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D i r a c s c h e S p i n t h e o r i e u n d n i c h t l i n e a r e F e l d g l e i c h u n g e n .

Von W. Wessel in Jena.

(Eingegangen am 21. Juli 1935.)

Verlang~ man, dab nicht nur die Diracsche Gleichung des Elek~rons der k]assi- schen Gleichung fiir die Konstanz der Vierergeschwindigkeit: u~% = - c 2 entspricht, sondern auch eine aus der Diracschen abzu]eitende Gleichung zweiter Ordnung der aus der klassisch~n Gleichung fo]genden Beziehung uk~ k : 0 (Senkl'eehtstehen yon Vierergesehwindigkeit und Viererbeschleunigung), so wird man zu einer Erweiterung tier Diracschen Gleiehung geffihrt, bei cter die ein- gehenden elektrischen und magnetischen Felder nicht]inearen Feldgleiehungen gentigen. Diese Gleiehungen gehen bei Nulls etzen der P la n c k schen Konstanten und Aufgabe einer bestimmten Verallgemeinerung in der Verknfipfung der Feldst~irken mit den Potentialen in die der Bornschen Elektrodynamik fiber.

w 1. Au[stellung eines Postulates. Vor einiger Zeit habe ieh auf em

klassisches Analogon des Elektronenspins aufmerksam gemacht, auf das man

gefiihrt wird, wenn man in die Bewegungsgleiehungen eines Elektrons unter

dem Einflusse ~ul~erer Felder auoh die Reaktionskraft der Strahlung auf-

nimmtl) . I)a die :Reak~ions~aft yon der Beschleunigung abhi~ngt, hat man

es dann nicht nnr mit Koordinaten (~:) und Geschwindigkeiten (D), sondern

mit drei Reihen yon Ver~nderlichen (r, •, b) zu tun. Insbesondere gibt es

dann auBer dem Drehimpulse m [r~)] noch einen axialen Vektor zweiter Ar t

m/ec [bD], der insofern in einer Analogie zu gewissen Spinvariablen s teht ,

als sioh zu dem vierdimensional erg~nzten Tensor sik ~ m/ec (~iuk - - (~ku~)

eine en~sprechende OrSBe in der Di racschen Theorie bilden l~Bt, die aueh

einer entsprechenden Bewegungsgleichung geniigt. Es sei dazu nach-

getragen2), dab die quan~entheoretischen si~ eine noeh einfachere Bedeutung

haben, als am angeffihrten Or~e aufgewiesen wurde: sie sind n~imlich gerade

die zeifliehen Ableitungen der Di racschen Operatoren a und ~, d .h . es

ist (his auf einen konstanten Faktor, der sieh wegen der Homogeneit~t der

Bewegungsgleichung nicht festlegen li~Bt, in der frfiheren Bezeichnungsweise ,U2 e he 2)

(s 2~,s~l,s12) = \ d r ' d t ' d t J ' (t)

(sa4, s2~ ,s3~) = \ d t ' d t ' d t ]

1) W. Wessel , ZS. f. Phys. 92, 407, 1934. -- 2) Ich verdanke diese Be- meikung einer freundlichen brieflichcn Mitteilung SchrSdingers .

Diraesehe Spintheorie und niehtlineare Feldgleichungen. 521

Die Differentiation erfolgt naeh der gew6hnliehen Zeit; die Ableitungen haben dann gerade Tensoreharakter.

Bei der Aufstelhmg der quantentheoretisehen sik wurde der Vierer- vektor u~, einer Arbeit yon P e e k entnommen in der (klassisehen) ~'orm

1( . ) u ~ = - - p ~ + - - A k (3)

(p~ Impulse, Ak Viererpotential, m Elektronenmasse). Der wesentliche Sehritt war dann die Bildung von ui (Differentiation naeh der Eigenzeit). I-Iierzu ging man aus yon der Minkowskisehen Bez,iehung, derzufolge Vierergesehwindigkeit und Viererbesehleunigung aufeinander senkrecht sgehenl). Die Diraesehe Gleiehung mit versehwindender reehter Seite wurde auf die Form eines Produktes gebraeht, dessen einer Faktor die Vierer- gesehwindigkeit war; der andere wurde dann als Viererbesehleunigung an- gesprochen.

