Die isoperimetrischen Ungleichungen auf der gewöhnlichen Kugel und für Rotationskörper imn-dimensionalen sphärischen Raum

Die isoperimetrischen Ungleichungen auf der gewiihnlichen Kugel und fiir Rotationskiirper

im n-dimensionalen sphiirischen Raum. Von

Erhard Schmidt in Berlin.

I n h a l t s v e r z e i c h n i s .

w l. Invariante Formulierung der isoperimetrischen Ungleichungen fiir die Euklidische, hyperbolische un4 sph~rische Geometrie . . . . . 743

w 2. Die isoperimetrischen Ungleichungen auf der gewShnlichen Kugel 751

w 3. FeststeUung derjenigen geschlossenen Kurven, welche in den isoperimetrischen Ungleichungen die Gleichheit erreichen . . . . . . . 760

w Die isoperimetrisehen Ungleichungen fiir RotationskSrper im n-dimensionalen sph[trischen Raum . . . . . . . . . . . . . . 769

w

Invariante Formulierung der isoperimetrischen Ungleichungen fiir die

Euklidische, hyperbolische und sphiirische Geometrie.

In tier vorliegenden Arbeit werden mit den Methoden, welehe ich ffir den Euklidischen 1) und hyperbolischen 3) Raum entwickelt babe, die isoperimetrischen Ungleichungen auf der gewShnlichen Kugel und ffir Rotations~ k6rper im n-dimensionalen sphgrischen Raum unter den entspreehenden Ver- schaffungen hergeleitet.

Da die Analogie der Beweisffihrung sowohl als der Ergebnisse iiber- raschend welt geht, so seien bier die einfachsten und wiehtigsten der letzteren in einer fiir alle drei Geometrien invarianten Gestalt zusammengefaBt:

1) Math. Zeitschr. /14 (1939), S. 689--788. 2) Math. Zeitschr. 46 (1940), S. 204--230. In einer demngchst erscheinenden

Arbeit wird mit denselben Methoden, die isoperimetrische Aufgabe auf beliebigen Rota~ionskSrpern gel6st und zwar im GroBen.

744 E. Schmidt.

Man bezeichne in der Euktidischen, hyperboliscI~en und sphi~rischen Geo- metrie Umfang und Inhalt des Kreises mit dem Radius R dutch

L{R} nnd J{R}

und die Ableitungen dieser Funktionen nach R dutch

L' IR} und g-7 iR}.

Diese Symbole bedeuten also je nach der Geometrie, um welche es sich handelt, verschiedene Funktionen yon R.

Nun bezeichne in allen drei Geometrien L den Umfang einer geschlossenen einfachen Kurve C und J den Inhalt des yon ihr umschlossenen Gebiets.

Die Kurve C sei ferner eingeschrieben --

in der Euklidischen Geometrie in einen Parallelstreifen yon der Breite 2 R -

in der hyperbolischen Geometrie in einen yon zwei Abstandskurven begren~ten Streifen, welche auf beiden Seiten einer hyperbolischen Geraden im Abstand R von ihr verlaufen, --

in der sphi~rischen Geometrie in eine auf der Einheitskugel yon zwei ParaUel- kreisen begrenzte Zone, welche auf beiden Seiten eines grS~ten Kreises im sl0h~irischen Abstand R yon 4iesem verlaufen. In der sphiirischen Geometrie ist noch hinzuzufiigen, dal~ die beiden Pole der Zone dutch C nicht getrennt werden diirfen. Ferner mu~ in der sph~rischen Geometrie, wie aus der ausfiihrlichen Darstellung hervorgeht, naturgem~]~ noch die zus~tzliche Annahme

L < 2 g

gemacht werden. Auf Grund dieser Annahme bleibt

kann also die Begrenzung der Zone nicht blol~ aus zwei Gegenpunkten bestehen. Der Fall

L : 2 z

finder in besonderer Behandlung die einfachste Erledigung. Endlich ist in der sph~rischen Geometrie noeh festzusetzen, dab yon den beiden Gebieten, in welehe die Sphere durch C zerlegt wird, J den Inhalt des kleineren bedeutet; dasselbe enth~lt, wie im Eingang des w 2 der vorliegenden Arbeit aus der oben gemaehten Annahme

L < 2 ~

leicht hergeleitet wird, keinPaar yon Gegenpunkten und ist daher das innerhalb der Zone gelegene Gebiet.

Die isoperimetrischen Ungleichungen im sphi~rischen Raum. 745

Nunmehr gilt in allen drei Geometrien die isoperimetrische Unyleichunq~ )

(A) J < Y'IR} L L~R~ -- J { R } ) ----- f f(L,R). ~) = L'{R} \L'{R} ~ '

Man erhglt unmit te lbar 4urch Differentiat ion

(A, 1) Og(L,R) __ (L - - / , { R , ) ~ - ~ \L ' [R',/ OR

N u n ergeben die Formeln fiir Umfang und Inha l t des Kreises in der Euklidi- schen Geometrie

(A, 2) J'{R}

in der hyperbolischen Geometrie

5~(R/ (A, a)

in tier sphiirischen Geometrie

- - = tgh R - -

(A, 4) ~' I R ~ _ tg R. r ' {~r

eR e -R e R _L e - B ~

I n allen drei Geometr ien ist daher

dR ~L'IR}/ > O.

Gem~fl (A, 1) folgt hieraus, dai~ fiir alle drei Geometrien die mi t

g (L, R)

bezeichnete rechte Seite der isoperimetrischen Ungleiehung (A) bei festem L mi t wachsendem R fiir

R ~ R '

3) Ftir die Euklidiache Geometrie ist (A) mit 1. c. 1) (12) gleichbedeutend, wobei fiir l L und fiir ~x R zu schreiben ist. -- Ffir die hyperbolische Geometrie ist (A) mit 1. c. ~) (21) wegen (22) gleichbedeutend, wobei wegen {4)

sin :r = tgh R ist; (A, 3) folgt ebenfalls aus (22). -- Fiir die spMiri~che Geometrie ist (A) in der vorliegenden Arbeit unter (9) enthalten und (A, 4) folgt aus (8); dabei ist fiir u ~ zu schreiben.

a) Diese Ungleichung flit die Euklidische Ebene, also die Ungleichung

ist langst bekannt. Vgl. die Literatur bei Bonnesen, Les probl6mes des isol~rim6tres... Paris 1929. Einen einfachen Beweis gab neuerdings Dinghas. (Zur Theorie der konvexen K6rper im n-dimensionalen Raum, Abh. PreuB. Akad. Wiss. 1939, Nr. 4.)

746 E. Schmidt.

monoton zunimmt und ftir R > : R '

monoton abnimmt. Dabei bedeutet R' den durch die Gleichung

(A, 6) Z {R'} = L

definierten Radius des Kreises gleichen Umfanges. Die Funktion

g (L, R)

erreicht also bei festem L fiir

R = R '

das Maximum, welches, wie (A) unmittelbar erkennen l~l~t, gleich

{R'}

wird. Damit ist ]estgestellt, daft in allen drei Geometrien aus der isoperimetrischen Ungleichung (A) die gew6hnliche iso~erimetrische Ungleichung

(.4, 7) J =< J {R'}

a /ortiori/olgt.

In allen drei Geometrien wird in der isoperimetrischen Ungleichung (A) fiir

R<=R'

die Gleichheit yon einer und nut einer geschlossenen einfachen Kurve erreicht, in (A, 7) nur vom Kreise. Fiir

R > R "

kann in allen drei Geometrien die isoperimetrische Schranke (A) noch durch eine kleinere ersetzt werden, der gegeniiber dann die Gleichheit ebenfalls von einer und nur einer geschlossenen einfachen Kurve erreicht wird 5).

Dabei ist in allen drei Geometrien in betreff der Kurve C die Voraus- setzung gemacht worden, dal] ihre laufenden Koordinaten sich als Funktionen eines Parameters darstellen lassen, deren erste Ableitungen bis auf hSchstens endlich viele Punkte bestimmt und stetig sind und nicht gleichzeitig" verschwinden.

Der wesentliche Vorzug, die charakteristische Eigenscha#, der isoperimetrischen Ungleichung (A) besteht darin, daft sie ]iir aUe in einen Streifen eingeschriebenen Figuren linear in L und J ist, wobei die beiden Konstanten der linearen Ungleichung dutch die Breite des Strei]ens bestimmt sind.

~) Die Beweise siehe 1. c. 1) w 1, 3, 1. e. 2) w 2, die vorl iegende Arbeit w 3.

Die isoperimetrischen Ungleichungen im sph~rischen Raum. 747

Es gelte n~mlich unter irgendwelchen Nebenbedingungen eine die gewShnliche isoperimetrische Ungleichung (A, 7) versch~rfende lineare Un- gleichung

(1") J "< a L - - b,

wobei a und b Konstanten bedeuten. Es gebe ferner einen Kreis, der diesen Nebenbedingungen geniigt.

Dann ist, wenn R den Radius dieses Kreises bezeichnet,

(2*) a - - J ' {R~ b = a-L ~ ~ J R} L' (R}' ~RI -- l �9

Um das einzusehen, betrachte man die (L, J)-Ebene. In dieser entspricht den Kreisen eine gewisse Kurve mit stetiger Tangente, w~hrend die rechte Seite der Ungleichung (1") durch eine Gerade dargestellt wird, die voraussetzungsgemiil~ nirgends oberhalb der Kurve verl~uft. Gibt es nun gem~i8 der zweiten oben getroffenen Voraussetzung auf der Kurve einen Punkt, der nicht oberhalb der Geraden liegt, so haben Gerade und Kurve diesen Punkt gemein, und die Gerade ist die Tangente in ibm, wora~ls sich die Formeln (2*) unmittelbar ergeben.

Es sei nunmehr n ~ 3 .

Man bezeichne im n-dimensionalen EuI~lidischen, hyperbolischen und sphdri-

schen Raum den Oberfl~icheninhalt und das Volumen der Kugel mit dem Radius R dutch

/Y j~"), {R; und ,Rj

und die Ableitungen dieser Funktionen naeh R durch

~(n)' -~ (n)' (R, und ~tR}.

Diese Symbole bedeuten also je nach der Geometrie, um welche es sich handelt, verschiedene Funktionen yon R.

Nun bezeichne in alien drei Geometrien L den Oberfl~cheninhalt und J das Volumen eines n-dimensionalen RotationskSrpers, d.h. eines KSrpers, der bei alien Bewegungen, welche die Punkte einer Geraden, der Rotations- achse, fest lassen, in sich iibergeht.

Dabei mache man noch die Annahme, dal~ die Oberfl~iche des KSrpers die Rotationsachse in zwei und nut zwei verschiedenen Punkten schneider. In der sph~risehen Geometrie mul~ noch, wie aus der ausfiihrlichen Darstellung hervorgeht, naturgem~iB die zus~tzliche Voraussetzung getroffen werden, dai~ L kleiner bleibt als der Oberfliieheninhalt der n-dimensionalen Euklidi- schen Einheitskugel, d.h. also als der Oberfl~cheninhalt des Schnittes der

748 E. Schmidt.

Oberfliiche tier (n 4- 1)-dimensionalen Euklidischen Einheitskugel mit einer dutch den Mittelpunkt der Einheitskugel gehenden n-dimensionMen Ebene. Der Fall, daft L diesen Obeffl~icheninhalt erreicht, findet dann in besonderer Behandlung die einfachste Erledigung.

Es bezeichne ferner in allen drei Geometrien R den Maximalradius der ( n - 1)-dimensionalen Breitenkugeln des RotationskSrpers. Dabei sichert in der sph~risehen Geometrie die oben fiber die Gr6fe yon L gemaehte Voraus- setzung, wie in der ausffihrlichen Darstellung gezeigt wird, daft

R < - ~

bleibt.

Jetzt gilt in allen drei Geometrien die isoperimetrische U~gleichu~g 6)

-~(n)' .--(n)' [J{R} -f(n) -'i(n) ~ g(n) 7) s{Rl L - - - o lw,] (L, R).

L{R} /~{R}

Man erhMt unmittelbar durch Differenziation i

(B,I) OO(")(L,R) (L_~]~)Ri) d (~')R!'] a R -- d-~ ~ ] "

Nun ergeben die Formeln ffir Oberfl~icheninhMt und Volumen der Kuge[

in der Euklidischen Geometrie

_ 1 R , n - - 1 (B, 2) -o,)'

L{~

in der hyperbolischen Geometrie

-~(~)' (B, 3) oIRI __ 1 tgh R ~- 1 e R - - e -R

--o,)'L{R} n - - 1 n - - I eR ~_ e - R '

e) Fiir die Euklidische Geometrie ist (B) gleiehbedeutend mit 1. c. 1) (33), wobei fiir V J, fiir [O I L und fiir ~ R zu schreiben ist. -- Ffir die hyperboliache Geometrie ist (B) mit I. c. 2) (78) wegen (76) und wegen der schon unter 3) erw~hnten Gleichung

sin ~ : tgh gleichbedeutend; (B, 3) folgt aus (75). -- Fiir die spMiriache Geometrie ist (B) in der vor]iegenden Arbeit unter (124) enthalten-und (B, 4) folgt aus (83) (84); dabei ist fiir ~r R zu schreiben.

v) Diese Ungleichung fiir Rotationsk6rper im dreidimensionalen Ettklidischen Raum, also die Ungleichung

j ~ R (R 4 ) R 2 ~ y L -- -~ . 4 ~ R -- y ~ R ~ -~ -~ L -- T ~ RS,

ist, unter Heranziehung yon Methoden der Variationsrechnung, zuerst yon Bonnesen [Acta Math. 48 (1926), S. 123- -178] bewiesen worden.


in der sphiirischen Geometrie

~.(n)' (B, 4) ~RI=

{R}

In allen drei Geometrien ist daher

-;-(n ) ' . a (JIR (B, 5) a R ~ V / > 0.

