Die Berechnung von Bauwerken auf Erdbebensicherheit nach ...kup-koeln.de/wordpress/wp-content/uploads/2012/07/ERDBSEM3.pdf · 5.1.2.2 Örtliche Duktilität (Balken) 58 5.1.2.3 Besondere

Erdbebensicherheit von Bauwerken nach DIN 4149 / Ausgabe 1981 und dem Entwurf 2002 von DIN 4149

Seminarunterlagen Köln, im Februar 2003

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Dipl. – Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel. 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik KÖLN Fax. 0221/366090 Seite 2


Inhalt

ERDBEBENSICHERHEIT VON BAUWERKEN NACH DIN 4149 / AUSGABE 1981 UND DEM ENTWURF 2002 VON DIN 4149 1

1 EINFÜHRUNG 6

1.1 Allgemeines zur Gefährdung durch Erdbeben 6

1.2 Die Sicherheitsphilosophie der Erdbebenvorschriften 7

1.3 Das Berechnungsmodell der Erdbebennorm 7

1.4 Erdbebennachweis nach DIN 4149 (alt) 9

1.5 Vergleich zwischen den verschiedenen Erdbebenskalen 10

1.6 Honorarrechtliche Bewertung 11

1.7 Die konstruktiven Forderungen nach DIN 4149 alt und neu 12 1.7.1 Allgemeines zu konstruktiven Forderungen 12 1.7.2 Maßnahmen zur Herstellung eines günstigen Schwingungsverhaltens 12

1.7.2.1 Regelmäßigkeit im Grundriß 12 1.7.2.2 Regelmäßigkeit im Aufriß 13

1.7.3 Allgemeine Entwurfshinweise 14

2 KONSTRUKTIVE ÜBERLEGUNGEN FÜR GESCHOßBAUTEN 16

2.1 Anforderungen an Geschoßbauten 16

2.2 Konstruktion der aussteifenden Bauteile 16 2.2.1 Rahmenstabilisierte Hochbauten 16 2.2.2 Seismische Fugen 17

2.3 Schwingungen von Geschoßbauten 17 2.3.1 Schwingungen des massebelegten Stabes 17 2.3.2 Gebäude mit der zusätzlichen Neigung zu Drehschwingungen 18 2.3.3 Gebäude mit wesentlichen Unterschieden in den Ausmitten der Massenschwerpunkte 18 2.3.4 Gebäude mit geschoßweise unterschiedlichem Aussteifungssystem 19

2.3.4.1 Gebäude mit versetzter Aussteifung 19 2.3.4.2 Gebäude mit versetzter Aussteifung und nicht in einer Achse liegenden Stockwerksmassen 19 2.3.4.3 Praktische Vereinfachungen für übliche Hochbauten 19 2.3.4.4 Gebäude mit aufgelöstem Erdgeschoß 19

3 DIE RECHNERISCHE SEITE DER ERDBEBENNACHWEISE 20

3.1 Die Berechnungsverfahren nach DIN 4149 20 3.1.1 Allgemeines zur Erregung 20 3.1.2 Die grundsätzlichen Methoden der Berechnung 20 3.1.3 Das Antwortspektrenverfahren nach den Normen 21 3.1.4 Horizontalbeschleunigung 22 3.1.5 Dämpfungsfaktor 25 3.1.6 Baugrundfaktor 26 3.1.7 Wichtigkeits- und Risikofaktor 28 3.1.8 Konstruktionsfaktor 29

3.1.8.1 Stahlbetonbauten 29


3.1.8.2 Stahlbauten 29 3.1.8.3 Mauerwerksbauten 29

3.1.9 Dynamischer Faktor 30 3.1.10 Masse des betrachteten Gebäudeteils 31 3.1.11 Das Antwortspektrum 31

3.2 Vergleich der Erdbebenvorschriften 33

3.3 Das allgemeine Verfahren zur Ermittlung der Erdbebenlasten 35 3.3.1 Theoretische Zusammenhänge 35 3.3.2 Über die Beteiligung von Eigenformen 37

3.4 Der Nachweis der Standsicherheit 38

3.5 Die Behandlung nichttragender Bauteile 39

3.6 Hinweise zum Umgang mit diesen Ansätzen 40 3.6.1 Berechnung mit Hilfe von Dynamik Programmen 40 3.6.2 Berechnung mittels üblicher Statikprogramme und mathematischer Hilfsmittel 40 3.6.3 Der Nachweis mit FEM - Erdbebennachweisen 42

3.7 Das allgemeine Verfahren nach der alten Norm 42

3.8 Das Näherungsverfahren der alten Norm 43 3.8.1 Grenzen der Näherung 43

3.9 Verallgemeinerungen des Näherungsverfahrens im Sinne des Entwurfes der neuen Norm 43 3.9.1 Weitere Näherungen und Vereinfachungen 45 3.9.2 Ansätze zum Überschlag der Eigenfrequenz 45

3.10 Die Berechnung der Verdrehung 46 3.10.1 Die Überlagerung beider Richtungen 48

3.11 Näherungen bei den Systemannahmen 48 3.11.1 Gebäude mit weichem Untergeschoß 48

3.12 Sonstige hilfreiche Ansätze 50

4 ERDBEBENGEFÄHRDUNGEN VON HALLENBAUTEN 51

5 KONSTRUKTIVE REGELN FÜR SPEZIELLE BAUWEISEN 53

5.1 Stahlbetonbauten 53 5.1.1 Anforderungen an konstruktive Details 55

5.1.1.1 Verankerungen und Stöße 55 5.1.1.2 Stöße von Bewehrungsstäben 56

5.1.2 Anforderungen an Balken 57 5.1.2.1 Ermittlung und Nachweis des Bemessungswertes der Tragfähigkeit 57 5.1.2.2 Örtliche Duktilität (Balken) 58 5.1.2.3 Besondere Regeln für Balken, die vertikale, nach unten abgefangene Bauteile tragen 59

5.1.3 Anforderungen an Stützen 60 5.1.3.1 Bemessungsschnittgrößen 60 5.1.3.2 Ermittlung und Nachweis des Bemessungswertes der Tragfähigkeit 60 5.1.3.3 Örtliche Duktilität der Stützen 60

5.1.4 Anforderungen an Wände 62 5.1.4.1 Bemessungsschnittgrößen 63 5.1.4.2 Koppelbauteile 65 5.1.4.3 Örtliche Duktilität (Wände) 66 5.1.4.4 Besondere Maßnahmen gegen seitliche Instabilität 68


5.2 Konstruktionsregeln für Stahlbauten 70 5.2.1 Stahlbauten in Duktilitätsklasse 1 70 5.2.2 Anforderungen an Stahlbauten der Duktilitätsklassen 2 und 3 70

5.2.2.1 Werkstoffe 70 5.2.2.2 Kapazitätsbemessung 71 5.2.2.3 Verhaltensbeiwert q 71 5.2.2.4 Überwachung bei Planung und Herstellung 72

5.2.3 Auslegungskriterien für Stahlbauten der Duktilitätsklasse 2 und 3 75 5.2.3.1 Rahmenkonstruktionen 76 5.2.3.2 Verbände mit zentrisch angeordneten Diagonalen 77 5.2.3.3 Rahmenkonstruktionen mit exzentrisch angeschlossenen Verbandstäben 78 5.2.3.4 Eingespannte (Kragarm-) Konstruktionen 79

5.3 Mauerwerksbauten im Erdbebengebiet 80 5.3.1 Rechnerische Nachweise für Mauerwerksbauten 80

5.3.1.1 Tragwerksmodell 80 5.3.1.2 Nachweis des Grenzzustandes der Tragfähigkeit 80

5.4 Besondere Regeln für Gründungen und Stützbauwerke 81 5.4.1 Gründungen von Hochbauten 81

5.4.1.1 Tragfähigkeitsnachweise 81 5.4.1.2 Konstruktive Anforderungen und Empfehlungen 81

5.4.2 Stützbauwerke 82 5.4.2.1 Erd- und Wasserdruck 82 5.4.2.2 Tragfähigkeitsnachweis 82

6 LITERATUR 83


1 Einführung

1.1 Allgemeines zur Gefährdung durch Erdbeben Geologische Prozesse führen immer wieder zu Bewegungen an der Erdoberfläche, die größere oder kleinere Zerstörungen an Gebäuden und Bauwerken hervorrufen. Derartige Vorgänge haben in frühe-ren Erdzeitaltern stattgefunden und zur Bildung von Gebirgen und Tälern geführt. Sie sind an ver-

schiedenen Orten der Erdoberfläche unter-schiedlich häufig. Ver-schiebungen und damit Erdbeben treten beson-ders an den Rändern der Großen Schollen der Erdkruste auf. Solche bedeutenden Klüfte und Verwerfungen haben z.B. im Sommer 1999 in der Türkei und Grie-chenland zu nennens-werten Erdbeben ge-führt.

Bild 1: Modell der Entstehung von Erdbeben Die Gefährdung in Deutschland ist wesentlich geringer. Im Gebiet der Bundesrepublik befinden sich nur schwach seismisch gefährdete Bereiche. Diese sind: die Schwäbische Alb der Hohenzollerngraben die Niederrheinische Bucht die Gegend von Schmölln in Ost-Thüringen In der von der Geschichtsschreibung mit exakten Daten nachvollziehbaren Geschichte gab es in die-sen Gebieten verschiedene Erdbeben, deren bedeutendstes wahrscheinlich das von 1356 in Basel war. Dieses Beben hätte, würde es heute aufgetreten sein, zu erheblichen Sachschäden im Schweizer und Süddeutschen Raum geführt. Hochrechnungen [4] führten zu Schadensummen von 16 Milliarden bis 60 Milliarden sFr. allein auf dem Gebiet der Schweiz. Die gültige deutsche Norm, DIN 4149 (Ausg. 81) versucht, eine zurückhaltende Bemessung für ein Erdbeben zu regeln, mit dem etwa alle 500 Jahre (gleichbedeutend mit: „die mit einer Wahrscheinlich-keit von 90% in 50 Jahren nicht erreicht werden“) in deutschen Erdbebengebieten gerechnet werden muß, d.h. die in der wahrscheinlichen Standzeit der Bauwerke nicht auftreten. Ähnliche Ansätze wird auch die neue DIN 4149 enthalten. Dabei wird die Erdbebenkarte leicht geän-dert, um neueren geologischen Erkenntnissen Rechnung zu tragen. Im Zusammenhang mit der geringen Auftretenswahrscheinlichkeit des der Erdbebennorm zugrunde liegenden Erdbebens muß das Argument, Erdbebenschäden seien nie aufgetreten, so daß der zu-sätzliche Nachweis gelegentlich umgangen werden könne, als abseitig zurückgewiesen werden. Nach Untersuchungen der Münchner Rückversicherung sind bei den geologisch möglichen Erdbeben in Deutschland die folgenden versicherungstechnischen Schäden zu befürchten:


Magnitude

Herdtiefe in km

Möglicher Schaden

in Mrd. EURO

Raum Köln 6,0 10 12,5

6,4 10 47

6,7 15 90

Raum Frankfurt/Main 5,5 5 17

6,0 10 18

1.2 Die Sicherheitsphilosophie der Erdbebenvorschriften Normale Hochbauten sollen durch eine Bemessung nach den Erdbebennormen [1] und [2] nicht etwa schadensfrei ein Erdbeben überstehen, sondern nur soweit erhalten bleiben, daß eine sichere Rettung der Bewohner möglich ist bzw. die Auswirkungen eines katastrophalen Erdbebens in einem verant-wortbaren Rahmen bleiben. Insbesondere müssen flächendeckende Zerstörungen mit Tausenden Toten verhindert werden. Scha-densfreiheit oder weitere Funktionstüchtigkeit ist jedoch durch die Nachweise nicht angestrebt. In die-sem Zusammenhang ist auf die Notwendigkeit anderer, deutlich schärferer Konstruktionsregeln für Bauwerke und Anlagen hinzuweisen, deren Funktionsfähigkeit unbedingt erhalten bleiben muß bzw. deren Beschädigung zu weitreichenden Schäden führen könnte. In diesem Zusammenhang unterscheidet man zwischen dem sog. „Sicherheitsbeben“, das den bau-technischen Nachweisen für normale Hochbauten als Bemessungsbeben zugrundegelegt wurde, dem „Betriebsbeben“, bei dem die Funktionsfähigkeit von Anlagen noch gewährleistet sein soll (was einen gesonderten Nachweis mit geänderten Bemessungsregeln fordert) und dem „Schadensgrenzbeben“, d.h. dem Erdbeben, das das Bauwerk schadensfrei übersteht. Nachweise und konstruktive Hinweise von DIN 4149 beziehen sich ausschließlich auf das Sicher-heitsbeben, so daß bei Beachtung der Norm auch nur ein begrenzter Schutz vor Erdbebengefährdun-gen geschuldet wird. Die Sicherheit eines Gebäudes gegen das Sicherheitsbeben (Bemessungsbe-ben) steht jedoch nicht in direkter Beziehung zur Schädigungsgrenze, d.h. auch die Zusicherung einer Schadensfreiheit bei wahrscheinlicheren Erdbeben (Wiederkehrdauer 50 Jahre) erfordert zusätzlich Untersuchungen und möglicherweise konstruktive Änderungen.

1.3 Das Berechnungsmodell der Erdbebennorm Die Erdbebenvorschriften aller Länder gehen von dem Modell aus, daß ein Bauwerk durch ein Erdbe-ben von seiner Gründung her durch horizontale Schwingungen erregt wird. Die Erregung von Vertikalschwingungen, die selbstverständlich Bestandteil eines realen Erdbebens ist, wird oft vernachlässigt. Dies ist möglich, da unsere Bauwerke mit hinreichenden Sicherheiten für die Aufnahme von Vertikallasten nachgewiesen werden. Eine Erhöhung dieser Lasten um wenige Prozent ist damit im Katastrophenfall unbedenklich. In Starkbebengebieten gilt dies natürlich nur sehr eingeschränkt. In der neuen DIN 4149 sind auch Angaben zur Vertikalschwingung enthalten. Anders ist das mit den Horizontalkräften. Zwar müssen Erdbebenbeanspruchungen nicht mit Wind-kräften überlagert werden, ihre Größe erreicht und übersteigt jedoch sehr leicht die der Windkräfte, so


daß die Horizontalbeanspruchung aus Erdbeben entscheidend für die Bemessung der aussteifenden Bauteile wird.

Bild 2: Typischer Beschleunigungs-Zeitverlauf (Erdbeben 1999 in Türkei) Da jedoch damit nicht das künftige, sondern nur ein vergangenes Beben beschrieben ist, kann die Auswertung dieser Erregung nicht vereinheitlicht werden. In den gültigen Normen wird dazu ein soge-nanntes „Antwortspektrum“ angegeben. Mit diesem Antwortspektrum wird die Größe der Schwin-gungsantwort beschrieben, die ein Norm–Erdbeben an einem Bauwerk mit einer bestimmten Eigen-frequenz (daher die Abhängigkeit von der Eigenschwingdauer T1) hervorruft. Dieses Antwortspektrum erlaubt es, die Beanspruchung eines Bauwerkes durch Erdbeben aus den Eigen-Schwingungsformen zu berechnen. Damit ist die Art der Erregung eingearbeitet. Die Dauer des zu erwartenden Bebens ist auf diesem Wege nicht explizit zu berücksichtigen. Da jedoch bei der Beanspruchung von Bauwerken die Nutzung plastischer Tragreserven üblich ist, wird durch diesen Ansatz, der in den Normen geregelt ist, die ertragbare Erdbebendauer indirekt begrenzt. Der Ablauf einer Erdbebenberechnung wird im folgenden behandelt, wobei die absehbaren Auswir-kungen des neuen Normentwurfes DIN 4149 (E2002) eingearbeitet sind.


1.4 Erdbebennachweis nach DIN 4149 (alt) Übersicht über die vorgeschriebenen Nachweise

Bild 3: Übersicht über die Nachweise

Bauwerksklasse? Nach Abschnitt 4

> 2 b Allg

Wohn- oder Bürogebäude?

Geschoßzahl < Grenzwert nach Tab 1

Schubmittelpunkte der Aussteifungs- konstruktionen liegen übereinander?

Massenschwerpunkte liegen annähernd übereinander?

Kein Nachweis

Genaue dynami-sche Berechnung

Nachweis nach allge -meinem Verfahren Abschn. 8.1

Vereinfachter Nachweis Abschn. 8.2

Tragsystem und Gründung regelmäßig?

Quaderförmiger Baukörper

Massen gleichmäßig in der Höhe verteilt

Durchgehende Aussteifungselemente?

Grundschwingdauer T<1sec

nein

ja

nein

nein

nein

nein

nein

nein

Torsions-Näherungsberechnung nach Abschn.8.3

2 oder 3


1.5 Vergleich zwischen den verschiedenen Erdbebenskalen Magnitude, Intensität, Energiefreisetzung und Bodenbeschleunigung Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die annähernden Entsprechungen der Intensität nach der Mercalli-Sieberg-Skala, der Magnitude nach Richter, der freigesetzten Energie in Joule und der er-reichten Bodenbeschleunigung. Die Angaben zur durchschnittlichen Bodenbeschleunigung beziehen sich auf festen Untergrund, können jedoch je nach Art der Störungsquelle schwanken. Die Einheit g entspricht der Erdbeschleunigung (980 cm/s²).

Wirkungen Intensi-

tät (M-S)

Magnitude(Richter)

Energie in J DIN 4149

Boden- beschleuni-

gung (Nähe-

rungswerte)

nur mit Instrumenten nachweisbar I etwa 2,0 109 - vereinzelt spürbar (obere Geschosse von Hoch-häusern) II etwa 2,5 1010

A -

vor allem von ruhenden Personen deutlich ge-spürt, Vibrationen ähnlich den Erschütterungen durch Fahrzeuge

III etwa 3,0 1011

A -

in Häusern allgemein spürbar, Gegenstände schwanken, Fenster klirren IV 3,5 - 4,0 1012

A

0,015 - 0,02 g

Schlafende erwachen, Türen schlagen, Fenster zerspringen V 4,0 - 4,5 1013

A 0,03 - 0,04 g

starkes Beben, leichte Gebäudeschäden, Putz-risse, schwere Möbelstücke bewegen sich VI 4,5 - 5,0 1014

0 0,06 - 0,07 g

Menschen flüchten ins Freie, mäßige Gebäu-deschäden, Kamine stürzen ein VII etwa 5,5 1015

1 - 2 0,10 - 0,15 g

zerstörend, große Spalten im Mauerwerk, Gie-belteile stürzen ein, Bäume schwanken VIII 6,0 - 6,5 1016

3 - 4 0,25 - 0,30 g

verwüstend, Panik, Wand- und Dacheinstürze, Erdrutsche, Bodenrisse IX 6,5 - 7,0 1017

0,50 - 0,55 g

Backsteinbauten werden zerstört, Bodenspalten bis zu einem Meter, Dämme und Deiche wer-den beschädigt, Schienen verbogen

X etwa 7,5 1018 mehr als

0,60 g

nur wenige Gebäude stehen noch, umfangrei-che Veränderungen des Erdbodens mit Rut-schungen und breiten Bodenspalten

XI 7,5 - 8,0 1019

>

völlige Zerstörung von Gebäuden, Veränderung der Bodentopographie, Bebenwellen sind auf der Bodenoberfläche sichtbar

XII etwa 8,5 1020

>>


1.6 Honorarrechtliche Bewertung Untersuchungen auf Erdbebensicherheit sind stets besondere Leistungen. Der Ausschuß für die Honorarordnung hat in Nr. 3 seiner Schriftenreihe 1992 folgende Bewertung vorgeschlagen: Diese besondere Leistung erstreckt sich über die Leistungsphasen 2 bis 5. Der Übersichtlichkeit hal-ber sind die Bewertungen für die Phasen 2 bis 4 (zusammengefaßt) und für die Phase 5 hier gemein-sam aufgeführt. Bei Bauwerksklasse 1: Leistungsphase 2 – 4 3 – 5 %

Leistungsphase 5 2 – 4 % ------------

gesamt 5 – 9 %

======= Bei Bauwerksklasse 2 oder 3:

vereinfachter Nachweis: Leistungsphase 2 – 4 6 – 9 % Leistungsphase 5 2 – 4 %

------------

gesamt 8 – 13 % =======

genauer Nachweis: Leistungsphase 2 – 4 10 – 15 % Leistungsphase 5 2 – 4 %

--------------

gesamt 12 – 19 % ========

Die Prozentsätze verstehen sich als Anteile vom Grundhonorar nach § 65 HOAI. Es ist jedoch darauf aufmerksam zu machen, daß diese Honorare stets vertraglich vereinbart werden müssen, da sie keine Grundleistungen im Sinne der HOAI un d damit nachträglich kaum durchsetzbar sind.


1.7 Die konstruktiven Forderungen nach DIN 4149 alt und neu

1.7.1 Allgemeines zu konstruktiven Forderungen Im üblichen Bauen ist es nicht das Ziel der Erdbebennorm, jegliche Schäden an den Gebäuden im Falle eines Bemessungserdbebens zu verhindern. Dies wäre mit zu großen wirtschaftlichen Nachtei-len für die betreffenden Regionen verbunden, die in keinem Verhältnis zu den Sanierungskosten ste-hen. Mit einem Erdbeben in der Stärke des Bemessungsbebens ist nur aller 50 bis 500 Jahre zu rech-nen. Die Bemessung besonders sicherheitsrelevanter Bauwerke wird darum ausdrücklich von dem Geltungsbereich der Norm ausgeschlossen. Normzweck ist vielmehr der Schutz von Leben und Gesundheit der Bewohner und Benutzer der Bau-werke – d.h. der originäre Zweck des Bauordnungsrechtes. Insofern ist auch eine begrenzte bauauf-sichtliche Einführung dieser Norm nicht vorstellbar, die die Einhaltung dieser Forderungen in das Be-lieben des Bauherrn stellen will. So ist die Vorschrift auch in Nordrhein-Westfalen auf der Liste der eingeführten Technischen Baubestimmungen zu finden. Die konstruktiven Forderungen der DIN dienen verschiedenen Zielen und sind je nach dem angestreb-ten Zweck nur mit verschiedenen Sondermaßnahmen außer Kraft zu setzen. Wir unterscheiden: Die erste Gruppe der Forderungen zur Herstellung eines günstigen Schwingungsverhaltens im elasti-schen Bereich. Die zweite Gruppe der Maßnahmen, die der sicheren Kraftübertragung zwischen einzelnen Bauteilen dient. Die dritte Gruppe, die eine genügende Zähigkeit der Konstruktion gegenüber plastischen Formände-rungen sichern soll. Obgleich die durch die DIN 4149 geforderten konstruktiven Maßnahmen dem Grundsatz nach für je-des Bauwerk sinnvoll sind, gelingt es nicht in jedem Falle, sie entsprechend einzuhalten. Trotzdem muß, auch im Hinblick auf die Bezahlbarkeit des Bauens, der Einhaltung dieser konstruktiven Rege-lungen deutlich der Vorrang vor der komplizierteren Berechnung gegeben werden. Im Gelbdruck der neuen DIN 4149 ist die Regelung konstruktiver Details eng mit den Ansätzen der Berechnung verbunden. Es ist hier um so wichtiger, am Anfang der Planung die konstruktiven Wei-chen zu stellen, da nur durch die Einhaltung konstruktiver Grundsätze ein wirtschaftlich sinnvolles Bauwerk im Erdbebengebiet errichtet werden kann. Die konstruktiven Forderungen gliedern sich in allgemeine Forderungen, mit denen ein günstiges Schwingungsverhalten erzeugt werden kann und spezielle Forderungen, die baustoff- und bauartbe-zogen die erforderliche Duktilität herstellen.

1.7.2 Maßnahmen zur Herstellung eines günstigen Schwingungsverhaltens Grundbedingung für ein günstiges Schwingungsverhalten ist die Regelmäßigkeit des Bauwerkes. Das Bauwerk sollte sowohl im Grundriß als auch im Aufriß regelmäßig sein. In Abhängigkeit von dieser Regelmäßigkeit wird sich auch der Aufwand der Berechnung darstellen.

1.7.2.1 Regelmäßigkeit im Grundriß Nach DIN E 4149 werden 4 Kriterien für die Regelmä-ßigkeit im Grundriß angegeben: (1) Grundriß und Massenverteilung sind bezogen auf 2 zueinander senkrechte Achsen symmetrisch. Diese Bedingung ist ohne Zweifel für das ideale Tragwerk von entscheidender Bedeutung. Ist sie nicht gegeben, so kann das Bauwerk gleichwohl noch nachweisfähig sein, wenn nur die Steifigkeitsschwer-


punkte (Schubmittelpunkte des Aussteifungssystems) und die Massenschwerpunkte aller Geschosse jeweils auf einer vertikalen Geraden liegen.

(2) Die Grundrißform muß kompakt sein. Damit sind gegliederte Grundrißformen ausgeschlossen. Schlanke Rechtecke sollten ebenfalls vermieden werden. Als Grenze für die Gedrungenheit eines Rechteckes gilt ein Verhältnis von 1 : 4. Diese Bedingung ist durch die Anordnung von seismischen Fugen herzustellen. Die möglichen Grenzen dieser Bedingung werden dadurch beschrieben, daß die Decken eines jeden Geschosses als starre Scheiben gegenüber den Wänden und Kernen wir-

ken müssen.

> 2

> 2 b Allg

b

>

b

b

Bauwerksformen, die man vermeiden sollte

(3) Alle Stützen und Wände eines Ge-schosses müssen durch steife und tragfähige Deckenkonstruktionen in horizontaler Rich-tung gekoppelt sein. Diese Kopplung sollte als unendlich steif ge-genüber den aussteifenden Bauteilen anzu-sehen sein. Ist dies nicht der Fall, so müssen bei der Modellbildung auch Deckenverfor-mungen mit berücksichtigt werden. (4) Die vertikalen Tragglieder, die das Bauwerk aussteifen, müssen symmetrisch verteilt sein und damit keine Torsionsschwin-gungen hervorrufen. Bei der Erfüllung dieser Aufgabe kommt es nicht vornehmlich auf die geometrische Sym-metrie der aussteifenden Bauteile an. Es muß der Schubmittelpunkt der Aussteifung mit dem Gebäudeschwerpunkt zusammenfallen. Auf die Erfüllung dieses Kriteriums kann verzichtet werden, wenn die Drehsteifigkeit des Gebäu-des sehr groß ist, d.h. wenn

f- Fugenbreite

L< 4b

( )20

22 5 cir +≥ ist. b

(Bedeutung dieser Gleichung siehe Kapitel 3).

1.7.2.2 Regelmäßigkeit im Aufriß


Als Kriterium der Regelmäßigkeit im Aufriß gibt DIN E 4149 folgende Punkte an: (1) Alle aussteifenden Bauteile verlaufen ohne Unterbrechung von der Grünung bis zur obersten

Decke. Damit sind hier alle wirksamen Bauteile gemeint. Die bei Berechnungen der Bauwerksaussteifung üb-liche Methode, nur die durchlaufenden Bauteile als vorhanden zu betrachten, ist beim Nachweis des

Erdbebenverhaltens nicht hilfreich, da auch nur in einzel-nen Geschossen vorhandene Bauwerksteile das Schwingungsverhalten beeinflussen können. Besonderer Wert ist hier auch auf die Anschlüsse von Ausbaukonstruktionen zu legen, die das Schwingungs-verhalten nicht beeinflussen sollten. (2) Sowohl die Horizontalsteifigkeit, als auch die Masse der einzelnen Geschosse bleiben konstant oder verringern sich allmählich und gleichmäßig nach oben. (3) Bei Skelettbauten darf das Verhältnis der tat-sächlich vorhandenen Tragfähigkeit für Horizontallasten zur rechnerisch erforderlichen Tragfähigkeit nicht stark schwanken. Dieses Kriterium steht mit der planmäßigen Ausnutzung

plastischer Reserven in Verbindung.

1.7.3 Allgemeine Entwurfshinweise

• Tragende Wände müssen überein-ander angeordnet werden. Versetzte Aussteifungen wir-ken nicht oder sie wirken erst nach erheblichen elasti-schen Formände-rungen, die zu ei-nem veränderten Schwingungsverhalten führen können. Versetzte Aussteifungen neigen ge-rade bei Mauerwerksbauten zu Rißbildungen.

• Mauerwerkswände sind zur Lastabtragung zu verwenden, d.h. Mauerwerk ist nicht als last-freie Ausfachung einzusetzen. Mauerwerk ohne Längsdruckkraft ist weder selbst standsicher, noch geeignet, nennenswerte Schubkräfte aufzunehmen.

• Jedes Gebäude muß mit hinrei-chend vielen, von der Grün-dung bis zur obersten Decke durchgehenden Wänden oder Kernen ausgesteift sein.


• Aussteifungssysteme sind so auszu-bilden, daß das Gebäude keine Ver-drehung der Aussteifung hervorrufen kann. Dazu gehört, sowohl daß der Schubmittelpunkt der Aussteifung in der Nähe des Gebäudeschwerpunk-tes angeordnet wird, als auch eine erhebliche Torsionssteifigkeit der Gebäudeaussteifung.

• Abfangungen (z.B. auf Tiefgaragen) erfordern sehr steife Konstruktionen, bei denen nicht nur die Standsicher-heit, sondern auch das Verfor-mungsverhalten betrachtet werden muß. So ist die Unsitte, Unterzüge einfach breiter auszubilden, weil die Höhe nicht zur Verfügung steht, sicher nicht geeignet, strukturell erdbebengeeignete Bauwerke entstehen zu lassen. Es sind im Gegensatz erfor-derliche Abfangungen mit hohen Wandscheiben zu konstruieren. Die erforderlichen Abände-rungen im Entwurf zahlen sich für den Bauherrn regelmäßig bei den Baukosten aus.

• Besonderes Augenmerk ist Detailkonstruktionen zu schenken. So erweisen sich knappe Auf-lager- und kurze Verankerungslängen im Falle eines Erdbebens als besonders gefährdet. Das Versagen von Auflagern und Endverankerungen kann katastrophale Auswirkungen ha-ben und ist bei den Erdbeben in der jüngeren Geschichte nicht selten für Einstürze verant-wortlich gewesen.

• Details, deren Bruchverhalten im Falle von Überlastung eher spröde ist, sind mit deutlich grö-ßerer Sicherheit auszubilden, als das bei eher duktilen (zähen) Bauteilen erforderlich ist. Dies ist zwar in unseren Normen so vorgesehen, es ist jedoch im allgemeinen hinreichend, die Si-cherheit eines jeden Nachweises nach den dort ermittelten Bean-spruchungen zu wählen, ohne die Belastbarkeit der umgebenden Bauteile zu beachten. Im Falle ei-nes Erdbebens ist da jedoch ein Zusammenhang zu entdecken. So ist bei erdbebengefährdeten Bau-teilen aus Stahlbeton jeder Beweh-rungsstahl für die maximal von diesem Stahl zu tragende Kraft zu verankern, gleichgültig, ob der Stahl bei der Normbemessung vollständig erforderlich war.


2 Konstruktive Überlegungen für Geschoßbauten

2.1 Anforderungen an Geschoßbauten Die Behandlung von Geschoßbauten ist in DIN 4149 ausführlich geregelt. Demnach darf bei einfachen Wohn- oder Bürogebäuden auf einen Nachweis verzichtet werden, wenn konstruktive Anforderungen erfüllt sind. Diese Regelung soll sicherstellen, daß einfache, gut ausge-steifte Gebäude auch weiterhin ohne rechnerischen Nachweis der Erdbebensicherheit errichtet wer-den können. Für Bauwerke mit höherem Sicherheitsrisiko (Bauwerksklasse 2 und 3) ist es nicht zuläs-sig, auf einen rechnerischen Nachweis zu verzichten.

Tabelle 1: Zulässige Anzahl der Geschosse nach DIN 4149 alt

Die Nachweisgrenze ist in der neuen Norm in ähnlicher Form geregelt. So gelten die Bedingungen der Erdbebensicherheit als erfüllt, wenn die oben genannten Regelmäßigkeitskriterien eingehalten sind und die Anzahl der Vollgeschosse über dem Gelände die in folgender Tabelle genannten Werte nicht überschreitet. Die maximale Geschoßhöhe darf 3.0m nicht übersteigen.

Erdbebenzone Bedeutungskategorie Maximale Anzahl der Vollge-schosse

1 II bis IV 4 2 III bis IV 3 3 III bis IV 2

Bei Mauerwerksbauten wird zum Entfallen des Nachweises noch folgendes gefordert:

• Das Seitenverhältnis des Grundrisses beträgt höchstens 1 : 4 • Das Gebäude ist in beiden Richtungen gut auszusteifen. Es wäre vorzuschlagen, dies dann

als gegeben anzusehen, wenn die Labilitätszahlen in beiden Richtungen und der Verdrehung kleiner als 0,2 sind.

• Die aussteifenden Wände müssen den wesentlichen Anteil der Vertikallasten tragen.

2.2 Konstruktion der aussteifenden Bauteile

2.2.1 Rahmenstabilisierte Hochbauten In der Literatur über erdbebengerechte Baukonstruktionen werden sowohl rahmen- als auch schei-benstabilisierte Gebäude empfohlen. In Gebieten mit starker Seismizität (Griechenland, Türkei usw.) sind rahmenstabilisierte Stahlbeton-Geschoßbauten üblich. Diese wurden in den Erdbebenvorschrif-ten dieser Länder ausdrücklich empfohlen. Bei der Auswertung der Schäden der letzten Beben wur-den ganz andere Feststellungen getroffen. So wird z.B. in [7] festgestellt, daß ingenieurmäßig erdbe-bensicher konstruierte Bauwerke zum Teil stärker geschädigt worden seien als solche, die ohne be-


sondere Vorkehrungen ausgeführt worden sind. Dies ist häufig auf die Probleme der Rahmenbauwei-se zurückzuführen. Vorteile von Rahmenstabilisierungen sind:

• Rahmenstabilisierungen sind relativ biegeweich und führen damit zu größeren Eigenschwin-gungsdauern und geringeren Erdbebenkräften als Scheibenstabilisierungen.

• Rahmen eignen sich zur Planung von plastischen Zonen, d.h. mit Rahmenbauwerken lassen

sich Kapazitätsbemessungen ausführen.

• Mit Rahmenstabilisierungen lassen sich regelmäßige Aussteifungssysteme mit den Anforde-rungen an den Entwurf besser vereinbaren.

2.2.2 Seismische Fugen Seismische Fugen sind Fugen, die Gebäudeteile voneinander trennen, wenn diese unterschiedlich schwingen sollen. Solche Fugen brauchen nicht in die Gründung geführt zu werden. Auch eine Ver-bindung der Gebäudeabschnitte in Höhe der Kellerdecke ist gelegentlich sinnvoll. Die Fugenbreite ist in DIN 4149 mit dem 1,5-fachen der Summe der jeweiligen elastischen Auslen-kungen des Berechnungserdbebens, mindestens jedoch 2,0 cm vorgeschrieben. Diese Fugenbreiten verstehen sich als die wirklichen Fugenbeweglichkeiten. Bei hochduktilen Bauwerkskonstruktionen sind die so errechneten Fugenbreiten zu knapp bemessen. So sind in der neuen DIN 4149 die Fugen-breiten mit 1γ⋅⋅= es dqd in Abhängigkeit von der Bemessungsduktilität deutlich größer zu wählen. Fugenfüllmaterialien wie Styropor sind für seismische Fugen ungeeignet, da auch weiche Styropor-platten erst bei Drücken um 0,2 N/mm² zusammengedrückt werden, was wegen der teilweise großen Fugenflächen zur Übertragung gewaltiger Kräfte über die Fugen führt. Werden seismischen Fugen im Inneren von Bauwerken angeordnet, so sind die Kosten für die erfor-derlichen Übergangskonstruktionen zu berücksichtigen. Diese Bauteile können wegen der erforderli-chen Verschiebungsfähigkeit in allen Richtungen erheblichen Aufwand verursachen und sollten bei der Festlegung des Entwurfskonzeptes bedacht werden. Zu schmale seismische Fugen können im Erdbebenfall schon bei relativ geringen Beben zum Zu-sammenprall der Gebäude führen. Dies führt im allgemeinen zu größeren Schäden als das Erdbeben selbst. Auch die Fugen zwischen den Grenzbebauungen im innerstädtischen Bereich sind als seismische Fugen zu betrachten und auszubilden.

2.3 Schwingungen von Geschoßbauten

2.3.1 Schwingungen des massebelegten Stabes Dieser Gebäudetyp ist für Hochhäuser mit mittiger Aussteifung typisch. So gebildete Bauwerke kön-nen mit den Formeln in DIN 4149 bearbeitet werden. Ihre Schwingform ist gekennzeichnet durch:

• horizontal bleibende Decken • unterschiedliche Verschiebungen der einzelnen Decken • die erste Eigenform ist die entscheidende Schwingungsform


Stab mit Biegestei-figkeit EI und Wölb-steifigkeit EC sowie Torsions-steifigkeit

Boden- feder C

Geschoß- massen

Diese Gebäude lassen sich häufig mit einer Näherung (z.B. nach Abschnitt 8.2 der alten Norm) be-rechnen. Wenn der Anwendungsbereich dieser Formeln überschritten ist, so enthält die Literatur aus-führliche Angaben zur Berechnung der zugehörigen Schwingungen. Einzelheiten dazu siehe unten.

2.3.2 Gebäude mit der zusätzlichen Neigung zu Drehschwingungen Stehen die aussteifenden Bauteile ausmittig im Grundriß bzw. in einem Abstand zum Massenschwer-punkt, so entstehen gleichzeitig Drehschwingungen, die sich mit den Schiebeschwin-gungen überlagern.

Im Prinzip ist in jedem Bau-werk ein Abstand zwischen dem Aussteifungsmittelpunkt und dem Massenschwer-punkt. Entscheidend ist, in-wiefern Drehschwingungen an den ersten Eigenformen beteiligt sind. Bild: Aussteifung mit großer Ausmitte

Grundrißsituation eines Gebäudes mit starker Neigung zur Drehschwingung

Maßgebend dafür ist

• die Größe des Hebelarmes • die Torsionssteifigkeit bzw. Wölbsteifigkeit

2.3.3 Gebäude mit wesentlichen Unterschieden in den Ausmitten der Massen-schwerpunkte

Gebäude dieser Art sind Bauwerke mit unregelmäßigen Massenaufteilungen. Sie be-sitzen ein regelmäßiges Aussteifungssystem, jedoch unregelmäßige Grundrisse. Gebäude dieser Art können auch bei relativ geringer Erdbebenbeanspruchung große Schnittkräfte ausbilden, die bis zum Versagen einzelner Bauteile führen können. Sol-che Bauwerke sind unter allen Umständen mit einer „genauen“ Berechnung nachzu-weisen. Es ist hier immer ein räumliches Modell erforderlich.

Bild: Unregelmäßige Massenverteilung


2.3.4 Gebäude mit geschoßweise unterschiedlichem Aussteifungssystem

2.3.4.1 Gebäude mit versetzter Aussteifung Dieser Gebäudetyp entsteht, wenn die aussteifenden Bauteile in den einzelnen Geschossen durch Sprünge und Öffnungen beeinträchtigt sind. Dies führt zu sehr unübersichtlichen Ei-genformen und damit zu Beanspruchungen, die nur mit einer aufwendigen Berechnung fest-zustellen sind. Auch hier sind räumliche Modelle unvermeidlich. Das Aussteifungssystem solcher Bauwerke ist unter allen Umständen durch Stabwerks- oder Faltwerksmodelle abzu-bilden. Bild : Versetzte Aussteifung

2.3.4.2 Gebäude mit versetzter Aussteifung und nicht in einer Achse liegenden Stockwerks-massen

Der allgemeine Fall ist ein Gebäude mit unterschiedlichen Massenschwerpunkten und versetzter, geschoßweise unterschiedlicher Aussteifung. Die exakte Erfassung solcher Bauwerke ist nur mit großem Aufwand in räumli-cher Berechnung möglich.

2.3.4.3 Praktische Vereinfachungen für übliche Hochbauten Im üblichen Hochbau können keine besonders aufwendigen Berechnungen aufgestellt werden. Dies ist jedoch insofern kein so großes Problem, da sich bei üblichen Bauwerken häufig stark vereinfachte Systeme angeben lassen. So ist oft ausschließlich das Erdgeschoß anders aufgebaut als die Oberge-schosse. Die Obergeschosse sind nicht selten so steif, daß ihr Beitrag zur Schwingung des Gesamt-gebäudes vernachlässigt werden kann. Auch was die Drehschwingungen betrifft, so können die Wir-kungen nicht selten vernachlässigt werden, da ihre Eigenwerte hinreichend weit von denen der Schie-beschwingung abweichen.

2.3.4.4 Gebäude mit aufgelöstem Erdgeschoß Ein Gebäude mit aufgelöstem Erdgeschoß und sehr steifen Obergeschossen kann nur zu Schiebe-schwingungen der OG in die x- und die y-Richtung erregt werden oder zu Drehschwingungen des stei-fen Gebäudeteiles um die z-Achse. Voraussetzung für dieses Verhalten ist, daß die Biegesteifigkeit der OG um die x- und die y-Achse um ein Vielfaches größer ist als die des Erdgeschosses. Der Körper des OG darf prak-tisch nicht zu verzerren sein, d.h. es darf auch keine wesentliche Schubverformung des Biegestabes der OG möglich sein. Zur Berechnung dieses Gebäudetypes werden unten Hilfsmittel angegeben.


3 Die rechnerische Seite der Erdbebennachweise

3.1 Die Berechnungsverfahren nach DIN 4149

3.1.1 Allgemeines zur Erregung Einzelheiten der Erdbebenentstehung und der Größe der Erregung ist Thema der Ingenieurgeologie bzw. des Erdbebeningenieurwesens. Hier werden nur die der geltenden Vorschrift zugrundeliegenden Überlegungen erläutert. Der theoretische Hintergrund dieser Festlegungen ist nicht Gegenstand die-ser Arbeit. Alle modernen Berechnungsvorschriften verwenden das sogenannte „Antwortspektrenverfahren“, das die maximale Erregungsantwort des Systems Bauwerk durch ein geeignetes Spektrum beschreibt. Dieses Verfahren hat den Vorteil, daß es sich relativ übersichtlich darstellen läßt und daß die Ergeb-nisse der Berechnungen zur Herstellung der erforderlichen Sicherheit geeignet sind. Die von diesem Verfahren nicht erfaßbaren Effekte wie Erschöpfungen der Verformungskapazität von plastischen Be-reichen (sprödbrüchig) oder niederzyklische Ermüdung durch alternierende Plastizierungen in den Fließzonen müssen durch konstruktive Betrachtungen sowie durch geeignete Pauschalannahmen bei der Aufstellung des Normspektrums berücksichtigt werden. Die Erregerfunktion, das ist das reale Erdbeben, ist zufällig und muß mit einer entsprechenden An-nahme eingeführt werden. Die Erregung durch das angenommene Erdbeben führt zu einer Erregungsantwort. Diese ist abhängig von:

- der Form der Erregung (d.h. der Beschleunigungs – Zeit – Funktion) - der Frequenz der Erregung - der Größe der Erregung - der Eigenfrequenz des Bauwerkes - der Dämpfung des Bauwerkes - der Dauer des Erdbebens - der Energiedissipation durch plastische Verformungen

3.1.2 Die grundsätzlichen Methoden der Berechnung Die Erregung durch das Erdbeben führt zu Schwingungen der Bauwerke. Zur rechnerischen Erfas-sung der Schwingungen stehen verschiedene Methoden zur Verfügung. Es ist möglich, die Verschie-bung der Gebäudestruktur in kleineren Zeitschritten zu verfolgen. Bei diesem Verfahren (dem Zeit-schrittverfahren) können relativ genaue Modelle für das Werkstoffverhalten angenommen werden. Ei-ne solche Berechnung wäre jedoch für Normen zu aufwendig, da Berechnungen im Zeitschrittverfah-ren nur mit leistungsfähigen Programmen und sehr detaillierten Eingaben möglich sind. Im Alltag der Planung müssen diese Verfahren den Spezialbauten vorbehalten bleiben. Die Berechnung nach den Normen wird nach dem Verfahren der modalen Analyse durchgeführt. Die-ses Verfahren ist relativ einfach zu verstehen und führt zu relativ einfachen Lösungen. Die Grundlagen und Grundgleichungen dieses Verfahrens sind in Anlage I zusammengestellt. Genaueres ist jedem Lehrbuch der Dynamik zu entnehmen (z. B. [5], [8]). Das Verfahren der modalen Analyse ist nur für elastische Strukturen definiert. Die Abweichungen der Materialkenngrößen von der erwarteten Elastizität müssen damit mit Hilfe von Beiwerten in die Be-rechnung eingeführt werden. Diese Beiwerte sind den jeweiligen Normen zu entnehmen.