Alle diese Reehnungen bezogen sieh zun~iehst nur auf den Fall ver- sehwindender ~ugerer Felder (Ae = 0), und es war nun zu versuehen, solehe Felder einzuffihren. Als heuristisehes Prinzip diente dabei wieder die Minkowskisehe Beziehung, die ja in der klassisehen Theorie als rein geometrisehe Aussage ganz allgemein gilt, aneh noeh beim Vorhandensein yon Strahlungskri~ften. Die Diraesehe Oleiehung li~l?t bei nieht versehwin- denden A~ die Umsehreibung in ein Produkt der eben gekennzeiehneten Form zwar beinahe, abet nieht ganz zu, niimlieh nur his auf Olieder yon der Gr613enordnmlg der Spinst6rung. Ieh babe nun, da mir eine Unvollsti~ndig- keit der Diraesehen Gleichung bzw. die MSglichkeit, die Elektrodynamik fester damit zu versehmelzen, sehon l~nger wahrseheinlieh ist, einmal iolgendes Postulat versueht: die D ir a c sche Gleiehung sell dutch Zusatzglieder ~o ergiinzt werden, daft sie, gleiek Null gesetzt, auch beim Vorhandensein iiufierer Krg/te ein Produkt darstellt, dessen einer Faktor die Vierergeschwindigkeit gema/3 (3) ~st.

@enauer gesagt, handelt es sieh bei dem Produkt, wie schon im kriifte- frmen Falte, nieht um die Diracsehe Gleiehung selber, sondern um eine der daraus ableitbaren Gleiehungen zweiter Ordnung. 5ian karm die Saehe vielleieht noeh besser folgendermagen formulieren. Die D i ra e sehe Gleiehung ist das quantentheoretisehe Analogon (eine Linearisierung) tier klassischen Beziehung uiui = - c ~, aueh der Gleiehung far das Linienelemen~ ~) oder

~) H. Minkowski, :Raum und Zeit. Vortrag K61n 1908; abgedruekt in Loren tz -E ins te in -Minkowsk i , Das Rvlatfvitiitsprinzip. Leipzig 1922. - - ~) Vgl. E. Schr64inger , Berl. Akad. Bet. (phys.-math. K1.) 1932, Nr. XI ,und die dort angegebene Literatur.

522 W. Wessel,

das Differential der Eigenzeit dx~ -J- dx~ -J- dx~ -~ dx : = ds 2 = - - c~d~ 2. Aus dieser folgt aber die Minkowskische Gleichung dutch Differentiation. Wir kSnnen also auch so sagen: ebenso, wie die Gleichung u~u~ = - - c ~ ein partikuliJres lntegral der Minkowsk i sc l t en Gleicl~ung u~it~ -~ 0 ist, soU die Diracsche Gleicl~ung ein Zwischenintegral einer GIeichung zwe~ter Ordnung sein, die ui als Faktor enthiJlt. Die erforderliche Symmetrisierung des nicht-

kommu~ativen Produk~es wird sich nachher ganz yon selber darbieten. Wie sohon unter dem Titel angedeutet, finder man bei Durchftihrung

dieses Gedankenganges eine enge Beziehung zwischen der Diracschen Theorie und der yon B o r n und I n f e l d 1) in den letzten Jahren entwickelten Elektrodynamik in ihrem klassischen TeiI. Eine solche Verbindung ist schon yon verschiedenen Seiten angebahnt worden, einerseits yon Born und I n f e l d selbst ~) durch die Quantelung ihrer Gleichungen, andererseits durch E u l e r und Kockel3) yon der ,,L6chertheorie" aus. Ein so einfacher Zu-

sammenhang wie der vorliegende scheint aber bisher nicht bekannt zu sein. Die weitere Untersuchung hgtte sich nun einerseits der Integration der Feld- gleichtmgen und der mit den gefundenen FeldgrSl]en ausgeft~llten D i r a c - Gteichung zuzuwenden, andererseits der Frage, ob der als Faktor tier Vierer- geschwindigkeit au~tretende Vektor sich wirklich wie eine Beschleunigung verh~lt und die weitere Durchftthrung und physikalische Deutung der Analogie zum Elektronenspin erlaubt. Da die vorliegenden Rechnungen

in sich abgeschlossen sind und auch unabhangig von diesen Erwartungen Interesse finden dJlrften, schien es mir abet angebracht, sie flit sich mitzu- teilen. Diese Arbeit enth~lt also lediglich die Formulierung eines bestimmten mathematischen Zusammenhanges zwischen der Bornschen Elektro- dynamik und der D i r a c schen Theorie des Elektronenspins. Das,,An ~logie"- prinzip wird dutch das Folgende weder vorausgese~zt noch bewiesen, sondern dienfie nur zur Aufs~ellung des oben formulierten Postulates; auch die Ver- einbarkeit der kteinen Erg~nzungsglieder zu D i r a c s Gleichung mit der Erfahrung kann erst nach genauerer Integration der Feldgleichungen be-

urteilt werden. 2. Ergi~nzung der Diracschen GleiJ~ung. Diese Gleichung a) laute~

bekanntlich in ihrer gegenwartig angenommenen Form

(~ui + e3c) VJ ---- 0 , ( 3 )