~{R}

Gem~B (B, 1) folgt hieraus, dab fiir alle drei Geometrien die mit

g(') (L, R)

bezeichnete rechte Seite der isoperimetrischen Uagleichung (B) bei festem L mit wachsendem R fiir

R < R " monoton zunimmt und fiir

R > R '

monoton abnimmt. Dabei bedeutet R' den dutch die Gleichung

6) = L

definierten Radius der Kugel gleichen Oberfl~icheninhalts. Die Funktion

g(n) (L, R) erreicht also bei festem L fiir

R = R '

das Maximum, welches, wie (B) unmittelbar erkennen 1/i~t, gleich j o t ) ,

{R'?

wird. Damit ist ]estgesteUt, daft in allen drei Geometrien aus der isoperimetrischen Ungleiehung (B) die gew6hnliche isoperimetrische Un~leichung

7(n) (B,7) J < ~IR'~

a /ortiori /olft.

In alien drei Geometrien wird in der isoperimetrischen Ungleichung (B) fiir

R ~ < R < R '

die Gleiehheit von einem und nur einem RotationskSrper erreieht, in der gewShnliehen isoperimetrischen Ungleichung (B, 7) nut vonder Kugel. Da- bei ist in der Euklidischen und hyperbolischen Geometrie R1 = 0, wahrend in der sph/irischen R1 durch (130c), (130d) definiert ist, wobei wie obea fiir ~ durehweg R zu schreiben ist. Stets gilt R1 < R'. Fiir

R > R ' ~Aathematische Zeitschrift. 4ft. 48

750 E. Schmidt.

kann in allen drei Geometrien die isoperimetrische Schranke (B) noeh durch eine kleinere ersetzt werden, der gegeniiber dann die Gleichheit ebenfalls yon einem und nur einem Rotationsl~Srper erreicht wird s).

Dabei ist in allen drei Geometrien in betreff der Meridiankurve der RotationskSrper die Voraussetzung gemacht worden, dab ihre laufenden Koordinaten sich als Funktionen eines Parameters darsteUen lassen, deren erste Ableitungen bis auf h5chstens endlich viele Punkte bestimmt und stetig sind und nicht gleichzeitig verschwinden.

Der wesentliche V orzug , die charakteristische E igenschaft der isoperi'metrischen Ungleichwng (B) besteht darin, daft sie ]iir alle, den oben a~4legebene~ Voraus- setzungen geniigenden RotationskSrper mit vorgeschriebenem Maximalradius der ( n - 1)-dimensionalen Breitenkugeln linear in L u n d J ist, wobei die beide.n Konstanten der linearen Ungleizhung dutch diesen Maximalradius bestimmt sind.

Nimmt man n~imlieh an, dal~ unter diesen b~ebenbedingungen eine ]ineare Ungleichung vonder Gestalt

J < a L - b

besteht, welehe eine Versch~rfung der gewShnliehen isoperimetrischen )(n) Ungleichung J < ~ IR'}

darstellt, wobei R' dutch (B, 6) definiert ist, so sehliel3t man genau so, wie oben fiir die Ung]eichung (A) durehgefiihrt worden ist, dal~

j(~R )'} T(,~)' {R} -- a = Lcn)'{R} und b = 7(,,)'_{R} Lc'"R) } -- ~'~)IR}

ist, wobei R den Maximalradius bedeutet. Wie in der Euklidischen Geometrie auf Grund des Schwarzsehen Ab-

rundungsveffahrens bewiesen worden istg), und in einer noeh folgenden Arbeit fiir die hyperbolische und sph~rische Geometrie auf ~ihnlichem Wege hergeleitet werden wird, bleibt die isoperi~netrische Ungleiclmn 9 (B) nebst ihren oben angegebenen Konsequenzen, also insbesondere aucti nebst der ge- w6hnlichen isoFerimetrischen Ungleichung (B, 7) //Jr beliebige n-din~ensionale KSrper giilti 9. Dabei bedeutet dann R den Radius derjenigen (n -- 1)-dimensionalen Kugel, welehe dem Maximalquersehnitt einer gewissen Sehar yon Quersehnitten volumengleieh ist ao).

s) Die Beweise siehe 1. c. 1) w 3, 1. e. 2) w 3, die vorliegende Arbeit w 4. 9) I. c. 1) w 11 (249), wobei fiir V J, fiir IOf L und tiir P' R zu schreiben ist. 10) Fiir den dreidimensionalen Euklidischen Raum ist die Erweiterung der

Giiltigkeit der Ungleichung (B), also in diesem Falle der Ungleichung R 2 _ L - - y ~ Rs,

auf be]iebige K6rper, mit Hilfe des Schwarzschen Abrundungsvcrfahrens, zuerst yon Bonnesen [l. c. 7)] bewiesen worden.

Die isoperimetrischen Ungleichungen im sphgri~chen l~um. 751

w

Die isoperimetrisehen Ungleiehungen aul der gew~hnliehen Kugel.

~l(S), ~2(s), ~3(s) seien die laufenden Koordinaten einer auf der Ein- heitskugel (1) }~ + ~ 2 2 + ~ a = 1

liegenden geschlossenen einfachen Kurve Ck als Fun_ktionen der Bogenlgnge. Ihre ersten Ableitungen seien bis auf hSchstens endlich vide Punkte bestimmt und stetig.

Wit machen zun~chst die Voraussetzung, da$ auf der Kurve kein Paar yon Gegenpunkten liegt. Dann kann die Kurve Ck die aus ihren Gegenpunkten bestehende gescMossene einfache Kurve C* nicht schneiden. Daher wird die Kugel dutch Ck und C* in drei Gebiete zerlegt: das nur yon Ck begrenzte Gebiet T~, das nut yon C* begrenzte Gebiet T* und das von C~ und C~. begrenzte Gebiet l'k- Die Gebiete T k und T* bestehen jedes aus den Gegen- punkten des anderen und haben daher gleichen Fl~cheninhalt. Das Ge- bier Tk enth/ilt dagegen mit jedem Punkt auch seinen Gegenpunkt.

Liegt daher, wie eben vorausgesetzt, auf Ck kein l~aar yon Gegenpunkten, so enthMt das eine der beiden Gebiete, in welche die Kugel dutch Ck zerlegt wird, ngmlich das Gebiet Tk, kein Paar yon Gegenpunkten und besitzt einen FIgcheninhalt, der kleiner als 2 z ist. Das andere dagegen, dessen Flgchen- inhalt grSl~er als 2 ~ ist, enthglt Paare yon Gegenpunkten, die in ihrer Ge- samtheit das oben erkl~rte Gebiet ~r k erfiillen.

Liegt abet auf C~ ein Paar von Gegenpunkten, so mu$ Ck zwei BSgen enthalten, die yon dem einen Gegenpunkt zum anderen fiihren und nur diese beiden Punkte gemein haben. Daher mul~ in diesem Falle

(2) L > 2

sein, wobei L die L~nge yon Ck bedeutet. Gilt endlich

(3) L = 2 ~,

so liegt auf Ck nur dann ein Paar yon Gegenpunkten, wenn Ck aus zwei grSl~ten Halbkreisen zwischen zwei Gegenpunkten besteht.

Die isoperimetrische Aufgabe erh~lt auf der Kugel die folgende Fassung: Es soll die Einheitskugel dutch eine geschlossene einfache Kurve mSglichst

geringen Umfangs in zwei Gebiete mit den Fl~cheninhalten J g 2 ~ und 4 ~ -- J zerlegt werden. Da nun jede Zerlegung der Kugel in zwei Gebiete vorgegebenen Flgcheninhalts schon dutch Breitenkreise bewirkt werden kann, so kSnnen wir ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit die Voraussetzung

(4) L < 2 zugrunde legen.

48*

752 E. Schmid~.

Unter dieser letzten Voraussetzung kann die isoperimetrische Aufgabe auch folgendermafen formuliert werden: Es soll dutch eine geschlossene einfache Kurve yon gegebener L~inge die Einheitskugel in zwei Gebiete zerlegt werden, deren kleineres einen mSglichst grofen Fl~cheninhalt J besitzt. Es ist also definitionsgemiif

(5) J ~ 2 ~. Ist nun

(6) J -~ 2 ~,

so muff nach den oben gemachten FeststeUungen auf Ck ein Paar yon Gegen- punkten liegen und daher bei Beriicksichtigung der Voraussetzung (4)

L- - - -2~

sein. Ck mu~ also aus zwei grSften Halbkreisen zwischen zwei Gegenpunkten bestehen, welche wegen (6) zusammen einen grSften Kreis bilden. Damit ist die isoperimetrische Aufgabe fiir den Fall

J = 2 z ~

erledigt. Ist nun aber

J ~ 2zc,

so kann eine solche Teilung der Kugeloberfl~iche jedenfalls dutch einen yore Aquator verschiedenen Breitenkreis bewirkt werden. Wir kSnnen jetzt also ohne Beschr~inkung der hUgemeinheit die Voraussetzungen

(7) J < 2 ~ , L < 2 •

treffen. Dann kann wegen (7) und (2) auf C kein Paar yon Gegenpunkten liegen, und das oben mit Tk bezeichnete der yon C k umschlossenen beiden Gebiete ist dasjenige, welches den Inhalt J besitzt.

Man verbinde nun einea Punkt von C~ mit einem Punkt yon C* auf eiuem dutch Tk laufenden Wege. Auf diesem Wege muf dann mindestens ein Punkt liegen, der -- auf der Kugel gemessenen -- gleieh weir von Ck und C~ entfernt ist. Es gibt also in Tk unendlich viele solche Punkte. Man w~hle einen derselben zum Nordpol. Dann sind der Nordpol und der Siidpol gleich weit yon C~ entfernt; denn die Entfernung des Siidpols von Ck ist gleich der Entfernung des Nor4pols von C*.

Also haben die nSrdlichsten und siidlichsten Punkte von C~ dieselbe

nSrdliche und siidliche geographische Breite, die jedoch ~ nicht erreichen

( kann. Isg diese Breite e, 0 < ~ < -ff , so kann 2 e als ein BreitenmaB der

Kttrve Ck betraehtet werden. Die Kurve ist in der Tat in eine KugelT.one, welehe yon zwei au f beiden Seiten eines grSften Kreises in der Engfernung ~ von ihm verlaufenden Parallelkreisen begrenzg wird, dergesgalt eingesehrieben, daft die beiden Pole der ParaUelkreise dureh die Kurve nicht gegrennt werden.


Die BreitenmaBe eines Kreises auf der Kugel sind offenbar a]le gleich dem doppelten auf der Kugel gemessenen Radius des Kreises. Ist dieser gleich ~, so gelten fiir den Umfang L(~) und den Inhalt J(a) des Kreises die Formeln

(8) I,(~) = 2 ~ sin~, J(~) = 2 ~ (1 -- cos ~).

Der Hauptinhalt dieses Paragraphen besteht nun in den folgenden S~tzen:

Es gilt bei den obigen De/initionen die isoperimetrische Ungleichung

wobei j ' (~) und L'(~) die Ableitungen yon J(~) und J~(~) bedeuten. Bei Multiplikation mit cos ~ und Umordnung der Glieder ergibt sich

hieraus (9 I) (2 ~ -- J) cos ~ -F L sin~ ~ 2 ~.

Um eine Ungleiehung zu gewinnen, welche fiir die beiden yon der geschlossenen Kurve begrenzten Gebiete giiltig bleibt, sehreibe man

(9 H) ] 2 ~ -- J ]cos ~ + L sin ~ ~ 2~.

Aus dieser Gestalt der Ungleichung folgt ~ fortiori die bekannten) iso- perimetrisehe Ungleichung auf der ]~inheit~kugel

(9 m) (2 ~ -- j)2 + L2 ~ 4 ~2,

welehe sieh bei Umordnung der Glieder auch schreiben l~i~t le)

(9 Iv) J ( 4 ~ - J ) ~ L 2.

1,) Vgl. F. Bernstein [Math. Annalen 6{} (1905), S. 117--136], T. Rad6 [Amer. Journ. of Math. 57 (1935), S. 765--770] und das oben zitierte Buch yon Bonnesem

v~) Auch in der hyperbolischen ebenen Geometrie lgBt die gewShnliche isoperimetrische Ungleichung, d .h . die Ungleichung

(~) J ~_~ ~{R'},

wobei R' durch die Gleichung (~I Z]~'I = L definiert ist, die analoge Umformung zu. Sie lautet

oder gleichbedeutend (~) J ( 4 ~ - J ) ~ L ~.

