Inverse Probleme in der Angewandten Geophysik - eine ... · Motivation+Gliederung Motivation ... Strahlengang, Oberﬂächen-NMR, VSP Nichtlineares Problem F hängt von m ab: Beispiel:

Inverse Probleme in der Angewandten Geophysik

Inverse Probleme in der Angewandten Geophysik -eine Matlab-orientierte Einführung

Thomas Günther

Leibniz-Institut für Angewandte Geophysik, Hannover

6. Oktober 2008


Einführung

Motivation+Gliederung

Motivation

Nur mit etwas Einblick in Inversionsrechnungen könnenInversionsergebnisse petrophysikalisch und geologisch sinnvollinterpretiert werden.

Ziel der Übung

• Einführung in inverse Probleme an geophysikalischen Beispielen

• Handwerkszeug zur Lösung inverser Aufgaben

• Überblick zu Inversionsverfahren und -techniken

• Bewertung von Inversionsergebnissen mittels Auflösungsanalyse


Einführung


Inhalt

EinführungMotivation+GliederungInverse ProblemeLeast Squares LösungParametrisierung

Lineare InversionSingulärwertzerlegungRegularisierungBeispiel Oberflächen-NMR-SondierungAuflösungsanalyse

Nichtlineare InversionMethodik1D-MagnetotellurikAuflösungsanalyse

Software


Einführung


Inhalt

1. Einführung in inverse Probleme• Methode der kleinsten Quadrate• Parametrisierung+Regularisierung

2. Lineare Inversion• Singulärwertzerlegung+Auflösungsanalyse• Beispiel Oberflächen-NMR-Sondierung

3. Nichtlineare Inversion• Linearisierung und Sensitivitäten• Beispiel 1D-Magnetotellurik• Transformationsfunktionen• Strukturelle Kopplung und Joint Inversion

4. Überblick Software: DC2dInvRes, BERT, GIMLi


Einführung


Literatur

• Rümpker. Inversion Geophysikalischer Beobachtungen.

• Menke, W. (1989). Geophysical Data Analysis: Discrete InverseTheory, volume 45 of International Geophysics Series. AcademicPress Inc. - Das Standardwerk schlechthin

• A. J. Scales, M. L. Smith and S. Treitel: Introductory geophysicalinverse theory, Samizdat Press, Colorado School of Mines - gutverständliche, sprachlich geniale Einführung

• Günther, T. (2004). Inversion Methods and Resolution Analysisfor the 2D/3D Reconstruction of Resistivity Structures from DCMeasurements, PhD Thesis TU Bergakademie Freiberg.(https://fridolin.tu-freiberg.de/archiv/pdf/GeowissenschaftenGXntherThomas415227.pdf)

https://fridolin.tu-freiberg.de/archiv/pdf/GeowissenschaftenGXntherThomas415227.pdf

https://fridolin.tu-freiberg.de/archiv/pdf/GeowissenschaftenGXntherThomas415227.pdf


Einführung


Voraussetzungen

• Grundkenntnisse lineare Algebra

• Erfahrungen in Programmierung mit Matlab

• Grundwissen geophysikalische Verfahren

Eine Einführung in Techniken der Vorwärtsmodellierung inclusiveCrash-Kurs in Matlab gibt es unterhttp://www.resistivity.net/nummod.

http://www.resistivity.net/nummod


Einführung

Inverse Probleme

Einführung: Inverse Probleme

ZielBestimme eine plausible Verteilung von Modellparameternm = (m1, . . . ,mM)T , welche die gemessenen Daten d = (d1, . . . ,dN)T

erklärt:f(m) = d. (1)

Dabei ist der Vorwärtsoperator f bekannt als Formel oder partielleDifferentialgleichung, welche die physikalischen und geometrischenAbhängigkeiten beschreiben.


Einführung

Inverse Probleme

Lineare und nichtlineare Probleme

Lineares Problemf hängt selbst nicht von m ab:

F ·m = d. (2)

Beispiel: Gravimetrie, Magnetik, Tomographie mit linearemStrahlengang, Oberflächen-NMR, VSP

Nichtlineares ProblemF hängt von m ab: Beispiel: Geoelektrik, elektromagnetischeMethoden, Tomographie unter Berücksichtigung der Brechung


Einführung

Inverse Probleme

Korrekte Lösung

’m=F\d’ ergibt i. A. keine Lösung, weil ...

