Dämpfung Duktilität

Nichtlineares Bauwerksverhalten

Graphische Darstellung auf dem Umschlag: Momenten-Krümmungs-Linie eines doppelt bewehrten

Stahlbetonquerschnitts unter zyklischer Belastung

Vortragsband der 4. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Erdbeben-Ingenieurwesen und Baudynamik

am 16. Oktober 1987 in der Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung, Berlin

DÄMPFUNG DUKTILITÄT

Nichtlineares Bauwerksverhalten

Hans-Joachim Dolling (Hrsg.)

1989

Hans Joachim Dolling (Hrsg.)

Dämpfung, Duktilität, Nichtlineares Bauwerksverhalten

Printed in the Federal Republic of Germany

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildungen,

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Vorwort

Bei Erdbeben in dichtbesiedelten Regionen, wie z. B. 1985 in Mexiko oder 1986 in San Salvador, zeigt sich immer wieder, daß auch Stahl- und Stahlbetonbauwerke, die im allgemeinen eine besonders große Erdbebenwiderstandsfähigkeit besitzen, beschädigt werden, oder unter schwie­rigen Standortbedingungen sogar einstürzen können. Baudynamische Berechnungen und Expe­rimente dienen dazu, das Verhalten von Bauwerken bei Erdbeben, Sprengungen, Wind, Verkehr und anderen Erschütterungen zu untersuchen mit dem Ziel, Bauwerksschäden auch unter schwierigen Standortverhältnissen zu vermeiden. Hierbei kommt es besonders auf die Schwin­gungsdämpfung des Bauwerks, auf die Zähigkeit (Duktilität) von Bauwerksteilen und die Verformbarkeit während des Schwingungsvorganges an.

Das vorliegende Buch enthält die Manuskripte der Fachvorträge der 4. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Erdbeben-Ingenieurwesen und Baudynamik, die am 16. Oktober 1987 in der Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung in Berlin abgehalten wurde und die dem Themenkomplex Dämpfung, Duktilität und nichtlineares Bauwerksverhalten gewid­met war.

Die Tagung begann mit einem eingeladenen Vortrag über die Dämpfung von Bauwerksschwin­gungen, der alle Aspekte, die im Bauwesen eine Rolle spielen, darstellt und auch Ordnung in die Vorstellungen von Reibungsdämpfung, viskoser Dämpfung und hysteretischer Dämpfung bringt. Es wurde dann über neue Forschungsergebnisse theoretischer und experimenteller Art zur Dämpfung von Stahlbetonbauteilen sowie dem Versagungsmechanismus von Baustruktu­ren aus Stahlbeton und Stahl unter besonderer Berücksichtigung der nichtlinearen Verformun­gen berichtet.

In den Vortragsband wurde auch ein Beitrag von zwei Schülern aufgenommen, die mit dem Bau eines Erdbebensimulators Preise im Wettbewerb "Jugend forscht" gewonnen hatten.

Im Anhang ist das Tagungsprogramm abgedruckt.

Der Vorstand der DGEB

Inhaltsverzeichnis

WAAS, G.: Dämpfung von Bauwerksschwingungen

BASELER, J. und F. MüLLER: Der Einfluß einer nichtproportionalen Dämpfungsverteilung an der Schwingungsant-wort dynamisch belasteter Baustrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

V. ESTRORFF, 0.: Dämpfung eigenerregter Systeme durch Energieabstrahlung in den Baugrund . . . . . . . 55

KRÄTZIG, W. B., K. MESKOURIS und I. F. MEYEK Schadensmodelle duktiler Stahlbetontragglieder - Theorie und Experiment - 73

WöRNER, J. D.: Nichtlineare Bauwerk-Komponenten-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

KEINTZEL, E.: Zur Ermittlung der Verhaltensfaktoren für die Erdbebenberechnung von Stahlbeton-bauten . . . . . .. . . .. . . ... . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . ... . . ... . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

HIRSCH, G. und A. KLEINE-TEBBE• Experimenteller Nachweis einer semi-aktiven Schwingungskontrolle von erdbebenbe-lasteten Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

EIBL, J. und L. STEMPNIEWSKI: Über die Beanspruchung von Flüssigkeitsbehältern durch Erdbeben 133

KöNIG, G. und C. GRAHAM• Kurze Stützen unter zyklischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

BRANDES, K.: Niedrigzyklisches Verhalten von Stahlbau-Anschlüssen im plastischen Bereich ....... 169

BUCHHARDT, F., W. MATTHEES, G. MAGIERA und M. WEBER> Zum Einfluß von Dämpfung und Materialnichtlinearität am Beispiel der LastfeHle Flugzeugabsturz und Erdbeben bei Kernkraftwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

WERKLE, H. und L. MALCHER> Nichtlineare Bauwerksschwingungen bei Versuchen mit einem großen Shaker 195

LA UFER, R. und K. HEINRICH> Computergesteuerte Erdbebensimulation ............................................. 211

Anhang: Tagungsprogramm ............................................................. 221

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1. Einleitung

Dämpfung von Bauwerksschwingungen

GÜNTER WAAS

Auf das Verhalten schwingender Tragwerke hat Dämpfung einen großen Einfluß. Bei periodischer Anregung, z.B. von Fundamenten rotierender Maschinen (Kompressoren, Gebläse, Turbinen) sind die Schwingungsamplituden in der Nähe von Resonanzfrequenzen nahezu umgekehrt proportio­nal zur Höhe der Dämpfung.

Bild 1 zeigt die Amplituden eines viskos gedämpften ein­fachen Schwingers in der Nähe der Eigenfrequenz für ver­schiedene Dämpfungsgrade.

Auch bei stochastischer Anregung wie bei Erdbeben, Wind­böen, Kugelmühlen, arechanlagen etc. hängt die Bean­spruchung wesentlich von der Größe der Dämpfung ab.

Als Beispiel zeigt Bild 2 Beschleunigungsanwertspektren für ein Erdbeben, wie es in seismisch weniger gefährde­ten Gebieten der BRD zur Erdbebenauslegung kerntechni­scher Anlagen verwendet wird. Die spektralen Beschleuni­gungen sind in der Höhe näherungsweise umgekehrt propor­tional zur Wurzel des Dämpfungsgrads.

Bei kurzer stoßartiger Anregung hat die Dämpfung zwar meist nur geringen Einfluß auf die maximale Beanspru­chung aber großen auf die Dauer des Ausschwingens.

Dieser Beitrag versucht, eine kurze Einführung in das Thema 11 Dämpfung von Bauwerksschwingungen" zu geben, und geht auf ein paar Aspekte etwas näher ein.

2. Dämpfungsbegriffe

Unter Dämpfung versteht man allgemein die Dissipation von kinetischer und potentieller Energie eines schwingen­den Systems. Dabei geht Energie von einer höheren in eine niedrigere Form, insbesondere Wärme, über. Die En­tropie nimmt zu.

Man differenziert den Dämpfungsbegriff nach verschiede­nen Gesichtspunkten.

Dr. Günter Waas, Hochtief AG, Bockenheimer Landstraße 24 D-6000 Frankfurt am Main

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2.1 Unterscheidung hinsichtlich der Systemgrenzen

Bedingt durch die Begrenzung des jeweils betrachteten Systems spricht man von innerer und äußerer Dämpfung. Innere Dämpfung findet innerhalb der Systemgrenzen statt, äußere am Rand des Systems.

Betrachtet man als System z.B. ein Gebäude, so ist die innere Dämpfung die des Bauwerks selbst, d.h. Material­dämpfung in der Tragstruktur und im Ausbau, Reibver­luste in Kontaktflächen etc. zur äußeren Dämpfung zählen die Reibung mit den umgebenden Medien Luft, gegebenen­falls Wasser und dem Baugrund und Energieabstrahlunq in die umgebenden Medien in Form von Wellen. Meist ist nur die Abstrahlunq in den Baugrund von praktischer Bedeu­tung.

Die Abstrahlunq von Wellen ist im engeren Sinn keine Dämpfung, weil bei ihr an den systemgrenzen'die kineti­sche und potentielle Energie nicht in Wärme übergehen. Bezieht man jedoch das umgebende Medium in das betrachte­te System ein, so wird aus der äußeren Abstrahlungsdäm­pfung innere, eigentliche Dämpfung, weil die Wellenener-­gie letztlich aufgrund der Materialdämpfung (sei sie auch noch so gering) dissipiert wird.

Zur äußeren Dämpfung können (z.B. bei Brücken, Maschi­nen oder Gebäudefundamenten) auch Lagerreibung, Rei­bung an Kontaktf-lächen zu Nachbarbauwerken oder mecha­nisChe Dämpfer gehören.

Einspanndämpfung, ein Begri-ff aus dem Maschinenbau, wird auch als äußere Dämpfung aufgefaßt. Sie schließt im all­gemeinen Reib- und Abstrahlungsdäinpfung ein.

2. 2 Unterscheidung nach Auf.treten an Flächen und. in Volumen

Kontaktflächendämpfung tritt in Flächen auf, an denen sich Bauteile berühren. Bei relativer Verschiebung der Be­rührungsflächen wird durch Reibung Energie_ dissipiert, z.B. in Kontaktflächen tragender Bauteile untereinander oder mit Teilen des Ausbaus, Auflager allgemein und - bei ge~ nauerer Betrachtung - auch zwischen Beton und stahl, sobald Schlupf möglich_ ist (insbesondere neben Rissen).

Bei BaUwerken liefert· Kontaktflächendampfung oft den größ­ten Beitrag zur gesamten Dissipation.

Für Kontaktflächendämpfung werden in der Literatur manch­mal auch die weniger scharfen Begriffe'System- und Struk­turdämpfung verwendet. Der letztgenannte Begriff schließt oft Materialdämpfung mit ein. Im Maschinenbau benutzt man meist den Begriff Fügestellendämpfung.

Materialdämpfung ist die Dämpfung, die in einem Werkstoff selbst durch irreversible Umordnung des Gefüges auftritt. Als Mechnismen bzw. Ursachen -der Dämpfung sind zu nennen (Mahrenholtz 1987):

- Thermoelastizität Darunter versteht man den verzerrungsinduzierten Wärmefluß, wie er beispielsweise transversal bei Biegeschwingungen eines Balkens auftritt. Sein Bei­trag zur Dämpfung ist meist vernachlässigbar gering.

- Spannungsinduzierte atomare Umordnung Damit sind bleibende atomare Umordnungen gemeint, die während einer Verzerrung zu einem neuen Gleich­gewichtszustand führen (atomare Diffusion).

- Korngrenzviskosität Korngrenzen zeigen bei Deformation ein zeitabhängi­ges Verhalten, das man näherungsweise als viskoses Kriechen ansehen kann. Die damit verbundene Ener­giedissipation ist größer als die im Korninneren.

- Wandern von Fehlstellen und Versetzungen Atomare Fehlstellen und Versetzungen (Unordnungen im sonst regelmäßigen atomaren Kristallgitter) wan­dern beim Stören des inneren Gleichgewichtszustan­des durch äußere Belastung. Dabei wird mechanische Energie dissipiert.

Die genannten Ursachen treffen für den Fall kleiner Dehnungen bei annähernd ideal-elastischem Verhalten wie auch bei großen Dehnungen mit nennenswerten plasti­schen Verformungen zu. Allerdings unterscheiden sich dabei die Effekte quantitativ um Größenordnungen.

2.3 Unterscheidung hinsichtlich der Wirkungsweise

Bei viskoser Dämpfung hängt die Dämpfungskraft und da­mit die Energiedissipation von der Geschwindigkeit ab, mit der sich benachbarte Teile oder Teilchen relativ zueinander bewegen. Ist die Abhängigkeit von der Rela­tivgeschwindigkeit linear (Newtonscher Ansatz), so wird die mathematische Behandlung besonders einfach.

Viskose Dämpfung, manchmal auch als flüssige Reibung bezeichnet, tritt bei Bauwerken an den Grenzflächen zu den umgebenden Medien Luft und Wasser auf. Auch Werkstoffdämpfung im elastischen Bereich hat zum Teil viskosen Charakter. Quantitativ ist viskose Dämpfung bei Bauwerken meist nur bei geringem Beanspruchungs­niveau interessant.

Reibungsdämpfung entsteht, wenn zwei sich berührende und nicht geschmierte feste Körper gegeneinander verschoben werden. Die Reibkraft und damit die Energiedissipation

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sind nahezu unabhängig von der Relativgeschwindigkeit. Gleiches mag auch zutreffen für Vorgänge in einem festen Körper bei plastischen Deformationen. Hier wird unter Reibungsdämpfung allgemein Dämpfung verstanden, die unabhängig von der Deformationsgeschwindigkeit ist. Oft wird diese Dämpfungsart im Bauwesen schlechthin Materialdämpfung genannt, weil man letztere verein­fachend als Reibungsdämpfung betrachtet. Geläufig ist auch der Begriff hysteretische Dämpfung für Rei­bungsdämpfung; das Wort "hysteretisch" ist jedoch zu allgemein, weil auch viskose Dämpfung eine Hysterese verursacht.

3. Dämpfungsgrößen und deren Messung

Im folgenden werden die drei gebräuchlichsten Metho­den zur Messung von Dämpfung kurz dargestellt, und die Größen, die zur quantitativen Beschreibung von Dämpfung üblich sind, werden erläutert.

3.1 Quasi-statischer Versuch

Eine Probe· eines Werkstoffs (oder ein Bauteil) wird zyklisch belastet mit einer Geschwindigkeit, bei der Trägheitskräfte ·vernachlässigbar klein sind. Die Belastungs- bzw. Verformungsgeschwindigkeit, ebenso wie die Auslenkungsamplitude und die Temperatur, ist jedoch im allgemeinen ein wichtiger Parameter. Der Versuch wird meist mit harmonischer Belastung weg­oder. kraftgesteuert durchgeführt. Näheres zur Ver­suchstechnik z.B. bei Ottl, 1987.

Das Kraft-Weg-Diagramm für einen Zyklus (s.Bild 3a) ist eine sogenannte Hystereseschleife, deren Flächen­inhalt W zahlenmäßig der Verlustarbeit entspricht. Be­zieht man die Verlustarbeit w, die während eines Zyklus anfällt, auf die Formänderungsarbeit u einer linear elastischen Feder mit gleicher Kraft bei maximaler Aus­lenkung (schraffierte Dreiecksfläche in Bild 3a), so erhält man den Dämpfungsfaktor

Y = W/U (1)

auch Dämpfungspotential genannt. Er ist die physi­kalisch bedeutungsvollste Größe zur Beschreibung der Dämpfung.

Bild 3b zeigt den zu Bild 3a gehörenden Verlauf von Weg und Kraft über der Zeit für 2 1/2 Zyklen. In Höhe der Nullinie ist deutlich zu sehen, wie die· Aus­lenkung der Kraft nacheilt (griechisch "hysterein11 ).

Bei harmonischer Auslenkung ist der Kraftverlauf nur annähernd harmonisch.

Linearisierung der Dämpfung:

Die Hystereseschleife ist eine Ellipse (Bild 4a), wenn Kraft und Weg sinusförmig verlaufen. Sie kann durch Ver­wendung komplexer Zahlen mathematisch einfach als linea­re Beziehung beschrieben werden.

Verwendet man statt Kraft und Weg für eine Werkstoff­probe die Spannung a und die Dehnung E , so ist:

mit

<I = (E 1 + i·E")E = E' (l+i·tan (Z))E

E' Speichermodul

E" Verlustmodul

E* E' + i·E" = komplexer Modul

tan (2) = E11/E'= Verlustfaktor

(2) = Verlustwinkel

(2)

Spannung und Dehnung lassen sich durch Vektoren, die in einer komplexen Ebene mit der Kreisfrequenz Q = 2 1r • f rotieren, beschreiben (Bild 4b).

Für die elliptische Hystereseschleife ist der Dämpfungs­faktor gemäß (1)

y = tan (2)/2rr (3)

Durch Verwendung eines komplexen Moduls kann somit sehr einfach eine Dämpfungskraft simuliert werden, die unabhängig von der Verformungsgeschwindigkeit (bei gleicher maximaler Auslenkung) und damit unabhängig von der Frequenz ist.

Diese Darstellungsweise der Dämpfung eignet sich beson­ders für periodische Vorgänge oder länger anhaltende transiente Vorgänge (z.B. Erdbeben). Bei transienten Vor­gängen erfolgt die Rechnung mit Hilfe von Fourier- oder Laplace-Transformationen.

Für die Berechnung des g~nauen transienten Verhaltens bei kurzen Impulslasten ist die Darstellung der Dämpfung mit einem komplexen Modul allerdings nicht geeignet, weil sich dann ein physikalischer Defekt dieser Dämpfungsdar­stellung bemerkbar machen kann (Verletzung der Kausali­tät), siehe Crandall, 1970, Hillmer, 1987.

zum Zweck der einfachen Berechnung werden Spannungs­Dehnungsbeziehung meist linearisiert. Bild s zeigt ein

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Beispiel, in dem Dämpfungsfaktor, maximale Auslenkung und maximale Kraft zur übereinstimmung gebracht sind.

Kelvin-Voigt-Modell:

Eine elliptische Hystereseschleife wird auch durch das Kelvin-Voigt-Modell (Bild 6) beschrieben. Die Kraft F ist bei harmonischem zeitverlauf

F = kx + cx = k· (1 + i·Q • cjk)· x ( 4)

mit k Federkonstante c = Dämpfungskoeffizient

Bei konstantem c ist die Dämpferkraft proportional zur Geschwindigkeit bzw. zur Frequenz.

Durch Vergleich von (4) und (2) ergibt sich der Däm­pfungsfaktor mit (3) zu

y = cjk · 0/21r = cjk · f (5)

Er ist also für das Kelvin-Voigt-Modell proportional zur Frequenz.

3.2 Einfacher Schwinger mit viskoser Dämpfung

Fügt man zum Kelvin-Voigt-Modell eine Masse m hinZu, so erhält man einen einfachen Schwinger mit linear viskoser Dämpfung. Die Differentialgleichung der Bewe­gung ist

m X + c X + kx = F

Sie hat für F(t) = d die

X (t) A -Ot

e . cos

mit c. 0 =

Z.m

Q" = n. · .r (1-u )

n. = .r (k/m)

c D = iißl. = 2.-{(K"'>)

(t) (6)

homogene Lösung

(lldt + if> . (7)

Abklingkonstante (8)

Eigenkreisfrequenz (9) des gedämpften Schwingers

Eigenkreisfrequenz (10) des ungedämpften Schwingers

Dämpfungsgrad (11) Lehr'sches Dämpfungsmaß (damping ratio)

Der Dämpfungsgrad ist hier also eine Systemeigen­schaft des Schwingers.

Die Konstanten A und ~ergeben sich aus den Anfangsbe­dingungen x(o) und x(o).

Bei stationärer harmonischer Erregung mit F(t) m· sin Q • t beträgt die Amplitude mit" = Qjll

0 4

lxl [(1-a')' +4!Ja']-;: (12)

(Bild 1).

3,3 Versuch mit Gleitsinus

Das untersuchte System wird sinusförmig angeregt. Da­bei wird die Frequenz langsam verändert. Die Lage und Breite der Resonanzspitze der Amplitudenkurve ergeben bei kleiner Dämpfung die gedämpfte Eigenfrequenz fR und die Größe der Dämpfung gemäß Bild 7. Die relative Halb­wertsbreite (half power bandwidth) ist

relative Halbwertsbreite (half power bandwidth)

(13)

Der Kehrwert wird Resonanzschärfe oder Qualitätsfak­tor (quality factor) genannt

Q = l/2D (14)

Der Ausdruck (13) läßt sich aus (12) mit etwas Ge­duld ableiten.

Bei einem Mehrmassenschwinger mit zwei oder mehr dicht beieinanderliegenden Resonanzstellen führt der einfache Ausdruck (13) nicht zum Ziel. In diesem Fall verwendet man ein Rechenmodell mit zwei oder mehr Freiheitsgraden und variiert die Steifigkeiten und Dämpfungen des Modells bis eine möglichst gute Über­einstimmung der gemessenen und berechneten Frequenz­gänge erreicht ist. (Quadratsumme der Differenzen wird zum Minimum gemacht.)

Auf die Dämpfungsmessung an Strukturen mit mehreren oder vielen Freiheitsgraden kann hier nicht näher ein­gegangen werden. Natke (1983) beschreibt ausführlich die Theorie der experimentellen Modalanalyse, die in den letzten Jahren zur Bestimmung dynamischer Struk­tureigenschaften entwickelt wurde.

3.4 Ausschwingversuch

Man lenkt einen Schwinger aus oder stößt ihn an und mißt die Amplituden beim Ausschwingen (Bild 8). Aus der Annahme der Amplituden ergibt sich das logarith­mische Dekrement.

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A (15)

und mit (7) bis (11) für D <1

.f\. 2rr5j{l<l- = 2rrD/f (1-Il' )

A z 2rrD für D <<1 (16)

Ein Beispiel für Abklingkurven, die an einem hohen Stahlschornstein gemessen wurden, zeigt Bild 9. Durch Anbringunq eines Patersensehen Reibungsdäm­pfers stieg der Dämpfungsgrad der fundamentalen Eigenschwingung von 0,25% auf 3,7% an (Petersen, 1982).

3 • 5 Umrechnung von Dämpfungs.größen

In Tabelle 1 sind die üblichen Dämpfungsgrößen mit Zuordnung zu der Art der VersuchsbestimmUng und mit Umrechnungsfaktoren zusammengestellt.

Die angegebenen Faktoren zur Umrechnung der Größen eines viskos gedämpften Schwingers (c, 6 ,L\, D) in den Dämpfungsfaktor 'Y oder den verlus.twinkel <0 gel­ten nur für die Eigenfrequenz des .Schwingers, d.h. praktisch, wenn er vorwiegend in seiner Eigenfrequenz schwingt. Denn der Dämpfungsfaktor des Schwingers wächst ja nach (5) linear mit der Erregerfrequenz an.

Es ist wichtig zu merken, daß der Dämpfungsgrad D eigentlich eine Systemeigenschaft eines viskos ge­dämpften Schwingers ist. Er wird jedoch auch benutzt als Maß für Material- und Kontaktflächendämpfung im Sinne des Dämpfungsfaktorsy. Aus (5) und (11) folgt als Dämpfungsgrad

D =1(/4rr (17)

Er wird in diesem Fall als äquivalenter Dämpfungs­grad zur Beschreibung des Dämpfungsverhaltens von Baustoffen und Bauteilen - also nicht eines schwingen­den Systems - verwendet. Richtig ist dies nur, wenn~ und damit die Dissipation unabhängig von der Frequenz sind., d. h. , wenn Reibungsdämpfung ( d. h. nicht-viskose Dämpfung) vorliegt.

3.6 Vergleich einfacher Schwinger mit viskoser und nicht­viskoser Dämpfung

Die Dämpferkraft eines viskosen Schwingers mit Kelvin­Voigt-Dämpfung ist bei harmonischer Erregung mit der Frequenz Q gemäß (10) und (11)

(18)

Der Dämpfungskoeffizient in (18) ist freguenzunab­hängig, die Dämpferkraft wächst linear mit der Erre­gerfrequenz o an.

Wählt man nun einen Dämpfungskoeffizienten c derge­stalt, daß

c 0 = c n = konstant 0

(19)

ist, so beträgt die Dämpferkraft

Fd = C X = i 2 0 k X (20)

In diesem Fall ist die Dämpferkraft unabhängig von der Frequenz, also nicht viskos. Der Ansatz (19) ent­spricht der Verwendung eines komplexen Moduls, siehe 3.2. Mit ihm kann Materialdämpfung besser erfaßt wer­den als mit dem Ansatz (18) für viskose Dämpfung.

Bild 10 zeigt die Amplituden des viskos und des nicht­viskos gedämpften Schwingers für D = 0,1, 0,2 und 0,4. Die Übereinstimmung bei kleiner und mäßig großer Däm­pfung ist bis etwa D = 0,2 aus praktischer Sicht Sehr gut. Man kann deshalb bei einem einfachen Schwinger die eine wie die andere Dämpfungsdarstellung verwen­den.

Der Vorteil der nicht-viskosen Dämpfung auf der Basis von komplexen Moduln (s. 3.2) tritt erst bei solchen Systemen mit vielen Freiheitsgraden zutage, bei denen eine Modalanalyse nicht möglich oder unzweckmäßig ist, z.B. bei Problemen der Boden-Bauwerk-Wechselwirkung.

4. Rheologische Modelle

Um Dämpfungsverhalten besser verstehen, veranschauli­chen und mathematisch beschreiben zu können, ist es nützlich rheologische Modelle heranzuziehen. In Bild lla) bis d) sind vier Grundelemente dargestellt, aus deren Kombination sich einfache Modelle, Bild lle) bis i), und komplexe, z.B. Bild llj) und k), entwickeln lassen.

Der qualitative Verlauf des Dämpfungsfaktors für zyklische Auslenkungen der einfachen Modelle ist in Bild 12a über der Frequenz bei gleicher Amplitude und in Bild 12b über der Amplitude bei gleicher Fre­quenz dargestellt.

Das 3-Parameter-Modell unterscheidet sich bei harmoni­scher Auslenkung nicht von dem Kelvin-voigt-Modell. Es gibt jedoch das Kriech- und Relaxationsverhalten

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von Werkstoffen besser wieder (Mahrenholtz, 1987). Seide Modelle eignen sich bedingt zur Dämpfungsbe­schreibung im elastischen Bereich.

Bei zyklischen Dehnungen im plastischen Bereich (z.B. bei Erdbeben) sind Modelle mit Reibungselementen, wie g) h) i) j) in Bild 11 meist zutreffender. Ihre An­wendung erschwert aber die Berechnung wegen der nicht­linearen Kraft-Weg-Beziehungen.

Das Modell k) in Bild 11 ist recht allgemein (es ent­hält zusätzlich noch Bruchelemente), aber für die prak­tische Anwendung zu kompliziert.

Für die nicht-viskose Dämpfungsdarstellung mit einem über die Frequenz konstanten komplexen Modul (2) ist ein rheologisches Modell nicht bekannt und wohl nicht entwickelbar, da sie physikalisch einen Defekt hat, wie bereits in 3.2 erwähnt.

Hillmer, 1987 hat gezeigt, wie man physikalisch korrekt mit Hilfe einer speziellen Kette von Kelvin-Elementen eine annähernd konstante Dämpfung mathematisch linear darstellen kann.

Das wirkliche Verhalten von Baumaterialien und Bautei­len ist bei großen zyklischen Beanspruchungen außer­ordentlich kompliziert und deshalb mit Hilfe einfacher rheologischer Modelle nur in grober Näherung zu be­schreiben.

In Bild 13 sind einige typische Hystereseschleifen dar­gestellt. Bild 13a von Aktan et.al., 1973 zeigt Hyste­reseschleifen für große Wechselbelastung. Es treten aus­geprägte plastische Verformungen auf. Die Dissipation ist sehr groß. Die Hystereseschleifen für unbewehrten Beton unter zyklischer Druckbelastung (Bild 13b) sind dagegen sehr schlank. Die Dissipation ist vergleichs­weise gering. Die Festigkeit von Beton nimmt bei wieder­holter hoher Belastung deutlich ab.

Bild 13c (Park et.al., 1972) zeigt die Momenten-Krüm­mungslinie für einen doppelt bewehrten Stahlbeton­Querschnitt mit gutem Dissipationsvermögen. In Bild 13d von Wight et.al., 1975 tritt wegen ungenügender Schubbewehrunq bei wiederbalter Belastung eine deut­liche Einschnürung der Hystereseschleife und eine schnelle Abnahme der eingeschlossenen Fläche und damit der Dissipationsfähigkeit auf. Bereits nach wenigen Lastzyklen ist die Tragfähigkeit stark abgefallen (low­cycle fatigue).

Bild 13e zeigt Spannungs-Verschiebungs-Linien für den Verbund von Beton und Bewehrunq (Morita et.al., 1973). Bei wechselnder Belastung bis nahe an die maximal auf­nehmbare Spannung nimmt der Schlupf mit jedem Zyklus

deutlich zu. Die Schleifen zeigen starke Einschnürung in der Art eines Spiels (vergl. Bild 11d).

Eine ausführliche Zusammenstellung und Diskussion von Versuchsergebnissen zum zyklischen Verhalten von Stahl­beton findet sich bei Müller, Keintzel, Charlier 1983.

5. Dämpfung von Stahlbeton

5.1 Balken im elastischen Bereich

Umfangreiche Versuche mit Biegebalken aus Normal- und Leichtbeton mit schlaffer und vorgespannter Bewehrunq wurden in den letzten Jahren an der ETH Zürich durch­geführt (Dieterle, Bachmann, 1979; Gisin, Bachmann, 1985; Bachmann 1986).

Bild 14a zeigt den Dämpfungsgrad von schlaff bewehrten Versuchsbalken (Spannweite 7,88m; Höhe 0,24m; Breite 0,40m; symmetrische Bewehrunq 1-1 = 1-1 1 = 0,47; 0,84; 1,3 %), die anfänglich nicht gerissen waren (Prüfphase 1) in Abhängigkeit von der maximalen Auslenkung .in Bal­kenmitte. Mit wachsender Auslenkung nimmt zuerst der Dämpfungsgrad zu, während sich Biegerisse bilden. Da­nach fällt der Dämpfungsgrad annähernd hyperbolisch auf einen konstanten Restwert ab. Diesen Abfall kann man mit dem Verhalten Coulombscher Reibungsdämpfung (s. Bild 12b) erklären. Im gerissenen Zustand erfolgt die Dissipation wenigstens zum Teil durch Bewehrungs­schlupf in der Nachbarschaft der Risse.

Bei Coulombscher Reibung nimmt die Verlustarbeit nur linear mit der Amplitude zu, während die elastische Formänderun·gsarbeit quadratisch ansteigt. Daher nehmen gemäß (1) der Dämpfungsfaktor)V und der äquivalente Dämpfungsgrad D =JV /4'11" hyperbolisch ab.

Der nach Abzug Coulombscher Reibung verbleibende Dämpfungsanteil wird von Dieterle, Bachmann, 1979 als viskose Dämpfung interpretiert.

Bild 14b zeigt die Ergebnisse einer zweiten Versuchs­phase mit denselben Balken, die nun von Anfang an ge­rissen waren. Die hyperbolische Abnahme des Dämpfungs­grads mit wachsender Amplitude ist jetzt noch deut­licher zu erkennen.

Bei kleinen Auslenkungen im gerissenen Zustand zeigten die schlaff bewehrten Betonbalken Dämpfungsgrade von ca. 5% bei geringem und 3% bei höherem Bewehrungsgrad; die der Leichtbetonbalken waren nur etwa halb so groß.

Bei größeren Auslenkungen unterhalb der Streckgrenze des Stahls betrugen die Dämpfungsgrade weniger als 1%.

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Für voll vorgespannte Balken aus Normal- und Leichtbe­ton wurden Werte von ca. D = 0,7% bzw. D = 0,4% gemes­sen. Bei teilweiser Vorspannung ergaben sich um so höhere Dämpfungswerte je geringer der Vorspanngrad war.

5.2 stahlbetondecken

An weitgespannten stahlbetondecken wurden Dämpfungs­grade von ca. 2 bis 7% gernessen (Allen, Rainer, Pernia, 1979). Nichttragende Zwischenwände tragen wesentlich zur Dämpfung bei. Bachmann, 1987 empfiehlt für die Berechnung von Turn- und Sporthallendecken, die durch Hüpfen belastet werden, 1,4% für Stahlbeton­und 1,0% für vorgespannte und Verbundkonstruktionen.

5.3 Bauwerke im elastischen Bereich

An mehreren stahlbetonschornsteinen, die in kleine Schwingungen durch Windböen oder Vibratoren gebracht wurden, hat Jeary, 1974 Dämpfungsgrade zwischen ca. 0,5% und 0,7% gemessen. Diese Werte stimmen recht gut überein mit den Versuchsergebnissen der ETH-Zürich für voll vorgespannte Balken. Der Querschnitt der Schorn­steine war bei den Messungen vermutlich auch voll durch Eigengewicht vorgespannt.

An turmartigen Bauten aus Stahlbeton wurden bei kleinen Amplituden Werte von etwa 0,8% bis 2% gemessen (Jeary, Sparks, 1979).

5.4 Bauteile und Bauwerke bei großen Beanspruchungen durch Erdbeben

Wenn bei großer Biegebeanspruchung eines Stahlbeton­querschnitts der stahl fließt, läßt sich die Momenten­Krümmungslinie (oder das Kraft-Weg Diagramm) in erster Näherung als ideal elaste-plastisch darstellen (Bild 15). Das Verhältnis der plastischen Auslenkung Up zur elasti­schen Ue bezeichnet man als Zähigkeitstaktor

Up/Ue (21)

Der Begriff Zähigkeit spielt bei der Erdbebenauslegung von Bauwerken eine große Rolle. Da mit dem Verhältnis Up/Ue die Verlustarbeit anwächst, ist der Begriff Zähig­keit dem der Dämpfung verwandt. Der Zähigkeitsfaktor kann als grobes Maß dienen für die Fähigkeit, kinetische Energie, die vom Erdbeben auf das Gebäude übertragen wird, zu dissipieren. Je größer die Dissipation ist, desto weniger stark werden die Gebäudeschwingungen an­gefacht.

Den Begriff Zähigkeit bezieht man auf einen Querschnitt, ein Bauteil oder ein Bauwerk. Man unterscheidet zwischen

demmöglicheh, h1ltzbäreri Zähigkeitsfaktor (Up ist in diesem Fall die maximal mögliChe Auslenkung vor Versa­gen) und dem tatsächlich genutzten.

Für ein Bauteil oder ein Tragsystem ist der nutzbare Zähigkeitsfaktor in der Regel wesentlich kleiner als für die einzelnen Querschnitte des oder der Bauteile, weil die plastischen Zonen in den Bauteilen lokal begrenzt sind (s. z.B. Müller, Keintzel, 1984). Die plastischen Verformungen bezogen auf die elastischen sind, wenn man sie über das ganze Tragwerk mittelt, immer kleiner als an einer oder wenigen kritischen Stellen.

In grober Näherung ist die Widerstandsfähigkeit eines Tragwerks gegen Erdbeben proportional zur Energie, die das Tragwerk bei einer Auslenkung von der Ruhelage bis zu einer maximal möglichen Lage aufnehmen kann, sei es in Form von elastischer oder von elastisch-plastischer Formänderungsarbeit. setzt man die elastische Arbeit der Kraft F (schraffierte Dreiecksfläche in Bild 15) mit der elaste-plastischen Arbeit der Kraft Fy (schraf­fierte Trapezflächen in Bild 15) gleich, so erhält man

mit F = '(·Fy

r=rc2~-1)

(22)

Gemäß dieser Faustformel kann ein elasta-plastisches System mit der Tragfähigkeit Fy und dem Zähigkeitsfak­tor~ ein so großes Erdbeben wie ein elastisches, sprö­des System mit einer um den Faktor~ größeren Tragfä­higkeit F ohne Versagen überstehen.

Die Spektren in Bild 16 (Newmark, 1970) für einen elasta-plastischen Schwinger mit unterschiedlicher Eigenfrequenz f (bei elastischer Beanspruchung) und Zähigkeit ~ bestätigen am Beispiel des El Centro Bebens 1940, daß mit zunehmender Zähigkeit die maximale relati­ve Geschwindigkeit und damit die maximale Beschleunigung des Schwingers abnimmt. Im mittleren Frequenzbereich der Erdbebenanregung (zwischen 0,3 und 3 Hz) entspricht die­se Abnahme etwa dem Faktor 1/[·

Mit wachsendem Zähigkeitsfaktor nimmt nicht nur die Däm­pfung des Systems, sondern auch die Eigenschwingperiode T zu, weil das System weicher wird. Die Sekantensteifig­keit fällt ab. Die Verlängerung der Eigenschwingperiode wirkt sich meist günstig auf die Erdbebenbeanspruchung von Hochhäusern aus (Müller, Keintzel, 1984). Krasse Gegenbeispiele gab es allerdings beim Erdbeben in der Stadt Mexiko 1985, bedingt durch das Schwingverhalten der weichen Tonschichten des Baugrunds im Stadtzentrum (Waas, 1988).

Gulkan, Sozen, 1974 haben vorgeschlagen, für Erdbeben­berechnungen einen elasta-plastischen Schwinger durch

13

14

einen linearen, viskos gedämpften Schwinger zu ersetzen. Sie geben zur Umrechnung der Systemparameter den Däm­pfungsgrad und die Schwingperiode des linearen Ersatz­schwingers

D'

T'

D + (1-1/..ftil/rr

T·.r'L

(23)

(24)

an. Dabei sind D der Dämpfungsgrad und T die schwing­periode des elasta-plastischen Systems im elastischen Bereich. zum Beispiel ergeben~= 3 und D = 0,02 mit (23) den äquivalenten Dämpfungsgrad D' = 0,15.

In ähnlicher weise gibt ötes, 1985 Parameter eines linearen Ersatzschwingers für erdbebenbeanspruchte stahlbetonrahmen an. Er betrachtet das wirkliche Trag­verhalten allerdings etwas differenzierter und ver­wendet statt des Zähigkeitstaktors einen Schädigungs­grad.

Die Regel KTA 2201.3 für die Erdbebenauslegung von Kernkraftwerken läßt im Fall des Auslegungs- und des Sicherheitserdbebens für Stahlbeton die Werte D = 0,04 bzw. 0,07 zu (Tabelle 2). Der Wert D = 0,07 setzt ge­ringe plastische Deformationen voraus. Mit (23) er­gibt sich der Zähigkeitstaktor zu 1,4, wenn man den Dämpfungsgrad bei elastischer Verformung mit 0,02 ansetzt.

6. Dämpfung durch Abstrahlunq in den Baugrund

Der Baugrund hat in vielen Fällen einen wesentlichen Einfluß auf das dynamische Verhalten von Bauwerken. Sowohl die niedrigeren Eigenfrequenzen der Bauwerks­schwingungen wie deren Dämpfung hängen oft merklich von der Geometrie, den Abmessungen und der Steifig­keit der Gründung (Platten-, Streifen-, Einzelfunda­ment-, Pfahlgründung), von den dynamischen Bodeneigen­schaften, ihrer Änderung mit der Tiefe, der Gründungs­tiefe und anderen Faktoren ab.

Der Beitrag des Baugrunds zur Bauwerksdämpfung wird schlechthin als Baugrunddämpfung bezeichnet. Bezieht man das Volumen des Baugrunds nicht mit in das be­trachtete System ein, so ist Baugrunddämpfung äußere Dämpfung und besteht wesentlich aus Abstrahlungs­dämpfung, die in der Literatur gelegentlich auch als geometrische oder Systemdämpfung bezeichnet wird.

Die Abstrahlung erfolgt in Form von Scher- und Kom­pressionswellen, die bei der Wechselwirkung des Bau­körpers mit dem angrenzenden Baugrund entstehen. Sie tragen im Erdreich kinetische Energie in die nähere und weitere. Umgebung, wo diese aufgrund der Material­dämpfung des Bodens dissipiert.

Die Größe der Materialdämpfung von kohesivem und rolli­gem Boden hängt entscheidend von der Höhe der dynami­schen Scherbeanspruchung ab. Bei Schubdehnungen kleiner als 0,001% (z.B. Erschütterungen durch Verkehr, Baube­trieb, Maschinen) liegt der Dämpfungsgrad meist unter ca. 3% (Werte in diesem Bereich sind von der Güte der Meßtechnik abhängig), Bei Schubdehnungen von 1% (z.B. Erdbeben) können die Dämpfungsgrade 20% überschreiten. Weitere wichtige Parameter sind bei rolligen Böden die Lagerungsdichte und die mittlere effektive Normalspan­nung, bei kohesiven Böden die Scherfestigkeit und der Konsolidierungsgrad (siehe z.B. Haupt, 1986 und Seed et.al., 1986).

Als Modell zur Berechnung der Feder- und Dämpfercharak­teristik des Baugrunds benutzt man häufig das einfache Modell einer starren kreisförmigen oder rechteckigen Platte auf einem elastischen isotropen Halbraum. Die sich,für dieses Modell ergebenden Feder- und Dämpfungs­werte sind hinlänglich bekannt (z.B. Klein, 1982, Haupt, 1986). Die Werte sind allgemein frequenzabhängig, weil sich die Wellenlängen der Scher- und Kompressionswellen im elastischen Medium mit der Frequenz ändern.

Die Frequenzabhängigkeit ist für praktische Belange je­doch oft unbedeutend. So kann man in guter Näherung für translatorische Freiheitsgrade der Platte den Halbraum durch eine konstante Feder und einen viskosen Dämpfer mit konstantem Koeffizienten ersetzen. Die Abstrahlungs­dämpfung nimmt dementsprechend linear mit der Erreger­frequenz zu (Bild 17). Bei rotatorisehen Freiheitsgraden (Drehung um horizontale und die vertikale Mittelachse) ist dagegen die Abstrahlungsdämpfung für kleine Frequen­zen vernachlässigbar gering.

Dies kann aber auch der Fall sein bei Translations­schwingungen von Fundamenten auf einer weichen homogenen Bodenschicht über einer harten Schicht, z.B. Fels. Es gibt dann die kritischen Frequenzen

fs = v,/(4H) ; ff = Vp/(4H)

H ist die Dicke der Schicht, Vs und Vp sind die Fortpflan­zungsgeschwindigkeiten von Scher- bzw. Kompressionswellen (Waas, Werkle, 1984),

Unterhalb der Frequenz fs tritt praktisch keine Abstrah­lungsdämpfung bei horizontalen· Schwingungen und unterhalb von fp > fs keine bei vertikaler Schwingung des Fundaments auf. Die kritischen Frequenzen selbst sind Eigenfrequenzen der Schicht für stehende Scher- bzw. Kompressionswellen. Erst oberhalb dieser Frequenzen können propagierende Wel­len Energie seitlich abstrahlen. Diese Eigenschaften einer weichen Bodenschicht über einem sehr harten Untergrund können, wenn unbeachtet, in der Praxis zu Problemen führen.

15

16

Wenn die Steifigkeit des Bodens mit der Tiefe rasch zu­nimmt, ist ebenfalls die Abstrahlung beeinträchtigt (Waas, werkle, 1984).

Die Baugrunddämpfung trägt bei hohen und relativ weichen Bauwerken (z.B. Schornsteine, Türme, Hochhäuser) mit Eigen­frequenzen unter etwa 1 Hz im allgemeinen nicht wesentlich zur Bauwerksdämpfung bei. Anders ist es bei steifen, kom­pakten Bauwerken. Als Beispiel zeigt Bild 18 den relativen Anteil der Dissipation durch innere Dämpfung des Bauwerks (D = 7%) an der gesamten Dissipation in Abhängigkeit von der Schwingfrequenz für die Fälle eines Reaktorgebäudes auf weichem alluvialen Baugrund und auf hartem Baugrund (weicher Fels) jeweils für die Annahmen einer unendlich starren Fundamentplatte und einer realistischen Biegestei­figkeit (Riggs, Waas, 1985). Dabei erfolgt die Schwingungs­anregung durch horizontale Bodenbeschleunigungen eines Erd­bebens. Der Anteil der Baugrunddämpfung dominiert im Fall des weichen Baugrunds und ist im Fall des harten etwa eben­so groß wie die innere Bauwerksdämpfung. Die Biegung der relativ steifen Fundamentplatte, die durch Wände ausge­steift ist, beeinflußt die Baugrunddämpfung dabei nur wenig.

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19

Tabelle 1 : umrechnung VOO SChwingungsgrößen

VERSUCH GROBE lj; <j> ( ö 1\ 0

QUASI-STAT, DÄMPFUNGSFAKTOR lj; 1 2Tttant.p _ng_ 4TI_Q_ - 21\ 4TIO /km Wo AN

- _1_Q_ _A_ PROBEN VERLUSTWINKEL <j> 1 - .<JI& - 20 K Wo n

AM DÄMPFUNGSKOEFF, c 1 20m -II''"" n 20fkiil

EINFACHEN ö -ll!!!..

SCHWINGER ABKLINGKONSTANTE 1

2n w,o

MIT 1\ VISKOSER

LOG. DEKREMENT 1 - 2TIO

DÄMPFUNG DÄMPFUNGSGRAD 0 1

Umrechnung von c, 0, A, D in ~. $nur bei Eigenfrequenz des Schwingers

Tabelle 2: Dämpfungsgrad ln Prozent

MOLLER~ BK 1978 KTA 2201.3 E 1980

ELAST I SCHER ELASTO-PLAST, AUSLEGUNGS- SICHERHEITS-

KONSTRUKTION BEREICH BEREICH ERDBEBEN ERDBEBEN

STAHLBETON 1 - 2 7 q 7

SPANNBETON 0,8 5 2 5

STAHL., VERSCHRAUBT 1 7 q 7

STAHL .. VERSCHWEIßT o,q q 2 q

STAHLVERBUND q 7

MAUERWERK 1 - 2 7 q 7

HOLZ 1 - 3

20

50 40

30

20

10 8

6 5 4

3

2

~0"'0.01

00

sin wl

A M:0

0fk·

\.OL--~::=:t 0.8

0.6 0.5 0.4

0.3

0.2 0"'0.60

0.1 L_-,L_..L,-----:.l___! _ _L _ _l_._L__:-': _ _,_____J 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.6 2.0

W/Wo Bild 1: Vergrößerungsfunktionen für einen viskos

gedämpften einfachen Schwinger

1 o' f [Hz]

Bild 2: Antwortspektren für Beschleunigungen bei Erdbeben

Kraft

u

Weg W dissipierte Energie

U Bezugsenergie

tj!= ~ Dämpfungs­faktor

Bild 3: Hystereseschleife und zugehörige Zeitverläufe von Kraft und lVeg

I mo.g. a

.-~· --,1~~--~_L-- '

Bild 4: Darstellung frequenzunabhängiger Dämpfung mit komplexem Modul

Ree I

21

22

a)

Kraft

b) / \ , \

fr,' \ ~ ~X I ~

\ 0

Kraft b / \

b. Ellipse 0=21%

Weg

~ 'v Weg

Kraft a lf ~ \ j I \\

II ' II ~\ ~I ~ ~I ~/ 'fA/

'/ \ / Zeit

/ \ fT'I \ ~ ~I

\\ '\

Bild 5: Linearisierung durch äquivalente elliptische Hystereseschleife

F ! x,F

m

k

Bild 6: Kelvin-Voigt Modell mit frequenzabhängiger Hystereseschleife

Xmox

Bild 7: Gleitsinus-Versuch

X

r--'

+-

x A=..1.tn-n-

m X n+r.'l

Bild 8: Ausschwingversuch

-6t e

logarithmisches Dekrement

Abklingkonstante

23

f

24

IIOmm ~hne DömE!ferj

- I- ~ ---, - - -

~1 o)

fo Zeit

~\ ~it Dämpfer I I mm I

~ 2.EiJen-7 -, ~

form c I

~~ 2~ I

' ~i 11.Eigen-' ue form

' .9:c I

•T /'1+2.

