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Diffusive Beschleunigung der kosmischen Strahlung an
Schockwellen
Hauptseminar „Einführung in die Weltraumphysik“
WS04/05Ulrike Dohle
Diffusive Beschleunigung der kosmischen Strahlung an
Schockwellen
1
121 1 2
2
U33R 3UUUR 1 U U1U
Fermi-Beschleunigung 1. Art (Testteilchenrechnung) => (Drury, 1983)Potenzgesetzspektrum mit dem Exponenten
und der Beschleunigungszeit
1 2acc
1 2 1 2
3T
U U U U
1
2
UR
U
(ohne Fluchtgrenzen!)
Kompressions-verhältnis
Ui: Geschwindigkeit des umgeben-den Mediums bzgl. des Schocks
i : Räuml. Diffusionskoeffizient
Einführung
Diffusive Regionen begrenzt => Einführung von Fluchtgrenzen
Annahmen: und sind konstant.iiU
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
Diffusionsgleichung:2
i i 2ff f
U Qt x x
ff t,x,p
Quellfunktion: 0 0Q Q t,x,p Q x (p p )H(t)
Grenzbedingungen: 1 2f(t, L ,p) f(t,L ,p) 0
x 0: 1 2ff f 0 (Stetigkeit)
0 0f U f
p Q (p p )H(t)x 3 p
und (Stetigkeit)*)
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
zu *):2
i i 2ff f
U Qt x x
222
f 1 f p V fQ (p A )
t p p 3 x pp
21
2
(p vA )1(V U )
p4p
Stetigkeit:
2
20 0
ff p U flim (U )dx lim dx Qdx
x 3 x px
0 0
0 0ff p
Uff 0 U U Q p p H t 0x x 3 p
fx x
0
0 0Q t,x,p Q x (p p ( ))t( )H
(Kontinuität des Massenflusses)
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
0 0f U f
p Q p p H tx 3 p
0 0f U f
p Q p p H tx 3 p
0 0
0 0ff p
f 0 U U Q p p H t 0x x 3 p
0 0
0 0ff p
Uff 0 U U Q p p H t 0x x 3 p
( )
0
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
DGL:
Laplace-Transformation von f bzgl. der Zeit t: st
0f g s,x,p e f t,x,p dt
L
2
i i 2g g
sg U 0x x
für p>p0
denn: fs f 0,x,p sg
t
fL L
0
=>
2
i i 2ff f
U Qt x x
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
DGL:
Laplace-Transformation von f bzgl. der Zeit t: st
0f g s,x,p e f t,x,p dt
L
2
i i 2g g
sg U 0x x
für p>p0
denn: fs f 0,x,p sg
t
fL L
0
=>
Lösungsansatz: i, i,g s,x,p C exp x C exp x =>
=>2
i ii, 2
i ii
U U1 1 s2 4
2
i i 2ff f
U Qt x x
2i i i iU s 0
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
i, i,g s,x,p C exp x C exp( x
ii 2
i
4
U
=> i, i
i i
21 1 s
U
2i i
i, 2i ii
U U1 12 4
)s
Grenzbedingungen: 1 2g s, L ,p g s,L ,p 0 =>
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1C
C exp L C exp L C exp L exp L 0C
1, 1 1, 1 1, 1, 1C C
exp L exp L 0 exp LC C
11, 1, 1 1
1 1 1 1
4 1 s21 1 s 1 1 s
U U
(betrachte –L1)
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
11 1 1, 1 1,
1 1
4 1 sg s,x,p C s,p exp x exp L exp x
U
22 2 2, 2 2,
2 2
4 1 sg s,x,p C s,p exp x exp L exp x
U
C
C 2bL
1aL
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1C
C exp L C exp L C exp L exp L 0C
(
1, 1 1, 1 1, 1, 1C C
exp L exp L 0 exp LC C
11, 1, 1 1
1 1 1 1
4 1 s21 1 s 1 1 s
U)
U
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
Transformation der Randbedingungen: st
0g e f dt 0
0 st
0 00
g U gp e Q p p H t dt
x 3 p
st0 0 0 0
0
1 1Q p p e Q p p
s s
1.