• F kein analytischer Ausdruck ist,

• F nicht invertierbar ist,

• die inverse Aufgabe nicht korrekt gestellt ist.

Korrekt gestellte Aufgabe (Hadamard)

1. Existenz einer Lösung,

2. Eindeutigkeit der Lösung und

3. Stetigkeit der Lösung bezüglich der Daten (Fehlerverhalten)


Einführung

Inverse Probleme

Aufgabentypen

Entscheidend für den Aufgabentyp sind die Anzahl unabhängigerMessungen N und die Anzahl der Modellparameter M.

Überbestimmtes ProblemN > M: Mittels Ausgleichsrechnung wird eine Lösung im Sinnekleinster Quadrate gesucht.

Unterbestimmtes ProblemN < M: Zusätzliche Forderungen an die Lösung führen zuEindeutigkeit.

In vielen Fällen treten sowohl über- als auch unterbestimmteParameter gleichzeitig auf.


Einführung

Inverse Probleme

Beispiel Überbestimmtes Problem

m1 − m2 =−12m1 − m2 = 0m1 + m2 = 2.5

(3)

Es gibt mehr unabhängige Gleichungen als Unbekannte. Die Lösungergibt sich als Kompromiss zwischen allen Gleichungen.


Einführung

Least Squares Lösung

Die Methode der kleinsten Quadrate

Minimierung der L2-Norm des Residuums:

‖Fm−d‖2 :=√

∑i

(∑j

Fijmj −di)2→min . (4)

Aus dem Verschwinden der 1. Ableitung folgt das System derNormalengleichungen

FT Fm = FT d (5)

mit der Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate (least squares)

mLS = (FT F)−1(FT d). (6)


Einführung


Aufgabe Least-Squares-Lösung

1. Lösen Sie das Gleichungssystem (3) mit Hilfe der Methode derkleinsten Quadrate!

2. Stellen Sie dazu die Normalengleichungen auf und lösen Siediese nach Gleichung (6)!

3. Überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe der Graphik 2 Seitenvorher

4. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung von ’F\d’! Was istdaraus zu schließen?


Einführung


Lineare Regression

ZielFinde a,b, so dassy = a + bx im Sinnekleinster Quadrate genähertwird. MittelsAusgleichsrechnung wirdeine Gerade durch diePunktschar gelegt.

Als inverses Problem: Modell m = (a,b) Daten: d = yi


Einführung


Aufgabe: Lineare RegressionGegeben seien Wertepaare xi /yi .

1. Wie muss die Abbildung (a,b)→ (a + bx) aussehen?

2. Erzeugen Sie eine Funktion ’linreg.m’! (kommentieren!)

3. Berechnen Sie in dieser die Systemmatrix F und lösen Sie dieNormalengleichungen FT Fm = FT d.

4. Geben Sie a und b als Funktionswerte zurück.

5. Testen Sie die Funktion mit Daten (graphischer Vergleich)!

Zusatz: Berechnen Sie die Summe der Quadrate der Abweichungender einzelnen Punkte von der Geraden (Fehlerquadratsumme)!


Einführung

Parametrisierung

Parametrisierung

Verteilung eines Parameters überdiskrete Basisfunktionen

Typen

• Blockmodell(Schichten,Parameter)

• regelmäßige Diskretisierung

• unregelmäßigeDiskretisierung

Oft unterbestimmt und mehrdeutig!0 50 100 150 200 250

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

ρ in Ωm

z in

m

d1

d2

ρ1

ρ2

ρ3


Einführung

Parametrisierung

Parametrisierung


Typen




Oft unterbestimmt und mehrdeutig! 0 1 2

0

1

2

x in m

y in

m

m1

m2

m3

m4


Einführung

Parametrisierung

Parametrisierung


Typen




Oft unterbestimmt und mehrdeutig!


