Die Kugelgeometrie nach den Principien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre

Die Kugelgeometrie nach den Principien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre.

Von E. l~Iiiller in Wien.

Mit dem Namen ~Kugelgeometrie ~ bezeiehne ieh jenen Theil der geometrisehen Untersuehungen~ worin die Kugel als Raum- element~ Ebenen und Punkte nur als Specialf~tlle derselben betraehtet werden. Da diese Untersuchungen unabh~tngig yon der Dimen- sionenz~hl des betraehteten Raumes silid~ so kann der Name Kugel- geometric aueh auf die ,Kreisgeometrie der Ebene ~' und die ,Geo- metrie der Punktepaare einer Geraden ~* ausgedehnt werden~ naeh- dem die der Kugel im zwei-und eindimensionalen Raume ent- sprechendeli Gebilde der Kreis~ beziehungsweise das Punktepaar sind. Ferlier silid zur Kugelgeometrie auch die ,Kreisgeometrie

hilizuzureehnen~ da in dieseli FMlen nur tier zuGrunde gelegte Raum statt eines versehwindenden ein constantes positives Krfim- mungslnal3 besitzt.

Die Kugeln des Raumes bilden naeh Grassmalm's Benennung ein Goblet 5 t~ Stufe; die Gebiete zweiter~ dritter und vierter Stufe sind identiseh mit den bekannten Gebilden: Kugelbfischel~ Kugelbtindel und Kugelgebfiseh ~). Die Lagenbeziehungen zwisehen denselben ergeben sieh unmittelbar aus den allgemeinen S/~tzen~ die Grassmalin ftir lineare Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension auigestellt hat. Fruehtbar erweist sieh insbesondere die Anwen- dung des inneren Productes~ indem das innere Product zweier Kiigeln in inniger Beziehung zu deren ~gemeinsamer Potenz" steht~ welehe GrSfie sehon lalige eine wiehtige Rolle bei allen metrischen Beziehungen zwisehen Kugeln spielt. Mit Leiehtigkeit ergeben sieh aus den allgemeinen Si~tzen fiber innere Producte der grS~te Theil der yon Darboux2)~ ]~obenins s) u. a. gefundenen metrisehen Satze der Kugelgeometrie und gleichzeitig auch die der Kreis- geometrie (in der Ebene und auf der Kugel) sowie der Geometrie

1) Vergl. Reye: .Synthet. Geometrie d. Kugeln u. linearen Kugelsysteme". ~) Darboux: .Sur les relations entre los groupes de~ points de cercles et de

spheres" Annales de l'gcole norm~le sup. 2 e Sgrie~ Tome I Ann6e 1872. 3) Frobenius: .Anwendungon d. Deform. auf (1. Geometrie'~ Borchardt's J.~

Bd. 79~ 1875.

3G6 E. Mifller. - - Die Kugelgeometrie

der Punktepaare einer Geraden. Die letzteren insbesondere sind dadureh interessan% dass sie Satze fiber quadratisehe Punktinvo- lutionen ausspreehen~ welehe Chasles in seiner ~Gb, ometrie sup6- rieure '~ abgeleitet hat.

Bei diesen Untersueh.ungen wird man zu tier Ansehauung geleite% im Raume nur emen einzigen unendlieh fernen Punkt, oder genauer gesagt~ eine einzige im Unendliehen liegende Kugel vom Radius Null anzunehmen. Diese Kugel spielt bier eine ahn- liehe Rolle wie die nnendlieh ferne Ebene in der projeetiven Geo- mettle des Ptmktraumes.

Der Auisatz maeht nieht den Ansprueh~ neue Satze der Geo- metrie gefunden zu hubert; er soll vMmehr zeigen~ wie dureh die bier entwiekelten Ansehauungsweisen Satze als identiseh zu betraehten sind, zwisehen denen gewShnlieh kein Zusammenhang vermuthet wird.

Beispiele daffir finden sieh im Capitel IX~ worin einige der yon Grassmann aufgestellten allgemeinen Satze in den versehiedenen Gebieten gedeutet werden. Zu neuen Sgtzen kann man gelangen, indem man irgend einen geometrisehen Satz in die Spraehe der Ansdehnungslehre ttbersetzt nnd diesen so erhaltenen allgemeinen Satz in den versehiedenen Gebieten deutet. Nr. 56 mug daNr Ms Beispiel dienen.

Am Schlusse habe ieh die yon @rassmann (A s 1)Nr. 405) zuerst angegebene Abbildung der Kreise tier Ebene auf die Punkte des Raumes behandelt~ indem dieselbe einerseits zum besseren Verstandnis der angewendeten Vorstellungsweise bedeutend bei- tra.gt~ anderseits lehrt~ wie man aus jedem Satze der Raumgeo- metric insbesondere tiber Flgehen 2.0. einen Satz i~ber Kreise in der Ebene und umgekehrt ableiten kann.

Die Idee zu dem anf den naehfolgenden Blattern enthaltenen findet sieh in Grassmann's As~ Nr. 39zi--409 sowie Nr. 34A--345~ freilieh wie so viele andere seiner eigenartigen und grundlegenden Ideen blog naekt hingestellt~ ohne Anwendungen, was wohl der ttauptgrund der verh~tltnismagig geringen Verwertung is% welehe seine Ideen noeh immer finden2). Trotzdem glaube ieh an die Erffillung der prophetisehen Wort% die er in der Vorrede zur Aus- gabe yon 1862~ p. IX niedersehrieb: , Ieh weig~ dass wenn auel~ dies Werk noeh neue 17 Jahre oder langer hinaus liegen bleiben sollt% ohne in die lebendige Entwieklung der Wissensehaft einzu-

1) 3llt As soll stets die Bearbeitung" der Ausdehnungslehr e yon 1862, mil A1 die yam Jah~e 184% citiert werden.

5) In elnem Aufsatze des Iterna R. Mehmke: ,,Geometrie der Kreise in de* E b e n e " Zeltschrift ffir Mathematik und Physik, 24. Jahrgangq879~ findet sic[ die Bemerkung: , ,Was die Beweise tier aufgestellten S~tze anbetriff% so sind die. selben, wie mir sehelnt , am elnfaehsten mit Hilfe der in Grassmann's Ausdehnungs. lehre enthaltenen Methode zu leisten". Die daselbst abgeleiteten S:4tze ergeben sic~c aus dem Naehfolgenden auf das leichteste.

nach den Prlnclpien der Grassmann ' schen Ausdehnungslehre. 367

greHen, dennoeh eine Zeit kommen wird~ w o e s aus dem Staube der Vergessenheit hervorgezogen werden wird~ und wo die darin niedergelegten Ideen ihre Frucht tragen werden. Ieh weil3~ dass dennoeh einst diese Ideen~ wenn aueh in veri~nderter Forn b neu erstehen nnd mit der Zeitentwieklung in lebendige Weehsehvirkung treten werden". Zur Belebnng dieser Ideen naeh Kr~tften beizu- tragen ist der Zweck dieses Aufsatzes.

I. Zahlbeziehungen zwischen Kugeln. Obwohl die Hauptsatze fiber die Zahlbeziehungen zwisehen

Kugeln yon Grassmann in A s sehon dargelegt worden sind~ time ieh reich dennoeh bemfil~igt~ sie hier noehmals in deljenigen Form und Vollsti~ndigkeit auseinanderzusetzen~ wie as ffir das Verstgndnis des Nachfolgenden erforderlich ist.

Hiezu will ieh~ mn Wiederholungen zu vermeiden~ gleich hier festsetzen~ dass unter einem Punkte x nieht nur der Punkt~ sondern aueh die Streeke verstanden sein soll~ welehe yon einem beliebig gew~hlten Anfangspunkte u naeh x bin gelegt gedaeht wird. Diese Festsetzung enth~tlt keine Nehrdeutio~keit. da iedem

J ,y

Punkte nut eine yon u ausgehende Streeke and jeder solehen Streeke nut e in Punkt~ ihr Endpunkt entsprieht. Sind demnaeh x und y zwei beliebige Punkte: so wird Ix I Y] das innere Streeken- product [uxiuy] vorstellen.

Nr. 1. Sei o der Mittelpunkt und r der Radius einer Kugel 1:~ so gilt itir jeden Punkt x derselben die Gleiehung

o 9 ;

denn diese Gleiehung sagt aus~ dass x yon o die eonstante Ent- femung r hat~ also auf einer Kugel yore Centrum o und Radius r liegt, r kann man sieh entweder als Zahl oder, was Nr manehe Betraehtungen vortheilhafter ist~ als Streeke yon beliebiger Rich- tung abet tier L~inge r vorstellen.

Die Function = ( x - - o ) -~ - -

wollen wit eine e i n f a e h e Kuge lg rS l~e~ hingegen

= - -

wo ~. eine beliebige reelle oder eomplexe Zahl bezeiehnet, eine r Kugelgr01~e nennen. Da jede Kugel eine Kugelgr0f~e trod jede Kugelgr01~e eine Kugel eindeutig bestimmt~ so werden wit mit /s sowohl eine einfaehe Kugelgr01~e~ als aueh die durch sic daNestellte Kugel bezeiehnen und a/s entweder eine a-taehe

1) Das innere Quadrat einer Strecke a soll abwelchend yon Grassmann mit a ~ bezeichnet werden, da in dem ganzen Aufsatze keine Zweideutigkeit ent- s tehen kann.

368 E. Miiller. -- Die Kugelgeometrie

KugelgrSl]e oder eine Kugel mit dem Gewichte a oder eine a-faehe Kugel nennen.

Ist r---=0~ so soll k eine P u n k t k u g e l oder N u l l k u g e l genannt werden und stellt den Punkt o dar. Die KngelgrSl~e k ist~ wie man sieht, die Potenz der Kugel ]c im Punkte x oder~ wenn k eine Punktkugel bezeichnet~ das Quadrat der Entfernung des Punktes x yon o. Die Grsl3e k ist yon der Lage des Punktes u unabh~tngig~ da in ihr nur die Differenz x--o~ d. h. die Strecke o x auftritt. Die Potenz der Kugel k im Punkte u ist o~--r ~.

A n m e r k u n g . Da k = ( x - 0) 2 - r 2 = {[(x- o)-r)][[(x- o)+r)]} ist~ so folgt~ wenn man r als eine bestimmte Radialstrecke betrachtet~ well o -~- r = a und o - - r --- b zwei Gegenpunkte sind, / r [(x -- a) l ( x - - b)]. InWorten heil3t dies: ~Die Potenz der Kugel/~ im Punkte x ist gleieh dem inneren Producte der Streeken~ welche aus zwei Gegenpnnkten der Kngel nach x gelegt werden. Far alle Punkte yon ]c selbst ist mithin [(x--a) [ (x - - b)] =0~ d. h. die Strecken a x und b x sind zu einander normal. Schneidet a x die Kugel eta zweites Mal in al~ so ist wegen <)~ cta, b-~-90~ ]~=[ax [ b x ] = --~ [a x I alx]~ der bekannte Satz fiber die Potenz einer Kugel.

Bezeiehnet a eine Strecke und r eine Zahl, so Iiegen alle Punkte x~ welche die Gleichung

(1) Ix I = o

erifillen~ in einer zu a normalen Ebene. Denn set x 1 ein Punkt~ der obige Gleiehnng erffillt~ n~mlich

I

so erh~lt man durch Subtraction dieser Gleichung yon obiger die neue Gleichung

- - 1 = o ,

welche aussagt~ dass die Strecke x x 1 zu a normal ist~ dass daher alle Punkt% welche obige Gleiehnng erftillen~ in einer zu a normalen Ebene liegen. Die Projeetionen der yore Anfangspunkte u naeh den Punkten dieser Ebene iiihrenden Strecken a u f a haben eine eonstante Lgnge 8~ welehe gleich dem Abstande des Punktes u yon der Ebene ist; und Gleichung (1) sagt ans~ dass a 8 ~ r ist~ welm man mit a die Lunge der Strecke a bezeichnet, a sell die A eh s e d e r E b e n e ~ und das Product des Abstandes eines Punktes x yon der Ebene in die LUnge der Achse die P o t e n z d e r E b e n e im P n n k t e x heil]en. Dabei soll der Abstand des Punktes x yon der Ebene aus gemessen und positiv oder negativ genommen werden~ je nachdem diese I~iehtung mit der yon a fibereinstimmt oder nicht.

Die Function I

nach den Princlpien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. 369

nennen wir ehle einfaehe E b e n e n g r 513 e. Sie gibt den Weft der Potenz der Ebene e i m Punkte x an. Denn es ist~ wenn mit ~ die Projection der Streeke ux au fa bezeiehnet wird, wegen Ix [ a] ~-- ~ a und r - - ~

d. h. gleieh dem Abstande des Punktes x yon der Ebene e multiplieiert mit tier L~tnge der Achse.

