Die Musik in der PhysikDie Musik in der Physik

Von Alexander Falger am 4.05.2006Von Alexander Falger am 4.05.2006

Überblick:Überblick:

GrundlegendesGrundlegendesStehende WelleStehende WelleSchwebungSchwebungVerschiedene Arten von MusikinstrumentenVerschiedene Arten von MusikinstrumentenSaiteninstrumentSaiteninstrument– TonentstehungTonentstehung– TonhöheTonhöhe

BlasinstrumentBlasinstrument– Am Beispiel OrgelpfeifeAm Beispiel Orgelpfeife– BlockflöteBlockflöte

StimmungenStimmungen– Reine und temperierte StimmungReine und temperierte Stimmung

GrundlegendesGrundlegendes

Reelle Darstellung einer Reelle Darstellung einer harmonischen Welle: harmonischen Welle:

– Wellenzahl: wobei : wobei die Wellenlänge ist. die Wellenlänge ist.

– Winkelgeschwindigkeit: wobei T die Periodendauer ist.wobei T die Periodendauer ist.T 2

2

k

)cos(),( 0 tkxAtx Auslenkung

WellenzahlOrt ZeitWinkelgeschwindigkeit

Phase

Schwingungsterm

Amplitude

t

Auslenkung

– Frequenz:Frequenz:

– Ausbreitungsgeschwindigkeit:Ausbreitungsgeschwindigkeit:

Komplexe Darstellung einerKomplexe Darstellung einerharmonischen Welle:harmonischen Welle:

wir wissen:wir wissen:

eingesetzt:eingesetzt:

fT

f 22

1

AtkxAcceA tiikx )cos(..21)real( 00

tiikxeA 0

fTk

v

*

21)real(

Stehende WelleStehende Welle

Kann geschehen wenn sich zwei gegenläufige harmonische Wellen Kann geschehen wenn sich zwei gegenläufige harmonische Wellen treffen, z.B. Reflexion an Grenzflächetreffen, z.B. Reflexion an Grenzfläche

Komplexe Darstellung:Komplexe Darstellung:

Überlagerung:Überlagerung:

Realteil bilden:Realteil bilden:

tiikxtiikx eAeA 0201

)cos()cos(2)real( 0 tkxAA

titiikxtikxt ekxAeeeA )cos(2 0021

zeitl. Oszillationräuml. Oszillation

In Instrumenten werden stehende Wellen erzeugt, allerdings gibt es In Instrumenten werden stehende Wellen erzeugt, allerdings gibt es zwei Arten von Reflexionen zu unterscheiden:zwei Arten von Reflexionen zu unterscheiden:– Freie EndenFreie Enden– Fixierte Enden einer Röhre oder SaiteFixierte Enden einer Röhre oder Saite

Bestimmung der Frequenz:Bestimmung der Frequenz:

– L=L=/2 bzw. L= /2 bzw. L= für Anordnung a für Anordnung a

– L=L=/4 bzw. L= 3/4 bzw. L= 3/4 für Anordnung b/4 für Anordnung b

Lnfn 2

v

L

nfn 4v12

SchwebungSchwebung

Erklingen zwei Töne mit nur geringem Frequenzunterschied Erklingen zwei Töne mit nur geringem Frequenzunterschied gleichzeitig, hört man einen Ton mit wechselnder Lautstärke - gleichzeitig, hört man einen Ton mit wechselnder Lautstärke - Schwebung.Schwebung.

komplexe Darstellung:komplexe Darstellung:

mitmit

folgt:folgt:

Überlagerung: Überlagerung:

2121 ,, kkkkkk

tixiktixik eAeA 22110201

tikxitiikxtikxitiikx eeAeeA 0201

)cos(20 tkxeA tiikx

tikxitikxitiikx eeeA 021

Realteil bildenRealteil bilden::

Mit dem Ohr vernimmt man einen Ton in der Tonhöhe f:Mit dem Ohr vernimmt man einen Ton in der Tonhöhe f:

Wobei die Stärke des Tons mit der Frequenz Wobei die Stärke des Tons mit der Frequenz f f oszilliertoszilliert::

Das menschliche Ohr kann bis zu 20 Schwebungen in der Sekunde wahrnehmen, die Frequenzdifferenz der beiden Teiltöne darf Das menschliche Ohr kann bis zu 20 Schwebungen in der Sekunde wahrnehmen, die Frequenzdifferenz der beiden Teiltöne darf nicht größer als 20 Hz sein.nicht größer als 20 Hz sein.

