Institut fur

Freigabe:

DYNAMIK DER FLUGSYSTEME BI. :

I B . Nr.: 515-84/10

I I

Optimale Flugmanöver· in MR-LK-Szenarien

W.Grimm, K.Moritz

DFVLR Institut für Dynamik der Flugsysteme

Die Bearbeiter :

Grimmr. W.

Moritz K.

Dr. K.H; Well Der Abteilungsleiter ·

Der stellv. Institutsdirektor :

Dr.Ing.J.Ackermann Der Institutsdirektor :

D1eser Ber1cht enthält·

I

I 9 ___ Blatt davon

I ---Bilder

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32 D' zusätzlich ___ 1agramme

Ort : Oberpfaffenhofen Datum : 2 . 4.1985 Bearbeiter : Grimm Moritz

Zeichen rm

Optimale Flugmanöver in MR-LK-Szenarien

W. Grimm, K.Moritz

DFVLR Institut für Dynamik der Flugsysteme

INHALTSVERZEICHNIS

Einleitung

1. Untersuchung einer Mittelstrecken-Luftkampfsituation

1 . 1 Mathematisches Modell des Gesamtsystems

1 . 2 Ende des Differentialspiels

1.3 Funktionale (termina l payoff)

1.4 Numerisches Vorgehen zur approximativen ' Bestimmung

1 . 5 Ergebnisse

2 . Optimale Missile Avoidance Manöver

2 . 1

2 . 2

Zustandsgleichungen

Formulierung der optimalen Steuerungsprobleme

2.3 Ergebnisse

Schrifttwn

1

2

2

6

7

8

9

11

12

15

16

19

EINLEITUNG

Zukünftige Kampfflugzeuge werden mit Flugkkörpern hoher Reichweite ausge rü­

stet sein (z . B. AMRAAM's, advanced medium range air to air missiles) , die es

gestatten, Ziele aus grosser Entfernung, d.h. von ausserhalb der Sehreich­

weite, zu bekämpfen. Diejenige Entfernung, aus der ein Ziel getroffen werden

kann, hängt einerseits von Höhe, Geschwindigkeit und Richtung des Geschwin­

digkeitsvektors bezüglich der Sichtline (''Boresight "-Winkel) zum Abschuß­

zeitpunkt ab, andererseits entscheidend vom Zielmanöver, d.h . von dem Hanö­

ver, welches das Ziel während der Flugzeit des Flugkörpers ausführt .

In einer Luftkampfsituation stellt sich nun für jedes Flugzeug das Problem,

durch ein geeignetes 11Pre-Launch11 Manöver die Treffreichweite des / der eige­

nen Flugkörper zu erhöhen und durch ein geeignetes "Post-Launch11 Manöver die

des Gegners zu vermindern .

In diesem Bericht wird d·argestellt, wie die optimalen "Pre-Launch" und "Pos t­

Launch" Manöver berechnet werden können, ebenso wie der optimale FK-Abschuß­

zeitpunkt gewählt werden kann. Wir beschränken uns dabei auf eine 1 vs 1 -

Situation . Des weiteren wird dargestellt, wie man ein opt i males Ausweichma­

növer vor einem anfliegenden FK berechnen kann.

- 2 -

1. UNTERSUCHUNG EINER MITTELSTRECKEN-LUFTKAMPFSITUATION IM

ÜBERSCHALLBEREICH ZWISCHEN ZWEI FLUGZEUGEN, DIE JEWEILS üBER

EINEN FLUGKöRPER VERFÜGEN, ALS 2-PERSONEN DIFFERENTIALSPIEL

1.1 Mathematisches Modell des Gesamtsystems (2 Flugzeuge + 2 Flugkörper als Massenpunkte) im Zustandsraum

Bezugssystem ist ein geostationäres (''flache Erde") Koordinatensystem. Der

Zustand des Flugzeuges wird beschrieben durch die Werte der Variablen

X

y kartesische Koordinaten im Raum

h

v Geschwindigkeit (Betrag)

m Masse

qo q1 Quaternionen q2

q3

Wurde hier die Singularitätan-freie Darstellung mittels Quaternionen [ 1]

gewählt, werden für den Flugkörper die klass ischen Euler-Winkel verwendet.