1) Yl. Born u. L. Infe ld , Prec. Rey. Soc. London (A) 144, 425, 1934. _ _ 2) M. Born u. L. Infe ld , ebenda 150, 141, 1935. - - a) H. Euler u. B. Kockel , Naturwissensch. 23, 246, 1935. - - 4)Der Leser sei ftir ver- sehiedene Einzelheiten des Folgenden auf die Darstellung tier Diraesehen Theorie yon W. Paul i , Handb. d. Physik XXIV/1, 2. Aufl., Berlin 1933 hingewiesen.

Diracsche Spintheorie und nichtlinea.re Feldgleiehungen. 523

wobei die ~i, 0a (i : 1, 2, 3, 4; summieren!) die bekannten Operatosen und die u i die Vierergeschwindigkeit gem~l~ (2) darstellen. Der Operator vor y~ ist eine Invariante gegeniiber Lorentz-Transformationen in dem Sinne, dal~ die Gleichung, mit yJ* yon links mul~ipliziert, in sich fibergeht, wenn man die us dutch ihre Werte in einem bewegten Koordinabnsystem ersetzt und die ~p gemg~

y~, = e ~ E ~, (4)

~v*' = y~* e ~ E

transfonlaiestl); dabei ist Relativbewegung mit der Geschwindigkeit v in der x-/~ichtung angenommen und T~ng ~ = v/c gesetzt.

Man kann (3) yon links mit weiteren Operatosen multiplizieren und erhilt dabei neue Gleichungen, denen die ~fl-Funktionen gentigt, insbe- sondere im obigen Sinne invariante, wenn man mit einem in diesem Sinne invarianten Operator multipliziert und dabei einen Faktor 03 (oder 02, was auf das gleiche hinauskommt) einsehaltet. Der Beweis beruht einfaeh darauf,

da~ P2 und 0s mit sq, ~u, a s antikommutieren, so dal3 z.B.

8.' .9 ~ #

Qa o s e : E = e ~ 1 ~ 0 s e~l ~

gilt, womit man auf den Fall eines Operators zusiickkommt.

Wir kSnnen insbesondere die Operation (8) noch einmal ausfihhsen und erhalten, ihnlieh, wie in einet sehr bekannten Betrachtung Diraes , in der seine Gleiehung mit der Gordon -Seh rSd inge r sehen vergliehen wird,

(~iu~ + q3 c) 03 (~uk § q3c) ~- (~i~30~kUi U k ~- 2 giUiC -~ e3C 2) ~) = O,

odes, indem wir bert~eksichtigen, dal~ ~o der Gleichung (3) genflgt:

(~i03~IcUiUlc + (ZIz UkC ) ~0 ~-- O. (5)

Man kSnnte hier u~ ausklammern und h~tte damit bereits ein Psodukt der beabsichtigten Form. Es h~tte aber keinen bestimmten Sinn, dies mit u~4~ zu vergleiehen, weil die Komponenten des Vierergesehwindigkeit n~eht kommutativ sind. Dieser Umstand ftihrt ja in der erw~hnten Betrachtung Di raes gerade zum Auftreten des Spins. Bis au/Glieder yon der Gr6fien- ordnung des Spins ist also unser Postulat yon selber er/~llt.

i) p. A. ~. Dirac, Die Prinzipien tier Quantenmechanik. Leipzig 1930. w 75.

524 W. Wessel,

Wir versuchen nun, die Gleichung (3) durch kleine Zusatzglieder yon der GrSl]anordnung des Spin s entsprechend abzuiindarn. Dag solche Glieder mSglich sind und weder den Spin aufzuheben noah die Feinstruktur unzul~ssig zu stSren brauchen, habe ich frtiher im Zus~mmenhange mit einer Idee S c h r S d inge r s gezeigtl). Wir schreiben also eimnal statt (3):

{~iqli ~- ( @ 3 - ,14) C} ~/) = 0. (6)

(:Tber ~ setzen wir folgendes voraus:

1. es soll die Hermiteziti~t und Lorentzinvarianz der Gleichung nieht stSren, d. h./~ soll reella Eigenwerte haben und ~p*# ~f eine Invarianta sein;

2. es s011 als Spinvariable nur die schon bekannten enthalten, wobei wir natiirlich nicht nut die g und @3, sondarn die ganza Gruppe zulassan;

3. as soll die Impulse nicht enthaltan.

