RWTH AACHEN

Stoßwellenlabor

Seminararbeit

Direkte Numerische Simulation: Anwendungen in der

turbulenten Stoß-Grenzschicht Interaktion und

Verbrennung

Autor:Gregor Corbin

Matr.:303831

Betreuer:Prof. Igor Klioutchnikov

27. April 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Turbulenz und Turbulenzmodellierung 12.1 Die Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Das Phanomen Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Direkte Numerische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Turbulenzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 DNS und High Performance Computing 33.1 Entwicklung von DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 DNS auf Grafikkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Aktuelle Anwendungsbeispiele 54.1 Chemische Reaktionen und Verbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Stoß-Grenzschicht Interaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Zusammenfassung und Ausblick 8

Abbildungen 9

Literatur 15

1 Einleitung

Turbulente Stromungen kommen in vielen Bereichen des Alltags und der technischen Anwendung vor. Der Raucheiner Zigarette, die Luft in der Atmosphare, die Umstromung von Flugzeugen, Zugen und Automobilen und dieStromung von Brennstoffen und Abgasen in Turbinen und Triebwerken sind nur einige Beispiele. Das Verstand-nis dieser turbulenten Stromungen ist essentiell fur die Optimierung der entsprechenden Systeme. Beispielsweisesoll bei Flugkorpern der Luftwiderstand minimiert, oder bei Turbinen eine hoherer Wirkungsgrad durch effi-zientere Verbrennung erzielt werden. Turbulenz kann zwar im Prinzip durch die Navier-Stokes Gleichungenvollstandig beschrieben werden, aber es gibt bislang weder eine analytische Losung, noch allgemeingultige em-pirische Modelle. Die großte Schwierigkeit bei der Untersuchung von Turbulenz ist, dass sie keine Eigenschaftdes Materials ist, sondern von der jeweiligen Konfiguration abhangt. Es gibt schon lange ein Modell fur die tur-bulente Plattengrenzschicht, das in vielen Experimenten und Simulationen validiert wurde. Dieses nutzt jedochwenig, um die Turbulenz in einer freien Scherschicht zu beschreiben. Es gibt zwei wesentliche Motivationen beider Erforschung von Turbulenz. Die eine ist anwendungsbezogen. Man mochte eine Antwort auf ein speziellesProblem erhalten, zum Beispiel, wie groß der Widerstandskoeffizient fur den gegebenen Flugkorper ist. Die an-dere Motivation ist, das grundlegende Verstandnis von Turbulenz zu erweitern. Welche Mechanismen sind fur dieEntstehung von Turbulenz verantwortlich und welche Strukturen sind in der Stromung zu erkennen? In beidenFallen werden sowohl Experimente als auch Computersimulationen eingesetzt. Diese Arbeit soll einen Einblick ineine spezielle Klasse von Simulationen turbulenter Stromung, der sogenannten direkten numerischen Simulation(DNS) verschaffen. Dabei werden alle Großenskalen in der Stromung von der Diskretisierung aufgelost, sodasskein Turbulenzmodell benotigt wird. In Kapitel 2 werden kurz die grundlegenden Navier-Stokes-Gleichungeneingefuhrt, bevor die wichtigsten Kenngroßen turbulenter Stromungen genannt werden. Danach wird eine Be-schreibung von DNS und Simulationen mit Turbulenzmodell (RANS, LES) gegeben. In Kapitel 3 wird die engeVerbindung von DNS mit den Entwicklungen des High Performance Computing (HPC) dargelegt. Nach einerknappen Beschreibung der Entwicklungsgeschichte von DNS wird exemplarisch eine Arbeit von 2014 vorgestellt,die die bis dahin großte DNS und erste Ergebnisse behandelt. Abschließend wird die zukunftige Bedeutung vonGrafikkarten und hybrider Architektur aufgezeigt. In Kapitel 4 werden DNS von chemischen Reaktionen undStoß-Grenzschicht Interaktion behandelt. Da es eine Fulle verschiedenster Berechnungsmethoden und Problem-stellungen gibt, werden hier nur einige ausgewahlte Arbeiten zu dem Thema zusammengefasst. Die Arbeit wirddurch eine Zusammenfassung und einen Ausblick auf die weitere Entwicklung von DNS abgeschlossen.

2 Turbulenz und Turbulenzmodellierung

2.1 Die Navier-Stokes Gleichungen

Fur inkompressible Kontinuums-Stromungen gelten die Navier-Stokes Gleichungen. Eine mogliche Schreibweiseist

∂ρ

∂t+

∂

∂xj(ρuj) = 0 (1)

∂

∂t(ρui) +

∂

∂xj(ρuiuj + pδij − τji) = 0 (2)

∂

∂t(ρe) +

∂

∂xj(ρuje+ ujp+ qj − uiτij) = 0. (3)

e bezeichnet die totale Energie, also die innere Energie plus kinetische Energie pro Masse:

e = eint +ukuk

2(4)

Um die Gleichungen abzuschließen, sind Modelle fur den Spannungstensor τ , den Warmestrom q und eineZustandsgleichung notig. In den meisten Fallen werden Newton’sche Fluide betrachtet, fur die die Spannungendurch

τij = µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi− 2

3

∂uk∂xk

δij

), (5)

gegeben sind. Das Warmeleitungs Gesetz von Fourier lautet

qj = −λ ∂T∂xj

. (6)

1

Wird weiterhin ein thermisch und kalorisch perfektes Gas betrachtet, gilt

p = ρRT (7)

eint = cvT (8)

cv =R

γ − 1(9)

Mit materialabhangigen konstanten Werten fur γ, R, µ und λ sind die Gleichungen geschlossen.Die Navier-Stokes Gleichungen konnen mit den Mitteln der Kontinuumsmechanik, oder von Seiten der

statistischen Mechanik mittels der Boltzmann-Gleichung hergeleitet werden. In jedem Fall ist die wichtigsteVoraussetzung fur die Gultigkeit dieser Herleitungen, dass das Fluid naherungsweise ein Kontinuum bildet.Dies ist der Fall fur eine kleine Knudsen-Zahl, das Verhaltnis von freier Weglange zu einer charakteristischenStromungslange

Kn =λ

L� 1. (10)

In stark verdunnten Gasen oder in Verdichtungsstoßen verlieren daher die Navier-Stokes Gleichungen ihreGultigkeit.

2.2 Das Phanomen Turbulenz

Turbulente Stromungen zeichnen sich durch chaotisches Verhalten und eine extrem große Bandbreite an Großens-kalen aus. Die Turbulenz ist wegen dieser Eigenschaften ein schwer zu erfassendes Phanomen, obwohl auchturbulente Stromungen vollstandig durch die Navier-Stokes Gleichungen beschrieben werden. In [6] wird derUbergang von einer laminaren zur vollstandig turbulenten Stromung detailliert mittels DNS untersucht. Ob-wohl die Anfangsbedingung mit Maschinengenauigkeit vollstandig periodisch und symmetrisch ist, entwickeltsich mit der Zeit eine vollig turbulente Stromung.

Anhand der Reynoldszahl kann man eine grobe Einteilung vornehmen. Mit einer charakteristischen Lange,die von der Geometrie des Problems abhangt, wird die Reynoldszahl

Re =ρuL

µ(11)

gebildet, die das Verhaltnis der Tragheitskrafte zur Reibung ist. Wahrend sich Unregelmaßigkeiten durch dieTragheit in der Stromung ausbreiten, ist die Reibung dem Geschwindigkeitsgradienten entgegengesetzt und sorgtso fur eine

”Glattung“ der Stromung. Je großer die Reynoldszahl, desto eher konnen kleine Storungen verstarkt

werden und die Stromung turbulent machen. In einer turbulenten Stromung ist die mittlere Stromungsgeschwin-digkeit mit chaotischen Schwankungen uberlagert. Jede Stromungsgroße kann in ein zeitliches Mittel und diemomentane Abweichung aufgeteilt werden, z. B. fur die Geschwindigkeit u gilt:

u = u+ u′, (12)

wobei der Mittelwert der Schwankungsgroße u′ definitionsgemaß Null ist.

u′ = 0. (13)

Diese Schwankungen werden von einer Reihe Wirbel oder”Eddies“ erzeugt, die auf allen Großenskalen bis hin

zur Kolmogorov-Lange

η =(νε

) 14

, (14)

existieren, wobei ν = µρ die kinematische Viskositat bezeichnet. ε ist die Dissipationsrate der turbulenten

kinetischen Energie. In dieser Großenordnung uberwiegen schließlich die Reibungskrafte, welche die kinetischeEnergie der Wirbel in Warme umsetzen.

2.3 Direkte Numerische Simulation

Als direkte numerische Simulation (DNS) wird eine numerische Losung der Navier-Stokes Gleichungen bezeich-net, die kein Turbulenzmodell gebraucht. Das heißt, dass die Diskretisierung fein genug sein muss, um Details inder Großenordnung der Kolmogorov-Lange aufzulosen. Sowohl die raumliche, wie auch die zeitliche Auflosungmussen sehr fein gewahlt werden. Der offensichtliche Nachteil dieser Methode sind ihre hohen Anforderungenan Rechenleistung und Speicherkapazitat. Dafur kann DNS in Stromungsbereichen eingesetzt werden, fur diees noch keine passenden Turbulenzmodelle gibt. Die Fulle an hochaufgelosten Daten einer einzigen DNS kannfur eine ganze Reihe weiterer Studien gebraucht werden. Aus den Daten konnen Statistiken hoherer Ordnungbestimmtz werden. DNS Datensatze werden oft als Referenzlosung zur Validierung groberer Rechnungen mitRANS oder LES verwendet.

2

2.4 Turbulenzmodelle

Fur die meisten praktischen Probleme ist DNS heute noch nicht durchfuhrbar. Daher werden grober aufgelosteSimulationen in Verbindung mit Turbulenzmodellen verwendet. Ein Turbulenzmodell beschreibt naherungsweisedie Turbulenz auf den Großenskalen, die von der Diskretisierung nicht mehr aufgelost werden. Die alteste Metho-de sind die sogenannten Reynolds averaged Navier-Stokes Gleichungen (RANS) [1]. Die chaotischen Schwankun-gen werden rein statistisch beschrieben. Die Stromungsgroßen werden in diesem Ansatz als Zufallsvariablen mitunbekannter Verteilung betrachtet. Durch Mittelung enthalt man Gleichungen fur die gemittelten Großen. Esgibt jetzt einige neue unbekannte Terme der Form u′2. Fur diese muss, ahnlich wie fur die Schubspannungen inden ursprunglichen Navier-Stokes Gleichungen, ein Modell eingesetzt werden. Solche Modelle lassen sich anhandder zusatzlich benotigten Gleichungen einteilen. Algebraische Modelle benutzen nur die Stromungsgroßen in denRANS-Gleichungen selbst. Ein bekanntes 2-Gleichungs Modell ist das k−ε Modell, was zusatzliche Gleichungenfur turbulente Energie und Dissipation einfuhrt. Es ist bei der Anwendung wichtig, die Grenzen des jeweiligenModells zu kennen. So versagt das k − ε-Modell zum Beispiel fur zu große treibende Druckgradienten.