Einführung

Parametrisierung

Ein einfachstes Problem

Gegeben sei das System Fm = d

F =

(1 1 00 0 1

). (7)

• 2 Messungen (z.B. Strahlen), 3 Parameter

• 1 Parameter eindeutig bestimmt, 2 Parameter unterbestimmt

• zusätzliche Bedingungen notwendig (Regularisierung)

• Untersuchung des Problems mittels SVD


Lineare Inversion

Singulärwertzerlegung


Eigenwerte und EigenvektorenEin Vektor~x , multipliziert mit einer Matrix A, ändert i.A. seine Richtung- nicht aber Eigenvektoren (EV), welche die Gleichung

Ax = λx (8)

erfüllen. Die Lösung der Gleichung

(A−λI)x = 0 (9)

führt zur Bestimmung der Eigenwerte (EW) λ über dascharakteristische Polynom

det(A−λI) = 0. (10)


Lineare Inversion


Verschiedene Eigenwerte korrespondieren mit linear unabhängigenEigenvektoren. Für symmetrische Matrizen existiert eineFaktorisierung mit den EV in Q und den EW in L:

A = Q˜QT . (11)


Lineare Inversion


Singulärwertzerlegung (SVD)Wir konstruieren aus einer Rechteckmatrix A eine symmetrischequadratische Matrix S:

S =

(0 A

AT 0

). (12)

Diese besitzt eine Eigenwertzerlegung der Form:

Swi = λiwi mit wi =

(ui

vi

). (13)

Wir erhalten zwei gekoppelte Eigenwertprobleme für A und AT :

AT ui = λivi bzw. Avi = λiui . (14)


Lineare Inversion


Modell- und DatenvektorraumDurch Multiplikation mit A und AT erhalten wir schließlich

AT Avi = λ2i vi und AAT ui = λ

2i ui , (15)

ein Eigenwertproblem im Modellvektorraum und eins imDatenvektorraum.Für jede Matrix A ∈ n×m gibt es daher eine Zerlegung der GestaltA = UWVT , wobei gilt

U−1 = UT , V−1 = VT und W = diag(si).

Dabei enthalten

• U ∈ N×N den Datenvektorraum,

• V ∈M×M den Modellvektorraum und

• W ∈ N×M die Singulärwerte.


Lineare Inversion


Die verallgemeinerte InverseDie Singulärwerte si stellen Elemente einer Wichtungsmatrix für dieeinzelnen Daten- und Modellvektoren dar. Die zu verschwindendenSingulärwerten si = 0 gehörenden ui und vi spannen den Daten- bzw.den Modellnullvektorraum auf. Durch ausschließliche Betrachtung desDaten- und Modellvektorraums, also der r nichtverschwindenenSingulärwerte, erhalten wir einen für unser Problem äquivalentenOperator:

Ar = Ur Wr VTr . (16)


Lineare Inversion


Da U und V orthogonal sind, existiert eine sogenannteverallgemeinerte Inverse von A

A† = Vr W−1r UT

r . (17)

Für die meisten Probleme werden Singulärwerte nicht exakt Null,sondern sehr klein. Dann kann anstelle des Rangs r ein „Pseudorang“bzgl. einer gewissen Genauigkeit für die Rekonstruktion der Matrixgewählt werden.


Lineare Inversion


Aufgabe: SVDBetrachten wir die Matrix aus Gleichung (7).

1. Berechnen Sie die Singulärwertzerlegung der Matrix mit derFunktion svd (help svd).

2. Wo liegen der Datenvektorraum, der Modellvektorraum und dieNullvektorräume?

3. Bestimmen Sie den Rang, berechnen Sie die verallgemeinerteInverse F† nach Gleichung (17) und lösen Sie Fm = d fürd = (1,1)T !

4. Erweitern Sie die Matrix um die Kopie der 1. Zeile und führen Siedie gleichen Schritte aus.

5. Ersetzen Sie die letzte Zeile durch eine Kopie der 2. Zeile die einStückchen des dritten Parameters berührt.

6. Testen Sie verschiedene Rauschniveaus und die Auswirkung aufdie Ergebnisse.


Lineare Inversion

Regularisierung

Regularisierung

Das Occam-PrinzipWilliam v. Occam, Schottland 14. Jh.:„Pluralitas non est ponenda sine neccesitate!“Freie übersetzt „Wähle von allen Lösungen die einfachste!“

Doch wie können wir „einfach“ mathematisch definieren?

