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Mildenberger

Pisa-TrainingPisa-TrainingMathematische Denkaufgaben5

Pisa-TrainingMathematische Denkaufgabenfür Schülerinnen und Schülerder 5. Jahrgangsstufe

Aufgabenheft99 Denkaufgaben33 Trainingseinheiten33 Schwierigkeitsstufen zur Übung,33 Wiederholung und Vertiefung

bearbeitet vonHermann-Dietrich Hornschuh

illustriert vonElisabeth Lottermoser

Mildenberger

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Dank gebührt meiner Frau Brynhildsowie Gerhard Hergenröderund Jochen Kreusch.

Bestell-Nr. 150-21 · ISBN 978-3-619-01521-4

© 2004 Mildenberger Verlag GmbH, 77652 OffenburgInternetadresse: www.mildenberger-verlag.deE-Mail: info@mildenberger-verlag.de

Auflage 5 4 3 2Jahr 2014 2013 2012 2011

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Druck: Appel & Klinger Druck und Medien GmbH, 96277 SchneckenloheGedruckt auf umweltfreundlichen Papieren

BezugsmöglichkeitenAlle Titel des Mildenberger Verlags erhalten Sieunter: www.mildenberger-verlag.de oder im Buch-handel. Jede Buchhandlung kann alle Titel direktüber den Mildenberger Verlag beziehen. Ausnah-men kann es bei Titeln mit Lösungen geben: Hin-weise hierzu finden Sie in unserem aktuellenGesamtprogramm.

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Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Armer Wurm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Gewählte Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Leckerer Fisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Fehlende Kinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Alter Bürgermeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Opa Schlauberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1 Viele Töpfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Russische Rubel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Amerikanische Dollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1 Billionen Pfennige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Verflixtes Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Schwere Münzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.1 Erste Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Zweite Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Dritte Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.1 Neun Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Vier Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.3 Fünf Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.1 Sportliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2 Schneller Slalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.3 Weite Sprünge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.1 Flotte Schwimmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.2 Sportliches Fernsehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.3 Musikalische Mädchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.1 Zwei Lastwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.2 Viele Waggons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.3 Sizilianisches Obst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10.1 Till Eulenspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.2 Rektorin Schlau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.3 Schwarzwälder Uhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.1 Wertvolle Hunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.2 Viele Katzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.3 Bauer Pfiffig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2712.1 Drei Garagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812.2 Sechs Mädchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.3 Musikalische Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.1 Rennstrecke Zaun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.2 Zwei Igel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.3 Zwei Schnecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.1 Schneller Rechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.2 Gerade Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.3 Ungerade Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3315.1 Springende Schüler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415.2 Springende Schülerinnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.3 Schwere Pakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3516.1 Viele Bücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3616.2 Viele Kranke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.3 Viele Reisende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3717.1 Sechs Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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17.2 Ein Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3917.3 Gesuchte Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3918.1 Reitende Mädchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018.2 Geparkte Fahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.3 Viele Beine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4119.1 Fahrender Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4219.2 Tanzende Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4319.3 Gekaufte Marken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4320.1 Junge Damen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4420.2 Alte Herren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4520.3 Ein Ehepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4521.1 Einhundert Stück . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4621.2 Flotte Kleidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4721.3 Schöner Ausflug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4722.1 Schwierige Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4822.2 Neun Ziffern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4922.3 Zwei Zeilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4923.1 Sparsame Frau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5023.2 Teures Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5123.3 Drei Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5124.1 Hoher Preis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5224.2 Monatliche Zahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5324.3 Preiswerter Garten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5325.1 Volles Becken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5425.2 Zwei Zuflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5525.3 Zwei Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5526.1 Laufende Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5626.2 Langer Film . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5726.3 Viel Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5727.1 Ein Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5827.2 Ein Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5927.3 Eine Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5928.1 Etliche Bücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6028.2 Einhundert Bälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6128.3 Farbige Mützen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6129.1 Blumige Beete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6229.2 Eckige Tafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6329.3 Teurer Platz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6330.1 Sportliche Jungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6430.2 Goldene Medaillen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6530.3 Viel Geld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6531.1 Drei Seiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6631.2 Gerade Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6731.3 Ungerade Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6732.1 Schneller Hirsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6832.2 Rasender Fahrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6932.3 Fahrendes Mädchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6933.1 Zwei Uhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7033.2 Schnelle Zeiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7133.3 Pünktliche Schüler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Mathematische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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Vorwort

