Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II - 3. Folgen ...didaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/folgen_und_grenzwerte.pdf”allgemeine Eigenschaften von Funktionen (Grenzwert von

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II3. Folgen und Grenzwerte

H. Rodner, G. Neumann

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik

Sommersemester 2010/11

Internetseite zur Vorlesung:

http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/

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Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Zahlenfolgen und Grenzwerte

Didaktische Grundpositionen zu Folgen

Definition des Grenzwerts einer Folge

Arithmetische und geometrische Folgen

Reihen

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Didaktische Grundpositionen zu Folgen

I Traditionell:Systematische Einführung in die Theorie der Folgen undGrenzwerte

I Nach neuem Rahmenplan:

1 Nur noch in Fragmenten im Leistungskurs:”allgemeine Eigenschaften von Funktionen(Grenzwert von Zahlenfolgen, Stetigkeit undDifferenzierbarkeit und deren Zusammenhang), RLP, S. 30

2 Unterthema im Wahlpflichtfach 10 in "Beschränktes undlogistisches Wachstum"

Stattdessen werden Folgen nunmehr als

natürliches Instrument zur Beschreibung iterativer Prozesse"DANCKWERTS, R.; VOGEL, D.: Analysis verständlich unterrichten, 2006, S. 18.

begriffen, wie zum Beispiel bei der diskreten Modellierung realerWachstumsprozesse.

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Begriff der Konvergenz

ε-Umgebung einer Zahl a:1

nach beiden Seiten offenes Intervall, dasa als Mittelpunkt hat und dessen Intervallenden von a die Entfernung ε haben:

Uε(a) = ]a−ε ; a+ε[ = {x ∈ R | a−ε < x < a+ε}

ε ε

aGrenzwert einer FolgeDie Zahl g heißt Grenzwert einer Folge (an), wenn in jeder (noch so kleinen)ε-Umgebung von g unendlich viele Glieder der Folge liegen, aber außerhalbnur endlich viele,d. h. wenn man eine Platznummer n0 angeben kann, sodass alle Glieder miteiner höheren Platznummer als n0 in der Umgebung liegen.Wir schreiben lim

n→∞= g oder an → g für n→∞.

I Erleichtert die Redundanz dieser Definition das Verständnis?1Die Beschreibungen bzw. Definitionen auf dieser Folie sind dem Schulbuch

Elemente der Mathematik (Leistungskurs Analysis, Schroedel, 2008) entnommen.4 / 31

Begriff der Konvergenz: Epsilon-Umgebung

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Begriff der Konvergenz: Definition

2Beide Darstellungen entnommen aus: Lambacher Schweizer, Mathematik fürGymnasien, Gesamtband Oberstufe mit CAS, Klett: Stuttgart 2007.

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Begriff der Konvergenz: Beweis

Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz, dass die Folge

(an) mit (an) =2n2−3

3n2

den Grenzwert 23 besitzt.

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Nullfolgen

Besonderheit: Nullfolgen

I ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N , so dass ∀n ≥ n0 : |an| < ε

I Ab einer bestimmten „Platznummer“ werden die Beträge allerFolgenglieder beliebig klein (kleiner als jede „noch so kleine“positive Zahl).

Nullfolgen sind besonders bedeutsam in Hinblick auf denDifferentialquotienten (Ableitung).

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Begriff der Konvergenz: Verbalisierung

Welche Sprechweise für die Grenzwertdefinition?

1. "1n kommt mit wachsendem n der Null beliebig nahe."

2. " 1n strebt gegen null für n gegen unendlich."

3. " 1n kommt mit wachsendem n der Null immer näher"

4. " 1n kommt der Null immer näher, ohne sie jemals zu erreichen."

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Grenzwerte und Konvergenz

Grenzwertsätze für FolgenFalls die Folge (an) gegen A und die Folge (bn) gegen B konvergiert,so gilt:

I Die Summenfolge (an + bn) konvergiert gegen A + B.

I Die Differenzfolge (an − bn) konvergiert gegen A− B.

I Die Produktfolge (an · bn) konvergiert gegen A · B.

I Die Quotientenfolgean

bnkonvergiert gegen

AB. (B 6= 0)

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Begriff der Konvergenz: Beispiele

Untersuchen Sie die Folgenauf Konvergenz oder Divergenz.

Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

(an) =1n (bn) =

n√

10 (cn) =4n+2n2

n2

(dn) = ( 12)

n (en) = 2n (fn) =n2

n+1

(gn) = cos(n) (hn) = − (−1)n

n + 1n (in) = (1 + 1

n)n

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Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folge:Eine Folge (an) heißt arithmetische Folge, falls gilt:

an+1 = an + d (für alle n ∈ N)

Explizite Darstellung:

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Arithmetische Folgen

Arithmetische Folge:Eine Folge (an) heißt arithmetische Folge,falls gilt:an+1 = an + d (∀n ∈ N)

Explizite Darstellung:an = a1 + (n− 1) · d, d 6= 0 (∀n ∈ N)

Zusammenhang zu linearen Funktionen

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Geometrische Folgen

Geometrische Folge:Eine Folge (an) heißt geometrische Folge, falls gilt:an+1 = an · q (für alle n ∈ N)

Explizite Darstellung:

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Geometrische Folgen

Geometrische Folge:Eine Folge (an) heißt geometrische Folge, falls gilt:an+1 = an · q (für alle n ∈ N)

Explizite Darstellung:an = a1 · qn−1 (für alle n ∈ N)

Zusammenhang zur Exponentialfunktion

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Geometrische und arithmetische Folge in der Sek. I

Ein anfangs 800 m2 großer Teich vergrößert sich durch die Baggerarbeitenjede Woche um 550 m2.Bei Wasseruntersuchungen wird eine Algenart beobachtet, die sich sehrschnell vermehrt. Die von den grünen Algen bedeckte Fläche ist zu Beginnder Baggerarbeiten 1 m2 groß, sie verdoppelt sich jede Woche.Ein Wissenschaftler behauptet: "Bald ist der ganze See grün!"Bei denBeamten der Kommunalverwaltung erntet er nur ungläubiges Kopfschütteln.Wer hat Recht?

Für die Betrachtung der Wachstumsprozesse in Wochen, also für denDefintionsbereich D = N ∪ {0}, beschreiben die Funktionswerte der zuermittelnden Funktionen zur Berechnung des Flächeninhalts dieFolgenglieder jeweils einer arithmetischen und geometrischen Folge.

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Geometrische Folge

Welche der Folgen (an) bis (in) sind geometrischen Folgen?

Beschreiben Sie das Konvergenzverhalten einer geometrischen Folge

(an) = qn , q ∈ R.

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Reihen

Ist (an) eine Folge, so entsteht durch die Partialsummen

sn =

n∑i=0

ai oder sn =

n∑i=1

ai

eine neue Folge (sn): die Partialsummenfolge bzw. Reihe.

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Harmonische Reihe

Interessant sind u. a. Reihen (sn), die durch Nullfolgen (an) entstehen.

I Erklären Sie auf für Schüler verständliche Weise, dass die Reihe

(sn) mit sn =

∞∑n=1

1n

unbeschränkt ist und deshalb divergiert.

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Harmonische Reihe

2

2Zu finden in: http://arxiv.org/abs/0710.2357v120 / 31

Harmonische Reihe

Veranschaulichung des langsamen Wachstums der harmonischenReihe:http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/MatheVital/AnalysisI/Reihen0

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Geometrische Reihe

I Veranschaulichen Sie ikonisch, dass (tn) mit tn =

∞∑n=1

12n

konvergiert.

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Konvergenz der Geometrischen Reihe

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Geometrische Reihe

Definition: Geometrische ReiheIst (an) eine geometrische Folge mit an = a1 · qn−1 , so entsteht die zudieser Folge gehörende Folge (sn) der Teilsummen durch:

s1 = a1 = a1

s2 = a1 + a2 = a1 + a1 · q1

sn = a1 + a2 + ...+ an = a1 + a1 · q1 + ...+ a1 · qn−1

Die Folge (sn) heißt geometrische Reihe.

Satz:Eine geometrische Reihe sei gegeben durch das Anfangsglied a1 undden konstanten Quotienten q. Dann gilt für das allgemeine Glied sn:

sn = a1 ·1− qn

1− q(q 6= 1)

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Geometrische Reihe

Definition: Geometrische ReiheIst (an) eine geometrische Folge mit an = a1 · qn−1 , so entsteht die zudieser Folge gehörende Folge (sn) der Teilsummen durch:

s1 = a1 = a1

s2 = a1 + a2 = a1 + a1 · q1

sn = a1 + a2 + ...+ an = a1 + a1 · q1 + ...+ a1 · qn−1

Die Folge (sn) heißt geometrische Reihe.