~~ I

r~ I

-Zeit ~ m " bl cl

Bild 9: Abklingkurven eines 94 m hohen Stahlschornsteins a) ohne Dämpfer b) mit Dämpfer c) Überlagerung der 1. und 2. Eigenform (Petersen, 1982)

-=-.·-/ Reibungsdämpfung , {mit Komplexem Modul)

~~~ c

o.o o.s t.o 1.5 2.0 2.5

IJJ/ Wo

Bild 10: Vergleich eines viskos und eines nicht-viskos gedämpften Schwingers

G:ES

a) Feder

IOjt;Gy

b) trockene Reibung

G= c i c) viskos d) Spiel

0 0 1 0 e) Kelvin-Voigt f) 3-Para-

Modell meter Modell

i) bi-linear j) multi-linear

g) Prandtl elasta­plastisch

h) Coulomb Modell

k) allgerneines komplexes Modell

Bild 11: Rheologische Modelle

25

26

a)

\0 \ \ \

b)

\

' '

Coulomb

..... -

FREQUENZ

(bei konst. Amplitude)

elasta-plastisch

(Prandtl)

viskos

(Kelvin-Voigt}

0 ---

AMPLITUDE

(bei konst. Frequenz)

Bild 12: Qualitativer Verlauf des Dämpfungsfaktors für verschiedene Dämpfungsmodelle

IJ 600 /N.VIm 2i

300

-JDO

-600

0 aoz O.fl~ O.C6

' a} Spannungs-Dehnungs-Linie von Stahl bei

zyklischer Belastung

0,08

" -2< {MN!m11

-20

-16

-12

- 8

- ' 0

0 -0,!2 -0.12 -0,52 -0,72 e .,o-1

b) Spannungs-Dehnungs-Linie von Beton bei

zyklischer Belastung

27

C) Momenten-Krür:liTlungs-L inie eines doppelt

bewehrten Stahlbeton-Querschnitts ur1ter

zyklischer Belastung d) Kraft-Verschiebungs-Linie eines Stahl­

beten-Bauteils mit ungenügender Schubbe­

wehrung unter zyklischer Belastung

Bild 13:

5,0

2,5 0,2 0,1

----------r--' .:l !mm_l

0,1 0,2

-5,0

e) Verbundspannungs-Verschiebungs-Diagramne für zyklische Beanspruchung im Wechsel­

bereich

Hystereseschleifen bei großen zyklischen Beanspruchungen

28

0["1'.]

•

' ' '

Bild 14:

Bild 15:

ol

0 ["1.)

1. Prüfphase bl ,1_2_._,_''-''-"-'_"_J

" 82 Beton Bl

LBI LB2 Le1chtbeton LBl

'

"

Dämpfung von Stahlbetonbalken (Bachrnann, 1986)

/ /

/ L..

Kraft

f

fy

/ /

/

--- ---/

----

l]~ ~ Ue

Zähigkeit

Definition des Zähigkeitsfaktors

" " " LBI

"' ,., '"

3,0

a1 0.3 o:; 1.0 3.0 5.0 10 JIJ {[Hz!

Bild 16: Antwortspektren für verschiedene Zähigkeits­faktoren, El CentroBeben 18.5.1940 N-S (Newmark, 1970)

0

homog.

Schicht / 7

"---/ V

homog. /-1 Halbraum / . /

/ /

\/ /

V V f = - 5

- bzw -'-'' 4H 4H

I_

H

j?/)//1//?/l)/ II))/)

Frequenz

Bild 17: Dämpfung eines starren Fundaments auf homogenem Halbraum und auf homogener Schicht bei Transla­tionsschwingung des Fundaments, qualitativer VerlaUf

29

30

.

• ANTEIL DER BAUWERKS- ~

DÄMPFUNG

AN DER • GESAMTDÄMPFUNG IN PROZENT

g

• " g

g

•

'

HARTER BAUGRUND

WEICHER

FUNDM1ENT

BIEGSAM

STARR

DBAUWERK = 7%

FREQUENZ HZ 10 12

Bild 18: Anteil der Dissipation durch innere Bauwerks­dämpfung an der gesamten Dissipation (Bauwerk­und Baugrunddämpfung) für ein Reaktorgebäude bei horizontaler Erdbebenanregung

Der Einfluß einer nichtproportionalen Dämpfungsverteilung auf die Schwingungsantwort dynamisch belasteter Baustrukturen

J. BASELER, F. H. MÜLLER 1

Zusammenfassung

Es wird ein Rechenverfahren vorgestellt, das gestattet, die Dämpfungsverteilung in einer Strukur exakt zu berücksichtigen. Anhand von Beispielen wird die Anwendung gezeigt und der Einfluß der Dämpfungsverteilung diskutiert.

1. Grundlagen

Eine mög-lichst genaue Beschreibung der Schwingungsdämpfung kann

in manchen Fällen die resultierende Schwingungsantwort dynamisch belasteter Strukturen wesentlich beeinflussen. Wenn diskrete Dämpfer an dem betrachteten Schwingungssystem angreifen, bedeu­tet dies ein räumlich punktueller Kraftangriff. Die Dämpfung ist dann nicht mehr affin der Masse o~er Steifigkeit verteilt. In einem solchen Fall spricht man von nichtproportional gedämpft€.'n Schwingungssystemen.

Das am häufigsten auftretende Problem der Strukturdynamik be­steht aus der Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung, (DGL) (Bild 1). Die Dämpfung ist proportional zur Geschwindigkeit an­genommen, die Koeffizienten der Massen-, Dämpfu~gs- und Steifig­keitsmatrizen [M], [C], [K] seien zeitinvariant, reell und fre­guenzunabhängig.

Es stehen mehrere Lösungsalternativen zur Verfügung. Einerseits kann das DGL-System in gekoppelter Form im Zeitbereich direkt integriert oder im Frequenzbereich gelöst werden. Bei einer großen Anzahl von Freiheitsgraden wird die Behandlung des gekoppelten Systems sehr rechenzeitintensiv, außerdem ist eine anschauliche Analyse des Schwingungsverhaltens nur unbe­friedigend möglich. Die Auswirkung geringfügiger Änderungen von

Dipl.-lng. Joachim Baseler, Lehrstuhl für Baumechanik, Techn. Universität München; Dr.-lng. Frank H. Müller, Schalltechnisches Beratungsbi.iro Müller-BBM GmbH, 8033 Planegg

31

32

Systemparametern oder Lastgrößen können nur schwer verfolgt wer­den. So wird man eine Lösung möglichst in entkoppelten Gleichun­gen anstreben, wofür die Modalanalyse ein geeignetes Rechenver­fahren ist. Besonders in Kombination mit dem Einsatz von Antwortspektren stellt sie eine schnelle Methode dar, Maximalwerte der Schwin­gungsantwort abzuschätzen. Beschreitet ~an diesen Weg, so hat die Frage, ob die behandelte Struktur proportional oder nicht­proportional gedämpft ist, gravierende mathematische Konse­quenzen zur Folge.

2. Herkömmliche Modalanalyse

Für die Behandlung der Bewegungsgleichung (1) mit Hilfe der tra­ditionellen Modalanalyse sind zunächst die Eigenfrequenzen und zugehörigen Eigenformen des ungedämpften Systems zu bestimmen ( 2) .

( 1)

Eigen wer\:.'3leichun5

Eigenvektoren 'f'· L

Eine spaltenweise Anordnung Modalmatrix [~].(3)

('2)

der Eigenvektoren ~bildet die

Durch eine Variablentransformation auf die Eigenmoden (4)

Tronstormal:.\on au~ ModalKoorclinat.el")

lxl =[</J]. [y]

1 Modalamp\i~uden

gelingt ~s, die Bewegungsgleichung in eine Form zu bringen, bei der sowohl die Massen- als auch die Steifigkei.tsmatrix diagonal werden (5).

[Mse"JlYJ.r [cs~nJlYJ+[Ksen] lYJ ~ [b] gft) (S)

Die Dämpfungsmatrix [C] wird im allgemeinen nicht diagonali~ siert. Nur dann, wenn sich die Dämpfungsmatrix als eine Line­arkombination von Massen- und Steifigkeitsmatrix formulieren läßt (6),

Cc1 = C(. [MJ i- P> [KJ (t,)

33

34

entkoppelt sich das Gleichungssystem (5) vollständig. Man spricht in diesem Fall von einer "proportionalen" oder auch einer 11 bequemen11 Dämpfung.

Dies ist in der Regel nur bei einer über das gesamte System ein­heitlichen Materialdämpfung der Fall.

Jeder diskrete Dämpfer, möge er einer Bodendämpfung oder eine.m

Absorber entstammen, verletzt diese Bedingung. Die traditionelle Modalanalyse bedient sich an dieser Stelle der sogenannten "Be­quemlichkeitshypothese"., d. h. die störenden, nichtdiagonalen Elemente der transformierten Dämpfungsrnatrix, werden einfach vernachlässigt.

Das Ergebnis dieser Vergehensweise sind n unabhängige DGL-Dif­ferentialgleichungen des EMS, welche jeweils getrennt gelös~

werden. Somit ist die Schwingungsantwort einer jeden Eigenform bestimmt, die Superposition über diese liefert den Bewegungsablauf des Systems in Gl. (7).

(7)

Im folgenden wird ein Verfahren vorgestellt, das die Modalana­lyse auf nichtproportionale Dämpfungsmatrizen erweitert, so daß die Näherung, die in der "bequemen" Berechnung steckt, entfallen

kann.

3. Erweiterte Modalanalyse

zunächst wird die Bewegungsgleichung (1) in den zustandsraum überführt, d. h., die linear unabhängigen n Wegkoordinaten wer­den um die Variablen ihrer n Geschwindigkeiten erweitert. Aus der Bewegungsgleichung wird die Zustandsgleichung (8) dop­pelter Dimension mit der sogenannten Zustandsmatrix [A] und dem Belastungsvektor {b)

Zustundsgleichun9

[;f = [ ~t?Kt=~1c] t~i + t-~~=irJ g(t) ( 8)

[AJ L~ bezeichnet hierbei die Nullrnatrix, [E] die Einheitsrnatrix.

Analog zur herkömmlichen Modalanalyse werden für das homogene Problem die Eigenwerte der Matrix [A] bestimmt {9).

Diese sind, soweit es sich um Schwingungsvorgänge handelt, kon­jugiert komplex (10).

AK = ~K + .l WK

AK•1 "<TK - i. (..:) K

~ 1o)

Die zugehörigen Eigenvektoren sind ebenfalls konjugiert komplex (11}

ti9e.nvel<\:oren l 'YK J = l Re 'J'K J + l l Jrr. Y .. J f 'f K•1l ; l "Re ~ J - l lJtn 'fK ]

( 11)

35

36

und werden in einer Matrix spaltenweise angeordnet. Hierbei geschieht dies für den Real- und Imaginärteil zweier zu­einander konjugiert komplexer Eigenvektoren getrennt, so daß eine Matrix mit rein reellen Koeffizienten entsteht.

Mit Hilfe dieser "Modal"-Matrix [V] wird der zustandsraum auf neue Modalkoordinaten u transformiert (13).

l-r.! • [vJ · tu.1 t. ~ CI..\Sto.nd.o;vo.<io.'c\e

.... ~ Hocia1.1<.oordina\:.e:n

( 13}

UK bezeichnet somit die Amplitude des Realteils des k-ten Eigen­vektors, Uk+l die Amplitude des Imaginärteils desselben. Setzt man die Transformationsvorschrift (13)in (8) ein und mul­tipliziert links m~t_[V-1], so entsteht ein paarweise gekop­peltes Gleichungssystem, einen Ausschriitt: desselben zeigt (14).

u.K ~ ß"'KUK + I...;)K 'U.K~~ +IoK '9 (\:.)

~ll+i"- {,)K I.LI< + ~~ "\.\ 1<+~ + hl<~~ • g\1:.)

( 14 c;t)

(14 b)

Aus den jeweils gekoppelten Gleichungspaaren wird eine Variable eliminiert.

Dieses vorgehen führt für jede Mode zu jeweils einer Bewe­gungsgleichung (15).

(15)

Auf der linken Seite stehen mit rrk und wk die Systemeigen­schaften eines ideellen Ein-Massen-Schwingers (EMS), auf der rechten ein Lastglied, das zusätzlich zur Zeitfunktion g (t), einen Anteil aus deren Ableitung enthält.Uk . g(t) verschwindet immer dann, wenn die zugehörige Eigenform ungedämpft oder pro­portional gedämpft ist. Im allgemeinen jedoch ist dieser Anteil von null verschieden, eine Konstellation, die sich bei nicht stetig differenzierbaren Zeitfunktionen als unpraktisch erweist. Mittels einer gewöhnlichen linearen Koordinatentransformation im Zeitbereich kann dieser störende Term nicht beseitigt werden.

Die Laplace-Transforrnation schafft an dieser Stelle Abhilfe. Sie überführt eine Funktion vom Zeitbereich in den Bildraum (große Buchstaben beschreiben die transformierte Funktion im Bildraum).

lA ( 1:.)

9 ( \.)

0>------o•

0>----<11·

"Bildbeteido

(16)

Wird die DGL (15) der Laplace-Transformation unterworfen, so entsteht unter der Voraussetzung verschwindender Anfangsbedin­gungen die algebraische Gleichung(17).

-:} UK (-:.)- 'C.G"K 5 u .. (s) + \ WK?.. .. ~~?. ) • u I< (~)

= CwK 1-t •• , -~S"K hK) • G. t5) t 1-.K 5(,_ t5 /

(11-)

Im Bildbereich läßt sich sofort der Zusammenhang zwischen der Systemantwort U(s) und der Belastungsfunktion G (s) durch eine rationale Übertragungsfunktion angeben, wobei der Nenner nur aus den Systemparametern besteht und der Zähler die Lastverteilung durch die h-Terme wiedergibt (18).

UK(5): WKhKH -ß""K\,K+h~<s

-:,"- -'2.ß"K St(WK?..+ß'K 2)

• G. (s) = G. ( ") • t K ( s) NK(",)

'---..----­

"'"' (5)

(18)

37

38

Man betrachtet an dieser Stelle einerseits eine neue Variable W(s), welche von der Lastfunktion G(s) selbst, aber nicht von der Verteilung Zk (s) abhängt (20) und andererseits den Zusam­menhang dieser neuen Variablen W mit den Normalkoordinaten U (20) •

( 19)

(l.O)

(19) und (20) werden in den Zeitbereich rücktransformie~t, so daß einerseits eine Bestimmungsgleichung für die Zeitabhängig­keit in W (21) und andererseits eine Auswertegleichung für die Modalkoordination U entsteht (22). Die Probleme Zeitabhängigkeit und Lastverteilung konnten somit vonei-nander getrennt werden.

( 21)

(Zl)

Man hat jetzt mit (21) entkoppelte Gleichungen vom Typ des EMS erreicht, die bekannten Lösungen bzw. Lösungslogarithmen können übernommen, einmal aufgestellte Antwortspektren direkt angewen­det werden .. Die Lösungen werden .in (22) eingesetzt und die voll­ständige Schwingunsantwort für die komplexen Eigenformen be­stimmt. Die Multiplikation mit der bekannten Modalmatrix liefert die Lösung der Zustandsgrößen (23).

( l3)

Es sei hier betont, daß die Laplace-Transformation nur für die theoretische Herleitung erforderlic~ war, jedoch den Anwender des Verfahrens llicht berührt .. Die Koeffizienten in (21) stehen nach Bestimmung der Eigenwerte (crk, wk) der Zustandsmatrix [A] fest. Die Lastbeteiligungsfaktoren hk und hk+l in (22) resul­tieren aus der Multiplikation des Belastungsvektors {b} in (8) mit [V-1].

Mit diesem Verfahren ist es gelungen, eine Modalanalyse auch bei nichtbequemen Dämpfungsmatrizen durchzuführen und im Vergleich

mit der herkömmlichen, den Einfluß der dort vernachlässigten Kopplungsterme zu berücksichtigen.

Es ist zu vermuten, daß die Bedeutung der modalen Kopplung um so größer ist, je näher die Eigenfrequenzen des Systems beieinander liegen. Ein Beispiel für eine derartige Konstellation sind seil­abgespannte Konstruktionen.

4. Anwendungsbeispiel Antennenmast

Bild 2 zeigt einen 200 m hohen Rundfunkmast, der in 4 Seil­ebenen in 3 Richtungen abgespannt ist. Der Schaft hat einen Kreisquerschnitt mit dem 0 1,50 m, so daß dieser durch eine stationäre Wirbelablösung infolge gleichmäßi­ger Windanströmung zu Schwingungen in seinen Eigenfrequenzen angeregt wird.

Für die dynamische Berechnung wurde eine diskrete Modeliierung vorgenommen; die zusätzlichen seitlichen Massen bilden in Kom­bination mit den Federn die untere Eigenfrequenz der jeweiligen Seilabspannung ab.

Als erstes sind die Eigenfrequenzen und Eigenformen des Systems zu bestimmen. Im zweiten Schritt wird eine harmonische Querbelastung in jeder Eigenform aufgebracht.

Es zeigte sich, daß in diesem Fall mit den größten Ausschlägen bei der 2. Eigenfrequenz von 0,27 Hz auftrat, die zugehörige Schwingungsform ist qualitativ mit der angesetzten Belastung dem Bild 2 unten rechts zu entnehmen.

Die Kriterien für die Beurteilung der Schwingungsamplituden der­artiger Konstruktionen sind einerseits die Beschränkung der Ab­solutgrößen zur Gewährleistung eines ungestörten Sendebetriebs.

Andererseits ist die Relativverschiebung der Freiheitsgrade als Maß für die Beanspruchung bestimmend für die Dauerfestigkeit der Konstruktion.

Um die Bewegun~ des Mastschaftes zu begrenzen, wurde die Wir­kungsweise eines zusätzlich angeordneten Absorbers theoretisch

39

40

untersucht (Bild 3). Dieser ist speziell auf die maßgebende Eigenform nach den Den-Hartog'schen Optimierungskriterien aus­gelegt. Durch diese räumlich diskrete Dämpfungsmaßnahme erfolgt eine nicht proportionale Dämpfungsverteilung, deren Einfluß mit Hilfe der Modalanalyse untersucht wird.

In Bild 3 ist ein Ausschnitt aus der generalisierten Matrix [CgenJ dargestellt, mit relativ großen Gliedern außerhalb der Hauptdiagonalen im Verhältnis zu den Diagonalwerten. Die Dämp­fungskopplung der Moden, deren Eigenfrequenzen eng beieinander­liegen, läßt größere Fehler gegenüber der 11 nichtbequemen11 Be­rechnung vermuten.

Die Untersuchung bestätigt dies. Bild 3 unten zeigt einen Ergebnisvergleich für eine Auswahl von Freiheitsgraden.

Eine Bemerkung zur Wirkungsweise des Absorbers an sich: Die Amplituden der maßgebenden Eigenformen konnten nach den Er­gebnissen der nichtbequemen Berechnung auf rund 1/6 abgemindert werden. Die bequeme Modalanalyse würde die Abminderung überschätzen, sie ergab für die Maximalauslenkung nur noch Amplituden von ca. 1/9.

In diesem Fall ist die traditionelle Eigenformmethode (EFM) ein unbefriedigendes Rechenverfahren. Es liegt im Interesse des Anwenders, in geeigneten Fällen die "bequeme" EFM als die einfachere zu benutzen, um die Verdoppe­lung der Freiheitsgrade zu vermeiden.

In welchen Fällen ist der Einfluß modaler Kopplungsglieder wirk­lich relevant? Diese Fragestellung interessiert auch den Anwender der markt­gängigen FE-Programme, wenn er vor die Wahl gestellt ist, seine Schwingungsantwort entweder mit Hilfe der direkten numerischen Integration oder mittels der herkömmlichen EFM zu ermitteln. Ein einfaches Fehlerkriterium würde ihm helfen, die kopplungsrele­vanten Fälle zu erkennen, um dann, mangels einer programmtechni­schen Implementierung der nichtbequemen Modalanalyse, die di­rekte numerische Integration zu wählen.

s. Fehlerkriterium

Zunächst wird die generalisierte Dämpfungsmatrix ermittelt (24).

[ c J, .. "

----- Ü)~ ------t.:l.j------

'- I ', \ I ----- CKK ----- CK'---- --

'- I ', I

I ', I

' I ------L-----C~-----

1 ',

' '

• 'YK

I

I I •

"'Yt

(ZII)

Die Größe des auftretenden Fehlers, verursacht durch die in der

k-ten Zeile auftauchenden Nebendiagonalglieder cki für die

Schwingung der k-ten Eigenform bestimmt (25).

t:.~= I'IK -1 . YK bequen,

=)~L "P~ n

(25)

Dieser Ausdruck kann im Falle einer stationären Schwingung der

Frequenz w und unter Vernachlässigung der Fehlergrößen, die von

2. Ordnung klein sind, hergeleitet werden.

Betrachtet man den Fehler, den ein einzelnes Nebendiagonalglied

verursacht (26) und berücksichtigt nur dessen Betrag und nicht

den Phasenunterschied zwischen den gekoppelten Eigenformen, so

41

42

kann ein Kriterium für die zulässige Größe des betrachteten

Koppelgliedes Cki angegeben werden (27).

zul.l cK, I "' c:.K, "P~ . (.)

"Pi

(2.6)

(2.1)

In Abhängigkeit eines zugelassenen Einzelfehlers e und dem Ver­

hältnis der Lastbeteiligungsfaktoren, ergibt sich hieraus eine

zulässige Größe für das Koppelglied, das mit dem vorhandenen verglichen wird. Als weiterer wesentlicher Einfluß zeigt sich

der Quotient aus der i-ten Eigen- mit der Erregerfrequenz, im

Einzelfall auch die Hauptdiagonaldämpfung der i-ten Eigenform

selber.

Sollte kein Nebendiagonalglied über diese Schranke hinausgehen,

so kann die traditionelle EFM angewendet werden, was Ver­

gleichsrechnungen mit verschiedenen Last-Zeitfunktionen deutlich

ma'chten.

Sollten nur wenige Glieder größer als die jeweils zulässigen

sein, so ist es immer noch möglich, daß der Gesamtfehler der

Schwingungsantwort trotzdem klein bleibt, da, wie schon erwähnt,

die unterschiedliche Phase der Eigenformen in dem Fehlerkrite­

rium unberücksichtigt blieb. Außerdem ist eine modale Kopplung

von Eigenformen dann unbedenklich, wenn diese, im Vergleich zu

ungekoppelten, unrelevant für die Gesamtschwingungsantwort sind.

Einen Hinweis darauf liefert ein Vergleich der Lastbeteiligungs­

faktoren im Zusammenhang mit den generalisierten Steifigkeiten.

6. Anwendungsbeispiel Boden -Bauwerk - Wechselwirkunq

Um die Güte des Fehlerkriteriums zu untersuchen und die Anwen­

dung auf nichtstationäre Belastungen zu prüfen, wird folgendes Beispiel betrachtet:

Gegeben sei ein Gebäude, dessen grobe Modeliierung aus einem

Schwinger mit 3 Freiheitsgraden besteht (Bild 4). Als Anhindung

an den Boden seien näherungsweise frequenzunabhängige Federn an­

geordnet, die sich aus der Analogie zum elastischen Halbraum er­

geben. Die Dämpfer mögen die Abstrahlungsdämpfung des Bodens be­

rücksichtigen.

6.1 Harmonische Erregung

Das System sei zunächst durch eine äußere Kraft an der oberen

Masse harmonisch erregt.

Die im Bild 3 unten dargestellte generalisierte Dämpfungsmatrix

zeigt relevante Kopplungsglieder. Die Anwendung des Fehlerkri­

teriums unter Zugrundelegunq einer Fehlerschranke von 5 % ergab,

daß für eine Anregung sowohl in der 1. als auch 2. Eigenfrequenz

4 Kopplungsglieder zu groß sind. Diese sind in Bild ~mit Punk­

ten gekennzeichnet.

Die Ermittlung der Schwingungsantworten, einerseits durch die

bequeme, andererseits durch die nichtbequeme EFM, ergab für alle

Freiheitsgrade deutliche Differenzen, welche in Tabelle 1 darge­

stellt sind. (Bild 5)

6.2 Flugzeugabsturz

Als weiteres Beispiel wurde ein Flugzeugabsturz auf die obere

Masse untersucht, die Last-zeitfunktion ist den Regeln für

kerntechnische Anlagen zu entnehmen. Sie ist in Bild 5 ange­

geben.

Bild 6 zeigt jeweils die Schwingungsantwort der oberen Masse be­

rechnet mit der bequemen und der nichtbequemen EFM. Die Maximal­

amplitude wird durch die bequeme Berechnung um 30 % zu klein er-

43

44

mittelt. Man erkennt im Zeitverlauf den Ausschwingvorgang in der Grundfrequenz und das zu groß ermittelte Dämpfungsmaß der be­quemen Berechnung.

6.3 Erdbebenanregunq 1

Als Beispiel sei eine Fußpunktverschiebung anband eines gemes­senen und digitalisierten Erdbebenschriebes untersucht. Der Be­schleunigungszeitverlauf des El-Centro-Bebens wird über die Mas­senkräfte in das Bauwerk eingeleitet. Für jede Eigenfrequenz wird der regellose Zeitschrieb numerisch integriert und für die Antworten der Freiheitsgrade superpo­niert, so daß der Phasenunterschied der Eigenformen nicht verlo­rengeht. Dieses Vorgehen wird wiederum einerseits mit der beque­men und andererseits mit der nichtbequemen EFM durchgeführt. Eine typische Schwingungsantwort zeigt Bild 7, hier für die Re­lativverschiebung der beiden Massen.

Die unterschiede betrugen für die Relativverschiebung 50 %,für die Maxinmalauslenkung der oberen Masse 17 % und für die Funda­mentverschiebung 20 %. Man erkennt, daß die Anwendung des Feh­lerkriteriums, das unter Voraussetzung stationärer Schwingungen hergeleitet wurde, in diesem Fall auch für die Fehler regelloser Lasteinwirkung brauchbar war.

6.4 Anwendungsbeispiel Erdbebenanregunq 2

zum Vergleich zu 6.3 sei nun ein steiferes Gebäude unter der­selben Erdbebenlast untersucht, die sonstigen Systemparameter mögen gleich bleiben. (Bild 8) Beim Blick auf die generalisierte Dämpfungsmatrix stellt man fest, daß die Koppelglieder in den ersten 2 Moden kleiner geworden sind.

Eine Überprüfung ergab, daß bei Schwingungen in den ersten bei­den Eigenformen 3 Nebendiagonalgliedern über der Schranke des Fehlerkriteriums lagen, sie sind durch Punkte (in Bild 8) ange­geben.

In diesem Fall liegt in der ersten Zeile kein Nebendiagonalele­ment über der Fehlerschranke von 5 %, d. h., die erste Eigenform wird mit einer bequemen Berechnung genau genug behandelt. In diesem Fall ist diese Eigenform jedoch die eindeutig dominie-

rende, ein Vergleich der Lastverteilungsfaktoren und den genera­

lisierten Steifigkeiten zeigt dies.

Es kann also vermutet werden, daß die auftretenden Abweichungen in der 2. und 3. Eigenform auf das Gesamtergebnis keine große

Bedeutung haben werden.

Die Berechnungsergebnisse bestätigen dies auch für die maximalen

Absolutverschiebungen der Massen. Hier waren die Unterschiede 5 1 %. Für die Relativverschiebung jedoch ermittelte die be­

queme EFM Maxima, die um 20 % zu klein waren. Hier spielt die

unterschiedliche Phasenlage der Eigenformen eine größere Rolle.

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, daß der Lastfall Flug­

zeugabsturz bei diesen Steifigkeitsverhältnissen keine Unter­

schiede bei den Berechnungsverfahren ergab.

7. Schlußbemerkung

Die hier diskutierte Art von Fehlern, di_e im Berechnungsverfah­

ren liegen, sind im praktischen Fall im Zusammenhang mit den

häufig viel größeren Unsicherheiten der Systemparameter zu

sehen.

Denkt man allein an die Abbildung des Baugrundes, welche im Fall

stationärer Schwingungen schon schwierig genug, im Fall tran­

sienter Lastfälle wie Flugzeugabsturz, Explosionsdruck aber

gänzlich vage ist, so werden Fehler,die aufgrund der Dämpfungs­

verteilung entstehen, hier sicherlich relativiert. Nichtsdesto­

trotz steht der Ingenieur bei dynamischen Problemen (allein im

Hinblick auf zügige Bearbeitung und Kosten) häufig vor der Auf­

gabe, eine Modalanalyse bei mehr oder weniger grober Systemmo­

deliierung vorzunehmen. In diesem Zusammenhang wäre ein kombi­

niertes Verfahren denkbar, bei dem zuerst das über die Dämpfung

gekoppelte Gleichungssystem in ungedämpften Eigenformkoordinaten

formuliert wird. Auf diese Bewegungsgleichungen kann dann die

nichtbequeme Berechnung allein für die relevant gekoppelten

Eigenformen erfolgen. So wird die Verdoppelung der Freiheits­

grade auf den wirklich notwendigen Umfang begrenzt.

45

46

Mit dem hier vorgestellten Berechnungsverfahren ist eine Mög­

lichkeit gegeben, die Dämpfungskoppelung zu erfassen. Die Fälle

in denen diese einen bedeutenden Einfluß hat, können mit dem an­

gegebenen Fehlerkriterium brauchbar eingegrenzt werden.

Literatur

[1] Müller, F.H.; Baseler, J.: zur Eigenformmethode nicht­proportional gedämpfter Schwingungssysteme. Ing.-Archiv 55

(1985) 348 - 357

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[3] H·urty, W.C.; Rubinstein, M.F.: Dynamics of Structures.

Clifton. Prentice Hall 1964

[4] Wahle, M.: Beitrag zur passiven Kontrolle schwach gedämpfter

elastischer Strukturen mittels dynamischer Schwingungsdämpfer.

Diss. TH Aachen 1985

[5] Hirs.ch,G.: Schwingungskontrolle mittels angekoppelter Zusatz­

systeme als wirtschaftliches Konstruktionsprinzip - Praktische

Erfahrungen mit Gegenschwingern an turmartigen Bamverken.

VDI Berichte Nr. 6o3, 1986, 435 - 453

[6] Delinic, K.: Eigenschwingungsverhalten von Strukturen bei

Einsatz von Dämpfen. VDI Berichte Nr. 627, 1987, 375 - 4o1

[7] Petersen, C.: Tilgung der Querschwingungen zylindrischer Bau­

werke durch mechanische Dämpfer unter besonderer Berücksichti­

gung eines Schadenfalles an einem Kraftwerks-Kamin. Haus der

Technik. Vortragsveröffentlichung 1 Heft 347, 1976, 93 - 1o1.

47

Lö.sungswege. der Be.wegung~leichun8

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Modale. Analyse

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NICHTPROPORTIONAL GEDÄMPFTE SCHWINGUNGSSYSTEME

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48

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2 J.Baseler F.Müller

Lehrstuhl für Baumechanik - TU München

49

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NICHTPROPORTIONAL GEDÄMPFTE SCHWINGUNGSSYSTEME

3 J.Baseler F.Müller

Lehrstuhl für Baumechanik - TU München

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5

w err

1 .EGF

2.EGF

0/0 beq.

1 • 7 6

1 • 3 4

1 /W 1 W beq.

1 . 1 1 . 81

0.57 1. 4 7

Tabelle 1: Antworten irrfolge harmonischer Anregung

auf obere Masse

?LUGZEUGABSTURZ NACH KTA 2202.1

F

1/ t

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52

FLA AUF OBERES STOCKWERK AUSLENKUNG OBERES STOCKWERK

1. 00

.80

.60

.40

.20

.00

-.20

-.40

-.60

-.80

-I . 00

.00

6

---nicht bequem

bequem

.20 .40 .60 .80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 TIHE

NICHTPROPORTIONAL GEDÄMPFTE SCHWINGUNGSSYSTEME

J.Baseler F.Müller

Lehrstuhl für Baumechanik - TU Münchel1

53

ERDBEBEN. RELATIVVERSCHIEBUNG BEQUEM

2.00

1.50

1.00

.so

.oo

-.so

-1 . 00

-I .50

-2.00

-2.50 -1.00 .00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00

TIHE

ERDBEBEN. RELATIVVERSCHIEBUNG NICHTBEQUEM

2.00

I. so

I. 00

.so

.00

-.so

-I .00

-I .so

-2.00

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-1.00 .00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 TIME

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1(//:>/// V ~

,_

] D 9.7 6.7 w, = 21.8

__ 2_,~-- ~ -2.5 w> = 46.2

48. 9 -72.8 f.IIJJ w, = 234.0 ------~

1.45. 10- 3

NICHTPROPORTIONAL GEDÄMPFTE SCHWINGUNGSSYSTEME

8 J.Baseler F.Müller

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L Einleitung

Dämpfung eigenerregter Systeme durch Energieabstrahlung in den Baugrund

ÜTTO von ESTORFF

Das Schwingungsverhalten eines dynamisch belasteten Bauwerks wird über die

Kontaktfläche Fundament-Baugrund in vielen Fällen stark beeinflußt, - es kommt zu

sogenannten Wechselwirkungseffekten. Von besonderer Bedeutung ist hierbei die

zumeist dämpfende Wirkung des Untergrundes, welche im Wesentlichen auf zwei Ur­

sachen zurückgeführt werden kann:

innere Dämpfung, z.B. durch Reibungsverluste im Bodenmaterial

- äußere Dämpfung, z.B. durch Abstrahlung ·von Energie.

Der Einfluß der inneren oder Materialdämpfung ist mit den in der Praxis häufig

verwendeten Rechenverfahren (Methode der finiten Differenzen oder Methode der

finiten Elemente) rechnerisch gut zu erfassen, eine Berücksichtigung der Energieab­

strahlung bereitet jedoch häufig erhebliche Schwierigkeiten (Wolf 1985 ).

Zur Untersuchung der Abstrahldämpfung wird daher nachfolgend das Rand­

elementverfahren (BEM) vorgeschlagen. Diese Methode bietet gegenüber den o.g.

Gebietsmethoden den großen Vorteil, neben endlichen auch unendliche Gebiete (z.B.

den Baugrund) korrekt zu beschreiben. Zudem wird bei einer Formulierung mit

Randintegralgleichungen das Problem allein durch Zustandsgrößen auf dem Rand be­

schrieben, so daß bei der finiten Berechnung gegenüber den o.g. Gebietsverfahren

ein viel geringerer Diskretisierungsaufwand notwendig wird.

Die Betrachtung von Dämpfungseffekten kann sowohl direkt im Zeitbereich aber

auch, nach Übertragung des Problems mittels Fourier-Transformation, im Frequenz­

bereich vorgenommen werden. Während eine Untersuchung des Schwingungsverhaltens

eines Systems direkt im Zeitbereich zum einen sehr anschaulich ist, zum anderen

auch die Berücksichtigung nichtlinearer Effekte zuläßt, bietet eine Vergehensweise im

Frequenzbereich insbesondere die Möglichkeit, auf einfache Weise (mittels eines

komplexen E-Moduls) auch Materialdämpfungseinflüsse zu berücksichtigen.

Dr.-Ing. Otto von Estorff, Institut für Mechanik, Ruhr-Universität Bochum

l'r.iversitätsstraße 150, D-4630 BCCHCM

55

56

Zielsetzung dieses Beitrages ist es, nach einer kurzen Zusammenfassung der

wichtigsten theoretischen Grundlagen, anband einiger ausgewählter Beispiele einen

Eindruck von der Bedeutung der Abstrahldämpfung zu vermitteln. Die Berechnungen

wurden sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich durch,geführt.

2. Theoretische Grundlagen

2.1 Annahmen und Voraussetzungen

Alle nachfolgend aufgezeigten Zusammenhänge zur Ermittlung der Spannungen

und Verschiebung infolge dynamischer Lasteinwirkung gelten für einen Baugrund

sowie für das hier untersuchte Bauwerk (Damm) unter den folgenden Bedingungen:

- Geometrie und Belastung aller Systeme bleiben in der Richtung senkrecht zur

betrachteten Schnittebene unverändert, was zu einer zweidimensionalen Be­

trachtungsweise führt.

- Systemverformungen sind infinitesimal klein.

Bauwerk und Baugrund bestehen aus näherungsweise liD.ear elastischem, isotropen

Material.

- Inhomogenitäten sind vernachlässigbar.

Eine derartige Idealisierung stellt eine starke Vereinfachung dar. Während bei

der Untersuchung von Maschinenfundamenten, deren Vibrationen sehr geringe Ver­

schiebungsamplituden hervorrufen, die Voraussetzung linear elastischen, isotropen

Materialverhaltens nahezu gegeben ist, reagiert der Baugrund z.B. infolge Erdbeben­

belastung hochgradig nichtlinear. Es lassen sich jedoch in vielen Fällen einige

charakteristische Eigenarten, wie z.B. Energieverluste durch Abstrahlung oder

Resonanzüberhöhungen auch bei linearer Betrachtungsweise untersuchen und daraus

wichtige Anhaltspunkte für die Bemessung und Konstruktion eines Bauwerkes ge­

winnen.

2. 2 Grundgleichungen im Zeitbereich

Aus dem dynamischen Gleichgewicht aller Kräfte (z.B. nach dem Prinzip von

d 1 Alembert) lassen sich, mit den für isotropes Material geltenden Beziehungen, die

Bewegungsgleichungen des elastischen Kontinuums

2 2 2 (c1

- c 2 ) u ... + c 2 J,Jl

bi u ... +-

l,JJ p

herleiten (siehe u.a. Eringen & Suhubi

schiebungen, c1

bzw. c2

die Druckwellen-

für i,j =1,2 ( 1 )

1975 ). Dabei bezeichnet u. die Ver­!

bzw. Scherwellengeschwindigkeit, p die

Materialdichte, bi die Kraftverteilung und u die Beschleunigung in einem Punkt x

des betrachteten elastischen Gebietes n zum Zeitpunkt t.

Der Zusammenhang zwischen den Verschiebungen ui und den Spannungen oij ist

durch

a .. IJ

2 2 2 p[61.J.(c 1 -2c2 )ukk+c2 (u .. +u .. )]

' l,j J,l (2)

gegeben.

Zur eindeutigen Beschreibung des Problems sind entlang der Gebietsherandung r, ( r = r l u r 2 ), die Bedingungen

ui(x,t) = Üi(x,t) für t > t 0

auf rl ( 3 )

si(x,t) = Q •• n. Si(x,t) für t > t auf rz (4) IJ J 0

sowie für den Beginn des Beobachtungszeitraumes

ui(x,t) ü. (x) 10

für t t 0

auf r und in n (5)

~i(x,t) ~- (x) 10

vorzugeben.

Die zur Lösung dieses Anfangs-Randwertproblems hier vorgeschlagene Rand­

elementmethode basiert darauf, von den Differentialgleichungen ( 1) mit den Rand­

und Anfangsbedingungen ( 3) bis ( 5) zu einer Formulierung mit Integralgleichungen

überzugehen. Dies ist immer dann besonders vorteilhaft, wenn eine vollständige Re­

duzierung der Problemformulierung auf die Berandung, also· eine Beschreibung durch

reine Randintegralgleichungen gelingt.

Die wichtigste Voraussetzung für ein solches Vorgehen ist die Existenz einer so­

genannten Fundamentallösung. Für die Bewegungsgleichung ( 1) läßt sich, als Ver­

schiebungsamwart des elastischen Gebietes infolge eines Einheitsimpulses, die

Fundamentallösung

H(c1t'-r) 2 2 12 2

~(i)(r; 1 r.!. c

1t - r

t' ) = 2J[p 2 Rl r,/'j - R1öijl J Cl r

H(c2t•-r) 2c2t12_ 2

2 1 r 2 (R, + .!..._) öijl I c2 2 R2 r,ir'j -" R2 r

(6)

57

58

mit H : Heaviside-Funktion, ö .. : Dirac-Funktion IJ

r : Abstand des Impuls- und Beobachtungspunktes

t • : Zeitraum zwischen Impuls- und Beobachtungszeitpunkt

t 2 2 21

R=../ct'-r ~ ~

angeben (Eringen & Suhubi 1975, Antes 1985).

Die Herleitung von Randintegralgleichungen ist am anschaulichsten mit Hilfe der

von Graffi (1954) angegebenen Erweiterung von Betti 's klassischem Reziprozi­

täts-Theorem ( 1872) auf dynamische Problemstellungen möglich. Im Falle homogener

Anfangsbedingungen und ohne Volumenskräfte b. kommt man auf diese Weise zu I

einer zeitabhängigen Randintegralgleichung für das elastische Kontinuum :

(7)

durch die zu jedem Zeitpunkt ein Zusammenhang zwischen den bekannten

* Fundamentallösungen in den Verschiebungen u, den Fundamentallösungen in den

Randspannungen ; [aus GI. (2 )] und den teils bekannten, teils gesuchten Randver­

schiebungen u. bzw. Randspannungen s. gegeben ist ( Antes 1985 ). I I

2.3 Grundgleichungen im Frequenzbereich

Um die Zeitabhängigkeit der Bewegungsgleichung ( 1) zu eliminieren, läßt sich

diese in den Frequenzbereich transformieren( Eringen & Suhubi 1975 ), was zu

2 2 • . 2 • bi 2 • (c

1 - c 2 ) u ... + c

2 u ... +- = - w u.

J,jl 11 JJ p I für i,j =1,2 (8)

führt, wobei mit 11 ... ,, die transformierten Variablen bezeichnet sind. Die Anfangs-

werte wurden mit den Volumenkräften b. in modifizierten I

Volumenkräften b. I

zusammengefaßt; w ist die Erregerf!equenz. Der Zusammenhang zwischen den Ver-

schiebungen ui und den Spannungen aij ist durch Gleichung ( 2) gegeben.

Zur eindeutigen Beschreibung des Problems sind entlang der Gebietsherandung r, ( r = r

1 u r

2), die Bedingungen

zu erfüllen.

ui(x,w)

si(x,w) . . aij nj =Si(x,w)

auf r 1

auf r 2

(9)

(10)

Für

sich die

die in den Frequenzbereich transformierte Bewegungsgleichung

* Fundamentallösung u zu (Cruse & Rizzo 1968):

c . - __?_ K (~)

i wr 1 c 2

_ K (iwr )] o c 2

(8) ergibt

( 11)

wobei K0

(z), K1(z) und K

2(z) die modifizierten Sesselfunktionen 2-ter Art sind und

mit G der Schubmodul des Bodens bezeichnet ist.

Unter der Annahme verschwindender Volumenkräfte und homogener Anfangs­

bedingungen läßt sich, hergeleitet mit Hilfe des Satzes von Betti, eine Integral­

gleichung für die Frequenzbereichsrechnung angeben:

• ,{ *(i)" 0.5 u/i;,w) = J (uj sj - ~(i) ~-) dr

J J ( 12)

r durch die für eine feste Frequenz w wiederum ein Zusammenhang zwischen den

bekannten F~ndamen_:allösungen ~ und ~ und den teils bekannten, teils gesuchten

Randwerten u. bzw. s. hergestellt ist. 1 1

2. 4 Randelementverfahren im Zeit- und Frequenzbereich

Eine gänzlich analytische Integration der in Abschnitt 2 formulierten Rand­

integralgleichungen ( 7) und ( 12) ist unter Annahme beliebiger Systemgeometrien und

Randbedingungen nicht möglich. Ihre numerische Behandlung ist jedoch nach

.. partieller Integration einiger Integralterme (ausführlich von Antes 1986 und v.

Estorff 1986 beschrieben) durchführbar.

Die näherungsweise, numerische Bestimmt:ng des Verlaufes einer Randgröße

mittels der Gleichungen ( 7) oder ( 12) erfordert

(a) die Diskret i sie r u n g , d.h. die Aufteilung des Randes r in L Elemente Ii

(bei Zeit- und Frequenzbereichsrechnung) und des Zeitintervalls [ 0, t] in n

Zeitschritte M (zusätzlich bei Zeitbereichsrechnung)

(b) die A p pro x im a t i o n der Zustandsgrößen in den Elementen durch Polynome

(vom Grad p), z.B. ui stückweise konstant (p=O) in den Randelementen Wld

ggf. stückweise linear (p=1) in den Zeitelementen

(c) die Kollokation, d.h. Auswertung der Integralgleichungen (7) bzw. (12) in

L Randpunkten s1 und ggf. zu n Zeitpunkten tm=mM (m=1,2, ••• ,n).

59

60

Das Ergebnis eines solchen Vergehens sind matrizielle Gleichungssysteme der Form:

Zeitbereich:

Frequenzbereich:

(0.5I+Tl

(0.5I+T)

u =: T u = U • s

u =: T u = U • s

( 13)

(14)

Die Koeffizientenmatrizen bei einer direkten Zeitbereichsrechnung (U und T)

enthalten die nach jedem Zeitschritt für jedes Element numerisch ausgewerteten

Randintegralterme. Aufgrund der Kausalität handelt es sich um untere Dreiecks­

matrizen, wobei außerdem bei konstanter Zeitschrittweite Ll.t alle Diagonalblöcke

gleich sind (Bild 1 ). Die Vektoren u tu1d s enthalten die gesuchten oder vorge­

gebenen Verschiebungen bzw. Spannungen für jeden Zeitschritt.

Im Falle der Frequenzbereichsrechnung wird für eine bestimmte Erregerfrequenz . . w das Gleichungssystem ( 14) aufgestellt, dessen Koeffizientenmatrizen (U und T)

bezüglich ihrer Größe einer Teilmatrix aus U bzw.T entsprechen. Für die in Ab­

schnitt 4 gezeigten Beispiele wurden ca. 15 verschiedene Erregerfrequenzen pro

Kurve berechnet.

Wegen weiterer Details, z.B. auch bezüglich des Vergehens bei der Kopplung von

Subst.rukturen (Kompatibilität der Verschiebungen und Gleichgewicht der Kräfte ent­

lang der Kontaktfläche), sei auf Antes & von Estorff 1986, 1987 verwiesen.

3. Untersuchungen zur Abstrahldämpfung im Zeitbereich

3.1 Oberflächen- und eingebettete Fundamente auf dem Halbraum

Kann im Rahmen einer Schwingungsuntersuchung davon ausgegangen werden, daß

bis in große Tiefe eine relativ gleichmäßige Bodenstruktur vorzufinden ist, läßt sich

der Baugrund näherungsweise als homogener unendlicher Halbraum modellieren. Diese

Idealisierung kommt, vor allem aufgrund ihrer einfachen Handhabung, bei der

Ermittlung von Spannungen und Verformungen im Boden oftmals zur Anwendung und

hat auch in der Bodendynamik bereits Ergebnisse geliefert, die in guter Überein­

stimmung mit gemessenen Werten liegen. Das prinzipielle Schwingungsverhalten von

Fundamenten unter dem Einfluß ständiger Energieabstrahlung zur Seite und nach

unten wird beim Halbraum besonders deutlich.

Gegenstand der nachfolgenden Untersuchung sind die in Bild 2 dargestellten

Fundamentarten: der einfachste Fall, ein starres Oberflächenfundament, und ein in

der Praxis häufiger anzutreffendes eingebettetes Fundament, beide fest verbunden

mit einem Halbraum, der aus einem Bodenmaterial mit der Poissonzahl v 0. 33

(z.B. Kiessand, dicht) und einer Dichte von p = 2 t/m 3 besteht.

Der Einfluß der Abstrahldämpfung wird anband der zeitlichen Verschiebungs­

antwort der Fundamente aufgezeigt (Bild 3 ). Aus Gründen der Überschaubarkeit

erfolgt die Belastung der Systeme lediglich durch einen Rechteckimpuls der Größe

1/ 11t für die Dauer des ersten Zeitschritts und zwar entweder durch eine Last ( P 1 =

P2 = 1776 KN/m) in horizontaler oder vertikaler Richtung oder durch ein Moment (M

1776 Kl\'m/m) in Drehrichtung.

In Bild 3 sind dem Oberflächenfundament {T/B = 0) zwei unterschiedlich tief

eingebettete Fundamente (T/B = 1.0, T/B 2.0) gegenüber gestellt. In allen drei

Bewegungsrichtungen (f 1 = G • u1

, f2 = G u2, f19

= G • B2u19

) zeigt sich sowohl

für das Oberflächenfundament als auch für die eingebetteten Fundamente, daß der

Energieentzug durch die Abstrahlung in den Halbraum die Bewegungen der

Fundamente mit fortschreitender Zeit Ci = c2t/B) stark dämpft; es kommt nach

einer großen Anfangsauslenkung zu einer schnellen Rückkehr in die ungestörte Aus­

gangslage, ohne daß Schwingungen um die Nullage festzustellen sind. Lediglich die

Drehverformung zeigt einen einmaligen Vorzeichenwechsel, kommt dann jedoch noch

deutlich vor den translatorischen Bewegungen zum Stillstand.

Die Anfangsauslenkungen im Falle einer Einbettung des Fundamentes nehmen er-

wartungsgemäß mit zunehmender

höhung der Fundamentsteifigkeit

Boden ) zurückzuführen ist.

Einbettungstiefe

(Vergrößerung

3. 2 Einfluß verschiedener Bodenmodelle

ab, was vor allem auf eine Er­

der Kontaktfläche Fundament -

Die Voraussetzung einheitlicher Eigenschaften des Baugrundes bis weit unter die

belastete Oberfläche ist im Falle natürlich gewachsener Böden zumeist nicht erfüllt,

was die Verwendbarkeit eines Halbraummodelles fraglich erscheinen läßt. Schon

weitaus häufiger wird ein sehr steifer Untergrund (z.B. das Grundgebirge) von einer

als nahezu elastisch, homogen anzusehenden Bodenschicht überlagert, was in guter

Näherung mittels eines nach unten unverschieblich begrenzten Bodenmodelles wieder­

gegeben werden kann.

Sowohl der Halbraum als auch die Schicht auf starrem Grundgebirge sind jedoch

zwei sehr extreme Baugrundmodelle. Eine allgemeinere Idealisierung, eine Schicht,

gekoppelt mit dem tmendlichen Halbraum (Bild 4 ), ist Gegenstand der nachfolgenden

Untersuchung.

61

62

Neben dem Quotienten H/B, der die Schichtdicke angibt, ist zur Beschreibung

des in Bild 4 dargestellten Systems das Verhältnis der E-Moduli des Halbraums und

der Schicht (EH /E5 ) von besonderer Bedeutung: ist EH /E5 = 1 entspricht das Bau­

grundmodell dem Ealbraum, während mit EH /ES - o:. der Grenzfall einer Schicht auf

unendlich steifem Grundgebirge erreicht wird.

Untersucht wird die vertikale Verschiebung des Fundamentes irrfolge einer

vertikalen Impulserregung ( P2

= 740 Kr\/m) für verschiedene Quotienten EH/E5

(Bild

5 ).

Während beim unendlichen Ha.lbraum (EH /ES = 1) die Energiewellen ungehindert

abstrahlen können, kommt es im Falle unterschiedlicher Materialeigenschaften (EH >

E5

) zu deutlichen Reflektionen, die, in Abhängigkeit von der Schichtdicke, erstmalig

nach i ~ 1.9 (H/B = 2) bzw. nach i ~ 4.8 (H/B = 5) auftreten, entsprechend dem

jeweiligen Zeitraum, den die Druckwelle benötigt um nach einer ersten Reflektion

an der Schichtgrenze das Fundament wieder zu erreichen.

Die Intensität der auftretenden Reflektionen nimmt zum einen mit der Steifigkeit

des Halbraumes (EH/ES - <XI) zu, zum anderen ist sie von der vorhandenen Schicht­

dicke abhängig, da im Falle mächtigerer Schichten zwischen den einzelnen

Reflektionen mehr Energie durch seitliche Abstrahlung verloren geht.

Untersuchungen dieser Art lassen erkennen, daß eine sorgfältige Baugrund­

modellierung zur möglichst realitätsnahen Erfassung der Abstrahldämpfung von erheb­

licher Bedeutung sein kann.

3. 3 Gekoppelte Systeme

Als Beispiel für das Verhalten eines gekoppelten Systems Bauwerk-Baugrund

unter dynamischer Lasteinwirkung wird ein elastischer Erddamm von H = Sm Höhe,

·Scheitel- bzw. Basisbreite B = 4m bzw. L2

= 12m (siehe Bild 6) auf ebenem elasti­

schem Halbraum untersucht (Antes & von Estorff 1987). Das Material des Dammes

mit den Daten Poisson'sche Zahl v0

=0.25, Dichte pD=2000 kg/m 3 und Elastizitäts­

modul ED =2·105 Kt\/m 2 ist weicher als das des Bodens, für den bei konstanter

Dichte pB =4000 kg/m 3 und Poisson 'scher Zahl vB =0. 33 die zwei E-Moduli E8 =4•105

KN/m 2 und EB=8•105 KK/m 2 gewählt wurden, um Cie Auswirkungen des Boden­

materials auf die Dammschwingungen zu studieren.

Anstelle einer horizontalen Beschleunigung der Dammbasis werden horizontal

wirkende Lasten Sj, die der Beschleunigung entgegenwirkenden Trägheitskräfte, ent­

lang den beiden Dammflanken aufgebracht. Diese nur einen Zeitschritt h.t=0.00577

Sekunden wirkenden Lasten sind durch sj

p(x2 )=0. 5 [L2+( L2-B lxz!Hl gegeben.

D 1 -p 6j H(t-O)[l-H(t+ilt-O)lp(x

2) mit

In Bild 6 ist die Zeitabhängigkeit der horizontalen Verschiebung des Punktes A

der Dammkrone über die ersten 100 Zeitschritte aufgezeichnet. Dabei wird sehr gut

deutlich, daß auf Grund der Wechselwirkung zwischen dem Bauwerk und dem unend­

lich ausgedehnten Baugrund die Bewegung der Struktur (hier des Punktes A) durch

die Abstrahlung von Energie stark gedämpft werden, desto stärker je weicher der

Boden.

Der Damm schwingt um seine Ruhelage vornehmlich in der ersten Eigenfre-

Die Dauer einer Schwingungsperiode wird mit abnehmendem Quotienten

pößer, d. h. die

Damm-Boden wird mit weicher

erste Resonanzfrequenz des gekoppelten

werdendem Cr.tergrund niedriger.

4. Untersuchungen zur Abstrahldämpfung im Frequenzbereich

4.1 Oberflächen und eingebettete Fundamente auf dem Halbraum

Systems

.A.ufgrund des geringeren Rechenaufwandes wird die Untersuchung von Systemen

unter dynamischer Lasteinwirkung vielfach im Frequenzbereich durchgeführt ( Chang

Liang 1974, Wolf 1985, Schmid, Huh & von Estorff 1984, Haupt 1986, Gazetas

1983 ). Bei der Transformation der Grundgleichungen wird jedoch vorausgesetzt, daß

sich das Tragwerk, angeregt durch eine harmonische Belastung mit der Erregerfre­

quenz w, im eingeschwungenen Zustand befindet, was die Berücksichtigung even­

tueller zeitlicher Veränderungen von System- und Materialgrößen ausschließt. Die

Rücktransformation der Frequenzbereichsresultate in den Zeitbereich bringt zudem

einige numerische Schwierigkeiten mit sich.

Die in Bild 2 dargestellten Systeme, das Oberflächen- und das eingebettete

Fundament, wurden in horizontaler, vertikaler und Drehrichtung durch eine harmo­

nische Last erregt. Die sich für jeweils 6 unterschiedliche Erregerfrequenzen w erge-... ... ... ...

benden Verschie ... bungesamplituden (lf 1 1 = G • 1u11 , ! f2J = G •I u21) bzw. Verdrehungen

(]f J = G • B2 [u I) sind, mit 110 11 gekennzeichnet, in Bild 7 dargestellt. Zusätzlich . ~ ~

wurde (zu Kontrollzwecken) das Ergebnis der in den Frequenzbereich trans-

formierten Zeitbereichsresultate in die Darstellung übernommen.

Die beiden Fundamentarten zeigen prinzipiell gleiches Schwingungsverhalten,

wobei jedoch die Bewegungsamplituden des eingebetteten Fundamentes deutlich

geringer sind als die des Oberflächenfundamentes. Die aufgebrachte Bewegungs­

energie strahlt ungehindert in den Halbraum ab, es kommt erwartungsgemäß nicht zu

Resonanzüberhöhungen (von Estorff & Schmid 1984 ).

63

64

4.2 Einfluß der Materialdämpfung

Während die zuvor gezeigten Beispiele den Einfluß der Abstrahldämpfung unter

den verschiedensten geometrischen Annahmen aufgezeigt haben, wird abschließend

auf die Frage nach der relativen Bedeutung der Materialdämpfung gegenüber der

Abstrahldämpfung eingegangen.

Ein Vorteil der Frequenzbereichsrechnung gegenüber der Vergehensweise im

Zeitbereich ist die Möglichkeit, durch Einführung eines komplexen E-Moduls, E( 1 +

iß ), die Energieverluste im Bodenmaterial berücksichtigen zu können. Experimentelle

Ur..tersuchungen zeigen (Dobry1970J, daß diese näherungsweise frequenzunabhängig sind,

was zur Annahme eines hysterischen Dämpfungsverhaltens führt. Der Verlustfaktor ß

liegt hierbei zwischen 0. 06 und 0. 20, was im Falle eines viskos gedämpften Ein­

massenschwingers 3 - 10 % der kritischen Dämpfung entspräche.

In Bild 8 sind die Verschiebungsamplituden eines Oberflächenfundaments auf dem

Halbraum den Reaktionen des Fundaments auf einer Bodenschicht gegenübergestellt.

Hierbei wurden drei unterschiedliche Verlustfaktoren ( ß = 0%, 10%, 20%) berück­

sichtigt.

Durch den bereits aus der Zeitbereichsrechnung deutlich gewordenen starken Einfluß

von Reflektionen am Grundgebirge zeigt das harmonisch erregte Fundament auf

Halbraum und Schicht ( H/B = 5) stark unterschiedliches Schwingungsverhalten:

während beim Halbraummodell mit höher werdender Erregungsfrequenz eine gleich­

mäßige Abnahme der Verschiebungsamplituden festzustellen ist, kommt es im Falle

der Schicht zu deutlichen Resonanzüberh6hungen, die, falls die Materialdämpfung

vernachlässigt wird ( ß = 0% ), unendlich groß sind.

Wird der Einfluß der Materialdämpfung hingegen berücksichtigt ( ß = 10%, 20%) läßt

sich eine bemerkenswerte Verkleinerung der Amplitude an den Resonanzstellen fest­

stellen. Aus theoretischen Überlegungen folgt, daß bei den Resonanzfrequenzen allein

durch die Bodendämpfung die Amplituden begrenzt bleiben.

Der Einfluß der Bodendämpfung im Falle des Halbraumes ist, aufgrund der stark

überwiegenden Abstrahlungsdämpfung, sehr gering und kann daher in der Praxis zu­

meist vernachlässigt werden.

5. Zusammenfassung

Die Berücksichtigung von Dämpfungseinflüssen durch den Baugrund ist bei einer

Untersuchung dynamisch erregter Konstruktionen immer dann von besonderem

Interesse, wenn es sich um sehr schwingungsanfällige Systeme handelt.

Anband einiger ausgewählter Beispiele wurde die Möglichkeit vorgestellt, mittels

einer direkt im Zeitbereich und einer im Frequenzbereich arbeitenden Randelement­

prou:;dur, insbesondere das Phänomen der Abstrahlungsdämpfung zu untersuchen.

In den Parameterstudien konnte gezeigt werden, daß der Einfluß der Energie-

abstrahlung auf das Schwingungsverhalten eines Systems abhängig ist von:

- der Form des Fundamentes (z.B. Oberflächen-, eingebettetes Fundament)

- dem Verhältnis der Steifigkeiten (z.B. Damm - Boden)

- der Art des Bodenmodelles (z.B. Halbraum, Schichtung).

Vor allem einer den physikalischen Verhältnissen möglichst exakt entsprechenden

Wahl des Bodenmodelles kommt eine besondere Bedeutung zu, da die Reaktionen des

Untergrundes im Falle reflektierender Schichten deutlich vom Verhalten eines all­

seitig energieabsorbierenden, homogenen Halbraumes abweichen.

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~

~I !.L,i

uf. _,,

Bild 1

bek./unbek. Randwertr

j Anzahl der Randelemente

N: Anzahl der Zeitschritte

Eil EI 2

Et.J ·~;11·~~~· 2J

Aufbau einer Einflußmatrix am Beispiel von U

67

68

"~.···.··· .. B+.· .. ~ .. · .. ~.' .. ··•· .. ·.·.·.·•·•···.·••··•··.··•· L ··c• •··•"•' .• . --- <<;':·_-'

x, 0 ber f I ä chen f unda men t Eingebettetes Fundament

belastet durch Einheitsimpuls:

ii fi: FLÄCHE , ..

4llt

Bild 2 I Oberflächen- und eigebettetes Fundament auf dem Halbraum

0

-.1

-.5

TIB = 0.0

T/8=1.0

T/8=2.0