Liebe Schülerin, lieber Schüler!Wenn du dieses Buch aufschlägst und die hier zusammengestellten Aufgabenzum ersten Mal genau durchliest, wirst du wahrscheinlich zunächst einmal er-staunt sein, weil du solche Aufgaben bisher wohl nur ganz selten oder nochgar nicht gesehen hast. In 33 Trainingseinheiten werden 99 Denkaufgabenvorgestellt, von denen immer 3 nach steigendem Schwierigkeitsgrad zurÜbung, zur Wiederholung und zur Vertiefung angeordnet sind.

Du brauchst natürlich nicht mit der ersten Aufgabe zu beginnen und mit derletzten Aufgabe aufzuhören, also das Buch von vorn nach hinten durch-zuarbeiten. Vielmehr kannst du mit einer beliebigen Aufgabe beginnen undmit einer beliebigen Aufgabe aufhören. Um eine Aufgabe zu lösen, musst dukeinesfalls alle vorherigen Aufgaben gelöst haben. Im Gegenteil, jede Aufgabeist unabhängig von der anderen. Du kannst also mit der Aufgabe beginnen,die dich am meisten interessiert. Ein wenig anders sieht es bei den Aufgabeneiner Trainingseinheit aus, die nach steigendem Schwierigkeitsgrad ange-ordnet sind. Hier empfiehlt es sich, immer zunächst mit der ersten Aufgabe zubeginnen.

Was du beim Arbeiten mit diesem Buch bedenken solltest:

• Gelingt dir die Lösung einer Aufgabe nicht sofort, dann brauchst du nicht zuverzweifeln. Auch das Lösen solcher Denkaufgaben will gelernt und geübtsein.

• Keine dieser Aufgaben ist sehr leicht, auch wenn du zu keiner LösungGleichungen brauchst. Vielmehr kommt es vor allem auf „logisches Denken“an.

• Führt dein gewählter Rechenweg nicht gleich zur Lösung, dann kann auchdas ein Ergebnis sein. Du kannst daraus die Lehre ziehen, dass eine Aufgabeso nicht lösbar ist.

• Zu dieser Aufgabensammlung gibt es ein gesondertes Lösungsheft. Dortfindest du zu jeder Aufgabe eine Lösung. Aber nicht nur die Lösungen werdenangegeben, sondern auch die Rechenwege. Das bedeutet aber keinesfalls,dass nicht auch noch andere Wege zum Ziel führen können.

• Vor allem darfst du nicht gleich beim ersten Fehlversuch deine Bemühungenaufgeben. Mache noch einen zweiten oder vielleicht sogar einen drittenVersuch, ehe du im Lösungsheft nachschaust. Bitte deine Lehrerin oderdeinen Lehrer um Hilfe, wenn du nicht weiterkommst.

6

Es kroch an einem Lindenbaumein kleiner Wurm, man sah ihn kaum,von unten hoch mit aller Macht.Vier Meter schafft er jede Nacht,und alle Tage rutscht er wiedergenau zwei Meter daran nieder.So hat er in der zwölften Nachtsein ganzes Kletterwerk vollbracht.Die Spitze war sein Reiseziel,von der er nun zu Boden fiel.Mein Freund, sag mir doch klipp und klar,wie hoch die Linde wirklich war?

Wer von euch kann diese gereimte Aufgabe lösen?

Aufgabe 1.1

7

Eine Zahl hab ich gewählt,107 zugezählt,dann durch 100 dividiertund mit 11 multipliziert,endlich 15 subtrahiert.Zuletzt ist mir gebliebenals Resultat die Primzahl 7.

Welche Zahl wurde gewählt?

Stellt ein Koch auf jeden Tischeine Portion leckeren Fisch,so fehlt für eine Portion Fisch… ein Tisch.

Stellt der Koch auf jeden Tischzwei Portionen Fisch,so bleibt ein Tisch… ohne Fisch.

Wie viele Fische?Wie viele Tische?

Wie viele Fische und wie viele Tische sind es?