2.
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
Transformation der Randbedingungen: st
0g e f dt 0
0 st
0 00
g U gp e Q p p H t dt
x 3 p
st0 0 0 0
0
1 1Q p p e Q p p
s s
i i i, i i,g s,x,p C s,p exp x exp a/ bL exp x( )
1 2g 0 g s,0 ,p g s,0 ,p
1 1 2 2C 1 exp aL C 1 exp bL
21 2
1
1 exp bLC C
1 exp aL
1.
2.
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
Aus der zweiten Randbedingung 00
Qg U gp p p
x 3 p s
folgt: 1 1 1 2 2 21 2
x 0 x 0
g U g g U gp p
x 3 p x 3 p
1 11 1 1, 1, 1 1
U CC exp aL p 1 exp aL
3 p
i i i, i i,g s,x,p C s,p exp x exp a/bL exp x )
(Zur Erinnerung:
2 22 2 2, 2, 2 2
U CC exp bL p 1 exp bL
3 p
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
12 1
2
1 exp aLC C
1 exp bL( )
1 11 1 1, 1, 1 1
U CC exp aL 1 exp aL
3 lnp
1 12 12 1 2, 2, 2 2
2 2
1 exp aL 1 exp aLU CC exp bL 1 exp bL
1 exp bL 3 1 exp bL lnp
11 2 11 1 1, 2 ,1 2
2
1 exp aLU U C1 exp aL C
3 lnp 1 exp bL
11 1, 1 2 21 , 2
2
1 exp aLC exp aL exp bL
1 exp bL
0
0Q
p ps
lnp(p p )
p lnp p lnp
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
12 1
2
1 exp aLC C
1 exp bL( )
1 11 1 1, 1, 1 1
U CC exp aL 1 exp aL
3 lnp
1 12 12 1 2, 2, 2 2
2 2
1 exp aL 1 exp aLU CC exp bL 1 exp bL
1 exp bL 3 1 exp bL lnp
11 2 11 1 1, 2 ,1 2
2
1 exp aLU U C1 exp aL C
3 lnp 1 exp bL
11 1, 1 2 21 , 2
2
1 exp aLC exp aL exp bL
1 exp bL
0
0Q
p ps
1, 1, 1 2, 2, 2 001 2 11
2 11 2
1
exp aL exp bL p pQU U CC
3 lnp 1 exp aL 1 exp bL s 1 exp aL
lnp(p p )
p lnp p lnp
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
DGL: 1 2 11
U U Cp f C g p
3 p
1C p S p H p
Ansatz für die homogene Lösung: 1dHH p w p p pw p wp
dp
1 2 1 2U U U Uwp f wp 0 f 0
3 3
1 2
3f
U U
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
DGL: 1 2 11
U U Cp f C g p
3 p
1C p S p H p
Ansatz für die homogene Lösung: 1dHH p w p p pw p wp
dp
1 2 1 2U U U Uwp f wp 0 f 0
3 3
1 2
3f
U U
Variation der Konstanten: S p w p p
11 2U U dwp p wp f wp g p
3 dp
1 2 1 2
0
U U U Uwp f w wp
3( p )f
3
1C p S p
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
00
1 2 1
p p3Q pdw dp
U U s 1 exp aL
00 0
1 2 1
H p p3Q pw p
U U s 1 exp aL
00 0
11 2 1
H p p3Q pC s,p S s,p w p p
U U s p 1 exp aL
C2
analog
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
00
1 2 1
p p3Q pdw dp
U U s 1 exp aL
00 0
1 2 1
H p p3Q pw p
U U s 1 exp aL
i, i i,i 0
i
exp x exp a/bL exp xg s,x,p g s,p
1 exp a/bL
s
0 00 0
1 2
3Q pg s,p H p p
U U s p
00 0
11 2 1
H p p3Q pC s,p S s,p w p p
U U s p 1 exp aL
C2
analog
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
2, 2, 21 2
1 2 1 2 1 2
1, 1, 1 exp b s L3 3s f s
U U U U 1 exp a s L
exp a
1 exp( )
b L
s
s
L
Umschreiben: i, ii i
21 1 s
U( )
11, 1 11 1,1 1
21 1 sexp a s 1 1 s exp a s L
UL
1 1 11 1
21 exp a s L 1 s 1 exp a s L
U
1 1
1 1 11 1
1 1
1 1exp a s L exp a s L
2 2 21 exp a s L 1 s 1 exp a s L1 1U exp a s L exp a s L2 2
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
1 1 1 1
1 1
1 1 1 3exp a s L exp a s L exp aL exp aL
2 2 2 21 1
exp a s L exp a s L2 2
1 1
1 1 11 1
1 1
1 1exp a s L exp a s L
2 2 21 exp a s L 1 s 1 exp a s L1 1U exp a s L exp a s L2 2
( )
1
1 1
1 1 11 1
1 1
1coth a s L
2
1 1exp a s L exp a s L
2 2 21 exp a s L 1 s 1 exp a s L1 1U exp a s L exp a s L2 2
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
1 11 1
1
1
, 1, 1 2 11 1 scoth a s L
U 21 exp a s L
exp a s L
2, 2, 21 2
1 2 1 2 1 2
1, 1, 1 exp b s L3 3s f s
U U U U 1 exp a s L
exp a
1 exp( )
b L
s
s
L
1 21 1 2 2
1 2 1 1 2 2
2 23 1 1s 1 1 scoth aL 1 1 scoth bL
U U U 2 U 2
1U2
1U2R
ii 2
i
4
U(
1
2R )
UU
1 1 2 2
1 21 1 2 2
2L 1 s 2L 1 s3R 1s 1 1 scoth 1 scoth 1
2 R 1 U R U
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
Die Verteilung f(t,x,p) kann man folgendermaßen berechnen:
Erhaltung wichtiger Informationen auch ohne Ausführung der Integration:
t : Verteilung an der „am weitesten rechts“ liegenden Singularität des Integranden (hier nur s=0, einfacher Pol in gj) =>
1 2
1 1 2 2
2L 2L3R 10 1 coth coth 1
2 R 1 U R U
1 1
1
U L1
2 => Vereinfachung:
0f ,0,p f p mit dem Spektralindex 0 :
ii 2
i
)4
(U
i
stj j
i
1f t,x,p e g s,x,p ds
2 i
j 1,2
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
Die Verteilung f(t,x,p) kann man folgendermaßen berechnen:
i
stj j
i
1f t,x,p e g s,x,p ds
2 i
j 1,2
Erhaltung wichtiger Informationen auch ohne Ausführung der Integration:
t : Verteilung an der „am weitesten rechts“ liegenden Singularität des Integranden (hier nur s=0, einfacher Pol in gj) =>
1 2
1 1 2 2
2L 2L3R 10 1 coth coth 1
2 R 1 U R U
1 1
1
U L1
2 => Vereinfachung:
0f ,0,p f p mit dem Spektralindex
ii 2
i
)4
(U
1 1 2 2
1 21 1 2 2
2L 1 s 2L 1 s3R 1s 1 1 scoth 1 scoth 1
2 R 1 U R U( )
0 :
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
x x 2x
2x 2x 4xx x 2x
e e 1 ecothx 1 e 1 e e
e e 1 e(
x(x 1 e 1)
2x 2x 2x1 e 1 )2e e
1 1 2 2
1 2
U L U L1 2exp 1
3R 10 1 1
2 R 12exp
R
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
x x 2x
2x 2x 4xx x 2x
e e 1 ecothx 1 e 1 e e
e e 1 e(
x(x 1 e 1)
2x 2x 2x1 e 1 )2e e
1 1 2 2
1 2
U L U L1 2exp 1
3R 10 1 1
2 R 12exp
R
1 1 2 2
1 2
U L U L3R 22 2exp exp
2 R 1 R
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
U L U L U L U L U L1 exp exp 1 exp exp 1 exp
3R 1R 1 RU L U L
1 exp 1 exp
1
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
2 2 2 21 1
2 21
1 1 2 2
1 2
U L 2U L2U L exp exp1 exp3R 1
R 1 RU L U L1 exp 1 exp
2 2
20
1 1 2 2
1 2
U Lexp
3R 1 10
R 1 RU L U L1 exp 1 exp
(stationäre Lösung am Schock)
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
t
0 00
f t,p f p t' dt' x=0:
i
1
i
1t exp h s exp st h s ds
2 i
L
0
t dt 1
0
p1 1 2 2
p 1 2
U A U A3 dph s
2 U U p
i
i 2i
4 sA 1 1
U
h 0 0
st 1
0e t dt exp h s exp h s
L L L
ft 0 sg 0 s 0
t
Herleitung von Tacc:
(korrekte Normierung)
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
acc 00
dhT p,p t t dt s 0
ds
1 1 1 1 2 2 2 2acc 2 2
2 21 21 1 2 21 21 2
1 2
U L L U L L3RT coth coth
R 1 2 2U L U LU RU2U sinh 2U sinh2 2
st 1
0e t dt exp h s exp h( )s
L L L
s
0
ht texp ts dt exp h s
s
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
1 2acc
1 2 1 2
3T
U U U U
1,2(L )
diff,i
LL
L diff,i
iL
U
Diffusive Längeneinheit
diff,1 diff,2L L
1 2U U
1L
(Teilchenflucht downstream)
2L
(Teilchenflucht upstream) 1 2acc,L acc,LT T
1 2
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
1
120 1 1 2
2
U33R 3UUUR 1 U U1U
1,2(L )
1L
(Teilchenflucht downstream)
2L
(Teilchenflucht upstream)
2diff,i
iL
t
Schock -> Grenze
2diff,2 diff,1 2 1L RL t R t
21 22
tt t
R 2L :
Flucht um Faktor R2 größer
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
Zusammenfassung:
- Fluchtgrenzen führen zu einem steileren Spektrum und zu einer Verringerung der Beschleunigungszeit
- hier: relativ grobes Modell zur Erklärung von Spektren ( und L wahrscheinlich abhängig von p) -> numerische Methoden
1L
(Teilchenflucht downstream)
2L
(Teilchenflucht upstream)
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
ist
j ji
1f t,x,p e g s,x,p ds
2 i
Lösung für 1 2L L :
1 1 2g s,x,p G s G s 2 3 4g s,x,p G s G s
t
1 2 10
f t,x,p duF u F t u
t
2 4 30
f t,x,p duF u F t u
1i iF t GLmit
(siehe „tables of Oberhettinger and Badii“ (1973))
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
i impulsabhängig: ai ip a
i ip
i 0 ig g exp x
aii i ia
i i i
U21 1 s 1 1 p s
U 2 p
00
Qg U gp p p
x 3 p s
a a01 2 1 20 1 2
gU U U Ug U gp p g 1 sp 1 1 sp 1
x 3 p 3 p 2 2
a a0 1 2a a a1 2 1 2
2a 1 1 as 1 1g 1 sp 1 1 sp 1
33p 1 sp 1 sp
Ausblick:
1 2(L L )
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
Homogene Lösung h(p):
01 20
gU Up f g g p
3 p
3 p pa a1 22
0 1 2a1 2 1 21 2
U U2 1 1 3 dp dpln h h ln p 1 sp 1 sp
U U 2 p 2 pU U p
p p p pa a
1 21 a 1 a a a1 2 1 2 1 2 1 2
2a 1 dp 1 dp as dp dp1 sp 1 sp
U U U Up p p 1 sp p 1 sp
aa
1 a
1 1 sp aI 2 1 sp ln
a 1 sp a
Substitution ay sp I2,3 ähnlich
Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen
3R 3
3 2a R 1 2a R 1a a1 22
0 a a1 2
1 sp 1 1 sp 1h p h p
1 sp 1 1 sp 1
a
1a a1 21 2 1 1 2
2 1 1 3R 2exp 1 sp
a R 1U U p p U U
a
2 a2 1 2
3 2exp 1 sp
a R 1 p U U
- inverse Laplace-Transformation nicht möglich
- Li endlich: nicht berechenbar