)cos()cos(2)real( 0 tkxtkxAA ModulationHarmonische Welle

242

422121

fff

2

22

1212 fff

Arten von MusikinstrumentenArten von Musikinstrumenten

AEROPHONEAEROPHONE– Aerophone sind alle Aerophone sind alle

Musikinstrumente mit Musikinstrumente mit schwingender Luft als schwingender Luft als Tonerzeuger. Die meisten Tonerzeuger. Die meisten Aerophone sind Blasinstrumente, Aerophone sind Blasinstrumente, wo die Luft direkt angeregt wird. wo die Luft direkt angeregt wird. Aber auch Orgeln und Akkordeon Aber auch Orgeln und Akkordeon sind – aufgrund mechanischer sind – aufgrund mechanischer Luftversorgung – Aerophone.Luftversorgung – Aerophone.

– Unterscheidung: Unterscheidung: Holz- und BlechblasinstrumenteHolz- und Blechblasinstrumente

CHORDOPHONECHORDOPHONE– Zu der Gruppe der Chordophone gehören die Instrumente, bei denen Zu der Gruppe der Chordophone gehören die Instrumente, bei denen

der Ton durch das Streichen (Streichinstrumente), Anreißen der Ton durch das Streichen (Streichinstrumente), Anreißen (Zupfinstrumente) oder Schlagen (Hammerklavier) gespannter Saiten (Zupfinstrumente) oder Schlagen (Hammerklavier) gespannter Saiten erzeugt wird.erzeugt wird.

– Beispiele: Beispiele: Gitarre, Harfe, Zither, Geige, etcGitarre, Harfe, Zither, Geige, etc..IDIOPHONEIDIOPHONE  – Idiophone sind Instrumente, bei denen der schwingende Idiophone sind Instrumente, bei denen der schwingende

Instrumentenkörper selbst – und nicht etwa eine Membran oder eine Instrumentenkörper selbst – und nicht etwa eine Membran oder eine Saite – den Ton erzeugt. Idiophone können durch schlagen, Schütteln, Saite – den Ton erzeugt. Idiophone können durch schlagen, Schütteln, Zupfen und Reiben zum Schwingen gebracht werden. Nach dem Zupfen und Reiben zum Schwingen gebracht werden. Nach dem Material werden Idiophone aus Stein (Litophone), Holz (Xylophon), Material werden Idiophone aus Stein (Litophone), Holz (Xylophon), Metall (Metallophone) oder Glas (Glasspiel) unterschieden. Metall (Metallophone) oder Glas (Glasspiel) unterschieden.

– Beispiele: Beispiele: Becken, Kastanietten,Becken, Kastanietten, Triangel, Glockenspiel, etc. Triangel, Glockenspiel, etc.

MEMBRANOPHONEMEMBRANOPHONE – Membranophone sind Instrumente, bei denen der Klang durch Membranophone sind Instrumente, bei denen der Klang durch

Schwingungen gespannter Membranen (Haut, Fell) erzeugt wird. Die Schwingungen gespannter Membranen (Haut, Fell) erzeugt wird. Die Schwingungen werden durch Schlagen (Trommel, Pauke), Reiben Schwingungen werden durch Schlagen (Trommel, Pauke), Reiben (Reibtrommel) oder Ansingen (Mirliton) angeregt. (Reibtrommel) oder Ansingen (Mirliton) angeregt.