In Situationen wo RANS-basierte Turbulenzmodelle versagen, und DNS zu aufwandig ware, kommen Lar-ge Eddy Simulations (LES) zum Einsatz [1]. Bei LES werden große Wirbelstrukturen (eddies) noch von derDiskretisierung aufgelost. Im Gegensatz zu RANS werden feinere Strukturen raumlich gefiltert. Der dadurchentstehende Fehler wird durch ein sogenanntes sub grid scale (SGS) Modell kompensiert. Die Methode lasstsich auch mit DNS kombinieren, indem nur an kritischen Stellen, zum Beispiel in Wandnahe, die Auflosung feingenug fur DNS gewahlt wird, aber sonst ein groberes Gitter mit SGS verwendet wird.

3 DNS und High Performance Computing

Die raumliche und zeitliche Auflosung von DNS sind fest an die Kolmogorov-Lange gebunden. Da

ε ∝u′3

L, (15)

ist die Kolmogorov Lange proportional zu

η ∝

(ν3L

u′3

) 14

=L

Re34

. (16)

Die Reynoldszahl wurde hier mit der mittleren quadratischen Abweichung der Geschwindigkeit u′ gebildet. Dader Abstand ∆x zwischen zwei Gitterpunkten kleiner als die Kolmogorov-Lange sein muss, gilt fur die Anzahlder Gitterpunkte in einer Raumdimension:

Nx =L

∆x≥ L

η∝ Re

34 . (17)

In drei Dimensionen ist die Anzahl der Gitterpunkte durch

N ∝ Re94 (18)

an die Reynoldszahl gebunden. Wegen der CFL-Bedingung ist auch der Zeitschritt ∆t beschrankt durch

∆t ≤ ∆x

u. (19)

Aufgrund dieser unumganglichen Komplexitat und den damit verbundenen Anforderungen an Rechenlei-stung und Speicherkapazitat ist der Anwendungsbereich von DNS stark an die Entwicklungen im High Perfor-mance Computing (HPC) gekoppelt.

3.1 Entwicklung von DNS

Eine der ersten DNS wurde 1972 von Orszag und Patterson [9] durchgefuhrt. Sie berechneten isotrope Turbulenzauf einem 323 Gitter mit der fur heutige Verhaltnisse kleinen, auf der Taylor Mikroskala basierenden Reynolds-zahl von 35. In den 80er und 90er Jahren wurden dann immer komplexere Stromungen und Interaktionen mitWanden betrachtet. Beispiele hierfur sind die turbulente Kanalstromung in geraden und gekrummten Kanalenund die Grenzschicht einer ebenen Platte. Erst ab 1995 gab es ahnliche Berechnungen auch mit kompressiblenStromungen. Noch 1998 argumentierten Moin und Mahesh [8], dass DNS nur zur Erforschung grundlegender Ei-genschaften der Turbulenz, sowie der Entwicklung besserer Turbulenzmodelle diene, aber kein geeignetes Mittelzur Anwendung in der Ingenieurspraxis sei. Obwohl die großten DNS heute bereits Szenarien simulieren konnen,

3

die der Anwendung naher kommen(siehe 4), haben Moin und Mahesh immer noch Recht mit ihrer Frage”Wel-

che Reynoldszahl ist groß genug? “. Sie zielen damit auf das Problem, dass ingeneurmaßig relevante Problemeoft Reynoldszahlen aufweisen, die um einen Faktor 1000 hoher liegen, als die (damalig) gangigen Simulationenleisten konnen. Andererseits sei fur die Erforschung grundlegender statistischer Eigenschaften der turbulentenStromungen, wie zum Beispiel der mittleren Flussgeschwindigkeit, nur eine hinreichend große Trennung dereinzelnen Großenskalen notwendig. Ergebnisse bei noch hoheren Reynoldszahlen konnten dann aus diesen Be-rechnungen bei relativ niedriger Reynoldszahl extrapoliert werden. Gerade weil DNS so aufwandig ist, sollteman sich vorher genau uberlegen, welche Erkenntnisse man von der Simulation erwartet.

Eine der großten DNS der letzten Jahre(Stand 2013/14) - die großte, in Bezug auf die raumliche Auflosung- wurde von Lee und Malaya [4] auf dem Rechencluster Mira durchgefuhrt. Mit einer Auflosung von 15360 ×1536 × 11520 wurde die turbulente Stromung durch einen geraden Kanal simuliert. Ziel dieser Rechnung wares, einen umfassenden Datensatz fur die weitere Forschung bereitzustellen. Die Reynoldszahl dieser Simulationist Reτ = 5200. Erste Ergebnisse finden sich in [5].

