Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck

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    15-Mar-2016

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Horst Steibl, TU Braunschweig GDM-Tagung Berlin 2007. Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das gyptische Dreieck. Wie Tim und Tom, die Winkelwichtel, helfen, den Durchblick zu behalten. C. Die Aufgabe:. P. Q. M. A. B. L. - PowerPoint PPT Presentation

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<ul><li><p>Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das gyptische DreieckHorst Steibl, TU BraunschweigGDM-Tagung Berlin 2007Wie Tim und Tom, die Winkelwichtel, helfen, den Durchblick zu behalten</p></li><li><p>Die Aufgabe:Falten Sie in einem quadratischen Blttchen die gezeichneten Linien exakt durch Punkt-auf-Punkt-Faltung und beweisen Sie, dass die gefrbten Dreiecke gyptische Dreiecke sind. Erlaubte Hilfsmittel: Winkelsumme im Dreieck, Strahlenstze, hnlichkeit, ABCPMQL</p></li><li><p>Die Diagonale im DoppelquadratHalbiere das Quadrat lngs einer Mittellinie. Du erhltst zwei Rechtecke, deren lange Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen. Man bezeichnet es auch als Doppelquadrat. In Jedem Rechteck gilt:Um die Diagonale zu falten, faltet man zunchst die Mittelsenkrechte der Diagonale. Bringt man dann die Endpunkte dieser Faltlinie aufeinander, so erhlt man die Diagonale. Die diagonale Raute im RechteckBSMP</p></li><li><p>Die goldenen Linien im QuadratDies Verbindungslinie eine Seitenmitte des Quadrates mit einem nicht benachbarten Eckpunkt bezeichne ich als goldene Linie im Quadrat.Berechnet man die Lnge dieser Strecke im Einheitsquadrat , so ergibt sich: 1(1/2)5/4g = *5t = + *5Somit lsst sich hiermit die Konstante t des goldenen Schnittes konstruieren= 1,618...</p></li><li><p>Das 3. ElementardreieckDieses Dreieck, dessen Katheten im Verhltnis 1 : 2 stehen heit auch nach Platon: Elementardreieck Nr 3Man kann sie zum Quadrat mit Loch umlegen und damit etwa ausgehen vom 10 * 10 Quadrat die Lnge von g elementar berechnen ~: A = (1 + )Beim Versuch, solche Quadrate mit Loch zu legen (es gibt noch eine 2. Mglichkeit), kann sich folgendes ergeben:</p></li><li><p>Das goldene RechteckEs entsteht ein Rechteck mit Loch, dessen Seiten im Verhltnis des goldenen Schnittes stehen. Fr das Loch gilt das gleiche.Hans Walsers goldene Spirale</p></li><li><p>Figuren aus vier DreieckenGrundfiguren:Quadrat, Rechteck. Raute, Trapez ParallelogrammSpiegelachsenFiguren mit LochDrehsymmetrie</p></li><li><p>Die Knautsche FigurZeichnet (oder faltet) man alle 8 goldenen Linien im Quadrat, so entsteht eine ansprechende Sternfigur: die Knautsche FigurWie viele goldene Linien sind das?</p></li><li><p>Die Knautsche Figur auf dem Geobrett</p></li><li><p>Das Parallelogramm und der Drachen als erzeugende Elemente der Knautschen Figur</p></li><li><p>Vierecke aus den goldenen Linien1/51/31/41 3* 1/8 2* 4/20 = 9/40 - 1/12 3/20= 4/15 - 1/12 1/8 = 7/24 </p></li><li><p>SchnittpunkteDiagonalen des RechtecksEs gibt drei Klassen von Schnittpunkten In welchem Verhltnis schneiden sich diese goldenen Linien hier ?Die Diagonalen im Trapez teilen einander im Verhltnis der parallelen SeitenDas