Die Ebenengr013e ersehein~ als speeieller Fall der Kugelgr513e; denn wit haben oben gesehen, dass die Gleiehung jeder Kugel in der Form

[(x - - ~,) 1 (z - - b)] = o

gesehrieben werden kann~ worin a und b Gegenpunkte der Kagel sind; wird a ein unendlieh ferner Punkt; so ist die Verbindungslinie yon x mit diesem Punkte gegeben dureh eine Streeke a~ und die der obigen analoge Gleichung

[(~--b);~]___[~ i.]--[bl~]=[~ I~]--,', stellt eine Ebene dar.

Nr. 2. ,iDer geometrisehe Ort aller Punkt% in denen zwei nicht eoneentrisehe Kugeln /6~ ks dieselbe Potenz haben~ ist eine zur Centrale der Kugeln normale Ebene." Denn sind

2 2 ~1 = (x - - 01) - - q

- - - - 02) - - ~'2

die entsprechenden KugelgrSl~en~ so massen alle Punkte gleieher Potenz die Gleiehang

oder (,~ 2 2 2 2

-- 01) --(X-- 02) =rl--~" ~

erf~illen. Zerlegen wir die Differenz der Quadrate in das Product ~us Summe ~md Differenz der Basen und dividieren durch 2~ so ergibt sich die Gleichung

2

2

welche nach Nr. 1 eine Ebene darstell*~ deren Achse oi o sis*, die P o t e n z e b e n e yon kx nnd k~. Die Gleichung gibt auch die Lage der Potenzebene unmittelb~r an~ indem sie auss~gt, dass die Ent- fernung des Sehnittpunktes der Potenzebene mit der Centrale yore

l~fonatsh. ~. l ~ h e m a f ~ k u. Phys ik . I I I , J a h r g . 24:

3 7 0 ]g. Mf~ller. - - Die Kuge lgeomet r l e

2 2

ttalbierangspunkte der Strecke o~ % gleieh r~- -% .... ~ ist. Daraus folgt~ 2 01 0 2

dass die Potenzebene zweier Kugeln von gleiehem Radius dm'eh den Halbierungspunkt der Streeke o 1 o~ geht~ und dass die Potenz- ebene zweier eoncentriseher Kugeln die unendlieh ferne Ebene ist. Weiters geht daraus hervor~ dass der geometrisehe Oft aller Punkte,, in denen drei oder vier Kugeln dieselbe Potenz haben~ beziehnngs- weise eine Gerade oder ein Punkt ist~ die P o t e n z a e h s e yon drei oder das P o t e n z e e n t r u m yon vier Kugeln. Die Potenz- aehse und alas Potenzeentrum kSnnen aber aueh unendlieh fern sein.

Nr. 3. Sind al~ % . .. % reelle oder eomplexe Zahlen, so sagen wit von n Kugeln dann und nur dann~ class sie in einer Zs~hlbeziehung

1

stehen~ wenn zwisehen ihren KugelgriSlSen dieselbe Beziehung stattfindet~ und zwar ftir jeden beliebigen Punkt x. Nun hat man

J. 1 1

~z ~ qz

- - i o A - . .

1. 1 1

Dieser Ausdruek wird dana and nur dann fiir jeden Pnnkt x NulI~ wenn die drei Gleiehnngen

2

1 1 1

erfttllt sin& Da die erste Gleiehung eine Folge der zweiten ist (A~ w 95),

u M (o : - - r : ) die Potenz der Kugel /~ in dem Anfangspunkte uist , so kann man den Inhalt der drei Gleiehungen in dem Nr alles folgende Nndamentalen Satze ausspreehen: ~:n K n g e l n s t e h e n d a n n und nu r d a n n in e i n e r Z a h l b e z i e h u n g , w e n n s o w o h l i h r e M i t t e l p u n k t e a ls a u e h i h r e P o t e n z e n in e i n e m e i n z i g e n im E n d l i e h e n l i e g e n d e n P n n k t e in d e r s e l b e n Z a h l b e z i e h u n g s t e h e n ~'.

Nr. 4. t I e r r s e h t z w i s e h e n d e n 3 { i t t e l p u n k t e n v o n n K u g e l n ] ~ . . . ] c d i e Z a h l b e z i e h u n g

7Z ~i ~ = 0 1

1) U m die Schrelbweise zu ve re ln fachen wird das innere P r o d u c t zweler S t reeken x uncl y~ w e n n ke ine Zweldeut i~kei t zu bef i i rch tea ist, 5fter s tar t mi t Ix I Y] mi t x I Y bezeic tmet werden.

naeh den Principien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. 371

so h a t i a~ k~ e i n e e o n s t a n t e ~ yon d e m P u n k t e x un- 1

a b h g n g i g e GrSl3e c. Denn nach Gleiehung (2) ist dann

J. 1

also eine yon x nnabMngige Gr~ge.

Macht man ferner die Annahm% dass alle Kngeln in einem im Endliehen liegemen Punkte p dieselbe Potenz haben~ so wird fttr diesen Punkt

a l s o

k I ~ k~ ~--- . . . = k

1 1

~z ~z

.~ ~ - 0. Denselben Wert muss aber naeh obigem ~ % k i 1 1

f'dr alle Punkte des Raumes haben: d. h. es besteht zwisehen den n Kugeln die Zahlbeziehung ~ a i k i = 0. Nan hat mithin den Satz:

, g e r r s e h t z w i s c h e n d e n M i t t e l p n n k t e n y o n n K u g e l n k 1 . . . k e i n e Z a h l b e z i e h u n g ~ e n d b e s i t z e n a l l e K u g e l n in e i n e m im E n d l i c h e n l i e g e n d e n P u n k t e d i e s e l b e Potenz~ so s t e h e n sie in e i n e r Z a h l b e z i e h u n g " t

Nr. 5. , L i e g e n d i e M i t t e l p u n k t e v o n n K u g e l n k 1 . . . k in e i n e m P u n k t g e b i e t e (n- -2) ~r S t u f % so s t e h e n d ie n K u g e l n in e i n e r Z a h l b e z i e h u n g . "

Liegen n~tmlich n Punkte in einem Gebiete ( n - 2) t~ Stuf% so lassen sich zwei der Punkt% etwa % - - 1 und % ans den ttbrigen ( n - 2) Punkten numerisch ableibn~ oder es bestehen die G-leichungen

~ ~ + " " + %-~ %-~ + %-1 ~ = 0 ~1~ " ' + ~ - ~ ~

worin die ~ und ~i Zahlen sind. Naeh Nr. ~ gelten ~ber dann die Beziehungen

al kl @ - " d- %_~k~_2 @ %-1 k_~ = c 1 -eons t .

~1 kl @ @ ~176 k Jr- ~. k = % = const.

Multipliciert man die beiden @leichungen beztiglieh mit c~ u n d c i nnd subtrahier% so erhtilt man rechts null~ links hingegen eine Viel- fachensumme yon k l . . . k~ womit obige Behanptung bewiesen ist.

24*

372 E. Mttller. - - Die Kuge lgeome t r i e

Nr. 6. H e r r s e h t z w i s c h e n ~ K u g e l n l c . . . ~ e i n e Z a h t - b e z i e h u n g ~ so hat in a l l e n P n n k t e n ~ in d e n e n n - - 1 de r K n g e l n d i e s e l b e P o t e n z haben~ a u e h a l i en te K u g e l d i e s e Po tenz .

%

Denn sei ~,~. a i h i = 0 die gegebene Zahlbeziehnng~ so ist ftir 1

~lie Punkte x~ in denen /c 1 ~ / ~ . . . . ~ / s 1 ist~

1

und wegen ~ % : 0 1

%/s~ --~ - - % ]c I -4- % / c ;

die reehte Seite kann aber nur Null sein~ wenn aueh ]q ~ / ~ ist. In allen Punkten daher, in denen };~ =/~s . . . . -~-/c ~ ist~ ist aueh ]c 1 = / %

Nr. 7. Ans den Nummern 4~ 5 und 6 ergeben sieh als Special- fglle einige wiehtige Folgemngen.

a) Stehen zwei Kugeln ]gl and /s2 in einer Zahlbeziehung~ so m~tssen sie naeh Nr. 6 in allen Punkten des Raumes diesel be Potenz haben~ mithin identiseh sein. Und nmgekehrt~ sind sie identiseh~ so stehen sis in der Zahlbeziehnng k ~ - k~ = 0.

Daher: , Z w e i K u g e l n s t e h e n d a n n u n d nur d a n n in e i n e r Z a h l b e z i e h u n g ~ w e n n s i s i d e n t i s e h s ind ."

b) Stehen drei Kngeln /q~ ~2~/~s in einer Zahlbeziehung~ so muss naeh Nr. 6 in allen Punkten~ in denen zwei der Kugeln dieselbe Potenz haben~ aueh die dritte diese Potenz haben; sind daher keine zwei der Kugeln eoneentriseh~ so mttssen alle drei in den Punkten einer Ebene dieselbe Potenz haben. Sind zwei tier Kugeln eoneentriseh~ so erkennt man leieht; dass alle eoneentriseh sin& Stehen also drei Kugeln in einer Zahlbeziehung~ so haben sie entweder eine gemeinsame Potenzebene oder sie sind eoneentriseh.

Und umgekehrt: Besitzen drei Kngeln/c~/~/c s in den Punkten einer Ebene dieselbe Potenz, so m~tssen sie in einer ~ahlbeziehung stehen. Denn da die gemeinsehaftliehe Potenzebene sowohl zu o, o~ als o~ % normal ist~ so liegen die Punkte o1~ %, o s in einer Geraden oder~ was dasselbe ist~ es besteht zwisehen ihnen eine Zahlbeziehung; naeh Nr. d~ besteht aber dann zwisehen den Kngeln dieselbe Zahl- beziehung. Sind die drei .Kugeln eoneentriseh, so stehen sie naeh Nr. 5 ebenfalls in einer Zahlbeziehnng.

Daher : , D r e i K u g e l n s t e h e n d a n n u n d n u t d a n n in e i n e r Z a h l b e z i e h u n g ~ w e n n s ie e n t w e d e r in den

nach den Principien der Grassmgnn'schen Ausdehnungslehre. 373

P a n k t e n e i n e r E b e n e d i e s e l b e P o t e n z h a b e n o d e r c o n e e n t r i s e h s in&"

c) Stehen 4 Kugeln/s 1 . . . / c in einer Zahlbeziehung~ so muss naeh Nr. 6 in allen Punkten~ in denen drei der Kugeln dieselbe Potenz haben~ such die vierte diese Potenz haben; liegen daher nicht die l~Iittelpunkte yon drei der Kl~geln anf einer Geraden~ so m~issen s, lle vier dieselbe Potenzaehse haben. Lieg'en hingegen die ~iittelpunkte yon drei der Kugeln auf einer Geraden~ so muss auch dee Mittelpunkt der vierten Kugel (naeh Nr. 3) auf dieser Geraden liegen. Stehen also vier Kugeln in einer Zahlbeziehung, so haben sie entweder eine gemeiasame Potenzaehse~ oder ihre Mittelpunkte liegen ~uf einer Geraden.

Und umgekehrt: Besitzea vier Kugeln/6 �9 �9 �9 in den Punkten einer Geraden dieselbe Potenz~ so miissen sie in einer Zahlbeziehung stehen. Denn da die gemeinsehaitliehe Potenzaehse sowohl zm" Ebene % % o a als aueh o~ % 0 4 normal ist, so liegen die vier Mittelpunkte in einer Ebene oder, was dasselbe ist, es besteht zwisehen ihnen eine" Zs~hlbeziehung; naeh Nr. 4 besteht aber dann zwischea den Kxlgeln dieselbe Zs.hlbezieh~ng. Liegen ferner die ?~[ittelpunkte der vier Kugeln auf einer Geraden~ so stehea sie n~eh Nr. 5 ebenfalls in einer Zahlbeziehung.

Daher: , V i e r K n g e l n s t e h e n d a n n a n d n u r d a n n in e i n e r Z a h l b e z i e h u n g , w e n n s ie e n t w e d e r in d e n P u n k t e n e i n e G e r a d e n d i e s e l b e P o t e n z h a b e n ~ o d e r w e n n ih re D/lit t e l p u n k t e d e r s e l b e n G e r a d e n a n g e h S r e n " .

d) Ebenso ergibt sieh: , ,Fi inf K u g e l n s t e h e n d a n n ~dnd n u r d a n a in e i n e r Z a h l b e z i e h u n g ~ w e n n sie e n t - w e d e r in e i n e m P u n k t e d i e s e l b e P o t e a z haben~ o d e r w e n n i h r e M i t t e l p n n k t e d e r s e l b e n E b e n e a n g e h S r e n . "

e) Da die ~iittelpunkte yon seehs Kugeln einem Punkt-Gebiete vierter Stale angehSren~ so s t e h e n (naeh Nr. 5) s e e h s K u g e l n s t e t s in e i n e r Z a h l b e z i e h u n g .