~~~--~,~--•• ~--~,~--~8~--7,10,---7,12~·

1--

-.8

-1.

0 4

T/8 = 0.0

TIB = 1.0

T/8=2.0

6 1--

8 10 12

-1.5

T/8 = 0.0

T/B = 1.0

T/8=2.0

-2.0\---"----;-----;c----7----,;.;---,~ 0 2 I. 6 8 10 12

i--

11"= U·G

t., =4l·GB'

t _ I Cz - 8

dimensionslose Darstellung

Bild 3 I Fundamentverschiebungen infolge Impulslast ( Zeitverlauf)

··~ L ····· "

I--w ---+-- "' --1- "' --1~ +-2a-+a+a+-2a--+ H

;,,,;,n;;,,,;,;n,;;,m;";,;,;;::,n,nm. j_ "" 1-m---+-•" -I--'"~ I

+-28 -+B-+-B+-28-+ H Halbraum _. E• ••. P_, . l Schicht auf starrem

""' ,\ "' .. :. '.___/--+ Grundgebirge

Bild 4 l H/B:2:

.2

I 0

N

0 :: ... -.2

c4

.2 H/B =5:

I 0

N

52 -.2 J,

-.4

Bild 5 I

~~ Schicht auf Halbraum

Unterschiedliche Bodenmodelle

0

/, ! \ /\ I \ / \ I 1---./ '

I '1 t· ii X \'i-,-"'-'<;· .. · ··~ .! l ,· , I

lf .n \ I \ I f· I I " f ', I • j

5 - 10 t-

---··-·-·---·----

I f ·..;~-' "

e' .· /

5 - 10 t-

,, I \

I '

E"IE5•1.0 E"IE5 •1.5 E"/E5•3.0 E"l E5• 6.0 EH/E5= co

15

E"IE5•1.0 E"IE5•1.5 E"!E5d.O E"IE5•6.0 EH/Es= oo

15

V= .33

- t c, t ·­B

Einfluß unterschiedlicher Bcdenmodelle ( Zeitverlauf)

69

70

~ystem:

Belastung~

S ·it 1r FLÄCHE

41\t

.. S"

.02

.01

f o'r--t--t--+-\\~r\ ~/""\ ~·-'" \ ......

, -.01

-.02

0 .1 .2

\./

E8 1E0 = I. EB/Eo= 2

.3 .4 .5 t{s)-

Bild 6 Damm auf dem Halb raum, horizontale Verschiebung (Zeitverlauf)

Oberflächen fundamenl

w8 __ 2

" 3

'

00

Eingebettetes Fundament

1 ... __ ,. 3 ,,

o BEM Frequenzber_

8 i I d 7 I Fundamentverschiebungen irrfolge harmonischer Last ( Frequenzgang)

HALBRAUM:

15· 'C7 ·-.3

.1~-+---+--~-~-~ 0 1 2 o,----

BODENSCHICHT:

·t

r:··~.il\r i.:: ·-~ ,--.3 . .····· .

. 1! 1 - ~c~ 0 1 2

o,

-- ß = 0% ---- ß=10% ·········· ß = 20%

I·' " (~2

0 o~------~1--------2r-~ o,

15 • '.:!::::.4

?..~.-::-.::.::.::- ..._ ('.

CJ --->.-:-::--,

·· .. -;_\':'

. 3 +----~--il-~--+--0 1 2 o,----

-- ß = 0% ---- ß = 10% ß = 20%

!l ~--··\~

5 .· '·. . 1 1 ' w " < "'.3 \ '--·· .... ".,,.,, ..j.

,I ------~;-;:~ ... I I

0 1 2 o,

~

~~--r Jl -+a+a+ H

'\ ~-l ;: J5j__)':~~ '~4 ···"::-;

.3 '-----0 o, 2

Bild 8 Verschiebungen des Oberflächenfundamentes mit/ohne Materialdämpfung ( Frequenzgang)

;:!

72

Schadensmodelle duktiler Stahlbetontragglieder - Theorie und Experiment -

WILFRIED B. KRÄTZIG, lNGO F. MEYER, KONSTANTIN MESKOURIS

1. Einführende Bemerkungen

Seismisch beanspruchte Baukonstruktionen mDssen ebenso wie herkömmliche Bauwerke nach Wirtschaftlichkeitsaspekten bemPssen und konstruiert werden.

Wirtschaftlichkeit kann allerdings in diesem Zusammenhang sicherlich nicht

bedeuten, das Bauwerk für jedes erdenkliche Erdbeben schadensfrei zu halten.

Durch Starkbeben beanspruchte KonstruktionenmUssen nämlich einen erhebli­

chen Anteil der vom Reben auf das Tragwerk übertragenen Energie durch ihr

nichtlineares (duktiles) VerformungsvP.rhalten absorbieren. Schadensmodelle

und rechnerische Sch~digungsindikatoren k0nnen dazu dienen, Dissipations­vermiigen sowie zu erwartende Schädigungen vorherzubestimmen /1/, /2/.

Gelingt es, lokale Sch~digungen w~hrend eines Erdbehens rechnerisch zu er­fassen, werden auch Aussagen über die Gesamtschädigung und somit Sicherheits­

vorhersagen möglich.

2. Das Bemessungskonzept einer expliziten Duktilitätsbilanz

f'l.oderne, wirklichkeitsnahe Bemessungskonzepte seismisch beanspruchter Stahl­

betontraqwerke /3/ führen den Nachweis ausreicher.der seismischer Sicherheit

zweckmäßigerweise im Sinne einer expliziten Duktilitätsbilanz mit folgenden

Schritten /4/: Festlegunq des nuktiliVftsangebotes im Pahmen eines Schi:idigungsindika­

tors: Hierzu sind für alle sicherheitsrelevanten Tragwerkspunkte die

von diesen w?hrend seismischer Erregungen bereitstellbaren Duktilitäten

bis zum Erreichen zul?ssiger Schädigungsgrenzwerte zu bestimmen. Nach

o. Prof. Dr.-Jng. Wilfried P. Kr?.tzig Oipl.-lng. lngo F. ~1eyer Priv. Doz. r.r.-Jng. Konstantin Mes~ouris Lehrstuhl für Statik und Dynamik, Ruhr-UniversitBt P.ochum, Universitätsstraße !50, D-4630 Bochum l

73

74

heutigen Erkenntnissen darf dies als zeitinvariante Bemessungsaufgabe

durchgeführt werden. Ermittlung der Duktilitätsnachfrage durch Bestimmung der während eines vorgegebenen Bebenzeitverlaufs erreichten Schädigungen. Derartige Zeit­verlaufsberechnungen erfordern eine hervorragend wirklichkeitsnahe Mo­dellierung des nichtlinearen, zyklischen Tragverhaltens sowie eine Re­gistrierung der jeweils erreichten Schädigung durch synchrone Auswertung des Schädigungsindikators an allen oben erwähnten Tragwerkspunkten /5/. Der Sicherheitsnachweis erfolgt durch Vergleich der erreichten mit den zulässigen Schädigungsindikatoren: Sind erstere überall im Tragwerk kleiner oder höchstens gleich der zulässigen Grenzwerten, darf Sicher­heit prognostiziert werden.

Ein Kernpunkt des Konzepts liegt in der Bereitstellung wirklichkeitsnaher, den Schädigungsgrad sowie die Schadensakkumulation erfassender Schädigungs­parameter. In Bild la-e sind verschiedene Indikatoren dieser Art dargestellt, weitere finden sich in /6/. Eine kritische Wertung der existierenden Scha­densindikatoren /7/ zeigt deren Schwächen bei der Schädigungsquantifi?ierung, der Erfassung der Schadensakkumulation oder der werkstoffmechanischen Be­gründung - ein ausreichender Anlaß zu umfangreichen eigenen Forschungen.

3. Der Schädigungsindikator DQ

Der vorangegangene Abschnitt hat die zentrale Funktion eines Schädigungsin­dikators für die Quantifizierung des aktuellen Schädigungsgrades aufgezeigt. Für monoton ansteigende Beanspruchung kann der VersagPnszustand des jeweili­

gen Querschnitts problemlos vorausberechnet werden. Bei zyklischer Be­lastung hingegen hängen die Schadensakkumulation und der Versagenszustand von der Belastungsgeschichte ab, die nicht im voraus bekannt ist. W~re sie

es , würde sich die Möglichkeit bieten, die dissipierte Energie bis zum

Versagen des Querschnitts vorauszuberechnen und als Normierungsfaktor für

die hysteretisch dissipierte Energie anzusetzen. Ein derartiger Sch~digungs­

indikator würde Schädigungen zwischen 0% und 100% beschreiben, allerdings nur für diese eine bestimmte Belastungsgeschichte gelten und auch nur, wenn

diese zum Versagen führt.

Ein brauchbarer Schädigungsindikator sollte folgende Anforderungen erfüllen: Quantifizierung des Schädigungsgrades zwischen 0% und 100%, bezogen auf den Versagenszustand. Berücksichtigung der zyklischen Schadensakkumulation. Unabhängigkeit des Normierungstaktors von der Belastungsgeschichte. Die den Schädigungsindikator beschreibenden Parameter müssen den Schädi­gungsprozess wirklichkeitsnah wiederspiegeln.

Die wohl bekannteste Schadenshypothese, die zumindest die ersten zwei Punkte

erfüllt, ist die von PALMGREN /8/-MINER /9/. Bei ihr wird eine Beanspruchung in Stufe

Belastungsstufen mit je Ni eine Bruchlastspielzahl

Lastspielen aufgeteilt, wobei zu jeder

max Ni gehört. Die Schädigung ergibt sich linear zunehmend zu:

S E (I)

Versagen tritt für S=l ein. Dieses Verfahren setzt jedoch die Kenntnis des Beanspruchungskollektivs und der entsprechenden Lebensdauerlinien voraus.

Folgende Einwände müssen gegen eine Übertragung der Palmgren-Miner-Hypothese

auf Stahlbetonbauteile geltend gemacht werden: Die Annahme einer linearen Schadensakkumulation gilt als unrealistischer

Sonderfall möglicher Schädigungsverläufe. Der Schädigungsverlauf unterscheidet nicht, ob die höchste Beanspruchung

zu Beginn oder zu Ende des Kollektivs eintritt. Die Beanspruchung unterhalb der Dauerfestigkeit wird nicht als schädigend angenommen.

Die bisherigen Ausfiihrungen fokussieren die Aufmerksamkeit auf die folgenden

Fragen: Welche physikalische Größe kann sowohl den EinfluB der Beanspruchungsge­schichte als auch den Schädigungsprozeß wiederspiegeln? Wie kann eine Normierunq monotoner und/oder zyklischer Schädigungen auf

den Versagenszustand bezogen werden?

Die dissipierte Energie eines Querschnitts infolge mechanischer Beanspruchung

erscheint zur Beschreibung der auftretenden Schädigung physikalisch besonders

geeignet. Bereits im linearen Bereich des Werkstoffgesetzes wird durch Ver-

75

76

änderungen des Mikrogefüges Energie dissipiert. Nach dem 2. Hauptsatz der

Thermodynamik ist bei allen nichtelastischen Prozessen die dissipierte

Energie positiv (Drucker-Postulat\ und akkumuliert sich bei zyklischer Beanspruchung: Somit besteht eine Abhängigkeit zwischen Schadensakkumulation

und der Akkumulation der parallel dissipierten Energie.

Daher böte sich die in Bild le dargestellte 11 Normierte dissipierte Energie 11

als Schädigungsindikator an. Allerdings bezieht sich die Normierung weder in

irgendeiner Weise auf den Versagenszustand, noch kann die einfache Aufsummie­rung der dissipierten Energie ein Schadensereignis kenntlich machen, wie

beispielsweise die Amplitudenvergrößerung eines Zyklus nach vorangegangenen

kleineren Zyklen.

Die zyklische Schadensakkumulation des mehrphasigen Verbundwerkstoffes

Stahlbeton ist noch nicht in gleichem Maße wie diejenige metallischer Werk­stoffe geklärt. Wie eigene experimentelle Untersuchungen (siehe auch /10/)

bestätigen, läßt sich der Versagensvorgang eines zyklisch belasteten Stahlbe­

tonbauteils auf denjenigen unter monoton ansteigender Beanspruchung zurück­

führen. Die Rißausbreitung bis hin zur Bildung einer Bruchfläche verläuft

in beiden Fällen ähnlich. Es bietet sich daher an, den monotonen Versagens­zustand für die Bestimmung eines Normierungswertes heranzuziehen, da dieser

unabhängig von der Beanspruchungsgeschichte mit entsprechenden Werkstoffmo­

dellen ermittelt werden kann.

Der in dieser Arbeit vorgestellte Schädigun9sindikator DQ erfüllt alle vier o.g. Anforderungen und basiert allein au_f /lnteilen der dissipierten

Verformungsenergie. Als Normierungswert dient das maximale Arbeitsverm~gen

Eu unter monotoner Beanspruchung bis zum definierten Versagenszustand (Rild

2b). Die absorbierte Verformungsenergie wird in zwei Anteile aufgeteilt. Zur

Erläuterung der beiden Anteile werden die von tlTES /11/ eingeführten Begrif­fe 11 Primär- 11 und 11 Folgezyk1us 11 als "Primärhalbzyklus (PHZ) 11 und 11 Folgehalb­

zyklus (FHZ)" übernommen. Der Halbzyklus mit der griißten P.rreichten Verfor­

mungsamplitude einer Beanspruchungsgeschichte wird Prim~rhalbzyklus genannt,

die ihm folgenden Halbzyklen mit kleineren Amplituden Folgehalbz_vklen.

Nach Überschreitung der zum PHZ; gehörenden Maxima 1 verformung '' i

ergibt sich somit wieder ein neuer Primärhalhzyklus PHZi+l mit wiederum

neuen F~gehalbzyklen. Jeder PHZ repräsentiert eine bestimmte Schädigungsge­

schichte.

77

Der eine Anteil, Esi' entspricht der im Primärhalbzyklus PHZi absorbierten Energie, der andere Anteil, E;, der in den Folgezyklen FHZ; absorbierten Energie. Die Unterscheidung in Halbzyklen, die auf die Verformungsrichtungen positiv/negativ bezogen werden, erfolgt, um das Schadensmodell sowohl für monotone

Beanspruchung ohne Belastungsumkehr als auch für unsymmetrische Querschnitte mit jeweils unterschiedlichen E

0 anwenden zu können. Das mathematfsche

Modell des Schädigungsindikators DQ ergibt sich in Abhängigkeit von der Biege- bzw. Verformungsrichtung wie folgt:

E E+ + E E: i Si i 1 für Verformungen > 0

E+ + u E (:

1

E E + E Ej Si für Verformungen < 0 E + u E Ej

mit:

Zyklusnummer Normierungswerte der jeweiligen Verformungsrichtung.

(2a, b) bilden Vorwerte, aus denen dann der endgültige Wert für DQ zusam­mengesetzt wird:

DQ = D; (1-Dq) + DQ

o0 = o0 (1-o;) + o;

für Verformungen > 0

für Verformungen < 0

(2a)

( 2b)

(3a)

(3b)

Die Vergehensweise soll anhand des Beispiels in Rild 2a erläutert werden. Die dargestellte Kurve entspricht der zyklischen Momenten-Krümmungs-Beziehung eines

Stahlbetonquerschnitts. Der Start der Beanspruchung aus dem 11 jungfräulichen 11

Zustand heraus erfolge in positiver Verformungsrichtung. Da noch kein Halb­

zyklus auftrat, bildet dieser den ersten Primärhalbzyklus. Der zugehMrige Ener­

anteil E;1 entspricht der Fläche 0, 1, 2, 3'. E; ist noch Null. So ergibt sich DQ aus der Gl. (3a) mit o; aus Gl. (2a) und o0 = 0 . W~re Punkt 2 bzw. 3• der Versagenszustand, dann w?re E;1 = E: und DQ = 1. Dies zeigt

die Gültigkeit des Konzeptes auch bei monotoner Beanspruchung.

78

Während der Entlastung bis Punkt 3 wird vom Querschnitt der elastische Ener­gieanteil 2, 3•, 3 wiedergewonnen. In dieser Entlastungsphase wird der Schä­digungsindikator automatisch konstant gehalten, bis Wiederbelastung einsetzt. Die Wiederbelastung bis zum Verformungsnullpunkt 4 wird einem FHZ zugeordnet. Der zugehörige Energieanteil Er entspricht der Fläche 0, 3, 4. DQ wird wieder aus (3a) und (2a) errechnet, wobei Er in den Zähler und in den Nenner eingeht. Durch den Vorzeichenwechsel der Verformungsrichtung wird nun

das Arbeitsvermögen in negativer Richtung E~ aktiviert. Dies entspricht dem ersten PHZ in dieser Richtung, und der Energieanteil ES! ist gleich der Fläche+O, 4, 5, 6'. DQ resultiert nun aus (3b) mit dem zuvor errechneten Wert DQ und dem jetzt aus (2b) ermittelten Wert Dq . ES! entspricht analog E~1 der Fläche 0, 6, 7. Die weitere Belastung in positiver Verfor­mungsrichtung bis Punkt 3' bildet erneut einen FHZ, da der Punkt 3' die in der positiven Verformungsrichtung bisher aufgetretene Maximalverformung repräsentiert. Die Fläche o, 7, 2•, 3• stellt den Energieanteil E; dar. DQ errechnet sich wieder aus (2a), (3a) und dem zuletzt erhaltenen Wert für D0. Die Uberschreitung des Punktes 3' führt sodann zu einem neuen PHZ für die positive Richtung. E~2 ergibt sich aus der Fläche 2', 8, 9', 3' und o0 aus den Gleichungen (2a), (3a) sowie aus DQ. Den Gleichungen (2a), (2b) ist zu entnehmen, daß der Energieanteil Ei sowohl in den Zähler (Bean­spruchungsseite) als auch in den Nenner (Beanspruchbarkeitsseite) eingeht. Dies bedeutet, daß der zu einer Maximalverformungsüberschreitung gehörende Energieanteil Es unmittelbar auf das maximale Arbeitsvermögen unter monotoner Beanspruchung, Eu, bezogen wird, gemäß der oben gemachten Fest­stellung über die Ähnlichkeit zwischen monotonem und zyklischem Versagen.

Die wesentliche Schädigungshypothese des hier vorgestellten Schädigungs­modells besteht in zwei Punkten:

Die bei monoton ansteigender Belastung bis zum Versagen absorbierte Energie (entsprechend einem Primärhalbzyklus) muß bei zyklischer Be­lastung durch mehrere Primärhalbzyklen aufgebracht werden. Die absorbierte Energie der Folgehalbzyklen wird als schwach schädigend erfaßt.

4. Experimentelle Verifikation

Der vorgestellte Schädigungsindikator wurde aus eigenen und der Auswertung fremder experimenteller Untersuchungen entwickelt. Von den Verfassern wurden u.a. zu neun Fremdversuchen /12/, die sich in Querschnittsform (Plattenbal­ken, Rechteckquerschnitte), Bewehrung (symmetrisch, unsymmetrisch) und Ver­formungsgeschichte unterschieden, Vergleichsberechnungen mit dem Computer­programm ZNSQ /13/ durchgeführt. Alle Versuchsbalken wurden bis zum Versagen belastet und gültige Messungen bis kurz vor dem endgültigen Bruch aufgenom­men. Die Schädigungsverläufe wurden jeweils im kritischen Querschnitt aus den mit ZNSQ errechneten Momenten-Krümmungs-Beziehungen ermittelt. Die

Maximalwerte für DQ ergaben:

Balken Rl R2 R3 R4 R5 R6 Tl T2 T3

DQ /%/ 96,8 94,3 99,8 101,5 97,9 85,7 98,6 95,0 98,0

Die Zahlenwerte beweisen, daß der Sch;digungsindikator DQ den Schädigungs­grad im Versagensbereich sehr gut erfaßt. Lediglich der Versuchsbalken R6

fällt, wegen eines durch vermutete Herstellungsmängel begründeten Schubver­sagens, heraus. Neben der quantitativen Erfassung des Schädigungsgrades sollte ein Schädigungsindikator auch den Schädigungsverlauf bei zyklischer Belastung wiedergeben. Bei zeitabhängiger Belastung kann man den Verlauf der Schädigung über die Zeit, bei quasistatischer Belastung z.B. über die dissipierte Energie oder das akkumulative Duktilitätsinkrement des Quer­schnitts, darstellen. In Bild 3a sind die experimentell und an einem Lamellen­modell rechnerisch ermittelten Momenten-Krümmungs-Beziehungen des Versuchsbal­kens Rl /12/ für den kritischen Querschnitt dargestellt. Die einseitige Einschnürung der Momenten-Krümmungs-Beziehung folgt aus der unsymmetrischen Bewehrung. Das Versagen wurde durch Abplatzen der Betondeckung und Ausknicken der Bewehrung eingeleitet. Bild 3b zeigt den zugehörigen Schädigungsverlauf, aufgetragen über dem akkumulierten Duktilitätsinkrement. Nach drei Zyklen kleinerer Amplitude wird in Punkt I die Streckgrenze der stärkeren Bewehrung überschritten. Die weitere Beanspruchung infolge einer großen Verformungsam­

plitude bis zur Entlastung in Punkt 2 führt zu einer Fortschreitung der Rißbil­dung und großen Verkrümmung des Querschnitts, wobei ein erheblicher Anteil

79

80

an Energie dissipiert wird. Dieser starke Schädigungszuwachs ist sehr deutlich in Bild 3b zu erkennen: Zwischen Punkt I und 2 verdoppelt sich der Schädigungsgrad. Der Schädigungsverlauf infolge zunehmender zyklischer Verformungsamplituden verläuft nichtlinear, d.h. der Schädigungszuwachs nimmt mit steigender Schädigung ab, die Duktilitätsreserven eines Querschnit­tes verringern sich bis zum Bruch.

5. Ausblick und Abschluß

Der hier vorgestellte Schädigungsindikator DQ beschreibt Schädigungsakku­mulationen in quantitativer Weise; er ist physikalisch begründet und sein zulässiger Grenzwert unabhängig von der Belastungsgeschichte. Er wurde in mehrjährigen kombinierten experimentell-numerischen Forschungen entwickelt.

Da er bei nichtlinearen Zeitverlaufsberechnungen für alle bemessungsrele­vanten Tragwerkspunkte berechnet werden kann, könnte er auch in moderne Be­messungsverfahren Eingang finden, um in erdbebengefährdeten Regionen den Verlust von Menschenleben und volkswirtschaftliche Schäden zu verringern.

Literatur /I/ CEB Model Code for Seismic Design of Concrete Structures. Bulletin

d'lnformation No. 165, April 1985 /2/ Keintzel, E.: Zähigkeitsfaktoren im Stahlbetonbau. Beton- und Stahl­

betonbau 10/84, Verlag Ernst & Sohn, Berlin 1984 /3/ Krätzig, W.B., Meskouris, K.: Wirtschaftlichere Erdbebensicherheit

durch Ausnutzung inelastischer Werkstoffeigenschaften. Tagungsheft 11 Baustatik-Baupraxis 211

, Ruhr-Universität Bach um, März 1984 141 Krätzig, W.B., Meskouris, K.: Nachweis seismisch beanspruchter Stahl­

betonrahmen auf der Grundlage einer Duktilitätsbilanz. Beton- und Stahlbetonbau, Heft 7, Juli 1987

/5/ Krätzig, W.B., Meskouris, K., Meyer, l.F., Stangenberg, F.: Experi­mentelle und theoretische Untersuchungen an zyklisch nichtlinear be­anspruchten Stahlbetonbalken. SFB !51-Berichte Nr. 5, Ruhr-Universität Bochum, Oktober 1986

/6/ Bourgund, U.: Schädigungsmodelle für Tragwerke unter seismischer Be­anspruchung. Universität Innsbruck, Institut für Mechanik, Zwischen­bericht Nr. 16, 1985

171 Meyer, I.F., Krätzig, W.B., Meskouris, K.: Darnage in Seismically Loded R/C Frame Structures - Recent Experiments and Numerical Mo­delling. Proc. of the 9th Int. Conf. on SMIRT, Vol. H, Lausanne, Aug. 1987

/8/ Palmgren, A.: Die Lebensdauer von Kugellagern. VDI-Zeitschrift, 1924, s. 339-341

/9/ Miner, M.A.: Cumulative Darnage in Fatigue. Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME, 1945, S. 159-164

/10/ Müller, F.P., Keintzel, E., Charlier, H.: Dynamische Probleme im Stahlbetonbau. Deutscher Ausschuß für Stahlbeton, Heft 342

/II/ Ötes, A.: Zur werkstoffgerechten Berechnung der Erdbebenbeanspruchung in Stahlbetontragwerken. Mitteilungen aus dem Institut für Massivbau der TH Darmstadt, Heft 25, 1985

/12/ Ma, S.M., Bertero, V. V., Popov, E.P.: "Experimental and Analytical Studies an the Hysteretic Behavior of RC-Rectangular and T-Beams, Berkeley Rep. No. EERC 76/2, University of California, Berkeley, 1976

/13/ Meyer, I.F.: Ein werkstoffgerechtes Schadens- und Stababschnittsmodell für Stahlbeton unter zyklisch nichtlinearer Beanspruchung. In Vor­bereitung

81

d J Steifigkeitsindex:

EI, lla =EI

e J Norm1erte dissip1erte Energie:

E"lll= <M·X·dt -[X~·MF

-x

fl Modified F!exural Darnage Ratio {MFDRJ:

MFDR=~ Mx· Xu

BILD 1: Beispiele für Schädigungsindi­katoren auf Querschnittsebene

I M

lj '--..L----+----+-- X

x. Xu

a)

b)

M Moment

6' -X

-M

EsFRäche o. 1.2.3' ET =Fläche 0,3,4 ES,=Fiäche 0,4,5,6' E1 = Fläche 0. 6. 7

M

JC .u

-M

2 8

I I I I Krümmung

9 9' X

E; =Fläche 0, 7, 2,3' ES2=Fiäche 2,'8, 9; 3'

BILD 2: Aufteilung der Energieanteile

83

84

e z -"

~ UJ ::r 0 ::r

Bild

100.0

~ <!) z ::> <!)

i5 ,..,; I u V1

r3 50.0

----- Experiment --Model

KRÜMMUNG 110"3 1/ml

3a: Momenten -Krümmungs- Beziehung

0 58.8%

CD. 30%

0 96.8%

Ponkt 1- FlieObeginn der gröOeren Bewehrung

1- Entlastung nach groOer Amplitude

3- Versagensbeginn I Betondeckung beginnt abzuplatzen J

o.o+--~-~--~-~--r::-~--~-~-~-~~-~---<r-0 100 200

AKKUMULIERTES DUKTILITÄTS -INKREMENT

Bild 3 b: Zugehöriger Schädigungsverlauf

Nichtlineare Bauwerk- Komponenten- Wechselwirkung

J. D. WöRNER

1. Einleitung

Die Übertragungskette Erdbebenherd - Boden - Bauwerk - Komponente wird beim derzeitigen Auslegungskonzept, insbesondere im Kernkraftbau mit oberen Grenzwerten verfolgt. Um eine möglichst wirklichkeitsnahe Erdbebenauslegung mit einem ausgewogenen Sicherheitniveau für Betriebs- und seltene Extrem­lastfälle zu erreichen, sind alle Glieder der Übertragungskette näher zu betrachten. Dieser Bei trag befaßt sich mit der Wechselwirkung zwischen Komponenten und der unmittelbar unterstützenden Betonkonstruktion. Bezüg­lich der anderen Glieder wird hier auf die Arbeiten von Hasser und Klein 1983 /1/, Johnson 1981 /2/, König 1985 /3/ verwiesen.

Als Beispiel für die Wechselwirkung zwischen Komponente und unterstützender Struktur wird im folgenden ein Stahlbetonbalken mit einer mittig angeordne­ten Komponente untersucht (Bild 1). Bei horizontaler Anregung des Systems induziert die Komponente im Balken Biegeschwingungen, die wiederum das Verhalten der Komponente beeinflussen •

. ----, . ' I :

• L..,-;--_1

. '

Bild 1 Beispiel Komponenten - Bauwerk - H'echselwirkung

Entsprechend der Höhe der Beanspruchungen im Stahlbeton lassen sich zwei Bereiche unterscheiden:

- linear-elastisches Verhalten des Stahlbetonbalkens - nichtlineares Verhalten des Stahlbetonbalkens

König und Heunisch, Beratende Ingenieure, Oskar-Sommer-Str. 15- 17, 6000 Frankfurt/Main 70

85

86

2. Interaktion unter Annahme linear-elastischen Verhaltens

Unter der Voraussetzung linear-elastischen Verhaltens des Balkens l~ßt sich die Interaktion im Frequenzbereich beschreiben. Dazu wird zunächst der Balken zyklisch durch ein Moment in Feldmitte angeregt. Aus der unter dem zyklischen Moment auftretenden Verdrehung des Balkens Fißt sich eine fre­quenzabhängige, komplexe Drehfeder formulieren. Diese Drehfeder wird dann bei der Bestimmung der Reaktionen der Komponente verwendet (1Cönig 1985 /3/). (Bild 2).

Mlwl

r--. =>G El.D.~

1/2 1/2 ko(w)

Bild 2 Rechenmodell zur Ermittlung des Übertragungsverhaltens

Als Beispiel dient hier der in Bild 3 gezeigte Stahlbetonbalken mit darauf befestigtem Komponentenmodell. Die- Konfiguration wurde auf dem Rütteltisch des Instituts für Massivbau der THD mit weißem Rauschen angeregt. Die rechnerisch und experimentell gewonnenen Übertragungsfunktionen (mit und ohne Berücksichtigung der Kopplung Komponente-Balken) sind in Bild 4 darge­stellt.

V 50

Bild 3 Beispiel Interaktion Komponente - Balken (linear)

Neben der guten Übereinstimmung zwischen Rechnung und Experiment läßt sich danach folgendes bezüglich der Auswirkungen der Interaktion auf die Kompo­nentenantwort feststellen:

Das Maximum der Übertragungsfuktion verschiebt sich zu einer niedrigeren Frequenz. Es treten zusätzliche Hberhöhungen im höherfrequenten Bereich auf.