Denn (~) ist wegen (fl) gleichbedeutend mit der Ungleichung

( 2 ~ + J ) ~ -- L ~ <: (2~-4:-J{R'})~--L{R'} ~. Hier~us ergibt sich bei Einftihrung der Gleichungen

J ~ ' } --- ~(*R'+ ~--~'-- 2), L--(~'} ---- ~ ( ~ ' - - e -~ ' ) die zu beweisende Ungleichung (?).

Zusammenfassend IM~t sich also, worauf reich Herr Dinghas aufmerksam gemacht hat, die gewShnliche isoperimetrische Ungleichung in der Euklidisehen,

754 E. Schmidt.

Nun erhalt man

(I0) aH (L, ~) 1 L ----

Bezeichnet also s den durch die Gleichung

L(s = 2 ~ sin~' = L

definierten Radius des Kreises gleichen Umfanges, so nlmmt die rechte Seite der Ungleichung (9) mit wachsendem ~ fiir ~ =< ~' monoton zu und fiir ~ ~ a' monoton ab. Fiir ~ = ~' nimmt sie ihr Maximum an, welches gleich J(a ' ) ist.

Also /olgt aus (9) a fortio~i die gew6hnliche isoperimetrische Ungleichu~

(11) J ~ J ( s = H(L, ~').

Die Ungleichu,ng (9) stellt also eine Versct~r]ung der gew6hnlichen isoperimetrischen U~i/leichung (11) dar.

Femer gilt:

Bei gegebenem L < 2 ~z und ~ gibt es /iir

~ ~'

stets eine und ~ur eine geschlossene ein/ache Kurve, welche in der Unqleiehung (9) die Gleiehheit erreieht. Fiir

~ ~'

ist das der Kreis, waraus folgt, daft in der gew6hnbivhen isoperimetrischen Un- glewhung (11) die Gleiehheit nur yore Kreise erreieht wird.

Fiir

kan~ die dutch (9) 9egebene Schranke dutch eine kleinere ersetzt werden. Diese Ietztere wird dann ebenfalls stets van einer u~d nur eider geschlossenen ein/azt~n Kurve erreicht.

Dabei ist noch zu beachten, dab

L (12) ~ < u

bleiben mull Denn Ck mul~ vier bis auf die Endpunkte punktfremde BSgen enthalten, welche yon einem der beiden Breitenkreise mit der geographischen Breite i ~ zum ~quator fiihren.

sph~rischen und hyperbolischen ebenen Geometrie in der folgenden einheitlichen Form darstelten:

J (4 ~ - - K J) < L l, 1

wobei K ~ :h ~-~ das Kriimmungsmal3 bedeutet, und die Gleiehheit nur yore

Kreise erreicht wird.

Die isoperimetrischen Ungleichungen im sph/irischen Raum. 755

Beweis. Man drehe die Kugel so, dai~ der oben gew~hlte Nordpo[ die Koordinaten ~ = 0, ~ = 0, ~a= 1 erhMt, und projiziere dann yore Nord- pol aus die Kugel stereogmphisch auf die Ebene

~ 3 = 0 .

L~il~t man in diese~ Ebene die positive x-Achse mit der positiven ~-Achse unct die positive y-Achse mit der positiven ~e-Achse zusammenfallen, so e~h~ilt man fiir das stereographische Bild (x, y) des Punktes (~l, Sz, ~) die Gleiehuagen

(13)

+ =

1 § .~~ § !f2,

Bezeichnen also aS und d T das L~ngenelement und das Oberflachenelement auf der Kugel und ds das Euklidische L~ingenelement in der (xy)-Ebene, so ist

2 (14) dS-~ l+x2+y~ds,

2 2 = d x d y .

Man bezeichne nun die stereographischen Bilder der geschlossenen Kurve Ck und 4es yon ihr unbegrenzten Gebietes Tk mit C un4 T. Da der Nordpol un4 der Siidpol aul~erhalb T~ gew~ihlt sind, so ist C ebenfaUs eine gesehlossene einfache Kurve, T ist das yon ihr in der (xy)-Ebene umschlossene Gebiet, uncl der Koordinatenanfangspunkt 0 liegt auBerhalb T.

Ferner ist C in den Kreisring eingesehrieben, welcher yon den stereo- graphisehen Bildern, der beiden ParaUelkreise mit der nSrdlichen und der siidlichen geographischen Breite ~ begrenzt wird, d. h. yon den beiden Kreisen

(15) r = e und r = - ~ ; ~----tg + , 0 < ~ < ~ , o > 1 .

Dabei bedeutet r die Entfernung vom Koordinatenanfangspunkt O, und 4a dieser auBerhalb T liegt, so ist C dergestalt in den Kreisring eingeschrieben, dab T ganz innerhalb des Kreisringes liegt oder mit anderen Wortem daft fiir abe Punkte yon T

1 - - ~ r ~ o 0 - - - - "

756 E. Schmidt.

ist. Gem~i~ (14) erh&lt man fiir L und J die Darstellungen

(16) L = 2 y, ds, J = a dy. l + x = +

C T

Man fiihre jetzt Polarkoordinaten ein

x - - r c o s ~ 0 , y - - r s i n r ds 2 = d r 2+r2dq~ ~, dxdy----rdrdep.

Man bezeichne mit (Nr) und (N ~) die Winkel, welche die ~iul~ere Nor- male N von C mit dem Radiusvektor und mit der senkrecht zu ibm nach dem wachsenden ~ weisenden Richtung bildet. Wird dann der Durch- laufungssinn ein fiir allemal so festgesetzt, da~ die Normale N zum Radius- vektor so liegt, wie die im Durehlaufungssinn gerichtete Tangente zu der senkreeht zum Radiusvektor nach dem wachsenden ~0 weisenden Richtung, so ist

d~p dr (17) cos (Nr) = r ~-~, cos (N~) =- ds"

Die Gleichungen (16) erhalten die Gestalt

(18) L = ~ d s , J = rdrdq~ C T

l+r~/ r c o s (N.r) ds c

1

S = ~ cos (Nr) ds.

C

Man fiihre jetzt einen Parameter q ein, der lediglieh der Einsehr~inkung

1 (19) q ~ o - - 2tg~

unterworfen ist. 1

Nun ist das inhere Produkt des Vektors, dessen erste Komponente r -- r '

dessen zweite Komponente + 1/q' -- (r -- 1)~ und dessen L~nge q ist, mit

dem Einheitsvektor, dessen erste Komponente cos (Nr), und dessen zweite Komponente l eos (N ~)J ist, nieht grSfler als das Produkt der L~ngen der beiden Vektoren, d.h. es ist

(20) r

Das Gleiehheitszeichen gilt hier dann und nut dann, wenn

1 (21) r - - 7 = q cos "l" r)

Die isoperimetrischen Ungleichungen im spharischen Raum. 757

ist. Aus (20) folgt

r - - - - ~/qS~ r - - q u I cos (N ~)I. I_~_~COS (Nr) < 1-]-rS 1-}-rS

Die Einfiihrung dieser Ungleiehung in (18) ergibt bei Beriicksichtigung yon (17)

/ / " 1'? . l, ]/:2__ (r__ 1 ~ J ~_ -~L - l+r~ ~ h5 '

c c Das Gleiehheitszeiehen gilt bier dann und nur dann, wenn (21) identisch erfiillt ist.

Die Extremalwerte r = ~ trod r = 1 konnen auf C natiirlich unbeschr~nkt

oft angenommen werden. Es sei P ' ein Punkt, in welehem r = ~ ist. Es sei beim oben festgesetzten Durehlaufungssinn P1 der erste auf P ' folgende

Punkt, in welchem r = 1 wird, und auf dem Wege yon P' nach P1 Po der

letzte Punkt, in welchem r = Q ist. Es sei ferner Ps der erste auf P1 folgende Punkt, in welchem wieder r = ~ wird, und auf dem Wege von P1 nach Ps P2

1 der letzte Punkt. in welchem r = - ist. MiBt man clann die Euklidische

Bogenl~inge auf C von Po ab und bezeichnet mit Sx, ss, ss die Bogenl~ngen n P1, Pz, Pa, so hat man

r(O) = e, r ( s l ) = l , r(s2)=l, ~(ss)=O. (23) 1

- ~ < r < O iiir O < s < s ~ und ss<s<s3, N u n ist

1 t I 0 r

,I I + ,~ d. J I -+- ,~ l~I ds, 1 g 2 S2

- - m

1+r2 $ + - ~ [dr ~1 ds, 1 c

758 E. Schmidt.

(25)

Das Gleichheitszeichen gilt hier dann und nur dann, wenn

d r 1 fiir 0 < s < s l ~ < 0 , - - < r < 5 , c o s ( N ~ ) > 0 ,

dr 1 f i i r s l < s < s 2 ~----0, r-------, cos(Nr) = - -1 ,

dr > 1 f t i r s 2 . < s < s 3 ~ = 0 , - - < r < o , c o s ( N q ) < 0 ,

dr f i i r s 3 < s < l ~ - - 0 , r-----q, cos(Nr) - -=l

ist, wobei l die Euklidische L~inge yon C bezeichnet. Das Vorzeichen yon cos (N ~) fiir 0 < s < sl und s2 < s < s3 folgt hierbei aus (17) und das Vor- zeichen von cos (Nr) fiir 81 < 8 < 8 2 und fiir sa < s < l daraus, daft C in den

Kreisring zwischen den beiden konzentrischen Kreisen mit den Radien ! < 1 e

und e > 1 eingeschrieben ist.

Nun ist, wie die Substitution

1

zeigt,

(26)

1 1

Bei Beriicksichtigung dieser Identit~t ergibt die Einfiihrung yon (24) in (22) die Ungleichung

(27) J ~ q L - - 4 l + r ' e

1

Dutch die Substitution

(._~ /~' 2dr -----dfi, r 1 = 2 tg f i (2s) r = t g + ~ - ) , ~ + ,~ - u

erh~ilt die letzte Ungleichung die Form

(29) J ~ q z -- 2 ~//q-2- 4tg2fldfl = / ' ( L , ~r q).

o

0

Das Gleichheitszeiehen gilt in den beiden Ungleichungen (27) und (29) dann und nut dann, wenn (21) und (25) erfiillt sin&

Spezialisiert man jetzt

1 (30) q = ~ - -- = 2 tg ~,


so ergibt sich

(31) J ~ tg ~L -- 4 1 ~/tg2~ -- tg2fldfl =-/~(L, ~, 2 tg~). 0

Das Gleichheitszeichen gilt dann und nur dann, wenn (21) under der Speziali- sierung (30) und ferner noch (25) erfiillt sin4.

Nun wollen wit zeigen, dab diese Bedingungen in der Tat fiir den Kreis erfiillt sind, der in den Kreisring zwischen den beiden konzentrischen Kreisen

1 r ~ o und r ~ - - '2

dergestalt eingeschrieben ist, dab er den Koordinatenanfangspunkt nicht umschliei~t.

Bezeichnet n~mlich 0 den Koordinatenanfangspunkt, M den Mittel- punkt des eingeschriebenen Kreises und P seinen laufenden Punkt, so ist

MP~-g- q-- ,OM-~-~- o+ ,OP-=r

und man hat laut 4era Kosinussatz flit das Dreieek OMP

4

r - - - - = q-- cos(Nr) = 2 tg~cos (Nr ) . T

Also ist (21) unter 4er Spezialisierung (30) effiillt.

Dal~ auch (25) effiillt ist, leuchtet ein, wenn man die Euklidische Bogen- l~nge auf dem eingeschriebenen Kreise yon seinem Beriihrungspunkt mit 4em ~ufleren Kreise 4es Kreisrings migt; Sl wird dann gleich der halben Kreisperipherie, s2 f~llt mit sl zusammen un4 sa mit l, d.h. der L~nge der ganzen Kreisperipherie.

Da dam eingeschriebenen Kreise auf 4er Kugel ein Kreis mit dem auf der Kugel gemessenen Radius ~ entspricht, dessen Inhalt und Umfang wie in (8) mit J(a) un4 L(a) bezeichnet werden mSgen, so gilt also, wie eben bewiesen,

(32) J(~) = t g ~ Z (~) -- 4 .f ~/t-g2~ -- tgUfl d/~. 0

Aus (31) and (32) folgt

(33) J =< L tg ~ - - ( tg a L(~ ) - - J ( ~ ) ) ---- F(L, a, 2 tg ~).

Bei Einfiihrang yon (8) ergibt sich hieraus die zu beweisende isoperimetrische Ungleichung (9).

Die Feststellung derjenigen geschlossenen einfachen Kurven, welche in dieser Ungleichung die Gleichheit erreichen, folgt im n~ichsten Paragraphen.

760 E. Schmidt.

w

Feststellung derjenigen geschlossenen einfachen Kurven, welche in den

isoperimetrischen Ungleichungen die Gleichheit erreichen.

Wie noch cinmal wiederholt werden daft, gilt in der isoperimetrischen Ungleichung (29) das Gleichheitszeichen dann und nur dann, wenn (21) und (25) eftiillt sin& Ebenso gilt in den miteinandcr gleichbedcutenden aus (29) dutch die Spezialisicrung (30) hervorgehenden Ungleichungen (33) (9) das Gleichheitszeichcn dann und nut dann, wenn (21) bei dieser Spezialisierung erfiillt ist und (25) desgleichen.