Nr. 8. Jeder Ausdruek yon der l?orm i a~/si~ worin as Zahlen 1

and ]s~ KugelgrSl~en sind~ soll eine , K u g e l s a m m e " heigen: die

Zahlen a s die Gewiehte der Kugeln /s~ i ai = a das , G e w i e h t :~ 1

der Kugelsumme und ~ el ~ die , z u g e h S r i g e M i t t e l p u n k t e n - 1

s u m m e . ~

Ferner sollen zwei Kugelsummen dana and nur dann ~gleieh" genannt werden~ wenn sie es far jeden beliebigen Punkt x sind. Arts Gleiehung (2) geht dana hervor~ dass z w e i K a g e I s a m m e n d a n a t fnd n u t d a n n g l e i e h s i n d ~ w e n n d i e z a g e h s r i g e n l ~ I i t t e l p u n k t e n s u m m e n g l e i e h sind~ a n d w e a n d i e

374 E. Miiller. - - Die K u g e l g e o m e t r i e

b e i d e n K u g e l s u m m e n in e i n e m e i n z i g e n P u n k t e g l e i c h e n W e r t hubert .

Eine Folge der Gleiehheit der Nittelpunktensummen ist~ dass g l e i e h e K u g e l s u m m e n g l e i c h e s G e w i e h t hubert .

Je nachdem nun die zu einer Kugelsumme gehOrige Mittel- punktensumme einem im Endlichen ligenden vielfachen Punkte oder einem unendlich fernen Punkt% d. i. einer Strecke gleich ist~ oder endlich identisch verschwindet~ hat die Kugelsumme ver- schiedene geometrische Bedeutung.

ct) Ist die Mittelpunktensumme N., % o~ einem vielfachen Punkte i t 1

a o (~ a i =-a) gleich~ so stellt die Kugelsumme eine u-lathe Kugel 1

yore Centrum o dar. Denn da nach Gleiehung (2)

1 I 1 1

%

1

und eine a-fache KugelgrSl~e ]~ yore Centrum o and Radius ~~

X 2 1~ = ~. [(z - - o) ~ - r ] = ~. - - 2 ~ I ~ o § ~ (0 2 - / )

ist~ so wird naeh Obigem ~ ~.~/c i ~-- alc sein~ wenn 1

1

ist.

Itierauf bestimmt sich r ~ eindeutig; verlegt man den An- fangspunkt u naeh 0 7 so erh~lt man

O.

oder in Worten:

~ J e d e K u g e l s u m m e yore G e w i c h t e a~ d e r e n z u g e - h S r i g e M i t t e l p u n k t e n s u m m e e i n e m ~ - f a c h e n e n d l i c h f e r n e n P u n k t e o g l e i e h ist~ s t e l l t e i n e ~ - fache K u g e l vom C e n t r u m o dar~ d e r e n R a d i u s g l e i c h d e m d u t c h - - ~ d i v i d i e r t e n W e r t e d e r K u g e l s u m m e im P u n k t e o ist.

Die Kugelsumme stellt daher insbesondere eine Nullkugel dar~ wenn r ~ 0 d.h.

~, (s --,-~) = o i s t .

nach den Principlen der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. 375

b) Ist die ~{ittelpunktensumme ~ einsr Streeks ct gleieh~ r i 0 i 1

so stellt dis Kugelsumme eine zu a normals Ebens dar. Denn da n

~s o i einer Strecke her dann gleich ist~ wenn ~ ~ i = 0 ist~ so hat 1 1

man naeh Gleiehung (2)

1 1 1

oder in Worten: , J e d e K u g e l s u m m % de ren z u g e h S r i g s M i t t e l p u n k t e n -

s u m m e e ine r S t r e e k e a g l e i e h ist~ s t e l l t e ine E b e n e dar~ d e r e n A x e g l e i c h - - 2 a und d e r e n Po tenz in e inem P u n k t e g l e i e h dem W e r t e d e r K u g e l s u m m e in d iesem P u n k t e ist. ~

Insbesondere stellt ]~1 - - Ic2 die Potenzebene der beiden Kugeln .l: 1 und Its dar und ist die Summe mehrerer Ebenen immer w i e d e r s ine Ebene .

c) Ist ferner die Nittelpunktensumme identiseh Null~ dann hat die Kugelsumme naeh Nr. 4 einen eonstantem yon der Lage des Punktes x unabhangigen Zahlwert. Dieser Z~hlwert~ der als Dif- ferenz zweier einfaeher eoneentriseher Kugeln oder zweier parallelen Ebenen mit gleieher Axe betraehtet werden kann~ stellt naeh Nr. 2 dis unendlieh ferne Eben% also dig einzigs ganz im Unendliehen liegende Kugel dar.

Aus den Untersuehungen dieser Nummer folgt~ dass~ wenn Punkte und Ebenen als Speeialfalle yon Kugeln angesehen werden~ man den allgemeinen Satz ausspreehen kann:

, J e d e K u g e l s u m m e ist w i e d e r e i n s r K u g e l g le ieh ."

II. Die Kugelgebiete.

Nr. 9. Von der durch i ~ k~ dargestellten Kugel a }: sagen wir~ 1

dass sie aus /c I . . . ]r numerisch abgeleitet wurd% und dass a~. . . % ihre Ableitungszahlen sin& Wenn w m n Kugeln keine aus den ttbrigen numeriseh ab]eitbar ist~ so nennen wir die n Kugeln yon einander unabh~ngig.

F e r n e r n e n n e n wi r n a e h G r a s s m a n n d i e G e s a m m t - h e i r a l l e r aus n y o n e i n a n d e r u n a b h ~ n g i g e n K u g e l n ab- l e i t b a r e n K u g e l n e i n K u g e l g e b i e t n tel 'Stufe. Naeh A s Nr. 24 kann dann jede Kugel eines Gebietes n ~er Stufe aus beliebigen n Kugeln desselben Gebietes~ die yon einander unabhangig sind~ abgeleitet werden.

Da die Kugelgebiete in der Kugelgeometrie dieseibe wiehtige Rolle spielen Wie die Punktgebiete (Punkt~ Punktreih% ebenes Punkt- system und rgumliehes Punktsystem) in der gewShnliehen Geometri%

376 E. Mttller. - - Die Kugelgeometrie

so sollen die wichtigsten Eigensehaffen der einzelnen hier kurz an- geftthrt werden.

a) Das @ebiet erster Stufe besteht naeh der Definition aus der Gesammtheit aller Kugeln~ die aus einer Kugel /c numeriseh abgeleitet sind. Geometriseh besteht dies also aus einer Kng'el~ der man alle mogliehen Gewiehte beilegt.

b) Ein Kugelgebiet zweiter Stufe besteht aus der Gesammt- heir aller aus zwei Kngeln/~1~/c2 ableitbaren Kugeln. F~ir jede Kugel /,': des Gebietes gilt daher die Zahlbeziehnng

woraus naeh Nr. 7~ b folgt~ dass alle Kugeln eines Gebietes zweiter Stufe eine gemeinsame Potenzebene besitzen. Da in Nr. 7~ b aber aueh bewiesen wurde~ dass zwisehen je drei Kugeln k,~/q:~s~ die eine gemeinsame Potenzebene besitzen~ eine Zahlbeziehung

stattfinde~ und daraus

folgt, so kann man aueh sagen, die Gesammtheit alier gngeln, die eine gemeinsame Potenzebene besitzen~ sind aus zwei derselben ableitbar oder bilden ein Kugelgebiet zweiter Stufe. Fasst man dies mit obigem zusammen~ so erh~tlt man den Satz:

7~Das K u g e l g e b i e t z w e i t e r S t u f e i s t i d e n t i s e h mi t tier G e s a m m t h e i t a l l e r K n g e l n , die e ine g e m e i n s a m e P o t e n z e b e n e b e s i t z e z b a l so i d e n t i s e h mi t dem K u g e l - bit sehel ."

In jedem Kugelbttsehel befindet sieh eine Ebene, welehe dutch /6--k~ dargestellt und identiseh mit der Potenzebene des Bttsehels ist.

Ferner befinden sieh in jedem Biisehel zwei Punktkugeln. Denn da der Radius r irgend einer Kugel ~./s = ~-i/q d- %/~s des Bttsehels naeh Nr. 8; a gegeben ist dureh die Gleiehung

=

so erh~tlt man fttr r = 0

O ~

verlegt man den Anfangspunkt u in den Sehnitt der Potenzebene g 9 2 2

mit der Centrale yon/q und/s~ so wird dafttr o~-- r[ ---~ o 2 - r 2 ~13~ also

~tO ~" = 1 )

oder uo ~ • 1/~;

nach den Principien der Grassmann'schen Ausdehnung'slehre, 377

d. h. es g i b t z w e i a u f d e r C e n t r a l e des B t i s e h e l s l i e g e n d e u n d yon d e r P o t e n z e b e n e g ' le iehwei t a b s t e h e n d e P n n k t % die: a ls P u n k t k u g e l n a l l f g e f a s s t deln B t i s c h e l ange - h 0 r e a .

Speeielle Formen eines Bfisehels sind: 1) Das Btisehel yon Kugeln~ welehe eine Ebene in demselben Punkte beriihren. Diese Ebene ist die Potenzebene des Btisehels~ im gemeinsamen Beriihrungs- punkte fallen die beiden Punktkugeln zusammen. 2) DaS Btisehel coneentriseher Kugeln. Naeh Nr. 5 n/~mlieh stehen drei eoneentrisehe Kugeln immer in einer Zahlbeziehung; alle mit einer Kugeleon- centrisehen bilden also ein Btisehel. Sind k I k~ zwei Kugeln dieses Btisehel% so stellt k 1 - - k~ die Pot, enzebene desselben~ d. i. (Nr. 1) die unendl, ferne Ebene dar. 3) Das Ebenenbttsehel. Wie aus tier Form der Ebenengr01~e (Nr. 1) hervorgeht~ ist jedes aus Ebenen abgeleitete Gebilde wieder eine Ebene. Das dareh zwei Ebenen bestimmte Ge- biet zweiter Stufe ist daher ein Ebenenbtisehel. (Parallelebenen- biisehel), e) Ein Kugelgebiet dritter Stufe besteht aus der Gesammt- heit aller aus drei~ nieht demselben Gebie~e zweiter Stufe angeh~rigen Kugeln k~k~/% ableitbaren Kugeln. Ganz 5hnlieh wie in b) beweist lnan~ dass das K u g e l g e b i e t d r i t t e r S t u f e i d e n t i s e h i s t m i t d e r G e s a m m t h e i t a l l e r Kugeln~ die e i n e g e m e i n - s a m e P o t e n z a e h s e besi tzen~ also i d e n t i s e h m i t dem Kugelbiiadel.

In dem Btindel sind unendlieh viele Bttsehel enthalten; die Potenzebenen derselben gehen dureh die Potenzaehse. Alle Ebenen des Btindels bilden mithin einen Ebenenbttsehel. Die Punktkugeln des Btindels liegen auf einem in der Centralebene liegenden Kreis. Denn da der Radius r einer Kugel des Btindel

3

1

naeh Nr. 8 a gegeben ist durch die Gleiehung

(2 -

2 0 =

so erhttlt man f i i r r - - - 0 3

2 -~ (0 i 2 ,

1

verlegt man den Anfangspunkt u in den Sehnitt der Potenzaehe mit der Centraleben% so wird

9 0 o 9 2 9 01 - - r~ = o ; - - ~'~ = o~ - - % -----1)

3 78 E. Mtfller. - - Die Kugelgeometrie

atso - - 2 ~ 0 ~ 9

oder u o = ~ ]@

d . h . , d i e P u n k t e , w e l s h e a l s P u n k t k u g e l n d e s B t t n d e l s a n g e s e h e n w e r d e n k~nnen~ l i e g e n au f e inem Kreise~ d e s s e n C e n t r u m der S e h n i t t des P o t e n z a s h s e mit des C e n t r a l e b e n e des B t inde l s ist." Specielle Formen sines Biindels sind: 1) Das Btindel yon Kngeln~ die sine Gerade in demselben Pnnkte berahren. Die Gerade ist die Potenzashs% in dem gemeinsamen Punkte fallen alle Punktkugela zusammen. 2) Das Bttndel yon Kngeln~ deren 3[ittelpunkte in einer Geraden liegen. Naeh Nr. 5 namlich stehen vier Kugeln, deren Nittetpunkte in einer C.xersden liegen~ immsr in sines Zahlbeziehung; alle solehe Kugeln bilden also ein Biindel. Da dis Potenzebenen aller in dem Btindel enth~ltenen Btischel zur Csntralen normal also ztl einander parallel sind, so liegt die Potenzashss unendlieh ferns. Dis Punkt- kugeln des Bttndels sind die Punkte der Centralsn. 3) Das Ebenen- btindel. Alle aus drei Ebenen abgeleiteten Ebenen ashen dureh einen Punkt. Derselbe kann aueh unendlieh ferns sein.

d) Ein Kngelgebiet vierter Stnfe bssteht aus der Gesammtheit aller aus vier nicht demselben Gebiete dritter Stufe angeh~rigen Kugeln /sl~ ks, ks~/~r ableitbaren Kugeln. Ahnlieh wie in b) beweist man~ dass das K u g e l g e b i e t v i e r t e r S t a l e i d e n t i s c h ist mit de r G e s a m m t h e i t a l l e r Kugeln~ die s i n g e m e i n - ss~mss P o t e n z c e n t r u m besitzen~ also i d e n t i s c h mit dem K u g e l g e b t t s c h e .