• wenige Modellvektoren (truncated svd)

• Große Glattheit (möglichst geringe Kontraste)

• Möglichst wenige Kontraste


Lineare Inversion

Regularisierung

RegularisierungZusätzliche Forderungen an die Lösung als Minimierungsproblem füreine Norm:

‖C(m−m0)‖

Verknüpfung durch Lagrange-Parameter λ,

‖Fm−d‖22 + λ‖C(m−m0)‖2

2→min (18)

führt zu den regularisierten Normalengleichungen

(FT F + λCT C)m = FT d−λCT Cm0. (19)


Lineare Inversion

Regularisierung

Im einfachsten Fall fordern wir ein kleines Modell: m0 = 0. Man wähltaußerdem für C die Einheitsmatrix I (Marquardt-Levenberg-Verfahren),d.h. die Norm des Modells wird bestraft und man erhält einegedämpfte Least-Squares-Lösung:

(FT F + λI)m = FT d. (20)

Alternativ zu den Modellparametern m kann man auch denUnterschied ∆m zu einem Referenzmodell m0 betrachten:

m = m0 + ∆m, (FT F + λI)∆m = FT (d−Fm0)−λIm0. (21)


Lineare Inversion

Regularisierung

Die L-Kurve

• schlechte Da-tenanpassung -schönes Modell

• gute Datenan-passung -unschönesModell

• Kompromisszwischenbeiden


Lineare Inversion

Regularisierung

Wahl des RegularisierungsparametersKriterien zur Wahl des Regularisierungsparameters:

• Erfahrungswerte,

• optisches Auswählen einer Lösung,

• bei bekanntem Fehler - Diskrepanzprinzip: Gesucht ist dieLösung, welche die Daten gerade im Rahmen des Fehlers erklärt,

• L-Kurve, optisch oder über maximaler Krümmung

• GCV - Generalized Cross-Validation: Die Inversionslösung sollmöglichst wenig abhängig sein von jedem einzelnen Datum.


Lineare Inversion

Regularisierung

Das L-Kurven-Kriterium


Lineare Inversion

Beispiel Oberflächen-NMR-Sondierung

Oberflächen-NMR

SNMR-Prinzip

• Protonen sind im Erdfeld ausgerichtet

• Externes Feld regt diese an und lässt diese präzedieren

• Resultierendes Feld lässt Rückschluss auf Wassergehalt

• Sondierung durch verschiedene Pulsmomente

Besondere Situation

• eines der wenigen Verfahren mit geologischem Parameter(Wassergehalt)

• linearer Zusammenhang mit gemessener Spannung


Lineare Inversion


Aufgabe SNMR

Aufgabe

• Downloaden und laden Sie den Kernel vonhttp://www.resistivity.net/invprob/box/K.mat

• Er enthält für 24 Pulsmomente (Daten) den Zusammenhang zu200 Schichten (Modell) a 0.5m Dicke.

• Sehen Sie sich den Kernel mit der Funktion imagesc an.

• Erzeugen Sie eine Wassergehaltsverteilung und berechnen Siedie resultierende Spannung (in nV).

• Stellen Sie die Sondierungskurve dar.

• Verrauschen Sie die Daten mit Gausschen Rauschen (helprandn)

http://www.resistivity.net/invprob/box/K.mat


Lineare Inversion


Aufgabe SNMR

Inversion mit TSVD

• Berechnen Sie die Singulärwertzerlegung von K und sehen Siesich die Singulärwerte sowie die Modellvektoren an.

• Wählen Sie einen Pseudorang r und erzeugen Sie dieverallgemeinerte Inverse.

• Schreiben Sie eine Schleife für alle Ränge und stellen Sie dieLösung dar.

• Welche würden Sie optisch auswählen?

• Stellen Sie das Residuum der Gleichung gegen die Modellnormdar.

• Wo schneidet die Kurve das Rauschlevel?


Lineare Inversion


Zusammenfassung TSVD-Inversion

Wenige Modellvektorenkorrespondieren mit glatten Modellen, können aber Daten nicht genaugenug fitten

Viele Modellvektorenbringen mehr Struktur ins Modell und fitten Daten, neigen aber zuOszillationen und unplausiblen Wassergehalten

Optimale Regularisierungschwer einzustellen, bes. für tiefe und flache Schichten gleichzeitighohes Rauschen erfordert weniger Modellvektoren (hoheRegularisierung)


Lineare Inversion


Aufgabe SNMR

Inversion mit Dämpfung und Smoothness Constraints

• Schreiben Sie eine Funktion, die für gegebenes F, d und λ diegedämpften Normalengleichungen (20) löst.