Zun~ichst fordert (25), dab

[ f i i r s l < s < s 2 r 7----- -- , c o s ( N r ) = - - 1

u n d f i i r 8 3 <~. s < g f • e - - c o s ( N ~') ~ - 1

ist. Also folgt wegen (21) aus

1 q > e - - o

(35) s l = s 2 , s 3 = l . Ist abet

und ist

fiir s l < s < s 2

l

] r ~ - - - und fiir s 3 < s < l r ~ e ,

,2

so sind in diesen Intervallen (25) und (21) eft'tiUt. Denn da die Kurve C in den Kreisring zwischen den bciden konzentrischen Kreisen mit den Radien 1 1 - - < 1 und ~ > 1 cingeschrieben ist, so mu~ fiir r = - - cos (N r) -~ -- i

0 und f i i r r ---- 0 cos (Nr) ~ 1 sein.

Je tz t soll der Verlauf einer (21) und (25) eftiillenden Kurve C in den Intervallen 0 < s < sl und s2 < s < ss untersucht werden.

Da in dicsen Intervallen gemiifl (25)

1 - - < r < ~ Q ,2

ist, so folgt aus (21), dall in diesen Intervallen

(36) [cos (Nr) l < 1 und mithin auch cos (N 9) ~= 0

bleibt. Gcm~l~ (17) ist nun

cos (9 r) (87) drd'~9 = rc~ (~V r ) c o s (~V~) = -- sign(cos (N~0)) r V1- cos2 (hr r) '

Die isoperimetrischen Ungleiehungen im spharischen Raum. 761

wobei der Wurzel das positive Vorzeichen beizulegen ist. Dutch Einfiihrung

yon (21) in (37) erhiilt man

a~ -- sig~ (~o~ (Nv)) d r

1 r - - - -

Die Vorzeiehenbestimmung yon cos (N q) dutch (25) ergibt

d~ (38) fiir 0 < s < sl ~-r = --

(39) far s2 < s < s~ ~ - -

far s = 0 Is t also

so erh~lt man

(40) fiir 0 < s ~< sl

Wie die Substitution

1 r - - - -

zeigt, ist

(41)

Also ist (42)

1 7, m _ _

,t/, '-(,-;) = ~(o),

'2 t 1

,

1

t'

~" t i i t 1

1 t e q , _ ( , _ + ) o . _ t ~ /q ,_ ( t 1 ) ~ '2

Ebenso ergibt sich fiir (s~) = ~(o).

f t 1 (43 ) 82 ~ 8 <~ $ 3 ~ = ~0(82) + t d~,

i t ~ - - t - -

(44) ~ @8) = ~(s2).

Man betraehte nun einen Kreis mit dem Radius -~, dessen Mittelpunkt M

vom Koordinatenanfangspunkt 0 die Entfernung

OM = ~ + u

762 E. Schmidt.

hat. Bezeichnet man mit P den laufenden Punkt des Kreises und setzt

OP = r ,

so ist gem~I~ dem Kosinussatz fiir das Dreieck O M P q~ q~

1 -}- ~- ~- ~- -}- r 2 -- r q cos (N r),

wobei N die ~uBere Normale des Kreises in P bedeuCet. Aus der letzten Gleichung folgt (21), wenn die ~iui3ere Normale des vom Kreisbogen als Tell der geschlossenen einfachen Kurve C umschlossenen Gebietes mit 4er ~ui~eren Normalen des Kreises iibereinstimmt, oder mit anderen Worten, wenn der Kreisbogen das umschlossene Gebiet mit der konvexen Seite nach auBen begrenzt.

Nun folgen aus (21) und der Identit~it (37) die Gleichungen (38) und (39) und mithin auch (40) und (43). Also ergibt sich aus den gemachten Fest- stellungen:

Die geschlossene einfache, den Forderungen (21) und (25) geniigende Kurve C verl~tuft fiir 0 ~ s ~ Sl in einem aus solch einem Kreise dutch die

konzentrischen Kreise mit den Radien 1 und Q ausgeschnittenen Kreis- o bogen, der das yon C umschlossene Gebiet mit der konvexen Seite nach au~en begrenzt und dessen konvexe Seite dem wachsenden ~ zugekehrt ist; fiir s.z --< s --< ss verl~iuft C ebenfalls in einem aus solch einem Kreise

dutch die konzentrischen Kreise mit den Radien 1 und Q ausgeschnittenen

Kreisbogen der das von C umschlossene Gebiet mit der konvexen Seite nach aui~en begrenzt, dessen konvexe Seite abet jetzt dem fallenden ~ zugekehrt ist.

Im Spezialfall 1

q----Q---- = 2~g~

sind die beiden KreisbSgen Halbkreise, welche die konzentrischen Kreise

mit den Radien 1 und Q beriihren.

I. Es sei jetzt 1

q = Q - - - = 2 t g ~ . o

Dann besteht die Kurve G aus zwei aus den beiden konzentrischen Kreisen

mit den Radien I und Q dutch zwei Radien, die in 0 einen Winkel ~ bilden,

ausgeschnittenen KreisbSgen und zwei auf ihren Endpunkten mit der lron- vexen Seite nach au~en aufgestiilpten Halbkreisen, welche die beiden konzentrischen Kreise beriihren und -- auf der Kugel gemessen -- den Radius besitzen.

Die isoperimetrischen Ungleichungen im sphKrischen Raum. 763

Bezeichnet CI, ~r eine 8olche Kurve und LI,~r ihren auf der Kugel gemessenen Umfang, so erhMt man gem~B (8), (18)

(45) LI .,~ 2 ~ sin ~ + 2 1 2 ,+~ .o+s r = e

: 2~s in~-} - 2ycos~ .

Zu gegebenem L u n d ~ gibt es daher dann und nur dann eine Kurve CI, ~, v' w e n n

2 ~ sin ~ --< L oder gleichbedeutend ~ <= ~'

ist, wobei, wie wiederholt werden daft, der Radius des Kreises gleichen Urn- ranges u' dutch die Gleichung

(46) 2 ~ sin ~' = L

definiert ist. Dutch die Gleichung

(47) 2 ~ sin ~ + 2 y cos ~ = L

wird dann 7 bestimmt, und es gehSrt daher zu L und ~. nur eine einzige Kurve CI, a, r"

Vom Koordinatenanfangspunkt aus gesehen ist der scheinbare GrSl~enwinkel jedes der beiden an den beiden Enden yon CI, ~, r aufgestiilpten

Halbkreise gleich ~. Denn da der Radius dieser Halbkreise gleich � 8 9

und die Entfemung der Mittelpunkte vom Koordinatenanfangspunkt gleich

�89 +--~) ist, so ist der Sinus des GrSl~enwinkels gleich

[ ] \

�89 = sin~ wegen (15).

Daher ist der scheinbare GrSBenwinkel der ganzen Kurve C L ~, r gleich 7 + 2~. Nun ergibt der aus (47) ermittelte Weft yon 7 bei Beriick- sichtigung yon (7) (47 a) ~ 4- 2 ~ < g.

Man erhMt niimlich

7-F2~=L--2~sin~2cos~ {-2~ < ~l--sin~2~cos~ : :~tg T - - ~ -2~

764 E. Schmidt.

Denn die Funktion tg

u

?g wKchst im Quadranten 0 < yJ < ~ monoton mit yJ und bleibt daher ffir

kleiner als

Ffir

wird

~ Yg ~---~ --~-< u

?r tgu 4 ?g yg

4

0~ ~---0~ I

~ = 0

und CI, ~, y geht in den Kreis mit dem auf der Kugel gemessenen Radius ~' fiber.

Damit ist bewiesen, daft ]iir den Fall

i~ den miteinander gleichbedeutenden isoperimetrischen Ungleichungen (31), (33), (9) die Gleiehheit stets van einer und nur einer geschlossenen ein/achen Kurve erreieht wird, ngmlich van derjenigen, deren stereographische Projektion die oben bestimmte Kurve CI,~, y ist. Insbesandere ist damit auch bewiesen, daft in der aus der Ungleichung (9) a ]ortiori /olgenden gew6hnlichen isoperimetrischen Ungleichung (11) die Gleichheit nut yore Kreise erreivht wird.

II. Es sei 1

q > ~ - - - - = 2 t g ~ .

Dann besteht C wegen (35), (42), (44) aus zwei KreisbSgen, welche Kreisen

mit dem Radius q angehSren, innerha[b des yon den beiden konzentrischen

Kreisen mit den Radien 1 und ~ begrenzten Kreisringes verlaufen und sich

auf diesen Kreisen in zwei Punkten sehneiden die auf einem yon 0 ausgehenden Radiusvektor liegen. Die Mittelpunkte dieser Kreise haben dann yon 0 die En~fernung

{/1 +-i-


Denn ist h die Entfemung eines Mittelpunktes yon dem durch die Schnitt- punkte gehenden Radiusvektor, so ist

und mithin

0 + ~ ) ~ q~. (48) h z + = 1 + T

Man bezeichne eine solche Kurve C mit CII ' at, q, ihre auf der Kugel gemessene Liinge mit LH (a, q) und den auf der Kugd gemessenen Fliicherfinhalt des yon ihr umschlossenen Gebiets mit ~ I (~, q). Da Cn, at, .. fiir

1 q---- o--------- 2 t g a 9

in den Kreis mit dem auf der Kugel gemessenen Radius a iibergeht, so hat man

(49) LII (~, 2 tg a) = 2 ~t sin a, J i i (a, 2 tg a) = 2 ~t 0 - - cos ~).

Gem~iB (18), (21) ist

J i i (~,q) = ~ c o s ( N r ) d s = q(1 + r~) exL~,q cH,~,q

Nun ist wegen (17), (38), (39) auf jedem der beiden KreisbSgen, aus welehen C besteht -ii, ~, q

(50) { ~ [dr] = l + r ~ ( ~ ~ q~ tdr / ~-

Daher erhMt man

(51) J i i (o~, q ) = 2 I (~'-- T1---")$

Durch die Substitution

~ = t g i - + ,

ergibt sieh

d r = 4

2dr x + ~ = d~,

at JH (~, q) = 8 Jyq2--at#~

0

(52)

Mathematlsche Zeitschrift. 46.

dr.

1 r - - - = 2tgfl T

49

766 E. Sohmidt.

(53)

(54)

Ebenso erhalt man aus (18), (21)

u

= 8 I 1 dr,

(1 + r 'l) q~

la 1--df l �9 LII(at 'q)-~ 4 o ~/1--q~r tg, fl

Aus den DarsteUungen (52), (54) geht hervor, daft

~ I (~' q) und LII ((z, q)

bei festem z mit wachsendem q monoton abnehmen und bei festem q mit wachsendem a monoton zunehmen. Man erh~ilt

(55) Lira Yix (~, q) = 0, Lira LH (a, q) = 4 ~. q---), co q---~ eo

Zu gegebenem L und ~ gibt es also dann und nur dann eine Kurve Cn, ~. q, wenn die Gleichung (56) ZtI (~, q) = L eine LSsung (57) q* ---- q* (L, g)

besitzt. Da gem~if (12) (58) 4 ~ < L

bleiben muf , und die linke Seite yon (56), wie eben festgestellt, bei festem mit wachsendem q monoton abnimmt, so folgt aus (49) und (55), da f die Gleiehung (56) dann und nur dann eine LSsung hat, wenn

(59) 2 zr sin ~ ~ L oder gleichbedeutend a ~ ~'

ist, wobei ~' dutch (46) definiert ist. Die Oleichung hat dann stets nut eine einzige LSsung. Fiir ~ = a' erhMt man wegen (49), (46)

(60) q* (L, s = 2 tg ~'.

Fiir ~ > ~' ist wegen (49), (46)

(61) q* (L, ~) > 2 tg ~.

Da ferner, wie wiederholt werden daft,

Ln (~, ~)

Die isoperimetrischen Ungleichungen ira sph~rischen Raum. 767

bei festem q mit wachsendem ~ monoton zunimmt, so nimmt auch

q* (L, ~)

bei festem L mit wachsendem ~ monoton zu.

Wie (54) zeigt, ist (62) Lira q* (L, ~) ----

L a--~ 4-

m a d hieraus folgt wegen (52)

(63) Lira ~ i (a, q* ( i , ~)) = 0. L 4

Da, wie bewiesen, in der isoperimetrischen Ungleichung (29) fiir q = q* die Kurve CII ' ~, q, die Gleichheit erreicht, so ist

(64) r (L, ~, q* (L, ~)) = YH (~, q* (L, ~)).

Die Ungleichung (29) gilt abet fiir jedes q ~ 2 tg ~. Also ist fiir jedes q __> 2 tg

(65) F (L, ~, q) >___ J~i (~, q* (L, ~)).

Hier ist abet nach den obigen FeststeUungen fiir

q 4= q* (L, ~)

das Gleichheitszeichen ausgeschlossen. Also ist fiir

(66) q ~= q* (L, a) F (L, ~, q* ( i , ~)) < F (L, ~, 2).

Insbesondere ist also wegen (61) fiir

(67) ~ > ~' /" (L, ~, q* (L, ~)) < F ( i , ~, 2 tg ~).