N e n n t man zwei K u g e l n o r t h o g o n a l zue inander~ wenn sine yon i hnen im C e n t r u m der a n d e r e n s ine P o t e n z hat~ w e l e h e d e m R a d i u s q t t a d r a t e der l e t z t e r e n g l e i e h ist~ so sieht man unlnittelbar~ dass all e K u g e l n s i n e s Gebi i sehes zn d e r s e l b e n K u g e l o r t h o g o n a l sind~ ngm- l ieh zu d e r j e n i g e n ~ die i h r e n 3 / i i t t e lpunkt im Po tenz - e e n t r u m des Gebi~sehes hat~ und de ren R a d i u s q u a d r a t g l e i e h dsm W e r t e d e r g e m e i n s a m e n P o t e n z i s t ~ w e l e h e die K u g e l n des @ebttsehes im P o t e n z e e n t r u m bes i t zen .

In dem Gebttsehe sind unendlieh viele Bandel and Bttschel enthaltsn. Die Potenzachsen dieser Bandel and die Potenzebenen dieser Bttsehel ashen dureh das Potenzeentrum. Alle Ebenen des Gebtisehes bilden demnaeh sin Ebenenbttndel.

Die Punktkugeln des Gebiisshes liegen anf der OrthogonM- kugel desselben. Beweis analog wie in c). Speeielle Formen sines Kugelgebtisehes sind:

1. Das Gebiissh yon Kngeln~ die dutch denselben Punkt gehen. Dieser Pankt ist das Potenzeentrnm des Gebtisehes. Die Punktkugeln fallen in ihm zusammen. 2. Das Gebt%eh yon Kugeln: deren Mittelpnnkte in derselben Ebene liegen. Naeh Nr. 5 namlie'c

nach den Principien der Grassmann'schea Ausdehnungslehre. 3 7 9

stehen fiinf Kugeln~ deren Mittelpunkte in derselben Ebene liegen~ immer in einer Zahlbeziehung; alle solche Kugeln bilden als0 ein Gebtiseh. Das Potenzeentrum desselben liegt unendlich ferne. 3. Alle Ebenen des Raumes. Alle Ebenen des Raumes sind aus vier derselben ableitbar~ bilden also ein Gebiet vierter Stufe oder ein Kugelgebtiseh.

e) D ie G e s a m m t h e i t a l l e r K u g e l n des R a u m e s b i l d e n e in K u g e l g e b i e t f t i n f t e r S tu fe . Denn naeh 7~e stehen je seehs Kugeln in einer Zahlbeziehung; a u s fit n f K u g e 1 n d a h e r , die n i e h t d e m s e l b e n G e b t t s e h e a n g e h S r e n ~ s ind a l l e t i b r i g e n K t l g e l n d e s l % a u m e s n u m e r i s e h a b l e i t b a r .

Nr. 10. L a g e n b e z i e h u n g e n z w i s e h e n d e n K u g e l g e - b i e t e n . Da alle Kugeln des Raumes ein Gebiet 5 *er Stufe oder~ was das gleiehe bezeiehnet~ eine lineare Mannigfaltigkeit yon 4 Dimensionen bilden, so ist Kugelgeometrie identiseh mit der Unter- suchung einer linearen Nannigfaltigkeit yon 4 Dimensionen. Wir werden das Kugelgebiet 5 ter Stufe kurz K u g e 1 r a u m nennen. Die ElementaNebilde desselben sind: Die Kugel~ alas Kugelbtisehel~ das Kugelbttndel and das Kugelgebttseh.

Die Lagenbeziehungen zwisehen diesen Gebilden ergeben sich aus dem allgemeinen Satze A s (Nr. 26).

~,Zwei Gebiete~ welehe beziehlieh yon a ~r und ~ r Stufe sind und in einem Gebiete ~,t~ Stufe liegen, haben~ wenn a - 4 - 8 ~ n ist~ mindestens ein Gebiet ( a @ } - ~,)~ Stufe gemein ~. GehSren die beiden Gebiete keinem Gebiete yon niederer als n ~el" Stufe an~ oder ist~ wie Grassmann sieh ausdrttekt, ihr v e r b i n d e n d e s G e- b i e t yon n ~ Stufe, so haben sie (A~ Nr. 25) ein Gebiet (a@~3--n) ~er Stale gemein. Wit" wollen sagen~ sie s e hn ei d e n sich in einem Gebiete (~ @ ~ --- n) t~ Stufe.

Daraus ergeben sieh fiir den Kugelraum~ d. h. Nr ~, = 5 die folgenden Speeialf~ille :

Es sehneiden sieh

ein Gebiiseh und ein Basehel in einer Kugel ~ Gebtisch ~ ~ Btindel in einem Btisehel s Gebttseh ~ ,, Geb~iseh in einem Biindel s Bttndel ~ ~ Btindel in einer Kugel.

Ein Biisehel und ein B~ndel sowie zwei Bttsehel haben im ailgemeinen keine Kugel gemein~ da die Summe ihrer Stufen- zahlen ~ 5 ist.

Ferner sehneiden sieh:

Zwei Btindel~ / die in demselben Geb~ische t einem Bttsehel ein Bt~sehel und ein Bttndel~ ~ liegen, d. h. ftir n = 4, in [ einer Kugel und zwei Btisehel~ die in demselben Btindel liegen (d. h. Nr n --= 3)7 in einer Kugel.

380 E. Mr'tiler. - - Die Kugelgeometrie

Sowie StaudLt a~ls den Lagenbeziehungen zwisehen Punkt. Gerade uncl Ebene die Geometrie des dreidimensionalen Raumes oder nines Gebietes vierter Stu~e abgeleitet hat~ liesse sieh aus den eben angegebenen Lagenbeziehungen zwischen den Elementar- gabilden des Kugelraumes aneh nine projective Geometrie desselben ableiten. In dieser wt~rden Pnnkt~ Ebenen und Kugeln sis gleieh- bereehtigte Gebilde auftreten~ also Punkte und Ebene~ 5hnlieh win in der projeetiven Geometrie des Pnnktraumes die unendlieh fernen Ptmkte keine besondere Rolle spielen.

Nr. 11. Aus tier oben Nr. 9~ d gegebenen Definition zweier orthogonaler Kngeln and den sehon bewiesenen S~tzen ergibt sieh hsehst einfaeh tier ffir das Folgende wiehtige Satz: , J e d e K u g e l k~ d i e zu ~ K ~ g e l n k~ . . . I : o r t h o g o n a l ist~ i s t a u e h o r t h o g o n a l zn j e d e r arts d e n n K l l g e l n n u m e r i s e h a b g e l e i t e t e n K a g e l . ~

Denn da k~ . . . t : zu ]~ orthogonal sind~ haben sin im Nittel- punkte yon lc die gleiehe Potenz rS; jade aus ] ~ . . . ],: abgeleitete einfaehe Kugel

~a]c~ @ . . . %]% (z~ + a 2 @ . . . @ % = 1)

hat dann im Mittelpunkte yon :c die Potenz

2 ~ 2 ff'l "2 @ ' ' " + 0~,z 2 = (6{1 + ' ' " @ ~n) ,.'2 = " ,

ist mithin ebenfalls orthogonal za /~. Alle zu einer Kugel k orthogonalen Kugeln haben im Centrum

van ~ dieselbe Potenz~ sind also naeh Nr. 77 d aus vieren yon ihnen ableitbar oder bilden ein Gebttseh. Alle zu c~ Kngeln ~'~ . . . ]~ orthogonaden Kugeln gehSren dann dam Sehnitte yon a Gebtisehen~ also einem Gabiete (5--=) ~ Stale an; nnd jede Kugel dieses

~catze zn Oebietes ist naeh obigam ~ / c , . . . I t orthogonal. Aber aaeh jede Kugel des dutch ]ca... ]~ bestimmten Gebietes ist naah demselben Satze zu alien Kugeln des Gebietes (5--a)t~ Stufe orthogonal. Wit werden zwei solehe Kngelgebiete~ yon welehen jecle Kugel des einen Gebietes zn allen Kngeln des anderen Gabietes orthogonal ist~ and deren Stnfenzahlen sieh za 5 erganzen , , e r g ~ n z e n d e G e b i e t e " nannen; jecIes yon ihnen ist dureh alas andere bestimmt.

Zu jeclem Gebiisehe gehSrt nine erg~tnzende Kugel~ seine Orthogonalkugel~ zu jedem Bt~ndel ein erg~tnzendes Bttsahel nnd umgekehrt. Da jedes Btisehel einen Kreis~ jedes Btindel ein Punktepaar nnd umgekehrt bestimmt~ so geh0rt zu jedem Krei~e ein bestimmtes Punktepaar and za jedem Punktepaar ein dutch dasselbe bestimmter Kreis. Nan kann daher die Kreise des Ranmes dureh Punktepaare reprssentiren~ wovon Chasles~ Nsbius nnc[ Darbonx Anwendung gemaeht haben.

nach den Principlen der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. 381

Sowie cs im Kugelraume, als einem Gebiete 5 t~ Stuie~ zu jedem Gcbicte at~r StufG ein erg~tnzendes Gebict (5--a) te~ Stufe gibt~ so wird in jedem Kugelgebiete n "~r Stufe (n ~ 2~ 37 4) yon jedcm Gebiete ~t~ Stufe sin erganzendes yon (n--~)~' Stufe bestimmt.

Nr. 12. Aus dem in der vorigen Nummer Gesagten ergibt sigh unmittelbar die }Isglichkeit~ eine Gruppe yon 5 Kugeln anzunehmen~ yon denen jede zu jeder anderen orthogonal ist. Denn sei/c 1 eine beliebige Kugel~ so bilden alle dazu orthogonalen ein Gebtisch; in diesem w~hle man eine Kugel/~s; alle diesem Gebttsche angehSrigen zu /~s orthogonMen Kugeln bilden ein Bandcl; in diesem wahle man die Kugel /sa; alle zu k s orthogonalen Kugeln dieses Biindels bilden ein Bttschel; withlt man hierin die Kugel /~ so gibt es nut mehr eine einzige Kugel /~s des Bttschels~ die zu /c~ orthogonal ist~ und /c~.../c s besitzen die verlangte EigensGhaft.

III. Aeul3ere Producte yon Kugeln.

Nr. 13. Nach A Z 2. Capitol oder A 2 Capitel 3 7 stellt das ~tugere Product yon n yon einander unabh~tngigen Grsl~en erster Stufe das durch sic bestimmte Gebiet und zngleich einen Zahlenwert dar; stehen die n Gr0f~en erster Stufe in einer Zahlbeziehung~ so ist ihr ~tul~eres Produc~ Null. Um jenen Zahlenwert zu ermitteln~ seien 16... ~ /c~...]r zwei Gruppen yon je n einfaGhen Kugeln~ die demsclben Gebiete ~ter Stufe angehSren; dann lassen sigh die Kugeln dcr einen Gruppe aus denen der anderen numerisGh ableiten~ etwa in der Form

Z-~; = % A~ - 5 . . . -5 ~ ~ (% -5 % - 5 . . . -4- % = 1)

und das i*ul~ere Product [ /~ . . . ]c'] ist gleiGh dem Producte [/c~.../~] multipliciert mit der Determinante aus den AblGitungseoeffiGicnten~ in Zeichen:

[~; . . - < ] = (~1 ~ . �9 �9 %n) [ ~ , . . . ~1.

Haben die beiden ~tul~eren Producte geltenden Wert~ d. h. stehen die einfachen FaGtoren eines jeden derselben in keiner Zahlbeziehung zueinander~ so ist ihr Yerh~tltnis gleich der Deter- minante (a11... %.).

Dieselbe Determinante kann aber noch auf andere Art erhalten werden. Da n~mlieh die Mittelpunkte der Kugeln nach Nr. 3 in derselben Zahlbeziehung wie diese stehen~ so ist

und daher

[o; o; . . . o;] = (%~ % . . . %,~) [o, % . . . o j .