3.1.3 Das Antwortspektrenverfahren nach den Normen Nachrechnungen der Auswirkungen vergangener Erdbebenerregungen auf elastische Strukturen füh-ren zur Bestimmung eines Vervielfachers (analog des bekannten Vervielfachers für harmonische Er-regungen in Anlage I Gl. [13]). Einzelheiten der Ermittlung dieses „Antwortspektrums“ siehe [4] und die dort angegebene Literatur. In Deutschland gilt DIN 4149 Ausgabe 1981 und gleichzeitig liegt ein Gelbdruck von DIN 4149-1 vor, der in den nächsten Jahren als Norm eingeführt werden soll. Dieser Gelbdruck beruht auf EC 8, der zugehörigen europäischen Norm. Die Anwendung des Antwortspektrenverfahrens führt zu einer einfachen Gleichung für die sogenannte statische Ersatzkraft. Diese Gleichung lautet grundsätzlich: ( )iMi MafF ,,,,,,, 0654321 αααααα= wobei die einzelnen Größen bedeuten: 1α seismischer Faktor (Zonenfaktor) 2α dynamischer Faktor 3α Baugrundfaktor

4α Dämpfungsfaktor 5α Konstruktionsfaktor (Duktilitätsfaktor)

6α Risiko- oder Wichtigkeitsfaktor

Horizontalbeschleunigung 0a M Masse des entsprechenden Gebäudeteiles Die Behandlung der einzelnen Faktoren in der alten Norm (Ausgabe 1981) und der neuen Norm (Ent-wurf 2002) wird im folgenden einander gegenübergestellt, um Kontinuität und Änderung der Erdbe-benbelastung vorzustellen.


3.1.4 Horizontalbeschleunigung Die anzunehmende Horizontalbeschleunigung ist in der Norm festgelegt. Entscheidend für die Einord-nung eines konkreten Standortes ist jedoch der Anhang der Norm, in dem die Zuordnung der Gebiete entsprechend beschrieben wurde. Diese Zuordnung liegt für den Normentwurf noch nicht vor. Während die geltende Norm 4 Erdbebenzonen kennt, beschreibt die neue Norm nur noch 3 Erdbe-benzonen in Deutschland. Sie sind in folgender Weise miteinander vergleichbar:

DIN 4149 / 81 DIN E 4149

Zone 1 20 25,0sma =

Zone 2 20 40,0sma =

Zone 1 20 40,0sma =

Zone 3 20 65,0sma = Zone 2 20 60,0

sma =

Zone 4 20 00,1sma = Zone 3 20 80,0

sma =

Gleichzeitig wurden die Bereiche der Erdbebengefährdung ausgeweitet. Die Karten sind auf den fol-genden Seiten dargestellt.


Erdbebenzonen nach DIN 4149 alt


Erdbebenzonen nach DIN E 4149 Ausg. 2002


3.1.5 Dämpfungsfaktor Die Dämpfung ist in die rechnerischen Antwortspektren eingearbeitet. Sie wird mit 5 % Lehrscher Dämpfung angenommen. Diese Dämpfung ist bei speziellen Bauwerken möglicherweise nicht vor-handen. In den amtlichen Erläuterungen der DIN 4149 wird eine Erhöhung des Antwortspektrums für:

• Schlanke Türme • Schornsteine und Masten • Hallenbauten mit schlanken Stielen sowie • geschweißte Stahlbauten

vorgeschrieben. Nähere Angaben zu dieser Erhöhung werden nicht gemacht. Aus der Ermittlung des Spektrums kann etwa folgender Faktor angenommen werden:

3,0%5

≈

DD ββ

wobei D das Lehrsche Dämpfungsmaß der untersuchten Struktur in % ist. Auch im Entwurf der DIN 4149-1 wurde eine Bauwerksdämpfung von 5 % eingearbeitet. Andere Dämpfungseigenschaften des Gebäudes können gleichwohl eingearbeitet werden, indem der Faktor η mit

7,02

7≥

+≈

Dη (D in %) eingeführt wird.

Es gilt dann: ηββ ⋅= %050 Zu beachten ist jedoch, daß die Dämpfung und ihre Schwankung nur für Bauwerke eine Rolle spielt, die elastisch schwingen (sollen). Das ist im allgemeinen Hochbau nicht der Fall, da die Erdbebenbe-anspruchung im Bauwerk im allgemeinen zu einer Beanspruchung bis weit in den plastischen Bereich hinein führt.


3.1.6 Baugrundfaktor Art und Lagerung des Baugrundes sind außerordentlich wichtig für die Größe der Erdbebenbeanspru-chung. So ist der tiefere Baugrund für die Fortleitung der Erdbebenwellen verantwortlich. Diese Unter-grundverhältnisse bestimmen damit das Frequenzband des Erdbebens ebenso wie die Stärke der Ho-rizontalbeschleunigung. Auf die unmittelbar angreifende Horizontalbeschleunigung hat auch der gründungsnahe Baugrund Einfluß. Die geltende Norm erfaßt ausschließlich die Wirkung des gründungsnahen Baugrundes. Sie wird durch den Faktor k erfaßt. Für Gründung auf Felsen gilt k = 1,0, d.h. die Schwingung des Grundge-steins kommt unmittelbar am Bauwerk an. Weiche Festgesteine (weicher Sandstein, Schieferton, Mergel u.ä.) wie geklüfteter Fels wird mit k = 1,1 ... 1,2 berücksichtigt. Lockergesteine werden mit k = 1,2 ... 1,4 berücksichtigt. Lockere Ablagerungen, Auffüllungen und weiche bindige Böden führen zu höheren Beiwerten. Grund-sätzlich sollten diese Werte von einem Baugrundsachverständigen festgelegt werden. In der neuen Norm werden sowohl der tiefe Baugrund als auch der gründungsnahe Baugrund berück-sichtigt. Bei der Berücksichtigung des tieferen Baugrundes kann auf die vorliegenden geologischen Karten zu-rückgegriffen werden. DIN E 4149 veröffentlicht eine für diesen Zweck zusammengefaßte Karte des tieferen Baugrundes (siehe Bild nächste Seite ). Die Untergrundsituation wird da durch die Untergrundklassen A – C beschrieben. Untergrundklasse A ist Fels und felsartiger Baugrund ab etwa 20 m Tiefe; Untergrundklasse B beschreibt Übergangsberei-che zwischen A und C, während C tiefe Becken mit Sedimentauffüllungen bedeutet. In Abhängigkeit von diesen Klassen sind die Frequenzbereiche des Erdbebenspektrums verschoben. Auch die Be-schleunigung hängt von diesen Klassen ab. So ist die Bodenbeschaffenheit durch die unten angege-ben Tabelle beschrieben. Der gründungsnahe Baugrund ist durch die Baugrundklassen 1 – 3 beschrieben. Dabei stehen: Baugrundklasse 1 für feste bis mittelfeste Gesteine Baugrundklasse 2 für Lockergesteine Baugrundklasse 3 für feinkörnige Lockergesteine Ist der Baugrund aus unverfestigten Ablagerungen zusammengesetzt, deren Scherwellengeschwin-digkeit kleiner als 150 m/s ist, so sind gesonderte Untersuchungen erforderlich. Tabelle: Bodeneinfluß nach DIN E 4149-1

Boden Untergrund Baugrund

Spektralwert S BT CT DT

1 1,00 0,05 0,20 2,0 2 1,25 0,05 0,25 2,0 A 3 1,50 0,05 0,30 2,0 2 1,00 0,10 0,30 2,0

B 3 1,25 0,10 0,40 2,0

C 3 0,75 0,10 0,50 2,0 Der Parameter TC ist (auch) von der Dicke des Sedimentes abhängig. Er sollte bei extremen Situatio-nen (Sedimentdicken >> 100 m) vergrößert werden.


Untergrundklassen nach DIN E 4149 (2002)


3.1.7 Wichtigkeits- und Risikofaktor Durch die Einführung unterschiedlicher Wichtigkeiten wird die Wahrscheinlichkeit beeinflußt, daß ein bestimmtes Bauwerk durch ein Erdbeben zerstört wird. Dieser Wichtigkeitsfaktor ist in DIN 4149 durch Bauwerksklassen festgelegt. Die Bauwerksklassen sind dadurch beschrieben, daß Bauwerksklasse 1 normale Wohngebäude und wohnähnliche Gebäude sind, Bauwerksklasse 2 umfaßt Hochhäuser, Gebäude ohne gute Aussteifung und öffentliche Gebäude, während Bauwerksklasse 3 die Bauwerke umfaßt, deren Nutzung nach ei-nem Erdbeben noch sicher sein muß. Die Wichtigkeitsfaktoren ergeben sich dann nach der Tabelle:

Erdbebenzonen Bauwerksklasse

1 2 3 4 1 0,5 0,6 0,7 0,8 2 0,6 0,7 0,8 0,9 3 0,7 0,8 0,9 1,0

Der Entwurf der DIN E 4149 enthält ebenfalls Bedeutungsbeiwerte. Die Tatsache, daß diese größer sind, ist auf eine andere Bewertung der seismischen Gefährdung zurückzuführen. DIN E 4149 gibt folgende Bedeutungsbeiwerte

Bedeutungs- kategorie Bauwerke Bedeutungs-

beiwert I Bauwerke, deren Unversehrtheit von großer allgemeiner Be-

deutung ist (Krankenhäuser, Rettungswachen, Kraftwerke u.ä.) 1,4 II Bauwerke, deren Einsturz unbedingt verhindert werden sollte

(Verwaltungsgebäude, Versammlungsgebäude u.ä.) 1,2 III Wohngebäude u.ä. 1,0

IV untergeordnete Gebäude (Ställe usw.) 0,8


3.1.8 Konstruktionsfaktor Die Konstruktion des Bauwerkes ist, auch wenn diese unter Beachtung der bautechnischen Normen ausgeführt ist, für ein sehr unterschiedliches Verhalten gegenüber einem Erdbeben verantwortlich. So ist die plastische Verformbarkeit für die Aufnahme der Energie aus Erdbeben entscheidend. Dieser Faktor ist in der geltenden Norm DIN 4149 ohne weitere Untersuchung und Unterscheidung mit 1/1,8 angenommen. Dies führt zu einigen Einschränkungen der Normanwendung, die sich als konstruktive Bedingungen in der Norm wiederfinden. So ist die Zugbewehrung über die Forderungen der Stahlbe-tonvorschriften hinaus zu begrenzen, die bezogenen Druckspannungen zu begrenzen und die Druck-zone zu umschnüren, wenn die Bauteile zur Aussteifung des Gebäudes herangezogen werden. Auch für Stahlbauten gibt die Norm Hinweise zur Herstellung der plastischen Verformbarkeit. Diese Hinweise sind jedoch relativ unkonkret und werden in der praktischen Statik nur selten sachge-mäß eingearbeitet. Der Entwurf von DIN E 4149 kennt einen explizit angegebenen Duktilitätsbeiwert, mit dem die Be-rechnung und die Konstruktion aufeinander abgestimmt werden können. Die Bestimmung der Duktilitätsbeiwerte ist von Bauweise und Konstruktion abhängig. Sie sind damit für alle Bauweisen getrennt zu ermitteln.

3.1.8.1 Stahlbetonbauten Stahlbetonbauten sind in drei Duktilitätsklassen einzuteilen. Dabei entspricht Duktilitätsklasse 1 einem Stahlbetonbau ohne besondere Anforderungen, Duktilitätsklasse 2 entspricht im wesentlichen den be-kannten Anforderungen der alten DIN 4149, während in Duktilitätsklasse 3 diejenigen Konstruktionen eingeordnet werden, die durch besondere konstruktive Maßnahmen hochduktil ausgebildet wurden. Die Verhaltensbeiwerte sind damit anzunehmen Duktilitätsklasse 1 q = 1,15 Duktilitätsklasse 2 q = 1,70 Duktilitätsklasse 3 q ≅ 2,00 In der Duktilitätsklasse 3 sind die Verhaltensbeiwerte noch von konstruktiven Bedingungen abhängig. Hinweise dazu vergleiche weiter hinten.

3.1.8.2 Stahlbauten Auch für Stahlbauten gibt es 3 Duktilitätsklassen. Wieder gilt die Duktilitätsklasse 1 für Bauwerke ohne besondere Maßnahmen. Duktilitätsklassen 2 und 3 beschreiben Stahlbauten, die mit dem Ziel höherer und höchster Duktilität konstruiert wurden. Im Stahlbau gilt: Duktilitätsklasse 1 q = 1,5 Duktilitätsklasse 2 q = 1,5 ... 4 Duktilitätsklasse 3 q > 4

3.1.8.3 Holzbauten Bei Holzbauten werden die Duktilitätsklassen analog definiert. Es gilt: Duktilitätsklasse 1 q = 1,5 Duktilitätsklasse 2 q = 2,5 Duktilitätsklasse 3 q = 4,0

3.1.8.4 Mauerwerksbauten Im Mauerwerksbau ist der Verhaltensbeiwert mit folgenden Werten festzulegen:


unbewehrtes Mauerwerk q = 1,5 eingefaßtes Mauerwerk q = 2,0 bewehrtes Mauerwerk q = 2,5 Wenn nicht in die Berechnung einbezogene Reserven im Tragwerk vorhanden sind, gibt der Entwurf der DIN E 4149 wesentlich ermäßigte Beiwerte an: unbewehrtes Mauerwerk q = 2,3 eingefaßtes Mauerwerk q ≥ 2,5 bewehrtes Mauerwerk q ≥ 2,5 Diese Werte sollen jedoch noch durch entsprechende Untersuchungen verifiziert werden.

3.1.9 Dynamischer Faktor Die Ermittlung des dynamischen Faktors ist grundsätzlich nicht geändert worden. Beide Normen ar-beiten mit einer Berechnung, die von der Vorstellung ausgeht, es handle sich um elastische Schwin-gungen. Damit werden die Gleichungen des Antwortspektrenverfahrens aus der Mechanik übernom-men. Die Grundsätze der Modellbildung sind in DIN 4149 alt nicht vollständig beschrieben. Ergänzend wird zur Auslegung die vom Innenministerium des Landes Baden-Württemberg herausgegebene Pla-nungshilfe herangezogen, da allein nach der Norm einige Bauwerke im Erdbebengebiet nicht möglich wären.

Regelmäßigkeit

Grundriß Massen- u.

Schubmittelpunkt übereinander

Aufriß durchgehende

Aussteifung massegleichmäßig

Grundschwingung

T < 1 sec

Modell Berechnung

ja ja ja eben Grundschwingung mit Näherung

ja ja nein eben mehrere Schwingungen

ja nein / eben mehrere Schwingungen

nein ja / räumlich mehrere Schwingungen *

nein nein / räumlich mehrere Schwingungen *

* Diese Gebäudetypen sind in DIN 4149 Ausg. 81 nicht geregelt. Sie sind gleichwohl die Vielzahl der heute geplanten Bauwerke. Der Entwurf der neuen Norm bringt hier einige Vereinfachungen:

Regelmäßigkeit

Grundriß Aufriß Modell Berechnung

ja ja eben Grundschwingung ja nein eben mehrere Schwingungen

nein ja räumlich mehrere Schwingungen nein nein räumlich mehrere Schwingungen


3.1.10 Masse des betrachteten Gebäudeteils Zur Ermittlung der Masse werden die Eigengewichte und entsprechende Anteile der Verkehrslasten herangezogen. Die zu verwendenden Anteile der Verkehrslasten sind in DIN 4149 Ausgabe 81 ange-geben. Die neue Norm kann hier auf DIN 1055-100 zurückgreifen. Als im Erdbebenfall vorhandene Lasten gelten die 2ψ -fachen charakteristischen Lasten. Diese Kombinationsbeiwerte sind noch mit einem Beiwert ϕ zu multiplizieren. Der Beiwert ϕ beträgt: für Lagerräume, Bibliotheken, Fabriken, Warenhäuser und Parkhäuser: 0,1=ϕ für Wohnhäuser, Bürogebäude, Krankenhäuser bei voneinander unabhängiger Nutzung der Geschosse 0,1=ϕ für das oberste Geschoß 5,0=ϕ für die sonstigen Geschosse bei zusammenhängender Nutzung 0,1=ϕ für das oberste Geschoß 7,0=ϕ für die sonstigen Geschosse Im Falle einer räumlichen Berechnung mit Stabwerksansätzen sind auch die Massenträgheitsmomen-te der Geschosse als Massen zu betrachten.

3.1.11 Das Antwortspektrum Die geltende DIN 4149 beschreibt ein Antwortspektrum nach folgendem Bild:

Im Entwurf der neuen DIN 4149 ist das Antwortspektrum durch die folgenden Gleichungen beschrie-ben:


T :BT≤ ( )

−⋅+⋅⋅= 11 0

qTTSTS

Bd

βα

T :CB TT ≤≤ ( )q

STSd0βα ⋅⋅=

T :DC TT ≤≤ ( )TT

qSTS C

d ⋅⋅⋅= 0βα

T :TD ≤ ( ) 20

TTT

qSTS DC

d⋅

⋅⋅⋅=βα

Die Parameter und

sind bei den Baugrundei-genschaften erläutert, die Pa-rameter

CB TTS ,,

5,2

DT

ˆ0 =β der Spek-tralwert für 5 % Dämpfung

gag=α Verhältnis Erdbeben-

beschleunigung zur Fallbe-schleunigung q Verhaltensbeiwert siehe oben

Die Entstehung dieser Antwortspektren soll hier nicht erörtert werden. Das Spektrum entstand aus der Auswertung früherer Erdbeben. Für die Entstehung des Spektrums der alten Norm gibt Müller in [3] diese Kurven an:

In DIN 4149 wurden die Dämpfung mit 5% ange-setzt.


Damit ergab sich die Kurve: Wegen der festliegenden Erregerfrequenz

ΩE ist die Ordinate hier nicht ωΩ

, son-

dern mit

πω 2EE T Ω

⋅=Ω

nur T i

=

Ω constE

π2

Darstellung der vom Erdbeben erregten Antwortschwingungen von Einmassenschwingern mit ver-schiedener Eigenschwingungsdauer. Dieses Antwortspektrum beschreibt also die maximalen Schwin-gungsamplituden der Antwortschwingung eines Einmassenschwingers mit der entsprechenden Eigen-schwingungsdauer in einem Erdbeben. Die Berechnung der real auftretenden Mehrmassenschwinger muß damit auf diese Einmassenschwinger zurückgeführt werden.

3.2 Vergleich der Erdbebenvorschriften Gegenüber der geltenden Norm DIN 4149 Ausg. 81 ist im Gelbdruck 2002 in Anlehnung an den EC 8 folgendes geändert: Das Antwortspektrum hat einen größeren Maximalwert. Das ist auf eine Neuermittlung des Spektrums aus neuen Erdbeben zurückzuführen. Die Duktilität geht explizit ein, d.h. es sind genauere Ergebnisse zu erzielen, indem die unterschiedli-chen Duktilitäten eingearbeitet werden können. Die neuen Bedeutungsbeiwerte sind um 40 ... 60% höher als die vorher geltenden Abminderungsfak-toren, was eine Erhöhung des Sicherheitsniveaus darstellt.


Damit ergeben sich numerische Auswirkungen für die Erdbebenbeanspruchung in der folgenden Grö-ßenordnung: neu alt im Mauerwerksbau Duktilitätsbeiwert 1,5 ... 2,5 1,8 Spektralwert 2,5 1,8 Bedeutungswert 1,0 0,6 Größe der Kraft 00,1...67,1

5,10,15,2

=⋅ 6,0

8,16,08,1

=⋅

67,1...8,

6,067, 21

=

im Stahlbetonbau 1,15 ... 2,5 1,8 2,5 1,8 1,0 0,6 Gesamtgröße

00,1...47,115,1

0,15,=

⋅2 0,6

67,1...45,6,0

47, 21=

Das bedeutet, die Erdbebenkräfte ergeben sich im Normentwurf teilweise fast dreimal so groß wie nach der geltenden Norm. Die Überlagerung in beiden Richtungen ist in der neuen Norm zusätzlich geregelt. Dies führt zu einer weiteren Erhöhung der Beanspruchung um ca. 40%.


3.3 Das allgemeine Verfahren zur Ermittlung der Erdbebenlasten

3.3.1 Theoretische Zusammenhänge Wird ein Einmassenschwinger durch das Erdbeben nach DIN 4149 angeregt, so wird die Verschie-bung nach den Gleichungen [12] und [13] der Anlage I, unter Beachtung des Newtonschen Grundge-setzes

aMFH ⋅== mit u )sin()( tAt ⋅⋅= ω

wird uudt

ud ˆˆ 22

2

⋅−== ω&&

wobei u den Maximalwert von u bedeutet. ˆ )(t In Anlehnung an Gl. [13] des Anhanges I wird damit:

( ) ( ) 2222

1ˆˆˆˆ

ωωβ

ωωTSaTuV

mumV

kHVuVu d

calstatisch =⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=⋅=

&&&&

( )Tβ - Beiwert aus dem Antwortspektrum DIN 4149 cal a - Rechenwert der Horizontalbeschleunigung nach DIN 4149 wobei der Vervielfacher V hier der Vervielfacher ist, der aus der Erdbebenerregung ermittelt wurde, d.h. der Spektralwert β , wie er in Kapitel 4.1.2 beschrieben ist. Damit ergibt sich:

( ) ( ) ( ) WTSmgTSmaTH ddcalE ⋅=⋅⋅=⋅=− β Dies ist Gl. [1] aus DIN 4149 für einen Einmassenschwinger. Das Minuszeichen ist insofern nicht rele-vant, als die Kraft in beide Richtungen wirkt. Für einen Mehrmassenschwinger ergibt sich diese Gleichung für jede Eigenform in generalisierten Koordinaten, wobei die Schwingung wie in Anlage I Abschnitt 2 dargestellt, nach den Eigenformen entwickelt wird. In der Eigenform i ergeben sich damit die Kräfte an den Massen j wegen

jiiji aIü =⋅ˆ = der erregten Beschleunigung der Masse j

zu: ijjijijjiEji ImuImuH ⋅⋅⋅−=⋅⋅= ˆˆ 2ω&&

wobei ein Vektor ist, mit dem die Beteiligung der entsprechenden Verschiebung auf die Richtung der Erdbewegung umgerechnet wird

iI1.

Damit wird die Verschiebung in generalisierten Koordinaten (unter generalisierten Koordinaten ver-steht man die Faktoren, mit denen die jeweilige Eigenform multipliziert werden muß, um die wirklichen Verschiebungen zu ermitteln – vergleiche Anlage I Gleichung [20]):

1. 1 Der Beteiligungsvektor I hat für eine Erdbebenerregung im Winkel α gegen die x- Achse für alle Massen in x – Richtung den Wert cos α und für alle Massen in y – Richtung den Wert sin α. Bei der Berechnung in den „Gebäu-dehauptachsen“ (falls solche existieren), die die Norm vorsieht, ergeben sich die Werte „1“ und „0“. Korrekt wäre eine Untersuchung in allen Winkeln zwischen 0 und π/2 erforderlich. Wegen dieser Menge an Berechnungen werden üblicherweise nur zwei orthogonal zueinander stehende Richtungen untersucht und als unabhängige Er-eignisse miteinander überlagert.


( )TM

ImY

ii

n

jjjij

i βω

ψ⋅

⋅=

∑=

*21

und mit der Umrechnung auf reale Verschiebungen

mit [ ] [ ] [ ]iT

ijji MmM ψψψ ⋅⋅=⋅= ∑ 2*

ijiji Yu ⋅=ψˆ bzw. [ ] [ ] [ ]γψ ⋅=u ergibt sich schließlich die Gleichung [1] von DIN 4149 zu:

( ) ( ) jidi

n

hihih

jijicali

i

n

hhih

jEji TSM

ImgWTa

M

ImmH ψ

ψβψ

ψ⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

∑∑==

*1

*1

Durch die unterschiedlichen Frequenzen treten diese Kräfte zeitlich versetzt auf. Wegen der zufälligen Erregung sind die Überlagerungen nicht mit den Methoden der technischen Schwingungslehre zu be-rechnen. In DIN 4149 ist eine Überlagerungsregel mit

∑=i

EjiEj SS 2

angegeben (S = Schnittkraft). Diese Gleichung wurde aus wahrscheinlichkeitstheoretischen Überle-gungen ermittelt. Die Schnittkräfte sind dabei stets aus allen Erregerkräften der jeweiligen Eigenfrequenz zu ermit-teln, bei denen jede Erregerfrequenz als unabhängiges Ereignis im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie aufge-faßt wurde. Liegen die Eigenfrequen-zen sehr nahe beieinander (DIN E 4149 gibt als Grenze an: T ) so soll die Überlagerung mit dem Ver-fahren der „Vollständigen quadrati-schen Kombination“ erfolgen. Damit ergibt sich :

ji T⋅≤ 9.0

∑∑ ⋅⋅=i j

jjiiEj SSS ,ρ

Auf die gleiche Weise lassen sich auch die Verformungen überlagern. Aus diesen überlagerten Verformun-gen lassen sich mittels der Gleichun-gen, die aus dem Weggrößenverfah-ren bekannt sind, die Schnittkräfte be-rechnen. In nebenstehender Graphik ist die Auswirkung beider Ansätze für verschiedene Frequenzverhältnisse bei konstanter Dämpfung und zwei Ei-genwerten aufgetragen. In DIN 4149 ist das System so be-


schrieben, daß die Verschiebungen der Eigenvektoren stets in Richtung der Bodenbewegung liegen. Dort wurde kein Beteiligungsfaktor eingeführt. Die Erregung ist damit immer in den Hauptachsen2 des Aussteifungssystems angesetzt. Als Bemessungsschnittkräfte sind die nach der o.g. Überlagerungs-gleichung überlagerten Schnittkräfte aus beiden Richtungen anzusetzen. Damit müssen selbstver-ständlich auch die Steifigkeiten stets in den Hauptachsen des Systems angesetzt werden.

3.3.2 Über die Beteiligung von Eigenformen Die einzelnen Eigenformen beteiligen sich unterschiedlich an der Gesamtschwingung des Erdbebens. Diese Beteiligung ist wichtig, da in einer praktischen Berechnung nicht alle Eigenformen verfolgt wer-den können. So sind die Berechnungen auf die wesentlichen Eigenformen zu begrenzen. Der Wichtungsfaktor ergibt sich für die jeweilige Eigenform zu:

ieffii MF /2γ=

(der Summe aller in untersuchte Richtung schwingenden Massen) ∑=

=n

iiieff MM

1

mit [ ] [ ] [ ]

[ ]*MIMT ⋅⋅

=ψγ

wobei der Wichtungsfaktor den Anteil der Masse beschreibt, der in der jeweiligen Eigenform beteiligt ist. Diese beteiligte Masse wird auch „Effektive Modale Masse“ genannt. Die Summe aller Wichtungs-faktoren ist damit für jede Erregungsrichtung gleich 1. Dies läßt sich mit folgendem Zusammenhang zeigen:

mit [ ] [ ] [ ]

[ ]*MIMT ⋅⋅

=ψγ

∑

∑

=

=

⋅

⋅= n

jjij

n

jjij

i

m

m

1

2

1

ψ

ψγ

folgt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IMM TT ⋅⋅=⋅⋅⋅ ψγψψ wegen [ ] [ ] [ ] [ ]*MMT =⋅⋅ ψψ und damit: [ ] [ ] [ ]γψ ⋅=I In Matrizenschreibweise läßt sich , d.h. die Summe aller Massen in eine Richtung, in folgender Form ausdrücken:

ieffM

[ ] [ ] [ ]IMIM Tieff ⋅⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]γγγψγψ ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= *MMM TTT

ieff

1. 2 Hauptachsen eines Aussteifungssystems lassen sich immer dann definieren, wenn das Aussteifungssystem sich zu einem Stab zusammenfassen läßt, dessen Schubverformung zulässigerweise vernachlässigt werden darf.


daraus wird *

1

2i

n

jji M⋅= ∑

=

γ

Da nun wegen der N-2 Normierung alle Werte gleich 1 sind, ergibt sich: *

iM

∑=

=n

jjieffM

1

2γ

Damit lassen sich die Beteiligungen der einzelnen Eigenformen angeben zu

∑=

= n

jj

iiF

1

2

2

γ

γ

Dieser Wert ist zur Einschätzung der Bedeutung der einzelnen Eigenformen sehr wertvoll. Er be-schreibt den Anteil der Masse, der in der jeweiligen Eigenform an der Erdbebenlast beteiligt ist. So können Eigenformen, die weniger als 5 % der Masse beteiligen, bedenkenlos vernachlässigt werden. Gleichzeitig gilt eine Erdbebenberechnung dann als vollständig, wenn mindestens 90 % der Massen an den Auswertungen beteiligt wurden. Diese Forderungen sind nicht stets zu erfüllen, da gerade bei elektronischer Berechnung die Auswahl der Eigenformen vor der Berechnung erfolgen muß. Es ist dann zu wählen: nk 3≥ Anzahl der betrachteten Schwingungsformen =k Anzahl der Geschosse =n und sec20,0≥KT Eigenschwingungsdauer der Schwingungsform k =KT

3.4 Der Nachweis der Standsicherheit Erdbebennachweise sind stets reine Bruchnachweise. So ist nach der geltenden Norm nur nachzu-weisen, daß die Schnittkräfte aus Erdbeben, überlagert mit den Eigengewichten und den verminderten Verkehrslasten, nicht größer als die rechnerischen Bruchschnittgrößen werden. Zum Nachweis der Standsicherheit gehört jedoch immer und zwingend die Einhaltung der konstrukti-ven Bedingungen, die in Kapitel 5 und 9 beschrieben werden. Abweichungen von diesen (recht eng gefaßten) Bedingungen führen zu Bauwerken, die außerhalb der Norm zu behandeln sind. Im Entwurf der neuen Norm ist die Vorgehensweise ähnlich. Es ist zu zeigen, daß die designeten Schnittkräfte aus Erdbeben, Eigenlasten und mitwirkenden Verkehrslasten kleiner oder gleich den Wi-derstandswerten geteilt durch die Materialfaktoren sind:

M

Kdd

RREγ

=≤

Dabei ist aus den charakteristischen Werten von Eigengewicht und mitwirkender Verkehrslast zu

bilden und die Erdbebenlast ist mit dem Bedeutungsbeiwert dE

iγ zu vervielfachen.


Wirkungen aus Theorie II. Ordnung brauchen nicht berücksichtigt zu werden, solange

10,0≤⋅⋅

=ΘhVdP

tot

ttot ist

mit = Gesamte Vertikallast über dem betrachteten Geschoß im Erdbeben totP = Differenz der Mittelwerte der Gebäudeverschiebungen im betrachteten Geschoß td = Geschoßquerkraft inf. Erdbeben totV = Geschoßhöhe h Für können die Wirkungen näherungsweise durch Multiplikation der Erdbebenlast mit

dem Faktor

2,01,0 <Θ<

Θ−11

berücksichtigt werden.

3,0>Θ ist nicht zulässig. Es sind auch hier die konstruktiven Bedingungen nachzuweisen. Dies betrifft besonders das Vorliegen der rechnerisch angenommenen Duktilität.

3.5 Die Behandlung nichttragender Bauteile Nichttragende Bauteile (Brüstungen, technische Anlagenteile u.ä.), die durch Herabstürzen erhebliche Gefahren auslösen können, sind für folgende Erdbebenkräfte zu bemessen: Nach der alten Norm a

aa calmH ⋅⋅= 5,1 nach dem Entwurf der neuen Norm gmSF aaaa ⋅⋅⋅= γ mit Fallbeschleunigung =g Masse des zu befestigenden Bauteils =am

=aS Erdbebenbeiwert für nichttragende Bauteile

−+

+

⋅=

1

11

13

TT

HZ

Sa

a α

=aγ Bedeutungsbeiwert

=α gag

=aT Grundschwingzeit des nichttragenden Bauteils =Z Höhe des nichttragenden Bauteils =H Gesamthöhe des Bauwerkes

T Grundschwingzeit des Bauwerkes=1


3.6 Hinweise zum Umgang mit diesen Ansätzen

3.6.1 Berechnung mit Hilfe von Dynamik Programmen Praktische Berechnungen nach diesem Verfahren sind fast nur mit Hilfe eines geeigneten Rechenpro-gramms durchzuführen. Auf dem Markt sind verschiedene Programme mit Dynamikteilen. Mit diesen Programmen kann man Eigenfrequenzen und Eigenformen beliebiger Systeme ermitteln. Die von ei-nigen Anbietern vorgesehenen Berechnungen von Schwingungsantworten aus bekannten Erreger-funktionen sind für die Berechnungen nach DIN 4149 nicht geeignet, da die Erregungsfunktion des Erdbebens nicht bekannt ist. Solche Programme arbeiten im wesentlichen mit den Ansätzen der Anla-ge I Abschnitt 1.1 und1.2. Mit den Dynamik-Programmen lassen sich die Eigenwerte (Eigenfrequenzen und Eigenschwingungs-dauern) uns die Eigenformen berechnen, die dann einer Berechnung der Erdbebenlasten zugrundegelegt werden können. Da die Eigenformen immer einen Freiwert enthalten (vergleiche Anlage I, Abschnitt 2.1), wird dieser vom Programmhersteller irgendwie sinnvoll eingearbeitet. So werden in vielen Programmen (z.B. MicroFE von mb) die Eigenwerte so normiert, daß sich die generalisierte Masse stets zu 1 tm² ergibt (sogenannte N2 - Normierung). Solche Normierungen vereinfachen weitere Berechnungen und müssen dem Anwender bekannt sein. Bei der Modellbildung sollte nicht angestrebt werden, das Bauwerk mit allen möglichen Massenpunk-ten einzugeben, da sich die real erreichbare Genauigkeit durch vielerlei Näherungen in den Ansätzen ohnehin nicht über ein gewisses Maß steigern läßt. Zu beachten ist, daß die Masse einer jeden Dek-kenebene zutreffend eingegeben wird. Dabei sind zur zutreffenden Beschreibung der Masse die Grö-ßen, die Lagen der Verschiebemassen (in beiden Richtungen) und die Größen der Massenträgheits-momente um die senkrechte z – Achse erforderlich. Zur Eingabe der Massenträgheitsmomente ist es bei einer Modellierung mittels Stabwerken sinnvoll, die Geschoßmassen entsprechend zu teilen und 2 Massen mit der entsprechenden Spreizung einzugeben. Damit kann die Berechnung einer Biege-schwingung in den die Decke bildenden Ersatzstäben vermieden werden. Die Anzahl der zu untersuchenden Eigenwerte muß begrenzt werden. Allgemein sollten mindestens 90% der Bauwerksmasse in der betrachteten Richtung beteiligt werden. Eigenformen, die mehr als 5% der schwingenden Masse beteiligen, d.h. deren Wichtungsfaktor größer als 0,05 ist, dürfen nicht vernachlässigt werden.

iF

Bei der Modellierung mit 3-D-Modellen ist die Auswahl der beteiligten Eigenformen gelegentlich nicht einfach. Es ist nicht bei jeder praktischen Berechnung möglich, die Wichtungsfaktoren nach Abschnitt 4.2.3 und damit die beteiligten Massen (modalen Massen) effik MF ;⋅ zu ermitteln. Ersatzweise sollten

dann alle Schwingungen beteiligt werden, deren Dauer ist, mindestens jedoch sec2,0≥T n⋅3 Ei-genformen, wobei n die Anzahl der Geschosse ist.

3.6.2 Berechnung mittels üblicher Statikprogramme und mathematischer Hilfsmittel Wenn kein Dynamikprogramm zur Verfügung steht, so ist man bei der Bestimmung von Eigenwerten und Eigenformen auf Angaben der Literatur bzw. die üblichen baudynamischen Verfahren wie die Gleichungen im Anhang angewiesen. In der Literatur finden sich für viele regelmäßigen Strukturen alle erforderlichen Werte. Zur Berech-nung regelmäßig aufgebauter Bauwerke für den Lastfall Erdbeben ist häufig nur die erste Eigenfre-quenz und die erste Eigenform erforderlich. Dazu enthält DIN 4149 einen geschlossenen Ansatz, der auf einem Energieansatz beruht. Von größerer Bedeutung sind die unregelmäßigen Tragsysteme, die einer genaueren Berechnung unterzogen werden müssen. Eine Berechnung nach den Gleichungen aus dem Anhang stößt zunächst auf die Schwierigkeit, daß die Gesamtsteifigkeitsmatrix wohl im Rechner gebildet wird (da die meisten Programme auf dem Weggrößenverfahren beruhen), aber nicht zur Ausgabe zur Verfügung steht. Gleichzeitig werden die-se Matrizen für wesentlich mehr geometrische Freiheitsgrade aufgestellt, als Massen vorgesehen werden müssen und so würde ein unangemessener Aufwand verursacht, wenn diese Matrizen ver-wendet werden sollen. Es genügt jedoch, diese Matrix für so viele Verschiebungen (Weggrößen) auf-


zustellen, wie wirksame Massen zu bearbeiten sind. Für die Beteiligung von Massen gilt oben be-schriebenes. Die Eigenfrequenzen errechnen sich (siehe Anhang) aus der Gleichung

[ ] [ ] 0det 2 =− MK ω . Wegen des Zusammenhanges der Steifigkeitsmatrix mit der Nachgiebigkeitsmatrix (die aus dem Kraftgrößenverfahren bekannt ist):

[ ] [ ]K=∆ −1 kann man auch die Nachgiebigkeitsmatrix [ ]∆ berechnen. Die Berechnung der Eigenwerte ω kann damit in der Form

[ ] [ ] [ ] 01det 2 =

⋅∆− ME

ω

im Sinne des Kraftgrößenverfahrens ausgeführt werden. Einfacher erscheint jedoch, mit einem Matri-zenprogramm aus der Nachgiebigkeitsmatrix die Steifigkeitsmatrix zu erzeugen und die Verwendung der Gleichungen der Anlage. Die Nachgiebigkeitsmatrix bestimmt man dadurch, daß in n Lastfällen jeweils Einzellasten von der Größe von „1kN“ an den Stellen der n Massen angebracht werden (beachte die Möglichkeiten des Ausgabeformates – eventuell müssen die Lasten mit einer Potenz von 10 vergrößert werden). Es sind in allen Lastfällen die jeweiligen Verformungen an allen n Massenpunkten zu ermitteln. Aus diesen Verformungen ki,δ d.i. Verschiebung des Punktes i infolge der Einheitslast am Punkt k wird die Nach-

giebigkeitsmatrix gebildet. [ ]

=∆

44434241

34333231

24232221

14131211

δδδδδδδδδδδδδδδδ

In einfachen Fällen lassen sich die Werte ki,δ auch elementar ohne Rechenprogramm anschreiben. Mit diesen Überlegungen lassen sich die erforderlichen Werte mit mathematischen Hilfsmitteln be-rechnen. Bei der Verwendung von mathematischen Standardprogrammen (z.B. „Euler“ oder „Mathcad“) ist zu beachten, daß Eigenwerte von Matrizen definiert sind mit der charakteristischen Gleichung:

[ ] [ ][ ] 0det =− EA λ

Zur Lösung von Gl. [A15] kann angesetzt werden:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] 0det 1 =−⋅ − EMK λ

Die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen sich dann aus denen der Matrix

[ ] [ ][ ]1−⋅ MK deren Eigenvektoren [ ]V genannt seien, zu

[ ] [ ][ ] [ ]ψ=⋅− VM 1 . .

Eine geeignete Normierung der Eigenvektoren kann dann noch vorgenommen werden, da diese Wer-te in jedem Fall linear von einem Freiwert abhängen (vergleiche oben). Andere mathematische Standardprogramme bieten auch die Möglichkeit, die Gleichung der Eigenwer-te direkt zu lösen (sog. verallgemeinertes Eigenwertproblem).


3.6.3 Der Nachweis mit FEM - Erdbebennachweisen Die Berechnung komplexer räumlicher Strukturen geschieht zunehmend mittels FEM-Programmen, deren Ein- und Ausgaben soweit entwickelt sind, daß eine Berechnung von Alltagsgebäuden am FEM-Modell möglich ist. Bei dieser Berechnung entsteht im Rechner eine Gesamtsteifigkeitsmatrix, wie sie im Artikel Gebäudeaussteifung vorgestellt wird. Im Unterschied zu der Matrix dort ist hier je-doch für jeden Knoten (FEM-Knoten) die Matrix für alle 6 Verschiebungen des Raumes vorhanden. Nach einer Eingabe der Massen aus EG und Verkehr ist die mathematische Auswertung der im Ab-schnitt 3.3.3 angegebenen Zusammenhänge möglich. Dies führt zu numerischen Schwierigkeiten, da die Eigenwertsuche bei sehr großen Matrizen mathematisch nicht einfach ist. Ohne auf diese Proble-me einzugehen, sei festgestellt:

• Die verschiedenen Suchverfahren für Eigenwerte und –formen können nur eine begrenzte Anzahl zutreffender Ergebnisse liefern.

• Nur diese begrenzte Anzahl kann dann auch der weiteren Auswertung zugrundegelegt wer-den.

Da die höheren Eigenwerte im allgemeinen auch keine Bedeutung zur Lösung der technischen Auf-gabe haben, kann auf die Beteiligung dieser Werte an der Erdbebenberechnung auch verzichtet wer-den. Es müssen jedoch gemäß Abschnitt 3.3.1 mindestens ( )n⋅3 - Eigenformen beteiligt werden. Eine zusätzliche Schwierigkeit ergibt sich durch die vorgeschriebene ungewollte Ausmitte von

in jeder Richtung, die in Abschnitt 8.3 der Norm eingeführt wird. Diese Ausmitte müßte mit der Masseneingabe realisiert werden, was eine relativ umständliche Eingabe erfordert. Näherungs-weise kann man den Effekt auch durch eine zusätzliche Momentenbeanspruchung von

einführen. Praktisch entsteht dabei das Problem, daß die Horizontalkräfte im Geschoß

aus allen Knotenkräften aufsummiert werden müssen. Dies ist bei größeren Strukturen nicht praktika-bel. Hier wären die Programmanbieter gefragt, da es im Rahmen des Programmes nicht schwerfällt, dergleichen Ausgaben bereitzustellen.

L⋅05,0

⋅ L05,0 ∑Geschoß

H

Trotzdem eignen sich FEM - Programme zur Bestimmung von Erdbebenkräften besonders bei auf-wendigen und komplizierten Strukturen. Ihre Anwendung ist jedoch nicht dazu angetan, die Nachwei-se im Sinne von DIN 4149 vollständig zu erledigen.

3.7 Das allgemeine Verfahren nach der alten Norm DIN 4149 beschreibt ein „allgemeines Verfahren“ zum Nachweis der Erdbebensicherheit, das von sei-ner Herleitung her an verschiedene Bedingungen gebunden ist. Zuerst wird in den Formeln der Vor-schrift die Gebäudeaussteifung in einem Stab zusammengefaßt, was mit einigen oben genannten Be-schränkungen verbunden ist (vergleiche Abschnitt Gebäudeaussteifung). Sodann werden die Schwin-gungen nur in eine Richtung betrachtet, was auf der Voraussetzung beruht, daß diese Richtung eine Hauptachsenrichtung der Aussteifung ist. Die Gleichungen dieses Verfahrens entsprechen den oben dargestellten mit den folgenden Einschränkungen. Es erübrigt sich die Einführung des Beteiligungs-vektors „I“, da sämtliche Massen nur in Richtung des Erdbebens untersucht werden. Auf die Untersu-chung der Wirkung der Kopplung von Biege- und Drehschwingungen auf die Größe der Eigenschwin-gungsdauer wird bei dieser Berechnung verzichtet. Die Auswirkungen der Drehbewegung auf die Ei-genfrequenzen werden dabei vernachlässigt. Damit eignet sich diese Näherung nur in den Fällen, in denen die Biegeschwingungen des Systems dominieren bzw. in denen Torsionsschwingungen von den Biegeschwingungen stark entkoppelt sind. Dies ist bei einem regelmäßigen Aufbau des Gebäu-des der Fall. Das Verfahren ist so vor allem für höhere Bauwerke geeignet. Die Eigenformen in beiden Richtungen sind mit den aus der Baudynamik bekannten Verfahren zu be-stimmen. In der Literatur liegen für zahlreiche Fälle fertige Lösungen vor.3 Bauwerke, für die diese Bedingungen nicht zutreffen, müssen einer genaueren Berechnung unterzo-gen werden. Es ist aber gerade im alltäglichen, kleineren Bauwesen oft nicht möglich, solche Bauwer-ke zu vermeiden.