Aufgabe 1.3

Aufgabe 1.2

8

Vor vielen Jahren wurde einmal ein Dorfschullehrer gefragt, wieviele Kinder er in seiner Klasse habe. Er antwortete: „Ein Sechstelvon ihnen liegt zu Hause krank im Bett, 11 helfen ihren Eltern beider Ernte, 7 sind beim Pfarrer in der Kirche, und von den heuteAnwesenden schreiben 20 und 17 rechnen.“

Wie viele Kinder hatte der Dorfschullehrer damals in seiner Klasse?

Aufgabe 2.1

9

Opa Schlauberger feiert Geburtstag. Er ist 50 Jahre und ein Drittelseines Alters alt.

Welches Alter hat Opa Schlauberger erreicht?

Ein Bürgermeister wurde einmal nach seinem Alter gefragt. Er ant-wortete: „Ein Sechstel meines Alters verlebte ich in der Kindheit,ein Viertel als Jugendlicher, die Hälfte als Ehemann, und nun binich schon fünf Jahre Witwer.“

Wie alt war der Bürgermeister zu diesem Zeitpunkt?

Aufgabe 2.2

Aufgabe 2.3

10

In einem Regal, das aus den drei Fächern I, II und III besteht, ste-hen Milchtöpfe in drei verschiedenen Größen. Ein großer Topf kannhöchstens A Liter, ein mittlerer Topf höchstens B Liter und ein klei-ner Topf höchstens C Liter Milch aufnehmen. In jeder der dreiReihen stehen verschieden viele Töpfe. Werden diese Töpfe voll-ständig gefüllt, befinden sich in jeder Reihe 24 Liter Milch.

Welche Menge Milch kann ein Topf der Größe A, ein Topf der Grö-ße B und ein Topf der Größe C höchstens aufnehmen, wenn A, Bund C ganze Zahlen sind?

Aufgabe 3.1

11

In Russland wird mit Rubel bezahlt. Iwan hat 20-Rubel-Scheineund 50-Rubel-Scheine, zusammen 9 Stück. Er will mit allen Schei-nen einen Betrag von 300 Rubel bezahlen.

Mit wie vielen 20-Rubel-Scheinen und wie vielen 50-Rubel-Schei-nen bezahlt Iwan?

In Amerika wird mit Dollar bezahlt. John muss für ein Taxi zumBahnhof drei Dollar bezahlen. Sein Freund Harold, der genau aufder Hälfte des Weges von Johns Haus zum Bahnhof wohnt, wirdvon John mitgenommen.

Welchen Betrag muss Harold an John zahlen, wenn die beidenFreunde den Fahrpreis gerecht untereinander aufteilen?

Aufgabe 3.2

Aufgabe 3.3

12

Im Jahre 1923 verlor das Geld in Deutschland fast seinen gesam-ten Wert. 1 Dollar war so viel wert wie 4,2 Billionen Mark. Schreibstdu 1 Billion mit Ziffern, dann ist das eine Eins mit 12 Nullen:

1 000 000 000 000.

4,2 Billionen Mark waren damals 420 Billionen Pfennige. Nehmenwir an, dass jedes Pfennigstück ein Millimeter dick war. DiesePfennige sollen aufeinander gestapelt werden.

Wie hoch würde ein Turm sein, der aus diesen 420 BillionenPfennigstücken gebaut ist?

Die Sonne ist 150 Millionen Kilometer von der Erde entfernt. Wür-de der „Pfennigturm“ so hoch sein, dass er bis zur Sonne reicht?

Aufgabe 4.1

13

Diese 1,2 Billionen Münzen des Landes Nirgendwo, von denen jede5 Gramm wiegt, sollen mit einem Zug abtransportiert werden. Je-der Güterwagen kann mit 20 Tonnen beladen werden.

Wie viele Güterwagen werden zum Abtransport benötigt?

Im Lande Nirgendwo befinden sich 1,2 Billionen Münzen. Es sollnachgezählt werden, ob es auch wirklich so viele Münzen sind. Eswerden an 250 Tagen im Jahr täglich 10 Stunden und in jeder Minute200 Münzen gezählt.

Wie lange dauert es, bis das gesamte Geld gezählt ist?

Aufgabe 4.2

Aufgabe 4.3

14

Hendrik bildet die Summe aus den Zahlen 27 und 72. Kim bildetdie Summe aus den Zahlen 71 und 17. Kevin bildet das Produktaus den Ergebnissen von Hendrik und Kim. Marcel schreibt diegrößte vierstellige Zahl auf, die man aus verschiedenen geradenZiffern bilden kann. Ugur zieht die Zahl von Marcel vom Ergebnisvon Kevin ab.

Welches Ergebnis hat Ugur erhalten?

Aufgabe 5.1

15

Pascal bildet die Differenz aus der kleinsten ungeraden dreistel-ligen Zahl mit gleichen Ziffern und der größten geraden dreistel-ligen Zahl mit gleichen Ziffern. Peter bildet die Differenz aus dergrößten geraden vierstelligen Zahl mit gleichen Ziffern und derkleinsten fünfstelligen ungeraden Zahl mit gleichen Ziffern. Danielabildet die Summe aus den Differenzen, die Pascal und Peter er-rechnet haben. Elena dividiert das Ergebnis von Daniela durch diekleinste vierstellige Zahl.

Welches Ergebnis hat Elena erhalten?

Sarah bildet das Produkt aus den Zahlen 32 und 64. Beatrice bil-det das Produkt aus den Zahlen 49 und 87. Franziska zieht SarahsProdukt von Beatrices Produkt ab. Vera bildet die Quersumme vonFranziskas Zahl. Maren bildet das Querprodukt von FranziskasZahl. Amelie dividiert Marens Querprodukt durch Veras Quer-summe.

Welches Ergebnis hat Amelie erhalten?

Aufgabe 5.2

Aufgabe 5.3

16

In ein Rechteck ABCD sind vier Strecken so eingezeichnet, dasszusätzlich die fünf Punkte E, F, G, H und I entstehen. Dadurch wirdeine bestimmte Anzahl von Dreiecken gebildet.

Gib die Dreiecke alphabetisch nach ihren Eckpunkten an.Wie viele Dreiecke sind in dieser Figur enthalten?

Aufgabe 6.1

D E C

A F B

GH

I

17

Die folgende Zeichnung enthält 7 Punkte und 5 Geraden. DieseGeraden bilden eine bestimmte Anzahl von Vierecken.

In ein Rechteck ACDF sind vier Strecken so eingezeichnet, dasszusätzlich die Punkte B, E, G, H und I entstehen. Dadurch wird einebestimmte Anzahl von Dreiecken gebildet.

Aufgabe 6.2

Aufgabe 6.3

A

B

G

F

E

D

C

A

H I

G

F E D

B C

Gib die Dreiecke alphabetisch nach ihren Eckpunkten an.

Wie viele Dreiecke sind in dieser Figur enthalten?

Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen den Vier-ecken, die in der Zeichnung enthalten sind?

Wie viele Vierecke sind in dieser Figur enthalten?

18

Gerhard behauptet gegenüber seiner Schwester Cornelia, dassZahlen sportlich sein können. Cornelia muss darüber lachen undgreift sich vielsagend an die Stirn. „Pass auf“, erwidert Gerhard,„ich werde es dir beweisen: Alle ganzen Zahlen, die größer als 11und kleiner als 33 sind, machen einen Hindernislauf. An der ers-ten Hürde stürzen alle geraden Zahlen und scheiden aus. An derzweiten Hürde stürzen alle durch 3 teilbaren Zahlen und scheidenauch aus. An der dritten Hürde stürzen alle Zahlen, deren Quer-summe eine gerade Zahl ist. Sie scheiden ebenfalls aus. An derletzten Hürde stürzt schließlich noch die einzige Quadratzahl, auchsie erreicht das Ziel nicht.“

Welche Zahlen erreichen das Ziel dieses Hindernislaufs?

Aufgabe 7.1

19

Alle Zahlen zwischen 19 und 51, die durch 3 dividiert den Rest 1ergeben, nehmen an der Qualifikation eines Skispringens teil. AlleZahlen, deren Endziffer eine 8 ist, haben zu kurze Sprungski, siedürfen deshalb nicht mitspringen. Alle Zahlen, deren erste Ziffereine 4 ist, haben zu lange Sprungski, sie dürfen also ebenfallsnicht mitspringen. Die Qualifikation erreicht nur die Zahl, derenQuersumme 10 ist.

Welche Zahl schafft beim „Skispringen“ die Qualifikation?