• Lösen Sie die Gleichung für viele Werte von λ.

• Stellen Sie das Residuum gegen die Modellnorm dar und wählenSie das optimale λ nach dem Diskrepanzprinzip.

• Erweitern Sie die Funktion um ein optionales C, so dassGleichung (19) gelöst wird.

• Wiederholen Sie Schritte 2+3 mit einer Ableitungsmatrix.

• Vergleichen Sie die Ergebnisse der 3 Inversionsverfahren.


Lineare Inversion


Zusammenfassung Teil 1

Was haben wir gelernt?

• Lineare Probleme lassen sich als Fm = d schreiben

• Least Squares Lösung durch L2-Minimierung ‖d−Fm‖22→min

• SVD veranschaulicht Natur des Problems• meist Regularisierung (Constraints) nötig:

• abgeschnitte Singulärwertzerlegung (TSVD)• Marquardt-Verfahren (gedämpfte Least Squares)• Smoothness-Constraints⇒ glattes Modell

• Optimierung des Regularisierungsparameters (optisch, L-Kurve)

• synth. Modell + Rauschen⇒ fit innerhalb des Rauschens

• SNMR: Vor- und Nachteile, Smoothness Constraints gut


Lineare Inversion

Auflösungsanalyse

Auflösungsanalyse

Realität

Daten

Modell

Fehler

Nebenbed.

Messung

Inversion

?

Fragen

• Abbildungseigen-schaften desGesamtprozesses

• Bewertung vonErgebnissen

• Optimierung desExperimentaldesigns


Lineare Inversion

Auflösungsanalyse

Auflösungsanalyse - lineare Verfahren

HerleitungDaten = Antwort der Realität + Rauschen

d = Fmtrue + n (22)

mit mest = F†d folgt

mest = F†Fmtrue + F†n = RMmtrue + F†n (23)

mit der Auflösungsmatrix RM = F†F, die den Prozess aus Messung (F)und Inversion (F†) beschreibt.Analog gilt dest = RDd mit der Dateninformationsmatrix RD = FF†.


Lineare Inversion

Auflösungsanalyse

Auflösungsanalyse - lineare Verfahren

Interpretation Modellauflösungsmatrix

Spalten wie wird eine Anomalie in der jeweiligen Modellzelle imErgebnis projiziert?

Zeilen wo kann eine Anomalie im Ergebnis her kommen?

Diagonale Auflösung der einzelnen Zellen⇒ Gesamtauflösung über Summierung⇒ Berechnung von Auflösungsradien

Interpretation DateninformationsmatrixWichtigkeit der einzelnen Daten und Zusammenhang zwischen ihnen


Lineare Inversion

Auflösungsanalyse

Auflösung des TSVD-Verfahrens

Einsetzen der verallgemeinerten Inversen F† ergibt

mest = Vr W−1r UT

r Ur Wr VTr mtrue = Vr VT

r mtrue. (24)

Im Vollrang (r > M) gilt RM = Vr VTr = I (perfekte Auflösung).

Durch Weglassen von Modellvektoren fehlen Auflösungsanteile.Auf gleiche Weise ergibt sich die Dateninformationsmatrix RD = Ur UT

r :

dest = Fmest = FF†d = Ur Wr VTr Vr W−1

r UTr = Ur UT

r d. (25)


Lineare Inversion

Auflösungsanalyse

Auflösung für explizite Constraints

F† = (FT F + λCT C)−1FT

führt zuRM = F†F = (FT F + λCT C)−1FT F . (26)

Für λ = 0 ergibt sich RM = I (perfekte Auflösung).Allerdings wird dann das Produkt F†n beliebig kompliziert.

Regularisierung =Kompromiss zwischen Abbildungstreue und Rauschartefakten


Lineare Inversion

Auflösungsanalyse

Aufgaben Auflösungsanalyse

• Berechnen Sie die Auflösungsmatritzen für alle 3Regularisierungsverfahren.

• Dabei soll das Diskrepanzprinzip für die Bestimmung von λ/rzugrunde gelegt werden.