Die aus (29) /iir q = q* hervoryehende isoperlmetrische Un!ileichung

(68) J ~ / " (L, ~, q* (L, a)) = Ji~ (~, q* (L, ~))

lie/eft also in der Tat ]iir ~ > cr eine kleinere Schranke als die miteinander gleichbedeutenden isoperimetrischen U ngleichungen (31), (33), (9).

Jetzt wollen wir noch den Verlauf yon

F (L, ~, q* (L, ~))

als Funkt ion yon L und ~ diskutieren. Es ist

s F(L, ~, q* (L, Go)) = EL (L, a, q*) + Fq (L, ~, q*) Oq*oL(L, ~)

2_ r ( L , ~, q* (L, ~)) = r~ (L, :~. q*) + F~ (L, ~, q*) oq* (L, ~)

49*

768 E. Schmidt.

Nun ist wegen (29)

(69) / 'r (L, ~, q*) = ~ , /'q (L, ~, q*) = -- 2 ]/q.2 _ 4 tg~-~

und wegen (66), (61) flit (70) a > a' Pq (L, a, q*) = 0,

wiihrend wegen (54) (56) q* nach L und ~ differenzierbar bleibt. Also ist fiir

~ > a ' s q*(L,~) 2 ' (7 1)

F (L, a, q* (L, ~r = - 2 Vq* (L, a)2 _ 4 tg 2 ar

Ferner ist wegen (68), (63) (72) Lira F(L, ~, q* (L, ~)) ---- 0

L a - + u

und wegen (60), (68), (49)

(73) F ( L , a , q ( L , a ' ) ) = F ( L , a , 2 t g a ' ) J i i ( s = 2 : t (1 -- cos a').

Man definiere nun unter Beriicksichtigung yon (29), (31), (33), (9), (1.1) die Funktion G (L, ~) dureh die Gleiehungen

/f l i t ~ < s G(L,~)= F ( L , ~ , 2 t g ~ ) = H ( L , ~ ) = L t g a - - 2 ~ t ( ~ - ~ - - 1 ) , (74) --

(fiir ~ > ~' G(L,~) I'(L,~,q*(L,~)).

Wie (73), (11), (8) zeigen, ist die Funkt ionG (L, a) auch an der ,,Nahtstelle"

stetig; wie aus (71), (60), (10) hervorgeht, bleiben sogar auch die ersten Ab- leitungen 4er Funktion nach L und ~ an dieser Stelle stetig. Man erh~ilt

(75) G (L, a') = :] (a') = 2 ~t (1 -- cos a'),

(76) GL (L, ~') = tg s G~ (L, ~') = 0.

Ferner lassen (10) und (71) erkennen, dal~ die Funktion G (L, ~) mit wachsendem ~ ftir ~ _<_ a' monoton zunimmt, fiir ~ ~ ~' monoton absteigt and gem~ifl

L (68), (63) mit T -- a gegen Null konvergiert.

Nun gilt ]iir aUe bei gegebenem L iiberhaupt m6glichen Werte yon ~, d. h. fiir L 0 <r162 < ~-,

die isoperimetrische Ungleichun 9

(77) J _--< G (L, ~),

in welcher die Gleiehheit stets yon einer und nut einer geschlossenen ein/achen Kurve erreieht wird.

Die i s o p e r i m e t r i s c h e n U n g l e i c h u n g e n im s p h ~ r i s c h e n R a u m . 769

w

Die isoperimetrischen Ungleichungen fiir Rotationsk~rper im n-dimensionalen sphiirisehen Raum.

Es sei RK~n+ 17, n ~ 3, ein hn n-dimensionalen sph~irischen Raum,

also auf der Oberfliiehe der Einheitskugel K ~ + 17

n + 1 2 (78) ~ ~ ~ 1

1

liegender RotationskSrper, d.h. ein K5rper, der bei allen Euklidischen Dre- hungen der Kugel um ihren Mittelpunkt, welche die Punkte eines grSBten Kreises, der Rotationsaehse, lest lassen, in sich selbst iibergeht. Es sei ferner noch vorausgesetzt, daft die Oberfl~che des KSrpers mit der Rotationsachse zwei und nut zwei verschiedene Punkte gemein hat. Ist das Koordinaten- system so gewiihlt, daft die Rotationsachse die G]eichungen

(79) ~-----0, p---- 1, 2 , . . . , ~ - - 1

hat, so l~l~t sich die Oberfl~che des KSrpers folgenderma~en clarstellen: Es seien

~,~(t), ~,~+1 (t), ~ (t), ~/(t) > 0

die laufenden Koordinaten der auf der dreidimensionalen Einheitskugel K (3)

(80) ~ + ~ + ~ + n~ = 1

liegenden ,,Meridiankurve" M(3) , einer einfachen Kurve, welche den grSflten Kreis

in zwei und nut zwei verschiedenen Punkten schneidet. Dann wird die Oberfl~tche des RotationskSrpers R ~ , + i) gegeben dutch

die Gleichungen n - - 1 2

(8].) ~. = ~,, (t), ~,, + ~ = ~ . + ~ (t), X . . ~,, =- ~2 (t). 1

Dabei machen wir noch die Voraussetzung, daf die ersten Ableitungen der Funktionen

~. (t), ~. + ~ (t), ~ (t)

bis auf hSchstens endlich viele Punkte bestimmt und stetig sind und nicht gleichzeitig verschwinden.

Der einfachste RotationskSrper im n-dimensionalen sph~irischen Raum auf K ~ ist die n-dimensionale Kugel K~ ~) mit dem a u f K t" + a~ gemessenen Radius ~. Ist M ihr auf K o' + 1) gelegener Mittelpunkt, so besteht ihre Ober- fl~che aus allen Punkten auf K ~n + 1), welche yon M die auf K ~ + i~ gemessene

770 E. Sehmidt.

Entfernung ~ haben. Die Oberfliiche geht daher bei allen Euklidischen Dre- hungen der Einheitskugel K (n + 1) um ihren Mittelpunkt, welehe den Mittel- punk~ M yon K~ '~ lest lassen und mithin aueh bei allen Rotationen um einen dureh M gehenden grSllten Kreis yon K (" + 1~ in sieh selbst tiber. Die VoU- kugel K~ ~ besteht aus allen Punkten auf K (~ + 17, welche yon M eine a nieht iibersteigende Entfernung haben. Sind etwa

~ n + l = 1, ~,. = 0, (v = l, 2 . . . . . n)

die Koordinaten ties Mittelpunktes M, so wird die Oberfl~iche yon K~ ') gebildet durch den Schnitt der n-dimensionalen Ebene

(82) ~ + ~ = cos

mit der Oberfl/iche yon K (" + ~). Die Oberfliiche yon K (') ist also auch zugleich die Oberfliiche einer gewShnlichen Euklidischen n-dimensionalen Kugel mit dem Radius sin ~.

Bezeichnet also L'")(~) den Oberfl/icheninhalt der Kugel h'(") __, , so ist

(83) L("~ (a) = hE, sin n-1 ~.

Dabei bedeuCet hier wie im folgenden E~ das Volumen der Euklidischen p-dimensionalen Einheitskugel und dementsprechend pE~ ihren Oberfliiehen- inhalt. Um das Volumen ]t,,)(~.)der au fK (" + D gelegenen Kugel K~ ~ zu erhalten, erzeuge man diese, indem man im Euklidisehen Raum (sel ~2 . - . ~+1) um die ~, § 1-Achse als Rotationsachse einen Einheitskreisbogen yon der Lange a, der im Punkte ~, ~ ~ = ~_ senkrecht zur Rotationsachse ansetzt, rotieren liiI]t. K~ ') wird dann durch die Oberfliiche dieses RotationskSrpers gegeben und mithin J("~(~) durch seinen Oberfliicheninhalt. Man hat also 13)

Ct

(84) J~") (a) = n E,, ~ s i n " - '/~ dfl. o

Aus (83) und (84) folgt

2

(85) L'"~(cr < nE~, 2nE, , ! s in"- l f ld fl = (n-4- 1)E~+I.

Die isoperimetrische Aufgabe ftir RotationskSrper auf K (n+ 1) erhiilt nun naturgemiifl die folgende Fassung:

Der spharische Raum a u f K (~ + 1) soil dutch eine Rot~tionsk6rperoberflaehe yon mSglichst geringem Oberfl/icheninhalt in zwei Gebiete yon den gegebenen Volumina

J und ( n + 1) E . + I - - J

zerlegt werden. Da eine solche Zerlegung in zwei Gebiete gegebenen Volumens stets aueh durch eine auf K'" + lj liegende Kugel K~ ') bei passend gewiihltem

13) Vgl. FuBnote 14), S. 773.

Die isoDerimetrischen Ungteichungen im sph~rischen :Raum. 771

oder mit anderen Worten dutch den Schnitt von K (n + 1) mit einer der n-dimensionalen Ebenen

~n + 1 ----- COS

bewirkt werden kann, so zeigt (85), dab ohne Beschr~nkung der AUgemeinheit yon vorn herein angenommen werden darf, dab

L ~ h e n (86) ist.

SchheBen wir den Fall

(87) j -=~ n ~ - 1 E n + l 2

zun~chst aus, so kSnnen wir also die Voraussetzung

(88) L < n E,~

zugrunde legen. Unter dieser Vorausse~zung kann die isoperimetrische Aufgabe auf K (" § 1) auch so gefal]r werden:

Der sph~rische Raum auf K ('+ 1) sou durch eine RotationskSrper- oberfl~che gegebenen Oberfl/icheninhalts L so in zwei Gebiete zerlegt werden, dab das kleinere derselben einen mSglichst groBen Inhalt hat.

Aus (88) folgt, wie am Ende dieses Paragraphen gezeigt werden wird, dai] die oben definierten Meridiankurve MK(a) nicht durch den Punkt

----I. ~ n = 0 , $ , + 1 = 0 hindurchgehen kann.

Die Ha]bkugel 7 ~ 0

der Kugel K ta) wird durch die Meridiankurve MK(a) in zwei Gebiete zerlegt.

Mit G(.~) sei dasjenige der beiden Gebiete bezeichnet, welches den Punkt

7 = l , ~ n = 0 . ~ + 1 = 0

nicht en~hMt. Wir treffen jetzt die Festsetzung, dab ~K(n + 1) 4enjenigen

RotationskSrper auf K ('' + ~) bezeichnet, der GK(~ entspricht, d.h. dessert

Punkte dutch dic Gleichungen n - - I

�9 . 2 '~

$. = $,,, ~, $,, + : == $. + :. ~, Z',~. ~ ~ = 75. 1

gegeben sin4, wobei der Punkt

das Gebiet G c(a ) durchl~uft.

Wir denken uns auf dem die Rotationsachse bilclenden grSBten Kreise (79) die Achsen

~ , -~n+l

772 E. Sehmidt.

so gew~hlt, dall auf K ~3) der Punkt

# ~ + 1 = 1 , ~ , = 0 , 7 = 0

nieht zu G(a ) geh6rt, oder, was dasselbe ist, dab auf K (" + 1) der Punkt

~.+1 = 1, ~:, = 0 , v = 1 ,2 . . . . . n

ein ~iuflerer Punkt von RA.(n + 1) ist.

Man projeziere nun die Kuge] K (~ + x) vom Punkte

~ n + l = 1, ~,. = 0,

aus stereographiseh auf die n-climensionale Ebene

v = 1 , 2 , . . . , n

~ + 1 ~ 0 .

L~flt man in dieser Ebene die positiven x,-Aehsen, v = 1, 2 . . . . . n, mit den positiven ~,-Achsen, v = 1, 2, . . . , n, zusammenfallen, so erh~lt man fiir das stereographische Bild (xi x 2 . . . x,) des Punktes (~1 ~ 2 . . . ~, + 1) die Gleiehungen

~ ' l ~ n + l v = 1,2, . . . ,~ '~,

n 2 (89) 2 % X,. x,. -- 1

~. - - ,~ , v = 1,2 . . . . , n , ~ , , + 1 = n ,

' '+

n n + l n + l �9 2 n

Bezeichnet auf der Kugel K (" + a) d S das L~ngenelement, d~q~ das Element einer p-dimensionalen Mannigfaltigkeit, d T das Oberfl~chenelement und bezeichnen ds', ds'p, d r ~ dXl dx2 . . . dxn die entsprechenden Elemente der stereographischen Projektion, so ist also

= ,U-- = dsp, d 8 2 ds' , d8~ ,i " , + + z., I

(91) d T ( 2 ---- ~ d x l d x 2 . . . d x n .