Satz:Eine geometrische Reihe sei gegeben durch das Anfangsglied a1 undden konstanten Quotienten q. Dann gilt für das allgemeine Glied sn:

sn = a1 ·1− qn

1− q(q 6= 1)

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Geometrische Reihe: Grenzwert

Wie lautet der Grenzwert für 0 < q < 1:

limn→∝

sn =?

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limn→∝

sn = limn→∝

n∑i=1

a1 · qi−1 = limn→∝

a1 ·qn − 1q− 1

(q 6= 1)

Für 0 < q < 1:

limn→∝

sn = a11−q

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limn→∝

sn = limn→∝

n∑i=1

a1 · qi−1 = limn→∝

a1 ·qn − 1q− 1

(q 6= 1)

Für 0 < q < 1:

limn→∝

sn = a11−q

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limn→∝

sn = limn→∝

n∑i=1

a1 · qi−1 = limn→∝

a1 ·qn − 1q− 1

(q 6= 1)

Für 0 < q < 1:

limn→∝

sn = a11−q

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Beispiele für die Konvergenz der geometrischen Reihe

I Stellen Sie 0, 9 als geometrische Reihe dar und zeigen Sie, dassgilt: 0, 9 = 1

I Paradoxon des Zenon von Elea (490 bis 430 v. Chr.):”Achilles und die Schildkröte"Achilles und eine Schildkröte veranstalten ein Wettrennen.Die Schildkröte erhält einen Vorsprung von 100 m.Sie ist nur ein 1

10 mal so schnell wie Achilles. Läuft Achilles die ersten100 m, so ist die Schildkröte schon 10m weiter, ist Achilles weitere 10 mgelaufen, so ist auch die Schildkröte schon 1m weiter.Kann Achilles sie also jemals erreichen?Berechnen Sie die Länge der Strecke, nach der Achilles die Schildkröteüberholt, mit Hilfe der geometrischen Reihe.

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Beispiele für die Konvergenz der geometrischen Reihe

I 0, 9 = limn→∝

n∑i=1

0, 9 · 0, 1i−1 = 0, 9 · 11− 0, 1

=0, 90, 9

= 1

I

Achilles überholt die Schildkrötenach einer Streckenlängevon lim

n→∝sn in Metern mit:

limn→∝

sn

= limn→∝

n∑i=1

100 · 0, 1i−1

= 100 · 11− 0, 1

=1000

9= 111, 1

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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel

Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung(nach DANCKWERTS /VOGEL)

Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% einesMedikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Diewirksame Anfangsdosis sei d0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100gdes Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufeder Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt!

I Indizes: 4-stündige PeriodenI d1 = 3

4 · 125 + 100 = q · d0 + cI rekursive Bildungsvorschrift: dn+1 = 3

4 dn + 100 = q · dn + c(di : Masse des Medikaments in Gramm)

I Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für dn.

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Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d0 = 125, q = 34 , c = 100:

d1 = q · d0 + c

d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c

= q2 · d0 + c · (q1 + 1)

dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)

limn→∝

sndn = qn · d0 + c · 11− q

(für 0 < q < 1)

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d1 = q · d0 + c

d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c

= q2 · d0 + c · (q1 + 1)

dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)

limn→∝

sndn = qn · d0 + c · 11− q

(für 0 < q < 1)

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d1 = q · d0 + c

d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c

= q2 · d0 + c · (q1 + 1)

dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)

limn→∝

sndn = qn · d0 + c · 11− q

(für 0 < q < 1)

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d1 = q · d0 + c

d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c

= q2 · d0 + c · (q1 + 1)

dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)

limn→∝

sndn = qn · d0 + c · 11− q

(für 0 < q < 1)

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d1 = q · d0 + c

d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c

= q2 · d0 + c · (q1 + 1)

dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)

limn→∝

sndn = qn · d0 + c · 11− q

(für 0 < q < 1)

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d1 = q · d0 + c

d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c

= q2 · d0 + c · (q1 + 1)

dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)

limn→∝

sndn = qn · d0 + c · 11− q

(für 0 < q < 1)

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limn→∝

dn = 1001−0.75 = 400

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limn→∝

dn = 1001−0.75 = 400

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