• Visualisieren Sie jeweils für RM und RD:1. die gesamte Matrix2. einzelne Spalten der Matrix3. einzelne Zeilen der Matrix4. die Diagonale der Matrix

• Was lernen wir daraus?


Lineare Inversion

Auflösungsanalyse

Abschluss Oberflächen-NMR-Sondierung

Zusammenfassung

• eines der wenigen linearen Verfahren

• Eingeschränktes Auflösungsvermögen in der Tiefe

• teilweise Wassergehalte unter Null oder Ghostaquifere

Andere Parametrisierung

• Blockinversion (Schichtmächtigkeiten+Wassergehalte)

• Logarithmierte Wassergehalte

⇒ Inverses Problem wird nichtlinear!


Nichtlineare Inversion

Methodik


TaylorreihenentwicklungWir erinnern uns an die allgemeine Formulierung inverser Probleme:

d = f(m) + n. (27)

Mittels Taylorreihenentwicklung lassen sich nicht-lineare Problemelinearisieren:

f(m + ∆m) = f(m) +∂f(m)

∂m∆m + . . . , (28)

wobei ∂F(~m)∂m = J die Jacobi-Matrix ist mit Jij = ∂fi(m)

∂mj.



Methodik

Linearisierung

Wir wählen ein Startmodell m0, schreiben mk für m und machen denAnsatz f(mk+1) = d

⇒ Jk ∆mk = d− f(mk ) = ∆dk . (29)

und iterieren k von 0 an, indem mk+1 = mk + ∆mk Dieses lineareProblem lösen wir mit obigen LS-Verfahren (lokaler Ansatz), z.B. fürMarquardt-Verfahren oder Smoothness-Constraints

(JT J + λCT C)∆mk = JT ∆dk

−λCT C(m−mR)

(30)

Alternativ: Gauss-Newton-Methode (global)



Methodik

Linearisierung


⇒ Jk ∆mk = d− f(mk ) = ∆dk . (29)


(JT J + λCT C)∆mk = JT ∆dk

−λCT C(m−mR)

(30)




Methodik

Linearisierung


⇒ Jk ∆mk = d− f(mk ) = ∆dk . (29)


(JT J + λCT C)∆mk = JT ∆dk −λCT C(m−mR) (30)




Methodik

Jacobi-Matrix

SensitivitätenWelchen Einfluss hat eine Änderung eines Modellparameters auf dieVorwärtsantwort des Modells?

Berechnung (Sensitivitäten)

• Analytisch (nur für einfache Modellgeometrien möglich)

• DC-Vorwärtsmodellierung (Sensitivitätstheorem)

• Modellierung der Sensitivitäten

• Update-Mechanismen (z.B. Broyden)

• Perturbationsmethode

f(m), f(m + ∆m)⇒ S =f(m + ∆m)− f(m)

∆m(31)



Methodik

Line Search

Oft schießt das Modellupdate über das Ziel hinaus, d.h. f(m + ∆m)fittet die Daten schlechter als f(m).Einführung einer Schrittweite sk :

mk+1 = mk + sk ∆mk

Optimierung von s, so dass ‖f(mk+1)−d‖→min

• Vorwärtsrechnung für viele s

• lineare Interpolation zwischen f(mk ) und f(mk + ∆mk

• Rechnung für 2 Schritte: Φ(s = 0,0.5,1)⇒ Parabel⇒ Minimum



Methodik


Ablauf

• Bestimme Startmodell m0, setze k = 0

• Errechne Vorwärtsantwort f(mk ) und Residuum ∆dk = d− f(mk )

• Bestimme Jacobi-Matrix J

• Löse lineares Subproblem J∆mk = ∆dk

• Optimiere Schrittweite sk und update Modellmk+1 = mk + sk ∆mk

• k = k + 1 und gehe zu 2. solange Daten nicht gefittet werden



1D-Magnetotellurik

1D-Magnetotellurik - Aufgaben

1. Laden Sie die Funktion waitalg.m vonhttp://www.resistivity.net/invprob/box/waitalg.mherunter, die für gegebene Widerstände+Mächtigkeiten nachdem Wait-Algorithmus eine komplexe 1D-Rechnung durchführt![rhoa,phi]=waitalg(rho,thk,T);

2. Erstellen Sie mit logspace einen Perioden-Vektor T!

3. Berechnen Sie die Modellantwort eines 3-Schicht-Falls undstellen Sie ρa und Phase dar!

4. Erstellen Sie eine Funktion, die für gegebenes rho und thk nachder Perturbationsmethode die Sensitivitätsmatrix bzgl. derWiderstände berechnet!