Das universelle Wandgesetz beschreibt den Verlauf der mittleren Geschwindigkeit in Hauptstromungsrich-tung in der Ubergangsschicht zwischen der wandnahen Stromung und der außeren Stromung. Es wurde bereits1938 von Millikan entdeckt.

U+ =1

klog y+ +B, (20)

wobei U+ und y+ die mittlere Geschwindigkeit und den Wandabstand in dimensionslosen Wandeinheiten be-zeichnen:

y+ =yu∗

ν(21)

U+ =U

u∗(22)

u∗ =

√τwρ. (23)

Das bedeutet insbesondere, dass in diesem Bereich die Indikatorfunktion

β(y+) = y+∂U+

∂y+=

1

k(24)

konstant sein muss. Abbildung 2 zeigt die mittlere Geschwindigkeit im Vergleich mit Experimenten und ande-ren DNS mit geringerer Reynoldszahl. Die Indikatorfunktion ist in Abbildung 3 zu sehen. Anhand der Datenkonnte das Wandgesetz weiter bestatigt werden. Die Werte fur k und B liegen in guter Ubereinstimmung mitexperimentellen Daten. Außerdem konnte eine fruhere Hypothese verworfen werden, die eine Korrektur derIndikatorfunktion fur endliche Reynoldszahlen beinhaltet hatte:

β(y+) = y+∂U+

∂y+=

1

k+

1

Reτ(α1y

+ + α2) (25)

Die Autoren argumentieren, dass die Hypothese auf Simulationsdaten mit zu geringer Reynoldszahl von Reτ=1000 bwz. 2000 beruht.

Die Arbeit behandelt unter anderem auch das Energiespektrum der Stromung. Es wird eine deutliche Tren-nung der Energieskalen zwischen der wandnahen Stromung und der außeren Stromung festgestellt, die sonstnur in Experimenten mit hoher Reynoldszahl beobachtet wurde. Abbildung 4 zeigt Energiedichte pro Wellen-zahl, aufgetragen uber dem Wandabstand und der Wellenzahl in Stromungsrichtung. Es sind zwei Maxima zuerkennen. Die Stromungsenergie in der Nahe der Wand liegt bei deutlich hoheren Wellenzahlen, als die Energieder außeren Stromung.

3.2 DNS auf Grafikkarten

In den letzten Jahren wird zunehmend das Potenzial von Grafikkarten fur numerische Simulationen genutzt. DieArbeit [10] befasst sich mit der Portierung eines existierenden DNS Codes und den dabei auftretenden Schwie-rigkeiten. Das zugrundeliegende Szenario ist denkbar einfach. Der originale Code implementiert eine 6.Ordnungfinite Differenzen Methode auf kartesischen Gittern. Der Code wird auf die CUDA(Compute Unified Device Ar-chitecture) portiert, so dass er von einer einzigen Grafikkarte ausgefuhrt wird. Ein Großteil der Arbeit beschreibtdie notigen Schritte, um das volle Potential der Grafikkarte auszunutzen. Die meisten Optimierungen sind sehrspezifisch auf diesen speziellen Code und die Architektur zugeschnitten. Eine Gefahr bei der Entwicklung einesSimulationscodes fur Grafikkarten ist also, dass das Ergebnis spater nicht so leicht auf andere Architekturenubertragen werden kann, und so viel Entwicklungsarbeit fur einmalige Anwendung anfallt. Dafur bieten Grafik-karten aber eine hohe Leistung. In dieser Arbeit hatte der vollstandig optimierte Code auf einer NVIDIA Tesla

4

S2070 GPU die gleiche Laufzeit wie die CPU-Version auf 32 AMD Opteron 2352 Prozessoren, mit der Halftedes Stromverbrauchs. Die Autoren bezeichnen diese Arbeit selber nur als Machbarkeitsstudie. Der VorgestellteAnsatz lasst sich nicht beliebig skalieren, weil der globale Speicher auf einer Grafikkarte naturlich begrenzt ist.Weitere Forschungen werden darauf zielen, mehrere GPUs und heterogene Architekturen mit einer Mischungaus CPUs und GPUs fur bessere Skalierbarkeit zu benutzen.

4 Aktuelle Anwendungsbeispiele

4.1 Chemische Reaktionen und Verbrennung

Die Navier-Stokes Gleichungen mussen um einige Terme erganzt werden, wenn chemische Reaktionen beruck-sichtigt werden sollen.

∂ρ

∂t+

∂

∂xi(ρui) = 0 (26)

∂ρYk∂t

+∂

∂xi(ρYkui + ρYkVk,i) = ωk (27)

∂ρuj∂t

+∂

∂xi(ρuiuj + pδij − τij) = ρ

Ns∑k=1

Ykfk,i (28)

∂ρe

∂t+

∂

∂xi(ρuie+ qi + uip− τijui) = ρ

Ns∑k=1

Ykfk,i (ui + Vk,i) (29)

Die Gleichungen 27 beschreiben die Erhaltung jeder der Nk Spezies mit Massenanteil Yk. Dabei ist Vk,ider diffusive Fluss von Spezies k in Richtung i. ωk ist die Produktion von Spezies k durch Reaktionen. fk,ibezeichnet schließlich die Volumenkraft auf Spezies k in Richtung i. Es werden naturlich wieder Modelle fur q,τ , Vk,i, ωk und fk,i und eine Zustandsgleichung benotigt, um das System zu schließen.

