W. Thirring Die Universalitat der Gravitation

Die Gravitation ist der entscheidende Fak- tor in der Entwicklung der Sterne'?. Die Wurzel ihrer Macht liegt in ihrer Univer- salitat, d. h. alle Teilchen werden von ihr in gleicher Weise beeinflufit. Mit anderen Worten: sie sind rnit derselben Kopp- lungskonstanten mit dem Gravitationsfeld verknupft. Im folgenden wird untersucht, inwieweit die Universalitat der Gravita- tions-Wechselwirkung ein experimentell ge- sichertes Faktum ist und welche Folgen sich daraus fur die Struktur des Raumes erge- ben.

Der experimentelle Beweis: Der Zerfall des neutralen K-Mesons

Bisher wurde stillschweigend akzeptiert, dai3 dle Teilchen in gleicher Art und Wei- se an die Gravitation gekoppelt sind. Es drangt sich die Frage auf, inwieweit Anti- teilchen dieselbe oder die umgekehrte Kopplungskonstante haben. Um dies zu entscheiden, hat uns die Elementarteil- chenphysik ein ungeheuer empfindliches Instrument zur Verfugung gestellt, wel- ches das klassische Experiment von Eotvos um viele Groflenordnungen zu verbessern erlaubt. Das System sind die neutralen K- Mesonen. Seine Emfindlichkeit beruht auf dem geringen Unterschied ihrer Massen, der, relativ gesehen, nur 10-14 betragt. Ei- nige Eigenschaften dieser neutralen K-Me- sonen sind in Abbildung 1 zusammenge- stellt. Tatsachlich sind die wirklichen Su- perpositionen um Promille von den hier angegebenen verschieden, doch sind fur uns diese Feinheiten unwesentlich.

Zwar ist es so, dafi nicht das KO und sein Antiteilchen K" verschiedene Massen ha- ben, sondern vielmehr die quantenmecha- nischen Superpositionen

Diese Kombinationen sind es auch, die sich im Zerfall klar unterscheiden. K, zerfallt nach etwa 10-10s meistens in zwei und K1 vornehmlich nach mehr als hundertmal langerer Zeit in drei Pi-Mesonen, wie in Abbildung 1 dargestellt. Wenn nun die Kopplungskonstante von K" an das Gra- vitationsfeld das umgekehrte Vorzeichen von KO hatte, wurde dies wechselseitige

*W. Thirring, Gravitation, Physik in un- serer Zeit 1, 17 (1970)

Obergange zwischen K, und K1 induzie- ren. Als Konsequenz mufiten alle neutra- len K-Mesonen nach kurzester Zeit in zwei Pi-Mesonen zerfallen, da dieser Zer- fall bereits nach etwa 10-10 s erfolgt. We- gen des kleinen Massenunterschieds lafit sich dieser Obergang nun sehr leicht her- vorrufen, und phantastische Empfindlich- keit des Systems ermoglicht ein sehr exak- tes Resultat. Aus dem experimentell sehr genau bekannten Zerfallsprozefl der neu- tralen Pi-Mesonen laRt sich daher nicht nur schliefien, dai3 K" nicht die umgekehr- te Gravitationskopplung hat, sondern dafi der Unterschied zwischen der Gravitati- onskopplung von KO und iT" kleiner, also 10-14 bis 10-20, sein mufl. Dabei erhalt man den groReren Grenzwert unter der Annahme, dafl wir hier nur das Gravita- tionspotential unserer Galaxis spiiren und die andere Grenze unter Verwendung des Gravitationspotentiah des gesamten Uni- versums. Die Universalitat der Gravitati- onslropplung ist also tatsachlich experimen- tell sehr gut fundiert.

Die Geometrie des Raumes

Wir wollen nun die Konsequenz der Uni- versalitat betrachten, welche die groflte Erregung uber die Einsteinsche Theorie hervorgerufen hat, namlich der Einflul? auf die Metrik des Raum-Zeit-Kontinu- urns. Unter der Metrik verstehen wir da- bei den Zusammenhang des Wegelementes ds mit drei Ortskoordinaten und einer Zeitkoordinate in einem vierdimensiona- len Raum. Als Beispiele seien aufgefuhrt:

Pseudo-euklidische Geometrie in kartesi- schen Koo'rdinaten:

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 -I- (dz)' - C' (dt)'.

Allgemeinere Geometrie in Kugelkoordina- ten :

(ds)2 = ea (dr)Z + r2[ sin26(dq)g + (d62)] -

- e'cz (dt)2,

v und 1 sind Zahlen, die entsprechend der speziellen Losungen der Einstein-Gleichun- gen gewahlt werden mussen. Es gibt eine ziemlich grofle Klasse von Theorien, welche der erwahnten Universa- litat Rechnung tragt und welche man er- halt, indem man die Gravitationspotenti- ale mit dem Energie-Impuls-Tensor" ver- knupft. In Analogie dazu kann der Zusam- menhang der elektrischen Potentiale rnit dem elektrischen Strom betrachtet werden. Diese Wquivalenz wird durch folgende Gleichungen dargestellt.

1) Fall des elektromagnetischen Feldes (A-c-z3z/3tz)Vp = p0jp

5 i e h e auch R. Sexl, Physik in unserer Zeit 2, 43 (1970).

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rnit A = a2/8x2+32/8y2+ 8 2 / 3 ~ 2 Der elektrische Strom ist jedoch ein Vie- rer-Vektor und die von ihm erzeugten

Dies sind 4 Gleichungen jeweils fur Teilchen haben Spin 1 (Lichtquanten, Pho- tonen), wahrend der Energie-Impuls-Ten- ,u = 1, 2, 3 und 4. sor zur Folge seines Tensorcharakters Teil-

V,u = (A,,A,,A,, (i/c)@) sind chen von Spin 2 und Spin 0 erzeugen kann. die elektromagnetischen Potentiale, Dabei geben verschiedene Formen der + Kopplung verschiedene relative Starke der A = (AxAyAJ Beitrage des Gravitationsfeldes fur die

Spin 0 und die Spin 2 Komponente, d. h. der Brans-Dicke- bzw. der Einstein-Theo-

das magnetische Vektorpotential, ver- 2

knupfi rnit dem Magnetfeld B: rie.

@ = elektrisches Potential, verknupfi mit 4

dem elektrischen Feld E.

po = absolute Permeabilitat.

j p = (jx,jy,jz,ic@) = e[I--(v/c)2]-1/2 .

relativistischer elektromagnetischer Strom am O r t des Teilchens.

(vx,vy,vz,ic)

-+ j = (jx,jy,jz) elektrische Stromdichte

v = (vx,vy,vz) Geschwindigkeit des Teil- chens, mit IvI = v = (vx2+vy2+vz2)1/2, e Dichte der elektrischen Ladung.

-+

2 ) Fall der Gravitation

Fur Spin 2-Theorie

(A - C2az/8t2) vlik 2 Tik

Insgesamt also 16 Gleichungen fur i:l bis 4 und k:I bis 4.

Wik = Gravitationspotentiale,

Sucht man die Bewegung eines Teilchens in einem aui3eren Gravitationsfeld nach dieser Theorie, dann stellt ein charakteri- stischer Unterschied zu den Bewegungs- gleichungen der klassischen r.elativistischen Elektrodynarnik heraus. Wihrend in der Elektrodynamik in der Bewegungsglei- chung nur die Feldstarken (E, B) aufiau- chen, treten in diesen Theorien auch die Potentiale auf, so dai3 anscheinend auch ein konstantes Gravitationspotential die Bewegung beeinflufit. Allerdings ist es so, dai3 diese Konstante auch in andere vor- kommende Konstanten in den Bewegungs- gleichungen absorbiert werden kann. So ist etwa in der reinen Spin 2-Theorie, wel- che der Einsteinschen Relativitatstheorie entspricht, die Bewegung eines Teilchens in einern elektrischen Feld E und einem Gravitationspotential V so, wie die Bewe- gung ohne jegliche Gravitation, wenn man dem Teilchen eine effektive Ladung eeff= e(1-V) gibt. Gleichzeitig scheint es eine eff ektive Masse mcff = m( 1 + 3V) zu besit-

yoo = das Newtonsche Potential, Zen. Fur die Vorzeichen gilt O<V<l, so dai3 also die Teilchen schwerer und schwa- cher geladen erscheinen. Dieses Phanomen wurde von Einstein als Andeutung des

TilC=m.[l-(v/c)2]-1 Machschen Prinzipes interpretiert, nach welchem die trage Masse eine Konsequenz aller anderen Massen sein sollte. Die trage Masse muflte sich daher in Gegenwart an- '

derer Massen vergroi3ern. ist der relativistische Energie-Impuls-Ten- sor am O r t des Teilchens.

--L

Wieder kt = ( v ~ , v ~ , v ~ ) der Geschwin- Der Einflug auf ein Wasserstoffatom durch ein Gravitationspotential wird daher eine Veranderung des Bohrschen Radius, dem Radius der innersten Elektronenbahn in

digkeitsvektor und

Ivl = v = (vx2+vy~+v,2)1/2

chens.

-+

der Betrag der Geschwindigkeit des der klassischen Bohrschen Atom-Theorie:

in h e a r e r Naherung fur V sein.

Die Groflen A und C folgen direkt aus dem Bohrschen Atommodell zu:

A = 4neoh2 und C = k3(4xeo)-*

mit €0 der absoluten Dielektrizitatskon- stanten und fi = h/2n dem Planckschen Wirkungsquantum dividiert durch 2n.

Das Atom wird also etwas schrumpfen und langsamer ,,gehen". Man kann nun leicht sehen, dai3 dies ein allgemeiner Zug von allen Systemen sein wird. Transformiert man konstante Gravitationspotentiale durch eine entspechende Mai3stabsande- rung weg, dann verlaufi in ,,renomierten" Langen und Zeiten alles so wie im Fall ohne Gravitationspotential. In Abbildung 2 ist dieser Zusammenhang erlautert.

Wenn das Gravitationspotential allerdings an verschiedenen Orten des Raumes ver- schieden ist, werden die Maflstabsanderun- gen lokal verschieden sein. Dadurch wird die Geometrie in ihrer ursprunglichen Form gestort, was Abbildung 3 anhand der Bahn eines Lichtstrahls zeigt.

Die oben erwahnte Transformation zeigt uns, dai3 die geornetrische Struktur des Raumes nun der eines Riemannschen Rau- mes entsprechen wird. Die bekannte eu- klidische Geometrie kann danach also nur in beschrankten Raumgebieten naherungs- weise gelten. Wesentlich ist eine gleiche Kopplung aller Teilchen an die Gravita- tion, denn nur dann lafit sich durch eine universelle Maastabsanderung der Eff ekt der Gravitation eliminieren. Dies ist der grundsatzliche Unterschied etwa zur Elek- trodynamik, wo auch jedermann den Ein- flui3 etwa eines magnetischen Feldes auf den Gang von Uhren kennt. Doch ist die- ser Einflui3 eben nicht so universe11 und fur Uhren aus Stahl oder Gold verschie- den. Man wird dies nicht als eine Storung der Geometrie interpretieren. Naturlich kann man auch im Gravitationsfall sagen, dai3 ,,in Wirklichkeit" die Geometrie pseu- doeuklidisch ist und dai3 nur durch das

Fur Spin 0-Theorie

(A - c-2a2/at2)@ = T: @ = Gravitationspotential,

-1 -2 Gravitationsfeld Mai3stabe an Uhren be- einflui3t werden. Jedoch gibt es wegen des universellen Charakters der Gravitation keine MaBstabe und Uhren, die es gestat- ten wurden, di,e ursprungliche pseudoeu-

rB = m,ff eeff . A N (1-V) m-1e-2 *A,

und sein.er Umlaufkreisf requenz

Ti; = TOO-Tli - T22-T33. w = 2n . T-1, mit T der Umlaufzeit, klidische Geometrie zu rnessen.

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Ausblidc

Es wurde vorhin auch die Moglichkeit ei- ner Spin 0-Komponente des Gravitations- feldes erwahnt, im Gegensatz zur Einstein- schen Theorie, die reinem Spin 2 ent- spricht. Was in der Natur realisiert ist, mui3 wohl durch das Experiment geklart werden. Die bisherigen Tests besagen nur, dai3 die Spin 0-Komponente, wenn sie iiberhaupt existiert, wesentlich schwacher als die Spin 2-Komponente vertreten ist. In letzter Zeit sind jedoch zu den drei klassischen Tests der Relativitatstheorie weitere Moglichkeiten gefunden worden, die prazisere Resultate erhoff en lassen". Ferner sind mit einiger Wahrscheinlichkeit von J. Weber Gravitationswellen entdeckt worden. Es ist damit durchaus zu erwar- ten, dai3 in nachster Zeit unser experimen- telles Wissen iiber die Schwerkrafi wesent- lich bereichert wird.

Eine Zusammenfassung sei zum Abschlui3 erlaubt: Die Entwicklung der Physik in diesem Jahrhundert hat uns geholfen, die Einsteinsche Gravitationstheorie in ihrer vollen Groi3e zu erfassen. Sie mui3 entwe- der als exakt oder doch zumindest als eine ausgezeichnete Annaherung an die Natur betrachtet werden.

Literatur

M. Good, Phys. Rev. 121, 311 (1961).

R. Feynman, Lectures on Gravitation Caltech. 1961.

R. Sexl, Fortschr. Phys. 15, 296 (1967).

W. Thirring, Fortschr. Phys. 7, 79 (1959).

R. H. Dicke, Sci. American 205, 84 (1961).

R. H. Dicke, Contemp. Phys. 1, I.A.E.A. (1969).

J. Weber, Phys. Rev. Lett. 22, 1320 (1969).

Abb. 2. Bei konstantem Gravitationspo- tential werden alle Massen schwerer und alle Zeitmesser gehen langsamer. Dies ist nicht zu erkennen, da eben alle Massen und alle Uhren verandert werden. ImTeil- bild rechts (mit Gravitationspotential) schlagt zwar der Zeiger der Waage weiter aus, jedoch ist auch das Gewicht aller Kor- per der Masse 1 kg gleich groi3 - es wird nur die Eichung der Waage verandert.

Abb. 3. Lokal veranderliches Gravitations- potential. Sind die Gravitationspotentiale lokal verschieden, dann konnen sie durch eine veranderte Geometrie des Raumes beschrieben werden. Ein Lichtstrahl brei- tet sich daher nicht mehr geradlinig aus. Er folgt der an jedem Raumpunkt etwas anderen Geometrie. Seine Bahn, nach wie vor durch das Fermatsche Prinzip diktiert, ist daher gekriimmt. Sie verlaufl langs einer sog. geodatischen Linie, die z. B. bei der Geometrie auf einer Kugeloberflache durch einen Groi3kreis gegeben ist.

'i Siehe R. Sexl, Physik in unserer Zeit 2, 43 (1970).

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