5. Berechnen und visualisieren Sie die Sensitivitätsmatrix fürρ = ρ0! Wie tief können Sie bei welchem ρ0 eindringen?

http://www.resistivity.net/invprob/box/waitalg.m



1D-Magnetotellurik

1D-Magnetotellurik

Variante 1: Fixe Parametrisierung

1. Verrauschen Sie die synthetischen Daten!

2. Legen Sie eine Schichtenfolge fest (linear oder log. äquidistant)!

3. Bestimmen Sie einen Startwiderstand und berechnen Sie einModellupdate durch Lösen des inversen Subproblems!

4. Benutzen Sie dabei die Regularisierung Ihrer Wahl.

5. Updaten Sie das Modell so lange, bis der Fit konvergiert.



1D-Magnetotellurik

Logarithmische Parameter

m = logρ und d = logρa

∆d = log(ρa)− log(f(m))

Modellupdate

mk+1 = logρk+1 = mk + ∆mk = logρ

k + ∆m

⇒ ρk+1 = exp(mk+1) = exp(logρ

k + ∆m) = ρk exp(∆m) (32)

Jacobi-Matrix

Jij =∂ log fi(m)

∂ logmj≈ log fi(m)− log fi(m + ∆m)

log(amj)− logmj



1D-Magnetotellurik

1D-Magnetotellurik

Variante 2: Blockinversion

1. Verrauschen Sie die synthetischen Daten!

2. Erweitern Sie die Sensitivitätsfunktion um die ModellparameterSchichtdicke.

3. Legen Sie ein Startmodell fest und berechnen Sie dessenAntwort.

4. Berechnen Sie ein Modellupdate durch Lösen des inversenSubproblems.

5. Benutzen Sie dabei die Regularisierung Ihrer Wahl(TSVD,Marquardt).

6. Updaten Sie das Modell so lange, bis der Fit konvergiert.



1D-Magnetotellurik

Komplexwertige Inversion

Variante 1: Komplexe Rechnung

d = ρaeiφ = ℜ(ρ

a) + ℑ(ρa)

Perturbation von Phase und BetragVerschiedene Wichtungen, Logarithmus schwierig

Variante 2: Erweiterter Datenvektor

d = [logρa1 . . . logρ

aN φ1 . . .φN ]T

Datenwichtungsmatrix D = diag(1/ε) mit

ε = [δ logρa1 . . .δ logρ

aN δφ1 . . .δφN ]T



Auflösungsanalyse

Auflösungsanalyse

Auflösungsgleichung

Aus d = f(mtrue) + n

folgt unter der Annahme mk+1 ≈mtrue

mest = RMmtrue + (I−RM)m0 + S†Dn (33)

mit RM = (ST DT DS + λCT C)−1ST DT DS = S†DS .

• Modell = Realität + Nebenbedingungen + Rauschartefakte

• Regularisierung = Kompromiss zw. Abbildung und Verrauschung

• Wo Auflösung fehlt, entscheiden Nebenbedingungen



Auflösungsanalyse

Auflösungsanalyse











Auflösungsanalyse

Auflösungsanalyse











Auflösungsanalyse

Auflösungsanalyse










Software

Software

Gute Software ist frei und plattformunabhängig!

Matlab-basiert

dcmatlab - Toolbox mit inversen Lösern, Plotroutinen, Filetransferfür Geoelektrik, Laufzeittomographie, SNMR etc.

DCxdInvRes - Graphische Oberflächen für 2D/3D-Geoelektrik

C++-basiert

dcfemlib - DC FEM modelling/inversion library + tools

BERT - boundless electrical resistivity tomography

GIMLi - Geophysical Inversion and Modelling Library

Projektseite http://www.resistivity.net

http://www.resistivity.net

Documents

Inverse Probleme in der Angewandten Geophysik - eine ... · Motivation+Gliederung Motivation ... Strahlengang, Oberﬂächen-NMR, VSP Nichtlineares Problem F hängt von m ab: Beispiel: