1. Die Zahl ex.

Wir zeigen, dass limn→∞(1 + xn)n = ex für alle x ∈ R.

Zuerst benötigen wir eine allgemeine Klasse von Funktionen.Definition: Die Funktion x 7→ ax (a > 0) heißt Exponentialfunktion.Sie ist für a > 1 monoton wachsend, und für a ∈ (0, 1) monoton fallend.

Lemma 1: (Sandwich-Theorem)Ist an, bn → a und gilt für fast alle n an ≤ cn ≤ bn, dann gilt auchcn → a.Beweis: Für ε > 0 sind fast alle Glieder der Folgen (an), (bn) in einerε Umgebung von a. Also müssen auch fast alle Glieder der Folge (cn)in dieser Umgebung liegen.

�

Satz 1: Ist (xn) eine Nullfolge deren Glieder 6= 0 und > −1 sind, sostrebt

(1 +1

xn

)1/xn → e

Beweis:Fall 1: Fast alle Folgenglieder positiv.

Da (xn) eine Nullfolge ist finden wir ein n0 ∈ N so dass |xn| ≤ 1,für alle n ≥ n0. Also 1/xn ≥ 1 für alle n ≥ n0. Also finden wirZahlen kn ∈ N so dass

kn ≤ 1/xn < kn + 1

oder äquivalent

1 +1

kn + 1< 1 + xn ≤ 1 +

1

kn

Da (xn) eine Nullfolge per Annahme ist, muss (kn) divergentsein. Die Exponentialfunktion x 7→ (1 + 1

k)x ist monoton wach-

send, daher

(1 +1

kn + 1)kn < (1 + xn)kn ≤ (1 + xn)1/xn

und (1 + xn)1/xn ≤ (1 + 1kn

)1/xn < (1 + 1kn

)kn+1. Insgesamterhalten wir damit

(1 +1

kn + 1)kn < (1 + xn)1/xn < (1 +

1

kn

)kn+1

was sich auch schreiben lässt als

(1 +1

kn + 1)kn+1(1 +

1

kn + 1)−1 < (1 + xn)1/xn < (1 +

1

kn

)kn(1 +1

kn

)

Da limn→∞(1 + 1kn+1

) = limn→∞(1 + 1kn

) = 1, strebt sowohl dielinke als auch die rechte Seite gegen e. Gemäß dem Sandwich-Theorem folgt also (1 + xn)1/xn → e.

1

2

Mit der gleichen Überlegung erledigt sich der Fall wenn fast alleGlieder der Folge negativ sind. Es ist

(1− 1

kn

)kn+1 < (1− xn)1/xn < (1− 1

kn + 1)kn

Führe den Beweis selber zu Ende, wobei das folgende verwendetwerden sollte:Wir wissen aus der Übung, dass (1− 1

n)n → 1/e. Denn es ist

(1− 1

n)n =

1

(1 + 1n−1

)n=

1

(1 + 1n−1

)n−1(1 + 1n−1

)

Also folgt (1−xn)−1/xn → 1/e, woraus der Beweis für (fast alle)negative Glieder der Folge folgt.

Fall 2: Hat (xn) unendlich viele positve und unendlich viele ne-gative Glieder (etwa wie (−1)n 1

n), dann können wir 2 Teilfolgen

(x′n), (x′′n) betrachten und den obigen Fall separat auf die beidenTeilfolgen anwenden.

�Satz 2: Für jedes x strebt (1 + x

n)n gegen ex.

Beweis: Nach dem letzten Satz gilt (1 + xn)n/x → e. Nun

lim(1 +x

n)n = lim

[(1 +

x

n)n/x

]x

= ex

�.