- 3 -

X Azimuth (Winkel zwischen der positiven x -Achse

und der Projektion des Geschwindigkeitsvektors

in die (x,y)-Ebene = Horizontalebene)

t Bahnneigungswinkel (Winkel zwischen dem Geschwindig­

keitsvektor und der Horizontalebene)

p Auftriebquerneigungswinkel oder Rollwinkel

(Winkel zwischen Auftriebsvektor und der Senkrechten

zur Horizontalebene)

T zA = (xA,yA,hA,vA,mA,qoA'q1A'q2A'q3A)

ist der Zustandsvektor des Flugzeugs, T

zM = (vM,xM,rM,xM,yM,hM)

der des Flugkörpers.

Die Masse ist hier keine Zustandsvariable, da ein Flugkörpermodell mit fester

Schubcharakteristik verwendet wird. Auftrieb und sein Querneigungswinkel

sind Steuergrößen, die durch ein f estes Lenkgesetz (Proportional-Navigation

im Raum) gegeben sind als Funktionen des Zustandes des Zieles

zT = (vT,xT,rT,~'YT'hr)T und zM.

Der für die Umrechnung von zA in zT (zT=zT(zA)) benötigte Zusammenhang zwi­

schen den Quaternionen q0

,q1 ,q2 ,q3 und den Euler-Winkeln X und 4 ergibt sich

aus den Identitäten [1]

cosl cosx = q~ + q~ - ~ - q~ cosl sinx = 2 (q

0q3 + q1q2)

sinl = 2 (q0

q2 - q1q3 ) .

Die Bewegungsgleichungen für den Flugkörper (nach dem Abschuß zur Zeit t 1)

schreiben sich in der Form

=

- 4 -

F-W ' I V\1\

A cosr -

V· cos t (0.5 X

V ·CPSo ~iM;t

v.h~o

~V C.OS 0

mit dem Schub F = F(1:), der Masse m = m('t), (reine Funktionen der Flugzeit 1:),

dem Auftrieb A = QS cA, dem Widerstand W = QS cA.W.

(QS=pv2 Fl/2 p=Luftdichte, pv2 /2=Staudruck, Fl=Bezugsfläche,

~=Widerstandsbeiwert; quadratische Funktion des Auftriebsbeiwertes cA) und

den in uM zusammengefaßten Steuervariablen p und cA.

Die Bewegungsgleichungen für das Flugzeug lauten

mit

- 5 -

2 z (.. t J V· L ~0 t-1,,- ~2. -~J

V . [ 2 ( ~o 9.\ t 9'\ qz f]

v· [2(9oh - ~1~~)]

T (Of ol -]) W\

- '" T

... \ { 91 Pw -t ~ t ~w + q ~ ..,-w )

i ( ~o fw T ~ 1 ..,-w - q > ~ ~ )

q 1 -r w + 1.> ?w ) [ !

)

Darin sind Schub T, spezifischer Treibstoffverbrauch c , Luftwiderstand D V

und Auftrieb L gegeben als Funktionen der Höhe h, der Geschwindigkeit v, des

Anstellwinkels a und des Drosselgrades ö. Der Steuervektor uA umfaßt die Va­

riablen p ,a,ö (p ist die erste Komponente des Vektors der Winkelgeschwin-w w

- 6 -

digkeit w = (p ,q , r )T des mit dem Flugzeug verbundenen "Wind-Achsen-Sy­w w w sterns". p entspricht etwa der Rollrate.)

w

Für die Steuervariablen wurden folgende Beschränkungen gewählt

IPwl ~ 1.6 rad/sec

1° ~ cx ~ 20°

0 ~ ö ~ 1

(Die Ergebnisse in Abschnitt 1.5 beruhen auf Rechnungen mit festem ö=1).