Die Höhe des ersten Maximums ist beim vorliegenden Fall durch die Energie­dissipation im Balken deutlich reduziert worden. Wie weitere Parameterstu­dien zeigten, ist bei sehr schweren Komponenten und leichten, wenig ge­dämpften Unterstützungen u.U. auch eine Anhebung des Maximums möglich.

Rechnung '''r-~~~~C------------------------------------,

--- Kompont>nll:' o!tt'in - Kompont>nll' +Bauwerk

:x 80 I

! I,

'X 60

~ ~ ~ 40 i: § J\ 0'1 r \ _g zo I : 0; _;,/\ '~ o!-~~-=r-~~~~~~~-~ '-~~~-.-.c-~~-.~c-~~.

0 10152025303St.045SO

Erregerfrequenz [Hz]

Experiment '''r-~~~~~-----------------------------------,

! 60 '1 :.

~ r: ~ ;t ~ t.O :~ ~ :: "' " 0 "

VGQ_J --- Komponente- ollein VS0.2 - Komponl!nle • Bouwl'tk

t 20 ! \ ,g 0~~~~~~,/.~--~--~~-'~'~·--~--~~~~~~~~~

0 5 10152025303540LS50

Erregerfrequenz I Hz l

Bild 4 Übertragungsfunktion (Rechnung-Versuch)

87

88

3. Interaktion unter Annahme nichtlinearen Stahlbetonverhaltens

Treten durch die in der Stahlbetonkonstruktion infolge der Interaktion induzierten Schwingungen hohe Beanspruchungen auf, so ist die o.g. Annahme linearen Verhaltens zu verlassen. Die rechnerische Beschreibung muß dann das nichtlineare Verhalten und die Überlagerung aus ständigen Lasten und dynamischer Beanspruchung wirklichkeitsnah berücksichtigen (Bild 5).

I

±Y k k U_k_f±i+ J Y!_E +lt

Bild 5 Überlagerung ständige Lasten - dynamische Beanspruchungen

Zur Bereitstellung von experimentellen Daten wurden auf dem Rütteltisch des Instituts für Massivbau Versuche mit verschiedenen Ausführungen des Balkens durchgeführt (Bild 6). Im Gegensatz zu den Untersuchungen mit linearem Verhalten wurde hierbei als Anregung ein typischer Btagenzeitverlauf mit einer dominanten Frequenz von 1,5 Hz verwendet (Bild 7).

500kg

2,00 I PB 100

A ~··

A-A

1st 1- ··-1101'>10 V130 <J---{> L .•

J<-J ------"'s.""oo'--------'-A-----.1'1' J 40 v Bild 6 Experimentelle Parameterstudien

89

0: r fdom;t5H~ 0 S?

N

~ "' 0 -ro D•l'A ..§

0> c: ~ ::> 0> ·c \J ::> Cl> ~ '\ :c

~'~r-. u

"' Cl> 0

"' N

V \l' . v-v 0.210"/; 0

0.1 0$ " 5 10 50 100 Frequenz (Hz(

König und Heunisch Etagenantwortspektrum

Bild 7 Antwortspektren des Etagenzeitverlaufs

90

In den Bildern 8 und 9 sind gemessene Reaktionen der Komponente (Kopfbe­schleunigung, Kopfverschiebung) für zwei unterschiedliche Anregungsniveaus dargestellt.

Vl10.2M VERSUCH • 2GM

~

I/ N

X [m/s2] o

<;'

~

- O.Q12 - 0.008 -ooot. 0

x(mJ

König & Heumsch .I Bild 8 Reaktion bei Anregung 0, 2 g

König & Heumsch I

0 N

V120. 6 VERSUCH .6G

-Q03 -0.02 -O.Q1 0 xlml

Bild 9 Reaktion bei Anregung 0,6 g

0004 OJJOB

0.02 oro

0.012

Während bei einer Anregung mit maximal 0, 2 g noch linear-elastisches Ver­halten beobachtet werden kann, führt eine Anregung mit 0,6 g zu nichtlinea­rem Verhalten in Stahlbeton.

Um weitergehende Untersuchungen zur Bestimmung des Einflusses einzelner Systemparameter durchführen zu können, wurde ein Rechenmodell erarbeitet, was zum einen in der Lage ist, die wesentlichen Effekte des nichtlinearen Stahlbetonverhaltens wirklichkeitsnah zu beschreiben, auf der anderen Seite aber auch noch möglichst übersichtlich ist. Daher wurde darauf verzichtet, die einzelnen Elemente des Stahlbetons detailliert zu modellieren. Vielmehr wurden durch eine Vorabrechnung das Rißverhalten untersucht und globale Momenten-Krümmungsbeziehungen bestimmt. Diese konnten dann in einem Modell mit Balkenelementen und Punktmassen berücksichtigt werden (Bild 10).

M

==>

' I I

' ' ' ' ' ;

Bild 10 ~echenrnodell nicht1inear, ~omponenten - Bauwerk - Wechselwirkung

Bild 11 zeigt beispielhaft Ergebnisse der experimentellen Untersuchungen und der Rechnungen. Dabei ist das ifuertragungsverhalten l{opfbeschleuni­gung/Anregungsbeschleunigung in Abhi:ingigkeit von der Anregungshöhe darge­stellt.

V110

3

Experiment

Rechnung

2

2 4 5 8 XEn Im ls2]

Bild 11 Hbertragungsverhalten Gegenüberstellung 'Rechnung - Versuch

91

92

Sowohl die Rechnung als auch die Versuche belegen, daß durch Energiedissi­pation die Übertragung mit steigender Anregungsbeschleunigung kleiner wird. Das so im Prinzip verifizierte Rechenmodell wurde anschließend f.ür eine begrenzte Parameterstudie verwendet (Bild 12).

zentrales Modell:

l '

m= 500kg

I PB 100

-5,00

Parametervariation: m;125•1000kg

Mpt =1,0Mo 710.0Mo

XErr= 5 7 20mfs2

Bild 12 Rechnerische Parameterstudie

M Mpt

175M

770kNm2

Die Brgebnisse dieser Parameterstudie unter Verwendung o.g. F.tagenzeitver­laufs sind in den Bildern 13 bis 15 dargestellt.

XKomo

X Err 3

2

1

5 10 15 20

Bild 13 Übertragung als Funktion der Anregungsbeschleunigung XErr. [m/s2]

XKomo.

XErr.

1

Eild 14 Übertragung als Funktion von MP1 /MG

~Komp XErr

3

2

1

100 500 Bild 15 Ubertragung als Funktion von der

1000 m[kg] Komponentenmasse

Erwartungsgemäß führt auch im Rahmen der Parameterstudie eine höhere Anre­gungsbeschleunigung zu einer kleineren Erhöhung der Kopfbeschleunigung irrfolge der Energiedissipation (Bild 13). Flild 14 zeigt die Abh.<:i:ngigkeit der Übertragung von der Auslegung des Stahlbetonbalkens in Relation zu den Beanspruchungen infolge ständiger Lasten. Je knapper der Balken bemessen wird, desto eher wird das nichtlineare Verhalten zu einer Energiedissipa­tion führen. Großzügiger bemessene T.Tnterst:ützungskonstruktionen hingegen verhalten sich auch bei Erdbebenanregung noch weitgehend linear, so daß die Kopfbeschleunigung deutlich überhöht wird.

Aus Bild 15 ist die Tendenz zunehmender Komponentenmasse - zunehmende Kopfbeschleunigung zu entnehmen.

93

94

4. Zusammenfassung

Die Auswirkungen der Wechselwirkung wurden exemplarisch an einem Stahlbe­tonbalken mit aufmontiertem Komponentenmodell vorgeführt. Rechenmodelle un: Rütteltischversuche zur Abschätzung der Interaktion wurden beschrieben. Die Interaktion zwischen Maschinenkomponente und der Stahlbetonkonstruktion, auf der sie befestigt ist, hängt danach in starkem Maße von der Beanspru­chungshöhe in der Stahlbetonkonstruktion ab.

Bei geringer Beanspruchung ist die Interaktion durch die zum Schwingen angeregten Massen, das Frequenzverhijltnis zwischen Komponente und stützen­dem Bauteil und die (normalerweise höhere) Dämpfung in dem Stahlbetonbau­teil geprägt. Bei entsprechend hoher Beanspruchung führt die lokale Ener­giedissipation in der Stahlbetonkonstruktion zu einer starken Reduktion der ~aschinenschwingungeno

5o Literatur

/1/ Hasser, Do, Ho Klein: Realistische seismische Lastannahmen für bauliche Anlagen mit erhöhtem Sekundärrisiko, Abschlußbericht, Frankfurt, 1983

/2/ Johnson, J oJ o: Seismic Margins Research Program, Soil Structure Inter­action, The Status of Current Analysis Methods and Research, NTmF.G/r-R-1780, Livermore, 1981

/3/ König, Go, J o-Do Y.fOrner: Ausloten der Sicherheitsreserven in der f'rber­tragungskette Bauwerk - lComponenten bei Erdbeben, Vorhaben 150 520, Abschlußbericht 1985

Einleitung

Zur Ermittlung von Verhaltensfaktoren für die Erdbebenberechnung von Stahlbetonbauten

EIN AR KEINTZEL

In Normen für Bauten in Erdbebengebieten wird im allgemeinen ein stark ver­

einfachter Nachweis für den Grenzzustand der Tragfähigkeit angegeben. So wird

das tatsächliche, nichtlineare Bauwerksverhalten bei starken Erdbeben durch

ein gedachtes, linear-elastisches Verhalten ersetzt, das näherungsweise nach dem Antwortspektrenverfahren erfaßt werden kann. Dabei wird die günstige Wir­kung nichtlinearer Verformungen über eine Abminderung der rechnerischen Erd­

bebenlast berücksichtigt.

In älteren Normen wird hierfür ein globaler Abminderungsfaktor verwendet, den

man direkt in die genormten Spektralwerte einarbeitet. So werden in DIN 4149

Spektralwerte angegeben, die dem elastischen Antwortspektrum entsprechen, ge­teilt durch den globalen Faktor l,B.

Neuere Normen zeigen das Bestreben, bei der Wahl solcher Abminderungsfaktoren differenzierter vorzugehen, d.h. das unterschiedliche nichtlineare Verhalten bestimmter Baustoffe und bestimmter Tragswerksarten durch die Einführung un­

terschiedlicher Abminderungsfaktoren zu berücksichtigen. Solche nach dem spe­

zifischen Verhalten von Baustoff und Tragwerk differenzierte Abminderungsfak­toren werden als Verhaltensfaktoren bezeichnet. Bauwerke werden im lastfall

Erdbeben für die seismische Beanspruchung des elastischen Systems, geteilt durch den Verhaltensfaktor, bemessen. Im folgenden sollen einige Uberlegungen

zur Ermittlung von Verhaltensfaktoren für Stahlbetonbauten vorgestellt wer­

den, die in einer Studie im Zusammenhang mit der Erarbeitung von EUROCODE 8

(Eibl und Keintzel 1986}, unter Verwendung von Berechnungsergebnissen aus

(Keintzel 19B1, Keintzel 1984 und Hoeflich 1983), angestellt worden sind.

Verfolgt die Bemessung das Ziel, Bauwerke mit angemessener Zuverrassigkeit

gegen Versagen zu sichern, so gilt es als e~stes, ein Kriterium fü·r das Er­

reichen des rechnerischen Versagenszustandes unter Erdbebenbeanspruchung

Dr.-Ing. Einar Keintzel, Intitut für Massivbau und Baustofftechnologie,

Universität Karlsruhe, Am Fasanengarten, D - 7500 Karlsruhe 1

95

96

festzulegen. Wodurch soll dieser Versagenszustand ambestengekennzeichnet werden? Durch das Überschreiten eines Grenzwertes der Geschoßverschiebung? Durch das gleichzeitige Auftreten einer Gruppe plastischer Gelenke, die das statische System in einen Mechanismus verwandeln? Durch das Überschreiten der Drehfähigkeit eines plastischen Gelenks? Vergleichsberechnungen haben ge­zeigt, daß im allgemeinen, bei Beachtung üblicher Konstruktionsregeln, das Überschreiten der Drehfähigkeit eines plastischen Gelenks an der Einspannung eines Stiels oder einer Wandscheibe in den Unterbau für das Versagen einer Stahlbetonkonstruktion unter Erdbebenbeanspruchung maßgebend ist. Diese Fest­stellung soll als Versagenskriterium in die weiteren Überlegungen eingehen.

Das Überschreiten der Drehfähigkeit plastischer Gelenke als Kriterium fü"r das Erreichen des rechnerischen Versagenszustandes erweist sich auch für die praktische Anwendung in doppelter Hinsicht als vorteilhaft. Zum einen läßt sich dies Kriterium, wenn man einige Vereinfachungen einführt, mit Hilfe der Querschnittszähigkeitsfak'toren 'Q der kriti sehen Querschnitte ausdrUcken. Diese nun kann man verhältnism'äßig einfach ermitteln und in andere Arten von

Zähigkeitsfaktoren - etwa in Systemzähigkeitsfaktoren - überführen. Zum an­deren bietet die plastische Drehfähigkeit, bzw. der Querschnittszähigkeits­faktor als Parameter den Vorteil, auf einfache Art mit Konstruktionsdetails

- insbesondere mit Details der Bügelbewehrung - in Zusammenhang gebracht wer­den zu kö'nnen. Bekanntlich kann mit spezieller, versta."rkter Bllgelbewehrung, die eine Umschnürungswirkung erzeugt, die plastische Verformbarkeit von Stahlbetonbauteilen stark angehoben werden. Die dadurch erzielte, hohe pla­stische Verformbarkeit l'iißt sich in hohe Verhaltensfaktoren, d.h. in eine starke rechnerische Abminderung der Erdbebenlast umsetzen.

So kann man durch Einführung unterschiedlicher Tahigkeitsklassen, denen un­terschiedliche Verhaltensfaktoren entsprechen, eine wirtschaftlich optimale Erdbebensicherung erzielen. Ist der Lastfall Erdbeben maßgebend für die Be­messung, kann es wirtschaftlich vorteilhaft sein, durch spezielle konstruk­tive Maßnahmen die Bedingungen für die Einführung hoher Verhaltensfaktoren zu schaffen, Ist der Lastfall Erdbeben hingegen nicht maßgebend fü'r die Be­messung, kann es vorteilhaft sein, sich weitgehend auf die Anwendung der üb­lichen Konstruktionsregeln des Stahlbetonbaues zu beschränken und mit niede­reren Verhaltensfaktoren zu rechnen. Dies wird in der Regel in schwach seis­mischen Gebieten - d.h. u.a. im Großteil der deutschen Erdbebengebiete -der Fall sein. Die folgenden Ausführungen werden daher vorrangig auf diesen Fall eingehen.

Ziel der Untersuchungen ist die Bestimmung von Verhaltensfaktoren für ver­

schiedene Bauwerkstypen: für Bauwerke, die sich auf einen Einmassenschwinger

zurückführen lassen- i.a. Eingeschoßbauten-für Mehrgeschoß-Wandscheiben­bauten und für Mehrgeschoß-Skelettbauten. Grundsätzliches zur Vergehensweise wird im Bild 1 für den elasta-plastischen Einmassenschwinger angegeben. Zu­

nächst werden für ein System mit gegebener Plastfizierungslast Fy erfor­derliche Zähigkeitsfaktoren " aus Zeitverlaufberechnungen für eine Reihe von Erdbeben ermittelt. Dann werden für das elastische System Erdbebenlasten FEo mittels der Beschleunigungsspektralwerte Sa bestimmt. Geht man wei­terhin von einer Bemessung des plastlfizierenden Systems mit dem Sicherheits­

faktor u = 1 aus, ergeben sich die Verhaltensfaktoren q als Quotient zwi­schen elastischer Erdbebenlast und Plastifizierungslast. Anschließend werden Beziehungen zwischen den so für die gleichen Beben ermittelten Zähigkeits­und Verhaltensfaktoren aufgestellt. Diese bilden zusammen mit dem Versagens­kriterium ein Gleichungssystem, aus dem sich Zahlenwerte des Verhaltensfak­

tors in Abhängigkeit von den konstruktiven Eigenschaften des Systems berech­nen lassen.

Das Bild 2 soll typische Aspekte der Beziehung zwischen Zähigkeits- und Ver­haltensfaktoren verdeutlichen. Im Bild 2a werden Beschleunigungs-Antwortspek­tren zweier Reg istrierungen eines Bebens und im Bild 2b die zugehörigen Zä­

higkeitsfaktoren in Abhängigkeit vom Verhaltensfaktor für Einmassenschwinger mit den Schwingzeiten T = 0,2 s, T = 0,4 s und T = 0,8 s dargestellt. Man erkennt eine stark ausgeprägte Frequenzabhängigkeit der Beziehung zwischen Zähigkeits-und Verhaltensfaktoren. Die Kurve für T = 0,2 s steigt steil an, die Kurven für größere Schwingzeiten verlaufen viel flacher. zur ·oeutung sei

daran erinnert, daß ein elastisches System durch die Plastifizierung weicher wird, seine Schwingzeit zunimmt. Liegt diese im Bereich des ansteigenden

Astes der Spektralkurve - im Bild bei T = 0,2 s - nimmt damit auch die Bean­spruchung zu und es kommt zu einem weiteren Anwachsen der plastischen Ver­formung, mit hohen Werten des Zähigkeitsfaktors. Liegt die Schwingzeit hin­

gegen im Bereich des abfallenden Astes der Spektralkurve - im Bild bei T = 0,4 s und T = 0,8 s - führt die Plastfizierung zu einer Abnahme der Erd­bebenbeanspruchung, die Kurven fallen viel flacher aus, Zähigkeitstaktor und Verhaltensfaktor sind zahlenmäßig ungefähr gleich. So zeichnen sich zwei we­sentlich unterschiedliche Bereiche ab.

97

98

Statistische Auswertungen der für eine große Anzahl von Beben berechneten Zanigkeits- und Verhaltensfaktoren von Einmassenschwingern haben zu den im Bild 3 dargestellten Näherungsbeziehungen zwischen D und q für die beiden Bereiche geführt, die hier als Acceleration bzw. Velocity Region bezeichnet werden. Dabei wurde auch das Dämpfungsmaß als Parameter berUcksichtigt. Mit unterbrochener Linie wurden die bekannten, einfacheren Näherungsbeziehungen q =Y 2n-l flir den Bereich des ansteigenden Astes der Spektral kurve, und q = D für den Bereich des abfallenden Astes, dargestellt. Bekanntlich ent­spricht die erste der Gleichsetzung der Verformungsenergien von elastischem und inelastischem System, und die zweite der Gleichsetzung der Versc-hiebungen der beiden Systeme. In den im folgenden beschriebenen Untersuchungen fü'r Ein­massensysteme und Mehrmassen-Wandscheibenbauten werden immer auch die beiden genannten F-austformeln~ zum Vergleich mit genaueren Berechnungsergebnissen,

herangezogen.

Den Untersuchungen wurden 10 Beschleunigungszeitverläufe zugrunde gelegt, die als Horizontalkomponenten zu den 5 Erdbebenregistrierungen San Francisco, Golden Gate Park (GG), 22.03.57, Helena, Montana (HE), 31.05,35, Hollister, Northern California (NC); 09,03.49, Oroville, Northern California (OR), 01.08,75, Ferndale, Near Coast of Northern California (FE), 07.05.75 gehören. Diese wurden so gewählt, daß sie nach Magnitude, Intensita"t, Herdtiefe und

Frequenzgehalt ungefähr mitteleuropäischen Verhältnissen entsprechen. Das Bild 4 zeigt Beschleunigungsantwortspektren der jeweils stärksten Komponenten der in (Keintzel 1981) für I = 8 skalierten Erdbebenzeitverläufe.

Verhaltensfaktoren·für Bauwerke, die sich auf einen Einmassenschwinger zuriickfünren 1 assen

Im Bild 5 werden Wertepaare q, D (also Verhaltens- und Z'ahigkeitsfaktor) dargestellt, die für elasta-plastische Einmassenschwinger (EP) mit den Schwingzeiten T = 0,2 s, T = 0,4 s, T = 0,8 s und T = 1,6 sunddie zuvor

genannten Beben in (Keintzel 1981) ermittelt worden sind. Für·kleine Schwing­zeiten liegen die durch Kreuzehen markierten Wertepaare unterhalb oder nur knapp oberhalb der Kurve q = Y2n-l, für größere Schwingzeiten gruppieren sie sich um die Gerad~ q = D· Die große Streuung der Ergebnisse läßt sich auf die Mannigfaltigkeit in der Form der gezeigten Spektren naWrlicher Beben zurückführen, auf die Streuung in der Lage von deren ansteigenden und abfal­lenden Ästen sowie auf die Streuung in der Steilheit des Anstiegs oder Ab­

fa 11 s.

Wird der Verhaltensfaktor als frequenzunabhängige Größe konzipiert, muß seine

Abhängigkeit vom Zähigkeitsfaktor durch eine frequenzunabhängige Beziehung ausgedrückt werden. Dazu kann die Gleichung der in den Diagrammen dargestell­ten Parabel, q ~ Y 2n-l, dienen, mit der man praktisch im gesamten Bereich der Grunfrequenzen üblicher Hochbauten auf der sicheren Seiten liegt. Es wird

für das folgende vereinbart, diese Gleichung als Beziehung zwischen Zähig­keits- und Verhaltensfaktoren von Einmassenschwingern weiteren Betrachtungen zugrunde zu legen. Auf Sonderprobleme bei Bauten mit sehr kleinen Schwing­zeiten soll hier nicht eingegangen werden.

Da Stahlbetonbauten bei zyklischer Verformung mit großer Amplitude einen

Steifigkeitsabfall erleiden, wurde auch der Einfluß dieser Erscheinung auf die Beziehung zwischen Zähigkeitsfaktor und Verhaltensfaktor untersucht. Im Bild 6 werden für elasta-plastische Einmassenschwinger (EP) ermittelte Er­gebnisse mit solchen verglichen, die für ein System mit Steifigkeitsabfall

(SA) nach einem vereinfachten Takedamode 11 erhalten worden sind. Der Ver­gleich zeigt, daß die mit Steifigkeitsabfall ermittelten Zähigkeitsfaktoren bald etwas über, bald etwas unter den für das elasta-plastische System be­rechneten Werten liegen, daß dies aber für die vereinbarte, auf der sicheren Seite liegende Beziehung zwischen Zähigkeits- und Verhaltensfaktoren ohne Bedeutung ist.

Von etwas größerer Bedeutung kann eine unrichtige Einschätzung der viskosen Dämpfung sein. Bild 7 zeigt Beziehungen zwischen Verhaltens- und Zähigkeits­faktoren, die sich für Systeme ergeben, die unter der Annahme einer viskosen Dämpfung von 5% bemessen worden sind.

Dabei werden zwei Fälle miteinander verglichen:

der Fall, daß die viskose Dämpfung tatsächlich 5% beträgt und

der Fall, daß die viskose Dämpfung in Wirklichkeit nur 2% beträgt.

Die im zweiten Fall eintretende Vergrößerung des erforderlichen Zähig­

keitsfaktors ist zwar hier nicht allzu bedeutend, kann aber für noch kleinere Werte der tatsächlichen viskosen Dämpfung wichtig werden. So ge­

winnt die Frage an Bedeutung, was unter der 11 tatsächlichen 11 viskosen

Dämpfung eines Systems mit großen plastischen Verformungen zu verstehen ist, und welche globalen Werte man bei Stahlbetonbauten dafür einsetzen

sollte.

99

100

Schließlich sei noch ein bewußt herbeigeführter Effekt genannt, der die

Aufgabe hat, auf der unsicheren Seite liegenden Einschätzungen oder Ver­einfachungen teilweise auszugleichen. In EUROCODE 8 wird das normierte

elastische Antwortspektrum für praktische Anwendungen wie in Bild 8 durch

ein normiertes elastisches Bemessungsspektrum ersetzt~ bei dem die Neigung des abfallenden Astes abgemindert, dieser also mit wachsender Schwingzeit

zunehmend überhöht wird. Als Ergebnis erhält man bei gegebenem, auf das

Bemessungsspektrum bezogenen Verhaltensfaktor für größere Schwingzeiten

kleinere erforderliche Zähigkeitsfaktoren (Bild 9).

Verhaltensfaktoren für Hehrgeschoß-Wandscheibenbauten

Nach den für Einmassenschwinger angestellten Untersuchungen folgen einige

Überlegungen zu Hehrgeschoß-Wandscheibenbauten. Es wird vorausgesetzt, daß die Bauwerke durch schlanke Wandscheiben mit vorherrschenden Biegever­

formungen ausgesteift sind, und daß sie sich auf einen in die Gründung

eingespannten Kragträger zurückführen lassen. An diesem sind die Geschoß­

massen mittig befestigt.

Das Bild 10 zeigt vergleichsweise Wertepaare q, n. die für den Einmas­

senschwinger und für Hehrgeschoß-Wandscheibenbauten mit 5, mit 10 und mit

20 Geschoßmassen in (Keintzel 1981, Keintzel 1984) ermittelt worden sind.

Der Verhaltensfaktor q wird hierbei vereinfachend als Verhältnis zwischen elastischem Einspannungsmoment aus der Grundschwingung und Plastifizie­

rungsmoment angesetzt. Der Zähigkeitsfaktor n wird als Systemzähigkeits­faktor der Horizontalverschiebung der obersten Masse zugeordnet. Es werden

wieder Systeme mit den Grundschwingzeiten T1 = 0,2 s, T1 = 0,4 s, T1 = 0,8 s und T1 = 1,6 s betrachtet. Man erkennt, daß bei Grund­

schwingzeiten von T1 = 0,2 s und T1 = 0,4 s der erforderliche Zähig­

keitsfaktor des Mehrgeschoßbauwerks durchwegs niedriger ist als der des

Einmassenschwingers. Bei Grundschwingzeiten von T1 = 0,8 s und T1 = 1,6 s

hingegen, liegen die Verhältnisse umgekehrt. Zur Deutung wird auf den Einfluß

höherer Schwingungsformen beim Mehrmassensystem hingewiesen. Bei kleiner

Grundschwingzeit, die im Bereich des ansteigenden Astes der Spektralkurve

liegt, entsprechen den Oberschwingungen kleinere Spektralwerte als der Grund­schwingung. Als Folge ergeben sich niedrigere Zähigkeitsfaktoren als beim

Einmassenschwinger. Bei großer Grundschwingzeit, im Bereich des abfallenden

Astes der Spektralkurve hingegen, sind die Spektralwerte der Oberschwingungen

größer als die der Grundschwingung. Die Folge sind höhere Zähigkeitsfaktoren

als beim Einmassenschwinger. Nun liegen die für Mehrmassensysteme ermittelten

Zähigkeitsfaktoren nur in wenigen Fällen, bei hohen Grundschwingzeiten, über

den für den Einmassenschwinger vereinbarten, durch die Parabel q ~ Yz~-1 angegebenen Werten. Bei solch hohen Grundschwingzeiten jedoch erlaubt die

zuvor gezeigte Oberhöhung des abfallenden Astes des Bemessungspektrums eine

entsprechende Abminderung der erforderlichen Zähigkeitsfaktoren. So läßt sich

die für Einmassenschwinger vereinbarte Beziehung zwischen Verhaltens- und

Zähigkeitsfaktoren auf der sicheren Seite liegend auch auf Mehrgeschoß-Wand­scheibenbauten übertragen.

Ein Beispiel soll das weitere Vorgehen bei der Bestimmmung von Verhaltens­

faktoren veranschaulichen. Bei Wandscheiben mit Doppel-T-Querschnitt hängt

der Querschnittszähigkeitsfaktor wesentlich vom Verhältnis y zwischen

Flansch- und Stegfläche ab. Im ungünstigsten Fall, bei der Wandscheibe mit Rechteckquerschnitt, ist y = 0. In diesem Fall, und bei einer bezogenen

Normalkraft von ungefähr n • -D,25 ergibt sich aus (Müller und Keintzel 1984), Bild 7.24, ein Querschnittszähigkeitsfaktor von ungefähr "o • 3,0.

Im Bild 11 ist die bekannte Beziehung zwischen Querschnittszähigkeitsfaktor

"O und Systemzähigkeitsfaktor "s für den Kragträger mit einer Einzellast am freien Ende in einem Diagramm dargestellt. Die in Bild 10 dargestellten

Systemzähigkeitsfaktoren für Mehrgeschoß-Wandscheibenbauten wurden so defi­niert, daß für sie die gleiche Beziehung gilt. Nutzt man diese Eigenschaft

für das gewählte Beispiel und setzt die Plastifizierungslänge an der Einspan­

nung der Wandscheiben in den Unterbau zu 1/6 der Bauwerkshöhe an, ergibt sich

aus dem Diagramm bei einem Querschnittszähigkeitsfaktor 3 ein Systemzähig­

keitsfaktor 1,9. Damit erhält man für den Verhaltensfaktor

q • ~ • Y2•l ,9-1 • 1,67. Man erkennt, daß sich für Wandscheiben­bauten ohne Sondermaßnahmen zur Erhöhung der Zähigkeit - also für die Zähig­

keitsklasse I - Verhaltensfaktoren von der Größenordnung q • 1,5 ergeben.

Schreibt man hingegen Sondermaßnahmen zur Erhöhung der Zähigkeit vor - etwa Mindestabmessungen von Flanschen oder pfeilerartige Randverstärkungen - las­

sen sich mindestens doppelt so hohe Verhaltensfaktoren verantworten.

101

102

Verhaltensfaktoren für Mehrgeschoß-Skelettbauten

Der Untersuchung von Verhaltensfaktoren bei Skelettbauten wurden Berechnungs­

ergebnisse aus (Hoeflich 1983) zugrunde gelegt. Dort werden u.a. Rahmen mit

3, mit 5 und mit 10 Geschossen gemäß Bild 12 nach OIN 4149 bemessen und dann

Stabendzähigkeitsfaktoren n , d.h. auf die Stabenddrehwinkel T bezo-T

gene Zähigkeitsfaktoren (vgl. (Müller und Keintzel 1984), S. 126) für drei

natürliche Beben -ein mittelstarkes, ein starkes und ein sehr starkes -er­

mittelt. Weiterhin wird ein Parameter 6 variiert -das Verhältnis der pro Knoten berechneten Summen reduzierter Stiel- und Riegelplastifizierungsmo­

rnente. Dabei wird unter reduziertem Plastifizierungsmoment M1y der für die Aufnahme von Erdbebenbeanspruchungen verfügbare Anteil des Plastifizierungs­

momentes My verstanden (MY" Mvertikallast + M'y>·

In Bild 13 werden Beispiele für die in (Hoeflich 1983) für Rahmen mit 3, 5 und 10 Geschossen und verschiedenen Werten von & ermittelten Zähigkeits­

faktoren für Riegel, Außenstiel und Innenstiel angegeben. Oie größten, für

die weitere Betrachtung maßgebenden Zähigkeitsfaktoren erhält man für die

Einspannung des Innenstiels in den Unterbau. Sie sind näherungsweise umge­

kehrt proportional zum Parameter&. Das Bild 14 zeigt solche für den Innen­stiel ermittelte Stabendzähigkeitsfaktoren für die in (Hoeflich 1983) unter­

suchten Rahmen in Abhängigkeit vom Verhältnis q/&. Mit 3 Rahmentypen, je·­

weils 5 Werten von & und 3 Erdbeben stellt das eine Zusammenfassung der

wichtigsten Ergebnisse von 45 nichtlinearen Zeitverlaufberechnungen für Rah­

men dar. Der Verhaltensfaktor q wird hierbei als Verhältnis zwischen elasti­schem Spektralwert Sa für die Grundschwingzeit des Rahmens und dem ent­

sprechenden Spektralwert Sad nach OIN 4149 angesetzt. Oie Zunahme des er­forderlichen Zähigkeitsfaktors mitder Geschoßanzahl N ist dadurch bedingt,

daß bei üblicher Querschnittsbemessung nach OIN 4149 - d.h. Begrenzung der bezogenen Normalkraft in den Stielen, Mindestbewehrungsgrad und daraus fol­

gende konstruktive Stielbewehrung- der Parameter & ebenfalls mit N wächst.

Im Bild 15 wurde in die Abszissenwerte der Einfluß der Überhöhung des abfal­

lenden Astes im Bemessungsspektrum und in die Ordinatenwerte die Geschoßan­

zahl N eingearbeitet. ~ür die Beziehung zwischen Verhaltens- und Zähigkeits­taktor wird eine Näherungsformel vorgeschlagen, der im Diagramm eine Gerade

entspricht. Es sei darauf hingewiesen, daß diese Formel nur innerhalb der

genannten Voraussetzungen ihrer Herleitung (Bemessung nach DIN 4149) gilt, also eher beispielhaften als allgemeingültigen Charakter hat.

Zur Veranschaulichung soll der zulässige Verhaltensfaktor eines 10-Ge­schoß-Rahmens ermittelt werden. Für eine bezogene Normalkraft n = -0,30

ergibt sich, wenn keine konstruktiven Maßnahmen zur Erhöhung der Zähigkeit vorgesehen werden, nach (Müller und Keintzel 19B4), Bild 7.18 ein Quer­

schnittszähigkeitsfaktor von ungefähr "o = 2,0. Nimmt man die Länge des Stieles zu 1 = 3,5 m und die Plastifizierungslänge zu lp = 0,&0 man, er­gibt sich der Stabendzähigkeitsfaktor zu

n = T

~ - &•0,60 • 1 (n0-l) - 1 • 3, 50 (2,0-1) = 2,0.

Mit einem vorsichtigen Wert & = 3,0 führt dann die Näherungsformel aus Bild 15 zum Verhaltensfaktor

4 6n 0 q = __ T = 4•3, •2,0 = 2 4 N 10 ' .

Werden konstruktive Maßnahmen zur Erhöhung der Zähigkeit vorgesehen - wie etwa eine spezielle Bügelbewehrung - läßt sich dieser Wert wesentlich erhöhen.

Vergleich mit Normwerten

Abschließend sollen noch die hier in einfachen Beispielen ermittelten Verhaltensfaktoren mit Werten aus der Literatur verglichen werden. Dazu

wird der CEB-Normvorschlag (CEB 1985) herangezogen, der eine Einteilung der Bauwerke nach Zähigkeitsklassen enthält. Zur Zähigkeitsklasse I gehö­ren Bauten ohne Sondermaßnahmen zur Erhöhung der Zähigkeit, wie sie auch in den hier gezeigten Beispielen vorausgesetzt werden. Für Skelettbauten dieser Art wird in der CEB-Norm ein Verhaltensfaktor q = 2,0 angegeben. Für Wandscheiben mit öffnungsreihen bei denen es, ähnlich wie bei Rahmen, zu Plastifizierungen in Riegeln und Stielen kommt, gilt ebenfalls q = 2,0. Für Wandscheiben ohne öffnungsreihen, die nur an der Einspannung in den Unterbau plastifizieren, wird dieser Wert mit dem Faktor 0,7, also auf q = 1,4 abgemindert. Der Vergleich zeigt, daß beide Verhaltensfaktoren der CEB-Norm, sowohl der für Skelettbauten als auch der für Wandscheiben-

103

104

bauten, näherungsweise den hier in Beispielen ermittelten Werten entspre­chen. In DIN 4149, Ausgabe 1981, wird keine Differenzierung nach Bauwerks­

typen vorgenommen. Der dort angesetzte, globale Wert q = 1,8 liegt zwi­schen den von CES für Rahmen und Wandscheiben vorgeschlagenen Werten, und

damit größenordnungsmäßig im gleichen Bereich.

So b.ietet die hier vorgestellte Studie, was die Größenordnung von Verhal­

tensfaktoren betrifft, keine großen Überraschungen. Sie stellt jedoch

einen Versuch dar, die in älteren Normen nur grob geschätzte Abminderung

von Erdbebenlasten in EUROCODE 8 im einzelnen durchschaubar und nachvoll­

ziehbar zu machen. Dadurch soll die Möglichkeit geschaffen werden, neue Erkenntnisse laufend einzuarbeiten und so eine ständig verbesserte Zuord­

nung zwischen Bauwerkstypen, Konstruktionsdetails und der Größenordnung

vertretbarer Verhaltensfaktoren herzustellen.

Schrifttum

Eibl, J., Keintzel, E. (1986): Estimation of Behaviour Factors for Rein­

forced Concrete Structures, Based an Ductility Considerations. Institut für Massivbau und Baustofftechnologie, Universität Karlsruhe

Keintzel, E. (1981): Zähigkeitskriterien für Stahlbetonhochbauten in

deutschen Erdbebengebieten. Dissertation, Karlsruhe

Keintzel, E. (1984): Ductility Requirements for Shear Wall Structures in

Seismic Areas. 8th World Conference on Earthquake Engineering, San

Francisco

Hoeflich, S.G. (1983): Nichtlineares Verhalten von Stahlbetonbauten unter

Erdbebenbelastung. Dissertation, Karlsruhe

Müller, F.P., Keintzel, E. (1984): Erdbebensicherung von Hochbauten.

Ernst & Sohn, Berlin

CEB (1985): CEB Model Code for Seismic Design of Concrete Structures.

Bulletin d'Information No 1659 Lausanne

Zähigkeitstaktoren und

Verhaltensfaktoren

Einmassenschwinger

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Uy Uu U

Zähigkeitsfoktor: ~ = mox I ultll u, Erdbebenlost elastisch:

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Verholtensfoktor: q = ~Eo y

Versogenskriterium: ~ ~ ~ Uy

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Bild 1. Bestimmung von Zähigkeits- und Verhaltensfaktoren

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Bild 2. Beziehung zwischen Zähigkeits- und Verhaltensfaktoren. a) Beschleu­nigungs-Antsortwpektren. b) Zähigkeitsfaktoren in Abhängigkeit von Verhal­

tensfaktoren

105

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Bild 3. Näherungsbeziehungen zwischen Zä­higkeits- und Verhaltensfaktoren

Bild 4. Beschleunigungs-Antwortspektren der verwendeten Beben

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Bild 5. Zähigkeits-und Verhaltensfaktoren für elasta-plastische

Einmassenschwinger.

107

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Bild 6. Zähigkeits- und Verhaltensfaktoren für Einmassenschwinger. Einfluß des Steifigkeitsabfalls.

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Bild 7. Zähigkeits- und Verhaltensfaktor für Einmassenschwinger. Einfluß des Dämpfungsgrades

110

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Normiertes elastisches Antwortspektrum --- Normiertes elastisches Bemessungsspektrum

Bild 8. Normiertes elastisches Bemes­sungsspektrum

Bi 1 d 9. Zähigkeits- und Verhaltensfakto­ren bei Verwendung von Bemes­sungsspektren

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Bild 10. Zähigkeits-und Verhaltensfaktoren für Mehrgeschoß-Wandscheiben­

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111

112

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Bild 11.

Querschnitts- und Systemzähig­keitsfaktoren für Kragträger

Bild 12.

Untersuchte Mehrgeschoßrahmen

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Bild 13. Stabendzähigkeitsfaktoren für Rahmen mit 3, 5 und 10 Geschossen

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Bild 14.

Stabendzähigkeitsfaktoren und Verhaltensfaktoren rur Mehrge­schoßrahmen

Bild 15.

Näherungsbeziehung zwischen Zä­higkeits- und Verhaltensfaktoren bei Mehrgeschoßrahmen

115

Experimenteller Nachweis einer semi-aktiven Schwingungskontrolle von erdbebenbelasteten Strukturen

GERHARD HIRSCH und ALBERT KLEINE-TEBBE

1. Einleitung

Die Erdbebengefährdung eines Bauwerks bzw. einer Struktur läßt sich auf die Ü­berlagerung dreier Faktoren zurückführen, nämlich auf die Seismizität des Ge­bietes, auf den Einfluß des jeweils anstehenden Baugrundes und auf die dynami­schen Eigenschaften (Eigenfrequenzen, Schwingungsformen und strukturelle Däm­pfung) der Struktur.

Die eigentliche Erdbebenbelastung der Struktur erfolgt durch die infolge Erdbe­wegung bzw. deren Beschleunigung erregten Massenträgheitskräfte. Sie stellt im Ereignisfall einen transienten Vorgang dar. Nach einer Einwirkungszeit von we­niger als einer Minute schwingt das kurzzeitig angeregte Bauwerk mit seinen ge­dämpften Eigenschwingungen aus. Auch im Zeitbereich der Erdbebeneinwirkung re­agieren Bauwerke und deren Komponenten sowie die ein- bzw. angebauten Einrich­tungen (Anlagen, Maschinen usw.) im wesentlichen im Takte von Eigenschwingungen, wobei die Grundschwingungszeit und die zugehörige Schwingungsform eine entschei­dende Rolle spielen können.

Zur Beurteilung des Verhaltens von Bauwerken unter Erdbebeneinfluß wird allge­mein das Beschleunigungs-Antwortspektrum {von Einffi/üssenschwingern als modalen Ersatzsystemen für die angesprochnenen Eigenfrequenzen) herangezogen. Es wird im vorliegenden Beitrag zunächst gezeigt, daß hinsichtlich der dynamischen Be­anspruchung des Tragwerks die Verwendung des Geschwindigkeits-Spektrums beson­ders aufschlußreich sein kann.

Hinsichtlich einer erdhebensicheren Auslegung von tragenden Strukturen gegenü­ber Erdbebenbelastungen werden im allgemeinen konstruktive Ideen umgesetzt. Da­neben wird in ständig zunehmendem Maße versucht, auch auf dem Wege einer Schwin­gungsKontrolle (passiv, aktiv bzw. semi-aktiv) die dynamische Antwort von Bau­werken auf das erträgliche Maß herabzusetzen. Zur Abminderung der dynamischen Windwirkung werden seit längerer Zeit vor allem passive, d.h. selbststeuernde Hilfen auch im Bauwesen eingesetzt. Aktive Kontrollmaßnahmen wurden bisher nur sehr selten eingesetzt. Einen kritischen Vergleich zwischen passiven und akti­ven Dämpfungssystemen zur UnterdrUckung winderregter Schwingungen zieht 11 Hirsch 1980, 111 11

• Bei transi enten Vorgängen sind passive Maßnahmen nicht geeignet, um die Größtwerte der dynamischen Antwort wirksam herabzusetzen. Es werden daher von einer Reihe von Autoren aktive Maßnahmen vorgeschlagen, aber praktische Er­fahrungen liegen für den Erdbebenlastfall bisher nicht vor.

Im Rahmen des Referates wird über eine Möglichkeit zur Erdbebenkontrolle be­richtet, die den semi-aktiven Methoden zuzurechnen ist. Im Vordergrund steht dabei der experimentelle Nachweis der Kontrollmaßnahme, die grundsätzlich auf

Akad.Oberrat D1pl .-Ing. Gerhard H1rsch, Imst1tut für Le1chtbau, RWIH Aachen, Wüllnerstrasse 7, 5100 Aachen Dr.-Ing. Albert Kleine-Tebbe, BBC HRB Hochtemperatur-Reaktorbau GmbH, Postfach, 5170 Jülich

116

dem Einsatz von Gegenschwingern, d.h. optimal abgestimmten ZUsatzsystemen be­ruht. Sie werden allerdings in Verbindung mit einer entsprechend optimierten Basis-Isolierung eingesetzt. Der experimentelle Nachweis der Kontrollmaßnahme erfolgte mittels Laborversuchen und unter Einsatz des Erdbeben-Simulators SAM­SON der HRB Hochtemperatur-Reaktorbau GmbH, Jülich. Aufgrund der ersten Ver­suchsergebnis~:e lassen sich bereits Möglichkeiten für eine wirtschaftliche Kon­trolle der erdbebenerregten Schwingungen von Baukonstruktionen aufzeigen.

2. ~rdbebenbelastung von Baukonstruktionen

Bevor über die Kontrolle der erdbebenerregten Schwingungen von Baukonstruktio­nen gesprochen werden kann, muß der Mechanismus der seismischen Belastung der tragenden Struktur dargelegt werden. Im allgemeinen wird die dynamische Antwort von Bauwerken für den Lastfall Erdbeben unter Zuhilfenahme von Beschleunigungs­Antwort-Spektren gefunden. In diesem Zusammenhang ist zunächst festzustellen, daß Antwort-Spektren lediglich dazu geeignet sind, eine Identifizierung der sig­nifikant erregten Eigenschwingungen des Bauwerks vorzunehmen. Es ist zwar mög­lich, für jede Eigenfrequenz und die zugehörige Strukturdämpfung die maximalen Antwortwerte, wie z.B. Beschleunigungen, Geschwindigkeiten, Verformungen, Be­anspruchungen usw. an den verschiedenen Stellen der Struktur zu definieren, a­ber es ist keine Information darüber zu erhalten, wie die Maxima der verschie­denen Eigenformen zu überlagern sind: ihre Phasenverhältnisse sind bei der Er­mittlung der Antworten verloren gegangen.

Im Hinblick auf die Behandlung von Kontrollmaßnahmen ist das Geschwindigkeits­Antwort-Spektrum von besonderer Aussagekraft. Nach Gasch, 1968 121 stellt die Schwing-Geschwindigkeit einer Struktur, die aus balkenartigen Elementen aufge­baut ist, ein Maß für die mit den (Eigen-) Schwingungen verbundenen dynami­schen Beanspruchungen dar. Im Falle eines Erdbebens werden Eigenformen ange­regt und hinsichtlich der dynamischen Beanspruchung des Tragwerks des Bauwerks ist die relative Schwing-Geschwindigkeit maßgebend.

Die dynamische maximale Beanspruchung ist mit der maximalen (relativen) Schwing­geschwi ndi gkeit v(max) wie folgt verknUpft:

6"(max) K· ~ E(dynl·S '·l G(ges)/G(Balken) 1

• v(max) (l)

mit E(dyn) als dynamischem Elastizitätsmodul und$ als Dichte des Werkstoffs, G(ges) als Gesamtgewicht und G(Balken) als Gewicht des Balkens (Tragwerks), auf die Länge bezogen sowie K als Beiwert, der von der Geometrie der Balken sowie den Einspannbedingungen abhängt.