3~2 E. MNler. -- Die KugelgeometHe

Gehsretl die beiden Punktegruppen keinem Gebiete yon niederer als n ter Stufe an (sic ksnnten einem Gebiete (n - - l ) teL' Stu~e angeh~ren~ trotzdem die Kugeln yon einander unabh~ngig sind)~ haben also die beiden 5ugeren Producte ebenfalls geltenden Wert~ so ist ihrVerhaltn~s ebenfalls gleieh der Determinante (~n %2" �9 : %~)" Man hat mithin folgenden Satz: ~Das V e r h ~ t l t n i s z w e i e r ~ ,ugeren P r o d u e t e yon j e n v o n e i n a n d e r u n a b h t t n g i g e n K u g e l n ~ d ie d e m s e l b e n K u g e l g e b i e t e n ~e~ S t u f e an- g e h S r e n ~ d e r e n N i t t e l p u n k t e a b e t k e i n e m P u n k t - g e b i e t e ( n - l ) t~ S t u f e a n g e h S r e n ~ i s t g l e i e h d e m V e r - h~ t l tn i s se d e r e n t s p r c c h e n d e n ~tuf~eren P r o d u e t e d e r M i t t e l p u n k t e " .

Daraus folgt als Speeialfall: , Z w e i a u g e r e P r o d u e t e yon je ~ y o n e i n a n d e r

u n a b h s n g i g e n Kuge ln~ d ie d e m s e l b e n K u g e l g e b i e t e ~t ter S t u f e a n g e h S r e n ~ d e r e n M i t t e l p u n k t e a b e r k e i n e m P u n k t g e b i e t e ( n - - l ) ~+~ S t u f e a n g e h ~ r e n ~ s ind d a n n u n d n u r d a n n g l e i e h ~ w e n n d i e e n t s p r e e h e n d e n ~ t u g e r e n P r o d u e t e d e r M i t t e l p u n k t e g l e i e h s ind ."

Fttr die ~tul~eren Produete yon Ebenen ist ttberall statt ,Mittel- ptmkt" ~Aehse der Ebene" zu setzen.

Da sich nur zwci ~tulSere Produete yon gleieher Stu~enzahl vergleiehen lassen~ die einem Gebiete derselben Stufe angehSren~ so kaml man diesen Satz aueh so ausspreehen : ~D a s g u [5 e r e P r o d u c t y o n n in k e i n e r Z a h l b e z i e h u n g s t e h e n d e n Knge ln~ s t e l l t das d u r e h s ic b e s t i m m t e K u g e l g e b i e t u n d e i n e n Z a h l w e r t dar , we leher~ w e n n d i e M i t t e l - p u n k t e k e i n e m P u n k t g e b i e t e ( n - - l ) t~r S t u f e a.nge- hSren~ g l e i e h d e m W e r t e d e s ~ t u l ~ c r e n P r o d u e t e s d iese r M i t t e l p u n k t e ist."

Als Specialfallo dieses allgemeinen Satzes erh~tlt man: a) Das ~tugere Product zweier nieht eoneentriseher Kugeln

stellt das durch sic bestimmte Bttschel und die Lunge der dureh die Mittelpunkte bestimmten Streeke dar.

b) Das 5ul~cre Product dreier Kugeln~ deren Centren nieht einer Geraden angeh~ren~ stellt das dutch sic bestimmte Bttndel und die Flgehe des dutch die Mittelpunkte bestimmten Dreieeks dar.

c) Das ~tugere Product yon vier Kugeln~ deren Centren nieht einer Ebcne angeh~Sren, stellt das dureh sic bestimmte Gebi~seh und das Volumen des dutch die Mittelpunkte bestimmten Tetraeders dar.

d) Das 5ul~ere Product yon drei Kugeln eines Btisehel% yon vier Kugeln eines Bttndel% yon Nnf Kugeln eines Gebiisehes oder yon 6 Kugeln ist Null~ da sic in einer Zahlbeziehung stehen [A~ Nr. 61]. Und umgekehr% wenn das gul~ere Product yon 3, 4, 5 Kugeln Null ist~ so liegeu sie bezttglieh in einem Bt%chel~ Bttndel~ Gebttseh~ da zwisehen ihnen eine Zahlbeziehung stattfinden muss [A~ Nr. 66].

nsch den Princip[en der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. o 8 o

e) Ein 5ul~eres Product yon 5 Kugeln steht mit 3.'edem anderen solehen Productc in einer Zahlbeziehung~ stellt daher emen bestimmten Zahlwert dar~ sobald wir tin solches als Einheit ange- nommen haben.

14. Den ~tul~cren Producten kSnnen wir noch eine andere anschaulichere Bedeutung beilegen. Da namlich jedes Kugelbtischel eindeutig den recllcn odor imag. Krois bestimmt~ in welchem sich alle Kugeln desselben schneiden~ und durch jeden Kreis ein Bttschcl von ihn enthaltenden Kugeln bestimmt wird; ferner dureh jedes Kugelbandel eindeutig ein reelles odor imagin/~res Punktepaal 5 das auf Mlen Kugeln liegt~ und umgekehrt bestimmt wird; endlich dureh jedes Kugelgebtisch dessen Orthogonalkt~gel~ and durch jede Kugel ein Gebttseh~ yon welehem sic Orthogonalkugel ist~ eindeutig bestimmt wird~ so kann man auch sagen:

a) Das aul3ere Product yon 2 Kugeln stellt ihrcn Schnitt- kreis dar~ versehen mit einem Zahlencoefficienten~ welchcr gleich der Lgngo der yon den Mittelpunkten der Factorenkugeln bestimmten Streeke ist.

b) Das ~ul~ere Product ,con 3 Kugeln stellt ~hr Sclmittpnnkte- paar dar~ versehen mit cintra Zahlencoefficienten, welcher gleich der Fl~tche des yon den Mittelpunkten dei Factorenkugeln be- stimmtcn Dreiecks ist.

c) Das auSere Product yon 4 Kugeln stellt ihre Orthogonal- kugel dar~ versehen mit einem Zahlcncoefticienten~ welcher gleich dem Volmnen des yon den Mittelpunkten der Faetorcnkugeln bestimmten Tetraeders ist.

d) Das ~tul~ere Product zweier Ebenen stcllt ihre Scba~itt- linie und den Flgcheninhalt des Parallelogrammes dar~ dessen Seiten die Achsen der Ebenen sin&

Das augere Product dreier Ebenen stcllt ihren Schnittpunkt dar 1) und den Rauminhalt des Parallelepipedes~ dcssen Kanten die Aehsen der Ebenen sin& Das ~ul~ere Product yon 4 Ebencn ist einem Zahlwertc gleich und bestimmt die unendlieh ferne Nullkugcl.

IV. ~ber das innere Product yon Kugeln.

Nr. 15. Ftir die innere Multiplication ist es wichtig~ eine zweite Form der KugolgrSl~e einzuftthren~ n~mlich die durch r i dividierte Grille /~i~ welche wir in der Folge immer mit z~ bezeiehnen und die ~Normalform von ]~i~ nennen wollen; cs ist mithin

h i

.... 1 i Eigentlich das Punktepaar bestehend aus diesem Ptmkte und der unendlich fernen Nullkugel.

3 8 ~ E. ~INler. - - Die Kugelgeometrie

Nehmen wir nun f~tnf zu einander orthogonale Kugeln: in der NormMform gegeben: als ursprtingliehe Einheiten an und setzen das 5ul~ere Product derselben

Ix 1 x~ z 3 z~ "xs] = 1

so sind die zur Definition des inneren Produetes nothwendigen Fest- setzungen getroffen~ und man kann alle S~tz% die Grassmann in A 2 Cap. 4 abgeleitet hat~ unmittelbar bier anwenden. Nut muss die Bedeutung welehe die dort allgemein fttr beliebige Mannig- faltigkeiten aufgestellten Begriff% wie ~normal~ numeriseher Wert~ Winkel~" in der Kngelgeometris besitzen, aufgesueht werden. Wit wollen uns zuerst mit dem Begriffe ~normal" besehSftigen und zeigen~ dass er in der Kugelgeometrie mit ~orthogonal" identiseh ist.

Wit weisen namlieh naeh~ dass je 5 z u e i n a n d e r or thogona le K u g e l n aus dan 5 als u r s p r t t n g l i e h e E i n h e i t e n a n g e n o m m e n e n ebenfa l l s z u e i n a n d e r o r t h o g o n a l e n K u g e l n du reh f o r t g e s e t z t e c i r c u l a t e A n d e r u n g a b g e l e i t e t w e r d e n k 5 nn en. Da die ursprtingliehen Einheiten fCtnf zueinander normale Grsgen sind (A~ 162) und dutch circulate Anderung" soleher wieder nur zueinander normale GrSl~en hervorgehen (A~ 155)7 so mtissen dann je 5 orthogonale Kugeln aueh 5 zueinander normale Grsgen sein.

Zum Beweise des ob..igen Satzes brauehen wit den Hilfssatz~ dass , d u t c h eireul~tre A n d e r u n g zwe ie r o r thogona le r Ku- ge ln immer w i e d e r zwei o r t hogona l e K u g e l n e r h a l t e n werden.

Seien x 1 und z~ zwei orthogonale Kugeln und xs eine daraus abgeleitet% so besteht die Gleiehung

< = ,.1 + r r

worin % dureh s t and % bestimmt ist. Um dan Wert yon % auf- zufinden~ multiplieiere man die naeh Nr. 3 zwisehen den Mittel- punkten der drei Kugeln bestehende Beziehung

--7 01 ~-- - - O~ + ~ 0 2 F1 ~1 ~'2

aul~erlieh mit einem (reellen oder imaginaren) Punkte m~ der beiden Kugeln zugleieh angehSrt~ und setze in der erhaltenen Gleiehnng start der @eradensttteke ~) die entspreehenden Streeken~ so gelangt man za der Streekengleiehung

~) Ich gebrauche den yon I tanke l vorgeschlagenen Ausdruck ,,Geradensttick" start des Grassmann'schen ,,LiniengrS~e r

nach den Principien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. 385

- ( o~ - - m ) = - ( o I - - ,~ ) + - (o~ - ~ ) .

rl ~1 /"2

Bildet man nun a,uf beiden Seiten das inhere Quadrat~ so ist

, ,2 % - - , , , ? ~ % - - , , ~ ) ~ r~ ( o ~ - - m ) 2-~-r 1 ~ ~ r , ~

und wegen der Orthogonalitgt yon x, und z~

[ ( o , - - m ) I (o~ - m ) ] = 0

zu setzen; man erhglt daher

~ 2 2 2

�9 r fttr den Fall als x 1 und x 2 aus x 1 und ~2 durch eirculgre _Ande- 2 rung hervorgehen, wird man wegen % @ % ~ 1 immer einfache

Kugeln erhalten~ es wird also

sein. Multipliciert man diese beiden Gleichungen ~tusserlieh mk- einande B so erh~It man

oder

Nun verhalten sieh aber nach ~r. 13a [~; ~;I u n d [/~1 ~2] z u einander , A , A

wie o I o~: o~ o2, diese aber wie r~ r~ sin oj mo2:r~ r~ sin o~m%; aus der letzten Gleichung geht hiemit

, A , A sin 01 m o 2 ~ s in o l m o 2

A , A , A oder, wegen s i n q m o ~ = l ~ sin q m o 2 = l d . h . o ~ m o ~ 9 0 o

, A hervor. Da aber o~mos nichts anderes ist~ als was man den

r Winkel der Kugeln x~ und x~ nennt~ so ist der behauptete Itilfs- satz bewiesen.

l~Ion~tsh, f. 2ffathematik u, Physik, III. J~hrg, 25

3~(J E. Mtiller. - - Die Kugelgeometrle

5'Jan kann den Satz allgemeiner so ausspreehen: ,~Dureh e i r e u l g r e ) [ n d e r u n g z w e i e r o r t h o g o n a l e r K u g e l n x g e h e n w i e d e r z w e i e i n f a e h e o r t h o g o n a l e K u g e l n d e r s e l b e n F o r m h e r v o r . "

Um den Itauptsatz zu beweisen 7 seien z~ . . . z5 die urspriing- �9 z' irgend 5 zu einander orthogonale Ku- lichen Einheiten, z I . . . .

geln. Naeh As7 160 l~tsst sieh das System der m'sprCtngliehen Ein- heiten circular so /tndern 7 dass eine derselben 7 etwa z 1 mit einer beliebigen GrOl~e orster Stufe, etwa mit z~ zusammenf~llt. Da hie- bei naeh dem eben bewiesenen Hilfssatze je zwei einfaehe orthogonale Kngeln wieder in solehe ttbergehen 7 so werden dutch jene circulate Anderung die ursprttngliehen Einheiten in 5 zueinander orthogonale Kugeln iibergegangen sein 7 also die tibrigen vier zu x~' orthogonal sein. Naeh Nr. 11 geh~ren diese 4 Kugeln dann dem

[ . . . . j Gebiete x~ x 3 x~ x 5 an und k0nnen daher wieder naeh A~. 160 t

circular so gegndert werden, dass eine derselben etwa mit x s zu- r s~mmenfallt, wobei die drei ttbrigen dann in das Gebiet [z; x 2 xs]

zu liegen kommen. Dureh zweimalige Anwendung derselben Sehltisse gelangt man endlieh zur Einsieht 7 dass wirklieh die ursprttngliehen Einheiten z l . . . x s dureh eireul/~re Anderungen in z~ . . . x~ t~ber- geitthrt werden ktinnen 7 dass also je 5 orthogonale einfaehe Kugeln 7 e i n v o l l s t g n d i g e s e i n f a e h e s N o r m a l s y s t e m b i l d e n .

