i = 0, on a ∫ω0

∂i (u(x)ψk(x)) dx = 0.

En faisant la somme, on obtient le resultat souhaite.

78

BIBLIOGRAPHIE

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de l’Ecole polytechnique, Ellipses, 2001.

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