1. 3 Zum Beispiel: Pitloun: Schwingende Rahmen und Türme Verlag Bauwesen Berlin 1975


Die Abweichungen des Massenschwerpunktes vom Schubmittelpunkt der Aussteifung wird in diesem Verfahren mit einer Näherungsberechnung (Abschnitt 8.3) erfaßt. Diese Berechnung ist von den For-meln so aufgebaut, daß sie nur für Aussteifungssysteme ohne St. Venantsche Torsionssteifigkeit gilt. Näherungsweise kann in vielen Fällen auf eine Einrechnung der vorhandenen Torsionssteifigkeiten verzichtet werden. Dieser Ansatz ist auf der sicheren Seite, da er zu einer Überschätzung der Wölb-normalspannungen führt. Der Entwurf der neuen Norm kennt praktisch diese gleiche Berechnung als Antwortspektrenverfahren unter Berücksichtigung mehrerer Schwingungsformen. Der Übergang zum räumlichen System ist im Grundsatz einfach, da hier mit den gleichen Ansätzen zu arbeiten ist.

3.8 Das Näherungsverfahren der alten Norm

3.8.1 Grenzen der Näherung Eine weitere Vereinfachung bietet der Abschnitt 8.2 der Norm. Dieses Verfahren ist nur dann anzu-wenden, wenn die erste Eigenfrequenz größer als 1 Hz ist. Der Hauptunterschied zum Abschnitt 8.1 ist, daß auf die Ermittlung der Eigenform verzichtet wird. Die Erdbebenkräfte werden so aufgeteilt, als ob die maßgebende Eigenform eine Gerade wäre. Die Er-mittlung der Eigenfrequenz erfolgt hier mit einem Energieansatz. Die in der Norm mitgeteilte Glei-chung ist nicht zwingend anzuwenden. Ihr Geltungsbereich ist an folgende Voraussetzungen gebun-den:

• Gleichmäßiger Gebäudeaufbau in Grundriß und Schnitt • Aussteifungssystem mit Schlankheit, d.h. Modellierbarkeit der Aussteifung als Stab (Bernioulli-

Stab). Diese Bedingungen sind eigentlich nur bei turmartigen Bauwerken in vollem Umfang gegeben. Gelten sie nicht, so kann das Näherungsverfahren durch eine andere Abschätzung der Eigen-schwingdauer variiert und somit trotzdem analog angewandt werden.

Die Gleichungen, die im Abschnitt 8.2 genannt sind, gelten nur für Bauwerke mit gleichmäßiger Aus-steifung, die sich auf einen einfachen Biegestab zurückführen lassen. Die Gleichung für die Schwin-gungsdauer T ist im Anhang I hergeleitet. Die Gleichung für folgt aus dem Ansatz, daß die erste Eigenform eine Gerade ist, die zwischen dem Wert 0 am Fundament und dem Maximalwert am Kopf zwischengeschaltet ist. Um aus den Gleichungen des Abschnittes 8.1 diese Gleichungen zu entwik-keln, muß die Anzahl der Massen sehr groß sein (d.h. die Massen müssen als gleichmäßig verteilt angesehen werden können).

iH

Die Einrechnung einer Fundamentfeder in diesem Formelsatz ist insofern inkonsequent, als eine sol-che Feder den gleichen elastischen Schwerpunkt im Grundriß haben müßte, wie dies der Schubmit-telpunkt der Aussteifung ist. Außerdem müßten die Hauptachsen von Feder und Aussteifung überein-stimmen. Das gilt eigentlich nur für Türme mit radialsymmetrischer Aussteifung. In allen anderen Fäl-len ist dieser Teil der Formeln nicht brauchbar. Es ist, wenn mit einer Bodenfeder gerechnet werden soll, mit einem räumlichen Stabwerk zu rechnen.

3.9 Verallgemeinerungen des Näherungsverfahrens im Sinne des Entwurfes der neuen Norm

Das Näherungsverfahren nach DIN 4149 ist durch die zugeschnittenen Gleichungen wesentlich weni-ger flexibel als das notwendig ist. Die Berechnung mit den Näherungsannahmen ohne den in der Norm gegebenen Ansatz für die Eigenfrequenz ist jedoch auch dann einfach und zweckmäßig mög-lich, wenn die Geschoßmassen unterschiedlich oder die Geschoßhöhen verschieden sind.


Auf die Berechung höherer Eigenformen kann danach immer dann verzichtet werden, wenn T CT41 ≤ gilt. Dieser Weg wird im Entwurf der DIN 4149 beschritten. Es ist damit in all den Fällen möglich, die Erd-bebenkräfte zu ermitteln, in denen das Gebäude regelmäßig aufgebaut ist. Als regelmäßig gilt: Regelmäßigkeit im Grundriß: - Der Grundriß und die Massenverteilung ist bezogen auf (mindestens) zwei senkrecht zueinander

stehende Achsen symmetrisch - Die Grundrißform ist kompakt - Alle Stützen und Wände sind in den Geschoßebenen durch steife Decken verbunden - Das Bauwerk muß über eine gute Torsionsaussteifung verfügen

Regelmäßigkeit im Aufriß: - Alle aussteifenden Bauteile verlaufen gleichmäßig von der Gründung bis zur obersten Decke - Sowohl Horizontalsteifigkeit als auch Massenverteilung sind über die Gebäudehöhen konstant

(oder gleichmäßig nach oben abnehmend) Ist die Regelmäßigkeit im Grundriß nicht gegeben, so müssen zur Berechnung nach dem Näherungs-verfahren mindestens erfüllt sein: - Das Bauwerk hat eine Höhe von max. 10m und ein Höhe zu Länge-Verhältnis von höchstens 0,4

oder - die Steifigkeit der Decken in ihrer Ebene ist im Vergleich mit der Horizontalsteifigkeit der vertika-

len Tragwerksteile genügend groß, daß sie als starr angenommen werden können. Es ist dann mit einem Näherungsverfahren die Eigenschwingdauer zu ermitteln. Dazu können die Gleichungen des Abschnittes 4.9.1 verwendet werden. Damit läßt sich die Horizontalkraft zu ( ) ( )TSWaTMF dgescalgesges ⋅=⋅⋅= 1β ermitteln, wobei M die Gesamtmasse des Bauwerkes unter Beachtung der mitwirkenden Ver-kehrslastanteile ist. Diese Kraft ist dann auf die einzelnen Geschoßebenen nach dem Ansatz

ges

∑

⋅≅

jjj

iigesi Mh

MhFF

aufzuteilen. Dabei sind: - Kraft je Geschoßebene iF - Höhe des jeweiligen Geschosses über der Gründung ih - Gesamte Erdbebenersatzkraft gesF - Massen in den Geschoßebenen iM Wenn die Schwingungseigenform bekannt ist, kann genauer gerechnet werden:

∑

=

jjj

iigesi Mu

MuFF

- Ordinate der Schwingungseigenform iu Als erste Eigenform kann mit guter Näherung die Biegelinie des eingespannten Stabes unter den Ho-rizontalkräften W verwendet werden. ii Mg=


3.9.1 Weitere Näherungen und Vereinfachungen In der Literatur finden sich für viele Systeme Berechnungsformeln zur Ermittlung der Eigenfrequenz. So läßt sich die erste Eigenfrequenz jedes statischen Systems ohne die oben erläuterten „dynami-schen“ Ansätze ermitteln, indem die oben erläuterten Energiebetrachtungen angestellt werden. Da die Annahmen und Voraussetzungen der Erdbebenberechnung nur begrenzte Genauigkeit besitzen, ist eine Näherungslösung für viele Zwecke hinreichend. Näherungen und Vereinfachungen sind immer nur im Zusammenhang mit den konkreten Bedingun-gen des Gebäudes zu finden. Auch die Vereinfachungen der Normansätze sind nicht ohne Rücksicht auf die zugrunde liegenden Annahmen der Norm anwendbar. So können hier nur Hinweise gegeben werden, welche Möglichkeiten untersucht werden können, wenn in praktischen Fällen ein Nachweis sich nicht nach den in der Norm angegebenen vereinfachten Gleichungen führen läßt. In DIN 4149 Abschnitt 8.2 sind ausdrücklich andere Näherungsansätze zugelassen. Im neuen Entwurf sind einige Näherungsansätze gegeben und weitere ohne Einschränkung gestattet.

3.9.2 Ansätze zum Überschlag der Eigenfrequenz Allgemein gilt für einen Einmassenschwinger (vergleiche die Anlage)

Mkf ⋅==

ππω

21

2

Daraus wird mit

( )k

gMMgngDurchbieguu ⋅=⋅=

uf 5

≈ u in cm; f in Hz

bzw. uT 2= u in m Für Bauwerke können auch folgende Ansätze verwendet werden:

Aussteifung durch Scheiben und Kerne: H

lCf s⋅≈ 131 in Hz

Aussteifung durch Rahmen: n

Cf s12

1 ≈ in Hz

Grobe Näherung: π10

1 ≈f

Mit n – Anzahl der Geschosse l – Gebäudeabmessung in Schwingungsrichtung in m H – Gebäudehöhe C – Baugrundbeiwert (für steife Böden 0.9 bis 1.1, für mittlere Böden 0,7 bis 0,9) Bei der Berechnung nach der alten Norm wird sich mit diesen Formeln eine Eigenfrequenz deutlich über 1 Hz ergeben, bei der auf die Berücksichtigung höherer Eigenformen verzichtet werden darf. Damit erübrigt sich die Berechnung höherer Eigenformen. Da der Beiwert β in einem großen Bereich nicht von 1 abweicht, kann mit dem so ermittelten Näherungswert auch die gesamte Berechnung aus-geführt werden. Über die Bestimmung der Eigenwerte mit dem Energieverfahren sind in Anlage I die erforderlichen Ansätze zusammengestellt. Im Entwurf der neuen Norm finden sich die folgenden Näherungen für Hochbauten: 4

3

11 HCT ⋅≈


für biegebeanspruchte Stahlrahmen 085,01 =C für biegebeanspruchte Stahlbetonrahmen 075,01 =C für alle anderen Bauwerke 050,01 =C

Scheibenstabilisierte Bauwerke können gesetzt werden mit

cA

C 0075,01 =

∑

+⋅=

2

2,0HlAA wi

ic mit

=cA Querschnittsfläche der tra-genden Wände im ersten Geschoß

=iA Schubfläche der tragenden Wand i im ersten Geschoß in m²

=wil Länge der tragenden Wand im ersten Geschoß in der zur unter-suchten parallelen Richtung. Es gilt l hwi 9,0≤

3.10 Die Berechnung der Verdrehung Wird beim Erdbebennachweis mit ebenen Modellen gearbeitet, so ist die Verdrehung des Bauwerkes durch eine gesonderte Berechnung zu erfassen. Dazu wurden Näherungsverfahren entwickelt, die die Normen bereitstellen. Diese Näherungen sind selbstverständlich nur zulässig, wenn entsprechende Regelmäßigkeit in Grund- und Aufriß vorliegt. Die geltende Vorschrift DIN 4149 kennt nur ein Näherungsverfahren, während der Gelbdruck der neu-en Vorschrift auch eine einfache Näherung für vollkommen symmetrische Bauwerke bereithält. Es ist bei beiden Normen anzunehmen, daß die wirklichen Massenschwerpunkte um 1/20 der zugehö-rigen Gebäudeabmessungen von den theoretischen Schwerpunkten abweichen. Mit dieser Näherung ist die grundsätzliche Zulässigkeit der Annahme des Flächenschwerpunktes für den Massenschwer-punkt gegeben. Nach DIN E 4149 gilt für ein symmetrisches Bauwerk damit: Infolge von unbeabsichtigten Torsionswirkungen aus der nicht planmäßigen Ausmitte erhöhen sich die Erdbebenkräfte in den einzelnen aussteifenden Bauteilen um den Faktor

elx6,01+=δ

mit Abstand des aussteifenden Bauteils vom Mittelpunkt =x(d.h. vom theoretischen Massenschwerpunkt und vom Schubmittelpunkt) Abstand zwischen den beiden äußersten Horizontallasten abtragenden Bauteilen =el Für nichtsymmetrische Bauwerke, die sich jedoch mit ebenen Berechnungen erfassen lassen, kennen die alte und die neue Norm ein Näherungsverfahren zur Bestimmung der anzusetzenden Ausmitte der Erdbebenkraft: Nach DIN 4149 alt:


(ungewollte Ausmitte) le 05,02 =

( ) ( )blbeble +⋅≤⋅+⋅= 1,0101,0 0

1

Bei guter Aussteifung gegenüber Torsion kann gesetzt werden (es ist jeweils der kleinere der beiden Werte zu verwenden): 1e

[ ]220

220

2220

21 4

21 rcreircie

eo

+−++−−⋅=

Trägheitsradius des Grundrisses =iAI p

für Rechteckgrundrisse 12

22 bli +=

=r elastischer Radius der Aussteifung (für Stahlbetonbauteile)

[ ]22 176,01 hICI

r twy

⋅⋅+⋅=

mit ∑∑∑ ++= wikki

iiw CrIrI 22C

und =I ∑ tit I Damit sind dann die anzusetzenden Ausmitten festzustellen zu 210max eeee ++=

20min eee −= Mit dem Entwurf der neuen DIN wird dieses Verfahren in folgen-der Weise geändert: Die Bezeichnungen und werden ausgetauscht, es gilt nun-mehr:

1e 2e

210max eeee ++= 105,0min eee −= Dabei darf die zusätzliche Exzentrizität bei sehr steifen Bauwerken, für die gilt ( )222 5 oeir +⋅> vernachlässigt werden. Bei sehr drehweichen Gebäuden ( )2

022 ei +<r ist eine räumliche Berechnung wirtschaftlich vorzu-

ziehen. Mithilfe einer 3 D - Berechnung lassen sich die Verdrehungen unmittelbar erfassen. Die geltende Vor-schrift enthält keinerlei Aussagen zu dieser Berechnung, da diese nicht durch die Norm erfaßt wird. In der neuen Norm wird zur Einarbeitung der zufälligen Ausmitte der Geschoßmasse auch eine nach-trägliche Einrechnung gestattet, indem ein Zusatzmoment


iii FeM ⋅±= 11

zu dem am 3 D - System ermittelten Moment zu addieren ist. Wird das nicht getan, so sind die Geschoßmassen jeweils um den Betrag 1e versetzt angeordnet einzusetzen.

3.10.1 Die Überlagerung beider Richtungen Da die Richtung der Erdbebenwellen ungekannt ist, muß immer mit einer Überlagerung beider Rich-tungen gerechnet werden. Diesen Hinweis enthält DIN E 4149. Die alte Norm sagt dazu nichts, sollte jedoch nicht anders verstanden werden. Die Überlagerung kann mit dem bekannten Ansatz

∑= 2uuges

erfolgen, solange die Eigenfrequenzen hinreichend auseinander liegen. DIN E 4149 gestattet auch den Ansatz

xy

yx

uuu

uuu

3,0

3,0

2max

1max

+=

+=

wobei stets die ungünstigsten Vorzeichen miteinander zu überlagern sind.

3.11 Näherungen bei den Systemannahmen

3.11.1 Gebäude mit weichem Untergeschoß Die Annahmen der Normgleichung gehen von einem elastischen Kragarm aus. Häufig sind Bauwerke jedoch vernehmlich im Erdgeschoß weich und in den Obergeschossen steifer. Für derartige Bauwerke lassen sich einfachere Gleichungen angeben. Bei Bauwerken dieser Art ist zwischen Bauwerken mit möglicher Schiefstellung (Bauwerke mit krag-armähnlicher Aussteifung) und solchen ohne Schiefstellung zu unterscheiden. kragarmähnliche Struktur Struktur mit Teileinspannung des OG Bei kragarmähnlicher Struktur bleiben die Decken ebenfalls horizontal. So gehen nur die Steinerschen Anteile in das Massenträgheitsmoment um die x – Achse ein.


Es gelte: M Gesamtmasse C Fundamentfeder E Abstand der Masse zum Schubmittelpunkt

des Aussteifungssystems EI Biegesteifigkeit der aussteifenden Bauteile

in Richtung der untersuchten Hauptachse H Höhe des Schwerpunktes der Masse

xΘ Massenträgheitsmoment für Schwingung um die x-Achse

zΘ Massenträgheitsmoment für Schwingung um die senkrechte Achse (z-Achse)

M= =ΣM Θ= Σz²M

M1 M2 M3

Unter Vernachlässigung der Drehschwingung um die z – Achse werden die Verschieblichkeitswerte wie beim Kraftgrößenverfahren ermittelt. Ohne Verdrehungsbehinderung des OG ergeben sich die folgenden Werte:

CH

EIH 23

11 3+=δ H = Höhe des Massenschwerpunktes

EI = Steifigkeit der Aussteifung im EG

CH

EIH

+==2

2

2112 δδ

CEIH 1

22 +=δ

Damit lassen sich die Eigenkreisfrequenzen errechnen zu:

Θ+Θ

−Θ

+Θ+

= MMMM 2

122211

222

22112211

22,1 2442

1 δδδδδδδ

ωm

Die zugehörigen Eigenformen ergeben sich zu:

21

21

ϕϕuu

=

Θ

−

Θ

−

12

1122

12

1121

11

11

δ

δω

δ

δω

MM

Andere Stützungen und Steifigkeiten lassen sich einfach bei der Berechnung der ikδ - Werte einfügen. Dabei können auch die Verdrehungsbehinderungen in den Massivbrüstungen und den steifen Schei-ben entsprechend Berücksichtigung finden, d.h. es kann ein kontinuierlicher Übergang zu Gebäuden ohne Schiefstellung hergestellt werden. Mit den so ermittelten Werten lassen sich die Eigenfrequenz und die Eigenschwingungsdauer errech-nen. Die Ergebnisse können in den Formeln des genaueren Verfahrens und der Näherungsverfahren verwendet werden. Die Berechnung der Drehschwingung im Sinne von Abschnitt. 8.3 ist dann immer zusätzlich auszuführen.


Sinnvoll ist dieser Ansatz sobald mehr als zwei Decken mit steifen Wänden verbunden auf einem wei-chen Untergeschoß ruhen. Wenn auch die Drehschwingung in dieser Berechnung berücksichtigt werden soll, so entsteht – da die Drehschwingung im allgemeinen zu einer Kopplung beider Biegeschwingungen führt – ein Glei-chungssystem mit 5 Unbekannten. Der Übergang zur Matrizenschreibweise empfiehlt sich.

3.12 Sonstige hilfreiche Ansätze Die Berechnung der Eigenschwingungsdauer wird zur Ermittlung von β bzw. benötigt. Da aber dieser Wert im Bereich kleiner Schwingungsdauern konstant ist bzw. nicht wesentlich von dem oberen Plateauwert abweicht, kann in den Fällen auf die Ermittlung dieser Werte verzichtet werden, in denen das Gebäude sehr gut ausgesteift wurde und die Gebäudegeometrie nicht ungewöhnlich ist. So wird die Berechnung der Schwingungsdauer nur bei rahmenstabilisierten Gebäuden, Hochhäusern und knapp stabilisierten Bauwerken erforderlich werden.

( )TSd

Nicht selten sind Bauwerke in einer Richtung stark ausgesteift durch (z.B. durch Giebelwände, die oh-ne Öffnungen durchlaufen). In diesen Fällen ist es möglich, die Richtung der Giebelwände als vorge-gebene Hauptachse zu betrachten, auch wenn die aussteifenden Bauteile in der anderen Richtung (deren Steifigkeit dann klein gegenüber der der Giebel sein muß) nicht genau senkrecht zur steifen Achse der Giebel wirkt. Da sich in diesen Fällen auch der Wölbwiderstand der Aussteifung recht groß

ergibt, bleiben die Erdbe-benkräfte meist weit unter den (sowieso nachgewie-senen) Windkräften, so daß auf den Nachweis des Erdbebens in der stei-fen Richtung dann ebenso verzichtet werden darf,

wie auf die Berechnung der Torsionswirkung. In solchen Fällen kann der Nachweis also auf die Schiebeschwingung in Richtung der schwachen Achse beschränkt werden.

Aussteifungsbeispiel für eine Erdbebenberechnung ohne Berücksichtigung der Verdre-hung.

Zur Berechnung der Bodenfeder sind Dynamische Kippbettungsmoduli erforderlich. Diese Werte sind größer als die zugehörigen statischen Bettungszahlen, da sich in den statischen Bettungszahlen viele Effekte der Langzeitsetzung des Bodens verbergen. Näherungsweise kann man bei nichtbindigen Bö-den mit dem 3-fachen Wert des statischen Bettungsmoduls rechnen. Bei bindigen Böden, deren Set-zung zu großem Teil auf Entwässerung beruht, ist mit dem 5 – 8-fachen Wert zu rechnen.


4 Erdbebengefährdungen von Hallenbauten Hallen können aus Stahlbeton, Holz oder Stahl sein. Kennzeichnend für alle Hallen ist, daß auf Stüt-zen ein relativ leichtes Dach ruht, das nicht zum Tragen wesentlicher Lasten herangezogen wird. Die Stützen einer solchen Konstruktion sind im allgemeinen relativ weich. Damit ergeben sich zur erd-bebengerechten Ausbildung von Hallenbauwerken folgende Anforderungen: Hallen mit Aussteifung durch Rahmen oder eingespannten Stützen sind im allgemeinen als Ein-

massenschwinger zu betrachten. Es ergeben sich relativ geringe Eigenfrequenzen, d.h. durchaus Eigenschwingdauern über 1 sec. Trotzdem erübrigt sich bei solchen Hallen die Berechnung höhe-rer Eigenwerte, da wegen der Konzentration der Bauwerksmasse am Dach kaum eine Beteiligung höherer Eigenformen entstehen kann.

Eigenschwingdauern von elastisch gelagerten Kragarmen

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

1.210.80.60.40.20.1

EI/Ch² in 1/s²

Eige

nsch

win

gdau

er

Bild: Eigenfrequenzen von Hallen Es bedeuten: E – Elastizitätsmodul des Materials der Stütze I – Trägheitsmoment der Stütze bei Biegung in Richtung der Schwingung; bei Stahlbetonquerschnitten ist das Trägheitsmoment auf 75%

abzumindern h – Höhe der Hallenkonstruktion von Fundamentsohle bis Binderachse C : Im Falle von eingespannten Stützen und aufgelegten Bindern: C = C ×∑ (Summe über alle beteiligten Stützen) Fk I

ffF BLI ×= 3

121

(Fundamentträgheit)


F

sk

AdynE

C25,0

= (siehe Anhang)

C : Für Zwei- oder symmetrische Dreigelenkrahmen

C = B

EI6 Riegel

M - Masse von Dach, Bindern und der oberen Hälfte der Stützen einschl. der

zugehörigen Wandbereiche sowie 50% der Schneelast Wirksame Torsionsschwingungen können ausgeschlossen werden, da jeder Rahmen für sich al-

lein betrachtet werden kann, d.h. es ist kein Nachweis nach Abschnitt 8.3 erforderlich. Problematisch bleibt die Forderung nach „zug- und druckfester Verbindung“ der Fundamente,

wenn die Stützen als eingespannte Kragstützen zu betrachten waren. Kragstützen sind immer in der Höhe der Gründungssohle zu koppeln, da jede Kopplung über diesem Niveau zu Momenten führt, die Verschiebungen an den Stützenköpfen hervorrufen könnten, deren Auswirkungen zum schlagartigen Herabfallen des Daches führen können. Eine Kopplung in der Ebene der Bodenplat-te ist nur bei Konstruktionen möglich, in denen diese Momente nicht zu Schäden führen können.

Verbindungen von Einzelbauteilen können nicht nach den für Hallen typischen, geringeren Erdbe-

benkräften bemessen werden. Als Horizontalkraft ist dort stets 05.1 amH E ⋅⋅= bzw.

gmSF ada ⋅⋅⋅= γ anzunehmen. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, daß Ausbauelemente (Wandbekleidungen, Dachschei-ben u.ä.) beim Auftreten eines Erdbebens mitwirken und die Verringerung der Schnittkräfte durch die Nachgiebigkeit des Systems nicht eintritt.

Kippsicherheiten von Bindern unter Beachtung der Erdbebenkräfte können mit der aussteifenden

Wirkung von Dachscheiben nachgewiesen werden, so daß der Nachweis der Horizontalbiegung der Binder durch Erdbebenkräfte im Normalfall entfällt.

Hallenartige Bauwerke werden oft zu Lagerzwecken oder als Stallbauten verwendet, bei denen

auf einen Nachweis der Erdbebensicherheit in Schwachbebengebieten verzichtet werden kann. Hallenbauwerke sind nach DIN E 4149 Bauwerke mit „umgekehrtem Pendel-System“, deren Ver-

haltensbeiwert nicht größer als 1.5 angesetzt werden darf.


5 Konstruktive Regeln für spezielle Bauweisen

5.1 Stahlbetonbauten Für Stahlbetonbauten gilt grundsätzlich DIN 1045-1.

5.1.1 Stahlbetonbauten nach Duktilitätsklasse 1 Die Duktilitätsklasse 1 bezieht sich auf Bauten, die im Falle eines Erdbebens elastisch bleiben (sol-len). Diese Duktilitätsklasse stellt keine weitergehenden konstruktiven Forderungen. Der Verhaltens-beiwert ist mit q = 1,15 anzunehmen. Diese Duktilitätsklasse ist nur in der Erdbebenzone 1 zulässig.

5.1.2 Stahlbetonbauten nach Duktilitätsklasse 2 Duktilitätsklasse 2 entspricht in etwa den Anforderungen, die auch von der „alten“ DIN an Bauten im Erdbebengebiet gestellt werden. Der Verhaltensbeiwert ist mit 1,7 anzunehmen. Die Querkräfte in den aussteifenden Bauteilen sind mit einem Erhöhungsfaktor ε = 1,5 zu vervielfachen. Damit wird der Gefahr eines vorzeitigen Schubver-sagens vorgebeugt, da Schubversagen nicht duktil ist. 4 Es ist in allen vom Erdbeben beanspruchten Bereichen mit hochduktilem Stahl zu arbeiten.

Die Verankerungslängen von Bewehrung sind immer für die volle Bewehrung zu ermitteln, d.h. vorhs

erfs

aa

.

.

ist stets mit 1 anzunehmen. Bei symmetrisch bewehrten Stützen und Wänden, die Erdbebenlasten zu übertragen haben, sind die

bezogenen Längskräfte cdc

sdd fA

N=ν auf 25,0=dν (Stützen) bzw. 2,0=dν (Wände) zu begrenzen.

Der Bewehrungsgrad von Riegelanschlüssen ist auf 03,0max =p zu begrenzen. Auf der Druckseite muß dabei mindestens die Hälfte der Zugbewehrung eingebaut werden.

5.1.3 Stahlbetonbauten nach Duktilitätsklasse 3 Die Duktilitätsklasse 3 beschreibt Konstruktionstypen, wie sie die modernen Erdbebenkonstruktionen in aller Welt seit einigen Jahren fordern. Mit ihrem Einsatz kann die Bemessung für Erdbeben sehr gemäßigt werden. Selbstverständlich ist in Duktilitätsklasse 3 nur hochduktiler Stahl einzubauen. Der Beton muß min-destens der Festigkeitsklasse C 16/20 entsprechen. Bei der Berechnung der Erdbebenlasten ist zwischen

• Rahmensystemen • Wandsystemen • Mischsystemen • Kernsystemen • Umgekehrten Pendel-Systemen

zu unterscheiden. 1. 4 Die alte Norm kennt diese Forderung nicht. Es ist jedoch zu bedenken, daß die Schubbemessung im Schubbe-reich 2 und 3 der DIN 1045 alt wesentlich konservativer ist als die entsprechenden Nachweise der neuen DIN 1045-1.


Rahmensysteme beziehungsweise Wandsysteme sind Systeme, bei denen Horizontal- und Vertikalla-sten zu mindestens 65% durch Rahmen bzw. Wände aufgenommen werden. Bei Mischsystemen ist die Aufnahme von Horizontal- und Vertikalkräften verschieden. Unter Kernsystem versteht die Vorschrift ein Tragwerk ohne Mindest-Torsionssteifigkeit. Als Mindest-Torsionssteifigkeit gilt die Einhaltung der Bedingung

pir 8,0≥

wobei =r Trägheitsradius der Aussteifung

[ ]2176,01 hICI

r twI

⋅+=

mit größeres Hauptträgheitsmoment der Aussteifung =II Wölbwiderstand =wC St. Venantscher Torsionswiderstand =tI Gebäudehöhe =h polarer Trägheitshalbmesser der Geschoßfläche =pi Ein Umgekehrtes Pendel-System ist ein System, dessen schwingende Masse zu mindestens 50 % an der Spitze des Systems sitzt. Rahmensysteme, Mischsysteme oder Wandsysteme ohne Mindest-Torsionssteifigkeit sind Kernsy-steme. Verhaltensbeiwerte von Stahlbetonbauten in der Duktilitätsklasse 3 Der Verhaltensbeiwert ist für jede Bemessungsrichtung zu bestimmen: q

5,10 ≥⋅⋅= WR kkqq Dabei ist der Grundwert des Verhaltensbeiwertes, in Abhängigkeit vom Tragwerkstyp 0q

Tragwerkstyp 0q

Rahmensystem, Wandsystem, Mischsystem 2,50 Kernsystem 2,00 Umgekehrtes Pendel-System 1,50

der Beiwert zur Berücksichtigung der Regelmäßigkeit im Aufriß Rk k für regelmäßige Tragwerke 00,1=R

k für unregelmäßige Tragwerke 80,0=R der Beiwert zur Berücksichtigung der vorherrschenden Versagensart Wkbei Tragsystemen mit Wänden k für Rahmen und Mischsysteme, bei denen Rahmen 00,1=w

überwiegen ( ) 15,05,2/1 0 ≤−= akw


für Wände, Mischsysteme, bei denen Wände überwiegen, und Kernsysteme mit vorherrschendes Maßverhältnis der Wände des Tragsystems 0a ( )( )ww lHa /0 endvorherrsch= . Wenn die Maßverhältnisse aller Wände i eines Tragsystems sich nicht signifikant unter-

scheiden, darf das vorherrschende Maßverhältnis wie folgt bestimmt werden: wiwi lH /

0a

∑∑=

wi

wi

lH

0α

Dabei ist die Höhe der Wand i wiH die Länge des Querschnittes der Wand i wil

5.1.4 Berücksichtigung vertikaler Erdbebeneinwirkungen Für die vertikale Komponente der Erdbebeneinwirkung sollte für alle Tragsysteme ein Verhaltensbei-wert q gleich 1,0 angenommen werden.

5.1.5 Anforderungen an konstruktive Details

5.1.5.1 Verankerungen und Stöße

5.1.5.1.1 Umschnürungsbügel Umschnürungsbügel als Querbewehrung in Balken, Stützen und Wänden sind als geschlossene Bü-gel vorzusehen, mit 10 langen, um 135° ins Innere abgebogenen Haken. bwd

5.1.5.1.2 Verankerung der Bewehrung

5.1.5.1.2.1 Stützen Bei der Berechnung der Verankerungslänge l von Bewehrungsstäben in Stützen, die zur Biege-tragfähigkeit in den kritischen Bereichen der betroffenen Bauteile beitragen, ist das Verhältnis der er-forderlichen zur vorhandenen Querschnittsfläche der Bewehrung in Gleichung (141) aus DIN 1945-1 immer zu 1,0 anzusetzen.

netb,

provsreqs AA ,, /

Wenn im Erdbebenfall Zugkräfte als Längskräfte in Stützen auftreten können, sind die Verankerungs-längen gegenüber den in DIN 1045-1 angegebenen Werten um 50 % zu vergrößern.

5.1.5.1.2.2 Balken Die zur Verankerung in Knoten als Winkelhaken abgebogene Längsbewehrung von Balken ist immer im Inneren der entsprechenden, in Stützen vorgesehenen, Umschnürungsbügel anzuordnen.


Überschreitet an einem Balken-Stützen-Knoten das Balkenmoment aus Erdbebeneinwirkung be-tragsmäßig das Balkenmoment aus Vertikallast, so ist der Durchmesser der in Balken-Stützen-Knoten verankerten Längsbewehrung von Balken nach folgenden Gleichungen zu begrenzen:

bLd

Für Balken-Stützen-Innenknoten ( ) cddy

mtcbL hv

ff

d ⋅⋅+⋅

⋅≤ 8,010,6

Für Balken-Stützen-Außenknoten ( ) cddy

mtcbL hv

ff

d ⋅⋅+⋅

⋅≤ 8,015,7

Dabei ist die Stützenbreite parallel zur Längsbewehrung ch der Mittelwert der Zugfestigkeit des Betons mtcf der Bemessungswert der Festigkeit des Betonstahls an der Streckgrenze dyf der Bemessungswert der bezogenen Längskraft in der Stütze, als Mindestwert dvfür die seismische Lastkombination ermittelt ( )ccddSd AfNv ⋅= / . Ist das nicht einzuhalten, so ist die Verankerung mit einer Verlängerung des Balkens, mit geschweiß-ten Ankerplatten oder durch Winkelhaken mit Bewehrungsstäben im Krümmungsbereich zu lösen (siehe Bilder).

Obere und untere Bewehrungsstäbe, die durch Innenknoten gehen, müssen außerhalb des Knotens, in einem Abstand von (mindestens) l (Länge des kritischen Bereiches) unten enden. cr

Die günstige Wirkung der Stützen-Druckkraft auf die Veran-kerung der Balkenbewehrung darf in Anspruch genommen werden, solange

min≤wbc

wc

bhb

2+

Die Verankerungslänge der sich kreuzenden Schrägstäbe in Koppelbalken muß um 50 % größer sein als der nach DIN 1045-1 ermittelte Wert.

5.1.5.2 Stöße von Bewehrungsstäben Schweißstöße sind in den kritischen Bereichen nicht zulässig. Durch mechanische Verbindungsmittel hergestellte Stöße sind in Stützen und Wänden zulässig, wenn die Eignung dieser Verbindungsmittel nachgewiesen wurde.


Übergreifungsstöße sind in den kritischen Bereichen von Stützen und Wänden zulässig. Die bei Übergreifungsstößen vorzusehende Querbewegung ist nach DIN 1045-1; 2001-07, 12.8.3 zu bemessen. Daneben sind folgende Regeln zu berücksichtigen:

1. Bei Übergreifungsstößen nach Bild a. ist die Summe der Querschnittsflächen aller gestoßenen Stäbe ∑ bei der Bestimmung der Querbewehrung anzusetzen. sLA

2. Bei Übergreifungsstößen nach Bild b. ist die Querschnittsfläche des stärkeren gestoßenen

Längsstabes bei der Bestimmung der Querbewehrung anzusetzen. sLA

3. Der Abstand s der entlang eines Übergreifungsstoßes anzuordnenden Querbewehrungsstäbe darf nicht größer sein als

= mmhs 100;

4min

Dabei ist h die kleinste Querschnitts-abmessung.

Die Querbewehrung innerhalb der Übergreifungslänge der Längsbewehrungs-stäbe von Stützen, die an gleicher Stelle gestoßen sind, oder der Längsbewehrungsstäbe in den Randelementen von Wänden kann nach folgender Gleichung berechnet werden:

stA

⋅

⋅=

dwy

dLybLst f

fdsA50

Dabei ist die Querschnittsfläche eines Schenkels der Querbewehrung stA der Durchmesser des gestoßenen Bewehrungsstabes bLd der Abstand der Querbewehrungsstäbe s der Bemessungswert der Festigkeit der Längsbewehrung yLdf der Bemessungswert der Festigkeit der Querbewehrung ywdf

5.1.6 Anforderungen an Balken Ein Balken ist ein Bauteil (im allgemeinen horizontal), das hauptsächlich quer dazu wirkende Lasten

aufnimmt. Die bezogene Längskraft eines Balkens darf nicht größer sein als dcc

Sdd fA

Nv =≥1,0 .

Eine Umlagerung der Biegemomente aus seismischer Lastkombination nach DIN 1045-1 ist zulässig.

5.1.6.1 Ermittlung und Nachweis des Bemessungswertes der Tragfähigkeit Die Biegetragfähigkeit wird, wie in DIN 1045-1 angegeben, für die Längskraft berechnet, die sich aus der entsprechenden seismischen Lastkombination ergibt. Die obere Bewehrung der Endbereiche von Plattenbalken soll im Wesentlichen innerhalb der Gurtbrei-te angeordnet werden. Nur ein Teil dieser Bewehrung darf außerhalb der Gurtbreite, aber innerhalb der mitwirkenden Plattenbreite angeordnet werden, da die mitwirkende Plattenbreite infolge der Wirkung von örtlichen Plastifizierungen drastisch abgemindert wird.

effb


Die mitwirkende Plattenbreite darf wie folgt angenommen werden: effb

a) Für Balken, die in eine Außenstütze einbinden:

ceff bb = wenn kein Querbalken vorhanden ist

fceff hbb 4+= wenn ein Querbalken mit ähnlichen Abmessungen vorhanden ist b) für Balken, die in eine Innenstütze einbinden:

die Werte von oben um auf jeder Seite des Balkens vergrößert. fh2 Für Randbalken darf die Bewehrung über den zugelassenen Abstand bis zum Balkenrand verteilt wer-den. Entsprechende Verankerungen und Stöße der Balkenbewehrung sind sicherzustellen, die oben ge-nannten Anforderungen sind Mindestmaßnahmen zu diesem Zweck. Eine wirksame Übertragung der zyklischen Momente vom Balken zur Stütze ist durch Begrenzung der Ausmitte zwischen der Balkenachse und der Achse der Stütze, in welche der Balken einbindet, si-cherzustellen. Dies gilt als erfüllt, wenn der Abstand zwischen den Mittelachsen der beiden Bauteile auf weniger als

begrenzt wird (siehe Bild). 4/0b

5.1.6.2 Örtliche Duktilität (Balken) Balkenbereiche, die innerhalb eines Abstandes von einem Endquerschnitt, wo der Balken in einen Knoten einbindet, oder von beiden Seiten eines beliebigen anderen Querschnittes liegen, der einer Plastifizierung unter der seismischen Lastkombination ausgesetzt ist, sind als kritische Bereiche zu

crl


betrachten. Die Länge l ist zu 1 anzusetzen (worin die Balkenhöhe bedeutet, siehe Bild un-ten).

cr wh0, wh

ky

tc

ff

,0=f

cf

wh ;

4⋅9s

Innerhalb der kritischen Bereiche gelten die örtlichen Duktilitätsanforderungen als erfüllt, wenn folgen-de Regeln eingehalten sind:

1. Die im folgenden angegebenen Bedingungen für die Querbewehrung, durch die eine angemes-sene Umschnürung gesichert und dem örtlichen Ausknicken der Längsbewehrung vorgebeugt werden soll, werden erfüllt.

2. In der Druckzone wird zusätzlich zur Bewehrung, die sich aus der Gleichgewichtsbedingung im

Querschnitt ergibt, eine Bewehrung vorgesehen, die mindestens der Hälfte der vorhandenen Zugbewehrung entspricht.

3. Entlang des gesamten Balkens werden die Duktilitätsanforderungen als erfüllt betrachtet, wenn

der Bewehrungsgrad der Zugbewehrung p nirgends kleiner ist als der Mindestwert , der wie folgt bestimmt wird:

minp

⋅= mp 5,0min

Dabei ist p nirgends größer als min 03maxp

die charakteristische Festigkeit des Betonstahls an der Streckgrenze ky

der Mittelwert der Zugfestigkeit des Betons mt

4. In den kritischen Bereichen sind Umschnürungsbügel vorzusehen, die folgenden Bedingungen

entsprechen: - der Bügeldurchmesser ist nicht kleiner als 6 mm und bwd- die Abstände der Umschnürungsbügel s sind nicht größer als

⋅= bLbw dmmd ;200;24min

Dabei darf der Abstand des ersten Umschnürungsbügels vom Endquerschnitt des Balkens nicht grö-ßer als 50 mm werden (siehe Bild).

5.1.6.3 Besondere Regeln für Balken, die vertikale, nach unten abgefangene Bauteile tragen Zur Aussteifung erforderliche Wände sind nicht durch Platten und Balken abzufangen. Für Balken, die Stützen tragen, gelten folgende Festlegungen:

a) Es darf keine Ausmitte zwischen den Achsen von Stütze und Balken bestehen. b) Der Balken muß auf – mindestens – zwei direkten Auflagern, wie Wände oder Stützen, liegen.


Der Balkenbereich, auf dem eine abgefangene Stütze ruht, ist als kritischer Bereich zu betrachten und auf einer Länge von wcw hhh ⋅++⋅ 22 (worin die Balkenhöhe und die Stützenabmessung parallel zur Balkenachse bedeuten) als solcher zu bewehren.

wh ch

5.1.7 Anforderungen an Stützen

5.1.7.1 Bemessungsschnittgrößen Eine Stütze ist ein Bauteil (im allgemeinen vertikal), das andere Bauteile trägt und / oder eine Längs-

kraft mit dem bezogenen Bemessungswert ( )dcc

dSd fA

N⋅

=v größer als 0,1 aufnimmt.

Die Bemessungsschnittgrößen für Stützen werden aus der Berechnung des Tragwerks für die seismi-sche Lastkombination erhalten, wobei gegebenenfalls Wirkungen zweiter Ordnung zu berücksichtigen sind. Bei der Bestimmung der ungünstigsten Kombination von Biegemomenten und Längskräften ist die Veränderung der Stützenlängskraft infolge Erdbebeneinwirkung sowohl mit positivem, als auch mit negativem Vorzeichen zu berücksichtigen.

5.1.7.2 Ermittlung und Nachweis des Bemessungswertes der Tragfähigkeit Die Biegetragfähigkeit wird, wie in DIN 1045-1 angegeben, für die Längskraft ermittelt, die sich aus der Berechnung für die seismische Lastkombination ergibt. Beim Nachweis für Biegemomente und Längskräfte ist der durch die gleichzeitige Wirkung in zwei Richtungen gegebene Charakter der Erdbebeneinwirkung zu berücksichtigen. Bei zweiachsiger Biegung dürfen getrennte Nachweise für beide Richtungen mit 70 % der Biegetrag-fähigkeit geführt werden, d.h. für jede Richtung gilt

dRdS MM 7,0≥ Die bezogene Längskraft darf den Wert dv 75,0max, =dv nicht überschreiten. Damit darf die Abmin-derung der Biegtragfähigkeit infolge Abplatzen der Betondeckung vernachlässigt werden. Die Querkrafttragfähigkeit V wird unter Verwendung des Wertes der Längskraft ermittelt, der sich aus der Berechnung für die seismische Lastkombination ergibt.

dR

5.1.7.3 Örtliche Duktilität der Stützen Die Bereiche, die innerhalb eines Abstandes l von den beiden Enden einer Stütze liegen, sind als

kritische Bereiche zu betrachten. darf wie folgt berechnet werden: rc

rcl

= mml

dl ccrc 450;

6;max 1


Dabei ist die größte Querschnittsabmessung der Stütze cd l die freie Stützenlänge. 1c

Für ist die Gesamthöhe der Stütze als kritischer Bereich zu betrachten und dementspre-chend zu bewehren.