Verhltnis heit hier 1 : 2Der Punkt drittelt jede Querlinie , die von einer Seite zur Gegenseite gehtDamit knnen wir das Blatt in 9 Quadrate zerlegenDer Drittelpunkt</p></li><li><p>g1 und g2 schneiden sich im rechten Winkel124Im rechtwinkligen Dreieck teilt die Hhe auf die Hypotenuse dieses in zwei zum Ausgangsdreieck hnliche DreieckeSie teilt diese im Verhltnis der Quadrate der Katheten3Der Fnftel-PunktFalten Sie ein 5 + 5 Feld ohne aufzurollen! Nicht durch den Punkt, sondern auf den Punkt falten345Damit haben wir gezeigt, dass diese 3 g-Linien ein gyptisches Dreieck bestimmen. Spter dazu mehr.</p></li><li><p>Die Hhe im rechtwinkligen DreieckDer Hhensatz lautet:h = p * qq + h = a; p + h = aq + p*q = aP + p*q = bq(q + p) = ap(p + q) = bq : p = a : b</p></li><li><p>Das 25-er Feld44Der Schnittpunkt bestimmt lotrecht einen 2-er-Streifen und einen 3-er-Streifen.Halbiere zuerst den 2-er-StreifenNun hast du ein Feld, das 4 Streifen breit ist. Halbiere dieses. Du bekommst zwei 2-er-Streifen. Halbiere zunchst den ueren. Als letztes knickst du die Linie durch den Teilungspunkt (4-er-Streifen halbieren)!Quer: Halbiere die Viererstreifen; dann den unteren 2-er-Streifen. Falte von oben auf die unteren Knick(4=2 +2). Halbiere den untere 2.er-Streifen. Die letzte Faltlinie geht wieder durch den Teilungspunkt. </p></li><li><p>Bruchteile1/6 * = 1/121/10 * = 1/201/3 * 1/4 = 1/12</p></li><li><p> Lage im Punktgitter?Woran erkennt man sie?3 : 4 : 5R; 3 : 4R; 4 : 5R und einen zweiten gyptischen Winkel!!arctan(4/3) = 53,130...arctan(3/4) = 36,869...Die gyptischen Dreieckesehr krumm</p></li><li><p>Tim und Tom in ihren Kammern5, 11, 14 - Kammer5, 10, 11 - KammerTom: Der spitzere Winkel im diagonal halbierten DoppelquadratTim + Tom = Rtan (Tom) = </p></li><li><p>Die DoppelkammernTim hat einen Zwillingsbruder, Timm mit zwei m. Wenn der zu Besuch kommt, schlafen sie in der Tim-Timm Ecke.Der Zwillingsbruder von Tom kommt auch ab und zu. Jetzt kann man gut sehen,dass sie etwas breitere Hte haben als die Tims.Das ist also die Tom-Tom-Eckem</p></li><li><p>Zerlege und du findest das ZauberwortoiiooiiooioiioiiooioooiiooiioooiIPANKRATUSES</p></li><li><p>Die Winkel des gyptischen DreiecksDas (10,11,11-D)Das (7,11,11)-DoiiooiiooiioiiooGenau dann ist ein rechtwinliges Dreieck ein pythagorisches 3,4,5 Dreieck, wenn es einen oo-Winkel oder einen ii-winkel hat.ooii</p></li><li><p>Lsung unserer AufgabeAugenscheinlich!Zwei lotrecht aufeinander stehende Geradenpaare schneiden sich unter gleichen Winkeln</p></li><li><p>Trigonometrischer Einschuba= ooo oarc tan 4/3 = 2* arc tan 1/23412a = arc tan (4/3)o = arc tan (1/2)a = 2 * o</p></li><li><p>Das pythagorische Dreieck aus dem DoppelquadratHier ist in einem Doppelquadrat, also einem Rechteck mit den Seitenverhltnissen 1 : 2 eine Ecke auf die Gegenecke gefaltet. Damit haben wir die Mittelsenkrechte der Diagonale gefaltet.Betrachten wir den Rechteckwinkel unten links:</p><p>Fr den Dreieckswinkel bleibt ein Tim-Tim-Winkel brig!Also muss des blaue Dreieck ein gyptisches Dreieck seinNach einem Vorschlag von Hans Walserooiio</p></li><li><p>Der Satz von HagaFaltet man in einem Quadrat eine Ecke auf eine gegenberliegende Seitenmitte, so sind die drei