Die ersten baiden Forderungen liegen auf der Hand; die letzte dient vor allem zur Vereiafachung der sonst sehr unfibersichtlichen l~echnung. Sie hat zur Folge, d~g dar Erhaltungssatz fiir den u in seiner gewShn- lichen Form bestehen bleibt.

w 3. Die Gle ichung/4r das Zusatzglied. Wit vollziehen aueh die Opera- tion (6) zweimah

und multiplizieren aus, wie oben:

[~i @3~kUiUk + Ui~i @3 (@3 - - / ~ ) C + (@3 - - ~) C @30~iUi

+ @3 = 0.

Da ~f nach Voraussetzung der Gleichung (6) gentigt, heben sich der erste Faktor des zweiten (oder dritten) und des letzten Gliedes (beachte @~ = 1), und es bleibt nur

((~i@30~kUlUk-~ O~kUkC ) ~ (Ui0~i @3~ -~ ~ @3~iUi) C - - (@3 - - ~ ) @3~t C21 ~/) : 0. (7)

Die ersta Klammer - - den schon bekannten Ausdruek (5) - - formen wit noch folgendermagen um: es gilt

~i@ao~ = i m i k - - @3(~ik, (8) wobei

mik = - - mki (9)

1) W. Wessel, ZS. f. Phys. 82, 415, 1933.

Diracsche Spintheo:ie und nichtlineure ~eldgteichungen. 525

bis auf einen Faktor den G ordonschen Operator des elektromugnetischen Moments des Diraesehen Elektrons bildet (siehe welter unten). Ferner gilt naeh (2)

eh (O& OAq

Die erste Klammer in (7) kann demzufolge aueh gesehrieben werden

eh - - 0 xi 0 x k / + (o:k c - - 03 uk) uk" (11)

Der zweite Term in (11) hat bereits die gew~nsehte Gestalt (uk ist mit der Klammer vertausehbar). Wir finden darin far den Fall versehwindender Ak, ff den Ausdruek (23) der vorangehenden Arbeit wieder. Es h~ndelt sieh jetzt nur noeh durum, die zweite Klammer in (7) auf eine solehe Form zu bringen, dab man den Faktor ui ohne wesentliche Willkar davon ablOsen kann. Dazu beachten wir, dab die Koeffizienten yon u i gerade ad~ungiert

sin& Setzen wir

(Xi~3ff = r i ' ( 1 2 )

so ist naeh einer bekannt.en tlegeU) wegen der Eermitezit~t aller Faktoren &

Die zweite Klammer ia (7) ist also einfaeh uiY i @- V~iUi, und were: wit 'v in den hermiteschen Realteil und Imagin~rteil zerlegen:

~} 1 . 1 (v~-- ~ ) (15)

finden wir mit Beaehtung der vorausgesetzten Unabh~ngigkeit der v i bzw. ff yon den Impulsen

( t ) ]~ 0 v i t ui~'i+ v*~ui= u~ 2 + ~ u ~ + m Ox--~ 2----7-

Mit (11) und (16) wird nun (7)

(16)

( (1 , r e ]~ (OA k O A,~ Ire 0 ~,--~, }

+ ~ , ~ ~ ,Y~, - - g ~ / - - - ~ -Ox~ 24 (e~--ff)e.~ffd ~,=o. (17)

m n m?~ ~ n

= (CBA)i~. (13)

526 W. Wessel,

Die Koeffizienten von ui sind jetzt hermiteseh reell. Wit wollen nun unser

Postulat dahin prdzisieren, daft wit unter dem Produkt yon u i und einer nicht damit vertauschbaren V ariablen das symmetrische Produkt mit dem herm~teschen

Realteil der Variablen verste~en.

Dana kSnnen wit den Vergleich yon (17) mit der Minkowskisehen Gleichung

u ~ = 0 (18)

ziehen und finden ~ ~ ( . ~ c - - ~ ) ~ (~ + ~ ) c (19)

und

Gleiehung (20) dient zur Bestimmung yon #. Es handelt sieh, wie man sieht, um eine D~[]erentialgleiehung mit quadrat,ischen Gliedern. Aus (19) folgt dann u~ bis auf einen Faktor. Wir wollen uns, wie gesagt, in dieser Arbeit nur mit (20) beseh~ftigen.

Die eben getroffene Festsetzung ~ber die Aufspaltung des Produktes bewirkt die ttermitezit~t yon ul und w~re die n~chstliegende, aueh wenn sie einem nieh~ dureh die l~echnung aufgedr~ngt w~rde. Eine gewisse Willk~lr, die bisher nicht hervorgehoben wurde, liegt in dem Gebrauch yon (2) als Vierergesehwindigkeit. In der gewShnlichen Theorie wird ui deswegen so eingeffihrt, well dann ui aus einem Potential ableitbar istl). Das gilt abet nicht mehr bei Berfieksichtigung der Strahlungskraft. Ebenso ist der quantentheoretische Gebraueh yon (2) naeh F o c k an die ursprfingliche Form (3) der Diraeschen Gleiehung gebunden. Wenn wir also (2) in Ver- bindung mit (6) gebrauehen, so is~ das als eine De/inition yon u~ aufzuiassen.

4. Ansatz/4~r re. Die 16gliedrige Gruppe der Diraesehen Operatoren zerf~llt bekanntlich ~) in zwei Invarianten, zwei Vierervektoren und einen antisymmetrisehen Tensor, und zwar haben wir, wenn wir an der urspri~ng- lichen Schreibweise Di racs , bei der das Einheitselement nicht mit der Masse, sondern mit der vierten Gesehwindigkeitskomponente verknfipft ist, wie tiblieh festhalten:

1. Den Vierervektor ~1, or ~a, ~4 : i (d. h. ~o*~o, ~p*~o, ~o*~a~o, i~o*~o bilden einen u entspreehend im folgenden). Er ist der Operator der Stromdichte.

1) Vgl. etwa H. Thirr ing, Handb. d. Phys. XII, Kap. 3, Ziff. 42, Berlin 1927. - - 2) j . v. Neumann, ZS. f. Phys. $8, 868, 1928.

Diracsche Spintheorie und nichtlineare Feldgieichungen. 527

2. Die Invarianten ~a und @s" Die zweite ist in Di racs Gleiehung mit der Masse verknfipft; die andere kommt nicht darin vor. Aus den drei und einem der ~ kann man alle iibrigen Operatoren dutch Multiplikation bilden. So entsteht z.B.

~2 ~- ~1~2~3~3 ' ferner

8. der schon erw~hnte antisymmetrische Tensor mik =-- i~. i~3~k (i ~ k) des elektromagnetisehen Moments und

4. der Vierervektor ~1 =- - i0 r162 0"2 = - - i ~ 3 ~ 1 , ~3 = - - ~ 1 ~ 2 ,

~4 = sq~2ga = 4~h (in Di raes Bezeichnnng). Die drei ersten Komponenten bilden den mechanischen Spin.

ttiernaeh lautet der allgemeinste lorentzinvariante Ansatz far/~, den man mit den Diraeschen Matrizen bilden kann

}t = P~2 q- q~3 q- O'jVj -4- �89 ~n.a,.w,r, (21)

we p und q Skalare, vj ein Vierervektor und wz~ ein Tensor sind [es geni~gt wegen (9) ein ant@ymmetriseher Tensor], s~m~lieh Funktionen yon x, y, z, t, jedoeh naeh Voraussetzung nieht yon den Pk. D~r Faktor �89 ira le~zten Gliede is~ zur Bequemlichkeit hinzugefiigt. Ein Glied m i t s 9 brauchen wit nicht anzusetzen, denn seine Xoeffizienten wiirden sieh in Gleichung (6) nur zu den Potentialen Ak addieren, die ohnedies zu den Unbekannten des Problems gehSren.

Die ~-1, ~2, cr und z. B. Q3 kSnnen als hermiteseh angenommen werden. Sie sind alle untereinander antikommutativ. Die ~1~ sind also sehief-

hermiteseh - - vgl. Regel (13) - - , die Q~., ~1, a2, a3 und die sh~, me3, m31 wieder hermiteseh. Alle ilbrigen, also ei, ~4, mla, m~t, ma~ sind schief- hermiteseh. Da in der Metrik, die wir zugrunde legen, die At, v~, w~a, we4, waa reha imagingr sind, wird (21), wie verlangt wurde, hermiteseh.

5. Die Feldgleichungen [gr p, q, %, A~ und w~,,. Wir haben jegzt den Ansatz (21) in die Gle[ehung (~0) fi~r ,u einzufithren, die ~ naeh (t2) zu bilden und das quadratisehe Glied auszumultiplizieren, Bei der Mulgi- plikation entstehen aus den Diraeschen Operatoren dank ihrer Gruppen- eigensehaft immer wieder nur die in w 4 aufgezghlten Tensoren. Wenin man also am Sehlul~ die Koeffizienten aller 16 linear unabh~ngigen ~{a~rizen gleieh Null setzt, so bekommt man gerade 16 Gleiehungen f~tr die 16 Un- bekannten p, q, A~, v~ und w~,. Das Schema (29.) enth~lt die erforderliehen t~eehenregeln. Die FiScher enthalten die Produkte der links stehenden GrSBe als Links- und der oben stehenden als geehtsfak~or, unter Einsehaltung

Zeitschrift Iiir Physik. Bd. 96. 35

528 W, Wessel,

q$

q$

r ~D

~ q v

- ~ -k- -+-

~7 ~7

g" 6- i + +

,,-y,.

I

I

eines Faktors @3" Es ist also z . B . m* :q@3a~ = i ( # - - @~tj). Ein S tem

deutet den dualen Tensor an, also

m12 ~ m34, m13 z - - / f t24 tlSW. Das

rechts unten stehende Produkt erhalt man aus den iibrigen so:

1 1

i 1 - - 2 w'~'~ m~~176

1

1 -- 2 w . . { ( i ,m~,k - @8 ~k ) wk~

t t ier versehwinden die Glieder rail

mr, k, denn im ersten ist ml, kw~w~: ,

TtZkl t W k v qJ3ft v ~ - - $ f t p k ql)kv ~13!t r

---- - - mt,~w. ~Wk, ~ = O, und im zweiten * ---- 0 aul3er ffir ~t = k, wo iSt w~rwk~ ,

dann m~, e* versehwindet. - - Die Be- reehnung der tibrigen Produkte daft

dem Leser t~berlassen bleiben, Mit den Formeln (22) bereehnet

man leieht aus (12), (14) und (21):

2 i =-- (r ip- -@~Vi- - (ZkWkl (23)

und (beaehte * * m t, ~wt,. ~ mt,,,w.~)

#@3/z = ( ~ p ~ § q~ + v jv j

1 q- -~ w,,, w~,,) @s -ff (2p q

i

+ 2qvya j + (qwt,.

- - i p w~, ,) , z , ,. (24)

Wir fiihren nun (21), (28) und (24) in die Gleiehung (9,0) fiir/z ein und sefzen

Diracsche Spintheorie und nichtlineare Feldgleichungen. 529

die Koeffizienten von ~2, 0a, ~ , a~ und m g!eich Null. Die entstehenden Gleichungen lauten folgendermaBen:

i ~ li Ova, (25. 1)

( 1 ) 3 1 1 (~5. 2) q - - , - -p~ + gws~w~v + vjvj -- 4 '

li O wk s (25. 3) iW~.jVj ~- 2 m e OXj '

( 1 ) li 01~ (25.4) q - - ~ Vj = - - 2 m e O X j '

. eli (OA,, OA~

oder in Vektorschreibweise, wenn wir vorl~ufig einfach

setzen:

(W23, W31' "//)12) ~ ~ t ,

(W41 , W42 , 'W43 ) = i ~ ' , (A 1, A2, A~; A~) = g[; i r @1, %, %; v4) = ~; iV

2 m e T ~ '

1 q _ ._ io~ + (~, ~ _ r 2) + (v~_ _ v ~ ) = 2 '

h (1 0~' V~'+[~ '~]=g~--~mc ~ at ro~ ~3'.),

h - - ~ ~3' -- div ~',

2me

(26)

(27. 1)

(27. 2)

(27. 8)

1) h = - - 2 m---~ grad p

h Op q - - 1 ) V = ~me Oct, (27. 4)

rot ~, 2

1 /grad 1 0~[ \ . -?- -57-/

35*

(27. 5)

530 W. Wessel,

Zur Abkiirzung wurde

1 eh b' ---- 1,324.10 ~~ Volt/cm (28)

b' - - m 2 c a"

gesetzt.

Den zwei Skzlaren p und q und dem Vierervektor D, V entsprechen die sechs Gleichungen (27.1), (27.2) und (27.4). Fiir die beiden Vektoren ~ ' , ~' bestehen in (27.3) nut vier Gleichungen. Es ist daher nStig, den Seehser- vektor !D', ~' auf einen Vierervektor zuriickzufiihren, und das geschieht gerade durch die Gleichungen (27.5).

Mit der Aufstellung der Gleichungen (27) ist das durch unser Fos~ulat gesetzte Programm durchgefiihrt. Wit wollen sie noch etwas anders schreiben. Der Vektor D, V fungiert n~mlich nur als eine Art Abktirzung, denn er ist nach (27.4) durch q and die Ableitungen yon p volls~ndig gegeben und genilgt keiner eigenen Differentialgleichung. Wir kSnnen ilm iiberall sofort einsetzen. Gleichung (27.3) nimmt dabei eine besonders iibersichtliche Form an, wenn man die ~olgenden neuen Variablen einftihrt:

q - - - ~ = - - - f f , p = G , (29)

=-~, = e .

Wit erhalten damit aus (27.3) und (27.4) nach einer bekann~en vektor- analytischen Umformung

c O - t R ( G ! D + e ) - - r ~ = RG c ~ + r ~ , (30. 1)

div B (~ + G ~) -~ R G div !D

und aus den iibrigen Gleichungen (27)

( h ~2j. 1 O 1 0 } ] G - - ~ ---- X m ~ ] [d lv~-gradRG Oct R Oct R G '

a .~ (OriGami I (so. 2) R ~ ( 1 - - G ~ W !D~--~ ~') = 1 - - ( ~ ) { ( g r a d R G ) ' - - \ - - O ~ ] j

und 2

/~ (!D + G ~) = ~7 rot 2 , (80. 8)

b'2 ~/grad ~b cl -~-0 2 R u (~ - - G !D) -- + ~ ~. /

Diraesehe Spintheorie und nichtlineare Feldgteichungen. 531

w 6. Zusammen~ang mit der Born-Infeldschen Theorie. Der ~]bergang

zu dieser Theorie - - in ihrer ursprtmglichen, nieht quantisier~en Form - - erfordert noch zwei Schritte. Es ist erstens die Plancksche Konstante gIe@h

Null zu setzen. Hierbei nehmen die Gleichungen (30. 2) die einfache Form an

G = ~ , | 1 f{ (81. 1)

R [ 1 - - O ~ + ~ ' ' - ~ J

Wir nehmen die Wurzel mit dem positiven Zeichen, damit far verschwindende Feldsti~rken R = 1, folghch nach (9.9) q = 0 wird und tt verschwindet.

Die Gleichungen (30.3) erlauben jedoeh den Ubergang zu h = 0 nicht. Wit mftssen sie vielmehr dutch die [olgenden ersetzen:

1 = ~- rot g ,

e - - 1 (grad~b @ 1 0_gX~. b c O t /

(8:. 2)

Die so eingefithrten ~3, chungen

erfallen bekanntlich

1 0 ~ c Ot

div ~ -~ O.

ro t~ ,

ideatisch die Glei-

(81. ~)

In (30. 1) versehwinden damit die rechten 8eiten, und es bleibt, w e n n m l ~ n

setzt:

R (G$ + ~) = ~ ,

1 0 ~ c Ot ---- rotSS,

div ~) = 0.

(8i. 5)

(~:. 5)

Die Gleichungen (31) sind nunmehr genau die B o r n - I n f e l d s c h e n , wenn man in (31.2) unter b die Bo rnsche Konstante

1 e 3 ~- ---- (1,2861) '~ b = 1,189- 10 Is Volt/cm (32)

532 W. Wessel,

verstehtl). Die Feldstarken sind dabei in Einheiten yon bgereehnet, ebenso

wie die Feldst~rken in (27) und (30) in Einheiten yon b" oder b'/2 gerechnet

zu denken sind. Die Einheitsfeldst~rken b' und b stehen wieder bis auI (1,2361) 2 im Verh~ltnis der Feinstrukturkonstanten e~/hc, und zwar ist b

die grSl~ere. Der ~bergang yon unseren Gleichungen zu denjenigen B o r n s erfordert

also aut~er dem Nullsetzen von h die Substitution yon (30.3) dutch (31.2).

Hierzu ist folgendes zu sagen: die Gleiehungen (31.2) sind keine Folge,

sondern eine Voraussetzung der B ornschen Theorie. Die Auigabe ist dort

wie hier - - vgl. das zu (27) Gesagte - - die Zuriiekfiihrung eines Seehser-

vektors auf einen Vierervektor. Damit ist man an (31.2) zungehst nicht

gebunden, sondern kann ebensogut eine Vektorfunktion wie (30. 3) ansetzen.

Insofern sind also unsere Gleichungen einfaeh als eine Verallgemeinerung der Bornsehen aufzufassen. Dal] man in der gewShnliehen Theorie den

Ansatz (31.2) maeht, gesehieht bekanntlich deswegen, well man damit die

Gleichungen (31.3), insbesondere das Indnktionsgesetz, identisch erfallt. Das Induktionsgesetz ist abet dutch die Erfahrung gegeben nur fOr Felder,

die sehr schwach sind gegen die Feldstgrken b und b', und for diesen Fall

gehen unsere Gleiehungen (30.3), abgesehen yon dem Mal]stabsfaktor,

in (31.2) fiber, denn es ist R = 1 und G = 0 bis auf Glieder zweiter Ordnung.

Ein Grund zur Bevorzugung e ines der beiden Ansgtze scheint mir also yon

vornherein nieht vorzuliegen, da die grSl3ere Einfachhei~ des zweiten durch

die enge Verknfipfung des ersten mit dot Di raeschen Theorie reiehlieh

aufgewogen wird. Das Endlichbleiben der elektrostatischen, kugelsymmetr@chen LSsung, das den springenden Punkt der Bornsehen Theorie bildet, kommt

mit unseren Gleiehungen (30) genau so heraus, aueh for h w_~ 0, weft es

garniehts mit den Potentialen zu tun hat. In einfaehen F~llen, insbesondere beim Verschwinden yon ~B, kSnnen

beide Gleiehungen erffillt werden. Im allgemeinen braueht das aber nicht

der Fall zu sein, d .h . wenn man z .B. ~B und ~ durch (31.2) vorgib~, so

braucht es keine (anderen) GrSl3en ~ , ~b zu geben, die sieh aus (30.3) be- stimmen lassen; denn damit das mSglich sei, mfissen ja die linken Selden

yon (30. 3) ganz bestimmten Bedingungen genfigen, eben als Ganzes noeh einmal den Gleiehungen (31.3), denen ~ und ~ ]~r sich genfigen. - - Wenn man nun frag~, weleher yon beiden Ans~tzen der physikalischen Wirkliehkei~

1) In tier zweiten Formel (3.3A) tier Arbeit yon Born und In f e ld ist - - b 2 statt b 2 und im Z~hler -}- G statt - - G zu ]esen, wie schon yon anderer Seite bemerkt winde. Ferner mul3 es in (8. 7) in dem Zahlenwert for r o heil~en 3,46 statt 2,28, womit sich tier Wert von b entsprechend ~ndert (3,96 statt 9,18).

Dir a e sehe Spintheorie und niehtlineare Feldgleiehungen. 533

ngher kommen mOchte, so ist daranf zungehst zu sagen, dal3 beide gar nicht ganz dasselbe Problem betreffen. Die Bornschen Gleichungen sollen ja, mindestens naeh der Absieht ihres Urhebers, im einfachsten Falle das Feld eines Elektrons besehreiben. Die aus unseren Gleichungen zu bereehnenden Felder sind abet in die Diraesehe Oleichung einzusetzen als Felder, die auI ein Elektron wirken, ohne selbst erheblich dadureh gestOrt zu werden; sie sollten also im einfachsten Palle das Feld eines Protons in bezug au[ ein Elektron sein.

Vielleicht hgngt es hiermit zusammen, dal3 die rein elektrostatisehe, kugelsymmetrisehe LOsung yon (80) bzw. (27) n4cht zul&sig ist. Sie wiirde, in (6) eingesetzt, gerade die yon mir 1. e. untersuchte Gleiehung ergeben, die abet, wie a. a. O. gezeigt wurde, noch der H4nzu[Jgung eines Magnet- [eldes bedarf, um mit der Wasserstoffeinstruktur vereinbar zu bleiben. Dieses Magnetfeld rahrt dort erkennbar yon der Relativbewegung her. Ob unsere Gleichungen (80)einen Ersatz dafi~r zn liefern vermSgen, lg13~ sieh ohne genaue Untersuehung nicht sagen. Im abrigen mal3te eine LSsung, die das Feld des Protons darstellt, sehon wegen des magnetisehen Moments des Protons eine kleine magnetisehe Komponente haben.

Jena, Physikal. Inst. d. Univ., Theoretiseh-physikalisehes Seminar.