Setzt man jetzt

n - - 1 2 n - - 1 2 (92) X~ ~ = 72, q ~ 0, ~., x~ = y2,

l ] y>= 0,

Die isoperimetrischen Ungleiehungen im sph~rischen Raum. 773

so ergibt sich

x. -- I -- ~,~ + q }. __ 2 x,,

' Y = I ~ ' 1 - - q n + l l ~ l - X n - ~ y 2 '

2 y x 2 .~_ y2 __ 1 2 o; = 1 + : ~ + u ~' ~:"+ ~ = 1+ z , ,+u-

( 1 2 ( d ~ (/ 2 a ~ . + d u ~== ~ . ~ . + ; ) 2. + ~,,+~+~,~);

2 "Z(d 2

(93)

(94)

Das stereographisehe Bfld der Oberfl~che yon Rx( n + 1) wird also gegeben dutch die Gleichungen

(95) x. (t} = 1 -- ~,, + :(t)' y ( t ) ~ - - 1 - - ~. + 1(~)' 1

Das stereographische Bild ist also ein Euklidischer RotationskSrper um die x~-Achse. Seine Meridiankurve M mit den laufenden Koordinaten x. (t), y (t) ist dabei das stereog.-aphische Bild der auf der Kugel K (3) gelegenen Meridian- kurve M(a), wenn die Projektion der Kugel K (~) vom Punkte

~+i=I, ~=0, ~/=0

aus auf die Ebene ~.+1 = 0

ausgefiihrt wird. Es ist also

( 2 )~ (~; (t)~ + ~;, +~ (t)~ + ~' {t}~), (96) xn(t) 2-t-y ' ( t ) 2= 1 _ ~ + 1 ( t )

woraus wegen der fiber MK(s) gemachten Voraussetzungen folg~, dab die

Ableitungen der laufenden Koordinaten yon M

x'.(t), y' (t) bis auf hSchstens endlich viele Punkte bestimmt und stetig sind und nicht gleichzeitig verschwinden.

Im Raume (xa x 2 . . . x~) entsprieht bei der Rotation um die x.-Achse dem Element

dx. dy der Meridianebene das Volumenelement

(n - 1) En_l y'~-2 dx. dy,

und dem Element ds' auf der Meridiankurve M das Oberfl~ichenelement

( n - - 1 ) E . _ I y-"-2ds ' , 14)

14) Eine ausftihrliehe Begrtindung dieser Formeln finder sich in der unter ~) zitie-.~en Arbeit, S. 706--708.

774 E. Schmidt.

wobei wie oben Ev das Volumen der p-dimensionalen Einheitskugel im Euklidischen Raum bedeutet. Bezeichnen also L und J Oberfl~icheninhalt und Volumen von RK( . + 1), so erhiilt man wegen (91)

I 2 \n--I ( L - 1 + x,,

(97) ' / d = 1 + ~ + (n- 1)En_lyn-zd~ndy, G

wobei G das stereographische Bild yon GKt3) ist und, da GA.~3 ) den Nordpol

der Projektion nicht enth~lt, yon M und der z~-Achse als inneres Gebiet umschlossen wird.

Aus (93), (94) folgt jetzt

(98) L=(n--1)En-1 ~;Tn-2dSK(3), J = ( ~ - - I ) E , _ I ~fin-2d~/'~c(3 ), ME(3) GK(3)

wobei dSK(3 ) und d TKt3) das L~ngenelement und das Obeffliichenelement auf der Kugel K ~3) bedeuten.

Setzt man yg

(99) sin/~ = ~/, 0 < p < -~,

so ist fl die auf der Kugel K C" + 1) gemessene Entfernung derjenigen Punkte der OberflRche des KSrpers RA.~, + 1) yon der Rotationsachse, welche zum Punkte

der Meridiankurve M(3) geh5ren; fl bildet eben den auf der KugelK ("+ 1)

gemessenen Radius der betreffenden (n -- 1)-d_imensionalen Breitenkugel des Rotationsk8rpers. Es bezeichne nun ~ den Maximalwert yon fl, d. h. also den auf K (" ~ 1) gemessenen Maximalradius der (n -- 1)-dimensionalen Breiten- kugeln. Dann ist ~ offenbar auch der auf K ta) gemessene Maximalabstand der Meridiankurve M(3 ) vom grSllten Kreis

7----0.

Da ferner, wie oben vorausgeschickt, diese Kurve wegen (88) nicht durch den Punkt

~n = 0 , ~ n + l = 0 , # = 1

hindurchgehen kann, so ist yz

(I00) 0 < ~ < ~ .


Nunmehr projiziere man die Kugel K (3) vom Nordpo|

= 1 , r r

aus stereographisch auf die Ebene

~ 0 .

L~flt man in dieser Ebene die positive u-Achse mit der positiven Cn-Achse und die positive v-Achse mit der positiven }n+l-Achse zusammenfaUen, so erhMt man

~n ~n + 1 2 u

(101) 1 ----~' ,n 1 + u 2 + v '~' I 2V U2-~ V2-- 1

I du2 + dv 2___ 1 2 2 d 2

(102) ( 2 is

Bedeutet ds das Euklidische L~ngenelement der {u, v)-Ebene, so hat man also

2d, ( 2 )~ (103) dSK(3)-- l~, u2~, v')-' dTtd3)= i q - u " ~ - V d u d v .

Die Einfiihrung yon (101), (102), (103) in (98) ergibt

f (u 2 § 2 d L = (~ -- I ) E,~ _ ~ \ i T-~ "~ + v ~-] 1 + u'~ + v~ 8,

(104) c' I (u_'-{-v~ !~,,- 2 ( 2 .~

J = ( n - - 1 ) E n _ l \1 + u.~ + v,~/ l + u " + ~ ) d u d v , T r

wobei C' die stereographische Projektion der Meridiankurven MA~3), und T'

die stereographische Projektion des Gebietes G(3 ) bedeuten. Wegen (99)

und (100) verl~iuft also C' ganz in dem Gebiet

C' trifft ferner mindestens einmal den Kreis

r~-Q,

trifft den Kreis r ~ - ~ l

in zwei und nut zwei verschiedenen Punkten und umschlieBt zusammen mit dem einen Bogen dieses Kreises alas Gebiet T'.

Jetzt fiihre man Polarkoordinaten ein.

(106) u = roost , v = rsin~, du 2 + dv 2 = dr~ ~ r~l ~ . du dv = ~ dr d rp.

776 E. Schmidt.

Man erh~lt

" f 2 .~.-2 x (107) L = 2 (n -- 1)~,~-i (1 l+r~ / 1 +r "z g '

= 2 ( n _ l ) E,,_l ~(r_~__ ) 1 ,+1 d \ r / r G"

- - d s

i( 4, (108) J = ( n - - 1 )En-1 1 l + r 2 (l+r'q2 drdq~ T'

G"

2 ~n - - l cos (_N' r) ~S 1 A- ,2/

{ ' - - + ~ - r cos (N ' r ) dr)2A-dq~ 2. ,+•

Dabei bezeichnet N' die in das Xul~ere yon T' weisende Normale in C' und (N'r) den Winkel, den diese mit dem Radiusvektor bildet. Die Integrale auf der rechten Seite yon (108) sind eigentlich fiber den ganzen Rand yon T' zu erstrecken; da aber auf dem Teile des Randes, der vom Kreise

r - - 1

gebildet wird, tier Integrand wegen n > 3 verschwindet, so brauchen die Integrale nur fiber C' erstreckt zu werden.

Es bezeichne nun C" das Spiegelbild der Kurve C' am Kreise

r = l ,

T" das Spiegelbild des Gebietes T' und N" die in das Xultere yon T" weisende Normale yon C". Dann ist

O ~

1"+71 Beriicksichtigt man ferner, dal3 in entspreehenden Punkten yon C' und C"

cos (N'r) und cos (N"r)

Die isoperimetrischen Ungleiehungen in: sph/~'rischen R~um, 777

gleichen Betrag und entgegengesetztes Vorzeichen und daher

gleichen Betrag und gleiches Vorzeichea haben, so ergibt sich

(11o) ' ~ - - - ~os{N',-) (:~)'+~'- ,+4/ ,§ r

C'

-.j l,T:= C,f

J = y E, _ :

C'

r

--'~ - - E n - - 1 2

C

r _ 1 n-2 ( r _ + ) cos(Nr)

r + l ! l_f_re d8.

Die geschlossene einfache Kurve C ist dabei in den von den beiden konzentrischen Kreisen

(~ ~) ~ (}+~) (113) r = ~ = t g X- + und r = - - = cotg ~-

begrenzten Kreisring dergestalt eingeschrieben, daI~ der Koordinatenanfangs- punkt in ihrem Xul~eren liegt; sie geht bei der Spiegelung am Kreise

r-----1 in sich selbst fiber.

Bezeichnet jetzt C die aus C' und C " zusammengesetzte geschlossene einfache Kurve, T das von ihr umschlossene, also aus T" und T" zusammengesetzte Gebiet und N die in das Aul~ere von T weisende Normale yon C, so ergibt sich aus (107), (108), (109), (110)

(111) L=(~-I)E._: -T-V : ~)~'+d~ . l r + T r,-k T C

I 1 i u -- 2 r - - T ds

= ( n - - 1 ) E , , _ I ' , . + L ] ~ + ~"-" {.: r l

1 ! . - 2 1 " - -

(112) _ _ r 2 r + ~ cos(Nr) d r + d q ? "

r l r

778 E. Sohmidt.

Jetzt flihren wit den Parameter q ein, der lediglich der Einschriinkung

(114)

unterwoffen sei.

Wegen (20) ist

r 1 . - 2 - 7

_---T r + T

1 q ~ e - - - - = 2 t g = Q

] + , . ,

I 1 ~_ . "-____y7

,+1 n - - 2

I -} -r s

r_}_l 1-~ -r2 Ico~ (N~)I.

Die Einfiil~mg dieser Ungleichnng in (112) ergibt bei Beriicksichtigung yon (111) und (17)

llr ~ I'--' ( - 2(,~--I------T "E B ' - ~ 1 + r ~ N ds.

G

Das Gleichheitszeiehen gilt hier dann und nut dann, wenn (21) identisch effiillt ist.

Genau so, wie oben die Gleichung (24) hergeleitet wurde, erh~lt man jetzt

(116) /it1 - - 7

1

. , v c +) , q 2 _ _ r - -

dr l + r ffi

C

wobei das Oleichheitszeichen dann und nut dann gilt, wenn (25) effiillt ist. Nun ist, wie die Substitution

1 r ~ - - - m r ~ ,

Die i s o p e r i m e t r i s e h e n U n g l e i c h u n g e n i m s p h ~ r i s c h e n !~aum. 779

zeigt,

(117) 1

r

" + 7 1

cJ

'2

' + " ' + ' "

l

dr.

Bei Beriicksichtigung dieser Identitiit ergibt die Einfiihrung von (116) in (115)

j _ _ _ " . - ,

J<2 1)L-2B"-' I W+• l+r'- t d t ~ r !

1

Durch die Substitution

~t 2dr dfl, r - - -- = 2tgfl , r + 1 (118) r = tg T + ' 1 + r'~ -- r T = cos---~

erhiilt bei Beriicksichtigung von (113) die letzte Ungleichung die Form t t

(119) J < ~(~::]~ L - - E .... ' t s i n ' - e f l ~ / q S - - 4 t g S f l d f l = F(')(L,a,q). 0

Wie oben festgestellt, gilt das Gleichheitszeichen in der isoperimetrischen Ungleichung (119) dann und nur dann, wenn (21) und (25) erfiillt sind.

Spezialisiert man jetzt wie im w 1 unter (30)

1 q = 9 -- 2 tg~ ,

ff

so ergibt sich

1 L t g a - - 2 B , _ , I s i n ~ - 2 f l l / t g S a tg~fldfl (120) J < ; t - - i

0 = F (n) (L, ~, 2 tg a),

wobei das Gleichheitszeichen dann und nut dann gilt, wenn (21) unter der Spezialisienmg (30) und (25) erfiillt sin& Diese Bedingungen sind nun, wie bei der Herleitung von (32) gezeigt worden ist, in der Tat fiir den Kreis erfiillt, ~ler in den Kreisring zwischen den beiden konzentrischen Kreisen

1 r ----- ~) u n d r~--~ - -

ff

dergestalt eingeschrieben ist, dab er den Koordinatenanfangspunkt nicht umschlieltt. Dieser Kreis ist die stereographische Pro]ektion des auf der

7 8 0 E . S c h m i d t .

KugeI K (3) mit dem Mittelpunkte auf dem _~quator ~ = 0 iiegenden Kreises mit 4era Radius ~. Der Rotation des tetzteren um den Aquator als Rotationsachse entspricht auf der Kugel K ('~ + 1) eine Kugel vom Radius ~. Bezeichnen also wie oben 3('~)(~) und ~(,o(~) das Volumen und den Ober- fl/icheninhalt einer solchen Kugel, so gilt

(121) ~(m (a) = ntg ~1 L,,) (a) _ 2 E~_~ j" sin ~ -~ fl V tg~ a -- tg~fl d~. 0

Aus (120) und (121) ]ol~t die isoperimetrische Ungleichun~

(122) J < ~ _ - I L -- (n l ~ l t g a L ( ' ~ ) ( ~ ) - - J" ) (~)) = Fc"(L ,~ , 2 tga).