Die Schwing-Geschwindigkeit der Verformungen im Erdbebenfall kann für jeden Eigenwert "i" anhand des Antwort-Spektrums ermittelt werden. Die maximale Ge­schwindigkeit stellt sich wie folgt dar:

v ( max) = ( b/ Go)i ) • S ( i ) · ß( i ) (2)

mit b als maximale Fußpunktbeschleunigung (Eingangsgröße), ~. als Eigenkreis­frequenz der i-ten Mode, wobei im allgemeinen der Grundton ang~sprochen ist, S(i) als zugehöriger spektraler Geschwindigkeits-Antwort-Wert und ß(i) als Mo­dalfaktor, abhängig von der Schwingungsform und der l~assenbe l egung.

Führt mann die Formel für die Biegeeigenfrequenz des Balkens in die obigen Gleichungen ein und löst man nach einer Umformung unter Vorgabe einer zulässi­gen (Biege-) Beanspruchung 61zul) nach der zulässigen, d.h. erträglichen Ein­gangs-Beschleunigung b(zul) auf, so ergibt sich eine zur Diskussion von Kon­trollmaßnahmen grundlegende Beziehung:

G"fzul)

117

b(zul) · Ki · (r/H') · (3) S S(il·P'il·f

mit r als Trägheitsradius des tragenden Balken-Querschnitts, K. als Konstante, durch die sämtliche Beiwerte der o.g. Gleichungen zusammengefa~t werden, H als Bauwerkshöhe und yv als Massenfaktor gemäß Gleichung (1 ).

Es zeigt sich zunächst, daß die erträgliche Fußpunkt-Beschleunigung in erster Linie von dem Baustoff-Kennwert 6""( zul )/J' abhängt. Daraus ist zu fo 1 gern, daß im Lastfall Erdbeben Bauwerke besonders gefährdet sind, wenn der verwendete Bau­stoff bei einer relativ geringen zulässigen (statischen) Beanspruchung eine re­lativ große Eigenmasse aufweist. Nachfolgend sind einige Werte für verschiede­ne Baustoffe zusammengestellt.

Ziegelmauerwerk: 1,1 • 10' m'!s' Stahlbeton: 4,0 10' m'!s' Holz: 18,0. 10' m'!s' Stahl: 18,0 10' m'!s' GFK: 36,0 . 10' m'!s' KFK: 70,0 10' m'!s'

Die Tabelle zeigt die vergleichsweise extrem unterschiedlichen Erdbeben-Trag­fähigkeiten. Es ist einleuchtend, daß aus dieser Sicht Holz- und Stahlkonstruk­tionen im Erdbebenfall erheblich widerstandsfähiger sind, als solche aus Mau­erwerk bzw. auch aus Stahlbeton. Bemerkenswert ist die extrem große Tragfähig­keit von Faser-Verbundwerkstoffen (Glasfaser: GFK bzw. Kohlefaser: KFK).

Außerdem ist erkennbar, daß zusätzliche Massen im Erdbebenfall zu einer zusätz­lichen dynamischen Belastung führen, es ei denn, daß infolge der damit verbun­denen Absenkung der Bauwerkseigenfrequenz der spektrale Antwortwert (S(i)) ab­nimmt. Ein typisches Geschwindigkeits-Antwort-Spektrum ist in Bild 1 darge­stellt.

Der spektrale Antwortwert S(i) wird auch von der Struktur-Dämpfung beeinflußt. Eine Erhöhung der Struktur-Dämpfung stellt somit ebenfalls eine Möglichkeit zur Kontrolle der dynamischen Antwort dar.

3. Abminderung erdbebenerregter Schwingungen durch Kontrollmaßnahmen

Unter Kontrollmaßnahmen seien hier alle passiven und aktiven Maßnahmen der Schwingungstechnik verstanden, mit deren Hilfe eine Verformungskontrolle von Baukonstruktionen unter Erdbebenbelastung zu erzielen ist. Einerseits kann die Struktur-Dämpfung erhöht werden und andererseits die Antwort durch eine Basis-Isolierung bzw. den Einsatz von Gegenschwingern (passiv bzw. aktiv) herabgemindert werden.

Sowohl passive als auch akktive Schwingungs-Kontrollen finden wir seit län­gerem im Maschinenbau, wobei die elastische Aufstellung (Schwingungs-Isolie­rung) und der Dynamische Schwingungsdämpfer nach Den Hartog, 1952 [3[ beson­ders hervorzuheben sind. In zunehmendem Maße finden sich derartige Hilfen auch im Flugzeugbau. Hierbei ist auch die aktive Unterdrückung des Flatterns von Flugzeug-Tragflächen erwähnenswert. Nach Sensburg, Becker und Hänlinger, 1979 141 können derartige Hilfen auch im Hinblick auf die UnterdrUckung des Brücken-Flatterns eingesetzt werden.

118

Im Bauwesen finden schwingungstechnische Kontrollmaßnahmen nur sehr zögernd Eingang. Das ist im wesentlichen darauf zurückzuführen, daß wartungserforder­liche Bauteile, wie sie in den Kontrolleinrichtungen zu finden sind, im Zu­sammenhang mit Bauwerken im allgemeinen abgelehnt werden. Es sind hier immer noch Vorbehalte, die sich aus der Sicherheits-Philosophie des Bauingenieurs ergeben, auszuräumen.

Einen Überblick über die Entwicklung von passiven und aktiven Maßnahmen zur Herabminderung von Schwingungen im Bauwesen vermitteln die Proceedings der Structural Control Symposien , herausgegeben von Leipholz, 1g79 151 und 1987 161. Über Kontrollmaßnahmen im Lastfall Erdbeben wird außerdem berichtet in den Proceedings EAEE,l986 171 und SM!iRT, 1985 !BI.

3.1 Passive Kontrollmaßnahmen

Im Hinblick auf passive Maßnahmen ist zunächst die Erhöhung der Strukturdämp­fung durch zusätzliche, meist viskoelastische Komponenten des Tragwerks, zu er­wähnen. Dem Thema Schwingungsdämpfung war die Tagung des VDI, 1987 191 gewid­met. Ein herausragendes Beispiel stellen die 2 x 10 000 Dämpfer-Elemente dar, die im Hinblick auf die Abminderung winderregter Schwingungen in den 400 m ho­hen Türmen des World Trade Center in New York angeordnet sind. Pocanschi, 1984 1101 stellte momentbegrenzende und dämpfende Anschlüsse hinsichtlich der Kon­trolle von Erdbebenbeanspruchungen vor.

Dämpfungselemente werden auch in Verbindung mit der Basis-Isolierung eingesetzt. Entsprechende Vorschläge wurden u.a. von Kelly, 1980 111 I und Hüffmann mit Ju­rukowski, Mamuchewski und Winkler, 1986 1121 gemacht. Mit Hilfe der Basis-Iso­lierung wird eine Abminderung der spektralen Antwortgröße S(i) angestrebt. Eio charakterisisches Beispiel ist in Bild 2 wiedergegeben. Es zeigt ein Test-Mo­dell mit einer Gesamtmasse von ca. 30 000 kg auf dem Erdheben-Versuchsstand der Universität in Skopje, Jugoslawien. Bild 3 zeigt einige Zeitverläufe der dyna­mischen Antwort bei fester Aufstellung des Modells sowie mit Basis-Isolierung und unterschiedlicher Dämpfung. Den Tests wurde das Erdbeben von Montenegro, 1979 (Petrovac, N-S-Richtung) zugrunde gelegt. Der Grundton der festen Anord­nung betrug 3,4 Hz, der elastischen Aufstellung o,75 Hz. Durch Viskodämpfer wurde die Strukturdämpfung von l % angehoben auf ca, 10 % (4 Dämpfer) bzw. 20 % ( 8 Dämpfer).

Der Elastizität einer Basis-Isolierung sind Grenzen gesetzt, da mit abnehmen­der Eigenfrequenz der Grundschwingungsform die dynamische Antwort des Bauwerks infolge Windböenbelastung erheblich zunehmen kann. Vorteilhaft aus der Sicht einer optimalen Schwingungs-Kontrolle ist die Möglichkeit, durch eine entspre­chende Abfederung der Basis-Isolierung die dynamische Antwort der Baustruktur in einen Frequenz-Bereich zu verlagern, der mit Hilfe von zusätzlichen Kontroll­maßnahmen, z.B. Gegenschwingern {dynamischen Schwingungsdämpfern) optimal be­ruhigt werden kann. Durch derartige Kombinationen von Einzelmaßnahmen kann die Kontrollaufgabe erweitert werden.

Gegenschwinger haben sich in vielen Fällen zur Beruhigung von winderregten Schwingungen bewährt. Insbesondere die gefährlichen winderregten Querschwingun­gen von zylindrischen schlanken Baukonstruktionen, wie Stahlschornsteinen und Antennenträgern konnten mit Hilfe von solchen Zusatzsystemen wirksam entschärft werden. Einen umfassenden Überblick vermittelt Hirsch, 1986 1131. Im Gegensatz zu den resonanzartigen Querschwingungen im Wind handelt es sich bei der Erdbe­beneinwirkung um einen transienten Vorgang. Bei derartigen Zeitverläufen ist eine wirksame Herabminderung der ersten Amplituden der erdbebenerregten Bewe-

gungen nicht in gleichem Maße möglich. Bild 4 verdeutlicht diese Feststellung. Erst ab etwa der vierten Schwingungs-Perforle tritt ein Abbau der dynamischen Antwort gegenüber dem Fall ohne Gegenschwinger ein.

Im Schrifttum finden sich bezüglich\ des Einsatzes von Gegenschwingern im Erd­beben- Ingenieurwesen widersprüchliche Aussagen, wie von Chowdhury, Iwuchukwu und Garske, 1987 1141 berichtet wird. Eine Erklärung ist möglich. Wird die Einwirkung eines Erdbebens auf eine Struktur als transienter Vorgang aufgefaßt, so ist die Wirkung entsprechend gering, wie weiter oben bereits dargelegt wur­de. Häufig wird jedoch ein Erdbeben von der Wirkung her als unregelmäßiger, stochastischer Vorgang (random) aufgefaßt. Bei derartigen dynamischen Vorgän­gen zeigt ein Gegenschwinger natürlich eine bessere Wirkung, als im transien­ten Fall. Daher ist es im Hinblick auf die Schwingungs-Kontrolle von Erdbeben unerläßlich, sich mit dem tatsächlichen Einzelereignis, d.h. einem transienten Vorgang auseinanderzusetzen. Aber dabei ist der passive Gegenschwinger weniger geeignet.

Es ist daher notwendig, das Zusatzsystem entsprechend zu aktivieren, um mög­lichst schnell die Masse des Gegenschwingers in Gegenphase zum Hauptsystem zu bringen. Im Erdbebenfall wird ja sowohl die Baukonstruktion als auch der evtl. vorhandene Gegenschwinger gleichzeitig durch die Massenträgheitskräfte angeregt. Erst nach einer gewissen Einschwingzeit übernimmt der Gegenschwinger seine eigentliche Aufgabe, nämlich daß er gegen die Hauptmasse schwingt.

Die angesprochene Aktivierung kann voll oder auch halb-aktiver Natur sein. ü­ber voll-aktive Kontroll-Maßnahmen wird nachfolgend berichtet. Die semi-aktive Schwingungs-Kontrolle ist Hauptgegenstand des vorliegenden Beitrages. Darüber wird im nächsten Hauptkapitel referiert.

3.2 Aktive Kontrollmaßnahmen

119

Die ersten grundlegenden Veröffentlichungen über aktive Verformungs-Kontrollen im Bauwesen finden wir in den 70er Jahren. Roorda, 1971 1151, Yao, 1975 1161, Yang und Giannopolis, 1977 1171, Soong, 1978 1181 und Leipholz, 1979 151 berich­teten über vorzugsweise theoretische Untersuchungen. Praktische Erfahrungen konnten bisher, bis auf wenige Fälle, nicht vorgestellt werden. Ein aktiver me­chanischer Schwingungsdämpfer (Gegenschwinger) wurde erstmalig im 278m hohen Citicorp Center in New York eingesetzt, worüber Petersen, 1979 1191 berichtete.

Die Masse des aktiven Dämpfers beträgt 400 000 kg (2,2 % der auf den Kopf des Hochhauses reduzierten dynamischen Masse des Bauwerks). Die Masse ist in der Form eines Blockes schwimmend auf hydrostatischen Lagern gelagert und pneuma­tisch gefedert. Der Gegenschwinger ist auf die Eigenperiode von 6,5 Sekunden abgestimmt. Er wirkt beim Ausfall der Energie der aktivierten Hydraulik als passives System. Eine ähnliche Kontroll-Einrichtung wurde im John Hancock Buil­ding in Boston installiert.

Bezüglich des Einsatzes von aktiven Kontrollmaßnahmen im Erdbebenfall wird von Yang mit Akbarpour und Ghaemmaghami sowie Soong mit Reinhorn und Yang, 1987 161 berichtet. Es muß hierzu bemerkt werden, daß die Kontrollmöglichkeiten mit Hilfe von Rechenanlagen simuliert worden sind. Der technische Aufwand wä­re beträchtlich, außerdem müßte der Zuverlässigkeit derartiger Maßnahmen über lange Zeiträume Rechnung ~etragen werden. Neben einem evtl. Ausfall der Ener­gieversorgung muß an die Redundanz der einzelnen Glieder der Kontroll-Strecke gedacht werden.

120

4. Semi-aktive Kontrollmaßnahme

Unter Berücksichtigung der Erkenntnisse bezüglich des Einsatzes von passiven bzw. aktiven Kontrollmaßnahmen im Erdbebenfall wird hiermit eine semi-aktive Maßnahme vorgestellt, die im Prinzip auf dem passiv wirkenden Gegenschwinger beruht, der jedoch mittels einer Einschalt-RegeJung zum günstigsten Zeitpunkt mit weitgehend optimaler Phase aktiviert wird.

Die grundlegende Idee beruht auf der Tatsache, daß eine Baukonstruktion im Er~­bebenfall im wesentlichen im Takte des Grundtones an- und abschwellend- etwa in der Form einer Schwebungs-Periode - dynamisch reagiert. In Verbindung mit einer entsprechend ausgelegten Basis-Isolierung kann auf den Zeitverlauf der Systemantwort Einfluß genommen werden.

Es ist nun möglich, auf meßtechnische Weise bereits während der ersten Periode der dynamischen Antwort einen Rückschluß auf die Größe des nach weiteren Perio­den auftretenden Maximums der Antwort zu ziehen. Der Gegenschwinger ist voraus­gelenkt und wird optimal in Gegenphase ausgelöst. Es überlagern sich dann die dynamischen Reaktionen des Bauwerks auf den transienten Erdbebenlastfall und den transienten Einschwingfall, erregt durch den plötzlich ausgelösten Gegen­schwinger.

4.1 Auslegung des Gegenschwingers

Es wird zunächst vom Einsatz eines Gegenschwingers ausgegangen, der am Kopf der Struktur gemäß Bild 4 (Ersatzmodell) angeordnet ist. Er ist auf den Grundton des Bauwerks abzustimmen. Die auf den Kopf bezogene dynamische Ersatzmasse des Bauwerks errechnet sich anhand des Energieerhaltungssatzes, d.h. die kinetische Energie der gemäß Grundschwingungsform schwingenden (Etagen-) Massen "m" muß mit der einer konzentrierten Masse - der Ersatzmasse - übereinstimmen. Die Beziehung für die Ersatzmasse lautet:

M(ers) = [ m(j) · y(j)' (4)

mit m(j) als Masse an der Stelle "j", d.h. in der Höhe h(j) über Gelände und y(j) als Auslenkung an der Stelle 11 j" entsprechend der dynamischen Biegelinie für den Grundton. Es handelt sich um die normierte Biegelinie, d.h. sie ist dimensionslos anzusetzen, der GräBtwert ist eins, er tritt am Kopf des Bauwerks auf.

Wesentlich für die Auslegung ist das Massen-Verhältnis ~ = M(Gegenschwinger)/ M(ers). Bei harmonischer Erregung würde die Auslegung entsprechend der Theorie von Den Hartog, 1952 erfolgen. Für transiente Vorgänge wurden optimale dynami­sche Auslegungsdaten (Eigenfrequenz und Dämpfung) gefunden, die von den nach Den Hartog (geringfügig) abweichen. Nach Sallet, 1969 1201 sind folgende Größen als optimal anzusehen:

)/(opt) 1/(1+~) ~(opt) I 3 ~ = 6 (1+~)'

(5)

mit V als Frequenzverhältnis: Zusatzsystem/Hauptsystem (ungekoppelt) und ~als "Lehrische Dämpfung" des Zusatzsystems. Gewisse Abweichungen von den optimalen Werten haben keine nennenswerte Verschlechterung des angestrebten Beruhigungsef­fektes zur Folge. Eine größere Unempfindlichkeit gegenüber Abweichungen kann dadurch erzielt werden, daß der Gegenschwinger mit nichtlinearen Eigenschaften

(z.B. nichtlinearer, quadratischer hydraulischer Dämpfer) versehen wird. Im vorliegenden Fall der semi-aktiven Kontrolle wurde von einer derartigen Mög­lichkeit kein Gebrauch gemacht.

Es ist einleuchtend, daß die passive Wirkung eines Gegenschwingers dann beson­ders intensiv ist, wenn die dynamische Einwirkung über eine längere Zeit er­folgt und das Bauwerk außerdem vorzugsweise im Takte der Eigenfrequenz (z.B. dem Grundton) angeregt wird. Derartige außergewöhnliche Verhältnisse lagen im Falle des Erdbebens in Mexiko, 1985 vor. In dem Frequenz-Spektrum rag-te eine Frequenz von ca. 0,53 Hz heraus, wodurch infolge der relativ langen Einwirkungsdauer Bauwerke mit Eigenfrequenzen dieser Größe stark aufgeschau­kelt worden sind, verbunden mit entsprechenden Schäden. Da die Eigenfrequenz im wesentlichen von der Bauwerkshöhe abhängt, waren in Mexiko City Hochhäuser mit einer bestimmten Höhe besonders gefährdet; noch höhere und kleinere Bau­werke waren weniger stark betroffen.

4.2 Testmodell mit Gegenschwinger und semi-aktive Kontrolle

Im Hinblick auf den Nachweis der semi-aktiven Kontrollmaßnahme wurden experi­mentelle Untersuchungen durchgeführt. Als Testobjekt wurde ein Dreistockwerk­Stahlrahmen verwendet. Die Abmessungen des Modells sind aus Bild 5 zu entneh­men. Die Gesamtmasse der Struktur beträgt 68 kg, die der Etagen jeweils ca. lB kg. Das Rahmentragwerk hat eine Höhe von 1 170 mm bei Seitenabmessungen von 750 x 600 mm. Bild 6 zeigt das Modell auf der Testplattform des Erdbeben­Simulators SAMSONder HRB GmbH, Jülich.

Der Gegenschwinger ist als Pendel ausgeführt und, wie Bild 7 zeigt, am obe-ren Geschoß angeordnet. Die Masse des Gegenschwingers beträgt 6,5 kg. Die Pen­dellänge wurde so gewählt, daß die (entkoppelte) Eigenfrequenz des Zusatzsy­stems 2,3 Hz beträgt. Der Grundton des Testrahmens beträgt 2,4 Hz. Er wurde unter Verwendung einer Basis-Isolierung mittels Schwingmetall-Elementen erzielt.

Die (viskose) Dämpfung wurde mit Hilfe einer Vorrichtung erzielt, deren Aufbau aus Bild 8 zu ersehen ist. Eine annähernd geschwindigkeits-proportionale Dämp­fung wird realisiert, wenn die Umlauf-Geschwindigkeit der rotierenden Walze (Ü) groß gegenüber der Schwing-Geschwindigkeit (w) gewählt wird. Die (Reib-) Kraft P(t) ist dann w proportional.

Der Gegenschwinger wird mittels elektromagnetischer Einrichtung (siehe Bild 7) vorausgelenkt und gehalten, bis aufgrundder elektrischen Auslösu~g der Ein­schwingvorgang gestartet wird. Das Meßsignal wird von der elektrischen Kontroll­einrichtung überwacht und beim Überschreiten des vorgegebenen Grenzwertes, dem eine bestimmte Erdbeben-Antwort-Geschwindigkeit entspricht, phasenrichtig zur Lösung der Vorspannung verwendet.

Über die elektrische Seite der semi-aktiven Kontrolleinrichtung wird von E.Schä­fer (RWTH Aachen) gesondert ausführlich berichtet. Im Rahmen des vorliegenden Beitrages sollen die Kontrollmöglichkeiten aus baudynamischer Sicht vorgestellt werden.

4. 3 Experimentell er Nachweis der Kontrolle mitte 1 s SAMSON

Zum Nachweis der Kontrollmaßnahme wurde die Erdbeben-Versuchseinrichtung SAMSON eingesetzt. Bild 9 vermittelt einen Eindruck von der Anlage, deren technische Einzelheiten von Kleine-Tebbe und Jakobs, 1985 1211 ausführlich beschrieben wor­den sind. An dieser Stelle sollen lediglich einige wesentliche Details wiederge-

121

122

geben werden. Die Test-Plattform hat die Abmessungen von 5 x 5 x 1,2 m und kann Versuchsobjekte mit einer maximalen Masse von 25 000 kg in drei transla­torischen Freheitsgraden im Frequenzbereich von 0,5 bis ca. 100Hz nach ver­schiedenen Zeitverläufen rütteln. Die maximalen Schwing-Beschleunigungen be­tragen 1,5-fache Erdbeschleunigung bei 25 000 kg, 2,0 g bei 15 000 kg und 3,0 g bei 5 000 kg. Als maximale Schwing-Geschwindigkeit werden 1 m/s und als ma­ximale Amplitude::_ 200 mm errei'cht.

Zur Schwingungserregung stehen vier horizontal und fünf vertikal angeordnete hydraulische Aktuatoren mit dynamischen Kräften von 510 bzw. 850 kN zur Verfü­gung. Bild 10 zeigt die Draufsicht der Plattform mit den vier horizontal ange­ordneten Aktuatoren. Außerdem ist die Rasterung der Befestigungs-Stellen für Versuchsobjekte zu erkennen. Im Hinblick auf das Thema Schwingungs-Kontrolle ist der Hinweis interessant: Die horizontalen Aktuatoren haben bei Mittellage, d.h. normaler Versuchs-Position, eine Biege-Eigenfrequenzvon 19Hz. Infolge unzulässiger Resonanzanregung mußte eine passive Kontrollmaßnahme vorgenommen werden. Zu diesem Zweck wurden jeweils in Aktuator-Mitte Massen angeordnet, die mit Hilfe von Drahtseil-Federelementen optimal als Gegenschwinger ausgebil­det sind.

Die Versuchseinrichtung kann analog bzw. digital gesteuert werden, wobei die drei Bewegungsmöglichkeiten unabhängig oder auch gleichzeitig kontrollier­bar sind. Mit Hilfe von Funktionsgeneratoren können die Testläufe si.rnusförmig, schockartig (transient) und beliebig (z.B. seismisch) erfolgen.

Ein besonders wichtiger Aspekt der Kontrolleinrichtung des Erdbeben-Simulators liegt in dem dynamischen Frequenz-Kompensator, der fUr jede Bewegungsachse im Hinblick auf die Beschleunigungs-Rückkoplung das Eigenschwingverhalten der Test­struktur in einem Voraustest mit reduzierter Erregungsintensität ermittelt. Der Kompensator paßt während des Testlaufs die Bewegung der Plattform so an, daß der vorgegebene Zeitverlauf für einen bestimmten Teil der Testeinheit effektiv eingehalten wird.

Bild 11 gibt ein Beispiel wieder, welches die Leistungsfähigkeit der Kontroll­Einrichtung hinsichtlich einer Konstanthaltung der Plattform-Beschleunigung über den gesamten Frequenzbereich demonstriert. Bild 12 zeigt, wie genau ein vorgegebener Erregungsverlauf über der Zeit in Wirklichkeit eingehalten werden kann. Derartige Eigenschaften sind im Hinblick auf die Verifikation von Kontroll­maßnahmen im Erdbebenfall von besonderer Bedeutung. Weitere Einzelheiten zur Kontrolle des Simulators wurden von Kleine-Tebbe, 1983 1221 mitgeteilt.Auf ei-ne Wiedergabe kann daher hier verzichtet werden.

4.4 Testergebnisse

Es wurden Tests sowohl an der unkontrollierten als auch an der Teststruktur mit Gegenschwinger durchgeführt. Der Gegenschwinger war dabei sowohl passiv ohne zu­sätzliche Steuerung (klassischer Gegenschwinger) als auch semi-aktiv wirkend.

Zur Demonstration der Versuchsergebnisse sind in Bild 13 einige charakteristi­sche Meßschriebe (Zeitverläufe der Beschleunigungs-Antworten)wiedergegeben. Ne­ben der seismischen Bewegung der Plattform (in einer translatorischen Richtung) ist die Antwort der Struktur in Kopfhöhe für die verschiedenen Fälle: Antwort ohne Maßnahme, Antwort mit passivem Gegenschwinger ohne und mit semi-aktiver Steuerung registriert worden. Außerdem wurde ein Meßschrieb für einen phasenver­kehrten Kontrollfall sowie die dynamische Antwort der Struktur für den plötz­lich gelösten Gegenschwinger ohne gleichzeitige Einwirkung anderer Art wieder-

gegeben. Die Registrierungen lassen folgende Schlüsse zu:

Mittels Gegenschwinger (~ = 0,3) wurde die maximale dynamische Antwort des Rah­mens um etwa 20% gegenüber dem unkontrollierten Fall herabgemindert. Die Ant­wort-Beschleunigung der unkontrollierten Struktur betrug ca. 0,5 g. Durch die semi-aktive Kontrolle wurde eine Verbesserung um 40% gegenüber der rein passi­ven Wirkung des Gegenschwingers erzielt.

Die Wirkung ist offensichtlich. Weitere Verbesserungen sind möglich, indem der Einsetzpunkt der Kontrollmaßnahme optimiert wird. Das Ergebnis stammt aus den zur Zeit noch andauernden Untersuchungen.

5. Schlußbemerkung und Ausblick

Es war beabsichtigt, mit Hilfe eines experimentellen Nachweises aufzuzeigen, daß im Hinblick auf die Beherrschung der dynamischen Belastung von Bauwerken durch Erdbeben neue Wege gegangen werden können. Der Schwingungs-Kontrolle wird künftig mehr Aufmerksamkeit gewidmet werden müssen, als das bisher der Fall war.

Um zu einer erhöhten Erdbebensicherheit im Bauwesen zu gelangen, sollten in den Fällen, in denen eine Realisierung möglich ist, Baustoffe verwendet werden, die aufgrund ihrer Festigkeit und ihres relativ geringen Eigengewichtes von Natur aus eine möglichst große Erdbebenerträglichkeit aufweisen (s. Kapitel 2.). Zu­sätzliche Kontrollmaßnahmen sind dann weniger aufwendig und es wäre dann mög­lich, auf wirtschaftliche Weise erdbebensicher zu bauen.

Der vorgestellte Testfall hat nur richtungweisende Bedeutung. Aus bauingenieur­mäßiger Sicht könnten· die Gegenschwinger dadurch realisiert werden, daß die Ge­schoßdecken selbst unter Zwischenschaltung von geeigneten Feder-Dämpfer-Elemen­ten in das (rahmenartige )Tragwerk eingehängt werden. Es wäre dadurch auch mög­lich, die Abstimmung der einzelnen (Geschoßdecken-) Gegenschwinger auf verschie­dene Eigenfrequenzen des Bauwerks optimal abzustimmen. Außerdem könnten die ein­zelnen Gegenschwinger in den beiden Hauptrichtungen unterschiedlich abgestimmt werden.

Die elastische Aufhängung von Geschossen ist nicht neu. So wurde z.B. der etwa

123

3 000 kN schwere Hallenboden des Forschungslaboratoriums des Instituts für Leicht­bau der RWTH Aachen zum Zwecke der Schwingungsisolierung, d.h. Abschirmung des Gebäudes gegenüber den von Prüfmaschinen ausgehenden Erschütterungen, elastisch auf Stahlfeder-Körper und Viskodämpfer der GERB Gesellschaft für Isolierungen aufgestellt.

Die Verfasser danken den Herren G. Schmidt und H. Jakobs für die Unterstützung bei der Durchführung der Tests mit dem Erdbebensimulator SAMSON und Herrn J. Gruß für die Durchführung von Labortests im Institut für Leichtbau der RWTH Aachen.

124

6.

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121

131 141

151 161

171

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191

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1111

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1141

1151

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1191

1201

1211

1221

Schrifttum

Hirsch, G.; Kritischer Vergleich von aktiven und passiven Dämpfungssyste­men zur Unterdrückung winderregter Schwingungen schlanker Strukturen. BAAS Beiträge zur Anwendung der Aeroelastik im Bauwesen, 1. Auflage 1980, TU München Gasch, R.: Eignung der Schwingungsmessung zur Ermittlung der dynamischen Beanspruchung in Bauteilen. Dissertation, Berlin, 1968. Den Hartog, J.P.: Mechanische Schwingungen. Springer-Verlag, Berlin, 1952 Sensburg, 0., Becker, J. und Hänlinger, H.: Active control of flutter and vibration of an aircraft. Structural, North Holland, 1980 Leipholz, H.H.E.: Structural Control (Herausgeber). North Holland, 1980 Leipholz, H.H.E.: Structural Control. Martinus Nijhoff Publishers, Dor­drechtiBosteniLancaster, 1987 EAEE: Proceedings of the 8th European Conference on Earthquake Engineering, Band 5. Lisbon, 1986, Laboratorio Nacional de Engenharia Civil CEC SMiRT: Proceedings of the 8th International Conference on Structural Mechanics in reactor Technology. North Holland for The Commission of the European Communities VDI: Berichte Nr. 627, Dämpfung von Schwingungen bei Maschinen und Bauwer­ken. VDI-Verlag, 1987 Pocanschi, A.: Rahmentragwerke mit momentbegrenzenden Anschlüssen unter Erd­bebenbeanspruchung. Bautechnik 1, 1984, S. 29-34 Kelly, M.: Control devices for earthquake-resi stant ·structural desi gn. Structural Control. North Holland, 198D Jurukovski, D., Hüffmann, G., Mamuchewski, 0. und Winkler, A.: Shaking tab­le tests of a five storey steel frame base isolated by spring dashpot sy­stem. Proceedings of the 8th ECEE ( 171 ), S. 8.4131-38 Hirsch, G.: Schwingungskontrolle mittels angekoppelter Zusatzsysteme als wirtschaftliches Konstruktionsprinzip - Praktische Erfahrungen mit Gegen­schwingern an turmartigen Bauwerken. VDI-Berichte Nr. 603, 1986, S. 435 -453 Chowdhury, A.H., Iwuchukwu, M.D. und Garske, J.J.: The past and future of seismic effectiveness of tuned mass dampers. Structural Control .Martinus Nijhoff Publishers, 1987, S. 105-127 Roorda, J.: Active damping in structures. Cranfield Institute of Technolo­gy. report Aer. No. 8, 1971 Yao, J.T.P.: Active control of building structures subjected to wind lo­ads. Techn. report No. CE-STR-75-2, Purdue University, West Lafayette, ln­diana, 1975 Yang, J.N. und Giannopoulos, F.: Active tendon control of slender structu­res. Techn. Report No. 1, The George ~/ashi ngton Uni versity, 1977 Soong, T.T.: Active control against wind-induced motion. Proc. 3rd US Nat. Conf. Wind engineering research, Gainesville, USA, 1978, S. 411-412 Petersen, N.R.: Design of large scale tuned mass dampers. Preprint 3578 ASCE, 1979, 1-22 Sallet, D.W.: Dynamic Vibrationabsorber for transients. Shock and Vibra­tion Bulletin 39, 1969, S. 261-273 Kleine-Tebbe A. und Jakobs, H.: Practical experi2nce durin9 installation of the large multi-axis vibration test facility SAMSON. Transactions of the 8th Intern. Conf. SMiRT ( 181 ), Vol. K, S. 491-496 Kleine-Tebbe, A.: A new vibration test facility for simulating multi-axis dynamic motion with direct frequency control. Proceedings of JASRED Int. Sympos. on Appl. Control and Identification AC! 83, 1983

2.0

_}'__ nys

0.2

0.02

D=O

Q / ~

O.~L-----~~1.~0----~5~.0~-----~5~0-=100

_L Hz

Bild 1: Erdbeben-Antwort-Spektrum (Geschwindigkeit V) in Abhängigkeit von der Eigenfrequenz (f) und der Dämpfung (D)

17

P--pof.-ntiom«ar

Bild 2: Bauwerks-Modell mit Basis-Isolierung (nach /12/) auf dem Prüfstand in Skopje

125

126

"' '--

"' <= =>

"' <= => Q)

:c u ~ Q)

"'

"

~·:0

,,

Bild 3: Zeitverläufe der Antwort (Beschleunigungen bzw. Verschie­bungen) des Testmodells unter der Einwirkung des Petrovac­Erdbebens-(a) Feste Aufstellung (b) Basis-Isolierung mit 4 Dämp­fern (c) Basis-Isolierung mit 8 Dämpfern

.i V V ohne

mit Gegenschwinger

Bild 4: Modell eines Hochhauses mit den Etagenmassen (m) und dem am Kopfe angeordneten Gegenschwinger (Absorber) und Zeitverläufe der Verschiebungs-Antwort für ein Erd­beben ohne und mit Gegenschwinger

ll===~==®i 1 0 N 0

1 0 0

"'

l

127

Bild 5: Testmodell (ohne Gegenschwinger) in Perspektive und als Zeich­nung mit den Hauptabmessungen

Bild 6: Testmodell auf der Testplattform des SAMSON-Prüfstandes

128

Bild 7: Gegenschwinger (Pendel, Teil (1))am oberen Geschoß mit viskoser Dämpfungseinrichtung (2) und elektro­magnetischer Halterung bzw. Auslösung (3)

(4)

Bild 8: Dämpfungseinrichtung für den Test-Gegenschwinger (1) rotierende Walze (2) Bremsbelag (3) Bremsbacke (4) Geschwindigkeiten und Dämpfungskraft P(t)

Bild 9: SAMSON Erdbeben-Simulator der BBC HRB Hochtemperatur-Reak­torbau GmbH, Jülich (Gelände der KFA). Die Test-Plattform ist innerhalb eines seismischen Blockes angeordnet, dessen Masse von 1 500 to auf Stahlfedern und Viskodämpfern (GERB) zum Zwecke der Schwingungsisolierung elastisch aufgestellt ist.

Bild 10: Draufsicht auf die Test-Plattform mit horizontalen Aktuatoren und Befestigungsraster

129

130

(a)

(b)

Bild 11:

( a)

(b)

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DFC-Kontroll-Signal (a) und Beschleunigungs-Antwort der Test-Plattform des SN1SON-Prüfstandes

.x: !.200~ '1:-1.5011 41:!.0000 II;; <l:iiJI(l

...

Bild 12: Vergleich zwischen vorgegebenem Zeit­verlauf (a) und Ant­wort der Testplatt­form (b)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

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(f)

(g)

Bild 13:

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Auswahl von Beschleunigungs-Meßschrieben der Modell­Tests (a) Plattform-Bewegung (Erdbeben-Zeitverlauf, willkürlich) (b) Bauwerksantwort in Kopfhöhe ohne Kontrollmaßnahme (c) Antwort mit Gegenschwinger (passiver Dynamischer Dämpfer) (d) Verlauf des elektrischen Signals mit Auslösungssprung (e) Bauwerksantwort mit semi-aktiver Kontrolle (f) wie (d) (g) Bauwerksantwort mit gleichphasiger Auslösung des Gegen­

schwingers (h) Bauwerksantwort, erregt durch den einpendelnden Gegen­

schwinger

131

132

Über die Beanspruchung von Flüssigkeitsbehältern durch Erdbeben

J. EIBL und L. STEMPNIEWSKI*

1. Einrührung

Zur Lagerung von Mineralölen, verflüssigten Gasen, radioaktiven Flüssig­

keiten als auch für verschiedenste chemische Substanzen werden weltweit

inner größere Behälter benötigt. So sind in den letzten Jahren oberirdi­

sche Behälter mit einem Volumen bis zu 130.000 m3 errichtet worden. Diese

Behälter, oftmals mit hochexplosiven oder äußert giftigen Inhalt, müssen

neben den statischen Lasten auch für extreme dynamische Einwirkungen, zu

denen die Erdbeben gehören, bemessen werden. Ein Auslaufen der Flüssig­

keit muß unbedingt vermieden werden, um sekundäre Folgekatastrophen,

die ein Freigeben des Inhalts unweigerlich auslösen könnten, für Mensch

und Umwelt zu vermeiden. Eine Vielzahl der eingesetzten Behälter sind

aus Stahl und besitzen eine zylindrische Form. Der Vorteil dieser Form ge­

genüber anderen ist die einfacher Herstellung und Verarbeitung der kreis­

zylindrischen Schalenelemente. Die zylindrischen oberirdisch lotrecht ste­

henden Stahlbehälter werden daher nachfolgend behandelt.

* o. Prof. Dr.-Ing. J. Eibl, Dipl.-Ing. L. Stempniewski, Institut für

Massivbau und Baustofftechnologie, Universität Kar!sruhe, Postfach 6380,

7500 Karlsruhe 1

133

134

Stahlbehälter sind extrem dünnwandige Konstruktionen. Das Verhältnis

von Behälterdicke zu Wandradius erreichte Werte bis zu 1:4000, der maxi­

male Radius beträgt mehr als 50 m. Begrenzt werden die Behälterabmess­

ungen hauptsächlich durch die Werkstoffeigenschaften, sowie den Auflagen

der einzelnen Genehmigungsbehörden. Ihr Einsatz in Kernkraftwerken und

zur Speicherung von Mineralölen hat zu zahlreichen Untersuchungen, ge­

rade was ihr dynamisches Verhalten anbetrifft, geführt. Beschädigungen

von Behälter durch Erdbebeneinwirkung zeigen jedoch, daß sie sich viel

komplexer Verhalten müssen, als wie es in den einschlägigen Vorschriften

angeno=en wird. So wurden an Behälterbauwerken nach Beben in Ar­

gentinien, Californien, Chile, Alaska usw. verschiedenste Versagensarten

registriert [18,20]:

• Beschädigung, Zerstörung oder Beulen des Daches

• Überschwappen des Behälters

• Beulen des Behälters irrfolge Unterdruck

• Aufreißen der Behälterwand infolge Überdruck

• Beulen des Behälters im unteren Bereich, durch erhöhte Axial­

druckspannungen

• Aufreißen des Behälters an der Ecke zwischen Schale und Boden

• Gleiten des gesamten Behälters, dadurch rissen schlecht ausgeführte

Leitungen ab. Folge waren Leckagen unter Umständen auch eine

Implosion des Tanks

• unzulässig hohe Setzungen

Erste Untersuchungen zum dynamischen Verhalten von Flüssigkeitsbehäl­

tern betrachteten den Behälter als starr und konzentrierten sich nur auf das

dynamische Verhalten der Flüssigkeit. Eine Formulierung zur Abschätzung

des Flüssigkeitsverhaltens wurde von Housner [12,13] Mitte der fünfziger

Jahre formuliert und ist heute noch Bestandteil der einschlägigen Normen.

Epstein [7] korrigierte bzw. erweiterte Housner's Modell. Aber schon er­

ste Experimente zeigten, daß die dynamischen Kräfte in einem "weichen"

flexiblen Behälter weitaus größer sein können als in einem vergleichbaren

starren Behälter. Fischer [8,9] griff Housner's Idee auf und erweiterte das

Modell auf flexible Behälterwände, sodaß das endgültige Modell aus drei

Komponenten besteht (Bild 1):

• dem konvektiven Teil, der zur Schwappfrequenz gehört

• einem ersten impulsiven Anteil, der zur Parallelverschiebung von

Flüssigkeit und Behälters gehört

• einem zweite impulsiven Anteil, der zur gemeinsamen Schwingung

von Flüssigkeit und Behälterwand gehört

Die beiden erstgenannten Anteile können unter Annahme eines starren

Behälters ermittlet werden, der dritte Anteil muß unter Annahme einer

flexiblen Wand berechnet werden [10].

Diesem Modellliegt aber die Annahme zu Grunde, daß der Behälter mit

dem Fundament verankert ist. Der durch ein Beben aktivierte hydrody­

namische Flüssigkeitsdruck führt auf ein Umsturzmoment. Dieses Mo­

ment muß einerseits von der Verankerung als auch vom Behälter aufge­

nommen werden. Die Zugkraft kann zum Aufreißen des Behälters oder

zum Laßreißen der Verankerung führen. Hinzu kommt, daß die Veranke­

rungskräfte sehr groß werden können und demzufolge große Fundamente

benötigt werden. Durch das Aufreißen der Verankerungen könnnen Lecka­

gen entstehen, die ein Auslaufen der Flüssigkeit zur Folge hat. Um aus Si­

cherheitsgründen Leckagen und aus wirtschafliehen Aspekten zu große Fun­

damente zu vermeiden, werden heute Behälter üblicherweise ohne jegliche

Verankerung direkt auf einer verdichteten Sand- Kies - Schicht, in einigen

Fällen noch mit einem Ringfundament versehen, errichtet. Wenn bei diesen

Behältern die Axialzugkraft größer wird als der Flüssigkeitsdruck auf dem

Behälterboden hebt das Bauwerk ab. Auf der gegenüberliegenden Seite

des Behälters entwickeln sich daraufhin sehr hohe Axialdruckspannugen,

die weitaus höher werden können als bei sonst gleichen, aber verankerten

135

136

Tanks. Diese hohen Druckspannungen können zu einem Stabilitätsversagen

im Fußbereich führen [18,20]. Dabei muß zwischen einem elastischen Beu­

len - Diamond - Shaped - Buckles - und einem plastischen Beulen -

Elephant Foot Bulge -, d.h. ein örtliches Plastifizieren mit anschließenden

großen .Deformationen unterschieden werden.

Die meisten Arbeiten, die sich mit dem seismischen Verhalten von Tank­

bauwerken beschäftigen, berücksichtigen nur die horizontale Erdbebenkom­

ponente. Die vertikale Komponente bleibt in der Regel unberücksichtigt,

da ja das Bauwerk ausreichend gegen vertikale Lasten bemessen wurde.

Dies ist aber bei Flüssigkeitsproblemen nicht zutreffend, da die Flüssigkeit

die vertikalen Beschleunigungen in zusätzliche horizontale hydrodynamische

Drücke überführt (Bild 2). Wird der Tank durch solche zusätzliche Drücke

belastet, so entstehen höhere Ringzugspannungen, die zwar gegen ein ela­

stisches Beulen stabilizierend Wirken , die jedoch die Vergleichsspannung

vergrößern und bereits bei kleineren axialen Spannungen zu Plastifizierun­

gen und der Gefahr des "Elephant footing", d.h. des plastischen Beulen

führen können. Wenn die hydrodynamischen Drücke den hydrostatischen

Druck verkleinern und so das stabilizierende Eigengewicht des unveran­

kerten Behälters verringern, wird ein Abheben wahrscheinlicher, oder falls

der Behälter schon abgehoben hat, verstärkt. Hierbei ist zu beachten, daß

gerade im Epizentrum die vertikalen Beschleunigungen zu den größeren Be­

anspruchungen führen können, da sie oft gleich groß oder größer als die

horizontalen Beschleunigungen sind.

2. Numerische Lösung des Interaktionsproblems

Zur Untersuchung des nichtlinearen Bauwerk - Flüssigkeit - Wechselwir­

kung Problems (Fluid - Structure - Interaction Problem) gibt es prinzi­

piell drei Möglichkeiten: Versuche, analytische Methoden und numerische

Verfahren. Numerischen Verfahren, damit ist hier die Finite - Elemente

- Methode (FEM) gemeint, haben dabei den Vorteil gegenüber den an­

deren Verfahren, daß sie- im Gegensatz zu den Versuchen -leicht eine

Parameterstudie zulassen, z.B. hinsichtlich Abmessungen, Füllhöhe, Imper­

fektionen des Behälters und insbesondere der Erdbebencharakteristik und

- im Gegensatz zu den dafür natürlich noch besser geeigneten analyti­

schen Methoden - "weniger" Näherungen, das tatsächliche Tragverhalten

betreffend, erfordern. Sie bedingen jedoch einen sehr hohen numerischen

Rechenaufwand.

Finite Elemente sind schon des öfteren zur Berechnung von Flüssigkeit -

Bauwerks - Wechselwirkungen benutzt worden. Nach der Art, wie die

Flüssigkeit idealisiert wurde, können die Verfahren in folgende Kategorien

eingeordnet werden:

• "added mass" Verfahren

• Randelemente Verfahren

• Eulersche Formulierung

• Lagrangesche Formulierung

Beim "added mass" Verfahren wird der "trockene" Behälter durch eine

zusätzliche Masse belegt. Eine Diskretisierung der Flüssigkeit erübrigt sich

damit. Ein Verfahren ist das schon erwähnte Housner'sche Modell. Es

wurde mehrmals erweitert [7,9] und kann hervoragend zur Vordimensionie­

rung und zur Bemessung von kleineren Behältern benutzt werden, da es

sehr einfach und schnell anzuwenden ist. Um aber genauere Aussagen tre­

fen zu können, insbesondere das nichtlineare Verhalten betreffend, ist dieses

Verfahren wegen der zu großen Vereinfachungen wenig geeignet.

Das Randelemente Verfahren - Boundary Integral Method - wurde von

Haroun [11] und Otte [21] für die Diskretisierung der Flüssigkeit benutzt,

137

138

wohingegen die Struktur mittels der FEM idealisiert wurde. Die Vorge­

hensweise hat den Vorteil, daß nur Knoten auf der Kontaktfläche zwischen

Behälter und Flüssigkeit benötigt werden. Von Nachteil ist, daß die Stei­

figkeitsbeziehungen unsymmetrisch und voll besetzt sind.

Beim Beschreiben der Flüssigkeitsbewegung mittels Euler Koordinaten wird

das Verhalten der Flüssigkeit durch den Druck und die Geschwindigkeit an

den Elementknoten beschrieben. Der Vorteil der Dartsteilung liegt in der

Verwendung von einfachen Spannungs- und Verzerrungstensoren. Bei not­

wendiger Berücksichtigung der Massenerhaltung treten jedoch konvektive

Massenträgheitskräfte auf, die zu unsymmetrische Koeffizienten führen und

den Rechenaufwand beträchtlich erhöhen.

Für die Struktur wird gewöhnlich eine Lagrangesche Formulierung gewählt,

sodaß die Koppelung von "Eulerschen" und "Lagrangeschen" Elementen

zu zusätzlichen Schwierigkeiten führt, die jedoch durch einen "Arbritrary

Lagrangian - Eulerian Code" (ALE) umgangen werden können [4]. Mit

Hilfe dieses Codes können an ein und demselben Element, Freiheitsgrade

wahlweise als solche einer Eulerschen oder Lagrange'schen Darstellung be­

trachtet werden.

Bei der Lagrangeschen Formulierung für das Verhalten der Flüssigkeit wird

wie bei Strukturelementen die Bewegung durch die Verschiebungen aus­

gedrückt. Die Elemente können direkt gekoppelt werden, wobei die Sym­

metrie der Steifigkeitskoeflizienten erhalten bleibt. Schränkt man die Ver­

formungen der Flüssigkeit dahingehend ein, daß Wirbel und große Verfor­

mungen nicht zugelassen werden, so ist die Verwendung dieser Formulierung

brauchbar.

Bei den im Folgenden erörterten Untersuchungen wird die zuletzt beschrie­

bene Vorgehensweise benutzt.

2.1 Finite- Elemente- Approximation

Aus der Fülle der möglichen Nichtlinearitäten, die bei den Behälterbauwer­

ken während eines Bebens auftreten können, sollen im weiteren nachfol­

gende berücksichtigt werden:

• Flüssigkeit - Bauwerk - Wechselwirkung

• Geometrische und physikalische Nichtlinearität des Behälters

• Abheben des Behälters

2.1.1 Flüssigkeit

Die Flüssigkeit wird mit einem isoparametrischen Flüssigkeitselement ap­

proximiert (Bild 3), das folgende Eigenschaften besitzt [6,24]:

• Kompressibilität

• Kleine Verschiebungen

• Zusätzliche Oberflächenterme, die benötigt werden, um eine freie

Oberfläche zu simulieren

Zur Ermittlung der Steifigkeitskoeflizienten wird die reduzierte numerische

Integration benutzt, da die exakte Integration der Elemente auf zu große

Steifigkeiten und somit zu kleine Verschiebungen des Systems führt. Da­

bei können aber sogenannte "Hourglass Modes" auftreten. Sie beschrei­

ben "falsche" Starrkörperbewegungen [6]. In einer Eigenwertanalyse einer

Elementsteifigkeitsmatrix kennzeichnen Nulleigenwerte bzw. deren Eigen­

formen die Starrkörperverschiebungen. Bei bestimmten Elementtypen, im

vorliegenden Fall das Fluidelement,können weitere Null- Eigenwerte auftre­

ten, deren zugehörigen Eigenformen keine echten Starrkörperbewegungen

139

140

beschreiben und die daher als "falsche" Starrkörperbewegungen bezeich­

net werden. Sie können bei gewissen Randbedingungen zu fast singulären

Gesamtsteifigkeitsmatrizen führen. Als Ergebnis erhält man unzutreffende

Verschiebungen, die nichts mit den tatsächlichen Verschiebungen des Sy­

stems gemein haben (Bild 5). Um dennoch mit diesem Element arbeiten

zu können wird eine "Hourglass- Controle" nach Wilson (24] verwendet.

2.1.2 Schalenelement

Behälterwand und Boden werden mit 8 - Knoten isoparametrischen Scha­

lenelementen, die erstmalig von Ahmad [1] eingeführt wurden, approximiert

(Bild 3). Das Element wird direkt aus der dreidimensionalen Kontinuums­

mechanik mittels der Degeneration abgeleitet [3,22]. Berücksichtigt werden

können beliebig große Verschiebungen und Verdrehungen als auch elastisch

- plastisches Materialverhalten. Für die geometrische Nichtlinearität wird

die totale Lagrangesche Darstellung benutzt. Die nichtlineare Spannungs

- Dehnungs - Beziehung wird aus der Plastizitätstheorie unter Benutzung

der Mises Fließbedingung abgeleitet. Die Verfestigung kann aus isotroper

und kinematischer Verfestigung kombiniert werden und so den Bauschirrger

- Effekt berücksichtigen (19]. Die Integration in der Oberflächenrichtung

erfolgt mit der Gauß'schen Quadratur mit reduzierter Integration. Über

die Dicke wird mit der 6-Punkt Lobatto Formel (23] integriert, die im Ge­

gensatz zur Gauß'schen Integration Integrationspunkte auf der Oberfläche

besitzt.

2.1.3 Kontakt

Zwischen Flüssigkeit und Behälter wird ein Kontaktelement angeordnet

(Bild 3). Dieses Element mit lokalen fiktiven Spannungs - Dehnungs -

Matrizen koppelt nur "Normalverschiebungen", d.h. die Verschiebungen

senkrecht zur Behälterwand gegebenenfalls unter Berücksichtigung von vor­

handenen Wandreibungen. Alle anderen Verschiebungen auf der Grenz­

schicht sind unabhängig voneinander [6]. Das Element erfüllt im Gegensatz

zu dem Kontaktelement von Liu [14] (Bild 4), der die Knoten auf der Grenz­

schicht mit Hilfe eines besonderen Feder-Kontakt-Elementes mittels einer

fiktiven Federsteifigkeit koppelt, die Vertäglichkeitsbedingung vollständig.

Die Schwierigkeit bei dem Federelement liegt in der richtigen Wahl der Fe­

dersteifigkeit, da kleine Änderungen der Steifigkeit die Ergebnisse, d.h. die

Verschiebungen und Spannungen von Flüssigkeit und Behälterwand stark

beeinf!ußen.

Der Abhebemechanismus wird mit multi -linear elastischen Federelementen

im Sinne der Lagrangeschen Multiplikatoren [26] gewährleistet (Bild 6). Der

Boden wird dabei als ideal starr angenommen.

2.2 Zeitintegration

Die inkrementelle Bewegungsgleichung abgeleitet aus dem Prinzip der vir­

tuellen Verrückung lautet [2]

141

Darin bedeutet der Index t + ßt den betrachteten Zeitpunkt und i die

Gleichgewichtsiteratio~. Die Matrix'KL ist die inkrementeile "elastische"

Gesamtsteifigkeit.smatrix und KN L die geometrische Steifigkeitsmatrix. Der . . .

Vektor /),. U entspricht den inkrementeilen Verschiebungen, Ü den Kno­

tenbesehleunigmigen, 'R den äußeren Lasten und F entspricht den Kno­

tenkräften, die den inneren Spannungen äquivalent sind. . . .

Zur Lösungvon Gleichung (1) wird das Verfahren von·Newmark herangezo­

gen. Ein rein explizite Verfahren, wie z.B. die zentrale Differenzenmethode . '

benötigt zu kleine Zeitschritte und damit sehr viel Rechenzeit. Newmark

geht von einen Ansatz für die Verschiebungen im Zeitschritt t + ßt aus

•+<~.•u = •u + •ü ßt + [ ( ~ - ß) •ü + ß'+<~.•ü J ßt2 (2)

bzw. von den Geschwindigkeiten

(3)

Löst man Gleichung (2) nach t+<l.tü auf, ergibt sich eine Gleichung, die nur

die unbekannten Verschiebungen t+<~.tu enthält.

<+<~.•ü = .!. [<+<~.tu- 'U- 'Ü ßt - (~ - ß) 'ü] ( 4) ß ßt2 2

Mit t+<~.tu(i) = t+<~.tu(i-l) + ßU(i) erhält man aus Gleichung (1)

-M [-1- (t+~tu<i-1)- tu) - _1_tiJ- (..!... -1) tü] (5) ß t:;.t2 ß t:" t 2 ß .

wobei t+~tK. (i-1) = t+~tK(i-1) + t+~tK(i-1) + _1_M . L N L ß!::>.t2 1St.

Diese Gleichung (5) muß solange gelöst werden, bis die rechte Seite na­

hezu gleich Null wird. Hierzu wird eine Kombination von Standard und

Modifiziertem Newton-Raphson Verfahren verwendet.

Der Lastvektor R besteht aus zwei Anteilen, einem Erdbebenanteil und

einem Anteil aus den Oberflächenwellen.

Oberflächenanteil

~ + J Pl+~tUsdS Erdbebenanteil s

(6)

Darin bedeutet t+~ta die Erdbebenbeschleunigung, p die Masse der Flüß­

igkeit und g die Erdbeschleunigung. Der Index S bezieht sich auf die freie

Oberfläche der Behälterflüßigkeit.

Sämtliche Berechnungen wurden auf dem Vektorrechner Cyber 205 des

Rechenzentums Karlsruhe durchgeführt. Um die hohe Rechengeschwin­

digkeit des Rechners möglichst oft zu nutzen, wurden die meisten FEM­

Algorithmen voll vektorisiert, womit beträchtliche Rechenzeitersparnisse

erzielt werden konnten. Darüber wird aber an anderer Stelle näher ein­

gegangen.

143

144

3. Ergebnisse

Das entwickelte Rechenmodell wird an einem unverankerten Tankbauwerk

getest. Der Behälter besitzt eine Höhe von 20 m und einen Radius von

10 m. Die Flüssigkeitshöhe betrage 16,67 m. Varriert wird die Wanddicke

des Behälters. Wegen der Symmetrie des Problems, wird nur eine Hälfte

des Bauwerks abgebildet (Bild 7). Die Materialwerte können dem Bild 7

entnommen werden. Imperfektionen der Behälterwand als auch des Bodens

werden zunächst nicht berücksichtigt. Wie bereits erwähnt, wird der Boden

als starr angenommen. Dies stellt den "ungünstigsten" Fall [17] dar, da

Spannungsspitzen im Fußbereich nicht umgelagert werden können und so

die größten resultierenden Versagensspannungen ergeben.

Begonnen wird mit einer Wanddicke von 2 cm. Dann beträgt das Verhältnis

Wanddicke zu Radius 1:500. Bild 8 gibt dafür den zeitliche Verlauf für die

vertikalen Verschiebungen der Bodenknoten 1051 und 1067 (vgl. Bild 7).

Die maximale Verschiebung für den Knoten 1051 beträgt demnach ca. 1,5

cm. In Bild 9 ist die verschobene Geometrie zum Zeitpunkt der maximalen

Abhebung (t=1,5 sec.) dargestellt. Die korrespondieren Spannungen (Bild

10) in der Behälterwand an den Punkten A und B (vgl. Bild 7) lassen

deutlich den Abhebevorgang erkennen. Zum Zeitpunkt t=1,5 sec. beträgt

die Längsdruckspannung ca. 1600 KN, während auf der gegenüberliegenden

Seite (Punkt B) die Zugspannung nur ca. 600 KN beträgt. Letztere ist

einerseits durch den statischen und dynamischen Flüssigkeitsdruck auf der

Bodenplatte, andererseits wegen der geringen Steifigkeit der Bodenplatte

begrenzt.

Sodann wird die Wanddicke reduziert, sodaß Fließen des Stahls in dem un­

teren Behälterbereich auftritt. Dies ist bei 8 mm der Fall. Das Verhältnis

von Dicke zu Radius beträgt nunmehr 1:1250. In Bild 11 ist wiederum die

Geometrie zum Zeitpunkt t=1,5 sec. dargestellt. Gleichzeitig ist der pla­

stifizierende Bereich gekennzeichnet. Der Behälter plastifiziert gefolgt von

einem geometrisches Versagen, wie zu erwarten. Wegen der groben Netz­

einteilung kann sich jedoch eine detailierte Beulung, so wie in der Realität,

nicht einstellen. Der Mechanismus ist jedoch prinzipiell zu erkennen. Die

maximale horizontale Verschiebung des Beulbereichs beträgt ca. 20 cm.

4. Zusammenfassung

Vorgestellt wird das mechanische Modell eines Flüssigkeitsbehälters unter

Erdbebenbeanspruchung, welches es gestattet verschiedene Versagensme­

chanismen zu simulieren. Es ermöglicht Untersuchungen, zu teilweise noch

ungeklärten Phänomenen. Dazu gehören u.a. die Frage, wie sich der hy­

drodynamische Druck in einem unverankerten Behälter verhält, z.Z. wird

davon ausgegangen, daß er sich so verhält, als ob der Behälter verankert

wäre- und wie der Behälter tatsächlich abhebt (vgl. Bild 12). Es wird stu­

diert, welchen Einfluß Imperfektionen haben, und welches die tatsächliche

aufnehmbare Beullast ist. Experimente haben gezeigt, daß Behälter ein

Vielfaches der Beullast eines axialsymmetrisch belasteten Zylinderschale

ertragen können.

Die gewonnenen Erkenntnisse sollen helfen nach Umsetzung in einfacher

handhabare Entwurfsanweisungen Behälter sicher gegen Erdbebeneinwir­

kungen zu bemessen.

145

146

Bild 1

Bild 2

Ersatzmodell für Flüssigkeitsbehälter

Qualitativer Verlauf der hydrodynamischen Drückeinfolge hori­

zontaler (links) und vertikaler (rechts) Bodenbeschleunigung

147

8-Knoten Schalenelement

16-Knoten Kontakt Element

20- Knoten Fluid Element

Bild 3 Fluid-, Kontakt- und Schalenelement

Z,w

e Fluidknoten

• Tankwandknoten

Y.v X,u

Bild 4 Kontaktelement nach Liu [14]

148

~

_j_

Bild 5

Bild 6

~

Verschiebungen eines 2-D Behälters infolge einer horizontalen

Bodenbeschleunigung [6] ohne "Hourglass" Kontrolle (links) und

mit "Hourglass" Kontrolle (rechts)

Idealisierung des Bodens

' ' ' ' I

I

' I +

• L fi20m

.. l

Ta>k: E :2.1 ·108 KNfm2

Er=O <>y=2.4·105 KN/m2 V =0.2 p =7.8 KN sec2/m4

Fluid: E =1·106 KN/m2 p =1 KN sec2/m4

Contact: E =1·106 KN/m2

Bild 7 Diskretisierung und Materialwerte

2 -------------------r---------[cm] :

' '

0+------TJ.

_2~------~------~-----s_ec~. 0 3

2 ---------[cm!

---------r---------' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ot---~~~------J~-- , ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' : ' • sec.:

-2~------+-------~·------~ 0 2 3

149

Bild 8 Vertikale Verschiebung der Knoten 1051 (links) und 1067 (rechts)

über die Zeit

150

Bild 9 Verschobene Geometrie des Behälters mit t=2cm

3 -------------------r---------[MN) :

' sec.' - 3o±---~-----,2=:----_,3

3 -------------------r---------[MN] : : :

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ------.J _.J

sec. -310~----4,---~2~--~3

Bild 10 Membranlängsspannungen in der Schale am Punkt A (links) und

B (rechts)

151

Bild 11 Verschobene Geometrie des Behälters mit t=0,8cm

D.P. Clough Fischer u.a. Wozniak u.a.

Bild 12 Vorschläge für Abhebemodelle

152

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Kurze Stützen unter zyklischer Belastung

GERT KÖNIG1, CARLOS GRAHAM'

1. Einführung

Die Auswertung der Erdbebenschäden der vergangeneu zwei Jahr­zehnte hat verdeutlicht, daß große Schäden an Gebäuden auf das Versagen kurzer Stützen zurückzuführen sind. Kurze Stützen, auch gedrungene Stützen genannt, werden häufig in einer Konstruktion verwendet. Die Verwendung ist oft durch architektonische Gründe bedingt. Kürze Stützen entstehen in einer Struktur aber auch dort wo die freie Länge eines Rahmenstieles durch ausfüllendes Mauerwerk verringert wird (Bild 2). Sieht man von geringfügigen Abweichungen bei verschiedenen Autoren ab, so läßt sich der Begriff "Kurze Stütze" allgernein durch das Verhältniss "a/h" (Bild 1) kleiner als 2.5 definieren. Das Verhältnis "a/h" entspricht dem Abstand zwischen Momenten-Nullpunkt und Einspannstelle zur statischen Höhe des Stützenquerschnitts.

1, SWtze als Kragarm 2. Stütze mit zweifach.er Eins.pannung

I ,__.,_ I 1 Il (:oa I I

H

Bild 1: Definition des Begriffs: "Kurze Stützen".

Die Energiedissipationsfähigkeit einer kurzen Stütze ist sehr gering und das Versagen tritt infolge einer Kombination von Normal- und Schubspannung schlagartig durch Druckversagen auf. Bei kurzen Stützen ist die Schubtragfähigkeit kleiner als die Biegetragfähigkeit und es steht eine wesentlich geringere Verformungsfähigkeit als bei langen Stützen zur Verfügung.

I) Prof. Dr.-Ing. Gert König, Institut für Massivbau, TH Darmstadt, Alexanderstr. 5, D 6100 Darmstadt

2) Dipl.-Ing. Carlos Graham, Institut für Massivbau, TH Darmstadt, Alexanderstr. 5, D 6100 Darmstadt

157

158

Die Duktilität bei langen Stützen ist infolge des Stahlfließans beim Versa­gen deutlich größer. In Systemen (Bild 2) mit verschiedenen aussteifen­den Elementen zieht eine kurze Stütze wegen ihrer hohen Anfangssteifigkeit zunächst einen großen Teil der horizontalen Be­lastung auf sich, während die anderen Aussteifungs­elemente sich noch im elastischen Bereich be­finden. Da aber der Bruch schon unter kleinen Ver­formungen auftritt, ist das Versagen der kurzen Stütze fast unvermeid­lich.

r--------s-hor""tco--,'""" r il. .. l=~r <) 2nnE

Bild 2: Verhalten der kurzen Stützen in Rahmensysternen.

Die Parameter 1 die den größten Einfluß auf das Verhalten von kurzen Stützen haben, sind: Das Verhältnis a/h, die vorhandene Normalkraft ( N ) und der Längs- ( ~ l•~'l ) und Schubbewehrungsgrad ( ~w ). Anhand der Versuchsergebnisse ergab sich, daß je kleiner die a/h Beziehung (Geometrie} und je größer die Normalkraft ist, desto größer wird die Bruchlast und desto kleiner die Verformungsfähigkeit; die Duktilität wird durch die Erhöhung der Schubbewehrunq vergrößert, aber nur bis zu einer bestimmten Oberegrenze. Bei kurzen Stützen nimmt die Steifigkeit nach Erreichen der Maximallast schnell ab.

2. Stand der Forschung

Auf das Phänomen der kurzen Stützen hat Yamada /1/ bereits 1968 hingewiesen. Er und seine Mitarbeiter haben Versuche mit maßstäblichen Versuchskörpern durchgeführt und dabei den Grenzwert a/h zwischen kurzen und langen Stützen festgelegt. Gleichzeitig haben sie die Tendenzen des Einflusses von Normalkraft, Längs- und Schubbewehrungsgrad_ auf kurze Stützen zum ersten Mal studiert. Darüberhinaus haben sie theoretische Modelle entwickelt, die das Versagen der kurzen Stützen reproduzierbar machen.

In Japan haben Kenchiku, Kenkyo und Shirio bis 1978 in einer umfangreichen Versuchsreihe ein- und zweiachsig belastete kurze Stützen untersucht und die Ergebnisse ausführlich dokumentiert. Jirsa und seine Mitarbeiter /2/ haben seit 1974 in Texas mehrere Versuchsprogramme durchgeführt. Ziel war hauptsächlich die Untersuchung der kurzen Stützen unter zweiachsiger Belastung. Alle Versuche wurden statistisch ausgewertet und empirische Formeln z.B. für die Bruchlasten gewonnen. Außerdem wurde auch das Verhalten der kurzen Stützen unter zweiachsiger Beanspruchung und der Einfluß verschiedener Belastungs­geschichten auf kurze Stützen studiert. Kaneko, Tanaka et al. /3/ haben das Versagen der kurzen Stützen durch Versuche und mit Hilfe eines mathematischen Modelles untersucht. Es konnte gezeigt werden, daß die Verbundeigen­schaften der Längsbewehrung einen großen Einfluß auf dem Versagenmechanismus haben.

3. Problemstellung und Zielsetzung

der THD läuft derzeit ein weitere Information über das Stützen gewonnen werden soll. experimentellen Teil und einem

Am Institut für Massivbau Forschungsprojekt, in dem dynamische verhalten der kurzen Das Projekt besteht aus einem theoretischen Teil. In diesem Bericht wird über den

4. Experimenteller Teil

4.1 Versuchsprogramm

experimentellen Teil berichtet.

Alle bisher in der Literatur zu findenden Versuche wurden unter zyklischer Belastung durchgeführt. Mit dem am Institut vorhan­denen Erdbebensimulator wurden die Versuchskörper erstmal unter dynamischer Belastung getestet. Es wurden auch andere kurze Stützen auf einem zyklisch-statischen Versuchsstand geprüft. Das Versuchsprogramm wurde aufgestellt, um den Einfluß von Geometrie ("a/h"), Normalkraft und Bewehrungsgrad bei verschiedenen Stufen der Schädigung zu beobachten. Das Versuchsprogramm ist in Tabelle 1 zusammengefaßt. Die Längsbewehrunq ist so gewählt, daß kein Stahlversagen zu erwarten ist. Bis heute sind zehn Versuche durchgeführt worden.

159

160

Test Art a/h " N/No Long. reinforc. W;;b reinforc.

- - KU om2 o/o cm 2 o/o

EOO dyn. 2.0 0 0 19.6 3.9 4.0 0.5

EOl dyn. 2.0 0 0 19.6 3.9 7.9 0.9

E02 dyn. 2.0 200 1/6 19.6 3.9 7.9 0.9

E03 dyn. 2.0 400 1/3 19.6 3.9 7.9 0.9

E04 stat. 1.5 0 0 12.6 2.5 6.3 1.0

E05 stat. 1.5 200 1/6 12.6 2.5 6.3 1.0

E06 stat. 1.5 400 1/3 12.6 2.5 6.3 1.0

E07 stat. 1.5 200 1/6 12.6 2.5 4.7 0.8

EOS stat. 1.5 200 1/6 12.6 2.5 7.9 l.J

E09 stat. 1-5 200 1/6 12.6 2.5 15.7 2.5

ElO dyn. 1.0 0 0 19.6 6.3 6.3 1.0

Ell dyn. 1.0 200 1/6 19.6 6.3 6.3 1.0

El2 dyn. 1.0 400 1/3 19.6 6.) 6.3 l.O

Tabelle 1: Versuchsprogramm.

4.2 Versuchskörper

(Bild 3). Folgende

0. 80 m,

Die Versuchskörper stellen Stützen als Kragarme dar Die Betonquerschnittabmessungen sind 0. 40 m x 0 .125m. "a/h"-Beziehungen wurden für die Testkörper festgelegt: 0.60 m und 0.40 m.

" 17' n' 71 :0 s 17

" ,, \; :: ' '::

'~, 6 10 Ul \0

11 ll

. -

12 ll 11 , ..

11 II ,, rl

II u .,..6__...ZL__A_

"

c~</2 ::ahl/ <> ... 0.00 U.G 4o~~ . ., O.G!I l9.G 4o2~

O.DO 19.G 4o:.l5 . ., U.G 4o25

"" O.GO l2.G 4o20 .. , O.GO 12.6 ~o~O

•" O.GO .. , O.GO 12.G 4o20 ... O.GO U.G 4 o 20 .. , O.GO 12.6 4o20

0.50 12.G 4o20

ll.G 4 o 20

0.50 l~.G ·1 o 20

Bild 3: Versuchskörper, Geometrie und Bewehrung.

c<~~/2 o /~bst.

S.O o U20c ..

9.4 o 10/tSc"'

"J.4 ., 10/lSc:~~

7.9 o lO;lScll>

7.9 o 10/1Scl>

1.9 o l0/l5COI

~.1 o 10/~SCIP.

U.O o 10/lOc:n

~0.4 o 10/ Sc01

6.J 0 10/lSC!A

G.J o 10/tScm

G.J o 10.'15~"'

Das Fundament wird auf den Rütteltischboden aufgespannt, so daß es während des Versuchs in Zustand I bleibt. Die Längsbewahrung ist für Versuche EOO bis E04 4 ~ 25 und für die anderen Versuche 4 ~ 20. Die Schubbewehrunq beträgt ~10 je 15 cm, und für die Versuche E07 bis E09: ~10 je 25 cm, 10 cm und 5 cm, was einem Schubbewehrungsgrad von 0.3%, 0.17%, 0.43% und 0. 87% entspricht. Die gesamte Betonstahlbewahrung besteht aus Bst 500/550.

4.3 Versuchsaufbau

4.3.1 Versuchsaufbau für dynamische Tests

Die Versuchseinrichtung ist im Bild 4 ( a) gezeigt. Der Rüttel­tisch ist eindimensional und die Bewegungsrichtung horizontal. Der gesamte Aufbau stellt einen Einmassenschwinger dar. Die Stahlmasse oben beträgt 7. 2 Tonnen·. Sie steht auf vier Pendelstützen, die freie Bewegungen in Bewegungsrichtung des Rütteltisches zulassen und Bewegungen der Masse in der vertikaler Richtung verhindern. Die Masse ist mit der kurzen Stütze durch einen Stahl-" Pendel" verbunden, die die Trägheits­kräfte der Masse auf die Stütze überträgt. Deswegen wird keine Normalkraft von der Masse auf die Stütze weitergeleitet.

Pendol

Pondol<liil<o

~--

Bild 4 (a): Versuchsaufbau für dynamische Versuche.

161

162

Bild 4 (b): Versuchsaufbau für zyklisch-statische Versuche.

Wegen der hohen Steifigkeit der Stütze im Zustand I ist die Grundfrequenz des Systems hoch. Um das Verhalten einer Stütze in einem für baupraktische Anwendungen realistischen Frequenz­bereich untersuchen zu können 1 wurde eine Feder zwischen Masse und Gabel-Stütze eingebaut, so daß die Grundfrequenz des Systems um 4Hz liegt. Hierbei bildet die Feder den Rest des Gebäudes ab.

4.3.2 Versuchsaufbau für zyklisch-statische Tests

In diesem Fall (Bild 4) wird die Kraft nicht dynamisch von der Masse auf die Stütze übertragen, sondern durch einen rechner­gesteuerten hydraulischen Zylinder auf die Stütze aufgebracht.

4.3.3 Einleitung der äußeren Normalkraft

Für die Versuche, die eine Normalkraft auf dem Versuchskörper benötigen, wird diese durch 4 oder 8 Spannstahlgewindestangen am Kopf des Versuchskörper eingeleitet (Bild 5). Die Stangen spannen den Körper von der Oberkante der Stütze bis zur Unterkante des Fundaments vor.

Einleitung der NormalJ\raft

1-feder Konstruktion ' 2-Feder-K~struk tion

Bild 5: Nor.malkrafteinleitungsystem.

' I I

II II

Während des Versuchsablaufs treten vertikale Bewegungen auf. Solche Verformungen sollen keine großen Änderungen im Betrag der Normalkraft hervorrufen. Um dies zu gewährleisten, sind zwischen Stütze und Spannstangen Federn gestellt worden, die bei geringen Federwegänderungen keine Normalkraftänderungen erzeugen. Die höchste gemessene Änderung in der Normalkraft (bei Versuch 7) betrug 11%. Die gemessenen Werte der Normalkraft für die verschiedenen Versuche sind in Tabelle 2 aufgeführt.

~ sa=e

~ "' "' ~ w M w m w

"'" ... "" 44.1 57.9 I 60.::1. 48.7 I I :l0.9

"" 52.1 64.0 I 75.2 49.6 u.~ 22.4 J~.s 77.8 I J92.2

"" - I -... 5::1..5 44.6 I s:.7 Sl.l. 202.2 ... ss:1 58.1 Jl.l 75.5 l,9.4 19.0 40.4 25.2 Jl4.9

"" B4.B 5)..3 54.l 67.9 ~58.~

"" 39.0 66.3 47.5 6J.J ~16.1

"" 38.5 H.7 38.1 I 71.9 ~lO.:Z

Tabelle 2: Normalkräfte bei den verschiedenen Versuchen bei den spanstäben 1 bis 8

Da es aus praktischen Gründen nicht möglich ist gleiche Kräfte in allen Stangen zu erreichen, werden in Quer- und Längsrichtung äußere Belastungsmomente erzeugt. Die entstandenen Momente sind gering und wurden aufgezeichnet.

163

164

4.4 Horizontale Belastung

4.4.1 Dynamische Belastung

Mit Hilfe des rechnergesteurten Erdbebesimulators konnten die kurze Stützen mit dem "El Centro, 1940"-Erdbebenverlauf belastet werden. Um im letzten Versuchslauf die Bruchlast zu erreichen, wurden die Stützen mit einer harmonischen Anregung in der Nähe der Resonanzfrequenz belastet.

4.4.2 Zyklisch-statische Belastung

Um die statischen Versuche mit den dynamischen vergleichbar zu machen, wurden die Maßergebnisse der Kopfverschiebung der dynamischen Versuche (Bild 6a) hundertmal verlangsamt und als Belastungsgeschichte der zyklisch-statischen Versuche verwendet (Bild 6b). Einer dynamischen Antwort von ungefähr 6 sek. entspricht dann bei den zyklischen Versuchen einer Zeit von ungefähr 600 sek.

EROSEBENVERLAUF DER DYNAMISC~EN VERSUCHE

E03r3.k05

TJme (ser:J

( a) Kopfverschiebung bei den dynamischen Versuche.

Bild 6 (a): Horizontale Belastung

4.5 Versuchsablauf

VERLAUF OER ZYKL!SCH-STAT!SCHEN VERSUCHE

E05r3.k03 rol""""-...---r---,-j ;:~ - ,I ' ~ 0

" -~1 ~-•o[ " ' Q.,,.: -<oL ___ L___j ___ -L.....__j ___ J_

0 lOQ 200 .100 -<00 ,00

TJme rs~:r;J

(b) Belastungsgeschichte für zyklisch-statische Versuche.

der Versuche.

Bei allen Versuchen, dynamischen und zyklisch-statischen, wurden 4 (bzw. 5) "Läufe" durchgeführt. Im Lauf 0 wurden sehr kleine Verformungen aufgebracht, sodaß die Stütze noch voll im elastischen Bereich blieb. Das Ziel war die Anfangssteifigkeit der kurzen Stütze zu bestimmen. In Lauf 1 wurde die Zugfestigkeit des Betons überschritten und die ersten Riße erzeugt. In Lauf 2 wurde die Stärke der Belastung erhöht, um dadurch den Schädigungsgrad zu erhöhen. In Lauf 3 wurde versucht, die Bruchlast zu erreichen. Da es nicht inuner gelang die Bruchlast mit dem Erdbebenverlauf zu erreichen, wurde ein 4-ter. Lauf mit einer per Hand gesteuerten harmonischen Anregung bis zum Bruch des Versuchskörper durchgeführt.

4.6 Messungen

Die Beschleunigungverläufe des Rütteltisches und der Stahlmasse wurden während der dynamischen Versuche aufgenommen. Bei allen Versuchen wurden die eingeleiteten Horizontalkräfte durch zwei in den Pendel eingebaute Kraftmaßdosen gemessen. Darüberhinaus wurden die Normalkräfte an jeder Spannstange auch durch 4 (bzw. 8) Kraftmaßdosen während des ganzen Versuchs gemessen. Durch induktive Wegaufnehmer wurden sowohl die Horizontal- als auch die Vertikalverschiebungen am Kopf der Stütze während des Versuchsablaufs aufgenommen. Außerdem sind die Relativerformung zwischen Fundament und Stütze und die horizontalen Verschiebungen an mehrere Stellen über die Höhe der Stütze gemessen worden.

5. Versuchsergebnisse

Bei kurzen Stützen ist, wie bereits erwähnt , ein schlagartiges Versagen zu erwarten. Das Prinzip des Versagensmechanismuses kann mit Hilfe der Fachwerkanalogie dargestellt werden. Die drei Hauptelemente, sind die Längsbewahrung als Zugband, der Beton als Druckstrebe, und die Schubbewehrung. Am Anfang, bei niedrigem Belastungsniveau, wird die Kraft weitgehend ohne lokale störungen zum Fundament übertragen. Wenn Schlupf in der Längsbewahrung auftritt, bildet sich ein Fachwerkmodell mit der Zugbewahrung als Zuggurt. Die Druckkraft läuft durch eine schräge Druckstrebe im Beton bis zum Fundament. In diesem Moment treten Schrägrisse parallel zu den Druckstreben auf. Im weiteren Verlauf gibt es Verschiebungen zwischen den Rißufern und das Versagen tritt auf. Entweder versagt der Beton - er explodiert förmlich oder die Relativbewegung der beiden Rißufer geht weiter und dann fließt die Bügelbewehrung. Ideal wäre ein Versagensmechanismus, bei dem Fließen in der Längsbewahrung das Ergehniss wäre, weil damit ein duktiles Verhalten des Bauteiles erreicht würde. Das ist bei kurzen Stützen jedoch nicht den Fall. Das Versagen tritt durch einen Schrägriß im Beton auf, und danach versagt die Stütze schlagartig. In Abhängigkeit vom Schubbewehrungsgehalt hat der Beton durch den Umschnürungseffekt eine höhere Tragfähigkeit. Im Bild 7 sind die Hysteresen für drei verschiedene Niveaus der Normalkraft am vergleichbaren Versuchskörpern dargestellt. Die Normalkraft ist dabei N ~ 0, N ~ 202 KN (n~0.23) und N ~ 325 KN ( n=O. 3 7) . Aus einem Vergleich dieser Hysteresen wird deutlich, daß, je größer die Normalkräfte sind, desto größer auch die Traglasten sind. In den Versuchen mit hoher Normalkraft ist die Neigung der Risse steiler als die mit geringer Normalkraft (Bild 8). Die Schrägrisse fangen in der Mitte des Körpers anr und je höher die Normalkraft ist, desto steiler werden die Risse in der Nähe des Fundaments. Im Fall mit der größten Normalkraft kommen die Risse fast vertikal am Fundament, d.h. parallel zur Längsbewehrung, an.

165

166

,_

Bild 7: Hysteresen für Versuche mit drei verschiedenen Niveaus der Normalkraft (N=O, N=202 KN und N=325 KN).

Bild 8: Rißbilder für Versuche mit drei verschiedenen Niveaus von Normalkraft (N=O, N=211 KN und N=392 KN).

Im Bild 9 kann man vier Hysteresen für verschiedene Mengen der Schubbewahrung sehen. Die Schubbewahrung bestand aus Bügeln ~ 10 mit Abständen 25 crn, 15 cm, 10 cm und 5 crn, was einem Schubbe­wehrungsgrad ( ~ w ) von 0.50%, 0.84%, 1.25% und 2.5% entspricht. Längsbewahrung und Verschskörperabmessungen waren für die vier Versuche gleich. Die Erhöhung des Schubbewehrungs­gehalts verbesserte die Verformungskapazität der kurzen Stützen aber nur bis zu einer bestimmten Grenze. Die Beziehung zwischen Schubbewehrungsgehalt und Verformungskapazität ist nichtlinear.

Ernhüllende Versuche 7- 9

Bild 9: Hysteresen für vier Schubbewehrungsgehalte.

Die Rißbildung ist in starkem Masse· von der Schubbewahrung abhängig. Je dichter die Bügel sind, desto besser werden die Risse verteilt. Die Rißneigung zeigt keine große Änderung an. Der Umschnürungseffekt verbessert die Tragfähigkeit insbeson­dere im Endbereich der Druckstreben.

7. Schlußfolgerungen

An Hand der Rißbilder der verschiedenen Versuche läßt erkennen, daß das Versagen der kurzen Stützen von Kombination aus Normal- und Schubspannungen abhängt.

sich der

Bei der konstruktiven Durchbildung ist eine enge Verbügelung zu empfehlen, um die Verformungskapazität zu verbessern, trotzdem werden nicht so große Verformungen wie bei langen Stützen erreicht.

Im theoretischen Teil der Arbeit sind bei der Modellierung nicht nur die Geometrie (a/h), die Normalkraft und der Schub­bewehrungsgrad zu berücksichtigen sondern auch die Verbund­eigenschaften zwischen Längsbewahrung und Beton. Die Verbund­eigenschaften spielen bei der Energiedissipation eine wichtige Rolle. Zusätzlich muß man auch, die in den Schrägrissen entstandene Reibung zwischen zwei Rißufern berücksichtigen.

8. Zusammenfassung

In Rahmen der Forschungsarbeit "Kurze Stützen unter Zyklischer Beanspruchung" wurden am Institut für Massivbau der THD zehn Versuche durchgeführt. Hier wird der experimentelle Teil des Vorhabens vorgestellt. Qualitative und quantitative Informatio­nen für die theoretische Modellierung ergänzen den Beitrag.

167

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/3/ Y.Kaneko, Y.Tanaka:"Shear Failure Mechanism of Reinforced Concrete Short Columns",Sth. Earthquake Engineering Symposium, Japan, 1975.

/4/ E.Hofrnann: "Versuche an kurzen Stützen, Auswertung -Vertieferarbeit" Institut für Massivbau, TH Darmstadt, 1987.

/5/ C.Graham: "Short R/C Columns Under Seisrnic Actions", Darmstadt Concrete, Institut für Massivbau, TH Darmstadt, 1986.

Niedrigzyklisches Verhalten von Stahlbau-Anschlüssen im plastischen Bereich

KLAUS BRANDES'

1. Einleitung

Tragende Konstruktionen aus Stahl gelten als besonders gut ge­

eignet für Erdbebenregionen und widerstehen bei sorgfältiger

Gestaltung auch schweren Erdbeben.

Nichtsdestoweniger weisen auch Stahlkonstruktionen bei schweren

Erdbeben Schäden auf. Beim Erdbeben in Mexiko im September 1985

sind mehrere Gebäude mit stählernen Tragkonstruktionen zusammen­

gestürzt (siehe: Ammann/Vogt/Wolf 1986).

Um ähnliche Katastrophen in Zukunft zu vermeiden, ist es unab­

dingbar, die Ursachen für das Versagen der Konstruktionen zu

erkunden. Dabei ist man in gewisser Weise auf Vermutungen ange­wiesen, da die publizierten Berichte nicht immer mit ausreichen-

der Genauigkeit auf Details eingehen und es außerordentlich

schwierig ist, primäre und sekundäre Schäden zu unterscheiden.

Solange Stahlbauten in ihren Verbindungen - mögen es Schweiß-

nähte oder Schrauben-Anschlüsse sein den Erdbeben-Beanspru-

chungen widerstehen, hat auch die gesamte Konstruktion gute

Aussichten, auch schwere Erdbeben zu überstehen. Versagen aller­

dings die Verbindungen zwischen den einzelnen Bauteilen, dann

verliert in aller Regel das Gesamtsystem seine Stabilität und

stürzt zusammen. So wird über Mexiko berichtet (Amman/Vogt/Wolf

1986), daß zwar nur w...:nige Stahlkonstruktionen zu denjenigen

gehören, die Schäden aufweisen, davon aber eine ganze Reihe

völlig zerstört wurde (siehe auch: Brandes 1987/2)). Japanische

und italienische Autoren weisen ebenfalls auf Schäden an Verbin­

dungen hin (Yamada 1980; Ballio/Zanon 1983).

Dr.-Ing. Klaus Brandes, Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfung (BAM), Berlin, Fachgruppe 11 Tragfähigkeit der Baukonstruktionen'', Unter den Eichen 87, D-1000 Berlin 45

169

170

Das Verhalten von Stahlbau-Verbindungen unter starker Erdbeben­

Beanspruchung bedarf daher noch weiterer Untersuchungen, was

auch aus der Tatsache zu erkennen ist, daß im EUROCODE Nr. 8,

1986, erst für sehr wenige Anschluß-Typen Angaben zur Bemessung

enthalten sind. In der Bundesrepublik Deutschland sind auf die­

sem Gebiet keine Untersuchungen vorgenommen worden. Vielmehr

konzentrieren sich hier fast alle Bemühungen auf Stahlbetonkon­

struktionen (siehe z. B. Vogel/Brandes 1988).

Es ist Aufgabe der Untersuchungen, über deren erste Ergebnisse

hier berichtet wird, auf diesem Gebiet zur Klärung offener Fra­

gen beizutragen.

2. Problemstellung

Stählerne Tragkonstruktionen werden in aller Regel aus Walzpro­

filen zusammengesetzt, die miteinander verbunden werden, in

früheren Jahrzehnten fast ausschließlich mit Nieten, seit meh­

reren Jahrzehnten mit Schweißnähten und hochfesten Schrauben.

Soll die Konstruktion hohen Erdbeben-Beanspruchungen widerste­

hen, so müssen die einzelnen Teile in der Lage sein, erhebliche,

wechselnde plastische Verformungen aufzunehmen. Das kann nur in

den Trägern geschehen, nicht aber in den Verbindungen (Bild 1).

Bild 1 Stirnplatten-Anschluß (Versuchskörper, BAM)

Die Verbindungen müssen allerdings höhere Tragfähigkeit als die

benachbarten Träger haben, da sie sonst bei Überlastung brechen

würden. Zum anderen aber sollen Verbindungen nicht überdimensio-

niert werden, sowohl aus konstruktiven als auch aus wirtschaft­

lichen Gründen. Um hier zuverlässig konstruieren zu können,

bedarf es experimentell gesicherter Kenntnisse sowie einer pro­

babilistischen Zuverlässigkeitsanalyse.

In die experimentellen Untersuchungen sind alle relevanten phy­

sikalischen Effekte einzubeziehen, um Mißdeutungen auszuschlie-

I

Bild 3 Anschluß über eine Reibverbindung

Detail

Bild 2 Stirnplatten-Anschluß (schematische Darstellung)

171

' 172

ßen. Dazu gehört insbesondere die Berücksichtigung von _Einf!ils­

SBfl der Verformi.Jngscjeschwindigke1t. Daraus folgt aber, daß qua­

sistatische Versuche nur in gewissen Grenzen zu zutreffenden

Ergebnissen' führen. Zumihdest ein Teil der Untersuchungen muß in

dem Frequenzber1eich, durchgeführt werden, der für Erdbeben ty­

pikch 1st. 'oas erreicht man zuverlässig bei Versuchen auf ''Rüt­

teltischen11,- Nur weJ?den dort, in aller Regel verkleinerte Modelle

verwendet, bei denen insbesondere die Verbindungen bei Stahlbeu­

ten ni~ht z~treffend abgebildet ~erden können.

Fü~ die Unters~chungen in der BAM ist vorgesehen, typische

Stahlbau-Verbindungen in wirklichkeitsgetreuen Abmessungen zu

ver·wenden und an ihnen Versuche unter statischen Bedingungen und

im Frequenzberei_ch von Hz bis 10 Hz durchzuführen. Das Inter-

esse ist dabei auf den Geschwindigkeitseinfluß gerichtet, der

bei Stahl geringer Festigkeit (z,- B. St 37) stark ausgeprägt

ist, nicht aber bei hochfestem Stahl, der für HV-Schrauben ver­

wendet wird. Somit muß vor allem bei Stirnplatten·-Ans~hlüssen

(Bild 2) ein Geschwindigkeitseffekt auftreten, nicht aber bei

sog. Reibverbindungen (Bild 3), die Gegenstand von Untersuchun­

gen in Italien Sind (Ballio/Zanon 1983).

3. Durchgeführte Untersuchungen

Bisher sind erst relativ wenige Versuche in der SAM durchgeführt

worden. An dieser Stelle wird über einige Versuche an Walzträ­

gern HE 100 B (IPB 100) berichtet, die mit Stirn~latten-Anschlüs­

sen in Anlehnung an DStV/DASt 1978 bemessen worden sind. Da die

Schrauben etwas überdimensioniert waren, war ein Brechen der

Schrauben ausgeschlossen. Die Stirnplatten waren unterschiedlich

dick, so daß zwei verschiedene Verformungsmechanismen aktiviert

werden mußten. Bei 20 mm dicken Stirnplatten mußte ein Verfor­

mungsmechanismus auftreten, wie er in Bild 4 oben dargestellt

ist. Für diesen Fall war auch zu erwarten, daß der Geschwindig­

keitseffekt deutlich werden muß. Aus diesem Grunde wurde im

Versuch der erste Zyklus statisch gefahren: Für eine volle

Schleife wurden 40 min benötigt. Dann wurden mit etwa

nächsten Zyklen gefahren.

Hz die

I I I L _______________ _

Bild 4 Verformungsmechanismen im Bereich von Stirnplattsn-Verbindungen im plastischen Bereich

Verformungen im Träger nach Überschreiten des Fließmoments

- Verformungen der Stirnplatte nach Überschreitung ihrer Trag­last

173

E(;,--- Verformung der HV-Schrauben bei

Unterdimensionierung der Schrauben I

L

-q --

L--~--------------

Bei 10 mm dicken Stirnplatten wird im wesentlichen nur die

Stirnplatte plastisch verformt (Bild 4, Mitte). Diese Art der

Verbindung ist erst in neuerer Zeit untersucht worden (Aggar­

wal/Coates 1985). Sie ermöglicht es, auch überdimensionierte Trä­

ger duktil anzuschließen. Ihr Einsatz ist aber nicht in Regionen

mit sehr schweren Erdbeben für die tragende Konstruktion empfeh­

lenswert. Bei diesem Verbindungstyp war vor allem interessant,

wie viele Zyklen bis zum Versagen der Stirnplatte aufgenommen

werden können. Ein weiterer Verformungsmechanismus führt bei

dünnwandigen Bauteilen u. U. zu frühzeitigem Versagen: Die dünn­

wandigen Teile beulen im Bereich hoher plastischer Dehnungen

schon während der ersten Beanspruchungszyklen aus. Die Beulen

werden mit jedem Zyklus stärker und bereits nach relativ wenigen

Zyklen treten Risse auf, die den Widerstand des Bauteils dra­

stisch reduzieren, Bild 5. Diesem Phänomen soll in weitere Un­

tersuchungen eben falls nachgegangen werden (Betero/Popov 1965;

Tanabashi et al 1970; Brandes 1984).

174

Bild 5 Entstehung von Ausheulungen bei 1-Trägern nahe dem Stirnplat­ten-Anschluß bei zyklischer plastischer Verformung (Aufnahme vom Versuch Nr. 5)

z

"' z H

KRAFT-WEG 10.0

>­"­~ -7"s~. -~~-"'so,....~~-+;if,'--~-.g.,;H;;----,~~~~-.,s"'o~. ~~+-c;75.

"' I 100 St 37

>-

X, WEG IN MM

BAM 2.2

Bild 6 Hysterese-Schleife für eine Träger (s. Bild 5), der zunächst statisch (etwa 40 Minuten für einen Zyklus - strichlierte Linie) und danach mit etwa 1 Hz zyklisch verformt wurde

4. Ergebnisse

Die Ergebnisse aus den ersten Versuchen bestätigen den vermute­

ten physikalischen Effekt, daß das Fließmoment der Träger mit

der Frequenz zunimmt, In dem betrachteten Bereich statische

Belastung mit etwa 0,0005 Hz, dynamische Belastung mit etwa

1 Hz - erhöht sich der Widerstand des Trägers um etwa 8 %, wie

aus Bild 6 zu erkennen ist. Legt man ein visko-plastisches Ma-

terial zugrunde,

die Zunahme auf

1985).

so läßt sich

etwa 10 "' '"

für 10 Hz Beanspruchungsfrequenz

extrapolieren (Brandes/Limberger

Dieser systematische, werkstoffphysikalische Effekt ist bislang

außer Betracht geblieben, kann aber für manchen Erdbebenschaden

verantwortlich sein.

Tr hl. .. HV-Ansc roger (r-M

Msr,Hv

C(,:)Mu,Tr _,

/ ' / ' / / -C·Mu.Tr

_/~ Mu.Tr

Bild 7

' '

' ' ' I

)M

~-~

M

s d

tat. yn.

Schematische Darstellung der Grundlage für die probabilistische Sicherheitsanalyse von Stirnplatten-Verbindungen. Gegenüberstel­lung der Belastungsgröße für den Stirnplatten-Anschluß (Fließ­moment des Trägers) und des Widerstands des Anschlusses (HV­Schrauben). Seide Größen sind statistisch verteilt; die angege­benen Dichtefunktionen sollen das wiedergeben. Für eine sichere Bemessung wird das Fließmoment Mu Tr mit einem aus Versuchen bestimmten Faktor C multipliziert u~d diese Größe dem Widerstand des Anschlusses gegenübergestellt. Der Faktor C(i) gibt den Wert von C an, der bei Berücksichtigung des Einflusses der Verfor­mungsgeschwindigkeit verwendet werden muß, um die geforderte Sicherheit zu erreichen.

175

176

5. Zuverlässigkeitsanalyse

Die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Stirnplatten-Anschlüssen

gestaltet sich besonders schwierig, da kaum Daten verfügbar

sind, die es erlauben, obere Fraktilen für die Zugfestigkeit von

Walzträger-Material anzugeben. Dieser Wert ist aber maßgebend

für die Beanspruchung der Verbindungsmittel. Mit Abschätzungen,

die zuverlässig auf der sicheren Seite liegen, gelangt man rasch

zu Werten, die unrealistisch hoch erscheinen. In Bild 7 ist das

Vorgehen bei einer probabilistischen Sicherheitsanalyse verdeut­

licht, wobei der Effekt der Festigkeitserhöhung mit steigender

Frequenz einbezogen ist.

Da eine Unterdimensionierung einzelner Anschlüsse nicht voll­

ständig ausgeschlossen werden kann, erscheint es sinnvoll, Aus­

steifungssysteme zu verwenden, bei denen eine Reihe paralleler

Ausstei fungselemente da für sorgt, daß auch beim Versagen ein­

zelner Verbindungen ein Zusammensturz des Gesamtsystems vermie­

den wird (siehe Bild 8; ENR 1983).

Bild B Anordnung paralleler Aus­steifungsscheiben bei einem Gebäude in Califor­nien (ENR 1983) (Federal Office Building in San Jose)

Bild 9 Servohydraulische StoBein­richtung für die niedrigzyk­lische Beanspruchung großer Bauteile und -elemente

6. Ausblick

Oie Untersuchungen werden in größerer Breite in der BAM in den

nächsten Jahren fortgesetzt. Längere Verzögerungen sind mit

Rücksicht auf den Fortgang der Arbeiten am EUROCODE Nr. 8 nicht

mehr in Kauf zu nehmen.

Für Ve-rsuche an größeren Bauteilen wird eine servohydraulische

Versuchseinrichtung eingesetzt werden, die speziell in der BAM

für sehr schnell ablaufende mechanische Beanspruchungen relativ

großer Versuchskörper entwickelt worden ist (Bild 9; Brandes/

Limberger/Herter 1983). Die Arbeiten werden koordiniert mit

Untersuchungen in Japan (Fukumoto/Kusama 1985, Brandes 1987/2)

und Italien (Cosenza/De Luca/Faella 1984; Oe Martino/ Faella/

Mazzolani 1984).

Literaturverzeichnis

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Brandes/Limberger/Herter 1983: Brandes, K., Limberger, E. und Herter, J.: Kinetische Grenztragfähigkeit von stoßartig belaste-ten Stahlbetonbauteilen Konzeption für geregelte Versuche Versuchseinrichtung Vorversuche an Stahlbetonbalken. For­schungsbericht 90 der Bundesanstalt für Materialprüfung (SAM), Berlin, April 1983.

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177

178

Brandes/Limberger 1985: Brandes, K. und Limberger, E.: Zur Be­einflussung der Festigkeitskennwerte von Betonstahl durch die Dehngeschwindigkeit. Beton- und Stahlbetonbau 1985, Seiten 90-94, 128-.133.

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Cosenza/De Luca/Faella 1984: Cosenza, E., Oe Luca, A. and Fa­ella, C.: Nonlinear behaviour of framed structures with semi­rigid joints. Costruzioni metalliche 36 (1984), pp. 199-211.

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DStV/DASt 1978: Typisierte Verbindungen im Stahlhochbau. Biege­steife Stirnplattenverbindungen mit hochfesten vorgespannten Schrauben. 2. Auflage. Deutscher Stahlbau-Verband und Deutscher Ausschuß für Stahlbau, Köln 1978.

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EUROCODE Nr. Europäisches 1984.

8: Kommission Regelwerk für

der Europäischen Gemeinschaften. Bauten im Erdbebengebiet. Entwurf

Fukumoto/Kusama 1985: Fukomoto, Y. and Kusama, H.: Local instab­ility tests of plate elements under cyclic unaxial loading. Proc. ASCE, Journal of Structural Engineering, Val. 111, May 1985, pp. 1051-1067.

Tanabashi et al 1970: Tanabashi, R., Yokoo, Y., Wakabayashi, M., Nakamura, R., Kunieda, H., Motsunaga, H. and Kubota, T.: Load­deflection behaviours and plastic fatigue of wide-flange beams subjected to alternating plastic bending. Trans. Archit. Inst. Japan Nr. 175, Sept. 1970.

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Yamada 1980: Yamada, M.: Bauen in erdbebengefährdeten Gebieten, beispielhafte Lösungen. Deutsche Bauzeitung, Heft 11, 1980.

Zum Einfluss von Dämpfung und Materialnichtlinearität am Beispiel der Lastfälle Flugzeugabsturz und Erd~eben bei Kernkraftwerken

FRANK ßUCHHARDT, WOLFGANG MATTHEES, GÖTZ MAGIERA, MICHAEL WEBER

1. Einleitung

In der Bundesrepublik Deutschland sind Kernkraftwerke gegen die Lastfälle Flugzeugabsturz und Erdbeben auszulegen. Dreidimensio­nale dynamische Untersuchungen mittels global diskretisierter Systeme sind außerordentlich aufwendig und kostenintensiv, wenn nichtlineare Einflüsse (wie beim Flugzeugabsturz) und wirklich­keitsnahe Boden-Bauwerkskopplung (wie beim Erdbeben) beachtet werden müssen. Zur Bestimmung der Beanspruchung der im Innern lie­genden Systeme und Komponenten werden i. a. eindimensionale Bal­kenmodelle verwendet. Im Hinblick auf grundsätzliche Überlegungen zur Modifikation der Nachweise gegen Flugzeugabsturz (Einführung des 0.5 g-Konzeptes) und gegen Erdbeben (Änderung der KTA-Regel

2201) sind in BAM-2.01 die vorliegenden extrem aufwendigen dyna­mischen 3D-Analysen zu beiden Lastfalltypen einschließlich ihrer parametrischen Auswertung durchgeführt worden. Hierzu wurde auf den letzten SMiRT-Konferenzen berichtet.

2. Untersuchungen zum Lastfall Flugzeugabsturz

Die Struktur wird mit Hilfe der Finiten Element Methode berechnet, wobei eine modifizierte Version des ADINA-Codes zur Anwendung kommt. Zum weitgehenden Ausschluß von Modellübertragungsproblemen wird hier integral ein drei-dimensionales Modell verwandt. Bild 1 zeigt eine Durchsicht des diskretisierten Systems. Der Querschnitt durch die Konstruktion zeigt in Bild 2 die Ansicht der Eintei­lung in VOLUME-Elemente für die Betonstruktur. Das dynamische Antwortverhalten der Struktur wird durch den Bewegungsverlauf der vorgegebenen Knotenpunkte beschrieben. Punkt 5 gibt die Lage der

Dr.-Ing. Frank Buchhardt, Dr.-Ing. Wolfgang Matthees, Dr.-Ing. Götz Magiera, Dr.-Ing. Michael Weber, Bundesanstalt für Material­forschung und -prüfung, BAM-2.01 "Konstruktionstechnische Reaktor­sicherheit', Unter den Eichen 87, D 1000 Berl in 45

179

180

Kranbahn wieder, und Punkt 8 ist die Fußpunktachse des Reaktor­druckbehälters.

30 NPP MODEL UNDER AIRCilAFT IMPACT

Bild 1: Dreidimensionale Diskretisierung eines KKW zur Berechnung des Lastfalls Flugzeugabsturz

CROSS-SECTION

Bild 2: Querschnitt durch eine Dis­kretisierung eines KKW

" m

Entsprechend dem realen physikalischen Verhalten ist zwischen der nichtlinear tragenden Auftrefffläche und der restlichen sich line­ar verhaltenden Struktur - das sind insbesondere alle Punkte im Anlageninnern - zu unterscheiden. Der Boden wird durch hier nicht

dargestellte VOLUME- uni Dämpfungselemente, welche die Boden­Bauwerks-Wechselwirkung simulieren, realistisch erfaßt. Das in Lastrichtung achsensymmetrische Modell umfaßt ca. 4000 Freiheits-

NON-LIN, IMPACT AAEA

0 I. Sm

grade, wobei ca. 1200 Freiheits-grade für den in Bild 3 darge­stellten nichtlinearen Feinnetz­bereich bereitgestellt werden. Der Baustoff Beton wird durch dreischichtige VOLUME-Elemente diskretisiert, an deren Außenkan­ten die innere und äußere Biege­bewehrung durch TRUSS-Elemente abgebildet ist. Die Schubverbüge­lung wird in gleicher Weise durch TRUSS-Elemente realisiert. Die zu-

-Bild 3: Feinnetzdiskretisierung grundeliegende Stahlbetondirnensie­im Bereich der Auftrefffläche

nierung entspricht dem Kraftwerk Grohnde. Nichtlineare, dreidimensionale Analysen sind für dynamische Vorgänge rechentechnisch außerordentlich aufwendig. Aus diesem Grunde wurden Kalibrierungsrechnungen durchgeführt, und zwar einmal zur Verifikation des Programmcodes selbst, zum anderen aber auch zur Ermittlung einer sinnvollen Diskretisierung des Ge­samtsystems. Zur Kontrolle der Berechnungen des ADINA-Codes wird ein rotationssymmetrisches Modell für den ASHSD-Code im linearen Bereich bei Vorgabe einer konzentrierten Einzellast angewandt, vgl. Bild 4. Für den statischen Lastfall läßt sich auf diese Wei-se auch eine ungefähre Einschätzung nearen Auftrefffläche vorneh-

für die Annahme der nichtli-

men. Der Vergleich der ersten Eigenwerte ergibt für das 3D Modell 5.2 Hz und für das ASHSD Modell 5.4 Hz bei Annah­me starrer Fesselung. Die Be­lastung wird durch eine den

Aufprall einer Phantom RF-4E (Masse 20 Mg, Aufprallge­schwindigkeit 215 m/s) simu­lierende Lastfunktion gemäß RSK vorgegeben. Das Verhalten des Baustahls auch unter kurzzeitiger Be­lastung ist bekannt und wird durch bil ineares Material ver­

ADINA -- ASHSO model comparison

AS

0 o·LL-::,-'-:,7-, ~,:",~,:-, mw4o· Radiat ordinate r -

Bild 4: Ergebnisvergleich zwischen Berechnungen aus ADINA und ASHSD

halten erfaßt. Sehr viel komplexer ist das Verhalten des Baustoffs Beton, für den bei kurzzeitiger Beanspruchung im Prinzip nur ein­axiale Testresultate vorliegen. Deshalb wird zuerst das einfache bilineare Gesetz für den Stahlbeton angewandt; hierzu wird idea­lisierend eine Simulation des Biegeverhaltens für den Querschnitt mit gerissener Zugzone durch das Tragvermögen für einen ungeris­senen Querschnitt durchgeführt. Danach sind dann die Beton-E-Mo­duli zur Simulation des Risszustandes in großer Bandbreite- so­wohl für die Eingangsdaten als auch für die topalogische Vertei­lung innerhalb des Feinnetzes - zu reduzieren. Im weiteren wird das Verhalten des Baustoffs Beton auch nach einem Drucker-Prager-

181

182

Werkstoffmodell berechnet; hierbei wird im Druckbereich ein Ver­sagen entsprechend dem Mohr-Coulomb-Kriterium und im Zugbereich ein Zugbegrenzungskriterium eingeführt. Dynamische Verfestigungen werden bei allen Materialgesetzen nicht berücksichtigt. Eine Spannungsüberprüfung des linearen Verhaltens außerhalb des Fein­netzbereiches wird vorgenommen.

Die StrukturdKmpfung unter Einbeziehung des Bodens wird durch den Ansatz der Rayleigh DKmpfung durch Kombination aus Masse- und Steifigkeitsmatrix realisiert. Entsprechend REV KTA 2203 sind 7%

DKmpfung anzusetzen. Der Einfluß der FrequenzabhKngigkeit der DKmpfung wird einmal mit den beiden ersten Eigenfrequenzen als Stützstellen (Bezeichnung 51), ein anderes Mal mit der ersten Eigenfrequenz und der Frequenz 16Hz als Stützstellen (Bezeich­nung 52} numerisch abgeschKtzt.

DAMPJNG INFLUENCE

~ ·~~----~~----~------~----~~---­E ~1 ,_ >-

" 0 J w > ~

.1 10 100

NP. 8

~

" +

Die Ergebnisse der Berechnung

werden in Res­

ponse Spektren überführt. Bild 5 zeigt den Einfluß der Dämpfung

• für den Achsen­punkt des Re­aktord ruc kbe­hälters, wenn

FREQUENCY Hz 1 ineares Mate-

RESPONSE SPECTRUM OF A NPP-FEM-MODEL

UNDEA AIRCRAFT IMPACT rialverhalten

vorausgesetzt Bild 5: Dämpfungseinfluß auf das Response Spektrum wird. Parame­für Punkt 8

ter ist die

Art der DKmpfung: nur AbstrahlungsdKmpfung (Symbol rd), nur Sy­stemdämpfung mit Stützstellen bei der 1. Eigenfrequenz und 16 Hz (Symbol s 2d) oder Abstrahlungs- und SystemdKmpfung (Symbol s 2rd). Es wird deutlich, daß die DKmpfung eine deutliche Reduktion ab etwa10Hz bewirkt: die Verformungen liegen etwa um den Faktor 2 auseinander. Die Strukturdämpfung ist von höherem Einfluß als die

Abstrahlungs­dämpfung.

• ' E

u 0 ~

w >

0 <l.%

~ - ~---'-""'---' ,01

183

MATERIAL INFLUENCE

NP. 8

* bi-1 A DA-PR

10000

Bild 6 zeigt den Einfluß von un­terschiedlichen

nichtlinearen Materialverhal­ten ohne Be­rücksichtigung einer Dämpfung. Parameter sind zum einen die unterschied­lichen Abstu­fungen für die äußere, mi ttl e·

FREOUENCY Hz

RESPONSE SPECTRUM OF A NPP-FEM-MODEL

UNDER AIRCRAFT IMPACT

Bild 6: Materialeinfluß auf das Response Spektrum für Punkt 8

re und innere Zone des Feinnetzes bei entsprechender Steifig-

keitsreduktion (Symbol bi-1) und zum anderen das Drucker Prager­Materialmodell (Symbol DR-PR). Das wohl wirklichkeitsnähere Drucker-Prager Modellliegt relativ nahe dem Linearmodell. Die Aufschlagzone des bilinearen Modells ist äußerst weich angesetzt. So erfolgt im Extremalfall eine Steifigkeitsreduktion bis zu 6 % im Vergleich zum linearen Stahlbetonmodell.

Interessanterweise führt weder das Drucker-Prager-Spektrum noch das ungünstige bilineare Spektrum zu deutlichen Extremalwertaus­sagen, da offensichtlich bei extrem unterschiedlichen Material­

vorgaben jeweils entsprechende Minima und Maxima korrespondieren.

LINEAR (50/55)

GI\USS- SD RD POINTS

2 . .

3 . .

3 . RD 3 Sl .

3 S2 .

3 Sl RD 3 S2 RD

'5 16 IIZ > 16 IIZ

DJSPLACEM. I FREQENCY ACCELER. I FREQENCY (M/1) <HD (g) <HD MAX MIN MAX MIN

2.2 I 1J 0.6 I 16 VI I 23 0.5 I 80

2.3 I 4 0,6 I 16 2.1 I 25 0.4 I 80

1.5 I IJ O.!i I 15 1.5 I 25 0.2 I 90 2.0 I lJ 0.3 I 16 0,3 I 13' 0.1 /100

2.1 I 4 0,4 I 15 0,7 I 27 0.1/100

1.2 I IJ 0.2 I 16 0,2 I 15' 0 .. 1 I 40

1.4 I 4 0.3 I 16 0.6 I 25 0.1 /100

DAMPING INFLUENCE NP. 8

Tabelle I zeigt die syste­matische Auswertung des Dämpfungseinflusses für den Fußpunkt unter Verwen­dung eines linearen Mate­rialmodells und 3 Gaußin-

Tab. 1: Dämpfungseinfluß für Punkt 8

184

tegrationspunkten in den VOLUM~- Elementen. Für den Bereich klei­ner 16Hz ergibt sich eine Verminderung der maximalen Verformun·· gen im Response Spektrum um den Faktor 2, für die maximalen Be· schleunigungen im Bereich größer 16 Hz um den Faktor 3 bis 4.

NO DAMPING '516 HZ > 16 HZ GAUSS- MATERIAL (NO.l DISPltiCEM. I FRHJUENCY ACCELER. I FREQUENCY POINTS (MM) {IJZ) (g) (HZl

MAX M<N MAX M<N

2 L (18,50) 2.2 /Q 0.6 I 16 2.4 I 2) 0.5 I 80

2 BI -L <48.51> 2 /Q 0.8 I 15 3 180 0.7 I lJO

2 BI-L <SB.S2l 1.9 /Q 1.1 I 15 5 /70 0,9 I 45

2 BI-L OB.53l 2 /Q 0.7 I 16 3 /25 0.6 I 70

2 Bl-l (78.54) 1.8 110 1.1 I 16 3.3 I 70 0.8 I 20

2 81-l (6ß,5lJD 2 110 I 1!6 2.1/ so 0,9 I 70

3 L (lC,SSl 2.3 /Q 0.6 I 16 2.1/ 25 0,4 I BO

3 Bl-l m.S6l 2 /Q 0.7 I 15 3 /25 0.7 I 50

3 BH <SC.57> 1.6 /Q I I 16 2,8 /100 0.8 I 4LI

3 BI-L OC.58l 1.9 /Q 0.7 I 16 3 /25 0,5 I 70

3 DR-PR<BC.61) 2 /Q 0.5 I 16 2.2 I 25 0.5 I 90

MATERIAL INFLUENCE NP, 8

Tabelle 2 zeigt die entsprechende Auswer­tung der Response Spek­tren für den Einfluß der Nichtlinearität ohne Dämpfung. Eine hö­here Anzahl von berück­sichtigten Gaußintegra­tionspunkten führt zu einer geringeren Streu­ung. Verformungen im niedrigen Frequenzbe­reich liegen relativ dicht beieinander. Um-Tab. 2:Materialeinfluß für Punkt 8 gekehrt erhöhen sich

die Beschleunigungen im Bereich größer 16 Hz mit zunehmender Weichheit. In Tabelle 3 und Tabelle 4 liegt die analoge systematische Aus­wertung für den Einfluß von Dämpfung und Nichtlinearität für Punkt 5 am Kranbahnniveau vor. Es folgen etwa die gleichen Re­duktionsfaktoren für den Einfluß der Dämpfung ~ie für den Achs­punkt. Die Auswertung für den Materialeinfluß zeigt im nieder­frequenten Bereich ein Anwachsen bis um den Faktor 2 für die Ver­formungsmaxima. Maximal­beschleunigungswerte über 16 Hz erhöhen sich ebenso mit zunehmender Weich­heit.

Tab. 3: Dämpfungseinfluß für Punkt 5

LINEAR

GAUSS-PO HITS

2

3

3

3

3

3

l

(S0/55)

so RD

. -

. -- RD SI .

S2 . SI RO S2 RD

5 16 HZ > 16 IIZ

DISPLACEN, I FREQUENCY ACCELER. I FREQUENCY <MMJ (HZ) (g) UIZJ MJ\X MIN MAX MIN

5 16 2.2 116 " 123 1.1 I 100

4.3 I 6 2.1 I 16 3.3 I 23 I I 100

3 16 1.3 I 16 2.3 I 2li 0.6 I 100

3.8 I 5 0,5 I 16 0.7 I 10' 0.3 I 100

" I 5 I I 16 I I 13' 0.5 I 100

2.5 I 5 0.4 I 16 0,5 I 25 0.2 I 100

2.6 I 5 0.7 I 16 0.8 I 1!1' 0,3 I 100

DAMPING !NFLUENCE NP.5

NO DAI'IPING GAUSS- MAIERIAL (NO.l POINTS

2 l (lB,SOl

2 BH (4ß,Sll

2 BI-L (5ß,52l

2 BI-L (38,53>

2 BH C7B.5'H 2 Bl-l C6B.541J

3 l (1(,55)

3 BI-L m.56l

3 BI-L (5C.57J

3 BI-L (3C,58l

3 DR-PRCBL61)

< 16 HZ > 16 1/Z DISPLACEM, I FREQUENCY ACCELER. I FREQUENCY

""' <HZJ (9) CHZl MAX "' MAX ""

5 16 2.2 I 16 q 123 1.1/ 100

6 16 3 /16 5 125 1.3 I 100

7 17 " /16 4,5 I 25 1.4/ 60

6 17 2.8 I 16 4.3 I 25 1.5 I 100 9 11 3.5 I 16 Ll.3 I 19 1.8 I 100

10 17 3,5 I 16 !1.5 I 20 1.9 I 50

4.3 I 6 2.1 I 16 3.3 I 23 I I 100

5.5 I 6 2.5 /16 5 125 1.3 I 100

6.5 I 7 3.3 /16 1!.4 I 25 1.2 I 100 5 17 2.ll I 16 6 125 1.3 I 100

4,3 I 5 1.5 /16 3 /25 I I IOD

MATERIAL INFLUENCE NP. 5

Tab. 4: Materialver­halten für Punkt 5

Die Auswertungen zeigen, daß für den untersuchten Lastfall stich­probenartig die 0.5 g Beschleunigung in den Spektren bei reali­stischer Berücksichtigung der physikalischen Gegebenheiten nach­gewiesen werden kann. Einflüsse aus Variation der Dämpfung über­wiegen gegenüber Einflüssen aus Variation der Materialgesetze.

3. Untersuchungen zum Lastfall Erdbeben

Probleme der Boden-Bauwerkswechselwirkung spielen besonders bei seismischer Erregung eine Rolle. Bild 7 zeigt die bei der Berech-nung von Kernkraftwerken angefangen bei Modell M1 und Modell M3 als dreidimensionale

derzeit angewendeten Diskretisierungen, und M2 als einfache Balken-Feder-Modelle

Struktur mit an­gehängtem Boden­analogon, z. B.

Bild 7: Diskre­tisierung eines KKW zur Berech­nung der Boden­Bauwerks~echsel­

wirkung

3-D-Code

duslcal lur~ped­

pariOteter analog

M, M,

OOF degrees of freedoon NP nu10ber of nodal points

Adsyon01etrlc Code / Phne Stroln Code

FEH slte discretlution

185

186

aus VOLUME- oder TRUSS-Elementen. Vorliegend sollen die Ergebnis­se der axialsymmetrischen Modelle M4 bis M6 bei horizontaler Er­regung durch das TAFT-Erdbeben (1952, USA) diskutiert werden. In Modell M4 wird der Halbraum wie bei Modell M3 durch eine einzige Simulationsschicht erfaßt, während bei M5 und besonders M6 der Bo­den zunehmend wirklichkeitsnäher beschrieben ist. Aus dem Vergleich der Anzahl der Freiheitsgrade kann der zunehmende Rechenaufwand gesehen werden. Die Erdbebenberechnungen wurden mit einem modifi­zierten ASHSD-Code durchgeführt, in dem sowohl TRUSS-Elemente als auch Dämpfungselemente implementiert sind. Das verwendete TAFT­Erdbeben entspricht in der MitteJung relativ genau dem KTA Spek­trum, vorliegend wurde eine Einhängung bei ca. 0.20 mts2 vorgenom­men. Das TAFT-Freifeld-Spektrum bei 0% Dämpfung und das TAFT-Fou­rier Spektrum in Bild 8 und Bild 9 zeigen, daß wesentliche Ampli­tuden nur im Bereich zwischen 0.5 Hz und ca. 12 Hz zu erwarten sind.

RESPONSE SPECTRUM OF TAFT- EARTHQUAKE

Bild 8: Freifeld Response Spektrum des TAFT-Erdbebens

Bild 9: Fourier Spektrum des TAFT-Erdbebens

Tabelle 5 zeigt parametrisch eine Obersicht der durchge­geführten Erdbebenberechnun­gen. Modellspezifisch wird der Einfluß verschiedener Bodentiefen für die Modelle M5 und M6 an einem weichen bzw. mittleren Boden unter­sucht. Es wird hierbei diffe­renziert zwischen der rea­listischen Fundamentplatten­steifigkeitund einer ideell starren Platte, da Berech­nungen mit dem Halbraumana­logon das Vorhandensein ei­ner starren Gründung erfor­dern. Zusätzlich erfolgt voneinander unabhängig eine Variation der Strukturdämp­fung und der Abstrahlungs­dämpfung.

GESAMTMODELL '• 's ,, BODEN- IIALßRAUM- 6 SCHICHTEN- 20 SCHICHTEN-

MODELL SIMULATION BooENAUscmiJTT ßODENAUSSCHNITT

BoDENART G " IJOO MtliM2 G • ~JOD MN/M2 G • IJOO MNIM2

G .. 1200 MN/J' G - 1200 MNhf G " 1200 MN/J'

ßODENTIEFE - T " 30 M r-100M

- T " 60 M r-200M

PLATTENSTEifiGKEIT BJEGEWEJCil I BIEGEWEJCit / BIEGEWEICH f

BIEGESTEIF BIEGESTEIF IIIEGESTEIF

STRUKTURDÄMPFUNG 0 % I 7 % 0 % I 7 % 0 % I 7 %

BODENDÄMPFUNG 0% 17 % 0 % I 7 % 0 % I 7 1

ÄBSTRAHLUNGs- 0%/8%/ - -DÄMPFUNG 15%/IJ2.3%

PARAMETER

Tab. 5: Parametervariation zur Ermittlung der Boden-Bauwerkswechselwirkung

• 0101

iiL Bild 10: Modell M

4 Response Spektren für

Punkt 8 mit Abstrahlungsdämpfung

der Vergleich zwischen Bild 10 und Bild 11

Die Bewertung der Er­gebnisse wurde anhand von einigen in Bild 2 markierten Punkten vor­genommen: Punkt 8 in

der Bodenplatte, Punkt 5 an der Kranbahn und Punkt 1 am Containment. Für den Vergleich der Ergebnisse ist es na­türlich erforderlich, daß identische Anre­gungen vorliegen, d.h. für Modell M5 und M6 muß mittels einer De­konvolutionsanalyse im Frequenzraum eine mo­

difizierte Eingabe für die Fußpunkterregung an der Modellunterkante ermittelt werden. Aus einer Strukturmasse von M = 138 MNs 2;m und einem Radius von 31.4m für die Struktur er­gibt sich eine horizon­tale Abstrahlungsdämp­

fung ßrad = 42.3 % . Der Einfluß dieser Ab­strahlungsdämpfung ist, betrachtet am einfa­chen Parameter-Modell

M~ relativ gering, wie für den weichen Boden

zeigt. Verglichen werden hier jeweils Response Spektren mit 0% und 4 % Dämpfung innerhalb eines Diagramms. Aus dem nach KTA mit

ßrad = 15% begrenzter maximaler Abstrahlungsdämpfung ermittelten Spektrum ergibt sich gegenüber dem mit 42.3 %ermittelten Spek-

187

188

IIESI'OO<SE SPECTfUI 01' rrlDEl. ~ S!ll.SIIl­

~.CXI.'I ~.001 C..«<J ... •••t 8. .. Bild 11: Modell M~ Response Spektren für den Punkt 8 ohne Abstrahlungsdämpfung

-,o.a I 4 0 11c-1 I 4 0 lU» < 4 0 1101

'"'"'"" ~ NoP.• l, 8. ..

Bild 12: Modell M4

Response Spektren für den Punkt 8 mit steifer Bodenplatte

trum für die betrach­teten drei Punkte nur eine geringfügige Er­höhung. Die Aussage gilt in gleicher Wei­se für den steiferen Boden. Die Ermittlung der Halbraumparameter für das Modell M4 ist an die Vorgabe einer ideell starren Platte gebunden. Konsistent hierzu einerseits aber mathematisch nicht realistisch an­

dererseits wäre es, in der anschließenden dynamischen Berechnung ebenfalls eine starre Platte vorzugeben. Den Einfluß einer nu­merisch sehr steif de­finierten Bodenplatte zeigt Bild 12 im Ver­gleich zu Bild 11: Bei der ersten Eigen­frequenz überwiegt der Einfluß der stei-fen Platte, während

bei höheren Frequenzen die realistisch weiche Bodenplatte zu höhe-ren Amplituden fUhrt. Diese Aussage gilt für alle betrachteten Systempunkte in gleicher Weise. Anders dagegen ist das Antwortver-halten des steiferen Bodens. Hier ist die Antwort für die erste Eigenfrequenz in beiden Fällen etwa gleich, während im höheren Fre­quenzbereich die realistisch weiche Platte zu höheren Amplituden führt. Eine Bewertung des Einflusses der Definition für die Bodenplatten­steifigkeit kann durch den Vergleich mit den Gesamtmodellen M5 und

M6 , bei denen in gleicher Weise eine numerisch sehr steife Platte eingeführt wird, erfolgen. Der Vergleich von realistisch weicher mit numerisch steifer Platte zeigt dann, daß die weiche Platte zu höheren Amplituden führt. Dieses Ergebnis wird um so augenschein-

• '

""'""" & Olll-I o 0 t!OO 2 ~~~

• 0100

Bild 13: Modell M6

Response Spektren für Punkt 5 mit realistisch weicher Boden­platte

" .......

•

0 Olll-I ~ 0 0 1100 • 0 0 0101 ~AE!l\.€tCY H:t

~ S!'I:CIIII,II OF r<XlEl. M S!MII2

s-<JMP.DD.1 '"""" • 0.1200 ,.., ''-''

• t!O< • • • 1100

S...

licher, je steifer

der Boden wird, wie

der Vergleich von Bild 13 mit Bild 14 für den steiferen Bo­den für den Kranhahn­auflagepunkt zeigt. Hieraus folgt, daß eine Berechnung mit

starrer Platte bei den verwendeten Mo­

dellen zu nicht kon­servativen Ergebnis­sen führen kann.

Modell M4 verfügt bei Applikation des nicht begrenzten Wer­

tes für die Abstrah­lungsdämpfung über die höchste Abstrah­lungsdämpfung, wäh­rend in den Modellen M5 und M6 keine ver­gleichbare Abstrah-lungsdämpfung enthal-

Bild 14: Modell M6

Response Spektren für Punkt 5 mit nurnerlsch steifer Bodenplatte ten ist, da an den

Modellrändern entsprechende Dämpfungselemente fehlen. Voraus" setzung für diese Aussage ist, daß keine Strukturdämpfung in Form geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung vorhanden ist. Dann zeigt der Modellvergleich für Punkt 8 in der Bodenplatte zwi­schen Modell M4 und M5 eine gute Übereinstimmung - vgl. Bild 10 mit Bild 15 -,wobei die maximale Amplitude bei ca. 3Hzaufgrund der Abstrahlungsdämpfung bei Modell M4 etwas geringer ist, wäh-

189

190

.,0.0 I < ~ IIG-> I < I 1100 I < 0 IICI I 4 0 1100 FIIEII\.EIICY 111:

M.P.• I, a. Bild 15: Modell M5 Response Spektren für Punkt 8 ohne StruRturdämpfung

-DI<StS!'EI:TJIU't(FI10DEI.H Sl'lll«)l

~-"·' 73. S..O.W.OIIll >•I<XI • .... 000 "'" oor~

Bild 16: Modell ME Response Spektren für Punkt 8 ohne Strukturdämpfung

die nach der Halbraumtheorie erforderliche

rend bei M6 offenbar ein Frequenzverscfde­

bungseffekt vorliegt, der bewirkt, daß so­wohl die maximale Am­plitude bei ca. 3 Hz als auch die Einhän­geamplitude im Be­reich größer 10 Hz abgemindert wird, s.

Bild 16. Das hier im Vergleich zu Mo­dell M4 und M5 vor-1 iegende unter­schiedliche spektra­le Verhalten ist of­fensichtlich eine Folge der in Modell M6 ausreichend ge­nauenßodendiskreti­

sierung, die Modell M5 nur annähern

kann und die in Mo­dell M4 nur in sehr begrenztem Maße vor­handen ist, da hier

Koppelung aller Frei-heitsgrade in der Bodenschicht untereinander nicht vorhanden ist. Anders verhält sich der Vergleich des Response Verhaltens für ei­nen Punkt,der nicht direkt in der Bodenplatte liegt, sondern der durch das Eigenschwingungsverhalten der Baustruktur beeinflußt wird, wie beispielsweise Punkt 5 an der Kranbahn. Hier stimmen

die Maxima zwischen den Modellen M4 , M5, M6 genauer überein, wie der Vergleich von Bild 17, Bild 18 und Bild 19 für den steiferen Boden zeigt.

Alle bisher gezeigten Bilder wurden ohne Ein­

fluß der Strukturdämp­fung ermittelt und füh­ren zu Extremalaus­sagen, wenn jeweils die 0 % Response Spektren miteinander verglichen

werden. Schon die hier nicht gezeigten 2 % und die gezeigten 4 % Spek­

tren zeigen geringe­re Abweichungen un­tereinander.

Die abweichenden Er­

gebnisse zwischen den Modellen bei gleicher Standortsituation re" duzier~n sich weiter, und das führt dann auf das eigentlich realistische Ant­wortverhalten der Struktur, wenn. in der dynamischen.ße-

Bild 17: Modell M4

Response Spektren Punkt 5

,0-1 0 OliJ-1 < 0 0100 < < 0 tiOI 0 oiQI 0 FllmUEICY Hl:

Bild 18: Modell M5 Response Spektren für Punkt 5

Bild 19: Modell M6 Response Spektren für I'unkt 5

191

192

• o'

• <

"'Io-t- • • uo-• • • uoo •

""""" I UD<

E.

rechnung eine Sy­stemdämpfung ange­setzt wird. Im vorl ie­genden Fall werden je­weils 7 % Dämpfung gleichermaßen für Bo­den und für Bauwerk angesetzt.

Bild 20: Modell M4

Response Spektren für Punkt 5

Der Vergleich für die Modelle M4 , M5 und M6 in Bild 20, Bild 21 und Bild 22 ermittelten Response Spektren zeigt, daß die be­trachteten Spektren so­wohl bezüglich des Ver­laufs als auch der Ma­xima beinahe deckungs­gleich sind. Hier kann davon ausgegangen wer­den, daß sowohl für Modell M5 aber i nsbe­sondere für Modell M6 durch das Einführen

..,~» • 11D-• • • uao • ~

BLld 2l: Modell M5 Response Spektren für Punkt 5

Bild 22: Modell M6 Response Spektren für Punkt 5

11.1' •• ••

der Systemdämpfung im Boden die Wirkung der

4 I 1100 0 ~

-SI"EE:TIVIOf'IICIIIEI,.n SIW8CI>O

~.07J 1•11111 • "'" - ... ••tt.

I 1100 I I 110>

Abstrahlungsdämpfung recht gut angenähert wird. Letztlich soll ja die Abstrahlungsdämpfung bewirken, daß von den Modellberan­dungen keine Reflexionen auf den Bereich, in dem die Boden-Bau­werkswechselwirkung stattfindet, wirksam werden. Mit zunehmender Systemdämpfung vermindert sich auch der Unter­schied der Resultate bei verschiedenen Fundamentplattensteifig­keiten. Unterschiedliche Einhängungen der für die Systemdämpfung verwendeten Rayleigh-Dämpfung an den ersten beiden Eigenfrequen­zen als Stützstellen sowie an der ersten und achten Eigenfre­quenz ergeben keine nennenswerten Abweichungen, da - wie in Bild 9 gezeigt - nur ein begrenzter Frequenzbereich angesprochen wird.

Die Gesamtauswertung führt zu der Aussage, daß die Verwendung al­ler drei hier untersuchten Modelle zulässig ist, da sie zu qual i­tativ vergleichbaren Ergebnissen führen. Für das mit größter Rea­litätsnähe zu erwartende Ergebnis wird die Anwendung eines Mo­dells gemäß M6 , Vie hier verwendet, vorgeschlagen:

-Modell M6 ist am besten geeignet, konkrete Standortsituationen wie z. B. Schichtungen, Steifigkeitssprünge u.ä. zu erfassen. Ideelle Halbraumbedingungen liegen in der Praxis nicht vor und können z. B. durch Modell M4 auch nur näherungsweise erfaßt werden. Modell M6 verfügt wie auch Modell M5 über eine eindeutige Defi­nition der Plattensteifigkeit.

-Modell M6 kann das steifigkeitsbezogene Halbraumverhalten am besten wiedergeben, da hier eine indirekte Koppelung aller an der Bodenplatte wirksamen Freiheitsgrade durch die angrenzenden Bodenelemente wirksam ist.

- Aufgrund der relativ großen Wellenlängen im Bodenbereich zwi­schen Fundament und den Bodenausschnitträndern kann bei Vor­gabe einer realistischen Bodendämpfung das Verhalten der Ab­strahlungsdämpfung mit Modell M6 am besten simuliert werden.

193

194

Literatur Buchhardt, F., Magiera, G., Matthees, W., Weber, M. (1985): Interaction between material nonlinearity and damping for air­craft impact analysis -8th SMiRT, Paper J5/5

Matthees, W., Buchhardt, F., Magiera, G. (1985): A three· dimensional soil-structure lumped parameter analysis for earthquake events - 8th SMiRT, Paper KS/5

Buchhardt, F., Matthees, W., Magiera, G., Mathiak, F. (1987): Zum Einfluß des Sicherheits- und Auslegungserdbebens auf die Be­messung von Kernkraftwerken - BAM Forschungsbericht 141

Buch.hardt, F., Matthees, W., Magiera, G. (1987) On elastic limit margins for earthquake design - 9th SMiRT, Paper Kll/5

ADINA- A finite elementprogram for automatic incremental nonlinear analysis

ASHSD - Dynamic stress analysis of axisymmetric structures unter arbitrary loading

Nichtlineare Bauwerksschwingungen bei Versuchen mit einem großen Shaker

HORST WERKLE*, LOTRAR MALCHER**

l. Einleitung

Die erdbebensichere Auslegung von Bauwerken mit erhöhtem Sekundärrisiko beruht in der Regel auf linearen Berechnungsmodellen. Nichtlineare Effekte, die bei stärkeren Erdbeben zu erwarten sind, werden bei der Berechnung durch eine hinreichend groß gewählte Streuweite der elastischen Materialkennwerte und eine Anpassung der Dämpfungswerte berücksichtigt. Versuche über die bei Bauwerken tatsächlich auftretenden nichtlinearen Effekte werden wegen des hohen Versuchsaufwandes nur selten durchgeführt. Im folgenden wird über derartige Versuche an einem Reaktorgebäude berichtet. Die Schwingungserregung erfolgte mit einem großen Shaker. Bei dem Gebäude handelt es sich um das zu Versuchszwecken verwendete HDR-Gebäude in KarlsteinjMain. Die Versuche wurden unter Leitung des Kernforschungszentrums Karlsruhe mit Beteiligung mehrerer Institute und Firmen aus den USA, der Schweiz und Deutschland durchgeführt. Neben den Bauwerksschwingungen wurde das dynamische Verhalten von Rohrleitungen und Komponenten bei starker Erdbebenanregung untersucht (Flade u. a. 1987, Maleher u. a. 1987).

2. Versuchsanordnung

Die Stahlbetonstruktur des HDR-Gebäudes besteht aus einer im wesentlichen achsensymmetrischen Außenstruktur und einer komplexen Innenstruktur, die durch eine gemeinsame Bodenplatte, einige Radialwände und eine Zwischendecke verbunden sind, Bild lb. Die Innenstruktur ist von einem Stahlcontainment vollständig umgeben, das von einer Kalotte unterstützt wird. Das Gesamtgewicht des Gebäudes beträgt ca. 230 MN. Es hat einen Durchmesser von 22 m, eine Gesamthöhe von 64 m und ist ca. 13 m i.m Boden eingebettet. Der Shaker ist auf einer Decke der I11nenstruktur in 30.9 m Höhe über Gelände montiert. Der Baugrund be~steht bis in eine Tiefe von ca. 2 6 m aus locker bis mitteldicht gelagerten Kiessanden, die unter dem Gebäude mit dem Rütteldruckverfahren auf eine dichte Lagerung verdichtet wurden. Darunter besteht der Baugrund aus steifplastischen Tonen. Im Bereich der Einbettung wurde der Boden verfüllt, Bild la.

* Hochtief AG, Frankfurt/Main ** Kernforschungszentrum Karlsruhe, Karlsruhe

195

196

Das Gebäude wurde in den Jahren 1965-67 erbaut. Da damals in seismisch inaktiven Gebieten Deutschlands keine Erdbebenauslegung erforderlich war, sind bei der Bemessung lediglich Windkräfte als Horizontalkräfte berücksichtigt worden. Diese erfordern nur eine Mindestbewehrung der Stahlbetonstruktur. Bei den Versuchen wurde daher die Untersuchung nichtlinearer Effekte im wesentlichen auf die Bod~n-Bauwerk-Wechselwirkung beschränkt. Rissebildungen und. Plastifizierungen in der Stahlbetonstruktur waren nur lokal zulässig, um die Integrität des Bauwerks nicht zu gefährden. Vor und während der Versuche wurden hierzu umfangreiche Sicherheitsuntersuchungen durchgeführt.

Um die erforderlichen hohen Anregungskräfte zu erzeugen, wurde ein großer, frei auslaufender Shaker konstruiert, Bild 2 (Ibanez u. a. 1985, Steinhilber, Idelberger 1985). Er besteht aus zwei um eine vertikale Achse drehbar gelagerten, exzentrischen Massen. Diese werden im ausgewuchteten Zustand auf eine geplante Enddrehzahl gebracht, die näherungsweise der Startfrequenz der nun folgenden Erregung entspricht. Dann wird eine Verriegelung zwischen den beiden Massen gelöst, worauf diese aufgrund einer leicht exzentrischen Lagerung ihrer Arme innerhalb kurzer Zeit zusammenfahren und wiederum verriegelt werden. Der Shaker besitzt nun eine große Unwucht und wird allein von seiner kinetischen Energie angetrieben. Die beiden Massen sind dabei vom Antriebssystem entkoppelt und laufen frei aus. Hierbei gibt der Shaker ·seine kinetische Energie größtenteils an das Gebäude ab und erregt mit abnehmender Drehzahl die einzelnen Eigenschwingungsformen des Gebäudes. Der Shaker ist für horizontale Anregungskräfte von mehr als 10 MN und Erregerfrequenzen zwischen o und 8 Hz ausgelegt.

3. Berechnungsverfahren und Modellabbildung

3.1 Shaker

Zur Berechnung der Bewegung des Shakers kann man die Übergangsphase vom ausgewuchteten in den unwuchtigen Zustand vernachlässigen. Der Shaker läßt sich dann als gelenkig gelagerte Punktmasse idealisieren. Die Gleichgewichtsbedingungen erhält man mit den Bezeichnungen nach Bild 3 zu:

(1)

(2)

( 3)

s = sin $ c = cos $

Darin stellen m die Summe der beiden Shakermassen, r ihren Hebelarm, ~ einen Luftwiderstandbeiwert und ü 9 ,W

9die

Fußpunktsbeschleunigung des Shakers dar. Die Kreisfrequenz des Shakerumlaufs entspricht der Anregungsfrequenz f= ~I ( 2rr) des Gebäudes. Das Momentengleichgewicht, Gl.(3), stellt eine Differentialgleichung zur Bestimmung des Drehwinkels $ dar. Sie wird simultan mit den Bewegungsgleichungen des Gebäudes integriert, da die Shakerbewegung mit den Gebäudeschwingungen über die Fußpunktverschiebungen ug und wg gekoppelt ist. Hierzu können ein einfaches Zentrale-Differenzen-Verfahren (Werkle, Waas 1987) oder auch explizite Integrationsverfahren (wie z.B. in Stangenberg, Zinn 1985) verwendet werden. Aus den Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte, Gl.(l,2), erhält man dann die auf das Gebäude wirkenden Horizontalkräfte. Sie hängen im wesentlichen von der Unwucht U=m•r ab (vgl. Gl. 1,2).

In erweiterten Modellen werden die Drehmasse der beiden Shaker­massen (vgl. Werkle, Waas 1987) und die Übergangsphase vom ausgewuchteten in den unwuchtigen Zustand berücksichtigt (vgl. Steinhilber, Idelberger 1985).

3. 2 Bauwerk

Shaker und Bauwerk stellen ein gekoppeltes nichtlineares Schwingungssystem dar. Die Bewegungsgleichungen des Bauwerks können durch Zerlegung in Eigenformen gelöst werden. Nichtlineare Terme werden hierbei als "Korrekturkräfte" auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung berücksichtigt. zur Integration kann wiederum das Zentrale-Differenzen-Verfahren verwendet werden. Die Zerlegunq in Eigenformen ist vorteilhaft, solange die durch die Nichtlinearität hervorgerufenen Verschiebungen sich gut durch wenige Eigenformen darstellen lassen, wie dies bei der Shakeranregung der Fall ist.

Das Bauwerk wird als Stabmodell abgebildet, wobei in den beiden horizontalen Richtungen näherungsweise gleiche steifigkeits­kennwerte gewählt werden, Bild lc. (In anderen Modell­abbildungen, wie z.B. von stangenberg, Zinn 1985, werden die Steifigkeitsunterschiede in beiden Richtungen bei der Modellabbildung berücksichtigt.) Besondere Bedeutung hat die Abbildung des Fundamentbereichs durch gekoppelte Kippfedern. Diese stellen die Kopplung von Innen- und Außenstruktur dar und bilden die Wechselwirkung zwischen Boden und Bauwerk ab. Daher wurde zur Bestimmung der Federwerte die Fundamentplatte, ein Teil der Außenstruktur, die Zwischendecken und die Kalotte in einem achsensymmetrischen Finite Element Modell abgebildet (Werkle, Waas 1987). Die Berechnungen mit diesem Modell dienten außer zur Bestimmung der Koppelfedern auch zur Untersuchung der Bauwerksbeanspruchungen im Fundamentbereich.

197

198

Die Impedanzfunktionen des Bodens für kleine Beanspruchungen sind aus früheren Versuchen und Berechnungen (vgl. Wassermann 1983, Werkle 1978) bekannt. Bei den hohen Beanspruchungen während der Shakerversuche mit großer Unwucht müssen hingegen auch nichtlineare Effekte, die bei einem eingebetteten Fundamentkörper sehr vielfältig sind, berücksichtigt werden. Selbst bei Annahme elastischen Materialverhaltens erhält man eine klaffende Fuge zwischen eingebettetem Bauwerksbereich und Boden und damit eine nichtlineare Federkennlinie. Darüber hinaus sind aber auch in Bereichen hoher Druckbeanspruchungen des Bodens irreversible Deformationen zu erwarten. Hinzu kommt die dynamische Wirkung der_ in vielen Zyklen auftretenden Belastung. Diese kann die Lagerungsdichte der Kiessande der oberen Schichten vergrößern und damit den Erddruck und die Steifigkeit des Bodens erhöhen.

Im Rechenmodell soll versucht werden die einzelnen nur in Grenzen quantifizierbaren nichtlinearen Effekte durch Reduzierung der Einbettungstiefe näherungsweise zu berücksichtigen. Die wirksame Einbettungstiefe soll auf einfache Weise als diejenige Tiefe abgeschätzt werden, in der die durch die Kippung hervorgerufenen 'Zugspannungen' vorn statischen Erddruck überdrückt werden, Bild 4. Die Bodenfedern werden dann für die wirksame Einbettungstiefe bestimmt. Detailliertere Untersuchungen zur Berücksichtigung einer klaffenden Fuge sind in (Wolf, Weber 1985 und Zwicky u. a. 1987) dargestellt.

Bei der Berechnung werden 6 Eigenformen je Gebäuderichtung berücksichtigt. Die erste Eigenform stellt eine gleichphasige Schwingung von Innen- und Außenstruktur dar, Bild 5a. Die Eigenfrequenz dieser Eigenform wird entscheidend von der Boden-Bauwerk-Wechselwirkung beeinflußt. Sie beträgt bei niedrigem Beanspruchungsniveau ca. 1.4 Hz und fällt bei völligem Verlust der Wirkung der Einbettung auf unter 1.0 Hz ab. Die zweite Eigenform stellt eine gegenphasige Schwingung von Innen­und Außenstruktur dar, Bild Sb. Ihre Eigenfrequenz beträgt ca. 2.5 Hz. Sie hängt nur geringfügig von der Boden-Bauwerk-Wechselwirkung ab. Hingegen treten bei der Anregung dieser Eigenform die größten Beanspruchungen der Decken und Radialwände des Fundamentbereichs sowie der Bodenplatte auf. Höhere Eigenformen werden bei den Versuchen nur in geringem Maße angeregt.

Die Bauwerksdämpfung bei niedrigem Beanspruchungsniveau wird mit 5% in der ersten und 3% in der zweiten Eigenform angenommen. Diese Werte beruhen auf Messungen und Berechnungen bei früheren Versuchen. Bei der hohen Beanspruchung während der Shakerversuche mit großer Unwucht kann die Erhöhung der Dämpfung der ersten Eigenform aufgrund der Vergrößerung der Dehnung im Boden zu 7-10% abgeschätzt werden.

4. Ergebnisse

4.1 Versuche mit kleiner Unwucht

Die Versuchsreihe umfaßt insgesamt 25 Versuche mit unterschiedlichen Startfrequenzen und Unwuchten. Dabei sind hohen Startfrequenzen kleine Unwuchten und niedrigen Startfrequenzen große Unwuchten zugeordnet.

Die berechneten und gemessenen Zeitverläufe eines Versuches mit einer Unwucht von 8.2 tm und einer Startfrequenz von 5.6 Hz sind in Bild 6 dargestellt, (Werkle, Waas 1987). Die Shakerfrequenz f nimmt mit der Zeit ab, wobei die gemessenen und berechneten Werte gut übereinstimmen, Bild 6a. Die zweite Eigenfrequenz des Gebäudes wird nach 35 s, die erste Eigenfrequenz nach 65 s durchlaufen. Die Erregerkräfte hängen näherungsweise quadratisch von der Shakerfrequenz ab (vgl. Gl. 1,2). Ihre Amplituden nehmen daher mit der Zeit rasch ab, Bild 6b. Die Zeitverläufe der Amplituden der Beschleunigungsverläufe sind für die Spitze der Außenstruktur (Punkt A) und für die·30.9 rn-Decke der Innenstruktur (Punkt B) angegeben, Bilder 6c,d. Resonanzüberhöhungen treten beim Durchlaufen der ersten und zweiten Eigenfrequenz auf. Die in x- und z-Richtung gemessenen Antwortschwingungen unterscheiden sich in der zweiten Eigenform deutlich. Im übrigen stimmen Meß- und Rechenergebnis gut überein. Die maximale Antwortbeschleunigung beträgt an der Spitze der Außenstruktur 2.9 mjs2 und auf der 30.9 rn-Decke der Innenstruktur 2.0 m/s 2

• Das rechnerisch ermittelte Kippmoment, das vom Bauwerk auf den Boden übertragen wird, sowie die zugehörige Querkraft sind, bezogen auf eine Tiefe von 13 m, in Bild 6e,f angegeben. Das maximale Moment von 220 MNm tritt in der ersten Eigenfrequenz auf.

4.2 Versuche mit großer Unwucht

Bei einer Steigerung der Unwucht nehmen die rechnerisch ermittelten maximalen Antwortbeschleunigungen fast linear zu, sofern man ein lineares Verhalten des Bauwerksmodells unterstellt. Um das Verhalten des Bauwerks zu untersuchen, wurden die Versuche mit einer stufenweise Vergrößerung der Unwucht durchgeführt. Dabei wurde ausschließlich die erste Eigenfrequenz angeregt.

Die Ergebnisse eines Versuches mit einer Unwucht von 67 tm und einer Startfrequenz von 1.6 Hz sind in Bild 7 dargestellt, (Werkle, waas 1987). In den Zeitverläufen der Antwortbeschleunigung bleiben die Amplituden zunächst konstant und fallen beim Durchlaufen der ersten Eigenfrequenz rasch ab. Die maximale Beschleunigung beim Resonanzdurchgang beträgt 2.5 mjs2 an der Spitze der Außenstruktur und- 1.6 mjs2 auf der 30.9 rn-Decke der Innenstruktur. Das unsymmetrische V-erhalten des Gebäudes in den beiden horizontalen Richtungen ist hier beim Durchgang durch die Kippresonanz weniger stark ausgeprägt als in der Biegeresonanz.

199

200

Zum Vergleich werden die Berechnungen mit einem Modell durchgeführt, bei dem gegenüber dem ersten Modell die Bodenfeder um 40% abgemindert und die Dämpfung auf 11% erhöht ist. Die Eigenfrequenz nimmt damit auf 1.1 Hz ab. Die mit diesem Modell erhaltenen Antwortbeschleunigungen stimmen mit den Versuchsergebnissen gut überein, Bild 7.

5. Nichtlineare Effekte

5.1 Abnahme der Eigenfrequenz und Zunahme der Dämpfung

Zur Untersuchung des Einflußes von Nichtlinearitäten wurde mit dem Bauwerksmodell für kleine Unwuchten unter Annahme linearen Strukturverhaltens eine Berechnung für große Unwuchten durchgeführt. Die maximalen Beschleunigungen in der untersten Eigenform wachsen dann näherungsweise linear mit der Unwucht an, Bild 8. Im Versuch ist jedoch ein deutlich schwächeres Anwachsen zu beobachten. Dies ist einerseits auf die Abnahme der untersten E-igenfrequenz und zum anderen auf die Zunahme der Dämpfung mit steigender Erregerkraft zurückzuführen. So erhält man beispielsweise beim Versuch mit der größten Unwucht (67 tm, Startfrequenz 1.6 Hz) auf der 30.9m-Decke mit dem linearen Rechenmodell eine maximale Beschleunigung von 4.0 m/s2 , während im Versuch ca. 1.8 mjs2 gemessen wurden. Vergleichsrechnungen zeigen, daß der Unterschied von 2.2 mjs2 zu ca. 66% auf die Abnahme der Eigenfrequenz und damit auch der horizontalen Erregerkraft beim Durchfahren der Resonanz und zu ca. 34% auf die Zunahme der -Dämpfung zurückzuführen ist.

Die Abnahme der untersten Eigenfrequenz wurde mit Hilfe von Übertragungsfunktionen, die aus den Versuchsergebnissen ermittelt wurden, bestimmt (Flade u. a. 1987, Maleher u. a. 1987}. Danach nimmt die Eigenfrequenz von ca. 1.4 Hz bei kleinen Unwuchten auf ca. 1.1 Hz bei großer Unwucht ab, Bild 9. Die Ermittelung des Dämpfungsmaßes aus den Versuchsergebnissen ist noch nicht abgeschlossen. Die bisherigen Untersuchungen lassen auf ein Dämpfungsmaß von 5-10% bei kleiner Unwucht und von 8-15% bei großer Unwucht schließen.

5.2 Boden-Bauwerk-Wechselwirkung

Eine wesentliche Ursache der beobachteten Nichtlinearität stellt das nichtlineare Verhalten des Bodens dar. Dabei ist die Verringerung der wirksamen Einbettungstiefe mit zunehmender Belastung von großer Bedeutung. Eine brauchbare Übereinstimmung mit den Versuchsergebnissen erhält man bereits mit einer Abschätzung der wirksamen Einbettungstiefe nach Bild 4. Danach beträgt die wirksame Einbettungstiefe beim Versuch mit kleiner Unwucht ca. 10.7m und beim Versuch mit großer Unwucht ca. 6m. Die Kippfeder nimmt damit rechnerisch im Versuch mit kleiner Unwucht um ca. 10% und im versuch mit großer Unwucht um ca. 40% gegenüber der Kippfeder bei vollständiger Einbettung ab. Eine

klaffende Fuge unterhalb der Fundamentplatte trat nicht auf, da die resultierende Vertikalkraft bei allen Versuchen innerhalb des Kernbereiches verblieb.

Bei den Versuchen mit großer Unwucht traten im Boden irreversible Deformationen auf. So wurde eine bleiberide Ablösung im oberen Bereich der Einbettung beobachtet. Konzentrisch zum Gebäude traten im Abstand von ca. 5 rn ringförmige, ca. 2-3 crn breite Spalten im Boden auf. Setzungen um das Gebäude bis zu 10 cm Größe weisen auf eine Verdichtung des Bodens aufgrund der dynamischen Belastung hin.

5.3 Stahlbetonstruktur

Die Stahlbetonstruktur war während der versuche insbesondere im Fundamentbereich hohen Beanspruchungen ausgesetzt. Daher traten in der Kalotte und in der Zwischendecke des Fundamentbereichs wie erwartet eine Vielzahl von Rissen auf. Diese haben möglicherweise Rückwirkungen auf die Steifigkeit und die Dämpfung des Gebäudes.

Dehnungen im Beton wurden während der Versuche an mehreren Stellen der Innen- und Außenstruktur und zwar insbesondere auch im Fundamentbereich gemessen. Dabei zeigte sich, daß die Vorhersage lokaler Dehnungen weniger genau als diejenige der globalen Beschleunigungen ist, da das Gebäude sehr komplex ist und sich die Steifigkeit gerissener Stahlbetonwände und -decken nur in Grenzen angeben läßt.

6. Vergleich mit- Erdbebenanregung

Die gemessenen Beschleunigungen sollen nun mit denjenigen einer Erdbebenanregung verglichen werden. Die Erdbebenbeanspruchung wird nach dem Antwortspektrenverfahren ermittelt, wobei für deutsche Erdbebengebiete charakteristische Spektren (nach Hasser u. a. 1983) zugrunde gelegt werden. Für ein Spektrum, das einer Erdbebenintensität von 7.5 und einem Boden aus Lockersedimenten mit einer Kompressionswellengeschwindigkeit von ca. 800 mjs (Untergrundklasse A nach Hasser u. a. 1983, Bild 10) entspricht, ist in Tabelle 1 die Ermittelung der Antwortbeschleunigung des Gebäudes angegeben. Setzt man in allen 5 berücksichtigten Eigenformen pauschal eine Dämpfung von 5% an 1

so beträgt die maximale Beschleunigung am obersten Punkt der Außenstruktur (Punkt A) 3.4 m/s 2 und ·auf der 30.9m-Decke der Innenstruktur (Punkt B) 3.2 mjs 2 • Mit realitätsnahen Dämpfungsmaßen (10% in der 1. und 30% in der 3. Eigenform) und bei Berücksichtigung der Abnahme der ersten Eigenfrequenz von 1.4 Hz auf 1.1 Hz erhält man hingegen in Punkt A nur 1.9 m/s2 und in Punkt B 1.8 mjs 2

• Für ein Spektrum der Erdbebenintensität 8.5 betragen die entsprechenden Antwortbeschleunigungen in Punkt A 3.7 mjs 2 und in Punkt B 3.5 mjs 2

• Mit Spektren, die einem Boden

201

202

aus mittelsteifen Sedimenten entsprechen (Untergrundklasse M nach Hasser u. a. 1983), erhält man ähnliche Beschleunigungswerte.

Die während der Versuche gemessenen Beschleunigungswerte betragen am obersten Punkt der Außenstruktur 3.2 mjs2 und auf der 30.9m-Decke 2.9 mjs2 • Diese Beschleunigungen entsprechen einem Erdbeben der Intensität 8. Das 1965-67 für den Lastfall Erdbeben nicht ausgelegte HDR-Gebäude ist also dennoch in der Lage, die Beanspruchungen infolge eines Bebens der Intensität 8, das zu den stärksten in Deutschland zu erwartenden Beben zählt, aufzunehmen.

7. Zusammenfassung

Bei Versuchen mit einem großen Shaker am HOR-Gebäude wurden nichtlineare Schwingungen erregt. Wesentliche Ursache der Nichtlinearität war die Boden-Bauwerk-Wechselwirkung. Die Versuche zeigen, daß bei eingebetteten Bauwerken der Verlust der Einbettung bei starker Belastung das Schwingungsverhalten erheblich beeinflußt.

Die globale Antwortschwingung des Bauwerks läßt sich mit den verwendeten Rechenmodellen gut wiedergeben. Dies gilt für Beschleunigungen und Verschiebungen sowie für die Schnittgrößen in gleichförmigen Baugliedern. Lokale Dehnungen lassen sich aufgrund der Komplexität des Gebäudes weniger genau voraussagen.

Das Gebäude ertrug ohne nennenswerte Schäden horizontale Beschleunigungen von 0.32 g an der Bauwerksspitze, obwohl es in horizontaler Richtung nur für Windlasten bemessen ist. Diese Beschleunigung entspricht der Erdbebenanregung mit dem größten in deutschen Erdbebengebieten zu erwartenden Beben. Durch die Versuche wurden die. erwarteten nennenswerten Sicherheitsreserven des Gebäudes f_ür den Lastfall Erdbeben bestätigt.

Literatur

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P. Zwicky, Schindler H.J., Bartelt P. (1987), 'Nonlinear pre-test analysis of the large eccentric mass Vibration test for the HDR reactor building', SMIRT 9, Lausanne

203

204

Eigen- Eigen- Beteilig.- Dämpfungs- Antwortbeschleunigung form frequenz faktor maß Punkt A Punkt B

[Hz] [%] [m/s' ] [mjs' ]

1 (1. 38) 122 ( 5) (3. 30) (3.13) 1.10 10 l. 90 1.81

2 2.43 1 5 .04 .02

3 6.53 80 (5) (. 94) (. 79) 30 .38 .32

4 12.00 2 5 .04 .01

5 15.38 15 5 .14 .12

Überlagerung (RMS) : (3.43) (3.23) 1.94 l. 84

Tabelle 1: Erdbebenuntersuchung für Intensität-7.5

.s1.0m _y__

•30.9m :sz_

K••nnnde

-~.22.00~~

SttifplnliiSChlr Ton

13.0m :sz_

(a)

Bild 1 Baugrund (a) Bauwerk (b) Stabmodell (c)

(b)

Boden· ••-- platte

Aunenfi strukh.r

lnnenfi struktur

Shaker

r- Gekoppelte fed ~ und Fundament:;;ei: Boden-

L (c)

"" :5':

206

Bild 2: Shaker

m x,u

Z,W

Bild 3: Modellabbildung des Shakers

005 0_1 ~ U'1NI..'J

Fugt Flö.che

(a) (b) (c)

Bild 4: Klaffende Fuge zwischen Bauwerk und Boden; Fundament­

körper (a) ; Scherwellengeschwindigkeit (b) und Span­

nungsverteilung (c) im Bereich der Einbettung

AUSSEN· INNEN· AUS SEN· INNEN· STRUKTUR STRUKTUR STRUKTUR STRUKTUR

I I I

I I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I '

1. EIGENFORM 2. EIGEN FORM 1 • 1,5 HZ -2,5 HZ

Bild 5: Eigenformen

207

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151

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Bild 6: Versuch mit kleiner Unwucht; Frequenz des Shakers (a); .Horizontalkraft des Shakers (b)

Maxirna der Beschleunigungen, Punkt A (c); Maxima der Beschleunigungen, Punkt B (d);

Querkraft Boden-Bauwerk (e}; Moment Boden-Bauwerk (f)

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(b) (d) (f)

Bild 7: Versuch mit großer Unwucht; Berechnung, Punkt B (a); Berechnung, Punkt A (b)

Messung in x-Richtung, Punkt B (c); Messung in x-Richtung, Punkt A {d)

Messung in z-Richtung, Punkt B (e) Messung in z-Richtung, Punkt A (f)

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Bild 8: Maxirna der Horizontalbeschleunigung in Abhängigkeit

von der Unwucht; Punkt A (a); Punkt B (b)

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Bild 9: Erste Eigenfrequenz

in Abhängigkeit von

der Unwucht

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Bild 10: Antwortspektren für

Lockersedimente

Computergesteuerte Erdbebensimulation

RENE LA UFER, KARSTEN HEINRICH

1. Vorüberlegungen

Gerade schwere Erdbeben fordern immer wieder Tausende von Toten und Verletzten. Aber die wenigsten werden direkte Opfer des Erd­bebens. Die meisten nehmen durch seine Folgen Schaden, deren ei­ne einstürzende Gebäude sind. Gerade daraus folgern die Bemü­hungen zur Schadensverhütung, die unter anderem zur Simulation von seismischen Schwingungen führen. Erdbebensimulation ist ein bekanntes Aufgabengebiet, für das weltweit große Versuchsanlagen zur Verfügung stehen, deren Nach­teile uns zu dieser Arbeit bewogen haben. Das Ziel war ein neues Systemkonzept auszuarbeiten, einen Prototypen zu bauen und erste Experimente, sowie Verbesserungs- und Erweiterungsvorschläge zu machen. Wichtig für das Konzept sind die Zielsetzung

"Ergänzung statt Alternative" und die wissenschaftlichen und wirtschaftlichen Anforderungen. Sinn des Systems ist also nicht das Ersetzen der Großanlagen. dazu sind diese wissenschaftlich zu leistungsfähig, sondern das sinnvolle Erweitern. Als wichtige wissenschaftliche Anforderungen stehen hier:

Dem Wissenschaftler wird ein Hilfsmittel an seinem Arbeits­platz zur Verfügung gestellt. Der Wissenschaftler kann große Vorversuchsreihen machen, um das jeweilige Projekt für die wenigen Versuche an der Groß­anlage vorzubereiten. Das System ist einfach und modular aufgebaut und unkompli­ziert zu bedienen.

Dazu kommen folgende wirtschaftliche Anforderungen: Durch Vorbereitung wird die Anzahl der Versuche, und somit auch der finanzielle Aufwand, auf der Großanlage verringert. Das System ist im Aufbau, sowie im Unterhalt preiswert und daher günstig für große Vorversuchsreihen.

Wie deutlich zu sehen ist. sind die wissenschaftlichen und wirt­schaftlichen Anforderungen eng miteinander verflochten. Das System ist aufgrund seiner Konzeption nicht nur zur Simula­tion von seismischen Schwingungen verwendbar. In diesem Beitrag soll jedoch wie in der Wettbewerbsarbeit unsere Zielanwendung als Beispiel beschrieben werden_

2. Bau und Konstruktion des Simulationssystems

a) Die Mechanik

Um F.rdbE>ben zu sjmulieren, müssen verschiedene Raumkoordinaten­ln die Bewegung einE!r Modellebene umgesetzt werden. Wir haben dies erreicht. indem wir für jede der drei Bezugsebenen eine

Rene Lauf er. Prinzregentenstr. 17, 1000 Berlin 31

211

212

Simulatorebene vorgesehen haben. Der Aufbau wird aus Abb. 1 bis 3 deutlich.

Abb.l (links oben), Die x-Simulationsebene

Abb. 2 (rechts oben)' Die y-Simulationsebene

Abb. 3 (links)' Die z-Simulationsebene

Jede Ebene besitzt eine eigene Motoransteuerung, wodurch jede unabhängi-g von den beiden anderen bewegt werden kann. Diese technisch unkomplizierte Konstruktion führt zu einer einfachen programmtechnischen Ansteuerung. Die Motorbewegung wird durch Pleuelstangen auf die einzelnen Ebenen übertragen. wobei die Am­plitude und die sinusförmige Bewegung durch die verwendeten Mo­toren und die Pleuelstangen bedingt ist. In unserem Prototyp fanden Scheibenwischermotoren Verwendung. zu deren Energiever­sorgung wir eine Autobatterie eingesetzt haben. Auf der obersten Ebene. der Simulationsebene. ist ein Folien­schlauch, der "Käfig", installiert. wor1n eine Aluminiumwanne befestigt ist, die das Modellgebäude aufninunt. In der Wanne sind Plastikstifte zur Befestigung der Modellfundamente angebracht und sie enthält je nach Anforderung Sand oder ähnliches als Mo·­dellerdoberfläche.

Die Ausdehnung der Anlage resultiert aus der Größe der Simulati­onsfläche, welche bei unserem Prototyp auf 350 x 350 mm dimen­sioniert ist. Daraus ergeben sich die in Abb. 1 erkennbaren Aus­maße. Die verwendeten Materialien sind hauptsächlich Holz und Alumi­nium und die Ebenen gleiten auf Schubladenschienen. Das tatsäch­liche Aussehen der Anlage ist in Abb. 4 zu erkennen.

Abb. 4, Der Simulator (Foto, A. Weißhuhn)

b) Der Steuerkomplex

I . Hardware Die Aufgabe der Steuerelektronik ist die Weitergabe der im Steu­ercomputer gespeicherten Befehle an die Motoren. Dabei werden pro Motor zwei Parameter übergeben:

1. Motor an I aus, 2. Motor im Rechts- I Linkslauf.

Die Umsetzung der Steuerdaten in einen Ansteuerstrom wird von Verstärkern übernommen. Der Steuercomputer ist ein Sinclair ZX Spectrum, ein Rechner mit einem Z80A-Prozessor. mit 48 KBytes Speicher, der durch eine 32 Bit-PIO (Parallel Input I Output) mit zwei Z80A PIO-Bausteinen erweitert wurde. Ein an die PIO angeschlossenes Verteilerinter­face verbindet die Verstärker und die Regelkontakte zur Posi­tionskontrolle mit dem Steuercomputer. Um die Motoren anzusteuern, haben wir drei voneinander unabhän­gige Verstärker gebaut, von denen jeder einer Bewegungsrichtung zugeordnet ist. Zu diesem Zweck wird das Computersignal (0.25 W) auf maximal 240 W verstärkt. Jeder Verstärker besteht aus einer Vor- und einer Hauptschaltstufe. Vor den Ausgang ist außerdem noch ein Relais geschaltet, das für die Polung der Motoren zu­ständig ist. Das Blockschaltbild ist in -Abb. 5 zu sehen.

213

214

Com:pu"C"er

Vor­schalt- , s;:;w.~e I

Abb. 5: Blockschaltbild der Motoransteuerung

Damit der Computer auch RUckmeldungen über die Positionen der einzelnen Ebenen erhält, wurden Regelkontakte an diesen befe­stigt. Sie melden, ob die Ebene sich in einer von fünf Positi­onen (links außen, links, mitte, rechts, rechts außen; Abstand 20 mm) befindet. Die geringe Auflösung der Regelkontakte ist durch die Tatsache bedingt, daß eine Positionsabfrage nicht nach jedem Steuerbefehl nötig ist. Es ist ausreichend nach einer ge­wissen Zahl von Steuerbefehlen und Positionsabfragen eine Kor­rektur vorzunehmen, um die Ungenauigkeit der Motoren und anderer Systemkomponenten auszugleichen. Diese Regelung ist gegenüber einer Korrektur mit konstantem Faktor flexibler.

!!. Software

Die erste Software besteht hauptsächlich aus Testprogrammen für Funktionstests und erste Experimente am Simulator. Weiterhin existiert Software zur Simulation von verschiedenen seismischen Grundschwingungen mit veränderlichen Frequenzen und Amplituden. Dazu kommen in BASIC und Z80-Maschinensprache geschriebene Rou­tinen für den Betrieb der Anlage. Die bereits teilweise existierende nächste Ausbaustufe besteht aus einem Programmpaket zur Digitalisierung von Seismogrammen mit einem Editor. Daran schließt sich die Ubersetzung mit einem Konverterprogramm und Ablauf des lauffähigen Codes mit einem Kontrollprogramm an. Dieses Kontrollprogramm nimmt auch die oben erwähnte Regelung vor. Die Länge eines Simulationslaufes wurde von uns auf 40 s begrenzt. da eine längere Zeitspanne nicht rea­litätsgetreu wäre. Verbesserungsfähig wäre dagegen die Auflösung an Steuerbefehlen, die z.Z. bei 50 Befehlen pro Sekunde liegt und die durch die Speicherkapazität des Rechners begrenzt ist, denn neben den Steuerdaten werden auch die Positionsdaten im Rechner während des Simulationslaufes benötigt. Die Befehlsauf­lösung und die Leistungsfähigkeit der Motoren bedingen die Höchstfrequenz. die auf dem Simulator gefahren werden kann. wel­che derzeit bei ca. 20 Hz liegt.

cl Der Maßkomplex

I. Hardware

Der Meßcomputer nimmt die folgenden Daten auf: 1. Das reale Simulationsbeben über Meßkontakte, 2. Das Verhalten des Modellgebäudes über Sensoren.

Der Meßcomputer ist ein Commodore C64, an dessen Joystickport sowohl die Sensoren als auch die Meßkontakte angeschlossen sind. An den Rechner können bis zu zehn Schalter (an I aus) in Form

von leitfähigen Würfeln und Stäben angeschlossen werden. Diese Bausatzteile werden in Kapitel 2. e) näher beschrieben. Der Rechner registriert nun während der Simulation, wenn die Teile sich voneinander lösen und somit die Schalter geöffnet werden. Die Meßkontakte sind wie die Regelkontakte aufgebaut. bieten jedoch mit 21 Positionen größere Auflösung. Uber sie wird das reale gital aufgenommen.

des Steuerrechners (Abstand 2 rnrn) eine

Simulationsbeben di-

Je fünf Meßwerte (x-, y-, z-Position und 2x fünf Sensorzustände) bilden eine Meßwertgruppe und werden gleichzeitig aufgenommen und gespeichert. Zusätzlich ist ein Zähler. die "Uhr". an den Meßcomputer angeschlossen und wird in das Videobild eingeblen­det. Der Zähler zeigt die Nummer der derzeitigen Meßwertgruppe an, wobei 40 s lang jede 1/60 s eine Gruppe aufgenommen wird. Durch die Einblendung können später Meßwerte zeitlich der Video­aufzeichnung zugeordnet werden. Der schematische Aufbau wird aus Abb. 6 deutlich.

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Abb. 5, Blockschaltbild des Meßkomplexes

II. Software

Neben der technischen Realisation galt es. die Meßwerte durch ein bedienerfreundliches Programm unkompliziert mit dem Computer verarbeiten zu können. Dafür wurde ein BASIC-Programm mit Un­terroutinen in Maschinensprache geschrieben, mit welchem sich die Daten aufnehmen, verwalten und anzeigen lassen. Außerdem ist es möglich den Bauplan des Modellgebäudes im Auf-, Seiten- und Grundriß einzugeben. Hier werden auch die Sensoren eingetragen, die der Rechner selbsttätig verwaltet. Das Programm bietet die Möglichkeit das Beben und die Sensoren sowohl auf Drucker als auch auf Plotter in Form von Zahlen oder Kurven auszugeben. Das Programm ist erweiterbar geschrieben und somit können wei­tere Darstellungen oder Routinen zur Auswertung integriert wer­den.

215

216

dl Die optische Aufzeichnung

Neben dem Meßcomputer ist die optische Aufzeichnung der zweite Teil des Meßkomplexes. Sie besteht aus einer Videokamera, einem Recorder und einem angeschlossenen Fernsehgerät. Im Bildfeld der Kamera ist vor dem Simulator die bereits erwähnte "Uhr" aufge­stellt.· Die Videoanlage ist die optische Komponente der Datenaufzeich­nung und -auswertung, denn sie nimmt das sichtbare Verhalten des Modellgebäudes während der Simulation auf. Ohne ihren Einsatz wäre ein zu großer technischer Aufwand nötig, um das Gesamtver­halten des Modells zu beobachten. Aus diesem Grund haben wir die Videoanlage als sinnvolle Ergänzung zur Computeraufzeichnung in unser System integriert. Die Videoanlage ist eine der Komponenten, die sich am einfach­sten austauschen läßt, da sie mit dem Simulator nicht hardware­mäßig verbunden ist. Sie kann somit den jeweiligen Anforderungen sehr einfach angepaßt werden.

el Der Bausatz

Ein Bausatz für diese Simulation muß bestimmten Anforderungen genügen. Eine davon ist die Darstellung eines Gebäudes als Mo­dell, wofür es zwei Möglichkeiten gibt:

1. Da_s Vollmodell mit festen Wänden, 2. Das Gittermodell, das den schema·tischen und sta-

tischen Aufbau wiedergibt. Die Schwierigkeiten beim Vollmodell sind die maßstabsgetreue Nachbildung von Gebäudeeigenschaften wie Festigkeit, Elastizität und anderes. Aufgrund dieser Schwierigkeiten und der Kostenpro­bleme haben wir uns für das Gittermodell entschieden, wofür Bei­spiele in Abb. 7 und 8 zu sehen sind.

/ /

/ 1/

IL V

V /

Abb. 7 (links) Abb. 8 (rechts)

/ /

/ /

/ / / /

/ / V /

Hochbau, unabgestützt Hochbau, abgestützt

Bei diesem bleiben die grundsätzlichen Eigenschaften des Modells wie Stabilität und Aufbau erhalten und es ist einfacher und ko­stengünstiger zu handhaben.

Der von uns verwendete Bausatz besteht aus drei Grundelementen: Fundamente , Stäbe und Würfel. Die dabei verwendeten Werkstoffe sind Holz und Eisen. Die Fundamente, sie bestehen aus Holzklötzchen (20 x 20 x 40 mm) mit Bohrungen für die Stäbe und durchbohrten Metallplatten (60 x 60 mm) zur Arretierung an den Plastikstiften in der Wanne, die­nen zur Befestigung des Modells in der Aluminiumwanne. Durch die Fundamentmasse und die Plastikstifte kann das Modell den Schwin­gungen nicht durch Gleiten ausweichen. Die Stäbe (rund. 60 x 5 mm) verbinden die Fundamente und Würfe 1 untereinander. Sie sind in drei verschiedenen Farben gehalten um auf dem Videobild die-Anordnung (x-, y- oder z-Richtung) zu ver­deutlichen. Es gibt noch einen Satz von Spezialteilen, die durch Metallfolie leitfähig sind und als Sensoren dienen. Ihre Aufgabe wurde schon in 2. c) erläutert.

3. Das Sxstem im Einsatz

al Versuchsbetrieb

Der Betrieb des Simulationssystems gliedern:

1. Die Vorbereitungsphase, 2. Die Experimentalphase, 3. Die Auswertungsphase.

läßt sich in drei Phasen

In der ersten Phase werden Anforderungen an den Versuch und Schlüsse aus eventuell vorangegangenen Versuchsläufen gesammelt. Das zu untersuchende Modellgebäude wird zusammengesetzt, die Simulationsschwingung ausgesucht und in den Steuerrechner gela­den. Nach der Initialisierung aller Komponenten des Steuerkom­plexes ist dieser betriebsbereit. Als nächstes wird der Maßkomplex vorbereitet, wobei zuerst das Modell und die Sensoren im Meßprogramm editiert werden. Nun er­folgt das Einschalten des Zählers und der Videoanlage. Nach der Installation'des Modells auf der Anlage ist das System betriebsbereit. Die Experimentalphase beginnt mit dem aufeinanderfolgenden Star­ten der drei Komponenten optische Aufzeichnung, Meßkomplex und Steuerkomplex. Von nun an läuft das System 40 s lang, fUhrt die vorgegebene Schwingung aus und zeichnet die entstehenden Daten zur späteren Auswertung auf. Der Versuchslauf läßt sich jederzeit abbrechen, die bisherigen Daten bleiben jedoch erhalten. Die Möglichkeiten in der Auswertungsphase werden im folgenden Kapitel erläutert.

b) Auswertungsmöglichkeiten

In diesem Kapitel soll das Potential beschrieben werden, welches unser System zur Auswertung zur Verfügung stellt. Aufgabe des Experimentators ist es dann, nach der Simulation dieses Poten­tial seinen Anforderungen entsprechend einzusetzen. Dafür werden

217

218

das Wegeseismogramm, die Sensorzustände und die Videoaufzeich­nung zur Verfügung gestellt. Durch das Meßprogr~ läßt sich der gesamte Kurvenverlauf oder nur Teile davon zusammen mit den Sensorzuständen ausgeben. An­hand der aufgedruckten Zeiteinteilung und mit Hilfe des Zählers. der in das Videobild eingeblendet ist. läßt sich das Gesffmtver­halten des_ Modells in der Videoaufzeichnung betrachten. Die da­bei gefundenen Ergebnisse können dann in Zus~enhang gebracht werden. Neben den erwähnten Komponenten können z.B. noch eigene Beobach­tungen, das ausgedruckte Steuerbeben oder eigene Verfahren ein­gebracht werden. Das System - Hardware wie Software - ist aus­baufähig konzipiert und somit erweiterbar. Die Struktur des Systems im Einsatz und der Datenverkehr wird aus Abb. 9 deutlich.

CESSY I - .Aufbau

Steuer• rechner Steuer- Steuer- Simulator

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•. \.0 ' ., /

I Um I Energie•

versorgung Optische

Aufzeichnung

Abb. 9: Schematischer Aufbau von CESSY I

4. Experimente und Ergebnisse

Mess-rechner

fft '\ •0 ,/

•>

I Um I

Die in diesem Kapitel besprochenen Experimente wurden ohne große Softwareunterstützung durchgeführt. Es sind lediglich Probe­schwingungen. um das Simulationssystem zu testen und erste Er-

fahrungen zu gewinnen. Daher soll nachfolgend nur ein überblick gegeben werden. Es wurden mehrere sinusförmige Schwingungen (Amplituden bis zu 40 mm bei Frequenzen von ca. 2 bis 17 Hz) simuliert, wobei das Verhalten von Modellen, die z.B. in Abb. 7 und 8 zu sehen sind. beobachtet wurde. Dabei war zu sehen. daß zum einen logischer­weise Frequenzen nahe der Resonanz. aber auch niedrige Fre­quenzen mit hohen Amplituden zur Zerstörung des Modells führten. Allerdings spielt dabei auch die Konstruktion des Hauses eine Rolle. Es scheint auf jeden Fall günstig zu sein, Abstlitzungen in Richtung der zu erwartenden Hauptbebenwelle wie in Abb. 8 zu errichten. Dies nur als ganz kurze übersieht in diesem Teilpunkt.

5. Diskussion

a> Das Simulationssystem

Wir haben uns~r Simulationssystem von Anfang an so geplant und gebaut, daß alle Komponenten veränderten Anforderungen angepaßt werden können. Wir halten unsere Anlage von der Leistung und den Details sicher in vielen Punkten für verbesserungsbedlirftig, meinen aber, daß das Grundkonzept gut ist, gerade weil es aus­baufähig ist. Wir geben jedoch zu bedenken, daß beim Austausch einer oder mehrerer Komponenten die jeweilige Anlage den verän­derten Leistungen angepaßt werden muß. Es sollen nur einige Beispiele und Ansatzpunkte genannt werden, wie z.B. die Veränderung von der Weg- zur Beschleunigungsrege­lung. Außerdem besteht das Problem, daß der Frequenzbereich der Anlage zur Simulation aufgrund der Maßstabsveränderung im Modell vergrößert werden müßte, genauso wie die Eigenfrequenz des Ge­rätes aus.diesem Bereich bewegt werden muß. Daneben gibt es die Möglichkeit vie.ler kleiner Strukturänderungen, wie z.B. das Er­setzen der Pleuelstangen durch Zahnstangen mit einer anderen Motoraufhängung.

bl Die Experimente und Ergebnisse

Wir meinen, daß diese ersten Versuche interessante Ergebnisse gebracht haben, die jedoch größere Versuchsreihen nach sich zie­hen sollten. Für langfristige Experimente erscheint es uns gün­stig, vorhandene und selbstentwickelte Norm- und Testerdbeben zu simulieren, sowie uns stärker mit bestehenden Normen und Rege­lungen zu beschäftigen. Außerdem wäre es gut, für weite~e Ver­suche den Bausatz und damit in Zusammenhang stehende Komponenten zu verbessern. Insgesamt läßt sich sagen, daß wir als interessierte Beobachter nur einen Einstieg in die Simulation von Erdbeben machefl konnten. Einige Bereiche wie z.B. Materialeigenschaften in der Realität (Festigkeit, Elastizität u.a.) und im Modell, sowie die bereits erwähnte Messung über Beschleunigungs- statt Auslen­kungswerte konnten von uns nicht betrachtet werden.

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6. Aueblick

Trotz zweieinhalbjähriger intensiver Arbeit an CESSY I (Compu­tergesteuertes Erdbeben-Simulations-System 1) sehen wir dieses Thema keinesfalls als abgeschlossen an, obwohl wir nicht glau­ben, daß es eine direkte Anschlußarbeit geben wird, die dieses Thema aufgreift. Es sollte ein Ergänzungssystem gemäß den Vorüberlegungen dieser Arbeit geschaffen werden. Das Ziel. mit dem Bau unseres Simu­lators einen Anstoß in diese Richtung gegeben zu haben, glauben wir erreicht zu haben. Uns erschien wichtig mit unserer Arbeit neue Wege und Methoden aufzuzeigen. Es ist uns klar, daß das Anwendungsgebiet größer ist als wir es hier beschreiben können. Es wären z.B. Schwingungsprüfungen ein­zelner Werkstoffteile, die Darstellung spezieller Phänomene und ähnliches möglich: Wir wissen auch, daß es Verbesserungsmöglich­keiten gibt, einige wurden in vorhergehenden Kapiteln genannt. Wir verstehen jedoch unseren Simulator und alle Komponenten des Systems als Prototyp und ernsthaften Vorschlag am Ende einer längeren Entwicklungs- und Optimierungsphase. Obwohl wir keine direkte Anschlußarbeit hervorbringen wollen, wUrde es uns gerade aus diesem Grund freuen, wenn die Idee die­ser Arbeit aufgegriffen wird. Wir wUrden dann gerne mitarbeiten, um CESSY II zu bauen.

7. Danksagumr

Wir danken unseren Eltern für ihre moralische Hilfe und ihr Ver­ständnis, das manchmal nötig war, sowie unserem betreuenden Leh­rer OStR Reinhard Winkler und unserer Rektorin OStD Dr. Ute Kniepen für ihre Unterstützung. Unser Dank gebührt den Mitarbei­tern der Abteilung K4/-EWM2 der Firma Robert Bosch GmbH für die Scheibenwischermotoren,_ die uns gute Dienste geleistet haben und leisten. Wir danken weiterhin Herrn Heinrich Lerch und Herrn Lothar Götze für ihren fachlichen Rat. der für uns sehr wichtig war und wir danken allen ungenannt gebliebenen Personen. die uns mit Zuspruch und Rat geholfen haben. Sie alle haben einen Anteil an dieser Arbeit.

8. Literaturverzeichnis

1. Bolt, Bruce A.; Erdbeben -Eine Einführung; 1. Aufl. 1984; Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo

2. Zaks. Rodnay; Progranunierung des 280; 7. Auf 1. 1985; SYBEX Verlag GmbH, DUsseldorf

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Anhang

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15. Oktober 1987 abends Empfang bei der Fa. Gerb, Gesellschaft für Isolierung, Berlin, mit Filmvorführungen und Besichtigung der Versuchshalle

Vortragsprogramm

am Freitag, den 16. Okt. 1987

09.00 Begrüßungdurch den Vizepräsidentender BAM, Prof. Dr. H. Czichos und den Vorsitzenden der DGEB, Prof. Dr. G. Klein

Leitung der I. Sitzung: Prof. Dr.-Ing. G. Klein (Hannover)

09.15 G. Waas (Frankfurt) Dämpfung von Bauwerksschwingungen (Übersichtsvortrag)

10.00 J. Baseler, F. Müller (München) Der Einfluß einer nichtproportionalen Dämpfungsverteilung an der Schwingungsantwort dynamisch belasteter Baustrukturen

10.30 0. v. Estorff (Bach um) Dämpfung eigenerregter Systeme durch Energieabstrahlung in den Bau~ grund

10.55 R. Laufer (Berlin) Computergesteuerte Erdbebensimulation*

11.00 Kaffeepause

Leitung der 2. Sitzung: Prof. Dr.-Ing. S. Savidis (Berlin)

11.30 W. B. Krätzig, K. Meskouris, I. F. Meyer (Bochum) Schadensmodelle duktiler Stahlbetontragglieder - Theorie und Experi­ment-

12.00 G. König, J. D. Wörner (Darmstadt) Nichtlineare Bauwerk-Komponenten-Wechselwirkung

* Einführende Worte zu einem Modell, das in den Pausen im Foyer besichtigt werden kann.

12.30 E. Keintzel (Karlsruhe) Zur Ermittlung der Verhaltensfaktoren für die Erdbebenberechnung von Stahlbetonbauten

13. Mittagspause, Mittagessen in der Kantine der BAM

Leitung der 3. Sitzung: Prof. Dr.-Ing. H. Wölfe! (Darmstadt)

14.00 G. Hirsch (Aachen), A. Kleine-Tebbe (Jülich) Experimenteller Nachweis einer semi-aktiven Schwingungskontrolle von erdbebenbelasteten Strukturen

14.30 J. Eibl, L. Stempniewski (Karlsruhe) Über die Beanspruchung von Flüssigkeitsbehältern durch Erdbeben

15.00 G. König, C. Graham (Darmstadt) Kurze Stützen unter zyklischer Beanspruchung

15.30 Kaffeepause

Leitung der 4. Sitzung: Prof. Dr.-Ing. F. Stangenberg (Bochum)

16.00 K. Brandes (Berlin) Niedrigzyklisches Verhalten von Stahlbau-Anschlüssen im plastischen Be­reich

16.30 F. Buchhardt, W. Matthees, G. Magiera, M. Weber (Berlin) Zum Einfluß von Dämpfung und Materialnichtlinearität am Beispiel der Lastfälle Flugzeugabsturz und Erdbeben bei Kernkraftwerken

17.00 H. Werkle (Frankfurt), L. Maleher (Karlsruhe) Nichtlineare Bauwerksschwingungen bei Versuchen mit einem großen Sha­ker

17.30 Ende der Tagung

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