3/1 <cc dl

Ein Mindestwert des konventionalen Krümmungsduktilitätsfaktors CCDF von 5/1 ≥rµ ist sicherzu-stellen, um die Anforderungen an die plastische Rotation zu erfüllen, die dem festgelegten Verhal-tensbeiwert nach Tabelle entsprechen. Wenn das Erreichen des CCDF-Faktors eine Betonstauchung von über 0,0035 erfordert, ist durch ei-ne geeignete Umschnürung des Betonkerns die Bruchstauchung des Betons zu erhöhen und gleich-zeitig der Tragfähigkeitsverlust infolge Abplatzen der Betondeckung zu kompensieren. Dies wird als erfüllt betrachtet, wenn:

cuc

dysdr

dw AAvk εεµωα 1015,035,0

0,10 −

+⋅⋅⋅⋅⋅≥⋅

und min,dwdw ωω ≥ ist. Dabei ist dwω der auf das Volumen bezogene mechanische Bewehrungsgrad der Umschnürungsbügel in den kritischen Bereichen, mit

⋅=

dc

dydw f

fBetonkernsdesVolumen

gsbügelUmschnürunderVolumenω

mit den Bemessungswerten der Streckgrenze des Betonstahls dyfund der einaxialen Festigkeit des Betons dcf 05,0min, =wdω Mindestwert des auf das Volumen bezogenen mechanischen Bewehrungsgrades der Umschnürungsbügel 5/1 =rµ erforderlicher CCDF-Faktor

der Bemessungswert der bezogenen Längskraft dv ( )dccdSd fANv ⋅=

dys ,ε der Bemessungswert der Stahldehnung an der Streckgrenze

die Gesamtfläche des Betonquerschnittes cA die Kernfläche des Betonquerschnittes 0A ucε der Nennwert der Bruchstauchung für unbewehrten Beton ( )0035,0=ucε Beiwert 650 =k α der Kennwert für die Wirksamkeit der Umschnürung mit sn ααα ⋅=

mit ∑ ⋅−= 02 6/1 Abinα für Rechteckquerschnitte

1=nα für Kreisquerschnitte

2

021

⋅−= bs

sα für Rechteck- und Kreisquerschnitte


mit = Gesamtanzahl der Stellen (in der Ebene jedes Umschnürungbügels), in denen die Längsbewehrungsstäbe durch Umschnürungsbügel oder Querhaken „gehalten“ wer-den

n

Abstand zwischen aufeinanderfolgenden „haltenden“

ib

Stellen Folgende Mindestbedingungen sind in den kritischen Bereichen einzuhalten: Umschnürungsbügel mit einem Durchmesser nicht unter 6 mm sind in Abständen s vorzusehen, um ein Mindestmaß an Duktilität zu si-chern und dem örtlichen Ausknik-ken der Längsbewehrung vorzu-beugen. Dazu ist der Abstand s der Umschnürungsbügel höchstens

⋅= Lbdmmbs 9;200;

2min 0

mit b die kleinste Abmessung des Betonkerns 0

der Durchmesser der Längsbewehrungsstäbe Lbd

Die Umschnürungsbügel sind so zu gestalten, daß der Stützenquerschnitt die Vorteile des dreiaxialen Spannungszustandes nutzt, der durch Umschnürungsbügel und Querhaken (Querstäbe) erzielt wird (siehe Bild). Dabei darf der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Längsstäben, die durch Abbie-gungen der Umschnürungsbügel oder durch Querhaken gehalten werden, 250 mm nicht überschrei-ten. Der Bewehrungsgrad der Gesamtlängsbewehrung darf nicht kleiner als 0,01 und nicht größer als 0,04 sein.

Symmetrische Querschnitte sind symmetrisch zu bewehren ( )pp ′= . Um das Verhalten des Balken-Stützen-Knoten zu verbessern, ist auf jeder Stützenseite mindestens ein Zwischenstab zwischen den Eckstäben vorzusehen. Wenn der P∆ -Effekt beim Erdbeben berücksichtigt werden muß, sollten die Querschnittsabmessun-gen einer Stütze nicht kleiner sein als ein Zehntel des Abstandes zwischen dem Krümmungswende-punkt für Biegung in einer Ebene parallel zur betrachteten Stützenabmessung und dem Stützenende.

5.1.8 Anforderungen an Wände Als Wände gelten sowohl Einzelwände als auch die Einzelteile von gekoppelten Wänden mit Einwir-kungen, die in der Wandebene angreifen.


Wände müssen an ihrer Unterseite in geeignete Unterbaukonstruktionen (Kellergeschosse) und Grün-dungen voll eingebettet und in ihnen verankert sein, so daß sie sich nicht verdrehen können. In dieser Hinsicht sind von Platten oder Balken getragene Wände nicht zulässig.

5.1.8.1 Bemessungsschnittgrößen

5.1.8.1.1 Allgemeines Die Schnittgrößen sind aufgrund der Steifigkeit der ungerissenen Wände zu berechnen. In bestimmten Fällen jedoch kann eine Differenzierung der Steifigkeiten erforderlich sein, um mögliche Differenzen im Rißzustand sowie den Einfluß von Zug- oder Drucklängskräften auf die Steifigkeit zu berücksichti-gen. Die Unsicherheiten in den Angaben zur Berechnung und zum postelastischen dynamischen Verhalten sind zumindest mittels eines vereinfachten Näherungsverfahrens zu berücksichtigen. Wenn kein ge-naueres Verfahren zur Verfügung steht, dürfen die folgenden Regeln für die Ermittlung der Schnitt-größen angewandt werden, die bei der Bemessung und Konstruktion zu berücksichtigen sind. Diese Regeln erfassen sowohl die für die Bemessung anzusetzenden Einhüllenden der Biegemomente als auch die Vergrößerungsfaktoren für Querkräfte. Eine Umverteilung der Erdbebenschnittgrößen zwischen unabhängigen Wänden von nicht mehr als 30 % darf unter der Voraussetzung, daß der Gesamtbedarf an Tragfähigkeit nicht heruntergesetzt wird, vorgenommen werden. Die Veränderung von Längskräften in Wänden infolge des zyklischen Charakters der Erdbebeneinwir-kung ist angemessen zu berücksichtigen, da niedere Längskräfte im allgemeinen für den Nachweis der Tragfähigkeit ungünstiger sein können (ge-ringere Biegemoment- und Querkrafttragfähigkeit) hohe Längskräfte im allgemeinen für die Ermittlung der Duktilität ungünstiger sind (niedrigere erzielba-re örtliche Duktilitätsfaktoren).

5.1.8.1.2 Besondere Anforderungen für in ihrer Ebene schlanke Wände Schlanke Wände sind Wände mit einem Verhältnis Höhe zu Länge größer als 2,0. ww lH / Die Unsicherheit von Angaben hinsichtlich der wirklichen Momentenverteilung entlang der Höhe einer Wand während des Bemessungserdbebens ist auf geeignete Weise zu berücksichtigen. Dies wird als erfüllt betrachtet, wenn man, unabhängig von der Art der Berechnung, das folgende ver-einfachte Verfahren anwendet.

1. Das Diagramm des Bemessungswertes

des Biegemomentes entlang der Höhe der Wand ist als Einhüllende des be-rechneten Biegemomentendiagramms (aus der Tragwerksberechnung) zu bestimmen, die in Vertikalrichtung um einen Längenbetrag gleich der Höhe des kritischen Wandbereiches versetzt ist (Versatz der Zugkraftlinie). Wenn das Tragwerk keine bedeutenden Unstetig-keiten in Massenbelegung, Steifigkeit oder Tragfähigkeit entlang seiner Höhe

aufweist, darf die Einhüllende als Gerade angenommen werden.

rch


2. Die Höhe des kritischen Bereiches über der Unterkante der Wand kann wie folgt abge-schätzt werden:

rch

=

6,max w

wrcHlh

aber

h

≥⋅≤≤

Geschossefür

Geschossefür

726

2

nhnh

l

g

s

w

rc

Dabei ist die lichte Geschoßhöhe sh und worin die Unterkante der Wand definiert ist als Niveau ihrer Gründung oder ihrer Einbindung in Kel-lergeschosse, die ausreichend mit Deckenscheiben und mit Umfassungswänden versehen sind. Ein mögliches Anwachsen der Querkraft nach dem Plastifizieren an der Unterkante der Wand ist zu be-rücksichtigen. Dies wird als erfüllt betrachtet, wenn man eine Ein-

hüllende des Bemessungswertes der Querkraft V entlang der Höhe der Wand wie folgt bestimmt:

dS

dSdS VV ′⋅= ε dabei ist die aus der Berechnung erhaltene Querkraft entlang der Höhe der Wand

dSV

7,1=ε Vergrößerungsfaktor Für Mischsysteme, die schlanke Wände enthalten, wird – zur Berücksichtigung der Unsicherheit der Angaben hinsichtlich höherer Schwingungsformen – eine abgeänderte Einhüllende des Bemessungswer-tes der Querkräfte nach nebenstehendem Bild emp-fohlen.

5.1.8.1.3 Besondere Anforderungen an gedrungene Wände Gedrungene Wände sind Wände mit einem Verhältnis Höhe zu Länge nicht größer als 2,0. ww lH / Bei gedrungenen Wänden müssen die Biegemomente, die sich aus der Berechnung ergeben, nicht verändert werden. Die Vergrößerung der Querkraft infolge dynamischer Effekte darf ebenfalls ver-nachlässigt werden. Die Unsicherheit der Angaben hinsichtlich der verfügbaren Energiedissipationsfähigkeit bei Schubver-sagen ist durch Multiplikation der Querkraft V mit einem Vergrößerungsfaktor dS ε gleich 1,3 zu be-rücksichtigen.


5.1.8.1.4 Ermittlung und Nachweis des Bemessungswertes der Tragfähigkeit Die Biege- und Querkrafttragfähigkeit wird wie in DIN 1045-1 angegeben ermittelt.

5.1.8.2 Koppelbauteile Das Koppeln von Wänden durch Platten ist nicht als wirksam zu betrachten. Die Anforderungen für Balken gelten auch für Koppelbalken (siehe Bild). Dabei ist sicherzustellen:

a) Das Auftreten von Diagonalrissen nach zwei Richtungen ist unwahr-scheinlich. Dies gilt, wenn:

V RdwdS db τ⋅⋅⋅≤ 4 .

Dabei ist die Querkraft dSV

Rdτ ickLcf γ/005,25,0 ⋅=

wb die Breite des Koppelbalkens d die Nutzhöhe des Querschnittes

cγ = 1,5

b) Als Versagensart wird vorherrschendes Biegeversagen gesichert. Das kann angenommen werden, wenn ist. 3/ ≥hl

In allen anderen Fällen kann die Tragfähigkeit für Erdbebeneinwirkungen durch eine Bewehrung nach zwei Diagonalrichtungen nach den folgenden Bedingungen gesichert werden. Damit ist nachzuweisen, daß αsin2 ⋅⋅⋅≤ ydisdS fAV ist. Dabei ist der Bemessungswert der durch das Koppelbauteil aufzunehmenden Querkraft dSV ( )lMV dSdS /2 ⋅=

die Gesamtquerschnittsfläche der Bewehrungsstäbe in jeder einzelnen isADiagonalrichtung α der Winkel zwischen den Diagonalrichtungen und der Horizontalen.

Die Bewehrung nach den beiden Dia-gonalrichtungen ist in stützenähnli-chen Stabgruppen anzuordnen und ihre Verankerungslänge hat den in DIN 1045-1 vorgeschriebenen Wert um 50 % zu überschreiten. Diese stützenähnlichen Stabgruppen sind mit Umschnürungsbügel zu ver-sehen, um ein Ausknicken der Längsbewehrung zu verhindert. Dabei gelten die Vorschriften für kritische Bereiche, der Abstand s darf jedoch 100 mm nicht überschreiten.


Es dürfen anstelle der in den beiden Diagonalrichtungen angeordneten, stützenähnlichen Beweh-rungs-Stabgruppen auch andere Bewehrungsdetails für Koppelbalken verwendet werden, wenn aus-reichend nachgewiesen wird, daß damit ein vergleichbares Maß an Energiedissipationsfähigkeit ohne wesentlichen Abfall der Beanspruchbarkeit gesichert wird. In allen Fällen gelten die besonderen Maßnahmen für Balken außerhalb der kritischen Bereiche auch für Koppelbalken.

5.1.8.3 Örtliche Duktilität (Wände) Es ist sicherzustellen, daß in kritischen Bereichen von Wänden der CCCF-Faktor r/1µ mindestens

⋅

⋅=

Wändegekoppeltefür

Wändeteungekoppelfür2

2

/1 8,00,1

qq

rµ

beträgt, mit q in der Berechnung verwendeter Wert des Verhaltensbeiwertes Wenn kein genaueres Verfahren angewandt wird, kann die Gleichung durch Einführung einer Um-schnürungsbewehrung erfüllt werden, die wie folgt bestimmt wird: Für den Normalfall von Wänden mit freien Rändern oder mit hantelförmigem Querschnitt (mit verstärk-tem Wandende) haben der auf das Volumen bezogene mechanische Bewehrungsgrad der erforderli-chen Umschnürungsbewehrung wdω der Randelemente sowie auch die anderen besonderen Maß-

nahmen den Vorschriften für Stützen mit dem oben angegebenen r/1µ -Wert zu entsprechen. In die entsprechenden Nachweise ist die effektive Längskraft einzuführen:

+⋅=

zMN

Neff dSdSdS 2

5,0

wobei als Druckkraft positiv angesetzt wird. dSN Dabei ist z der innere Hebelarm, kann als Abstand der Schwerpunkte der beiden stützenähnlichen, umschnürten Randelemente angenommen werden. Die Festlegungen der Verbügelung kritischer Bereiche von Stützen sind nicht verbindlich für die Randelemente von Wänden mit freien Rändern. Es wird jedoch empfohlen, bei Randelementen, die

dicker sind als 250 mm, wann immer dies möglich ist, eine Mehrfachbügelgestaltung vorzusehen (siehe Bild). Diese Umschnürung sollte in vertikaler Richtung ent-lang der Höhe des kritischen Bereiches und in ho-

rizontaler Richtung entlang einer Länge l vorgesehen werden, die vom Rand der Wand bis zu dem Endpunkt des Bereiches gemessen wird, in dem unter zyklischer Belastung nicht umschnürter Beton infolge hoher Stauchung abplatzen kann. Wenn keine genaueren Angaben vorliegen, kann diese kritische Stauchung

rch

c

ocε zu 0,2 % angenommen werden.

Der maßgebende Lastfall sollte durch und den zugehörigen Wert von für die ungünstigste

Richtung der Erdbebeneinwirkung definiert werden. Als Mindestbedingung sollte der Wert von l nicht

kleiner angenommen werden als 0 oder

dSM

wl⋅

dSN

c

15, wb⋅50,1 . Zur weiteren Vereinfachung kann man wie im folgenden für die Vorbemessung der Standelemente geschlossene Ausdrücke für l in Abhängigkeit von Längskraft und q-Faktor verwenden. 1c


Die folgenden empirischen Ausdrücke können für eine Vorabschätzung der Werte der mit der Duktili-tätssicherung verknüpften Größen l und c dwω , vor dem endgültigen rechnerischen Nachweis der Wand, verwendet werden. Für einen gegebenen Wert von q und einen gewählten (angenommenen) Wert von dwω (für Kenn-

werte für die Wirksamkeit der Umschnürung 31

21 bis≈α ), kann die erforderliche Länge des

Wandabschnittes mit Umschnürungsbewehrung l abgeschätzt werden zu: c

( )( )1,05,2

1,02

1 −+⋅

⋅+≈

dd

reqw

c vqII µλ

Für einen gegebenen Wert von q und einen gewählten (angenommenen) Wert von kann der erfor-derliche, auf das Volumen bezogene mechanische Bewehrungsgrad der geschlossenen Umschnü-rungsbügel

cl

dwω (für praxisübliche Werte 31

21 bis≈α ) abgeschätzt werden zu:

( )( )1,05,2

1,02

2, −+⋅

⋅+≈ ddreqdw vq µλω

Die in diesen Gleichungen verwendeten Parameter sind:

dcww

dS

dcww

dSdd flb

Nflb

Mv

⋅⋅+

⋅⋅=+ 2µ

4,0,0,21,11 <⋅−= dwdw WW wennλ

4,0,3,01 >= dwWwennλ

⋅−=

w

c

ll0,25,12λ

In den meisten Fällen überschreitet die er-forderliche Länge des Wandabschnittes mit Umschnürungsbewehrung Werte von ungefähr , während der praktisch für die Schnittgrößen in Längsrichtung stehende normierte Kennwert

wl3,0

( )dd v+µ

nur selten Werte von ungefähr überschreitet.

wl5,0

Darüber hinaus gelten alle für die Beweh-rung von Stützen (Längs- und Querbe-wehrung) angegebenen Anforderungen und Regeln für die bauliche Durchbildung auch für die umschnürten Randzonen der

kritischen Bereiche von Wänden.


Als Alternative zur Bestimmung der erforderlichen Umschnürungsbewehrung der Randelemente bei kleinen Werten dγ darf bei Wänden mit freien Rändern der mechanische Bewehrungsgrad der erfor-

derlichen Umschnürungsbewehrung dwω der Randelemente nach der Beziehung

cuw

wdsyddw dblbv

rεεµωα 1050

0,1 −=

ermittelt werden. Dabei ist cudys εεα ,, , wie oben angegeben

Nutzhöhe des Querschnittes d dcwwdsd fblNv /= Dabei wird die Länge des Umschnürungsbereiches zu 0/1,1 bblvl wwdc = angesetzt, während alle übrigen Festlegungen gültig bleiben.

5.1.8.4 Besondere Maßnahmen gegen seitliche Instabilität Als Mindestmaßnahme gegen seitliche Instabilität von Wänden mit freien Rändern sollte die Stegdicke der Wand b (die Wanddicke zwischen den Randelementen) im kritischen Bereich nicht kleiner vor-gesehen werden als:

wo

⋅==

20;

60;150min sw

rcwohlqbmmb

worin für kein größerer Wert als 1 eingeführt zu werden braucht. Die Bedingung

wl sh6,

rcwo bb ≤ kann vernachlässigt werden, wenn Randelemente vorhanden sind, deren Quer-schnittsfläche den Bedingungen

genügt. wb

w

A

wbA 10/ww lb≥und2rcwb bA >

Die Dicke b der umschnürten Wandab-schnitte (der Randelemente) sollte folgenden Regeln genügen:

a) wenn ≥l max , dann

⋅⋅

w

wc l

b2,0

2

≥10/

200

sw h

mmb

b) wenn ≥l max , dann

⋅⋅

w

wc l

b2,0

2


≥15/

200

sw h

mmb

Wenn der am stärksten gedrückte Rand der Wand an einen ausreichenden Querflansch – d.h. an ei-nen Flansch mit – an-schließt, ist kein umschnürtes Randelement erfor-derlich.

5/15/ sfsf hlhb ≥≥ und


5.2 Konstruktionsregeln für Stahlbauten Stahl ist wegen seines ausgeprägten Fließvermögens durchaus ein geeigneter Baustoff im Bereich des erdbebengerechten Bauens. Im Nachweis der Erdbebensicherheit darf der Materialfaktor für Stahl mit 0,1=Mγ für außergewöhn-liche Lastkombination verwendet werden. Auch im Stahlbau wird zwischen den Duktilitätsklassen 1 – 3 unterschieden.

5.2.1 Stahlbauten in Duktilitätsklasse 1 Im Stahlbau ist die Duktilitätsklasse 1 in allen Erdbebengebieten zulässig. Konstruktive Forderungen an den Stahlbau werden praktisch nicht gestellt. Zu beachten ist, daß Schrauben gegen Lösen gesichert werden müssen (Vorspannung). Druckglieder mit Druck und Biegung müssen mindestens der Querschnittsklasse 3 nach DIN V ENV 1993 Teil 1-1 entsprechen. 5 K-Verbände mit an Stützen anschließenden Diagonalen sind zu vermeiden. Unter Beachtung dieser beiden Bedingungen ist mit 5,1=q

0,1 zu rechnen. Wird eine dieser Bedingun-

gen nicht eingehalten, so ist das betroffene Bauteil mit =q nachzuweisen.

5.2.2 Anforderungen an Stahlbauten der Duktilitätsklassen 2 und 3

5.2.2.1 Werkstoffe

5.2.2.1.1 Baustahl Der einzuhaltende Höchstwert der Streckgrenze für die Fertigung ist auf den Zeichnungen festzulegen.

max,yf

Der Bemessungswert für die Bemessung der Anschlüsse dissipativer Bauteile darf nicht klei-

ner als 0,9 des wirklichen Höchstwertes sein. dyf max,,

max,yf

5.2.2.1.2 Schrauben In Schraubenverbindungen sind im Hinblick auf die erforderliche Kapazitätsbemessung vorzugsweise Schrauben der Festigkeitsklasse 8.8 oder 10.9 zu verwenden. Schrauben der Festigkeitsklasse 12.9 sind nur in Scherverbindungen zulässig. Alle Schrauben sind, z. B. durch Vorspannung, gegen Lösen zu sichern.

1. 5 Das bedeutet, daß die Streckgrenze in der ungünstigsten Querschnittsfaser rechnerisch genutzt werden darf, d.h. es sind beim Nachweisformat e-e keine ausbeulenden Querschnittsteile zu berücksichtigen, beim Format e-p ist dies jedoch möglich.


5.2.2.2 Kapazitätsbemessung Bei der Kapazitätsbemessung wird gefordert, daß ein Versagen des nicht dissipativen Bauteils nicht vor Eintreten der plastischen Verformung der dissipativen Teile auftritt. Das heißt, die Versagens-festigkeit des kapazitätsbemessenen Bauteils, (z. B. ) und die Festigkeit des dissipativen

Bauteils auf dem Niveau, auf dem die plastische Verformung stattfindet (z. B. ), müssen die Be-dingung

AnschlußdR ,

ydR

ydAnschlußd RR ≥,

erfüllen. Dabei sind für dR ruttoquerschnittswerte in Verbindung mit dem oberen Wert der Streck-

grenzenverteilung yf max,, etzen. y B

anzud s Im allgemeinen darf mit dem Wert für die Streckgrenze nach DIN 18800-1 bis DIN 18800-4 oder DIN V ENV 1993 Teil 1-1 angenommen werden.

kydy ff 20,1max,, = kyf

Folgende Systeme sind mit dem Verfahren der Kapazitätsbemessung zu untersuchen: Riegel-Stützenverbindungen von Rahmen Anschluß von Diagonalen in Verbänden Verankerung von Bauteilen in Fundamenten Druckdiagonalen und Druckstützen alle Anschlüsse und Bauteile, deren vorzeitiges Versagen die Dissipationsfähigkeit des Bauwerkes abmindern würde.

5.2.2.3 Verhaltensbeiwert q Der Verhaltensbeiwert q wird für die verschiedenen Richtungen der Erdbebeneinwirkungen bestimmt. Für vertikale Erdbebeneinwirkungen ist 5,1=q anzuwenden. Der Verhaltensbeiwert der Stahltragwerke hängt vom Statischen System ab. Er ist den Tabellen auf den folgenden Seiten zu entnehmen: Dabei geht das Verhältnis 1/ααu ein. Dieses Verhältnis ist für die H-Kräfte aus Erdbeben wie folgt zu bestimmen: 1α der Lastfaktor, bei dem das System das erste plastische Gelenk ausbildet uα der Lastfaktor, bei dem das System als kinematische Kette versagt.

Damit gilt für (

( )

)

pe

ppu

RR

−

−=1α

α für den Lastfall Horizontalkraft aus Erdbeben.

Die in der Tabelle genannten Schätzwerte dürfen an Stelle der ermittelten Werte verwendet werden. Die rechnerischen Werte 1/ααu sind auf den Höchstwert 1,6 zu begrenzen. Ist das Bauwerk unregelmäßig im Aufriß, so sind die q-Werte nach Tabelle um 20 % abzumindern.


5.2.2.4 Überwachung bei Planung und Herstellung Über die Bemessung nach DIN 18800-7 hinaus gelten die folgenden Bedingungen:

1. Zu den Zeichnungen sind die dissipativen Zonen und die dort einzuhaltenden Höchstwerte der Streckgrenze anzugeben. max,yf

2. Bei der Fertigung ist die Einhaltung von in den dissipativen Zonen zu prüfen. max,yf

3. Darüber hinaus ist zu prüfen, daß in den dissipativen Zonen keine Abweichungen von den

planmäßigen Maßen, z. B. Blechdicke und Breite auftreten. Treten Abweichungen auf, die insgesamt einen Unterschied von 10 % zu den rechnerischen Annah-men bewirken (z. B. ), ist eine Überprüfung des Entwurfs im Hinblick auf die Erdbebensicherheit erforderlich.

1,1/ max,,max, >dyy ff




5.2.3 Auslegungskriterien für Stahlbauten der Duktilitätsklasse 2 und 3 Um die bei der Anwendung der oben angegebenen Verhaltensbeiwerte q angenommene Energiedis-sipationsmöglichkeit zu sichern, sind folgende Bedingungen einzuhalten: Die Mechanismen zur Energiedissipation können wirken, ohne daß es zu einem Stabilitätsversagen kommt. Die Anschlüsse von dissipativen Bauteilen an nichtdissipative Bauteile und die nicht dissipativen Bau-teile besitzen genügend Überfestigkeit, um die zyklische Plastizierung der dissipativen Bauteile zuzu-lassen. Zur Erzielung ausreichender Duktilität von dissipativen Bauteilen dienen folgende Konstruktionen:

a) Die gedrückten Bauteile entsprechen folgender Tabelle:

Duktilitätsklasse Verhaltensbeiwert q Querschnittsklasse 2 45,1 ≤< q 2 3 4>q 1

b) Bei Duktilitätsklasse 3 ist Ausnutzung und Schlankheit λ von Druckstützen nach folgender Tabelle zu begrenzen:

Momentenverlauf Verhaltensbeiwert Ausnutzung

dRlp

dS

NN

Schlankheit aλ

5,1≤ 6,1≤

64 ≤< q 15,0>

−⋅≤

dRlp

dS

NN

125,1

6>q 15,0≤ 1,1≤

15,0≤ 1,1≤

64 ≤< q 15,0>

−⋅≤

dRlp

dS

NN

174,0

6>q 15,0≤ 65,0≤

λa gerechnet mit Knicklänge = Systemlänge der Stütze

c) Bei zugbeanspruchten Bauteilen muß an Stellen von Lochschwächungen ( )dpldu NN ,, > ein-gehalten sein.


d) Sollen Anschlüsse selbst als dissipative Bauteile eingesetzt werden, so sind diese selbst so zu bemessen, daß

- bei geschraubten SL-Verbindungen Lochleibungsversagen (nicht Scherversagen) maß-

gebend wird

- bei geschweißten Anschlüssen oder geschraubten Anschlüssen mit Z-Verbindungen die Schweißnähte und die Schrauben ausreichende Überfestigkeit haben, um zyklische plastische Verformungen der anderen Anschlußteile zu ermöglichen; Stumpfnähte gel-ten als genügend überfest.

Zur Erzielung ausreichender Überfestigkeit von Anschlüssen und angeschlossenen Bauteilen, die nicht zur Energiedissipation beitragen, sind die Regeln der Kapazitätsbemessung anzuwenden.

5.2.3.1 Rahmenkonstruktionen Es ist nachzuweisen, daß die Verteilung der plastischen Gelenke im Tragwerk im Grenzzustand der Stabilität derart ist, daß kein Stockwerksversagen auftritt. Bei mehrgeschossigen Rahmen sind die Stützen gegenüber den Riegeln so auszulegen, daß die Bil-dung von plastischen Gelenken in den Riegeln statt in den Stützen erzwungen wird. Dies gilt nicht für das oberste Geschoß und für die biegesteif angeschlossenen Fußpunkte der Stützen im untersten Geschoß. Um die Bildung der plastischen Gelenke in den Riegeln zu erzeugen, sind die Stützen für die ungün-stigste Kombination von , und zu bemessen. Für die Stützenmomente an

Knoten gilt in jeder Ebene, daß deren Summe mindestens der Summe der plastischen Momente

der angeschlossenen Riegel entsprechen muß, wobei mit dem erhöhten Streckgrenzwert

zu ermitteln ist.

dsN ydsM , zdsM , dsMM dr

drM

dyf max,,

In den plastischen Gelenken der Riegel sollten die folgenden Plateaubedingungen der Querschnittsin-teraktion erfüllt sein

0,1≤Rdpl

ds

MM

15,0≤Rdpl

ds

NN

5,0≤Rdpl

ds

VV

Für die Bestimmung von V ist die Bildung der maßgebenden Gelenkkette im Riegel anzunehmen (z. B. plastische Gelenke an beiden Enden).

ds

Damit ist auch der Stabilitätsnachweis für den Riegel durchzuführen. In den Stützen soll die Querkraft die Bedingung

5,0≤Rdpl

ds

VV

erfüllen.


Das Stützenstegfeld im Bereich des Riegelanschlusses ist für die maximale Schubkraft V infolge der Bildung plastischer Gelenke an den Riegelanschlüssen hinsichtlich Schubbeulen nachzuweisen. Dabei ist die Bedingung

wpSd

0,1≤Rdwp

Sdwp

VV

zu erfüllen, wobei die Einflüsse aus Normalkräften und Biegemomenten vernachlässigt werden dürfen.

dsN dsM

Die Riegel-Stützenverbindungen sind mit Hilfe der Kapazitätsbemessung überfest auszulegen, wenn nicht dissipative Verbindungen eingesetzt werden. Bei dissipativen Verbindungen ist nachzuweisen, daß die Rotationsfähigkeit der Verbindung ausreicht die Verbindung bei zyklischer plastischer Verformung stabil bleibt die Stabilität des Bauwerks und eventuelle Verformungsbegrenzungen bei Berücksichtigung der Ver-formung der Verbindung eingehalten werden.

5.2.3.2 Verbände mit zentrisch angeordneten Diagonalen Die Duktilität muß durch die Verformungen der Zugdiagonalen hergestellt werden, ohne daß die son-stige Konstruktion versagt. Ein Ausfall der Druckdiagonalen dabei ist möglich (und im Nachweis zu beachten). Die Verbände sind so anzuordnen, daß das Last-Verformungsverhalten in den einzelnen Stockwerken und bei Umkehr der Richtung der Horizontalkräfte gleichartig ist. Dies kann dadurch nachgewiesen werden, daß die inversen Ausnutzungsgrade

idS

Ripli N

N=Ω

der einzelnen Diagonalen vom kleinsten Wert um nicht mehr als 20 % abweichen. Die Systeme sollen so gewählt werden, daß die Diagonalen nicht an der Abtragung vertikaler Lasten beteiligt sind und für die Erdbebenlasten nur Zugkräfte berücksichtigt werden können. Die Riegel sind entsprechend zu dimensionieren. In Diagonalverbänden, in denen planmäßig nur die Zugdiagonalen als dissipative Elemente zur Abtra-gung horizontaler Kräfte angesetzt werden, ist, um nicht planmäßig auftretende Druckkräfte (z. B. in den Stützen) zu begrenzen, die Schlankheit der Diagonalstäbe mit 5,1≥λ zu wählen. Anderenfalls müssen bei der Bemessung des Tragwerks die Druckkräfte in den Diagonalstäben be-rücksichtigt werden. In V-Verbänden, in denen die Horizontalkräfte planmäßig durch Druck- und Zugkräfte in den Verband-stäben abgetragen werden, darf die Schlankheit der Verbandstäbe 1,1≤λ nicht überschreiten.


Alle Diagonalanschlüsse sind überfest auszulegen, wenn nicht dissipative Verbindungen mit ausrei-chenden Eigenschaften eingesetzt werden. Druckbeanspruchte Stützen und Riegel sind für Druckkräfte nachzuweisen. ( SESGsd NNN Ω+= 20,1 ) Dabei ist Druckkraft aus ständigen und veränderlichen Lasten in der seismischen SGN

Bemessungssituation

Druckkraft aus Erdbebenbelastung SEN kleinster inverser Ausnutzungsgrad für alle Diagonalen des Verbandes Ω

5.2.3.3 Rahmenkonstruktionen mit exzentrisch angeschlossenen Verbandstäben Um die oben geschilderte Problematik der geringen Verformungsfähigkeit von Diagonalen zu umge-hen, ist die Konstruktion mit exzentrischen Anschlüssen möglich. Dann ist die Dissipationsfähigkeit im Bereich dieser exzentrischen Anschlüsse zu konstruieren und nachzuweisen. Andere Querschnittstei-le sollen dabei ihre Festigkeit behalten. Verbinder zwischen exzentrischen Anschlüssen sollen aus einem Blech ohne Löcher bestehen.

Verbinder werden nach der Verbinderlänge e eingeteilt in:

Kurze Verbinder mit Bildung plastischer Schubgelenke

≤−

Verbpl

Verbpl

VM

e,

,6,1tenQuerschnitIbei

Lange Verbinder mit Bildung plastischer Biegegelenke

≥−

Verbpl

Verbpl

VM

e,

,0,3tenQuerschnitIbei

- Mittlere Verbinder mit Bildung von plastischen Gelenken mit Schub und Biegebeitrag.

Verbinder, für die gilt, sind entsprechend den plastischen Interaktionsbeziehungen

für V und zu bemessen, wenn die Bedingungen für Querschnittsklasse 1 erfüllt sind.

15,0/ ≤Rdplsd NN

RdplRdpl M Bei Ausbildung der Verbinder nach Bild ist bei der Bestimmung der Festigkeit der Gelenke auch die Wirkung der Wiederverfestigung nach folgenden Formeln zu berücksichtigen:

Bedingung 15,0≤dR

dS

NN

kurze Verbinder V VerbpldS V ,5,1 ⋅≤ lange Verbinder V VerbplpldS M ,,2,1 ⋅≤


mittlere Verbinder

−

+≤4,1

6,13,02,1 ,

,

,Verbpl

Verbpl

VerbpldS

MV

eMM

Zwischensteifenabstand zum Erreichen der Verformungsfähigkeit ΘZwischensteife mit 5/30 dtw − Abstand rad08,0=Θ

kurze Verbinder Zwischensteife mit 5/52 dtw − Abstand rad02,0=Θ

lange Verbinder Zwischensteife mit fb⋅5,1 Abstand

bei Verbpl

Verbpl

VM

e,

,5≥ keine Zwischensteife

Ausreichende Gleichartigkeit des Verformungsverhaltens über verschiedene Stockwerke und Rahmen kann dadurch nachgewiesen werden, daß die inversen Ausnutzungsgrade

idS

iVerbpli V

V ,,=Ω

oder idS

iVerbpli M

M ,,=Ω

der einzelnen Verbinder vom kleinsten Wert um nicht mehr als 20 % abweichen. Alle Anschlüsse der Verbinder oder der Riegel, die die Verbinder enthalten, sind mit Hilfe der Kapazi-tätsbemessung überfest auszulegen. Nicht dissipative Bauteile, wie z. B. Stützen und Diagonalen bei Verbindern in Riegeln oder zusätzlich die Riegel bei vertikalen Verbindern sind für die Druckkräfte ( )ESGSds NNN Ω+= 20,1 nachzuwei-

sen, wobei für der kleinste inverse Ausnutzungsgrad einzusetzen ist. Ω

5.2.3.4 Eingespannte (Kragarm-) Konstruktionen Eingespannte (Kragarm-) Konstruktionen sind so auszulegen, daß folgende Begrenzungen eingehal-ten werden

a) Kennwert 20,0≤⋅⋅

=ΘhVdP

tot

ttot


b) bezogener Schlankheitsgrad λ nach DIN 18800-1 5,1≤λ Der Anschlußnachweis an der Fußeinspannung ist mit Hilfe der Kapazitätsbemessung im Hinblick auf ausreichende Überfestigkeit durchzuführen.

5.3 Mauerwerksbauten im Erdbebengebiet Seit einigen Jahren wird über die Möglichkeit des Einsatzes von Mauerwerk im Erdbebengebiet disku-tiert. Während der Einsatz von Mauerwerk in Starkbebengebieten im Grundsatz als ungeeignet ange-sehen wird, kann in Schwachbebengebieten weiterhin mit Mauerwerk gearbeitet werden. Dabei ist zu empfehlen, Mauerwerksbauten so zu gestalten, daß auf einen rechnerischen Erdbebennachweis ver-zichtet werden kann. Zusätzlich zu den vorn genannten Konstruktionsregeln sind für Mauerwerksbauten noch zu beachten: Mörtel der MG I ist im Erdbebengebiet nicht zulässig. Hochbauten aus Mauerwerk sind in allen Vollgeschossen entweder durch Geschoßdecken mit Schei-benwirkung oder durch Ringanker und Ringbalken auszusteifen. Als Mindestbewehrung der Ringan-ker sind 200 mm² anzuordnen. Aussteifende Wände sind anzuordnen. Wände können nur dann zur Aussteifung herangezogen wer-den, wenn die Mindestanforderungen nach folgender Tabelle erfüllt sind.

Erdbebenzone thk / t mm

l mm

1 nach DIN 1053-1 490≥ 2 15≤ 150≥ 490≥ 3 15≤ 175≥ 490≥

kh Knicklänge nach DIN 1053-1

t Wanddicke l Wandlänge

5.3.1 Rechnerische Nachweise für Mauerwerksbauten

5.3.1.1 Tragwerksmodell Das Tragwerksmodell des Bauwerkes muß das tatsächliche Verhalten der Konstruktion angemessen darstellen.

5.3.1.2 Nachweis des Grenzzustandes der Tragfähigkeit Bei der Bemessung sind die Teilsicherheitsbeiwerte mγ und sγ gleich 1,0 zu verwenden. Mauerwerksart Verhaltensbeiwert q

- unbewehrtes Mauerwerk 1,5


- eingefaßtes Mauerwerk 2,0 - bewehrtes Mauerwerk 2,5

5.4 Besondere Regeln für Gründungen und Stützbauwerke

5.4.1 Gründungen von Hochbauten

5.4.1.1 Tragfähigkeitsnachweise Der Nachweis der Gründung umfaßt

a) die Tragfähigkeit der Gründungselemente selbst (d.h. zum Beispiel Einzelfundamente, Strei-fenfundamente, Platte, Pfähle usw. aus Stahlbeton, Stahl, Holz oder anderen Baumaterialien) nach den jeweiligen Normen,

b) die Tragfähigkeit des Baugrundes nach E DIN 1054 (mit den Sicherheitsbeiwerten für Lastfall

3) und DIN 4014, DIN 4084. Die zulässigen Bodenpressungen können gegenüber denjenigen für ständige Lasten und ständig auftretende Verkehrslasten um den Faktor 1,5 erhöht werden.

c) Beim Nachweis von Pfahlgründungen ist zu beachten, daß sich weiche Böden beim Erdbeben

unter der Wirkung horizontaler Trägheitskräfte stark verformen und somit die Pfähle nicht nur stützen, sondern auch belasten können. Schräge Pfähle erfahren durch horizontale Boden-bewegungen neben Biegung auch hohe Normalkräfte, die unter Umständen zum Verlust der Tragfähigkeit führen können. Schräge Pfähle sind deshalb in den Erdbebenzonen 2 und 3 möglichst zu vermeiden. Anderenfalls ist ein Nachweis der Tragfähigkeit zu erbringen, in dem die Deformationen des Baugrundes und deren Einwirkung auf die Pfähle explizit berücksich-tigt werden.

5.4.1.2 Konstruktive Anforderungen und Empfehlungen Um den Zusammenhalt des Bauwerkes im Gründungsbereich sicherzustellen, sind

- in Erdbebenzone 2 bei wenig tragfähigem Baugrund (z. B. locker gelagerter Sand, weicher Ton und Schluff) und

- in Erdbebenzone 3 bei nur mäßig tragfähigem Baugrund (z. B. mitteldicht gelagerter Sand,

halbsteifer Ton und Schluff) einzelne Gründungselemente (Einzelfundamente, Streifenfundamente, Pfähle) durch Zerrbalken mit-einander zug- und druckfest zu verbinden. Dies gilt insbesondere für Bodenarten, die bei Erschütte-rungen zur Setzung oder Festigkeitsminderung neigen und für Hanglagen. Die Zerrbalken sollen relative Horizontalverschiebungen zwischen den einzelnen Gründungselemen-ten auf Werte beschränken, die das Tragverhalten des Bauwerkes nicht beeinträchtigen und müssen so bemessen werden, daß mindestens 50 % der horizontalen Schubkraft, die beim Erdbeben rechne-risch von einem Gründungselement auf den Baugrund abgetragen wird, von diesem Gründungsele-ment auf andere umgelagert werden kann. Die Aufgabe der Zerrbalken kann auch von der Sohlplatte des Kellergeschosses oder der untersten Geschoßdecke übernommen werden, wenn diese die Stüt-zen und Wände dicht über den jeweiligen Gründungselementen miteinander kraftschlüssig verbindet. Möglichst zu vermeiden sind Gründungen

a) in unterschiedlicher Tiefe, wenn der Baugrund bei Erdbeben in den verschiednen Gründungs-tiefen deutlich voneinander abweichende Beschleunigungen und Verschiebungen erfahren kann,


b) auf unterschiedlichen Gründungselementen, die ein deutlich voneinander abweichendes Ver-

formungsverhalten aufweisen,

c) auf verschiedenartigem Baugrund mit deutlich voneinander abweichendem Verformungsver-halten,

d) an stärker geneigten Hängen.

Werden diese Empfehlungen nicht eingehalten, sind zumindest in Erdbebenzone 2 bei wenig tragfähi-gem Baugrund und in Erdbebenzone 3 bei nur mäßig tragfähigem Baugrund besondere Nachweise zum Verformungs- und Tragverhalten des Baugrundes und der Gründung bei Erdbeben zu führen.

5.4.2 Stützbauwerke

5.4.2.1 Erd- und Wasserdruck Beim Nachweis der Tragfähigkeit von Stützbauwerken und Kellerwänden darf der durch Erdbeben er-höhte aktive Erddruck wie folgt quasi-statisch ermittelt werden: Zu den vertikalen Massenkräften des Erdreiches werden horizontale Massenkräfte vektoriell

addiert, die der horizontalen Bodenbeschleunigung gm gmα

gα entsprechen. Mit der Annahme kinematisch möglicher Bruchflächen im Erdreich wird analog zu üblichen Erddruckberechnungen die Bruchfläche bestimmt, die den größten Erddruck liefert. Dabei ist m die Masse des Erdkörpers und des Stützbauwerkes für die jeweilige

Bruchfläche g die Erdbeschleunigung α die maximale horizontale Bodenbeschleunigung / Erdbeschleunigung Vereinfacht kann der aktive Erddruck bei Erdbeben ermittelt werden, indem der Erddruckbeiwert

für den Gebrauchszustand in der Erddruckberechnung ersetzt wird durch ak

α+= aea kk . Der Nach-weis der Kelleraußenwände auf Erdbeben-Erddruck kann in Erdbebenzone 1 und 2 entfallen, wenn die Raumhöhe des Kellers nicht über 2,60 m beträgt. Im Fall von Erdreich mit drückendem Wasser kann die Einwirkung des Erd- und Wasserdruckes nähe-rungsweise ermittelt werden durch die Addition von aktivem Erddruck bei Erdbeben für Erdreich unter Auftrieb und dem statischen Wasserdruck.

5.4.2.2 Tragfähigkeitsnachweis Der Nachweis der Tragfähigkeit von Stützbauwerken ist jeweils für das Stützbauwerk nach den bau-stoffbezogenen Regeln zu führen. Der Nachweis der Tragfähigkeit des Baugrundes kann mit 1,5-fachen zulässigen Bodenpressungen geführt werden.


6 Literatur [ ]1 DIN 4149 (1) Ausg. 1981 [ ]2 E DIN 4149 (E 2002) [ ]3 Müller, Keinzel: Erdbebensicherung von Hochbauten E + S 1984 [ ]4 Bachmann: Erdbebensicherung der Bauwerke

Beitrag in „Der Ingenieurbau“ E + S 1998

[ ]5 Müller: Baudynamik Beitrag in Betonkalender

1978 / II [ ]6 Meskauris: Baudynamik E + S 1999 [ ]7 Schwarz, Lang, Raschke: Die Erdbeben in der Türkei am 17.08.99 und 12.09.99 Bautechnik 2000, Seiten 301 - 323 [ ]8 Petersen: Dynamik der Baukonstruktionen Vieweg 1996

Dipl.-Ing. Matthias Küttler – Prüfingenieur für Baustatik 85 Scheidemannstraße 14 51067 Köln Tel. 02219636290 26.02.03 Ingenieurbüro KÜTTLER , URBAN + PARTNER

Anhang: Grundlegende Zusammenhänge und Formeln der Schwingungslehre

1 Der Einmassenschwinger

1.1 Eigenschwingung Aus dem Kräftegleichgewicht an einer bewegten Masse folgt (Prinzip von D´ Alembert):

um && 0=++ kuuc & [1] mit

m Masse [t] c Dämpfung [kN sec/m] k Federkonstante [kN/m] u Verschiebeweg [m]

uu&&

& Ableitungen des Weges nach der Zeit

[m/sec] [m/sec²]

Die Verwendung dieser Einheiten führt nicht zu Umrechnungsaufwand, da die angegebenen Einheiten kohärent sind, d.h. die Ergebnisse jeweils in der richtigen Einheit entstehen. Dies folgt aus der Defini-tion der Einheit Newton:

22 sec111

sec111 mtkNmkgN ⋅

=→⋅

=

Dies (Gl. [1]) ist eine homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung. Zur Lösung wird angesetzt: ateu = ataeu =& 2au =&& ateEs wird: ma [2] 02 =++ atatat kecaee 02 =++ kcama

substituiert man: mcd

2=

mk

=2ω

so wird: = 0 22 2 ω++ daaDie Lösung dieser Gleichung lautet:

222,1 ω−±−= dda

Damit wird die Lösung der Differentialgleichung: tata ebebu 21

21 += [3]

Wobei die Werte b für die Integrationskonstanten stehen, die aus der Anfangsbedingung ermittelt werden können.

Das System schwingt nur, solange gilt: ω<d

Damit wird dann: Dida ω±−=2,1 mit 22 dD −= ωω tidtid DD ebebu )(

2)(

1ωω −−+− +=

und mit Hilfe der Eulerschen Formel: xixe ix sincos ±=±

85

Dipl.-Ing. Matthias Küttler – Prüfingenieur für Baustatik 86 Scheidemannstraße 14 51067 Köln Tel. 02219636290 26.02.03 Ingenieurbüro KÜTTLER , URBAN + PARTNER wird schließlich:

]sincos[ tiBtAeu DDdt ωω += − [4]

Und mit den Anfangswerten: u Au == 0)0(

u DiBdAu ω+−== 0)0( &&

++= − t

duutueu D

DD

dt ωω

ω sincos 000

& [5]

Im Sonderfall d = 0 wird daraus:

tutu ωω

ω sincos0&

+=u [6]

bzw. u ( )( )( )( )00

200

00

cos

sin)(cos

ttuu

ttuttuu

+⋅⋅−=

+⋅⋅−=+=

ωω

ωωω

&&

&

Man nennt ω bzw. 0ω die Eigenkreisfrequenz bzw. die gedämpfte Eigenkreisfrequenz des Schwin-gers. Es gilt:

πω2

=f und ωπ21

==f

T

Die gedämpfte Kreisfrequenz verschwindet, wenn gilt: ω=d . Damit ist in diesem Fall die Dämpfung so groß, daß keine Schwingung entsteht. Es wird definiert:

mkcdD

2==

ω (Lehrsches Dämpfungsmaß)

1.2 Harmonische Erregung Wenn eine Erregerkraft hinzukommt, geht Gl. [1] über in [7] )(tPkuucum =++ &&&

und mit der harmonischen Erregung tPtP Ω⋅= sin)( 0 läßt sich dies umformen zu:

tmP

uuDu Ω=++ sin2 02ωω &&& [8]

Die Lösungsfunktion dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung setzt sich aus einem homoge-nen und einem partikulären Teil zusammen. 21 uuu += Die homogene Lösung wurde oben gezeigt. Der Partikularteil ergibt sich aus dem Ansatz:

tatau Ω+Ω= cossin 212 [9]

u tata ΩΩ−ΩΩ= sincos 212&

u )cossin( 22

212 tata ΩΩ+ΩΩ−=&&

Durch Einsetzen der Gln. [9] in die Gleichung [8] erhält man nach einigen Schritten:

222

20

1 )1()2(1

βββ−+

−=

Dkp

a

2220

2 )1()2(2

βββ−+

−=

DD

kp

a [10]

86


wobei gilt: ω

β Ω=

Die Bewegungsgleichung bestimmt sich mit dem Ansatz analog Gl. [4] schließlich zu:

( )

−−

−+++

−+

+

−+

+

= −

tDDk

puDu

D

tD

Dkp

u

eu

D

D

tD

ωβββββω

ωββ

β

ω

sin)1(2)1()2(

1²1

1

cos)1()2(

2

22222

000

2220

0

&

[ ]tDtDk

pΩ−Ω−

−++ cos2sin)1(

)1()2(1 2

2220 ββ

ββ [11]

Da für größere Werte t rasch gegen 0 geht, ergibt sich der stationäre Teil: tDe ω−

( )[ ]( ) ( )222

20

12cos2sin1

ββ

ββ

−+

Ω−Ω−=

DtDt

kp

ustat

Mit ( )ϕ+=+ ctActbcta sincossin

22 baA +=

=abarctanϕ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

2

3

4

5

6

D = 5 %D = 10 %D = 20 %D = 40 %D = 60 %D =100 %Verschiebung der Maxima

Abstimmungsverhältnis

Ver

viel

fach

er

Vervielfacher der Amplituden in Abhängigkeit von D und β = Ω /ω

87


wird schließlich:

( ) ( )[ ] 21

2220 12ˆ−

−+= ββDkp

u [12]

Damit ergibt sich, daß die Auslenkungen und Schnittkräfte eines Schwingers unter harmonischer An-regung aus der statischen Auslenkung mit einem Vervielfacher multipliziert werden kann.

kp

mpustatisch

ˆˆ2 ==

ω

statischuVu *ˆ =( ) 2222 41

1

ββ DV

+−= [13]

Der Fall 1=β ist der Resonanzfall. Für D=0 ergibt sich dort ∞=V , d.h. die Schwingung übersteigt alle Grenzen.

1.3 Beliebige Erregung Erregungen durch beliebige Lasten können durch Fourier Reihenentwicklungen auf diese Gleichun-gen zurückgeführt werden. Unregelmäßige Lasten lassen sich auch nicht in Fourierreihen entwickeln. Für diese Erregerfunktionen bedient man sich sogenannter Duhamel - Integrale:

Y 1 T( )1

ω1 s⋅ 0

T

ΤPi 1 Τ( ) sin ω1 T Τ−( )⋅ ⋅⌠⌡

d⋅:= [14]

Ihre Verwendung sei hier nicht erläutert. Es wird auf die einschlägige Literatur verwiesen.1

88

1 Z.B. Hagedorn, Otterbein: Technische Schwingungslehre, Springer 1987


2 Mehrmassenschwinger

2.1 Eigenwerte Die Gleichungen des Einmassenschwingers gehen in entsprechende Gleichungssysteme über. In Ma-trizenschreibweise wird also:

=

+

+

000

***00

0000

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

3

2

1

uuu

kkkkkkkkk

uuu

ccccccccc

uuu

mm

m

&

&

&

&&

&&

&&

[15]

bzw. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]uKuCuM ⋅+⋅+⋅= &&&0

[M] = Massenmatrix [C] = Dämpfungsmatrix [K] = Gesamtsteifigkeitsmatrix (aus dem Weggrößenverfahren)

Anmerkung: Die Dämpfung ist aus später noch zu erörternden Gründen in der Form einer Linearkom-bination der Massen- und der Steifigkeitsmatrix zu wählen (Rayleighsche Dämpfung). Die Verwen-dung anderer Dämpfungen führt zu mathematischen Schwierigkeiten. Unter Vernachlässigung der Dämpfung wird die Bestimmung der Eigenfrequenz zu der Frage, welche Verschiebungen u bei Erfüllung der Gl. [15] möglich sind, d.h. ob das homogene Gleichungssystem [15] nichttriviale Lösungen besitzt. Analog Gl. [5] wird angesetzt:

[ ] [ ]utu )⋅+= )cos( ϕω

[ ] [ ]utu )&& ⋅+−= )cos(2 ϕωω

Damit ergibt sich aus Gl. [15]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] uMuKt )) ⋅⋅−⋅⋅+= 2)cos(0 ωϕω [16]

das bedeutet: [ ] [ ] [ ] [ ]uMK )⋅−= 20 ω

Dieses Gleichungssystem hat nur nichttriviale Lösungen, wenn die Determinante der Koeffizientenma-trix verschwindet:

[ ] [ ] 0det 2 =− MK ω Aus dieser Gleichung läßt sich eine Gleichung n-ten Grades für ω² gewinnen. Daraus ergeben sich im allgemeinen n verschiedene Lösungen für ω (n ist der Grad des Gleichungssystems). Praktisch wird man sich eines Programms zur Bestimmung des Eigenwertes der Matrix bedienen, so-bald n>3 ist. Die vorhandenen Programme lösen das Problem nur bei relativ kleinen Matrizen mit der Aufstellung der charakteristischen Gleichung. Werden die Gleichungen zu groß, so müssen geeignete Näherungen verwendet werden2. Es ergeben sich also für ein System mit n Massen stets n Eigenkreisfrequenzen iω zu denen jeweils eine Schwingungsdauer und eine Eigenfrequenz gehören. Werden die ermittelten Eigenkreisfrequenzen in Gleichung [15] eingesetzt, so lassen sich zu ihnen gehörende Verschiebungen u ermitteln. Dabei ergibt sich jedoch ein Freiheitsgrad, d.h. die Lösungen für die Verschiebung enthalten einen frei wählbaren Wert, von dem dann alle anderen linear abhän-gen. So kann man z.B. die Verformung der Masse 1 zum Wert „1“ annehmen und erhält dann für alle anderen Massen entsprechende bezogene Verformungen. Zur Eigenkreisfrequenz i gehört damit stets ein Verformungsvektor , die Eigenform i.

2 Dazu zum Beispiel: Zurmühl: Matrizen, Springer 1961

89


[ ]

=

i

i

i

i

,3

,2

,1

ψψψ

ψ

zusammengefaßt ergibt sich die Matrix der Eigenformen:

[ ]

=

332313

322212

312111

ψψψψψψψψψ

ψ

2.2 Eigenformen Die Eigenvektoren sind linear unabhängig voneinander und untereinander orthogonal, d.h. es gilt für die Eigenvektoren einer jeden symmetrischen Matrix3:

[ ] [ ] [ ] 0=⋅⋅ tT

s M ψψ [17]

für ts ≠

Dies läßt sich zeigen, indem die Arbeit der Eigenform s auf den Verschiebungen der Eigenform t mit der der Eigenform t auf den Verschiebungen der Eigenform s verglichen wird. Es wird dann:

skskk mF ,2ψω=

[ ] [ ] [ tT

ss

n

ktkkts MFA ψψωψ ⋅== ∑

=

2

1,, ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]sTttt

Tssstts MMAA ψψωψψω ⋅=⋅== 22

,, folgt die Orthogonalität wegen

ts ωω ≠

2.3 Erzwungene Schwingungen Mit dieser Eigenschaft der Eigenformen läßt sich die Schwingungsform eines Mehrmassenschwingers als Linearkombination der Eigenformen darstellen. Es wird aus der Gleichung

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])(tFuKuCuM =⋅+⋅+⋅ &&& [18]

mit [ ] [ ] [ )()( tYtu ⋅= ]ψ und einer Multiplikation mit [ ]Tiψ

[ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ])(tPtYKtYCtYM Ti

Ti

Ti

Ti ψψψψψψψ =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ &&& [19]

Mit den Bezeichnungen: Generalisierte Masse [ ] [ ] [ ]iT

ii MM ψψ ⋅=*

Generalisierte Dämpfung [ ] [ ] [ ]iTii CC ψψ ⋅=*

Generalisierte Steifigkeit [ ] [ ] [ ]iTii KK ψψ ⋅=*

3 Exakt gilt die Orthogonalität nur für die Eigenformen hermitischer Matrizen, d.h. Matrizen, die aus einem symmetrischen Real-teil und einem schiefsymmetrischen Imaginärteil zusammengesetzt sind. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix eines elastischen Sy-stems ist wegen des Satzes von Betti immer symmetrisch und real damit also auch hermitisch.

90


Generalisierte Last [ ] [ ])()(* tPtP Tii ψ=

Wird aus der Gl. [19] :

( ) ( ) ( ) )(**** tPtYKtYCtYM iiiiiii =++ &&& [20]

Wobei die Größen Y als generalisierte Koordinaten bezeichnet werden. Sie beschreiben die Entwick-lung einer Schwingung nach den Eigenvektoren, d.h. es handelt sich um jeweils den Vektor der erreg-ten Schwingung in einem n-dimensionalen Koordinatensystem, das durch die Eigenvektoren aufge-spannt wird. Die Gleichung [20] entspricht der Gleichung [7] des Einmassenschwingers.

i

Analog zum Frequenzansatz in Gleichung [2] ergibt sich hier aus Gleichung [16] mit [ ] [ ]iiu ψ=ˆ und

Linksmultiplikation mit [ ]Tiψ :

*

*2

i

ii M

K=ω [21]

Mit diesen Bezeichnungen gelten die oben dargestellten Formeln für den Einmassenschwinger auch für des Mehrmassenschwingers i-te Eigenform. Damit läßt sich die Lösung für einen Mehrmassen-schwinger unter Verwendung der abgeleiteten Gleichungen darstellen. Das Dämpfungsmaß ist hierbei auf die Eigenform zu beziehen. Es wird:

iiii DMC ω** 2=

wobei als modales Dämpfungsmaß bezeichnet wird. iDZur Vereinfachung der Berechnung der Verformungen werden die Freiwerte in den Eigenformen gern so gewählt, daß sich die Generalisierte Masse zu „1“ ergibt. Dazu werden generalisierten Massen zu den ermittelten Eigenformen errechnet (Gleichung [19]) Die normierten Eigenformen ergeben sich dann zu:

[ ] [ i

i

iM

,0*,0

1 ψψ ⋅= ] [22]

wobei die nicht normierten Werte stets mit Index 0 gekennzeichnet wurden.

91


3 Energieansätze für Näherungsformeln

3.1 Einmassenschwinger Aus dem einfachen Ansatz der Energiebilanz einer Eigenschwingung (es geht bei einer Eigenschwin-gung keine Energie vom System verloren), läßt sich eine Formel für die Eigenfrequenz finden. Es gilt wenn man annimmt, daß die Durchbiegung der Schwingung sich aus der Gewichtskraft der Masse die als Last ergibt:

21ˆ ⋅⋅⋅= uMgWpot mit u = Durchbiegung unter ˆ Mg ⋅

In diesem Moment gilt . 0=kinWBeim Durchgang durch die Ruhelage gilt:

2ˆ21 uMWkin &⋅=

Aus der Gleichsetzung beider Energien wird: 2ˆˆ uug &=⋅

Mit dem Ansatz für die Weg – Zeitfunktion der Schwingung wird: tuu ωsinˆ ⋅= tuu ωω cosˆ ⋅⋅=&

und damit:

2ˆ ω⋅= ug bzw. ugˆ

=ω [23]

ug

uf

ˆ5

2ˆ1

≈⋅=π

[24]

mit u in cm, f in Hz ˆDiese Gleichung wurde oben auch ohne Energieansatz gefunden.

3.2 Mehrmassenschwinger Mit dem gleichen Verfahren ist auch die erste Eigenfrequenz eines Mehrmassenschwingers zu ermit-teln. Es ergibt sich lediglich die Schwierigkeit, die Eigenform zutreffend anzunehmen. Näherungsweise wird die Biegeform unter der Gewichtskraft gewählt: Es gilt damit:

∑

∑∫

=

=

⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅′′+⋅⋅′′=

n

iiikin

n

iii

kippdynFund

l

pot

uMW

uMgCIudsEIuW

1

22

10

0

2

ˆ21

ˆ21ˆˆ

21

ω

Und aus der Gleichsetzung beider Arbeiten folgt:

∑

∑

=

=

⋅

⋅⋅= n

iii

n

iii

uM

uMg

1

2

1

ˆ

ˆω [25]

92


bzw.

∑

∑

=

=

⋅

⋅⋅= n

iii

n

iii

uM

uMg

f

1

2

1

ˆ

ˆ

2π

und damit:

∑

∑

=

=

⋅

⋅⋅= n

iii

n

iii

uM

uM

gT

1

1

2

ˆ

ˆ2π

[26]

Geht man zu gleichmäßiger Massenverteilung über, so werden aus den Summen Integrale. Nimmt man näherungsweise noch an, das die Durchbiegung des Kragarms einen parabelförmigen Verlauf hat, so wird:

∑=

=

⋅⋅

⋅

+≈

⋅≈n

iii

Fk

zFICEI

hu

uu

1

21

21

13

ξξξ

11

1

1

0

21

1

0

421

5,16.02

31

51

22 uug

u

gdu

du

gT ⋅≈⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅≈

∫

∫ππ

ξξµ

ξξµπ

[27]

Wobei die letzte Gleichung aus DIN 4149 bekannt ist (Gl. (5)).

3.3 Das Verfahren von RITZ 4 Es gibt zahlreiche Fälle, bei denen eine günstige Schätzung der Eigenschwingungsform nicht ohne weiteres möglich ist. Das Verfahren von RITZ nutzt den Umstand aus, daß das Energieverfahren stets zu große Eigenfrequenzen liefert. Man wählt für die genäherte Eigenschwingungsform einen Reihen-ansatz aus Näherungsfunktionen iu mit den Faktoren . Jeder einzelne Ansatz muß die geometri-schen Randbedingungen erfüllen

ia

( ) .ˆ...ˆˆˆ,,ˆ 332211 nn uauauauazyxu ++⋅+⋅+⋅= [28] Die gesuchte Eigenkreisfrequenz erhalten wir mit diesem Ansatz als Funktion der Faktoren ia

( ) ( )( )

2

210

210 ˆ

ω

ωωik

iisi aE

aAa == . [29]

4 Nach dem Physiker Walter Ritz (1878 – 1909)

93

Dipl.-Ing. Matthias Küttler – Prüfingenieur für Baustatik 94 Scheidemannstraße 14 51067 Köln Tel. 02219636290 26.02.03 Ingenieurbüro KÜTTLER , URBAN + PARTNER Das Minimum dieses Ausdruckes muß offenbar der beste aller mit den gewählten Ansatzfunktionen erreichbare Näherungswert sein. Für das Minimum einer Funktion von mehreren Variablen gelten die Gleichungen

( )

( )

( )0

/

/ˆˆ

22

2

2210 =

∂⋅∂

⋅−∂∂⋅

=∂

∂

ω

ωωω

k

i

kis

i

isk

i

i

E

aE

AaAE

aa

[30]

Diese Minimalbedingungen werden erfüllt, wenn der Zähler des Bruches in Gleichung [30] verschwin-det. Daraus erhalten wir die Bedingungen:

( ) 0ˆ =−⋅∂∂

iski

AEa

[31]

Dies sind n algebraische lineare und homogene Gleichungen für die Freiwerte . Sie haben dann von Null verschiedene Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante des Systems verschwindet. Hieraus erhalten wir schließlich ein Polynom n-ten Grades für , dessen Wurzeln Näherungswerte für die niedrigsten Eigenfrequenzen sind. Als Beispiel betrachten wir einen einfachen Kragträger, um mit geringstem Rechenaufwand den Gang der Berechnung verfolgen zu können.

ia

2ω

Ansatz:

( ) 3

3

22

2

1ˆlxa

lxaxv +⋅=

dxlxa

lxaa

lxaEk ⋅

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= ∫

1

06

6225

5

214

421

2 221ˆ ωµ

( )30352422101

22221

21

2 ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

= aaaal ωµ

∫∫ ⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

1

02

22221

214

1

0

2'' 962ˆ21 dx

lxa

lxaaa

lIEdxvIEAis

( )2221

213 332 aaaa

lIE

⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

=

( ) (

⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=− 2221

21

2221

21

24

3 333035242840

2ˆ aaaaaaaaIE

llIEAE isk

ωµ )

( ) 0370840

284840

:0ˆ2

24

1

24

1

=⋅

−⋅

⋅⋅⋅⋅

+⋅

−⋅

⋅⋅⋅⋅

=−⋅∂∂ a

IEla

IElAE

a iskωµωµ

( ) 0660840

370840

:0ˆ2

24

1

24

2

=⋅

−⋅

⋅⋅⋅⋅

+⋅

−⋅

⋅⋅⋅⋅

=−⋅∂∂ a

IEla

IElAE

a iskωµωµ

94

Dipl.-Ing. Matthias Küttler – Prüfingenieur für Baustatik 95 Scheidemannstraße 14 51067 Köln Tel. 02219636290 26.02.03 Ingenieurbüro KÜTTLER , URBAN + PARTNER Nullsetzen der Koeffizientendeterminante:

03204840

140840

24224

=+⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅

⋅⋅

⋅⋅IE

lIE

l ωµωµ

140

08,2140

92,99102140

1403102140102

840 2

2

1

24

=−

=⋅−

−=

⋅⋅

⋅⋅IE

l ωµ

µµ

ω IEll

IE ⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅= 24154,3840

14008,2

============ Das erzielte Resultat ist recht genau. Mit wachsender Zahl der Ansatzfunktionen wird der Aufwand je-doch beträchtlich. Obwohl die Wurzeln des Polynoms, das aus der Koeffizientendeterminante gewon-nen wird, auch Näherungen für die höheren Eigenfrequenzen darstellen, ist zu beachten, daß hierzu in der Regel nur zweigliedrige Ansätze nicht ausreichen. Eine geschickte Auswahl der Ansatzfunktio-nen trägt wesentlich zur Erzielung zuverlässiger Ergebnisse bei. Nach Berechnung der Eigenfrequen-zen durch Einsetzen in die Gleichung [31] müßten wie im Abschnitt oben Lösungsvektoren für die Fak-toren (bis auf einen konstanten Faktor) ermittelt werden, die ihrerseits wieder, eingesetzt in die Gleichung [28], die mit den gewählten Ansatzfunktionen erreichbaren besten Näherungen für die Ei-genschwingungsformen liefern.

ia

3.4 Einfluß von Schubverformungen bei Biegeschwingungen Betrachten wir ein Element eines Biegestabes, so erleidet dieses infolge der Querkräfte angenähert eine Gleitung γ von der Größe

AGQ

Q ⋅= κγ [32]

mit ( )ν+⋅=

12EG

Qκ = querschnittsabhängiger Beiwert vergleiche Anhang II

Diese Gleitungen haben eine Querverformung des Stabes zur Folge, für die gelten muß

AGQu QQ ⋅

== κγ'ˆ

( )xpAG

u QQ ⋅

−=

κ''ˆ

95

Dipl.-Ing. Matthias Küttler – Prüfingenieur für Baustatik 96 Scheidemannstraße 14 51067 Köln Tel. 02219636290 26.02.03 Ingenieurbüro KÜTTLER , URBAN + PARTNER Für den Verschiebungsanteil aus der Krümmung gilt wie üblich

( )IExpu IVB ⋅

=ˆ [33]

Dabei erleidet das Stabelement eine Verdrehung um den Winkel

'ˆBu=ϕ [34] Die gesamte Querverschiebung des Balkenelementes beträgt

BQ uuu ˆˆˆ += [35] Zur Einschätzung der Größe der Einflüsse von Schub und Momentenverformung betrachten wir einen Kragbalken. Um eine angenäherte Eigenschwingungsform zu ermitteln, wird der Stab durch eine Lini-enlast

( )

⋅−⋅=

lxpxp

2cos1ˆ π

[36]

belastet. Dieser Ansatz führt zu exakten Ergebnissen (im Sinne der technischen Biegelehre). Aus diesen Gleichungen folgt

⋅−⋅⋅

⋅

−=

lxp

AGu QQ 2

cos1ˆˆ '' πκ

pAG

lxlllx

xu QQ ˆ422

1cos4

21ˆ 2

22

22 ⋅

⋅⋅

⋅−⋅⋅−

+

⋅

⋅

⋅−−=κ

πππ

π

π [37]

⋅−⋅

⋅=

lx

IEpu IVB 2

cos1ˆˆ π

( )IEplxllxlll

x

xuB ⋅⋅

⋅

+⋅

−+

−⋅+⋅

−⋅−

⋅

⋅−=ˆ162

2212

612

cos16

241ˆ

4

42

223

44

πππ

ππ

π

Die Formänderungsarbeit muß gleich der Arbeit der Last ( )xp auf den Verschiebungen sein u

( ) ( )∫ ⋅⋅⋅⋅=1

0

ˆ21 dxxuxpAis [38]

96

Dipl.-Ing. Matthias Küttler – Prüfingenieur für Baustatik 97 Scheidemannstraße 14 51067 Köln Tel. 02219636290 26.02.03 Ingenieurbüro KÜTTLER , URBAN + PARTNER Der Anteil der kinetischen Energie aus der Querverschiebung beträgt

∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=1

0

221 ˆ

21ˆ dxuWku µω [39]

Der Anteil der kinetischen Energie aus der Biegung beträgt

dxuIA

W Bk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∫1

0

2'212

1ˆ µωϕ [40]

Hieraus folgt

⋅+

⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅⋅

⋅=+=AI

lAGIE

lIElplWWW Qkkuk 2

22

2

2

228

8221 1

ˆ22

ˆˆˆ ππκπ

µωϕ [41]

Aus W folgt für die Eigenkreisfrequenz isk A=ˆ

( ) ( )

∫

∫

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅

⋅= l

l

dxuI

dxxuxpIE

l

0

2

021

ˆ

ˆ516,3

µµ

αω

Zur numerischen Auswertung verwenden wir folgende Schätzwerte für einen I-Querschnitt der Höhe h und der Breite b

2,1≈Qκ 4,2≈GE

hi 289,0=

Mit diesen Schätzwerten ergeben sich folgende Werte:

hl ∞ 7 5 3 2 1

α 1,0 0,99 0,99 0,96 0,92 0,75

Aus den Ergebnissen folgt: Die Einflüsse von Schubverformung und Momentenverformung haben gleiche Größenordnung, sie wachsen mit der relativen Höhe des Trägers an. Da die Zahlenangaben auch für höhere Eigenschwingungsformen gelten, wenn l⋅2 als Knotenabstand der Eigenschwing-

ungsform angesehen wird, kann ausgesagt werden, daß für üblich schlanke Träger mit 101...

201

=lh

Schub- und Momentenverformung die erste Eigenfrequenz nur unwesentlich vermindern, während von an schon mit wesentlichen Fehlern zu rechnen ist. 3/1/ =lh

97


Die Eigenkreisfrequenz für reine Biegung lautet: ω 0.01mm( ) 676.67Hz= K i( )ω i( )

ω 0.01mm( ):=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Trägheitshalbmesser

Eige

nkre

isfr

eque

nz

Diagramm zur Schubwirkung von Scheiben mit 30 m Höhe in Abhängigkeit von i=0.289*d Es gilt mit der Eigenkreisfrequenz aus der reinen Biegung (ohne Schub): ( ) ( ) ( )0ωω ⋅= iKi Anhang I: Grundlegende Zusammenhänge und Formeln der Schwingungslehre.............................................. 85

1 Der Einmassenschwinger .......................................................................................................................... 85 1.1 Harmonische Erregung.......................................................................................................................... 86 1.2 Beliebige Erregung................................................................................................................................ 88 2 Mehrmassenschwinger .............................................................................................................................. 89

2.1 Eigenwerte ............................................................................................................................................ 89 2.2 Eigenformen.......................................................................................................................................... 90 2.3 Erzwungene Schwingungen .................................................................................................................. 90 3 Energieansätze für Näherungsformeln ...................................................................................................... 92

3.1 Einmassenschwinger ............................................................................................................................. 92 3.2 Mehrmassenschwinger .......................................................................................................................... 92 3.3 Das Verfahren von RITZ ...................................................................................................................... 93 3.4 Einfluß von Schubverformungen bei Biegeschwingungen ................................................................... 95

98

AUSSTEIFUNG VON HOCHBAUTEN

Berechnungsansätze, Formeln Grenzen der Berechnung

Matthias Küttler

KÖLN

2002 http://www.kup-koeln.de [email protected]

http://www.kup-koeln.de/

mailto:[email protected]

2

3

INHALT

INHALT......................................................................................................................................................... 3

1 GRUNDLAGEN DER PRAKTISCHEN NACHWEISE.......................................................................... 5

1.1 Behandlung der Gebäudeaussteifung in den Vorschriften.......................................................................... 5

1.2 Verallgemeinerungen dieser Normregelungen ............................................................................................. 8

2 DIE ZUSAMMENFASSUNG DER AUSSTEIFENDEN SYSTEME ZU EINEM GESAMTSTAB........ 11

2.1 Mechanische Voraussetzungen .................................................................................................................... 11 2.1.1 Die Größe des Schubkorrekturfaktors ..................................................................................................... 12 2.1.2 Einsatzgrenzen des Berechnungsverfahrens............................................................................................ 14

2.2 Gleichungen des Gesamtsystems.................................................................................................................. 16

2.3 Aufteilung von Horizontalkräften auf die aussteifenden Stäbe ................................................................ 20 2.3.1 Berechnung für den torsionsfreien Fall ................................................................................................... 20 2.3.2 Berechnung von Aussteifungen mit Reiner Torsion ............................................................................... 22

2.4 Beanspruchung der Aussteifung durch Vertikallasten.............................................................................. 24 2.4.1 Das Abklingen der Schnittkraft in einer durch Einzelmomente beanspruchten Konstruktion ................ 24 2.4.2 Die Schnittkräfte im Gesamtsystem........................................................................................................ 32

2.5 Besonderheiten der Berechnung .................................................................................................................. 32 2.5.1 Scheiben mit Öffnungen.......................................................................................................................... 32 2.5.2 Aufzugs- und Installationsschächte......................................................................................................... 34

2.6 Berechnung unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung ................................................................ 37 2.6.1 Die theoretischen Grundlagen................................................................................................................. 37 2.6.2 Anwendungsgleichungen ........................................................................................................................ 37

2.7 Ermittlung von Eigenschwingungsdauern und Eigenwerten.................................................................... 38 2.7.1 Auswirkungen des Überganges in den Zustand II................................................................................... 40 2.7.2 Auswirkungen der Schubverformung auf die erste Eigenform ............................................................... 41

3 DIE BERECHNUNG VON AUSSTEIFUNGSSYSTEMEN MIT 3-D-STABWERKEN ........................ 42

3.1 Berechnungsverlauf einer Aussteifungsberechnung mit 3-D Stabwerken................................... 42

3.2 Darstellung der Berechnungsschritte .......................................................................................................... 43 3.2.1 Die Stabsteifigkeitsmatrizen ................................................................................................................... 43 3.2.2 Stabsteifigkeitsmatrix des wölbfreien Stabes.......................................................................................... 46 3.2.3 Die Transformationsmatrix ..................................................................................................................... 46 3.2.4 Die Verschiebungsmatrix........................................................................................................................ 47

3.3 Die Zusammenfassung des aussteifenden Stabes........................................................................................ 47 3.3.1 Sortieren, um die Deckenverschiebungen nach oben zu holen ............................................................... 48 3.3.2 Die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix ................................................................................................. 48

3.4 Das Gleichungssystem des Weggrößenverfahrens: .................................................................................... 49

3.5 Die Schnittkräfte ........................................................................................................................................... 50

4

3.6 Behandlung von Unregelmäßigkeiten ......................................................................................................... 50 3.6.1 Scheiben, die nicht ins unterste Geschoß reichen.................................................................................... 50 3.6.2 Stäbe mit verringertem Querschnitt ........................................................................................................ 50 3.6.3 Öffnungen in Kernen und Wandscheiben ............................................................................................... 52

3.7 Berechnung nach Theorie 2. Ordnung ........................................................................................................ 53

3.8 Berechnungen von Erdbebenbeanspruchungen......................................................................................... 56 3.8.1 Kondensation der Gesamtsteifigkeitsmatrix............................................................................................ 56 3.8.2 Die Massenmatrix ................................................................................................................................... 57

4 LITERATUR ........................................................................................................................................ 58

5

1 Grundlagen der praktischen Nachweise

1.1 Behandlung der Gebäudeaussteifung in den Vorschriften Auf Bauwerke wirken nicht nur Gewichtskräfte (vertikale Lasten) ein, sondern auch Horizontal-kräfte, wie Wind- und Erdbebenlasten. Auch Lasten aus Gebäudeschiefstellung werden rechne-risch wie Horizontalkräfte behandelt, was formal durch eine geringe Verdrehung des Koordina-tensystems um einen Betrag der „ungewollten Schiefstellung“ geschieht. Damit entsteht eine Komponente der Vertikalkraft in Richtung der neuen H-Kräfte. Hier werden als H-Kräfte die Kräfte in Richtung dieses gedrehten Koordinatensystems bezeichnet, ungeachtet dessen, daß in globalen Koordinaten hier keine horizontalen, sondern ausschließlich lotrechte Kräfte vorliegen. Die Vorschriften (z.B. DIN 1045-1) legen ein Maß für die ungewollte Schiefstellung fest. So ist nach DIN 1045-1 für den Nachweis der Gebäudeaussteifung eine Schiefstellung von

la 100

11 =α [ l = Bauwerkshöhe in m ]1

angenommen. Diese Schiefstellung darf nach der Anzahl der aussteifenden Bauteile n mit dem Faktor

2

11n

n

+=α [ abgemindert werden. ]2

In die Ermittlung der Zahl n sind dabei nur die Bauteile einzurechnen, die mindestens 70% der gemittelten Horizontalkraft ∑ n

H übernehmen, d.h. die Ermittlung der Anzahl der beteiligten

Bauteile wird erst nach der Festlegung des Verteilungsschlüssels der Horizontalkräfte erfolgen können. Außerdem regelt DIN 1045 noch, bis zu welchem Aussteifungsgrad das Bauwerk als ausgesteift gelten kann, d.h. die Vergrößerung der Schnittkräfte durch Verformungseinflüsse vernachlässigt werden darf. Diese Grenze ist jeweils durch die Stabkennzahl m1,02,0 +≤ε für 3≤mbzw. m6,0≤ε für 4≥m beschrieben, wobei m die Anzahl der Geschosse ist. Die Bedingung für ε ist dabei für beide Hauptachsenrichtungen der Aussteifung und für die Verdrehung auszuwerten. Es gilt:

6

xcm

vtotx IE

Fh

⋅⋅= ∑ε [ ]3

mit - Summe aller Vertikallasten ∑ vF - Summe der Biegesteifigkeit aller aussteifenden Bauteile xcm IE ⋅ (Wenn in dem aussteifenden Bauteil Zugspannungen entstehen, sollte eine

Ersatzsteifigkeit xcmII IEB 6,0...8,0≈ eingeführt werden.) Für die Verdrehung gilt:

Gwcm

pvtot AIE

IFh

⋅⋅⋅

⋅= ∑ϕεϕ [ ]4

mit - Polares Trägheitsmoment der Grundrißfläche des Gebäudes um den Schubmittel-

punkt der Aussteifung. pI

Es gilt: ( )∑ ∑ ⋅=⋅ 2

jajpv rFIF mit - Vertikalkraft in Stütze j ajF

r - Abstand der Stütze j vom Schubmittelpunkt der Aussteifung j

- Wölbwiderstand des Gesamtsystems der aussteifenden Bauteile wI

ϕ - Verformungsbeiwert aus der Theorie der Wölbkrafttorsion nach Brandt [3] (siehe Diagramm)

- Grundrißfläche GA Der Übergang von Verdrehungsbehinderung durch Wölbsteifigkeit zur Torsionssteifigkeit ist in DIN 1045 – 1 durch die folgende Beziehung beschreiben:

( )mrFIG

rFIE

hj

jjEd

Tcm

jjjEd

mc

ges⋅+≥

⋅⋅

+⋅

⋅

∑∑ 1.02.01

28.211

2,

2,

ω für 3≤m

6.0

1≥ für 4≤m

Der Verlauf der Näherung ist im Vergleich zur elastizitätstheoretisch zutreffenden Lösung im Bild 1 angetragen.

7

φ κ( ) 35 4κ3 33κ+( ) cosh κ( )2⋅ 18κ2 12+( ) cosh κ( )⋅ sinh κ( )⋅− 21κ cosh κ( )⋅− 3κ2 3+( ) sinh κ( ) κ−( )⋅− 27 κ

3 cosh κ( )⋅ κ2 cosh κ( )⋅ 2 κ⋅ sinh κ( )⋅− 2 cosh κ( )⋅+ 2−( )⋅ ⋅

:=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Torsionsbeiwert nach BrandtAnsatz DIN 1045-1

Torsonskonstante

Bei

wer

t

Bild 1 Torsionsbeiwert nach [3] sowie Näherung nach [1]

mit der Torsionskonstanten wcm

cmttot IE

GI⋅

⋅h=κ

- St. Venantscher Torsionswiderstand tI

für 10≥κ ist Gt

pv

AIGIF

⋅⋅

⋅= ∑28,2ϕε anzusetzen.

Die Bedingungen [ und [ wurden aus der mechanischen Bedingung gewonnen, daß die Schnittkräfte nach Theorie II. Ordnung nicht mehr als 10 % größer sein dürfen, als die Schnitt-kräfte am unverformten System. Diese Grenze ist im gesamten Bereich der Bautechnik üblich.

]3 ]4

8

1.2 Verallgemeinerungen dieser Normregelungen Die Regelungen von DIN 1045-1 setzen (ebenso wie die der Vorgängernormen) die Zusammen-fassung der Aussteifung zu einem Gesamtstab voraus. Mit der neuen Vorschrift wird lediglich die Erfassung des Torsionseinflusses nach Brandt in die Norm eingeführt. So ist ein Schubmittelpunkt (als lastunabhängiger Drillruhepunkt) des Gesamtstabes nur dann definiert, wenn die mechanischen Voraussetzungen für die Zusammenfassung des Aussteifungs-systems zu einem Gesamtstab gegeben sind. Diese Voraussetzungen sind: Die Decken müssen starre Scheiben sein, deren elastische Verformungen vernachlässigt wer-

den können, d.h. wesentlich kleiner sind als die Verformungen der Scheiben und Kerne. Sämtliche Verformungen der aussteifenden Wände und Kerne müssen zueinander affin sein.

Das bedeutet, daß Störungen wie Querschnittsänderungen oder Aussparungen nicht zugelas-sen sind.

Gleichzeitig muß jedes aussteifende Bauteil als Kragträger anzusehen sein, dessen Formän-

derungen ausschließlich durch Biegeverformungen bestimmt werden. Diese Voraussetzungen liegen auch den Gleichungen für die Stabkennzahlen und dem Torsions-beiwert ϕ zugrunde, d.h. die Gleichungen gelten nur dann, wenn auch ein Schubmittelpunkt der Aussteifung existiert. Diese Voraussetzungen liegen selten vollständig vor. Aus diesem Grunde ist die mechanische Deutung der in der Norm gegebenen Grenzen erforderlich. Die Grenze wurde aus der Bedingung gewonnen, daß die Erhöhung der Schnittkräfte nach Theorie II. Ordnung im GZT nicht mehr als 10% betragen darf. Bei einem Einfluß der Theorie II. Ordnung unter 10% wird dieser innerhalb der gesamten Bautechnik vernachlässigt. Ist die Voraussetzung einer gleichmäßigen Aussteifung im Aufriß nicht erfüllt, so muß zum Nachweis der Zulässigkeit der Berechnung nach Theorie I. Ordnung eine „gemittelte“ Steifigkeit gefunden werden, um die Nachweise für die Stabkennzahl ε nach DIN 1045-1 zu führen. In den Fällen, in denen sich bei den Sprüngen in der Steifigkeit des Gesamtstabes der Ausstei-fung weder die Hauptachsenrichtung noch die Lage des Schubmittelpunktes wesentlich ändert, kann ein gemitteltes I mit folgendem Ansatz ermittelt werden:

Die Vertikallast wird als Horizontallast angenommen und durch fh

Fges = gleichmäßig auf-

geteilt. Die Durchbiegung infolge wird für den Gesamtstab mit seinen vorhandenen Un-

regelmäßigkeiten ermittelt. )(xw )(xf

9

Für die gemittelte Steifigkeit zur Berechnung von ε gilt dann:

( ) ( )∫ ⋅⋅⋅

⋅= l

gesm

dxxfxwE

FhI

0

23

20 1

bzw. da die realen Verformungen und Kräfte an bestimmten Punkten bekannt sind:

∑ ⋅⋅⋅

⋅=

nn

gesm FwE

FhI

20

23

Die dieser Gleichung zugrundeliegende gleichmäßige Verteilung der Kräfte ist für 3- bis 6-geschossige Bauwerke nicht mehr hinreichend zutreffend. Die Gleichung geht dann in folgen-den Summenansatz für ein k-geschossiges Bauwerk über

( )

∑ ⋅⋅

+

−⋅

nnn

nknk

Fw

3 3

1

32 ξξξξ∑∑⋅

⋅⋅

= =

n

kn

nm E

FlI

3

23

1h 2h

1F

2F

mit l

hnn =ξ ( =nh Höhe der jeweiligen Decke von

der Einspannebene) =nw Horizontale Durchbiegung des realen Stabes

unter den Gesamtlasten am Punkt n in horizontaler Richtung

Bild 2 Gemittelte Steifigkeit Für die Verdrehung lassen sich die folgenden Gleichungen angeben:

1 Die Gleichung folgt aus: ( ) ( )∫∫ ⋅⋅=⋅⋅ll

I dxxfxwdxxfxwm

00

)()(

mit Biegelinie des Kragarmes mit ( ) =xwmI mI

w = Biegelinie des realen Kragarmes ( )x ˆ (f = Lastfunktion (als Horizontallast angesetzte Vertikallast). )x ˆDieser Ansatz führt zum gleichen Moment infolge der Tragwerksverformung aus dem realen System und dem Sy-stem mit der Ersatzsteifigkeit.

10

( ) ( )∫ ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅= l

p

pges

dxxfixE

iFhI

0

223

20 ϕω bzw.:

∑ ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

npn

iges

FiEiFh

Iϕω 20

223

oder für ein k-geschossiges Bauwerk:

( )

∑

∑∑⋅⋅⋅⋅

+

−⋅⋅⋅⋅

= =

nnpn

n

n

kknkpn

n

FiE

iFlI

ϕ

ξξξξ

ω 3

3 3

1

32223

mit ip = polarer Trägheitsradius der Grundfläche bezogen auf den Berech-nungspunkt (den Schubmittelpunkt der Aussteifung).

Läßt sich kein Schubmittelpunkt angeben, so müssen die hier verwendeten Verformungen auf eine Berechnungsachse bezogen werden. Dies führt zu anderen Lösungen als für die Labilitäts-zahlen in der Norm gesucht wird. Die hier angegebenen Gleichungen führen auch dann zu brauchbaren Näherungen, wenn sie auf ein und dieselbe Achse bezogen werden. Liegt diese Achse in der Nähe der Schubmittelpunktsachse, so werden die Ergebnisse mit den Gleichungen der DIN 1045/1 vergleichbar. Die gesuchte Aussage ist jedoch von der Wahl der Berechnungs-achse unabhängig. Bei unterschiedlicher Wahl der Berechnungsachse kann das nichterfüllte Kri-terium von der Stabkennzahl der Verdrehung zu der einer Verschiebung wechseln. Falls die Hauptachsenrichtungen der unterschiedlichen Geschosse sehr stark voneinander abwei-chen, ergibt sich die Knickeigenform nicht mehr in einer Biegungsebene. Die Bestimmung der Knicklast wird zu einem räumlichen Problem. Diese Berechnung läßt sich nicht mehr auf eine Stabkennzahl in x, y und φ – Richtung zurückführen. Theoretisch müßten die Stabkennzahlen auf das durch die Eigenformen aufgespannte Koordinatensystem bezogen werden. Dies ist in praktischen Berechnungen nicht möglich. So muß in diesen allgemeinen Fällen der Nachweis auf die Bedingung zurückgeführt werden, die den Labilitätszahlen zugrunde liegt: Die Zuwächse der Schnittkräfte nach Theorie II. Ordnung dürfen nur solange vernachlässigt werden, wie sie weniger als 10% der Schnittkräfte Theorie I. Ordnung betragen. Dieser Nach-weis ist im Zusammenhang mit einer Stabwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung (siehe Ab-schnitt 3.6) oder einer FEM – Berechnung mit Elementen, die einen Stab mit Wölbkrafttorsion abbilden, oder Faltwerkselementen möglich. Berechnet man den Knickeigenwert (das liefern moderne Stabwerksprogramme), so läßt sich das Kriterium in der folgenden Form schreiben:

11≥kiν

mit krit

vorhki N

N⋅=γ

ν

vorhandene Normalkraft =vorhN Knicknormalkraft an gleicher Stelle =kritN

11

2 Die Zusammenfassung der aussteifenden Systeme zu ei-nem Gesamtstab

2.1 Mechanische Voraussetzungen Werden die Deckenscheiben eines Bauwerkes als biegeweich, jedoch dehnstarr betrachtet, so verbindet jede Decke die aussteifenden Bauteile in ihrer Ebene und erzwingt damit Verformun-gen, die von den Verschiebungen u und yx u, 2ϕ der Decke sowie dem Abstand des aussteifen-den Bauteils vom Drehpunkt der Decke abhängen.