Stellvertretend fur die große Zahl der Abhandlungen uber die DNS von chemischen Reaktionen werdennur 2 Arbeiten vorgestellt, die sich mit der Simulation von abgehobenen (engl.

”lifted “) Wasserstoff-Flammen

beschaftigen. Der Aufbau besteht aus einem Schlitz, aus dem ein Brennstoffgemisch aus Wasserstoff und Stick-stoff mit hoher Geschwindigkeit austritt. Der Brennstoffstrahl ist von relativ langsamer, aber vorgeheizter Luftumgeben. Die hohe Geschwindigkeitsdifferenz der beiden Strome hat eine turbulente Mischung von Brennstoffund Oxidationsmittel zur Folge. In den Simulationen wird die Flamme durch eine kleine Region kunstlicherhohter Temperatur entzundet, was in etwa einem Zundfunken entspricht. Die Details der DNS von Chen et.al. [2] sind in Tabelle 5 zuzsammengestellt.

Das Ziel dieser Simulation war es, den Stabilisationsmechanismus in abgehobenen Flammen zu bestimmen.Stabilitat bedeutet, dass sich im Mittel die Flammenfront nicht verschiebt. Wenn sich die Flammenfront inRichtung Brennstoffaustritt verschiebt, wird die Flamme irgendwann durch den Austrittsspalt in das Brenn-stoffreservoir zuruckschlagen. Bewegt sich die Flamme hingegen stromabwarts, wird sie irgendwann ausgeblasen.Beide Falle sind in der technischen Anwendung naturlich zu vermeiden. Es ist aber bis heute immer noch nichtabschließend geklart, welcher Mechanismus tatsachlich dafur verantwortlich ist, dass die Flamme stabil bleibt.Die Autoren argumentieren, dass die sogenannte Selbstentzundung ( engl. Autoignition) eine große Rolle spielt.

Um Aussagen uber den Fortschritt der Verbrennung zu treffen, schaut man sich oft einzelne Verbrennungs-produkte an. In diesem Fall sind das die Radikale OH und HO2. Das OH-Radikal entsteht erst bei hohenTemperaturen, welche durch die Warmeproduktion der Verbrennung erzeugt werden. Hier wird es benutzt, umdie Flammenfront zu visualisieren. Das HO2-Radikal geht einer Verbrennung durch Selbstentzundung voraus.Anhand einer Darstellung dieser beiden Produkte, wie in Bild 6, lasst sich erkennen, dass das HO2 Radikalstromauf von OH auftritt. Dies ist ein erstes Indiz fur die Selbstentzundung.

Die DNS von Luo et. al. [7] ist der obigen Simulation ahnlich. Der wichtigste Unterschied besteht darin, dassBrennstoff mit Uberschall aus der runden Duse austritt. Die restlichen Details der Konfiguration sind in Tabelle7 zusammengestellt. Anhand des Vorkommens an OH und HO2 Radikalen kann auch hier wieder die Rolle derSelbstentzundung zur Flammenstabilisation bestatigt werden. Interessant ist, dass der Uberschallbereich desBrennstoffs nahezu getrennt vom Mischungsgebiet bleibt. Im Uberschallbereich findet fast keine Verbrennungstatt, da hier das Oxidationsmittel fehlt.

Eine der untersuchten Großen ist der Flammenindex (engl. Flame Index). Der Flammenindex [11] ist alsSkalarprodukt der Gradienten von Brennstoff und Sauerstoff Konzentration

Findex = ∇YH2· ∇YO2

(30)

5

definiert. Der Flammenindex ist eine Hilfsgroße zur Unterscheidung verschiedener Verbrennungsmodi. Ein po-sitiver Flammenindex weist auf eine vorgemischte(engl. premixed) Verbrennung hin, wahrend ein negativerFlammenindex eine diffusive Verbrennung bedeutet. Der Flammenindex wird hier noch mit

FI =Findex

|Findex|+ 1log10(|Findex|+ 1) (31)

transformiert, um sinnvoll interpretierbare, beschrankte Werte zu erhalten. In Abbildung 8a ist eine Moment-aufnahme des Flammenindex du sehen. An den Randern der Mischungsgebiete nahe der Schalllinie und derIsolinie der stochiometrischen Mischung ist die Flamme uberwiegend diffusiv. Dazwischen dominiert der vorge-mischte Verbrennungszustand. Wegen des großen Datenvolumens einer DNS sind statistische Methoden außerstnutzlich fur die Auswertung. Um eine Aussage uber die Rolle der Verbrennungsmodi in der Flamme zu ma-chen, wird hier die bedingte Wahrscheinlichkeit der Warmeproduktion fur gegebenen Flammenindex und diemit der Warmeproduktion gewichtete Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion des Flammenindex untersucht.Fur verschiedene Querschnitte senkrecht zur Hauptstromungsrichtung sind diese Funktionen in Abbildung 8baufgetragen. Es ist zu sehen, dass die Warmeproduktion am unteren Ende der Flamme noch sehr gering ist,und hauptsachlich diffusive Verbrennung auftritt. Fur x/D = 4 ist die Warmeproduktion am großten, und dievorgemischte Verbrennung hat einen nennenswerten, wenn auch untergeordneten Anteil an der Warmeproduk-tion. Zwischen x/D = 1 und x/D = 2 liegt dieser Anteil bei etwa 35%, ab x/D > 4 immerhin noch bei 20%.Dies deutet darauf hin, dass die Mischung von Brennstoff und Sauerstoff in der Scherschicht nicht effektiv ist.Ein Flammenindex von 0 tritt so gut wie nicht auf. Die Gradienten sind also entweder entgegengesetzt oderparallel, aber stehen nicht vollstandig senkrecht zueinander.

Insgesamt gehoren diese beiden DNS von 2009 und 2013 mit fast einer Milliarde Gitterpunkte, die mehrereMillionen CPU-Stunden verbrauchen, zu den aufwandigsten DNS der letzten Jahre. Es werden chemische Re-aktionen von 9 Spezies und im zweiten Fall Kompressibilitatseffekte berechnet. Auch wenn diese Simulationenschon deutlich komplexer sind, als die einfache isotrope turbulenz aus den 70ziger Jahren, sind sie noch min-destens eben so weit von der technischen Anwendung entfernt. Die Aufgabe von DNS hat sich also trotz dergesteigerten Rechenkapazitaten noch nicht verandert. Es geht immer noch darum, grundlegende Eigenschaftenturbulenter Stromungen zu untersuchen.

4.2 Stoß-Grenzschicht Interaktion

In einer Uberschallstromung konnen Stoße auftreten, die mit der turbulenten Grenzschicht um einen Korper in-teragieren. Diese Stoß-Grenzschicht Interaktion ist unter anderem bei der Entwicklung von Uberschall-Flugkorpernwichtig, da Widerstand und Auftrieb von den Druck- und Schubspannungskraften an der Wand bestimmt wer-den.

Die Behandlung von kompressibler Turbulenz mit Verdichtungsstoßen erfordert Sorgfalt bei der Auswahldes numerischen Schemas. Das Schema muss eine gewisse numerische Dissipation enthalten, um Stabilitatzu gewahrleisten. Diese kunstliche Dissipation darf aber auch nicht zu groß sein, da sonst die Turbulenz aufden unteren Großenskalen nicht mehr richtig aufgelost wird. Schließlich muss das Schema Verdichtungsstoßeauflosen konnen. Fang et. al. verwenden eine monotonieerhaltende finite Volumen Methode siebter Ordnung zurraumlichen Diskretisierung [3]. Beispielhaft fur die erste Ableitung einer Funktion F auf einem regelmaßigen1D-Gitter ist das Verfahren durch

∂F (x)

∂x=

Fi+1/2 − Fi−1/2∆x

+O(∆mx ), (32)

Fi+1/2 =

4∑n=−3

anFi+n. (33)

gegeben. Insgesamt gilt also

∂F (x)

∂x=

4∑n=−4

αnFi+n +O(∆mx ), (34)

wobei die αn aus den entsprechenden an fur Fi+1/2 und Fi−1/2 zusammengesetzt sind. Wendet man eine Taylor-Entwicklung auf diese Beziehung an und fordert Genauigkeit bis zur siebten Ordnung, werden die Parameterαn von i = -4 bis 3 in Abhangigkeit des letzten Parameters α4 festgelegt. α4 kann unter Erhaltung der siebtenOrdnung variiert werden. Die Wahl von α4 = 1 fuhrt auf das bekannte zentrale Schema achter Ordnung zuruck,wahrend α4 = 0 das Upwind-Schema siebter Ordnung erzeugt. Eine Eigenwert-Analyse zeigt, dass dass Schemanur fur α4 ≤ 1 stabil ist. Mit dem freien Parameter kann nun die numerische Dissipation gezielt kontrolliert

6

werden. Die modifizierte Wellenzahl k kann benutzt werden, um den Einfluss des Parameters abzuschatzen. Sieist durch das Einsetzen einer Fourier-Mode mit Wellenzahl k in das numerische Schema gegeben:

k = −i4∑

n=−4αne

ikn. (35)

Der Imaginarteil gibt die numerische Dissipation in Abhangigkeit von der Wellenzahl an. Eine graphische Dar-stellung ist in Abbildung 9a zu sehen. Dort sind zum Vergleich auch Upwind-Methoden verschiedener Ordnungeingetragen. Je kleiner der Parameter α4 ist, desto großer ist die numerische Dissipation, besonders fur Wellen-zahlen nahe π. Mit α4 = 1 tritt fast keine numerische Dissipation auf. Um den Effekt des freien Parameters aufdas gesamte Spektrum zusammenzufassen, wird die Große

Σ =

∫ π

0

−Im(k)dk, (36)

betrachtet. Diese ist uber dem Parameter α4 in Abbildung 9b aufgetragen. Diese integrale Bandbreitendissipa-tion variiert linear mit α4.

Fang et. al. fuhren nun numerische Tests anhand des Shu-Osher Problems und isotroper homogener Turbulenzdurch, um einen akzeptablen Wert fur α4 zu finden. Je naher der Wert an der 1 liegt, um so besser dieGenauigkeit, aber es zeigt sich, dass fur zu große Werte oszillationen Auftreten konnen. Ein brauchbarer Wertwird mit α4 = 0.7 bestimmt. Dieser wird auch fur die nachfolgende DNS einer Schock-Grenzschicht Interaktionverwendet.

Die Konfiguration das Problems ist in Abbildung 10 zu sehen. Ein schrager Stoß bei Mach 2.25 trifft mit demWinkel 33.2 ◦auf eine ebene Wand. Die Plattengrenzschicht wird vor dem Stoß kunstlich durch eine blowingand suction Randbedingung in den turbulenten Zustand uberfuhrt.