Dt~ je zwei zueinander orthogonale Kugeln als Theile eines vollstgndigen Normalsystems angesehen werden k0nnen 7 so bilden sie zwei zueinander normale GrSf~en 1. Stufe: ferner mtissen umgekehrt 7 je zwei normale Gr01~en t. Stufe des Kugetsystems zwei orthogonale Kugeln sein. Da welters naeh A s 168 alle S~ttz% die flit' die ursprangliehen Einheiten bewiesen werden 7 aueh far die GrSgen eines vollstgndigen Normalsystems vom numerisehen Werte 1 gelten 7 so ist der numerisehe Wert eines 5ul~eren Produetes yon 27 3~ 47 5 zueinander orthogonalen Kugeln • und aueh der numerisehe Wert einer sotehen Kugel stets 1. Wegen ]:~ ~--~'s xlv also / ~ = ~ ' ~ x'~=~'2i i ist d a n n d e r n u m e r i s e h e W e r t e ine r K u g e l /c~ g l e i e h r~, a l so g l e i e h d e m R a d i u s . D e r nu - m e r i s e h e W e f t e i n e s P u n k t e s m i t h i n i s t N u l l .

Nr. 16. Ein anderer wiehtiger Begriff ist tier tier E r g ~t n z u ng. Sind x~. . .x5 die Kugeln eines einfaehen Normalsystems, also [x t . �9 �9 xs] ~--- 1, so ist die Erganzung eines Produetes A von ~ dieser Kugeln gleieh dem Produete B der ttbrigen ( 5 - z.) Kugeln 7 mit einem solehen Vorzeiehen versehen~ dass [A B] = "4- 1 ist. Um die Erganzung irgend einer anderen Gr~13e A yon z.-ter Stufe zu erhalten, nehme man ein vollstgndiges Normalsystem so an~ dass seiner Einheiten in alas Gebiet "con A zu liegen kommen; ist A'

nach den Principien der Grassmann'schen Ausdehmmffslehre. 387

ihr ~ul~eres Product und a der nmnerisehe Wert yon A: so hat man

A ~ a A ' daher

i A = a l A':

worin [A' das Product yon 5 - - ~ untereinander und zu allen Kugeln yon A orthogonalen Kugeln bezeiehnet; es gehi~rt mithin die Erg~nzung yon A dem eN~nzenden Gebiete yon A an (Nr. 11).

, D i e E r g ~ t n z u n g e i n c r Gr~13e A is t e ine dem er- g /~nzenden G e b i c t c y o n A a n g e h ~ r i g e Gr513% d e r e n n u m e r i s e h e r W e r t g l e i e h d e m y o n A ist. ~:

Zwei G r~i3en A und B: deren Gebiete sieh erg/inzen, nennt Grassmann a l l s e i t i g n o r m a l ; dagegen n o r m a l zwei Gr~l]en A und B~ sowie ihre Gebiet% deren inneres Product Null ist. ,Diese Definition stimmt im al!gemeinen mit der Definition: welehe Reye in seinem gehaltvollen Bttehlein :~Synthetische Geometric tier Kugeln nnd linearen Kugelsysteme" w 161 gibt~ ttberein.

Nr. 17. Nun handelt es sieh noeh darum~ zu untersuehen~ ob die gew~hnliche Bedentung des Winkels zweier Kugcln iiberein- stimmt mit der allgemeinen Definition des Winkels irgend zweier G r~gen gleieher Stufe~ welehe Grassmann gibt. Er versteht (As, 195) unter dem Winkcl < A B zweier Grtigen A nnd B gleieher Stufe: deren numerische Werte a und b sind: denjcnigen zwischen 0 und gelcgenen Winkel~ dessert Cosinus gleieh dem dutch die numerisehen Werte dividierten inneren Producte jener Grt~i3cn ist~ d. h. er sctzt

cos < A B - = [A t B] ab

�9 v

Nach dieser Definition wird als% wenn x~: x~ irg'end zwei Kugeln bezeichnen~ da deren nummerisehc Werte eins sind:

t v �9 �9

cos < , . 1 ~'~ = [x2 I ~ ] r v sein. Nehmen wir nun in dcmBiisehel [xz x2] zwei orthogonale Kugeln

v v z 1 und x 2 an~ so lassen sich daraus x~ und z 2 nmneriseh ableiten~ and zwar hat man~ wie in Nr. 15 gezeigt wurdev

I J 221 2 t / ( ~ § ~ ) ~ = %~. -q- ~ . ~

/ 7 - 7 - ~ , (%~ § ~)~.~ := % ~ -k %~ ~ .

Dutch innere Multiplication der beiden Gleiehungen ergibt sieh wegen 2 z~ ----- Y-.2 ----- 1 und [z~ [ x~] = 0

1/ ('Y') (0~1 + ~1~) (~2~ + r [X~ [ Y*2] : (0~11 0121-q--0~12 ~'22)" 25 +

388 E. Mailer. -- Die Kagelgeometrle

Zwisehen den Streeken aber~ welehe einen gemeinsamen Punkt m yon x 1 nnd • den Nittelpunkten der vier Kugeln verbinden~ finden dann die Beziehungen

I /TW 2 m - - o 1 m - - o 1 ((~11 @ ~*12 ) 7 - - ( ~ 1 1 - - ~" ~12" p - -

/'z ?'~

r

FT~ - 2 ~t~ - - 02 m - - 01

(~21 @ ~22 ) ~'2 - - agf r l

m - - 0 2

r 2

m - o 2

/'2

statt~ worin die dnreh die Radien dividierten Streeken alle die Liinge I haben. Bildet man daher das inhere Prodnct~ so ist

( m - - o , /2= ( m - - o~/~= r, / \ r~ /

und man erh~tlt

[ , n - o~ l - ~ - o~] = o, 1 [ - - - ~ I I r~ j

[ ' -~ '1 1/ m oo (<1 + <~)(o~t + ~ L rl ,-~

Aus dieser Gleichung uncl Gleichung (b geht dann

[ ;] x I X ~--- ~ ~n- 0g

L rl r2 J /N

hervor. Da nach A2~ 337 das inhere Product reehts - - cos o~mo.~ is% und wit gewOhnlieh als Winkel zweier Kngdn den zwischen 0 ~ und 180 ~ gdegenen Winkei annehmen, den die naeh einem gemeinsamen Punkte der Kngdn gehenden Radien einsehliel~en~ so ist

J \

[ i ] r r r r

/ 'k

aneh wenn x~ x2 dell Winkel der beiden Kugeln nach der gewShn- lichen Bedeutung bezeichnet.

D i e g e w O h n l i e h e D e f i n i t i o n des W i n k e l s z w e i e r K n g e l n s t i m m t d a h e r mi t d e r a l l g e m e i n e n D e f i n i t i o n t i be re in .

Der Winkel i wetehen zwei Kngeln x~ und -~ einsehliel~en~

wira imagini~r, sobald [x: !x:] numerisch grSgcr als eins ist. /%

Mr. lS. Driiekt man eos o~ ,no; dnreh r~,r; mad die Central-

distanz o[ o; ~ d~2 aus, so erhiflt man

naeh den Prineipien der Grassmann'sehen AUsdehnungslehre. 389

, Z N r 2 ~:) ~')

v v

v , v 9 COS0 l m 0 2 ~ 2 r i r~

welehe Gleichung atteh als Definition ftir den Winkel der beiden Kuge.ln in dem Falle dienen kann~ als dieselben keinen reellen Punkt gemem haben, tliemit ist fttr das inhere Product zweier Kugeln z~ und z9 der Ausdruek

2 2 2

oder fttr das inhere Product zweier Kugeln k~k 2 der Ausdruck

1 2 Ik l .l + ,'9

1 gefunden. [k z I k~] stellt also die mit -- ~ multiplieierte GrSl3e vor,

welehe Darboux (Annales de l '&ole n. s. 1872) gemeinsehaftliehe Potenz (puissance commune) genannt hat, oder jene Grtil~% die Frobenius (Borehardt's J. t. 79. 1875)mit r12 bezeiehnet hat. Dutch die vorhergehenden Betraehtungen ist nun diesem~ ftir die Kugel- geometric sehon lunge als wichtig erkannten Ausdrueke eine neue Bedeutung gegeben~ namlieh die des inneren Productes zweier Kugeln in der Form k. 1)

Daraus folgt unmittelbar~ ,class das innere Product einer Kugel und eines Punktes (Kugel yore Radius Null) gleieh der negativen halben Potenz der Kugel in diesem Punkt% das innere Product zweier Punkte (r~ = o~ r 9 ~ o) gleieh dem negativen halbert Quadrate der Enffernung dieser Punkt% 9) und das innere Product zweier eoneentriseher Kugeln (d~ = 0) gleieh der halben Summe der Stadienquadrate ist. ~

Das inhere Product einer Kugel und eines Punktes (Null- g o.

kugel) wird Null~ sobald dz2 = rl ist~ sobald also der Punkt auf tier Kugel liegt; und liegt umgekehrt der Punkt auf der Kngel~ so ist deren inneres Product Null. ]~{an kann daher den Satz ausspreehen: ,Eine Kugel und ein als Nullkugel aufgeNsster Punkt sind zueinander normal i sobald dieser auf jener liegt~" oder in

x) tIierzu muss ich anfiihren, dass mir nach Vollendung meiner Arbeit ein sehr lesenswerter Programm-Aufsatz des Groi3herz0glichen Gymnasiums in Baden (Sehuljahr 1876/77) yon 1VI. Badorff in die t t and kam~ worln berelts der ]Product- Charakter der gemelnsehaftlichen Potenz zweler Kugeln naehgewiesen und ver- wendet wlrd.

3) Den Produet-Charakter dieser Gr~fie sehelnt schon 3/Iiiblus erkannt zu haben; vergl. Gesammelte Werke Bd. IV. ,Ober geometrische Addition und Multiplication. ~

3 9 0 E. Miiller. - - Die Kt~gelgeometrie

anderer Form: ~Eine Kugel ist zu allen ihren (ais Nullkugeln auf= gefassten) Punkten normal."

Ist eine Kugel k aus zwei als Nullkugeln aufgefassten Punkteu �9 �9 r a and b abgeleitet~ so 1st jede dureh a und b gehende Kugel k zu

a und b~ also aueh zu k orthogonal (Nr. 11)~ hat mithin im Centrum o yon k die Potenz r~; diese Potenz ist aber (Nr. 1) gleich o a . o b, d. h. a und b sind invers beziiglieh k. , J e zwei als Nullkugeln auf- gefasste Punkt% welehe mit einer gegebenen Kugel k einem Btisehel angehSren~ sind inverse Punkte beztiglieh k (entspreehen einander naeh dem Principe der reeiproken Radien)."

Zwei eoneentrisehe Kugeln sind als normal zu betraehten~ 2 2 wenn r 1 = - - r 2 oder r , --~ i i r2 ist~ wenn also der Radius der

einen Kugel reell, der anderen gleieh grog imaginitr ist. Untersuehen wir noeh die Bedeutung des inneren Produetes

einer Ebene mit einer Kugel~ sowie zweier Ebenen. Jede Ebene e kann nach Nr. 8~ b in der Form k 1 - - k ~ dar-

gestellt gedaeht werden; ihre Achse ist dann 2olo ~. Sei also

e = k 1 - - / c ~

und k irgend eine Kugel~ so hat man~ wenn d 1 and d. 2 die Ab- st~nde der 5Iittelpunkte o~ und o~ yon o bezeiehnen~

[e k] = [(k~ - - / ~ ) i k] = [k~ I ~] - - [k~ I k]

1 2 r ~ 1 2 r ~ -~- - 2 (r~ -t- - - d: ) - - -2- (r.2 -1- - - d~ )

Der Ausdruek in der spitzen Klammer ist die Potenz yon ] ; ' 1 - k~ oder der Ebene e i m Centrum yon lc~ so dass man den Satz hat:

~Das innere Product einer Ebene and. einer Kugel ist gleieh der negativen halben Potenz der Ebene im Mittelpunkte der Kugel~

1 oder (naeh Nr. 1) gleieh dem mit - - )- multiplieierten Produete aus

der Ebenenaehse in den Abstand des Kugelmittelpunktes yon der Ebene. ~

Daraus tolgt unmittelbar~ dass~ wenn die dutch die negative halbe Aehse dividierte Ebenengrtige e mit ~ bezeiehnet wird~

/N

i = c o s ist.

r r Seien ferner e unde ' zwei Ebenen und setzt man e' - ~ - ] g i - - )g:2 ~

so ist

[e [e'] = [e [(k~ - - k;)] --~ [e []c;] - - L e i k~],

n a c h d e n P r l n c i p i e n d e r G r a s s m a n n ' s c h e n A u s d e h n u n g s l e h r e . 391

ode b wenn a and a ' die Achsen yon e und e'~ ferner d'~ und d 2' die

Absti~nde dcr Centren der Kugeln /c~ und k' '2 g 0 n e bezeichnen~

- - 2 dl @ 2 -d2 = 2 (d~ --ds o~ cosec' ~ - . 0 2 �9

t t a r A = ~ ~ cosee' (Vergl. Nr. 8, b).

