Die Reihenentwicklung bei schwach singul~iren Stellen linearer Differentialgleichun gen

Von ]~ELLMUTH KNESER in Tiibingen

Die Behandlung der sehwach singulgren Steilen linearer Differentialgleiehungen beruht auf dem Satze, dal~ sich die LSsungen eines Systems linearer homogener Differentialgleichungen bei einer solchen Stelle a in Reihen des bekannten Typus

F (x- m~0 n~O

entwickeln lassen. L. S.XVVAGE 1) bewies zuerst den Satz in seiner vollen Mlgemein- heit, indem er die Reihen ausrechnete und ihre Konvergenz sowie die lineare Unab- hgngigkeit der dargestellter~ Funktionen bewies. G.D. BIRKHOSF '>) vermied die dabei aufgetretenen, ziemlich umst5ndlichen Rechnungen; er ging vo~l der Existenz der LSsungen aus, sehgtzte ihr Wachstum bei Ann~herung an die singulgre Stelle ab, benutzte die JORD:~Nsche Normalform der Umlaufssubstitution und zog den Hauptsehlul] mit funktionentheoretischen ~[ittela. Der rechnerische Beweis nach SAUW~GES Vorbild wurde mehrfach neu bearbeitet, zuletzt wohl yon AD,~ SCH~HDT a). Im folgenden hoffe ich zu zeigen, dal3 man die Rechnungen ein gut Teil iibersicht- licher zusammenfassen kann. ~berdies brauehe ieh nicht, wie alle bisherigen Dar- stellungen, die volle JORDXssche Normalform, sondern nur eine Teilaussage davon. Der Vollst~tndigkeit halber schicke ich den Beweis dieser Teilaussage im Abschnitt I voraus. Im Abschnitt II folgt dann die Herstellung der Reihen, im Abschnitt I iI der Beweis ihrer Konvergenz, und zwar nach dem klassischen ~iajorantenschema, das bei diesem Gegenstand anscheinend noch nicht befolgt worden ist. Zum Be- weis der linearen Unabhhngigkeit der dargestellten Funktionen habe ich nichts ~eues zu melden.

2.

Sei E der N-dimensionale komplexe Zahlenraum und F ein linearer Teilraum. Die Vektoren ~1; . . . . ~,~ heil~en linear unabhiingig rood. F, wenn eine Linearkom- bination a 1~1+ . " § nut im Falle a 1 . . . . . a m = 0 in F liegt. Sie

1) L. SAUVACE, Ann. Ec. =Norm. (3) 3 (1886), 391--404. 2) G. D. BIS~HOFF, Trans. Amer. Math. Soc. 11 (1910), 199--202. a) ADAm! SCIt~IIDT, Journ. r. u. ang. Math. 179 (1938), 1--4.

414 H. KNSSEa

hei~en eine Basis yon E mod. F, wenn sie linear unabhiingig rood. F sind und sich jeder Vektor aus E in der Form a 1 D1 + . . -}- a~ ~, ~- m m i t m aus F darstellen lii]t. Diese Darstellung ist dann auf nur eine Weise mSglich.

t t i lfssatz 1. Sei B eine lineare Abbildung yon E in sich. Dann gibt es einen linearen Teilraum iv und eine Zahl k derart, daft B k ~ ]iir ]eden Vektor ~ aus E in F

liegt und daft die Abbildung B in iv mit einer nicht ausgearteten, also linear um]cehr- baren Abbildung C yon F au I sich igbereinstimmt.

Aus E ~ B E folgt BkE ~ B k+~ E durch Anwendung der Abbildung B k. In der Folge E, B E, B 2 E . . . . nehmen also die Dimensionen nicht zu. Da sie nicht negativ werden, gibt es eine gauze Zahl k _~ 0, ftir die B k E und B k + I E dieselbe Dimension haben und daher iibereinstimmen. Der Raum iv-----BkE wird also durch B auf sich selbst abgebildet; diese Abbildung ist daher nicht ausgeartet.

Hilfssatz 2. Es gibt eine Basis (D 1 . . . . , ~,,) yon E rood. F mit der Eigenschalt

B ~ , = ~ ~,,,,b~+ ~ .... m , , ~ i v ( S = l , . . . , m ) . (1)

Sei (~1, . - . , ~,,) ein Satz mod. F linear unabhiingiger Vektoren mit der Eigen- schaft (1). Den gibt es; schlimmstenfalls ist der leere Satz (m = 0) einer. Er sei so gewiihlt, dal3 er sich nicht dutch Vorsetzen eines weiteren Vektors zu einem Satz derselben Art erweitern liil]t. Auch das gibt es, well es iiberhaupt hSchstens N linear unabh~tngige Vektoren gibt. Ist nun ~ ein beliebiger Vektor, so se i l die kleinste Zahl derart, dull sich B z ~ in der Gestalt % ~ + . . . ~- a~ ~,, + m m i t m ~ F dar- stellen liil~t; die gibt es, weil B k ~ in F liegt. Wiire l > 0, so wiire (B z-~ ~, Ul, - . - , ~ ) ein erweiterter Satz yon Vektoren, wie es ihn nach der Annahme nicht gibt. Also ist l ~ 0; d. h. (U~ . . . . . Urn) ist einc Basis von E mod. F.

Mit h(~o, B) bezeichnen wit die Vielfachheit yon ~ als Eigenwert der Abbildung B, d. h. die Vielfachheit, mit der u ~ ~ als Wurzel der Gleichung det (uI - - B) ~ 0 auftritt. (Dabei ist I die identisehe Abbildung, in Koordinaten dutch die Einheits- matrix dargestellt.)

Hilfssatz 3. Es ist m ~ h(0, B).

Sind (D,~+~ . . . . , D.) eine Basis yon F, so sind (D1 . . . . , D,,) eine Basis yon E; also ist n ~ N. Stellen wir B mit Hflfe dieser Basis dureh eine Matrix dar sic werde auch mit B bezeiehnet--, so ist deren (5r ~ m)-reihiges reehtes unteres Teil- quadrat die Matrix der nicht ausgearteten Abbildung C yon F auf sieh; es hat also yon Null verschiedene Determinante. Im iibrigen enthiilt die Matrix yon Null ver- schiedene Elemente nur reehts der Hauptdiagonale; also ist d e t ( u I - - B ) - ~

u ~ de t (uI - - C). Daraus folgt die Behauptung.

Im folgenden ist yon Polynomvektoren die Rede, das sind Vektoren, die sich ats Polynome in einer Unbestimmten t mit Vektoren als Beiwerten darstellen. Da die

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Beiwerte eines Vektors bei seiner Darstellung durch eine Basis yon E rood. F u n d ebenso der in F liegende Restvektor linear yon dem Vektor abhiingen, sind sie bei einem Polynomvektor 5(0 gleichfalls Polynome in t und ihr Grad nicht hSher als der yon 5 (t). Da wir Polynome nicht miteinander multiplizieren werden, kSnnen wir ohne Schadea dem Polynom 0 den Grad - - 1 beilegen.

Hilfssatz 4, Ist der Polynomvektor ~ (t) gegeben, so l~i[3t sich die Gleichung

~'(t) 4- B ~(t) = 5 ( t ) (2)

immer durch einen Polynomvektor p(t) 16sen. Die Dimension der LSsungsmannig- /aItiglceit ist m -~ h(0, B); der Grad yon p (t) ist um hSehstens m grS/3er als der yon ~ (t).

Stellen wir 15 (t) und p(t) durch die mit Hilfssatz 2 gewonnene Basis yon E mod. F dar:

m

(t) = ~ c~(t) D~, + c(t) (c(t) ~ •), a 2 ~ 1

p (t) ---- ~, q. (t) t~. -~- q (t) (q (t) ~ F ) ,

und benutzen wit Hilfssatz 2, so fordert (2) wegen der Eindeutigkeit der Basis- darstellung, dag die Gleichungen

q:,(t) 4- ~, b,, q~,(t) --- e,,(t) (~, ~-- 1 . . . . , m) , (3)

q' (t) + C q (t) ---- c(t) - - ~, q~(t) iv, = b (t) (4)

durch Polynome q,,(t) und einen Polynomvektor q ( t ) E F erfiillt werden. Aus (3) ergeben sich der Reihe nach ql(t) . . . . ; q,,(t), und jedesmal tritt eine Integrations- konstante ein. Dann 15sen wir (4) mit Hilfe der Umkehrabbildung C -1 nach q (t) auf:

q(t) = c -1 b(t) - - c -1 q'(t)

und setzen rechts immer wieder ftir die Ableitungen yon q(t) die Ableitungen der rechten Seite ein. Da die Ableitungen eines Polynoms schlie~lich zu Null werden, bricht das Verfahren ab und liefert

q(t) ~-- C -1 b ( t ) - - C -2 b'(t)-~- C -a b:'(t) - - . . . (5)

Der damit gewonnene Vektor p (t) erfiillt (2); die Zahl der Integrationskonstanten ist m; die Grade der erhaltenen Polynome erhShen sich gegen den Grad von 5(0 bei jeder der Integrationen hSch~tens um 1 und bei (5) nicht mehr.

416 H. KNESER

II.

Der in der Einleitung erwi~hnte Hauptsatz betrifft ein System yon Differential- gleichungen

y;(2;) = yl(x) + . . . + ai (2;) y (x) (i = 1, . . . , N ) .

Wit fassen Yl . . . . , Y~v als Koordinaten eines yon 2; abhiingigen Vektors t)(x) auf, die Funktionen a,-~ als Elemente der Matrix einer auf ~ wirkenden, yon x abhi~ngigen ]inearen Abbildung A (x). Dann wird das System (6) eine Vektordifferentialgleiehung

t)'(x) - - A (2;) ~) (x) = 0; (7)

um sie als Matrixgleichung zu lesen, muB man nattirlich (y~, . . . , y~) als Spalte schreiben.

Schwach singular ist die Stelle x ~-a, wenn dort die Funktionen a,- k hSchstens einfache Pole haben. Wir nehmen a = 0; dann konvergiert und gilt in einem Kreise Ix[ < / ~ > 0 eine Reihendarstellung

A (x) = A _ 1 2;-1 _[_ Ao .~_ A1 2; --~ . . . . (8)

Der ttauptsatz besagt, dab es N linear unabh~tngige LSsungsvektoren gibt, die durch je eine ftir I x] < R konvergente Reihe

(x) = Z 2;) x (o) ;*:~0

dargestellt werden. Dabei sollen p,(t) Vektorpolynome beschrSnkten Grades sein; die Folge (p,,(t)) und die komplexe Zahl e wechseln yon Reihe zu Reihe.

Wir ergreifen den formalen Tell der Aufgabe: ohne Rticksicht auf Konvergenz suchen wit Reihen (9), die mit dem Reihenausdruck (8) in die Gleichung (7) einge- setzt diese formal erfiillen. Ordnen wir nach Potenzen yon 2; und setzen wit den Beiwert yon x v+'-~ gleich Null, so erhalten wir - - mit der Abkiirzung In x : t - - die Gleichung

' t - ~ , p.( ) + (~o + n) p.(t) An_i_ ,, p,(t) = 0 ~,=0

anders geschrieben n--1

)p'~(t) --~ [(~o -~- n) I - - A_I] p,,(t) = ~ A~_ 1-v p,,(t). (10)

Hier ist Hilfssatz 4 anzuwenden mit n--1

B : (~ -~ n) I A_I, ~ (t) = Z A ,_ I_ , , )pv(t).

Der Wert h(0, B) ist die Vielfachheit yon u : 0 als Wurzel der Gleichung det (uI - - (e + n) I -~ A_I) : 0 oder, wenn wit u : Q -~ n - - v setzen, die Viel- fachheit yon v : r als Wurzel der Gleichung d e t ( - - v I + A _ l ) : : -4- det(v I - -A_~) : 0; d. h. es ist h(0, B) : h(~ ~- n, A_I). Bei n : - 0 ist die Summe auf der rechten Seite yon (10) leer, also b(t) : 0, der Grad yon b(t) gleich - - 1 .

Die Reihenentwicklung bei schwach singul/iren Stellen 417

l~ach Hilfssatz 4 gibt es h(~, A_~) linear unabh/ingige Vektorpolynome po(t), die (10) befriedigen; ihr Grad ist hSchstens h ( ~ , A _ i ) - - l . Ist n > 0 und sind po(t), . . . , p,_l(t) sehon bekannt, so kSnnen wit nach Hitfssatz 4 ein Vek%rpolynom p,(t) gemil] (10)bestimmen; sein .Grad ist hSchstens um h(0-k n, A_I)grSBer als der der rechten Seite, also um kSchstens soviel grSBer als tier hSchste unter den Gradeh yon po(t) . . . . . p,_l(t). Da h(~ -k n, A_i) nut bei endlich vielen Werten yon Null verschieden ist, bleiben die Grade beschrinkt, eine obere Schranke ist

- - 1 q- h(e, A-x) ~- h(~o + 1, A_~) q- h(~ -t- 2, A_I) - ~ . . . .

I~ehmen wir fiir ~ der Reihe nach alle Wurzeln der Gleichung d e t ( v I - A_i) ----0, so ist die Summe der zugeh/Jrigen Werte h(~, A_~) gleich dem Grade N der Glei- chung. Wit erhalten also N Reihen f~, . . . , ~v der Gestalt (9); jede gehSrt zu einem bestimmten Anfangsexponente n ~ . Wiren sie linear abhiingig, besttinde also eine Gleichung

ai ~i "~-' "*'" "~ a/v ~lv = 0, (11)

in der nicht a~ . . . . . a_v = 0 ist, so greifen wir unter denjenigen Werten 0, zu denen Reihen f,, mit a,. ~ 0 gehSren, einen, ~, mit kleinstem Realteil heraus. Dann kommen in (11) Glieder mit x ~ nut in den z u , gehSrigen Reihen vor. Diese miiBten sich aufheben; d.h. die zu c geh6rigen Vektoren po(t) w/iren linear abh/ingig. Da das nieht der Fall ist, sind ~ . . . . , ~v formal linear unabhiingig.

Damit ist der Hauptsatz im formalen Sinne bewiesen.

III.

Wir wollen jetzt beweisen, dab die im vorigen Abschnitt erhaltenen Reihen in jedem Kreise um den l~ullpunkt der x-Ebene konvergieren, in dem die Funktionea aik(x ) regul~ir sind. Dazu ordnen wit eine solche Reihe nach Potenzen yon In x an:

~) = 90 + 91 In z -Jl- . . . -]l- 9/~ (ln x) ~

DaB 9 formal die Differentialgleichung {1) erfiillt, driiekt sieh aus dureh

9~ _ A 9,, - ~ + 1 x 0~+1 ( ~ = o , . . . , p ) ,

worin 9~+1 = 0 zu lesen ist. Sei die behauptete Konvergenz bewiesen yon den Reihen 9z mit A > ~ - - im Falle v = p ist damit nichts vorausgesetzt - - ; wir be- weisen die Konvergenz der Reihe 9~. Das wird geleistet durch den folgenden

ttilfssatz. E s m6gen die Re ihen A ( x ) = A _ i x - i - k A o - k A i x - k . . . und

5(x ) --- b_ 1 x - i -~- b o -~- b i x -}- . . . m i t yon x unabhiingigen Mat r i zen A,, bzw. Velctoren

b, /iir ] x I ~ r lconvergieren. Geniigt dann die t~eihe ~(x) -~ ~o x~ ~- 31 x~ + . . .

/ormal der Di//erentiaZgleichung

~' - - A ~ = x ~ b (12) so konverglert sie / i ir [ x [ < r.

Archiv der Mathematik. Bd. 2, Heft 6. 27

418 H. K,~ss~R

Ist niimlich A (x) regular fiir I x l < / ~ und ist die Konvergenz der Reihen ~b. bewiesen ftir 2 > v und I x[ < / ~ , so sei ~ irgend ein Wert mit I ~ I < ~- Wiihlen wir r zwisehen I ~ [ und/~, so lehrt der Hilfssatz, dal3 auch die Reihe ~, ftir x ----- konvergiert.

Um d~n Hilfssatz zu beweisen, benutzen wir ein Betragsmal~ fiir Matrizen mit den Eigenschaften:

IIU+VIl~llVll+llvJl, JlVvII <llvljl lVII, l ]~ul l=l~l l lvl l , I~1<~IIv11,

worin U und V Matrizen sind, a eine beliebige komplexe, c eine feste positive gahl und u ein beliebiges Element der Matrix U ist. Der grSl~te unter den Betriigen der Elemente der Matrix, multipliziert mit N, hat die verlangten Eigenschaften. Auch Vektoren kiJnnen wir Betr~ige geben, indem wit die Spalte des Vektors N-real ncbeneinander schreiben und den Betrag der entstehenden Matrix nehmen.

Da ~ die Gleichung (12) formal erffillt, ist

((n+I) I - -U)3, ,+I=b, ,+~A~, , (n-----0,1 . . . . ) . (13) Darin ist zur Abkiirzung U = - - e I + A_I gesetzt, und die Summe soll fiber den Bereich ,t ~ 0, # ~ 0, 2 + # = n erstreckt werden; dasselbe gelte im folgenden bei Summen, deren allgemeines Glied ; tund/~ enthiilt. Aus (13) folgern wir

(n -}- 1) 3~+1 ~--- r -~- Z Ok,, ~ .... (n = 0, 1 . . . . ) (14) mit

% = ( n + l ) [ ( n - + - l ) I - - U ] - l l ~ , , , C k , = ( ) ~ + # + l ) [ ( ; . + 3 e + l ) f - - U ] , lAx,

wenn nicht n einer der endlich vieten Werte ist, fiir die det [(n + 1) I - - V] ver- schwindet. Bei diesen Werten n setzen wir einfach c,, = (n + 1)~,,+~, C~.., = 0; dann gilt (14) auch in diesen F/~llen.

Aus der vorausgesetzten Konvergenz d e r Reihen _,~ A,, x" nnd ~, ~,, x" ffir ] x] < r schliet~en wir nur

11 ~,, II = O(r-"), I1 3. II = O(r-"). (15) Bei hinreichend gro~em n gilt ferner

(n + l) [(n + l) / - - V p = ( I ~" )-~ u U~ n + l = I + ~--~+ 1 -+ (n + 1) - ~ - ~ -~ . . . .

:i ~' ii = o ( 1 ) . 11 (~ + 1) [(~ + 1) z - v]-~ tl =< il z 1t + (~ + ~ - i i vii

Hieraus und aus (15) folgt, wenn M hinreiehend grol~ gew~ihlt ist,

[[c, II ~Mr-" , l ]Ck~, [ I <=Mr-Z ( n = O , 1 . . . . ) .

Hiermit folgen aus (14) die Ungleichungen

(n + 1)II ~i+, II =< M, -" + M , r - i II ~,t II- (16)

Die Reihenentwicklung bei schwach singul/~ren Stellen 419

Wir erklaren nun die Zahlenfolge $o, ~1, . . . durch

~o----I1~o11, ( ~ t - J r l ) ~ ' n + l = M r - n - ~ ' M ~ , r - # ' < ~ t ( ~ b = O , Z . . . . ). (17)

Gilt die Ungleichung

II ~o II < ~ (18) ftir n < n o - - bei n o = 0 ist das nach (17) der Fall - - , so folgt aus (17) ui~d (18) ihre GiJltigkeit ftir n = n o -4- 1 ; also gilt (18) fiir jedes n > 0.

Nun ist (17) gleichbedeutend damit, dal~ die Reihe $ ( x ) = $o-4-~1 x - F . . . die Bedingungen

~ ( o ) = ~o = II ~o II , - - ~ • 1 + d x - - 1 - - z / r (19)

formal erftillt. Durch Integration der DifferentiMgleichung findet man, dab die Funkt ion

~(x) = (1 7~ ~o) (1 - - x / r ) - ~ ' " - - 1

die Bedingungen (19) im Funktionensinn erfiillt. Sie wird fiir 1 x I < r durch eine konvergente Potenzreihe dargestellt. Diese erfiillt (19) im formalen Sinn; also er- ftillen ihre Beiwerte die Gleichungen (17) und stimmen daher mit den dutch sic er- kl~rten Werten ~-n tiberein. Damit haben wir naeh (18) ftir die Reihe g eine im Kreise I x I < r konvergente ~{ajorante.

(Eingegangen am 16.11. 1949)

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