Bild 3 Deckenverschiebungen

zϕ

ux

uy

Lasten werden vereinbarungsgemäßnur in der Lage der Decken in dieaussteifenden Wände und Kerne ein-getragen.

Mit diesen Voraussetzungen werden die Formänderungen der einzelnen aussteifenden Bauteile zueinander affin, solange alle Bauteile ausschließlich Biegeverformungen erfahren. Damit ver-hält sich die Aussteifung so, als wäre sie ein Stab. Da jedoch jede aussteifende Wand außer Biegeverformungen auch Schubverzerrungen erfährt, ist hier eine Grenze festzulegen, welche Schubverzerrungen vernachlässigt werden dürfen. Im Rahmen praktischer Genauigkeit kann diese Grenze mit 10% der Biegeverformungen ange-setzt werden. Da jedoch die Schubverzerrungen in allen Scheiben in die gleiche Richtung wirken wie die Biegeverformungen, hat die Vernachlässigung dieser Schubverformung nicht so große Auswirkungen, wie in der sonstigen Statik (oder bei der Berechnung von unregelmäßigen Aus-steifungen). Es wird als praktische Näherung dabei sogar mit 20% Schubverformung als Nach-weisgrenze bei Aussteifungsberechnungen zu rechnen sein. Diese Forderungen führen in den jeweiligen Hauptachsen der Aussteifung auf die Bedingungen:

QKernKern

tot

ihκ⋅

≥ 48 bzw. 96

für 20% für 10%

12

2.1.1 Die Größe des Schubkorrekturfaktors Der Schubkorrekturfaktor ergibt sich als der Faktor, mit dem die Querschnittsfläche multipliziert werden muß, um die Schubgleitung mit der Gleichung

GA

QGA

Q Q

Q ⋅

⋅=

⋅=

κγ 0

ermitteln zu können. Der Faktor bestimmt sich aus dem Arbeitsansatz zu

∫ ⋅⋅⋅=A

AdQA 2

2 τκ

Damit ergibt sich für dünnwandige offene Querschnitte, die aus einer Anzahl schmaler Rechtek-ke zusammengesetzt sind nach [12]

s

k

ikikxi

k

dsytsStI

A⋅

⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= ∑ ∫

2

2 cos211 ακ

wobei gilt - Statisches Moment der Querschnittsteile, xiS

die am Querschnittsteil i angeschlossen sind, bezogen auf die Achse x

∑=

⋅⋅=i

hshhhxi ytsS

1

mit - Länge des Rechteckes h hs - Dicke des Rechteckes h ht - Schwerpunktlage des Rechteckes h shy wobei die Summe über alle i Querschnittsteile geführt wird, die mit dem Schnitt i vom Quer-schnitt abgetrennt werden. Mit dem Hilfswert

kdkkkxitxk sytsSR ⋅

⋅⋅+=

21

mit kkkdk syy αcos32

⋅−=

sowie kkksk syy αcos21

⋅−=

wird schließlich

13

∑

⋅⋅+⋅

⋅⋅+

⋅

⋅= kksk

x

kk

x

xk

kk

kQy sy

Ist

IR

tsA ακ 222

232

cos601

121

bzw. ∑

⋅⋅+⋅

⋅⋅+

⋅

⋅= kksk

y

kk

y

yk

kk

kQx sx

Ist

IR

tsA ακ 222

23

2

sin601

121

mit kkksk sxx αsin21

⋅⋅+=

und kkkdk sxx αsin32

⋅⋅+=

sowie kdkkkytyk sxtsSR ⋅

⋅⋅+=

21

Bei der Berechnung von Qωκ ist formal nur die Wölbfunktion auszutauschen, d.h. an die Stelle der Fläche A tritt die mit dem Quadrat des Abstandes zum Schubmittelpunkt multiplizierte Flä-che , ∑ ⋅=

iiiQ AaI 2

an die Stelle von y tritt ω , die Wölbordinate bezogen auf den Schubmittelpunkt. Mit diesen Werten ist die Integration2

( )x

i

s

i

i

w

aQ d

txS

CI i

⋅⋅

⋅= ∑∫0

ωωκ

mit - Statisches Moment der durch den bei x geführten Schnitt ( )xS iω

abgeschnittenen Querschnittsteile in der Wölbordinate ω ∫ ⋅⋅=

A

AdS ωω

Querschnitt

Rechteck

Kreis

I – Träger

L (gleichschenklig)

Qκ

1,20

1,185

≈steg

ges

AA

2,4

Typische Werte des Schubkorrekturfaktors 2 2 Die in der Literatur vorhandene Gleichung ( )

∫=e

aw

t dytyS

CI ω

ωκ 2 geht für 0=tI zu der Aussage über, die zwar die vor-

ausgesetzte Wagner – Hypothese enthält, jedoch nur zur Lösung der Wölbtorsionsgleichung sinnvolle Ergebnisse liefert. Vergleiche Heilig: „Der Schubverformungseinfluß auf die Wölbkrafttorsion von Stäben mit offenem Profil“ (Stahlbau 1961 S.97 – 103).

∞≈G

Da im hier zu untersuchenden Fall die größeren Verformungen von den Wölbwiderständen der restlichen Scheiben übernommen werden müssen, ist der hier vorgestellte Ansatz zutreffend. Für die Berechnung von Aussteifungen mit wesentlicher Torsion ist je-

doch die klassische Gleichung für ωκ zu verwenden.

14

2.1.2 Einsatzgrenzen des Berechnungsverfahrens Die Auswirkungen dieser Grenze ergeben für folgende typische Querschnittsformen mit der Querdehnzahl 2,0=γ (Beton, Mauerwerk):

Querschnittstyp

Schubverformung 20%

Schubverformung 10%

Scheibe

19,2tothb ≤

10,3tothb ≤

gleichschenkl. Winkel

38,4tothb ≤

20,6tothb ≤

gleichschenkl. Winkel

10,3tothb ≤

38,4tothb ≤

U-Profile

47,6tothb ≤

15,9tothb ≤

22,3tothb ≤

56,4tothb ≤

b

b

b

b

b

b

b

15

Querschnittstyp

Schubverformung 20%

Schubverformung 10%

38,4tothb ≤

20,6tothb ≤

02,2tothb ≤

86,2tothb ≤

30,3tothb ≤

67,4tothb ≤

33,1tothb ≤

88,1tothb ≤

56,6tothb ≤

28,9tothb ≤

38,2tothb ≤

37,3tothb ≤

b 2

b

b 4

b

b

b4

b

b 2

b

b

b

b

16

Über die aufgeführten Bedingungen hinaus gelten die Elastizitätsgesetze. Zur Modellierung von Stahlbetonbauwerken sind also möglicherweise wirksame Steifigkeiten unter Beachtung der Rißbildung einzuführen.

2.2 Gleichungen des Gesamtsystems Die Querschnittswerte des Gesamtstabes setzen sich aus denen der einzelnen aussteifenden Bau-teile zusammen. Da die Hauptachsen der einzelnen aussteifenden Elemente gegenüber dem Ausgangskoordina-tensystem gedreht sind, seien folgende Bezeichnungen eingeführt: Bild 4 Das Aussteifungssystem

1α

2α

y2

z2

x2

y1

z1

x1z3

y3

x3

zg

yg

xg

Das Ausgangskoordinatensystem gx gy gz Die Koordinatensysteme der einzelnen Kerne bzw. Scheiben ix i = 1 ... n iy iz Die Hauptträgheitsmomente jedes aussteifenden Elementes xiI yiI iIω

17

Da die jeweiligen Koordinatensysteme der Stäbe in die Richtung der Hauptachsen gedreht sind und der Ursprung des Koordinatensystems der jeweilige Schubmittelpunkt des Stabes ist, gilt 0 für alle i =xyiIsowie für alle i 0== iyix II ωω

Außerdem sei mit jeweils der Wert der Lage des Schubmittelpunktes des Stabes i in x - Rich-tung des Ausgangskoordinatensystems beschrieben, während die Lage des Ursprungspunktes im Koordinatensystem des Stabes i beschreibt. Damit gelten die Koordinatentransformationen

gix

igx

( )igiigiig yxx αα sincos −−= ( )igiigiig yxy αα cossin +−= mit iα dem Winkel der Hauptachsen des Kernes i gegenüber dem =

Ausgangskoordinatensystem. Die Querschnittswerte des Gesamtstabes werden damit:

( )∑ ⋅+⋅⋅=i

iyiixixG III αα 22 sincos

( )∑ ⋅+⋅⋅=i

iyiixiyG III αα 22 cossin

( )∑ ⋅⋅−⋅=i

iiyixixyG III αα cossin

und schließlich mit dem endgültigen Koordinatensystem x0; y0 und 0α

2

arctan

0

−= yx

xyG

III

α

000

20

20 cossin2sincos αααα ⋅⋅−⋅+⋅= xyGyGxGx IIII

0002

02

0 cossin2cossin αααα ⋅⋅+⋅+⋅= xyGyGxGy IIII Mit den bereitgestellten Werten wird der Schubmittelpunkt berechnet:

∫ =⋅⋅=F x

y

x II

dFyI

x0

00

01 ωω

18

( ) ( )

0

0000 cossinsincossinsincoscos

x

i iiiiyiiiixi

I

yIxI∑ ∑ ⋅+⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅=

αααααααα

∫ =⋅⋅=F y

x

y II

dFxI

y0

00

01 ωω

( ) ( )

0

0000 cossinsincossinsincoscos

y

i iiiixiiiiyi

I

xIyI∑ ∑ ⋅+⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅=

αααααααα

Damit bestimmen sich auch die Koordinaten der Schubmittelpunkte der einzelnen aussteifenden Bauteile, bezogen auf den Gesamt - Schubmittelpunkt. Mit diesen Werten bestimmen sich die Koordinaten des Schubmittelpunktes im Ausgangssystem zu 0000 sincos αα ⋅+⋅= yxxGM 0000 cossin αα ⋅+⋅−= yxyGM In den Ausgangskoordinaten ergibt sich der Schubmittelpunkt nach den Gleichungen:

( ) ( )

( )∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑∑

−⋅

⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅= 20

xyixiyi

xyiixiiyxixiiyxiiyi

EIEIEI

EIxEIyIEEIxEIyEIy

( ) ( )

( )∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑

−⋅

⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅= 20

yxiyixi

yxiiyiixyiyiixyiixi

EIEIEI

EIyEIxEIEIyEIxEIx

Damit bestimmen sich auch die Koordinaten der Schubmittelpunkte der einzelnen aussteifenden Bauteile, bezogen auf den Gesamt - Schubmittelpunkt. Der Wölbwiderstand des Gesamtsystems ergibt sich dann zu ∑ ∑ ∑ ⋅+⋅+=

i iyiiMxiiMiges IyIxII 22

. ωω

mit Lage des Gesamt - Schubmittelpunktes im Koordinatensystem =iMx

des aussteifenden Elementes i In den Ausgangskoordinaten wird der Wölbwiderstand ∑ ∑ ∑ ∑∑ ⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅+= xyiiMiMyiiMxiiMyiiMxiiMiges IyxIyIxIyIxII 222 22

. ωωωω Wenn der Schubmittelpunkt bekannt ist, dann lassen sich auch die Wölbordinaten Gω aller Querschnittsteile angeben, die auf den Schubmittelpunkt bezogen sind. Unter Verwendung die-

19

ser Wölbordinaten ergibt sich der Gesamt - Wölbwiderstand des Aussteifungssystems nach der üblichen Gleichung ∑∫ ⋅=

iiGiges dAI 2

. ωω

Die Bestimmung der Wölbordinate Giω des Querschnittes i erfolgt in der üblichen Weise mit dem Ursprung des Umlaufes am Schubmittelpunkt des Gesamtsystems. Mit der Grundverwölbung ∫ ⋅=

siGGi dsrω

Da das Gleichgewicht der Wölbnormalspannungen für jeden Querschnitt i erfüllt sein muß, wird nun für jeden Querschnitt eine eigene Integrationskonstante

∫ ⋅−=F

Gii

iG dAA

ωω 10

bestimmt. Die Wölbordinate ergibt sich dann zu ( ) ( )ss GiiGGi ωωω += 0 Dies ist die Wölbordinate des Querschnittes i, bezogen auf den Gesamt – Schubmittelpunkt.

20

2.3 Aufteilung von Horizontalkräften auf die aussteifenden Stäbe

2.3.1 Berechnung für den torsionsfreien Fall Die Torsion verschwindet für den Fall 0=κ . Der Gesamtstab der Aussteifung wird nun durch die Steifigkeiten 0xI 0yI 0ωI beschrieben. Er befindet sich rechnerisch an dem geometrischen Ort des Gesamt – Schubmittel-punktes und ist gegenüber den Ausgangsrichtungen um den Winkel 0α gedreht. Dieser Stab wird von Horizontallasten beansprucht. Die Horizontalkräfte, die nicht durch die –Achse gehen, führen regelmäßig zusätzlich zu ei-nem Moment bzw. zur Entstehung eines Wölbbimomentes W.

0z

zM Die Horizontalkräfte sind dann in die Richtungen und aufzuteilen. 0x 0y Aus einer Horizontalkraft wird im Einzelstab i: 0xH

yix

xi

x

xixi I

IH

IH

H 000 sinsincoscos ⋅

⋅⋅+⋅⋅−= αααα

xix

xi

x

xiyi I

IH

IH

H 000 cossinsincos ⋅

⋅⋅+⋅⋅= αααα

Für eine Horizontalkraft wird: 0yH

xiy

yi

y

yiyi I

IH

IH

H 000 sinsincoscos ⋅

⋅⋅−⋅⋅= αααα

yiy

yi

y

yixi I

IH

IH

H 000 cossinsincos ⋅

⋅⋅+⋅⋅= αααα

Die endgültigen Kräfte ergeben sich dann aus der Summe dieser beiden Anteile.

21

Diese Ergebnisse gelten mit guter Näherung bis 5,0=κ und können im Stahlbetonbau wegen der Abnahme von Torsionssteifigkeiten im Zustand II bis 1=κ näherungsweise angenommen werden. Treten gleichzeitig und auf, so ergeben sich xH yH

xix

x

y

yi

x

x

y

yiyi I

IH

IH

IH

IH

H 00000 cossinsinsincoscos ⋅

⋅−⋅⋅−

⋅+⋅⋅= αααααα

yix

x

y

yi

x

x

y

yixi I

IH

IH

IH

IH

H 00000 sincossincossincos ⋅

⋅+⋅⋅+

⋅−⋅⋅= αααααα

Aus dem Torsionsmoment kommt zu diesen Kräften hinzu

o

tixiyi I

MxIH

ω

⋅⋅−=

0ωI

MyIH t

iyixi ⋅⋅−=

Das sekundäre Wölb-Torsionsmoment ergibt sich zu

0

2ω

ω IM

IM tit ⋅=

22

2.3.2 Berechnung von Aussteifungen mit Reiner Torsion Für Gesamtstäbe mit nicht zu vernachlässigender St. Venantscher Torsion ( )1>κ gelten die aus der Theorie der Wölbkrafttorsion bekannten Gleichungen. Die Schnittkräfte aus Verdrehung, die sich in den einzelnen Scheiben bzw. Kernen ergeben, sind also von der Höhe abhängig. Ein Teil des Torsionsmomentes wird durch reine Torsionsspannungen getragen. Damit können die Gleichungen für den Schnittkraftverlauf angegeben [8] werden zu

x′

x ′

x

x

a

b

I

II

Mt

Bild 5 Beanspruchung durch Torsionsmomente

Mit ξ=lx wird das St. Venantsche Torsionsmoment

( ) ( )

′⋅⋅−⋅−′⋅⋅−⋅=

κξκξκξκκ

coshcosh1coshcoshcosh

11a

dt MxM im Bereich I

( )

κξκξκ

coshcosh1cosh

)(1

′⋅⋅−⋅⋅= a

dt MxM im Bereich II

Das sekundäre Torsionsmoment infolge Wölbkrafttorsion

( ) ( )κ

ξκξκξκκcosh

cosh1coshcoshcosh2

′⋅⋅−⋅−′⋅⋅⋅= a

dt MxM im Bereich I

( ) ( )

′⋅⋅−⋅−⋅=

κξκξκ

coshcosh1cosh

2a

dt MxM im Bereich II

23

Dieses sekundäre Wölbtorsionsmoment teilt sich so auf, wie im vorherigen Abschnitt beschrie-ben und erzeugt in jedem Stab Querkräfte, Biegemomente und Wölbbimomente, die denen aus Verschiebung zu überlagern sind. Das Wölbbimoment ergibt sich zu:

( ) ( )

′⋅⋅−⋅+′⋅⋅−⋅⋅=

κξκξκξκκ

κ coshsinh1coshsinhcosh a

dlMxW im Bereich I

( ) ( )

′⋅⋅−⋅⋅⋅=

κξκξκ

κ coshsinh1cosh a

dlMxW im Bereich II

Im Falle sehr hoher Systeme läßt sich der Lastangriff des Torsionsmomentes als gleichmäßig verteiltes Streckenmoment auffassen. Die entsprechenden Schnittgrößen ergeben sich dann zu: Das St. Venantsche Torsionsmoment

( ) ( )

⋅⋅⋅+

+⋅⋅−−⋅⋅⋅

=κ

ξκκκξκκξκκ cosh

sinhsinh1cosh11lm

M Dt

das sekundäre Wölbtorsionsmoment

( )

⋅⋅⋅+

−⋅⋅⋅⋅

=κ

ξκκκξκκκ cosh

sinhsinh1cosh2lm

M Dt

Diese Gleichungen liegen in [6] graphisch ausgewertet vor.

24

2.4 Beanspruchung der Aussteifung durch Vertikallasten Die aussteifenden Bauteile übernehmen auch Vertikallasten. Wenn diese Vertikallasten nicht im Schwerpunkt des Einzelquerschnittes angreifen, so werden durch die Vertikallast auch Biege-momente und Wölbbimomente im Gesamt – Aussteifungssystem und im Einzelquerschnitt her-vorgerufen. Die Momente bzw. Bimomente im Einzelquerschnitt klingen im Verlauf einiger Geschosse ab, während die Momente und Bimomente im Gesamtquerschnitt sich in diesen Geschossen entspre-chend aufbauen. Die Biegemomente infolge von Normalkräften haben die Größe

PyMPxM

Py

Px

⋅=⋅=

Die Wölbbimomente haben die Größe PB P ⋅= ω wobei sich mit iω das Wölbbimoment im Einzelquerschnitt und mit Gω das Wölbbimoment des Gesamtquerschnittes ergibt.

2.4.1 Das Abklingen der Schnittkraft in einer durch Einzelmomente bean-spruchten Konstruktion

2.4.1.1 Allgemeine Erläuterung

gh

gh

Bild 6 Das Abklingverhalten eines an konkretenPunkten gehaltenen Trägers, der durch Momente be-ansprucht ist, hängt sehr stark von der Mitwirkungvon Schubverzerrungen ab. Da hier die Feldlänge derGeschoßhöhe entspricht, ist die Schubverzerrungpraktisch bei jedem aussteifenden Element wesent-lich, d.h. auch wenn das Gesamtsystem nach Staban-sätzen berechnet werden kann, ist das Abklingen derSchnittkräfte nicht ohne Beteiligung der Schubverzer-rung zu berechnen.

Die Auswirkungen der Schubverzerrungen für Wandscheiben sind in Bild 7 dargestellt.

25

gh5,0 gh2 gh4

0,25

0,28

0,36

0,61

1,00

0,03

0,04

0,12

0,34

1,00

0

- 0,003

0,02

- 0,14

1,00

Bild 7 Momentenverläufe in gestützten Scheiben bei unterschiedlicher

Scheibenschlankheit Aus diesen Wandscheiben ergeben sich horizontale Beanspruchungen auf den Gesamtstab. Bei den im Bild 7 dargestellten Scheiben sind dies die in Bild 8 gezeigten Kräfte.

ghM14,1

ghM30,1−

ghM16,0

ghM02,0−

ghM0

ghM66,0

ghM44,0−

ghM14,0−

ghM07,0−

ghM01,0−

ghM39,0

ghM14,0−

ghM17,0−

ghM05,0−

ghM03,0−

gh5,0 gh2 gh4 Bild 8 Auflagerkräfte des Einzelstabes als Zusatzbelastung für den Gesamtstab Diese Kräfte wirken als Zusatzbelastung an dem Gesamtstab, d.h. sie führen insofern wieder zu Schnittkräften in dem untersuchten Stab, wie er Bestandteil des Gesamtstabes ist.

26

2.4.1.2 Berechnungsansatz für Einzelmomente Für die Berechnungen der abklingenden Schnittkräfte in den Einzelstäben läßt sich ein Glei-chungssystem mit der Dreimomentengleichung angeben (angepaßt auf schubweiche Stäbe). Es gilt:

nM

1+nM

1−nM

1+nl

nl

1−nl

nA

1−nA

1+nA

=

×

− KKKK C

CC

M

MM

AB

BABBA

MM

L

LOMMM

L

L

2

1

2

1

1

321

21

00

000

mit den äußeren Momenten ein Gleichungssystem

nM

Bild 9 Beanspruchung durch Biegemomente

mit ( ) ([ ]11 44121

++ +⋅++⋅⋅= nnnnn llA ηη )

( )11 2121

−− −⋅⋅= nnn lB η

⋅

−+⋅

+⋅= −

−1

1

21

22

61

nn

nn

n MMCηη

mit 2

2

2

8,2812

n

Q

n

Qn l

ilAG

IE κκη

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅=

Gleichmäßig aufgebaute Systeme lassen sich auch mit den folgenden Einflußfunktionen für das Moment an den gestützten Knoten in Abhängigkeit vom Schubfaktor η berechnen.

27

2.4.1.3 Einflußfunktionen für das Abklingen der Wirkung von Einzelmomen-ten

Bild 10 a Einflußfunktion für ein Mo-ment in einem Innenfeld eines langen Durchlaufträgers

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

eta = 0eta = 1eta = 2eta = 5eta = 10eta = 20eta = 50

Einflußfunktion für ein Moment

Träger

Bie

gem

omen

t

G

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.13397−

0.05051−

0

0.08579

0.15693

0.22571

0.30482

0.0359

0.0051

0

0.01472

0.04925

0.10189

0.18583

0.00962−

0.00052−

0

0.00253

0.01546

0.04599

0.11331

0.00258

0.00005

0

0.00043

0.00485

0.02076

0.06912

0.00069−

0.00001−

0

0.00007

0.00152

0.00937

0.04221

0.00019

0

0

0.00001

0.00048

0.00423

0.02584

0.00005−

0−

0

0

0.00015

0.00191

0.01594

0.00001

0

0

0

0.00005

0.00087

0.01003

0−

0−

0

0

0.00001

0.00041

0.00662

=

0

1

2

5

10

20

50

Bild 10 b Einflußfunktion für ein Moment an der ersten Innenstütze eines Durchlaufträgers

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4



Träger

Bie

gem

omen

t

G

0.49742

0.49995

0.5

0.49957

0.49515

0.47924

0.43095

0.13328−

0.0505−

0

0.08571

0.15541

0.21634

0.26271

0.03571

0.0051

0

0.01471

0.04878

0.09766

0.16015

0.00957−

0.00052−

0

0.00252

0.01531

0.04408

0.09763

0.00256

0.00005

0

0.00043

0.0048

0.0199

0.05952

0.00069−

0.00001−

0

0.00007

0.00151

0.00898

0.03628

0.00018

0

0

0.00001

0.00047

0.00406

0.02212

0.00005−

0−

0

0

0.00015

0.00183

0.01348

0.00001

0

0

0

0.00005

0.00083

0.00822

0−

0−

0

0

0.00001

0.00037

0.00501

=

0

1

2

5

10

20

50

28

Bild 10 c Einflußlinie für ein Moment am 2. Innenknoten (oberer Teil – für den unteren Teil kann die Linie des unendli-chen Trägers verwendet werden)

0 1

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6



Träger

Bie

gem

omen

t

G

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.134665−

0.050516−

0.000000

0.085861

0.158452

0.235081

0.346902

0.500185

0.500001

0.500000

0.500013

0.500478

0.504231

0.525662

=

0

1

2

5

10

20

50

2

Bild 10 d Einflußlinie für ein Moment am 3. Innenknoten (oberer Teil – für den unteren Teil kann die Linie des unendlichen Trä-gers verwendet werden)

0 1 2

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6



Träger

Bie

gem

omen

t

G

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.03608

0.00510

0.00000

0.01473

0.04973

0.10612

0.21148

0.13402−

0.05051−

0.00000

0.08579

0.15708

0.22762

0.32045

0.50001

0.50000

0.50000

0.50000

0.50005

0.50086

0.50954

=

0

1

2

5

10

20

50

3

29

Bild 10 e Einflußlinie für ein Moment am 4. Innenknoten (oberer Teil – für den unteren Teil kann die Linie des unendlichen Trägers verwendet werden)

0 1 2 3

0.4

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5



Träger

Bie

gem

omen

t

G

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00967−

0.00052−

0.00000

0.00253

0.01561

0.04790

0.12892

0.03591

0.00510

0.00000

0.01472

0.04930

0.10275

0.19535

0.13398−

0.05051−

0.00000

0.08579

0.15694

0.22610

0.31062

0.50000

0.50000

0.50000

0.50000

0.50000

0.50018

0.50354

=

0

1

2

5

10

20

50

4

Bild 10 f Einflußfunktion für das Moment am 2. Innenlager vom ein-gespannten Rand an.

0 1

0.4

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5



Träger

Bie

gem

omen

t

G

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.12436−

0.04999−

0.00000

0.08326

0.14147

0.17971

0.19153

0.49742

0.49995

0.50000

0.49957

0.49515

0.47924

0.43095

=

0

1

2

5

10

20

50

2

30

Bild 10g Einflußfunktion für das Moment am 3. Innenlager vom eingespannten Rand an.

0 1 2

0.4

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5



Träger

Bie

gem

omen

t

G

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.03332

0.00505

0.00000

0.01429

0.04440

0.08113

0.11676

0.13328−

0.05050−

0.00000

0.08571

0.15541

0.21634

0.26271

0.49981

0.50000

0.50000

0.49999

0.49952

0.49577

0.47434

=

0

1

2

5

10

20

50

3

Bild 10 h Einflußfunktion für das Moment am 4. Innenlager vom eingespannten Rand an.

0 1 2 3

0.4

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5



Träger

Bie

gem

omen

t

G

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00893−

0.00051−

0.00000

0.00245

0.01394

0.03662

0.07118

0.03571

0.00510

0.00000

0.01471

0.04878

0.09766

0.16015

0.13393−

0.05051−

0.00000

0.08578

0.15678

0.22380

0.28916

0.49999

0.50000

0.50000

0.50000

0.49995

0.49914

0.49046

=

0

1

2

5

10

20

50

4

31

2.4.1.4 Beanspruchung durch Wölbbimomente Beim nicht torsionsfreien Stab ergeben sich für den Eintrag eines Wölbbimomentes in den Stab folgende Gleichungen [7]:

t = Höhe des Lasteintrages

Bereich I

Bereich II

z

Wölbbimoment B

Bild 11 Gesamtstab tyx IIII ;;;ω

Gleichungen: Verdrehungen Θ : Bereich I

( ) ( )( ) ( )κκ

ζκτκ

ω coshsinh1cosh

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅

=ΘIElBz

Bereich II

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

−⋅

−⋅

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅

=Θκ

τζκκκ

ζκτκ

ω

sinhcosh

sinh1coshIElBz

mit geshz

=ζ gesht

=τ

St. Venantsche Torsion ( )τ−1 : Bereich I

( ) ( )( ) ( )( )κ

ζκτκκcosh

sinh1cosh1

⋅⋅−⋅⋅⋅=

lBzM t

Bereich II

( ) ( )( ) ( ) ( )( )τζκκ

ζκτκκ−⋅−

⋅⋅−⋅⋅⋅= sinh

coshsinh1cosh

1 lBzM t

32

Wölbbimoment: Bereich I

( ) ( )( ) ( )κ

ζκτκcosh

cosh1cosh ⋅⋅−⋅⋅= BzB

Bereich II

( ) ( )( ) ( ) ( )( )τζκκ

ζκτκ−⋅−

⋅⋅−⋅⋅= cosh

coshcos1coshBzB

Wölbtorsionsmoment: Bereich I ( ) 02 =zM t

Bereich II ( ) 02 =zM t

Die Gleichungen sind im wesentlichen von Wlassow [7] angegeben. Sie beruhen auf der klassischen Theorie der Wölbkrafttorsion, d.h. sie gelten, solange die aussteifenden Bauteile als Stäbe anzusehen sind (vergl. Kapitel 2.1.2). Die angreifenden Wölbbimomente ermitteln sich, indem die Kraft in Stabrichtung mit der Wölbordinate ihres Angriffspunktes multipliziert wird. Dies gilt auch für Kräfte, die außerhalb des Querschnittes an-greifen. Die Wölbordinaten dieser Punkte sind von den Querschnittestellen, an denen die Kräfte ange-schlossen sind so fortzuschreiben, daß die Umfahrung von Schubmittelpunkt aus einfach fortgesetzt wird.

2.4.2 Die Schnittkräfte im Gesamtsystem Die Schnittkräfte im Gesamtsystem, die sich aus Vertikalkräften ermitteln, sind insoweit trivial, wie es sich um Biegemomente und Wölbbimomente von torsionsfreien Aussteifungssystemen handelt. Sie er-mitteln sich nach Kap. 2.3.1 aus den horizontalen Auflagerkräften, die mit den Ansätzen aus 2.4.1 bereitgestellt werden können. Verfügt der Gesamtstab über St. Venantsche Torsionssteifigkeit, so gelten hier die Ansätze von 2.3.2.

2.5 Besonderheiten der Berechnung

2.5.1 Scheiben mit Öffnungen Allgemein lassen sich Scheiben mit Öffnungen als Rahmentragwerke darstellen, bei dem die nicht durch Öffnungen gestörten Teile als Riegel bzw. Rahmenstiele aufgefaßt werden. Die Riegel und Stiele sind dabei als Timoshenko-Stäbe zu modellieren, d.h. die Schubverformung ist zu beteiligen. Um die Steifigkeit der Knotenbereiche zu erfassen, ist es weder sinnvoll, bei allen Knotenbereichen durchweg unverformbare Zonen anzunehmen, noch lassen sich die Knoten auf die theoretischen Kreu-zungspunkte setzen. Die beste Näherung dürfte damit erzielt werden, daß die Stäbe mit der Dicke d in den Knoten um d⋅2.0 hinein verlängert werden. (siehe Bild 12)

33

Bereich praktisch nicht verformbar (Starrkörper)

elastischer Stab Bild 12 Steife Bereiche in rahmenartigen Strukturen In der Literatur finden sich zahlreiche Berechnungsansätze für Scheiben mir Öffnungsreihen. Diesen ist gemeinsam, daß die Wirkung der Öffnungsreihe „verschmiert“ wird, d.h. als ein Bereich verminderter Schubsteifigkeit aufgefaßt wird. Eine einfache Berechnungsmöglichkeit solcher Systeme besteht darin, die Verschiebungen des rahmenar-tigen Tragwerkes getrennt zu ermitteln. 1

vR

Bild 13: Verformung des Rahmens Mit einer Veränderung des Qκ - Wertes zu

kNhvAG

g

Rges 1⋅

⋅⋅+= κκ

mit - Verschiebung eines Geschosses infolge der Horizontalkraft 1 kN infolge Rv

der Biegemomente im Rahmen (bei gedrungenen Riegeln kann hier auch die Schubverformung der Riegel beteiligt werden)

- Gleitmodul G - Querschnittsfläche der Stützenquerschnitte A - Geschoßhöhe gh Für die Wand mit einer Öffnungsreihe wird:

34

⋅+⋅⋅

+

⋅

+⋅

=

Riegel

RiegelQ

Riegel

stat

geschoß

geschoßstat

Stütze

StützeQ

St

statstat

R

AGIl

Elh

lAGI

hE

h

kNv,

22

,2

121

121

2

1

κκ

Bild 14 Rahmenartiger Stab

b

RR AI ;

RR AI ;

sh

sRIsLI

Damit können die Trägheitsmomente des Gesamtquerschnittes verwendet werden. Die Berechnung von Scheiben mit regelmäßigen Öffnungsreihen ist mit diesem Ansatz mit den Gleichungen auszuführen, die für geschlossene Querschnitte gelten.

2.5.2 Aufzugs- und Installationsschächte

Aufzugsschächte und Installationsschächte eignen sich zur Aussteifung von Bau-werken, da sie natürlicherweise in allen Geschossen vorhanden sind. Als schachtar-tige Baukörper sollten sie sowohl über eine Biegesteifigkeit, als auch über ein Tor-sionssteifigkeit verfügen. Wegen der in jedem Geschoß vorhandenen Öffnungen ist eine Berechnung als geschlossener Querschnitt jedoch nicht möglich. Die Sturzbereiche über den Türöffnungen führen jedoch zu einer nicht geringen Torsionssteifigkeit, die nach den hier beschriebenen Regeln zu berechnen ist. Der Aufzugsschacht wird zunächst als offener Querschnitt aufgefaßt, dessen Quer-schnittswerte bestimmt werden. Er ist am geometrischen Ort seines Schubmittel-punktes angeordnet. Wenn der Querschnitt nun tordiert wird, so wirken die Rah-men aus den Türsturzbereichen und den Pfeilerbereichen neben den Türen der Verwölbung des Querschnittes entgegen. Die Verschieblichkeit des die Verwöl-bung behindernden Rahmens berechnet sich zu

Abbildung 15 Querschnitt

35

slsr

slsr

rr KK

bba

AGa

IEa

+

+

++

⋅+

⋅=

2

3

122,1

12δ

Abbildung 16 Aufzugsschacht

α l l

mit 12

3r

rrhtI ⋅=

rrr htA ⋅=

( ) ( )( ) ( )1930452745

4428428204262342

2222

++++⋅+++++++++

⋅⋅

=ααααηη

ααααηααη

st

sts l

EIK

mit: =stl elastische Länge der Stütze

=η Schubbeiwert der Stütze siehe Abschnitt 2.4.1.2 =α Länge des starren Bereiches (Knotenbereich) Der elastische Bereich ist stets bis die lichte Weite vermehrt um die 0,2fache Trägerhöhe in den Knoten hinein, wenn der Knoten groß genug ist. Die Verschiebungsmatrix des offenen Schachtes bestimmt sich zu (i – Ort; k Stelle der Ursache)

( )[ ] ( )

κκζκτκδ

ω coshsinh1cosh4 2

⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅

= gesm

iK hIE

A

solange i K≥

( )[ ] ( )

1

2

coshsinh1cosh4

δκκ

ζκτκδω

+⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅= ges

mii h

IEA

für i wird: K<

( )[ ] ( ) ( )[ ]κ

τζκκκ

ζκτκδω

−⋅−

⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅

=sinh

coshsinh1cosh4 2

gesm

iK hIE

A

mit umschlossene Fläche des Schachtes schschm dbA ⋅= =

ω

κIEIGh t

ges ⋅⋅

=

ges

K

hh

=τ

ges

i

hh

=ζ

Die Lastseite des Gleichungssystems ermittelt sich aus den angreifenden Torsionsmomenten auf die Aus-steifung.

36

∑=

=h

KoiKoi

1δδ

( )( ) ( )( ) (( ))

−⋅⋅−−−−⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅

=κ

ζκτκζτκκκ

δω cosh

1cosh1coshcoshcosh122

2gesKm

oiK

hIEMA

für iK ≥

( )( ) ( )( )

κζκτκ

κδ

ω cosh1cosh1cosh2

2

2 −⋅⋅−−⋅⋅

⋅⋅

= gesKmoiK

hIEMA

Damit ergibt sich das Gleichungssystem

⋅

=

nnnn

n

n F

FF

M

LL

MOMM

ML

L

M2

1

1

2221

11211

0

02

01

δδ

δδδδδ

δ

δδ

dessen Lösung die gesuchten Riegelquerkräfte sind. Die Verdrehungen des Systems ermitteln sich mit den Gleichungen des Abschnittes 2.4.2 unter Beach-tung des Zusammenhanges für das Wölbbimoment aus einer nicht im Schubmittelpunkt angreifenden Normalkraft mii AFB ⋅= Regelmäßige Aufzugskerne lassen sich durch „Verschmieren“ der Riegel berechnen, indem eine gleich-mäßige Torsionssteifigkeit des Aufzugsschachtes von

1

2 14δ⋅

⋅+=Gh

AII

ges

mttv

mit 1δ - Verschieblichkeit der Riegel aus Riegel siehe oben. Um Labilitätszahlen auch bei unregelmäßigen Aufzugsschächten zu ermitteln, kann die Näherungsformel auch für unregelmäßige Schächte verwendet werden. Sie nimmt dann die Form an

[ ]∑∑

⋅⋅⋅⋅

+=Gh

AII

ges

mttv

12

224δζζ

Die Summe ist über alle Geschosse zu führen.

37

2.6 Berechnung unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung

2.6.1 Die theoretischen Grundlagen Ist die Grenze der Stabkennzahlen in Kapitel 1.1 nicht eingehalten, so fordert die Norm eine Berücksich-tigung von Einflüssen aus der Stabverformung. Die Stabilitätsberechnung des Aussteifungssystems mit den angekoppelten Stützen führt auf die Berechnung poltreuer Lasteinleitung. Bei hinreichend vielen Geschossen lassen sich die Abtriebskräfte in der Höhe verteilt ansetzen (ver-schmiert), so daß die Knick-DGL wieder allgemein gelöst werden kann. Dieser Fall ist für Aussteifungen, die mit einem Ersatzstab nachgewiesen werden können, hinreichend, da diese Berechnung ohnehin ein höheres Bauwerk voraussetzt.

2.6.2 Anwendungsgleichungen Mit den Grundannahmen des Vianello-Verfahrens3 ermittelt man für einen Kragarm mit gleichmäßig ver-teilt angeschlossenen biegeschlaffen Nebenstützen einen Erhöhungsfaktor für die Biegemomente, solange ein reines Euler-Knicken maßgebend wird zu

( )22

.

12,1

1

1

ges

d

gesd

HIE

Fπ

α

⋅−

=

bzw. mit dem Sicherheitssystem von DIN 1045 A88

( )22

.

2 12,1

1

1

837,71

1

ges

gesu

ges

ges

HIE

F

HIEF

πγ

α

⋅⋅−

=

⋅⋅

−=

Für die Verdrehung läßt sich ein einfacher Ausdruck im Falle der Stabilisierung ohne reine Torsion ange-ben, der theoretisch nur gilt, wenn die stabilisierenden Bauteile selbst keine Vertikallasten abtragen. Sie sollte also nur angewandt werden, wenn 80% der Vertikallasten durch die angekoppelten Stützen ge-tragen werden. Die Gleichung ist dann

3 Das Verfahren nach L. Vianello (1911) geht von der Näherung aus, daß die Lastbiegelinie nach Theorie I.Ordnung affin zu der Biegelinie nach Theorie II.Ordnung ist. Damit gilt für die Durchbiegung nach Theorie II.Ordnung

1−⋅=v

vff III bzw. 1−

⋅=v

vMM III mit vorh

ki

nnv =

38

( )22

.

12,1

1

1

ges

wd

Pgesd

HCE

IFπ

αϕ

⋅⋅

⋅−

=

Hinweis: Der Index d steht für „designete“ Lasten bzw. Materialwerte, die mit den entsprechen-

den Sicherheitsfaktoren multipliziert wurden. Wenn eine Berechnung Theorie II. Ordnung erforderlich wird und die Vertikalkräfte wesentlich von den aussteifenden Bauteilen getragen werden oder wesentliche reine Torsion zu beachten ist, dann ist eine Be-rechnung nach Kap. 3 als 3-D-Stabwerk erforderlich.

2.7 Ermittlung von Eigenschwingungsdauern und Eigenwerten Zum Nachweis der Erdbebensicherheit nach dem Antwortspektrumverfahren ist die Ermittlung der Ei-genschwingungsdauer und der Eigenform erforderlich. Wenn das Bauwerk durch Zusammenfassung der aussteifenden Elemente zu einem Ersatzstab zu berechnen war, können die Eigenformen aus den Verfor-mungsfähigkeiten mit den folgenden Ansätzen ermittelt werden: Die Eigenfrequenzen und Eigenformen bestimmen sich als Eigenwerte der Gleichung [ ] 0det =⋅− ωMK wobei K die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Bauwerkes ist, die (mindestens) alle massebelegten Verfor-mungen enthält. Zur Ermittlung von K kann die Beziehung 1−= DK genutzt werden, wobei D die Deformationsmatrix (aus dem Kraftgrößenverfahren) des Systems ist. Diese Matrix D läßt sich für alle massebelegten Verformungen mit folgenden Beziehungen aufstellen: Wenn für das Aussteifungssystem eines Gebäudes die Voraussetzungen der technischen Biegelehre gelten (mit den Wagnerschen Erweiterungen), dann ergeben sich für die Verschiebungen und Verdrehungen des Bauwerkes die bekannten Differentialgleichungen: für die Verbiegungen in Richtung einer Hauptachse ( ) ''''wIExp ⋅⋅=und für die Verdrehungen um den Schubmittelpunkt ( ) ''''ϑ⋅⋅= ECxm wt

Die Lösung dieser Gleichungen lassen sich aus jedem Handbuch der Statik entnehmen. So ergibt sich

für den eingespannten Kragarm die Biegelinie

( ) ( )33

326

ξξ +−⋅⋅⋅

=IE

Plxw

Bild 11 Kragträger

39

Damit ergibt sich für die Verformung des Punktes i unter einer Last am Punkt k der Ausdruck

+−⋅

⋅⋅⋅

=33

326 k

i

k

ikik h

hhh

IEhP

δ

für ik hh ≥für können nach dem Betti-Satz die Indizes vertauscht werden und damit ki hh ≥

die gleichen Ansätze verwendet werden. Verdrehungen des Wölbstabes ohne St. Venantschen Torsionswiderstand lassen sich auf eben diese Wei-se berechnen. Es gilt:

( ) ( )33

326

ξξϑ +−⋅⋅⋅⋅

=wCE

lMx

und damit

+−⋅

⋅⋅⋅

=33

326 k

i

k

i

w

kikM h

hhh

CEhM

ϑ

Damit wird die entsprechende Untermatrix

=

nnnnn

n

n

n

MD

δδδδ

δδδδδδδδδδ

L

MOMMM

L

LL

LL

321

3332313

22212

11211

wobei n jeweils die Anzahl der Geschosse ist. Befinden sich die Massen nun nicht auf der Steifigkeitsachse, sondern in einem Abstand und , so ergeben sich aus den Verdrehungen auch Verschiebungsanteile. Es wird damit für die Verschiebungen in x – Richtung

xe ye

+−⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅

=333

1 3266 k

i

k

i

w

kykyixkxik h

hhh

CEheeP

IEhP

δ

Aus kommt hier auch eine Verschiebung in y-Richtung xP

+−⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅=

33

2 326 k

i

k

i

w

kxiykxik h

hhh

CEheeP

δ

40

bzw. aus der Beanspruchung mit Momenten

+−⋅

⋅⋅⋅⋅

=33

3 326 k

i

k

i

w

kxiik h

hhh

CEheM

δ

Diese δ -Werte stehen jeweils in den entsprechenden Untermatrizen , bzw. . 1D 2D 3D Die Untermatrizen , und entstehen jeweils durch Vertauschung der Indizes x und y aus ,

und . 4D 5D 6D 1D

2D 3D Die Gesamt-Nachgiebigkeitsmatrix wird damit

=

563

642

321

DDDDDDDDD

D T

TT

Die Hebelarme e und können dabei vom Geschoß abhängen. Es ist also regelmäßig e bzw. e in die Gleichungen einzusetzen.

x ye xk yk

2.7.1 Auswirkungen des Überganges in den Zustand II Schlanke Aussteifungssysteme können durch Rißbildungen weicher werden, d.h. eine geringere Biege- u. Wölbsteifigkeit aufweisen. Da beide Effekte Biegewirkungen sind, kann für beide Effekte näherungswei-se die gleiche Abminderung verwendet werden. Näherungsweise wird mit einer Steifigkeit von rund 0,8

IIBEI bzw. 0,8 gerechnet. wEC

Der Ansatz der Steifigkeitsminderung ist jedoch nicht auf der „sicheren Seiten“, da ein steiferes Bauwerk größere Erdbebenkräfte ausbilden kann. So sollte die Abminderung für den Übergang zum Zustand II nur dann angesetzt werden, wenn das Aussteifungssystem garantiert in den Zustand II gerät (die Betonzug-

spannungen unter Wind größer als 32

30,0 bzm ββ = werden). Wenn in dieser Berechnung die Schubverformungen berücksichtigt werden sollen, so können die Steifig-keiten aller Trägheiten mit den Gleichungen unten genannter Tabelle abgemindert werden. Das Ergebnis ist dann für die erste Eigenform näherungsweise zutreffend, für weitere Eigenformen je-doch nicht brauchbar. Eine Berechnung, die auch höhere Eigenformen zutreffend abbildet, ist mit den Ansätzen in Kapitel 3 möglich.