,,Das inhere Product zweier Ebenen e~ e' ist mithin gleich dem Producte ihrer halben Achscn in den Cosiuus ihres Neigungswinkels".

I taben s und s' die obeu angefithrte Bedeutung: so ist

/ ' \

[S [ s = COS ~ ~';

daraus folgt, dass s~ = 1 ist~ e also den numerischen Wert eins

und~ wegen e ---~ - - ~- % e den numerischen Weft - - -~ besitzt.

Nr. 19. In Nr. 8, c fandcn wir~ dass einc Kugclsmnme sieh auf einen Zahlenwert u redueieren kann, der dann die uncndlich ferne Ebene des Raumes darstellt und als Differenz zwcicr concentrischer Kugeln betrachtet werden kann. Welchen Wert hat nun das inhere Product einer Kugel k mit u ?

Da u immer tier Diffcrenz zweier concentrischer Kugeln/~ nnd k 2 gleichgesetzt werden kann~

'2 2 �9 wenn u -~- r, - - r 1 lst~ bezeichnet wird,

u ---- k i --ks,

so hat man~ wenn die Strecke o io 2 mit d

1 2 1 ~ r 2 1 2 2 U

2 "

8agen wi B u stellt die u-lathe unendlich ferue Ebene dar~ so hat man den Satz: sDas innere Product der u-fachen unendlich

fernen Ebene mit einer beliebigen KugeI k ist - - - 2"

u Dabei ist zu beachten~ dass jetzt die Zahl - - ~ kein

geometrisches Object darstellt~ sondern blog eine Zahl ist~ da sic nicht durch Reduction einer Kugelsumme erhalten wurde.

392 E. Miiller. -- Die Kugelgeometrie

Ferner finder man

[~lu]--u s [~1 ~ ] s =

= r~ - k rs - - 2 . -~ (r~ -]- rs) = 0

d. h. dass der n u m e r i s e h e W e r t y o n u N u l l ist . Das durch ,t dargestellte Object kann daher aueh als Nullkugel~ d. h. als Punkt auigefasst werden~ und diese Vorstellungsweise wollen wit als die vortheilhaftere beibehalten. W i r wo l l en nns den Raum in der K . age lgeome t r i e d a h e r so vorstel len~ als ob nur ein ein- z lger u n e n d l i e h f e r n e r P a n k t (e inzige u n e n d l i e h f e r n e N u l l k u g e ] ) ex i s t i e r t e .

Das innere Product yon u mit irgend einer Ebene ist :Null. Denn da jude Ebene als Differenz k 1 - - k s zweier Kngeln da rge- stellt werden kann~ so hat man

2 q - y : 0 .

Die Ebenen des Raumes gehen also dutch den unendlieh fernen Punkt~ oder sic bilden jenes Kugelgebfisch~ dessen Orthogonalkugel die unendlieh ferne Nullkugel ist. Die Geraden des Raumes sind als Kreise zu betraehten~ welehe dureh den unendlich ~ernen Punkt gehen.

Parallele Ebenen (Gerade) sind Kngeln (Kreise)~ die sich in u bertihren.

In jedem Kagelbtisehel muss es eine Ebene geben~ n/~mlieh june Kugel: die durch u geht.

In jedem Kugelbiindel mt~ssen die Ebenen ein Bttsehel bilden~ da das Bt~ndel mit dem dureh u bestimmten Gebtische ein Bttsehel gemein hat (Nr. 10).

In jedem Kugelgebttseh mttssen die Ebenen ein Bttndel bilden, da das Gebttseh mit dem dureh u bestimmten Gebttseh ein Btindel gemein hat (Nr. 10).

Ferner 15sst sieh der allgemeine Satz beweisen: ~GehSren die Centren tier Kugeln eines Kugelgebietes n t~ Stufe einem Punkt- gebiete (n- - l ) t~ Stufe an~ so enth~lt das Kugelgebiet die unendlich fcrne Nullkugel."

Dean sind o a... o_~ o n der Centren~ so besteht zwisehen ihnen %

eine Zahlbeziehung ~ % o i : a~ o~ @ . . . @ % _ ~ o _ ~ @ % o : 0; 1

naeh Nr. d~ ~st aber dann ~z

N, % k i = e o n s t . w. z. b. w. 1

Folgerungen daraus sind: Ein Btisehel eoneentrischer Kugeln, ein Bttndel yon Kugeln~ deren Mittelpunkte in einer Geraden liegen~


ein Gebfiseh yon Kugeln~ deren Mittelpunkte in einer Ebcne liegen~ enthalten die unendlieh ferne Iqullkugel.

Umgekehrt: ,Enthalt ein Kugelgebit n *~: Stufe die unendlieh ferne Nullkugel~ so bilden die Centren seiner Kugeln ein Ptmkt- gebiet (n--1) t~ Stufe. Denn laut Voraussetzung mfisst% wenn k~. . . k irgend n voneinander unabhangige Kugeln des Gebietes bezeichnen~

%/q --~ . . . -~ % k ~ const.

sein; d~raus folgt abet nach Nr. 3

% o 1 + . . . + 1 % % = 0 w.~.b.w.

Folgerungen daraus sind: Jedes Btisehelv B~indel ocler Gebtisch yon Kugeln~ welches die unendlich s INullkugel enthglt, besteht aus Kugeln~ welchc beziehungsweise concentrisch sind~ ihre l~ittelpunkte in einer Geraden oder in einer Ebene haben. Aus dem hier angeftihrten ist zu ersehen~ dass die speciellen Formen der Kugel- gebiete nur yon ihrer Lag'e gegen die unendlieh ierne I%llkugel abhangen. Diese spielt in der Kugelgeometrie eine ghnliehe Rolle wie die unendlich ferne Ebene (~) in der projectiven Geometric.

Nr. 20. B e z i e h u n g z w i s e h e n s or - t h o g o n ~ l e n K u g e l n .

Bezeichnet man mit o 1 . . . o 5 die Mittelpanktc yon fiinfKugeln k l ~ . . . k 5 uncl mit v i (i ~ 1~. . . 5) das Volmnen jenes der 5 yon den Mittelpunkten bestimmten Tetmeders~ welches o i nicht als Eek- punkt besitzt~ so ist wegen

, , o, + v~ % + . . . + v, o~ = 0 *)

1) Multiplieiert man n~mlich die Zahlbeziehung

~1 ol q - ~2 o9 + ~3 o~ + ~4 o4 + ~ o~ = o ,

welehe zwlschen den Punkten o l . . . 0 6 stattfinden muss mit [o2 os o4], so erh'alt man die Gleichung

al [o~ o~ o~ o~] + a~ [o~ o9 o~ 04] = o,

und wegen [05 o= oa o41 = - - [02 oa 04 06],

__ [o2 o~ 04 od al [ol 02 o~ 04] a~.

Analog erhglt man durch Multiplication mit [oa 04 ol], Io4 ol o21, [ol 02 oal :

[o~ 04 o~ ol] [o~ o~ o~ od ~ [o~ ol 02 03] a2 [ol 02 oa 04] as, a3 [ol 02 02 - - ~5, a4 - - as. = -- 04], [o1'o2 o~ 04]

Setzt man dies in die angenommene Zahlbeziehung ein, so ergibt sich

[02 o~ 04 o~1 ol + [o~ o~ o~ ol] o~ + [04 o6 ol od o~ + [o~ ol 02 o~] 04 + [o~ 02 o~ 04] o6 = o

oder naeh A, {}. 115

*,~ ol + v~ o9 + *~ o~ + ~4 04 + ~ o~ = o.

39r E. Miiller. - - Die Kugelgeometrie

naeh Nr. 8 c

~, ~1 -d- ~ l~, - 4 - . . . + ~ ~,~ = ~,

wo ,~ eine Zahl bezeiehne% also geometriseh die unendlieh ferns Punktkugel darstellt.

Werden diese ftinf Kugeln als zueinander orthogonal voraus- gesetzt~ so ist das inhere Product yon je zwei dersdben Null~ nnd man erh~ilt daher aus der letzten Gleiehung dureh innere Multipli- cation mit ks

oder �9 2

d . h . 1r 1

i

Setzt man diese Wefts in die zwischen ,q stets stattfindende Gteiehung v, J r - % - ~ . . . ~ -v 5 ~ 0 ein~ so geh~ sis tiber in

oder ~ - - = 0 ;

in Worten: ~Die S u m m e der r e e i p r o k e n R a d i e n q u a d r a t e yon f t t n f z u e i n a n d e r o r t h o g o n a l e n K u g e l n ist N u l l ) ~ (Darboux a. a. O. Glehg. 15.)

Nr. 21. Die 3Iittelpunkte yon vier reellen~ gleieh grogen und zueinander orthogonalen Kugeln yore Radius p bilden die Eeken sines regelmgNgen Tetraeders yon der Kantenl~tnge p Y2 und yore

ps Volumen ~-~ wie sine einfache Reehnung zeigt. Mit p ~tndert sieh

aueh der Wert der gemeinsamen Potenz dieser Kugeln in ihrem Potenzeen~'um, und es kann p daher aueh so gew~hlt werden, dass diese Potenz einen gegebenen West hat; mithin kann man in jedem Gebtisehe vier gleieh grolSe und zueinander orthogonale Kugeln an- n e h m e i L

Seien jetzt k~. . .k 4 irgend ~t zu einander orthogonale Kugeln mit den Radien r~...rr ferner k~. . . k~ vies orthogonale und gleieh groi3e Kugeln vom Radius p~ die demselbeu Gebasehe angeh~ren~ so muss

i I i t I i p

[~ . . . ~ ] - - [,,~ . . . ~ ] q . . . ~-~ - - q . . . ,.~

n a c h d e n P r i n c l p i e n d e r G r a s s m a n n ' s c h e n A u s d e h n u n g s l e h r e . 395

sein~ da in einem Gebttsche das Product yon je vier zu einander r

orthogonalen Kugeln x der Einheit gleich ist. Bezeichnen v 5 and v s die Volumen der Tetraeder~ welche yon den Nittelpunkten der beiden Kugclgruppen k~ . . . ks k~. . . k~ gebildet werden~ so finder aach Nr. 13 auch die Gleichung

[k 1 . . . k~] - - %

statt~ woraus dureh Vergleichung mit der ~rtiheren

r

7" 1 . . . r , t V 5

, ps und wegen % - - 3

p 1 r I . . . r ~ 3 V 5

folgt. Die 0rthogonalkugel des Gebt~sches bildet mit k~ . . . k~ f~tnf zueinander orthogonale Kugeln; wendet man auf sie den in der vorhergehenden Nummer gefundenen Satz an~ so finder man

4 1 2 - - ~ oder ? = 2 J r 5

P r 5

und nach Substitution dieses Wertes yon ? in die letzte Gleichung:

oder auch:

6 V~ r 5 6 V 5 ~'~ - - i

r t �9 " " r 4 r l �9 �9 �9 ~5

2 (~'1 " " " ~'5) i

Man hat also den ftir alles folgende wichtigen Satz: , ,Far j e f t tn f z u e i n a n d c r o r t h o g o n a l e K n g e l n ha t das P r o d u c t a u s d e m V o l u m e n des yon v i e r de r K u g e l m i t t e l p u n k t e b e g r e n z t e n T e t r a e d e r s in das R a d i u s q u a d r a t de r f t t n f t en

~ / - - - i K u g e l e i n e n c o n s t a n t e n W e r t ~ de r g l e i c h dem mi t

m u l t i p l i c i e r t e n P r o d u c t e d e r f t in f K u g e l r a d i e n ist ." Nr. 22. Aus diesem Satze ergibt sich eine fttr alle metrischel~

Relationen zwischen Kugeln wichtige Beziehung. Sind k l . . . t~ irgend vier Kugeln~ /c~... ]cs vier zueinander orthogonale Kugeln

E. Miil ler . - - Die K u g e l g e o m e t r l e

desselben Gebttsehes, f e rne rv und v' dig Volumen der yon den Mittelpunkten der beiden Kugelgruppen bestimmten Tetraeder~ so ist:

r r V , , <I * " " r 4 [ ~ 1 . . . } ~ ] = ~ [ } ~ . . . ~ [ ] = ~ % - . . ~ ] ~ ,

und wenn mit k die Orthogonalkugel des @ebtisehes and mit r ihr Radius bezeiehnet wird: mit Bentttzung des eben bewiesenen Satzes:

daher

r r l �9 ' �9 ~4

- - 6i% ?)r

[ ~ . . . ~,] = 6 ~ i~ [ ~ . . . < ] = 6 ~ ~ ~ t - ~ = 6 ,~ ~ [

oder []% . . . ]~4] = 6 v ill ]~.