Alle zweistelligen Zahlen, die kleiner sind als 30, nehmen an ei-nem Riesenslalom teil. Am ersten Tor scheiden alle Vielfachenvon 3 aus. Am zweiten Tor kommen alle Zahlen, die durch 5 teil-bar sind, nicht vorbei. Am dritten Tor bleiben alle geraden Zahlenhängen. Das letzte Tor schließlich wird von allen Zahlen verfehlt,deren Querprodukt kleiner als 10 ist. Somit erreicht nur eine Zahldas Ziel.

Welche Zahl erreicht beim „Riesenslalom“ das Ziel?

Aufgabe 7.2

Aufgabe 7.3

20

Ein Schwimmverein hat 111 Mitglieder. Von diesen schwimmen55 im Hallenbad und 77 im Freibad. Es gibt aber auch Mitglieder,die im Hallenbad und im Freibad schwimmen.

Wie viele Mitglieder des Schwimmvereins schwimmen im Hallen-bad und im Freibad?

Aufgabe 8.1

21

Von 31 Jungen sehen 24 Fußballspiele und 12 Skispringen imFernsehen an. Es gibt aber auch Jungen, die Fußballspiele undSkispringen ansehen.

Wie viele Jungen sehen sich im Fernsehen Fußballspiele und Ski-springen an?

Von 43 Mädchen singen 27 im Chor und 26 spielen im Orchester.Es gibt aber auch Mädchen, die im Chor singen und im Orchesterspielen.

Wie viele Mädchen singen im Chor und spielen im Orchester?

Aufgabe 8.2

Aufgabe 8.3

22

Aus einer Kiesgrube sollen 200 Tonnen Sand abtransportiert wer-den. Zur Verfügung steht zunächst nur ein kleinerer Lkw, der mit6 Tonnen beladen werden kann. Nach 15 Fahrten wird dieser durcheinen größeren Lkw ersetzt, der 5 Tonnen mehr laden kann.

Wie viele Fahrten müssen beide Lkw zusammen machen, um denSand vollständig abzufahren?

Aufgabe 9.1

23

Von einer Halde sollen 4 800 Tonnen Kohle mit der Bahn wegge-fahren werden. Zunächst werden 40 Waggons mit jeweils 20 Ton-nen beladen. Die restliche Kohlenmenge wird von Waggons be-fördert, von denen jeder ein Fünftel mehr transportieren kann.

Wie viele Waggons werden gebraucht?

Aus Sizilien müssen 13 300 Kisten Apfelsinen nach Deutschlandgeflogen werden. Drei Arten von Flugzeugen stehen zur Verfü-gung. Die kleinen können 200 Kisten, die mittleren 300 Kisten unddie großen 400 Kisten laden. Von den kleinen Maschinen stehendrei und von den mittleren dreimal so viele zur Verfügung. Für dieübrigen Kisten werden große Maschinen eingesetzt.

Wie viele Flugzeuge sind erforderlich?

Aufgabe 9.2

Aufgabe 9.3

24

Aufgabe 10.1

Als Till Eulenspiegel wieder einmal unterwegs war, traf er einenBauern. Da beide Hunger hatten, gingen sie gemeinsam bis zumnächsten Gasthaus. Nachdem sie dort für einen Taler (damals be-zahlte man noch mit Talern) gut gegessen hatten, begannen siemit dem Wirt Karten zu spielen.

Zuerst verlor Eulenspiegel die Hälfte seines Geldes zu gleichenTeilen an den Bauern und an den Wirt. Danach verlor der Bauerdie Hälfte seines jetzigen Geldes zu gleichen Teilen an Eulenspie-gel und an den Wirt. Schließlich verlor der Wirt die Hälfte seinesjetzigen Geldes zu gleichen Teilen an den Bauern und an Eulen-spiegel. Vor dem Spiel hatten sie unterschiedlich viel Geld, nachdem Spiel hatte jeder von ihnen 8 Taler.

Wer von den drei Spielern hatte am Schluss gewonnen, werverloren?

25

Es war zu der Zeit, als Raschid-el-Raschud Uhrenhändler inDschinnistan war. Der regsame Mann hatte sein gutes Geld da-durch verdient, dass er Schwarzwälder Uhren aus Germanistaneinführte und an seine arabischen Kunden mit Gewinn weiterver-kaufte. Es kam die Zeit, dass er wegen seines Alters ein Testa-ment machte. Nach seinem Tode bekamen seine beiden Söhnezusammen 2 600 Goldstücke. Der Erstgeborene bekam 1 600 Gold-stücke, der jüngere Bruder 600 weniger. Nun begannen beide, dasErbe zu verprassen. Der ältere Bruder gab monatlich 25 Goldstückeaus, der jüngere in jedem Monat 15 weniger.

Zu welchem Zeitpunkt besaßen beide Brüder noch gleich vieleGoldstücke?

Rektorin Schlau teilt dem Schulrat auf Anfrage mit: „An meinerSchule gibt es vier fünfte Klassen. In den Klassen 5a, 5b, 5c und5d sind zusammen 104 Schülerinnen und Schüler. In den Klassen5a und 5c sind gleich viele Kinder. In der Klasse 5b sind 2 Kindermehr als in der Klasse 5d. In der Klasse 5a ist 1 Kind weniger alsin der Klasse 5d.“

Wie viele Kinder sind in jeder fünften Klasse dieser Grundschule?

Aufgabe 10.2

Aufgabe 10.3

72

Mathematische Begriffe

Fremdsprache Bedeutung

addieren zusammenzählen

Addition Vorgang des Zusammenzählens

Differenz Ergebnis des Abziehens

Dividend zu teilende Zahl oder Zähler

dividieren teilen

Division Teilung

Divisor teilende Zahl oder Nenner

Faktor Vervielfältigungszahl

Kardinalzahl Grundzahl

Minuend Zahl, von der etwas abgezogen werdensoll

minus weniger

Multiplikand Zahl, die mit einer anderen Zahlmalgenommen werden soll

Multiplikation Vervielfachung

Multiplikator Zahl, mit der eine andere Zahlmalgenommen werden soll

multiplizieren malnehmen

Ordinalzahl Ordnungszahl

plus mehr

Produkt Ergebnis des Malnehmens

Quotient Ergebnis der Teilung, besteht aus Zählerund Nenner

Subtrahend abzuziehende Zahl

subtrahieren abziehen

Subtraktion Vorgang des Abziehens

Summand hinzuzuzählende Zahl

Summe Ergebnis des Zusammenzählens

Variable Veränderliche

Die Ergebnisse, die deutsche Schülerinnen und Schüler im PISA-Vergleich er-zielten, haben gezeigt, dass in Mathematik das sinnentnehmende Lesen vonTexten und geeignete Problemlösungsstrategien nicht genügend beherrschtwerden.

Wer einmal Gelegenheit hatte, schulmathematische Aufgaben aus anderenLändern mit unseren zu vergleichen, wird über das dort verlangte Niveausehr erstaunt sein. Dabei geht es nicht nur um europäische Staaten wie Belgi-en, Finnland oder Rumänien, sondern auch um ferne Länder wie die Mongo-lei, Botswana oder die Philippinen – nur um einige zu nennen.

Die vorliegende Sammlung „Pisa-Training“ enthält in drei Heften mathemati-sche Denkaufgaben, mit denen genau diese Aufgabenbereiche geübt wer-den können.

Die meisten Aufgaben unterscheiden sich deshalb deutlich von den aus denSchulbüchern bekannten. Im Vordergrund stehen die für die Problemlösungnotwendigen „Denkschritte“. Die eigentliche „Rechenaufgabe“ ist dann ein-fach zu lösen.

Im Bereich der 4. Grundschulklasse gehen die zur Lösung erforderlichenGrundlagen nicht über die vier Grundrechenarten hinaus. Für die Klassen 5und 6 werden auch Kenntnisse elementarer Gleichungen benötigt. Alle Auf-gaben sind altersgemäß und inhaltlich lehrplankonform.

Jedes Aufgabenheft enthält 33 Trainingseinheiten mit 99 Denkaufgaben in3 Schwierigkeitsstufen. Die erste Schwierigkeitsstufe jeder Trainingseinheitdient der Einführung in die Problemlösungsstrategie, die zweite der Übungund Wiederholung und die dritte der Vertiefung.

Zu den Aufgabenheften gibt es jeweils ein separates Lösungsheft, in dem zujeder Aufgabe die notwendigen „Denkschritte“ und die eigentliche „Rechen-aufgabe“ erklärt werden.

Bestell-Nr. 150-21 · ISBN 978-3-619-01521-4