41

2.7.2 Auswirkungen der Schubverformung auf die erste Eigenform System

Faktor für die Umrechnung der Querschnittswerte aller Einzelstäbe zur Ermittlung der Eigenformen unter Beteiligung der Schubverzerrung

22

2

. 2,7 nQnredn ih

hII⋅⋅+

⋅=κ

22

2

. 8,28 nQnredn ih

hII⋅⋅+

⋅=κ

hh1

1 =η

( )

( ) ( )21

2312

121

2

312

121

2

. 12,711

ηηηηη

+⋅⋅⋅+−+⋅−+⋅

⋅=nQ

nredn ikhh

II

22

2

1 58,721

nQn ih

hI⋅⋅+

⋅→=κ

η

hh1

1 =η ; hh2

2 =η

( )( )

( )( ) ( )22

21

232

312

122

21

2

32

312

122

21

2

. 12,711

ηηκηηηηηηηη

++⋅⋅⋅++⋅−++⋅+⋅−++⋅

⋅=nQ

nredn ihh

II

32

1 =η ; 22

2

2 06,831

nQn ih

hI⋅⋅+

⋅→=κ

η

h

h

1h

h

2h

1h

h

Mit Qκ = Beiwert in Abhängigkeit von der Querschnittsform

42

3 Die Berechnung von Aussteifungssystemen mit 3-D-Stabwerken

Die Berechnung des Aussteifungssystems durch Zusammenfassung zum Gesamtstab gestaltet sich, wie oben gezeigt, durchaus aufwendig. Außerdem ist der Berechnungsansatz an sehr enge Grenzen gebunden. Es liegt nahe, diese Berechnung durch den allgemeinen Ansatz eines räum- lichten Stabwerkes zu erset-zen. Vorteile des Ansatzes von räumlichen Stabwerken sind: Steifigkeitssprünge lassen sich berücksichtigen.

Die Schubverformung ist gesondert zu behandeln, d.h. mit einer entsprechenden Änderung der

Schubtragfähigkeit können die Berechnungsergebnisse geändert werden.

Die Berechnung wird weitgehend unabhängig von der Vorstellung eines Schubmittelpunktes.

Die Ergebnisse der Aussteifungsberechnung sind unmittelbar für den Nachweis der Erdbebensi-cherheit nutzbar.

3.1 Berechnungsverlauf einer Aussteifungsberechnung mit 3-D Stabwerken Die Berechnung einer Aussteifung mit 3-D-Stabwerken folgt grundsätzlich den Regeln des Weggrößen-verfahrens. Das bedeutet: Es werden die Stabsteifigkeitsmatrizen aller beteiligten Stäbe aufgestellt.

Die Steifigkeitsmatrizen werden mittels einer Transformationsmatrix in den Winkel gedreht, in

dem das Hauptachsensystem zum globalen Koordinatensystem steht.

Diese Matrix wird mit einer Verschiebungsmatrix auf die Stelle des Schubmittelpunktes des ent-sprechenden Stabes geschoben. Der Ausgangspunkt (Ursprung des globalen Koordinatensystems) ist dabei nicht vorgeschrieben.

Durch entsprechende Zusammenfassung der geschoßweisen Stabsteifigkeitsmatrizen werden die Gesamtsteifigkeitsmatrizen eines jeden aussteifenden Stabes gebildet.

Die Gesamtsteifigkeitsmatrizen der Stäbe werden so umgeordnet, daß die Verschiebungswerte , und

xu

yu tϕ eines jeden Geschosses an den Anfang treten.

Damit läßt sich die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Systems bilden. Die Geschoßverschiebungen u , und

x

yu tϕ werden dabei von den einzelnen Stäben gleich angenommen.

Mit dieser Gesamtsteifigkeitsmatrix kann das Gleichungssystem des Weggrößenverfahrens gelöst

werden.

43

3.2 Darstellung der Berechnungsschritte

3.2.1 Die Stabsteifigkeitsmatrizen Für Aussteifungsberechnungen kommen die Stabsteifigkeitsmatrizen eines 3-D-Stabes mit oder ohne St. Venantsche Torsion bzw. mit oder ohne Wölbkrafttorsion in Frage. Da die Torsionsmomente regelmäßig nur in den Geschoßdecken, d.h. den Knoten eingeleitet werden, ist ein Näherungsansatz für die Torsion möglich. Die Stabsteifigkeitsmatrizen sind im einzelnen: Für den 3-D-Stab mit St. Venantscher Torsion und Wölbkrafttorsion Mit den Vorwerten:

k0 2 1 C−( )⋅ 1 κωQ+( ) λ⋅ S⋅ l⋅+:=

k1 1 κωQ+( ) λ⋅ S⋅:=

k2 C 1−:=

k3 C l⋅1

1 κωQ+( ) λ⋅S−:=

k41

1 κωQ+( ) λ⋅S l−:=

Wobei die Abkürzungen: C cosh λ l⋅( ):=

S sinh λ l⋅( ):=

Mit l = Stablänge und

λG It⋅

E Cw⋅

1κωQ 1+

:=

ηx12E Iy⋅ κxQ⋅

G A⋅ l2⋅:= ηy

12E Ix⋅ κyQ⋅

G A⋅ l2⋅:=

sowie: wird schließlich die Stabsteifigkeitsmatrix aus den 4 Untermatritzen zusammengesetzt:

KK1

K2T

K2

K3

:=

I t 0:=

Diese Form der Stabsteifigkeitsmatrix sollte nur bei wesentlicher Torsionsstei-figkeit verwendet werden, da der Anteil der Wölbschubverformung für ebenfalls verschwindet.

44

K 1

A⋅

l

0

0

0

0

0

0

0

12 E I x⋅

l3 1 η y+( )⋅

0

0

0

6 E I x⋅

l2 1 η y+( )⋅

0

0

0

12 E I y⋅

l3 1 η x+( )⋅

0

6− E I y⋅

l2 1 η x+( )⋅

0

0

0

0

0

G I t⋅k 1

k 0⋅

0

0

G I t⋅k 2

k 0⋅

0

0

6− E I y⋅

l2 1 η x+( )⋅

0

4 η x+( ) E⋅ I y⋅

l 1 η x+( )⋅

0

0

0

6 E I x⋅

l2 1 η y+( )⋅

0

0

0

4 η y+( ) E⋅ I x⋅

l 1 η y+( )⋅

0

0

0

0

G I t⋅k 2

k 0⋅

0

0

G I t⋅k 3

k 0⋅

:=

K 2

E− A⋅

l

0

0

0

0

0

0

0

12− E I x⋅

l3 1 η y+( )⋅

0

0

0

6− E I x⋅

l2 1 η y+( )⋅

0

0

0

12− E I y⋅

l3 1 η x+( )⋅

0

6 E I y⋅

l2 1 η x+( )⋅

0

0

0

0

0

G− I t⋅k 1

k 0⋅

0

0

G− I t⋅k 2

k 0⋅

0

0

6− E I y⋅

l2 1 η x+( )⋅

0

2 η x−( ) E⋅ I y⋅

l 1 η x+( )⋅

0

0

0

6 E I x⋅

l2 1 η y+( )⋅

0

0

0

2 η y−( ) E⋅ I x⋅

l 1 η y+( )⋅

0

0

0

0

G I t⋅k 2

k 0⋅

0

0

G I t⋅k 4

k 0⋅

:=

K 3

E A⋅

l

0

0

0

0

0

0

0

12 E I x⋅

l3 1 η y+( )⋅

0

0

0

6− E I x⋅

l2 1 η y+( )⋅

0

0

0

12 E I y⋅

l3 1 η x+( )⋅

0

6 E I y⋅

l2 1 η x+( )⋅

0

0

0

0

0

G I t⋅k 1

k 0⋅

0

0

G− I t⋅k 2

k 0⋅

0

0

6 E I y⋅

l2 1 η x+( )⋅

0

4 η x+( ) E⋅ I y⋅

l 1 η x+( )⋅

0

0

0

6− E I x⋅

l2 1 η y+( )⋅

0

0

0

4 η y+( ) E⋅ I x⋅

l 1 η y+( )⋅

0

0

0

0

G− I t⋅k 2

k 0⋅

0

0

G I t⋅k 3

k 0⋅

:=

EE

45

Für den 3-D-Stab mit oder ohne St. Venantscher Torsion sowie mit Wölbkrafttorsion:

K1

E A⋅l

0

0

0

0

0

0

0

12 E⋅ Ix⋅

l3 1 ηy+( )⋅

0

0

0

6 E⋅ Ix⋅

l2 1 ηy+( )⋅

0

0

0

12 E⋅ Iy⋅

l3 1 ηx+( )⋅

0

6− E⋅ Iy⋅

l2 1 ηx+( )⋅

0

0

0

0

0

12 E⋅ Cw⋅

l3 1 ηω+( )⋅

6 G⋅ It⋅

5 l⋅+

0

0

6 E⋅ Cw⋅

l2 1 ηω+( )⋅

G It⋅

10+

0

0

6− E⋅ Iy⋅

l2 1 ηx+( )⋅

0

4 ηx+( ) E⋅ Iy⋅

l 1 ηx+( )⋅

0

0

0

6 E⋅ Ix⋅

l2 1 ηy+( )⋅

0

0

0

4 ηy+( ) E⋅ Ix⋅

l 1 ηy+( )⋅

0

0

0

0

6 E⋅ Cw⋅

l2 1 ηω+( )⋅

G It⋅

10+

0

0

4 ηω+( )E Cw⋅

l 1 ηω+( )⋅

2G It⋅ l⋅

15+

:=

K2

E− A⋅l

0

0

0

0

0

0

0

12− E⋅ Ix⋅

l3 1 ηy+( )⋅

0

0

0

6− E⋅ Ix⋅

l2 1 ηy+( )⋅

0

0

0

12− E⋅ Iy⋅

l3 1 ηx+( )⋅

0

6 E⋅ Iy⋅

l2 1 ηx+( )⋅

0

0

0

0

0

12− E⋅ Cw⋅

l3 1 ηω+( )⋅

6 G⋅ It⋅

5 l⋅−

0

0

6− E⋅ Cw⋅

l2 1 ηω+( )⋅

G It⋅

10−

0

0

6− E⋅ Iy⋅

l2 1 ηx+( )⋅

0

2 ηx−( ) E⋅ Iy⋅

l 1 ηx+( )⋅

0

0

0

6 E⋅ Ix⋅

l2 1 ηy+( )⋅

0

0

0

2 ηy−( ) E⋅ Ix⋅

l 1 ηy+( )⋅

0

0

0

0

6 E⋅ Cw⋅

l2 1 ηω+( )⋅

G It⋅

10+

0

0

2 ηω−( )E Cw⋅

l 1 ηω+( )⋅

G It⋅ l⋅

30−

:=

K3

E A⋅l

0

0

0

0

0

0

0

12 E⋅ Ix⋅

l3 1 ηy+( )⋅

0

0

0

6− E⋅ Ix⋅

l2 1 ηy+( )⋅

0

0

0

12 E⋅ Iy⋅

l3 1 ηx+( )⋅

0

6 E⋅ Iy⋅

l2 1 ηx+( )⋅

0

0

0

0

0

12 E⋅ Cw⋅

l3 1 ηω+( )⋅

6 G⋅ It⋅

5 l⋅+

0

0

6− E⋅ Cw⋅

l2 1 ηω+( )⋅

G It⋅

10−

0

0

6 E⋅ Iy⋅

l2 1 ηx+( )⋅

0

4 ηx+( ) E⋅ Iy⋅

l 1 ηx+( )⋅

0

0

0

6− E⋅ Ix⋅

l2 1 ηy+( )⋅

0

0

0

4 ηy+( ) E⋅ Ix⋅

l 1 ηy+( )⋅

0

0

0

0

6− E⋅ Cw⋅

l2 1 ηω+( )⋅

G It⋅

10−

0

0

4 ηω+( )E Cw⋅

l 1 ηω+( )⋅

2G It⋅ l⋅

15+

:=

46

Hier gilt für mit dem Querkraftbeiwert nach Gl. [] Die Stabsteifigkeitsmatrix setzt sich wieder aus den Untermatrizen zusammen:

ηω12E Cw⋅ κωQ⋅

G Ir⋅ l2⋅:=

KK1

K2T

K2

K3

:=

3.2.2 Stabsteifigkeitsmatrix des wölbfreien Stabes Beim wölbfreien Stab ist die Verwölbung definitionsgemäß 0. Damit einfällt in jeder der vorstehenden Untermatrizen die letzte Zeile bzw. Spalte.

3.2.3 Die Transformationsmatrix Die Transformationsmatrix ist, da alle an der Aussteifung beteiligten Stäbe senkrecht stehen, nur vom Winkel γ , der Verdrehung des Hauptachsensystems des Stabes zum globalen Koordinatensy-stem, abhängig. Sie lautet für Stäbe mit Wölbkrafttorsion (die Stabsehnenlängenänderung ist hier weggelassen).

T γ

cos γ( )sin γ( )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

sin γ( )−

cos γ( )0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

cos γ( )sin γ( )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

sin γ( )−

cos γ( )0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

cos γ( )sin γ( )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

sin γ( )−

cos γ( )0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

cos γ( )sin γ( )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

sin γ( )−

cos γ( )0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

:=

sowie für Stäbe ohne Wölbkrafttorsion

T γ

cos γ( )sin γ( )−

0

0

0

0

0

0

0

0

sin γ( )cos γ( )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


0

0

0

0

0

0

0

0

sin γ( )cos γ( )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


0

0

0

0

0

0

0

0

sin γ( )cos γ( )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


0

0

0

0

0

0

0

0

sin γ( )cos γ( )

:=

47

Die gedrehte Steifigkeitsmatrix ist dann γγγ TKTK T ⋅⋅=

3.2.4 Die Verschiebungsmatrix Die Verschiebungsmatrix nimmt eine Parallelverschiebung des Stabes um den Betrag x und y vor. Sie er-gibt sich zu:

T v

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

y m

x m−

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

y m

x m−

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

:=

Für den Stab entfallen wieder die 6. und die 12. Zeile bzw. Spalte.

Damit wird die Steifigkeitsmatrix des verschobenen Stabes v

Tv TKTK ⋅⋅= γγβ

3.3 Die Zusammenfassung des aussteifenden Stabes

Die Steifigkeitsmatrix des aussteifenden Stabes ergibt sich mit

=

bbba

abaa

KKKK

Kγβ

48

zu

+

+

=

OMMM

KO

L

L

3

3322

221

0

0

ba

abaabbba

abaabb

KKKKK

KKK

G

In dieser Matrix werden die Formänderungen geschoßweise in folgender Reihenfolge behandelt

u yl

u xl

φ tl

φ yl

φ xl

Γ tl

u yr

u xr

φ tr

φ yr

φ xr

Γ tl

Verschiebungen in den Richtungen x bzw. y

Verdrehung um die lotrechte Achse

Verdrehung um die Hauptachsenrichtungen x bzw. y

Verwölbung des Querschnittes

3.3.1 Sortieren, um die Deckenverschiebungen nach oben zu holen

Diese Matrix ist so umzustellen, daß die Deckenverformungen u , , 1x 1yu 1tϕ , usw. an dem An-fang stehen.

2xu

Die Steifigkeitsmatrix unterteilt sich damit in die Untermatrizen

=

nn

nnn UUF

UFUDK

hungenStabverdre

chiebungenDeckenvers

3.3.2 Die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix hat dann die Struktur

49

=

OMMM

L

L

L

22

11

21

00

UUFUUF

UFUFUD

GE

Dabei bedeuten Untermatrix der Verschiebewerte der Decken =UD d.h. Summe aller Steifigkeitswerte der einzelnen Stäbe ∑= nUDUD bzw. UF sind die entsprechenden Untermatrizen nU n

der umgeordneten Steifigkeitsmatrix Wenn auf die Berechnung von Stabdrehwinkeln verzichtet werden kann, kann diese Matrix nach Kap. 3.7.1 reduziert werden.

3.4 Das Gleichungssystem des Weggrößenverfahrens: Mit dem Lastvektor (erster Index: Geschoß) (zweiter Index: aussteifender Stab)

=

M

M

21

11

11

11

2

1

1

1

y

x

y

x

t

x

y

MWMM

PMPP

L

wird das Gleichungssystem LUGE =⋅ mit dem Lösungsvektor U, den Verschiebungen. Diese Verschiebungen sind wieder in die oben er-läuterte Reihenfolge zu ordnen, womit der Vektor [ ]u entsteht.

50

3.5 Die Schnittkräfte

Die Schnittkräfte eines jeden Stabes ergeben sich zu:

[ ]γβKuTS T ⋅⋅= mit u = Verschiebungsvektor der Stabendknoten in der Reihenfolge von K. Es ergeben sich die Schnittkräfte in der Reihenfolge: Qy ; Qx ; Mt ; Mx ; My ; W.

3.6 Behandlung von Unregelmäßigkeiten Nur selten sind Aussteifungssysteme so ausgebildet, daß alle aussteifenden Elemente in jedem Geschoß in gleicher Weise vorhanden sind. Gerade in den Untergeschossen vieler Bauwerke sind häufig Öffnun-gen in aussteifenden Wänden erforderlich und damit wesentliche Störungen des Aussteifungssystems ge-geben. Diese Abweichungen sollten bei einer Aussteifungsberechnung und müssen bei einem rechnerischen Erd-bebennachweis berücksichtigt werden. Mit der Berechnung mittels schubweicher 3-D-Stäbe ist diese Einarbeitung auch ohne größeren Aufwand möglich, weil die Stabsteifigkeitsmatrix eines jeden Stabes in jedem Geschoß anders sein kann. Dabei können folgende Fälle auftreten:

3.6.1 Scheiben, die nicht ins unterste Geschoß reichen Sind Scheiben oder Kerne in einem Geschoß über der Einspannebene abgefangen, so ist diese Abfang-ebene auch rechnerisch der Beginn dieser Scheibe (wenn das System nicht nach Theorie II. Ordnung un-tersucht werden muß). Die Abfangkonstruktion ist dann durch Biegefedern in beide Richtungen bzw. eine federnde Wölbein-spannung zu ersetzen. Bei Systemen, die nach Theorie II. Ordnung zu rechnen sind, können diese Biege- und Wölbfedern auch als Stabsteifigkeiten eines Stabes mit sehr großen Qκ -Werten (sehr kleinen Schubflächen) aufgefaßt wer-den. Damit können alle aussteifenden Elemente bis in die Einspannebene geführt werden, um die Aus-wirkung der Theorie II. Ordnung mit zu untersuchen (vergl. Abschnitt 3.7).

3.6.2 Stäbe mit verringertem Querschnitt Ist ein aussteifender Kern in einem Geschoß stark geschwächt, so kann dieser kleinere Querschnitt solange problemlos zur Bildung des aussteifenden Stabes in Rechnung gestellt werden, wie die einzelnen Querschnittsteile aneinander angeschlossen sind, so daß die Schnittkräfte von einem in den anderen Quer-schnitt übergeben werden können.

51

Bild 12 Steifigkeitssprung Ist das nicht der Fall, so entsteht in einem Stab möglicher-weise ein Wölbbimoment aus der Lastweiterleitung. In die-sen Fällen empfiehlt sich eine Untersuchung des Details mit Faltwerks-ansätzen. In Einzelfällen sind auch hier die Übergangsbedingungen anzugeben.

Bild 13 Kern mit entstehenden Wölbbimomenten am Steifig-keitssprung

Die Übertragungsbedingungen lauten

∆−∆

∆−∆

∆⋅∆−∆−∆

1000000100000010000

0001000000100000010

0001

M

M

M

M

yx

yx

yxyx

mit x = Versatz der Schwereachsen der Stäbe in x - Richtung ∆ y = Versatz der Schwereachsen der Stäbe in y - Richtung ∆

; ∆ = Versatz der Schubmittelpunktsachsen Mx∆ My

52

3.6.3 Öffnungen in Kernen und Wandscheiben Wandscheiben und Kerne enthalten nicht selten einzelne Öffnungen oder ganze Öffnungsreihen. Diese Öffnungen führen dann zu stark verminderter Schubtragfähigkeit, weil der verbleibende Teil des ausstei-fenden Bauteiles sich rahmenartig verformt. Bei der Berechnung des räumlichen Stabwerkes genügt es hier häufig, allein den Wert Qκ zu korrigieren, da mit diesem Wert die Schubverformung vollständig gesteuert werden kann. Es wird mit den Ansätzen einer Rahmenberechnung die Horizontalverformung 1δ unter der Last ‚1‘ er-mittelt. Mit dem nach Abschnitt 2.2 ermittelten Wert für Qκ ergibt sich dann

GAh Qg

⋅

⋅⋅+=

κδδ

11

1 Daraus wird ein resQ.κ gebildet mit

Qgh

GA κ+⋅ g

resQ hGA δδκ ⋅

=⋅⋅

= 1.

Bild 14 Ersatzschubfläche Zur Berechnung der Horizontalverschiebung sind die Biege- und Schubsteifigkeiten der Stäbe und Riegel zu beteiligen. Die Stäbe werden bis zu den theoretischen Knotenpunkten geführt. Bei größeren Knotenbe-reichen ist nur eine Länge von der halben Dicht des Stabes als elastisch zu betrachten. elastisch mitwirkende Stäbe: Unendlich steife Stabbereiche: Bild 15 anzusetzende Steifigkeit der Strukturren

53

3.7 Berechnung nach Theorie 2. Ordnung Wenn sich beim Vergleich der Stabkennzahlen nach Kapitel 1 die Notwendigkeit einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung ergibt, so kann diese auch mit Hilfe der Stabwerksansätze erfolgen. Zu den Steifigkeitsmatrizen der einzelnen aussteifenden Stäbe wird jeweils die geometrische Stabsteifig-keitsmatrix addiert. Dabei ist zu unterscheiden zwischen der geometrischen Stabsteifigkeitsmatrix für Normalkräfte und eine geometrische Stagsteifigkeitsmatrix für die Biegemomente. Letztere tritt nur bei Querschnitten auf, deren Schubmittelpunkt vom Schwerpunkt abweicht. Fallen Schubmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen, so wird die geometrische Stabsteifigkeitsmatrix der Momentenbeanspruchung zur Nullmatrix. Die geometrische Stabsteifigkeitsmatrix für Normalkräfte hat die in Bild dargestellte Form: Außerdem müssen zusätzliche Stäbe eingeführt werden, die die Wirkung der angekoppelten Stäbe darstel-len. Die statische Steifigkeitsmatrix dieser stabilisierten Stäbe ist eine Nullmatrix, ihre geometrische Stei-figkeitsmatrix ist ausschließlich die oben genannte geometrische Steifigkeitsmatrix der Normalkräfte. Es genügt, die unbelasteten Stäbe durch zwei solche Hilfsstäbe dergestalt zu ersetzen, daß der Schwerpunkt der Lasten auf die unbelasteten Stäbe ebenso erhalten bleibt, wie das polare Trägheitsmoment dieser La-sten. Mit den Untermatritzen aus Bild wird schließlich die geometrische Steifigkeitsmatrix für die Normal-kraft (Wirkungen der Verschiebungen 2. Ordnung):

Die Geometrische Stabsteifigkeitsmatrix für die Biegemomente ist im folgenden getrennt nach denn Anteilen für N und M dargestellt.

K gN

K 1

K 21−

K 2

K 3

:=

54

K 1 N

0

0

0

0

0

0

0

0

1.2l

0

1.2 y M⋅

l

0

0.1

0.1 y M⋅

0

0

1.2l

1.2− xM⋅

l

0.1−

0

0.1− xM⋅

0

1.2 y M⋅

l

1.2− xM⋅

l

0

0.1 xM⋅

0.1 y M⋅

0

0

0

0.1−

0.1 xM⋅

2 l⋅15

0

2 l⋅15

xM

0

0.1

0

0.1 y M⋅

0

2 l⋅15

2 l⋅15

y M

0

0.1 y M⋅

0.1− xM⋅

0

2 l⋅15

xM

2 l⋅15

y M⋅

0

⋅:=

K 2 N

0

0

0

0

0

0

0

0

1.2−

l

0

1.2− y M⋅

l

0

0.1−

0.1− y M⋅

0

0

1.2−

l

1.2 xM⋅

l

0.1

0

0.1 xM⋅

0

1.2− y M⋅

l

1.2 xM⋅

l

0

0.1− xM⋅

0.1− y M⋅

0

0

0

0.1−

0.1 xM⋅

l30

−

0

l30

− xM

0

0.1

0

0.1 y M⋅

0

l30

−

l30

− y M

0

0.1 y M⋅

0.1− xM⋅

0

l30

− xM

l30

− y M⋅

0

⋅:=

K 3 N

0

0

0

0

0

0

0

0

1.2l

0

1.2 y M⋅

l

0

0.1

0.1− y M⋅

0

0

1.2l

1.2− xM⋅

l

0.1

0

0.1 xM⋅

0

1.2 y M⋅

l

1.2− xM⋅

l

0

0.1− xM⋅

0.1− y M⋅

0

0

0

0.1

0.1− xM⋅

2 l⋅15

0

2 l⋅15

xM

0

0.1−

0

0.1 y M⋅

0

2 l⋅15

2 l⋅15

y M

0

0.1− y M⋅

0.1 xM⋅

0

2 l⋅15

xM

2 l⋅15

y M⋅

0

⋅:=

55

K1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11Myi Myk−( )l 10⋅

0

0

0.1 Myi⋅

0

0

0

11Mxi Mxk−( )l 10⋅

0

0

0.1 Mxi⋅

0

11Myi Myk−( )l 10⋅

11Mxi Mxk−( )l 10⋅

35 l⋅

Ki Kk+( )

Mxi 2Mxk+

10

Myi 2Myk+

10−

Kk

10

0

0

0

Mxi 2Mxk+

10

0

0

l− 3Mxi Mxk−( )⋅

30

0

0

0

Myi 2Myk+

10−

0

0

l 3Myi Myk−( )⋅

30

0

0.1 Myi⋅

0.1 Mxi⋅

Kk

10

l− 3Mxi Mxk−( )⋅

30

l 3Myi Myk−( )⋅

30

lK1

10

Kk

30+

⋅

:=

K2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11 Myi⋅ Myk−( )l 10⋅

−

0

0

0.1− Myi⋅

0

0

0

11 Mxi⋅ Mxk−( )l 10⋅

−

0

0

0.1− Mxi⋅

0

11 Myi⋅ Myk−( )l 10⋅

−

11 Mxi⋅ Mxk−( )l 10⋅

−

35 l⋅

− Ki Kk+( )⋅

Mxi 2 Mxk⋅+

10−

Myi 2 Myk⋅+

10

Kk

10−

0

0

0

2 Mxi⋅ Mxk+

10−

0

0

l Mxk⋅

30−

0

0

0

2 Myi⋅ Myk+

10

0

0

l Myk⋅

30

0

0.1− Myi⋅

0.1− Mxi⋅

Ki

10

l Mxi⋅

30

l Myi⋅

30−

l Ki Kk+( )⋅

60−

:=

K3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Myi 11 Myk⋅−( )l 10⋅

0

0

0.1 Myi⋅

0

0

0

Mxi 11 Mxk⋅−( )l 10⋅

0

0

0.1 Mxi⋅

0

Myi 11 Myk⋅−( )l 10⋅

Mxi 11 Mxk⋅−( )l 10⋅

35 l⋅

Ki Kk+( )

2 Mxi⋅ Mxk+

10

2 Myi⋅ Myk+

10−

Ki

10−

0

0

0

2 Mxi⋅ Mxk+

10

0

0

l− Mxi 3 Mxk⋅−( )⋅

30

0

0

0

2 Myi⋅ Myk+

10−

0

0

l Myi 3 Myk⋅−( )⋅

30

0

0.1 Myi⋅

0.1 Mxi⋅

Ki

10−

l− Mxi 3 Mxk⋅−( )⋅

30

l Myi 3 Myk⋅−( )⋅

30

lK1

30

Kk

10+

⋅

:=

56

Mit den Schnittkräften am Stabanfang i und am Stabende k

sowie dem Wagner Koeffizient:

K NI iM2⋅ MxI ry⋅− MyI rx⋅+ WI rω⋅+:=

wobei: NI usw. Schnittkräfte nach Th. 1.Ordnung darstellen

und den sog. Kindemschen Längen

ry

Ay r2⋅⌠⌡

d

Ix:=

rx

Ax r2⋅⌠⌡

d

Iy:=

rω

Aω r2⋅⌠⌡

d

Cw:=

sowie:

iM

Ar2⌠⌡

d

A:=

wobei r stets den Abstand zum Schubmittelpunkt darstellt

3.8 Berechnungen von Erdbebenbeanspruchungen

3.8.1 Kondensation der Gesamtsteifigkeitsmatrix Da die Gesamtsteifigkeitsmatrix in dieser Berechnung bereits vorliegt, ist die Ermittlung der Schwin-gungseigenwerte unmittelbar möglich. Um jedoch die Größe der Gesamtsteifigkeitsmatrix zu begrenzen ist es sinnvoll, diejenigen Freiheitsgrade zu beseitigen, die nicht mit Massen belegt sind. Dazu bedient man sich der statischen Kondensation, die hier dargestellt wird: Zweckmäßigerweise wird die Matrix dazu so geordnet, daß die nicht mit Massen belegten Freiheitsgrade nach unten gerückt werden. Dazu dient eine Umordnungsmatrix U, die an allen Stellen 1=iKU hat, wenn die Zeile i auf die Stelle K treten soll. Es ist dann die umgeordnete Gesamtsteifigkeitsmatrix: T

u uGuG ⋅⋅=

57

Diese Matrix ist dann zu teilen in eine Matrix der n Zeilen und Spalten, die mit Massen belegt sind,

sowie in die Matrizen sowie die Matrix der Zeilen und Spalten der zu ersetzenden Tei-le.

unGTuKnunK GG = uKG

uKuKn

unKun

GGGG

Daraus ist mit

⋅−

= − TunKuK

n

GGE

A 1

die Transformationsmatrix A zu bilden. Die kondensierte Matrix ergibt sich dann zu AGAG u

T=~

3.8.2 Die Massenmatrix Die Gesamtsteifigkeitsmatrix wurde für einen willkürlichen Punkt aufgestellt, der im allgemeinen nicht mit den Massenschwerpunkten der Geschosse übereinstimmen muß. Die Massenmatrix nimmt damit die folgende Form an:

Θ

Θ⋅⋅−⋅⋅−

Θ⋅⋅−⋅⋅−

=

k

MxMyMxMMyM

MxMyMxMMyM

M

L

MOMMMMMM

L

L

L

L

L

L

000000

0000000000000000000000000000

22222

222

222

11111

111

111

Dabei bedeuten: Mn die Masse des Geschosses n

Θn das Massenträgheitsmoment des Geschosses n um die senkrechte z – Achse xn bzw. yn den Abstand des Massenschwerpunktes des Geschosses n vom Nullpunkt der Berechnung in x – bzw. y - Richtung.

verbleibende Freiheitsgrade zu beseitigende Freiheitsgrade

58

4 Literatur [1] DIN 1045 - 1 [2] DIN 1053 - 1 [3] Brandt: Zur Beurteilung der Gebäudestabilität Beton- u. Stahlbetonbau 71 (1976) S. 177 - 178 [4] Beck, Schäfer: Die Berechnung von Hochhäusern durch Zusammenfassung

aller aussteifenden Bauteile zu einem Balken Der Bauingenieur 44 (1969) S. 80 - 87 [5] Ramm, Hofmann: Baustatik Beitrag in der Buchreihe Der Ingenieurbau Grundlagen Ernst + Sohn [6] Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln Teubner, Stuttgart 2000 [7] Wlassow: Dünnwandige elastische Stäbe Bd. 1 und 2 Bauwesen Berlin 1965 [8] Bornscheuer: Systematische Darstellung des Biege- und Verdrehvorganges

unter besonderer Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion Stahlbau 1952 S. 1 ff [9] Schlechte: Die Torsion dünnwandiger Stäbe mit Schubverformung

aus behinderter Querschnittsverwölbung Bauplanung – Bautechnik Berlin 1964 [10] Heilig: Der Schubverformungseinfluß auf die Wölbkrafttorsion

von Stäben mit offenem Profil Stahlbau 1961 S. 97 ff [11] Roik, Sedlacek: Theorie der Wölbkrafttorsion unter Berücksichtigung

der sekundären Schubverformungen Stahlbau 1966 [12] Schlechte: Festigkeitslehre für Bauingenieure Werner-Verlag 1967 [13] Kalik, Kolbe Mathematik Steinbach, Beitrag in der Buchreihe „Der Ingenieurbau – Grundwissen“ Wendland: Ernst + Sohn 1999 [14] König, Liphardt Hochhäuser aus Stahlbeton Beton – Kalender 1990 Teil II

Dipl. - Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Tel 0221/9636290 KÖLN Fax 0221/636090

159

Teil 2 Beispiele


160

Beispiel

Gebäude mit Zusammenfassung der Aussteifung zum Gesamtstab Gegeben sei ein Bauwerk mit drei aussteifenden Bauteilen mit 6 Geschossen á 3,2 m.

4,0

2,0

38,0

1

3 2

12,0

1 Aussteifender Kern

x

y

30 30 30

4,35

3,10

2,50

2,65

( ) 285,21,305,435,23,0 mA =++⋅=

( )

mex 251,085,2

28,23,05,22,4=

⋅⋅−=

( ) mey 257,185,22

3,02,45,2 22

=⋅

⋅+=

( ) ( ) 3,02,44,13,05,24,18,23,03,08,2 222

1213 ⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅= xxxy eeeI

432,4 m= ( ) ( ) ( )[ ] 3,08,21,22,425,15,22,45,2 222

12133 ⋅⋅+−⋅+−⋅+⋅+= yyyx eeeI

447,4 m=


161

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 3,08,24,11,22,44,125,15,2 ⋅−⋅−⋅+−⋅+−⋅+−−⋅−⋅= xyyyxyxy eeeeeeI

449,1 m=

°=⋅

−

= 41,462

2cot

xy

xy

III

arcα

αααα cossin2sincos 22 ⋅⋅⋅+⋅+⋅=Ι xyxy IIII

ηIm == 489,5 mi 43,1=η αααα cossin2cossin 22 ⋅⋅−⋅+⋅=ΙΙ xyxy IIII

ξIm == 490,2 mi 01,1=ξ Torsionskennwerte

( ) 43 0855,02,48,25,23,031 mIt =++⋅⋅=

Wölbordinate :sω

2 1 3 4

( )

( )

( ) ( ) ( )( ) 22,48,25,2

2,44729,126471,78,26471,71275,45,21275,40

4729,12251,04,12,46471,7

6471,7257,18,2175,4

1275,4251,04,15,20

0

24

23

22

21

⋅++−⋅++⋅++⋅+

=

=−⋅+=

=⋅+=

=+⋅=

=

ω

ω

ω

ω

ω

mm

mm

27259,6 m−= 2

1 7259,6 ms −=ω 2

2 598,27259,61275,4 ms −=−=ω 2

3 9212,07259,66471,7 ms =−=ω 2

4 747,57259,64729,12 ms =−=ω

y

x

∫

∫

=

=

Ay

Ax

xdAI

ydAI

ω

ω

ω

ω


162

Nach einigen Zwischenrechnungen (Gleichungen siehe Anhang A) ergeben sich die Devitations-trägheitsmomente bezogen auf den Schwerpunkt zu

5

5

9373,5

4688,11

mImI

y

x

=

=

ω

ω

Damit werden die Koordinaten des Schubmittelpunktes in den Richtungen des Schwerpunkts- koordinatensystems

mII

IIIIx xyxxy

M 4795,290,289,5

49,194,532,447,11−=

⋅⋅+⋅−

=⋅

⋅+⋅−=

ΙΙΙ

ωω

mII

IIIIy xyyyx

M 4993,090,289,5

49,147,1147,494,5=

⋅⋅−⋅

=⋅

⋅−⋅=

ΙΙΙ

ωω

Damit wird die Wölbfläche

( )

( )( ) 2

4

23

22

21

684,42,475,04,1959,1

959,18,226,148,2375,5375,575,04,15,2

0

mm

mm

=⋅−+=

=⋅−−=

=+⋅=

=

ω

ω

ω

ω

Damit werden die Wölbkoordinaten

( ) ( ) ( )( )

20 254,3

2,48,25,222,4689,4959,18,2959,1375,55,2375,50 m−=

++⋅−⋅++⋅++⋅+

=ω

46°

0,25

M

S

0,50

2,48

1,26

3.254

2.121

1.430

1.301

24

23

22

21

430,1

301,1121,2

254,3

mmmm

M

M

M

M

+=

−=

+=

−=

ω

ω

ω

ω


163

Daraus ergibt sich der Wölbwiderstand

( ) ( )[ 121,2301,1301,1121,23,08,2121,2254,3121,2254.33,05,231 2222 ⋅−+⋅⋅+⋅−+⋅⋅⋅=ωI

)]( 043,1301,1430,1301,13,02,4 22 ⋅−+⋅⋅+ 67946,3 m= Bestimmung der Schubzahlen Die Schubzahl Qκ wird in Richtung der Biegungs-Hauptachsen ermittelt. Es werden die Koordinaten der Eckpunkte, bezogen auf ein Schwerpunkts-Koordinatensystem:

Punkt

sx

sy

sξ

sη

1 - 1,651 1,243 0,342 2,038 2 - 1,651 - 1,257 2,063 0,224

3 1,149 - 1,257 0,032 - 1,703

4 1,149 2,943 - 2,860 1,343 Für Biegung um die sξ -Achse wird damit:

das Statische Moment der Querschnittsteile

33

32

31

2270,02

343,1704,12,43,0

6212,02

704,1224,08,23,0

8482,02

224,0038,25,23,0

mA

mA

mA

−=+−

⋅⋅=

−=−

⋅⋅=

=+

⋅⋅=

η

η

η

Damit wird der Schubfluß an den Ecken

34

33

32

31

0

2270,08482,0

0

mSmSmS

mS

=

=

=

=

Die Schubflüsse innerhalb der Stäbe werden durch die quadratische Parabel beschrieben

( ) ( )

−⋅+⋅

⋅+= + ii

ii

iii s

hhtShSf ηηη 122


164

Über diese Funktion muß integriert werden. Es wird

[ ( ) ( ) ( ) ] 06002004,23,05,2822,004,2322,05,23,0350,2 22 ⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=Qξκ

( )[ ( ) ( )22 22,03,08,2870,122,0370,18,23,038,2 ⋅⋅⋅+−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+ ( ) ]2848,0608,270,122,023,0848,020 ⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅+ [ ( ) ( ) ( )22 70,12,43,0834,170,1334,12,43,032,4 −⋅⋅⋅++−⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

( ) ] 22

90,23,06085,2227,06034,170,122,43,0227,020⋅⋅

⋅⋅++−⋅⋅⋅⋅⋅+

8726,2= Mit gleicher Berechnung ergibt sich: 8431,3=Qηκ Für die sekundäre Schubverformung aus den Wölbschubspannungen wird mit der Annahme un-veränderlichem Schubmittelpunktes ermittelt. 7019,1=Qωκ

2 Aussteifender Winkel Die Ergebnisse der Querschnittberechnungen werden hier nur mitgeteilt.

4,85

30

30

1,35 4

4

4

5186,0

2168,0

7182,4

mI

mImI

xy

y

x

−=

=

=

°−=

==

==

ΙΙ

Ι

49,6

1470,0

774,44

4

αξ

η

ImI

ImI 286,1 mA = mey 897,1= 4163,1=ηκQ mi 60,1=η

60mI =ω mex 147,0= 236,94=ξκQ mi 34,0=ξ


165

4056,0 mIt =

3 Aussteifender Winkel

4,35

30

30

2,85

4

4

4

601,1

6375,1

508,4

mI

mImI

xy

y

x

=

=

=

°−=

==

==

ΙΙ

Ι

05,24

9133,0

2159,54

4

αξ

η

ImI

ImI

216,2 mA = mex 56,0= 3024,1=ηκQ mi 55,1=η

4065,0 mIt = mey 04,3= 833,29=ξκQ mi 65,0=ξ

„Drehpunkt“ bei Vernach-lässigung des Devitatons-trägheitsmomentes

xi2 eta2

xi 1 eta1

eta3

xi3


166

Der Gesamtstab

Stab

xI

yI

xyI

ωI

x

y

1 4,47 4,31 1,49 3,79 0,75 - 1,23

2 4,72 0,22 - 0,52 0 - 18,25 6,00

3 4,51 1,64 1,60 0 15,55 6,00

∑ 13,69 6,16 2,58 3,79 --- ---

Stab

xI x ⋅

yI y ⋅

xI xy ⋅

yI xy ⋅

1 3,34 - 5,31 1,12 - 1,84

2 - 86,11 1,30 9,46 - 3,11

3 70,10 9,86 24,90 9,61

∑ - 12,67 5,82 35,48 4,65 Koordinaten des Schubmittelpunktes

( ) ( )258,2216,669,13

82,548,3558,265,467,1216,6⋅−⋅

−⋅−−−⋅+=Mx

m7564,1−=

( ) ( )258,2216,669,13

82,548,3569,1365,467,1258,2⋅−⋅

−⋅−−−⋅−=My

m7969,7−= Mit einem Koordinatensystem auf dem Gesamtschubmittelpunkt ergeben sich die Schubmittel-punktskoordinaten der Einzelstäbe im globalen System sowie in den Hauptachsensystemen der Einzelstäbe.

Stab

Mx

My

Miξ

Miη

2ξ

2η

1 3,1037 4,565 0,892 - 5,448 0,795 29,68

2 - 15,894 11,797 - 13,517 - 14,459 182,710 209,06

3 17,906 11,797 - 18,073 11,540 326,630 133,18


167

Stab

ξI

ηI

2ξξ ⋅I

2ηη ⋅I

1 5,884 2,891 4,86 85,81

2 0,158 4,777 28,83 998,72

3 0,923 5,223 301,33 695,56

∑ 334,84 1780,10 Damit wird: 1,178084,33479,3 ++=ωI 6728,2118 m=

4

4

4

58,2

1638,6

6916,13

mI

mImI

xy

y

x

=

=

=

°=−⋅

= 2,172

16,669,1358,22arctan

α

( ) ( ) 22

58,216,669,132116,669,13

21

+

+⋅++⋅=ηI

( ) ( ) 22

58,216,669,132116,669,13

21

+

+⋅−+⋅=ξI

4489,14 mI =η

43663,5 mI =ξ

In der weiteren Berechnung werden die Trägheitsmomente der Einzelstäbe und mit und bezeichnet, die Werte des Gesamtstabes und mit und .

ηI ξI xI

yI ηI ξI xGI yGI


168

Zulässigkeit des Verfahrens Gebäudehöhe 19,2 m Für Kern 1 Richtung η

4885,684,343,1

2,19≈=

⋅

Richtung ξ

964822,1187,201,1

2,19>>=

⋅

Für Kern 2 Richtung η

964808,10416,160,1

2,19>>=

⋅

Richtung ξ

93,64881,52,9434,0

2,19=<=

⋅ (Schub wirkt zu 28 % mit!)

Die Überschreitung des Kriteriums für die Anwendung von Stabtragwerken in der Nebentragrichtung wird in Kauf genommen.

Für Kern 3 Richtung η

4886,1030,155,1

2,19>=

⋅

Richtung ξ

93,64841,582,2965,0

2,19=<=

⋅ (Schub wirkt zu 33 % mit!)

Auch diese Nebentragwirkung wird wegen der geringeren Bedeutung vernachlässigt.