In Abbildung 11 ist eine Momentaufnahme der Stromung zu sehen. Wirbelstrukturen wurden mit dem λciKriterium sichtbar gemacht und gemaß der Geschwindigkeit in Stromungsrichtung eingefarbt. Vor dem Stoßbefinden sich langezogene Wirbel in der dunnen turbulenten Grenzschicht. Durch die Interkation mit dem Stoßwird die Grenzschicht abgelost, was unter anderem daran zu erkennen ist, dass die Geschwindigkeit in diesemGebiet negativ wird. Die Oberflache des Stoßes wird im Bereich der Interaktion mit der Grenzschicht starkverformt. Die turbulente Schicht ist nach dem Stoß deutlich breiter, auch nachdem die Grenzschicht wiederan der Wand anliegt. Dies ist ein Indiz, dass die Produktion der turbulenten kinetischen Energie von derGrenzschicht in eine freie Scherschicht verschoben wird. Genauere Aussagen uber die turbulente Energiebilanzsind mit Hilfe der Transportgleichung fur turbulente kinetische Energie (TKE)

∂0.5ρ〈u′′ku′′k〉∂t

= C + T + P + V − ε+K (37)

moglich. TKE ist der Anteil an kinetischer Energie, der in der zufallligen Schwankung der Stromungsgeschwin-digkeit u′ gespeichert ist. Die linke Seite ist die zeitliche Anderung von TKE und wird in einer statistischstationaren Stromung verschwinden. ′′ bezeichet eine auf die Masse bezogene Schwankungsgroße. Die Terme aufder rechten Seite sind Transport und Produktionsterme. C ist die Advektion durch die mittlere Geschwindigkeit,und T der Transport aufgrund turbulenter Schwankungen. P bezeichnet die Produktion von TKE und V dieDiffusion. ε ist ein Dissipationsterm. K beinhaltet Kompressibilitatseffekte. Die genaue Definition der Termeist in [3] zu finden. Die einzelnen Terme lassen sich nachtraglich aus der DNS bestimmen. Da sich alle Termegegenseitig aufheben mussen, kann dies zur Validierung der DNS benutzt werden. Verschwindet weiterhin dielinke Seite, wie in dieser Studie, ist die Simulation zu einem stationaren Zustand gelangt. In Abbildung 12 sinddie einzelnen Terme der TKE Gleichung fur verschiedene Positionen gezeigt. Weit vor dem Stoß wird die meisteTurbulenz in der oberen Grenzschicht erzeugt, durch Difusion und Transport Richtung Wand transportiert, unddort dissipiert. In der Interaktionsregion wird die Produktion von TKE deutlich weiter nach außen in die freieScherschicht verschoben. Die Dissipation ist weiterhin am starksten an der Wand.

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5 Zusammenfassung und Ausblick

Ziel dieser Seminararbeit war es, aktuelle Anwendungen von DNS aufzuzeigen. DNS wird bereits in einer Viel-zahl von Bereichen angewendet. Außerdem ist es eine interdisziplinare Forschung, die auf Erkenntnisse in HighPerformance Computing, visualisierung großer Datenmengen, numerischer Mathematik, Stromungsmechanik -sowohl theoretisch und experimentell- , Chemie und Statistik aufbaut. Deshalb wurde es den Rahmen einerSeminararbeit sprengen, einen vollstandigen Uberblick zu verschaffen. Anhand ausgewahlter Arbeiten wurdezumindest ein kleiner Einblick in die aktuellen Methoden und Ziele von DNS verschafft. Insgesamt fallt auf, dassdie Ziele von DNS sich nicht stark geandert haben. Damals wie heute wird DNS hauptsachlich zur Erforschunggrundlegender Eigenschaften turbulenter Stromungen benutzt. Naturlich sind mit der steigenden Verfugbarkeitvon Rechenleistung auch die Simulationen großer geworden. Zusatzlich ist mit der Zeit die Behandlung immerkomplizierterer Stromungseffekte moglich geworden, wie zum Beispiel Kompressiblitat, Verdichtungsstoße undchemischer Reaktionen. Andererseits sind die betrachteten Geometrien in etwa gleich geblieben. Selbst die der-zeitig großte DNS [5] wird noch auf einem rechteckigen Rechengebiet mit einem kartesischen Gitter ausgefuhrt.Sicherlich werden in Zukunft mit dem Bau großerer Rechenzentren auch noch großere DNS durchgefuhrt wer-den, die eine großere Reynoldszahl haben, oder noch mehr Effekte berucksichtigen. Dabei werden auch hybrideArchitekturen, die sowohl CPUs als auch GPUs benutzen und damit ein enormes Potezial besitzen, eine immergroßere Rolle spielen. Es ist allerdings fraglich, ob DNS jemals sinnvoll fur praktische Anwendungen verwendetwird. Erstens haben viele praktische Problemestellungen oft große Reynoldszahlen und komplexe Geometrien.Die unumgangliche Komplexitat von DNS mit der Ordnung Re