Nun fotgt aus (83), (84)

1 jc,)' (~) (123) n--1 tg a -- s (~),

wobei

die Ableitungen yon

~(n)'(~) und ]~r

J(") (~) und /~("' (~)

nach ~ bedeuten. Die Einfiihrung von (123), (83), (84) in (122) ergibt die isoyerimetrische Ungleichung in der Gestalt

-J("; (~) L -- \ ~ (:0 Z(,,) (~) (~) ) (124) J < ~(,,),(~) ~ (~)

- - f f - - -1L - -nE , s i n - - l ~ - - sin~-lfldfl = Ftn) (L ,~ ,2 tg~) . 0

Man erhMt

L - - L ( ~ ) ( :0 L - - n E n s i n u - 1 ~c

(125) Fr 2tg~) - - (n--l) cos"~ -- (n--1)cos2~

Man definiere nun den Radius ~' der Kugel gleichen Obeffl~icheninhalts durch die Gleichung

(126) L = L(')@') = n E . sin'~-l~';

wobei wegen (88)

0 < a ' < ~

bleibt. Dann zeigt (125), dab die rechte Seite der Ungleichungen (t22), (124) bei festem L mit wachsendem ~ fiir


monoton zunimmt und fiir

monoton abnimmt. Fiir

erreicht sie also ihr Maximum, welches wie aus (122) unmittelbar hervorgeht~ gleich

j(") (~')

wird. Aus der isoperimetrischen Ungleichung (124) /olgt daher a ]ortiori die gew6hnliche isoperimetrische Un~leichung

(127) J --<_ J(~ (s

In den isoperimetrischen Ungleichungen (122), (124) gilt, wie wiederholt werden daft, das Gleichheitszeiehen dana und nur dana, wenn (21) unter der Spezialisiemng (30) und ferner noch (25) erfiillt sind, also nut fiir die i m w 3 angegebenen Kurven C~,~,~, welche auch der jetzt noch hinzu- getretenen Forderung geniigen, bei der Spiegelung am Kreise

r - ~ l

in sich selbst iiberzugehea. Bezeichnet L~")(~, 7) den Oberfls des der Kurve CI,~, Y entsprechenden RotationskSrpers, so folgt aus (111) und (83)

- 1

-j--e n-2 I i + (n - 1) E._I ~ e •

= n E~ sin ~ - 1 ~ + (n -- 1) E~_ 1 (sin ~ - e ~ cos e) ~.

Zu gegebenem L und ~ gibt es daher dana und nur dann eiae Kurve

CI, a, 7 ~

wenn (129) nE~sin '~- l~ ~ L oder gleichbedeutend ~ ~ ~',

ist. Durch die Gleichung

(130) n E~ sin ~-1 ~ + (n -- 1) E~_I (sin n-~ ~ cos ~) 7 = L

wird dana 7 bestimmt, undes gehSrt daher zu L und ~ nut eine einzige Kurve

CI, a 7 "

Mathematische Zeitschrift. 46. 50

782 E. Sehmidt.

Dan]it diese Kurve Cr, ,, ~ sich nicht selbst iiberschneidet, ist not- wendig und hinreichend, dal~

(130a) 7 + 2 : ~ < 2 ~ und mithin 7 < 2 ~ - - 2 ~

ausfMlt. Denn es ist, wie bei der Diskussion yon (47) gezeigt, vom Koordinatenanfangspunkt aus gesehen der scheinbare GrSl~enwinkel jedes der beiden an den beiden Enden yon C L ,, r aufg'estfilpten Halbkreise gleich ~.. Die Ungleichungen (130a) sind gemiiB (130) gleichbedeutend mit der Ungleichung

( 1 3 0 b ) F (~) ~- n B ~ s i n " - t r + (n - - 1 ) B , , _ 1 (sin" - .2 c{ cos :0 (2 ~r - - 2 ~ ) > L .

Man erhiilt fiir die Ableitung von F (~)

F'(~0 = 2 ( n - 1) E n _ l s i n . - 2acosa 12E~I nE~_ 1 - 1 +(n-2) (~r- : 0 c o t g a - ( z t - : 0 t, gc{}.

Da der eingeklammerte Ausdruck auf der rechten Seite mit wachsendem :{

im Quadranten 0 < ~ < T yon § o: bis = ~ monoton abnimmt, so gibt

es ein :c2, (0 . : ~_~ < ~ ) , so dag fiir

" F'(~) < 0 0 < ~ . < ~ 2 F'(a.) > 0 und fiir : { 2 < ~ . < ~ -

wird. Mit wachsendem e steigt also F (~.) im Intervall 0 < ~. ~ ~.~ monoton an, und zwar wegen n > 3 yon 0 bis F(~.,), wiihrend ill] Intervall

e2 < ~ "< T die Funktion yon F (~..,) his .n E , monoton abninimt. Da nun

gemiil~ (88)

ist, so folgt, da.l~ {lie Gleichung

030c)

eine und nur eine LBsung

L < n E ,

F (~.) = L

(130d) ~ := a.l~ 0 < al <

besitzt, und darI~ fiir ~ :.> ~l (tie Ungleichungen (130b). (130a) erfiillt sind, wiihrend sie fiir :r < ~1 nicht gelten. Aus (130e) und (126) folgt endlich

(130e)

Fiir

und

~ . = ~ ' wird y = 0

' l ,a ,y

geht in den Kreis lnit dem auf der Kuge] K ~:~ gemessenen Radius ~' iiber. Damit ist bowicsea, daft pTr de.~. Fall

:q < :r < C

Die isoperimetrischen Ungleichungen im sphiirischen Raum. 783

in den miteinander gleichbedeutenden isoperimetrischen Ungleichungen (122), (124) die Gleichheit yon einem und nut einem Rotationsk5rper erreicht wird, n/imlich demjenigen, welcher der oben bestimmten Kurve CI, ~, r entspricht. Insbesondere ist damit auch bewiesen, daft in der aus diesen Ungleichungen a /ortiori /olgenden 9ewShnlichen isoperimetrischen Ungleichung (127) d/e Gleichheit nu:" yon der Kugel erreicht wird.

Fiir

~ 0 ~ 1

kann die Schranke (122), (124) nicht erreicht werden. DaI3 diese Absch~tzung bei kleinen Werten yon :r nicht genau ist, springt in (tie Augen. Denn der Rotationsk5rper mul~ in demjenigen RotationskSrper enthalten ~ein, der aus allen Punkten besteht, welche auf der Kugel K n + 1 gemessen von der Rotationsachse um nicht mehr als :~ entfernt sind. Der Meridiankurve des letzteren entspricht in unseren Koordinaten (106) der Kreis v----~. Sein Volumen ergibt sich gem~B (108) als gleich

2 ~ E~ _ 1 sin~- 1 ~.

Also gilt (lie von L unabh/~ngige triviale Ungleichung

(130f) j < 2~rE._lsin,~- 1~.

Da diese Schranke mit ~ in ( n - 1)-ter Ordnung verschwindet, w~hrend die Schranke (122), (124)iu erster Ordnung verschwindet, so ist wegen n > 3 bei geniigend kleinem ~ die Absch~tzung (130f) in der Tat sch~rfer als die Absch~tzung (122), (124).

Ehe wir uns dem Fall

zuwenden, seien folgende vorbereitende Feststellungen gemacht.

Wegen (84), (85) ist

(131) 2 ~(n-1)(~) = 2(n-- 1)E,_i~sin'~-2fldfl < 0

2

< 2(n -- 1) E~_I.[ sin '-2~dfl ---- h E , . 0

Wegen (88) ]~tllt sich daher ein ~o 7~

0 < ~ <

stets so bestimmen, dab

(132) ist.

2 J ( " - 1) (~o) = L

50*

784 E. Schmidt.

Nun wollen wit beweisen, dab fiir jeden RotationskSrper

(133) ~ < ~o

bleiben muff. dr

Beweis. Wegen (111) und ~-~ =< 1 ist

f r - - l n--2 1 dr . (134) L__> ( n - - 1 ) E . _ l r-I- 1 ~ ~ as.

T c

Nun ist, wenn 81, 82, 83 dieselbe Bedeutung haben wie in (23)

n -- 2 0 _ ~t

J r--p-~- r_p_l 1-l-rid, r_~_l 1-kr 9- ds ds, 1 st 0

1 s2 O

$~ f'-"-" r - - - - _ _ _ _ 1 d r , 1 drds < l-~-r~ d-s as. r_[_l[ l+r'ds = J r 1

- -7- 82

Die Addition dieser beiden Ungleichungen ergibt

(135) ~' / 1 \n--2 f

1 1 .o

1 In - 2

r - - 7 n ~

r f

I ~ n--2

1 dr ds J r~_ l l~-r ~ ds " (,,

Aus (134) und (135) folgt

~2 j ' l ,

L >= 4 (n - -1 )R._ l - 7 - 1 1-~ir ~dr �9 r + 7 1

Die i sope r ime t r i s chen Ungle ichungen im sph/ i r i schen R a u m . 785

und hieraus ergibt die Substitution (118) bei Beriicksichtigung yon (131)

(136) L >= 2 J ('~-1)(~). Das Gleichheitszeichen in dieser letzten Ungleichung wiirde wegen (111), (134) fordern, dab

_ d ~ dr 1, also ~-~ 0 ds- -

bleibt, was bei einer geschlossenen einfachen Kurve unmSglich ist. Darait ist (133) bewiesen.

Es sei jetzt 1

q > 0 - - - - = 2 t g ~ - 0

Dann gilt in der isoperimetrischen Ungleichung (119) das Gleichheits- zeichen nut fiir die im w 2 angegebenen Kurven Cn,,,j. Es mSgen

j(,o (a, und -(n) II q) L l i (~, q)

Volumen und Oberfl~che des entsprechenden RotationskSrpem auf K (" +~ bezeichnen. Da Cn, ~, q fiir

1 q = ~ - - - - = 2 t g ~

in den Kreis mit dem auf der Kugel K (a) gemessenen Radius ~ iibergeht, so hat man zuniichst wegen (83), (84)

(137) L(i])(~,2tg~) = nEnsin~-~a , J ~ ) ( ~ , 2 t g ~ ) = nE,~sinn-i f ldf l . o

Gem~B (112), (21), (50) erh~lt man ferner ~" 1 l l --2

- , , - 7 ( , _ Ji~ ) (~, q) = -~ g , _ ~ d s

r~_ 1 1 - ~ r ~

CII, a, q

= B._I i 1 G

r---;-

' 1 1 r - - 7

= -~- E . _ 1 ,+~- CII, a~ q

dr

ds q (1 +r~)

~2

= ) 7,=_0_-; dr.

786 E. Schmidt.

Zi'~ ) (=, q) = ( n - 1) L',_x ~]"

J ( ' I I , a, q

Durch die Substitution (118) ergibt sich hieraus

- - t" sin~ - 2fltg~fl -^ (138) Ji'~) (~, q) = 4 E._~ : ~q,~ Z ~ t -~-e l f l . o

Ebenso erhMt man gem/il~ (111), (21), (50) ?, 1 n - - 2

r d s

1 + r'~ r + 7-

tJ

- - 2 (n - - 1) En_I - - r q dr

1 I I

O

= 4 (n- - 1) Nn_I ~ q dr.

1

Dureh die Substitution (118) ergibt sieh hieraus

" si."-2 ~ d/~. (139) Z~'~ ) (r162 q) = 2 (n -- 1) E ._ I

o V, 4tg.~ qe

Aus den Darstellungen (138), (139) geht hervor, dal~

?~) (~, q) und Z~3 > (a, q)

bei festem ~ mit wachsendem q monoton abnehmen und bei festem q mit waehsendem e monoton zunehmen. Man erhiilt bei Beriieksiehtigung yon (84)

(140~ Lira j~'~)(e q) = 0, Lira L~'~)(a,q) = 2~'~-~)(~). q -...-~ co �9 q - - ~

Zu gegebenem L und e gibt es also dann und nur dann eine Kurve CH, =, q, wenn die Gleichung (141) eine LSsung

besitzt. Da gem~ill (133)

L(") (~, q) L ] I =

q = q* (L, =)

2 ~ ( n - 1) (0~) < L

bleiben muB, und die linke Seite von (141), wie eben festgesteUt, bei festem mit wachsendem q monoton abnimmt, so folgt aus (137) un4 (140), dal~ die Gleichung (141) dann und nut dann eine LSsung hat, wenn (142) nE, ,s in"-l :~ -_>- L oder gleichbedeutend ~ > d

Die isoperimetrischen Ungleichungen im sphiirischea Raum. 787

ist, wobei ~' wie oben durch die Gleichung (126) definiert ist. Die Gleichung hat dann stets nur eine einzige LSsung. Fiir

t

erh~lt man wegen (137), (126) (143) q* (L, ~') = 2 tg ~'. Fiir

ist wegen (137), (126)

(144) q,* (L, ~) > 2 tg ~.

Da ferner, wie wiederholt werden darf, Z]]' (a, q)

bei festem q mit wachsendem a monoton zunimmt, so nimmt auch q,,* (L, ~)

bei festem L mit wachsendem ~ monoton zu. Aus (139), (131), (132) folgt leicht

(145) Lira q* (L, a) = Qo ~t - - ~ ~ 0

und mithin wegen (138)

(146) Lira J~})(~, q* (L, ~)) -= 0.

Da, wie bewiesen, in der isoperimetrischen Ungleichung (119) fiir

(147) q =q,* die Kurve Cli,~,q ~

die Gleiehheit erreicht, so ist

(148) Y~, (~, q.* (L, ~)) = r(,,, (L, ~, q* (L, ~)). Die Ungleichung (119) gilt aber fiir jedes q > 2 tg~. Also ist auch fiir jedes

(149) q => 2 tg ~ "31I~<n) (a, q. (L, ~)) _~ F (") (L, a, q).

ttier ist aber naeh den obigen Feststellungen das Gleichheitszeichen fiir q =t= q* ausgeschlossen. Also ist fiir

(150) q ~= q,* (L, a) F (') (L, ~, q* (Z, a)) < F (') (Z, a, q).

Insbesondere ist also wegen (144) fiir

(151) a > ~ ' F(") (L, ~, q* (L, ~)) < p(-) (L, ~, 2 tga)" Die aus (119) ]iir

q = q* (L, ~)

hervorqehende isoperimetrische Unyleichung

(152) J < F (') (L, a, q* (L, ~))

lie/eft also in der Tat /iir ~ > tX"

788 E. Schmidt.

eine schdr/ere Schranke als die miteinander gleichbexleutenden isoperimetrischen Ungleichungen (122), (124).

J e t z t soil noch der Ver lauf von

F ('~) (L, ~, q,* (L, ~))

als Funk t ion von L und ~ diskutier t werden. Es ist

@

o ..(~) , . _ =. (L, ~)) ~(") + r ( ~ ) , a q , (L, ~) 0 i l ( ~ , ~ , ~ = ~s~ (L,~,q*) (L,~,q , ) --q 0 L '

- - I '(') ( L , * r (n) 1"(") * < qn (L, ~) ~,q,,(L,o~)) -~ (L,~,q*) + --q (L,a, qn) O~ - - a 0:r

Nun ist wegen (119) qn

(153) F(L ") (L, ~, q*) - - 2 ( d - 1)'

/ ' (2 ) (L, ~, q*) = -- E~, -1 s inn -~ a ~/q,.2 _ 4 tg 2 ~.

Ferner ist wegen (144) fiir > ~' q,* > 2 t g

und mi th in wegen (150) (154) (L, q*) = o, w~hrend wegen (141), (139), (144) q* nach L und ~ differenzierbar bleibt. Also ist fiir ~ > ~'

q* (L, ~) (155) : Z F('~ cc' q* (L' ~)) -- 2(n~T)) '

�9 L = / ' 2 - - (156) a,F(")(L,o~,q, , ( , ~ ) ) - - E , _ a s i n ~ - ~ ~/q,, (L,~) 4 tg2~.

Ferner ist wegen (148), (146)

(157) Lira /'(n) (L, cr q* (L, a)) ~- 0 a ---~ a 0

und wegen (143), (148), (137), (84)

(158) F(')(L, ' * ~, q, (L, s -~ / ' ( " ) (L, ~', 2 tg s -~ J~])(s 2 tg ~') (z'

---- J(")(~') = h E . . [ sin n-1 f ldfl . 0

Man definiere nun bei Beriieksiehtigung yon (124) die Funk t ion

O ~') (L, ~) durch die Gleichungen

/ fiir ~ __< ~' G(")(L,~) = F(")(L,a, 2 t g ~ )

tg~ ~ 7. I tga " n - ( 1 5 9 ) - - ~ - - - 1 ~ - - n ~ . / n - - - - : l s m 1

[fiir ~ > ~' O(") (L, ~) -~ F(") (L, ~, q* (L, ~)). 0

Die isoperimetrischen Ungleichungen im spharischen Raum.

Wie (158), (159), (126) zeigen, bleibt (tie Funktion

auch an der .,Naht~telle"

stetig, und zwar erhiilt man

G(~) (L, ~)

789

(160) G('O(L, s = J(")(s = u E , I s i n - - 1 ~dfl. 0

Auch die ersten Ableitungen der Funktion nach L und ~ bleiben an dieser SteUe stetig. Man erhi~lt wegen (155), (143), (159)

(161) G o,) ~r tg ~' L ~ O C t ) - - n - - ]

und wegen (125), (156), (143)

(162) ,,(n).L " t~ ( ,Qr = O.

Ferner lassen die Gleichungen (125), (156), (144) erkennen, dab die Funktion

G (+ (L, ~) mit wachsendem a fiir

monoton zunimmt, fiir 0r > t f f

monoton abnimmt und gemi~l~ (157) mit ~ o - ~ gegen Null konvergiert.

Nun gilt tiir alle bei 9eqebenem L iib~.rhaupt miolichen Werte yon 6, d. h. r

0 < cr < r162

die isoperimetrische Ungleichung

(163) J < G (") (L, ~),

in welcher die Gleichheit ]iir :r > cq yon einem und nut einem RotationskSrper erreicht wird.

Je tz t wolten wir noch den Beweis dafiir nachholen, dal~ die Voraus- setzung (88), d .h . die Voraussetzung

(164) L < n E~

die M6glichkeit ausschliel~t, dag die Meridiankurve MK(a ) (lurch den Nordpol

= 1, ~ = 0 , ~.+1 = 0

hindurchgeht.

790 E. Schmidt.

Beweis . Wir fiihren den Beweis indirekt und machen also die Annahme, daft der Nordpol auf Ma.(a ) liegt. Dann projiziere man, wie oben durchgeftihrt,

die Kugel K (3) yon diesem Punkte aus stereographisch auf die Ebene

~/----0.

Da voraussetzungsgemiil~ M(3)dutch den Nordpol der Projektion hindurch-

geht, den $,quator in zwei und nur zwei verschiedenen Punkten A1 und A2 schneidet un4 ganz auf 4er nSrdlichen Halbkugel verl~uft, so besteht das stereographische Bild yon M a~ aus zwei Kurveniisten C~ und C'.z, die yon

A1 und A2 ausgehen, aul3erhalb des Kreises

r = l

verlaufen und sich nut im unendlich fernen Punkt der Ebene

r / = 0

schneiden. Far den Oberfl~icheninhab L des entsprechenden Rotations- kfrpers erhiilt man gemiil~ (107)

I t ' / , ~ \"-~ ("~ - l\"-~ 1

, ) i ; # , (165)L---- 2 (n-- 1) E,,_ 1 ] ~ lq_r-------~ds-~- ; 1---~ds).

r -k - r , c'~ c~

Mi~t man nun auf C~ und C~ die Bogenl~nge yon Ax und A~ ab, so erhiilt man

l l \n-s P /r l \ n

(166) l i t + 1 ] l + r ' d s = - - - -

j \ T ~ r + C/ t ,1 01

Dttrch die Substitution (118) folgt hieraus

(~67)

-2 / ' / l\n--2 J ( r ---7- t 1 1 ar ds = ----S'T- l - - ~ dr"

l ~-r~ ds r -~ r 1

yt -ff

f / , I\,,-~ ( .!\ +~/ ~ d s > ~ . s,n,

Ebenso erhiilt m a n

(168)

2

(7. I 0

Die isoperimetrischen Ungleichungen im sph/irischen Raum. 79I

Die Einfiihrung yon (167), (168) in (165) ergibt bei Beriicksichtigang von (85) (169) L >__ hE ,

im Widerspruch zur Voraussetzung (88), w. z. b. w.

Das Gleichheitszeichen in (169) fordert das Gleichheitszeichen (168), (167), (166) und damit das Bestehen der Gleichungen

d r __ I, dep d s [fs - 0

liings der Kurven C~ und C~. Daraus folgt:

Ist (170) L = hE,,

und liegt der Punkt = 1 , ~ , = 0 , ~,+1 = 0

auf M.(3 ), so besteht M~.(s ) aus zwei yon diesem Punkte ausgehenden Qua-

dranten grSflter Kreise der Kugel K (a). Jetzt wenden wit uns dem bisher voraussetzungsgemii[l ausgeschlossenen

Fall der isoperimetrischen Aufgabe zu, daft K (" + ~) dutch eine Rotations- kSrperoberfliiche mSglichst geringen Oberfliicheninhalts in zwei Gebiete 91eichen Inhalts zerlegt werden soil. Fiir den Inhalt J jedes der beiden GebieCe miigte dann also gelten

(171) J = n + l E , , + l . 2

Jetzt kann (88) nicht bestehen. Denn anderenfalls wiirde fiir den Inhalt J des einen der beiden Gebiete gemiifl (127) gelten

J =< j~',)(~'), wobei wegen (126) und (88)

~ ' <

ausfiele. Daraus wiirde abet gem~iI~ (84), (85)

J < 2 - - ~ 1

folgen im Widerspruch zur Voraussetzung {171). Es mull also mindestenB (170) gelten.

Wir woUen jetzt zeigen, (tag, wenn (171) und (170) bestehen sollen, M~3 ~

durch den Nordpol

~?=1, ~n=0, ~n+l=0

792 :E. Schmidt.

hindurchgehen mul3. Worten, wiire

Wi~re das niimlich nicht der Fall, oder mit anderen

(]79,) ~ < ~- ,

so miiSte, da nur in Gestalt dieser Konsequenz die Voraussetzung (88) bei der Herleitung der isoperimetrischen Ungleichung (124) benutzt worden ist, (124) gelten, d.h.

ct

J ~ - ~ _ l L - - n N , sinn-l~.-- sin,~-lfld fl , 0

also wegen (170)

0

Nun ist gem~l] (125)

(174) d~(~) ~ 1--sinn-1 :c a ~ - n ~" - ( , i - i yc~-~ g > o.

Ferner ist

. - - 1

tga (1 -- s in"- 1~) _-- ~ sin'~ 1 - sin~

und mithin

. _ 1

cos~ - - ~ - ~ s in"~

1

Lira t g at (1 - - s i n " - x ~r = 0 . a ..._> r

2

Hieraus folgt bei Beriicksichtigung von (85)

(175)

2

Lira q~(oQ = h E . j" sin"-apd/~ =- n-~-+~lE.+ a. a ....> ~r

2 0

Gem~ifl (172), (174), (175) ist daher

n § r (~) < - - V - E . + 1,

was wegen (173) im Widerspruch zcr Voraussetzung (171) steht.

Die isoperimetrischen Ungleichungen im spharischen Raum. 793

Damit ist also der zu fiihrende Beweis dafiir erbracht, dab der Nordpol

= 1, ~ = O, ~+I = 0

auf der Meridiankurve z]//K~) liegen m ul~.

In diesem Falle kann aber, wie oben festgestellt, die Gleichung (170) nur dann bestehen, wenn MK(~) aus zwei veto Nordpot ausgehenden Qua-

dranten grSSter Kreise der Kugel K (~) zusammengesetzt ist.

Es mSgen nun die beiclen Quadranten den ~[quator

7 = 0 in den beiden Punkten

$ ~ = cosX1, ~ + l = s i n 4 1 ; ~ , = cos~e, $ , + l = s i n ~ , 0 ~ 2 1 < 4 ~ < 2

schneiden. Dann beschreibt der eine Quadrant bei der Rotation um die Rotationsachse

~., = 0, # = 1 , 2 . . . . , n - - 1

auf K ('' * 1> das aus allen den Punkten bestehende Gebilde, fiir welche

4 = 41

ist, wobei 2 definiert ist clurch die Gleichungen

$n = t c o s X , ~ n + l = t s i n X , t ~ 0 .

Dem anderen Quadranten entspricht bei clef Rotation clasjenige Gebilde auf K ('' + 1> d~s aus allen Punkten besteht, fiir welche

4 = 42

ist. Sollen also die beiden Oebiete, in welche die ObefflEche K (~ + 1~ dutch die Zusammensetzung dieser beiden Gebilde zerlegt wird, gleichen Inhalt haben, so mul~

42 -- 41 =

sein. Dann besteht M(3> aus einem halben grSBten Kreise von K (~>, der

durch den Nordpol in zwei Quadranten geteilt wird. Bei der Rotation der Meridiankurve Mh.ca >um die Rotationsachse

~ g = 0 , /~ = 1 ,2 . . . . . n - - 1

wird dann auf K (~ + 1) das Schnittgebilde yon K ~" + 1) mit der n-dimensionalen Ebene

sin 4i ~:~ -- cos ),1 ~ + 1 -= 0

erzeugt, d. h. also die Obeffl/iche einer n-dimensionalen Euklidischen Einheits- kugel. Diese Kugel kann, wie bei der Herleitung tier Formel (83) erSrtert, auch aufgefaBt werden als Oberfl~che einer im n-dimensionalen, auf K r + 1)

794 E. Schmidt, Die isoperimetrischen Ungleichungen im sphiirischen l~aum.

ausgebreitetem sphiirischem Raum gelegenen n-dimensionalen Kugel mit dem

sphiirischen Radius -~, deren Mittelpunkt die Koordinaten

~ = sin).1, ~ n § ~-- - - COS) . I , ~u = 0 , /g = 1 , 2 , . . . , n -- 1

oder natiirlich auch

~. -~ - - s i n 2 i , ~ . + 1 ---~ COS 2 1 , ~,, ---~ 0 # = 1 , 2 . . . . . n - - 1

besitzt. Damit ist jetzt auch der Fall

j _-- (n -f- 1)E, 2 +1

erledigt mit dem Ergelmis, daft /iir diesen Fall

L >= nE~

sein muff, wobei das Gleichheitszeichen dann u~tt nut dann gilt, wenn die Ober- /ltiche des Rotationsk6rpers dutch den Schnitt einer n-dimensionalen dutch den Mittelpunkt van K (" + 1) gehenden Ebene mit dem au/ K (" + 1) ausgeb~,6~o, itr$ sphdrischen Raum ge~eben wird.

(Eingegangen am 19. April 1940.)

Documents

Die isoperimetrischen Ungleichungen auf der gewöhnlichen Kugel und für Rotationskörper imn-dimensionalen sphärischen Raum