169

Zusammenfassung: Die Querkraftverformungen sind jeweils in den schwachen Achsen der Winkel größer als 20 % der Biegeverformung. Dies sind jedoch Nebentrageffekte, die hier erst einmal vernachlässigt werden sollen. Labilitätszahlen: Die Summe der Vertikallasten ergeben sich zu ∑ = MNFv 32 Das polare Trägheitsmoment, bezogen auf den Schubmittelpunkt der Aussteifung, ist

( ) 442233

900006,8949980,776,1381212

38121238 mmI P ≈=+⋅⋅+⋅+⋅

=

6,0165,049,14103

320002,19 7 <=⋅⋅

⋅=ηε Bedingung erfüllt

6,0271,0366,5103

320002,19 7 <=⋅⋅

⋅=ξε Bedingung erfüllt

6,0215,0123873,2118103

90000320002,190,1 7 <=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=ϕε Bedingung erfüllt

Die Aufteilung äußerer Kräfte Infolge wird: 0yH

891,2366,5

2,17sin5,136sin366,5

2,17cos5,136cos1 ⋅

°⋅°+

°⋅°−=xH

485945,0= 0yH bzw. für die anderen Winkel 026929,02 −=xH 0yH 170678,03 −=xH 0yH


170

884,5366,5

2,17cos5,136sin366,5

2,17sin5,136cos1 ⋅

°⋅°−

°⋅°=yH

482983,0= 0yH 37593,02 −=yH 0yH 116354,03 =yH 0yH Infolge wird mit gleicher Rechnung 0xH

007612,0

004375,0364015,0

3

2

1

−==−=

x

x

x

HHH

357882,0

301940,0

088445,0

3

2

1

−=

−=

=

y

y

y

HHH

Aus dem Torsionsmoment ergibt sich

( ) 00743446,073,2118

45,58913,21 =

−⋅−=xH

0284476,0

0326011,0

3

2

−==

x

x

HH

0024763,073,2118

89,08813,51 −=

⋅−=yH

0078693,0

0016067,0

3

2

=

=

y

y

HH

und das Wölbtorsionsmoment im Kern 1 wird

001790997,073,2118

7946,31,2 ==tM

Schiefstellungskräfte Die Schiefstellung eines Gebäudes erfolgt selbstverständlich in seinen Hauptachsen. Es gilt:

00221,05,20100

1100

12 ===

mH

ϕ


171

Mit den Geschoß-Vertikalkräften von 5,50 MN / Geschoß bzw. 4,50 MN im Dachgeschoß

folgen die Horizontalkräfte von 12,15 kN / Geschoß bzw. 9,94 kN im Dachgeschoß

Diese Kräfte, mit den oben bereitgestellten Beiwerten multipliziert, ergeben für die Schief-stellungsrichtung x

Stab

xH

Normalgeschoß

yH

∑ xH

∑ yH

xM

yM

1 - 0,449 - 4,630 - 2,610 - 26,940 - 294,99 - 28,58 2 6,412 0,138 37,305 0,802 8,78 408,49 3 1,953 0,570 11,362 3,316 36,31 124,42

Das sekundäre Torsionsmoment in Kern 1 beträgt kNmM t 8771,01,2 = 2

1 604,9 kNmW = Für Schiefstellungen in Richtung y ergibt sich

Stab

xH

Normalgeschoß

yH

∑ xH

∑ yH

xM

yM

1 5,783 - 5,507 - 32,650 - 32,043 368,44 - 350,87 2 - 0,278 5,921 - 1,620 34,451 - 17,74 377,24 3 - 1,693 - 2,790 - 9,848 - 16,232 - 107,83 - 177,74

Das Wölbtorsionsmoment beträgt kNmM t 5042,01,2 = 2

1 52,5 kNmW =


172

Windkräfte Der Wind wirkt normgemäß auf die Bauwerksfassaden. Er ist damit bei senkrechter Anströmung am größten. Die Wandkräfte betragen auf Schmalseite in Richtung x in Richtung y 0 0

_____________________________________________________________________

1. Decke 24,96 kN 23,84 kN - 7,38 kN

2. Decke 24,96 kN 23,84 kN - 7,38 kN

3. Decke 39,94 kN 38,15 kN - 11,81 kN

4. Decke 39,94 kN 38,15 kN - 11,81 kN

5. Decke 39,94 kN 38,15 kN - 11,81 kN

6. Decke 28,08 kN 26,82 kN - 8,30 kN _____________________________________________________________________ 197,82 kN 188,95 kN - 58,49 kN ∑_____________________________________________________________________ Die Kräfte in den Hauptachsen der Aussteifung werden in die Kerne 1 – 3 aufgeteilt. Die Last-summen und die Momente ergeben sich zu:

Kern

kNH x /

kNH y /

kNmM x /

kNmM y /

1 - 50,17 - 45,05 - 471,87 - 525,55 2 87,01 - 0,83 - 8,75 911,43 3 67,87 - 12,74 - 133,50 710,99

Aus den Windkräften ergibt sich ein Torsionsmoment in jedem Geschoß von

+⋅=

10ByHM Mt

1. Decke - 224,56 kNm

2. Decke - 224,56 kNm

3. Decke - 359,30 kNm

4. Decke - 359,30 kNm

5. Decke - 359,30 kNm

6. Decke - 252,63 kNm Daraus werden in den einzelnen Kernen die Schnittkräfte


173

Stab

xH

yH

xM

yM

1 14,76 - 4,92 - 51,52 154,66 2 64,74 2,00 20,94 678,22 3 - 56,50 15,63 163,71 - 591,81

und die Summe ergibt sich zu

Kern

xH

yH

xM

yM

1 - 35,41 - 49,96 - 513,39 - 370,89 2 151,75 1,16 12,20 1589,64 3 11,38 2,88 30,21 119,18

Im Kern 1 entsteht ein zusätzliches Wölbtorsionsmoment kNmM t 56,31,2 = 226,37 kNmW = Die zusammengefaßten Kräfte ergeben für den Wind in Bauwerksquerrichtung

Kern

xH

yH

xM

yM

1 - 333,11 409,34 4287,93 - 3489,43 2 49,77 - 22,80 - 238,79 521,30 3 - 41,17 - 142,96 - 1497,57 - 431,24

kNmM t 96,61,2 = 287,72 kNmW =

Dipl. - Ing. Matthias KüttlerPrüfingenieur für BaustatikKÖLN

KÜTTLER UND PARTNERIngenieurbüro für Baukonstruktionen

Tel. 0221 9636290Fax. 0221 636090

Wahl der DuktilitätsklasseDie Wahl der Duktilitätsklasse ist für die Konstruktionsarten sehr wichtig. Es kann hier im Grundsatz entschieden werden, ob eine konventionelle Konstruktion mit großen Kräften nachgewiesen werden oder eine besonders duktile Konstruktion mit wesentlich moderateren Kräften nachgewiesen werden. Die konstruktiven Auswirkungen dieser Bedingungen sind hier nicht Gegenstand und bedürfen einer wesentlich ausführlichen Darlegung.

Zur Berechnung dieser Werte siehe die Berechnungen zur Gebäudeaussteifung

B2 217336MN m2⋅=B2 Iξ E⋅ 0.5⋅:=

B1 80495MN m2⋅=B1 Iη E⋅ 0.5⋅:=

Bauerkssteifigkeit in den Hauptachsen der Aussteifung:

Schwache Richtung:

Starke Richtung:

B 12m:=L 38m:=Gebäudeabmessungen:

Mges 2346 t=Mges M∑:=

M

420.14

385.13

385.13

385.13

385.13

385.13

t=M MEG Φ MV⋅( )→

+:=Φ

1

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

:=

einzurechnende Masse:Beiwerte φ:

MV

70.02

70.02

70.02

70.02

70.02

70.02

t=MEG

350.12

350.12

350.12

350.12

350.12

350.12

t=

Deckenlasten aus Statik (Gj+Pj): Die Ermittlung dieser Werte ist elementar und wird hier nicht gezeigt.

h 22.8m:=Gesamthöhe:

z

3.8

7.6

11.4

15.2

19

22.8

m:=Höhen der Deckenebenen über der Einspannung:

ag 0.8m

s2:=Rechnerische Horizontalbeschleunigung nach DIN 4149:

Bauerk stehe im Norden von Aachen

E 3 107⋅kN

m2:=Elastizitätsmodul des Betons:

Berechnung in Anlehnung an das Vereinfachte Verfahren Abschnitt 8.2 und 8.3 der alten Norm bzw. nach dem vereinfachten Antwortspektrenverfahren

der neuen Norm Abschn. 6.3.2

25.02.2003EBAB82u3.mcd Seite 175



Tel. 0221 9636290Fax. 0221 636090

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Sd T( )

T1T2

T

S2 1.2m

s2=S1 0.73

m

s2=

Sd T( ) ag S⋅ 1TTB

β0

q1−

⋅+

⋅

T TB<if

ag S⋅β0

q⋅

TB T≤ TC<if

ag S⋅β0

q⋅

TCT

⋅

TC T≤ TD<if

ag S⋅β0

q⋅

TCT

⋅TDT

⋅

otherwise

:=Das Antwortspektrum nach DIN E 4149Hier wurde die Materisafestigkeit für außergewöhnliche Lastkombinationenzugrundegelegt (q=1)

S 0.75:=β0 2.5:=q 1:=

TD 2:=TC 0.5:=TB 0.1:=Parameter des Antwortspektrums:Baugrund ist sandiger Lößlehm => C3

T2 0.625 s=T2 1.5h

B2 3⋅G⋅

s2

m⋅⋅:=

Die Einheit s²/m kommt durch 1/g in die Zahlenwert- gleichung der Norm, vergleiche Anhang Kap. 3.2

T1 1.027 s=T1 1.5h

B1 3⋅G⋅

s2

m⋅⋅:=Eigenschwingungsdauern nach Gl.[5] der Norm:

G 4968MN m2⋅=G g M( )T⋅ z2⋅:=Summe der mit dem Quadrat der Höhe multiplizierten Vertikallasten:

Die Gründung des Bauwerkes erfolge auf einer so steifen Platte, daß eine Bodenfeder praktisch keine Rolle spielt. Zur Einrechnung einer Bodenfeder vergleiche die Gleichungen im Skribt.Zur Ermittlung der Eigenwerte wird der Energieansatz im Grundsatz nach der Gleichung [5] der alten Norm verwendet. Die Herleitung der Gleichung siehe den Anhang zum Skript.

Berechnung der Eigenschwingungsdauern der 1. Eigenform in jeder Richtung:

Im Beispiel wird gewählt: Duktilitätsklasse 1




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H2y H2 cos α0( )⋅:=H2x H2 sin α0( )−⋅:=

Kräfte in den Ausgangsrichtungen: H1y H1 sin α0( )⋅:=H1x H1 cos α0( )⋅:=

Im weiteren wird die Lösung mit dem parabelförmigen Ansatz verwendet, da sie auf der "sicheren Seite" liegt. Wenn bei der Horizontafverformung des Gebäudes Fundamentverdrehungen und Schubverzerrungen eine wesentliche Rolle spielen, so kann bedenkenlos auch der lineare Ansatz verwendet werden.

M2pu 51.781MNm=M1pu 31.513MNm=

H2p

33.70

123.57

278.04

494.29

772.32

1112.14

kN=H1p

20.51

75.20

169.21

300.81

470.02

676.83

kN=

Ergebnisse der Berechnung mit parabelförmiger Eigenform (Horizontalkräfte in den beiden Hauptachsenrichtungen):

M2u 46.185MNm=M1u 28.107MNm=Einspannmomente

H2

145.56

266.85

400.28

533.70

667.13

800.55

kN=H1

88.58

162.40

243.60

324.80

406.00

487.20

kN=

Ergebnisse der Berechnung mit linearer Eigenform (Horizontalkräfte in den beiden Hauptachsenrichtungen):

H2p S2 M∑⋅z2 M⋅( )

→

z2 M⋅( )→

∑⋅:=

H1p S1 M∑⋅z2 M⋅( )

→

z2 M⋅( )→

∑⋅:=

Verwendet man konsistenterweise eine quadratische Parabel als Eigenform, so ergibt sich:

Die alte Norm kannte hier eine einfachere Gleichung, die für konstante Massenverteilung (M = const und ∆z = const), d.h. gleichen Massen in allen Geschossen zur gleichen Lösung führt. Die hier verwendeten Gleichungen lösen das Näherungsverfahren von dieser Einschränkung

H2 S2 M∑⋅z M⋅( )

→

z M⋅( )→

∑⋅:=

Zu beachten ist, daß hier die Masse in t eingesetzt wird, um mit "Masse mal Beschleunigung" eine Kraft zu ermitteln.

Damit ergeben sich die Horizontalkräfte nach Gl. [15] und [20] der Norm:(Hier ist die Annahme einer linearen Eigenform eingearbeitet - siehe Anhang zum Skript)

H1 S1 M∑⋅z M⋅( )

→

z M⋅( )→

∑⋅:=

β2 0.769=β1 0.517=Zum Vergleich aus Bild 2 der alten Norm abgelesen:Diese Werte sind mit 1m/s² zu multiplizieren




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Maßgebender Wert: e21 e210 e210 e211<( )⋅ e211 e210 e211>( )⋅+:= e21 1.845m=

Ungewollte Ausmitte e11L20

:= e11 1.90m=

Das Verfahren ist hier nicht ganz eindeutig, da die in der Norm beschriebene Parallelität nicht existieren kann.

emax1 e01 e11+ e21+:= emax1 7.728m=Angriffspunkt der Erdbebenlast:

emin1 e01e212

− e11−:= emin1 1.161m=

In den Ausgangskoordinaten: exma1 emax1 cos α0( )⋅:= eymx1 emax1 sin α0( )⋅:=

Zweite Richtung (der 2. Index aller Beiwerte zeigt dies an):

e02 ξM:= e02 6.929m=

Gl. [24] aus DIN 4149: e2201

2 e02⋅i2 e02

2− r22− i2 e02

2+ r22−( )2 4 e02

2⋅ r22⋅++

:=

( ) y ( )

H1x

84.622

155.141

232.711

310.281

387.852

465.422

kN= H1y

26.19

48.014

72.021

96.028

120.035

144.042

kN= H2x

43.034−

78.895−

118.343−

157.79−

197.238−

236.685−

kN= H2y

139.048

254.921

382.382

509.843

637.304

764.764

kN=

Berechnung der Torsionswirkung nach Abschnitt 6.3.2.4 (alt 8.3)Erste Richtung (Alle Beiwerte der DIN erhalten als 2. Index eine 1)

Elastischer Radius nach Gl. [11]der Norm: r1

CgIη

:= r1 19.87m=

r2CgIξ

:= r2 12.093m=

iL2 B2+

12:= i 11.504m=

e01 ηM:= e01 3.983m=

Gl. [24] aus DIN 4149: e2101

2 e01⋅i2 e01

2− r12− i2 e01

2+ r12−( )2 4 e01

2⋅ r12⋅++

:=

e211 0.1 L B+( )⋅ 10e01B

⋅⋅:=Gl. [23] aus DIN 4149:




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eymi2 0.343m=exmi2 2.285m=

eymi2 emin1 sin α0( )⋅:=exmi2 emin2 cos α0( )⋅:=

eymx2 14.714m=exma2 4.554m=

eymx2 emax2 cos α0( )⋅:=exma2 emax2 sin α0( )⋅:=

In den Ausgangskoordinaten:emin2 2.392m=emin2 e02

e222

− e12−:=

emax2 15.402m=emax2 e02 e12+ e22+:=Angriffspunkt der Erdbebenlast:

e12 0.60m=e12B20

:=Ungewollte Ausmitte

e22 7.873m=e22 e221 e221 e220<( )⋅ e220 e221 e220>( )⋅+:=Maßgebender Wert:

Gl. [23] aus DIN 4149: e221 0.1 L B+( )⋅ 10e02B

⋅⋅:=


Dipl. - Ing. Matthias KüttlerPrüfingenieur für Baustatik KÖLN

KÜTTLER UND PARTNERIngenieurböro für Baukonstruktionen

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W21mn

163.29

0.00

0.00

kN m2⋅=M2ξmn

15421.53−

8723.43−

16364.58−

kNm=M2ηmn

27790.42

1048.61

5588.59−

kNm=

M2nymn

9539.88−

8549.09

12663.79−

kNm=M2nxmn

30317.02−

2027.53−

11775.40−

kNm=

Minimale Ausmitte:

W21mx

1051.30

0.00

0.00

kN m2⋅=M2ξmx

11735.40−

24887.62−

30469.39−

kNm=M2ηmx

26562.64

549.46

1686.88−

kNm=

M2nymx

11187.00−

24666.17

27133.75−

kNm=M2nxmx

26798.22−

3357.91−

13963.83−

kNm=

Schnittkräfte in der zweiten Erdbebenrichtung in Einspannebene (Maximale Ausmitte)

W11mn

58.42

0.00

0.00

kN m2⋅=M1ξmn

9477.10−

13743.95−

5525.19

kNm=M1ηmn

808.25−

293.24

2629.69−

kNm=

M1nymn

7110.53

13622.81

6117.27

kNm=M1nxmn

6317.36−

1844.24−

148.34−

kNm=

Minimale Ausmitte:

W11mx

389.02

0.00

0.00

kN m2⋅=M1ξmx

8104.77−

19761.79−

274.04

kNm=M1ηmx

1265.34−

107.40

1177.10−

kNm=

M1nymx

6497.32

19623.11

730.18

kNm=M1nxmx

5007.32−

2339.53−

963.07−

kNm=

Schnittkräfte in der ersten Erdbebenrichtung in Einspannebene (Maximale Ausmitte)

Aufteilung der Erdbebenschnittkräfte auf das Aussteifungssystem (Näherungsverfahren)

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Wmn

173.43

0.00

0.00

kN m2⋅=Wmx

1120.97

0.00

0.00

kN m2⋅=

Mξmn

18100.80

16278.64

17272.15

kNm=Mξmx

14262.08

31779.27

30470.62

kNm=

Mηmn

27802.17

1088.84

6176.38

kNm=Mηmx

26592.76

559.86

2056.97

kNm=

Mnymn

11898.27

16083.15

14063.87

kNm=Mnymx

12936.93

31519.62

27143.58

kNm=

Mnxmn

30968.22

2740.82

11776.34

kNm=Mnxmx

27262.02

4092.55

13997.00

kNm=

Wmx W11mx2 W21mx

2+:=Wmn W11mn2 W21mn

2+:=

Mξmn M1ξmn2 M2ξmn

2+:=Mηmn M1ηmn2 M2ηmn

2+:=

Mξmx M1ξmx2 M2ξmx

2+:=Mηmx M1ηmx2 M2ηmx

2+:=

Mnymn M1nymn2 M2nymn

2+:=Mnxmn M1nxmn2 M2nxmn

2+:=

Mnymx M1nymx2 M2nymx

2+:=Mnxmx M1nxmx2 M2nxmx

2+:=

Überlagerung (Vorzeichen verschwinden, da immer beide Richtungen zu betrachten sind):

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Bw 31780921.2 MN m4⋅=Bw Cg E⋅:=

B2 217335.7 MN m2⋅=B2 Iξ E⋅:=

B1 80495.1 MN m2⋅=B1 Iη E⋅:=

Bauerkssteifigkeit in den Hauptachsen der Aussteifung:

Schwache Richtung:

Starke Richtung:

Wölbsteifigkeit:

B 12m:=L 38m:=Gebäudeabmessungen:

Mges 2346 t=Mges Mg∑:=

Mg

420.14

385.13

385.13

385.13

385.13

385.13

t=Mg MEG Φ MV⋅( )→

+:=Φ

1

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

:=

einzurechnende Masse:Beiwerte φ:

MV

70.02

70.02

70.02

70.02

70.02

70.02

t=MEG

350.12

350.12

350.12

350.12

350.12

350.12

t=

Deckenlasten aus Statik (Gj+Pj): Die Ermittlung dieser Werte ist elementar und wird hier nicht gezeigt.

H 22.8m:=Gesamthöhe:

h

3.8

7.6

11.4

15.2

19

22.8

m:=Höhen der Deckenebenen über der Einspannung:

ag 0.8m

s2=ag 0.8

m

s2:=Rechnerische Horizontalbeschleunigung nach DIN 4149:

E32

107⋅kN

m2:=Elastizitätsmodul des Betons (wegen Zustand II halbiert):

Berechnung der Erdbebenkräfte nach DIN 4149 ebene Berechnung mit mehreren Eigenwerten

25.02.2003Erdbebeben.mcd Seite 183



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Normierte Eigenformen numerisch:

zψ

O:=

Ok k,Jk k,

t:=

N2 Normierung der Eigenformen

I

385.2

0

0

0

0

0

0

386

0

0

0

0

0

0

389.7

0

0

0

0

0

0

395.2

0

0

0

0

0

0

396.8

0

0

0

0

0

0

390.7

t=

J ψT

M⋅ ψ⋅:=Generalisierte Masse:

T

1.2168

0.1918

0.0681

0.0350

0.0219

0.0163

s=ω

5.164

32.763

92.231

179.672

287.143

386.231

Hz=Tk

1f k

:=fω

2π:=

1 0.5 0 0.5 1

1

2

3

4

5

6

Grundschwingung1. Oberschwingung2. Oberschwingung

Eigenformen 1 - 3

Auslenkung

Ges

chos

se

ψ genvektoren K M,( ):=w genwerte K M,( ):=

K

27.62

17.47−

7.04

1.88−

0.47

0.08−

17.47−

21.53

15.82−

6.57

1.64−

0.27

7.04

15.82−

21.06

15.59−

6.1

1.02−

1.88−

6.57

15.59−

20.59

13.95−

3.79

0.47

1.64−

6.1

13.95−

14.49

5.35−

0.08−

0.27

1.02−

3.79

5.35−

2.36

MNmm

=Eigenwertbestimmung:

K δ1−

:=Gesamtsteifigkeitsmatrix als Inverse der Nachgiebigkeitsmatrix:

M

420.14

0

0

0

0

0

0

385.13

0

0

0

0

0

0

385.13

0

0

0

0

0

0

385.13

0

0

0

0

0

0

385.13

0

0

0

0

0

0

385.13

t=

Massenmatrix als Diagonalmatrix der Geschoßmassen:

δ

0.000227

0.000568

0.000909

0.001250

0.001591

0.001931

0.000568

0.001818

0.003181

0.004545

0.005908

0.007271

0.000909

0.003181

0.006135

0.009203

0.012270

0.015338

0.001250

0.004545

0.009203

0.014543

0.019996

0.025449

0.001591

0.005908

0.012270

0.019996

0.028403

0.036924

0.001931

0.007271

0.015338

0.025449

0.036924

0.049081

mmkN

=

Nachgiebigkeitsmatrix des Kragarmes ohne Berücksichtigung der Schubver- formung:

Bestimmung der Eigenformen in Richtung I




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H1mag

15.865

53.744

111.087

180.456

256.524

335.238

111.965

280.16

368.574

279.076

18.381

336.194−

123.166

184.824

44.84

140.264−

120.353−

117.765

kN=

Nur r 3= Eigenwerte sind bei der Berechnung zu berücksichtigenund in die Ausgangsrichtungen ergibt sich:

H1

15.865

53.744

111.087

180.456

256.524

335.238

111.965

280.160

368.574

279.076

18.381

336.194−

123.166

184.824

44.840

140.264−

120.353−

117.765

97.076

38.930

90.770−

11.845−

89.366

42.381−

64.333

36.466−

14.069−

53.505

47.965−

15.619

23.424

28.356−

29.196

24.070−

13.738

3.700−

kN=

Horizontalkräfte aus Erdbeben:

H1 M γ⋅ diag SD( )⋅m

s2⋅:=Horizontalkräfte:

SD

0.616

1.5

1.213

0.915

0.797

0.746

=Spektralwerte nach DIN 4149:

γ

0.061

0.226

0.468

0.76

1.081

1.412

0.178

0.485

0.638

0.483

0.032

0.582−

0.242

0.396

0.096

0.3−

0.258−

0.252

0.253

0.111

0.258−

0.034−

0.254

0.12−

0.192

0.119−

0.046−

0.174

0.156−

0.051

0.075

0.099−

0.102

0.084−

0.048

0.013−

=

Beiwerte Zeile : Massenpunkt j Spalte: Eigenform i

γ z diag γ1( )( )⋅:=γ1zT M⋅ I⋅

t:=

Beiwerte nach DIN 4149 (Der Nenner des Ausdruckes ist eine Einheitsmatrix VergleicheKommentar zur Gl. [1] der Norm):

F

65.90

20.52

7.38

3.75

1.87

0.58

%=

FzT M⋅ I⋅( )2

zT M⋅ I⋅( )2

∑:=

Beteiligungsvektor nach Skript (hier verzichtbar)

Erdbebenberechnung erste Richtung

1000 z⋅

1.56−

5.76−

11.9−

19.33−

27.48−

35.92−

8.1

22.11

29.08

22.02

1.45

26.53−

18.37−

30.07−

7.29−

22.82

19.58

19.16−

26.95

11.79

27.49−

3.59−

27.06

12.83−

29.01

17.94−

6.92−

26.32

23.6−

7.68

20.17

26.64−

27.43

22.62−

12.91

3.48−

=




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Aus diesen Horizontalkräften werden alle die ausgeschieden, deren Anteil am Erdbeben unter 5% beträgt.

H2

26.069

88.311

182.535

296.518

421.511

550.852

111.965

280.160

368.574

279.076

18.381

336.194−

98.801

148.261

35.969

112.516−

96.544−

94.468

84.002

33.687

78.545−

10.250−

77.331

36.674−

58.110

32.939−

12.708−

48.329

43.326−

14.108

21.625

26.179−

26.955

22.222−

12.683

3.416−

kN=

Horizontalkräfte:H2 M γ⋅ diag SD( )⋅

m

s2⋅:=

SD

1.013

1.5

0.973

0.792

0.72

0.689

=Spektralwerte:

γ z diag γ1( )( )⋅:=γ1 zT Mt

⋅ I⋅:=Beiwerte nach DIN 4149

F

65.90

20.52

7.38

3.75

1.87

0.58

%=FzT M⋅ I⋅( )2

zT M⋅ I⋅( )2

∑:=Beteiligungsvektor:

T

0.7405

0.1167

0.0415

0.0213

0.0133

0.0099

s=ω

8.485

53.835

151.551

295.231

471.822

634.641

Hz=

Tk1f k

:=fω

2π:=

ψ genvektoren K M,( ):=w2 genwerte K M,( ):=K δ21−

:=Berechnung wie vor

Andere Richtung: δ2 δB1

B2⋅:=

H1magy

4.691

15.89

32.843

53.352

75.842

99.114

33.103

82.83

108.97

82.509

5.434

99.396−

36.414

54.644

13.257

41.469−

35.583−

34.817

kN=H1magx

15.156

51.342

106.121

172.388

245.056

320.252

106.96

267.636

352.097

266.6

17.559

321.165−

117.66

176.562

42.835

133.994−

114.973−

112.5

kN=




Tel. 0221 9636290Fax. 0221 636090

H2mag

26.07

88.31

182.53

296.52

421.51

550.85

111.97

280.16

368.57

279.08

18.38

336.19−

98.8

148.26

35.97

112.52−

96.54−

94.47

kN= H2magx

7.71

26.11

53.97

87.67

124.62

162.86

33.1

82.83

108.97

82.51

5.43

99.4−

29.21

43.83

10.63

33.27−

28.54−

27.93

kN= H2magy

24.9

84.36

174.37

283.26

402.67

526.23

106.96

267.64

352.1

266.6

17.56

321.16−

94.38

141.63

34.36

107.49−

92.23−

90.24

k=

Die Berecnunug der Torsionswirkungen ist hier wie in dem vorn gezeigten Verfahren mit einer Eigenform durchzuführen. Es ergibt sich die vorn gezeigte Berechnung.

HINWEISDiese Berechnung unterscheidet sich also von der vorn gezeigten mit einer genäherten Eigenform nur in der Ermittlung der Eigenform, zu der hier die Eigenwertgleichung aufgestellt und gelöst wurde. Es zeigt sich keine große Abweichung.Die Berücksichtigung weiterer Eigenformen ist nur ein geringer Genauigkeitsgewinn, da für diese Formen sowohl die Eigenform als auch die Torsionswirkung mit erheblichen Fehlern belastet ist. Bei der Berechnung der höheren Eigenform (und des Eigenwertes) sollte die Schubverformung berücksichtigung finden, während das Näherungsverfahren zur Berechnung der Torsionsschwingungen eigentlich ausschließlich für die erste Eigenform entwickelt wurde.


Dipl. - Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel. 0221/9636290

ψ3

2

6

12

18

25

31

1

3

5

7

9

11

5

18

34

54

75

97

14−

26−

27−

17−

3

25

4−

5−

5−

2−

1

4

28

26

3−

24−

13−

18

32−

66−

78−

54−

2

70

7

1

5−

2−

3

0

27

6−

27−

9

24

15−

22

27−

7

21

27−

11

11

23−

28

27−

18

5−

2

0

2−

0

3

1−

70

71

4−

68−

40−

53

1−

1

0−

1−

2

1−

0−

1

1−

1

1−

0

81

7−

76−

16

69

40−

64

72−

14

59

72−

27

33

64−

78

73−

46

14−

10 3−=

Verdrehungen:

ψ2

0

8

20

37

56

76

43−

131−

249−

387−

534−

681−

17−

50−

94−

145−

199−

253−

74

115

109

56

26−

105−

263

500

552

357

34−

489−

164−

124−

61

174

71

140−

74

154

183

126

6−

165−

536−

483−

83

478

245

366−

96−

151

185

167−

231−

188

187−

215

37−

161−

196

77−

89−

189

231−

212

140−

44

567−

64

540

128−

494−

289

152−

160−

7

153

92

121−

446

514−

110

416

516−

196

232

449−

553

516−

333

99−

178−

16

167

36−

152−

88

140−

158

31−

130−

158

60−

73−

140

171−

159

102−

30

=

Verschiebungen in y - Richtung:

ψ1

45−

134−

253−

391−

536−

681−

10−

25−

41−

59−

76−

91−

34

112

222

354

496

641

273

499

537

336

45−

476−

3

25−

50−

48−

10−

52

495−

438−

105

491

242

388−

261−

491−

520−

320−

33

439

4−

102

76

97−

119−

103

533−

82

495

138−

437−

262

402−

490

130−

376−

497

195−

208−

415

516−

488

323−

99

129

16−

108−

31

85

50−

478

488

26−

462−

272−

362

104−

115

25−

92−

113

42−

55−

105

130−

121

77−

23

555

47−

520−

113

472

271−

439

493−

97

407

495−

185

229

438−

536

498−

318

94−

=

Verschiebungen in x - Richtung:

Die Berechnung ist hier mit dem Weggrößenverfahren (DSM) ausgeführt worden. Die Ermittlung der Matritzen wird hier nicht gezeigt. Im mitgelieferten Artikel "Gebäudeaussteifung" ist die Verfahrensweise im einzelnen erläutert.

ψ submatrix y 1, 3k, 0, 3k 1−,( ):=ω wT:=

w submatrix y 0, 0, 0, 3k 1−,( ):=y zsort f 0,( )( ):=f stapeln w( )Tψ,( ):=Nach der Eigenfrequenz sortieren:

ψ genvektoren GK M,( ):=w genwerte GK M,( ):=ag 0.8m

s2:=

B

12

12

12

12

12

12

=L

38

38

38

38

38

38

=yM

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

=xM

3.8

3.8

3.8

3.8

3.8

3.8

=MG

420.14

385.13

385.13

385.13

385.13

385.13

t=

Mges MG∑:=

MG MEG Φ MV⋅( )→

+:=Φ

1

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

:=

einzurechnende Masse:Deckenlasten aus Statik (Gj+Pj): Die Ermittlung dieser Werte ist elementar und wird hier nicht gezeigt.

Erdbebennachweis:

25.02.2003C:\Dokumente und Seite 189


Tij 0.9 s=

700 525 350 175 0

1

2

3

4

5

6Verformung in y Richtung

Verschiebung in mm

Ges

chos

se

0 50 100

1

2

3

4

5

6Verformung in x Richtung

Verschiebung in mm

Ges

chos

se

0 20 40

1

2

3

4

5

6Verdrehung 1000 fach

Versdrehung in 1000rad

Ges

chos

se

Tij 0.719 s=

100 75 50 25 0

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

700 525 350 175 0

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

0 3.75 7.5 11.25 15

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

Tij 0.467 s=

0 175 350 525 700

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

300 225 150 75 0

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

0 25 50 75 100

1

2

3

4

5



Ges

chos

se



Tij 0.199 s=

500 0 500

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

200 100 0 100 200

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

50 25 0 25 50

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

Tij 0.151 s=

100 50 0 50 100

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

500 225 50 325 600

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

10 5 0 5

1

2

3

4

5



Ges

chos

se

Tij 0.097 s=

500 250 0 250 500

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

200 100 0 100 200

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

50 25 0 25 50

1

2

3

4

5



Ges

chos

se



H M γ⋅ B⋅:=B diag SD( ):=

SDj

SdTj

s

s2

m⋅:=Beiwerte nach DIN 4149:

γ z diag b( )( )⋅:=γ1 I M⋅ z⋅:=

ka 0 3k 1−..:=

j 0 3k 1−..:=

F

4.07

48.99

1.24

0.08

33.70

0.09

0.48

6.10

0.01

0.02

0.08

4.29

0.10

0.06

0.61

0.00

0.03

0.05

%=

Fb2

b2∑:=b zT M⋅ IT⋅:=

Beteiligungsvektor:

I 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0( )=

Erdbeben in x Richtung

T

0.900

0.719

0.467

0.199

0.151

0.097

0.091

0.070

0.067

0.054

0.048

0.047

0.041

0.037

0.032

0.027

0.021

0.018

s=f

1.11

1.39

2.14

5.01

6.62

10.36

10.98

14.27

15.00

18.65

21.02

21.43

24.38

27.26

31.10

37.11

47.62

54.57

Hz=ω

6.981

8.739

13.467

31.501

41.574

65.074

69.02

89.665

94.27

117.171

132.066

134.633

153.158

171.293

195.377

233.19

299.228

342.875

=

Eigenwerte numerisch:

z O 1− ψ⋅:=N2 - normierte Eigenformen:

Onn nn, Jnn nn,:=

J ψT

M⋅ ψ⋅:=Generalisierte Masse:



Erdbeben in y RichtungI 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0( )=

b zT M⋅ IT⋅:= Fb2

b2∑:= Beteiligungsvektor: F

37.93

1.03

16.19

19.79

0.05

3.43

11.01

0.02

2.42

0.54

0.43

0.14

3.76

0.05

0.02

1.92

0.86

0.42

%=

γ z diag b( )( )⋅:=

B diag SD( ):= H M γ⋅ B⋅:=

Horizontalkräfte und Momente:

Horizontalkräfte und Momente in beiden Erregungsrichtungen:

H1

6.55

30.00

59.02

15.13

80.69

124.59

18.57

150.71

255.43

37.99

202.20

220.83

35.35

321.18

505.24

39.16

239.79

376.34

4.09

222.50

633.25

12.19−

380.07

1056.18

18.94−

411.81

1230.92

29.92−

233.82

737.74

5.59−

22.67−

23.40

20.90

212.15−

623.56−

2.60

158.11

450.14

22.84−

131.27

493.49

13.42−

17.64−

92.55

21.96

110.24−

381.44−

19.40

68.10−

361.03−

15.88−

57.03

229.63

= H2

19.88

2.64−

109.08−

55.96

13.21−

408.72−

74.81

27.63−

749.38−

168.20

47.01−

1358.81−

159.29

69.95−

1804.30−

194.37

53.40−

1435.76−

157.35

29.53

722.07−

273.07

20.75

1793.62−

207.80

11.41

1871.36−

188.94

8.73−

1434.53−

17.89−

9.07−

183.78

177.71−

3.96−

1217.14

14.47

2.89−

197.76

42.24

3.42

920.50

51.88

10.45

1876.62

133.05

42.23

3433.32

108.60

48.04

4862.87

166.33

37.32

3563.20

91.18

2.49−

900.14

149.65

24.44

2727.04

95.71

31.76

3372.99

91.14

39.93

2718.92

7.41−

0.17−

78.89−

87.70−

25.75−

2043.23−

=

Die Kräfte sind hier spaltenweise angeordnet: jede 1., 4., 7. usw Zeile nennt die Kraft Fy im EG, 1., 2. usw OG,die 2., 5. usw Zeile die Kraft Fx und die 3., 6. usw. Zeile das Torsionsmoment Mz.Die Kräfte sind insofern mit denen aus der ebenen Berechnung zu vergleichen.


Dipl. - Ing. - Matthias KüttlerPrüfingenieur für Baustatik


Tel. 0221/9636290Fax. 0221/636090

Statische Berechnung Erdbeben - komplett

Es werden hier nur die Ergebnisse ausgegeben, da die Berechnung sich ebenso darstellt, wie bereits gezeigt.

Zusammerfassung der Erdbebenkräfte in y Richtung

Schnittkräfte in den Knoten Stab 1:

Se1T

223.90

604.00

1699.03

7092.39

2506.29

216.21

223.90

604.00

1699.03

5318.28

1912.33

47.28

224.43

543.40

1446.98

5318.28

1912.33

47.28

224.43

543.40

1446.98

3737.73

1347.76

38.15

178.04

454.43

1222.55

3737.73

1347.76

38.15

178.04

454.43

1222.55

2392.63

911.02

21.96

128.71

364.88

996.37

2392.63

911.02

21.96

128.71

364.88

996.37

1261.74

561.00

4.84

106.39

269.84

720.53

1261.74

561.00

4.84

106.39

269.84

720.53

406.70

232.34

15.16

72.61

127.09

304.73

406.70

232.34

15.16

72.61

127.09

304.73

0.00

0.00

0.00

=

Qyu

Qxu

Mtu

Myu

Mxu

Wu

Qyo

Qxo

Mto

Myo

Mxo

Wo


Se2T

468.93

428.21

11290.00

4214.50

4416.45

468.93

428.21

11290.00

3029.08

3113.20

384.81

360.21

9392.49

3029.08

3113.20

384.81

360.21

9392.49

2094.92

2120.47

289.23

276.18

7138.40

2094.92

2120.47

289.23

276.18

7138.40

1388.35

1394.10

209.82

203.70

5226.51

1388.35

1394.10

209.82

203.70

5226.51

810.50

808.93

169.35

165.97

4240.22

810.50

808.93

169.35

165.97

4240.22

297.57

292.19

91.31

92.99

2333.04

297.57

292.19

91.31

92.99

2333.04

0.00

0.00

=


Se3T

435.24

273.86

6330.24

2028.24

4180.45

435.24

273.86

6330.24

1254.12

2971.70

358.60

201.35

5291.26

1254.12

2971.70

358.60

201.35

5291.26

784.58

2043.68

272.70

133.41

4081.74

784.58

2043.68

272.70

133.41

4081.74

541.76

1348.48

202.10

85.24

3063.26

541.76

1348.48

202.10

85.24

3063.26

360.77

780.48

164.15

76.07

2474.79

360.77

780.48

164.15

76.07

2474.79

150.33

276.82

86.51

46.98

1306.70

150.33

276.82

86.51

46.98

1306.70

0.00

0.00

=

25.02.2003 C:\Dokumente und Einstellungen\kuettler.PC-KUETTLER\Eigene Dateien\Sem03\MATHCAD Seite: 195



Tel. 0221/9636290Fax. 0221/636090

Zusammerfassung der Erdbebenkräfte in x Richtung


Se1T

320.29

703.65

2827.79

6829.55

3866.98

746.94

320.29

703.65

2827.79

4910.95

2952.84

301.38

300.96

592.71

2324.19

4910.95

2952.84

301.38

300.96

592.71

2324.19

3437.45

2112.74

228.85

248.87

437.54

1756.84

3437.45

2112.74

228.85

248.87

437.54

1756.84

2335.10

1395.98

148.34

205.93

341.94

1393.35

2335.10

1395.98

148.34

205.93

341.94

1393.35

1391.75

785.07

82.79

153.05

275.37

1105.48

1391.75

785.07

82.79

153.05

275.37

1105.48

541.62

304.12

22.58

95.04

169.26

671.05

541.62

304.12

22.58

95.04

169.26

671.05

0.00

0.00

0.00

=

Schnittkräfte in den Knoten Stab 2

Se2T

505.41

477.46

12391.88

6362.86

6455.14

505.41

477.46

12391.88

4906.20

4914.33

482.97

466.46

11980.06

4906.20

4914.33

482.97

466.46

11980.06

3513.27

3474.51

422.31

414.13

10556.96

3513.27

3474.51

422.31

414.13

10556.96

2270.55

2213.49

347.63

345.93

8752.78

2270.55

2213.49

347.63

345.93

8752.78

1210.61

1156.54

251.08

255.34

6386.26

1210.61

1156.54

251.08

255.34

6386.26

404.18

369.06

115.33

126.31

3013.00

404.18

369.06

115.33

126.31

3013.00

0.00

0.00

=


Se3T

461.62

430.39

6379.11

4847.37

5713.74

461.62

430.39

6379.11

3588.99

4332.08

421.04

372.62

5895.27

3588.99

4332.08

421.04

372.62

5895.27

2529.22

3084.90

359.71

301.38

5086.67

2529.22

3084.90

359.71

301.38

5086.67

1645.69

1997.12

302.28

251.08

4280.35

1645.69

1997.12

302.28

251.08

4280.35

896.27

1068.08

218.16

180.11

3106.01

896.27

1068.08

218.16

180.11

3106.01

328.44

376.50

117.66

102.64

1675.90

328.44

376.50

117.66

102.64

1675.90

0.00

0.00

=




Tel. 0221/9636290Fax. 0221/636090

Zusammerfassung der Erdbebenkräfte aus beiden Richtungen


Se1T

390.79

927.33

3298.95

9846.06

4608.15

777.61

390.79

927.33

3298.95

7238.89

3518.00

305.06

375.43

804.10

2737.82

7238.89

3518.00

305.06

375.43

804.10

2737.82

5078.06

2506.02

232.01

306.00

630.83

2140.35

5078.06

2506.02

232.01

306.00

630.83

2140.35

3343.26

1666.95

149.96

242.84

500.06

1712.94

3343.26

1666.95

149.96

242.84

500.06

1712.94

1878.55

964.91

82.93

186.40

385.54

1319.57

1878.55

964.91

82.93

186.40

385.54

1319.57

677.31

382.71

27.20

119.60

211.66

737.00

677.31

382.71

27.20

119.60

211.66

737.00

0.00

0.00

0.00

=


Se2T

689.45

641.35

16763.74

7632.04

7821.38

689.45

641.35

16763.74

5765.95

5817.44

617.52

589.36

15223.04

5765.95

5817.44

617.52

589.36

15223.04

4090.45

4070.46

511.86

497.77

12743.86

4090.45

4070.46

511.86

497.77

12743.86

2661.37

2615.92

406.04

401.45

10194.49

2661.37

2615.92

406.04

401.45

10194.49

1456.87

1411.37

302.86

304.54

7665.76

1456.87

1411.37

302.86

304.54

7665.76

501.91

470.72

147.10

156.85

3810.67

501.91

470.72

147.10

156.85

3810.67

0.00

0.00

=


Se3T

634.45

510.13

8986.93

5254.59

7079.76

634.45

510.13

8986.93

3801.80

5253.37

553.05

423.54

7921.60

3801.80

5253.37

553.05

423.54

7921.60

2648.12

3700.44

451.40

329.58

6521.88

2648.12

3700.44

451.40

329.58

6521.88

1732.57

2409.75

363.62

265.15

5263.55

1732.57

2409.75

363.62

265.15

5263.55

966.15

1322.85

273.02

195.51

3971.39

966.15

1322.85

273.02

195.51

3971.39

361.21

467.31

146.04

112.88

2125.12

361.21

467.31

146.04

112.88

2125.12

0.00

0.00

=




Tel. 0221/9636290Fax. 0221/636090

0 5 10 15

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

0 5 10 15

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

0 0.5 1

1

2

3

4

5

6Verdrehung


Ges

chos

se

Verschiebungen der Gebäudeecken (erforderliche Fugenbreite):

0 5 10 15 20

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se

0 10 20 30

1

2

3

4

5


Verschiebung in mm

Ges

chos

se


Documents

Die Berechnung von Bauwerken auf Erdbebensicherheit nach ...kup-koeln.de/wordpress/wp-content/uploads/2012/07/ERDBSEM3.pdf · 5.1.2.2 Örtliche Duktilität (Balken) 58 5.1.2.3 Besondere