– Beispiele: Beispiele: PaukePauke, , Bongos, Militärtrommel, Congas, etcBongos, Militärtrommel, Congas, etc

PaukePauke

Genau wie die eingespannte Saite zu Eigenschwingungen angeregt werden Genau wie die eingespannte Saite zu Eigenschwingungen angeregt werden kann, besitzt auch ein zweidimensionales System Eigenmoden.kann, besitzt auch ein zweidimensionales System Eigenmoden.Mathematische Beschreibung durch Euler, Schlagwort Besselfunktionen.Mathematische Beschreibung durch Euler, Schlagwort Besselfunktionen.Grafische Darstellung dieser Moden durch ihre Schwingungsknoten.Grafische Darstellung dieser Moden durch ihre Schwingungsknoten.

Die beiden Zahlen über den Bildern geben an, wie viele geradlinige, bzw. Die beiden Zahlen über den Bildern geben an, wie viele geradlinige, bzw. runde Knoten vorhanden sind.runde Knoten vorhanden sind.Die Zahlen darunter sind Frequenzverhältnisse relativ zur (01) Mode.Die Zahlen darunter sind Frequenzverhältnisse relativ zur (01) Mode.

Will man die aktuellen Frequenzen berechnen, muss man jede Zahl Will man die aktuellen Frequenzen berechnen, muss man jede Zahl mit einem Faktor k multiplizieren:mit einem Faktor k multiplizieren:

– dabei ist a der Radius der Membran, T gibt die Spannung an und dabei ist a der Radius der Membran, T gibt die Spannung an und ist ist die Flächendichte.die Flächendichte.

Lord Rayleigh zeigte 1894, dass die Tonhöhe einer Pauke durch die Lord Rayleigh zeigte 1894, dass die Tonhöhe einer Pauke durch die (11)-Resonanz bestimmt ist.(11)-Resonanz bestimmt ist.Die nächst höheren Moden sind die Quint (21) und die Oktave (31).Die nächst höheren Moden sind die Quint (21) und die Oktave (31).Diese Frequenzen hängen vom Anschlagpunkt ab. Die obigen Diese Frequenzen hängen vom Anschlagpunkt ab. Die obigen Verhältnisse gelten, wenn man die Membran ein viertel vom Verhältnisse gelten, wenn man die Membran ein viertel vom äußeren Rand anschlägt.äußeren Rand anschlägt.Wird die Pauke in der Mitte angeschlagen, werden die Moden (01) Wird die Pauke in der Mitte angeschlagen, werden die Moden (01) und (02) angeregt.und (02) angeregt.

T

ak

2405,2

Klangbeispiel

Wieso können wir Instrumente unterscheiden?Wieso können wir Instrumente unterscheiden?

Wenn zwei Instrumente einen Ton mit gleicher Frequenz Wenn zwei Instrumente einen Ton mit gleicher Frequenz spielen, können wir die beiden Klänge trotzdem spielen, können wir die beiden Klänge trotzdem auseinander halten. auseinander halten. Das liegt daran, dass bei jedem Ton, der von einem Das liegt daran, dass bei jedem Ton, der von einem Instrument erzeugt wird, nicht nur die Instrument erzeugt wird, nicht nur die Grundschwingungen, sondern gleichzeitig eine Reihe Grundschwingungen, sondern gleichzeitig eine Reihe von von ObertönenObertönen oder Teiltönen mitschwingen. Unser Ohr oder Teiltönen mitschwingen. Unser Ohr kann diese Obertöne nicht vom Grundton absetzen. Je kann diese Obertöne nicht vom Grundton absetzen. Je nach dem, welche Obertöne wie stark ausgeprägt sind, nach dem, welche Obertöne wie stark ausgeprägt sind, bildet sich eine spezielle Klangfarbe, die wir uns merken bildet sich eine spezielle Klangfarbe, die wir uns merken können. können.

Wie entsteht ein Ton?Wie entsteht ein Ton?

Auf einer Geige entstehen Töne, indem die Saite während dem Auf einer Geige entstehen Töne, indem die Saite während dem Spielen einen kurzen Moment am Bogen haftet; sie wird also Spielen einen kurzen Moment am Bogen haftet; sie wird also einfach mitgezogen bzw. zur Seite gelenkt, d.h. die Saite wird noch einfach mitgezogen bzw. zur Seite gelenkt, d.h. die Saite wird noch mehr gespannt.mehr gespannt.Irgendwann ist die Spannkraft höher als die Haftung an den Irgendwann ist die Spannkraft höher als die Haftung an den Bogenhaaren und die Saite schnellt zurück. Gleich darauf wird sie Bogenhaaren und die Saite schnellt zurück. Gleich darauf wird sie jedoch wieder vom Bogen mitgezogen.jedoch wieder vom Bogen mitgezogen.Also schwingt die Saite immer hin und her. Die Schwingung der Also schwingt die Saite immer hin und her. Die Schwingung der Saite reicht aber nicht aus um genügend Luftmasse in Bewegung zu Saite reicht aber nicht aus um genügend Luftmasse in Bewegung zu setzen und wir den Ton hören können. Deshalb wird die setzen und wir den Ton hören können. Deshalb wird die Schwingung von der Saite auf den Steg und somit an den ganzen Schwingung von der Saite auf den Steg und somit an den ganzen Körper der Violine (=Klangkörper od. Resonanzkörper) übertragen. Körper der Violine (=Klangkörper od. Resonanzkörper) übertragen. Das Instrument selber kann nun soviel Luft in Schwingung setzen, Das Instrument selber kann nun soviel Luft in Schwingung setzen, dass wir den Ton hören können. dass wir den Ton hören können. Die meisten Instrumente haben einen Resonanzkörper um den Ton Die meisten Instrumente haben einen Resonanzkörper um den Ton zu verstärken. zu verstärken.

Wovon ist die Tonhöhe abhängig?Wovon ist die Tonhöhe abhängig?

Am Beispiel GitarreAm Beispiel Gitarre

– Von der Dicke der SaiteVon der Dicke der Saite Je dicker die Saite ist, desto tiefer ist der Ton. Je dicker die Saite ist, desto tiefer ist der Ton.

– Von der SpannungVon der Spannung Die Spannung der Saiten wird beim Stimmen verändert. Die Spannung der Saiten wird beim Stimmen verändert. Wird die Saite mehr gespannt, wird der Ton höher.Wird die Saite mehr gespannt, wird der Ton höher.

– Von der LängeVon der Länge Je länger eine Saite ist, desto tiefer sind die Töne! Je länger eine Saite ist, desto tiefer sind die Töne! Der Kontrabass z.B. hat viel längere Saiten als die Gitarre und spielt Der Kontrabass z.B. hat viel längere Saiten als die Gitarre und spielt deshalb auch tiefer.deshalb auch tiefer.

– Vom Material der SaiteVom Material der Saite

Schallentstehung in einer OrgelpfeifeSchallentstehung in einer Orgelpfeife

Wie Schall in einer Orgelpfeife entsteht, ist deshalb interessant, weil Wie Schall in einer Orgelpfeife entsteht, ist deshalb interessant, weil viele Instrumente ähnlich funktionieren.viele Instrumente ähnlich funktionieren.Es gibt zwei Arten von Orgelpfeifen:Es gibt zwei Arten von Orgelpfeifen:– Labial- oder LippenpfeifenLabial- oder Lippenpfeifen und und Lingual- oder ZungenpfeifenLingual- oder Zungenpfeifen..

Labial- oder LippenpfeifenLabial- oder Lippenpfeifen

Der Schall in einer Der Schall in einer LippenpfeifeLippenpfeife entsteht auf entsteht auf die gleiche Art wie z.B. in die gleiche Art wie z.B. in einer Blockflöte. einer Blockflöte. Die angeblasene Luft trifft Die angeblasene Luft trifft von unten auf den Spalt von unten auf den Spalt und muss sich dort und muss sich dort aufteilen. Sie weicht nach aufteilen. Sie weicht nach innen und außen aus. innen und außen aus. Dadurch entstehen Dadurch entstehen Wirbel, die die Luftsäule Wirbel, die die Luftsäule im Innern in Schwingung im Innern in Schwingung versetzen. Jetzt wird der versetzen. Jetzt wird der Ton hörbar.Ton hörbar.

Lingual- oder ZungenpfeifenLingual- oder Zungenpfeifen

Eine Eine ZungenpfeifeZungenpfeife dient als dient als Modell für Oboe, Fagott, Klarinette, Modell für Oboe, Fagott, Klarinette, Trompete, Posaune, Horn und Trompete, Posaune, Horn und angenähert auch für die angenähert auch für die menschliche Stimme.menschliche Stimme.Im Innern einer Zungenpfeife Im Innern einer Zungenpfeife befindet sich ein Metallröhrchen befindet sich ein Metallröhrchen (die so genannte Kehle), an dem (die so genannte Kehle), an dem ein Metallblättchen (Zunge) anliegt. ein Metallblättchen (Zunge) anliegt. Diese „Zunge“ wird von unten Diese „Zunge“ wird von unten durch den  Wind in Schwingung durch den  Wind in Schwingung versetzt. Sie schlägt gegen die versetzt. Sie schlägt gegen die Kehle. Dadurch wird die Bewegung Kehle. Dadurch wird die Bewegung auf die Luftsäule übertragen. auf die Luftsäule übertragen. Schallwellen entstehen.Schallwellen entstehen.

Unsere Stimmbänder Unsere Stimmbänder können mit „Doppelzungen“ verglichen werden,können mit „Doppelzungen“ verglichen werden,die man mit Muskeln anspannen und durch Atemluft in Schwingung versetzen kann.die man mit Muskeln anspannen und durch Atemluft in Schwingung versetzen kann.Bei Trompete, Posaune und Horn wirken die Lippen der Spieler wie Doppelzungen.Bei Trompete, Posaune und Horn wirken die Lippen der Spieler wie Doppelzungen.

Die BlockflöteDie Blockflöte

Der Hauptteil einer Blockflöte besteht aus einer konischen Der Hauptteil einer Blockflöte besteht aus einer konischen Röhre,die sich nach vorne verengt.Röhre,die sich nach vorne verengt.Material: Holz oder PlastikMaterial: Holz oder PlastikIm Innenraum baut sich eine stehende Welle auf. Da beide Enden Im Innenraum baut sich eine stehende Welle auf. Da beide Enden der Röhre offen sind, ergibt sich die Tonhöhe f der Flöte aus ihrer der Röhre offen sind, ergibt sich die Tonhöhe f der Flöte aus ihrer Länge L mittels:Länge L mittels:

Die Obertöne einer Blockflöte sind rund 30 dB leiser als der Die Obertöne einer Blockflöte sind rund 30 dB leiser als der Grundton, deswegen ist ein Flötenton gut durch eine einzelne Grundton, deswegen ist ein Flötenton gut durch eine einzelne Sinusschwingung beschreibbar. Sinusschwingung beschreibbar. Bläst man stärker in die Flöte („Überblasen“), so wird der 1. Oberton Bläst man stärker in die Flöte („Überblasen“), so wird der 1. Oberton angeregt; dieser liegt eine Oktave über dem jeweiligen Grundton.angeregt; dieser liegt eine Oktave über dem jeweiligen Grundton.

Lnfn 2

v

StimmungenStimmungen

Vermutlich hat jeder von uns schon einmal die gängige Vermutlich hat jeder von uns schon einmal die gängige Durtonleiter gehört. Hinter der so eindeutig und einfach Durtonleiter gehört. Hinter der so eindeutig und einfach erscheinenden Tonleiter steht aber ein langwieriger erscheinenden Tonleiter steht aber ein langwieriger Prozess, der viel mit mathematischen Überlegungen zu Prozess, der viel mit mathematischen Überlegungen zu tun hatte. Es entwickelten sich nämlich im Lauf der tun hatte. Es entwickelten sich nämlich im Lauf der Jahrhunderte verschiedene Stimmungen, die sich alle an Jahrhunderte verschiedene Stimmungen, die sich alle an bestimmten Stellen um eine geringe Hertzzahl bestimmten Stellen um eine geringe Hertzzahl unterschieden. unterschieden. Die Durtonleiter wurde danach aufgebaut, welche Töne Die Durtonleiter wurde danach aufgebaut, welche Töne zusammen angenehm klangen. zusammen angenehm klangen.

Tonleiter C- Dur

Reine StimmungReine Stimmung

Jeder Ton der Tonleiter hat seine eigene Frequenz ( f0, f1 usw.). Jeder Ton der Tonleiter hat seine eigene Frequenz ( f0, f1 usw.). Pythagoras hat festgestellt, dass wir zwei Töne am angenehmstenPythagoras hat festgestellt, dass wir zwei Töne am angenehmsten empfinden, wenn ihre Frequenzen sich zueinander wie zwei empfinden, wenn ihre Frequenzen sich zueinander wie zwei natürliche Zahlen kleiner 7 verhalten. natürliche Zahlen kleiner 7 verhalten. Einen Ton, der zum Ton mit der Frequenz 264Hz angenehm Einen Ton, der zum Ton mit der Frequenz 264Hz angenehm (konsonant) klingt, erhalten wir also z.B., wenn wir ihn mit 3/2 (konsonant) klingt, erhalten wir also z.B., wenn wir ihn mit 3/2 multiplizieren, weil er das Verhältnis 2:3 (zwei natürliche Zahlen multiplizieren, weil er das Verhältnis 2:3 (zwei natürliche Zahlen kleiner 7) zum zweiten Ton haben soll. kleiner 7) zum zweiten Ton haben soll.

Man muss also die Frequenz des Grundtons mit Brüchen Man muss also die Frequenz des Grundtons mit Brüchen multiplizieren, um die Frequenzen der anderen Töne zu erhalten. multiplizieren, um die Frequenzen der anderen Töne zu erhalten.

Die Beziehung zweier Töne zueinander bezeichnet man in der Musik als Intervall.

Allerdings ergeben sich auch einige Allerdings ergeben sich auch einige SchwierigkeitenSchwierigkeiten. Möchte nun . Möchte nun der Spieler eines Instrumentes, das nach dieser Weise gestimmt ist, der Spieler eines Instrumentes, das nach dieser Weise gestimmt ist, von d (D- Dur) aus eine angenehme Quinte spielen, hat er nur das a von d (D- Dur) aus eine angenehme Quinte spielen, hat er nur das a mit 440 Hz zur Auswahl. Nach dieser Stimmung müsste aber die mit 440 Hz zur Auswahl. Nach dieser Stimmung müsste aber die Quinte zu d folgende Frequenz haben: Quinte zu d folgende Frequenz haben:

Das ist ein Unterschied von 5,5 Hz, der sehr deutlich hörbar ist. Auf Das ist ein Unterschied von 5,5 Hz, der sehr deutlich hörbar ist. Auf einem Instrument, das nach der reinen Stimmung gestimmt ist, kann einem Instrument, das nach der reinen Stimmung gestimmt ist, kann man also fast nur die eine Tonleiter benutzen, da die anderen man also fast nur die eine Tonleiter benutzen, da die anderen einfach unangenehm klingen. einfach unangenehm klingen. Wegen dieses Problems wurden schon früh heftige Diskussionen Wegen dieses Problems wurden schon früh heftige Diskussionen zwischen Musikern oder Instrumentenbauern geführt. Der große zwischen Musikern oder Instrumentenbauern geführt. Der große Nachteil der reinen Stimmung ergibt sich aus dem unterschiedlichen Nachteil der reinen Stimmung ergibt sich aus dem unterschiedlichen Tonabstand (Intervall), den die einzelnen Töne voneinander haben.Tonabstand (Intervall), den die einzelnen Töne voneinander haben.

5,44523297

Temperierte StimmungTemperierte Stimmung

Die Lösung erbrachten der Mathematiker Marin Die Lösung erbrachten der Mathematiker Marin Mersenne (1588-1648) und der Orgelbauer Andreas Mersenne (1588-1648) und der Orgelbauer Andreas Werckmeister (1645-1706). Werckmeister (1645-1706). Ihr Ziel war es, die verschiedenen Abstände Ihr Ziel war es, die verschiedenen Abstände auszugleichen, ohne die Grundlagen der Tonleiter zu auszugleichen, ohne die Grundlagen der Tonleiter zu erschüttern. Sie gingen folgendermaßen vor: erschüttern. Sie gingen folgendermaßen vor:

– Um die Gleichverteilung der Abstände Um die Gleichverteilung der Abstände zwischen den Tönen zu erleichtern, zwischen den Tönen zu erleichtern, wurden Ganztonschritte in zwei wurden Ganztonschritte in zwei Halbtonschritte eingeteilt, Halbtonschritte eingeteilt, also insgesamt 12 Halbtonschritte. also insgesamt 12 Halbtonschritte.

– Das Frequenzverhältnis derDas Frequenzverhältnis derOktaven von 1:2 sollteOktaven von 1:2 solltebeibehalten werden.beibehalten werden.

Wenn gleiche Abstände erreicht werden sollen, heißt das, dass die Wenn gleiche Abstände erreicht werden sollen, heißt das, dass die Frequenzverhältnisse  zweier benachbarter Töne immer gleich sein müssen. Frequenzverhältnisse  zweier benachbarter Töne immer gleich sein müssen.

Will man nach diesem System die Frequenz des zweiten Tones ausrechnen, Will man nach diesem System die Frequenz des zweiten Tones ausrechnen, so muss man die Frequenz des ersten mit einer Konstanten k multiplizieren. so muss man die Frequenz des ersten mit einer Konstanten k multiplizieren.

Um den nächsten Ton zu erhalten, muss man erneut mit k multiplizieren Um den nächsten Ton zu erhalten, muss man erneut mit k multiplizieren usw. usw.

Führt man diese Reihe bis in die Oktave, also zum 12. Halbton fort, so ergibt Führt man diese Reihe bis in die Oktave, also zum 12. Halbton fort, so ergibt sich:sich:

212 k 05946,1212 k

Dieses exponentielle Dieses exponentielle Wachstum der temperierten Wachstum der temperierten Stimmung zeigt sich an der Stimmung zeigt sich an der geschweiften Form eines geschweiften Form eines Klaviers. Und zwar ganz Klaviers. Und zwar ganz einfach deswegen, weil die einfach deswegen, weil die Saitenlängen, die ja mit Saitenlängen, die ja mit höheren Frequenzen kürzer höheren Frequenzen kürzer werden, einer Funktion des werden, einer Funktion des exponentiellen Wachstums exponentiellen Wachstums folgen. folgen.

Beispiel:Beispiel:Stegabstände der GitarreStegabstände der Gitarre

Stimmungen im VergleichStimmungen im Vergleich

Mit diesem Faktor k muss also von Ton zu Ton multipliziert Mit diesem Faktor k muss also von Ton zu Ton multipliziert werden. Dies nennt man dann werden. Dies nennt man dann temperierte odertemperierte oder gleichschwebende Stimmunggleichschwebende Stimmung. Zwar sind bei dieser . Zwar sind bei dieser Stimmung alle Tonleitern verfügbar, aber andererseits handelt Stimmung alle Tonleitern verfügbar, aber andererseits handelt es sich hier um eine Kompromisslösung.es sich hier um eine Kompromisslösung.Das wird deutlich, wenn man die beiden Stimmungen am Das wird deutlich, wenn man die beiden Stimmungen am Beispiel der C-Dur-Tonleiter vergleicht:Beispiel der C-Dur-Tonleiter vergleicht: