Die Physik der Sterne

Max Camenzind

Akademie Heidelberg

März @ 2014

Objekte

im

hydrostatischen

Gleichgewicht

sphärisch,

keine

„Kartoffeln“

(wie Asteroiden)

Objekte im

hydrostatischen

Gleichgewicht

sind sphärisch

Planeten,

Sterne

Asteroiden

sind jedoch

eher „Kartoffeln“

Festkörper

• Zeitskala: Kelvin-Helmholtz Zeitskala, FF

• Struktur-Gleichungen für Gleichgewichte

• Energietransport: Konvektion und Strahlung

• Energieproduktion: Thermonukleare Prozesse

• Gleichgewichts-Modelle für Hauptreihe

• Skalierung mit der Masse

• Hauptreihenstadium

• Hayashi-Linien

• Das Standard Sonnen-Modell

Themen: Stellare

Gleichgewichtsphasen

• Beispiele

– Sonne M =1M⊙, R =1R⊙ ff=1200 s

– Roter Riese M =1M⊙, R =100R⊙ ff=20 d

– Weißer Zwerg M =1M⊙, R =0,01R⊙ ff=1,6 s

• Schlussfolgerung

– Sterne verändern sich auf Zeitskalen, die lang im Vergleich zur dynamischen Zeitskala sind

– Stern ist nahezu im perfekten Gleichgewicht

– Sternentwicklung: Sequenz von Gleichgewichtszuständen quasi-stationäres Gleichgewicht

34mit

4

3

R

M

Gff

Dynamische Zeitskala - Kollaps

Virial-Satz

Energieerhaltung:

Virialsatz:

Kelvin-Helmholtz Zeit

Wir brauchen eine andere Energiequelle!

• Stern: Schachtelung von Kugelschalen mit Radius r.

• Diese Schalen sind im Kräfte- und Energiegleich-gewicht.

• Energie fließt von innen nach außen.

Stellare Gleichgewichte

Größe Variable Bedeutung

Radius r [km] Schalen-Radius

Dichte [g/cm³] Massendichte

Temperatur T [K] Schalen-Temperatur

Druck P [N/m²] Gas-, Strahlungs-

druck, Entartung

Elemente Xi Anteile H, He, C, …

Masse M(r) = Mr Masse bis Radius r

Leuchtkraft L(r) = Lr Leuchtkraft bis r

Zustands-Variablen Sterns

• relative Massenanteile: Xi := mi ni / ρ

• Sumi Xi = 1 .

• Wasserstoff: X

• Helium: Y

• “Metalle”: Z = 1 − X − Y (C, N, O, …)

• typische Werte:

X ≈ 0,7 · · · 0,75; Y ≈ 0,24 · · · 0,30; Z ≈ 0,0001 · · · 0,04.

Elementhäufigkeiten X, Y, Z

Anzahldichte

• die Elementverteilung im Kosmos ist äußerst ungleichmäßig. Wasserstoff (H) ist bei weitem das häufigste Element mit über 90% aller Atome oder 75% der Masse des Universums. Helium (He) ist das zweit häufigste Element, mit etwa 24% der Gesamtmasse des Universums. Auf die restlichen Elemente entfallen somit nur weniger als 1%. Diese Häufigkeiten unterliegen einer sehr langsamen aber stetigen, irreversiblen Veränderung, wobei Wasserstoff in Helium und schwerere Elemente durch Kernfusion umgewandelt werden.

• Die häufigsten Elemente des Sonnensystems (Elementhäufigkeit des Sonnensystems) sind: H, He, O, C, Ne, N, Mg, Si, Fe und S.