Der Zustand z des Gesamtsystems ist gegeben durch

· 1. 2 Ende des Düf eren tialspiels

Nach dem Abschuß der beiden Flugkörper werden die Begegnungen

Flugzeug ~ gegnerischer Flugkörper

dann als beendet betrachtet, wenn der Flugkörper dem Flugzeug nicht mehr

(wesentlich) näher kommen kann. (Es ergeben sich so i.a. 2 unterschiedliche

Endzeiten . )

= Bezeichnet R1 den Abstand von Flugkörper zu Flugzeug 2 (R1 /cxA2 -xM1

2 +(yA2 -yM1) 2 +(hA2-hM1) 2 )'und R1 die zeitliche Ableitung von R1, so

legt die Endbedingung

(c ~ 0)

als Forderung an den Endzustand die Endzeit tf fest. (Bei c=O ist der Abstand • 1

R1 =0 oder die Annäherungsgeschwindigkeit R1 = 0, bei c > 0 ist R1 < 0). f f f

Analog legt

die Endzeit tf fest. 2

(c~ 0)

- 7 -

1. 3 Funktionale (terminal payoff)

Jedes Flugzeug will so manövrieren und den Abschußzeitpunkt sei nes Flugkör­

pers so wählen, daß dieser das gegnerische Flugzeug möglichst err eicht, und

es selbst den gegnerischen Flugkörper auf Distanz hält.

Diese doppelte Aufgabenstellung ist nun mathematisch in Form von geeigneten

Zielfunktionalen J 1 , J 2 zu modellieren, die Flugzeug 1 bzw. Flugzeug 2 durch

Wahl des Abschußzeitpunktes und seiner Steuerungen zu minimieren sucht.

a) Formuliert man als Ziele von Flugzeug 1(2) , R1f CR2f )

möglichst klein zu machen und R2f CR1f) mögl i chst

groß zu halten, und stellt man beide Ziele gieichgewichtet

nebeneinander, erhält man die Funktionale

J 1 = R1f - R2f

J 2 = R2f - R1f

Man erhält so ein Nullsummen (J1+J2=0) Differentialspiel.

(Unterschiedliche Wichtungen der beiden Ziele ergeben Nicht­

Nullsummen-Differentialspiele.)

b) Eine etwas differenziertere Formulierung der Ziele von Flugzeug 1 ist:

R1f nur dann als zu minimieren zu betrachten,

wenn R1f > Rcap (Fangradius) und R2f nur dann als zu maximieren zu betrachten,

denn R2f < R (Sicherheitsabstand). sec Dies führt auf das Funktional

und entsprechend

(Nicht-Nullsummen-Differentialspiel )

(Mit der differenzierbaren Approximation t 0 (x ) = l x2 +of an t 0(x) = lxl und

den Identitäten

max{a,b} = ( a+b) / 2 + ja~bl/2 , min{a,b} = (a+b )/2 - ja-b l/2

- 8 -

ist klar, wie man die Auszahlungsfunktionen

a1 (z) = max{R1 ,Rcap} - min{R2 ,Rsec}

a2 (z) = max{R2 ,Rcap} - min{R1,Rsec}

leicht differenzierbar approximieren kann.)

1. 4 Numerisches Vorgehen zur approximativen Bestimmung der "optimalen" Abschußzeitpunkte und open-loop Steuerungen

Nicht-kooperative Gleichgewichtslösungen des Differentialspieles sind Nash­

Lösungen

für alle zulässigen Vergleichslösungen Ct 11 , uA1), (t~, uA

2). Im Falle eines

Nullsummen-Differentialspieles (J1=-J2=:J) ergibt dies die Sattelpunktsbe­

ziehung

Folgen beide Spieler ihrer optimalen Strategie, liefert die Realisierung des

Differentialspieles von einem z0 aus dem Gebiet, in dem die Nash-Lösungen

existieren, "optimale" Werte für t1

, t1

und "optimale" open-loop Steuerun-1 2

gen. Diese Kontrollfunktionen sind nun möglichst gut in einer vorgegebenen

Klasse parameterisierter Steuerungen zu approximieren, (z.B. in der Klasse

der stetigen "Lmd stückweise linearen Kontrollfunktionen zu festen Gitter­

punkten.) Auf diese Weise wird dem Problem, im Differentialspiel eine Nash­

Lösung zu finden, mit jedem Anfangszustand z 0 ein Nash-Lösungs-Problem im

Parameterraum zugeordnet.