berstehenden Dreiecke pythagorische (3,4,5)-DreieckeiiiiooiiiiFalte die Mittelsenkrechte der Diagonale des rechten Doppel-quadrates und die Diagonale</p></li><li><p>Pyth aus dem Doppelquadrat2 : 1 = 1 : 4 : 2 = 2 : 1aa= (4 1) = 1 8 : 4 = 4 : 2a = (8 2) = 3 bb= 4c = a+ 2 = 5c Vertauschen der Funktion:Diagonale Mittelsenkrechte</p></li><li><p> Faltet man in einem Rechteck mit Seitenverhltnis u : v (u &gt; v) die Diagonale und ihre Mittelsenkrechte (in umgekehrter Reihenfolge) und vertauscht ihre Funktion, so kommt man zu einem hnlichen Rechteck.Es handelt sich um ein Drehstreckung a = 90 und p = v/u. Wie kann ich die Mae des Rechteckes aus den gegebenem Verhltnis berechnen? Geht das auch bei anderen Rechtecken? Ergeben sich da auch pythagorische Dreiecke?Mae des Rechtecks?Die Seiten des entsprechenden Dreiecks stehen bei ganzzahligem Verhltnis der Rechteckseiten dann immer im Verhltnis eines pytagorischen Zahlentripels.</p></li><li><p>Das indische Dreieck 3 : 23 : 2 = 2 : xx = 4 / 33 : 2 = 2 : 4 / 3</p><p>9 / 6 = 6 / 4xyx + yy = 5/218 : 12 = 12 : 8(9 4)/2 = 5/2Tauschen der Funktion: Diagonale - Mittelsenkrechtea = 5b = 12c = 5 + 8 = 13Ist u : v das ganzzahlige Verhltnis der Rechteckseiten, u &gt; v und u v ungerade, so erweitere man die Verhltnisse der Rechtecke mit 2u. Auf diese Weise erhlt man die Mae des gesuchten Rechteckes.x = 8y = 5x+y= 1325 + 144 = 169</p></li><li><p>Rechteck 7 : 47 : 4 = (7 * 2*7) : (4 * 2*7)= 98 : 5656 * (4 /7) = 32(98 32) /2 = 3332 + 33 = 6533 + 56 = 651089 + 3136 = 422598563233erweitere mit 2 * u = 2 * 7Rechtecksmaekurze S. kl. Re.HypotenuseKathete65Sind u und v die Parameter des Seitenverhltnis mit u &gt; v und u, v gekrzt und u v nicht gerade so gilta : b : c = (u - v) : 2u : (u - v) </p></li><li><p>Berechnung der Zahlentripel: Verhltnis u : vDie kurze Seite x des drehgestreckten Rechtecks berechnet sich zu x = v * v / u = v/uDamit ergibt sich fr den Abschnitt y y = 1/2 ( u - x) = 1/2 ( u - v/u) Setzen wir die Seiten y, v und z des pythagorischen Dreiecks ins Verhltnis: y : v : z = 1/2 ( u - v/u) : v : (v/u) + 1/2 ( u - v/u) "erweitern" wir diese Terme mit 2u so ergibt sich y : v : z = (u - v) : (2*u*v ) : (u + v)</p></li><li><p>Hans Walserhttp://www.math.unibas.ch/~walser/MiniaturenHans Walser, (20060812) Trigonometrie im Schachbrett, Hans Walser, pythagorische Dreiecke, 8th International Conferenc on Geometrie Part 2 Hans Walser, (20060408b) Falten von Rechtecken Alfred Hoehn, Der wiedergefundene Schatz Horst Steibl, Das Geobrett im Unterricht, Franzbecker, 2006 Horst Steibl, Geometrie aus dem Zettelkasten, Franzbecker, 1999 http://www.alfredhoehn.ch/wiedergefundene%20Schatz.pdfhttp://www.madin.tu-bs.de/homepage/steibl/Startseite.htmlhttp/Miniaturen/ </p></li><li><p>Rechtecke mit irrationalen Seitenverhltnissen</p></li><li><p>Vielen Dank fr Ihre Aufmerksamkeit </p></li><li><p>Ein Achteck?180:oiiooiio</p></li><li><p>Dreiecksmetamorphosens. Hans Walser</p><p>PotentialFangen wir bei dem I an. Das ist also eine Tom-tim-tim-tom-tom EckeDiese rechte ecke hatten wir schon oiio EckeDies ist ein halber rechterUnd hier die andere rechte Ecke Tom R = Tim TimDies ist ein sehr stumpfer Winkel ?ATom Tomnoch ein stumpfer Winkel</p></li></ul>