Kosmische Häufigkeiten

Kosm

isch

e H

äu

figk

eite

n

Hydrostatisches

Gleichgewicht

Masse in einer

Kugelschale

Energie-Produktion

Gleichung

radiativer Transport

Gleichung für

Konvektion

Stern-Struktur-

Gleichungen

),,(

),,(

),,(

),,(

i

iijij

i

i

XT

XTrr

XT

XTPP

• Zustands-

gleichung

• Energie-

produktion

• Nukleare

Raten (KP)

• Opazitäten

+ Material-Funktionen

Hydrostatisches Gleichgewicht

Fg = - 4r² dr (Gm(r)/r²)

FP = - 4r² [P(r) – P(r+dr)]

~ - 4r² (dP/dr) dr

Druck = Kraft pro Fläche

Hydrostatisches Glgwicht:

FP = - Fg

Gravitationskraft auf Schale: dm = 4r² dr

)(2

rr

GM

dr

dP r

• Im allgemeinen gilt P = P(,T)

• Ideales Gas

– : mittleres Atomgewicht (hängt von der chemischen Zusammensetzung ab, µ ~ 0,85)

• Strahlungsdruck (dominiert bei niedrigen Dichten, hohen Temperaturen)

– Stefan-Boltzmann a = 7,565×10-16 J m-3 K-4

Tm

kP

H

4

3

1TaP

Die Zustandsgleichung

µ = 1/(2X + 3Y/4 + Z/2)

Zustandsebene Sterne

Camenzind

Was ist Quantendruck?

Bosonen sind gesellig Bose-Einstein Kond.

Fermionen sin Individualisten Pauli-Prinzip

Wann ist Quantendruck wichtig?

Unschärferelation: Dqe x Dpe > h/2

Brauner Zwerg: M = 0,01 MS, R = 0,1 RS

Dqe x Dpe ~ 0,6 h !!!! Quantendruck

Roter Zwerg: Quantendruck noch nicht wichtig!

Die Fermi-Verteilung

Elektronen sind Fermionen

Fermi-Verteilung im Energieraum:

µ = EF

EoS mit Quantendruck

Zustandsgleichung ist analytisch P = P().

Zwei Spezialfälle: Potenzgesetz

Nicht-relativ. Elektronen: G = 5/3

Relativistische Elektronen: G = 4/3

Übergang: Dichte ~ 1 Mio. g/cm³

Weiße Zwerge: leicht relativistisch

Abschätzung Zentraldruck

Skalierung Zentraldruck: PC ~ GM²/R4

Konstante Dichte: = C = 3M/4R³

P(r) = PC – 2/3 GC² r² P(R) = 0

Abschätzung Zentraltemperatur

Skalierung Zentraltemperatur:

Konstante Dichte: TC = GµmHM/2kBR

Zustandsgleichung für Gasdruck, k = kB

• Für den Fall P=P() ist die Struktur bereits durch die

Annahme des hydrostatischen Gleichgewichts

bestimmt! analytische Lösung des hydrost. Glgw.

• Interessante Spezialfälle:

– nicht-relativ. Elektronengas

– Relativ. Elektronengas

– Adiabatisches Gas

(z.B. voll-konvektiver Stern)

– Konstantes Verhältnis von

Strahlungsdruck zu Gasdruck

• Polytrope Zustandsgleichung

3/5P3/4P

P

n

n

nKP

1

n = 3/2

n = 3

1

1n

3/4P

Polytrope Sternmodelle

n = 3

Lane-Emden Gleichung

Skalierung Polytrope Modelle

• Wärmeleitung (Transport durch e)

– Nur in Weißen Zwergen wichtig

• Photodiffusion (Transport durch ph)

– Zentren massearmer Sterne

– Hülle massereicher Sterne

• Konvektion (Transport durch Mischen)

– Zentren massereicher Sterne

– Hülle massearmer Sterne (Sonne)

• Neutrinokühlen

– Nur in sehr heißen Sternen energetisch wichtig

Energie-Transport in Sternen

Photo-Diffusion in Sternen

Zentrum Sonne: ~ 10 g/ccm; = 0,2 cm²/g e-Streuung

mittlere freie Weglänge l = 1/ ~ 0,5 cm

Anzahl

Streuungen

N = 3R²/l²

~ 1023

Diffusion

t = Nl/c

= 3R²/lc

~ 30.000 a

Strahlungsstrom

F = -1/3 cl dU/dr

= -4/3(aT³ cl) dT/dr

F = L(r)/4r²

Planck

Energieverteilung

nur Temperatur

U = a T4

dI = - I dx

: Opazität

Prozesse:

Bremsstrahlung ff

Elektronstreuung

Linienabsorption

gebunden-frei

Molekülübergänge

Opazität

Rosseland

Opazitäten

Elektronstreuung:

es = 0,2 cm²/g

Abriss der Astronomie

kappa-Berg

Rosseland Opazitäten

Kramersche Opazität:

ff ~ / T7/2

• Falls Energietransport durch Strahlung ineffizient starker Temperaturgradient Konvektion

• Schwarzschild-Kriterium: eine radiative Schicht bleibt dynamisch stabil, solange DeltaRad < Deltaad; sonst setzt Konvektion ein.

• Ionisation von H und He führt zu Konvektion in Hüllen

• Im Core-Bereich bei CNO Brennen (gewaltige Energiefreisetzung !).

Energie-Transport Konvektion

Un

tere

Sch

ich

t is

t st

ab

il;

hei

ße

Bla

sen

ste

igen

au

f

(ro

t);

Kü

hle

Bla

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sin

ken

ab

(b

lau

). [

Pit

tsb

urg

]

Gra

nu

lati

on

der

So

nn

e

Gra

nu

len

Leb

ensd

au

er ~

10

min

1 Granule ~ 1000 km, Bewegung mit ~ 2 km/s

Sonnen-Konvektion 2D

Voll konvektiver Stern: Roter Riese

Porter, Anderson & Woodward (LCSE) / Rot: auf, blau: ab

Konvektion

adiabatisch

T

• pp-Ketten He

– Läuft in massearmen Sternen dominant

• CNO-Zyklus He

– Zentren massereicher Sterne

– Ist nicht wichtig in der Sonne

• Tripel-alpha C und O (ab ~ 200 Mio. K)

– Zentren massereicher Sterne, Horizontalast

– alpha Prozesse

• C-, Ne-, O- und Si-Brennen Fe-Ni-Core

– Nur in Sternen mit mehr als 9 Sonnenmassen

Energie-Produktion in Sternen

Bindungsenergie Atomkerne

Eisenkerne 56Fe am stärksten gebunden

pp Ketten und Neutrinos

• Helium-Atom: Masse = 3727,4 MeV

• Proton: Masse = 938,28 MeV

• Neutron: Masse = 939,57 MeV

• 2p + 2n: Masse = 3755,7 MeV

• Massendefekt = 28,3 MeV

Fusion von 2p+2n gibt Bindungsenergie von 28,3 MeV kann mit Quantenmechanik nicht erklärt werden! Spezielle Relativität!

Einstein: Massendefekt c² = E.

Der Massendefekt von Helium

Die Sonnen-Neutrinos

Jeden cm² Ihres Körpers durchqueren 100 Mrd. Neutrinos pro sec!

CNO Zyklus katalytisch

Erweiterter CNO Zyklus

Triple-alpha-Prozess Läuft erst für T > 200 Mio. K

Energieproduktion Hauptreihe

CNO

Zyklus

pp Ketten

Sonne

Brennphasen in Sternen

400.000

3 Mio. K

200 Mio.

800 Mio.

1,5 Mrd.

2 Mrd.

3,5 Mrd.

Standard Sonnen-Modell: Profile

Temperatur Dichte

Energieproduktion Standard-Sonnenmodell

Dichte Standard-Sonnenmodell (log)

Fusion

Strahlung

Konvektion

Temperatur Standard-Sonnenmodell

CNO

Zyklus

pp I - III

Fusion -

voll konvektiv

Masse T < 100 Mio K keine He Fusion

Sequenz Sterne auf der Hauptreihe allein durch Masse M & Z bestimmt (Vogt)

Kovetz et al. 2008 Stern-Entwicklung auf dem Computer

Tc ~ c-1/6

Aprox Skalierung mit Teff

Theoretische ZAMS im HRD ZAMS = Alter Null Hauptreihe

Kovetz et al. 2008 Stern-Entwicklung auf dem Computer

Innere radiative,

äussere

konvektive Zone

Innere konvektive,

äussere radiative

Zone

CNO Cyclus dominant pp Kette dominant

Energie-Transport

hängt von der Masse ab

Nov 3, 2003 Astronomy 100 Fall 2003

Zwerg-Sterne

Wasserstoff-Brennen

Hydrostatisches Gleichg.

91% aller nahen Sterne

Altair

Type A8 V

Sun

Type G2 V

Vega

Type A0 V

Proxima Centauri

Type M5 V

Regulus

Type B3 V

61 Cygni A

Type K5 V

Hauptreihen-Sterne und Farben

Sonne: <> ~ 1,5 g/cm³; = 0,2 cm²/g e-Streuung

mittlere freie Weglänge l = 1/< > ~ 5 cm

Anzahl

Streuungen

N = 3R²/l² >> 1

Diffusion

tescape = Nl/c

= 3R²/lc

Leuchtkraft

L = URad Vol/tescape

URad ~ T4 ~ (M/R)4

Skalierung auf der Hauptreihe Leuchtkraft aus Photo-Diffusion

t = Photodiffusionszeit

via Random Walk

Freie Weglänge

der Photonen:

l = 1/

ur: Energiedichte der Strahlung

Skalierung auf der Hauptreihe Leuchtkraft aus Photo-Diffusion

Streu-Opazität

Kramers Opazität

Skalierung der Leuchtkraft

Masse-Leuchtkraft Beziehung

LEdd = 33.000 LS (M/MSun)

L = 10-3 LS (M/0,1MS)2,2

Camenzind

Die Eddington Leuchtkraft

Strahlungsdruck = Impulsübertrag

= sT L/4R²c

Gravitationskraft g = GMmp/R²

Gleichgewicht: g = Strahlungsdruck

R

R ~ M1/2

Polytrope n=3

Masse-Radius Skalierung

Camenzind

Massearme Sterne

TC ~ M/R ~ const

R ~ M

Ma

sse

-Ra

diu

s B

ezie

hu

ng

fü

r m

asse

arm

e S

tern

e

Chabrier et al.

2008

Jupiterartige

EXO-Planeten

Braune Zwerge

partiell entartet

Polytrope:

P ~ 1+1/n

Entartung:

T < TF = 3x105 K (/µe)2/3

Grafik: ESO/VLTI

Jupiter

Sternradien

VLTI Messungen

Effektiv-Temperatur vs Masse

Camenzind

M ~ T²eff

Eff

ek

tiv-T

em

pera

tur

vs M

asse

Rote Zwerge

Skalierung der Hauptreihe

Camenzind

Lebenserwartung Sterne ~ 1/M3

Leb

ense

rwart

un

g

Ha

up

trei

hen

-Ste

rne

Eddington

Leuchtkraft

~M-3

Temperatur Sterne < 50.000 K Strahlungsdruck Polytrope mit n = 3

• Linie im Hertzsprung-Russel-Diagramm, die die Grenze zwischen voll konvektiven Sternen und instabilen Zuständen kennzeichnet. Bei voll konvektiven Sternen geschieht der interne Wärmetransport rein durch Konvektion ohne begleitende Wärmestrahlung. Sterne, die bei gleicher Leuchtkraft eine niedere effektive Temperatur besitzen, sind nicht stabil. Sie kollabieren im freien Fall, bis sie wieder einen stabilen Zustand erreicht haben.

• Die Grenze entspricht ~ 4000 K bei 1 Sonnenmasse.

• Kühle protostellare Wolken kollabieren, bis sie die Hayashi Linie erreichen.

Die Hayashi-Linie

Hayashi

Linie

-

voll

konvektive

Sterne

Sterne mit

M < 0,5 MS sind

voll konvektiv

auf Hauptreihe

Keine

stabile

Gleich-

gewichte

4000 K

• Sterne sind heiße Gaskugeln im Gleichgewicht zwischen Gravitation, hydrostatischem Druck, Energieerzeugung im Zentrum & Abstrahlung.

• Bei Wasserstoffbrennen, sog. Hauptreihe im HRD, ist der Zustand des Sterns eindeutig durch seine Masse und chemische Zusammensetzung bestimmt.

• Die einzelnen Brennphasen entsprechen bestimmten Ästen im HRD: MS, Rote Riesen, HorAst, AGB

• Die gesamte Lebensdauer des Sterns hängt stark von seiner Masse ab – massearme Sterne leben länger, massereiche nur einige Mio. Jahre.

Zusammenfassung

Anhang: 2. Weg zu Eddington