Zur Lösung dieses Problems wird das iterative Verfahren von Han-Wilson-Po­

well (mittels quadratischer Programmierung) zur Lösung allgemeiner nichtli -

- 9 -

nearer Optimierungsaufgaben verwendet, welches der DFVLR in einer Implemen­

tierung von Kraft, Schittkowski vorliegt.

Es werden damit abwechselnd für beide Spieler einige Iterationen ausgeführt,

bis beide Optimierungen abgeschlossen sind.

Dieses Verfahren benötigt neben den Funktionswerten in jeder Iteration auch

die partiellen Ableitungen der (jeweiligen) Zielfunktion und der Nebenbedin­

gungen nach den Parametern.

Es wurde ein Unterprogramm erstellt, in welchem die Zustandsgleichungen in­

tegriert und die Funktionswerte von Zielfunktion und Nebenbedingungen ausge­

wertet werden; zur Berechnung ihrer partiellen Ableitungen nach den Parame­

tern bietet es zwei Möglichkeiten an:

a) Differenzenquotienten

b) theoretisch exakte Berechnung der Gradienten

durch Integration der Variationsgleichungen

des Gesamtsystems (für die Abschußzeitpunkte)

und der adjungierten Variationsgleichungen

(für die Steuerparameter) einschließlich

der zugehörigen Quadraturen.

(Der Vorteil der Variante b ) liegt in der geringeren Anzahl der zu integri e­

renden Differentialgleichungen (~kürzere Rechenzeit), erfordert dafür aber

die Programmierung der zusätzlichen Differentialgleichungen .)

1.5 Ergebnisse

Betrachtet wurde folgende (symmetrische) Anfangssituation:

Die beiden (identischen) Flugzeuge begegnen sich in 9 km Höhe mit Hach 1.5 in

entgegengesetzter Richtung fliegend, front a l um 15 km und seitlich um 30 km

versetzt.

Das veranschlagte Zeitintervall von 35 Sekunden wurde durch 18 Gitterpunkte

unterteilt, und in den Starttrajektorien die Flugkörper nach ca. 11 Sek. ab­

gefeuert .

In der Formulierung als Nullsummen-Spiel mit

- 10 -

mit den Endbedingungen

g1 = Rlf.Rlf + c = 0 (c>O) . g2 = R2f • R2f + c = 0

ergab sich folgende Lösung:

Die Abschußzeitpunkte wurden stets an die vorgegebene untere Schranke vor ­

verlegt (in mehreren Schritten verkleinert bis ca. 6,5 Sek. nach dem Start),

in der Angriffsphase drehten die Flugzeuge stark aufeinander zu und drehten

dann nach dem Abschuß ihrer Flugkörper tiefergehend weg; ihre Endhöhe lag bei

4 km, ihre Machzahl bei 2. 12, die Endabstände waren 20 km (Draw!) .

Allerdings waren in dieser Lösung das Lastvielfache und der Staudruck für die

Flugzeuge zu hoch.

Neben einer Beschränkung der Endabstände g3 = Rmin2 - R1f - R2f ~ 0 wurde

deswegen auch eine Höhenbeschränkung eingeführt (indirekt über die Flugkör-

per) g4 = .hM1 f + hM2f - hmin2 ~ 0 · Als in Homotopieschritten R . 2 und h . 2 angezogen wurden, blieben die Ab-- · - m1n m1n schußzeitpunkte fest.

Der erste Satz der nachfolgenden Diagramme zeigt die Lösung zu R . 2 = 28 km, m1n

h . 2 = · 10 km (hierbei sind die 3. und 4. Nebenbedingung aktiv, d.h. die End-mJ.n abstände liegen bei 14 km, die Endhöhe der Flugkörper bei 5 km). In der An-

griffsphase gehen die Flugzeuge tiefer, nehmen Geschwindigkeit auf und feu­

ern ihre Flugkörper noch mit negativem ~ ab. Die 4. Nebenbedingung zwingt

sie, in der Ausweichphase hochzusteigen: Endhöhe 9 km, Machzahl 2.24 .

Im ersten Diagramm sind maßstabsgetreu die Flugbahnen in den Projektionen auf

die (x,y)-, (h,x)-, (h,y)-Ebene wiedergegeben (Längeneinheit= 1 km). Es fol ­

gen die Zeitverläufe (über dem auf [0,1] normierten Zeitintervall) der Ge­

schwindigkeit (in km/sec), des Staudrucks (in N/m2 ), der Winkel~. X,~

(in rad) und des Lastvielfachen - jeweils für Flugzeug 1 und Flugkörper 1.

Der zweite Satz Diagramme gehört zur Nash-Lösung, die man beim Übergang zum

Nicht-Nullsummen-Spiel mit den (differenzierbar approximierten) Funktionalen

erhält.

J1 = max{R1f'Rcap} - min{R2f'Rsec}

J2 = max{R2f'Rcap} - min{R1f'Rsec}

Bei diesen Funktionalen ist zu beachten, daß sie nur die aggr essive Pre­

Launch Phase wichten, solange die Endabstände größer als der Sicherheitsab-

- 11 -

stand sind, die Steuerungen nach dem Feuern des Flugkörpers werden dann nicht

verändert.

Die Rechnung wurde von der Sattelpunktlösung aus gestartet mit R = 5 km, cap R = 0,5 km. Die Nebenbedingungen wurden allerdings in der abgeschwächten sec Form g1 $ 0, g2 $ 0 betrachtet (gi = Rif Rif + c, i = 1,2). Abschußzeitpunkte

und Endzeiten blieben fest.

In der Lösung sind die Nebenbedingungen inaktiv - die Annäherungsgeschwin­

digkeit ist Vc=0,825 km/sec - , die Endabstände schrumpfen auf 2,3 km, die

Endhöhe der Flugzeuge beträgt 13,7 km bei einer Machzahl von 1,35. Deutlich

ist das geänderte Pre-Launch Manöver : Beide Flugzeuge steigen von Anfang an!

Ein Diagramm, das die Steuerungen a und p von Flugzeug 1 für die Sattel-w

punktslösung und die Nash-Lösung wiedergibt, ist angefügt. (Daß sich die

Steuerungen auch nach dem Abschußzeitpunkt geändert haben - höhere Anstell­

winkel -, erklärt sich daraus, daß in einigen Iterationen Endabstände in der

Größenordnung von Rsec erreicht wurden.)

Der dritte Diagrammsatz gehört zu einer Nash-Lösung mit R = 0,1 km, R = cap sec 0,5 km, wo mit einer neuen Starttrajektorie (Höhe etwa konstant 9 km, Ab-

schuss der Flugkörper erst nach etwa 14 sec, Flugzeit etwa 34 sec, Endabstand

3 km) begonnen wurde. Im Optimierungsverfahren blieben Abschuss- und Endzei­

ten unverändert. In der Lösung (nach 30 Iteration) sind die Nebenbedingungen

inaktiv (g1<o, g2<o, Vc = 0,55 km/sec), im ausgeprägten Ausweichmanöver gehen

die Flugzeuge tiefer bis auf 7,1km bei Mach 1.54,Endabstände: 1,5 km, (Last­

vielfache zu hoch).

2. OPTIMALE MISSILE AVOIDANCE MANöVER

In diesem Abschnitt werden die oben bereits geschilderten "Post - Launch" Ma­

növer für drei Anfangssituationen, die aus digitalen LK- Simulationen ent­

nommen werden genauer analysiert. Bei dieser Analyse werden diesselben

Flugzeug- und Flugkörpermodelle wie in Abschnitt 1 verwendet . Lediglich die

Bewegungsgleichungen werden etwas anders gewählt .

- 12 -

2 .1 Zustandsgleichungen

Die Berechnung der Flugbahnen erfolgt durch numerische Integration der fol­

genden Differentialgleichungen. (Bezeichnungen: Index T= Flugzeug (target),

I ndex M= Flugkörper (mi ssile)).

Polarkoordinaten der Relativgeometrie (s . Skizze auf S.13)

R: Abstand Flugzeug/Flugkörper

0: vertikaler Sichtlinienwinkel

~: horizontaler Sichtlinienwinkel

Zustandsvariab le von Fl ugzeug und Flugkörper:

h.r· hM: Höhen

VT, VM: Geschwindigkeiten

~T ' ~M : Bahnneigungswinkel

XT, XM: Azimuthwinkel

Steuerungen:

~· nM: Lastvielfache ~T' ~M: Auftriebsquerneigungswinkel

nM und ~M sind der Proportionalnavigation entsprechende

Funktionen des Zustandsvektors (s.Sei te 3)

Die zu optimierenden Flugzeugsteuerungen sind durch

(1) 0 ~ ~ ~ 9

(2) I ~T I ~ 1T

beschränkt .

- 13 -

YT - Yt/{ . .

ta.rgef

Abgeleitete Größen:

DrCVr'I1r'~), D~1 CVM,hM'nM): Luftwiderstandsfunktionen

FT(Vr,I1r) , FM(t) : Maximalschub des Flugzeugs, Schub des Flugkörpers

WM(t): Gewicht des Flugkörpers

Konstanten

WT: Gewicht des Flugzeugs

g : Erdbeschleunigung

' . .

.. · (3)

I· . . --~ - . ~ . .

r -!: .(~)

{5)

.. _(6)

-", .

·_· .(7) .

.(8)

· 0o)

(12)

- 14 -

. . •

R = - VM[cos GcosyM co.s(XM~tp) · +· sLn.8 s~n.yM] . .

+VT [c.os G co~ l'Tcos(xT·- tp") + ~~~ -~ s_l.tL .fT]

. 8

1 . . -- .. ·---·. - . - -- . = R { -VM[cos 8 $~~ )"M :_:~~s-y; Ürte cos (X M - ljl )J

+VT [co_s e s Ln. Jr- cos )'"T si.n. e cos ( XT- ~ )J}

. . 1 . ' . . R c.os e. [ - vM cos tM st.n. CxM - lf')

. +Vrcos .Yr s~n.(x_T - tp)]

• hT =vT~L.nyT

• - ( FT - DT SLn YT ) ..vr -9 wy

~ _ ( FM- Dr~ s ~n YM) . ~~ --g Wr . M

,

• 9 hT SLI1jJ- T

XT . Vr . CO s "t'T

. • 9 hM Sl-t1JLtvl

Xr1 = -. \/~1 C OS Jt'1

I I

- 15 -

Die Flugkörperhöhe h~1 berechnet sich gemäß hM = hT- Rsin 0.

2.2 Formulierung der optimalen Steuerungsprobleme

Die Suche nach dem bestmöglichen Ausweich-Hanöver wird auf zwei Arten als

optimales Steuerungsproblem formuliert . Nebenbedingungen sind in jedem Fall

die Steuerbeschränkungen (1), (2 ), die Differentialgleichungen (3)-(12) und

die Zustandsbeschränkung hT ~ 0. In beiden Aufgabenstellungen ist die Endzeit

frei; die Anfangswerte aller Zustandsvariablen sind fest vorgeschrieben.

(P1) Maximiere den Endabstand R(tf) unter der

Nebenbedingung R(tf) = Rf

(P2) Maximiere die Endzeit tf unter der Neben­

bedingung R(tf) = Rf' R(tf) < 0 .

. Der festgeschriebene Endwert Rf der Annäherungsgeschwindigkeit ist negativ

im Fall eines Treffers, gleich null im Fall eines erfolgreichen Ausweich-i1a­

növers.

Die gezeigten Beispiele ~ehen von folgenden fest vorgeschriebenen Anfangssi ­

tuationen aus :

Satz 1 Satz 2 Satz 3

R(O) in km: 8.51 9.08 9.15

Machzahl des Flugzeugs: 1 . 01 1.55 0.84

Machzahl des Flugkörpers : 3.58 . 3. 57 3.58

hrCO) in km 0. 18 8.56 7.03

hM(O) in km 5.63 8.89 10.00

XT(O) in 0 125.00 103.00 24.00

XM(O) in 0 14.00 21 . 90 9.00

Flugzeit tFK des Flugkörpers

bei Akquisition in sec. 8.00 16.00 20.00

In allen Fällen gilt ~(0) = oT(O) = oM(O) = 0 . Die Angabe von tFK ist erfor­

derlich wegen der explizit zeitabhängigen Funktionen FM(t) und WM(t), wobei t

die Zeit nach Abschuß des Flugkörper s ist. Der Zusammenhang mit der Zeit t

- 16 -

nach Beginn des Manövers ist 1 = t + tFK' Der Flugkörper wird also tFK Sekun­

den nach Abschuß zum Zeitpunkt t = 0 bzw. 1 = tFK entdeckt (''Akquisition" ).

Die Steuerungen lLr und llT werden als Polygonzüge über acht äquidistanten

Teilintervallen modell iert; Parameter des Optimierungsverfahrens sind folg­

lich die Steuergrößen an den Zwischenpunkten ti = i tf / 8, 0 ~ i ~ 8, und die

freie ~ndzeit. Die Zustandsbeschränkung ~ ~ 0 wird durch die Nebenbedingun­

gen ~(ti) ~ 0, 1 ~ i ~ 8, berücksichtigt.

2. 3 Ergebnisse

Von den bisher gerechneten Flugbahnen wurden folgende Kombinationen von Pro­

blemstellung und Anfangsdaten ausgewählt:

Problemstellung Anfangswerte Diagramme

Beisp . 1) (P2) mit · Rf = 100 m Satz 1 II .1. a - II .1. i

Beisp.2) (P1) mit Rf = 0 Satz 2 II .2.a -. II . 2 .k

Be·isp . 3). (P1) mit Rf = -200 m/s Satz 3 II.3 , a - II .3 . l

Bezeichnungen in den Diagrammen : XT,YT ,HT bzw. XM,YM,HM : Koordinaten des

Flugzeugs bzw. Flugkörpers bezüglich eines Inertialsystems, das durch die

Anfangsbedingungen

XM(O) = 0 , Y}1(0) = 0

XT(O) = R(O) cos (8(0)), YT(O) = 0

HM(O) = hM(O) , HT(O) = ~(0)

festgelegt ist.

VT,VM VT, VM in m/sec CL Auftriebsbeiwert des Flugzeugs

MUE llT in Radian

N. ~ Q Staudruck in kp/m 2

GAMT oT in Radian

AMT Machzahl des Flugzeugs

- 17 -

In Diagrammen mit zwei Kurven bezieht sich die durchgezogene Linie auf das

Flugzeug, die gestrichelte Linie auf den Flugkörper . Längeneinheit ist Me­

ter, Zeiteinheit eine Sekunde. (x,y)-, (x,h)-, und (y,h) -Diagramme wurden

mit gleichem Maßstab auf beiden Achsen angefertigt. Die drei Anfangssitua­

tionen sind einer Beispielsammlung der Firma MBB entnommen. Im zweiten Bei­

spiel wird der Flugkörper mit einem Endabstand von 719 m ausmanövriert.

Bei allen missile-avoidance Manövern sind folgende Phasen mehr oder weniger

ausgeprägt:

1. Anfängliche Drehung zur Sichtlinie: Diese Phase ist gekenn~eichnet durch

maximales Lastvielfaches und Rollwinkel in der Umgebung von ± n/ 2 (beachte

die DGL für X!). Die Geschwindigkeitsaufnahme ist aufgrund des hohen indu­

zierten Widerstandes gering. Die Ausprägung dieses hard turns hängt von der

Differenz lxT(O) - 111(0) I ab. Er nimmt dementsprechend in den ersten zwei

Beispielen den größten Teil des Manövers ein.

2 . Übergang zum tail chase : Diese Phase dient dem Geschwindigkeitsaufbau.

Sie ist am Ende des ersten Beispiels andeutungsweise erkennbar durch

- abnehmendes Lastvielfaches,

- 'J..IT -+ 0 und zunehmende Geschwindigkeit, was sich aufgrund der geringen Höhe

in rapide steigendem Staudruck (Staudruck q = 1/2 p(h)V2 , p(h)

= Luftdi chte in Abhängigkeit von der Höhe) bemerkbar macht .

Normalerweise wird die Beschleunigung durch Höhenverlust wie in den Bei­

spielen 2 und 3 unterstützt. Die Beschränkung ~ ~ 0 verhindert dieses

"Wegtauchen" in Beispiel 1. Die kritische Grenze für den Staudruck liegt bei

etwa 10.000 kp/m2 • Sie wird in diesen Beispielen nicht, bei ausgeprägten

tail-chase-Szenarien jedoch fast immer erreicht.

3. Last ditch maneuver, ein ruckartiges Gegensteuern zur bisherigen Flug­

bewegung am Ende des Manövers. Seine Bedeutung liegt darin, daß der Flug­

körper durch ein entsprechendes Verfolgungsmanöver Energie verliert. Dieses

Phänomen ist in den Beispielen 2 und 3 erkennbar. Die Gegenbewegung zum

bisherigen Kurs vollzieht sich sowohl im Vertikalen als auch im Horizontalen.

Beispiel 2 endet mit einem leichten Höhenanstieg ; in Beispiel 3 nimmt zu­

mindest der Bahnneigungswinkel zu. Die Horizontalprojektionen der Flugbahnen

ändern in beiden Fällen ihre Krümmung. Der Steueraufwand für di eses Teilma-

- 18 -

növer zeigt sich in Beispiel 3 in einer plötzlichen Spitze im Lastvielfachen.

Dementsprechend flacht der Geschwindigkeitsverlauf (und damit auch der Ver­

lauf des Staudrucks) aufgrund des steigenden induzierten Widerstands ab.

SCHRIFTTUM

[1] Wuensche, H.J . . Singularity-free Nethods for Aircraft

Flight Path Optimization using Euler Angles and

Quaternions.

Master of Science Thesis, University of Texas, 1982.

H VS Y

~~------------------------~

13

3

H vs X

15

10

5

0+---~~------~----~--~--.------r------r-~---r------~----or----~ -25 -20 -1 5 -1 0 - 5 0

SATTELPUNKTS- LSG ZU RM IN2=28 HMIN2=HI

y vs

5

- 5

5 BLAU:

X

10 q_uGZEUG

15 20 25 ROT: ~LUGKOERPER

- 10 +-----~--~--.-~---r------r------r------~----~--------~--~--~-4 - 25 -20 - 1 5 - 1 0 - 5 0 5 10 15 20 25

SATTELPUNKTS-LSG ZU RMIN2=28 HMIN2=10 BLAU: ~LUGZEUG ROT: FLUGKOERPER

2

1 • 1

1 • 0

. 9

.- . 8 I:

.-

< .7

.6

.5

V VS T I 1. 1. b I

. 4 r----.----.----.----.----.----.---~----~--~----~ .0 . 1 . 2 .3 .4 . 5 SATTELPUNKTS-LSG ZU RMIN2=28 HMIN2=10

.6 . 7 BLAU : 1=LUGZEUG

. 8 . 9 1 . 0 ROT: FLUGKOERPER 4

STAUDRUCK VS T

. 4E6

~

< .2E6

.0 .1 .2 . 3 .4 . 5 SATTELPUNKTS-LSG ZU RMIN2=28 HMIN2=10

.6 . 7 BLAU: 1=LUGZEUG

.8 .9 1 .0 ROT: 1=LUGKOERPER

.3

.2

.... .0 I:

<- . 1

-.2

-.3

-.4

0

.... - 1 I:

.... <

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