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Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg 54, 35--48 (1984)
Die Spur der Hecke-Operatoren in gewissen Ri iumen
yon Jacobischen Modulformen
Von M. EICHL~R
Einleitung
Unter einer Jaeobischen Modulform (wir werden kiirzer yon Jacobi-Formen reden) versteht man eine Funktion in 2 Variablen r u n d z, welehe den Funk- tionalgleichungen
\cv + d ' cv ~ - d e'n --Z2cv + d ( cv -~d ) - k - ~ / ( r , z ) ,
fiir
I(3, z + ~ --~v) e~(~2~ -- 2~z) =1(3, z)
(1)
(2)
Ist sogar
mit
cn.~----0 fiir 4mn - - r ~ ~ 0.
Cn.r -~ O fiir 4mn - - r 2 ~_ 0,
so nennt man/(3, z) eine Jacobische Spitzen/orm. Die in (1) und (2) auftretenden Konstanten k und m heil~en das Gewicht und der Index yon/(~, z). Anstelle yon Sl(2, Z) kann man auch andere Gruppen yon Substitutionen in (1) zulassen.
Eine allgemeine Einfiihrung in die Theorie der Jacobi-Formen wird in einer demn~chst erseheinenden Monographie [EZ 1] gegeben. Wir werden yon dieser hier aber nur wenige und elementare Ergebnisse voraussetzen, so dal~ die vor- liegende Note unabh~ngig lesbar sein wird.
Der stets endlich dimensionale C-Raum J~,~ der Jacobi-Spitzenformen vom Gewicht k und Index m wird durch Hecke-Operatoren T(n ~) in sich trans-
geniigen. Wir benutzen hier durchweg die iibliche Abkiirzung
e(x) ~-- e 2~ix und em(x) ---- e 2"~mx.
Ferner sollen folgende ttolomorphiebedingungen erfiillt sein:/(v, z) ist holo- morph fiir a l lev in der oberen Halbebene H und z in der vollen komplexen Ebene. In der Spitze v --> i ~ bestehe eine Fouriersche Entwicklung
/(~, z) = ~ c,.,e(n~ % rz) (3)
36 M. Eichler
ab) durch- formiert, welehe folgendermaflen definiert sind: Die Matrix M = e d
laufe ein Vertretersystem der linksseitigen Nebenklassen von ganzzahligen Matrizen der Determinante n 2 bzgl. Sl(2, Z) und /~, ~ durehlaufen ein Ver- tretersystem von Paaren in Z 2 modulo nZ 2. Der Heeke-0perator ist dann die folgende Summe
(II (% z)
:nk-4~M .., ~ / ( M(r)'~(z+ +d
X e ' ( - ( z +/~ - ~r)2 c---~-- )
Die Auswahl der Repr~sentanten M und p, ~ ist willkiirlieh, was man iibrigens dureh Benutzung yon (1) und (2) direkt best~tigen kann.
In [EZ 1] w 4 wird noeh eine Summationsbesehr~nkung verlangt: der g. g. T. (a, b, c, d) soil ein rationales Quadrat sein. Wir verzichten hier auf diese Ein- schrs da sie bei der Berechnung der Spur miihsam ist. Man kann sie aber durch eine nachtr/~gliche Korrektur vornehmen, wenn man das Folgende beobachtet: Es bedeute Tt(~ 2) die Summe (4), in welcher der g. g. T. (a, b, c, d)
t ist. Dann gilt
Tj(n 2) -~ tk-2T(n2t-2).
Im zweiten Tell der Arbeit [EZ 1] beabsiehtigt D. Zagier zu beweisen, daft die Spur y o n T ( n 2) im Raum J ~ mit der Spur des Hecke-Operators T(n) im P~auln $2k_2(S/(2 , Z)) der elliptisehen Spitzenformen vom Gewicht 2k -- 2 iiber- einstimmt. Das hgngt mit der sog. Saito-Kurokawa Vermutung zusammen, welehe in der Vergangenheit verschiedentlich behandelt wurde. Wir gehen auf die diesbeziigliehen Arbeiten nicht ein. Dasselbe folgt aueh aus der Beziehung
1 zu den Modulformen yon halbganzem Gewicht/r -- ~ (vgl. [EZ 1], w 5) und
der Schimura-Liftung zu Modulformen vom Gewicht 2/r -- 2 zusammen. Vgl. hierzu W. KOH~E~, Modular forms of half-integral weight on /'0(4), Math. Annalen 248, 249--266 (1980).
w I. Ergebnisse
Im folgenden beweisen wir eine ggnzlich andere Formel fiir die Spur yon T(~2), deren ~bereinstimmung mit Zagiers Formel nicht direkt ersiehtlieh ist. Zu ihrer Formulierung brauchen wir zwei Hilfsfunktionen. Allgemein besteht fiir jede Jacobi-Form eine Reihenentwicklung
/(T, Z) = ~-a z2h~/I(T)" (5) h = 0
Die Spur der Hecke-Operatoren 37
Diese Reihenentwieklung beginnt fiir unsere erste Hilfsfunktion so:
/o(T, z) = z~A(~) + . . . , (6)
wo A (r) die wohlbekannte Diskriminante bezeichnet. Bis auf einen konstanten Faktor ist
]0(% z) = Ea(3) E~,l(3, z) -- E~(3) E4,1 (i-, z)
mit den normierten elliptischen und Jaeobischen Eisensteinreihen der im Index angegebenen Gewichten und Indizes [EZ 1], Theorem 8.1. Ferner brauchen wir
/1(3, z) = ~(3, z)lO(i-, z) = A(3) + z~ i (T) + "" (7)
mit der Weierstrassschen Funk~ion ~. /0(i-, z) und/1(% z) sind Jacobi-Formen der Gewichte 10 und 12 und vom Index 1. Aus [EZ 1] Theorem 2.1 geht hervor, dal]/0(3, z) eine Spitzenform ist; dann ist es aueh/1@, z).
Wir werden die Spur yon T(n ~) unter den folgenden Bedingungen angeben:
k-~--0mod2, k>__14 und m----1.
Die Methode versag~ fiir k ---- 12. I)iese beruht auf folgender Beobachtung:
Satz 1. Eine Basis / i ir den Raum J'k~ /iir k >= 14, besteht aus den Funktionen
/I(3, Z) = ]1(3, Z) ~i('~), ]0(3, 2 0 = ]0(3, Z) hi(l'),
wobei die 9i(3) und hi(i-) Basen der elliptischen Modul/ormen der Gewichte k -- 12 und k -- 10 sing.
Der Hecke-Operator T(n ~) wirkt nun auf diese Basis wie folgt:
(/~ I ~(~'))(3, z )= ~ , , ~ , ,o t~ s (n) 1~ (3, z) + Z t~j (~) pj(3, z), i (s)
(P, I z(,,~)) (3, ~) = Z t~ ~) + z t,~oo (~) /~o (i-, ~). i J
Die Spur yon T(n 9) ist die Summe der Spuren der Teilmatrizen
Diese Spuren werden nun ~hnlich wie die Spuren yon T(n ~) in den R/iumen 2,_,z(,.ql(2, Z)) und Sk_i0(~.~[(~, Z)) bereehnet, n/~mlich dureh die Benutzung einer analytischen Kernlunktion (w 3), welche mittels eines nahe liegenden Kunstgriffs aus den Kernfunktionen im FaUe der elliptischen Spitzenformen bereehnet wird. Die letzteren wurden in [E 1] eingefiihrt und in [E 2] noch einmal erli~utert und verallgemeinert. Das diesbeztigliche 3. Kapitel der letzteren Arbeit sollte, falls notwendig, zur weiteren Information heran- gezogen werden. Dort wurde allerdings anstelle der analytisehen Kernfunktion der Ausdruek ,,Greensehe Funktion" verwendet. Wir finden diesen Ausdruck heute unzweckm/~Big. Die analy~ische Kernfunktion ist in alien Variablen ana- lytisch und zwar im Gegensatz zu der Kernfunktion der Selbergschen Theorie.
38 M. Eichler
Wie in [E 2] mfissen wir einen kleinen Umweg machen. Wir zerlegen den Operator T(n 2) in die Summe
T(~ ~) = T'(n 2) + I (9)
wo I den Einsoperator bezeichnet, dafiir aber bei T'(n ~) der Summand
M = <: ~) = (0 0) auszulassen ist. Die entsprechende Aufspaltung wird bei
den Teilmatrizen in (8) vorgenommen, und die gesuchten Spuren sind dann
a(Tl(n')) ---- s(T;(n~)) + r,, s(To(n')) = a(T~(n')) + ro, (10)
wo rl und r0 die Anzahlen der linear unabhgngigen Formen/l(r, z) und/~(r, z) bedeuten. Sie lassen sich mittels Satz 1 leicht angeben.
Die Spuren der Teilmatrizen T~(n ~) und T~(n ~) werden folgendermaSen be- rechnet: Zungchst sucht man alle Zahlen a 6 Z und / 6 Z, / > 0 derart, dab
A ---- (s s - - 4 n ~ ) / - 2
die Diskriminante einer Ordnung ~ = ~(8,/) in einem imagin~ren quadra- tisehen Zahlk6rper ist. Sodann bildet man s~mtliche
~ = - ~ -
der Norm ~2 und der Spur e.
Satz 2. Die Spur der ersten Teilmatrix ist
~ : - * n - - 1 s(T'l(n2)) = n-2 Z r162 a {~1((%) _ ~-1 Z a k - ' - - ~ k - 3 , (11) - - - a l : 2
a < n
wobei ~l(a) nur von ~, d. h. yon s und /, dage~en nicht yon k abhgnqt. Die Funktion ~z(a) wird wie folgt definiert: in jeder Klasse invertierbarer
~-Ideale wird ein Repr~sentant a e mit einer Basis ~ol, oJ~ ausgew~hlt und eine
Matrix Oe = (a~ b'l gem~13 \% do/
% d (oJ,, ~ )
berechnet. Es werden allerdings nut solehe ~ zugelassen, welche ~ n sind. Mit den Matrizen Ge bildet man die Fixpunkte
"r e = G e ( v e )
in (H). Es ist dann
~1(~)= 2 / ~ ~ 0 , - - ( ~ - ~ o ) e - - - + ~ r o ~,v ~
summiert fiber ein Restsystem /~, ~ E Z 2 modn~ ~. Aus den Funktional- gleichungen (1), (2) geht hervor, dab die Wahl der Restklassen/~, ~ willkiirlich
Die Spur der Hecke-Operatoren 39
ist. Desgleichen h~ngt q01(a) nieht yon den benutzten Klassenrepriisentanten % und deren Basen ab.
Satz 3. Die Spur der zweiten Teilmatrix ist
~k-1 n - - 1 8(T~(,~')) = n - ' Z ~o(~,) _ r,~-i Z a~-I - - r' ,~-8 (13)
a.~ n
mit zwei Konstanten 7, 7' deren Werte wit hier nicht angeben. Die Bereehnung yon ~0~ erf~lgt ~hnlieh wie die yon r n~imlich
~o(~)
= Z Z . . . , /0(,,, z(3.)) (14)
Hier bedeutet z = Z(3) die Nullstellenmannigfaltigkeit der WeierstraBsehen ~-l~unktion. Obwohl diese unendlich vieldeutiq ist, lie/ert ihre Einsetzunq eine eindeutiqe Funktion.
Wir werden am Sehlul~ (in w 6) zeigen, dab die einzelnen Summanden in (12) algebraische Zahlen sind, n~mlieh singul~re Werte yon Modulfunktionen.
w 2. Beweis yon Satz 1
/(3, z) sei eine Jacobische Spitzenform vom Gewicht k _~ 12 und Index m ---- 1. Dann is t / (3 , 0) eine elliptische Spitzenform vom Gewicht k. Sie ist durch A (3) teilbar, und der Quotient ist eine elliptische Modulform g(3) veto Gewicht k -- 12. Die Differenz
1(3, z) - g(3)/1(3, z) = 1'(3, z)
ist nun eine Jaeobisehe Spitzenform, welehe in z ----- 0 yon zweiter 0rdnung ver- schwindet. Diese ist dann dureh 1~ z) teilbar, da 1~ z) naeh Theorem 1.2 in [EZ 1] nur die zweifache Nullstelle z = 0 hat. Der Quotient ist eine in z iiberall holomorphe elliptische Funktion und daher eine yon z unabhgngige Modulform h(3) vom Gewieht k -- 10. Well/~ z) au6er in der Spitze fiir keinen Weft yon 3 Null wird, ist h(3) eine holomorphe Modulform. Es ist also
1(3, z) = g(3)/1(3, z) + h(3) /~ z).
Weil ]1(3, z) und/~ z) Jacobische Spitzenformen sind, ist die linke SeRe dieser Gleichung stets eine Jacobische Spitzenform, wenn g(3) und h(3) elliptisehe Modulformen der Gewichte k -- 12 und k -- 10 sin& Und wenn diese Funk- tion = 0 ist, so folgt g(v) ~(v, z) + h(3) = 0, also g(3) = h(3) = 0. Das beendet den Beweis.
40 M. Eichler
w 3. Die analytisehe Kernfunktion
Man bildet ffir ein gerades Gewicht h > 4 die Summe
1 kh(3, 3') = +_bo )'
c.~.n (c3 -4- d) h \ c3 -4- d -4- n - - 3'
{ao bo~ c wokc d ] C S/(2, Z) mit laol < ~ genommen werden. Summiert wird fiber
s/imtliehe teilerfremde Paare c, d, sowie fiber a l l e n ~ Z. Die Summe kon- vergiert bedingt, wenn man die Summation nach n so anordnet: n = 0, 1, --1, 2, --2, . . . Sie kann dann so geschrieben werden:
:t cotan ~(G(3) - 3') kh(7, 7') = ~ (c7 -4- d) -------~h summiert fiber
(1o ) o = ~ d ~ po(0) " , s l (2 , z ) , l"o(O) = .
Man verabredet noch, dab yon den Pa~ren (c, d) und (--c,--d) nur eines genommen wird, denn beide ergeben den gleichen Summanden. Man kann diesen Ausdruck noeh in
k,(7, 7 ' ) = ~ 1 ( 2~i i) a (c7 + ~ ) ' 1 - e (7' - a ( 3 ) ) - ~
umformen. Die analytische Kern/unktion kh(3, 3') ist eine meromorphe Modulform yore
Gewieht h in 7 und ein Integral 2. Gattung vom Gewicht 2 -- h in 3' [E 2]. Als solches darf sie um eine ,,Integrationskonstante" abge/indert werden. Wir tun das in der Weise, dab kh(3, 7') in der neuen wie in der ursprfinglichen Form ffir ~ --> cr verschwindet.
In [E 2] wurde gezeigt: es ist
1 2~i kh(7, 7') = Y = - - ~ 9i(7) bi(3) -4- lh(3, v') (15)
mit einer Basis 9i(7) der Spitzenformen vom Gewicht h und einem zugehSrigen System yon Integralen bi@) mit der Eigenschaft
1 ffir i = ?" (16) Resgi(3) b j ( 3 ) d 3 : 0 ffir i ~ ] ,
( ~ l~es bedeutet die Summe aller Residuen). In (15) ist endlich lh(3 , 3') eine meromorphe Modulform in beiden Variablen yon den Gewichten h und 2 -- h. (16) beruht auf dem sogenannten inhomogenen Riemann-Rochschen Satz, vgl. [E 3], S. 177. Dieser gilt sinngem/~B auch dann, wenn es keine Spitzen- formen vom Gewicht h gibt, wenn also die Summe fiber i in (15) leer ist.
Die Spur der Hecke-0peratoren 41
Die Berechnung der Spur von T(n ~) im Raum der Spitzenformen geschieht nun wegen (15) und (16) so: es sei
(gi I T(~2)) (0 = E t . (~) gj(r), i
und weft (T(n ~) wirkt nur auf T)
(lh I T(n2)) (~, ~')
wiederum eine Modulform in T ist, so ist
(zh I T(.~)) (r, r) aT
ein meromorphes Differential, und dessen Residuensumme ist 0. Es gilt hiermit
a(T(n~)) = • t,,(n) ---- - - E Res (ka 1T(n2)) (r, "c')[,,= , dr. (17)
Man kann die Kernfunktion ka(~, T') so ab~indern, dab die modifizierte Formel (17) die Spur yon T(n ~) im Raum aller holomorpher Modulformen liefert. Eine Basis yon diesen besteht aus den Spitzenformen gi(v) und der (so normierten) Eisensteinreihe
go(~) = 2~i E (~r + d) -h.
Mit bo(r') ---- 1 gilt dann die zu (15) analoge Gleichung
k ~ ( T , r , ) = ~ 1 ( 2~i i) o.~ (~r + d) ~ 1 - ~(~' - a(r)) - 9,~
= - - E gi(r) bi(T') + lh(r, T'). (15') i>0
Man mu]~ hierzu beweisen:
a) E Res kh(T, r') go(r') dr' = 0,
b) ~ Res g~(T) bo(r) dv = 1 oder 0,
je naehdem i = 0 oder i > 0 ist. ])as Letztere ist selbstverst~ndlieh. DaB Erstere ergibt sich so: kh(T, ~')go(v')dr' hat nur zwei Pole, ni~mlich in r ' ---- r und in T' = ic~. Die Residuen an diesen Stellen sind --go(T) und go(T).
Zur Bereehnung der Spuren yon T(n 2) in den S~tzen 2 und 3 bildet man die Kernfunktionen usw.
K~(r, z; r , z') ' r') ' = k k _ l ~ ( r , f~(r,z)
f(r' , z') '
]](r, z) =gi(~)fl(v,z), B~(r',z') =bi(v')
LI(T, z; r', z') :/k_12(v, r') /:(~, z) /:(~',z') '
]I(T', Z')' (18)
und analog K~ z; T', z') usw. mit k~_lo(T, r'), h~(v) usw. anstelle yon k~_ 12(v, v'), gi(r) usw. Die folgenden Gleichungen formulieren wir nur fiir den oberen
42 M. Eichler
Index 1 ; die sinngem~ge ~bertragung auf den Index 0 maeht keine Schwierig- keit.
Es gilt nach (15') und (18)
.KI(T, Z; lg', Z') = - Z 11( 3, z) BI(7 ', z') -~ LI(r, z; r', z'). (19) i
LZ(r, z; r', z') ist eine meromorphe Jacobi-Form in r, z yore Gewieht k und Index m ---- 1, und eine meromorphe Jacobi-~orm in r', z' vom Gewicht 2 -- b und Index m --~ --1. Die Gleichungen (16) iibertragen sieh zu
Res/1(, , z)B~(r, z )dr = { ~ fiirfiir i~=].i .-= ] (20)
w 4. Die Spurlormel (11)
Zuni~chst berechnen wir die Anwendtmg des gemiil~ (10) modifizierten Operators T'(~ ~) auf die Kernfunktion:
(K 1 ] T'(n~)) (r, z; ~', z')
= , ,~ " 2 X 2,,~(~, - o(r) )
a l,., (cr + d) ~ (1 - - e ( r ' - - O(v)))
) ( o ) (z + /~ -- rr) e --(z + /~ -- ~r)2 cr ~ -d + ~'2r -- 2rz)
• l ' ( r ' , ~')
(21)
1") summiert fiber
F, ~ E Z~/nZ ~.
Naeh (8) (mit T'(n ~) anstelle T(~)) ist
~(T;(~)) = 2 t,,l' (,, ~ )
= - E Res (K1 I T'(~)) (r, z; r', ~')],,_, dr + E Res ~(usw.) at. i=,_--z=o
Im zweiton Term rechts hat man nach (18) zuni~chst (L 1 ] T'(~2)) (r, z, r', z') und damit eine meromorphe Jacobi-Form in r, z vom Gewicht k und Index 1, sowie eine ebensolche in r', z' yore Gewicht 2 -- ]r und Index --1. Setzt man r' =- r, z' ~- z = 0 ein, so erhglt man eine meromorphe elliptisehe Modulform vom Gewieht 2. Multiplikation mit dr und Bildung der Residuensumme liefert dann 0. Also ist
'(Tl(n~)) = - - Z Res (K 1 I T'(n~)) (r, z; ~', z ')l;;:Lo d r ' l (22)
Die Spur der Hecke-Operatoren 43
Die rechte Seite hat Pole in den Fixpunkten
und in der Spitze ioo. Man z~hlt natiirlich nut die Residuen in einem •unda- mentalbereich. Das bedeutet, dab man ein Repr~sentant~nsystem der/~qui- valenzklassen solcher Matrizen G bzgl. S/(2, Z) zu nehmen hat. Ein solches wird bekanntlich durch ein Vertretersystem
aQ = (O)Q1, 0)Q2 )
der Idealklassen bez. der Ordnungen ~ gelie(er~, welche die Eigenwerte ~,
der Matrix G ---- ( : bd) enthalten, sowie durch
adx = GQa~.
Aim dem Fixpnnlr~ ~ berechnen sich die Eigenwerte so:
oc = cT: + d, ~. Sie kSnnen auch
1 (8 + ! 1 5 ) , a = (8, - 4~ , )1 - , < 0 ~ = - ~
mit e , /E Z, / > 0 geschrieben werden. Die Eigenwerte a, X sind dann dureh ihre Spur 8 und Norm n 2 eindeutig gegeben. Die Einschr~nktmg in der Summe (21) bedeutet ~ ~ n.
Mit diesen Erl~uterungen ergibt sich der Beitrag der Fixpunkte in H wie in (12) angegeben.
Es bleibt der Beitrag der Spitze zu berechnen. Die Spitze T ---- ioo wird durch die Substitutionen mit den Matrizen
~vw]
A g
In der folgenden Rechnung benutzen wir die iibliche Abkiirzung e(v) = q.
so, on , s nao esi uum :0 on
(K 1 ] T'(•2)) (r, O; V, 0) dr
n-2 Z Z ak_ld_l e(z (av + b)/d) /1( av + b n ) - - d ' d ( t t - v v ) e(v2~) = dq
a.b.d ~., 1 -- e(~ -- (av + b)/d) A (T) q
zu berechnen. Wir benutzen die weiteren Abkiirzungen
d ~(~ - ( ~ + b)/~) = 1 Z r176 - ~ , - - - - ~ = 1 1 e ( T - (aT + b)/d) 1 q~-~'
Z / l ( a v + b n ) oo v,, d ' d (l~ -- v~) e(vZz) : ~=IZ c,qa~/a~ t~a"
44 M. Eichler
Zungchst wird a ~= d vorausgesetzt . I n der Summe fiber b in
(K 1 [ T'(n2)) (v, 0; r, 0) dr
ak-l d-1 d-x ~ ~ dq
a,a 1 - - q~-" b=O 6=X , = 1 qA(r)
bleiben nur die Terme mit ~ ~-~ ~ rood d zuriick und multiplizieren sich mi t d. Die Summe wird also
ak-1 ~_, a dq = n-2 ~ qd-a Z.~ ~ r ~+a'f �9
a,a 1 - - ,'=0 6=X qA(r)
])as Res iduum der einzelnen S u m m a n d e n ist ~--1 fiir ~ - ~ 1, ~ ' - - - -0 und a ~ d. Sonst ist es ~ 0.
Es ist noch der Beitrag fiir a ---- d ~- n, 1 ~_ b < n naehzuholen. Dieser ist das Res iduum yon
( ) n - 2 Z Tbk- 2 /1 b dq ~,, n qA (r)
. - 1 1 o~ = nk-4 ~" ~-b ~=1 c'q'~b('-l) dq
b=l 1 -- ~ qA(r)
Zum Res iduum in q = 0 triigt nur der Term mit V = 1 bei; er ist
~ - - 1 C19~ k-4 - -
2
Berechnung der Kons t an t en cl : Man benutz t die Fourierreihe (3) von / l ( r , z). Es ist
Ffir a ~ d ist d > n, und die Summat ion fiber # im zweiten S u m m a n d e n liefert 0. Zum Res iduum tr~gt ferner nur der S u m m a n d mit ~ : 0 bei. ] )a nach Defini t ion in (3): c10 : 1 ist, wird die Kons tan te cl ~- n.
I m Falle a -~ d = n ist ebenfalls nur der S u m m a n d mit ~ -~ 0 zu berfiek- sichtigen. Je t z t wird aber (man beachte wieder die Summat ion fiber/~)
Zur Berechnung yon Cn benutz t m a n den Operator
L12 = 8 : ~ i ~ . . . . . . OZ 2 Z 0Z"
[EZ 1], w 3. E r fiihrt die Potenzreihe (5) in
L12p(r, z) = 8~i d~o(r) dr
48V, l(r) + z2 . . ,
Die Spur der Hecke-Operatoren 45
fiber, wobei der 0re Term eine Spitzenform vom Gewieht k -{- 2, also in unserem Falle 14 ist. Eine solche ist bekanntlieh = 0. Also hat man
8~i dA (3) 48~01(3) : 0. dr
•olglich beginnt die Fourierreihe (3) y o n / l ( r , Z) SO :
]a(r, z) = q fi- q -~ e - - e - - + . . .
1 1 : --~ q + -~ q(e(z ) -F e( - -z ) ) -q - . . . ,
und es ist 1
(310 : (~11 : (~1,-1 : " ~
und auch jetzt cl ---- n. Endlich kann man den gesamten Beitrag des Residuums in der Spitze ioo
zur Spurformel (11) zusammenfassen: n - - 1
--Res,r ( K 1 I T ' ( n2 ) ) (3, 0; r, 0) dr = - -n -1 E a~-I - - nk-3" aln' 2 a<n
w 5. Die Spurformel (13)
In analogem Verfahren zu w 4 erhglt man jetzt nach (8) und (20)
= - - Z Res [ (K~ T'(n=)) (v, z; , ' , z')],,=, d, 4- Z Res L~176 d, , Zt:z=g(T)
wo z = g(3) die Nullstellenmannigfaltigkeit von ~(3, z) bedeutet. Zungchst muff festgestellt werden, dab die Einsetzung der unendlich vid-
deutigen Funktion Z(3) eindeutige Funktionen in 3 liefert. Nach [EZ 2] ist
og(5 + 1 g(3) = ~ fl- \ 2hi + 144ni ]/6; E6((7)3/2 C a - - 3) da fi- it - - ~3 ,
wobei it, r beliebig in Z genommen werden dfirfen. Anwendung eines G = (a b) C Sl(2, Z) transformiert g(r) in c d
z(a(r)) (~r + d) = ~ z ( 3 ) + ita - ~ar (24)
mat ea = :1:1 und Iza, va C g . Naeh der Konstruktion in w 3 ist
[ (50 I TI(Tb2))('If, Z; Tr, Z')]~:--~
46 M. Eichler
eine meromorphe Jacobi-Form vom Gewicht k = 2 und Index 0. Einsetzen yon (23) fiir z und Multiplikation mit d3 liefert dann ein eindeutiges Differential. Dessen Residuensumme ist 0. Man erh/ilt also analog zu (22)
8(Tg(n2)) ---- - - Z R e s [(K~ T'(n2)) (3, z; z', z')],,=, d3. (25) z'=z=z(O
Da# die Mehrdeutigkeit yon ;~(3) hierbei nicht stSrt, geht aus dem Friiheren hervor; man kann es aber auch direkt best~tigen. Man bildet zunRchst mit einer weiteren Unbestimmten 3" Rhnlich wie in (]8)
K~ z; 3', z '; 3") = l'k-lo(3, z" ) - - /0(3, z)
p(3', z')
und wendet den Operator T'(n 2) auf z, z an. Das liefert eine meromorphe Jaeobi-~orm vom Gewicht /r und Index m = 1, welche yon 3" abh/~ngt, dividiert dureh eine Jacobi-l~orm/0(v,, z') vom Gewicht 10 und Index m ---- 1. Je tz t bekommt man durch Einsetzen yon 3' = 3, z ---- z' ---- g(~) eine eindeutige Modulform in 3, welehe noch yon 3" abh/~ngt. Zum SchluB wird 3" ---- 3 ein- gesetzt.
Die Funkt ion (K ~ I T'(n2)) (3, z; 3', z') s t immt mit (21) fiberein, wenn man nur noch den Index 1 durch 0 ersetzt. Es wird also nach (25)
2. (3 - a(3)) (T~(~)) = --~-~ X Res Z Z
,.. (~3 + ~)~ e(3 - a(3))
1 o U(3). ~ (Z(3) + ~ ~ - ~ + , ' 3 - 2,X(3)
x I~ z(,)) d3,
summiert fiber
G c to(O) \ M2(Z), lal = ~ ,
/~, ~' E g 2 / n g ~.
O (oO) (26)
Wie gesagt, ist dieser Ausdruck invariant bei Ersetzung eines Zweiges yon g(3) durch einen anderen, sowie yon G,/~, v durch andere Repr~sentanten.
Man fiberzeugt sich endlich, dab ffir z C H
/~ z(3)) = z(3) ~ ~(3) + z{3)' v,2(3) + . . . ~ o
ist. N/~mlich die Funkt ion/~ z) hat nur die einzige Nullstelle z = 0, und es kann hie Z(3) = 0 werden, da #(3, 0) ~- c~ ist.
Das Differential (26) hat nur in den Fixpunkten und in den Spitzen Pole. Die Residuen in den Fixpunkten liefern den in (14) angegebenen Wer t yon ~~
Die Spur der Hecke-Operatoren 47
Zur Bestimmung des Residuums in ~-----ic~ verwendet man ~hnlich wie in w 4 die Abkiirzung
~.~ - - - - ~ ' d g ~- # -- v "----~b)) e v2 d 2vZ
und auBerdem t,=l
t0( , = , , c,q .
])ie Rechnungen verlaufen analog und ergeben
Res,=i~ ( K~ I T'(n2)) (7:, Z(~); v, Z(v))d~
11 = __C 1 n- 1 ~ ak_l -~ c I __n -- 1 nk_3.
t t 2 C1 a/nt (~1 a ~ n
])al~ die Konstante cl in den F~llen a < d und a : d gleich ausf~llt, l~flt sich jetzt nicht wie in w 4 begriinden. Wir haben sie fiir den letzteren Tall mit
tt ! ~ ] ,t bezeiehnet. Auch die Quotienten Cl/C~--r, ci/cl sind nicht leieht (~1 zu bestimmen.
w 6. Die Summanden in (12)
Wir betrachten zun~chst die :Funktionen
(ab) d i e D e t e r m i n a n t e n 2 h a t . S iepermut ierens ieh , w e n n m a n a u f woG---- cd
die Modulsubstitutionen aus Sl(2, Z) und auf #, v die Translationen in /~ -t-/~', v ~- v' mit ganzzahligen #', v' ausiibt. Die Anzahl der Linksnebenklassen bzgl. S/(2, Z) der Matrizen G sei H. Man hat H n 2 solche ~unktionen. Die symmetrischen ~unktionen vom Grad m yon ihnen sind dann Jacobi-Formen vom Gewicht 12m und Index m. Man dividiert diese durch/~ z) mund setzt anscb_lieI~end z = 0 e in . / )as ergibt Modulfunktionen in ~.
Weil (bis auf einen konstanten ~aktor)
ll(r, z) ---- ~(v, z) (E,(v) E6.1(v, z) -- Ee(v) E4.1(v, z))
mit den normierten Eisensteinreihen Ek(~) und Ek.m(V, z) gilt, und weft diese ebenso wie ~(~, z) Fourierreihen mit rationalen Koeffizienten haben (vgl. [EZ 1] Theorem 2.1 und [EZ 2] S. 402), besitzen die gebildeten Modulfunktionen ebenfalls rationale Fourierentwieklungen. ])ann erh~lt man aber dureh Einsetzen yon Werten v in einem imagin~ren quadratischen Zah]k6rper
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algebraische Werte in gewissen KlassenkSrpern. Die einzelnen Summanden sind endlich algebraisch fiber diesen KlassenkSrpern. Das wurde in w 1 be- hauptet .
Die analoge Aussage ffir die Summanden yon (14) trifft vermutlich ebenfalls u, scheint aber schwieriger begriindbar.
[E l]
[E 2]
[E 3]
[~.Z 1]
W.Z 2]
Literatur
M. EICHLER, Eine Verallgemeinerung der Abelschen Integrale. Math. Ztschr. 67, 267--298 (1957). M. EIC~LE1L The basis problem for modular forms and the traces of Hecke operators in Modular Function in one Variable. Lecture Notes in Maths. No 320. Springer-Verlag: Berlin--Heidelberg--New York 1973. M. EICHLER, Einfiihrung in the Theorie der algebraischen Zahlen und Funk- tionen, Birkh~user-Verlag: Basel 1963. M. EmHL•R, D. ZAGI~R, On the Theory of Jacobi Forms I. Erscheiut demn~chst in Progress in Mathematics, Birkh~user Verlag Boston 1984. M. EICHLER, D. ZAGLER, On the zeros of the Weierstrass ~-~unction. Math. Ann. ~8 , 399--407 (1982).
Eingegangen am 1.3. 1983
Anschrift des Autors: Prof. Dr. M. Eichler, 27, Im Lee, CH-4144 Arlesheim.