94 und die verbreitete Verwendung von fini-

ten Differenz Schemata machen den Einsatz von DNS in diesem Gebiet zumindest heute noch unpraktikabel.Diese Hindernisse lassen sich naturlich mit noch mehr Rechenleistung uberwinden. Es gibt aber noch einengrundsatzlichen Einwand. Als Beispiel sei hier die Umstromung eines Flugkorpers genannt, fur den Auftriebund Widerstand berechnet werden sollen. Es ist aus praktischer Sicht gar nicht unbedingt notwendig, alleStromungsgroßen mit einer hohen Auflosung zu kennen, solange der Auftrieb richtig berechnet wird. Mit DNSist man, genug Rechenleistung vorrausgesetzt, zwar in der Lage den Auftrieb zu berechnen, aber es wird ne-benbei ein riesiger Aufwand betrieben um eine Menge an Daten zu erzeugen, die niemand braucht. Sinnvollerware es in diesem Fall, eine grobere Methode wie LES zu benutzen, die ein gut angepasstes Turbulenzodellverwendet. Dieses kann durch nuemrische Experimente mit DNS ermittelt werden.

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Abbildungen

Abbildung 1: Die Geometrie des geraden Kanals. δ bezeichnet die halbe Kanalbreite. Die Hauptstromung istparallel zur x-Achse und quer dazu werden periodische Randbedingungen angenommen.

Abbildung 2: mittlere Geschwindigkeit uber Wandabstand. Die schwarze Linie ist das Ergebnis der Simulation.Die Symbole kennzeichnen andere DNS und Experimente. Details sind in [5] zu finden.

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Abbildung 3: Indikatorfunktion β, die schwarze Linie gehort zu der hier betrachteten DNS, die anderen Liniengehoren zu DNS mit Reynoldszahlen Reτ um 4000. Die gestrichelte Linie zeigt ein konstantes β an. Details sindin [5] zu finden.

Abbildung 4: Energiedichte kxEuu pro Wellenzahl, aufgetragen uber dimensionslosen Wandabstand y+ undWellenzahl in Stramungsrichtung kx

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Geometriex y z

Abmessungen Lx, Ly, Lz 2.4 cm 3.2 cm 0.64 cmGitterpunkte 1600 1372 430Auflosung 15 µm gestreckt 15 µmSpaltbreite - 0.192 cm -

StromungAustrittsgeschw. Brennstoff 347 m

sReynoldszahl des Jets 11000turbulente Reynoldszahl des Jetsbei x = 0.25Lx

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Zeit fur eine Durchtromung td ≈ 0.07msChemie

Mischungsverhaltnis Brennstoff 65%H2, 35%N2

Temperatur Brennstoff 400 KTempertur Luftstrom 1100 K

ZeitschritteZeitschritt 4 nsSimulationszeit 12td = 0.84msAnzahl Schritte 2.1× 105

RechnungMaschine 50 Tflop Cray XT3Anzahl Prozessoren 10000CPU Zeit ≈ 3.5× 106hEchtzeit ≈ 10 Tage

Abbildung 5: Konfiguration der DNS von Chen et. al.

Abbildung 6: Graphische Darstellung der Radikale OH und HO2 in einer Momentaufnahme der Simulation

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GeometrieGitterpunkte 975× 106

Dusendurchmesser D 1.44 mmx y z

Abmessungen Lx, Ly, Lz 15 D = 21.6 mm 12 D = 17.28 mm 12 D = 17.28 mmAuflosung 18 µm ≥ 11.25 µm ≥ 11.25 µm

StromungAustrittsgeschw. Brennstoff 904 m

sReynoldszahl des Jets 22000Machzahl des Jets 1.2Stromungsgeschw. Luft 20 m

sZeit fur eine Durchtromung td ≈ 0.024ms

ChemieMischungsverhaltnis Brennstoff 85%H2, 15%N2

Temperatur Brennstoff 305 KTempertur Luftstrom 1100 K

ZeitschritteZeitschritt 4.5 nsSimulationszeit 12td = 0.288msAnzahl Schritte 64000

RechnungAnzahl Prozessoren 2000CPU Zeit ≈ 4.8× 106h

Abbildung 7: Konfiguration der DNS von Luo et. al.

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(a) Momentaufnahme des Flammenindexes

(b) Fur ausgewahlte Querschnitte senkrecht zur Stromungsrichtung: (a) Bedingte Wahrschein-lichkeit der Warmeproduktion fur gegebenen Flammenindex, (b) Mit der Warmeproduktiongewichtete Wahrscheinlichkeitsverteilung des Flammenindex

Abbildung 8: Simulation von Luo et. al., der Flammenindex ist mit FI = Findex

|Findex|+1 log10(|Findex|+ 1) transfor-

miert worden

(a) Imaginarteil der modifizierten Wellenzahl Im(k)(b) Die integrierte numerische Disspation in Abhangig-keit vom Parameter α4

Abbildung 9: Das MP7 Schema im Vergleich mit anderen Schemata; die schwarzen Lienien gehoren zu MP7

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Abbildung 10: Die Konfiguartion der DNS einer Stoß-Grenzschicht Interaktion

Abbildung 11: Visualisierung der Wirbelstrukturen in der Grenzschicht vor und nach dem Stoß

(a) weit vor dem Stoß (b) knapp vor dem Stoß

Abbildung 12: Die einzelnen Terme der TKE Gleichung aufgetragen uber der Hohe fur zwei verschiedene Posi-tionen in Stromungsrichtung. Durchezogene Linien gehoren zu der DNS, die Kreise sind aus einem Experiment.

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Literatur

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