Daraus geht~ wenn man auf beiden Seiten die Ergi~nzungen nimmt, wegen I!]~ = ]~ (A2, Nr. 93) noeh dig Gleiehung

I []~1... h i = • 6 v i]~ hervor.

Nr. 23. Wit wit" sehon frtther gesehen haben~ finder zwisehen fttnf Kugeln stets die Beziehung

stat% wenn mit u die einfaehe unendlieh ferne Nullkugel~ d. h. die Zahleneinheit bezeiehnet wird. Multiplieiert man diese Gleiehung gul~erlieh mit

so erh~tlt man

oder [h... }~] = - 3 i~ = - 3 { (v~ }~ +... + ~,~ 7~).

Z w e i i~ul~ere P r o d u c t e yon 5 K u g e l n s i n d m i t h i n d~nn u n d n u r dann gleich~ w e a n d ie GrSl~en ~vilc~ g l e i ch s i n &

Hierin bedeuten die GrN~en k i die Potenzen der betreffenden Kugeln in h'gend einem bestimmten Punkte.

Der Wert [/%/c~..]%] kann aueh noeh in einer anderen Form dargestellt werden. Naeh Nr. 22 ist


wenn k die Orthogonalkugel yon k~ k~ ks~ k~ und v das Volumen des yon o~ % % o~ bestimmten Tetraeders bezeichnet; multip!ieiert man diese Gleiehung aufierlieh mit irgend einer Kugel ks~ so erhalt man

[k~.. k~k~] = 6 v i [ { k . k ~ ]

/ x .

= 6 v i % rcos kJ~

(nach Nr. 18.) Aus der Vergleichung dieses Ausdruckes fiir [kJr ]%] mit dem vorher gefundenen folgt

5 A v~ k~ ~--- 2 v r~ r cos kJ~.

Nr. 24. Nach Nr. 13 ist die nothwendige und hlnreichende Bedingung daftir~ dass 5 Kugeln k t , . . , k,~ einem Gebtische angeh(iren

[kl k2 k~ k 4 k~] = 07

also zufolge der letzten Gleichung

v~ k~ -F v~ k~ 4 - . - . -+" v5 k~ = 0.

Bezeichnet man mit p~ den als Nullkugel betrachteten Mittel- punkt der Kugel ]% also die Grti6e (x--o~)~7 so ist nach Nr. 1

k~ : p , : . - r~ daher

5 5 5 5

1 1 I 1

Da nach Nr. 23 5

[]@~. �9 �9 lc 5] : - - 3 ixL v i kl, 1

mithin auch 5

[PlP~ " ' " 25] = - - 3 i ~. v~pr 1

ist~ so kana man diese Gleichung auch in der Form

5

[@2. . . ~5] = [plp~...p~] + 3 i 2 v , ~ 1

schreiben.

Nimmt man nun a% die Mittelpunkte der 5 Kugeln li~gen auf einer Kugel~ seien als% als Nullkugeln betrachtet~ zu derselben K~lgel normal (Nr. 18)7 so geh~iren sie demselben Gebiische a% und

398 E . M i i l l e r . - - D i e K u g e l g e o m e t r i e

ihr 5ul~eres Product [ P ~ T s . . "2~] ist Null. Die letzte Gleichung geht dann tiber in

5 9 [/c~ ~ . . . ]~5] = 3 i ~. v i r~,

1

woraus n3~n dcn Satz folgcrt:

7~Die notwendige und hinreichende Bedingung daftir~ &tss 5 Kugeln~ deren Mittelpnnkte auf einer Kugel liegen~ einem Gebasche angehSren~ ist

5

V i r'2i ~ - O. ~' 1

Nr. 25. Es soll jetzt ~n einigen Beispielen gezeigt werden mit welcher Leichtigkeit sigh aus den in Nr. 22 und Nr. 23 abgeleiteten Beziehungen alle die Gleichungen zwischen den Potenzen und Winkeln mehrerer Kugcln ergebcn~ welehe Darboux und F:'obenius aufgestellt haben.

Seien zwei Gruppen yon je 5 Kugeln ]c~, k~... t:~ und ]~s .. geg'eben~ so gelten nach Nr. 23 die Glcichungcn

5

[ /,': 1~, . . . ]c ~] = 3 i y. v i k i 1

5

1

aus denen durch inhere ]~'Iultiplication

5 5

1 1

r Nach A s Nr. 175 kann das inhere Product links als Deter- minante geschrieben werden~ sodass man die Gleichung

5 5

1 1

erhalt~ worin ftir []~i I ~ ] dig in Nr. 18 gefundenen Ausdrtieke zu setzen sin& Diese Gleichung schliel~t eine Menge Speeislfalle in sich~ nachdem die GrSl~en i~s und ]~[ aueh Nullkugeln oder Ebenen bedeuten k(innen. Insbesondcrc ist~ wenn r Kugeln ],:[ mit den Kugeln ~i identisch werden~

nach den Prlneiplen aer Grassmann'schen Ausdehmmgstehre. 399

5

[]~ k,~.., k~] ~ = - - 9 (~ v~/c f- = 1

[~I~] ~ . . , [~ ~

[,~ I ,~] []~ I ,~J . . . zd~

N~ttirlich h~tte man in diesen Gleichungen nach Nr. 23 statt 5 A

v~ ]c~ such 2 v r~ r cos k~k setzen kSnnen~ worin v~ k und r die 1

dort angegebene Bedeutung haben; dadurch gienge Gleichung (13) yon Frobenius 1. c. hervor.

Setzt man in der Gleichung

statt ]c~ die einfache unendlich ferno Nullkugel u~ so erhalt man

[k 1 k~ Iz~ k 4 u] = 6 v i [u [ k] oder

[]q k~ k s k~ u] = - - 3 v i,

1 ist. Ffir irgend vier andere Kugelu da nach Nr. 19 [u] k] - - 2

~; t:; ~; ~: wara~ die ~hnliche G-leichung

r �9 ~ r

stattfinden. Multipliciert man diese Glcichung innerlich mit der vorhergchenden~ so gelangt man zu der Gleichung

t �9 r t -- 9 v v' = [klk~k3kJ* [ ]q I~2./c 3 Ic~ u]

welche ]nit der Gleiehung 68 bei Frobenius identiseh ist. Schreibt man namlieh das innere Product rechts nach As~ Nr. 175 Ms Detcrminante

- - 9 v v '

1

wenn man mit Frobenius [k~ ] ~ ] = r;5 setzt;

400 E. Miiller. - - Die Kugelgeometrie

oder

- - 9 v v ' :

1 r l 1 ) ' i 2 FI 3 t ' I 4. - -

1

1 r41 r42 )~ ~'4& - - "2

1 1 1 1 6

0 1 1 rll

- - 3 6 v v ' - ~ 1 r~.l 1 1 r4j

1 1 1

�9 ' ~ t

Als Folgerung aus dieser Gleichung wollen wit nur hervor- heben, dass

[k 1 k~ k 3 k~ u] ~ = - - 9 v~'~

also der numerische Wert des Productes [k 1 k~ k 3 k~ u] die Zahl 3 i v ist.

Nr. 26. Aus der in Nr. 22 abgeleiteten Gleiehung

[kl k~ ]% k~] = 6 v i [ k

und der entsprechenden fiir irgend vier anderc Kugeln

[~;14k~ ~] = 6v' i I k'

folgt dureh innere ~[ultiplication

[klk2k3k ~ l k ~ k ~ k ~ k ~ ] = - - 3 6 v v ' [ k l k ' ] .

Dies wird~ worm man das innere Product linker Seite als Determinante sehreibt~

[~ I ~1] [~ t ~ ] . . . [ ~ I ~]

I

identiseh mit Gleichung (15) bei Frobenius. Die Discussion dieser Gleichung sowie dis Betrachtung ihrer

Specialfalle iibergehen wir~ als bekannt~ und heben nur hervor~ dass

[~k~l:~ ~] ~ = [ 6 ~ t ~ 1 ~ : - - 36 ~ ,

naeh den Principien tier Grassmann'schen Ausdehnungslehre. ~01

also der nmnerisehe Wert yon [k~k~kak~] die Zahl 6 i v r ist. Diese Z~hl wird ~ull for r~---0~ d h. wenn die vier Kugeln und mithin alle Kngeln des dutch sie bestimmten Oeb~isehes dutch einen Punkt gehen. Ein solehes Gebtiseh hat den numerisehen Wert ~ull und soll daher ,*Nullgebttseh" heil~en.

Dass 6 i v r ftir v ~ O ~ d.h. wenn die Mittelpunkte der vier Kugeln in einer Ebene liegenv der Radius r der Orthog0nalkugel also nnendlieh grog ist: nieht .Null wird~ soll spater'(.Nr. 29) gezeigt werden.

Die Ebenen des Raumes bilden naeh Nr. 19 ein ~ullgebttseh~ da die unendlieh ferne Nullkugel die Orthogonalkugel f~r alle Ebenen ist. Ft~r irgend vier Ebenen s ~ e a ~ %~ gilt mithin die Gleiehung

�9 2

welch% wenn die linke Seite als Determinante entwiekelt und / x ,

[~,.] ~j] ~ eos e~.i gesetzt wird~ die zwisehen den Cosinus der Winkel yon vier beliebigen Ebenen herrsehende Beziehung liefert.

*Nr. 27. Da sechs Kugeln stets in einer Zahlbeziehung stehen~ so ist naeh .Nr. 13~ d

[/q 1~ . . . ~:~] = 0

[~; ~ . . . <1 = o also aueh

r r

[~17~2... t~0 l ~ ; v 2 . . . v 6 ] = o .

Entwiekelt man die linke Seite als Determinant% so erh~lt man die bekannte Beziehung zwisehen zwei Gruppen yon je seehs Kugeln. Insbesondere liefert

[q ~ 2 . . . l~j 2 = o

die Beziehung~ welehe zwisehen irgend sechs Kugeln des Raumes stattfindet.

Setzt man start /c 6 die unendlich ferne Nullkugel ~t~ und bezeiehnet wie oben mit p, ~ ps~ .. P5 die als *Nullkugeln betrachteten Mittelpunkte der ftinf ~ibrigen Kugeln k l ~ k ~ . . , ks~ so ist

[k, ~ . . . ]~5 u] = [p,p~ . . . 25 u] = 0~

da man naeh den Gesetzen der ~tul~eren Multiplication ohne Wert- ~tndernng des Produetes z~ den Faetoren ]g l~ /~2} " " " ]g5 irgend welehe Vielfaehe von u, d.h. der Zahleneinheit addieren darf~ und dutch Addition yon r, u, r, a % . . . r 5 ~t~ die Gr~Jt~en/q~/c~... le~ in p,~ ~o~...25

�9 ' /~' analog ~ibergehen. Da s irgend hinf andere Kugeln lq k , . . . �9 t r t

iv; v~ . . . 1~ ~] = iv, 1 , ~ . . . p~ ~] = 0 a ~ I o n a t s h , f . M a t h e m a t i k u . P h y ~ i k I I I . a - a h r g . 2 6

4 0 2 E. Mt~ller. - - Die Kugelgeometrie

is% so erhalt man dureh innere 3gultiplieation dis Gleiehungen r

Insbesondere ist aueh

[ ] ~ 1 k 2 �9 �9 �9 ] ~ 5 U ] 2 - - - - ~ 1 f f 2 , , . i 0 5 U ] 2 : 0 .

Die Entwieklung des letzteren Produetes als Determinant% die Gleiehung

/ : b : I P~] . . . [P: [-~] [P~ I u]

liefert

= 0 �9 �9 o �9 �9 ~ ~ �9 �9 �9 o . �9

I

oder~ da naeh Nr. 187 wean mit d;j die Entfernung der beiden 2

Punkte p~ und 23 bezeiehnet wird: [2~lPjl- d~ 2 und p~ = 07

1 und u ~ = O i s t , ferner naeh Nr. 19 [p~]u] ~---2- 2 2 0 dl~ . . . dl~ I

2 2 d~: 0 ... d2~ i

=0 �9 | . ~ �9 o �9

i

d~: ~ d52 ... 0 1

1 1 . . . 1 0

die bekannte Beziehung zwisehen den gegenseitigen Entfernungen fttnf beliebiger Punkte des Ramnes.

Andere metrisehe Beziehungen zwisehen Kugeln~ insbesondere solehen~ deren Mittelpunkte in einer Ebene oder einer Geraden liegen~ werden sieh spater ergeben.

(Schhlss folgt.)

a) ff)er erSte Ausdruck entwickelt gibt die Gleiehung (86) bei Darb. 1. c.

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Die Kugelgeometrie nach den Principien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre